Logarytmy — definicja i wzór na logarytm, własności, działania i zmiana podstawy

\(\displaystyle \frac{a}{2b}=3^{-3}\), zatem \(k=-3\).

Wykładnik liczby \(a\) upraszczamy wzorami na logarytm potęgi i różnicę logarytmów: \[\tfrac12\log_4 36-2\log_4 3=\log_4 36^{\frac12}-\log_4 3^2=\log_4 6-\log_4 9=\log_4\tfrac69=\log_4\tfrac23.\] Ponieważ \(16=4^2\), otrzymujemy \[a=16^{\log_4\frac23}=4^{2\log_4\frac23}=4^{\log_4\left(\frac23\right)^2}=\left(\tfrac23\right)^2=\tfrac49.\] Liczbę \(b\) sprowadzamy do jednej podstawy wzorem na zamianę podstawy \(\log_x y=\frac{\ln y}{\ln x}\): \[b=\log_2 9\cdot\log_3 5\cdot\log_5 8=\frac{\ln 9}{\ln 2}\cdot\frac{\ln 5}{\ln 3}\cdot\frac{\ln 8}{\ln 5}=\frac{2\ln 3\cdot 3\ln 2}{\ln 2\cdot\ln 3}=6.\] Stąd \[\frac{a}{2b}=\frac{\frac49}{12}=\frac{4}{108}=\frac1{27}=3^{-3}.\] **Odpowiedź.** \(\frac{a}{2b}=3^{-3}\), czyli \(k=-3\).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – poprawne zastosowanie wzorów na logarytm potęgi oraz na różnicę logarytmów i obliczenie \(a\): \(a=\frac{36}{81}\) ALBO poprawne zastosowanie wzorów na zamianę podstawy logarytmu oraz na logarytm potęgi i obliczenie \(b\): \(b=6\). **2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(3^{-3}\).

Wymagania określone w podstawie programowej **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. I. Sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** I.R) Zdający stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu.

**B.** \(10\)

Ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu mamy \(a=\log_{5}6\) oraz \(b=\log_{7}8\). Stąd \[25^{a}=5^{2\log_{5}6}=36,\qquad 49^{b}=7^{2\log_{7}8}=64.\] Zatem \(\sqrt{25^{a}+49^{b}}=\sqrt{100}=10\).

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.2R) Zdający stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

**B.** \(\frac{2}{3}\)

Argument zapisujemy jako potęgę podstawy: \[\sqrt[3]{25}=\sqrt[3]{5^2}=5^{\frac23}.\] Z definicji logarytmu \(\log_a a^k=k\), więc \[\log_5\sqrt[3]{25}=\frac23.\] **Odpowiedź.** **B.** \(\frac23\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.6) Zdający wykorzystuje definicję logarytmu […]; 1.5) Zdający wykorzystuje podstawowe własności potęg […].

**B.** \(-1\)

Logarytmy mają wspólną podstawę, więc stosujemy wzór na logarytm ilorazu: \[\log_8 4-\log_8 32=\log_8\frac{4}{32}=\log_8\frac18.\] Ponieważ \(\frac18=8^{-1}\), otrzymujemy \(\log_8 8^{-1}=-1\). **Odpowiedź.** **B.** \(-1\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.9) Zdający stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

**A.** \(\displaystyle -\frac{1}{2025}\)

**Krok \(1\).** Dane i szukana mają różne podstawy logarytmu: dane jest \(\log_{x\cdot y}x\), a pytamy o \(\log_{y}(x\cdot y)\). Naturalny plan: wszystko wyrazić w jednej podstawie. Najwygodniejsza jest podstawa \(x\cdot y\), bo w niej mamy daną liczbę. **Krok \(2\).** Punkt wyjścia to oczywista równość \(\log_{x\cdot y}(x\cdot y)=1\) oraz wzór na logarytm iloczynu: \[\log_{x\cdot y}x+\log_{x\cdot y}y=\log_{x\cdot y}(x\cdot y)=1.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy daną \(\log_{x\cdot y}x=2026\) i wyliczamy drugi składnik: \[\log_{x\cdot y}y=1-2026=-2025.\] **Krok \(4\).** Zamieniamy podstawę logarytmu, korzystając z zależności \[\log_{b}a=\frac{1}{\log_{a}b},\] prawdziwej, gdy obie podstawy są dodatnie, różne od \(1\), a logarytm w mianowniku nie jest zerem. **Krok \(5\).** Stosujemy tę zależność dla \(a=x\cdot y\) i \(b=y\): \[\log_{y}(x\cdot y)=\frac{1}{\log_{x\cdot y}y}=\frac{1}{-2025}=-\frac{1}{2025}.\] **Krok \(6\).** Sprawdzenie na konkretnych liczbach. Weźmy \(x\cdot y=t\) (dowolne \(t\gt 0\), \(t\neq 1\)). Z warunku \(\log_{t}x=2026\) mamy \(x=t^{2026}\), a stąd \(y=\frac{t}{x}=t^{-2025}\). Wtedy \[\log_{y}(x\cdot y)=\log_{t^{-2025}}t=-\frac{1}{2025},\] bo \(\left(t^{-2025}\right)^{-\frac{1}{2025}}=t\). **Uwaga.** Założenia z treści nie są ozdobnikiem: warunki \(x\gt 0\), \(y\gt 0\), \(x\cdot y\neq 1\) i \(y\neq 1\) gwarantują, że obie podstawy logarytmów są dopuszczalne, a dodatkowo \(\log_{x\cdot y}y=-2025\neq 0\), więc dzielenie w kroku \(5\) jest wykonalne. **Odpowiedź.** A. \(-\frac{1}{2025}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.2R) Zdający stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

**A.** \(\frac{1}{15}\)

**Krok \(1\).** Zarówno podstawa logarytmu (\(8\)), jak i liczba logarytmowana (\(\sqrt[5]2\)) są potęgami dwójki. W takiej sytuacji najpewniejsza metoda to oznaczyć szukaną wartość literą i zapisać definicję logarytmu. **Krok \(2\).** Niech \(x=\log_8\sqrt[5]2\). Z definicji logarytmu oznacza to, że \[8^x=\sqrt[5]2.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy obie strony jako potęgi dwójki. Po lewej \(8=2^3\), a po prawej pierwiastek zamieniamy na potęgę o wykładniku ułamkowym: \(\sqrt[5]2=2^{\frac15}\). **Krok \(4\).** Otrzymujemy \[\left(2^3\right)^x=2^{\frac15},\qquad\text{czyli}\qquad 2^{3x}=2^{\frac15}.\] **Krok \(5\).** Jeśli potęgi o tej samej podstawie (różnej od \(1\)) są równe, to równe są ich wykładniki: \[3x=\frac15.\] **Krok \(6\).** Dzielimy obie strony przez \(3\): \[x=\frac{1}{5}\cdot\frac13=\frac{1}{15}.\] **Uwaga.** Warto na koniec ocenić rząd wielkości wyniku. Liczba \(\sqrt[5]2\) jest tylko odrobinę większa od \(1\), a podstawa \(8\) jest znacznie większa, więc logarytm musi być dodatni i bardzo mały. To od razu wyklucza \(-15\) oraz \(\frac53\). **Odpowiedź.** A: \(\frac{1}{15}\)

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** I.1) Zdający wykonuje działania w zbiorze liczb rzeczywistych. I.9) Zdający stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem oraz wzory dotyczące logarytmów.

Mamy \(a-1=\log_{2}7\) oraz \(b=\log_{\sqrt{2}}27=2\log_{2}27\). Zatem \(\frac{b+2}{2a-2}=\frac{2(\log_{2}27+1)}{2\log_{2}7}=\frac{\log_{2}54}{\log_{2}7}=\log_{7}54\).

**Krok \(1\).** Metoda: oba logarytmy z założenia sprowadzamy do wspólnej podstawy \(2\), a tezę przekształcamy wzorem na zamianę podstawy. **Krok \(2\).** Rozkładamy \(14=2\cdot 7\) i korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu: \[a=\log_{2}14=\log_{2}2+\log_{2}7=1+\log_{2}7,\qquad\text{czyli}\qquad \log_{2}7=a-1.\] **Krok \(3\).** Zamieniamy podstawę w drugim logarytmie. Ponieważ \(\log_{2}\sqrt{2}=\frac{1}{2}\), to \[b=\log_{\sqrt{2}}27=\frac{\log_{2}27}{\log_{2}\sqrt{2}}=\frac{\log_{2}27}{\frac{1}{2}}=2\log_{2}27.\] **Krok \(4\).** Wstawiamy to do prawej strony tezy: \[\frac{b+2}{2a-2}=\frac{2\log_{2}27+2}{2(a-1)}=\frac{\log_{2}27+1}{a-1}.\] **Krok \(5\).** Licznik przekształcamy, zapisując \(1=\log_{2}2\): \[\log_{2}27+1=\log_{2}27+\log_{2}2=\log_{2}54.\] **Krok \(6\).** Mianownik to \(a-1=\log_{2}7\) (Krok \(2\)), zatem \[\frac{b+2}{2a-2}=\frac{\log_{2}54}{\log_{2}7}=\log_{7}54,\] gdzie ostatnia równość to wzór na zamianę podstawy logarytmu. To należało wykazać. **Uwaga.** Warto sprawdzić założenia: \(a-1=\log_{2}7\neq 0\), bo \(7\neq 1\), więc mianownik \(2a-2\) jest różny od zera i całe przekształcenie jest poprawne. **Odpowiedź.** Dla \(a=\log_{2}14\) i \(b=\log_{\sqrt{2}}27\) zachodzi \(\log_{7}54=\frac{b+2}{2a-2}\).

**(dla sposobów I-IV)** **3 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania. **2 pkt** – przekształcenie wyrażenia \(\frac{\log_{\sqrt{2}}27+2}{2\log_{2}14-2}\) lub \(\log_{7}54\), lub obydwu tych wyrażeń do takiej postaci, z której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na logarytm iloczynu lub logarytm ilorazu, lub wzoru na zamianę podstawy logarytmu, lub wzoru na logarytm potęgi oraz ewentualne kilkukrotne przekształcenie wyrażenia wymiernego można otrzymać tezę ALBO – zapisanie jednego równania z \(a\), \(b\) oraz niewiadomą \(x\), np. \((a-1)x=\tfrac{b}{2}+1\) (dla sposobu III), ALBO – zapisanie liczby \(2\) w postaci \(7^{\frac{1}{a-1}}\) oraz liczby \(27\) w postaci \(2^{\frac{b}{2}}\) (dla sposobu IV). **1 pkt** – zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu lub na logarytm iloczynu, lub na logarytm ilorazu, np. \(\log_{7}54=\frac{\log_{2}54}{\log_{2}7}\), \(\log_{7}54=\frac{\log_{\sqrt{2}}54}{\log_{\sqrt{2}}7}\), \(\log_{\sqrt{2}}27+2=\log_{\sqrt{2}}(27\cdot2)\), \(2\log_{2}14-2=2\log_{2}\left(\tfrac{14}{2}\right)\) ALBO – zapisanie liczb \(7\) oraz \(27\) jako potęg liczby \(2\): \(7=2^{a-1}\) i \(27=2^{\frac{b}{2}}\) oraz zapisanie równania \(7^x=54\) (dla sposobu III), ALBO – zapisanie liczby \(2\) w postaci \(7^{\frac{1}{a-1}}\) (dla sposobu IV). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu **Wymagania szczegółowe:** I.9) Zdający stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi. I.R) Zdający stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu.

**P, F.** Pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe, ponieważ \(2\log_{3}5=\log_{3}5^{2}=\log_{3}25\). Drugie jest fałszywe, ponieważ \(2=\log_{3}9\), więc \(2+\log_{3}5=\log_{3}45\neq\log_{3}10\).

**Krok \(1\).** Oba stwierdzenia oceniamy osobno. Potrzebne będą dwie własności logarytmów: \(n\log_a b=\log_a b^n\) oraz \(\log_a b+\log_a c=\log_a(b\cdot c)\). **Krok \(2\).** Pierwsze stwierdzenie. Liczbę \(2\) stojącą **przed** logarytmem wciągamy do środka jako wykładnik: \[2\log_3 5=\log_3 5^2=\log_3 25.\] Zgadza się z tym, co napisano, więc stwierdzenie jest prawdziwe - P. **Krok \(3\).** Drugie stwierdzenie. Tu \(2\) stoi **obok** logarytmu jako osobny składnik, więc najpierw musimy zamienić je na logarytm o tej samej podstawie. Szukamy wykładnika: \(3^2=9\), zatem \[2=\log_3 9.\] **Krok \(4\).** Teraz mamy sumę dwóch logarytmów o tej samej podstawie, którą zamieniamy na logarytm iloczynu: \[2+\log_3 5=\log_3 9+\log_3 5=\log_3(9\cdot 5)=\log_3 45.\] **Krok \(5\).** Ponieważ \(45\neq 10\), a funkcja logarytmiczna różnym argumentom przypisuje różne wartości, mamy \(\log_3 45\neq\log_3 10\). Drugie stwierdzenie jest fałszywe - F. **Uwaga.** Sumy \(2+\log_3 5\) nie wolno zamieniać na \(\log_3(2+5)\) ani na \(\log_3 10\) - liczby stojącej obok logarytmu nie przenosi się do argumentu przez zwykłe dodawanie ani mnożenie. Najpierw trzeba ją zapisać jako logarytm o tej samej podstawie. **Odpowiedź.** P, F

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: I.9) Stosuje wzory na logarytm iloczynu i logarytm potęgi.

**D.** \(2=\log_{3}9\), więc \(2+\log_{3}5=\log_{3}9+\log_{3}5=\log_{3}45\).

**Krok \(1\).** Wyrażenie \(2+\log_35\) to suma zwykłej liczby i logarytmu. Wzory na logarytmy dotyczą tylko działań **na logarytmach**, więc pierwszym ruchem musi być zamiana liczby \(2\) na logarytm o tej samej podstawie \(3\). **Krok \(2\).** Korzystamy ze wzoru \(\log_a a^k=k\), czytanego od prawej do lewej: \[2=\log_33^2=\log_39.\] **Krok \(3\).** Wyrażenie staje się sumą dwóch logarytmów o tej samej podstawie: \[2+\log_35=\log_39+\log_35.\] **Krok \(4\).** Sumę logarytmów o tej samej podstawie zapisujemy jako logarytm iloczynu: \[\log_39+\log_35=\log_3(9\cdot5)=\log_345.\] **Uwaga.** Odpowiedź **A** (\(\log_37\)) powstaje z błędnego dodania \(2\) do liczby stojącej pod logarytmem. Dodawanie logarytmów odpowiada **mnożeniu** ich argumentów, a nie dodawaniu. **Odpowiedź.** D: \(\log_345\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: 1.6) Stosuje wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi.

\[a^{b+1}=4\sqrt[3]{36}.\]

Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu: \[a=\log_{\sqrt5}2\cdot\log_2 25=\frac{\log_2 2}{\log_2\sqrt5}\cdot2\log_2 5=4,\] \[b=\frac{\log_5 6}{\log_5 8}=\log_8 6=\frac13\log_2 6=\log_2\sqrt[3]{6}.\] Zatem \[a^{b+1}=4^{\log_2\sqrt[3]{6}+1}=2^{2\log_2\sqrt[3]{6}}\cdot4=4\sqrt[3]{36}.\]

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik **2 pkt** – poprawne obliczenie \(a\) oraz przekształcenie \(b\) do postaci logarytmu o podstawie \(2\) lub \(4\), np. \(b=\log_2\sqrt[3]{6}\) **1 pkt** – poprawne obliczenie \(a\) lub poprawne przekształcenie \(b\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** I.1) Zdający wykonuje działania, w tym potęgowanie, pierwiastkowanie i logarytmowanie, w zbiorze liczb rzeczywistych. I.R) Stosuje wzór na zmianę podstawy logarytmu.

**C.** \(1000\)

Z wykresu odczytujemy, że dla \(t=3\) zachodzi \[\log K(3)=3.\] Logarytm jest dziesiętny, więc \[K(3)=10^3=1000.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie danych przedstawionych na wykresie. **Wymagania szczegółowe:** I.9) Zdający stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem.

**B.** \(7\)

Ponieważ \(\sqrt2=2^{1/2}\), mamy \[(\sqrt2)^2(\sqrt2)^4(\sqrt2)^8=2^1\cdot2^2\cdot2^4=2^7.\] Zatem \[\log_2(2^7)=7.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** I.1) Zdający wykonuje działania w zbiorze liczb rzeczywistych. I.9) Stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem i wzory na logarytm iloczynu oraz potęgi.

**D.** \(5\)

Korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu: \[a+b=\log_2\left[(3\sqrt5+\sqrt{13})(3\sqrt5-\sqrt{13})\right].\] Iloczyn jest różnicą kwadratów: \[(3\sqrt5)^2-(\sqrt{13})^2=45-13=32.\] Zatem \[a+b=\log_2 32=5.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** I.1) Zdający wykonuje działania i logarytmuje w zbiorze liczb rzeczywistych. I.9) Stosuje wzory na logarytm iloczynu. II.1) Stosuje wzór na różnicę kwadratów.

**A.** Korzystając z własności logarytmów, otrzymujemy \[\log_{3}108-2\log_{3}2=\log_{3}\frac{108}{2^{2}}=\log_{3}27=3.\]

**Krok \(1\).** Mamy różnicę dwóch logarytmów o tej samej podstawie, przy czym przed drugim stoi współczynnik \(2\). Działamy w dwóch ruchach: najpierw wciągamy współczynnik do logarytmu wzorem \(n\log_a b=\log_a b^{n}\), a potem zamieniamy różnicę logarytmów na logarytm ilorazu. **Krok \(2\).** Wciągamy dwójkę: \[2\log_{3}2=\log_{3}2^{2}=\log_{3}4.\] **Krok \(3\).** Stosujemy wzór \(\log_a m-\log_a n=\log_a\frac{m}{n}\): \[\log_{3}108-\log_{3}4=\log_{3}\frac{108}{4}=\log_{3}27.\] **Krok \(4\).** Obliczamy logarytm z definicji: pytamy, do której potęgi podnieść \(3\), żeby otrzymać \(27\). Ponieważ \(3^{3}=27\), mamy \[\log_{3}27=3.\] **Krok \(5\).** Zatem cała liczba jest równa \(3\). **Uwaga.** Różnica logarytmów to logarytm **ilorazu**, a nie logarytm różnicy — zapis \(\log_{3}(108-4)=\log_{3}104\) (odpowiedź C) jest błędny. Nie wolno też mylić \(2\log_{3}2\) z \(\log_{3}(2\cdot2)\)... tu akurat wychodzi to samo, bo \(2^{2}=2\cdot2\), ale przy innym współczynniku, np. \(3\log_{3}2=\log_{3}8\), a nie \(\log_{3}6\). **Odpowiedź.** A: \(3\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.9) Zdający stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na […] logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

**A.** \(\log_3 2-\log_3 18=\log_3\frac{2}{18}=\log_3\frac19=\log_3 3^{-2}=-2\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy sytuację: odejmujemy dwa logarytmy o tej samej podstawie \(3\). Służy do tego wzór na logarytm ilorazu \[\log_{a}x-\log_{a}y=\log_{a}\frac{x}{y}\qquad(x\gt0,\ y\gt0),\] który zwija całe wyrażenie do jednego logarytmu. **Krok \(2\).** Stosujemy wzór: \[\log_{3}2-\log_{3}18=\log_{3}\frac{2}{18}.\] **Krok \(3\).** Skracamy ułamek: \[\frac{2}{18}=\frac19.\] **Krok \(4\).** Zapisujemy \(\frac19\) jako potęgę trójki. Skoro \(9=3^{2}\), to \[\frac19=\frac{1}{3^{2}}=3^{-2}.\] **Krok \(5\).** Z definicji logarytmu (wykładnik, do którego podnosimy podstawę): \[\log_{3}3^{-2}=-2.\] **Uwaga.** Odejmowanie logarytmów odpowiada **dzieleniu** liczb logarytmowanych, a nie ich odejmowaniu — zapis \(\log_{3}(2-18)\) byłby bez sensu, bo logarytm liczby ujemnej nie istnieje. Znak wyniku łatwo przewidzieć: \(\log_{3}2\) jest mniejszy od \(\log_{3}18\), więc różnica musi być ujemna. **Odpowiedź.** A: \(-2\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.9) Zdający stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

**C.** \(1296\)

Ponieważ \(81=3^4\) oraz \(\log27=3\log3\), otrzymujemy \[81^{\frac{3\log6}{\log27}}=(3^4)^{\frac{\log6}{\log3}}=3^{4\log_3 6}=(3^{\log_3 6})^4=6^4=1296.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1. R2) Zdający stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

**C.** \(-1\)

Korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu: \[\log_3\left(\frac32\right)+\log_3\left(\frac29\right)=\log_3\left(\frac32\cdot\frac29\right)=\log_3\left(\frac13\right)=-1.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.1) Zdający wykonuje działania, w tym logarytmowanie, w zbiorze liczb rzeczywistych. I.9) Zdający posługuje się wzorem na logarytm iloczynu.

**D.** \(\log_7(xy^6)\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy cel: w treści mamy sumę dwóch logarytmów, a we wszystkich odpowiedziach stoi **jeden** logarytm. Trzeba więc zwinąć sumę, korzystając ze wzorów na działania na logarytmach. Przeszkadza współczynnik \(6\), więc najpierw pozbywamy się go wzorem na logarytm potęgi. **Krok \(2\).** Wzór na logarytm potęgi: \(n\log_{a}b=\log_{a}b^{n}\) (dla \(b\gt0\)). Współczynnik \(6\) stoi **tylko** przy logarytmie z \(y\), więc \[6\log_{7}y=\log_{7}y^{6}.\] Założenie \(y\gt0\) z treści gwarantuje, że wszystko ma sens. **Krok \(3\).** Wyrażenie przyjmuje postać sumy dwóch logarytmów o tej samej podstawie: \[\log_{7}x+6\log_{7}y=\log_{7}x+\log_{7}y^{6}.\] **Krok \(4\).** Stosujemy wzór na logarytm iloczynu: \(\log_{a}u+\log_{a}v=\log_{a}(uv)\): \[\log_{7}x+\log_{7}y^{6}=\log_{7}\left(x\cdot y^{6}\right)=\log_{7}\left(xy^{6}\right).\] **Uwaga.** Wykładnik \(6\) trafia wyłącznie na \(y\), bo tylko tego logarytmu dotyczył współczynnik — dlatego odpowiedź \(\log_{7}(xy)^{6}\) jest błędna (odpowiadałaby wyrażeniu \(6\log_{7}x+6\log_{7}y\)). Suma logarytmów daje iloczyn liczb logarytmowanych, więc odpowiedź z ilorazem \(\frac{x}{y^{6}}\) też odpada. **Odpowiedź.** D: \(\log_{7}\left(xy^{6}\right)\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.9) Zdający posługuje się wzorami na logarytm iloczynu i logarytm potęgi.

Lewa strona jest równa \(1\).

Korzystamy z faktu, że \(1=\log_2 2=\log_5 5\), oraz z własności logarytmów: \[\log_2 35+1=\log_2 35+\log_2 2=\log_2 70,\] \[\log_7 140-\log_7 2=\log_7\frac{140}{2}=\log_7 70,\] \[\log_5 7+\log_5 2+1=\log_5 7+\log_5 2+\log_5 5=\log_5 70.\] Zatem lewa strona ma postać \[\frac1{\log_2 70}+\frac1{\log_7 70}+\frac1{\log_5 70}.\] Ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu \[\frac1{\log_a b}=\log_b a\] otrzymujemy \[\log_{70}2+\log_{70}7+\log_{70}5=\log_{70}(2\cdot7\cdot5)=\log_{70}70=1.\] To należało wykazać.

**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania **2 pkt** – przekształcenie wyrażenia do postaci \(\log_{70}2+\log_{70}7+\log_{70}5\) **1 pkt** – przekształcenie wyrażenia do postaci \(\frac1{\log_2 70}+\frac1{\log_7 70}+\frac1{\log_5 70}\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** I.R) Zdający stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu.

C. \(4\)

Podstawa logarytmu i jego argument są potęgami trójki: \(\sqrt3=3^{\frac12}\) oraz \(9=3^2\). Szukamy wykładnika \(y\) takiego, że \[\left(3^{\frac12}\right)^{y}=3^{2},\qquad\text{czyli}\qquad 3^{\frac y2}=3^{2}.\] Potęgi o tej samej podstawie są równe wtedy, gdy równe są wykładniki, więc \(\frac y2=2\) i \(y=4\). **Odpowiedź.** **C.** \(4\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa - wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.1) Zdający wykonuje działania ([…] logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych.

\[\log_{12}80=\frac{2a+1}{a(1+b)}.\]

Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu: \[\log_{12}80=\frac{\log_4 80}{\log_4 12}=\frac{\log_4(16\cdot5)}{\log_4(4\cdot3)}=\frac{2+\log_4 5}{1+\log_4 3}.\] Z założenia \(\log_5 4=a\) i ponownej zmiany podstawy mamy \[\log_4 5=\frac1{\log_5 4}=\frac1a,\qquad \log_4 3=b.\] Zatem \[\log_{12}80=\frac{2+\frac1a}{1+b}=\frac{2a+1}{a(1+b)}.\]

**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania **2 pkt** – przekształcenie wyrażenia do postaci \(\frac{2\log_5 4+\log_4 3}{\log_5 4(1+\log_4 3)}\), \(\log_{12}80\) lub równoważnej, w której pozostaje jednokrotne zastosowanie odpowiedniego wzoru; albo zapisanie jednego poprawnego równania wykładniczego z niewiadomą **1 pkt** – zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu lub na logarytm iloczynu, zapisanie dwóch spośród liczb \(3,4,5\) jako potęg trzeciej albo równoważny istotny krok **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** 1.2 R) Zdający stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

**B.** \(3\)

**Krok \(1\).** Mamy różnicę dwóch logarytmów o tej samej podstawie \(2\). Do takiej sytuacji służy wzór \[\log_ab-\log_ac=\log_a\frac{b}{c}.\] Dzięki niemu zamiast dwóch trudnych logarytmów dostaniemy jeden łatwy. **Krok \(2\).** Stosujemy wzór: \[\log_240-\log_25=\log_2\frac{40}{5}.\] **Krok \(3\).** Wykonujemy dzielenie pod logarytmem: \[\frac{40}{5}=8,\qquad\text{więc}\qquad \log_2\frac{40}{5}=\log_28.\] **Krok \(4\).** Obliczamy \(\log_28\) z definicji logarytmu: to wykładnik, do którego trzeba podnieść \(2\), aby otrzymać \(8\). Ponieważ \(2^3=8\), mamy \[\log_28=3.\] **Uwaga.** Różnica logarytmów to logarytm ilorazu, a nie iloraz logarytmów ani logarytm różnicy. Zapisy \(\frac{\log_240}{\log_25}\) czy \(\log_2 35\) są tu błędne. **Odpowiedź.** B: \(3\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.6) Zdający wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzór na logarytm ilorazu.

**C, E.**

Korzystając ze wzoru na logarytm iloczynu, otrzymujemy \[\log_2 16+\log_2 9=\log_2(16\cdot9)=\log_2 144,\] więc prawdziwa jest odpowiedź **C**. Ponadto \[\log_2 16+\log_2 9=4+\log_2(3^2)=4+2\log_2 3,\] więc prawdziwa jest odpowiedź **E**.

**2 pkt** – wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi: **C** i **E** **1 pkt** – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna **0 pkt** – odpowiedzi niepoprawne albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.1) Zdający wykonuje działania, w tym logarytmowanie, w zbiorze liczb rzeczywistych. I.9) Zdający posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi.

\[\log_4 49=ab.\]

Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu oraz ze wzoru na logarytm potęgi: \[\log_4 49=\frac{\log_3 49}{\log_3 4}=\frac{2\log_3 7}{2\log_3 2}=b\cdot\frac1{\log_3 2}.\] Ponieważ \[\frac1{\log_3 2}=\log_2 3=a,\] to \[\log_4 49=ab.\]

**3 pkt** – zastosowanie ciągu poprawnych przekształceń i otrzymanie \(\log_4 49=ab\) **2 pkt** – zastosowanie wzoru na zamianę podstawy do \(\log_3 4\) i przekształcenie \(\log_3 4\) do postaci \(\frac2a\) **1 pkt** – zastosowanie wzoru na zamianę podstawy i zapisanie \(\log_4 49\) za pomocą logarytmów o podstawie \(3\), np. \(\log_4 49=\frac{\log_3 49}{\log_3 4}\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa; wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych i stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.1) Zdający wykonuje działania, w tym logarytmowanie, w zbiorze liczb rzeczywistych. I.9) Zdający stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem oraz wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi. I.R1) Zdający stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu.

**B.** \(2\)

**Krok \(1\).** Mamy różnicę dwóch logarytmów o **tej samej podstawie** \(7\). To sygnał, by zastosować wzór na logarytm ilorazu: \[\log_a x-\log_a y=\log_a\frac{x}{y}.\] **Krok \(2\).** Stosujemy go do naszego wyrażenia: \[\log_798-\log_72=\log_7\frac{98}{2}=\log_749.\] **Krok \(3\).** Zauważamy, że \(49=7^2\), a więc argument logarytmu jest potęgą jego podstawy: \[\log_749=\log_77^2.\] **Krok \(4\).** Z definicji logarytmu \(\log_a a^k=k\), zatem \(\log_77^2=2\). **Krok \(5\).** Można też pomyśleć wprost: \(\log_749\) to wykładnik, do którego trzeba podnieść \(7\), aby otrzymać \(49\). Ponieważ \(7^2=49\), tym wykładnikiem jest \(2\). **Uwaga.** Odejmowanie logarytmów odpowiada **dzieleniu** liczb stojących pod logarytmami. Odjęcie ich od siebie (\(98-2=96\)) jest błędem — wtedy wynik nie byłby liczbą całkowitą i żadna z odpowiedzi by nie pasowała. **Odpowiedź.** B: \(2\)

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** I.9 stosowanie związku logarytmowania z potęgowaniem oraz wzorów na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi.

\[a-b=2023.\]

Obliczamy \(a\): \[a=4^{\log_2 45}=(2^2)^{\log_2 45}=2^{2\log_2 45}=45^2=2025.\] Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu: \[b=\frac{\log_3 2023}{\log_9 2023}=\frac{\log_3 2023}{\frac{\log_3 2023}{\log_3 9}}=\log_3 9=2.\] Zatem \[a-b=2025-2=2023.\]

**2 pkt** – poprawne obliczenie \(a-b=2023\) **1 pkt** – obliczenie \(a=45^2\) albo obliczenie \(b=2\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.R1) Zdający stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu.

**D.** \(4\)

Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu: \[\log_{\sqrt2}3=\frac{\log_2 3}{\log_2\sqrt2}=\frac{\log_2 3}{\frac12}=2\log_2 3,\] \[\log_{\sqrt3}2=\frac{\log_3 2}{\log_3\sqrt3}=\frac{\log_3 2}{\frac12}=2\log_3 2.\] Zatem \[\log_{\sqrt2}3\cdot\log_{\sqrt3}2=4\log_2 3\cdot\log_3 2=4,\] ponieważ \(\log_2 3\cdot\log_3 2=1\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Element podstawy programowej:** posługiwanie się definicją logarytmu, wzorem na zmianę podstawy logarytmu oraz własnościami logarytmów. Klucz CKE dla tego arkusza w formule 2015 nie podaje osobnego kodu wymagania.

**A.** \(-1\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy: oba logarytmy mają tę samą podstawę \(2\), a liczby \(\frac18\) i \(4\) są potęgami dwójki. Najprościej policzyć każdy logarytm osobno wprost z definicji: \(\log_{a}b\) to wykładnik, do którego podnosimy \(a\), aby otrzymać \(b\). **Krok \(2\).** Zapisujemy \(\frac18\) jako potęgę dwójki. Skoro \(8=2^{3}\), to \[\frac18=\frac{1}{2^{3}}=2^{-3}.\] **Krok \(3\).** Stąd \[\log_{2}\frac18=\log_{2}2^{-3}=-3.\] **Krok \(4\).** Podobnie \(4=2^{2}\), więc \[\log_{2}4=\log_{2}2^{2}=2.\] **Krok \(5\).** Dodajemy otrzymane wartości: \[\log_{2}\frac18+\log_{2}4=-3+2=-1.\] **Krok \(6\).** Ten sam wynik daje wzór na sumę logarytmów o wspólnej podstawie: \[\log_{2}\frac18+\log_{2}4=\log_{2}\left(\frac18\cdot4\right)=\log_{2}\frac12=-1.\] **Uwaga.** Przy podstawie większej od \(1\) logarytm liczby mniejszej od \(1\) jest ujemny — minus przy \(3\) nie jest przypadkiem. Suma logarytmów odpowiada **iloczynowi** liczb logarytmowanych, a nie ich sumie. **Odpowiedź.** A: \(-1\)

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Element podstawy programowej:** logarytmy; zdający posługuje się definicją logarytmu i związkiem logarytmowania z potęgowaniem.

**A.** \(-1\)

Ponieważ \(\frac18=2^{-3}\) oraz \(4=2^2\), mamy \[\log_2\frac18+\log_2 4=-3+2=-1.\]

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** I.9 zdający stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem i posługuje się własnościami logarytmów.

**D.** \(5\)

**Krok \(1\).** Odejmujemy dwa logarytmy o **tej samej podstawie** \(2\), więc korzystamy ze wzoru na logarytm ilorazu: \[\log_a x-\log_a y=\log_a\frac{x}{y}.\] **Krok \(2\).** Podstawiamy nasze liczby: \[\log_296-\log_23=\log_2\frac{96}{3}=\log_232.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy \(32\) jako potęgę dwójki: \(32=2^5\) (bo \(2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32\)). **Krok \(4\).** Korzystamy z zależności \(\log_a a^k=k\): \[\log_232=\log_22^5=5.\] **Uwaga.** Odpowiedź **A** (\(\log_293\)) bierze się z odjęcia liczb pod logarytmami, czyli \(96-3\). Taki wzór nie istnieje: różnicy logarytmów odpowiada iloraz argumentów. Odpowiedź **B** to z kolei efekt odjęcia \(3\) od \(96\) w innym miejscu — również błędny. **Odpowiedź.** D: \(5\)

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** I.1 i I.9 wykonywanie logarytmowania w zbiorze liczb rzeczywistych oraz stosowanie związku logarytmowania z potęgowaniem i wzoru na logarytm ilorazu.

\(a^{b+1}=4\sqrt[3]{36}\)

Korzystając ze zmiany podstawy logarytmu, obliczamy \[a=\left(\log_{\sqrt5}2\right)\log_2 25=\frac{\log_5 2}{\log_5\sqrt5}\cdot\frac{\log_5 25}{\log_5 2}=4.\] Ponadto \[b=\frac{\log_5 6}{\log_5 8}=\log_8 6=\log_2\sqrt[3]{6}.\] Zatem \[a^{b+1}=4^{\log_2\sqrt[3]{6}+1}=2^{2\log_2\sqrt[3]{6}}\cdot4=4\sqrt[3]{36}.\]

**3 pkt** – poprawne obliczenie \(a^{b+1}=4\sqrt[3]{36}\) **2 pkt** – obliczenie \(a=4\) oraz sprowadzenie \(b\) do postaci \(\log_2\sqrt[3]{6}\) **1 pkt** – poprawne obliczenie \(a\) albo poprawne uproszczenie \(b\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** I oraz III.1 wykonywanie obliczeń i przekształceń oraz dobieranie reprezentacji matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.1 i I.1R działania na potęgach i logarytmach, w tym stosowanie wzoru na zmianę podstawy logarytmu.

**C.** \(1000\)

Z wykresu odczytujemy, że dla \(t=3\) zachodzi \(\log K(3)=3\). Logarytm jest dziesiętny, więc \(K(3)=10^3=1000\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II.1 interpretowanie informacji przedstawionych na wykresie. **Wymagania szczegółowe:** I.9 stosowanie związku logarytmowania z potęgowaniem.

**B.** \(7\)

Korzystamy z równości \(\sqrt2=2^{1/2}\): \[(\sqrt2)^2(\sqrt2)^4(\sqrt2)^8=2^1\cdot2^2\cdot2^4=2^7.\] Zatem \(\log_2(2^7)=7\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** I.1 i I.9 wykonywanie działań, potęgowanie, pierwiastkowanie i stosowanie związku logarytmowania z potęgowaniem.

**D.** \(2\)

Ponieważ \(27=3^3\), \(3=3^1\) i \(9=3^2\), mamy \[\log_9 27+\log_9 3=\frac32+\frac12=2.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** I.1 zdający wykonuje działania, w tym logarytmowanie, w zbiorze liczb rzeczywistych.

\[81^{\log_3x}+\frac{2\cdot\log_2\sqrt{27}\cdot\log_3 2}{3}\,x^2-6x=x^4+x^2-6x.\]

Dla \(x>0\) korzystamy z własności potęg i logarytmów: \[81^{\log_3x}=(3^4)^{\log_3x}=3^{\log_3x^4}=x^4.\] Ponadto, ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu, \[\log_2\sqrt{27}=\log_2 3^{3/2}=\frac32\log_2 3,\] więc \[\frac{2\cdot\log_2\sqrt{27}\cdot\log_3 2}{3}=\log_2 3\cdot\log_3 2=\frac{\log_2 3}{\log_2 3}=1.\] Zatem \[81^{\log_3x}+\frac{2\cdot\log_2\sqrt{27}\cdot\log_3 2}{3}\,x^2-6x=x^4+x^2-6x.\]

**2 pkt** – poprawne przekształcenie całego wyrażenia do postaci \(x^4+x^2-6x\) **1 pkt** – poprawne zastosowanie własności \(a^{\log_a b}=b\) i otrzymanie \(81^{\log_3x}=x^4\) albo poprawne zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja; 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. I. Sprawność rachunkowa; wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych i stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych. **Wymagania szczegółowe:** I.9) Zdający stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

**A.** \(-\frac14\)

Mamy \(\log_{25}1=0\) oraz \(\log_{25}5=\frac12\), ponieważ \(25^{1/2}=5\). Zatem \[\log_{25}1-\frac12\log_{25}5=0-\frac12\cdot\frac12=-\frac14.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste - wykonywanie działań na logarytmach.

**D.** \(\frac{3a+1}{2b+a}\)

Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu: \[\log_{18}40=\frac{\log_5 40}{\log_5 18}.\] Ponieważ \(40=5\cdot2^3\) oraz \(18=2\cdot3^2\), mamy \[\log_5 40=1+3a,\qquad\log_5 18=a+2b.\] Zatem \[\log_{18}40=\frac{3a+1}{a+2b}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R1.2 stosowanie wzoru na logarytm potęgi oraz wzoru na zmianę podstawy logarytmu.

**B.** \(\log36\)

**Krok \(1\).** Najpierw rozszyfrowujemy polecenie: liczba dwukrotnie większa od danej to ta dana liczba pomnożona przez \(2\). Mamy więc obliczyć \(2\left(\log 3+\log 2\right)\) i zapisać wynik jako jeden logarytm. **Krok \(2\).** Upraszczamy nawias. Suma logarytmów o tej samej podstawie to logarytm iloczynu: \[\log 3+\log 2=\log(3\cdot 2)=\log 6.\] **Krok \(3\).** Podwajamy otrzymaną liczbę: \[2\left(\log 3+\log 2\right)=2\log 6.\] **Krok \(4\).** Mnożnik przed logarytmem wciągamy jako wykładnik liczby logarytmowanej: \[2\log 6=\log 6^{2}=\log 36.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy rzędem wielkości: \(\log 6\approx 0{,}778\), więc \(2\log 6\approx 1{,}556\), a \(\log 36\approx 1{,}556\) — zgadza się. **Uwaga.** Typowa pułapka to odpowiedź \(\log 12\). Powstaje, gdy ktoś pomnoży przez \(2\) liczbę logarytmowaną zamiast sam logarytm. Tymczasem \(\log 12=\log 6+\log 2\), a to nie jest podwojenie \(\log 6\). **Odpowiedź.** B. \(\log 36\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.6 wykorzystywanie definicji logarytmu oraz wzorów na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi o wykładniku naturalnym.

\[\frac92.\]

Stosujemy wzór na zmianę podstawy logarytmu: \[\log_{25}27=\frac{\log_3 27}{\log_3 25}=\frac3{2\log_3 5}.\] Ponadto \[\log_7\sqrt[6]{49}=\log_7(7^2)^{1/6}=\log_7 7^{1/3}=\frac13.\] Zatem \[\frac{\log_3 5\cdot\log_{25}27}{\log_7\sqrt[6]{49}}=\frac{\log_3 5\cdot\frac3{2\log_3 5}}{\frac13}=\frac32\cdot3=\frac92.\]

**2 pkt** – poprawne zastosowanie wzorów na logarytm potęgi i zmianę podstawy oraz wynik \(\frac92\) **1 pkt** – zastosowanie wzoru na zmianę podstawy logarytmu i poprawne zapisanie przekształconego wyrażenia **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji oraz operowanie obiektami matematycznymi. **Wymagania szczegółowe:** I.9 i I.R1 stosowanie związku logarytmowania z potęgowaniem, wzorów na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi oraz wzoru na zmianę podstawy logarytmu.

**B.** \(-\frac12\)

Ponieważ \(\sqrt{10}=10^{\frac12}\), to \[f(\sqrt{10})=-\log\sqrt{10}=-\log 10^{\frac12}=-\frac12\log 10=-\frac12.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** I.4, I.9 i V.2 stosowanie związku pierwiastkowania z potęgowaniem, związku logarytmowania z potęgowaniem i wzoru na logarytm potęgi oraz obliczanie wartości funkcji zadanej wzorem algebraicznym.

**A.** \(\frac43\)

Mamy \(\sqrt{27}=3^{3/2}\) oraz \(\sqrt3=3^{1/2}\), zatem \[\log_3\sqrt{27}=\frac32,\qquad\log_{27}\sqrt3=\log_{3^3}3^{1/2}=\frac16.\] Wobec tego \[\frac32-\frac16=\frac43.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R1.2 stosowanie wzoru na logarytm potęgi oraz wzoru na zmianę podstawy logarytmu.

**C.** \(5\)

Mamy \(\log_4 2=\frac12\) oraz \(\log_4 8=\frac32\). Zatem \[4\log_4 2+2\log_4 8=4\cdot\frac12+2\cdot\frac32=2+3=5.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.6 wykorzystywanie definicji logarytmu oraz wzorów na logarytm iloczynu i potęgi o wykładniku naturalnym.

**A.** \(2\)

**Krok \(1\).** Mamy różnicę dwóch logarytmów o tej samej podstawie \(2\). Prowadzą tu dwie drogi: policzyć każdy logarytm osobno z definicji albo najpierw zastosować wzór na logarytm ilorazu. Pokażemy obie — dają ten sam wynik. **Krok \(2\).** Droga pierwsza, z definicji. Logarytm \(\log_2 32\) to wykładnik, do którego podnosimy \(2\), by otrzymać \(32\): \[2^5=32\ \Rightarrow\ \log_232=5.\] **Krok \(3\).** Podobnie dla drugiego składnika: \[2^3=8\ \Rightarrow\ \log_28=3.\] **Krok \(4\).** Odejmujemy otrzymane liczby: \[\log_232-\log_28=5-3=2.\] **Krok \(5\).** Droga druga, ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie: \[\log_232-\log_28=\log_2\frac{32}{8}=\log_24=2,\] bo \(2^2=4\). **Uwaga.** Różnica logarytmów odpowiada dzieleniu argumentów, a nie ich odejmowaniu: \(\log_232-\log_28\neq\log_2 24\). Odpowiedzi B, C i D biorą się właśnie z działań wykonanych na argumentach (\(32-8=24\), \(32:2=16\) itd.). **Odpowiedź.** A: \(2\)

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** I.6 posługiwanie się wzorami na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi.

**A.** \(1\)

Korzystamy ze związku logarytmu z potęgowaniem: \[\log_5 5=1,\qquad \log_5 625=\log_5 5^4=4.\] Zatem \[2\log_5 5+1-\frac12\log_5 625=2\cdot1+1-\frac12\cdot4=1.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa - wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych i stosowanie praw działań matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.9 stosowanie związku logarytmowania z potęgowaniem oraz wzorów na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi.

C. c+\(1\)

Argument \(54\) rozkładamy tak, aby pojawiła się dana liczba \(18\): \[54=18\cdot3.\] Ze wzoru na logarytm iloczynu oraz z równości \(\log_3 3=1\) otrzymujemy \[\log_3 54=\log_3(18\cdot3)=\log_3 18+\log_3 3=c+1.\] **Odpowiedź.** **C.** \(c+1\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 3. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

\[\log_3 54=\frac{3c+2}{c}.\]

Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu: \[\log_3 54=\frac{\log_2 54}{\log_2 3}.\] Ponieważ \(54=27\cdot2\), otrzymujemy \[\log_2 54=3\log_2 3+1.\] Z założenia \[c=\log_2 9=2\log_2 3,\qquad \log_2 3=\frac c2.\] Zatem \[\log_3 54=\frac{3\cdot\frac c2+1}{\frac c2}=\frac{3c+2}{c},\] co kończy dowód.

**3 pkt** – pełny poprawny dowód prowadzący do \(\log_3 54=\frac{3c+2}{c}\) **2 pkt** – przekształcenie jednej lub obu stron do postaci, od której do tezy brakuje zastosowania jednego wzoru albo jednego przekształcenia **1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru na zmianę podstawy albo własności logarytmu iloczynu, ilorazu lub potęgi **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie dowodu algebraicznego. **Wymagania szczegółowe:** stosowanie definicji i własności logarytmów, w tym wzoru na zmianę podstawy logarytmu.

**C.** \(4\)

Logarytmy mają podstawę \(10\). Ponieważ \(\sqrt{10}=10^{1/2}\), otrzymujemy \[2\log\sqrt{10}+\log10^3=2\cdot\frac12+3=4.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.6 wykorzystywanie definicji logarytmu i wzoru na logarytm potęgi.

Ze wzoru na zamianę podstawy \(\log_{3}4=\frac{\log_{2}4}{\log_{2}3}\). Z równości \(c=\log_{2}18=\log_{2}\left(2\cdot 3^{2}\right)=1+2\log_{2}3\) wynika \(\log_{2}3=\frac{c-1}{2}\), zatem \(\log_{3}4=\frac{2}{\frac{c-1}{2}}=\frac{4}{c-1}\).

**Krok \(1\).** Metoda: przechodzimy z logarytmu o podstawie \(3\) na logarytmy o podstawie \(2\) (bo w podstawie \(2\) jest wyrażona liczba \(c\)), korzystając ze wzoru na zamianę podstawy \[\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}.\] **Krok \(2\).** Rozkładamy liczbę \(18\) na czynniki: \(18=2\cdot 9=2\cdot 3^{2}\). **Krok \(3\).** Korzystamy ze wzorów na logarytm iloczynu i logarytm potęgi: \[c=\log_{2}18=\log_{2}2+\log_{2}3^{2}=1+2\log_{2}3.\] **Krok \(4\).** Wyznaczamy stąd \(\log_{2}3\): \[\log_{2}3=\frac{c-1}{2}.\] Zauważmy, że \(\log_{2}3\gt 0\), więc \(c-1\gt 0\), czyli \(c\neq 1\) i dalej możemy przez \(c-1\) dzielić. **Krok \(5\).** Zamieniamy podstawę w wyrażeniu \(\log_{3}4\): \[\log_{3}4=\frac{\log_{2}4}{\log_{2}3}.\] **Krok \(6\).** Obliczamy licznik: \(\log_{2}4=\log_{2}2^{2}=2\). **Krok \(7\).** Podstawiamy wyniki z kroków \(4\) i \(6\): \[\log_{3}4=\frac{2}{\frac{c-1}{2}}=2\cdot\frac{2}{c-1}=\frac{4}{c-1}.\] To należało wykazać. **Uwaga.** Warto samodzielnie sprawdzić rachunek liczbowo: \(c=\log_{2}18\approx 4{,}17\), więc \(\frac{4}{c-1}\approx\frac{4}{3{,}17}\approx 1{,}26\), a \(\log_{3}4\approx 1{,}26\) — zgadza się. **Odpowiedź.** Dla \(c=\log_{2}18\) zachodzi \(\log_{3}4=\frac{4}{c-1}\).

**1 pkt** – gdy podczas przekształcenia wyrażenia \(\log_{3}4\) lub \(\frac{4}{\log_{2}18-1}\) poprawnie zastosuje wzór na zamianę podstaw logarytmu lub logarytm ilorazu/iloczynu, lub logarytm potęgi, np.: \(\log_{3}4=\frac{\log_{2}4}{\log_{2}3}\), \(\frac{4}{\log_{2}18-1}=\frac{4}{\log_{2}\frac{18}{2}}\), \(\log_{3}4=2\log_{3}2\), \(\log_{2}18=\log_{2}2+\log_{2}9\) **2 pkt** – gdy: • przekształci wyrażenie \(\log_{3}4\) lub \(\frac{4}{\log_{2}18-1}\) lub oba te wyrażenia do takiej postaci, z której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na zamianę podstaw logarytmu lub logarytm ilorazu/iloczynu, lub logarytm potęgi oraz ewentualne kilkukrotne przekształcenie wyrażenia wymiernego uzyskuje się tezę ALBO • wyznaczy \(\log_{2}3\) w zależności od \(c\): \(\log_{2}3=\frac{c-1}{2}\) **3 pkt** – gdy, stosując poprawną metodę, przeprowadzi pełny dowód. **Uwaga:** Jeżeli zdający, przy rozpoczęciu przekształcania wyrażenia \(\log_{3}4\) lub \(\frac{4}{\log_{2}18-1}\), popełnia błąd rzeczowy (niepoprawnie zastosuje wzór na zamianę podstaw logarytmu lub logarytm ilorazu/iloczynu, lub logarytm potęgi), lecz w dalszej części rozwiązania każdorazowo stosuje te wzory poprawnie, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej \(1\) punkt.

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** R1.2) Zdający stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

**C.** \(\frac1{\log_3\sqrt2}\)

Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu: \[\frac1{\log_3\sqrt2}=\log_{\sqrt2}3.\] Ponieważ \(\sqrt2=2^{1/2}\), mamy \[\log_{\sqrt2}3=\frac{\log_2 3}{\log_2\sqrt2}=\frac{\log_2 3}{1/2}=2\log_2 3=\log_2 9.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R1.2 stosowanie wzoru na logarytm potęgi oraz wzoru na zamianę podstawy logarytmu.

**B.** \(7\log_5 2\)

Ponieważ \(4=2^2\) oraz \(\frac12=2^{-1}\), mamy \[2\log_5 4-3\log_5\frac12=2\cdot2\log_5 2-3(-\log_5 2)=7\log_5 2.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.6 stosowanie wzorów na logarytm potęgi i ilorazu.

**C.** \(2\)

**Krok \(1\).** Mamy sumę dwóch logarytmów o tej samej podstawie \(6\), przy czym przed drugim stoi współczynnik \(2\). Do takiej sytuacji pasują dwa wzory: \(n\log_ab=\log_ab^n\) oraz \(\log_ab+\log_ac=\log_a(b\cdot c)\). Stosujemy je po kolei. **Krok \(2\).** Najpierw wciągamy dwójkę do logarytmu jako wykładnik: \[2\log_62=\log_62^2=\log_64.\] **Krok \(3\).** Teraz mamy sumę dwóch logarytmów o tej samej podstawie, więc zamieniamy ją na logarytm iloczynu: \[\log_69+\log_64=\log_6(9\cdot4)=\log_6 36.\] **Krok \(4\).** Obliczamy \(\log_636\) wprost z definicji: to wykładnik, do którego trzeba podnieść \(6\), aby otrzymać \(36\). Ponieważ \(6^2=36\), mamy \[\log_636=2.\] **Uwaga.** Suma logarytmów to logarytm iloczynu, a nie logarytm sumy. Zapis \(\log_69+\log_64=\log_6 13\) jest błędny — takie właśnie pomyłki prowadzą do odpowiedzi A i D. **Odpowiedź.** C: \(2\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** 1.6 stosowanie definicji logarytmu oraz wzorów na logarytm iloczynu i potęgi.

D. \(\frac{3}{2}\)

Argument zapisujemy jako potęgę podstawy logarytmu. Ponieważ \(125=5^3\), mamy \[\sqrt{125}=\left(5^3\right)^{\frac12}=5^{\frac32}.\] Z definicji logarytmu \(\log_a a^k=k\) dla \(a>0\) i \(a\neq1\), zatem \[\log_5\sqrt{125}=\log_5 5^{\frac32}=\frac32.\] **Odpowiedź.** **D.** \(\frac32\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Poprawna odpowiedź: […]

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** 1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym (1.6).

C. \(32\)

**Krok \(1\).** Mamy obliczyć \(\log_{\sqrt2}4^{8}\). Zarówno podstawa logarytmu, jak i liczba logarytmowana są potęgami dwójki, więc sprowadzamy wszystko do podstawy \(2\). Przypomnijmy: \(\log_{a}b\) to wykładnik, do którego trzeba podnieść \(a\), aby otrzymać \(b\). **Krok \(2\).** Zamieniamy liczbę logarytmowaną: \[4^{8}=\left(2^{2}\right)^{8}=2^{2\cdot8}=2^{16}.\] **Krok \(3\).** Zamieniamy podstawę: \[\sqrt2=2^{\frac12}.\] **Krok \(4\).** Oznaczmy szukany logarytm przez \(x\). Z definicji logarytmu: \[\left(2^{\frac12}\right)^{x}=2^{16}\quad\Longrightarrow\quad 2^{\frac{x}{2}}=2^{16}.\] **Krok \(5\).** Potęgi o tej samej podstawie są równe dokładnie wtedy, gdy równe są ich wykładniki: \[\frac{x}{2}=16\quad\Longrightarrow\quad x=32.\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy: \(\left(\sqrt2\right)^{32}=2^{16}=65536\), a \(4^{8}=65536\). Zgadza się. **Uwaga.** Podstawa \(\sqrt2\) jest mniejsza niż \(2\), więc logarytm musi wyjść większy niż \(16\). Wariant \(16\) to wartość \(\log_{2}4^{8}\), czyli wynik przy pomyleniu podstawy. **Odpowiedź.** C, czyli \(32\).

Zadanie 3. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

\[\log_ab\in\left\{3,\frac23\right\}.\]

Oznaczmy \[t=\log_ab.\] Ponieważ \(a>1\) i \(b>1\), mamy \(t>0\). Sprowadzamy wszystkie logarytmy do podstawy \(a\). Jeśli \(L=\log_aN\), to \(L>0\), a ponadto \[\log_{a^2b}N=\frac{L}{2+t},\qquad \log_bN=\frac{L}{t}.\] Równość z zadania przyjmuje postać \[\frac{L}{2+t}=\frac3{20}\left(L+\frac Lt\right).\] Dzielimy przez dodatnie \(L\) i mnożymy przez \(20t(2+t)\): \[20t=3(t+1)(t+2).\] Po uporządkowaniu \[3t^2-11t+6=0,\qquad (3t-2)(t-3)=0.\] Stąd \(t=\frac23\) lub \(t=3\), czyli \[\log_ab\in\left\{\frac23,3\right\}.\]

**4 pkt** – wyznaczenie obu wartości: \(\log_ab=3\) lub \(\log_ab=\frac23\) **3 pkt** – sprowadzenie zależności do równania kwadratowego \(3t^2-11t+6=0\) **2 pkt** – zapisanie równania wymiernego \(\frac{20}{t+2}=3+\frac3t\) dla \(t=\log_ab\) **1 pkt** – poprawne sprowadzenie wszystkich logarytmów do podstawy \(a\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** stosowanie wzoru na zmianę podstawy logarytmu i własności logarytmów.

\[a-b=9.\]

Korzystając z własności logarytmów, obliczamy \[a=3\log_2 12-\log_2 27=\log_2 12^3-\log_2 27=\log_2\frac{1728}{27}=\log_2 64=6.\] Następnie \[b=(\sqrt6-\sqrt7)\cdot3(\sqrt6+\sqrt7)=3(6-7)=-3.\] Zatem \[a-b=6-(-3)=9.\]

**2 pkt** – obliczenie \(a-b=9\) **1 pkt** – obliczenie \(a=6\) albo \(b=-3\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.6 i 2.1 stosowanie własności logarytmów oraz wzoru na różnicę kwadratów.

**D.** \(\log(5^2\cdot2^3)\)

Korzystamy ze wzorów \(a\log b=\log b^a\) oraz \(\log u+\log v=\log(uv)\): \[2\log5+3\log2=\log5^2+\log2^3=\log(5^2\cdot2^3).\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste - stosowanie własności logarytmów.

**B.** \(2\)

Mamy \(\log_3 27=3\) oraz \[\log_3\sqrt{27}=\log_3 27^{1/2}=\frac32.\] Zatem \[\frac{\log_3 27}{\log_3\sqrt{27}}=\frac3{3/2}=2.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje odpowiedzi, bez osobnej tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** logarytmy - definicja logarytmu i logarytm potęgi.

**A.** \(2\)

Szukamy wykładnika \(y\), dla którego \(\left(\sqrt2\right)^{y}=2\). Ponieważ \(\left(\sqrt2\right)^2=2\), mamy \[\log_{\sqrt2}2=2.\] **Odpowiedź.** **A.** \(2\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 1. (0−1) Poprawna Wymagania ogólne Wymagania szczegółowe odpowiedź 1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje Wersja Wersja II. Wykorzystanie definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach I II i interpretowanie wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu reprezentacji. i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym A D (1.6).

**D.** \(1\)

Ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu mamy \[\log_{1/x}y=\frac{\log_xy}{\log_x(1/x)}=-\log_xy\] oraz analogicznie \(\log_{1/y}x=-\log_yx\). Zatem \[\left(\log_{1/x}y\right)\left(\log_{1/y}x\right)=\log_xy\cdot\log_yx=1.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R1.2 stosowanie wzoru na logarytm potęgi oraz wzoru na zmianę podstawy logarytmu.

**A.** \(2\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, co oznacza symbol \(\log_{\sqrt7}7\). Z definicji logarytm \(\log_{a}b\) to **wykładnik**, do którego trzeba podnieść podstawę \(a\), aby otrzymać liczbę \(b\). Pytanie brzmi więc: do której potęgi podnieść \(\sqrt7\), żeby dostać \(7\)? **Krok \(2\).** Oznaczamy szukaną wartość przez \(c\), czyli \(\log_{\sqrt7}7=c\). Z definicji logarytmu \[\left(\sqrt7\right)^{c}=7.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy obie strony jako potęgi tej samej liczby \(7\). Pierwiastek kwadratowy to potęga o wykładniku \(\tfrac12\), czyli \(\sqrt7=7^{\frac12}\), więc \[\left(7^{\frac12}\right)^{c}=7^{\frac{c}{2}}\qquad\text{oraz}\qquad 7=7^{1}.\] **Krok \(4\).** Potęgi o tej samej podstawie (różnej od \(1\)) są równe dokładnie wtedy, gdy równe są ich wykładniki: \[\frac{c}{2}=1\ \Longrightarrow\ c=2.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy: \(\left(\sqrt7\right)^{2}=7\), czyli rzeczywiście podniesienie \(\sqrt7\) do kwadratu daje \(7\). **Uwaga.** Wartością logarytmu jest wykładnik, a nie liczba logarytmowana ani podstawa — dlatego odpowiedzi \(7\) i \(\sqrt7\) odpadają z definicji. Warto zapamiętać ogólną regułę: \(\log_{\sqrt{a}}a=2\) dla każdego \(a\gt0\), \(a\neq1\). **Odpowiedź.** A: \(2\)

Zadanie 1. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**D.** \(L=4\)

Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu: \[L=\frac{\ln2}{\ln\sqrt2}\cdot\frac{\ln\sqrt3}{\ln2}\cdot\frac{\ln4}{\ln\sqrt3}=\frac{\ln4}{\ln\sqrt2}=\log_{\sqrt2}4=4.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje wyłącznie odpowiedzi. **Klasyfikacja rzeczowa:** potęgi i logarytmy - zmiana podstawy logarytmu oraz działania na logarytmach.

D. \(b\gt c\gt a\)

**Krok \(1\).** Dane są trzy logarytmy o różnych podstawach: \[a=\log_{\frac12}8,\qquad b=\log_48,\qquad c=\log_4\tfrac12.\] Na oko ich nie porównamy — trzeba policzyć każdy osobno. Korzystamy z definicji: \(\log_pq\) to wykładnik, do którego trzeba podnieść \(p\), aby otrzymać \(q\). **Krok \(2\).** Liczymy \(a\): szukamy takiego \(t\), że \(\left(\tfrac12\right)^t=8\). Ponieważ \(\left(\tfrac12\right)^{-3}=2^3=8\), mamy \[a=-3.\] **Krok \(3\).** Liczymy \(b\): szukamy \(t\) takiego, że \(4^t=8\). Sprowadzamy obie strony do podstawy \(2\): \[2^{2t}=2^3\iff 2t=3\iff t=\tfrac32,\] więc \(b=\tfrac32\). **Krok \(4\).** Liczymy \(c\): szukamy \(t\) takiego, że \(4^t=\tfrac12\). Znowu przez podstawę \(2\): \[2^{2t}=2^{-1}\iff 2t=-1\iff t=-\tfrac12,\] więc \(c=-\tfrac12\). **Krok \(5\).** Ustawiamy trzy liczby w kolejności malejącej: \[\tfrac32\gt-\tfrac12\gt-3,\] czyli \(b\gt c\gt a\). **Krok \(6\).** To wariant **D**. **Uwaga.** Warto zapamiętać dwa sygnały porządkujące znak logarytmu: logarytm o podstawie z przedziału \((0,1)\) z liczby większej od \(1\) jest ujemny (stąd \(a\lt0\)), a logarytm o podstawie większej od \(1\) z liczby mniejszej od \(1\) też jest ujemny (stąd \(c\lt0\)). Największa musi więc być liczba \(b\). **Odpowiedź.** D: \(b\gt c\gt a\)

Zadanie 2. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**B.** \(2\)

Najpierw wzór na logarytm potęgi, potem na logarytm ilorazu: \[2\log_3 6-\log_3 4=\log_3 6^2-\log_3 4=\log_3\frac{36}{4}=\log_3 9.\] Ponieważ \(9=3^2\), wynik wynosi \(2\). **Odpowiedź.** **B.** \(2\)

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **1.6:** zdający wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi.

**C.** \(1\)

Korzystamy z zależności \(\frac1{\log_a b}=\log_b a\): \[2\log_5 10-\frac1{\log_{20}5}=\log_5 10^2-\log_5 20=\log_5\frac{100}{20}=\log_5 5=1.\]

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R1.2 zdający stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

**D.** \(2\)

Korzystamy ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie: \[\log_a b-\log_a c=\log_a\frac{b}{c}\qquad (b,c>0).\] Zatem \[\log_4 96-\log_4 6=\log_4\frac{96}{6}=\log_4 16=2,\] bo \(4^{2}=16\). **Odpowiedź.** \(2\), czyli odpowiedź **D**.

**1 pkt** – odpowiedź D **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** liczby rzeczywiste - logarytm ilorazu i definicja logarytmu.

**B.** \(\log_2 50\)

Korzystamy ze zmiany podstawy logarytmu: \[\log_4 25=\frac{\log_2 25}{\log_2 4}=\frac12\log_2 25=\log_2 5.\] Zatem \[\log_4 25+\log_2 10=\log_2 5+\log_2 10=\log_2 50.\]

**1 pkt** – odpowiedź B **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** logarytmy - zmiana podstawy oraz logarytm iloczynu.

**D.** \(3\)

Mamy \(\log_3 27=3\) oraz \(\log_3 1=0\), więc różnica wynosi \(3\).

**1 pkt** – odpowiedź D **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** Obliczanie wartości logarytmu.

**A.** \(\log_2\frac9{25}\)

**Krok \(1\).** W odpowiedziach stoi jeden logarytm, a w zadaniu mamy różnicę dwóch. Trzeba więc scalić wyrażenie, korzystając z dwóch własności: \(n\log_{a}b=\log_{a}b^{n}\) oraz \(\log_{a}b-\log_{a}c=\log_{a}\frac{b}{c}\). **Krok \(2\).** Współczynnik \(2\) przy pierwszym logarytmie wciągamy jako wykładnik: \[2\log_{2}3=\log_{2}3^{2}=\log_{2}9.\] **Krok \(3\).** Tak samo postępujemy z drugim składnikiem: \[2\log_{2}5=\log_{2}5^{2}=\log_{2}25.\] **Krok \(4\).** Teraz odejmujemy logarytmy o tej samej podstawie, co odpowiada dzieleniu liczb logarytmowanych: \[\log_{2}9-\log_{2}25=\log_{2}\frac{9}{25}.\] **Krok \(5\).** Drugi sposób prowadzi do tego samego wyniku: najpierw wyłączamy \(2\) przed nawias, potem wciągamy je jako wykładnik: \[2\log_{2}3-2\log_{2}5=2\left(\log_{2}3-\log_{2}5\right)=2\log_{2}\frac{3}{5}=\log_{2}\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\log_{2}\frac{9}{25}.\] **Uwaga.** Pułapką jest odpowiedź \(\log_{2}\frac{3}{5}\) — powstaje wtedy, gdy ktoś odejmie logarytmy, ale zgubi mnożnik \(2\). Mnożnik przed logarytmem nie znika: zawsze staje się wykładnikiem liczby logarytmowanej. **Odpowiedź.** A. \(\log_{2}\frac{9}{25}\)

**1 pkt** – odpowiedź A **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** logarytmy - działania na logarytmach i logarytm ilorazu.

**B.** \(4\)

Mamy \(8=4^{3/2}\) oraz \(2=4^{1/2}\), więc \[\log_4 8+5\log_4 2=\frac32+5\cdot\frac12=4.\]

**1 pkt** – odpowiedź B **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** logarytmy - obliczanie logarytmu z definicji.

**A.** \(-1\)

Oba logarytmy mają tę samą podstawę, więc stosujemy wzór na logarytm iloczynu \(\log_a u+\log_a v=\log_a(uv)\): \[\log_3\frac32+\log_3\frac29=\log_3\left(\frac32\cdot\frac29\right)=\log_3\frac13.\] Ponieważ \(\frac13=3^{-1}\), z definicji logarytmu \(\log_3 3^{-1}=-1\). **Odpowiedź.** **A.** \(-1\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 6. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**D.** \(3\)

Argument i podstawę zapisujemy jako potęgi dwójki: \[2\sqrt2=2^1\cdot2^{\frac12}=2^{\frac32},\qquad \sqrt2=2^{\frac12}.\] Szukamy \(y\) takiego, że \(\left(2^{\frac12}\right)^{y}=2^{\frac32}\), czyli \(\frac y2=\frac32\), skąd \(y=3\). **Odpowiedź.** **D.** \(3\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 2. (0−1) 1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje Wersja Wersja II. Wykorzystanie definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach I II i interpretowanie wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu reprezentacji. i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym D A (1.6).

**B.** \(3\)

Korzystamy z definicji logarytmu: \[\log_3 729=6,\qquad \log_6 36=2.\] Zatem \(\frac{6}{2}=3\).

**1 pkt** – odpowiedź B **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** liczby rzeczywiste - obliczanie logarytmów i wartości ilorazu.

Należy zakodować cyfry \(2,7,5\).

Mamy \[\log_3\sqrt[4]{27}=\log_3 3^{3/4}=\frac34.\] Ponadto \[\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}=3^{1/9},\qquad \log_3 3^{1/9}=\frac19=3^{-2},\] więc \[\log_3\left(\log_3\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}\right)=\log_3(3^{-2})=-2.\] Całe wyrażenie jest równe \(\frac34-(-2)=2{,}75\).

**2 pkt** – poprawne zakodowanie cyfr \(2,7,5\) **1 pkt** – poprawne obliczenie jednego z dwóch logarytmów lub otrzymanie \(2{,}75\) z błędnym kodowaniem **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.2 R - logarytm potęgi i zamiana podstawy logarytmu.

\[\log_6 64=\frac{6a}{1-a}.\]

Zmieniamy podstawę logarytmu na \(12\): \[\log_6 64=\frac{\log_{12}64}{\log_{12}6}=\frac{6\log_{12}2}{\log_{12}12-\log_{12}2}=\frac{6a}{1-a}.\] To kończy dowód.

**3 pkt** – pełny dowód **2 pkt** – poprawne zapisanie \(\frac{\log_{12}2^6}{\log_{12}(12/2)}\), bez zakończenia przekształceń **1 pkt** – poprawna zmiana podstawy: \(\log_6 64=\frac{\log_{12}64}{\log_{12}6}\) **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** liczby rzeczywiste - definicja i własności logarytmów oraz zmiana podstawy.

**B.** \(\log6+2\log2\).

**Krok \(1\).** Wszystkie odpowiedzi są zbudowane z logarytmów dziesiętnych, więc każdą z nich sprowadzamy do jednego logarytmu i porównujemy z \(\log 24\). Potrzebne wzory: \(\log a+\log b=\log(ab)\), \(\log a-\log b=\log\frac{a}{b}\) oraz \(n\log a=\log a^{n}\). **Krok \(2\).** Sprawdzamy \(2\log 2+\log 20\): \[2\log 2=\log 2^{2}=\log 4,\qquad \log 4+\log 20=\log 80\neq\log 24.\] **Krok \(3\).** Sprawdzamy \(\log 6+2\log 2\): \[2\log 2=\log 4,\qquad \log 6+\log 4=\log(6\cdot 4)=\log 24.\] To jest szukana odpowiedź. **Krok \(4\).** Dla pewności sprawdzamy pozostałe. \(2\log 6-\log 12\): \[\log 36-\log 12=\log\frac{36}{12}=\log 3\neq\log 24.\] **Krok \(5\).** Oraz \(\log 30-\log 6\): \[\log 30-\log 6=\log\frac{30}{6}=\log 5\neq\log 24.\] **Krok \(6\).** Tylko jedno wyrażenie dało \(\log 24\) — to \(\log 6+2\log 2\). **Uwaga.** Wszystkie wzory na logarytmy dotyczą iloczynu, ilorazu i potęgi. Nie istnieje wzór na logarytm sumy: \(\log(a+b)\) nie jest równe \(\log a+\log b\). Warto też pamiętać, że współczynnik przed logarytmem staje się wykładnikiem, więc \(2\log 2=\log 4\), a nie \(\log 2+2\). **Odpowiedź.** B. \(\log 6+2\log 2\)

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **B** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 1.6. Zdający wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym.

\[\log_7 27=\frac{3(1-m)}m.\]

Ze wzoru na zmianę podstawy mamy \[\log_7 21=\frac1{\log_{21}7}=\frac1m.\] Ponieważ \(27=3^3\) oraz \(3=\frac{21}{7}\), otrzymujemy \[\log_7 27=3\log_7 3=3\log_7\frac{21}{7}=3(\log_7 21-\log_7 7)=3\left(\frac1m-1\right)=\frac{3(1-m)}m.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 3 pkt** – pełne wykazanie podanej równości **2 pkt** – poprawne użycie \(\log_7 21=\frac1m\) i własności logarytmów, z drobnym błędem końcowym **1 pkt** – poprawne zapisanie \(\log_7 21=\frac1m\) lub \(\log_7 27=3\log_7 3\) **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność. **Wymagania szczegółowe:** 1.6. Zdający wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym. 1.2. R. Zdający stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

**B.** \(-\frac13\).

Ponieważ \((\frac14)^{-3}=64\), mamy \(b=-3\). Podobnie \((\frac13)^{-3}=27\), więc \(c=-3\). Zatem \[abc=-\frac1{27}\cdot(-3)\cdot(-3)=-\frac13.\]

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.6 zdający wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje wzory dotyczące logarytmów.

**C.** \(-2\).

Mamy \(0{,}04=\frac1{25}=5^{-2}\), więc \(\log_5 0{,}04=-2\). Ponadto \(\log_{25}1=0\), zatem cały drugi składnik jest równy zeru. Wartość wyrażenia wynosi \(-2\).

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste i definicja logarytmu.

**D.** \(c\lt a\lt b\), bo \(a=\log_{3}\frac13=-1\), \(b=\log_{9}3=\frac12\), \(c=\log_{3}\frac{1}{27}=-3\).

**Krok \(1\).** Porównujemy trzy liczby zapisane jako logarytmy: \[a=\log_{3}\frac13,\qquad b=\log_{9}3,\qquad c=\log_{3}\frac{1}{27}.\] Żadnej z nich nie da się porównać na oko - najpewniejsza metoda to obliczyć każdą osobno z definicji logarytmu: \(\log_{p}q=x\) oznacza dokładnie tyle, co \(p^{x}=q\). **Krok \(2\).** Liczymy \(a\). Szukamy wykładnika \(x\), dla którego \(3^{x}=\frac13\). Ponieważ \(\frac13=3^{-1}\), mamy \[a=-1.\] **Krok \(3\).** Liczymy \(b\). Szukamy \(x\) takiego, że \(9^{x}=3\). Zapisujemy \(9=3^2\), więc \(3^{2x}=3^{1}\), skąd \(2x=1\) i \[b=\frac12.\] **Krok \(4\).** Liczymy \(c\). Szukamy \(x\) takiego, że \(3^{x}=\frac{1}{27}\). Ponieważ \(27=3^3\), to \(\frac{1}{27}=3^{-3}\) i \[c=-3.\] **Krok \(5\).** Ustawiamy trzy liczby rosnąco: \[-3\lt -1\lt \frac12,\qquad\text{czyli}\qquad c\lt a\lt b.\] **Uwaga.** Logarytm liczby mniejszej od \(1\) przy podstawie większej od \(1\) jest **ujemny**, i to on jest tu najmniejszy. Przy porównywaniu liczb ujemnych pamiętaj, że \(-3\) leży na osi na lewo od \(-1\), więc \(-3\) jest mniejsze. **Odpowiedź.** D: \(c\lt a\lt b\)

Zadanie 5. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**D.** \(\frac73\)

Podstawa i argument są potęgami dwójki: \(8=2^3\) oraz \(16=2^4\). Szukamy wykładnika \(y\) spełniającego \(\left(2^3\right)^{y}=2^4\), czyli \(3y=4\), skąd \[\log_8 16=\frac43.\] Zatem \[\log_8 16+1=\frac43+1=\frac73.\] **Odpowiedź.** **D.** \(\frac73\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Znajomość definicji logarytmu (II.1.h).

**B.** \(3^c=2\)

Z definicji logarytmu: dla \(a>0\), \(a\neq1\) i \(x>0\) równość \(\log_a x=c\) znaczy dokładnie tyle, co \(a^{c}=x\). Tutaj podstawą jest \(3\), a argumentem \(2\), zatem \[c=\log_3 2\iff 3^{c}=2.\] Pozostałe warianty mylą podstawę z wykładnikiem albo z argumentem. **Odpowiedź.** **B.** \(3^{c}=2\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 3. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**B.** \(2\)

Stosujemy wzór na logarytm ilorazu: \[\log_2 20-\log_2 5=\log_2\frac{20}{5}=\log_2 4.\] Ponieważ \(4=2^2\), otrzymujemy \(\log_2 4=2\). **Odpowiedź.** **B.** \(2\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 4. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**C.** \(1\)

Wszystkie logarytmy mają tę samą podstawę \(10\), więc sumę i różnicę zapisujemy jako jeden logarytm: \[\log 4+\log 5-\log 2=\log\frac{4\cdot5}{2}=\log 10.\] Z definicji logarytmu dziesiętnego \(\log 10=1\). **Odpowiedź.** **C.** \(1\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 26. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**B.** \(-1\)

Logarytmy mają różne podstawy, więc obliczamy je osobno z definicji: \[\log100=\log_{10}10^2=2,\qquad \log_2 8=\log_2 2^3=3.\] Zatem \[\log100-\log_2 8=2-3=-1.\] Wzoru na logarytm ilorazu nie wolno tu zastosować — obowiązuje on tylko dla logarytmów o **tej samej** podstawie. **Odpowiedź.** **B.** \(-1\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wykonanie obliczeń z zastosowaniem wzorów na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym (I.1.h).

**B.** \(1\)

Logarytmy mają tę samą podstawę, więc korzystamy ze wzoru na logarytm ilorazu \(\log_a u-\log_a v=\log_a\frac uv\): \[\log_2 100-\log_2 50=\log_2\frac{100}{50}=\log_2 2=1.\] **Odpowiedź.** **B.** \(1\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Zadanie 10. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**B.** \(-4\)

Najpierw obliczamy sam logarytm. Szukamy wykładnika \(y\) spełniającego \[\left(\tfrac13\right)^{y}=9.\] Ponieważ \(\left(\tfrac13\right)^{-2}=3^{2}=9\), mamy \(\log_{\frac13}9=-2\). Zwróćmy uwagę, że podstawa jest mniejsza od \(1\), więc logarytm liczby większej od \(1\) musi wyjść ujemny. Zatem \[2\cdot\log_{\frac13}9=2\cdot(-2)=-4.\] **Odpowiedź.** **B.** \(-4\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Obliczenie wartości logarytmu (II.1.h).

**A.** \(-3\)

Z definicji logarytmu szukamy wykładnika, do którego trzeba podnieść \(3\), by otrzymać \(\frac1{27}\). Ponieważ \[\frac1{27}=\frac1{3^3}=3^{-3},\] to \[\log_3\frac1{27}=\log_3 3^{-3}=-3.\] **Odpowiedź.** A. \(-3\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** obliczanie logarytmu z definicji, w tym dla wykładnika ujemnego Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**A.** \(-3\)

Szukamy wykładnika \(y\), dla którego \(\left(\tfrac12\right)^{y}=8\). Zapisujemy obie strony jako potęgi dwójki: \[\left(2^{-1}\right)^{y}=2^{3},\qquad 2^{-y}=2^{3},\qquad -y=3.\] Stąd \(y=-3\). Wynik jest ujemny, bo podstawa \(\tfrac12\) jest mniejsza od \(1\), a argument \(8\) większy od \(1\). **Odpowiedź.** **A.** \(-3\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Liczby rzeczywiste – oblicza logarytmy.

**B.** \(x>\frac12\)

Logarytm \(\log_a x\) jest określony wtedy i tylko wtedy, gdy podstawa spełnia \(a>0\) i \(a\neq1\), a argument jest **dodatni**. Podstawa \(4\) warunki spełnia, pozostaje warunek na argument: \[2x-1>0.\] Stąd \(2x>1\), czyli \[x>\frac12.\] Nierówność jest ostra — dla \(x=\frac12\) argument byłby zerem, a logarytmu zera się nie określa. **Odpowiedź.** **B.** \(x>\frac12\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wykorzystanie definicji logarytmu.

**C.** \(2\)

Obliczamy oba składniki osobno. Z definicji logarytmu \(\log_2 4=2\), bo \(2^2=4\). Logarytm jedynki przy dowolnej dopuszczalnej podstawie jest zerem, bo \(3^0=1\), więc \(\log_3 1=0\). Zatem \[\log_2 4+2\log_3 1=2+2\cdot0=2.\] **Odpowiedź.** **C.** \(2\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Liczby rzeczywiste – stosuje prawa działań na logarytmach.

**D.** \(2\log6-\log1\)

Ponieważ \(36=6^2\), z własności logarytmu potęgi otrzymujemy \[\log36=\log6^2=2\log6.\] Wariant D to \(2\log6-\log1\), a \(\log1=0\), więc jest on równy \(2\log6\). Pozostałe warianty: \(2\log18=\log324\), \(\log40-2\log2=\log\frac{40}{4}=\log10=1\), \(2\log4-3\log2=\log\frac{16}{8}=\log2\) — żaden nie jest równy \(\log36\). **Odpowiedź.** D. \(2\log6-\log1\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** stosowanie własności logarytmu potęgi, iloczynu i ilorazu Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**B.** \(\log3+\log4\)

Korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu \(\log(ab)=\log a+\log b\) dla \(a,b>0\). Ponieważ \(12=3\cdot4\), otrzymujemy \[\log12=\log3+\log4.\] Wariant C daje \(\log16-\log4=\log4\), a wariant D \(\log10+\log2=\log20\) — obie liczby są różne od \(\log12\). **Odpowiedź.** B. \(\log3+\log4\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** stosowanie wzoru na logarytm iloczynu Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**A.** \(-2\)

Z definicji logarytmu \(\log_5 5=1\) oraz \(\log_5 125=3\), bo \(5^3=125\). Zatem \[\log_5 5-\log_5 125=1-3=-2.\] Ten sam wynik daje wzór na logarytm ilorazu: \(\log_5\frac{5}{125}=\log_5\frac1{25}=\log_5 5^{-2}=-2\). **Odpowiedź.** **A.** \(-2\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Liczby rzeczywiste – oblicza logarytmy.

**B.** \(2\)

Logarytmy mają wspólną podstawę, więc ich sumę zapisujemy jako logarytm iloczynu: \[\log_4 8+\log_4 2=\log_4(8\cdot2)=\log_4 16.\] Ponieważ \(4^2=16\), otrzymujemy \(\log_4 16=2\). **Odpowiedź.** **B.** \(2\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi. **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie zamknięte za \(1\) punkt — CKE nie przewiduje tu punktów cząstkowych.

Użycie i tworzenie strategii. Obliczenie sumy logarytmów.

**C.** \(2\)

Obliczamy oba logarytmy z definicji: \(3^2=9\), więc \(\log_3 9=2\); \(3^0=1\), więc \(\log_3 1=0\). Zatem \[\log_3 9-\log_3 1=2-0=2.\] **Odpowiedź.** **C.** \(2\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Liczby rzeczywiste – oblicza różnicę logarytmów.

**C.** \(x=3^9\)

Z definicji logarytmu równość \(\log_a x=y\) (dla \(a>0\), \(a\neq1\), \(x>0\)) znaczy dokładnie tyle, co \(a^{y}=x\). Podstawą jest \(3\), a logarytm jest równy \(9\), więc \[x=3^{9}.\] Odpowiedź \(9^3\) powstaje z zamiany podstawy z wykładnikiem — to typowa pomyłka w tym zadaniu: \(3^9=19\,683\), a \(9^3=729\). **Odpowiedź.** **C.** \(x=3^{9}\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: C.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.