Podzielność liczb całkowitych — cechy podzielności, reszty z dzielenia, NWD i NWW, liczby pierwsze

\(7n\) + \(7n\)+\(1\) + \(7n\)+\(2\) = \(7n\)(\(1 + 7\) + \(7^{2}\)) = \(57\cdot 7n\) = \(19\)·(\(3\cdot 7n\)). Ponieważ \(3\cdot 7n\) jest liczbą całkowitą dla każdego całkowitego n ≥ \(0\), badana liczba jest podzielna przez \(19\).

**Krok \(1\).** pkt: przekształcenie wyrażenia do postaci \(7n\)(\(1 + 7\) + \(7^{2}\)). **Krok \(2\).** pkt: poprawne przekształcenia i pełne rozumowanie kończące dowód podzielności przez \(19\). Samo sprawdzenie wybranych n daje \(0\) pkt. **Odpowiedź.** \(7n\) + \(7n\)+\(1\) + \(7n\)+\(2\) = \(7n\)(\(1 + 7\) + \(7^{2}\)) = \(57\cdot 7n\) = \(19\)·(\(3\cdot 7n\)). Ponieważ \(3\cdot 7n\) jest liczbą całkowitą dla każdego całkowitego n ≥ \(0\), badana liczba jest podzielna przez \(19\).

1 pkt: przekształcenie wyrażenia do postaci 7ⁿ(1 + 7 + 7²). 2 pkt: poprawne przekształcenia i pełne rozumowanie kończące dowód podzielności przez 19. Samo sprawdzenie wybranych n daje 0 pkt.

IV. Rozumowanie i argumentacja. I.2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.

Liczba \(7n^{2}+21n\) jest podzielna przez \(14\) dla każdej liczby całkowitej \(n\).

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias: \[7n^{2}+21n=7n(n+3).\] Wystarczy wykazać, że iloczyn \(n(n+3)\) jest podzielny przez \(2\) — wtedy cała liczba dzieli się przez \(7\cdot2=14\). Liczby \(n\) i \(n+3\) różnią się o \(3\), czyli o liczbę nieparzystą, więc mają różną parzystość: dokładnie jedna z nich jest parzysta. Jeżeli \(n=2k\), to \[7n(n+3)=7\cdot2k\,(2k+3)=14k(2k+3).\] Jeżeli \(n=2k+1\), to \(n+3=2k+4=2(k+2)\), więc \[7n(n+3)=7(2k+1)\cdot2(k+2)=14(2k+1)(k+2).\] W obu przypadkach otrzymujemy liczbę postaci \(14m\), gdzie \(m\) jest całkowite. **Odpowiedź.** Dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \(7n^{2}+21n\) jest podzielna przez \(14\), co należało wykazać.

**2 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania, to znaczy uzasadnienie, że liczba \(7n^{2}+21n\) jest podzielna przez \(7\) i przez \(2\), albo rozpatrzenie obu przypadków \(n=2k\) oraz \(n=2k+1\) i wykazanie w każdym z nich podzielności przez \(14\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania **Uwaga CKE:** samo zapisanie \(7n^{2}+21n=7n(n+3)\) nie wystarcza jako uzasadnienie podzielności przez \(7\) i przez \(2\).

**Wymaganie ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymaganie szczegółowe:** I.2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.

**D.** \(20+\frac{26}{y}\)

Z zależności opisującej dzielenie z resztą mamy \(x=20y+26\). Po podzieleniu obu stron przez \(y\) otrzymujemy \[\frac{x}{y}=20+\frac{26}{y}.\] Zatem poprawna jest odpowiedź **D**.

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** I.1) Zdający wykonuje działania w zbiorze liczb rzeczywistych.

\(2501^4-2499^4\) jest podzielne przez \(10\,000\).

Korzystamy dwukrotnie ze wzoru na różnicę kwadratów: \[\begin{aligned}2501^4-2499^4&=(2501^2-2499^2)(2501^2+2499^2)\\&=(2501-2499)(2501+2499)(2501^2+2499^2)\\&=2\cdot5000\cdot(2501^2+2499^2)\\&=10\,000\cdot(2501^2+2499^2).\end{aligned}\] Liczba \(2501^2+2499^2\) jest całkowita, więc dane wyrażenie jest podzielne przez \(10\,000\).

**2 pkt** – poprawne przekształcenia i pełne rozumowanie prowadzące do wykazania podzielności **1 pkt** – przekształcenie \[2501^4-2499^4=(2501^2-2499^2)(2501^2+2499^2).\] **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** I.2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych. II.1) Zdający stosuje wzory skróconego mnożenia, w szczególności \(a^2-b^2\).

Istnieją liczby całkowite \(k,l\), dla których \(a=5k+1\) oraz \(b=5l+4\). Wtedy \[a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)=(5k-5l-3)\cdot5(k+l+1).\] Jeden z czynników jest podzielny przez \(5\), więc liczba \(a^{2}-b^{2}\) jest podzielna przez \(5\).

**Krok \(1\).** pkt: poprawne zapisanie jednej z liczb w postaci \(5k\) + \(1\) albo \(5l\) + \(4\) lub równoważny krok dotyczący reszt kwadratów. **Krok \(2\).** pkt: zapisanie obu postaci i istotne przekształcenie różnicy kwadratów albo wykazanie, że a + b jest podzielne przez \(5\). **Krok \(3\).** pkt: pełne poprawne rozumowanie kończące dowód podzielności. **Odpowiedź.** Istnieją liczby całkowite \(k,l\), dla których \(a=5k+1\) oraz \(b=5l+4\). Wtedy \[a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)=(5k-5l-3)\cdot5(k+l+1).\] Jeden z czynników jest podzielny przez \(5\), więc liczba \(a^{2}-b^{2}\) jest podzielna przez \(5\).

1 pkt: poprawne zapisanie jednej z liczb w postaci 5k + 1 albo 5l + 4 lub równoważny krok dotyczący reszt kwadratów. 2 pkt: zapisanie obu postaci i istotne przekształcenie różnicy kwadratów albo wykazanie, że a + b jest podzielne przez 5. 3 pkt: pełne poprawne rozumowanie kończące dowód podzielności.

Wymaganie ogólne: IV. Rozumowanie i argumentacja. Wymaganie szczegółowe: I.2) Przeprowadza dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.

Liczba ma postać \(5Q+2\), gdzie \(Q\in\mathbb{Z}\), więc przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).

Przekształcamy wyrażenie: \[(3n+5)^2+11n^2-18=9n^2+30n+25+11n^2-18\] \[=20n^2+30n+7=5(4n^2+6n+1)+2.\] Dla \(n\in\mathbb{Z}\) liczba \(4n^2+6n+1\) jest całkowita. Otrzymaliśmy zatem postać \(5Q+2\), co dowodzi, że reszta z dzielenia przez \(5\) jest równa \(2\).

**2 pkt** – otrzymanie postaci \(5(4n^2+6n+1)+2\) i wskazanie, że \(4n^2+6n+1\) jest liczbą całkowitą **1 pkt** – otrzymanie postaci \(20n^2+30n+7\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań i uzasadnianie wniosków. **Wymagania szczegółowe:** I.2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.

Wyrażenie jest wielokrotnością \(9\).

Dwie kolejne liczby naturalne niepodzielne przez \(3\) mają postać \[a=3k+1,\qquad b=3k+2\] dla pewnego \(k\in\mathbb{Z}_{\geq0}\). Wtedy \[a^2+11ab+b^2=(3k+1)^2+11(3k+1)(3k+2)+(3k+2)^2\] \[=117k^2+117k+27=9(13k^2+13k+3).\] Liczba \(13k^2+13k+3\) jest całkowita, więc dane wyrażenie jest podzielne przez \(9\).

**3 pkt** – pełny dowód, w tym otrzymanie \(9(13k^2+13k+3)\) i uzasadnienie całkowitości drugiego czynnika **2 pkt** – podstawienie \(a=3k+1\), \(b=3k+2\) i otrzymanie \(117k^2+117k+27\), albo zapisanie \(9ab+(a+b)^2\) i wykazanie podzielności \(a+b\) przez \(3\) **1 pkt** – zapisanie \(a=3k+1\), \(b=3k+2\), albo przekształcenie do \(9ab+(a+b)^2\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań i uzasadnianie wniosków. **Wymagania szczegółowe:** I.2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.

Liczba \(n(n^2+3n+2)\) jest podzielna przez \(6\) dla każdego \(n\geq1\).

Rozkładamy trójmian na czynniki: \[n(n^2+3n+2)=n(n+1)(n+2).\] Jest to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych. Wśród nich co najmniej jedna jest parzysta, a dokładnie jedna jest podzielna przez \(3\). Iloczyn jest więc podzielny przez \(2\) i przez \(3\). Ponieważ liczby \(2\) i \(3\) są względnie pierwsze, iloczyn jest podzielny przez \(6\).

**2 pkt** – otrzymanie \(n(n+1)(n+2)\) i uzasadnienie, że wśród trzech kolejnych liczb jedna jest podzielna przez \(2\), a jedna przez \(3\) **1 pkt** – przekształcenie do postaci \(n(n+1)(n+2)\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań i uzasadnianie wniosków. **Wymagania szczegółowe:** I.2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.

Liczba jest podzielna przez \(37\).

Sprowadzamy wszystkie składniki do potęg liczby \(3\): \[3^{45}+9^{22}+27^{14}=3^{45}+(3^2)^{22}+(3^3)^{14}\] \[=3^{45}+3^{44}+3^{42}=3^{42}(3^3+3^2+1)=3^{42}\cdot37.\] Ponieważ \(3^{42}\) jest liczbą całkowitą, rozpatrywana liczba jest podzielna przez \(37\).

**2 pkt** – przekształcenie do postaci \(3^{42}\cdot37\) **1 pkt** – przekształcenie do postaci \(3^{45}+3^{44}+3^{42}\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** I.2) Zdający przeprowadza dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych. I.4) Stosuje prawa działań na potęgach.

Liczba \(3n^{2}+2n+7\) jest podzielna przez \(4\) dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\).

Liczba \(n\) jest nieparzysta, więc można ją zapisać w postaci \[n=2k+1,\qquad\text{gdzie }k\text{ jest liczbą całkowitą nieujemną}.\] Podstawiamy do badanego wyrażenia: \[3n^{2}+2n+7=3(2k+1)^{2}+2(2k+1)+7.\] Rozwijamy kwadrat i porządkujemy: \[3\left(4k^{2}+4k+1\right)+4k+2+7=12k^{2}+12k+3+4k+9=12k^{2}+16k+12.\] Wyłączamy \(4\) przed nawias: \[12k^{2}+16k+12=4\left(3k^{2}+4k+3\right).\] Liczba \(3k^{2}+4k+3\) jest całkowita, więc otrzymana liczba jest wielokrotnością \(4\). **Odpowiedź.** Dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) liczba \(3n^{2}+2n+7\) jest podzielna przez \(4\), co należało wykazać.

**2 pkt** – zapisanie, że \(n=2k+1\), oraz przekształcenie wyrażenia \(3n^{2}+2n+7\) do postaci \(4\left(3k^{2}+4k+3\right)\) ALBO – przekształcenie wyrażenia do postaci sumy algebraicznej liczb podzielnych przez \(4\) wraz z uzasadnieniem, że każdy składnik tej sumy jest podzielny przez \(4\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania **Uwaga CKE:** sprawdzenie tezy dla kilku konkretnych wartości \(n\) jest przykładem, a nie dowodem, i nie daje punktów.

**Wymaganie ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymaganie szczegółowe:** I.2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.

Mamy \[8^{50}-2^{145}=(2^3)^{50}-2^{145}=2^{150}-2^{145}=2^{145}(2^5-1)=31\cdot2^{145}.\] Liczba jest zatem podzielna przez \(31\).

**Krok \(1\).** pkt: przekształcenie \(8^{50}\) − \(2^{145}\) do \(2^{150}\) − \(2^{145}\). **Krok \(2\).** pkt: poprawne przekształcenia i pełne rozumowanie kończące dowód podzielności przez \(31\). **Odpowiedź.** Mamy \[8^{50}-2^{145}=(2^3)^{50}-2^{145}=2^{150}-2^{145}=2^{145}(2^5-1)=31\cdot2^{145}.\] Liczba jest zatem podzielna przez \(31\).

1 pkt: przekształcenie 8⁵⁰ − 2¹⁴⁵ do 2¹⁵⁰ − 2¹⁴⁵. 2 pkt: poprawne przekształcenia i pełne rozumowanie kończące dowód podzielności przez 31.

Wymaganie ogólne: V. Rozumowanie i argumentacja. Wymaganie szczegółowe: 1.5) Wykorzystuje własności potęg; 1.4) stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych.

Liczba \(5n^3-5n\) jest podzielna przez \(30\) dla każdego \(n\in\mathbb N\), \(n\geq1\).

Rozkładamy wyrażenie na czynniki: \[5n^3-5n=5n(n^2-1)=5n(n-1)(n+1).\] Liczby \(n-1\), \(n\), \(n+1\) są trzema kolejnymi liczbami całkowitymi. Wśród nich co najmniej jedna jest podzielna przez \(2\), a dokładnie jedna jest podzielna przez \(3\). Iloczyn \(n(n-1)(n+1)\) jest więc podzielny przez \(2\cdot3=6\). Ponieważ całe wyrażenie ma dodatkowo czynnik \(5\), jest podzielne przez \[2\cdot3\cdot5=30.\] To kończy dowód.

**2 pkt** – przekształcenie \(5n^3-5n\) do postaci \(5n(n-1)(n+1)\) oraz uzasadnienie, że wśród trzech kolejnych liczb \(n-1,n,n+1\) co najmniej jedna jest podzielna przez \(2\) i dokładnie jedna przez \(3\) **1 pkt** – przekształcenie \(5n^3-5n\) do postaci \(5n(n-1)(n+1)\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, sprawdzono jedynie wybrane wartości \(n\), albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. Przeprowadzanie rozumowań, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** I.2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.

Liczba \(2^{100}+4^{49}+16^{24}\) jest podzielna przez \(21\).

Korzystamy z praw działań na potęgach: \[2^{100}+4^{49}+16^{24}=2^{100}+(2^2)^{49}+(2^4)^{24}\] \[=2^{100}+2^{98}+2^{96}.\] Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias: \[2^{100}+2^{98}+2^{96}=2^{96}(2^4+2^2+1)=2^{96}(16+4+1)=2^{96}\cdot21.\] Ponieważ \(2^{96}\) jest liczbą naturalną, dana liczba jest podzielna przez \(21\).

**2 pkt** – przekształcenie wyrażenia do postaci \(21\cdot n\), gdzie \(n\) jest liczbą naturalną, na przykład \(2^{96}\cdot21\) **1 pkt** – przekształcenie wyrażenia do postaci \(2^{100}+2^{98}+2^{96}\); albo do równoważnej postaci \(4^{50}+4^{49}+4^{48}\); albo \(16^{25}+4\cdot16^{24}+16^{24}\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** I.2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych. I.4) Zdający stosuje prawa działań na potęgach.

Teza została wykazana: reszta z dzielenia przez \(3\) jest równa \(2\).

Rozwijamy kwadraty i porządkujemy wyrażenie: \[n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}=n^{2}+n^{2}+2n+1+n^{2}+4n+4=3n^{2}+6n+5.\] Zapisujemy je w postaci, z której widać resztę z dzielenia przez \(3\): \[3n^{2}+6n+5=3\left(n^{2}+2n+1\right)+2=3(n+1)^{2}+2.\] Liczba \((n+1)^{2}\) jest całkowita, więc \(3(n+1)^{2}\) jest podzielne przez \(3\). Ponieważ \(0\le2<3\), reszta z dzielenia całej sumy przez \(3\) wynosi dokładnie \(2\). **Odpowiedź.** Dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) reszta z dzielenia liczby \(n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}\) przez \(3\) jest równa \(2\), co należało wykazać.

**2 pkt** – przekształcenie wyrażenia \(n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}\) do postaci \(3(n^{2}+2n+1)+2\) ALBO – przekształcenie wyrażenia \(n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}\) do postaci \(3n^{2}+6n+5\) oraz zapisanie, że składniki \(3n^{2}\) oraz \(6n\) są podzielne przez \(3\), a reszta z dzielenia liczby \(5\) przez \(3\) jest równa \(2\), ALBO – zapisanie, że \(n\), \(n+1\), \(n+2\), to trzy kolejne liczby całkowite, więc dokładnie jedna z nich jest podzielna przez \(3\), a dwie pozostałe nie są podzielne przez \(3\) oraz zapisanie, że kwadrat liczby podzielnej przez \(3\) jest podzielny przez \(3\), a kwadrat liczby niepodzielnej przez \(3\) przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(1\), oraz zapisanie wniosku, że reszta z dzielenia przez \(3\) liczby \(n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}\) jest równa \(2\). **1 pkt** – przekształcenie wyrażenia \(n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}\) do postaci \([\ldots]\) ALBO – zapisanie, że \(n\), \(n+1\), \(n+2\), to trzy kolejne liczby naturalne, więc dokładnie jedna z nich jest podzielna przez \(3\), a dwie pozostałe nie są podzielne przez \(3\) oraz zapisanie, że kwadrat liczby podzielnej przez \(3\) jest podzielny przez \(3\), a kwadrat liczby niepodzielnej przez \(3\) przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(1\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości \(n\), to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający przyjmuje np. \(n=3k+r\), gdzie \(k\in N\) i \(r\) jest resztą z dzielenia liczby \(n\) przez \(3\) (lub \(n=2k+r\), gdzie \(k\in N\) i \(r\) jest resztą z dzielenia liczby \(n\) przez \(2\)), i przeprowadzi pełne rozumowanie dla wszystkich przypadków, to otrzymuje \(2\) punkty. Gdy przeprowadzi pełne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale nie przeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje \(1\) punkt za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający rozpatruje tylko jeden przypadek \(n=3k+2\), to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie.

**Wymaganie ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja 1 . Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymaganie szczegółowe:** 1.2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych.

(\(2n\)+\(5\))\(2+3=4\)\(n^{2}\)+\(20n\)+\(28=4\)(\(n^{2}\)+\(5n\)+\(7\)), więc liczba jest podzielna przez \(4\).

**Krok \(1\).** pkt: zastosowanie wzoru skróconego mnożenia albo równoważne rozwinięcie. **Krok \(2\).** pkt: pełne przekształcenie do iloczynu \(4\) i liczby całkowitej. **Odpowiedź.** (\(2n\)+\(5\))\(2+3=4\)\(n^{2}\)+\(20n\)+\(28=4\)(\(n^{2}\)+\(5n\)+\(7\)), więc liczba jest podzielna przez \(4\).

1 pkt: zastosowanie wzoru skróconego mnożenia albo równoważne rozwinięcie. 2 pkt: pełne przekształcenie do iloczynu 4 i liczby całkowitej.

Wymagania CKE dla zadania 3; szczegółowy punkt podstawy programowej zgodny z zasadami oceniania.

Suma jest podzielna przez \(36\).

Trzy kolejne liczby całkowite niepodzielne przez \(4\) można zapisać jako \[a-1,\qquad a,\qquad a+1,\] gdzie \(a\) jest liczbą parzystą niepodzielną przez \(4\). Ich suma sześcianów jest równa \[(a-1)^3+a^3+(a+1)^3=3a(a^2+2).\] Liczba \(a\) jest parzysta, a \(a^2+2\) także jest parzysta, więc iloczyn \(3a(a^2+2)\) jest podzielny przez \(4\). Wykażemy podzielność przez \(9\). Każda liczba całkowita \(a\) ma jedną z postaci \(3k\), \(3k+1\), \(3k+2\). Jeżeli \(a=3k\), to \[3a(a^2+2)=9k(9k^2+2).\] Jeżeli \(a=3k+1\), to \[3a(a^2+2)=9(3k+1)(3k^2+2k+1).\] Jeżeli \(a=3k+2\), to \[3a(a^2+2)=9(3k+2)(3k^2+4k+2).\] W każdym przypadku suma jest podzielna przez \(9\). Ponieważ \(4\) i \(9\) są względnie pierwsze, suma jest podzielna przez \[4\cdot9=36.\]

**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu podzielności przez \(36\) **2 pkt** – przekształcenie \((a-1)^3+a^3+(a+1)^3\) do postaci \(3a(a^2+2)\), gdzie \(a\) jest parzyste i niepodzielne przez \(4\), oraz wykazanie podzielności otrzymanej liczby przez \(4\) albo przez \(9\) **1 pkt** – zapisanie sumy w postaci \((a-1)^3+a^3+(a+1)^3\), gdzie \(a\) jest liczbą parzystą niepodzielną przez \(4\), albo w równoważnej postaci z liczbami \(4k+1\), \(4k+2\), \(4k+3\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja; 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** I.R2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.

Liczba \(n^2+2023\) jest podzielna przez \(8\).

Niech \(n\) będzie nieparzystą liczbą całkowitą. Wtedy \(n=2k+1\) dla pewnego \(k\in\mathbb Z\). Zatem \[n^2+2023=(2k+1)^2+2023=4k(k+1)+2024.\] Liczby \(k\) i \(k+1\) są kolejne, więc jedna z nich jest parzysta. Iloczyn \(4k(k+1)\) jest zatem podzielny przez \(8\). Ponadto \[2024=8\cdot253.\] Oba składniki są podzielne przez \(8\), więc ich suma również jest podzielna przez \(8\).

**2 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu **1 pkt** – zapisanie \(n=2k+1\), gdzie \(k\in\mathbb Z\), oraz przekształcenie do postaci \(4k(k+1)+2024\) lub równoważnej, ujawniającej czynnik \(4\) i liczbę parzystą **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja; przeprowadzanie rozumowań i odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** I.2 przeprowadzanie prostych dowodów dotyczących podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.

Reszta z dzielenia przez \(7\) jest równa \(5\).

Przekształcamy wyrażenie: \[49k^2+7k-2=49k^2+7k-7+5=7(7k^2+k-1)+5.\] Ponieważ \(k\) jest liczbą całkowitą, liczba \(7k^2+k-1\) także jest całkowita. Składnik \(7(7k^2+k-1)\) jest więc podzielny przez \(7\), a reszta z dzielenia całego wyrażenia przez \(7\) wynosi \(5\).

**2 pkt** – zapisanie \(7(7k^2+k-1)+5\) oraz stwierdzenie, że \(7k^2+k-1\) jest liczbą całkowitą **1 pkt** – przekształcenie do postaci \(7(7k^2+k-1)+5\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** I.2 zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.

Liczba \(3n^2+4n+1\) jest podzielna przez \(4\).

Niech \(n=2k+1\), gdzie \(k\in\mathbb Z\). Wtedy \[3n^2+4n+1=3(2k+1)^2+4(2k+1)+1\] \[=12k^2+20k+8=4(3k^2+5k+2).\] Ponieważ \(3k^2+5k+2\) jest liczbą całkowitą, otrzymana liczba jest podzielna przez \(4\).

**2 pkt** – zapisanie \(n=2k+1\), gdzie \(k\in\mathbb Z\), przekształcenie do postaci \(4(3k^2+5k+2)\) i uzasadnienie całkowitości drugiego czynnika **1 pkt** – zapisanie \(n=2k+1\) i poprawne podstawienie do wyrażenia albo inne poprawne rozpoczęcie dowodu wskazane w kluczu CKE **0 pkt** – niepoprawna metoda, sprawdzenie tylko wybranych wartości \(n\) albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja; przeprowadzanie rozumowań i podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozwiązania. **Wymagania szczegółowe:** I.2 przeprowadzanie prostych dowodów dotyczących podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.

Dla każdego \(n\in\mathbb N\) reszta z dzielenia \(20n^2+30n+7\) przez \(5\) jest równa \(2\).

Przekształcamy \[20n^2+30n+7=5(4n^2+6n+1)+2.\] Dla \(n\in\mathbb N\) liczba \(4n^2+6n+1\) jest całkowita, a \(0\le2<5\). Z definicji reszty z dzielenia badana liczba daje więc resztę \(2\).

**2 pkt** – pełny dowód: postać \(5(4n^2+6n+1)+2\) i stwierdzenie, że \(4n^2+6n+1\) jest całkowite **1 pkt** – uzyskanie postaci \(5(4n^2+6n+1)+2\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV.1 przeprowadzanie rozumowań i podawanie argumentów uzasadniających ich poprawność. **Wymagania szczegółowe:** I.2 proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.

Dla opisanych liczb \(a\) i \(b\) suma \(a^3+b^3\) jest podzielna przez \(9\).

Dwie kolejne liczby naturalne niepodzielne przez \(3\) mają postać \(a=3k+1\), \(b=3k+2\), gdzie \(k\in\mathbb N_0\). Wtedy \[a^3+b^3=(3k+1)^3+(3k+2)^3\] \[=54k^3+81k^2+45k+9=9(6k^3+9k^2+5k+1).\] Drugi czynnik jest liczbą całkowitą, więc \(9\mid(a^3+b^3)\).

**3 pkt** – pełny dowód zakończony postacią \(9(6k^3+9k^2+5k+1)\) i uzasadnieniem całkowitości drugiego czynnika **2 pkt** – zapisanie \(a^3+b^3=(3k+1)^3+(3k+2)^3\) i poprawne rozwinięcie do \(54k^3+81k^2+45k+9\) **1 pkt** – zapisanie \(a=3k+1\), \(b=3k+2\), gdzie \(k\in\mathbb N_0\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV.1 przeprowadzanie kilkuetapowych rozumowań. **Wymagania szczegółowe:** I.2 i II.1 dowody dotyczące podzielności oraz stosowanie wzoru na sześcian sumy.

Liczba \((2n+1)^2-1\) jest podzielna przez \(8\) dla każdego \(n\in\mathbb N\), \(n\geq1\).

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: \[(2n+1)^2-1=4n^2+4n=4n(n+1).\] Liczby \(n\) i \(n+1\) są kolejnymi liczbami naturalnymi, więc jedna z nich jest parzysta. Iloczyn \(n(n+1)\) jest zatem parzysty, a liczba \(4n(n+1)\) jest podzielna przez \(8\).

**2 pkt** – przekształcenie wyrażenia do postaci \(4n(n+1)\) i uzasadnienie, że \(n(n+1)\) jest parzyste (albo inne pełne, poprawne rozumowanie wskazane w kluczu CKE) **1 pkt** – przekształcenie wyrażenia do postaci \(4n(n+1)\), \(4(n^2+n)\) lub \(2n(2n+2)\), bez pełnego uzasadnienia podzielności przez \(8\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań oraz podawanie argumentów uzasadniających ich poprawność. **Wymagania szczegółowe:** I.2 zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.

\(3n^3+18n^2+15n=3n(n+1)(n+5)\), więc liczba jest podzielna przez \(6\).

Rozkładamy wyrażenie na czynniki: \[3n^3+18n^2+15n=3n(n^2+6n+5)=3n(n+1)(n+5).\] Czynnik \(3\) zapewnia podzielność przez \(3\). Liczby \(n\) i \(n+1\) są kolejne, więc jedna z nich jest parzysta; iloczyn \(n(n+1)\) jest zatem podzielny przez \(2\). Całe wyrażenie jest jednocześnie podzielne przez \(2\) i \(3\), a więc przez \(6\).

**2 pkt** – pełne uzasadnienie podzielności jednocześnie przez \(2\) i przez \(3\) **1 pkt** – rozkład \(3n(n+1)(n+5)\) lub inne poprawne częściowe uzasadnienie podzielności przez \(2\) albo \(3\) **0 pkt** – niepoprawne rozumowanie albo brak rozwiązania

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste - podzielność liczb naturalnych i dowód algebraiczny.

Liczba \(5n^2+15n\) jest podzielna przez \(10\) dla każdego \(n\in\mathbb N\).

Wyłączamy wspólny czynnik: \[5n^2+15n=5n(n+3).\] Liczby \(n\) i \(n+3\) mają różną parzystość, ponieważ różnią się o liczbę nieparzystą. Jedna z nich jest więc parzysta, a iloczyn \(n(n+3)\) jest podzielny przez \(2\). Całe wyrażenie zawiera ponadto czynnik \(5\), zatem jest podzielne przez \(2\cdot5=10\).

**2 pkt** – pełny dowód: rozpatrzenie przypadków \(n=2k\) i \(n=2k+1\) albo przekształcenie do postaci \(5n(n+3)\) i uzasadnienie podzielności przez \(2\) oraz przez \(5\) **1 pkt** – przekształcenie do postaci \(5n(n+3)\) albo poprawne rozpatrzenie jednego z przypadków parzystości **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, podawanie argumentów i odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** I.2 przeprowadzanie prostych dowodów dotyczących podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.

Dla każdego \(n\in\mathbb N\) reszta z dzielenia przez \(5\) jest równa \(3\).

Przekształcamy wyrażenie: \[10n^2+30n+8=10n^2+30n+5+3\] \[=5(2n^2+6n+1)+3.\] Dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(2n^2+6n+1\) jest całkowita, więc \(5(2n^2+6n+1)\) jest wielokrotnością \(5\). Zatem wyrażenie \(10n^2+30n+8\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(3\).

**2 pkt** – przekształcenie do postaci \(5(2n^2+6n+1)+3\) i zapisanie, że \(2n^2+6n+1\) jest liczbą całkowitą **1 pkt** – przekształcenie do postaci \(5(2n^2+6n+1)+3\) **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań i podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania. **Wymagania szczegółowe:** I.2 przeprowadzanie prostych dowodów dotyczących podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.

Rozkład na czynniki daje \(n^{5}-3n^{4}-n+3=(n-3)(n-1)(n+1)\left(n^{2}+1\right)\). Dla nieparzystego \(n=2k+1\) każdy z czterech czynników jest parzysty, więc iloczyn równa się \(16\,(k-1)k(k+1)\left(2k^{2}+2k+1\right)\) i jest podzielny przez \(16\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie na podzielność. Mamy wykazać podzielność przez \(16=2^{4}\), więc najlepszą strategią jest **rozłożenie wyrażenia na czynniki** i pokazanie, że dla nieparzystego \(n\) co najmniej cztery z tych czynników są parzyste. Wtedy w iloczynie da się wyłączyć \(2\cdot2\cdot2\cdot2=16\). **Krok \(2\).** Grupujemy wyrazy parami: \[n^{5}-3n^{4}-n+3=\left(n^{5}-3n^{4}\right)+\left(-n+3\right).\] Z pierwszej pary wyłączamy \(n^{4}\), z drugiej \(-1\): \[n^{4}(n-3)-(n-3).\] **Krok \(3\).** Wyłączamy wspólny czynnik \((n-3)\): \[n^{5}-3n^{4}-n+3=(n-3)\left(n^{4}-1\right).\] **Krok \(4\).** Drugi czynnik rozkładamy dwukrotnie wzorem na różnicę kwadratów: \[n^{4}-1=\left(n^{2}\right)^{2}-1^{2}=\left(n^{2}-1\right)\left(n^{2}+1\right)=(n-1)(n+1)\left(n^{2}+1\right).\] **Krok \(5\).** Otrzymujemy pełny rozkład: \[n^{5}-3n^{4}-n+3=(n-3)(n-1)(n+1)\left(n^{2}+1\right).\] **Krok \(6\).** Korzystamy z założenia: \(n\) jest nieparzysta, więc \(n=2k+1\) dla pewnej liczby całkowitej \(k\). Podstawiamy do każdego czynnika: \[n-3=2k-2=2(k-1),\qquad n-1=2k,\qquad n+1=2k+2=2(k+1),\] \[n^{2}+1=(2k+1)^{2}+1=4k^{2}+4k+2=2\left(2k^{2}+2k+1\right).\] Każdy z czterech czynników jest więc parzysty. **Krok \(7\).** Mnożymy i wyciągamy dwójki przed nawias: \[2(k-1)\cdot2k\cdot2(k+1)\cdot2\left(2k^{2}+2k+1\right)=16\cdot(k-1)\,k\,(k+1)\left(2k^{2}+2k+1\right).\] **Krok \(8\).** Wyrażenie \((k-1)k(k+1)\left(2k^{2}+2k+1\right)\) jest liczbą całkowitą, bo powstaje z liczby całkowitej \(k\) przez dodawanie i mnożenie. Zatem badane wyrażenie jest iloczynem liczby \(16\) i liczby całkowitej, czyli jest podzielne przez \(16\). To kończy dowód. **Uwaga.** Założenie o nieparzystości \(n\) jest naprawdę potrzebne — to ono sprawia, że wszystkie cztery czynniki są parzyste **jednocześnie**. Dla \(n\) parzystego teza nie zachodzi: dla \(n=2\) mamy \(32-48-2+3=-15\), a \(-15\) nie dzieli się przez \(16\). **Odpowiedź.** Dla \(n=2k+1\) zachodzi \(n^{5}-3n^{4}-n+3=16\,(k-1)k(k+1)\left(2k^{2}+2k+1\right)\), więc dla każdej liczby nieparzystej \(n\) wyrażenie jest podzielne przez \(16\).

**Schemat oceniania II sposobu rozwiązania** **1 pkt** – gdy zapisze wraz z odpowiednimi założeniami wyrażenie \((2k+1)^{5}-3(2k+1)^{4}-(2k+1)+19\) i przekształci poprawnie przynajmniej jedno z wyrażeń: \((2k+1)^{5}=32n^{5}+80n^{4}+80n^{3}+40n^{2}+10n+1\) lub \((2k+1)^{4}=16n^{4}+32n^{3}+24n^{2}+8n+1\). **2 pkt** – gdy doprowadzi wyrażenie do postaci \(32n^{5}+32n^{4}-16n^{3}-32n^{2}-16n+16\) i nie uzasadni, że to wyrażenie jest podzielne przez \(16\). **3 pkt** – gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.

Zadanie 8. (0–3) Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej n wyrażenie n5 − 3n4 − n + 3 jest podzielne przez 16. Rozwiązanie (I sposób) Przekształcamy wyrażenie n5 − 3n4 − n + 3 równoważnie w następujący sposób n4 ⋅ ( n − 3 ) − ( n − 3 ) ( n4 −1 ) ⋅ ( n − 3 ) ( n2 −1 ) ⋅ ( n2 + 1 ) ⋅ ( n − 3 ) ( n −1 ) ⋅ ( n + 1 ) ⋅ ( n2 + 1 ) ⋅ ( n − 3 ) ( ) Liczba n jest nieparzysta więc liczby ( n − 1 ) , ( n + 1 ) , n2 + 1 , ( n − 3 ) są parzyste zatem ich iloczyn jest podzielny przez 24.Wyrażenie jest sumą dwóch składników podzielnych przez 16 więc jest podzielne przez 16. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje .............................................................................................................. 1 p. ( ) gdy zapisze wyrażenie w postaci: n4 −1 ⋅ ( n − 3 ) + 16 . Zdający otrzymuje .............................................................................................................. 2 p. ( ) gdy zapisze nierówność w postaci: ( n −1 ) ⋅ ( n +1 ) ⋅ n2 +1 ⋅ ( n − 3 ) +16 i nie uzasadni podzielności przez 16. Zdający otrzymuje .............................................................................................................. 3 p. gdy przeprowadzi pełne rozumowanie. Rozwiązanie (II sposób) Ponieważ liczba n jest nieparzysta możemy zapisać ją w postaci 2k+1, gdzie k jest liczbą całkowitą. Wyrażenie n5 − 3n4 − n + 3 przyjmuje postać:

Mamy \(n^{5}\)−\(3\)\(n^{4}\)−n+\(19\)=(n−\(1\))(n+\(1\))(\(n^{2}\)+\(1\))(n−\(3\))+\(16\). Dla nieparzystego n każdy z czterech czynników w iloczynie jest parzysty, więc iloczyn jest podzielny przez \(16\); drugi składnik także jest podzielny przez \(16\).

**Krok \(1\).** Mamy dowieść podzielności przez \(16=2^4\), a założenie mówi o liczbie nieparzystej. Dla nieparzystego \(n\) parzyste są wyrażenia typu \(n-1\), \(n+1\), \(n-3\), \(n^2+1\). Pomysł: rozłożyć wyrażenie na iloczyn czterech takich czynników plus stała podzielna przez \(16\). **Krok \(2\).** Odejmujemy i dodajemy \(16\), aby wyodrębnić wygodną resztę: \[n^5-3n^4-n+19=\left(n^5-3n^4-n+3\right)+16.\] **Krok \(3\).** Nawias grupujemy parami i wyłączamy wspólne czynniki: \[n^5-3n^4-n+3=n^4(n-3)-(n-3)=(n-3)\left(n^4-1\right).\] **Krok \(4\).** Rozkładamy \(n^4-1\) dwukrotnie wzorem na różnicę kwadratów: \[n^4-1=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=(n-1)(n+1)\left(n^2+1\right).\] **Krok \(5\).** Otrzymujemy zatem \[n^5-3n^4-n+19=(n-3)(n-1)(n+1)\left(n^2+1\right)+16.\] **Krok \(6\).** Niech \(n\) będzie nieparzyste. Wtedy \(n-3\), \(n-1\), \(n+1\) są parzyste (liczba nieparzysta minus lub plus liczba nieparzysta daje parzystą), a \(n^2\) jest nieparzysty, więc \(n^2+1\) też jest parzysty. **Krok \(7\).** Iloczyn czterech liczb parzystych zawiera czynnik \(2^4=16\), więc pierwszy składnik jest podzielny przez \(16\). **Krok \(8\).** Drugi składnik to \(16\), również podzielny przez \(16\). Suma dwóch liczb podzielnych przez \(16\) jest podzielna przez \(16\), co kończy dowód. **Uwaga.** Rozkład warto sprawdzić rachunkiem: \((n-3)\left(n^4-1\right)=n^5-3n^4-n+3\), a po dodaniu \(16\) rzeczywiście wychodzi \(n^5-3n^4-n+19\). Kontrola liczbowa: dla \(n=1\) wyrażenie równa się \(16\), dla \(n=3\) też \(16\), a dla \(n=5\) daje \(1264=16\cdot79\). **Odpowiedź.** Ponieważ \(n^5-3n^4-n+19=(n-3)(n-1)(n+1)\left(n^2+1\right)+16\), a dla nieparzystego \(n\) wszystkie cztery czynniki iloczynu są parzyste, całe wyrażenie jest podzielne przez \(16\).

Schemat oceniania I sposobu rozwiązania. **[…] pkt** – gdy zdający zapisze wyrażenie w postaci: \((n-1)(n+1)(n^{2}+1)(n-3)+16\). **2 pkt** – gdy zdający zapisze wyrażenie w postaci \((n-1)(n+1)(n^{2}+1)(n-3)+16\) i nie uzasadni podzielności przez \(16\). **[…] pkt** – gdy zdający przeprowadzi pełne rozumowanie. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania. **[…] pkt** – gdy zdający zapisze wraz z odpowiednimi założeniami wyrażenie \((2k+1)\) […] i przekształci poprawnie przynajmniej jedno z wyrażeń. **[…] pkt** – gdy zdający doprowadzi wyrażenie do postaci \(32k^{5}+32k^{4}-16k^{3}-32k^{2}-16k+16\) i nie uzasadni, że to wyrażenie jest podzielne przez \(16\). **3 pkt** – gdy zdający przeprowadzi pełne rozumowanie.

Klasyfikacja rzeczowa: dowodzenie podzielności wyrażenia algebraicznego przez rozkład na czynniki i wykorzystanie parzystości.

**D.** \(6\)

Zauważmy, że \[\frac{224}{1111}=\frac{2016}{9999}=0,\overline{2016}.\] Okres ma długość \(4\). Ponieważ \(20\) jest wielokrotnością \(4\), dwudziesta cyfra po przecinku jest czwartą cyfrą okresu, czyli \(6\).

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje odpowiedzi bez osobnej tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste - rozwinięcie dziesiętne okresowe liczby wymiernej i cyfra na wskazanej pozycji.

Teza została wykazana: reszta z dzielenia przez \(8\) jest równa \(6\).

Cztery kolejne liczby naturalne zapisujemy jako \(n,\ n+1,\ n+2,\ n+3\). Suma ich kwadratów wynosi \[n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}+(n+3)^{2}=4n^{2}+12n+14.\] Rozpatrujemy dwa przypadki ze względu na parzystość \(n\). Jeżeli \(n=2k\), to \[4n^{2}+12n+14=16k^{2}+24k+14=8\left(2k^{2}+3k+1\right)+6.\] Jeżeli \(n=2k+1\), to \[4n^{2}+12n+14=16k^{2}+16k+4+24k+12+14=16k^{2}+40k+30=8\left(2k^{2}+5k+3\right)+6.\] W obu przypadkach liczba w nawiasie jest całkowita, a reszta wynosi \(6\), przy czym \(0\le6<8\). **Odpowiedź.** Reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez \(8\) jest równa \(6\), co należało wykazać.

1 pkt: poprawne przekształcenie sumy. 2 pkt: pełne uzasadnienie dla parzystego i nieparzystego n.

Zadanie 28. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.

Mamy \(k^{3}\)m−k\(m^{3}\)=km(k−\(1\))(k+\(1\))−km(m−\(1\))(m+\(1\)). W każdym składniku występuje iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, a więc liczba podzielna przez \(2\) i przez \(3\), czyli przez \(6\). Różnica tych składników również jest podzielna przez \(6\).

**Krok \(1\).** Trzeba wykazać podzielność przez \(6\). Ponieważ \(6=2\cdot3\), a \(2\) i \(3\) są względnie pierwsze, wystarczy pokazać, że liczba dzieli się przez \(2\) i przez \(3\). Najprościej jednak dojść do iloczynu trzech kolejnych liczb całkowitych — taki iloczyn zawsze dzieli się przez \(6\), więc cała praca sprowadza się do sprytnego rozkładu wyrażenia. **Krok \(2\).** Zauważmy, że dla dowolnych \(k\) i \(m\) \[k^3m-km^3=km\left(k^2-1\right)-km\left(m^2-1\right),\] bo po rozwinięciu prawej strony otrzymujemy \(k^3m-km-km^3+km=k^3m-km^3\). **Krok \(3\).** Każdy z dwóch składników rozkładamy dalej, korzystając ze wzoru \(k^2-1=(k-1)(k+1)\): \[km\left(k^2-1\right)=m\cdot(k-1)k(k+1),\qquad km\left(m^2-1\right)=k\cdot(m-1)m(m+1).\] **Krok \(4\).** W obu wyrażeniach pojawił się iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych: \((k-1)k(k+1)\) oraz \((m-1)m(m+1)\). **Krok \(5\).** Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych co najmniej jedna jest parzysta (bo parzyste i nieparzyste występują na przemian) i dokładnie jedna dzieli się przez \(3\) (bo reszty z dzielenia przez \(3\) powtarzają się co trzy liczby). Iloczyn takich trzech liczb jest więc podzielny przez \(2\) i przez \(3\), a zatem przez \(6\). **Krok \(6\).** Skoro \((k-1)k(k+1)\) jest wielokrotnością \(6\), to po pomnożeniu przez liczbę całkowitą \(m\) nadal jest wielokrotnością \(6\). Tak samo \(k\cdot(m-1)m(m+1)\) jest wielokrotnością \(6\). **Krok \(7\).** Różnica dwóch liczb podzielnych przez \(6\) jest podzielna przez \(6\): jeśli \(6p\) i \(6r\) są całkowite, to \(6p-6r=6(p-r)\). **Krok \(8\).** Zatem \(k^3m-km^3\) jest podzielne przez \(6\) dla dowolnych liczb całkowitych \(k\) i \(m\), co kończy dowód. **Uwaga.** Rozumowanie nie zakłada, że \(k\) i \(m\) są dodatnie — własność „wśród trzech kolejnych liczb całkowitych jest liczba parzysta i liczba podzielna przez \(3\)” działa też dla liczb ujemnych i dla zera. Sprawdzenie na przykładzie (np. \(k=2\), \(m=5\): \(8\cdot5-2\cdot125=40-250=-210=6\cdot(-35)\)) nie jest dowodem, ale dobrze potwierdza rachunki. **Odpowiedź.** Liczba \(k^3m-km^3=m(k-1)k(k+1)-k(m-1)m(m+1)\) jest różnicą dwóch liczb podzielnych przez \(6\), więc sama jest podzielna przez \(6\) dla wszystkich całkowitych \(k\) i \(m\).

**1 pkt** – jeśli zdający uzasadni podzielność przez \(2\), albo uzasadni podzielność przez \(3\) w dwóch przypadkach spośród A, B, C, D, albo uzasadni podzielność przez \(3\) w przypadku F. **2 pkt** – jeśli zdający uzasadni podzielność przez \(2\) i uzasadni podzielność przez \(3\) w dwóch przypadkach spośród A, B, C, D, albo uzasadni podzielność przez \(2\) i uzasadni podzielność przez \(3\) w przypadku F, albo uzasadni podzielność przez \(3\), albo zapisze liczbę \(k^3m-km^3\) w postaci […]. **3 pkt** – jeśli zdający przeprowadzi pełne rozumowanie uzasadniające podzielność przez \(6\).

V. Rozumowanie i argumentacja. 2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający rozkłada wielomian na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia lub wyłączając wspólny czynnik przed nawias (R2.3). SP 2. Działania na liczbach naturalnych. Zdający rozpoznaje liczby naturalne podzielne przez 2 i przez 3 (SP2.3).

\(4^{2017}\) + \(4^{2018}\) + \(4^{2019}\) + \(4^{2020}\) = \(4^{2017}\)(\(1 + 4\) + \(4^{2}\) + \(4^{3}\)) = \(4^{2017}\cdot 85\) = \(4^{2017}\)·\(5\cdot 17\). Liczba ma więc czynnik \(17\).

**Krok \(1\).** Zadanie \(27\). (\(0-2\)) **Krok \(2\).** V. Rozumowanie **Krok \(3\).** i argumentacja. **Krok \(4\).** l. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje podstawowe **Krok \(5\).** własności potęg (l. \(5\)). **Krok \(6\).** Przykładowe rozwiązanie **Krok \(7\).** Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias \(42017\) (\(1 + 4+ 42 +43\)) . Doprowadzamy liczbę do **Krok \(8\).** \(2017\) **Odpowiedź.** \(4^{2017}\) + \(4^{2018}\) + \(4^{2019}\) + \(4^{2020}\) = \(4^{2017}\)(\(1 + 4\) + \(4^{2}\) + \(4^{3}\)) = \(4^{2017}\cdot 85\) = \(4^{2017}\)·\(5\cdot 17\). Liczba ma więc czynnik \(17\).

**1 pkt** – gdy zdający zapisze liczbę \(4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}\) w postaci iloczynu, w którym jeden z czynników jest potęgą \(4^k\), gdzie \(1985\le k\le 2017\), np. \(4^{2017}(1+4+4^2+4^3)\), i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. **2 pkt** – gdy przeprowadzi poprawny dowód.

V. Rozumowanie i argumentacja. 1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje podstawowe własności potęg (1.5).

**D.** \(7\).

Mamy \(55=6\cdot8+7\), więc reszta z dzielenia \(55\) przez \(8\) jest równa \(7\).

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE podaje tylko odpowiedź. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby naturalne, dzielenie z resztą.

**B.** \(f(44)=11\).

Największe pierwsze dzielniki wynoszą: \(f(42)=7\), \(f(44)=11\), \(f(45)=5\), \(f(48)=3\). Największa z tych wartości to \(11\).

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE podaje tylko odpowiedź. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby naturalne, dzielniki i liczby pierwsze.

\[4^{12}+4^{13}+4^{14}=42\cdot2\cdot4^{11}.\]

Wyłączamy \(4^{12}\) przed nawias: \[4^{12}+4^{13}+4^{14}=4^{12}(1+4+16)=21\cdot4^{12}.\] Ponieważ \(4^{12}=2\cdot(2\cdot4^{11})\), mamy \[21\cdot4^{12}=42\cdot(2\cdot4^{11}).\] Drugi czynnik jest liczbą całkowitą, więc dana liczba jest podzielna przez \(42\).

**2 pkt** – pełne uzasadnienie podzielności przez \(42\) **1 pkt** – poprawne wyłączenie \(4^{12}\) i otrzymanie \(21\cdot4^{12}\) **0 pkt** – rozumowanie błędne albo brak rozumowania

Klucz CKE publikuje rozwiązanie i punktację. **Klasyfikacja rzeczowa:** potęgi i podzielność liczb całkowitych.

Dla każdego \(k\in\mathbb Z\) iloczyn \(k(k+1)(k+9)(k^2+1)\) jest podzielny przez \(5\).

Rozpatrujemy pięć możliwych reszt z dzielenia \(k\) przez \(5\). Jeśli \(k\equiv0\pmod5\), podzielny przez \(5\) jest czynnik \(k\). Dla \(k\equiv1\pmod5\) podzielny jest \(k+9\). Dla \(k\equiv2\pmod5\) oraz \(k\equiv3\pmod5\) mamy \(k^2+1\equiv4+1\equiv0\pmod5\). Dla \(k\equiv4\pmod5\) podzielny jest \(k+1\). W każdym przypadku co najmniej jeden czynnik iloczynu jest wielokrotnością \(5\), co kończy dowód.

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 3 pkt** – pełny dowód obejmujący wszystkie pięć klas reszt **2 pkt** – poprawna idea rozpatrywania reszt i większość przypadków **1 pkt** – zauważenie potrzeby rozpatrzenia \(k\bmod5\) lub poprawne sprawdzenie co najmniej dwóch nietrywialnych przypadków **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność. **Wymagania szczegółowe:** 2.7. (szkoła podstawowa) Zdający rozpoznaje liczby naturalne podzielne przez \(5\).

Teza została uzasadniona: kwadrat takiej liczby daje przy dzieleniu przez \(3\) resztę \(1\).

Niech \(k\) będzie liczbą całkowitą niepodzielną przez \(3\). Wtedy przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(1\) albo \(2\), czyli \[k=3m+1\qquad\text{lub}\qquad k=3m+2\] dla pewnej liczby całkowitej \(m\). W pierwszym przypadku \[k^{2}=9m^{2}+6m+1=3\left(3m^{2}+2m\right)+1.\] W drugim przypadku \[k^{2}=9m^{2}+12m+4=3\left(3m^{2}+4m+1\right)+1.\] W obu przypadkach liczba w nawiasie jest całkowita, a reszta wynosi \(1\), przy czym \(0\le1<3\). **Odpowiedź.** Kwadrat liczby całkowitej niepodzielnej przez \(3\) daje przy dzieleniu przez \(3\) resztę \(1\), co należało uzasadnić.

**Schemat oceniania** **1 pkt** – jeżeli w przypadku liczby całkowitej, dla której reszta z dzielenia przez \(3\) jest równa \(1\), uzasadni, że reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez \(3\) jest równa \(1\) i na tym poprzestanie lub popełni błędy w dalszej części rozumowania, albo jeżeli w przypadku liczby całkowitej, dla której reszta z dzielenia przez \(3\) jest równa \(2\), uzasadni, że reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez \(3\) jest równa \(1\) i na tym poprzestanie lub popełni błędy w dalszej części rozumowania, albo jeżeli przeprowadza uzasadnienie tezy w dwóch przypadkach: kiedy reszta z dzielenia liczby całkowitej przez \(3\) jest równa \(1\) oraz kiedy reszta z dzielenia liczby całkowitej przez \(3\) jest równa \(2\), ale popełnia błędy w przynajmniej jednym z tych przypadków. **2 pkt** – jeżeli przeprowadzi poprawne uzasadnienie faktu: reszta z dzielenia przez \(3\) kwadratu liczby całkowitej, niepodzielnej przez \(3\), jest równa \(1\).

Zadanie 28. (0–2) Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez 3, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. G6.1., 2.1., G6.6. Zdający opisuje za pomocą wyrażeń algebraicznych związki między różnymi wielkościami, V. Rozumowanie używa wzorów skróconego mnożenia na a  b2 oraz i argumentacja. 2 2 a  b , wyłącza wspólny czynnik z wyrazów sumy algebraicznej poza nawias. Rozwiązanie: Ustalamy, że liczba całkowita k, która nie dzieli się przez 3, daje się zapisać na jeden z dwóch sposobów: – sposób I (gdy reszta z dzielenia przez 3 jest równa 1): k  3n 1, gdzie n jest liczbą całkowitą, – sposób II (gdy reszta z dzielenia przez 3 jest równa 2): k  3n  2 , gdzie n jest liczbą całkowitą. Przy tych ustaleniach możemy zapisać kwadrat liczby k w zależności od n. W pierwszym przypadku k 2  3n 12  9n 2  6n 1  3  3n 2  2n  1 . W drugim przypadku k 2  3n  22  9n 2 12n  4  9n 2 12n  3 1  3  3n 2  4n 1  1 2 W obu przypadkach liczba k jest sumą liczby podzielnej przez 3 i liczby 1, zatem reszta 2 z dzielenia k przez 3 jest równa 1. Schemat oceniania Zdający otrzymuje 1 pkt  jeżeli w przypadku liczby całkowitej, dla której reszta z dzielenia przez 3 jest równa 1, uzasadni, że reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez 3 jest równa 1 i na tym poprzestanie lub popełni błędy w dalszej części rozumowania albo  jeżeli w przypadku liczby całkowitej, dla której reszta z dzielenia przez 3 jest równa 2, uzasadni, że reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez 3 jest równa 1 i na tym poprzestanie lub popełni błędy w dalszej części rozumowania, albo  jeżeli przeprowadza uzasadnienie tezy w dwóch przypadkach: kiedy reszta z dzielenia liczby całkowitej przez 3 jest równa 1 oraz kiedy reszta z dzielenia liczby całkowitej przez 3 jest równa 2, ale popełnia błędy w przynajmniej jednym z tych przypadków. Zdający otrzymuje. 2 pkt jeżeli przeprowadzi poprawne uzasadnienie faktu: reszta z dzielenia przez 3 kwadratu liczby całkowitej, niepodzielnej przez 3, jest równa 1.

Dla każdej takiej liczby \(k\) zachodzi \[3k^2\equiv5\pmod7.\]

Skoro liczba całkowita \(k\) przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\), to dla pewnego \(m\in\mathbb Z\) mamy \[k=7m+2.\] Wtedy \[3k^2=3(7m+2)^2=147m^2+84m+12.\] Przekształcamy ostatnie wyrażenie: \[3k^2=7(21m^2+12m+1)+5.\] Liczba \(21m^2+12m+1\) jest całkowita, więc reszta z dzielenia \(3k^2\) przez \(7\) jest równa \(5\), co kończy dowód.

**2 pkt** – pełne uzasadnienie, że \(3k^2=7q+5\) dla pewnego \(q\in\mathbb Z\), lub równoważny poprawny dowód kongruencyjny **1 pkt** – poprawne zapisanie \(k=7m+2\) i rozpoczęcie obliczania \(3(7m+2)^2\), lecz bez pełnego uzasadnienia tezy **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak dowodu

**Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** Przeprowadzenie dowodu algebraicznego z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia (V.2.a).

Teza została wykazana: suma jest podzielna przez \(24\).

Trzy kolejne liczby naturalne parzyste zapisujemy jako \(2n\), \(2n+2\), \(2n+4\), gdzie \(n\) jest liczbą naturalną. Rozwijamy sześciany: \[(2n)^{3}=8n^{3},\] \[(2n+2)^{3}=8n^{3}+24n^{2}+24n+8,\] \[(2n+4)^{3}=8n^{3}+48n^{2}+96n+64.\] Po dodaniu \[(2n)^{3}+(2n+2)^{3}+(2n+4)^{3}=24n^{3}+72n^{2}+120n+72=24\left(n^{3}+3n^{2}+5n+3\right).\] Liczba w nawiasie jest całkowita, więc cała suma jest wielokrotnością \(24\). **Odpowiedź.** Suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez \(24\), co należało wykazać.

1 pkt: poprawne zapisanie sumy i jej przekształcenie. 2 pkt: pełny dowód podzielności przez 24.

Zadanie 28. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.

W(x)=\(\frac{1}{2}\)·(x−\(1\))(x−\(3\))(x−\(5\)). Dla nieparzystego x=\(2n\)+\(1\) mamy W(\(2n\)+\(1\))=\(4n\)(n−\(1\))(n−\(2\)). Iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez \(2\) i \(3\), więc całość jest podzielna przez \(4\cdot 2\cdot 3=24\).

**Krok \(1\).** Znamy wszystkie trzy pierwiastki wielomianu i współczynnik przy najwyższej potędze — to od razu daje postać iloczynową, znacznie wygodniejszą do badania podzielności niż postać ogólna. Drugi pomysł: liczbę nieparzystą zapisujemy jako \(2n+1\), bo wtedy w każdym nawiasie pojawi się czynnik \(2\). **Krok \(2\).** Wielomian o pierwiastkach \(1\), \(3\), \(5\) i współczynniku wiodącym \(\frac12\) ma postać \[W(x)=\frac12(x-1)(x-3)(x-5).\] **Krok \(3\).** Niech \(x=2n+1\), gdzie \(n\) jest dowolną liczbą całkowitą — w ten sposób opisujemy wszystkie liczby nieparzyste. **Krok \(4\).** Obliczamy kolejne nawiasy: \[x-1=2n,\qquad x-3=2n-2=2(n-1),\qquad x-5=2n-4=2(n-2).\] **Krok \(5\).** Podstawiamy do wzoru i wyciągamy dwójki przed nawias: \[W(2n+1)=\frac12\cdot2n\cdot2(n-1)\cdot2(n-2)=\frac{8}{2}\,n(n-1)(n-2)=4n(n-1)(n-2).\] **Krok \(6\).** Liczby \(n-2\), \(n-1\), \(n\) to trzy kolejne liczby całkowite. Wśród trzech kolejnych liczb co najmniej jedna jest parzysta i dokładnie jedna dzieli się przez \(3\), więc ich iloczyn dzieli się przez \(2\cdot3=6\). **Krok \(7\).** Zapisujemy \(n(n-1)(n-2)=6k\) dla pewnej liczby całkowitej \(k\). Wtedy \[W(2n+1)=4\cdot6k=24k,\] czyli wartość wielomianu dla każdej liczby nieparzystej jest podzielna przez \(24\). **Uwaga.** Sam czynnik \(4\) nie wystarcza — istotą dowodu jest wykazanie, że iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez \(6\). Zauważ też, że dla \(x\) nieparzystego wszystkie trzy nawiasy są parzyste, co jest możliwe tylko dlatego, że \(1\), \(3\), \(5\) są nieparzyste. **Odpowiedź.** Dla \(x=2n+1\) mamy \(W(2n+1)=4n(n-1)(n-2)\), a iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez \(6\), więc wartość wielomianu dzieli się przez \(4\cdot6=24\).

**1 pkt** – zdający zapisze wielomian w postaci iloczynowej: \(W(x)=\tfrac{1}{2}[…]\); albo zapisze wielomian w postaci ogólnej, wykorzysta informację o pierwiastkach wielomianu i zapisze układ równań pozwalający obliczyć współczynniki tego wielomianu, np. \(W(x)=\tfrac{1}{2}x^{3}+ax^{2}+bx+c\) i […]. **2 pkt** – zdający zapisze wartość wielomianu dla liczby całkowitej nieparzystej, np. \(W(2n+1)=[…]\); albo obliczy współczynniki wielomianu i zapisze wartość wielomianu dla liczby całkowitej nieparzystej, np.: \(W(2n+1)=[…]\). **3 pkt** – zdający zapisze wartość wielomianu dla liczby całkowitej nieparzystej w postaci […]. **4 pkt** – zdający uzasadni, że wartość wielomianu dla liczby całkowitej nieparzystej jest podzielna przez \(24\).

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: postać iloczynowa wielomianu i podzielność iloczynu kolejnych liczb całkowitych.

Liczba \(\left(1+2013^{2}\right)\left(1+2013^{4}\right)\) jest dzielnikiem podanej sumy.

Oznaczmy \(x=2013\). Rozważana suma to \[1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{7}.\] Grupujemy wyrazy parami i wyłączamy wspólne czynniki: \[(1+x)+x^{2}(1+x)+x^{4}(1+x)+x^{6}(1+x)=(1+x)\left(1+x^{2}+x^{4}+x^{6}\right).\] Drugi nawias grupujemy tak samo: \[1+x^{2}+x^{4}+x^{6}=\left(1+x^{2}\right)+x^{4}\left(1+x^{2}\right)=\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right).\] Zatem \[1+x+\ldots+x^{7}=(1+x)\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right).\] Iloczyn \(\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)\) jest więc dzielnikiem tej liczby, a ilorazem jest liczba całkowita \(1+x=2014\). **Odpowiedź.** \(\left(1+2013^{2}\right)\left(1+2013^{4}\right)\) jest dzielnikiem liczby \(1+2013+\ldots+2013^{7}\), co należało wykazać.

1 pkt: częściowy poprawny rozkład na czynniki. 2 pkt: pełny dowód podzielności.

Zadanie 30. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.

Liczba jest podzielna przez \(17\).

Wyłączamy przed nawias najniższą występującą potęgę, czyli \(6^{98}\): \[6^{100}-2\cdot6^{99}+10\cdot6^{98}=6^{98}\left(6^{2}-2\cdot6+10\right).\] Obliczamy wartość nawiasu: \[36-12+10=34=2\cdot17.\] Zatem \[6^{100}-2\cdot6^{99}+10\cdot6^{98}=17\cdot\left(2\cdot6^{98}\right),\] a liczba \(2\cdot6^{98}\) jest całkowita, więc cała liczba jest podzielna przez \(17\). **Odpowiedź.** Liczba \(6^{100}-2\cdot6^{99}+10\cdot6^{98}\) jest podzielna przez \(17\), co należało wykazać.

1 pkt: zapisanie liczby w postaci iloczynu z czynnikiem 6ᵏ dla 80 ≤ k ≤ 98, np. 6⁹⁸(6² − 2·6 + 10). 2 pkt: zapisanie postaci, z której wynika podzielność przez 17, albo inne pełne uzasadnienie.

Rozumowanie i argumentacja. Przeprowadzenie dowodu algebraicznego (V.1.g).

Takich liczb jest \(180\). Trzycyfrowych wielokrotności \(6\) jest \(150\), wielokrotności \(15\) jest \(60\), a wielokrotności obu liczb, czyli \(30\), jest \(30\). Z zasady włączeń i wyłączeń: \(150+60\)−\(30=180\).

**Krok \(1\).** Spójnik lub oznacza sumę dwóch zbiorów: liczb podzielnych przez \(6\) i liczb podzielnych przez \(15\). Zbiory te zachodzą na siebie (są liczby podzielne jednocześnie przez \(6\) i przez \(15\)), więc nie wolno po prostu dodać ich liczebności — używamy zasady włączeń i wyłączeń \[|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.\] **Krok \(2\).** Liczby trzycyfrowe to liczby od \(100\) do \(999\). **Krok \(3\).** Wielokrotności \(6\): najmniejsza trzycyfrowa to \(102\), największa to \(996\). Tworzą one ciąg arytmetyczny o różnicy \(6\), więc jest ich \[\frac{996-102}{6}+1=\frac{894}{6}+1=149+1=150.\] **Krok \(4\).** Wielokrotności \(15\): od \(105\) do \(990\), różnica \(15\), zatem jest ich \[\frac{990-105}{15}+1=\frac{885}{15}+1=59+1=60.\] **Krok \(5\).** Część wspólna to liczby podzielne jednocześnie przez \(6\) i przez \(15\), czyli podzielne przez ich najmniejszą wspólną wielokrotność. Ponieważ \(6=2\cdot3\) i \(15=3\cdot5\), mamy \(\mathrm{NWW}(6,15)=2\cdot3\cdot5=30\). **Krok \(6\).** Wielokrotności \(30\): od \(120\) do \(990\), różnica \(30\), więc jest ich \[\frac{990-120}{30}+1=29+1=30.\] **Krok \(7\).** Podstawiamy do wzoru: \[150+60-30=180.\] **Uwaga.** Najczęstsza pomyłka to przyjęcie, że liczby podzielne przez \(6\) i przez \(15\) to liczby podzielne przez \(6\cdot15=90\). Wspólny czynnik \(3\) liczymy tylko raz, dlatego właściwą liczbą jest \(30\). Druga pułapka to zapomnienie o odjęciu części wspólnej, co daje błędne \(210\). **Odpowiedź.** Takich liczb jest \(180\).

**1 pkt** – gdy stosuje poprawną metodę rozwiązania zadania i popełnia błędy w obliczeniu \(\lvert A_{6}\rvert\) lub \(\lvert A_{15}\rvert\). **2 pkt** – gdy stosując poprawną metodę rozwiązania zadania obliczy \(\lvert A_{6}\rvert\) oraz \(\lvert A_{15}\rvert\) i na tym poprzestanie lub błędnie obliczy \(\lvert A_{30}\rvert\). **3 pkt** – gdy rozwiąże zadanie bezbłędnie.

IV. Użycie i tworzenie strategii. Wykorzystanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych (IV.10.R).

Teza została uzasadniona: reszta z dzielenia przez \(3\) jest równa \(2\).

Trzy kolejne liczby całkowite zapisujemy symetrycznie jako \(n-1\), \(n\), \(n+1\), gdzie \(n\) jest liczbą całkowitą. Suma ich kwadratów wynosi \[(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}=n^{2}-2n+1+n^{2}+n^{2}+2n+1=3n^{2}+2.\] Liczba \(3n^{2}\) jest podzielna przez \(3\), a \(0\le2<3\), więc reszta z dzielenia całej sumy przez \(3\) wynosi dokładnie \(2\). **Odpowiedź.** Suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych daje przy dzieleniu przez \(3\) resztę \(2\), co należało uzasadnić.

1 pkt: poprawne rozwinięcie sumy kwadratów. 2 pkt: dowód, że reszta z dzielenia przez 3 wynosi 2.

Zadanie 29. (0–2) Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu algebraicznego (V.1.a) I sposób rozwiązania Weźmy trzy kolejne liczby całkowite n 1, n , n 1. Wówczas  n 12  n2   n 12  n2  2n 1 n2  n2  2n 1  3n2  2 , więc reszta z dzielenia sumy ich kwadratów przez 3 jest równa 2. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy zapisze sumę kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych w postaci  n 12  n2   n 12  3n2  2 II sposób rozwiązania Weźmy trzy kolejne liczby całkowite n , n 1, n  2 . Wówczas n2   n 12   n  22  3n2  6n  5  3  n2  2n 1   2 , więc reszta z dzielenia sumy ich kwadratów przez 3 jest równa 2. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy zapisze sumę kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych, doprowadzi wyrażenie do postaci n2   n 12   n  22  3n2  6n  5 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy zapisze sumę kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych w postaci n2   n 12   n  22  3n2  6n  3  2 lub n2   n 12   n  22  3  n2  2n 1   2 . Uwaga Mogą się zdarzyć rozwiązania wykorzystujące kongruencje: wśród trzech kolejnych liczb jest jedna podzielna przez 3 (oznaczymy ją przez a), jedna dająca przy dzieleniu przez 3 resztę 1 (oznaczymy ją przez b) i jedna dająca przy dzieleniu przez 3 resztę 2 (oznaczymy ją przez c). Mamy zatem a  0 mod 3 , b  1mod 3 , c  2 mod 3 . Wówczas a2  b2  c2  02 12  22  5  2  mod 3 . Egzamin maturalny z matematyki 11 Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy

Przypuśćmy, że W(x)=a\(x^{3}\)+b\(x^{2}\)+cx+d ma całkowite współczynniki. Z W(\(2\))=\(3\) i W(−\(2\))=\(2\) otrzymujemy \(8a\)+\(4b\)+\(2c\)+d=\(3\) oraz −\(8a\)+\(4b\)−\(2c\)+d=\(2\). Po dodaniu równań mamy \(8b\)+\(2d\)=\(5\), co jest niemożliwe, bo lewa strona jest parzysta, a prawa nieparzysta.

**Krok \(1\).** Mamy wykazać, że pewien obiekt nie istnieje. Naturalna metoda to dowód nie wprost: zakładamy, że taki wielomian istnieje, i doprowadzamy do sprzeczności. Ponieważ współczynniki mają być całkowite, sprzeczności szukamy w parzystości. **Krok \(2\).** Przypuśćmy, że istnieje wielomian stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych \[W(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\qquad a,b,c,d\in\mathbb{Z},\ a\neq0,\] spełniający oba warunki. **Krok \(3\).** Z warunku \(W(2)=3\) otrzymujemy \[8a+4b+2c+d=3.\] **Krok \(4\).** Z warunku \(W(-2)=2\) otrzymujemy \[-8a+4b-2c+d=2.\] **Krok \(5\).** Dodajemy oba równania stronami. Robimy to celowo: składniki z \(a\) i z \(c\) mają przeciwne znaki, więc się zredukują: \[8b+2d=5.\] **Krok \(6\).** Lewą stronę zapisujemy w postaci \(2(4b+d)\). Liczby \(b\) i \(d\) są całkowite, więc \(4b+d\) jest liczbą całkowitą, a zatem lewa strona jest liczbą parzystą. **Krok \(7\).** Prawa strona równa się \(5\), czyli jest nieparzysta. Liczba parzysta nie może być równa nieparzystej — otrzymaliśmy sprzeczność. **Krok \(8\).** Sprzeczność wynikła z założenia o istnieniu takiego wielomianu, więc taki wielomian nie istnieje. **Uwaga.** Nie próbujemy tu rozwiązywać układu równań — ma on cztery niewiadome i dwa równania, więc niczego nie wyznaczymy. Cała siła dowodu tkwi w porównaniu parzystości obu stron. **Odpowiedź.** Gdyby taki wielomian istniał, to z \(W(2)=3\) i \(W(-2)=2\) po dodaniu stronami wynikałoby \(8b+2d=5\), czyli liczba parzysta byłaby równa nieparzystej. Taki wielomian nie istnieje.

Zadanie 6. (3 pkt) Wykaż, że nie istnieje wielomian W (x) stopnia trzeciego o współczynnikach całkowityc który spełnia warunki: W (2) = 3 i 2 I sposób rozwiązania Zapisujemy wielomian stopnia trzeciego w postaci ogólnej W (x) = ax3 + bx2 + cx+d , gdz a, b, c, d są liczbami całkowitymi Ponieważ W (2) = 3 , to 8a +4b+ 2c+ d = 3 i ponieważ W 2) = 2, to —8a +4b—2c+d = 2 Po dodaniu otrzymanych równań stronami otrzymujemy równanie 8b+ 2d = 5 , co 2 (4b + d) = 5 . Ponieważ prawa strona równania jest nieparzysta, a lewa jest parzysta (b, d zgodnie z założeniem liczbami całkowitymi), to zapisujemy wniosek, że taki wielomian n istnieje. II sposób rozwiązania Zapisujemy wielomian stopnia trzeciego w postaci ogólnej W (x) = ax3 + bx2 + cx+d , gdz a, b, c, d są liczbami całkowitymi Ponieważ W (2) = 3 , to 8a + 4b + 2c + d = 3 , zatem d musi być liczbą nieparzystą. Ponieważ W 2) = 2 , to —8a + 4b — 2c + d = 2 , zatem d musi być liczbą parzystą. Zatem nie istnieje wielomian spełniający warunki zadania. Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Uwaga: Jeżeli zdający rozpatruje wielomian stopnia drugiego zamiast stopnia trzeciego, to otrzymu O punktów. Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełne! rozwiązania Zapisanie ogólnej postaci wielomianu trzeciego stopnia: W (x) = ax3 + bx2 + cx + d , gdzie a, b, c, d są liczbami całkowitymi Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................... Zapisanie układu równań z niewiadomymi a, b, c, d: 8a+4b+2c+d=3 -8a+4b-2c+d=2 Rozwiązanie pełne Dodanie stronami obu równań: 8b + 2d = 5 oraz • zauważenie, że lewa strona równania 8b + 2d = 5 jest parzysta, a prawa nieparzys i sformułowanie wniosku, że nie istnieje wielomian spełniający podane warunki albo • zauważenie, że d w równaniu 8a+4b+2c+d = 3 musi być nieparzyste, a w równan —8a+4b—2c+d = 2 parzyste i sformułowanie wniosku, że nie istnieje wielomu spełniający podane warunki 2011-09-14 Uwagi: 12 Poziom rozszerzony l. Jeżeli zdający zauważy, że d w równaniu 8a+4b+2c+d = 3 jest nieparzyste, a równaniu —8a+4b—2c+d = 2 jest parzyste i nie sformułuje wniosku, to otrzymu 2 punkty. 2. Jeżeli zdający zauważy, że lewa strona równania 8b + 2d = 5 jest parzysta, a prav nieparzysta i nie sformułuje wniosku, to otrzymuje 2 punkty 2011-09-14 13

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: rozumowanie o parzystości wartości wielomianu o współczynnikach całkowitych.

Liczba jest wielokrotnością \(10\) dla każdej dodatniej liczby całkowitej \(n\).

Grupujemy wyrazy o tej samej podstawie i wyłączamy wspólne czynniki: \[3^{n+2}-2^{n+2}+3^{n}-2^{n}=3^{n}\left(3^{2}+1\right)-2^{n}\left(2^{2}+1\right)=10\cdot3^{n}-5\cdot2^{n}.\] Dla \(n\ge1\) zachodzi \(2^{n}=2\cdot2^{n-1}\), więc \[5\cdot2^{n}=10\cdot2^{n-1},\] a zatem \[3^{n+2}-2^{n+2}+3^{n}-2^{n}=10\left(3^{n}-2^{n-1}\right).\] Liczba \(3^{n}-2^{n-1}\) jest całkowita, więc rozważana liczba jest wielokrotnością \(10\). **Odpowiedź.** Liczba \(3^{n+2}-2^{n+2}+3^{n}-2^{n}\) jest wielokrotnością \(10\) dla każdej dodatniej liczby całkowitej \(n\), co należało uzasadnić.

**1 pkt** – gdy zapisze liczbę \([\ldots]\) w postaci \(3^{n}\cdot 10-2^{n}\cdot 5\). **2 pkt** – gdy przeprowadzi pełne rozumowanie, np. przekształci liczbę \(3^{n}\cdot 10-2^{n}\cdot 5\) do postaci \(10\left(3^{n}-2^{n-1}\right)\) i zapisze, że \(3^{n}-2^{n-1}\) jest liczbą całkowitą, albo zapisze liczbę w postaci \(3^{n}\cdot 10-2^{n}\cdot 5\) i uzasadni, że jest podzielna przez \(10\). Uwaga: jeśli zdający zapisuje kolejno \(3^{n}\left(3^{2}+1\right)-2^{n}\left(2^{2}+1\right)\), \(10\cdot 3^{n}-5\cdot 2^{n}\), i uzasadnia, że \(2\cdot 3^{n}-2^{n}\) jest liczbą podzielną przez \(2\), to otrzymuje \(2\) punkty.

Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.

Wyrażenie \(k^{6}-2k^{4}+k^{2}\) jest równe \(\bigl[(k-1)k(k+1)\bigr]^{2}\). Iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez \(2\) i przez \(3\), czyli przez \(6\), a zatem jego kwadrat dzieli się przez \(36\).

**Krok \(1\).** Mamy wykazać podzielność wyrażenia przez \(36\). Przy takich dowodach prawie zawsze rozkładamy wyrażenie na czynniki i szukamy w nim struktury, o której coś wiemy. Pomocna jest obserwacja, że \(36=6^2\), więc wystarczy wskazać w wyrażeniu kwadrat liczby podzielnej przez \(6\). **Krok \(2\).** Wyłączamy \(k^2\) przed nawias: \[k^6-2k^4+k^2=k^2\left(k^4-2k^2+1\right).\] **Krok \(3\).** Nawias jest kwadratem różnicy, bo \(k^4-2k^2+1=(k^2)^2-2\cdot k^2\cdot 1+1^2\): \[k^4-2k^2+1=\left(k^2-1\right)^2.\] **Krok \(4\).** Wstawiamy to z powrotem i wciągamy \(k^2\) pod kwadrat, korzystając z \(k^2=(k)^2\): \[k^2\left(k^2-1\right)^2=\left[k\left(k^2-1\right)\right]^2=\bigl[(k-1)k(k+1)\bigr]^2,\] bo \(k^2-1=(k-1)(k+1)\). **Krok \(5\).** W nawiasie kwadratowym stoi iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych: \(k-1\), \(k\), \(k+1\). Wystarczy pokazać, że ten iloczyn dzieli się przez \(6\), bo wtedy jego kwadrat dzieli się przez \(6^2=36\). **Krok \(6\).** Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych co najmniej jedna jest parzysta (liczby parzyste i nieparzyste występują na przemian), więc iloczyn dzieli się przez \(2\). Ponadto dokładnie jedna z trzech kolejnych liczb jest podzielna przez \(3\) (reszty z dzielenia przez \(3\) powtarzają się cyklicznie \(0,1,2\)), więc iloczyn dzieli się przez \(3\). **Krok \(7\).** Liczby \(2\) i \(3\) są względnie pierwsze, więc z podzielności przez \(2\) i przez \(3\) wynika podzielność przez \(6\). Istnieje zatem liczba całkowita \(m\) taka, że \[(k-1)k(k+1)=6m.\] **Krok \(8\).** Podnosimy do kwadratu: \[k^6-2k^4+k^2=(6m)^2=36m^2,\] a \(m^2\) jest liczbą całkowitą. To kończy dowód. **Uwaga.** Rozumowanie działa dla każdej liczby całkowitej \(k\), także dla \(k=0\) i dla \(k\) ujemnych: trzy kolejne liczby całkowite to trzy kolejne liczby całkowite niezależnie od znaku, a dla \(k=0\) iloczyn jest równy \(0\), które też dzieli się przez \(36\). **Odpowiedź.** \(k^6-2k^4+k^2=\bigl[(k-1)k(k+1)\bigr]^2\), a iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez \(6\), więc jego kwadrat dzieli się przez \(36\).

**Rozwiązanie, w którym jest postęp** – zapisanie liczby \(n^{2}=k^{6}-2k^{4}+k^{2}\) w jednej z następujących postaci iloczynowych: \(\left(k^{3}-k\right)^{2}\), \([\ldots]\) **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – wykazanie podzielności liczby \(n\) przez \(2\) albo przez \(3\). **3 pkt** – wykazanie podzielności liczby \(n\) przez \(2\) i przez \(3\) albo stwierdzenie, że iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez \(6\). **Rozwiązanie pełne** – wyciągnięcie wniosku o podzielności liczby \(n^{2}\) przez \(36\). Uwaga: zdający może zauważyć, że \([\ldots]\); przyznajemy wtedy \(3\) punkty.

IV. Użycie i tworzenie strategii. Wykorzystanie cech podzielności liczb całkowitych.

\(16!\) jest podzielne przez \(2^{15}\) — w rozkładzie tej liczby na czynniki pierwsze występuje dokładnie \(15\) dwójek.

**Krok \(1\).** Mamy wykazać podzielność przez potęgę liczby pierwszej. Liczba jest podzielna przez \(2^{15}\) dokładnie wtedy, gdy w jej rozkładzie na czynniki pierwsze dwójka występuje co najmniej \(15\) razy. Nie musimy więc obliczać iloczynu \(1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot16\) — wystarczy policzyć dwójki. **Krok \(2\).** Czynniki nieparzyste, czyli \(1,3,5,7,9,11,13,15\), nie zawierają w swoim rozkładzie ani jednej dwójki. Odkładamy je na bok i zajmujemy się tylko czynnikami parzystymi. **Krok \(3\).** Rozkładamy każdy czynnik parzysty na czynniki pierwsze: \[2=2^1,\qquad 4=2^2,\qquad 6=2^1\cdot3,\qquad 8=2^3,\] \[10=2^1\cdot5,\qquad 12=2^2\cdot3,\qquad 14=2^1\cdot7,\qquad 16=2^4.\] **Krok \(4\).** Mnożymy je wszystkie. Potęgi o podstawie \(2\) mnożymy, dodając wykładniki: \[1+2+1+3+1+2+1+4=15,\] a pozostałe czynniki dają \(3\cdot5\cdot3\cdot7=315\). Zatem \[2\cdot4\cdot6\cdot8\cdot10\cdot12\cdot14\cdot16=2^{15}\cdot315.\] **Krok \(5\).** Wracamy do całego iloczynu i dopisujemy odłożone czynniki nieparzyste: \[1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot16=2^{15}\cdot315\cdot\left(1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot11\cdot13\cdot15\right).\] **Krok \(6\).** Liczba stojąca obok \(2^{15}\) jest iloczynem liczb naturalnych, więc sama jest liczbą naturalną. Oznaczmy ją przez \(k\); otrzymujemy \[1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot16=2^{15}\cdot k,\qquad k\in\mathbb{N}.\] **Krok \(7\).** To dokładnie oznacza, że iloczyn \(1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot16\) jest podzielny przez \(2^{15}\), co należało wykazać. **Uwaga.** Sam fakt, że wśród czynników jest \(8\) liczb parzystych, daje dopiero \(8\) dwójek — to za mało. Kluczowe jest to, że liczby \(4\), \(8\), \(12\) i \(16\) wnoszą po kilka dwójek naraz. **Odpowiedź.** Iloczyn \(1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot16=16!\) zawiera w rozkładzie na czynniki pierwsze dokładnie \(15\) dwójek, więc jest podzielny przez \(2^{15}\).

1 pkt: poprawne rozłożenie i zliczanie czynników 2. 2 pkt: pełny dowód występowania co najmniej 15 czynników 2.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Liczby rzeczywiste – dowodzi podzielności silni przez potęgę liczby pierwszej.