Zliczanie liczb i kodów — kombinatoryka w zadaniach maturalnych z rozwiązaniami

\(33\,600\) kodów.

Przykładowe pełne rozwiązanie Cyfrę \(2\) umieszczamy na pierwszej pozycji kodu. Spośród ośmiu dostępnych pozycji w kodzie wybieramy trzy pozycje, na których umieścimy czwórki. Liczba wszystkich takich wyborów jest równa (\(8\)). \(3\) Po umieszczeniu czwórek w kodzie mamy pięć dostępnych pozycji. Spośród nich wybieramy dwie, na których umieścimy ósemki. Liczba wszystkich takich wyborów jest równa (\(5\)). \(2\) Pozostały jeszcze trzy nieobsadzone pozycje, na których należy umieścić trzy – parami różne – cyfry nieparzyste. Liczba wszystkich takich możliwych obsadzeń tych trzech pozycji jest równa \(5 ⋅ 4 ⋅ 3\). Korzystamy z reguły mnożenia i obliczamy liczbę wszystkich kodów spełniających warunki zadania: \(8\) \(5\) \(8 ⋅ 7 ⋅ 6\) \(5 ⋅ 4\) ( ) ⋅ ( ) ⋅ \(5 ⋅ 4 ⋅ 3\) = ⋅ ⋅ \(5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 33\) \(600\) \(3\) \(2\) \(1 ⋅ 2 ⋅ 3\) \(1 ⋅ 2\)

3 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 33 600. 2 pkt – wyznaczenie liczby wszystkich kodów spełniających warunki zadania, np. (8) ⋅ (5) ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3, (8) ⋅ (6) ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3. 3 2 2 3 1 pkt – wyznaczenie liczby wszystkich możliwych ustawień cyfry 4 oraz cyfry 8: (8) oraz (5) (lub (8) oraz (6)) 3 2 2 3 ALBO – wyznaczenie liczby wszystkich możliwych ustawień cyfr nieparzystych: (8) ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3. 3 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XI.R1) Zdający oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji.

\(33\,600\) kodów.

Po ustaleniu pierwszej cyfry pozostaje \(8\) pozycji. Wybieramy \(3\) pozycje dla cyfr \(4\), następnie \(2\) z pozostałych \(5\) pozycji dla cyfr \(8\). Trzy wolne miejsca wypełniamy uporządkowanym wyborem \(3\) spośród \(5\) cyfr nieparzystych. Zatem \[\binom{8}{3}\binom{5}{2}\cdot5\cdot4\cdot3=33\,600.\]

3 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 33 600. 2 pkt – wyznaczenie liczby wszystkich kodów spełniających warunki zadania, np. (8) ⋅ (5) ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3, (8) ⋅ (6) ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3. 3 2 2 3 Zasady oceniania rozwiązań zadań 1 pkt – wyznaczenie liczby wszystkich możliwych ustawień cyfry 4 oraz cyfry 8: (8) oraz (5) (lub (8) oraz (6)) 3 2 2 3 ALBO – wyznaczenie liczby wszystkich możliwych ustawień cyfr nieparzystych: (8) ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3. 3 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 10.1R) Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych.

**A.** \(400\)

Liczba czterocyfrowa ma postać \(\overline{tsdj}\), gdzie \(t\) jest cyfrą tysięcy, \(s\) — setek, \(d\) — dziesiątek, \(j\) — jedności. Z warunków zadania \(t=j\) oraz liczba jest parzysta, czyli \(j\) jest cyfrą parzystą. Zatem \(t\) też jest parzyste, a ponieważ \(t\) jest pierwszą cyfrą liczby czterocyfrowej, mamy \(t\ne0\), więc \[t=j\in\{2,4,6,8\}\qquad(4\text{ możliwości}).\] Cyfry \(s\) i \(d\) mogą być dowolne: \[s\in\{0,1,\ldots,9\},\qquad d\in\{0,1,\ldots,9\}\qquad(\text{po }10\text{ możliwości}).\] Wybory są niezależne, więc z reguły mnożenia takich liczb jest \[4\cdot10\cdot10=400.\] **Odpowiedź.** A. \(400\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** stosowanie reguły mnożenia przy zliczaniu liczb naturalnych o zadanych własnościach cyfr, z uwzględnieniem warunku, że pierwsza cyfra liczby wielocyfrowej jest różna od zera. Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

A. \(6\cdot 7\cdot 3\)

**Krok \(1\).** To zadanie na regułę mnożenia: liczbę trzycyfrową budujemy pozycja po pozycji (setki, dziesiątki, jedności) i na każdej pozycji liczymy, ile cyfr wolno wstawić. Wynik to iloczyn tych liczb. Dozwolonych cyfr jest siedem: \(0,1,2,3,4,5,6\), i mogą się powtarzać. **Krok \(2\).** Cyfra setek. Liczba ma być trzycyfrowa, więc nie może zaczynać się od \(0\). Z siedmiu dozwolonych cyfr odpada zero, zostaje \[7-1=6\ \text{możliwości}.\] **Krok \(3\).** Cyfra dziesiątek. Tu nie ma żadnego ograniczenia, więc wolno wstawić każdą z dozwolonych cyfr: \[7\ \text{możliwości}.\] **Krok \(4\).** Cyfra jedności. Liczba ma być nieparzysta, a o tym decyduje ostatnia cyfra. Nieparzyste cyfry ze zbioru \(\{0,1,2,3,4,5,6\}\) to \(1\), \(3\), \(5\), czyli \[3\ \text{możliwości}.\] **Krok \(5\).** Z reguły mnożenia liczba wszystkich takich liczb wynosi \[6\cdot 7\cdot 3\ (=126).\] **Uwaga.** Cyfry mogą się powtarzać (przykład \(555\) w treści), więc wybór na jednej pozycji nie zmniejsza liczby możliwości na następnych. W odpowiedziach podano wyrażenia, a nie wyniki - wskazujemy \(6\cdot 7\cdot 3\), bez wymnażania. **Odpowiedź.** A: \(6\cdot 7\cdot 3\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XI.2) Zdający zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania […].

Iloczyn cyfr może być równy tylko \(0\), \(2\) albo \(4\). Liczb sześciocyfrowych zawierających cyfrę \(0\) jest \(9\cdot10^{5}-9^{6}=368559\). Iloczyn \(2\) daje \(6\) ustawień jednej cyfry \(2\), a iloczyn \(4\): \(6\) ustawień jednej cyfry \(4\) oraz \(\binom{6}{2}=15\) ustawień dwóch cyfr \(2\). Łącznie \(368559+6+6+15=368586\).

Przykładowe pełne rozwiązanie Iloczyn cyfr liczby naturalnej sześciocyfrowej jest równy \(4\) tylko wtedy, gdy w zapisie dziesiętnym tej liczby występują: • dwie dwójki i cztery jedynki, albo • jedna czwórka i pięć jedynek. Liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie dwie dwójki i cztery jedynki jest (\(6\)) = \(15\). \(2\) Liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie jedna czwórka i pięć jedynek jest \(6\). Zatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym \(4\) jest \(21\). Iloczyn cyfr liczby naturalnej sześciocyfrowej jest równy \(2\) tylko wtedy, gdy w zapisie dziesiętnym tej liczby występują jedna dwójka i pięć jedynek. Zatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym \(2\) jest \(6\). Iloczyn cyfr liczby naturalnej sześciocyfrowej jest równy \(0\) tylko wtedy, gdy w zapisie dziesiętnym tej liczby występuje na pierwszej pozycji cyfra różna od zera, a na dalszych pozycjach co najmniej jedno zero. Ponieważ wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych jest \(9 ⋅ 105\), a wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o wszystkich cyfrach różnych od zera jest \(96\), więc wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym \(0\) jest \(9 ⋅ 105\) − \(96 = 368\) \(559\). Zatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, których iloczyn cyfr jest liczbą parzystą mniejszą od \(5\) jest \(21 + 6 + 368\) \(559 = 368\) \(586\). Uwaga. Liczbę wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym \(0\) można obliczyć też w następujący sposób. Wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero występuje dokładnie jeden raz jest (\(5\)) ⋅ \(95 = 295\) \(245\). \(1\) Wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero występuje dokładnie dwa razy jest (\(5\)) ⋅ \(94 = 65\) \(610\). \(2\) Wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero występuje dokładnie trzy razy jest (\(5\)) ⋅ \(93 = 7\) \(290\). \(3\) Wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero występuje dokładnie cztery razy jest (\(5\)) ⋅ \(92 = 405\). \(4\) Wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero występuje dokładnie pięć razy jest (\(5\)) ⋅ \(91 = 9\). \(5\) Zatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym \(0\) jest \(295\) \(245 + 65\) \(610 + 7\) \(290 + 405 + 9 = 368\) \(559\)

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(368\,586\). **2 pkt** – wyznaczenie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym \(4\) (np. \(\binom{6}{2}+6\)) oraz zapisanie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym \(2\): \(6\), oraz wyznaczenie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym \(0\) (np. \(9\cdot10^5-9^6\)). **1 pkt** – wyznaczenie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym \(4\) (np. \(\binom{6}{2}+6\)) oraz zapisanie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym \(2\): \(6\) ALBO – wyznaczenie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym \(0\), np.: \(9\cdot10^5-9^6\), \(5\cdot9^5+\binom{5}{2}\cdot9^4+\binom{5}{3}\cdot9^3+\binom{5}{4}\cdot9^2+\binom{5}{5}\cdot9\), \(368\,559\), ALBO – wypisanie wszystkich przypadków, dla których iloczyn cyfr będzie liczbą parzystą mniejszą od \(5\): jedna dwójka i pięć jedynek, dwie dwójki i cztery jedynki, jedna czwórka i pięć jedynek, co najmniej jedno zero. **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XI.R1) Zdający oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji.

**B.** Gdy cyfra \(0\) jest cyfrą jedności, otrzymujemy \(9\cdot9=81\) liczb. Gdy jest cyfrą dziesiątek, cyfra setek ma \(9\) możliwości, a niezerowa parzysta cyfra jedności ma \(4\) możliwości, więc otrzymujemy \(9\cdot4=36\) liczb. Łącznie jest ich \(81+36=117\).

Rozbijamy zliczanie na rozłączne przypadki według tego, na którym miejscu stoi jedyne zero. W liczbie trzycyfrowej zero nie może stać na miejscu setek, więc są dwie możliwości. **Przypadek 1: zero jest cyfrą jedności.** Liczba jest wtedy parzysta automatycznie. Cyfra setek może być dowolną z \(9\) cyfr niezerowych, a cyfra dziesiątek dowolną niezerową (zero już wystąpiło), czyli też \(9\). Z reguły mnożenia daje to \[9\cdot9=81\] liczb. **Przypadek 2: zero jest cyfrą dziesiątek.** Cyfra jedności musi być parzysta, a przy tym niezerowa, bo zero ma wystąpić dokładnie raz — zostają \(2,4,6,8\), czyli \(4\) możliwości. Cyfra setek to dowolna z \(9\) cyfr niezerowych. Daje to \[9\cdot4=36\] liczb. Przypadki są rozłączne i wyczerpują wszystkie możliwości, więc \[81+36=117.\] **Odpowiedź.** B. \(117\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: III. Modelowanie matematyczne. Wymaganie szczegółowe: 10.2) Stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania.

**B.** Gdy cyfra \(0\) jest cyfrą jedności, otrzymujemy \(9\cdot9=81\) liczb. Gdy jest cyfrą dziesiątek, otrzymujemy \(9\cdot4=36\) liczb. Łącznie jest ich \(81+36=117\).

Rozbijamy zliczanie na rozłączne przypadki według tego, na którym miejscu stoi jedyne zero. W liczbie trzycyfrowej zero nie może stać na miejscu setek, więc są dwie możliwości. **Przypadek 1: zero jest cyfrą jedności.** Liczba jest wtedy parzysta automatycznie. Cyfra setek może być dowolną z \(9\) cyfr niezerowych, a cyfra dziesiątek dowolną niezerową (zero już wystąpiło), czyli też \(9\). Z reguły mnożenia daje to \[9\cdot9=81\] liczb. **Przypadek 2: zero jest cyfrą dziesiątek.** Cyfra jedności musi być parzysta, a przy tym niezerowa, bo zero ma wystąpić dokładnie raz — zostają \(2,4,6,8\), czyli \(4\) możliwości. Cyfra setek to dowolna z \(9\) cyfr niezerowych. Daje to \[9\cdot4=36\] liczb. Przypadki są rozłączne i wyczerpują wszystkie możliwości, więc \[81+36=117.\] **Odpowiedź.** B. \(117\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: XI.2) Zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania.

\[63.\]

Dla każdego z \(6\) miejsc niezależnie wybieramy jedną z dwóch możliwości: punkt wypukły albo brak wypukłości. Reguła mnożenia daje \[2^6=64\] układy. Odrzucamy jeden układ bez żadnego punktu wypukłego, zatem liczba znaków wynosi \[2^6-1=63.\]

**2 pkt** – poprawna metoda, uwzględnienie warunku co najmniej jednego punktu wypukłego i wynik \(63\) **1 pkt** – zapisanie \(2^6\) jako liczby wszystkich układów przed uwzględnieniem warunku albo poprawne zliczenie co najmniej trzech grup znaków według liczby punktów wypukłych **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** XI.1) Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych. XI.2) Stosuje reguły mnożenia i dodawania.

Można zapisać \(63\) różne znaki.

Każde z sześciu miejsc może niezależnie być wypukłe albo niewypukłe, więc wszystkich konfiguracji jest \[2^6=64.\] Jedna z nich nie ma żadnego punktu wypukłego i nie jest znakiem Braille'a. Zatem liczba dopuszczalnych znaków wynosi \[64-1=63.\]

**2 pkt** – poprawna metoda, uwzględnienie warunku i wynik \(63\) **1 pkt** – zapisanie liczby wszystkich konfiguracji \(2^6=64\) bez odjęcia pustego znaku albo poprawne częściowe zliczanie grup **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** XI.1) Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach. XI.2) Stosuje reguły mnożenia i dodawania.

**A.** \(45\)

**Krok \(1\).** To zadanie na zliczanie z regułą mnożenia. Liczba trzycyfrowa ma trzy pozycje: setki, dziesiątki i jedności. Ustalamy najpierw, jakie cyfry mogą stać na każdej pozycji, a dopiero potem mnożymy liczby możliwości. **Krok \(2\).** Warunek pierwszy: liczba jest trzycyfrowa, więc cyfra setek należy do zbioru \(\{1,2,\ldots,9\}\) — nie może być zerem. **Krok \(3\).** Warunek drugi: liczba jest nieparzysta, więc cyfra jedności należy do \(\{1,3,5,7,9\}\) — też nie może być zerem. **Krok \(4\).** Warunek trzeci: zero ma wystąpić dokładnie raz. Skoro nie może stać ani na miejscu setek, ani na miejscu jedności, musi stać na miejscu dziesiątek. To ustala cyfrę dziesiątek: jest nią \(0\). Przy tym warunek „dokładnie raz” jest automatycznie spełniony, bo dwie pozostałe cyfry z założenia zerami nie są. **Krok \(5\).** Liczymy możliwości na pozostałych pozycjach: cyfrę setek wybieramy na \(9\) sposobów, cyfrę jedności na \(5\) sposobów. **Krok \(6\).** Reguła mnożenia: wybory są niezależne, więc wszystkich takich liczb jest \[9\cdot 5=45.\] **Krok \(7\).** Kontrola na przykładach: \(101\), \(103\), \(305\), \(909\) — wszystkie są trzycyfrowe, nieparzyste i mają dokładnie jedno zero. Natomiast \(100\) ma dwa zera i jest parzysta, a \(110\) jest parzysta — takich nie liczymy. **Uwaga.** Sformułowanie „dokładnie jeden raz” zwykle wymaga odjęcia przypadków z dwoma zerami. Tutaj układ warunków sam wymusza jedyne możliwe miejsce dla zera, więc żadnych odejmowań nie trzeba. **Odpowiedź.** A. \(45\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XI.2) Zdający zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania […].

**C.** Cyfrę setek wybieramy spośród \(5,7,9\), a cyfrę dziesiątek i jedności spośród \(1,3,5,7,9\). Łącznie jest \(3\cdot5\cdot5=75\) liczb.

Rozwiązanie C ZADANIA OTWARTE Uwagi ogólne: \(1\). Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. \(2\). Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym zapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną liczbę punktów. \(3\). Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie upraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę i konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może otrzymać co najwyżej (n − \(1\)) punktów (gdzie n jest maksymalną możliwą do uzyskania liczbą punktów za dane zadanie).

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XI.2) Zdający zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania […].

C. \(54\)

Liczba ma być czterocyfrowa i zbudowana wyłącznie z cyfr \(2\), \(4\), \(7\); cyfry mogą się powtarzać, więc liczymy wariacje z powtórzeniami. O parzystości decyduje cyfra jedności — parzyste spośród dopuszczonych są \(2\) i \(4\), czyli \(2\) możliwości. Każda z trzech pozostałych cyfr może być dowolna z trzech dopuszczonych; żadna nie jest zerem, więc warunek na cyfrę tysięcy jest spełniony automatycznie. Z reguły mnożenia \[3^3\cdot2=27\cdot2=54.\] **Odpowiedź.** C. \(54\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XI.2) Zdający zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania […].

**B.** \(384\)

Pierwsza cyfra nie może być zerem, więc mamy dla niej \(3\) możliwości: \(1\), \(2\), \(3\). Każda z trzech środkowych cyfr może być jedną z \(4\) cyfr: \(0\), \(1\), \(2\), \(3\). Ostatnia cyfra musi być nieparzysta, więc ma \(2\) możliwości: \(1\) lub \(3\). Z reguły mnożenia liczba takich liczb jest równa \[3\cdot4^3\cdot2=3\cdot64\cdot2=384.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście matematycznym. **Wymagania szczegółowe:** XI.2) Zdający zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania.

\(11\) \(040\). Bez zera: C(\(5\),\(3\))·C(\(4\),\(2\))·\(5\)!=\(7200\). Z zerem: wybór drugiej cyfry parzystej, trzech nieparzystych i ustawienie z wyłączeniem zera na początku daje \(3840\). Razem \(11\) \(040\).

Liczba spełniająca warunki ma dokładnie \(5\) cyfr, wszystkie różne: trzy nieparzyste i dwie parzyste. Cyfr nieparzystych jest \(5\), a parzystych \(5\) (razem z zerem). Zbiór użytych cyfr wybieramy więc na \[\binom53\cdot\binom52=10\cdot10=100\] sposobów, a każdy taki pięcioelementowy zbiór można ustawić w ciąg na \(5!=120\) sposobów. Daje to \[100\cdot120=12\,000\] ustawień — ale wśród nich są zapisy zaczynające się zerem, które nie są liczbami pięciocyfrowymi. Zliczamy je osobno. Jeśli pierwsza cyfra to \(0\), to zero jest jedną z dwóch cyfr parzystych, więc drugą wybieramy spośród pozostałych czterech cyfr parzystych na \(\binom41=4\) sposoby, trzy cyfry nieparzyste na \(\binom53=10\) sposobów, a cztery pozostałe pozycje wypełniamy na \(4!=24\) sposoby: \[10\cdot4\cdot24=960.\] Zatem szukanych liczb jest \[12\,000-960=11\,040.\] **Odpowiedź.** \(11\,040\)

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(11\,040\). **2 pkt** – zapisanie \(L_1\): \(\binom{5}{3}\cdot\binom{5}{2}\cdot5!\) oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: \(\binom{5}{3}\cdot\binom{4}{1}\) ALBO – zapisanie \(L_2\): \(\binom{5}{3}\cdot\binom{4}{1}\cdot4!\) oraz zapisanie liczby zbiorów pięcioelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i dwóch cyfr parzystych: \(\binom{5}{3}\cdot\binom{5}{2}\), ALBO – zapisanie \(P\): \(4\cdot\binom{4}{1}\cdot\binom{5}{3}\cdot4!\) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą, np. liczba ciągów postaci \((n,p,n,p,n)\) jest równa \(5\cdot5\cdot4\cdot4\cdot3\), ALBO – zapisanie \(N\): \(5\cdot\binom{5}{2}\cdot\binom{4}{2}\cdot4!\) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera, np. liczba ciągów postaci \((p,n,n,p,n)\) jest równa \(4\cdot5\cdot4\cdot4\cdot3\), ALBO – zapisanie \(Z^{+}\): \(4\cdot4\cdot4\cdot5\cdot4\cdot3\) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których żaden wyraz nie jest równy zero, np. liczba ciągów postaci \((n,n,n,p,p)\), gdzie \(p\in\{2,4,6,8\}\), jest równa \(5\cdot4\cdot3\cdot4\cdot3\), ALBO – zapisanie \(Z^{-}\): \(10\cdot4\cdot3\cdot5\cdot4\cdot3\) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których jeden z wyrazów jest równy zero, np. liczba ciągów postaci \((p,n,n,n,0)\), gdzie \(p\in\{2,4,6,8\}\), jest równa \(4\cdot5\cdot4\cdot3\cdot1\). **1 pkt** – zapisanie \(L_1\) (lub \(L_2\)), np. \(L_1=\binom{5}{3}\cdot\binom{5}{2}\cdot5!\), \(L_2=\binom{5}{3}\cdot\binom{4}{1}\cdot4!\) ALBO – zapisanie \(P\) (lub \(N\)), np. \(P=4\cdot\binom{4}{1}\cdot\binom{5}{3}\cdot4!\), \(N=5\cdot\binom{5}{2}\cdot\binom{4}{2}\cdot4!\), ALBO – zapisanie \(Z^{+}\) (lub \(Z^{-}\)), np. \(Z^{+}=4\cdot4\cdot4\cdot5\cdot4\cdot3=3\,840\), \(Z^{-}=10\cdot4\cdot3\cdot5\cdot4\cdot3=7\,200\), ALBO – zapisanie liczby zbiorów pięcioelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i dwóch cyfr parzystych: \(\binom{5}{3}\cdot\binom{5}{2}\) oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: \(\binom{5}{3}\cdot\binom{4}{1}\), ALBO – zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą (np. liczba ciągów postaci \((n,p,n,p,n)\) jest równa \(5\cdot5\cdot4\cdot4\cdot3\)) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera (np. liczba ciągów postaci \((p,n,n,p,n)\) jest równa \(4\cdot5\cdot4\cdot4\cdot3\)). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający rozpatruje liczby inne niż pięciocyfrowe, to otrzymuje 0 punktów.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XI.R1) Zdający oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji, również w przypadkach wymagających rozważenia złożonego modelu zliczania elementów.

\(11040\). Liczymy wszystkie ustawienia: C(\(5\),\(3\))·C(\(5\),\(2\))·\(5\)!=\(12000\), a następnie odejmujemy zapisy rozpoczynające się zerem: C(\(5\),\(3\))·C(\(4\),\(1\))·\(4\)!=\(960\).

Liczba spełniająca warunki ma dokładnie \(5\) cyfr, wszystkie różne: trzy nieparzyste i dwie parzyste. Cyfr nieparzystych jest \(5\), a parzystych \(5\) (razem z zerem). Zbiór użytych cyfr wybieramy więc na \[\binom53\cdot\binom52=10\cdot10=100\] sposobów, a każdy taki pięcioelementowy zbiór można ustawić w ciąg na \(5!=120\) sposobów. Daje to \[100\cdot120=12\,000\] ustawień — ale wśród nich są zapisy zaczynające się zerem, które nie są liczbami pięciocyfrowymi. Zliczamy je osobno. Jeśli pierwsza cyfra to \(0\), to zero jest jedną z dwóch cyfr parzystych, więc drugą wybieramy spośród pozostałych czterech cyfr parzystych na \(\binom41=4\) sposoby, trzy cyfry nieparzyste na \(\binom53=10\) sposobów, a cztery pozostałe pozycje wypełniamy na \(4!=24\) sposoby: \[10\cdot4\cdot24=960.\] Zatem szukanych liczb jest \[12\,000-960=11\,040.\] **Odpowiedź.** \(11\,040\)

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(11\,040\). **2 pkt** – zapisanie \(L_{1}\): \(\binom{5}{3}\cdot\binom{5}{2}\cdot 5!\) oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: \(\binom{5}{3}\cdot\binom{4}{1}\) ALBO – zapisanie \(L_{2}\): \(\binom{5}{3}\cdot\binom{4}{1}\cdot 4!\) oraz zapisanie liczby zbiorów pięcioelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i dwóch cyfr parzystych: \(\binom{5}{3}\cdot\binom{5}{2}\), ALBO – zapisanie \(P\): \(4\cdot\binom{4}{1}\cdot\binom{5}{3}\cdot 4!\) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą, np. liczba ciągów postaci \((n,p,n,p,n)\) jest równa \(5\cdot 5\cdot 4\cdot 4\cdot 3\), ALBO – zapisanie \(N\): \(5\cdot\binom{5}{2}\cdot\binom{4}{2}\cdot 4!\) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera, np. liczba ciągów postaci \((p,n,n,p,n)\) jest równa \(4\cdot 5\cdot 4\cdot 4\cdot 3\), ALBO – zapisanie \(Z^{+}\): \(4\cdot 4\cdot 4\cdot 5\cdot 4\cdot 3\) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których żaden wyraz nie jest równy zero, np. liczba ciągów postaci \((n,n,n,p,p)\), gdzie \(p\in\{2,4,6,8\}\), jest równa \(5\cdot 4\cdot 3\cdot 4\cdot 3\), ALBO – zapisanie \(Z^{-}\): \(10\cdot 4\cdot 3\cdot 5\cdot 4\cdot 3\) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których jeden z wyrazów jest równy zero, np. liczba ciągów postaci \((p,n,n,n,0)\), gdzie \(p\in\{2,4,6,8\}\), jest równa \(4\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\). **1 pkt** – zapisanie \(L_{1}\) (lub \(L_{2}\)), np. \(L_{1}=\binom{5}{3}\cdot\binom{5}{2}\cdot 5!\), \(L_{2}=\binom{5}{3}\cdot\binom{4}{1}\cdot 4!\) ALBO – zapisanie \(P\) (lub \(N\)), np. \(P=4\cdot\binom{4}{1}\cdot\binom{5}{3}\cdot 4!\), \(N=5\cdot\binom{5}{2}\cdot\binom{4}{2}\cdot 4!\), ALBO – zapisanie \(Z^{+}\) (lub \(Z^{-}\)), np. \(Z^{+}=4\cdot 4\cdot 4\cdot 5\cdot 4\cdot 3=3\,840\), \(Z^{-}=10\cdot 4\cdot 3\cdot 5\cdot 4\cdot 3=7\,200\), ALBO – zapisanie liczby zbiorów pięcioelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i dwóch cyfr parzystych: \(\binom{5}{3}\cdot\binom{5}{2}\) oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: \(\binom{5}{3}\cdot\binom{4}{1}\), ALBO – zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą (np. liczba ciągów postaci \((n,p,n,p,n)\) jest równa \(5\cdot 5\cdot 4\cdot 4\cdot 3\)) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera (np. liczba ciągów postaci \((p,n,n,p,n)\) jest równa \(4\cdot 5\cdot 4\cdot 4\cdot 3\)). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwaga:** Jeżeli zdający rozpatruje liczby inne niż pięciocyfrowe, to otrzymuje \(0\) punktów.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 10.1R) Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych.

C. \(24\)

**Krok \(1\).** Mamy ustawić cztery różne cyfry \(1\), \(3\), \(6\), \(8\) w czterech miejscach kodu, przy czym każda cyfra ma wystąpić dokładnie raz. To zadanie na regułę mnożenia: liczymy, na ile sposobów można obsadzić kolejne miejsca kodu. **Krok \(2\).** Na pierwszym miejscu może stanąć dowolna z czterech cyfr, czyli mamy \(4\) możliwości. **Krok \(3\).** Po wybraniu pierwszej cyfry zostają trzy cyfry, więc drugie miejsce można obsadzić na \(3\) sposoby. **Krok \(4\).** Na trzecim miejscu zostają \(2\) możliwości, a na czwartym miejscu stanie ostatnia niewykorzystana cyfra, czyli \(1\) możliwość. **Krok \(5\).** Zgodnie z regułą mnożenia liczba wszystkich kodów wynosi \[4\cdot3\cdot2\cdot1=24.\] **Uwaga.** Warunek, że każda cyfra występuje dokładnie raz, jest tu kluczowy. Gdyby cyfry mogły się powtarzać, kodów byłoby \(4^{4}=256\). Wariant \(16\) to \(4^{2}\), a \(4\) to po prostu liczba dostępnych cyfr - obie te liczby są pułapkami. **Odpowiedź.** C, czyli \(24\).

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XI.2) Zdający zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia […].

C. \(7\)

Oznaczmy przez \(d\) cyfrę dziesiątek, a przez \(j\) cyfrę jedności. Warunek zadania to \[d=j+3.\] Cyfra dziesiątek nie może być zerem, a obie cyfry muszą należeć do zbioru \(\{0,1,\ldots,9\}\). Z równania \(d=j+3\) wynika, że \(d\) rośnie razem z \(j\), więc wystarczy sprawdzić dopuszczalne wartości \(j\): musi zachodzić \(j+3\leq9\), czyli \(j\leq6\). Dla \(j=0,1,\ldots,6\) otrzymujemy liczby \[30,\ 41,\ 52,\ 63,\ 74,\ 85,\ 96,\] czyli \(7\) liczb. Każda z nich ma cyfrę dziesiątek niezerową, więc wszystkie są poprawnymi liczbami dwucyfrowymi. **Odpowiedź.** C. \(7\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** XI.1) Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych.

**C.** \(648\)

Cyfrę setek wybieramy na \(8\) sposobów: spośród cyfr \(1,3,4,5,6,7,8,9\). Cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności wybieramy po \(9\) sposobów: spośród wszystkich cyfr poza \(2\). Z reguły mnożenia otrzymujemy \[8\cdot9\cdot9=648.\]

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; dobieranie i tworzenie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** XI.2 zliczanie obiektów z zastosowaniem reguł mnożenia i dodawania.

**D.** \(6\)

Niech cyfry setek, dziesiątek i jedności będą równe odpowiednio \(s,d,j\), gdzie \(s\geq1\) oraz \(s+d+j=3\). Otrzymujemy liczby \[102,\ 111,\ 120,\ 201,\ 210,\ 300.\] Jest ich dokładnie \(6\).

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Element podstawy programowej:** kombinatoryka; zdający zlicza obiekty spełniające podane warunki i stosuje system dziesiętny zapisu liczb.

**D.** \(6\)

Trzycyfrowe liczby o sumie cyfr równej \(3\) to \[102,\ 111,\ 120,\ 201,\ 210,\ 300.\] Jest ich dokładnie \(6\).

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** XI.1 zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych.

Liczba numerów CAN spełniających warunki zadania jest równa \(840\).

Pierwsze trzy cyfry muszą tworzyć ciąg arytmetyczny o różnicy \(-3\). Możliwe są cztery uporządkowane trójki: \[(9,6,3),\quad(8,5,2),\quad(7,4,1),\quad(6,3,0).\] Po wybraniu jednej z nich na czwarte miejsce można wybrać \(7\) cyfr, na piąte \(6\), a na szóste \(5\), ponieważ wszystkie cyfry numeru mają być różne. Zatem \[4\cdot7\cdot6\cdot5=840.\]

**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(840\) **1 pkt** – podanie czterech możliwych ciągów na pierwszych trzech miejscach albo zapisanie liczby możliwości wyboru pozostałych cyfr \(7\cdot6\cdot5\). Sam poprawny wynik \(840\) bez obliczeń także daje 1 punkt **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja; stosowanie i tworzenie strategii, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XI.1, XI.2 i VI.6 zliczanie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych, stosowanie reguł mnożenia i dodawania oraz wykorzystywanie własności ciągów arytmetycznych w zadaniach praktycznych.

Można zapisać \(63\) różne znaki.

Dla każdego z sześciu miejsc niezależnie wybieramy jeden z dwóch stanów: punkt wypukły albo brak wypukłości. Otrzymujemy \(2^6=64\) układy. Odrzucamy układ bez żadnego punktu wypukłego, więc \[2^6-1=63.\]

**2 pkt** – poprawna metoda, uwzględnienie warunku co najmniej jednego punktu wypukłego i wynik \(63\) **1 pkt** – zapisanie \(2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\) bez odrzucenia pustego znaku albo poprawne bezpośrednie zliczenie co najmniej trzech grup według liczby punktów **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II.1 i III.2 interpretowanie informacji i tworzenie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** XI.1-XI.2 zliczanie obiektów oraz stosowanie reguł mnożenia i dodawania.

Można zapisać \(63\) różne pojedyncze znaki.

Każde z \(6\) miejsc może być wypukłe albo niewypukłe, więc wszystkich konfiguracji jest \[2^6=64.\] Jedna z nich nie ma żadnego punktu wypukłego i nie jest znakiem Braille’a. Zatem liczba dopuszczalnych znaków wynosi \[64-1=63.\]

**2 pkt** – poprawna metoda, uwzględnienie warunku co najmniej jednego punktu wypukłego i wynik \(63\) **1 pkt** – zapisanie liczby wszystkich konfiguracji bez uwzględnienia warunku: \(2^6=64\), albo poprawne bezpośrednie zliczenie co najmniej trzech grup według liczby punktów wypukłych **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II.1 i III.2 interpretowanie informacji oraz tworzenie modelu matematycznego. **Wymagania szczegółowe:** XI.1-XI.2 zliczanie obiektów z użyciem reguł mnożenia i dodawania.

**C.** \(2\cdot3^4\)

Pierwsza cyfra liczby pięciocyfrowej nie może być zerem, więc ma \(2\) możliwości: \(5\) lub \(7\). Każda z czterech pozostałych cyfr ma \(3\) możliwości. Liczb jest zatem \[2\cdot3^4.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** XI.1 zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych.

D. \(9\cdot 9\cdot 8\cdot 7\)

Liczba czterocyfrowa to uporządkowany ciąg czterech cyfr, a cyfry nie mogą się powtarzać, więc liczymy czterowyrazowe wariacje bez powtórzeń — z zastrzeżeniem, że pierwsza cyfra nie może być zerem. Cyfrę tysięcy wybieramy spośród \(9\) cyfr niezerowych. Cyfra setek musi być różna od poprzedniej, ale może być zerem, więc zostaje \(9\) możliwości. Cyfra dziesiątek musi być różna od dwóch poprzednich — \(8\) możliwości. Cyfra jedności musi być różna od trzech poprzednich — \(7\) możliwości. Z reguły mnożenia takich liczb jest \[9\cdot9\cdot8\cdot7.\] **Odpowiedź.** D. \(9\cdot9\cdot8\cdot7\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Zadanie 30. (0–1) Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Kombinatoryka.

Takich liczb jest \(27500\).

Najpierw liczymy wszystkie pięcioelementowe ciągi cyfr z dokładnie dwiema cyframi nieparzystymi. Wybieramy ich pozycje na \(\binom52\) sposobów, każdą cyfrę nieparzystą na \(5\) sposobów i każdą z trzech cyfr parzystych także na \(5\) sposobów: \[\binom52\cdot5^2\cdot5^3=31250.\] Odejmujemy ciągi zaczynające się zerem. Wtedy dwie pozycje cyfr nieparzystych wybieramy spośród pozostałych czterech miejsc: \[\binom42\cdot5^2\cdot5^2=3750.\] Zatem liczba szukanych liczb wynosi \[31250-3750=27500.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(27500\) **2 pkt** – poprawne zliczenie wszystkich ciągów oraz ciągów zaczynających się zerem albo poprawne zliczenie dwóch przypadków według parzystości pierwszej cyfry **1 pkt** – poprawne zapisanie jednego z wymaganych składników zliczenia **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** R10.1 stosowanie kombinacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów.

**B.** \(10\)

Niech cyfry liczby będą równe \(a,b,c,d\), gdzie \(a\geq1\) i \(a+b+c+d=3\). Po podstawieniu \(a'=a-1\) otrzymujemy \[a'+b+c+d=2.\] Liczba nieujemnych rozwiązań tego równania wynosi \[\binom{2+4-1}{4-1}=\binom53=10.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 10.1 zliczanie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych z użyciem reguły mnożenia i reguły dodawania.

**B.** \(9\cdot9\cdot8\cdot7\)

Cyfrę tysięcy wybieramy na \(9\) sposobów, ponieważ nie może być zerem. Cyfrę setek wybieramy spośród pozostałych \(9\) cyfr, cyfrę dziesiątek spośród \(8\), a cyfrę jedności spośród \(7\). Liczba takich liczb jest równa \[9\cdot9\cdot8\cdot7.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XI.1 zliczanie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych.

B. \(9\cdot 10\cdot 10\cdot 1\)

Liczba jest jednocześnie nieparzysta i podzielna przez \(5\) dokładnie wtedy, gdy jej cyfrą jedności jest \(5\): podzielność przez \(5\) dopuszcza cyfry jedności \(0\) i \(5\), a warunek nieparzystości odrzuca \(0\). Zliczamy z reguły mnożenia, cyfra po cyfrze. Cyfra tysięcy nie może być zerem, więc ma \(9\) możliwości. Cyfry setek i dziesiątek są dowolne — po \(10\) możliwości każda. Cyfra jedności jest ustalona, czyli \(1\) możliwość. Zatem takich liczb jest \[9\cdot10\cdot10\cdot1.\] **Odpowiedź.** B. \(9\cdot10\cdot10\cdot1\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2022** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 10.1) Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania.

**D.** \(3\cdot5\cdot5\)

Cyfrą setek może być jedna z trzech parzystych cyfr \(4,6,8\), aby liczba była większa od \(300\). Cyfrę dziesiątek i jedności wybieramy niezależnie spośród \(0,2,4,6,8\). Łącznie jest \[3\cdot5\cdot5=75\] takich liczb.

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. tworzenie i stosowanie modelu matematycznego. **Wymagania szczegółowe:** XI.1 stosowanie reguły mnożenia w prostych zadaniach kombinatorycznych.

**B.** \(9\cdot10\cdot2=180\)

Nieparzyste wielokrotności liczby \(25\) mają dwie możliwe końcówki dwucyfrowe: \(25\) albo \(75\). Cyfrę tysięcy można wybrać na \(9\) sposobów, a cyfrę setek na \(10\) sposobów. Łącznie otrzymujemy \[9\cdot10\cdot2=180.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów. **Wymagania szczegółowe:** XI.2 zliczanie obiektów z zastosowaniem reguł mnożenia i dodawania.

B. \(60\)

Cyfry mają należeć do sześcioelementowego zbioru \(\{1,2,3,7,8,9\}\) i nie mogą się powtarzać, a liczba ma być większa od \(700\). Zaczynamy od cyfry setek, bo to ona decyduje o warunku „większa od \(700\)". Gdyby cyfrą setek było \(1\), \(2\) albo \(3\), liczba byłaby mniejsza od \(400\). Zostają cyfry \(7\), \(8\), \(9\), a każda z nich daje liczbę co najmniej \(712\), czyli większą od \(700\). Mamy więc \(3\) możliwości. Cyfry nie mogą się powtarzać, więc dla cyfry dziesiątek zostaje \(5\) elementów zbioru, a dla cyfry jedności \(4\). Z reguły mnożenia \[3\cdot5\cdot4=60.\] **Odpowiedź.** B. \(60\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 10.1) Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania.

\[220.\]

Każda z dziesięciu cyfr jest dodatnia. Odejmujemy więc \(1\) od każdej cyfry. Otrzymujemy dziesięć liczb całkowitych nieujemnych \(y_1,\ldots,y_{10}\), których suma wynosi \[y_1+\cdots+y_{10}=13-10=3.\] Ograniczenie cyfry do \(9\) nie ma tu znaczenia, ponieważ suma jest równa tylko \(3\). Liczba nieujemnych rozwiązań tego równania wynosi \[\binom{3+10-1}{10-1}=\binom{12}{9}=\binom{12}{3}=220.\]

**2 pkt** – poprawna odpowiedź: \(220\) **0 pkt** – odpowiedź niepełna, niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R10.1 wykorzystywanie kombinacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych.

A

Rozbijamy zliczanie na rozłączne przypadki według miejsca, na którym stoi jedyna siódemka. **Siódemka jako cyfra setek.** Cyfra dziesiątek jest dowolna z wyjątkiem \(7\) (siódemka ma wystąpić dokładnie raz), czyli \(9\) możliwości. Cyfra jedności musi być parzysta, a żadna cyfra parzysta nie jest siódemką, więc \(5\) możliwości. Daje to \(9\cdot5=45\) liczb. **Siódemka jako cyfra dziesiątek.** Cyfra setek jest niezerowa i różna od \(7\), czyli \(8\) możliwości. Cyfra jedności parzysta — \(5\) możliwości. Daje to \(8\cdot5=40\) liczb. **Siódemka jako cyfra jedności.** Wtedy liczba jest nieparzysta, więc żadna taka liczba nie spełnia warunków. Przypadki są rozłączne, zatem \[45+40=85.\] **Odpowiedź.** A. \(85\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 10.1) Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania.

**B.** \(9\cdot5\cdot10^3\)

Pierwszą cyfrę można wybrać na \(9\) sposobów, każdą z trzech środkowych cyfr na \(10\) sposobów, a ostatnią cyfrę parzystą na \(5\) sposobów. Z reguły mnożenia liczba takich liczb jest równa \[9\cdot10^3\cdot5=9\cdot5\cdot10^3.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 10.2 zliczanie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych z użyciem reguły mnożenia.

\(12960\). Wszystkich siedmiopozycyjnych zapisów z trzema jedynkami, dwiema dwójkami i dwiema cyframi z pozostałych ośmiu jest C(\(7\),\(3\))C(\(4\),\(2\))·\(8^{2}\)=\(13440\). Odejmujemy \(480\) zapisów zaczynających się zerem.

Przykładowe rozwiązania I sposób Rozważamy trzy przypadki. • I. Pierwszą cyfrą rozpatrywanej liczby jest \(1\). Wtedy na następnych sześciu miejscach znajdują się dokładnie dwie cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\) i dokładnie dwie cyfry ze zbioru {\(0\),\(3\),\(4\),\(5\),\(6\),\(7\),\(8\),\(9\)}. Takich liczb istnieje  \(6\)   \(4\)    ⋅   ⋅\(82 = 15⋅ 6 ⋅ 64 = 5760\) .  \(2\)   \(2\)  • II. Pierwszą cyfrą rozpatrywanej jest \(2\). Wtedy na następnych sześciu miejscach znajdują się dokładnie trzy cyfry \(1\), dokładnie jedna cyfra \(2\) i dokładnie dwie cyfry ze zbioru {\(0\),\(3\),\(4\),\(5\),\(6\),\(7\),\(8\),\(9\)}. Takich liczb istnieje  \(6\)   \(3\)   ⋅   ⋅\(82 = 20 ⋅ 3⋅ 64 = 3840\) .  \(3\)  \(1\)  • III. Pierwsza cyfra rozpatrywanej liczby jest różna od \(1\) i od \(2\). Pierwsza cyfra jest też różna od \(0\). Zatem na pierwszym miejscu stoi jedna z siedmiu cyfr ze zbioru {\(3\),\(4\),\(5\),\(6\),\(7\),\(8\),\(9\)}. Wtedy na następnych sześciu miejscach znajdują się dokładnie trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\) i dokładnie jedna cyfra ze zbioru {\(0\),\(3\),\(4\),\(5\),\(6\),\(7\),\(8\),\(9\)}. Takich liczb istnieje  \(6\)   \(3\)  \(7\) ⋅   ⋅   ⋅\(8 = 7 ⋅ 20 ⋅ 3⋅8 = 3360\) .  \(3\)   \(2\)  Łącznie istnieje zatem \(5760+3840+3360=12960\) rozważanych liczb. Istnieje \(12960\) siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry \(1\) i dokładnie dwie cyfry \(2\). II sposób Zliczamy wszystkie ąliczby” siedmiocyfrowe, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\) i dokładnie dwie cyfry ze zbioru {\(0\),\(3\),\(4\),\(5\),\(6\),\(7\),\(8\),\(9\)}. Wtedy na siedmiu miejscach znajdują się dokładnie trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\) i dokładnie dwie cyfry ze zbioru {\(0\),\(3\),\(4\),\(5\),\(6\),\(7\),\(8\),\(9\)}. Takich ąliczb” jest  \(7\)   \(4\)    ⋅   ⋅\(82 = 35⋅ 6 ⋅ 64 = 13440\) .  \(3\)   \(2\)  Następnie zliczamy wszystkie ąliczby” siedmiocyfrowe, których pierwszą cyfrą jest \(0\) oraz w których zapisie występują dokładnie: trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\) i dokładnie jedna cyfra ze zbioru {\(0\),\(3\),\(4\),\(5\),\(6\),\(7\),\(8\),\(9\)}. Takich ąliczb” jest  \(6\)   \(3\)    ⋅   ⋅\(8 = 20 ⋅ 3⋅8 = 480\) .  \(3\)   \(2\)  Jest zatem \(13440\) − \(480 = 12960\) rozważanych liczb.

Zasady oceniania I sposobu rozwiązania. Rozwiązanie składa się z następujących części. Pierwsza polega na wyróżnieniu trzech przypadków i dodaniu – w końcowej fazie rozwiązania – otrzymanych trzech wyników. Druga część polega na zapisaniu liczby rozważanych w każdym przypadku liczb i obliczeniu liczby tych liczb. **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający poprawnie wskaże trzy przypadki, albo pominie jeden z przypadków, ale zapisze liczbę liczb rozważanych w jednym przypadku, np. \(\binom{6}{2}\cdot\binom{4}{2}\cdot 8^{2}\) lub \(\binom{6}{3}\cdot\binom{3}{1}\cdot 8^{2}\), lub \(7\cdot\binom{6}{3}\cdot\binom{3}{2}\cdot 8\); i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający poprawnie wskaże trzy przypadki oraz zapisze liczbę liczb rozważanych w jednym przypadku lub pominie jeden przypadek i zapisze liczbę liczb w dwóch wskazanych przez siebie przypadkach. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający poprawnie wskaże trzy przypadki i zapisze liczbę liczb rozważanych w dwóch przypadkach. **4 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający poprawnie wskaże trzy przypadki i poprawnie obliczy liczbę rozważanych liczb: \(12960\). Zasady oceniania II sposobu rozwiązania. Rozwiązanie składa się z dwóch części. Pierwsza polega na obliczeniu liczby wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\), dokładnie dwie cyfry ze zbioru \(\{0,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}\), oraz liczby tych spośród nich, których pierwszą cyfrą jest \(0\). Druga część polega na obliczeniu liczby szukanych liczb. **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający zapisze, że liczbę wszystkich szukanych liczb można obliczyć, odejmując od liczby wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\), dokładnie dwie cyfry ze zbioru \(\{0,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}\), liczbę tych spośród nich, których pierwszą cyfrą jest \(0\) (lub z rozwiązania wynika, że zdający w ten sposób ustala liczbę szukanych liczb); albo zapisze, że wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\), dokładnie dwie cyfry ze zbioru \(\{0,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}\), jest \(\binom{7}{3}\cdot\binom{4}{2}\cdot 8^{2}\); albo zapisze, że wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, których pierwszą cyfrą jest \(0\) oraz w których zapisie występują dokładnie: trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\), dokładnie jedna cyfra ze zbioru \(\{0,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}\), jest \(\binom{6}{3}\cdot\binom{3}{2}\cdot 8\); i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający zapisze, że liczbę wszystkich szukanych liczb można obliczyć, odejmując od liczby wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\), dokładnie dwie cyfry ze zbioru \(\{0,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}\), liczbę tych spośród nich, których pierwszą cyfrą jest \(0\), oraz zapisze, że wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\), dokładnie dwie cyfry ze zbioru \(\{0,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}\), jest \(\binom{7}{3}\cdot\binom{4}{2}\cdot 8^{2}\), albo że wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, których pierwszą cyfrą jest \(0\) oraz w których zapisie występują dokładnie: trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\) i dokładnie jedna cyfra ze zbioru \(\{0,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}\), jest \(\binom{6}{3}\cdot\binom{3}{2}\cdot 8\); i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający zapisze, że wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\), dokładnie dwie cyfry ze zbioru \(\{0,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}\), jest \(\binom{7}{3}\cdot\binom{4}{2}\cdot 8^{2}\), oraz że wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, których pierwszą cyfrą jest \(0\) oraz w których zapisie występują dokładnie: trzy cyfry \(1\), dokładnie dwie cyfry \(2\) i dokładnie jedna cyfra ze zbioru \(\{0,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}\), jest \(\binom{6}{3}\cdot\binom{3}{2}\cdot 8\); i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **4 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający poprawnie obliczy liczbę rozważanych liczb: \(12960\).

Zadanie 13. (0–4) Wymagania ogólne Wymagania szczegółowe III. Modelowanie matematyczne. 10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych (R10.1).

C. \(20\)

Liczba dwucyfrowa to uporządkowana para cyfr: cyfra dziesiątek i cyfra jedności. Cyfry nie mogą się powtarzać, a kolejność je rozróżnia, więc liczymy dwuwyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru \(\{1,3,5,7,9\}\). Cyfrę dziesiątek wybieramy na \(5\) sposobów. Cyfra jedności musi być inna, więc pozostają \(4\) możliwości. Z reguły mnożenia \[5\cdot4=20.\] Żadna z tych cyfr nie jest zerem, więc każda para daje poprawną liczbę dwucyfrową. **Odpowiedź.** C. \(20\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Poprawna odpowiedź: \(\mathrm{C}\)

Zadanie 21. (0–1) **Wymaganie ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymaganie szczegółowe:** 10.2) Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania.

\(147\). Możliwe zestawy cyfr to {\(1\),\(1\),\(1\),\(1\),\(1\),\(4\),\(7\)}, co daje \(7\cdot 6=42\) liczb, oraz {\(1\),\(1\),\(1\),\(1\),\(2\),\(2\),\(7\)}, co daje \(7\)·C(\(6\),\(2\))=\(105\) liczb.

Iloczyn cyfr ma być równy \(28=2^2\cdot7\). Żadna cyfra nie może być zerem, a czynnik \(7\) musi pochodzić od cyfry \(7\) — bo \(7\) jest pierwsza i żadna inna cyfra od \(1\) do \(9\) nie dzieli się przez \(7\). Zatem dokładnie jedna cyfra jest siódemką, a iloczyn pozostałych sześciu cyfr wynosi \(4\). Sześć cyfr o iloczynie \(4\) to albo jedna czwórka i pięć jedynek, albo dwie dwójki i cztery jedynki. Otrzymujemy więc dwa rozłączne zestawy cyfr. **Zestaw \(\{1,1,1,1,1,4,7\}\).** Miejsce dla siódemki wybieramy na \(7\) sposobów, a spośród pozostałych sześciu miejsc jedno dla czwórki — na \(6\) sposobów. Reszta to jedynki. Daje to \(7\cdot6=42\) liczby. Żadna z nich nie zaczyna się zerem, bo zer w ogóle nie ma. **Zestaw \(\{1,1,1,1,2,2,7\}\).** Miejsce dla siódemki wybieramy na \(7\) sposobów, a dwa miejsca dla dwójek spośród pozostałych sześciu na \(\binom62=15\) sposobów — dwójki są nierozróżnialne, więc tu liczymy kombinacje, nie wariacje. Daje to \(7\cdot15=105\) liczb. Zestawy są rozłączne, zatem \[42+105=147.\] **Odpowiedź.** \(147\)

**1 pkt** – gdy zapisze że naturalna liczba siedmiocyfrowa, w której iloczyn wszystkich cyfr jest równy \(28\) może być zbudowana z dwóch zestawów cyfr: pięć jedynek, jedna czwórka i jedna siódemka lub cztery jedynki dwie dwójki i jedna siódemka. **2 pkt** – gdy obliczy ile jest liczb siedmiocyfrowych zbudowanych z cyfr: cztery jedynki dwie dwójki i jedna siódemka lub zbudowanych z cyfr: cztery jedynki dwie dwójki i jedna siódemka: odpowiednio \(42\) i \(105\). **3 pkt** – gdy obliczy, że jest \(147\) siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że iloczyn wszystkich ich cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy \(28\).

Zadanie 13. (0–3) Oblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że w zapisie dziesiętnym iloczyn wszystkich cyfr każdej z tych liczb jest równy 28. Rozwiązanie Zauważamy, że naturalna liczba siedmiocyfrowa, w której iloczyn wszystkich cyfr jest równy 28 może być zbudowana z dwóch zestawów cyfr: pięć jedynek, jedna czwórka i jedna siódemka lub cztery jedynki dwie dwójki i jedna siódemka. Obliczamy ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych zbudowanych z cyfr: pięć jedynek, jedna czwórka i jedna siódemka. Cyfrę 7 możemy zapisać na jednym z siedmiu miejsc, cyfrę 4 na jednym z sześciu miejsc, a pozostałe pięć miejsc wypełnią jedynki. Stosujemy regułę mnożenia: 7 ⋅ 6 ⋅1 = 42 . Obliczamy ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych zbudowanych z cyfr: cztery jedynki dwie dwójki i jedna siódemka. Wybieramy najpierw miejsce dla cyfry 7, następnie dwa miejsca dla dwóch cyfr 2, a pozostałe miejsca wypełnią jedynki.  6  Stosujemy kolejny raz regułę mnożenia: 7 ⋅   ⋅1 = 7 ⋅15 ⋅1 = 105 .  2  Teraz stosujemy regułę dodawania: 42 +105 = 147 . Jest 147 siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że iloczyn wszystkich ich cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy 28.

**C.** \(5\cdot5\cdot6\cdot6\)

Cyfra tysięcy może być jedną z liczb \(5,6,7,8,9\), czyli mamy \(5\) możliwości. Tyle samo możliwości ma cyfra setek. Cyfry dziesiątek i jedności mogą należeć do zbioru \(\{0,1,2,3,4,5\}\), więc każda ma \(6\) możliwości. Z reguły mnożenia liczba takich liczb wynosi \[5\cdot5\cdot6\cdot6.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 10.2 stosowanie reguły mnożenia w prostych sytuacjach kombinatorycznych.

D. \(255\)

Liczby czterocyfrowe mniejsze od \(2020\) to liczby od \(1000\) do \(2019\). Podzielne przez \(4\) są wśród nich \(1000,1004,\ldots,2016\) — tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(4\), którego pierwszym wyrazem jest \(1000\), a ostatnim \(2016\) (kolejna wielokrotność, \(2020\), już nie należy do przedziału). Liczba wyrazów wynosi \[\frac{2016-1000}{4}+1=\frac{1016}{4}+1=254+1=255.\] **Odpowiedź.** D. \(255\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 23. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Kombinatoryka.

\(147\). Możliwe zestawy cyfr to {\(1\),\(1\),\(1\),\(1\),\(1\),\(4\),\(7\)}, dający \(7\cdot 6=42\) liczby, oraz {\(1\),\(1\),\(1\),\(1\),\(2\),\(2\),\(7\)}, dający \(7\)·C(\(6\),\(2\))=\(105\) liczb; razem \(42+105=147\).

**Krok \(1\).** Warunek dotyczy iloczynu cyfr, więc najpierw ustalamy, jakie zestawy siedmiu cyfr dają iloczyn \(28\), a dopiero potem liczymy, na ile sposobów każdy zestaw można ustawić. Od razu zauważamy, że żadna cyfra nie może być zerem — inaczej iloczyn byłby zerem. **Krok \(2\).** Rozkładamy \(28\) na czynniki pierwsze: \(28=2^2\cdot7\). Czynnik \(7\) musi pochodzić od którejś cyfry, a jedyną cyfrą podzielną przez \(7\) jest \(7\) (liczby \(14\), \(21\), \(28\) nie są cyframi). Zatem dokładnie jedna cyfra to \(7\). **Krok \(3\).** Pozostałe sześć cyfr ma dawać iloczyn \(4\). Możliwości są tylko dwie: jedna czwórka i pięć jedynek albo dwie dwójki i cztery jedynki. Otrzymujemy więc dwa zestawy cyfr: \[\{7,4,1,1,1,1,1\}\qquad\text{oraz}\qquad\{7,2,2,1,1,1,1\}.\] **Krok \(4\).** Liczymy ustawienia pierwszego zestawu. Miejsce dla cyfry \(7\) wybieramy na \(7\) sposobów, potem miejsce dla cyfry \(4\) na \(6\) sposobów, a pozostałe pięć miejsc zajmują jedynki (tylko jeden sposób). Daje to \[7\cdot6=42\] liczb. **Krok \(5\).** Liczymy ustawienia drugiego zestawu. Miejsce dla \(7\) wybieramy na \(7\) sposobów, a dwa miejsca dla dwójek spośród sześciu pozostałych na \[\binom62=\frac{6\cdot5}{2}=15\] sposobów. Razem \(7\cdot15=105\) liczb. **Krok \(6\).** Zestawy się wykluczają (w pierwszym jest czwórka, w drugim jej nie ma), więc stosujemy regułę dodawania: \[42+105=147.\] **Uwaga.** Każda z tych liczb jest rzeczywiście siedmiocyfrowa: skoro żadna cyfra nie jest zerem, to i pierwsza cyfra nie jest zerem, więc nie trzeba nic odejmować. Warto też pamiętać, że dwójki są nierozróżnialne — dlatego w kroku \(5\) występuje kombinacja \(\binom62\), a nie \(6\cdot5\). **Odpowiedź.** Takich liczb jest \(147\).

**1 pkt** – gdy zdający zapisze jeden z dwóch przypadków: naturalna liczba siedmiocyfrowa, w której iloczyn wszystkich cyfr jest równy \(28\), może być zbudowana z zestawu cyfr: pięć jedynek, jedna czwórka i jedna siódemka, albo: cztery jedynki, dwie dwójki i jedna siódemka. **2 pkt** – gdy zdający zapisze oba przypadki, że naturalna liczba siedmiocyfrowa, w której iloczyn wszystkich cyfr jest równy \(28\), może być zbudowana z dwóch zestawów cyfr: pięć jedynek, jedna czwórka i jedna siódemka lub cztery jedynki, dwie dwójki i jedna siódemka, oraz gdy obliczy dla jednego z dwóch przypadków, ile jest liczb siedmiocyfrowych zbudowanych z cyfr: pięć jedynek, jedna czwórka i jedna siódemka: \(42\), albo cztery jedynki, dwie dwójki i jedna siódemka: \(105\). **3 pkt** – gdy zdający obliczy, że jest \(147\) siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że iloczyn wszystkich ich cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy \(28\).

Klasyfikacja rzeczowa: zliczanie liczb o zadanym iloczynie cyfr z użyciem reguły dodawania, reguły mnożenia i kombinacji.

D

Liczby dwucyfrowe podzielne przez \(6\) to \(12,18,\ldots,96\) — ciąg arytmetyczny o różnicy \(6\). Pierwszą taką liczbą jest \(12\) (bo \(6\) jest jednocyfrowe), a ostatnią \(96\) (bo \(102\) jest już trzycyfrowe). Liczba wyrazów wynosi \[\frac{96-12}{6}+1=\frac{84}{6}+1=14+1=15.\] **Odpowiedź.** D. \(15\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 21. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Kombinatoryka.

\(6666600\). Istnieje \(5\)!=\(120\) liczb. Każda z cyfr \(1\),\(3\),\(5\),\(7\),\(9\) występuje na każdej pozycji \(4\)!=\(24\) razy, więc suma to \(24\)·(\(1+3+5+7+9\))·\(11111=6666600\).

**Krok \(1\).** Liczb, o których mowa, jest tak dużo, że nie ma mowy o dodawaniu ich po kolei. Standardowa metoda: zamiast sumować liczby, sumujemy wkład każdej pozycji dziesiętnej osobno. Trzeba więc ustalić, ile razy każda cyfra pojawia się na każdej pozycji. **Krok \(2\).** Rozważane liczby to wszystkie ustawienia pięciu różnych cyfr \(1,3,5,7,9\), czyli permutacje pięcioelementowego zbioru. Jest ich \[5!=120.\] **Krok \(3\).** Ustalmy jedną pozycję (na przykład rząd jedności) i jedną cyfrę (na przykład \(7\)). Jeśli \(7\) stoi na tej pozycji, to pozostałe cztery cyfry można ustawić na pozostałych czterech miejscach na \[4!=24\] sposobów. Ten rachunek nie zależy ani od wybranej cyfry, ani od wybranej pozycji, więc każda z pięciu cyfr stoi na każdej z pięciu pozycji dokładnie \(24\) razy. **Krok \(4\).** Suma wszystkich cyfr wynosi \[1+3+5+7+9=25.\] **Krok \(5\).** Suma samych cyfr jedności we wszystkich \(120\) liczbach to zatem \[24\cdot 25=600.\] Dokładnie tyle samo wynosi suma cyfr dziesiątek, setek, tysięcy i dziesiątek tysięcy. **Krok \(6\).** Cyfra jedności wnosi do liczby wartość \(1\), cyfra dziesiątek wartość \(10\) i tak dalej. Sumujemy więc wkłady wszystkich pozycji: \[600\cdot 1+600\cdot 10+600\cdot 100+600\cdot 1000+600\cdot 10\,000=600\cdot 11\,111.\] **Krok \(7\).** Wykonujemy mnożenie: \[600\cdot 11\,111=6\,666\,600.\] **Uwaga.** Warto sprawdzić sensowność wyniku: średnia z tych liczb to \(\frac{6\,666\,600}{120}=55\,555\), a wszystkie rozważane liczby leżą między \(13\,579\) a \(97\,531\), więc taka średnia jest w pełni wiarygodna. Zauważmy też, że kluczowy jest tu brak powtórzeń cyfr; gdyby cyfry mogły się powtarzać, liczb byłoby \(5^5\) i rachunek wyglądałby inaczej. **Odpowiedź.** Suma wszystkich takich liczb wynosi \(6\,666\,600\).

**3 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający zapisze, że suma wszystkich rozważanych liczb jest równa \(6666600\). **[…] pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający zapisze, że należy dodać do siebie \(120\) liczb, a w tych liczbach na każdej pozycji liczby 5-cyfrowej każda cyfra ze zbioru \(\{1,\,3,\,5,\,7,\,9\}\) pojawi się dokładnie \(24\) razy, albo obliczy dla wszystkich \(120\) liczb poprawną sumę tych samych pozycji systemu dziesiątkowego, tzn. sumę wszystkich jedności lub wszystkich dziesiątek, lub wszystkich setek, lub wszystkich tysięcy, lub wszystkich dziesiątek tysięcy, albo obliczy sumę \(24\) liczb mających na ustalonej pozycji systemu dziesiątkowego tę samą cyfrę, albo obliczy przynajmniej \(4\) sumy \(12\) liczb takich, że w sumowanych dwunastu liczbach na ustalonych dwóch pozycjach występuje ta sama para liczb, albo zauważy i zapisze, że zbiór wszystkich \(120\) liczb pięciocyfrowych uzyskanych z cyfr \(1\), \(3\), \(5\), \(7\), \(9\) można pogrupować w pary takie, że suma cyfr w rzędach jedności, dziesiątek, setek, tysięcy i dziesiątek tysięcy jest równa \(10\), albo obliczy sumę pięciu liczb o własności: w tych pięciu liczbach każda cyfra zajmuje dokładnie \(1\) raz każdą z pięciu możliwych pozycji w liczbie pięciocyfrowej: \(277775\), i ponadto zauważy, że zbiór wszystkich rozważanych w zadaniu liczb można rozdzielić na \(4!\) rozłącznych podzbiorów 5-elementowych, charakteryzujących się tym, że suma liczb z każdego podzbioru jest taka sama; i na tym zakończy lub popełni błędy. **1 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający zapisze, że wszystkich pięciocyfrowych liczb o różnych cyfrach utworzonych z cyfr \(1\), \(3\), \(5\), \(7\), \(9\) jest \(120\) lub je wypisze, albo zapisze, że któraś z cyfr występuje \(24\) razy na którymś z pięciu miejsc liczby pięciocyfrowej, albo ustali, że na konkretnych dwóch pozycjach liczby pięciocyfrowej można ustawić cyfry ze zbioru \(\{1,\,3,\,5,\,7,\,9\}\) na \(20\) sposobów lub do ustawienia na konkretnych dwóch pozycjach liczby pięciocyfrowej można wybrać dwie liczby ze zbioru \(\{1,\,3,\,5,\,7,\,9\}\) na \(10\) sposobów, albo obliczy sumę pięciu liczb o własności: w tych pięciu liczbach każda cyfra zajmuje dokładnie \(1\) raz każdą z pięciu możliwych pozycji w liczbie pięciocyfrowej: \(277775\), albo zauważy, że zbiór wszystkich rozważanych w zadaniu liczb można rozdzielić na \(4!\) rozłącznych podzbiorów 5-elementowych, charakteryzujących się tym, że suma liczb z każdego podzbioru jest taka sama.

III. Modelowanie matematyczne. 10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych (R10.1).

C. \(162\)

Liczba pięciocyfrowa to uporządkowany ciąg pięciu cyfr, w którym cyfry mogą się powtarzać — liczymy więc wariacje z powtórzeniami. Cyfra dziesiątek tysięcy nie może być zerem, więc mamy dla niej \(2\) możliwości: \(2\) albo \(5\). Każda z pozostałych czterech cyfr może być dowolna ze zbioru \(\{0,2,5\}\), czyli \(3\) możliwości. Z reguły mnożenia \[2\cdot3^4=2\cdot81=162.\] **Odpowiedź.** C. \(162\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 24. (0−1) 10. Elementy statystyki opisowej. Teoria Wersja Wersja prawdopodobieństwa i kombinatoryka. I II III. Modelowanie Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach matematyczne. kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę C D mnożenia i regułę dodawania (10.2).

D

Liczba ma być czterocyfrowa i zbudowana wyłącznie z cyfr \(1\), \(2\), \(3\); cyfry mogą się powtarzać, więc liczymy wariacje z powtórzeniami. O parzystości decyduje cyfra jedności — spośród dopuszczonych cyfr parzysta jest tylko \(2\), więc na tym miejscu mamy \(1\) możliwość. Każda z pozostałych trzech cyfr może być dowolna z trzech dopuszczonych, a żadna z nich nie jest zerem, więc warunek na cyfrę tysięcy jest spełniony automatycznie. Daje to \(3\) możliwości na każdym z trzech miejsc. Z reguły mnożenia \[3^3\cdot1=27.\] **Odpowiedź.** D. \(27\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 24. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Kombinatoryka.

A

Dopuszczone są cyfry ze zbioru \(\{1,3,4,5,6,7,8,9\}\), czyli osiem cyfr — wykluczamy \(0\) i \(2\). Cyfry mogą się powtarzać, więc liczymy wariacje z powtórzeniami. O parzystości decyduje cyfra jedności; parzyste cyfry dopuszczone to \(4\), \(6\), \(8\), czyli \(3\) możliwości. Każda z trzech pozostałych cyfr może być dowolną z ośmiu dopuszczonych. W szczególności cyfra tysięcy nie jest zerem, bo zero jest wykluczone. Z reguły mnożenia \[8\cdot8\cdot8\cdot3.\] **Odpowiedź.** A. \(8\cdot8\cdot8\cdot3\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 24. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Kombinatoryka.

D. \(204\)

Liczby czterocyfrowe mniejsze od \(2018\) to liczby od \(1000\) do \(2017\). Podzielne przez \(5\) są wśród nich \(1000,1005,\ldots,2015\) — tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(5\). Liczba jego wyrazów wynosi \[\frac{2015-1000}{5}+1=\frac{1015}{5}+1=203+1=204.\] **Odpowiedź.** D. \(204\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 24. (0−1) 10. Elementy statystyki opisowej. Teoria Wersja Wersja prawdopodobieństwa i kombinatoryka. I II III. Modelowanie Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach matematyczne. kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę D B mnożenia i regułę dodawania (10.2).

Można utworzyć \(18\) takich liczb. Ostatnią cyfrą musi być \(0\), a suma cyfr musi być podzielna przez \(3\). Możliwe układy cyfr to \(11100\), \(22200\), \(11220\) i \(12000\) wraz z ich dopuszczalnymi permutacjami; dają odpowiednio \(3+3+6+6=18\) liczb.

**Krok \(1\).** Podzielność przez \(15\) rozkładamy na dwa niezależne warunki: liczba musi być podzielna przez \(5\) i przez \(3\). Do każdego z nich mamy prostą cechę podzielności, a to zamienia zadanie na zliczanie ustawień cyfr. **Krok \(2\).** Podzielność przez \(5\) oznacza, że ostatnia cyfra to \(0\) albo \(5\). Do dyspozycji mamy tylko cyfry \(0\), \(1\), \(2\), więc ostatnia cyfra musi być zerem. Zostają cztery pierwsze cyfry, przy czym pierwsza nie może być zerem (liczba ma być pięciocyfrowa). **Krok \(3\).** Podzielność przez \(3\) oznacza, że suma wszystkich cyfr dzieli się przez \(3\). Ostatnia cyfra to \(0\), więc liczy się suma czterech pierwszych cyfr. Każda z nich to \(0\), \(1\) albo \(2\), więc suma mieści się między \(0\) a \(8\), a podzielne przez \(3\) są tylko \(0\), \(3\) i \(6\). **Krok \(4\).** Suma \(0\) oznaczałaby cztery zera, czyli liczbę \(00000\) — to nie jest liczba pięciocyfrowa, więc ten przypadek odpada. Zostają sumy \(3\) i \(6\). **Krok \(5\).** Suma \(3\) daje dwa zestawy czterech cyfr: \(\{1,1,1,0\}\) oraz \(\{2,1,0,0\}\). **Krok \(6\).** Zestaw \(\{1,1,1,0\}\): zero nie może stać na pierwszym miejscu, więc wybieramy dla niego jedno z trzech pozostałych miejsc, a jedynki wypełniają resztę. To daje \(3\) liczby: \(11100\), \(11010\), \(10110\). **Krok \(7\).** Zestaw \(\{2,1,0,0\}\): wszystkich ustawień czterech cyfr, wśród których dwie są jednakowe, jest \(\dfrac{4!}{2!}=12\). Odrzucamy te z zerem na pierwszym miejscu: wtedy na trzech dalszych miejscach ustawiamy \(2\), \(1\), \(0\), co daje \(3!=6\) ustawień. Zostaje \(12-6=6\) liczb. **Krok \(8\).** Suma \(6\) daje zestawy \(\{2,2,2,0\}\) oraz \(\{2,2,1,1\}\). W pierwszym, tak jak w kroku \(6\), zero ma trzy dopuszczalne miejsca, czyli \(3\) liczby (\(22200\), \(22020\), \(20220\)). W drugim nie ma zera, więc wszystkie ustawienia są dobre, a jest ich \(\dfrac{4!}{2!\cdot2!}=6\). **Krok \(9\).** Sumujemy wszystkie przypadki: \[3+6+3+6=18.\] **Uwaga.** Dwie pułapki: ostatnią cyfrą nie może być \(5\), bo takiej cyfry nie mamy do dyspozycji, a pierwszą cyfrą nie może być \(0\) — to właśnie ten drugi warunek zmniejsza liczbę ustawień w zestawach zawierających zero. **Odpowiedź.** Można utworzyć \(18\) takich liczb.

**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający zapisze, że ostatnią cyfrą utworzonej liczby jest \(0\). **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający zapisze, że są cztery możliwości uzyskania sumy cyfr podzielnej przez \(3\). **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający poprawnie obliczy liczby liczb w co najmniej trzech z czterech wymienionych przypadków. **4 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający obliczy, że jest \(18\) liczb pięciocyfrowych, podzielnych przez \(15\), które można utworzyć, dysponując jedynie cyframi \(0\), \(1\), \(2\).

Klasyfikacja rzeczowa: stosowanie cech podzielności przez 3, 5 i 15 oraz zliczanie liczb spełniających zadane warunki.

\(154\) pary

Losujemy bez zwracania i zapisujemy wyniki jako parę \((a,b)\), gdzie \(a\) pochodzi z pierwszego losowania — kolejność ma więc znaczenie, a liczby muszą być różne. Wszystkich par jest \[15\cdot14=210.\] Iloczyn \(a\cdot b\) jest parzysty dokładnie wtedy, gdy co najmniej jedna z liczb jest parzysta. Wygodniej policzyć dopełnienie: iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. W zbiorze \(\{1,2,\ldots,15\}\) liczb nieparzystych jest \(8\), więc par uporządkowanych o obu składowych nieparzystych i różnych jest \[8\cdot7=56.\] Zatem par o iloczynie parzystym jest \[210-56=154.\] **Odpowiedź.** \(154\) pary

1 pkt: poprawne policzenie jednej z klas par: 42, 56, 98 albo 112. 2 pkt: poprawna liczba wszystkich par o parzystym iloczynie, czyli 154.

III. Modelowanie matematyczne. 10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa (10.3).

D

Liczby czterocyfrowe to liczby od \(1000\) do \(9999\). Szukamy tych mniejszych niż \(2017\), czyli liczb od \(1000\) do \(2016\). Liczba wyrazów takiego przedziału liczb całkowitych wynosi \[2016-1000+1=1017.\] Uwaga: samej liczby \(2017\) nie liczymy, bo warunek jest ostry. **Odpowiedź.** D. \(1017\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 24. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Kombinatoryka.

Takich liczb jest \(28\) \(750\). Gdy pierwsza cyfra jest nieparzysta, otrzymujemy \(5\)·C(\(4\),\(2\))·\(5^{2}\cdot 5^{2}\)=\(18\) \(750\) liczb. Gdy jest parzysta i niezerowa, otrzymujemy \(4\)·C(\(4\),\(3\))·\(5^{3}\cdot 5=10\) \(000\) liczb. Suma daje wynik.

Liczba pięciocyfrowa ma zawierać dokładnie trzy cyfry nieparzyste, a więc dokładnie dwie parzyste. Cyfr nieparzystych jest \(5\), parzystych też \(5\), ale cyfra dziesiątek tysięcy nie może być zerem — dlatego rozbijamy zliczanie według jej parzystości. **Przypadek 1: pierwsza cyfra nieparzysta.** Wybieramy ją na \(5\) sposobów. Spośród czterech pozostałych pozycji dwie przeznaczamy na pozostałe cyfry nieparzyste — na \(\binom42=6\) sposobów; wpisujemy je na \(5^2\) sposobów. Na dwóch pozostałych pozycjach stoją cyfry parzyste, co daje \(5^2\) możliwości. Razem \[5\cdot\binom42\cdot5^2\cdot5^2=5\cdot6\cdot25\cdot25=18\,750.\] **Przypadek 2: pierwsza cyfra parzysta i niezerowa.** Wybieramy ją na \(4\) sposoby. Spośród czterech pozostałych pozycji trzy przeznaczamy na cyfry nieparzyste — na \(\binom43=4\) sposoby; wpisujemy je na \(5^3\) sposobów. Na ostatniej pozycji stoi druga cyfra parzysta, co daje \(5\) możliwości. Razem \[4\cdot\binom43\cdot5^3\cdot5=4\cdot4\cdot125\cdot5=10\,000.\] Przypadki są rozłączne, zatem \[18\,750+10\,000=28\,750.\] **Odpowiedź.** \(28\,750\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Rozpatrujemy dwa rozłączne przypadki. **a)** Jeśli pierwszą cyfrą jest cyfra nieparzysta, którą można wybrać na \(5\) sposobów, to spośród czterech pozostałych miejsc wybieramy dwa na cyfry nieparzyste i wstawiamy je na \(5^2\) sposobów; na pozostałych dwóch miejscach umieszczamy cyfry parzyste na \(5^2\) sposobów. Daje to \(5\cdot\binom{4}{2}\cdot5^2\cdot5^2=18\,750\) liczb. **b)** Jeśli pierwszą cyfrą jest cyfra parzysta (i niezerowa), którą można wybrać na \(4\) sposoby, to spośród czterech pozostałych miejsc wybieramy trzy na cyfry nieparzyste i wstawiamy je na \(5^3\) sposobów; na ostatnim miejscu umieszczamy cyfrę parzystą na \(5\) sposobów. Daje to \(4\cdot\binom{4}{3}\cdot5^3\cdot5=10\,000\) liczb. Łącznie \(18\,750+10\,000=28\,750\).

Klasyfikacja rzeczowa: zliczanie liczb o zadanej liczbie cyfr nieparzystych z rozróżnieniem ograniczenia na pierwszą cyfrę.

Wybieramy trzy spośród dziesięciu pozycji dla cyfry \(1\) na C(\(10\),\(3\))=\(120\) sposobów. Każdą z pozostałych siedmiu pozycji można niezależnie wypełnić cyfrą \(2\) albo \(3\), co daje \(2^{7}\)=\(128\) możliwości. Łącznie \(120\cdot 128=15\) \(360\) liczb.

Liczba dziesięciocyfrowa ma być zapisana wyłącznie cyframi \(1\), \(2\), \(3\), przy czym cyfra \(1\) ma wystąpić dokładnie trzy razy. Żadna z dopuszczonych cyfr nie jest zerem, więc warunek na pierwszą cyfrę spełnia się automatycznie. Najpierw wybieramy pozycje dla jedynek. Jedynki są nierozróżnialne, więc liczy się tylko to, które trzy z dziesięciu miejsc zajmują — to kombinacje: \[\binom{10}{3}=120.\] Na każdej z pozostałych siedmiu pozycji może stać \(2\) albo \(3\), niezależnie od innych, co daje \[2^7=128\] możliwości. Z reguły mnożenia \[120\cdot128=15\,360.\] **Odpowiedź.** \(15\,360\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **I sposób.** Miejsce dla trzech cyfr \(1\) wybieramy na \(\binom{10}{3}\) sposobów. Na pozostałych siedmiu miejscach rozmieszczamy cyfry \(2\) lub \(3\) w dowolnym porządku na \(2^7\) sposobów. Z reguły mnożenia otrzymujemy \(\binom{10}{3}\cdot2^7=120\cdot128=15\,360\) liczb dziesięciocyfrowych zapisanych cyframi \(1\), \(2\), \(3\), w których cyfra \(1\) występuje dokładnie trzy razy. **II sposób.** Rozpatrujemy trzy rozłączne przypadki w zależności od cyfry na pierwszym miejscu; sumowanie ich liczności daje ten sam wynik.

III. Modelowanie matematyczne. 10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych (R10.1).

D

Liczby dwucyfrowe podzielne przez \(3\) to \(12,15,\ldots,99\) — ciąg arytmetyczny o różnicy \(3\). Pierwszym wyrazem jest \(12\) (bo \(9\) jest jednocyfrowe), a ostatnim \(99\). Liczba wyrazów wynosi \[\frac{99-12}{3}+1=\frac{87}{3}+1=29+1=30.\] **Odpowiedź.** D. \(30\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 24. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Kombinatoryka.

\[171700.\]

Niech cyfry liczby będą równe \(d_1,d_2,\ldots,d_{100}\), gdzie \(d_1\geq1\), oraz \[d_1+d_2+\cdots+d_{100}=4.\] Wprowadzamy \(e_1=d_1-1\). Otrzymujemy równanie \[e_1+d_2+\cdots+d_{100}=3\] w nieujemnych liczbach całkowitych. Ograniczenie cyfry przez \(9\) nie jest aktywne, bo suma wynosi tylko \(3\). Liczba rozwiązań, a więc liczba szukanych liczb, wynosi \[\binom{3+100-1}{100-1}=\binom{102}{99}=\binom{102}{3}=171700.\]

**6 pkt** – wynik \(171700\) z pełnym uzasadnieniem **5 pkt** – poprawny model i wartość kombinacji z drobnym błędem rachunkowym **4 pkt** – zapisanie \(\binom{102}{3}\) jako liczby rozwiązań **3 pkt** – sprowadzenie do liczby nieujemnych rozwiązań równania o sumie \(3\) **2 pkt** – poprawne uwzględnienie warunku niezerowej pierwszej cyfry **1 pkt** – rozpoczęcie poprawnego podziału przypadków lub modelu kombinatorycznego **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 10.1 R - kombinacje i zliczanie obiektów w złożonych sytuacjach kombinatorycznych.

\[44\,361.\]

Rozdzielamy liczby według liczby wystąpień cyfry \(2\). Bez cyfry \(2\) jest \[8\cdot9^3\cdot4=23\,328\] liczb. Z dokładnie jedną cyfrą \(2\) jest \(16\,524\) liczb, a z dokładnie dwiema cyframi \(2\) jest \(4\,509\) liczb. Zatem \[23\,328+16\,524+4\,509=44\,361.\]

**5 pkt** – poprawny wynik \(44\,361\) **4 pkt** – poprawne policzenie przypadków z dokładnie dwiema cyframi \(2\): \(4\,509\) **3 pkt** – poprawne policzenie przypadków z dokładnie jedną cyfrą \(2\): \(16\,524\) **2 pkt** – poprawne rozdzielenie przypadków z drobnym pominięciem **1 pkt** – poprawne policzenie przypadku bez cyfry \(2\): \(23\,328\) **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** kombinatoryka - reguła mnożenia i rozłączne przypadki z ograniczeniami zapisu dziesiętnego.

**B.** \(10\).

Dwucyfrowe wielokrotności \(6\) to liczby od \(12\) do \(96\); jest ich \[\frac{96-12}{6}+1=15.\] Wśród nich wielokrotnościami \(9\) są dokładnie wielokrotności \(\operatorname{NWW}(6,9)=18\): \(18,36,54,72,90\), czyli \(5\) liczb. Szukanych liczb jest \(15-5=10\).

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** kombinatoryka i podzielność liczb naturalnych.

\[162.\]

Dzielimy liczby na trzy rozłączne grupy według położenia pierwszej cyfry \(9\). \(1\). Pierwsza cyfra jest dziewiątką: cyfra dziesiątek ma \(10\) możliwości, a cyfra jedności \(5\) możliwości nieparzystych, więc jest \(10\cdot5=50\) liczb. \(2\). Pierwsza dziewiątka stoi na miejscu dziesiątek: cyfra setek jest jedną z cyfr \(1,2,\ldots,8\), a cyfra jedności jest nieparzysta, więc jest \(8\cdot5=40\) liczb. \(3\). Pierwsza dziewiątka stoi na miejscu jedności: cyfra setek ma \(8\) możliwości, a cyfra dziesiątek jest jedną z dziewięciu cyfr różnych od \(9\), więc jest \(8\cdot9=72\) liczb. Łącznie \[50+40+72=162.\]

**Oficjalny schemat CKE dla sposobu „pierwsza dziewiątka”:** **postęp niewielki: 1 pkt** – prawidłowe zdefiniowanie trzech rozłącznych grup **istotny postęp: 2 pkt** – poprawne obliczenie liczebności co najmniej jednej grupy **3 pkt** – poprawne obliczenie liczebności dwóch grup **pokonanie zasadniczych trudności: 4 pkt** – poprawne obliczenie \(50\), \(40\) i \(72\) **rozwiązanie pełne: 5 pkt** – obliczenie \(50+40+72=162\)

Informator CKE nie przypisuje temu przykładowi osobnego numeru wymagania. Wymaganie ustalono na podstawie treści i rozwiązania: **kombinatoryka**, reguła mnożenia i rozłączny podział przypadków.

**C.** \(21\).

Dwucyfrowych wielokrotności \(6\) jest \(15\), a dwucyfrowych wielokrotności \(10\) jest \(9\). Liczby podzielne jednocześnie przez \(6\) i \(10\) są wielokrotnościami \(30\); są to \(30\), \(60\) i \(90\). Z zasady włączeń i wyłączeń otrzymujemy \[15+9-3=21.\]

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **C** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 10.2. Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, oraz stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania.

\[1\,050\,000.\]

Wybieramy dwa spośród siedmiu miejsc dla cyfr parzystych na \(\binom72=21\) sposobów. Ponieważ zero jest wykluczone, na każdym z tych miejsc można wpisać jedną z czterech cyfr \(2,4,6,8\), co daje \(4^2\) możliwości. Na każdym z pozostałych pięciu miejsc wybieramy jedną z pięciu cyfr nieparzystych \(1,3,5,7,9\), czyli mamy \(5^5\) możliwości. Łącznie \[\binom72\cdot4^2\cdot5^5=21\cdot16\cdot3125=1\,050\,000.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 3 pkt** – poprawny wynik \(1\,050\,000\) z pełnym uzasadnieniem **2 pkt** – poprawny iloczyn \(\binom72\cdot4^2\cdot5^5\) bez poprawnego wyniku końcowego **1 pkt** – poprawne wybranie miejsc na cyfry parzyste albo poprawne policzenie możliwości ich obsadzenia **0 pkt** – brak istotnego postępu lub rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 10.1. R. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych.

\[1\,050\,000.\]

Najpierw wybieramy dwa spośród siedmiu miejsc dla cyfr parzystych: \[\binom72=21.\] Ponieważ zero nie może wystąpić, na każdym z tych dwóch miejsc możemy umieścić jedną z czterech cyfr \(2,4,6,8\), co daje \(4^2\) możliwości. Na każdym z pięciu pozostałych miejsc umieszczamy jedną z pięciu cyfr nieparzystych \(1,3,5,7,9\), co daje \(5^5\) możliwości. Z reguły mnożenia \[\binom72\cdot4^2\cdot5^5=21\cdot16\cdot3125=1\,050\,000.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 3 pkt** – poprawny wynik \(1\,050\,000\) z pełnym zliczeniem **2 pkt** – poprawny iloczyn \(\binom72\cdot4^2\cdot5^5\) z błędem rachunkowym **1 pkt** – poprawne wybranie miejsc \(\binom72\) albo poprawne policzenie obsadzenia wybranych miejsc **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający tworzy strategię rozwiązania problemu. **Wymagania szczegółowe:** 10.1. R. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych.

\[5994.\]

Istnieje \(3^3=27\) takich liczb. Na każdej pozycji każda z cyfr \(1,2,3\) występuje dokładnie \(3^2=9\) razy. Suma cyfr na jednej pozycji wynosi więc \[9(1+2+3)=54.\] Po uwzględnieniu wartości pozycyjnych otrzymujemy \[54\cdot100+54\cdot10+54=54(100+10+1)=5994.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – poprawny wynik \(5994\) z pełnym uzasadnieniem **3 pkt** – poprawne zsumowanie wkładów setek, dziesiątek i jedności z drobnym błędem rachunkowym **2 pkt** – zauważenie, że każda cyfra występuje po \(9\) razy na każdej pozycji **1 pkt** – poprawne ustalenie, że istnieje \(27\) liczb, lub równoważny istotny postęp **0 pkt** – brak istotnego postępu lub rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 10.1. R. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych.

\[5994.\]

Istnieje \(3^3=27\) takich liczb. Na każdym z trzech miejsc każda z cyfr \(1,2,3\) występuje dokładnie \(3^2=9\) razy. Suma wkładów cyfr na miejscu setek, dziesiątek i jedności wynosi więc odpowiednio \[9(1+2+3)\cdot100=5400,\] \[9(1+2+3)\cdot10=540,\] \[9(1+2+3)=54.\] Zatem szukana suma jest równa \[5400+540+54=5994.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – poprawna suma \(5994\) z uzasadnieniem **3 pkt** – poprawne policzenie wkładów wszystkich trzech pozycji z drobnym błędem rachunkowym **2 pkt** – zauważenie, że każda cyfra występuje po \(9\) razy na każdym miejscu **1 pkt** – poprawne ustalenie liczby \(27\) rozpatrywanych liczb **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający tworzy strategię rozwiązania problemu. **Wymagania szczegółowe:** 10.1. R. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych.

\[896.\]

Ponieważ \(24=3\cdot2^3\), cyfry różne od \(1\) mogą tworzyć dokładnie pięć rozłącznych układów; pozostałe miejsca wypełniają jedynki. Liczby permutacji dla kolejnych multizbiorów cyfr są następujące: \[\{3,2,2,2,1,1,1,1\}:\quad\frac{8!}{3!4!}=280,\] \[\{3,4,2,1,1,1,1,1\}:\quad\frac{8!}{5!}=336,\] \[\{3,8,1,1,1,1,1,1\}:\quad\frac{8!}{6!}=56,\] \[\{6,4,1,1,1,1,1,1\}:\quad\frac{8!}{6!}=56,\] \[\{6,2,2,1,1,1,1,1\}:\quad\frac{8!}{2!5!}=168.\] Zatem wszystkich liczb jest \[280+336+56+56+168=896.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 7 pkt** – poprawne rozpatrzenie wszystkich pięciu przypadków i wynik \(896\) **6 pkt** – wszystkie przypadki i poprawne metody z jednym błędem rachunkowym **5 pkt** – poprawne rozpatrzenie czterech przypadków **4 pkt** – poprawne rozpatrzenie trzech przypadków **3 pkt** – poprawne rozpatrzenie dwóch przypadków **2 pkt** – poprawne rozpatrzenie jednego przypadku i zauważenie potrzeby podziału na przypadki **1 pkt** – rozkład \(24=3\cdot2^3\) i rozpoczęcie poprawnego zliczania **0 pkt** – brak istotnego postępu lub rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający tworzy strategię rozwiązania problemu. **Wymagania szczegółowe:** 10.1. R. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych.

\[3\,778\,930.\]

Dzielimy liczby na cztery rozłączne grupy według pierwszej cyfry i rozkładu pozostałej sumy. \(1\). Pierwsza cyfra \(5\), dalej same zera: \(1\) liczba. \(2\). Pierwsza cyfra \(3\), dalej dwie jedynki: \(\binom{99}{2}=4851\) liczb. \(3\). Pierwsza cyfra \(1\), dalej jedna cyfra \(3\) i jedna cyfra \(1\): \(99\cdot98=9702\) liczby. \(4\). Pierwsza cyfra \(1\), dalej cztery jedynki: \(\binom{99}{4}=3\,764\,376\) liczb. Suma wynosi \[1+4851+9702+3\,764\,376=3\,778\,930.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 6 pkt** – poprawne cztery przypadki i wynik \(3\,778\,930\) **4: 5 pkt** – poprawnie policzone co najmniej trzy przypadki i poprawna metoda **2: 3 pkt** – poprawny podział według pierwszej cyfry i co najmniej dwa poprawne składniki **1 pkt** – rozpoznanie konieczności osobnego potraktowania pierwszej, niezerowej cyfry **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający tworzy strategię rozwiązania problemu. **Wymagania szczegółowe:** 10.1. R. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych.

Wszystkich takich liczb jest \(2125\).

Rozpatrujemy dwa rozłączne przypadki. Jeżeli pierwsza cyfra jest nieparzysta, to wybieramy ją na \(5\) sposobów, a każdą z trzech cyfr parzystych na \(5\) sposobów (włącznie z zerem). Otrzymujemy \[5^4=625.\] Jeżeli pierwsza cyfra jest parzysta, ale różna od zera, mamy \(4\) możliwości. Jedną z pozostałych trzech pozycji wybieramy dla cyfry nieparzystej na \(3\) sposoby, a cyfry na tych pozycjach na \(5^3\) sposobów. Otrzymujemy \[4\cdot3\cdot5^3=1500.\] Łącznie \[625+1500=2125.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – poprawny wynik \(2125\) z pełnym rozbiciem na przypadki **3 pkt** – poprawne policzenie obu przypadków z drobnym błędem rachunkowym **2 pkt** – poprawny podział według parzystości pierwszej cyfry i poprawne policzenie jednego przypadku **1 pkt** – rozpoznanie, że zero nie może być pierwszą cyfrą liczby czterocyfrowej **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania. **Wymagania szczegółowe:** 10.2. Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, oraz stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania.

**D.** \(27\).

Aby liczba była większa od \(3000\), cyfrą tysięcy musi być \(3\). Każde z trzech pozostałych miejsc można obsadzić niezależnie jedną z \(3\) cyfr, więc liczba możliwości wynosi \[3^3=27.\]

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** kombinatoryka, reguła mnożenia.

\(630\)

Oznaczmy cyfry liczby czterocyfrowej przez \(t\) (tysiące), \(s\) (setki), \(d\) (dziesiątki), \(j\) (jedności). Warunek zadania to \[j=s+3.\] Cyfry \(s\) i \(j\) są więc powiązane: wybór \(s\) wyznacza \(j\) jednoznacznie. Musi zachodzić \(s+3\leq9\), czyli \(s\leq6\); cyfra setek może być zerem, więc \(s\in\{0,1,\ldots,6\}\) — to \(7\) możliwości. Cyfra tysięcy nie może być zerem, co daje \(9\) możliwości, a cyfra dziesiątek jest zupełnie dowolna — \(10\) możliwości. Wybory są niezależne, więc z reguły mnożenia \[9\cdot7\cdot10=630.\] **Odpowiedź.** \(630\)

1 pkt: rozpoznanie 7 par cyfr setek i jedności albo 90 ustawień pozostałych cyfr. 2 pkt: 9·10·7=630.

Zadanie 29. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Kombinatoryka.

Takich liczb jest \(1920\). Po ustaleniu niezerowej pierwszej cyfry wybieramy trzy z pozostałych pięciu miejsc dla zer, jedno z trzech wolnych miejsc dla cyfry \(5\), a dwa pozostałe miejsca wypełniamy na \(8^{2}\) sposobów: C(\(5\),\(3\))·\(3\cdot 8^{2}\)=\(1920\).

**Krok \(1\).** To zadanie na zliczanie. Zamiast wypisywać liczby, ustalamy, na których z sześciu miejsc stoją poszczególne cyfry: najpierw wybieramy miejsca dla zer, potem miejsce dla piątki, a na końcu wypełniamy resztę. Kluczowe ograniczenie: pierwsza cyfra liczby sześciocyfrowej nie może być zerem. **Krok \(2\).** Zera są trzy i żadne nie może stać na pierwszym miejscu, więc wszystkie trzy zajmują miejsca spośród pięciu pozostałych. Liczba takich wyborów to \[\binom53=\frac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}=10.\] **Krok \(3\).** Po rozmieszczeniu zer zostają trzy wolne miejsca — pierwsze oraz dwa z pięciu dalszych. Dokładnie na jednym z nich ma stać cyfra \(5\), więc wybieramy je na \(3\) sposoby. **Krok \(4\).** Zostały dwa miejsca. Skoro zera mają wystąpić dokładnie trzy razy, a piątka dokładnie raz, to na tych miejscach nie może stać ani \(0\), ani \(5\). Zostaje osiem cyfr: \(1,2,3,4,6,7,8,9\). Każde z dwóch miejsc wypełniamy niezależnie, więc mamy \(8^2=64\) możliwości. **Krok \(5\).** Zauważmy, że pierwsza cyfra jest automatycznie różna od zera: albo stoi tam \(5\), albo jedna z ośmiu cyfr z kroku \(4\). Warunek na liczbę sześciocyfrową jest więc spełniony. **Krok \(6\).** Stosujemy regułę mnożenia: \[10\cdot3\cdot64=1920.\] **Uwaga.** Słowo „dokładnie” pracuje w dwóch miejscach naraz: wymusza trzy zera (ani mniej, ani więcej) i jedną piątkę, a przez to zawęża wybór pozostałych dwóch cyfr do ośmiu, a nie dziewięciu czy dziesięciu. Podstawienie \(9^2\) albo \(10^2\) w kroku \(4\) to najczęstszy błąd. **Odpowiedź.** Takich liczb jest \(1920\).

**Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zdający wybierze trzy miejsca z pięciu dla cyfry \(0\), wybierze jedno z trzech miejsc dla cyfry \(5\) i rozmieści na pozostałych dwóch miejscach cyfry różne od \(0\) i od \(5\). **3 pkt** – zdający obliczy, ile jest liczb sześciocyfrowych, w zapisie których cyfra \(0\) występuje dokładnie trzy razy i tylko raz występuje cyfra \(5\): \(1920\). Jeżeli zdający uzyska wynik końcowy, ale traktuje to jak jeden z kilku przypadków, to otrzymuje za rozwiązanie co najwyżej \(2\) punkty.

IV. Użycie i tworzenie strategii. Wykorzystanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych. (IV.10.R)

**C.** \(180\)

Liczby trzycyfrowe podzielne przez \(5\) to \(100,105,\ldots,995\) — ciąg arytmetyczny o różnicy \(5\). Liczba wyrazów wynosi \[\frac{995-100}{5}+1=\frac{895}{5}+1=179+1=180.\] Ten sam wynik daje reguła mnożenia: cyfra setek ma \(9\) możliwości, cyfra dziesiątek \(10\), a cyfra jedności musi być równa \(0\) albo \(5\), czyli \(2\) możliwości; \(9\cdot10\cdot2=180\). **Odpowiedź.** C. \(180\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 15. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Kombinatoryka.

\(5120\)

W zapisie nie występuje zero, więc każda cyfra należy do zbioru \(\{1,2,\ldots,9\}\). Dzielimy te cyfry na trzy grupy: cyfra \(7\), cyfry parzyste (\(2,4,6,8\) — cztery cyfry) oraz cyfry nieparzyste różne od \(7\) (\(1,3,5,9\) — cztery cyfry). Liczba ma zawierać dokładnie jedną siódemkę i dokładnie jedną cyfrę parzystą, a pozostałe trzy cyfry muszą być nieparzyste i różne od \(7\). Miejsce dla siódemki wybieramy spośród pięciu pozycji, czyli na \(5\) sposobów. Miejsce dla cyfry parzystej wybieramy spośród czterech pozostałych pozycji, czyli na \(4\) sposoby, a samą cyfrę parzystą na \(4\) sposoby. Na każdej z trzech pozostałych pozycji wpisujemy niezależnie jedną z czterech cyfr nieparzystych różnych od \(7\), co daje \(4^3=64\) możliwości. Z reguły mnożenia \[5\cdot4\cdot4\cdot4^3=5\cdot4^5=5\cdot1024=5120.\] **Odpowiedź.** \(5120\)

**2–3 pkt** – poprawne zliczenie ustawień odpowiednich grup cyfr. **4 pkt** – \(5\cdot 4\cdot 4\cdot 4^{3}=5120\).

Zadanie 33. (0–4) Użycie i tworzenie strategii Zliczenie obiektów w prostej sytuacji kombinatorycznej (IV.10.b) I sposób rozwiązania Zauważamy, że dla poprawnego rozwiązania zadania istotne są trzy grupy cyfr: cyfra 7, cyfry parzyste bez zera oraz cyfry nieparzyste różne od 7.  Miejsce dla cyfry 7 możemy wybrać na 5 sposobów.  Miejsce dla cyfry parzystej możemy wybrać na 4 sposoby.  Cyfrę parzystą do wpisania na wybranym miejscu możemy wybrać spośród 4 cyfr parzystych, czyli na 4 sposoby.  Na pozostałych trzech miejscach możemy wpisać cyfry nieparzyste różne od 7. Możemy to zrobić na 43  64 sposoby. Zatem wszystkich liczb pięciocyfrowych spełniających warunki zadania jest: 5  4  4  43  5  45  5 1024  5120 . Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 2 pkt Obliczenie, na ile sposobów można ustawić cyfry z dwóch grup cyfr (spośród trzech rozważanych). Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt Obliczenie, na ile sposobów można ustawić cyfry z trzech grup cyfr:  Miejsce dla cyfry 7 – na 5 sposobów.  Miejsce dla cyfry parzystej – na 4 sposoby.  Cyfrę parzystą do wpisania na wybranym miejscu – na 4 sposoby.  Cyfry nieparzyste różne od 7 na pozostałych trzech miejscach – na 43  64 sposoby. Rozwiązanie pełne ............................................................................................................ 4 pkt Obliczenie, ile liczb pięciocyfrowych spełnia warunki zadania: 5  45  5120 . II sposób rozwiązania Rozpatrujemy następujące trzy warianty ustawień cyfr: 1) na pierwszym miejscu cyfra 7, na jednym z czterech miejsc cyfra parzysta, a na każdym z pozostałych trzech miejsc cyfra nieparzysta różna od 7. Każdą z czterech cyfr parzystych możemy umieścić na jednym z czterech miejsc na 4  4 sposobów, zaś każdą z czterech pozostałych cyfr nieparzystych (bez cyfry 7 ) możemy rozmieścić na trzech miejscach na 4  4  4  43 sposobów. Zatem liczba możliwych ustawień cyfr w tym wariancie równa się: 4  4  43  45  1024 . 2) na pierwszym miejscu cyfra parzysta różna od 0, na jednym z czterech pozostałych miejsc cyfra 7, zaś na każdym z pozostałych trzech miejsc cyfra nieparzysta różna od 7. Na pierwszym miejscu możemy ustawić każdą z czterech cyfr parzystych różnych od zera, zaś na każdym z pozostałych czterech miejsc możemy umieścić cyfrę 7 , stąd otrzymujemy 4  4 możliwości ustawień cyfry parzystej oraz cyfry 7 . Natomiast każdą z czterech pozostałych cyfr nieparzystych różnych od 7 możemy rozmieścić na pozostałych trzech miejscach na 4  4  4  43 sposobów. Zatem liczba możliwych ustawień cyfr w tym wariancie jest równa: 4  4  43  45  1024 . 16 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy 3) na pierwszym miejscu cyfra nieparzysta różna od 7, na jednym z pozostałych czterech miejsc cyfra parzysta, na jednym z trzech pozostałych miejsc cyfra 7, a na pozostałych dwóch miejscach cyfra nieparzysta różna od 7. Każdą z czterech cyfr nieparzystych (różną od 7 ) możemy umieścić na pierwszym miejscu (4 sposoby). Na każdym z czterech pozostałych miejsc możemy umieścić każdą z czterech cyfr parzystych na 4  4 sposobów. Cyfrę 7 możemy umieścić na każdym z trzech pozostałych miejsc, zaś każdą z czterech pozostałych cyfr nieparzystych różnych od 7 umieścimy na dwóch miejscach na 3 4  4  3 42 sposobów. Zatem, w tym wariancie, liczba możliwych ustawień jest równa: 4  4  4  3 42  3 45  3072 . Liczba wszystkich możliwych ustawień jest sumą liczb ustawień w poszczególnych wariantach i równa się: 1024 1024  3072  5120 . Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Przyznajemy po 1 punkcie za obliczenie liczby możliwych ustawień cyfr w każdym z trzech wariantów i 1 punkt za obliczenie sumy tych możliwości.

Takich liczb jest \(280\). Możliwe zestawy cyfr to \(3\),\(4\) i sześć jedynek; \(2\),\(6\) i sześć jedynek; albo \(3\),\(2\),\(2\) i pięć jedynek. Dają one odpowiednio \(8\cdot 7=56\), \(8\cdot 7=56\) oraz \(8\)·C(\(7\),\(2\))=\(168\) ustawień. Suma wynosi \(280\).

**Krok \(1\).** To zadanie kombinatoryczne typu: najpierw ustalamy, jakie zestawy cyfr w ogóle wchodzą w grę, a dopiero potem liczymy, na ile sposobów można je rozmieścić na ośmiu pozycjach. Zaczynamy od obserwacji: skoro iloczyn cyfr jest równy \(12\), czyli jest różny od zera, to żadna cyfra nie jest zerem. Dzięki temu nie trzeba osobno pilnować, żeby pierwsza cyfra była niezerowa. **Krok \(2\).** Rozkładamy \(12\) na czynniki pierwsze: \(12=2\cdot2\cdot3\). Cyfry różne od \(1\) muszą dać w iloczynie \(12\), a każda z nich jest liczbą od \(2\) do \(9\). **Krok \(3\).** Wypisujemy możliwe zestawy cyfr większych od \(1\): \(\{3,4\}\), \(\{2,6\}\), \(\{2,2,3\}\). Zestaw jednoelementowy odpada, bo \(12\) nie jest cyfrą, a czteroelementowego nie ma, bo \(12\) jest iloczynem tylko trzech czynników pierwszych i rozbicie \(2\cdot2\cdot3\) jest najdrobniejsze. Pozostałe miejsca wypełniają jedynki, które nie zmieniają iloczynu. **Krok \(4\).** Przypadek pierwszy: cyfry \(3\), \(4\) i sześć jedynek. Wybieramy miejsce dla trójki spośród \(8\) pozycji, a potem miejsce dla czwórki spośród \(7\) pozostałych: \[8\cdot7=56.\] **Krok \(5\).** Przypadek drugi: cyfry \(2\), \(6\) i sześć jedynek. Rozumowanie identyczne: \[8\cdot7=56.\] **Krok \(6\).** Przypadek trzeci: cyfry \(2\), \(2\), \(3\) i pięć jedynek. Miejsce dla trójki wybieramy na \(8\) sposobów, a dwa miejsca dla dwóch dwójek spośród \(7\) pozostałych — tu kolejność nie ma znaczenia, bo obie dwójki są identyczne, więc używamy kombinacji: \[8\cdot\binom{7}{2}=8\cdot\frac{7\cdot6}{2}=8\cdot21=168.\] **Krok \(7\).** Trzy przypadki wykluczają się parami (różnią się zestawem cyfr), więc wyniki dodajemy: \[56+56+168=280.\] **Uwaga.** W trzecim przypadku łatwo policzyć \(7\cdot6=42\) zamiast \(\binom72=21\) — wtedy każdą liczbę policzylibyśmy dwukrotnie, bo dwie dwójki są nierozróżnialne. **Odpowiedź.** Takich liczb jest \(280\).

**1 pkt** – zapisanie co najmniej dwóch z trzech parami wykluczających się możliwości, w których iloczyn cyfr liczby ośmiocyfrowej jest równy \(12\) (bez obliczania liczby tych możliwości): \(12=3\cdot4\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\), \(12=2\cdot6\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\), \(12=3\cdot2\cdot2\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zapisanie wszystkich trzech parami wykluczających się możliwości, w których iloczyn cyfr liczby ośmiocyfrowej jest równy \(12\) (bez obliczania liczby tych możliwości). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – obliczenie liczby liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy \(12\), w co najmniej dwóch z trzech możliwości. **Rozwiązanie pełne** – obliczenie liczby liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy \(12\): \(56+56+168=280\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. Wykorzystanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych. (IV.10.R)

\(17760\)

**Krok \(1\).** Takich liczb jest bardzo dużo, więc wypisywanie ich wszystkich jest ryzykowne. Zamiast tego policzymy, **ile razy każda cyfra pojawia się na każdej pozycji** (setek, dziesiątek, jedności) i zsumujemy ich wkłady. **Krok \(2\).** Ile jest takich liczb? Cyfrę setek wybieramy na \(4\) sposoby, dziesiątek na \(4\) i jedności na \(4\) (cyfry mogą się powtarzać), więc \[4\cdot 4\cdot 4=64.\] **Krok \(3\).** Ustalmy jedną konkretną cyfrę na pozycji setek, np. \(2\). Pozostałe dwie cyfry są dowolne, więc liczb zaczynających się od \(2\) jest \(4\cdot 4=16\). Tak samo każda z cyfr \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) stoi na pozycji setek dokładnie \(16\) razy. Identycznie jest na pozycji dziesiątek i na pozycji jedności. **Krok \(4\).** Suma wszystkich cyfr stojących na jednej ustalonej pozycji (we wszystkich \(64\) liczbach) wynosi więc \[16\cdot(1+2+3+4)=16\cdot 10=160.\] **Krok \(5\).** Cyfra setek wnosi do liczby wartość \(100\) razy większą niż sama cyfra, dziesiątek \(10\) razy większą, a jedności \(1\) raz. Zatem szukana suma to \[S=160\cdot 100+160\cdot 10+160\cdot 1=160\cdot 111.\] **Krok \(6\).** Wykonujemy mnożenie: \[S=160\cdot 111=17\,760.\] **Krok \(7\).** Kontrola innym sposobem: średnia cyfra to \(\frac{1+2+3+4}{4}=2{,}5\), więc średnia liczba wynosi \(2{,}5\cdot 111=277{,}5\), a suma \(64\cdot 277{,}5=17\,760\). Zgadza się. **Uwaga.** Warunek, że cyfry mogą się powtarzać, jest kluczowy: liczby takie jak \(111\) czy \(343\) też liczymy. Gdyby cyfry nie mogły się powtarzać, liczb byłoby tylko \(4\cdot 3\cdot 2=24\). **Odpowiedź.** Suma wszystkich takich liczb jest równa \(17\,760\).

**1–3 pkt** – poprawne zliczenie \(64\) liczb i wkładu cyfr na pozycjach. **4 pkt** – suma \(17760\).

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Kombinatoryka – zlicza liczby spełniające warunki i oblicza ich sumę.

Takich liczb jest \(192080\). Miejsca dla dwóch dwójek wybieramy na \(\binom{8}{2}=28\) sposobów, miejsca dla trzech trójek na \(\binom{6}{3}=20\) sposobów, a każde z pozostałych trzech miejsc wypełniamy jedną z siedmiu cyfr \(1,4,5,6,7,8,9\), co daje \(28\cdot20\cdot7^3=192080\).

**Krok \(1\).** To zadanie na zliczanie. Budujemy liczbę ośmiocyfrową, czyli osiem miejsc, na których stawiamy cyfry. Warunki są takie: dwa miejsca zajmują dwójki, trzy miejsca zajmują trójki, a na pozostałych trzech miejscach stoją cyfry inne niż \(0\), \(2\) i \(3\). Metoda: najpierw wybieramy miejsca dla dwójek, potem miejsca dla trójek, potem wypełniamy resztę, a wyniki mnożymy. **Krok \(2\).** Wybór miejsc dla dwóch dwójek. Wybieramy \(2\) miejsca spośród \(8\), a kolejność wyboru nie ma znaczenia (obie cyfry są takie same), więc jest to kombinacja: \[\binom{8}{2}=\frac{8\cdot7}{2}=28.\] **Krok \(3\).** Wybór miejsc dla trzech trójek. Zostało \(6\) wolnych miejsc, wybieramy z nich \(3\): \[\binom{6}{3}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=20.\] **Krok \(4\).** Pozostałe trzy miejsca. Zero jest wykluczone przez treść, a dwójki i trójki mamy już wykorzystane w komplecie, więc na każdym z tych miejsc może stanąć jedna z cyfr \(1,4,5,6,7,8,9\), czyli siedem możliwości. Miejsca wypełniamy niezależnie: \[7^3=343.\] **Krok \(5\).** Reguła mnożenia — kolejne, niezależne decyzje mnożymy przez siebie: \[28\cdot20\cdot343.\] **Krok \(6\).** Liczymy: \(28\cdot20=560\), a następnie \[560\cdot343=560\cdot300+560\cdot43=168000+24080=192080.\] **Uwaga.** Sformułowanie, że w zapisie występują dwie dwójki i trzy trójki, rozumiemy jako dokładnie tyle — dlatego na trzech wolnych miejscach nie wolno postawić już ani \(2\), ani \(3\). Gdyby dopuścić więcej dwójek lub trójek, wynik byłby inny. Zera nie używamy w ogóle, więc problem pierwszej cyfry tu nie występuje. **Odpowiedź.** Takich liczb jest \(192080\).

**Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania** – obliczenie liczby miejsc, na których mogą znajdować się dwójki, albo obliczenie liczby miejsc, na których mogą znajdować się trójki, albo obliczenie, na ile sposobów \([\ldots]\) zapełnić trzy pozostałe miejsca. **3 pkt** – obliczenie obu wielkości: liczby miejsc, na których mogą znajdować się dwójki, i liczby miejsc, na których mogą znajdować się trójki. **4 pkt** – obliczenie liczby ciągów na pozostałych miejscach i obliczenie, że jest \(192080\) szukanych liczb. Za rozwiązanie \(8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 7^{3}\) zdający otrzymuje \(0\) punktów. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie: ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast występują co najmniej dwie dwójki i występują co najmniej trzy trójki, to otrzymuje \(4\) punkty (poprawny wynik: \(247240\)).

IV. Użycie i tworzenie strategii. Wykorzystanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych.

**D.** \(4\)

Suma czterech cyfr ma być równa \(2\), a cyfra tysięcy musi być niezerowa, więc wynosi \(1\) albo \(2\). Jeśli cyfra tysięcy to \(2\), pozostałe trzy cyfry muszą sumować się do \(0\), czyli wszystkie są zerami — daje to liczbę \(2000\). Jeśli cyfra tysięcy to \(1\), pozostałe trzy cyfry sumują się do \(1\), więc dokładnie jedna z nich jest jedynką, a dwie są zerami. Miejsce dla jedynki wybieramy na \(3\) sposoby, co daje liczby \(1100\), \(1010\), \(1001\). Przypadki są rozłączne, zatem takich liczb jest \[1+3=4.\] **Odpowiedź.** D. \(4\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Kombinatoryka – zlicza liczby naturalne o zadanej sumie cyfr.

\(720\)

Warunki dotyczą dwóch niezależnych części zapisu, więc rozbijamy zliczanie: osobno trójka cyfr setek, dziesiątek i jedności, osobno dwie pierwsze cyfry. **Cyfry setek, dziesiątek i jedności.** Mają być parzyste i tworzyć ciąg ściśle malejący, a przy tym różne od \(9\) — ten ostatni warunek jest tu spełniony automatycznie, bo \(9\) jest nieparzyste. Cyfry parzyste to \(0,2,4,6,8\), czyli pięć wartości. Ponieważ cyfry mają być ustawione malejąco, każdy trzyelementowy podzbiór wyznacza dokładnie jedno dopuszczalne ustawienie — liczymy więc kombinacje, nie wariacje: \[\binom53=10.\] **Cyfry dziesiątek tysięcy i tysięcy.** Nie mogą być równe \(9\), a pierwsza dodatkowo nie może być zerem. Pierwsza ma zatem \(8\) możliwości (cyfry \(1\)–\(8\)), a druga \(9\) (cyfry \(0\)–\(8\)). Cyfry te mogą się powtarzać, bo treść tego nie zabrania: \[8\cdot9=72.\] Obie części są niezależne, więc z reguły mnożenia \[10\cdot72=720.\] **Odpowiedź.** \(720\)

**1–3 pkt** – wybór trzech malejących cyfr parzystych i zliczenie dwóch pierwszych pozycji. **4 pkt** – \(8\cdot 9\cdot\binom{5}{3}=720\).

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Kombinatoryka – stosuje regułę mnożenia i kombinacje do zliczania liczb.

**B.** \(20\)

Liczba dwucyfrowa ma postać \(\overline{ab}\), gdzie \(a\) jest cyfrą dziesiątek, a \(b\) cyfrą jedności. Cyfra \(a\) musi być parzysta i różna od zera, więc \(a\in\{2,4,6,8\}\) — \(4\) możliwości. Cyfra \(b\) musi być parzysta, więc \(b\in\{0,2,4,6,8\}\) — \(5\) możliwości. Wybory są niezależne, zatem z reguły mnożenia liczb takich jest \[4\cdot5=20.\] **Odpowiedź.** B. \(20\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** stosowanie reguły mnożenia przy zliczaniu liczb o zadanych własnościach cyfr Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

\(500\)

Wyjaśnienie: Krok \(1\). Określenie liczby cyfr, które mogą znaleźć się na pierwszym miejscu naszej liczby. Zgodnie z treścią zadania pierwsza cyfra musi być parzysta, a więc mogą to być tylko i wyłącznie \(2\), \(4\), \(6\) lub \(8\). Cyfrę \(0\) odrzucamy, bo nie może być pierwszą cyfrą w liczbie. Krok \(2\). Określenie liczby cyfr, które mogą znaleźć się na drugim, trzecim i czwartym miejscu naszej liczby. Na każdym z pozostałych miejsc możemy mieć jedną z pięciu cyfr nieparzystych: \(1\), \(3\), \(5\), \(7\) lub \(9\). Krok \(3\). Obliczenie liczby wszystkich możliwych kombinacji. Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich kombinacji będzie: \[|Ω|=4\cdot5\cdot5\cdot5=500\]

Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie: 0 pkt • Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania. 1 pkt • Gdy poprawnie obliczysz jedynie liczbę cyfr, które mogą znaleźć się na pierwszym miejscu (patrz: Krok 1.) ALBO • Gdy poprawnie obliczysz jedynie liczbę cyfr, które mogą znaleźć się na drugim, trzecim i czwartym miejscu liczby. (patrz: Krok 2.) 2 pkt • Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Kombinatoryka – zlicza liczby spełniające warunki na cyfry.

B

Obie cyfry mają być mniejsze od \(5\), czyli należeć do zbioru \(\{0,1,2,3,4\}\). Cyfra dziesiątek nie może być zerem, więc zostają \(1,2,3,4\) — \(4\) możliwości. Cyfra jedności może być dowolna z pięciu — \(5\) możliwości. Z reguły mnożenia \[4\cdot5=20.\] **Odpowiedź.** B. \(20\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: B.

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Kombinatoryka.

\(2125\)

Cyfr nieparzystych jest \(5\) (\(1,3,5,7,9\)) i cyfr parzystych też \(5\) (\(0,2,4,6,8\) — zero jest parzyste). Rozbijamy zliczanie według miejsca, na którym stoi jedyna cyfra nieparzysta, bo od niego zależy warunek na cyfrę tysięcy. **Cyfra nieparzysta na miejscu tysięcy.** Wybieramy ją na \(5\) sposobów (żadna cyfra nieparzysta nie jest zerem), a każdą z trzech pozostałych cyfr parzystych na \(5\) sposobów. Daje to \(5\cdot5^3=625\) liczb. **Cyfra nieparzysta na jednym z trzech dalszych miejsc.** Miejsce wybieramy na \(3\) sposoby, samą cyfrę na \(5\) sposobów. Cyfra tysięcy musi być parzysta i niezerowa, czyli ma \(4\) możliwości, a dwie pozostałe cyfry parzyste po \(5\) możliwości. Daje to \(3\cdot5\cdot4\cdot5^2=1500\) liczb. Przypadki są rozłączne, zatem \[625+1500=2125.\] **Odpowiedź.** \(2125\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(2125\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Kombinatoryka.

\(9\) liczb

Niech \(A\) oznacza zbiór liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(15\), a \(B\) — podzielnych przez \(20\). Szukamy liczności sumy \(A\cup B\), a zbiory mogą mieć część wspólną, więc stosujemy zasadę włączeń i wyłączeń: \[|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.\] Wielokrotności \(15\) wśród liczb dwucyfrowych to \(15,30,45,60,75,90\), czyli \(|A|=6\). Wielokrotności \(20\) to \(20,40,60,80\), czyli \(|B|=4\). Część wspólna to liczby podzielne przez \(\operatorname{NWW}(15,20)=60\); wśród liczb dwucyfrowych jest tylko \(60\), więc \(|A\cap B|=1\). Zatem \[6+4-1=9.\] **Odpowiedź.** \(9\) liczb

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(9\) liczb

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Kombinatoryka.

\(72\) liczby

Oznaczmy cyfrę setek przez \(s\), dziesiątek przez \(d\), jedności przez \(j\). Warunek zadania to \[d=j+2.\] Wybór \(j\) wyznacza \(d\) jednoznacznie, a musi zachodzić \(j+2\leq9\), czyli \(j\leq7\). Cyfra jedności może być zerem, więc \(j\in\{0,1,\ldots,7\}\) — to \(8\) możliwości. Cyfra setek jest od tego niezależna i musi być niezerowa, co daje \(9\) możliwości. Z reguły mnożenia \[9\cdot8=72.\] **Odpowiedź.** \(72\) liczby

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(72\) liczby

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Kombinatoryka.

\(10392\)

Liczb trzycyfrowych o cyfrach ze zbioru \(\{0,1,2,3\}\) jest \(3\cdot4\cdot4=48\): cyfra setek musi być niezerowa (\(3\) możliwości), a dwie pozostałe są dowolne (po \(4\) możliwości). Sumę liczymy pozycjami: każdą liczbę zapisujemy jako \(100s+10d+j\), więc szukana suma to \[100\sum s+10\sum d+\sum j,\] gdzie sumowanie przebiega po wszystkich \(48\) liczbach. **Cyfry setek.** Każda z cyfr \(1\), \(2\), \(3\) występuje na tym miejscu w \(4\cdot4=16\) liczbach, więc \[\sum s=16\cdot(1+2+3)=16\cdot6=96.\] **Cyfry dziesiątek.** Ustalając cyfrę dziesiątek, mamy \(3\) możliwości dla setek i \(4\) dla jedności, czyli każda z cyfr \(0,1,2,3\) występuje tu w \(12\) liczbach: \[\sum d=12\cdot(0+1+2+3)=12\cdot6=72.\] **Cyfry jedności.** Analogicznie \(\sum j=72\). Zatem suma wynosi \[100\cdot96+10\cdot72+72=9600+720+72=10\,392.\] **Odpowiedź.** \(10\,392\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(10392\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Kombinatoryka.

Takich liczb jest \(500\).

Liczba czterocyfrowa ma postać \(\overline{tsdj}\). Z warunków zadania cyfra tysięcy \(t\) jest parzysta, a pozostałe cyfry \(s\), \(d\), \(j\) — nieparzyste. Cyfra \(t\) jest pierwszą cyfrą liczby czterocyfrowej, więc \(t\ne0\); stąd \[t\in\{2,4,6,8\}\qquad(4\text{ możliwości}).\] Każda z pozostałych trzech cyfr może być dowolną cyfrą nieparzystą: \[s,d,j\in\{1,3,5,7,9\}\qquad(\text{po }5\text{ możliwości}).\] Wybory są niezależne, więc z reguły mnożenia \[4\cdot5\cdot5\cdot5=4\cdot125=500.\] **Odpowiedź.** Takich liczb jest \(500\).

**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(500\) **1 pkt** – zapisanie, że cyfra tysięcy może być wybrana na \(4\) sposoby (bez zera), a każda z pozostałych cyfr na \(5\) sposobów **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Sprawdzana umiejętność:** stosowanie reguły mnożenia przy zliczaniu liczb naturalnych o zadanych własnościach cyfr, z uwzględnieniem warunku, że pierwsza cyfra liczby wielocyfrowej jest różna od zera.