Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 24, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) czworokąt \(ABCD\) jest równoległobokiem takim, że
\[\overrightarrow{BD}=[-21,-7]\qquad\text{oraz}\qquad\overrightarrow{DC}=[15,8].\]
Oblicz pole tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Pole równoległoboku wynosi \(63\).
Rozwiązanie krok po kroku
Wektory wychodzące z punktu \(D\) do dwóch sąsiednich wierzchołków mają współrzędne
\[\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{BD}=[21,7],\qquad\overrightarrow{DC}=[15,8].\]
Pole równoległoboku jest wartością bezwzględną wyznacznika tych wektorów:
\[P=\left|\det\begin{pmatrix}21&7\\15&8\end{pmatrix}\right|=|21\cdot8-7\cdot15|=63.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda obliczenia pola i poprawny wynik
**3 pkt** – poprawne obliczenie pola trójkąta \(BCD\)
**2 pkt** – zastosowanie właściwego wzoru na pole trójkąta lub wyznacznik
**1 pkt** – poprawne wyznaczenie wektorów boków trójkąta \(BCD\) albo ich długości
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.2) Zdający korzysta z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).
VIII.2) Stosuje twierdzenie cosinusów.
IX.3 R) Oblicza współrzędne i długości wektorów oraz dodaje wektory.
