Własności funkcji — dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe i monotoniczność

\(1\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \([-2,4]\). \(2\). Zbiorem wszystkich argumentów, dla których \(f(x)>1\), jest przedział \((-1,4)\).

Funkcja jest złożona z dwóch odcinków prostych, więc każdy z nich rozpatrujemy osobno, a wyniki łączymy. Z rysunku odczytujemy, które końce należą do wykresu (kropka zamalowana), a które nie (kropka pusta). **Zbiór wartości.** Na przedziale \([-4,2]\) funkcja \(f(x)=x+2\) jest rosnąca, więc przyjmuje wartości od \(f(-4)=-2\) do \(f(2)=4\), oba końce włącznie: \([-2,4]\). Na przedziale \((2,5)\) funkcja \(f(x)=-x+5\) jest malejąca i przyjmuje wartości między \(-5+5=0\) a \(-2+5=3\), bez końców: \((0,3)\). Suma tych zbiorów to \[[-2,4]\cup(0,3)=[-2,4].\] **Nierówność \(f(x)>1\).** Na \([-4,2]\): \(x+2>1\), czyli \(x>-1\); część wspólna z przedziałem daje \((-1,2]\). Na \((2,5)\): \(-x+5>1\), czyli \(x<4\); część wspólna daje \((2,4)\). Suma: \[(-1,2]\cup(2,4)=(-1,4).\] **Odpowiedź.** \(1\). \([-2,4]\) \(2\). \((-1,4)\)

**2 pkt** – poprawne uzupełnienie dwóch zdań **1 pkt** – poprawne uzupełnienie jednego zdania **0 pkt** – brak spełnienia powyższych kryteriów **Uwaga CKE:** uzupełnienie zdania uznaje się za poprawne tylko wtedy, gdy zapisane krańce przedziału są poprawne i można jednoznacznie ustalić, czy przedział jest otwarty, czy domknięty. **Kryterium uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki:** pomylenie porządku liczb na osi przy zachowaniu poprawnych krańców, na przykład zapis \([4,-2]\), daje \(1\) punkt za tak uzupełnione zdanie.

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.4) Zdający odczytuje z wykresu funkcji zbiór wartości oraz przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe od danej liczby; I.6) Zdający posługuje się pojęciem przedziału liczbowego.

Funkcja \(f\) ma co najmniej jedno miejsce zerowe w przedziale \(\left[\frac12,4\right]\).

Funkcja \(f\) jest ciągła na \(\left[\frac12,4\right]\), ponieważ jest tam sumą funkcji ciągłych. Na końcach przedziału: \[f\left(\frac12\right)=\frac{-2}{\frac52}+4\log_{\frac12}\frac12=-\frac45+4=\frac{16}{5}>0,\] \[f(4)=\frac{5}{6}+4\log_{\frac12}4=\frac56-8=-\frac{43}{6}<0.\] Wartości na końcach mają przeciwne znaki. Z własności Darboux istnieje więc \(x_0\in\left(\frac12,4\right)\), dla którego \(f(x_0)=0\).

**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu **2 pkt** – wykazanie, że \(f(\frac12)>0\) oraz \(f(4)<0\), i uzasadnienie ciągłości funkcji **1 pkt** – poprawne obliczenie wartości funkcji na obu końcach przedziału **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.2 R) Zdający stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji.

Liczba \(5\) należy do zbioru wartości funkcji \(f\).

Funkcja \(f\) jest wielomianowa, więc jest ciągła na \(\mathbb{R}\). Obliczamy \[f(0)=1<5,\qquad f(2)=64-32-8+1=25>5.\] Z własności Darboux funkcja \(f\) przyjmuje w przedziale \((0,2)\) każdą wartość pośrednią między \(1\) a \(25\). Istnieje więc \(x_0\in(0,2)\), dla którego \(f(x_0)=5\).

**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu **2 pkt** – uzasadnienie ciągłości oraz wskazanie i obliczenie wartości funkcji mniejszej i większej od \(5\) **1 pkt** – uzasadnienie ciągłości i wyznaczenie jednej odpowiedniej wartości albo wyznaczenie obu wartości po przeciwnych stronach \(5\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.2 R) Zdający stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji.

**F, F, F**

Z tabeli odczytujemy dwa miejsca zerowe: \(f(-1)=0\) i \(f(1)=0\), więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe. Dla \(x=3\) i \(x=-3\) wartości wynoszą odpowiednio \(1\) i \(-3\), dlatego wykres nie jest symetryczny względem osi \(Oy\). Największa wartość w tabeli wynosi \(2\), a nie \(3\).

**2 pkt** – poprawne zaznaczenie wszystkich trzech odpowiedzi **1 pkt** – poprawne zaznaczenie dwóch odpowiedzi **0 pkt** – brak spełnienia powyższych kryteriów

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie danych przedstawionych w tabeli. **Wymagania szczegółowe:** V.3) Zdający odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonej tabelą.

**D.** \(4\)

Dla \(x\leq2\) równanie \(2x-6=0\) daje \(x=3\), który nie należy do tego przedziału. Dla \(x>2\) równanie \(x-4=0\) daje \(x=4\), który spełnia warunek przedziału. Jedynym miejscem zerowym jest \(4\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** V.1) Zdający określa funkcję różnymi wzorami na różnych przedziałach. V.3) Odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonej wzorem.

\(1\). \([-8,6)\) \(2\). \([-4,4]\) \(3\). \([-4,6)\) \(4\). \([0,4]\)

Z przedziałów definicji otrzymujemy dziedzinę \([-8,6)\). Pierwsza część funkcji przyjmuje wartości od \(-4\) do \(4\), a pozostałe nie rozszerzają tego zakresu, więc zbiorem wartości jest \([-4,4]\). Warunek \(f(x)\geq0\) jest spełniony dla \(x\in[-4,6)\). Wartość \(4\) jest przyjmowana dla \(x=0\), dla wszystkich \(x\in(0,4]\), a trzecia gałąź nie dodaje nowych argumentów, dlatego zbiorem rozwiązań jest \([0,4]\).

**4 pkt** – poprawne uzupełnienie czterech luk **3 pkt** – poprawne uzupełnienie trzech luk **2 pkt** – poprawne uzupełnienie dwóch luk **1 pkt** – poprawne uzupełnienie jednej luki **0 pkt** – brak spełnienia powyższych kryteriów

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie wzorów i wykresów. **Wymagania szczegółowe:** V.3) Zdający odczytuje wartości funkcji określonej wzorem i wykresem. V.4) Odczytuje dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe i przedziały wartości funkcji.

C. Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(3\)

Funkcja jest zadana tabelą, więc wszystkie jej wartości mamy wypisane: \(f(-2)=-1\), \(f(-1)=0\), \(f(0)=1\), \(f(1)=0\), \(f(2)=3\). Sprawdzamy kolejne zdania. **A.** Miejsca zerowe to argumenty, dla których wartość wynosi \(0\); w tabeli są dwa takie argumenty: \(-1\) oraz \(1\). Zdanie jest fałszywe. **B.** Symetria wykresu względem osi \(Oy\) oznaczałaby \(f(-x)=f(x)\). Tymczasem \(f(-2)=-1\), a \(f(2)=3\). Zdanie jest fałszywe. **C.** Największą z wartości \(-1,\;0,\;1,\;0,\;3\) jest \(3\). Zdanie jest prawdziwe. **D.** Najmniejszą z tych wartości jest \(-1\), a nie \(-2\); liczba \(-2\) jest najmniejszym **argumentem**. Zdanie jest fałszywe. **Odpowiedź.** C

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** G8.1) Zdający zaznacza w układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty o danych współrzędnych. 4.3) Zdający odczytuje z wykresu własności funkcji ([…] miejsca zerowe, […] wartość największą lub najmniejszą).

**F, F.**

Z tabeli odczytujemy \(f(-1)=0\) oraz \(f(1)=0\), więc funkcja ma dwa miejsca zerowe. Pierwsze stwierdzenie jest fałszywe. Ponadto \(f(-2)=-1\), natomiast \(f(2)=3\), więc nie zachodzi warunek \(f(-x)=f(x)\). Wykres nie jest symetryczny względem osi \(Oy\), zatem drugie stwierdzenie również jest fałszywe.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **FF** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście oraz w formie tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.3) Zdający odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel.

**B.** \(\langle0,+\infty)\)

Funkcja \[g(x)=-(x+2)^3+5\] przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste. Funkcja \(f(x)=|g(x)|\) przyjmuje zatem wyłącznie wartości nieujemne, a wartość \(0\) jest osiągana dla \(g(x)=0\). Jej zbiorem wartości jest więc \[\langle0,+\infty).\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.2 R) Zdający szkicuje wykres funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami i odczytuje własności takiej funkcji z wykresu.

C. \(10\)

**Krok \(1\).** Zapis \(f(4)\) oznacza wartość funkcji dla argumentu \(x=4\). Obliczamy ją, wstawiając \(4\) w każde miejsce, gdzie we wzorze stoi \(x\). Najpierw sprawdzamy dziedzinę: \(4\neq 2\), więc argument jest dozwolony. **Krok \(2\).** Liczymy licznik: \[x^2+4=4^2+4=16+4=20.\] **Krok \(3\).** Liczymy mianownik: \[x-2=4-2=2.\] **Krok \(4\).** Dzielimy licznik przez mianownik: \[f(4)=\frac{20}{2}=10.\] **Uwaga.** Ułamka \(\frac{x^2+4}{x-2}\) nie da się skrócić - skracać wolno tylko czynniki iloczynu, a w liczniku mamy sumę. Dlatego po prostu liczymy licznik i mianownik osobno, a na końcu dzielimy. **Odpowiedź.** C: \(10\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Zadanie 9. (0–1)

Funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale \((-1,+\infty)\).

Funkcja \(f\) jest różniczkowalna w przedziale \((-1,+\infty)\). Dla każdego \(x\) z tego przedziału \[f'(x)=\frac{3(x+1)-3x}{(x+1)^2}=\frac{3}{(x+1)^2}>0.\] Pochodna funkcji \(f\) jest dodatnia w całej jej dziedzinie, zatem \(f\) jest funkcją rosnącą w przedziale \((-1,+\infty)\).

**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu **2 pkt** – poprawne określenie znaku różnicy \(f(x_2)-f(x_1)=\frac{3(x_2-x_1)}{(x_2+1)(x_1+1)}>0\), pochodnej \(f'(x)=\frac3{(x+1)^2}>0\) albo równoważne uzasadnienie monotoniczności po przekształceniu \(f(x)=3-\frac3{x+1}\) **1 pkt** – przyjęcie właściwych założeń i obliczenie odpowiedniej różnicy lub pochodnej albo zapisanie \(f(x)=3-\frac3{x+1}\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań i odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** V.3 R) Zdający dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem. XIII.5 R) Stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji.

Funkcja \(f\) ma co najmniej jedno miejsce zerowe w przedziale \([\frac12,4]\).

Obliczamy wartości funkcji na końcach przedziału: \[f\!\left(\frac12\right)=\frac{1-3}{\frac12+2}+4\log_{\frac12}\frac12=-\frac45+4=\frac{16}{5}>0,\] \[f(4)=\frac{8-3}{4+2}+4\log_{\frac12}4=\frac56-8=-\frac{43}{6}<0.\] Funkcja \(f\) jest ciągła w przedziale \([\frac12,4]\), ponieważ jest sumą funkcji ciągłych w tym przedziale. Z własności Darboux istnieje więc takie \(x_0\in(\frac12,4)\), że \(f(x_0)=0\).

**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu **2 pkt** – zauważenie, że \(f(\frac12)>0\) i \(f(4)<0\), oraz uzasadnienie ciągłości funkcji \(f\) **1 pkt** – obliczenie wartości funkcji na przykład na końcach przedziału \([\frac12,4]\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV.1 przeprowadzanie rozumowań i podawanie argumentów uzasadniających ich poprawność. **Wymagania szczegółowe:** XIII.2R stosowanie własności Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji.

Liczba \(5\) należy do zbioru wartości funkcji \(f\).

Funkcja \(f\) jest wielomianowa, a więc ciągła w \(\mathbb R\). Obliczamy \[f(0)=1<5,\qquad f(2)=64-32-8+1=25>5.\] Z własności Darboux funkcja \(f\) przyjmuje w przedziale \((0,2)\) każdą wartość pośrednią między \(1\) i \(25\). Istnieje więc takie \(x_0\in(0,2)\), że \(f(x_0)=5\). To dowodzi, że \(5\) należy do zbioru wartości funkcji \(f\).

**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu **2 pkt** – uzasadnienie ciągłości funkcji oraz wskazanie argumentów, dla których wartości funkcji są odpowiednio mniejsza i większa od \(5\), wraz z ich obliczeniem **1 pkt** – uzasadnienie ciągłości i obliczenie jednej z takich wartości albo obliczenie obu wartości leżących po przeciwnych stronach liczby \(5\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV.1 przeprowadzanie rozumowań i podawanie argumentów uzasadniających ich poprawność. **Wymagania szczegółowe:** XIII.2R stosowanie własności Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego lub przyjmowania wartości pośredniej.

**A.** \(-3\)

**Krok \(1\).** Warunek \(f(1)=2\) to instrukcja: podstaw \(x=1\) do wzoru funkcji i przyrównaj otrzymane wyrażenie do \(2\). Powstanie zwykłe równanie z jedną niewiadomą \(k\). **Krok \(2\).** Podstawiamy \(x=1\) do \(f(x)=\frac{x-k}{x^{2}+1}\). Mianownik: \[1^{2}+1=2,\] licznik: \(1-k\). Zatem \[f(1)=\frac{1-k}{2}.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy warunek z treści: \[\frac{1-k}{2}=2.\] **Krok \(4\).** Mnożymy obie strony przez \(2\): \[1-k=4.\] **Krok \(5\).** Wyznaczamy \(k\): \[-k=4-1=3,\qquad k=-3.\] **Krok \(6\).** Sprawdzenie: dla \(k=-3\) mamy \(f(1)=\frac{1-(-3)}{2}=\frac{4}{2}=2\). Zgadza się z treścią. **Uwaga.** Mianownik po podstawieniu \(x=1\) wynosi \(2\), a nie \(1\) — pominięcie tego daje \(k=-1\). Uważajmy też na podwójny minus przy wyznaczaniu \(k\) z równania \(-k=3\). **Odpowiedź.** A: \(-3\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Zadanie 12. (0–1) Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

**C.** \(4\)

**Krok \(1\).** Zadanie sprowadza się do dwukrotnego podstawienia do wzoru funkcji: raz liczby \(2\), raz liczby \(-2\), a potem odjęcia otrzymanych wartości. Obie liczby są różne od zera, więc należą do dziedziny. **Krok \(2\).** Obliczamy \(f(2)\): \[f(2)=\frac{4}{2}-4=2-4=-2.\] **Krok \(3\).** Obliczamy \(f(-2)\), pamiętając, że dzielenie liczby dodatniej przez ujemną daje wynik ujemny: \[f(-2)=\frac{4}{-2}-4=-2-4=-6.\] **Krok \(4\).** Odejmujemy. Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie liczby do niej przeciwnej: \[f(2)-f(-2)=-2-(-6)=-2+6=4.\] **Uwaga.** Najczęstszy błąd to opuszczenie nawiasu i zapisanie \(-2-6=-8\), czyli błędna odpowiedź **A**. Skoro odejmujemy wartość \(f(-2)=-6\), musimy odjąć całą tę liczbę wraz ze znakiem. **Odpowiedź.** C: \(4\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.2 obliczanie ze wzoru wartości funkcji dla danego argumentu.

**D.** \(m=4\)

Ponieważ \(A=(1,2)\) należy do wykresu, mamy \(f(1)=2\). Zatem \[(m^2-3)-m^2+m+1=2,\] czyli \(m-2=2\), więc \(m=4\).

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** IV.1 obliczanie wartości funkcji i wykorzystywanie informacji o punkcie należącym do jej wykresu.

**B.** \(-1\)

Podstawiamy \(x=\sqrt3-1\): \[x^2=(\sqrt3-1)^2=4-2\sqrt3=2(2-\sqrt3),\] \[2x-2=2\sqrt3-4=-2(2-\sqrt3).\] Zatem \[f(\sqrt3-1)=\frac{2(2-\sqrt3)}{-2(2-\sqrt3)}=-1.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 2.1 i 4.2 stosowanie wzorów skróconego mnożenia oraz obliczanie wartości funkcji dla danego argumentu.

**B.** \(\frac13\)

Podstawiamy \(x=1\) do wzoru funkcji: \[f(1)=\frac{8\cdot1-7}{2\cdot1^2+1}=\frac1{3}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.2 obliczanie wartości funkcji dla danego argumentu.

**A.** \(\{0,1,2,3\}\)

Reszta z dzielenia liczby naturalnej przez \(4\) może być równa dokładnie jednej z liczb \[0,1,2,3.\] Każda z tych reszt występuje dla pewnej liczby \(n\geq1\), dlatego zbiorem wartości funkcji jest \(\{0,1,2,3\}\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** wyznaczanie zbioru wartości funkcji na podstawie jej definicji.

**B.** \(f(2)=-\frac12\)

Podstawiamy \(x=2\): \[f(2)=-2(2+2)^{-1}(2-3)^2=-2\cdot\frac14\cdot1=-\frac12.\]

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje odpowiedzi bez osobnej tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje i potęgi - obliczanie wartości funkcji oraz potęga o wykładniku ujemnym.

**C.** \(f(x)=(x+2017)(x-2017)\)

Punkt \(A=(2017,0)\) należy do wykresu wtedy i tylko wtedy, gdy \(f(2017)=0\). Spełnia to wyłącznie odpowiedź C.

**1 pkt** – odpowiedź C **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** funkcje - sprawdzanie przynależności punktu do wykresu.

**C.** \(-\frac{4\sqrt2}{5}\)

Podstawiamy \(x=-\sqrt2\): \[f(-\sqrt2)=\frac{2(-\sqrt2)^3}{(-\sqrt2)^4+1}=\frac{-4\sqrt2}{4+1}=-\frac{4\sqrt2}{5}.\]

**1 pkt** – odpowiedź C **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** funkcje - obliczanie wartości funkcji dla danego argumentu.

**B.** \(-\frac35\)

Dla \(x=-\sqrt[3]{3}\) mamy \(x^3=-3\) oraz \(x^6=9\). Zatem \[f(-\sqrt[3]{3})=\frac{2\cdot(-3)}{9+1}=-\frac6{10}=-\frac35.\]

**1 pkt** – odpowiedź B **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** funkcje - obliczanie wartości funkcji wymiernej dla argumentu z pierwiastkiem.

**B.** \(6\) elementów.

Ostatnia cyfra kwadratu zależy wyłącznie od ostatniej cyfry liczby podnoszonej do kwadratu. Wystarczy więc rozpatrzyć dziesięć przypadków: \[0^2=0,\;1^2=1,\;2^2=4,\;3^2=9,\;4^2=16,\;5^2=25,\;6^2=36,\;7^2=49,\;8^2=64,\;9^2=81.\] Otrzymane ostatnie cyfry to \(0,1,4,9,6,5,6,9,4,1\), a więc zbiór wartości funkcji to \[\{0,1,4,5,6,9\}\] i ma sześć elementów. Wszystkie te wartości są osiągane, bo \(f\) jest określona dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich. **Odpowiedź.** B. \(6\) elementów.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie zbioru wartości funkcji określonej opisem słownym; analiza ostatniej cyfry kwadratu liczby całkowitej Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

Zbiorem wartości funkcji jest \[(-\infty,-2]\cup[2,+\infty).\]

Rozpatrujemy przedziały wyznaczone przez miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi. Otrzymujemy \[f(x)=\begin{cases}-2,&x<-3,\\[2mm]\dfrac6x,&-3\leq x<0,\\[2mm]\dfrac6x,&0<x\leq3,\\[2mm]2,&x>3.\end{cases}\] Dla \(x\in[-3,0)\) funkcja \(\frac6x\) przyjmuje wartości \(( -\infty,-2]\), a dla \(x\in(0,3]\) wartości \([2,+\infty)\). Stałe wartości \(-2\) i \(2\) nie powiększają tego zbioru. Zatem \[W_f=(-\infty,-2]\cup[2,+\infty).\]

**4 pkt** – poprawne wyznaczenie zbioru wartości \(( -\infty,-2]\cup[2,+\infty)\) **3 pkt** – poprawny wzór przedziałami i prawidłowe rozpatrzenie obu gałęzi \(\frac6x\), lecz usterka w zapisie zbioru wartości **2 pkt** – poprawne zapisanie funkcji bez wartości bezwzględnych we wszystkich przedziałach **1 pkt** – poprawne rozpoczęcie podziału dziedziny w punktach \(-3\), \(0\), \(3\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** Zdający wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej, zapisuje funkcję przedziałami oraz odczytuje zbiór wartości funkcji związanej z proporcjonalnością odwrotną.

**B.** trzy miejsca zerowe.

Wzór funkcji jest zapisany w postaci iloczynu, a iloczyn jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy zeruje się co najmniej jeden z czynników. Rozpatrujemy je kolejno: \[3x=0\ \Rightarrow\ x=0,\] \[x^2+5=0\ \Rightarrow\ \text{brak rozwiązań rzeczywistych, bo } x^2+5\geqslant5>0,\] \[2-x=0\ \Rightarrow\ x=2,\] \[x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1.\] Otrzymaliśmy trzy różne miejsca zerowe: \(-1\), \(0\) i \(2\). Czynnik \(x^2+5\) nie wnosi żadnego — to on odróżnia poprawną odpowiedź od wariantu D. **Odpowiedź.** B: trzy miejsca zerowe

Zadanie 17. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

**C.** \(4\)

Wartość funkcji dla danego argumentu obliczamy, podstawiając go do wzoru. Argument \(x=2\) należy do dziedziny, bo \(2\ne1\): \[f(2)=\frac{2\cdot2}{2-1}=\frac{4}{1}=4.\] **Odpowiedź.** C: \(4\)

Zadanie 5. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

**D.** \(a=-4\)

Funkcja \(f(x)=\frac{x-7}{2x+a}\) jest określona dla tych \(x\), dla których mianownik jest różny od zera. Z dziedziny \[(-\infty,2)\cup(2,+\infty)\] wynika, że jedyną liczbą wyłączoną jest \(x=2\), czyli mianownik zeruje się dokładnie dla \(x=2\): \[2\cdot2+a=0,\qquad 4+a=0,\qquad a=-4.\] Sprawdzenie: dla \(a=-4\) mamy \(2x-4=0\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(x=2\). **Odpowiedź.** D: \(a=-4\)

Zadanie 17. (0–1) **Wymaganie ogólne:** Użycie i tworzenie strategii. **Wymaganie szczegółowe:** Określenie wzoru funkcji o podanej dziedzinie (IV.4.a).

\(b=3\).

Warunek \(f(4)=-1\) zapisujemy jako równanie z niewiadomą \(b\); liczba \(4\) należy do dziedziny, bo \(4\neq9\): \[\frac{2\cdot4-b}{4-9}=-1,\qquad \frac{8-b}{-5}=-1.\] Mnożymy obie strony przez \(-5\neq0\): \[8-b=5,\qquad b=3.\] Sprawdzenie: dla \(b=3\) mamy \(f(4)=\frac{8-3}{-5}=-1\). **Odpowiedź.** \(b=3\).

**Schemat oceniania** **1 pkt** – gdy poprawnie zapisze równanie z niewiadomą \(b\), np. […]. **2 pkt** – gdy obliczy współczynnik \(b=3\).

Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.

**A.** \(0\)

Miejsca zerowe wyznaczamy osobno w każdym przedziale, pamiętając o sprawdzeniu, czy otrzymany argument do tego przedziału należy. Dla \(x\leq3\): \(x-4=0\) daje \(x=4\), ale \(4>3\), więc ten argument odpada. Dla \(x>3\): \(-x+2=0\) daje \(x=2\), ale \(2\leq3\), więc ten argument również odpada. Żadne z rozwiązań nie należy do właściwej części dziedziny, zatem funkcja nie ma miejsc zerowych. **Odpowiedź.** A. \(0\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie miejsc zerowych funkcji określonej różnymi wzorami w różnych przedziałach, z kontrolą przynależności do dziedziny Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**A.** \(0\)

Funkcja jest określona dwoma wzorami, więc miejsc zerowych szukamy osobno w każdym przedziale i za każdym razem sprawdzamy, czy otrzymany argument do tego przedziału należy. Dla \(x<1\): \[-3x+4=0,\qquad x=\frac43.\] Ale \(\frac43\geqslant1\), więc ta liczba nie należy do przedziału \((-\infty,1)\) i miejscem zerowym nie jest. Dla \(x\geqslant1\): \[2x-1=0,\qquad x=\frac12.\] Ale \(\frac12<1\), więc i ta liczba odpada. Żaden z otrzymanych argumentów nie należy do właściwego przedziału, zatem funkcja nie ma miejsc zerowych. **Odpowiedź.** A: \(0\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: A.

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Funkcje.

\(x=-\frac{1}{2}\)

**Krok \(1\).** Funkcja jest opisana dwoma różnymi wzorami, z których każdy obowiązuje tylko na swoim przedziale. Miejsc zerowych szukamy więc osobno w każdym kawałku, a znalezioną liczbę za każdym razem sprawdzamy: czy naprawdę należy do przedziału, dla którego użyty wzór obowiązuje. **Krok \(2\).** Bierzemy pierwszy wzór, ważny dla \(x\leqslant0\), i przyrównujemy go do zera: \[2x+1=0.\] **Krok \(3\).** Rozwiązujemy: \[2x=-1,\qquad x=-\frac12.\] **Krok \(4\).** Sprawdzamy warunek przedziału: czy \(-\frac12\leqslant0\)? Tak, liczba \(-\frac12\) jest ujemna. Zatem \(-\frac12\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\). **Krok \(5\).** Bierzemy drugi wzór, ważny dla \(x\gt0\), i również przyrównujemy do zera: \[x+2=0,\qquad x=-2.\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy warunek przedziału: czy \(-2\gt0\)? Nie. Dla \(x=-2\) obowiązuje pierwszy wzór, a nie drugi, więc tę liczbę odrzucamy. **Krok \(7\).** Dla pewności liczymy prawdziwą wartość funkcji w punkcie \(-2\), korzystając z właściwego wzoru: \[f(-2)=2\cdot(-2)+1=-3\neq0.\] Potwierdza to, że \(-2\) nie jest miejscem zerowym. **Uwaga.** Najczęstszy błąd w zadaniach z funkcją daną kilkoma wzorami to przyjęcie obu wyników bez sprawdzenia przedziałów. Liczba wyznaczona z danego wzoru jest miejscem zerowym tylko wtedy, gdy leży w przedziale, na którym ten wzór obowiązuje. **Odpowiedź.** \(x=-\frac12\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(x=-\frac{1}{2}\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Funkcje.

**D.** \((-1,-2)\)

Punkt należy do wykresu funkcji wtedy, gdy jego współrzędne spełniają wzór funkcji. Wszystkie cztery podane punkty mają odciętą \(-1\), więc wystarczy obliczyć jedną wartość: \[f(-1)=(-1)^2+(-1)-2=1-1-2=-2.\] Rzędna równa \(-2\) występuje tylko w punkcie \((-1,-2)\). **Odpowiedź.** D

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: D.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(f(-3)=-9\), \(f(3)=1\) oraz \(f(x)=0\) dla \(x=1{,}5\). b) Wykresem jest półprosta o równaniu \(y=2x-3\) dla \(x<2\) (z pustym końcem w punkcie \((2,1)\)) oraz odcinek \(y=1\) dla \(x\in\langle2,4\rangle\), od punktu \((2,1)\) do \((4,1)\). c) \(x\in\{-1,0,1,2,3,4\}\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy funkcję określoną dwoma wzorami. Kluczowa zasada: zanim cokolwiek policzymy, sprawdzamy, do którego przedziału należy argument, i dopiero wtedy wybieramy właściwy wzór. Zauważmy też od razu dziedzinę: pierwszy wzór działa dla \(x\lt2\), drugi dla \(2\leqslant x\leqslant4\), więc \(D_f=(-\infty,4\rangle\). **Krok \(2\).** Liczymy \(f(-3)\). Ponieważ \(-3\lt2\), używamy wzoru \(2x-3\): \[f(-3)=2\cdot(-3)-3=-6-3=-9.\] **Krok \(3\).** Liczymy \(f(3)\). Ponieważ \(2\leqslant3\leqslant4\), używamy drugiego wzoru, który jest stały: \(f(3)=1\). **Krok \(4\).** Trzecia kolumna tabeli jest odwrotna: dana jest wartość \(0\), a szukamy argumentu. Na przedziale \(\langle2,4\rangle\) funkcja przyjmuje tylko wartość \(1\), więc zera tam nie ma. Szukamy zatem wśród \(x\lt2\): \[2x-3=0,\qquad 2x=3,\qquad x=1{,}5.\] Warunek \(1{,}5\lt2\) jest spełniony, więc \(f(1{,}5)=0\). **Krok \(5\).** Podpunkt b). Dla \(x\lt2\) rysujemy prostą \(y=2x-3\) — wygodnie przez punkty \((0,-3)\) i \((1,-1)\) — ale tylko jej część na lewo od \(x=2\); w punkcie \((2,1)\) stawiamy kółko puste, bo \(x=2\) nie należy do tej części. Dla \(2\leqslant x\leqslant4\) rysujemy poziomy odcinek \(y=1\) od \((2,1)\) do \((4,1)\), z oboma końcami zamalowanymi. Ponieważ \(2\cdot2-3=1\), obie części schodzą się w tym samym punkcie i wykres jest jedną nieprzerwaną linią. **Krok \(6\).** Podpunkt c). Nierówność \(f(x)\geqslant-6\) rozwiązujemy osobno na każdej części. Dla \(x\lt2\): \[2x-3\geqslant-6,\qquad 2x\geqslant-3,\qquad x\geqslant-1{,}5,\] co razem z \(x\lt2\) daje \(x\in\langle-1{,}5;\,2)\). Dla \(2\leqslant x\leqslant4\) mamy \(f(x)=1\), a nierówność \(1\geqslant-6\) jest zawsze prawdziwa, więc cały przedział \(\langle2,4\rangle\) należy do rozwiązania. **Krok \(7\).** Łączymy oba zbiory: rozwiązaniem nierówności jest \(\langle-1{,}5;\,4\rangle\). Liczby całkowite w tym przedziale to \(-1,0,1,2,3,4\). **Uwaga.** Największa pułapka tkwi w dziedzinie. Funkcja jest określona wyłącznie dla \(x\leqslant4\), więc liczby \(5,6,7,\dots\) nie mogą być rozwiązaniami, choć na pierwszy rzut oka nierówność wydaje się dla nich niegroźna — po prostu \(f(x)\) tam nie istnieje. Druga pułapka to lewy koniec: liczba \(-1{,}5\) spełnia nierówność, ale nie jest całkowita, więc najmniejszą szukaną liczbą całkowitą jest \(-1\), a nie \(-2\). **Odpowiedź.** a) \(f(-3)=-9\), \(f(3)=1\) oraz \(f(x)=0\) dla \(x=1{,}5\). b) Wykresem jest półprosta o równaniu \(y=2x-3\) dla \(x\lt2\) (z pustym końcem w punkcie \((2,1)\)) oraz odcinek \(y=1\) dla \(x\in\langle2,4\rangle\), od punktu \((2,1)\) do \((4,1)\). c) \(x\in\{-1,0,1,2,3,4\}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Klucz CKE dołączony w tym miejscu przez ekstrakcję pochodzi z arkusza **rozszerzonego** z tej samej sesji i nie dotyczy tego zadania — opisuje inny problem i prowadzi do innego wyniku. Został usunięty, bo klucz od cudzego zadania jest gorszy niż jego brak: uczeń sprawdzający się nim uznałby poprawne rozwiązanie za błędne. Właściwego klucza do tego zadania brak w materiale źródłowym. Odpowiedź i rozwiązanie w panelach powyżej zostały wyznaczone rachunkiem z treści zadania.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(D_f=[-7,2]\). b) Miejsca zerowe: \(x=-4\) oraz \(x=\frac14\). c) Wykres to łamana złożona z trzech odcinków. d) \(ZW_f=[-1,7]\).

**a)** Dziedzinę odczytujemy wprost ze wzoru — jest to suma trzech przedziałów, na których określono kolejne wzory: \[[-7,-3)\cup[-3,0)\cup[0,2]=[-7,2].\] **b)** Szukamy zer w każdym przedziale osobno. Dla \(x\in[-7,-3)\): \(-x-4=0\) daje \(x=-4\), a \(-4\) należy do tego przedziału. Dla \(x\in[-3,0)\) funkcja jest stale równa \(-1\), więc zer nie ma. Dla \(x\in[0,2]\): \(4x-1=0\) daje \(x=\frac14\), co należy do przedziału. Zatem miejscami zerowymi są \(x=-4\) i \(x=\frac14\). **c)** Wykres to łamana: odcinek malejący od \((-7,3)\) do punktu wyłączonego \((-3,-1)\), poziomy odcinek na wysokości \(-1\) od \((-3,-1)\) do punktu wyłączonego \((0,-1)\) oraz odcinek rosnący od \((0,-1)\) do \((2,7)\). **d)** Zbiory wartości na kolejnych przedziałach to odpowiednio \((-1,3]\), \(\{-1\}\) i \([-1,7]\). Ich suma daje \[ZW_f=[-1,7].\] **Odpowiedź.** a) \(D_f=[-7,2]\). b) \(x=-4\) i \(x=\frac14\). d) \(ZW_f=[-1,7]\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **1.1. (1 pkt)** – zapisanie dziedziny funkcji \(f\): \(\langle-7,2\rangle\). Akceptujemy zapisy typu: \(x\in\langle-7,2\rangle\), \(-7\le x\le 2\). **1.2. (1 pkt)** – podanie miejsc zerowych funkcji: \(x=-4\), \(x=\frac{1}{4}\). Miejsca zerowe mogą być odczytane z wykresu, nie wymagamy zapisu stosownych obliczeń. **1.3. (1 pkt)** – naszkicowanie wykresu funkcji. […] Jeśli dziedzina została poprawnie wyznaczona, to akceptujemy wykres nawet bez wyraźnie oznaczonych końców łamanej. **1.4. (1 pkt)** – zapisanie zbioru wartości funkcji: \(\langle-1,7\rangle\). Końce przedziału muszą być poprawnie ustalone. Akceptujemy zapisy typu: \(y\in\langle-1,7\rangle\), \(-1\le y\le 7\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(f(x)=\sin x-1\) dla \(x\in(0,\pi)\) oraz \(f(x)=\sin x+1\) dla \(x\in(\pi,2\pi)\) (wykres w rozwiązaniu). b) Miejsca zerowe: \(x=\frac{\pi}{2}\) oraz \(x=\frac{3\pi}{2}\).

**Krok \(1\).** We wzorze funkcji stoi wartość bezwzględna z \(\sin x\), a w mianowniku sam \(\sin x\). Kluczowa obserwacja: na przedziale \((0,\pi)\) sinus jest dodatni, a na \((\pi,2\pi)\) ujemny. Wystarczy więc rozbić zadanie na te dwa przypadki i w każdym opuścić wartość bezwzględną zgodnie z definicją. Właśnie dlatego dziedzina podana jest w treści w takiej, a nie innej postaci. **Krok \(2\).** Przypadek \(x\in(0,\pi)\): wtedy \(\sin x\gt0\), więc \(|\sin x|=\sin x\) i \[f(x)=\frac{\sin^2x-\sin x}{\sin x}=\frac{\sin x\left(\sin x-1\right)}{\sin x}=\sin x-1.\] **Krok \(3\).** Przypadek \(x\in(\pi,2\pi)\): wtedy \(\sin x\lt0\), więc \(|\sin x|=-\sin x\) i \[f(x)=\frac{\sin^2x+\sin x}{\sin x}=\frac{\sin x\left(\sin x+1\right)}{\sin x}=\sin x+1.\] **Krok \(4\).** Zapisujemy wzór łącznie: \[f(x)=\sin x-1\quad\text{dla }x\in(0,\pi),\qquad\qquad f(x)=\sin x+1\quad\text{dla }x\in(\pi,2\pi).\] **Krok \(5\).** Szkicujemy wykres. Na \((0,\pi)\) jest to górny „garb” sinusoidy przesunięty o \(1\) w dół: przy \(x\to0^{+}\) wartości dążą do \(-1\), rosną do \(0\) w \(x=\frac{\pi}{2}\) i wracają do \(-1\) przy \(x\to\pi^{-}\). Na \((\pi,2\pi)\) jest to dolny „garb” przesunięty o \(1\) w górę: przy \(x\to\pi^{+}\) wartości dążą do \(1\), maleją do \(0\) w \(x=\frac{3\pi}{2}\) i wracają do \(1\) przy \(x\to2\pi^{-}\). Punkty \(x=0\), \(x=\pi\) i \(x=2\pi\) zaznaczamy pustymi kółkami — nie należą do dziedziny. **Krok \(6\).** Miejsca zerowe odczytujemy z otrzymanego wzoru. Na \((0,\pi)\): \(\sin x-1=0\), czyli \(\sin x=1\), skąd \(x=\frac{\pi}{2}\) — liczba ta należy do rozważanego przedziału. Na \((\pi,2\pi)\): \(\sin x+1=0\), czyli \(\sin x=-1\), skąd \(x=\frac{3\pi}{2}\) — również należy do swojego przedziału. **Uwaga.** Nie wolno skracać wyrażenia \(\frac{\sin^2x-|\sin x|}{\sin x}\) „jednym wzorem”, bo wynik zależy od znaku \(\sin x\) — dlatego wykres składa się z dwóch różnych kawałków, a nie z jednej sinusoidy. Trzeba też pamiętać, że punkty \(0\), \(\pi\) i \(2\pi\) są wykluczone z dziedziny, bo w nich \(\sin x=0\). **Odpowiedź.** a) \(f(x)=\sin x-1\) dla \(x\in(0,\pi)\) oraz \(f(x)=\sin x+1\) dla \(x\in(\pi,2\pi)\) (wykres opisany w kroku \(5\)). b) Miejsca zerowe: \(x=\frac{\pi}{2}\) oraz \(x=\frac{3\pi}{2}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Korzystam z definicji wartości bezwzględnej i zapisuję wzór funkcji \(f\) w postaci: \[f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin^{2}x-\sin x}{\sin x} & \text{dla}\ \sin x>0\\ \dfrac{\sin^{2}x+\sin x}{\sin x} & \text{dla}\ \sin x<0\end{cases}\] \[f(x)=\begin{cases}\sin x-1 & \text{dla}\ \sin x>0\\ \sin x+1 & \text{dla}\ \sin x<0\end{cases}\] Szkic wykresu funkcji w podanym zbiorze jest następujący. […] Na podstawie wzoru wyznaczam miejsca zerowe funkcji: \(f(x)=0\) dla \(x\) takich, że \(\sin x-1=0\) lub \(\sin x+1=0\), czyli dla \(x=\frac{\pi}{2}\) oraz \(x=\frac{3\pi}{2}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Wykresem jest siedem punktów: \((1,2)\), \((2,5)\), \((3,10)\), \((4,17)\), \((5,26)\), \((6,37)\), \((7,50)\); zbiór wartości: \(\{2,5,10,17,26,37,50\}\). b) \(x=6\).

**Krok \(1\).** Sporządzenie wykresu funkcji. \(1\) **Krok \(2\).** Określenie zbioru wartości funkcji. Y={\(2\),\(5\),\(10\),\(17\),\(26\),\(37\),\(50\)} \(1\) **Krok \(3\).** Wyznaczenie argumentu dla którego wartość **Krok \(4\).** x = \(6\) \(1\) **Krok \(5\).** funkcji wynosi \(37\). **Krok \(6\).** R = \(10\) cm – promień kuli **Krok \(7\).** \(2r\) = \(16\) cm, \(h\) = \(12\) cm – średnica **Krok \(8\).** Sporządzenie odpowiednich rysunków z oznacze- **Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **7.1. (1 pkt)** – sporządzenie wykresu funkcji. **7.2. (1 pkt)** – określenie zbioru wartości funkcji: \(Y=\{2,5,10,17,26,37,50\}\). **7.3. (1 pkt)** – wyznaczenie argumentu, dla którego wartość funkcji wynosi \(37\): \(x=6\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.