Graniastosłupy — pole powierzchni, objętość i przekątna graniastosłupa w zadaniach maturalnych

a) Z równania pola całkowitego otrzymujemy wysokość, a następnie \(V(a)=6a-\frac{a^{3}}{8}\). b) \(V'(a)=6-\frac{3a^{2}}{8}\), więc maksimum w przedziale występuje dla \(a=4\). Największa objętość wynosi \(V(4)=16\).

**Krok \(1\).** Metoda w części a): z danego pola powierzchni całkowitej wyznaczamy wysokość graniastosłupa w zależności od \(a\) i wstawiamy ją do wzoru na objętość. **Krok \(2\).** Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku \(a\) i polu \(\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\), a ściany boczne to trzy prostokąty o wymiarach \(a\times H\). Zatem \[24\sqrt{3}=2\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}+3aH=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}+3aH.\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy \(H\): \[3aH=24\sqrt{3}-\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2},\qquad H=\frac{\sqrt{3}\left(48-a^{2}\right)}{6a}.\] **Krok \(4\).** Podstawiamy do wzoru na objętość: \[V=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot H=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}\left(48-a^{2}\right)}{6a}=\frac{3a\left(48-a^{2}\right)}{24}=6a-\frac{1}{8}a^{3}.\] To należało wykazać. **Krok \(5\).** Część b). Obliczamy pochodną funkcji \(V\) na przedziale \(\left(0,4\sqrt{3}\right)\): \[V'(a)=6-\frac{3}{8}a^{2}.\] **Krok \(6\).** Miejsca zerowe pochodnej: \(\frac{3}{8}a^{2}=6\), czyli \(a^{2}=16\). Stąd \(a=4\) (wartość \(a=-4\) nie należy do dziedziny). **Krok \(7\).** Badamy znak: dla \(a\in(0,4)\) mamy \(a^{2}\lt 16\), więc \(V'(a)\gt 0\); dla \(a\in\left(4,4\sqrt{3}\right)\) mamy \(V'(a)\lt 0\). Funkcja \(V\) rośnie na \((0,4]\) i maleje na \(\left[4,4\sqrt{3}\right)\), więc w \(a=4\) osiąga wartość największą. **Krok \(8\).** Obliczamy tę wartość: \[V(4)=6\cdot 4-\frac{1}{8}\cdot 4^{3}=24-8=16.\] **Uwaga.** Samo zerowanie się pochodnej nie wystarcza — trzeba zbadać jej znak po obu stronach punktu \(a=4\) i stwierdzić, że jest to maksimum, a przy tym jedyne ekstremum na całym przedziale, więc zarazem wartość największa. **Odpowiedź.** a) \(V(a)=6a-\frac{1}{8}a^{3}\); b) największą objętość ma graniastosłup o krawędzi podstawy \(a=4\), a objętość ta wynosi \(16\).

**Część a)** **2 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania. **1 pkt** – wyznaczenie wysokości graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy graniastosłupa, np. \(H=\frac{48\sqrt{3}-a^2\cdot\sqrt{3}}{6a}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Część b)** **4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(V\) przyjmuje wartość największą dla \(a=4\) oraz obliczenie \(V(4)=16\). **3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(V\) przyjmuje wartość największą dla \(a=4\). **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(V\): \(a=4\). **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(V\), np. \(V'(a)=6-\tfrac{3}{8}a^2\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi do części b):** Uwagi: 1. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość największą dla wyznaczonej wartości \(a\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(V\) LUB zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(a\) funkcja \(V\) ma maksimum lokalne i jest to jednocześnie jej największa wartość, LUB zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(a\) funkcja \(V\) ma maksimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „-”) znak pochodnej. 2. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej, 1 punkt za obliczenie długości krawędzi podstawy oraz objętości graniastosłupa o największej objętości). 3. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia największej wartości funkcji, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej).

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 11.6R) Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

\[V=27.\]

Krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \(4\), więc mają długości \(a\), \(4a\) i \(16a\). Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu: \[P_c=2\left(a\cdot4a+a\cdot16a+4a\cdot16a\right)=2\left(4a^{2}+16a^{2}+64a^{2}\right)=168a^{2}.\] Z warunku \(168a^{2}=94{,}5\) otrzymujemy \(a^{2}=\frac9{16}\), czyli \(a=\frac34\) (długość jest dodatnia). Objętość: \[V=a\cdot4a\cdot16a=64a^{3}=64\cdot\frac{27}{64}=27.\] **Odpowiedź.** \(V=27\)

1 pkt: zapisanie krawędzi jako a, 4a, 16a. 2 pkt: zapisanie poprawnego równania pola albo V=64a³. 3 pkt: obliczenie a=3/4 albo a²=9/16. 4 pkt: poprawna metoda i V=27.

Wymaganie ogólne: IV. Rozumowanie i argumentacja. Wymaganie szczegółowe: X.5) Oblicza objętości i pola graniastosłupów; VI.7) wykorzystuje ciąg geometryczny.

\[V=27.\]

Krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \(4\), więc mają długości \(a\), \(4a\) i \(16a\). Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu: \[P_c=2\left(a\cdot4a+a\cdot16a+4a\cdot16a\right)=2\left(4a^{2}+16a^{2}+64a^{2}\right)=168a^{2}.\] Z warunku \(168a^{2}=94{,}5\) otrzymujemy \(a^{2}=\frac9{16}\), czyli \(a=\frac34\) (długość jest dodatnia). Objętość: \[V=a\cdot4a\cdot16a=64a^{3}=64\cdot\frac{27}{64}=27.\] **Odpowiedź.** \(V=27\)

1 pkt: zapisanie krawędzi jako a, 4a, 16a. 2 pkt: zapisanie poprawnego równania pola albo V=64a³. 3 pkt: obliczenie a=3/4 albo a²=9/16. 4 pkt: poprawna metoda i V=27.

Wymaganie ogólne: IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymaganie szczegółowe: G11.2) Oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego.

Jeżeli \(h\) jest wysokością graniastosłupa, to \(2\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}+3ah=24\sqrt{3}\), więc \(h=\frac{8\sqrt{3}}{a}-\frac{a\sqrt{3}}{6}\). Zatem \(V(a)=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h=6a-\frac{a^{3}}{8}\).

Oznaczmy krawędź podstawy przez \(a\), a wysokość graniastosłupa przez \(h\). Podstawami są trójkąty równoboczne, a ścianami bocznymi trzy prostokąty, więc \[P_c=2\cdot\frac{a^{2}\sqrt3}4+3ah=24\sqrt3.\] Stąd \[3ah=24\sqrt3-\frac{a^{2}\sqrt3}2\quad\Longrightarrow\quad h=\frac{8\sqrt3}{a}-\frac{a\sqrt3}6.\] Objętość graniastosłupa: \[V(a)=\frac{a^{2}\sqrt3}4\cdot h=\frac{a^{2}\sqrt3}4\left(\frac{8\sqrt3}{a}-\frac{a\sqrt3}6\right)=6a-\frac{a^{3}}8.\] **Odpowiedź.** \(V(a)=6a-\frac18a^{3}\)

**2 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania. **1 pkt** – wyznaczenie wysokości graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy graniastosłupa, np. \(H=\frac{48\sqrt{3}-a^2\cdot\sqrt{3}}{6a}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** X.5) Zdający oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów […].

\[P_c=1528.\]

Oznaczmy \(BC=b\), \(CG=c\), \(GH=a\). W trójkącie prostokątnym \(BCG\) \[\frac cb=\tan\beta=\frac97,\qquad b^2+c^2=(2\sqrt{130})^2=520.\] Zatem \(c=\frac97b\), więc \(b=14\), \(c=18\). W trójkącie prostokątnym \(BGH\) \[a^2+(2\sqrt{130})^2=(2\sqrt{194})^2,\] czyli \(a^2=256\) i \(a=16\). Pole powierzchni całkowitej wynosi \[P_c=2(ab+bc+ac)=2(16\cdot14+14\cdot18+16\cdot18)=1528.\]

**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(P_c=1528\) **3 pkt** – obliczenie krawędzi \(BC=14\), \(CG=18\), \(GH=16\) **2 pkt** – obliczenie dwóch pierwszych krawędzi albo \(GH=16\) i zapis układu dla pozostałych **1 pkt** – poprawny układ dla \(BC\), \(CG\) albo obliczenie \(GH=16\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. IV. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** X.3) Zdający rozpoznaje kąty i odcinki w graniastosłupach. X.5) Oblicza pola powierzchni graniastosłupów z wykorzystaniem trygonometrii.

**A.** \(9\sqrt3\)

Z objętości sześcianu \(a^{3}=729\) otrzymujemy \(a=9\). Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(a\sqrt3\), więc \[d=9\sqrt3.\] **Odpowiedź.** \(d=9\sqrt3\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** X.5) Zdający oblicza objętości […] graniastosłupów […].

Wysokość trójkąta równobocznego spełnia \(\frac{a\sqrt3}{2}=2\sqrt3\), więc \(a=4\), a pole podstawy wynosi \(P_p=\frac{4^2\sqrt3}{4}=4\sqrt3\). W prostokącie \(ABED\): \[\tan60^{\circ}=\frac{H}{4},\qquad H=4\sqrt3.\] Zatem \[V=P_pH=4\sqrt3\cdot4\sqrt3=48,\] \[P_c=2P_p+3aH=8\sqrt3+48\sqrt3=56\sqrt3.\]

Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku \(a\); jego wysokość wynosi \(\frac{a\sqrt3}2\). Z rysunku odczytujemy, że ta wysokość jest równa \(2\sqrt3\), więc \[\frac{a\sqrt3}2=2\sqrt3\quad\Longrightarrow\quad a=4.\] Ściana boczna \(ABED\) jest prostokątem o bokach \(|AB|=a=4\) i \(|BE|=H\), a \(AE\) jest jego przekątną. Kąt między \(AE\) a krawędzią \(AB\) ma miarę \(60^{\circ}\), więc w trójkącie prostokątnym \(ABE\) \[\tan60^{\circ}=\frac{H}{4}\quad\Longrightarrow\quad H=4\sqrt3.\] Pole podstawy: \[P_p=\frac{a^{2}\sqrt3}4=\frac{16\sqrt3}4=4\sqrt3.\] Objętość i pole powierzchni całkowitej: \[V=P_p\cdot H=4\sqrt3\cdot4\sqrt3=48,\]\[P_c=2P_p+3aH=8\sqrt3+3\cdot4\cdot4\sqrt3=8\sqrt3+48\sqrt3=56\sqrt3.\] **Odpowiedź.** \(V=48\) oraz \(P_c=56\sqrt3\)

1 pkt: obliczenie boku podstawy a = 4 albo zapisanie H = a√3. 2 pkt: obliczenie a = 4 i H = 4√3. 3 pkt: obliczenie V = 48 albo Pc = 56√3. 4 pkt: poprawne obliczenie obu wielkości.

2 pkt – zapisanie wzoru na objętość graniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np. \(V=\frac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{3}\), LUB zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np. \(P_c=2\cdot\frac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}+3\cdot a\cdot a\sqrt{3}\).

**A.** \(8\)

Przekątna ściany sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(a\sqrt2\), więc z warunku \(a\sqrt2=2\sqrt2\) otrzymujemy \(a=2\). Zatem \[V=a^{3}=8.\] **Odpowiedź.** \(V=8\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** X.4) Zdający oblicza objętości […] graniastosłupów […].

**D.** \(p^3-6p^2+8p\)

Skoro najdłuższa z trzech kolejnych parzystych długości jest równa \(p\), pozostałe długości to \(p-2\) oraz \(p-4\). Objętość wynosi \[V=p(p-2)(p-4).\] Po wymnożeniu: \[V=p(p^2-6p+8)=p^3-6p^2+8p.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście matematycznym. **Wymagania szczegółowe:** X.5) Zdający oblicza objętości graniastosłupów.

**a)** \(P(a)=\frac{a^2\sqrt3}{2}+\frac{13824\sqrt3}{a}\) **b)** \(a=8\sqrt3\), a najmniejsze pole wynosi \(1728+96\sqrt3\).

**a)** Oznaczmy wysokość graniastosłupa przez \(H\). Z warunku objętości \[3456=\frac{a^2\sqrt3}{4}H\] otrzymujemy \[H=\frac{4608\sqrt3}{a^2}.\] Pole powierzchni całkowitej jest równe \[P=2\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}+3aH,\] zatem \[P(a)=\frac{a^2\sqrt3}{2}+\frac{13824\sqrt3}{a}.\] **b)** Dla \(a\in(0,8\sqrt3\rangle\) pochodna ma postać \[P'(a)=a\sqrt3-\frac{13824\sqrt3}{a^2}.\] Równanie \(P'(a)=0\) daje \(a^3=13824=24^3\), czyli \(a=24\), ale \(24\notin(0,8\sqrt3\rangle\). Dla całej dziedziny zachodzi \(a<24\), więc \(P'(a)<0\). Funkcja \(P\) jest zatem malejąca i przyjmuje najmniejszą wartość na prawym końcu przedziału, dla \[a=8\sqrt3.\] Wtedy \[P(8\sqrt3)=\frac{(8\sqrt3)^2\sqrt3}{2}+\frac{13824\sqrt3}{8\sqrt3}=96\sqrt3+1728.\]

**Część a: 2 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania **1 pkt** – wyznaczenie wysokości graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy: \(H=\frac{13824}{a^2\sqrt3}=\frac{4608\sqrt3}{a^2}\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania **Część b: 4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(a=8\sqrt3\), i obliczenie \(P_{\min}=1728+96\sqrt3\) **3 pkt** – uzasadnienie monotoniczności prowadzące do \(a=8\sqrt3\) albo poprawne wskazanie końca przedziału i obliczenie wartości **2 pkt** – poprawne rozwiązanie równania \(P'(a)=0\), dającego \(a=24\) **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej \(P'(a)=a\sqrt3-\frac{13824\sqrt3}{a^2}\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 11.6 R) Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.

\[P(a)=\frac{a^2\sqrt3}{2}+\frac{13824\sqrt3}{a}.\]

Oznaczmy wysokość graniastosłupa przez \(H\). Z warunku objętości \[3456=\frac{a^2\sqrt3}{4}H\] otrzymujemy \[H=\frac{4608\sqrt3}{a^2}.\] Pole powierzchni całkowitej jest równe \[P=2\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}+3aH,\] zatem \[P(a)=\frac{a^2\sqrt3}{2}+\frac{13824\sqrt3}{a}.\]

**2 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania **1 pkt** – wyznaczenie wysokości graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy: \(H=\frac{4608\sqrt3}{a^2}\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** X.4) Zdający oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów i ostrosłupów.

**C.** \(6\sqrt{10}\)

Pole sześciokąta foremnego o boku \(a\) jest równe \[P_p=6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{3a^2\sqrt3}{2}.\] Zatem \[\frac{3a^2\sqrt3}{2}=15\sqrt3,\] więc \(a^2=10\) i \(a=\sqrt{10}\). Jedna ściana boczna jest prostokątem o bokach \(6\) i \(\sqrt{10}\), zatem jej pole wynosi \[6\sqrt{10}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów i tabel. **Wymagania szczegółowe:** X.4) Zdający oblicza pola powierzchni graniastosłupów.

**A.** \(376\).

Trzy kolejne parzyste liczby naturalne, z których największa jest równa \(10\), to \[6,\ 8,\ 10.\] Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi \[P_c=2(ab+ac+bc).\] Po podstawieniu: \[P_c=2(6\cdot8+6\cdot10+8\cdot10)=2(48+60+80)=2\cdot188=376.\] Poprawna jest odpowiedź **A**.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów i tabel. **Wymagania szczegółowe:** X.4) Zdający oblicza pola powierzchni graniastosłupów.

**A.** \(376\)

Trzy kolejne parzyste liczby naturalne, z których największa jest równa \(10\), to \(6\), \(8\) i \(10\). Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi \[P_c=2(6\cdot8+6\cdot10+8\cdot10)=2(48+60+80)=376.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** G11.2) Zdający oblicza pole powierzchni graniastosłupa prostego.

**D.** \(2\)

W trójkącie prostokątnym \(ABC\) bok \(AB\) leży naprzeciw kąta \(30^\circ\), zatem \[|AB|=|AC|\sin30^\circ=16\cdot\frac12=8.\] Odcinek \(AB\) jest obwodem kwadratowej podstawy graniastosłupa. Jeśli jej krawędź ma długość \(a\), to \(4a=8\), więc \(a=2\).

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VIII.11 stosowanie funkcji trygonometrycznych do wyznaczania długości i pól figur.

**C.** \(50\)

W sześciokącie foremnym o boku \(5\) najdłuższa przekątna przechodzi przez środek i ma długość \[|AD|=2\cdot5=10.\] Przekątna \(AD'\) graniastosłupa rzutuje się na podstawę na odcinek \(AD\), więc kąt \(45^{\circ}\) leży w trójkącie prostokątnym \(ADD'\) między \(AD'\) a \(AD\). Stąd \[H=|DD'|=|AD|\tan45^{\circ}=10.\] Ściana boczna jest prostokątem o bokach równych krawędzi podstawy i wysokości: \[P=5\cdot10=50.\] **Odpowiedź.** Pole ściany bocznej jest równe \(50\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** X.4) Zdający oblicza […] pola powierzchni graniastosłupów i ostrosłupów, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń.

**A.** \(15\)

Ściany sześcianu tworzą trzy pary ścian przeciwległych. Dla każdej pary suma odległości punktu \(P\) od obu ścian jest równa długości krawędzi sześcianu, czyli \(5\). Zatem suma odległości punktu \(P\) od wszystkich sześciu ścian wynosi \[5+5+5=15.\]

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych w celu rozwiązania problemu. **Wymagania szczegółowe:** X.1, X.2 i X.4 rozpoznawanie wzajemnego położenia prostych w przestrzeni, posługiwanie się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz obliczanie objętości graniastosłupów i ostrosłupów.

Pole powierzchni całkowitej jest równe \(1528\).

Oznaczmy \(|BC|=b\), \(|CG|=c\), \(|GH|=a\). W trójkącie prostokątnym \(BCG\): \[\tan\beta=\frac cb=\frac97,\qquad b^2+c^2=|BG|^2=520.\] Zatem \(c=\frac97b\), więc \[b^2+\left(\frac97b\right)^2=520,\] co daje \(b=14\) i \(c=18\). W trójkącie prostokątnym \(BGH\): \[a^2+|BG|^2=|BH|^2,\] więc \[a^2=4\cdot194-4\cdot130=256,\qquad a=16.\] Pole powierzchni całkowitej wynosi \[P_c=2(ab+bc+ac)=2(16\cdot14+14\cdot18+16\cdot18)=1528.\]

**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(P_c=1528\) **3 pkt** – poprawne długości wszystkich krawędzi: \(|BC|=14\), \(|CG|=18\), \(|GH|=16\), albo poprawna metoda z drobnym błędem rachunkowym i właściwy wzór na pole **2 pkt** – obliczenie dwóch krawędzi oraz zapisanie odpowiedniego drugiego równania Pitagorasa **1 pkt** – poprawny związek \(|CG|/|BC|=9/7\) i równanie Pitagorasa dla \(BCG\), albo równanie Pitagorasa dla \(BGH\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.3 i IV.4 tworzenie obiektów pomocniczych i strategii rozwiązania. **Wymagania szczegółowe:** X.3 i X.6 kąty w graniastosłupach oraz pola powierzchni graniastosłupów z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń.

**D.** \(216+108\sqrt3\)

Pole ścian bocznych wynosi \[P_b=6\cdot(6\cdot6)=216.\] Pole sześciokąta foremnego o boku \(6\) jest równe sumie pól sześciu trójkątów równobocznych: \[P_p=6\cdot\frac{6^2\sqrt3}{4}=54\sqrt3.\] Pole całkowite graniastosłupa wynosi \[P_c=P_b+2P_p=216+108\sqrt3.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria przestrzenna - pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego.

\[V(R,\alpha)=R^3\sin\alpha(1+\sin\alpha)\sqrt{2-2\sin\alpha}.\]

Długości podstaw trapezu wynoszą \[|AB|=2R,\qquad |CD|=2R\sin\alpha,\] a jego wysokość jest równa \(R\cos\alpha\). Zatem pole podstawy graniastosłupa ma wartość \[P_p=R^2(1+\sin\alpha)\cos\alpha.\] Ramię trapezu ma długość \[|AD|=R\sqrt{2-2\sin\alpha}.\] Jeżeli \(H\) oznacza wysokość graniastosłupa, to z nachylenia przekątnej ściany bocznej otrzymujemy \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{H}{|AD|},\qquad H=R\sqrt{2-2\sin\alpha}\operatorname{tg}\alpha.\] Wobec tego \[V=P_pH=R^3\sin\alpha(1+\sin\alpha)\sqrt{2-2\sin\alpha}.\]

**5 pkt** – poprawne wyznaczenie objętości jako funkcji \(R\) i \(\alpha\) **4 pkt** – poprawne pole podstawy i wysokość graniastosłupa, lecz błąd rachunkowy w końcowym wzorze **3 pkt** – wyznaczenie \(|AD|=R\sqrt{2-2\sin\alpha}\) oraz zależności \(H=|AD|\operatorname{tg}\alpha\) **2 pkt** – poprawne wyznaczenie pola trapezu albo wysokości graniastosłupa **1 pkt** – poprawne wyznaczenie co najmniej dwóch podstawowych długości w trapezie **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 9.1 i 9.3 rozpoznawanie kątów w graniastosłupach oraz stosowanie trygonometrii do obliczania długości, pól i objętości.

**B.** \(28\)

Graniastosłup o podstawie będącej \(n\)-kątem ma \(3n\) krawędzi i \(2n\) wierzchołków. Z równania \(3n=42\) otrzymujemy \(n=14\). Liczba wierzchołków jest więc równa \[2n=28.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** G11.1 rozpoznawanie graniastosłupów.

**D.** \(27V\)

Objętość sześcianu \(F\) jest równa \(V=a^3\). Krawędź sześcianu \(G\) jest trzy razy dłuższa, więc jego objętość wynosi \[(3a)^3=27a^3=27V.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** X.5 wykorzystywanie zależności między objętościami graniastosłupów podobnych.

\[h=\sqrt{22}.\]

Ponieważ \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha=\frac{12}{13}\), mamy \(\cos\alpha=\frac5{13}\). Ze wzoru na pole trójkąta \[26{,}4=\frac12|AF|\cdot|AH|\sin\alpha,\] więc \[|AF|\cdot|AH|=52{,}8\cdot\frac{13}{12}=57{,}2.\] Wektory \(\overrightarrow{AF}\) i \(\overrightarrow{AH}\) mają wspólną składową pionową \(h\), a ich składowe poziome są prostopadłe. Zatem ich iloczyn skalarny jest równy \(h^2\). Jednocześnie \[h^2=\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{AH}=|AF|\cdot|AH|\cos\alpha.\] Stąd \[h^2=57{,}2\cdot\frac5{13}=22,\] a ponieważ \(h>0\), otrzymujemy \(h=\sqrt{22}\).

**5 pkt** – poprawna metoda i wynik \(h=\sqrt{22}\) **4 pkt** – wyznaczenie \(|AF|\cdot|AH|\) i zależności \(h^2=|AF||AH|\cos\alpha\), z drobnym błędem rachunkowym **3 pkt** – poprawne powiązanie wysokości z iloczynem skalarnym przekątnych **2 pkt** – obliczenie \(\cos\alpha=\frac5{13}\) i iloczynu \(|AF||AH|=57{,}2\) **1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru na pole trójkąta \(AFH\) **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** P9.3 i R7.4 stosowanie trygonometrii w graniastosłupach oraz związków miarowych w figurach płaskich.

**B.** \(280\,\mathrm{cm}^{3}\)

Pole rombu o przekątnych \(d_1\) i \(d_2\) jest równe \(\frac12d_1d_2\): \[P_p=\frac12\cdot7\cdot10=35\ \mathrm{cm}^{2}.\] Wysokość graniastosłupa jest o \(2\ \mathrm{cm}\) krótsza od dłuższej przekątnej, więc \(H=10-2=8\ \mathrm{cm}\). Zatem \[V=P_p\cdot H=35\cdot8=280\ \mathrm{cm}^{3}.\] **Odpowiedź.** \(V=280\,\mathrm{cm}^{3}\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania egzaminacyjne 2022** **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** G11.2) Zdający oblicza […] objętość graniastosłupa prostego […].

**C.** siedmiokąt.

Graniastosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(3n\) krawędzi i \(n+2\) ściany. Z warunku \[\frac{3n}{n+2}=\frac73\] otrzymujemy \(9n=7n+14\), więc \(n=7\).

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. tworzenie i stosowanie modelu matematycznego. **Wymagania szczegółowe:** X.1 rozpoznawanie własności graniastosłupów i zliczanie ich ścian, krawędzi oraz wierzchołków.

\[V=1296\sqrt3,\qquad P_b=504\sqrt3.\]

Oznaczmy \(|BC|=x\). Wtedy \(|CD|=x+3\), a z twierdzenia Pitagorasa w podstawie: \[x^2+(x+3)^2=15^2.\] Po uproszczeniu otrzymujemy \(x^2+3x-108=0\), skąd dodatnie rozwiązanie to \(x=9\). Zatem \[|BC|=9,\qquad |CD|=12.\] Trójkąt \(DCG\) jest prostokątny w punkcie \(C\). Ponieważ \(\angle CDG=60^\circ\), wysokość graniastosłupa jest równa \[|CG|=|CD|\tan60^\circ=12\sqrt3.\] Objętość wynosi \[V=9\cdot12\cdot12\sqrt3=1296\sqrt3.\] Pole powierzchni bocznej jest iloczynem obwodu podstawy i wysokości: \[P_b=2(9+12)\cdot12\sqrt3=504\sqrt3.\]

**5 pkt** – poprawne obliczenie objętości \(1296\sqrt3\) i pola powierzchni bocznej \(504\sqrt3\) **4 pkt** – poprawne wyznaczenie wymiarów podstawy i wysokości oraz jednego z żądanych wyników **3 pkt** – wyznaczenie \(|BC|=9\), \(|CD|=12\) i \(|CG|=12\sqrt3\) **2 pkt** – poprawne wyznaczenie wymiarów podstawy albo wysokości po poprawnym zapisaniu zależności geometrycznych **1 pkt** – zapisanie równania \(x^2+(x+3)^2=225\) lub zależności \(\tan60^\circ=|CG|/|CD|\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II-IV interpretowanie rysunku, tworzenie modelu i stosowanie strategii rozwiązania. **Wymagania szczegółowe:** X.2, VIII.3 i IX.1 obliczanie objętości i pola powierzchni graniastosłupa z użyciem twierdzenia Pitagorasa oraz trygonometrii.

**B.** \(192\)

Graniastosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(3n\) krawędzi. Zatem \[3n=36,\qquad n=12.\] Obwód podstawy wynosi \(12\cdot4=48\), a wysokość graniastosłupa jest równa \(4\). Pole powierzchni bocznej wynosi \[P_b=48\cdot4=192.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** rozpoznawanie liczby krawędzi graniastosłupa i obliczanie pola jego powierzchni bocznej.

**A.** \(125\)

Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(a\sqrt3\). Zatem \[a\sqrt3=5\sqrt3,\qquad a=5.\] Objętość wynosi \[V=a^3=5^3=125.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** G11.2 obliczanie objętości graniastosłupa prostego.

**C.** \(24+12\sqrt3\)

Podstawą jest sześciokąt foremny o boku \(2\), złożony z sześciu trójkątów równobocznych o tym boku: \[P_p=6\cdot\frac{2^{2}\sqrt3}4=6\sqrt3.\] Wszystkie krawędzie mają długość \(2\), więc wysokość graniastosłupa wynosi \(H=2\), a każda z sześciu ścian bocznych jest kwadratem o boku \(2\): \[P_b=6\cdot2\cdot2=24.\] Pole powierzchni całkowitej: \[P_c=2P_p+P_b=12\sqrt3+24.\] **Odpowiedź.** \(P_c=24+12\sqrt3\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 24. Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

**A.** \(24\sqrt3\)

Jeśli \(a\) jest długością krawędzi sześcianu, to jego przekątna ma długość \(a\sqrt3\). Z warunku \[a\sqrt3=6\] otrzymujemy \(a=2\sqrt3\). Objętość sześcianu wynosi \[V=a^3=(2\sqrt3)^3=24\sqrt3.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** obliczanie długości przekątnej i objętości sześcianu.

**A.** \(96\)

Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(a\sqrt3\). Zatem \[a\sqrt3=4\sqrt3,\qquad a=4.\] Pole powierzchni sześcianu wynosi \[P=6a^2=6\cdot4^2=96.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** G11.2 obliczanie pola powierzchni graniastosłupa prostego.

**D.** \(2\sqrt6\)

Przekątna graniastosłupa rzutuje się na podstawę na przekątną podstawy, więc kąt \(60^{\circ}\) leży w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych: przekątnej podstawy i wysokości bryły. Przekątna kwadratu o boku \(2\) ma długość \(d=2\sqrt2\), zatem \[H=d\tan60^{\circ}=2\sqrt2\cdot\sqrt3=2\sqrt6.\] **Odpowiedź.** \(H=2\sqrt6\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 22. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

**D.** dziesięciokąt

Jeśli podstawa jest \(n\)-kątem, to graniastosłup ma \(2n\) wierzchołków, a ostrosłup \(n+1\) wierzchołków. Z warunku zadania \[2n-(n+1)=9,\] więc \(n=10\). Podstawą jest dziesięciokąt.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** stereometria - liczba wierzchołków graniastosłupa i ostrosłupa.

**C.** \(12\sqrt2\)

Jeśli krawędź sześcianu ma długość \(a\), to \[6a^2=12,\] czyli \(a^2=2\) i \(a=\sqrt2\). Sześcian ma \(12\) krawędzi, więc suma ich długości wynosi \[12a=12\sqrt2.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** stereometria - pole powierzchni i krawędzie sześcianu.

**C.** \(384\,\mathrm{cm}^2\)

Sześcian ma \(12\) krawędzi jednakowej długości, więc z warunku \(12a=96\) otrzymujemy \(a=8\ \mathrm{cm}\). Zatem \[P_c=6a^{2}=6\cdot64=384\ \mathrm{cm}^{2}.\] **Odpowiedź.** \(P_c=384\,\mathrm{cm}^2\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 19. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

B. \(6\),\(16\) dm

Przekątna prostopadłościanu o krawędziach \(a\), \(b\), \(c\) ma długość \[d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\] Podstawiając dane: \[d=\sqrt{5^2+3^2+2^2}=\sqrt{25+9+4}=\sqrt{38}.\] Ponieważ \(6{,}16^2=37{,}9456\) oraz \(6{,}17^2=38{,}0689\), mamy \(6{,}16<\sqrt{38}<6{,}17\), a po zaokrągleniu do \(0{,}01\) otrzymujemy \(6{,}16\ \mathrm{dm}\). **Odpowiedź.** B. \(6{,}16\ \mathrm{dm}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Zadanie 21. (0−1) 9. Stereometria. Zdający określa, jaką figurą Wersja Wersja II. Wykorzystanie jest dany przekrój prostopadłościanu I II i interpretowanie płaszczyzną (9.5). reprezentacji. G10. Figury płaskie. Zdający stosuje B D twierdzenie Pitagorasa (G10.7).

**C.** tylko od odcinków \(a\), \(b\) i \(c\)

Długość przekątnej prostopadłościanu o wymiarach \(p\times q\times r\) wyraża się wzorem \(d=\sqrt{p^{2}+q^{2}+r^{2}}\). Z rysunku odczytujemy wymiary \(30\,\mathrm{cm}\), \(40\,\mathrm{cm}\), \(120\,\mathrm{cm}\), więc \[d=\sqrt{30^{2}+40^{2}+120^{2}}=\sqrt{900+1600+14400}=\sqrt{16900}=130\ \mathrm{cm}.\] Porównujemy z danymi odcinkami: \[119<130,\qquad 121<130,\qquad 129<130,\qquad 131>130.\] Przekątna jest zatem dłuższa od \(a\), \(b\) i \(c\), ale krótsza od \(d\). **Odpowiedź.** Wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 21. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

**A.** \(9\)

Graniastosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(3n\) krawędzi i \(2n\) wierzchołków. Z warunku zadania \[3n+2n=15\quad\Longrightarrow\quad n=3.\] Liczba krawędzi wynosi więc \(3n=9\). **Odpowiedź.** \(9\) krawędzi, czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 23. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

V = \(\frac{81}{2}\). Graniastosłup ma pięć ścian, a z warunku wynika, że każda ma pole równe polu podstawy. Zatem pole podstawy to \(45\)√\(\frac{3}{5 = 9}\)√\(3\). Dla trójkąta równobocznego \(a^{2}\)√\(\frac{3}{4 = 9}\)√\(3\), więc a = \(6\). Pole ściany bocznej ah = \(9\sqrt{3}\) daje \(h\) = \(3\)√\(\frac{3}{2}\). Objętość wynosi \(9\)√\(3\cdot 3\)√\(\frac{3}{2 = 81}\)/\(2\).

**Krok \(1\).** Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawach trójkąty równoboczne, a jego trzy ściany boczne są przystającymi prostokątami. Warunek z zadania mówi, że pole podstawy równa się polu ściany bocznej — czyli wszystkie pięć ścian ma to samo pole. To pozwala od razu obliczyć pole jednej z nich. **Krok \(2\).** Pole powierzchni całkowitej to suma pól dwóch podstaw i trzech ścian bocznych, czyli pięć razy to samo pole \(P\): \[5P=45\sqrt3,\qquad P=9\sqrt3.\] **Krok \(3\).** Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku \(a\), a jego pole wyraża się wzorem \(\frac{a^2\sqrt3}{4}\). Zatem \[\frac{a^2\sqrt3}{4}=9\sqrt3.\] **Krok \(4\).** Dzielimy obie strony przez \(\sqrt3\) i mnożymy przez \(4\): \[a^2=36,\qquad a=6\] (bierzemy tylko dodatni pierwiastek, bo \(a\) jest długością). **Krok \(5\).** Ściana boczna jest prostokątem o bokach \(a\) i \(H\), gdzie \(H\) to wysokość graniastosłupa. Jej pole też wynosi \(9\sqrt3\): \[a\cdot H=9\sqrt3,\qquad 6H=9\sqrt3.\] **Krok \(6\).** Stąd \[H=\frac{9\sqrt3}{6}=\frac{3\sqrt3}{2}.\] **Krok \(7\).** Objętość graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość: \[V=P\cdot H=9\sqrt3\cdot\frac{3\sqrt3}{2}=\frac{9\cdot3\cdot3}{2}=\frac{81}{2}.\] **Uwaga.** Kluczem jest zauważenie, że ścian o jednakowym polu jest pięć, a nie cztery — dwie podstawy i trzy ściany boczne. Nie należy się też niepokoić, że wysokość nie wychodzi całkowita; przy mnożeniu \(\sqrt3\cdot\sqrt3=3\) i wynik końcowy jest liczbą wymierną. **Odpowiedź.** \(V=\dfrac{81}{2}=40{,}5\).

**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: zdający zapisze zależność między wielkościami \(a\) i \(h\) wynikającą z równości pól podstawy i ściany bocznej graniastosłupa, albo obliczy pole jednej ściany graniastosłupa: \(45\sqrt{3}:5=9\sqrt{3}\), albo zapisze równanie […], albo zapisze równania […], i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, pozwalające na wyznaczenie długości krawędzi podstawy lub wysokości graniastosłupa, albo uzależni objętość bryły od jednej zmiennej, i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający obliczy długość krawędzi podstawy i wysokość graniastosłupa: \(a=6\), \(h=\) […], albo obliczy długość krawędzi podstawy graniastosłupa: \(a=6\) i uzależni objętość bryły od jednej zmiennej \(a\), lub obliczy wysokość graniastosłupa \(h\) i uzależni objętość bryły od jednej zmiennej \(h\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **4 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający obliczy objętość graniastosłupa: \(V=\frac{81}{2}\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. G11. Bryły. Zdający oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego (G11.2). 3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą (3.4).

**A.** \(72\)

Z zależności \(d=a\sqrt3\) dla \(d=6\) otrzymujemy \(a=\frac6{\sqrt3}=2\sqrt3\), czyli \(a^{2}=12\). Zatem \[P_c=6a^{2}=72.\] **Odpowiedź.** \(P_c=72\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 23. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

\[P_c=64+16\sqrt3.\]

Przekątna \(AC'\) rzutuje się na podstawę na przekątną \(AC\) rombu, a przekątna \(BD'\) — na przekątną \(BD\). Kąty nachylenia leżą więc w trójkątach prostokątnych \(ACC'\) oraz \(BDD'\), których wspólną przyprostokątną jest wysokość \(H\) graniastosłupa. Z trójkąta \(ACC'\): \[H=|AC'|\sin30^{\circ}=8\cdot\frac12=4,\qquad |AC|=|AC'|\cos30^{\circ}=8\cdot\frac{\sqrt3}2=4\sqrt3.\] Z trójkąta \(BDD'\), w którym kąt nachylenia wynosi \(45^{\circ}\): \[|BD|=\frac{H}{\tan45^{\circ}}=4.\] Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy, więc bok rombu wynosi \[a=\sqrt{\left(2\sqrt3\right)^{2}+2^{2}}=\sqrt{12+4}=4,\] a pole podstawy \[P_p=\frac12|AC|\cdot|BD|=\frac12\cdot4\sqrt3\cdot4=8\sqrt3.\] Pole powierzchni całkowitej: \[P_c=2P_p+4aH=16\sqrt3+4\cdot4\cdot4=64+16\sqrt3.\] **Odpowiedź.** \(P_c=64+16\sqrt3\)

**1–4 pkt** – wysokość \(4\), przekątne podstawy \(4\sqrt3\) i \(4\), pole podstawy \(8\sqrt3\) oraz bok rombu \(4\). **5 pkt** – pole całkowite \(64+16\sqrt3\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. 9. Stereometria. Zdający rozpoznaje kąty między odcinkami i płaszczyznami (9.2), kąty między ścianami (9.4) oraz stosuje trygonometrię do obliczeń długości, kątów, pól i objętości (9.6).

**A.** \(\sqrt{10}\)

**Krok \(1\).** Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat, a ściany boczne są prostokątami. Oznaczmy krawędź podstawy przez \(a\). Z treści wynika, że wysokość jest trzy razy dłuższa, czyli \(H=3a\). Dzięki temu całe pole zapiszemy za pomocą jednej niewiadomej. **Krok \(2\).** Pole powierzchni całkowitej to dwie podstawy i cztery ściany boczne: \[P_{c}=2a^{2}+4\cdot(a\cdot H).\] **Krok \(3\).** Wstawiamy \(H=3a\): \[P_{c}=2a^{2}+4\cdot a\cdot3a=2a^{2}+12a^{2}=14a^{2}.\] **Krok \(4\).** Korzystamy z podanej wartości pola: \[14a^{2}=140\quad\Longrightarrow\quad a^{2}=10\quad\Longrightarrow\quad a=\sqrt{10}.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy: dla \(a=\sqrt{10}\) mamy \(H=3\sqrt{10}\), a wtedy \[P_{c}=2\cdot10+4\cdot\sqrt{10}\cdot3\sqrt{10}=20+12\cdot10=20+120=140.\] **Uwaga.** Równanie \(a^{2}=10\) ma dwa rozwiązania: \(\sqrt{10}\) oraz \(-\sqrt{10}\). Krawędź jest długością, więc wartość ujemną odrzucamy. Uwaga też na wariant \(3\sqrt{10}\) - to wysokość bryły, a nie krawędź podstawy. **Odpowiedź.** A, czyli \(\sqrt{10}\).

Zadanie 21. (0−1) G11. Bryły. Zdający oblicza pole powierzchni Wersja Wersja II. Wykorzystanie i objętość graniastosłupa prostego (G11.2). I II i interpretowanie 3. Równania i nierówności. Zdający reprezentacji. rozwiązuje równania kwadratowe z jedną A B niewiadomą (3.4).

**B.** \(21\)

Graniastosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(2n\) wierzchołków, więc z warunku \(2n=14\) otrzymujemy \(n=7\). Liczba krawędzi wynosi \[3n=21.\] **Odpowiedź.** \(21\) krawędzi, czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 19. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

\[V=192.\]

Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym \(ABC\), a taki środek leży w połowie przeciwprostokątnej. Odcinek \(SC\) jest zatem promieniem tego okręgu i \[|AB|=2|SC|=10.\] Z warunku \(|AC|:|BC|=4:3\) przyjmijmy \(|AC|=4k\), \(|BC|=3k\). Z twierdzenia Pitagorasa \[(4k)^{2}+(3k)^{2}=10^{2}\quad\Longrightarrow\quad 25k^{2}=100\quad\Longrightarrow\quad k=2,\] więc \(|AC|=8\) i \(|BC|=6\). Ściana \(BEFC\) jest prostokątem o bokach \(|BC|\) i \(H\), więc z warunku \(P_{BEFC}=48\) otrzymujemy \[6H=48\quad\Longrightarrow\quad H=8.\] Pole podstawy i objętość: \[P_p=\frac12\cdot8\cdot6=24,\qquad V=P_p\cdot H=24\cdot8=192.\] **Odpowiedź.** \(V=192\)

**1–4 pkt** – przeciwprostokątna \(10\), przyprostokątne \(8\) i \(6\) oraz wysokość graniastosłupa \(8\). **5 pkt** – objętość \(192\).

Zadanie 34. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

\[\frac{P_1}{P_2}=\frac{16}{17}.\]

Duży sześcian zawiera \[\left(\frac82\right)^3=64\] małe klocki. Druga bryła powstała z \(63\) klocków. Ponieważ jest graniastosłupem prawidłowym czworokątnym, liczba klocków w warstwie musi być kwadratem. Rozkład \(63=3^2\cdot7\) oznacza podstawę \(3\times3\) klocki i wysokość \(7\) klocków, czyli wymiary \(6\,\text{cm}\times6\,\text{cm}\times14\,\text{cm}\). Pole pierwszego sześcianu wynosi \[P_1=6\cdot8^2=384\,\text{cm}^2.\] Pole drugiego graniastosłupa: \[P_2=2\cdot6^2+4\cdot6\cdot14=72+336=408\,\text{cm}^2.\] Zatem \[\frac{P_1}{P_2}=\frac{384}{408}=\frac{16}{17}.\]

**4 pkt** – poprawny stosunek \(\frac{16}{17}\) w postaci nieskracalnej **3 pkt** – poprawne pola \(384\) i \(408\), lecz błąd w stosunku **2 pkt** – poprawne wyznaczenie wymiarów drugiej bryły \(6\times6\times14\,\text{cm}\) **1 pkt** – ustalenie, że pierwsza bryła składa się z \(64\), a druga z \(63\) klocków **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

Klucz CKE publikuje rozwiązanie i punktację. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria przestrzenna, sześcian, graniastosłup i pole powierzchni całkowitej.

**A.** \(16\) wierzchołków.

Graniastosłup o podstawie \(n\)-kąta ma po \(n\) wierzchołków w każdej z dwóch podstaw, czyli łącznie \(2n\). Dla \(n=8\) otrzymujemy \(2\cdot8=16\) wierzchołków.

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria przestrzenna, własności graniastosłupów.

\[V=\frac{12}{125}d^3.\]

Niech \(h\) oznacza wysokość graniastosłupa. Z definicji sinusa kąta nachylenia przekątnej do podstawy \[\frac hd=\sin\alpha=0{,}2=\frac15,\] zatem \(h=\frac d5\). Jeżeli \(p\) jest przekątną kwadratowej podstawy, to z twierdzenia Pitagorasa \[p^2=d^2-h^2=d^2-\frac{d^2}{25}=\frac{24}{25}d^2.\] Pole kwadratu wyrażone przez jego przekątną jest równe \[P_p=\frac{p^2}{2}=\frac{12}{25}d^2.\] Stąd objętość wynosi \[V=P_p\cdot h=\frac{12}{25}d^2\cdot\frac d5=\frac{12}{125}d^3.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – poprawna objętość \(\frac{12}{125}d^3\) z pełnym uzasadnieniem **3 pkt** – poprawne wyznaczenie wysokości i pola podstawy, z drobną usterką końcową **2 pkt** – wyznaczenie \(h=\frac d5\) oraz \(p^2=\frac{24}{25}d^2\) **1 pkt** – poprawne użycie zależności \(\frac hd=\sin\alpha\) **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. Zdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu. **Wymagania szczegółowe:** 9.6. Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości.

**D.** \(8^2\left(\frac{\sqrt3}{2}+3\right)\).

Dwie równoboczne podstawy mają łączne pole \[2\cdot\frac{8^2\sqrt3}{4}=32\sqrt3.\] Pole powierzchni bocznej wynosi \((3\cdot8)\cdot8=192\). Zatem \[P_c=32\sqrt3+192=64\left(\frac{\sqrt3}{2}+3\right)=8^2\left(\frac{\sqrt3}{2}+3\right).\]

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 9.6 zdający oblicza pola powierzchni brył.

\[P_c=144+384\sqrt2=48(3+8\sqrt2).\]

Niech \(\alpha\) będzie kątem nachylenia przekątnej do podstawy. Z \(\cos\alpha=\frac35\) wynika \(\sin\alpha=\frac45\) i \(\operatorname{tg}\alpha=\frac43\). Jeżeli \(a\) jest bokiem kwadratowej podstawy, rzut przekątnej graniastosłupa na podstawę ma długość \(a\sqrt2\). Zatem \[\frac{16}{a\sqrt2}=\operatorname{tg}\alpha=\frac43,\] więc \(a=6\sqrt2\). Pole całkowite wynosi \[P_c=2a^2+4a\cdot16=2(6\sqrt2)^2+64\cdot6\sqrt2=144+384\sqrt2.\]

**1 pkt** – wyznaczenie \(\operatorname{tg}\alpha=\frac43\) **2 pkt** – zapisanie zależności \(\frac{16}{a\sqrt2}=\frac43\) **3 pkt** – obliczenie \(a=6\sqrt2\) **4 pkt** – obliczenie \(P_c=144+384\sqrt2\)

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 9.6 zdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości i pól powierzchni brył.

\[d=3\sqrt{14}.\]

Niech długości krawędzi prostopadłościanu będą równe \(x,2x,3x\), gdzie \(x>0\). Z warunku dotyczącego pola powierzchni całkowitej otrzymujemy \[2(x\cdot2x+x\cdot3x+2x\cdot3x)=198,\] czyli \[22x^2=198.\] Stąd \(x^2=9\), a ponieważ \(x>0\), mamy \(x=3\). Długość przekątnej spełnia \[d^2=x^2+(2x)^2+(3x)^2=14x^2.\] Zatem \[d=x\sqrt{14}=3\sqrt{14}.\]

**4 pkt** – poprawne obliczenie \(d=3\sqrt{14}\) **3 pkt** – poprawne wyznaczenie jednej krawędzi, np. \(x=3\), lecz niedokończone obliczenie przekątnej **2 pkt** – poprawne zapisanie pola powierzchni całkowitej albo przekątnej jako funkcji jednej zmiennej **1 pkt** – zapisanie krawędzi jako \(x,2x,3x\) albo wzoru \(d^2=x^2+y^2+z^2\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** Wyznaczanie związków miarowych w wielościanach (IV.9.b).

**D.** \(243\sqrt3\)

Przy równych polach podstaw i równych wysokościach objętość graniastosłupa jest trzykrotnością objętości ostrosłupa, bo \(V_{\text{o}}=\frac13P_pH\), a \(V_{\text{g}}=P_pH\). Zatem \[V_{\text{g}}=3\cdot81\sqrt3=243\sqrt3.\] **Odpowiedź.** \(V=243\sqrt3\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 23. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

**A.** \(12\sqrt2\)

Z pola powierzchni \(6a^{2}=12\) otrzymujemy \(a^{2}=2\), czyli \(a=\sqrt2\). Sześcian ma \(12\) krawędzi, więc suma ich długości wynosi \[12a=12\sqrt2.\] **Odpowiedź.** \(12\sqrt2\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 15. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

\[V=162.\]

W prostokącie \(ABCD\) krótszy bok ma długość \(3\), a przekątna tworzy z dłuższym bokiem kąt \(30^{\circ}\). Krótszy bok leży naprzeciw tego kąta, więc \[\tan30^{\circ}=\frac{3}{|AB|}\quad\Longrightarrow\quad |AB|=\frac{3}{\tan30^{\circ}}=3\sqrt3,\] a przekątna podstawy ma długość \[|DB|=\sqrt{3^{2}+\left(3\sqrt3\right)^{2}}=\sqrt{9+27}=6.\] Przekątna \(HB\) graniastosłupa rzutuje się na podstawę na odcinek \(DB\), więc kąt \(60^{\circ}\) leży w trójkącie prostokątnym \(HDB\): \[H=|HD|=|DB|\tan60^{\circ}=6\sqrt3.\] Objętość: \[V=|AB|\cdot|BC|\cdot H=3\sqrt3\cdot3\cdot6\sqrt3=162.\] **Odpowiedź.** \(V=162\)

**1–3 pkt** – dłuższa krawędź \(3\sqrt{3}\), przekątna \(6\), pole podstawy \(9\sqrt{3}\) i wysokość \(6\sqrt{3}\). **4 pkt** – \(V=162\).

Zadanie 32. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

**B.** pięciokąt

Graniastosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(3n\) krawędzi i \(n\) ścian bocznych. Z warunku zadania \[3n=n+10\quad\Longrightarrow\quad n=5.\] **Odpowiedź.** Podstawą jest pięciokąt, czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wyznaczanie związków miarowych w wielościanie (I.9.b).

**B.** \(4\)

Podstawą jest trójkąt równoboczny o polu \(\frac{a^{2}\sqrt3}4\), więc \[\frac{a^{2}\sqrt3}4\cdot7=28\sqrt3\quad\Longrightarrow\quad\frac{a^{2}\sqrt3}4=4\sqrt3\quad\Longrightarrow\quad a^{2}=16.\] Stąd \(a=4\). **Odpowiedź.** \(a=4\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wykorzystanie związków miarowych w graniastosłupie do obliczenia jego objętości (II.9.b).

**D.** \(16\)

Graniastosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(3n\) krawędzi, więc \(3n=24\) i \(n=8\). Wierzchołków jest \(2n=16\). **Odpowiedź.** \(16\) wierzchołków, czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 19. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

\[d=3+\sqrt3.\]

Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(d=a\sqrt3\). Z warunku zadania \(d-a=2\), czyli \[a\sqrt3-a=2\quad\Longleftrightarrow\quad a\left(\sqrt3-1\right)=2\quad\Longleftrightarrow\quad a=\frac2{\sqrt3-1}=\sqrt3+1.\] Stąd \[d=a\sqrt3=\left(\sqrt3+1\right)\sqrt3=3+\sqrt3.\] **Odpowiedź.** \(d=3+\sqrt3\)

1 pkt: równanie d=(√3/3)d+2 albo a√3=a+2. 2 pkt: d=3+√3.

Zadanie 31. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.

\[V=176\sqrt3.\]

Niech \(G\) będzie środkiem krawędzi \(AB\). Trójkąt \(ABF\) jest równoramienny (\(|AF|=|BF|\)), więc odcinek \(FG\) jest jego wysokością. Z pola trójkąta \[\frac{|AB|\cdot|FG|}2=52\quad\Longrightarrow\quad \frac{8\cdot|FG|}2=52\quad\Longrightarrow\quad |FG|=13.\] W podstawie \(ABC\), będącej trójkątem równobocznym o boku \(8\), odcinek \(CG\) jest wysokością: \[|CG|=\frac{8\sqrt3}2=4\sqrt3.\] Krawędź \(CF\) jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, więc trójkąt \(FCG\) jest prostokątny i \[|CF|^{2}=|FG|^{2}-|CG|^{2}=169-48=121,\qquad |CF|=11.\] Objętość graniastosłupa: \[V=\frac{8^{2}\sqrt3}4\cdot11=16\sqrt3\cdot11=176\sqrt3.\] **Odpowiedź.** \(V=176\sqrt3\)

**1 pkt** – narysowanie wysokości \(CG\) trójkąta \(ABC\) i obliczenie \(|CG|=4\sqrt3\) **albo** obliczenie wysokości trójkąta \(ABF\): \(|FG|=13\) **2 pkt** – obliczenie obu tych długości **3 pkt** – obliczenie wysokości graniastosłupa: \(|CF|=11\) **4 pkt** – obliczenie objętości: \(V=176\sqrt3\)

**Wymaganie ogólne:** Użycie i tworzenie strategii. **Wymaganie szczegółowe:** zdający oblicza objętość graniastosłupa z zastosowaniem związków miarowych w wielościanach (IV.9.b).

**B.** \(8\)

Ściana sześcianu jest kwadratem o boku \(a\), więc z \(a^{2}=4\) otrzymujemy \(a=2\). Zatem \[V=a^{3}=8.\] **Odpowiedź.** \(V=8\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Obliczenie objętości sześcianu z wykorzystaniem związków miarowych w sześcianie (II.9.b).

**C.** \(96\)

Z objętości \(a^{3}=64\) otrzymujemy \(a=4\), zatem \[P_c=6a^{2}=6\cdot16=96.\] **Odpowiedź.** \(P_c=96\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** zdający wyznacza związki miarowe w wielościanach; wykorzystuje związek między polem powierzchni całkowitej sześcianu a jego objętością.

**C.** \(GE\)

Wszystkie cztery odcinki są krawędzią, przekątnymi ścian lub przekątną bryły; liczymy ich długości z twierdzenia Pitagorasa dla \(|AB|=5\), \(|AD|=4\), \(|AE|=3\). \[|AB|=5,\]\[|BG|=\sqrt{|BC|^{2}+|CG|^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5,\]\[|EB|=\sqrt{|AB|^{2}+|AE|^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34},\]\[|GE|=\sqrt{|AB|^{2}+|AD|^{2}}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}.\] Odcinki \(BG\) i \(EB\) są przekątnymi ścian bocznych, a \(GE\) — przekątną górnej ściany \(EFGH\), przystającej do podstawy. Ponieważ \(\sqrt{41}>\sqrt{34}>5\), najdłuższy jest \(GE\). **Odpowiedź.** Najdłuższy jest odcinek \(GE\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Użycie i tworzenie strategii. Znalezienie związków miarowych w przestrzeni.

**D.** \(3\sqrt3\)

Z pola powierzchni \(6a^{2}=54\) otrzymujemy \(a^{2}=9\), czyli \(a=3\). Przekątna sześcianu ma długość \[d=a\sqrt3=3\sqrt3.\] **Odpowiedź.** \(d=3\sqrt3\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wyznaczenie związków miarowych w sześcianie.

\[P_{KLM}=\frac{3\sqrt3}{8}.\]

Punkty \(K\), \(L\), \(M\) są środkami krawędzi \(BC\), \(GH\) i \(AE\) sześcianu o krawędzi \(1\). W trójkącie prostokątnym \(ABK\) (kąt prosty przy \(B\)) mamy \(|AB|=1\) oraz \(|BK|=\frac12\), więc \[|AK|^{2}=1^{2}+\left(\tfrac12\right)^{2}=\frac54.\] Krawędź \(AE\) jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, więc trójkąt \(MAK\) jest prostokątny przy \(A\) i \[|MK|^{2}=|MA|^{2}+|AK|^{2}=\left(\tfrac12\right)^{2}+\frac54=\frac32.\] Z symetrii sześcianu w ten sam sposób otrzymujemy \(|ML|^{2}=|KL|^{2}=\frac32\), więc trójkąt \(KLM\) jest równoboczny o boku \(\sqrt{\frac32}\). Pole trójkąta równobocznego o boku \(b\) jest równe \(\frac{b^{2}\sqrt3}4\), zatem \[P_{KLM}=\frac{\frac32\cdot\sqrt3}4=\frac{3\sqrt3}8.\] **Odpowiedź.** \(P_{KLM}=\frac{3\sqrt3}8\)

**2 pkt** – obliczenie \(|AK|^{2}=\frac54\) **3 pkt** – obliczenie boków trójkąta \(KLM\): \(|ML|^{2}=|KL|^{2}=|MK|^{2}=\frac32\) albo równoważne wykazanie, że trójkąt jest równoboczny **4 pkt** – obliczenie pola \(\frac{3\sqrt3}8\)

Użycie i tworzenie strategii. Wyznaczenie związków miarowych w sześcianie.

**C.** \(9\sqrt3\)

Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątnymi są krawędź \(a\) oraz przekątna ściany \(a\sqrt2\): \[d=\sqrt{a^{2}+\left(a\sqrt2\right)^{2}}=a\sqrt3.\] Dla \(a=9\) otrzymujemy \(d=9\sqrt3\). **Odpowiedź.** \(d=9\sqrt3\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria przestrzenna – oblicza przekątną sześcianu.

**C.** \(300+50\sqrt3\)

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma \(9\) krawędzi. Wszystkie są równe, więc z warunku \(9a=90\) otrzymujemy \(a=10\). Podstawy to dwa trójkąty równoboczne, a ściany boczne — trzy kwadraty o boku \(10\): \[P_c=2\cdot\frac{10^{2}\sqrt3}4+3\cdot10^{2}=50\sqrt3+300.\] **Odpowiedź.** \(P_c=300+50\sqrt3\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria przestrzenna – oblicza pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego.

**D.** \(8\)

Sześcian ma \(12\) krawędzi jednakowej długości \(a\), więc \[12a=24,\qquad a=2.\] Objętość sześcianu o krawędzi \(a\) wynosi \(V=a^3\), zatem \[V=2^3=8.\] **Odpowiedź.** D. \(8\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie krawędzi sześcianu z sumy długości krawędzi i obliczanie jego objętości Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**C.** \(5\sqrt2\)

Długość przekątnej prostopadłościanu o krawędziach \(a\), \(b\), \(c\) wyraża się wzorem \[d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\] Podstawiamy \(a=3\), \(b=4\), \(c=5\): \[d=\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}=5\sqrt2.\] **Odpowiedź.** C. \(5\sqrt2\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** obliczanie długości przekątnej prostopadłościanu Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**A.** \(18\)

Bryła \(EFSB\) jest czworościanem. Jako jego podstawę wybieramy trójkąt \(EFS\), zawarty w górnej ścianie sześcianu; wtedy wysokością jest odległość wierzchołka \(B\) od płaszczyzny tej ściany, równa krawędzi sześcianu. Punkt \(S\) jest środkiem kwadratu \(EFGH\) o boku \(6\), więc jego odległość od prostej \(EF\) wynosi \(3\). Stąd \[P_{EFS}=\frac12\cdot|EF|\cdot3=\frac12\cdot6\cdot3=9.\] Objętość czworościanu: \[V=\frac13\cdot P_{EFS}\cdot 6=\frac13\cdot9\cdot6=18.\] **Odpowiedź.** \(V=18\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria przestrzenna – oblicza objętość ostrosłupa w sześcianie.

**C.** \(18\)

Z zależności \(d=a\sqrt3\) dla \(d=3\) otrzymujemy \(a=\sqrt3\), czyli \(a^{2}=3\). Zatem \[P_c=6a^{2}=6\cdot3=18.\] **Odpowiedź.** \(P_c=18\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria przestrzenna.

**A.** \(8\ \mathrm{cm}^3\)

Z pola powierzchni całkowitej \(6a^{2}=24\) otrzymujemy \(a^{2}=4\), czyli \(a=2\ \mathrm{cm}\). Zatem \[V=a^{3}=8\ \mathrm{cm}^{3}.\] **Odpowiedź.** \(V=8\,\mathrm{cm}^3\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria przestrzenna.

**D.** \(\sqrt{38}\)

Przekątna prostopadłościanu o wymiarach \(p\times q\times r\) ma długość \[d=\sqrt{p^{2}+q^{2}+r^{2}}.\] Dla wymiarów \(2\), \(3\), \(5\) odczytanych z rysunku \[d=\sqrt{4+9+25}=\sqrt{38}.\] **Odpowiedź.** \(d=\sqrt{38}\), czyli wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria przestrzenna.

\(162\)

Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(d=a\sqrt3\). Z warunku \(d=9\) otrzymujemy \[a\sqrt3=9\quad\Longrightarrow\quad a=\frac{9}{\sqrt3}=3\sqrt3,\qquad a^{2}=27.\] Pole powierzchni całkowitej sześcianu to suma pól sześciu ścian: \[P_c=6a^{2}=6\cdot27=162.\] **Odpowiedź.** \(P_c=162\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(162\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria przestrzenna.

**A.** \(94\)

Prostopadłościan o wymiarach \(p\times q\times r\) ma pole powierzchni całkowitej \(P_c=2(pq+pr+qr)\), więc \[P_c=2(5\cdot3+5\cdot4+3\cdot4)=2(15+20+12)=94.\] **Odpowiedź.** \(P_c=94\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Obliczanie pola powierzchni wielościanu.

**B.** \(36\ \mathrm{cm}\)

Z objętości \(a^{3}=27\) otrzymujemy \(a=3\ \mathrm{cm}\). Sześcian ma \(12\) krawędzi, więc suma ich długości wynosi \[12a=36\ \mathrm{cm}.\] **Odpowiedź.** \(36\,\mathrm{cm}\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria przestrzenna – wykorzystuje objętość sześcianu do obliczenia sumy krawędzi.

**A.** \(10\)

Graniastosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(3n\) krawędzi, więc \(3n=15\) i \(n=5\). Wierzchołków jest \(2n=10\). **Odpowiedź.** \(10\) wierzchołków, czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria przestrzenna – wiąże liczbę krawędzi graniastosłupa z liczbą wierzchołków.

P(ABF) = \(70\)

Niech \(G\) będzie środkiem krawędzi \(AB\). Trójkąt \(ABF\) jest równoramienny (\(|AF|=|BF|\)), więc odcinek \(FG\) jest jego wysokością. W podstawie \(ABC\), będącej trójkątem równobocznym o boku \(10\), odcinek \(CG\) jest wysokością: \[|CG|=\frac{10\sqrt3}2=5\sqrt3.\] Krawędź \(CF\) jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, więc trójkąt \(FCG\) jest prostokątny przy \(C\): \[|FG|=\sqrt{|CG|^{2}+|CF|^{2}}=\sqrt{75+121}=\sqrt{196}=14.\] Pole trójkąta \(ABF\): \[P_{ABF}=\frac{|AB|\cdot|FG|}2=\frac{10\cdot14}2=70.\] **Odpowiedź.** \(P_{ABF}=70\)

**1–3 pkt** – \(BF=AF=\sqrt{221}\) i wysokość trójkąta \(ABF\) równa \(14\). **4 pkt** – pole \(70\).

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria przestrzenna – oblicza pole przekroju graniastosłupa.

**D.** \(5\,\mathrm{cm}\)

Sześcian ma sześć jednakowych ścian kwadratowych, więc jego pole powierzchni całkowitej o krawędzi \(a\) jest równe \(P_c=6a^{2}\). Z warunku zadania \[6a^{2}=150\quad\Longrightarrow\quad a^{2}=25\quad\Longrightarrow\quad a=5,\] bo długość krawędzi jest dodatnia. **Odpowiedź.** Krawędź ma długość \(5\,\mathrm{cm}\), czyli wariant **D**

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: \(\mathrm{D}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Pole powierzchni konstrukcji jest równe \(3200+200\sqrt5\approx3647\ \mathrm{cm}^2\).

Z rysunku odczytujemy: podstawą jest kwadrat o boku \(20\ \mathrm{cm}\), dwie przeciwległe krawędzie pionowe mają \(30\ \mathrm{cm}\), a dwie pozostałe \(40\ \mathrm{cm}\). Podstawa: \[P_1=20\cdot20=400\ \mathrm{cm}^2.\] Dwie ściany boczne, w których wysokość zmienia się od \(30\) do \(40\ \mathrm{cm}\), są trapezami o wysokości \(20\ \mathrm{cm}\): \[P_2=2\cdot\frac{30+40}{2}\cdot20=1400\ \mathrm{cm}^2.\] Dwie pozostałe ściany boczne są prostokątami: \[P_3=20\cdot30+20\cdot40=600+800=1400\ \mathrm{cm}^2.\] Górna ściana jest prostokątem o jednym boku \(20\ \mathrm{cm}\); jej drugi bok to krawędź skośna, której długość wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa dla przyrostu wysokości \(40-30=10\ \mathrm{cm}\) i szerokości \(20\ \mathrm{cm}\): \[\ell=\sqrt{20^{2}+10^{2}}=\sqrt{500}=10\sqrt5\approx22{,}36\ \mathrm{cm},\qquad P_4=20\cdot10\sqrt5=200\sqrt5\ \mathrm{cm}^2.\] Razem \[P=400+1400+1400+200\sqrt5=3200+200\sqrt5\approx3647{,}2\ \mathrm{cm}^2.\] **Odpowiedź.** Pole powierzchni konstrukcji jest równe około \(3647\ \mathrm{cm}^2\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **11.1. (1 pkt)** – obliczenie długości skośnej krawędzi konstrukcji: \(10\sqrt{5}\,\mathrm{cm}\). Np. \(22{,}36\) cm albo \(22{,}4\) cm. **11.2. (1 pkt)** – obliczenie sumy pól powierzchni ścian, które są trapezami: \(2\cdot\frac{(40+30)\cdot 20}{2}=1400\,\mathrm{cm}^{2}\). **11.3. (1 pkt)** – obliczenie sumy pól powierzchni ścian będących prostokątami: \(20\cdot 20+20\cdot 40+20\cdot 30+20\cdot 10\sqrt{5}=1800+200\sqrt{5}\,\mathrm{cm}^{2}\). Akceptujemy wynik: \(2247\,\mathrm{cm}^{2}\) lub \(2248\,\mathrm{cm}^{2}\), o ile w czynności 11.1 zdający przyjął zaokrąglenie \(10\sqrt{5}\approx 22{,}4\). **11.4. (1 pkt)** – podanie wyniku z żądanym zaokrągleniem: \(P=200\left(16+\sqrt{5}\right)\approx 3647\,\mathrm{cm}^{2}\). Akceptujemy wynik \(3648\). Zdający może pominąć jednostki.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(V=768\sqrt3\ \mathrm{cm}^{3}\approx 1330\ \mathrm{cm}^{3}\).

**Krok \(1\).** Na rysunku pomocniczym zaznaczamy kąt ostry rombu \(\angle DAB=60^\circ\) oraz kąt nachylenia przekątnej \(CE\) do płaszczyzny podstawy, czyli kąt \(\angle ECA=60^\circ\). Punkt \(E\) leży bowiem nad punktem \(A\), więc rzutem odcinka \(CE\) na płaszczyznę podstawy jest przekątna \(CA\). **Krok \(2\).** Pole podstawy, czyli rombu o boku \(a=8\ \mathrm{cm}\) i kącie \(60^\circ\): \[P_{p}=a^{2}\sin 60^\circ=64\cdot\frac{\sqrt3}{2}=32\sqrt3\ \mathrm{cm}^{2}.\] **Krok \(3\).** Długość przekątnej \(AC\) obliczamy z twierdzenia cosinusów w trójkącie \(ABC\), w którym \(AB=BC=8\ \mathrm{cm}\) oraz \(\angle ABC=180^\circ-60^\circ=120^\circ\): \[AC^{2}=8^{2}+8^{2}-2\cdot 8\cdot 8\cdot\cos 120^\circ=128+64=192,\] czyli \(AC=8\sqrt3\ \mathrm{cm}\). **Krok \(4\).** Wysokość graniastosłupa \(H=AE\) wyznaczamy z trójkąta prostokątnego \(EAC\) o kącie ostrym \(60^\circ\) przy wierzchołku \(C\): \[\operatorname{tg}60^\circ=\frac{AE}{AC}\quad\Longrightarrow\quad AE=8\sqrt3\cdot\sqrt3=24\ \mathrm{cm}.\] **Krok \(5\).** Objętość graniastosłupa: \[V=P_{p}\cdot H=32\sqrt3\cdot 24=768\sqrt3\ \mathrm{cm}^{3}.\] **Odpowiedź.** \(V=768\sqrt3\ \mathrm{cm}^{3}\approx 1330\ \mathrm{cm}^{3}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 10.** (\(5\) pkt) Dany jest graniastosłup czworokątny prosty \(ABCDEFGH\) o podstawach \(ABCD\) i \(EFGH\) oraz krawędziach bocznych \(AE\), \(BF\), \(CG\), \(DH\). Podstawa \(ABCD\) graniastosłupa jest rombem o boku długości \(8\,\mathrm{cm}\) i kątach ostrych \(A\) i \(C\) o mierze \(60^{\circ}\). Przekątna graniastosłupa \(CE\) jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^{\circ}\). Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymienione w zadaniu kąty. Oblicz objętość tego graniastosłupa. Sporządzam rysunek pomocniczy graniastosłupa i zaznaczam opisane w zadaniu kąty. (rysunek: \(H\), \(G\), \(E\), \(F\), \(D\), \(C\), \(A\), \(B\), wysokość \(h\), kąty \(60^{\circ}\)) Obliczam pole \(P\) podstawy graniastosłupa: \(P=8^{2}\cdot\sin 60^{\circ}=32\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^{2}\). Długość dłuższej przekątnej rombu \(AC\) wyznaczam, korzystając z pola rombu: \[P_{\text{rombu}}=2\cdot P_{\Delta ABC}=2\cdot\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin 30^{\circ},\] \[32\sqrt{3}=8\cdot AC\cdot\frac{1}{2}\quad\text{stąd}\quad AC=8\sqrt{3}\,\mathrm{cm}.\] Wysokość graniastosłupa \(h\) wyznaczam z trójkąta \(CAE\): \(\frac{h}{AC}=\operatorname{tg}60^{\circ}\), stąd \(h=24\,\mathrm{cm}\). Obliczam objętość graniastosłupa: \(V=32\sqrt{3}\cdot 24=768\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^{3}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\[V=64\ \mathrm{cm}^3,\qquad P_c=64+32\sqrt2\ \mathrm{cm}^2\approx109\ \mathrm{cm}^2.\]

Oznaczmy przez \(a\) krawędź podstawy, a przez \(H\) wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Z przekątnej podstawy \(\lvert AC\rvert=8\ \mathrm{cm}\) wyznaczamy bok: \[a\sqrt2=8,\qquad a=4\sqrt2,\qquad a^{2}=32.\] Przekątną ściany bocznej wychodzącą z tego samego wierzchołka co \(AC\) jest odcinek \(AB_1\); jego długość to \[c=\sqrt{a^{2}+H^{2}}.\] Ponieważ \(\lvert CB_1\rvert=\sqrt{a^{2}+H^{2}}=c\), trójkąt \(ACB_1\) jest równoramienny, a wysokość opuszczona z \(B_1\) dzieli podstawę \(AC\) na połowy. Zatem dla kąta \(\alpha\) między \(AC\) a \(AB_1\) \[\cos\alpha=\frac{\tfrac12\lvert AC\rvert}{c}=\frac{4}{c}=\frac23,\qquad c=6.\] Stąd \[H^{2}=c^{2}-a^{2}=36-32=4,\qquad H=2\ \mathrm{cm}.\] Zatem \[V=a^{2}H=32\cdot2=64\ \mathrm{cm}^3,\] \[P_c=2a^{2}+4aH=64+4\cdot4\sqrt2\cdot2=64+32\sqrt2\ \mathrm{cm}^2\approx109\ \mathrm{cm}^2.\] **Odpowiedź.** \(V=64\ \mathrm{cm}^3\), \(P_c=64+32\sqrt2\ \mathrm{cm}^2\approx109\ \mathrm{cm}^2\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **7.1. (1 pkt)** – […] \(c\) – długość przekątnej ściany bocznej, \(\alpha\) – miara kąta jaki tworzy przekątna ściany bocznej z przekątną podstawy, lub wykonanie rysunku graniastosłupa z zaznaczonymi powyżej oznaczeniami. **7.2. (1 pkt)** – Obliczenie długości krawędzi podstawy: \(a=4\sqrt{2}\) cm. **7.3. (1 pkt)** – Obliczenie długości przekątnej ściany bocznej: \(c=6\) cm. **7.4. (1 pkt)** – Obliczenie długości krawędzi bocznej: \(b=2\) cm. **7.5. (1 pkt)** – Obliczenie objętości graniastosłupa: \(V=64\,\mathrm{cm}^{3}\). **7.6. (1 pkt)** – Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa: \(32\left(2+\sqrt{2}\right)\,\mathrm{cm}^{2}\). Zdający może pominąć w rozwiązaniu jednostki.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Krawędź podstawy \(a=2\ \mathrm{m}\), krawędź boczna (wysokość) \(h=\frac{2\sqrt3}{3}\ \mathrm{m}\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie optymalizacyjne: wśród nieskończenie wielu brył o ustalonej objętości szukamy tej o najmniejszym polu. Schemat postępowania jest zawsze taki sam: wprowadzamy oznaczenia, zapisujemy wzory na wielkość daną (objętość) i badaną (pole), z warunku o objętości rugujemy jedną zmienną, otrzymujemy funkcję JEDNEJ zmiennej i szukamy jej minimum przy pomocy pochodnej. **Krok \(2\).** Oznaczenia. Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny. Niech \(a\) będzie krawędzią podstawy, a \(h\) krawędzią boczną (wysokością bryły). Pole trójkąta równobocznego to \(\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\), a obwód podstawy to \(3a\), więc \[V=\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot h,\qquad P_c=2\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}+3ah=\frac{a^2\sqrt3}{2}+3ah.\] **Krok \(3\).** Wykorzystujemy warunek \(V=2\), aby wyznaczyć \(h\): \[\frac{a^2\sqrt3}{4}h=2\quad\Longrightarrow\quad h=\frac{8}{a^2\sqrt3}=\frac{8\sqrt3}{3a^2}.\] **Krok \(4\).** Podstawiamy \(h\) do wzoru na pole i dostajemy funkcję jednej zmiennej: \[P(a)=\frac{a^2\sqrt3}{2}+3a\cdot\frac{8\sqrt3}{3a^2}=\frac{a^2\sqrt3}{2}+\frac{8\sqrt3}{a},\qquad a\in(0,+\infty).\] Dziedzina to liczby dodatnie, bo \(a\) jest długością krawędzi. **Krok \(5\).** Obliczamy pochodną: \[P^{\prime}(a)=a\sqrt3-\frac{8\sqrt3}{a^2}=\sqrt3\cdot\frac{a^3-8}{a^2}.\] **Krok \(6\).** Szukamy miejsc zerowych pochodnej. Mianownik \(a^2\) i czynnik \(\sqrt3\) są dodatnie, więc o znaku decyduje licznik: \[a^3-8=0\quad\Longrightarrow\quad a^3=8\quad\Longrightarrow\quad a=2.\] **Krok \(7\).** Badamy znak pochodnej, żeby wykazać, że to naprawdę minimum. Dla \(a\in(0,2)\) mamy \(a^3\lt8\), czyli \(P^{\prime}(a)\lt0\) i funkcja maleje. Dla \(a\gt2\) mamy \(a^3\gt8\), czyli \(P^{\prime}(a)\gt0\) i funkcja rośnie. Funkcja najpierw maleje, potem rośnie, więc w punkcie \(a=2\) osiąga minimum, i to minimum globalne w całej dziedzinie. **Krok \(8\).** Obliczamy odpowiadającą wysokość, podstawiając \(a=2\): \[h=\frac{8\sqrt3}{3\cdot2^2}=\frac{8\sqrt3}{12}=\frac{2\sqrt3}{3}.\] Dla porządku: najmniejsze pole wynosi \(P(2)=\dfrac{4\sqrt3}{2}+\dfrac{8\sqrt3}{2}=6\sqrt3\ \mathrm{m}^2\). **Uwaga.** Samo rozwiązanie równania \(P^{\prime}(a)=0\) NIE wystarcza do pełnej odpowiedzi — trzeba jeszcze uzasadnić (badając znak pochodnej albo monotoniczność), że w tym punkcie jest minimum, a nie maksimum czy punkt przegięcia. Trzeba też pamiętać o dziedzinie \(a\gt0\): równanie \(a^3=8\) ma w liczbach rzeczywistych tylko jedno rozwiązanie, ale gdyby pojawiły się inne, ujemne trzeba by odrzucić. **Odpowiedź.** Krawędź podstawy \(a=2\ \mathrm{m}\), krawędź boczna (wysokość) \(h=\frac{2\sqrt3}{3}\ \mathrm{m}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 18.** (\(7\) pkt) Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych trójkątnych o objętości równej \(2\,\mathrm{m}^{3}\) istnieje taki, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Wyznacz długości krawędzi tego graniastosłupa. Wprowadzam następujące oznaczenia: \(a\) – długość krawędzi podstawy, \(h\) – wysokość graniastosłupa. Dla tak wprowadzonych oznaczeń wzory na objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa są następujące: \(V=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}h\), \(P=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}+3ah\). Z równania \(\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}h=2\) wyznaczam niewiadomą \(h\): \(h=\frac{8\sqrt{3}}{3a^{2}}\). Po podstawieniu \(h\) do wzoru na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa otrzymuję funkcję: \(P(a)=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}+3a\cdot\frac{8\sqrt{3}}{3a^{2}}=\frac{a^{3}\sqrt{3}+16\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a^{2}+\frac{16}{a}\right)\), \(a\in(0,\infty)\). Obliczam pochodną funkcji: \(P'(a)=\sqrt{3}\cdot\frac{a^{3}-8}{a^{2}}\), \(a\in(0,\infty)\). Dla \(a=2\) pochodna funkcji przyjmuje wartość \(0\). \(P'(a)\le 0\) dla \(a\in(0,2\rangle\) i \(P'(a)\ge 0\) dla \(a\in\langle 2,\infty)\), więc w punkcie \(a=2\) funkcja \(P\) osiąga minimum i jednocześnie wartość najmniejszą, bo funkcja \(P\) w przedziale \((0,2\rangle\) jest malejąca i w przedziale \(\langle 2,\infty)\) jest rosnąca. Dla \(a=2\) wysokość \(h=\frac{2\sqrt{3}}{3}\). Odp.: Wymiary graniastosłupa o objętości \(2\,\mathrm{m}^{3}\), dla którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze są następujące: \(a=2\,\mathrm{m}\), \(h=\frac{2\sqrt{3}}{3}\,\mathrm{m}\). | Nr czynności | 18.1. | 18.2. | 18.3. | 18.4. | 18.5. | 18.6. | 18.7. | |---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:| | Maks. liczba pkt | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Trójkąt \(BAD_1\) jest prostokątny — kąt prosty jest przy wierzchołku \(A\).

Krawędź \(AB\) jest prostopadła do ściany \(ADD_1A_1\), ale wykażemy to rachunkiem, zgodnie z poleceniem. Ściana \(ADD_1A_1\) jest prostokątem o bokach \(\lvert AD\rvert=3\) i \(\lvert DD_1\rvert=6\), więc \[\lvert AD_1\rvert=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5.\] Przekątna podstawy: \[\lvert BD\rvert=\sqrt{\lvert AD\rvert^2+\lvert AB\rvert^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45},\] a ponieważ krawędź \(DD_1\) jest prostopadła do podstawy, \[\lvert BD_1\rvert=\sqrt{\lvert BD\rvert^2+\lvert DD_1\rvert^2}=\sqrt{45+36}=\sqrt{81}=9.\] Boki trójkąta \(BAD_1\) mają zatem długości \(\lvert AB\rvert=6\), \(\lvert AD_1\rvert=3\sqrt5\), \(\lvert BD_1\rvert=9\). Sprawdzamy warunek twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa: \[\lvert AB\rvert^2+\lvert AD_1\rvert^2=36+45=81=\lvert BD_1\rvert^2.\] Suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi najdłuższego, więc trójkąt \(BAD_1\) jest prostokątny, a kąt prosty leży przy wierzchołku \(A\). **Odpowiedź.** Trójkąt \(BAD_1\) jest prostokątny.

**1. (1 pkt)** – wyznaczenie długości przekątnej \(AD_{1}\). Odp. \(\lvert AD_{1}\rvert=3\sqrt{5}\) **2. (1 pkt)** – wyznaczenie długości przekątnej \(BD_{1}\). Odp. \(\lvert BD_{1}\rvert=9\) **3. (2 pkt)** – uzasadnienie, że trójkąt \(BAD_{1}\) jest prostokątny na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa. \(1\) punkt przyznajemy za zapisanie równości \(\lvert AB\rvert^{2}+\lvert AD_{1}\rvert^{2}=\lvert BD_{1}\rvert^{2}\) i jej sprawdzenie, bez powołania się na odpowiednie twierdzenie. Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną od przedstawionej w schemacie punktowania metodą zgodną z poleceniem przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.