Ciąg geometryczny — wzór ogólny, iloraz i suma początkowych wyrazów w zadaniach maturalnych

\[(x,y,z)=(1,3,9)\quad\text{lub}\quad(x,y,z)=\left(\frac{1}{9},\frac{7}{9},\frac{49}{9}\right).\]

Zapisujemy trzy warunki z treści zadania. Ciąg \((x,y,z)\) jest geometryczny, więc \[y^{2}=xz.\qquad(1)\] Ciąg \((x,y,z-4)\) jest arytmetyczny, więc wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną skrajnych: \[2y=x+z-4.\qquad(2)\] Ciąg \((x,y-1,z-5)\) jest geometryczny, więc \[(y-1)^{2}=x(z-5).\qquad(3)\] Odejmujemy \((3)\) od \((1)\), korzystając z \(y^{2}=xz\): \[y^{2}-(y-1)^{2}=xz-x(z-5),\qquad 2y-1=5x,\qquad x=\frac{2y-1}{5}.\] Z \((2)\) wyznaczamy \(z=2y+4-x\) i podstawiamy do \((1)\): \[y^{2}=x(2y+4-x)=\frac{2y-1}{5}\cdot\frac{10y+20-(2y-1)}{5}=\frac{(2y-1)(8y+21)}{25}.\] Po uporządkowaniu \[25y^{2}=16y^{2}+34y-21,\qquad 9y^{2}-34y+21=0.\] Wyróżnik wynosi \(\Delta=1156-756=400\), \(\sqrt\Delta=20\), więc \[y=\frac{34-20}{18}=\frac79\qquad\text{albo}\qquad y=\frac{34+20}{18}=3.\] Dla \(y=3\): \(x=\frac{5}{5}=1\) oraz \(z=6+4-1=9\). Dla \(y=\frac79\): \(x=\frac{\frac{14}9-1}{5}=\frac19\) oraz \(z=\frac{14}9+4-\frac19=\frac{49}9\). Sprawdzenie: \((1,3,9)\) ma iloraz \(3\), \((1,3,5)\) jest arytmetyczny, a \((1,2,4)\) geometryczny. Analogicznie \(\left(\frac19,\frac79,\frac{49}9\right)\) ma iloraz \(7\), \(\left(\frac19,\frac79,\frac{13}9\right)\) jest arytmetyczny, a \(\left(\frac19,-\frac29,\frac49\right)\) geometryczny. **Odpowiedź.** \((x,y,z)=(1,3,9)\) albo \((x,y,z)=\left(\frac19,\frac79,\frac{49}9\right)\)

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi (z których jedną jest \(r\)), np. \((x+r)^{2}=x(x+2r+4)\) oraz \((x+r-1)^{2}=x(x+2r+4-5)\) (dla sposobu I) ALBO wyznaczenie \(x\) w zależności od \(r\), np. \(x=r^{2}-2r+1\) (dla sposobu I), ALBO zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi \(x\), \(y\), \(z\), np.: \(y^{2}=x\cdot z\) oraz \(y=\frac{x+z-4}{2}\) oraz \((y-1)^{2}=x\cdot(z-5)\) (dla sposobu II), ALBO zapisanie równania z dwiema niewiadomymi \(x\), \(y\) (lub \(y\), \(z\), lub \(z\), \(x\)), np. \(y^{2}=x(2y+4-x)\), \((y-1)^{2}=(2y-z+4)\cdot(z-5)\) (dla sposobu II), ALBO zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi (z których jedną jest \(q\)), np. \(xq=\frac{x+xq^{2}-4}{2}\) oraz \((xq-1)^{2}=x\cdot(xq^{2}-5)\) (dla sposobu III), ALBO wyznaczenie \(x\) w zależności od \(q\) (lub \(q\) w zależności od \(x\)), np. \(x=\frac{4}{(q-1)^{2}}\) (dla sposobu III). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np. \(r^{2}=4(r^{2}-2r+1)\) (dla sposobu I) ALBO zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi \(x\), \(y\) (lub \(y\), \(z\), lub \(z\), \(x\)), np.: \(y^{2}=x(2y+4-x)\) oraz \((y-1)^{2}=x(2y-x-1)\), \(y^{2}=(2y-z+4)z\) oraz \((y-1)^{2}=(2y-z+4)(z-5)\), \(\left(\frac{x+z-4}{2}\right)^{2}=xz\) oraz \(\left(\frac{x+z-4}{2}-1\right)^{2}=x(z-5)\) (dla sposobu II), ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\) (lub \(x\)), np. \(\frac{1}{2q-5}=\frac{4}{(q-1)^{2}}\) (dla sposobu III). **3 pkt** – obliczenie \(r\): \(r=2\) oraz \(r=\frac{2}{3}\) (dla sposobu I) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(x\) (lub \(y\), lub \(z\)), np.: \[\left(\frac{5x+1}{2}\right)^{2}=x\left[2\cdot\left(\frac{5x+1}{2}\right)+4-x\right],\] \[y^{2}=\left(2y-\frac{8y+21}{5}+4\right)\cdot\left(\frac{8y+21}{5}\right),\] \[\left(\frac{\frac{z-5}{4}+z-4}{2}\right)^{2}=\frac{z-5}{4}\cdot z\] (dla sposobu II), ALBO obliczenie \(q\) (lub \(x\)): \(q=3\) oraz \(q=7\) (lub: \(x=\frac{1}{9}\) oraz \(x=1\)) (dla sposobu III). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((x,y,z)=(1,3,9)\) oraz \((x,y,z)=\left(\frac{1}{9},\frac{7}{9},\frac{49}{9}\right)\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający przyjmuje, że \(y=\sqrt{x\cdot z}\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający otrzyma więcej niż dwa ciągi \((x,y,z)\), wśród których dwa są właściwe: \((x,y,z)=(1,3,9)\) oraz \((x,y,z)=\left(\frac{1}{9},\frac{7}{9},\frac{49}{9}\right)\), i nie odrzuci pozostałych ciągów, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający myli ciąg geometryczny z arytmetycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.5) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego; VI.6) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

\[(x,y,z)=(1,3,9)\quad\text{lub}\quad(x,y,z)=\left(\frac{1}{9},\frac{7}{9},\frac{49}{9}\right).\]

Warunki opisane w zadaniu dają układ \[y^{2}=xz,\qquad x+z-4=2y,\qquad (y-1)^{2}=x(z-5).\] Po odjęciu pierwszego i trzeciego równania otrzymujemy \(x=\frac{2y-1}{5}\). Podstawienie tego związku do pozostałych równań prowadzi do \(9y^{2}-34y+21=0\), czyli \(y=3\) albo \(y=\frac{7}{9}\). Odpowiadają im podane trójki.

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi (z których jedną jest \(r\)), np. \((x+r)^{2}=x(x+2r+4)\) oraz \((x+r-1)^{2}=x(x+2r+4-5)\) (dla sposobu I) ALBO wyznaczenie \(x\) w zależności od \(r\), np. \(x=r^{2}-2r+1\) (dla sposobu I), ALBO zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi \(x\), \(y\), \(z\), np.: \(y^{2}=x\cdot z\) oraz \(y=\frac{x+z-4}{2}\) oraz \((y-1)^{2}=x\cdot(z-5)\) (dla sposobu II), ALBO zapisanie równania z dwiema niewiadomymi \(x\), \(y\) (lub \(y\), \(z\), lub \(z\), \(x\)), np. \(y^{2}=x(2y+4-x)\), \((y-1)^{2}=(2y-z+4)\cdot(z-5)\) (dla sposobu II), ALBO zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi (z których jedną jest \(q\)), np. \(xq=\frac{x+xq^{2}-4}{2}\) oraz \((xq-1)^{2}=x\cdot(xq^{2}-5)\) (dla sposobu III), ALBO wyznaczenie \(x\) w zależności od \(q\) (lub \(q\) w zależności od \(x\)), np. \(x=\frac{4}{(q-1)^{2}}\) (dla sposobu III). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np. \(r^{2}=4(r^{2}-2r+1)\) (dla sposobu I) ALBO zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi \(x\), \(y\) (lub \(y\), \(z\), lub \(z\), \(x\)), np.: \(y^{2}=x(2y+4-x)\) oraz \((y-1)^{2}=x(2y-x-1)\), \(y^{2}=(2y-z+4)z\) oraz \((y-1)^{2}=(2y-z+4)(z-5)\), \(\left(\frac{x+z-4}{2}\right)^{2}=xz\) oraz \(\left(\frac{x+z-4}{2}-1\right)^{2}=x(z-5)\) (dla sposobu II), ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\) (lub \(x\)), np. \(\frac{1}{2q-5}=\frac{4}{(q-1)^{2}}\) (dla sposobu III). **3 pkt** – obliczenie \(r\): \(r=2\) oraz \(r=\frac{2}{3}\) (dla sposobu I) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(x\) (lub \(y\), lub \(z\)), np.: \[\left(\frac{5x+1}{2}\right)^{2}=x\left[2\cdot\left(\frac{5x+1}{2}\right)+4-x\right],\] \[y^{2}=\left(2y-\frac{8y+21}{5}+4\right)\cdot\left(\frac{8y+21}{5}\right),\] \[\left(\frac{\frac{z-5}{4}+z-4}{2}\right)^{2}=\frac{z-5}{4}\cdot z\] (dla sposobu II), ALBO obliczenie \(q\) (lub \(x\)): \(q=3\) oraz \(q=7\) (lub: \(x=\frac{1}{9}\) oraz \(x=1\)) (dla sposobu III). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((x,y,z)=(1,3,9)\) oraz \((x,y,z)=\left(\frac{1}{9},\frac{7}{9},\frac{49}{9}\right)\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający przyjmuje, że \(y=\sqrt{x\cdot z}\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający otrzyma więcej niż dwa ciągi \((x,y,z)\), wśród których dwa są właściwe: \((x,y,z)=(1,3,9)\) oraz \((x,y,z)=\left(\frac{1}{9},\frac{7}{9},\frac{49}{9}\right)\), i nie odrzuci pozostałych ciągów, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający myli ciąg geometryczny z arytmetycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz […] ciągu arytmetycznego; 5.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz […] ciągu geometrycznego.

C. \(32\)

W ciągu geometrycznym iloczyn wyrazów jednakowo oddalonych od wyrazu środkowego jest równy kwadratowi tego wyrazu: \(a_1a_5=a_2a_4=a_3^{2}\). Wynika to z zależności \(a_3=a_1q^{2}\) i \(a_5=a_1q^{4}\), bo \(a_1a_5=a_1^{2}q^{4}=\left(a_1q^{2}\right)^{2}\). Iloczyn wszystkich pięciu wyrazów jest zatem równy \[a_1a_2a_3a_4a_5=\left(a_1a_5\right)\cdot\left(a_2a_4\right)\cdot a_3=a_3^{2}\cdot a_3^{2}\cdot a_3=a_3^{5}.\] Wyraz środkowy jest równy \(2\), więc iloczyn wynosi \(2^{5}=32\). **Odpowiedź.** **C.** \(32\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** 5.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz […] ciągu geometrycznego.

\[a_2a_7=a_1^{2}q^{7}=a_3a_6=18.\] Zatem szukany iloczyn jest równy \(18\).

Rozwiązanie Iloczyn • jest równy \(18\). Wymaganie szczegółowe Zdający: VI.\(6\)) stosuje wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego. **Odpowiedź.** \[a_2a_7=a_1^{2}q^{7}=a_3a_6=18.\] Zatem szukany iloczyn jest równy \(18\).

Zadanie 17. (0—1) Wymaganie ogólne III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1 . Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. Zasady oceniania 1 pkt — poprawne uzupełnienie zdania. 0 pkt — brak spełnienia powyższego kryterium. Rozwiązanie Iloczyn • jest równy 18. Wymaganie szczegółowe Zdający: VI.6) stosuje wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego.

Zadanie 17. Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.

**A.** \(\frac15\)

Z zależności \(a_6=25a_8\) oraz \(a_8=a_6q^2\) otrzymujemy \(25q^2=1\), więc \(q=\pm\frac15\). Ciąg jest malejący, zatem \(q>0\). Ostatecznie \(q=\frac15\), czyli odpowiedź **A**.

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** VI.6) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.

**C.** Warunek geometryczności daje \(m^{2}=4(m-1)\), czyli \((m-2)^{2}=0\). Zatem \(m=2\).

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny dokładnie wtedy, gdy kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych. Dla ciągu \((4,m,m-1)\) daje to \[m^{2}=4(m-1),\qquad m^{2}-4m+4=0,\qquad (m-2)^{2}=0.\] Stąd \(m=2\). Sprawdzenie: ciąg \((4,2,1)\) ma iloraz \(q=\frac12\). **Odpowiedź.** **C.** \(m=2\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: III. Modelowanie matematyczne. Wymaganie szczegółowe: 5.4) Stosuje wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego.

**C.** Warunek geometryczności daje \(m^{2}=4(m-1)\), czyli \((m-2)^{2}=0\). Zatem \(m=2\).

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny dokładnie wtedy, gdy kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych. Dla ciągu \((4,m,m-1)\) daje to \[m^{2}=4(m-1),\qquad m^{2}-4m+4=0,\qquad (m-2)^{2}=0.\] Stąd \(m=2\). Sprawdzenie: ciąg \((4,2,1)\) ma iloraz \(q=\frac12\). **Odpowiedź.** **C.** \(m=2\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: VI.7) Wykorzystuje własności ciągów geometrycznych.

\[a_n=\frac{63}{5}\left(\frac25\right)^{n-1}.\]

Z zależności \(a_5=a_3q^{2}\) przekształcamy pierwszy warunek: \[\frac{a_5+a_3}{a_3}=\frac{a_3q^{2}+a_3}{a_3}=q^{2}+1=\frac{29}{25},\qquad q^{2}=\frac4{25}.\] Stąd \(q=\frac25\) albo \(q=-\frac25\). Ciąg ma być malejący, a przy ujemnym ilorazie kolejne wyrazy zmieniałyby znak, więc \(q=\frac25\). Wyrazy o numerach parzystych, czyli \(a_2,a_4,a_6,\ldots\), tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_2=a_1q\) i ilorazie \(q^{2}=\frac4{25}\). Ponieważ \(\left|q^{2}\right|=\frac4{25}<1\), ten szereg geometryczny jest zbieżny i dopiero teraz wolno zastosować wzór na jego sumę: \[\frac{a_1q}{1-q^{2}}=6.\] Podstawiamy \(q=\frac25\): \[\frac{\frac25a_1}{1-\frac4{25}}=\frac{\frac25a_1}{\frac{21}{25}}=\frac{10}{21}a_1=6,\qquad a_1=\frac{63}5.\] Wzór ogólny ma zatem postać \[a_n=a_1q^{n-1}=\frac{63}5\left(\frac25\right)^{n-1}.\] **Odpowiedź.** \(a_n=\frac{63}5\left(\frac25\right)^{n-1}\)

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik **3 pkt** – obliczenie ilorazu oraz zapisanie równania \(\frac{a_1q}{1-q^2}=6\) **2 pkt** – zapisanie dwóch równań pozwalających obliczyć \(q\) i \(a_1\) albo poprawne obliczenie \(q\) **1 pkt** – zapisanie równania \(q^2+1=\frac{29}{25}\) albo \(\frac{a_1q}{1-q^2}=6\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VI.2 R) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

\[m=\frac12.\]

Kolejnymi wyrazami ciągu są \[f(m)=\frac1m,\qquad f(1)=1,\qquad f(2)=\frac12.\] Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych, zatem \[1^2=\frac1m\cdot\frac12.\] Stąd \(2m=1\), więc \[m=\frac12.\]

**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(m=\frac12\) **1 pkt** – zapisanie wartości \(f(m)=\frac1m\), \(f(1)=1\), \(f(2)=\frac12\) oraz wykorzystanie definicji lub własności ciągu geometrycznego **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** V.2) Zdający oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym. VI.4) Sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny. VI.7) Wykorzystuje własności ciągów geometrycznych do rozwiązywania zadań.

**B.** Iloraz ciągu wynosi \(q=\frac{a_2}{a_1}=\frac13\), więc \(a_4=27\left(\frac13\right)^{3}=1\).

Iloraz ciągu geometrycznego obliczamy jako stosunek dwóch kolejnych wyrazów: \[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{9}{27}=\frac13.\] Ze wzoru \(a_n=a_1q^{n-1}\) otrzymujemy \[a_4=27\cdot\left(\frac13\right)^{3}=27\cdot\frac1{27}=1.\] **Odpowiedź.** **B.** \(a_4=1\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.6) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz […] ciągu geometrycznego.

**B.** Z zależności \(a_6=a_3q^3\) oraz \(a_3=-8a_6\) wynika \(1=-8q^3\), więc \(q^3=-\frac18\) i \(q=-\frac12\).

W ciągu geometrycznym \(a_6=a_3q^{3}\). Podstawiamy to do warunku \(a_3=-8a_6\): \[a_3=-8a_3q^{3}.\] Wszystkie wyrazy są różne od zera, więc dzielimy obie strony przez \(a_3\): \[1=-8q^{3},\qquad q^{3}=-\frac18,\qquad q=-\frac12.\] **Odpowiedź.** **B.** \(q=-\frac12\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.6) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz […] ciągu geometrycznego.

**B.** Z warunku arytmetyczności \(x=2-\sqrt5<0\). Z warunku geometryczności \(1^2=\sqrt5\,y\), więc \(y=\frac1{\sqrt5}>0\).

Ciąg \((\sqrt5,1,x)\) jest arytmetyczny, więc wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych: \[2\cdot1=\sqrt5+x,\qquad x=2-\sqrt5.\] Ponieważ \(\sqrt5>2\), mamy \(x<0\). Ciąg \((\sqrt5,1,y)\) jest geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów skrajnych: \[1^{2}=\sqrt5\cdot y,\qquad y=\frac1{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}5>0.\] **Odpowiedź.** **B.** \(x<0\) i \(y>0\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.7) Zdający wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań […].

**F, F.**

Początkowe wyrazy ciągu są równe \[a_1=7,\qquad a_2=3,\qquad a_3=7,\qquad a_4=3.\] Ciąg naprzemiennie przyjmuje wartości \(7\) i \(3\), więc nie jest malejący. Ilorazy kolejnych wyrazów wynoszą na przemian \(\frac37\) i \(\frac73\), nie są więc stałe. Ciąg nie jest geometryczny.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **FF** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.2) Zdający w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący. VI.3) Zdający sprawdza, czy dany ciąg jest geometryczny.

**C.** \(\frac4{81}\)

Iloraz ciągu geometrycznego jest równy \[q=\frac{a_3}{a_2}=\frac{\frac19}{\frac16}=\frac23.\] Od trzeciego do piątego wyrazu wykonujemy dwa kroki, więc \[a_5=a_3q^2=\frac19\left(\frac23\right)^2=\frac19\cdot\frac49=\frac4{81}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.6) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.

x=\(5\), y=\(20\), z=\(80\). Z własności ciągów wynika x+y+z=\(105\), \(y^{2}\)=xz oraz \(4\)(y−x)=z−y. Drugie rozwiązanie x=y=z=\(35\) odrzucamy, ponieważ ciąg ma być rosnący.

Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu arytmetycznego \((a_n)\). Liczby \(x\), \(y\), \(z\) są jego pierwszym, drugim i szóstym wyrazem, więc \[y=x+r,\qquad z=x+5r.\] Z warunku na sumę \[x+(x+r)+(x+5r)=105,\qquad 3x+6r=105,\qquad x+2r=35.\] Ciąg \((x,y,z)\) jest geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów skrajnych: \[(x+r)^{2}=x(x+5r),\qquad x^{2}+2xr+r^{2}=x^{2}+5xr,\qquad r^{2}-3xr=0,\qquad r(r-3x)=0.\] Gdyby \(r=0\), wszystkie trzy liczby byłyby równe \(35\), a ciąg geometryczny nie byłby rosnący. Zostaje \(r=3x\), a wtedy z równania \(x+2r=35\) \[x+6x=35,\qquad 7x=35,\qquad x=5,\qquad r=15.\] Stąd \(y=20\) oraz \(z=5+75=80\). Sprawdzenie: \(5+20+80=105\), a iloraz \(\frac{20}5=\frac{80}{20}=4>1\), więc ciąg jest rosnący. **Odpowiedź.** \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\)

**(dla sposobu I i II)** **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\). **3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np. \((35-r)^2=(35-2r)\cdot(35+3r)\) ALBO – poprawne wyznaczenie \(r\) w zależności od \(x\) z równania \((x+r)^2=x(x+5r)\): \(r=3x\). **2 pkt** – zapisanie \(x\), \(y\) oraz \(z\) w zależności od \(r\): \(x=35-2r\), \(y=35-r\), \(z=35+3r\) ALBO – zapisanie układu równań \(x+x+r+x+5r=105\) i \((x+r)^2=x(x+5r)\) lub \(x+x+r+x+5r=105\) i \(x+x\cdot\frac{x+5r}{x+r}+x\cdot\left(\frac{x+5r}{x+r}\right)^{2}=105\) **1 pkt** – zapisanie równania \(x+x+r+x+5r=105\) ALBO – zapisanie równania \((x+r)^2=x(x+5r)\), ALBO – zapisanie równania \(x+x\cdot\frac{x+5r}{x+r}+x\cdot\left(\frac{x+5r}{x+r}\right)^{2}=105\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Zasady oceniania (dla sposobu III)** **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\). **3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(y\), np. \(y^2=(2y-35)\cdot(140-3y)\). **2 pkt** – zapisanie \(x\) oraz \(z\) w zależności od \(y\): \(x=2y-35\), \(z=140-3y\). **1 pkt** – zapisanie równania \(4\cdot(y-x)=z-y\) lub \(y^2=xz\), lub \(5(y-x)=z-x\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Zasady oceniania (dla sposobu IV)** **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\). **3 pkt** – zapisanie równania \(x+x\cdot q+x\cdot q^2=105\) oraz obliczenie \(q\): \(q=4\) ALBO – zapisanie równania \(x+x\cdot q+x\cdot q^2=105\) oraz zapisanie, że ciąg \((x,y,z)\) jest rosnący, więc \(x\neq0\), oraz zapisanie równania \(q^2-5q+4=0\). **2 pkt** – zapisanie równania \(4\cdot(x\cdot q-x)=x\cdot q^2-x\cdot q\) oraz zapisanie, że ciąg \((x,y,z)\) jest rosnący, więc \(x\neq0\) i \(q\neq1\), oraz obliczenie \(q\): \(q=4\) ALBO – zapisanie równań \(4\cdot(x\cdot q-x)=x\cdot q^2-x\cdot q\) oraz \(x+x\cdot q+x\cdot q^2=105\). **1 pkt** – zapisanie równania \(4\cdot(x\cdot q-x)=x\cdot q^2-x\cdot q\) lub \(x+x\cdot q+x\cdot q^2=105\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający dzieli obie strony otrzymanego równania przez wyrażenie zawierające niewiadomą i nie umieszcza zapisu, że to wyrażenie jest różne od zera, oraz konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, np. \(\frac{a_1+a_1+5r}{2}\cdot6=105\), \(y-x=4\cdot(z-y)\) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za spełnienie kryterium z kategorii za 1 pkt oraz za obliczenie \(x\), \(y\) oraz \(z\)).

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.6) Zdający wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań […].

x=\(5\), y=\(20\), z=\(80\). Jeśli r jest różnicą ciągu arytmetycznego, to y=x+r, z=x+\(5r\). Warunki x+y+z=\(105\) i \(y^{2}\)=xz dają r=\(0\) lub r=\(15\); przypadek stały odpada, ponieważ ciąg geometryczny ma być rosnący.

Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu arytmetycznego \((a_n)\). Liczby \(x\), \(y\), \(z\) są jego pierwszym, drugim i szóstym wyrazem, więc \[y=x+r,\qquad z=x+5r.\] Z warunku na sumę \[x+(x+r)+(x+5r)=105,\qquad 3x+6r=105,\qquad x+2r=35.\] Ciąg \((x,y,z)\) jest geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów skrajnych: \[(x+r)^{2}=x(x+5r),\qquad x^{2}+2xr+r^{2}=x^{2}+5xr,\qquad r^{2}-3xr=0,\qquad r(r-3x)=0.\] Gdyby \(r=0\), wszystkie trzy liczby byłyby równe \(35\), a ciąg geometryczny nie byłby rosnący. Zostaje \(r=3x\), a wtedy z równania \(x+2r=35\) \[x+6x=35,\qquad 7x=35,\qquad x=5,\qquad r=15.\] Stąd \(y=20\) oraz \(z=5+75=80\). Sprawdzenie: \(5+20+80=105\), a iloraz \(\frac{20}5=\frac{80}{20}=4>1\), więc ciąg jest rosnący. **Odpowiedź.** \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\)

**Zasady oceniania (dla sposobu I i II)** **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\). **3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np. \((35-r)^{2}=(35-2r)\cdot(35+3r)\) ALBO – poprawne wyznaczenie \(r\) w zależności od \(x\) z równania \((x+r)^{2}=x(x+5r)\): \(r=3x\). **2 pkt** – zapisanie \(x\), \(y\) oraz \(z\) w zależności od \(r\): \(x=35-2r\), \(y=35-r\), \(z=35+3r\) ALBO – zapisanie układu równań \(x+x+r+x+5r=105\) i \((x+r)^{2}=x(x+5r)\) lub \(x+x+r+x+5r=105\) i \(x+x\cdot\frac{x+5r}{x+r}+x\cdot\left(\frac{x+5r}{x+r}\right)^{2}=105\) **1 pkt** – zapisanie równania \(x+x+r+x+5r=105\) ALBO – zapisanie równania \((x+r)^{2}=x(x+5r)\), ALBO – zapisanie równania \(x+x\cdot\frac{x+5r}{x+r}+x\cdot\left(\frac{x+5r}{x+r}\right)^{2}=105\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Zasady oceniania (dla sposobu III)** **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\). **3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(y\), np. \(y^{2}=(2y-35)\cdot(140-3y)\). **2 pkt** – zapisanie \(x\) oraz \(z\) w zależności od \(y\): \(x=2y-35\), \(z=140-3y\). **1 pkt** – zapisanie równania \(4\cdot(y-x)=z-y\) lub \(y^{2}=xz\), lub \(5(y-x)=z-x\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Zasady oceniania (dla sposobu IV)** **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\). **3 pkt** – zapisanie równania \(x+x\cdot q+x\cdot q^{2}=105\) oraz obliczenie \(q\): \(q=4\) ALBO – zapisanie równania \(x+x\cdot q+x\cdot q^{2}=105\) oraz zapisanie, że ciąg \((x,\,y,\,z)\) jest rosnący, więc \(x\ne 0\), oraz zapisanie równania \(q^{2}-5q+4=0\). **2 pkt** – zapisanie równania \(4\cdot(x\cdot q-x)=x\cdot q^{2}-x\cdot q\) oraz zapisanie, że ciąg \((x,\,y,\,z)\) jest rosnący, więc \(x\ne 0\) i \(q\ne 1\), oraz obliczenie \(q\): \(q=4\) ALBO – zapisanie równań \(4\cdot(x\cdot q-x)=x\cdot q^{2}-x\cdot q\) oraz \(x+x\cdot q+x\cdot q^{2}=105\). **1 pkt** – zapisanie równania \(4\cdot(x\cdot q-x)=x\cdot q^{2}-x\cdot q\) lub \(x+x\cdot q+x\cdot q^{2}=105\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający dzieli obie strony otrzymanego równania przez wyrażenie zawierające niewiadomą i nie umieszcza zapisu, że to wyrażenie jest różne od zera, oraz konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, np. \(\frac{a_{1}+a_{1}+5r}{2}\cdot 6=105\), \(y-x=4\cdot(z-y)\) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (za spełnienie kryterium z kategorii za 1 pkt oraz za obliczenie \(x\), \(y\) oraz \(z\)).

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3) Zdający stosuje wzór na \(n\)–ty wyraz […] ciągu arytmetycznego; 5.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)–ty wyraz […] ciągu geometrycznego.

B2. Ciąg jest malejący oraz \(m=2\).

**Krok \(1\).** Ciąg trzywyrazowy ma być geometryczny, a to znaczy, że iloraz każdego wyrazu przez poprzedni jest taki sam. Mamy podane dwa pierwsze wyrazy liczbowo, więc iloraz policzymy od razu, a z niego wyliczymy trzeci wyraz i porównamy go z \(2m-1\). **Krok \(2\).** Liczymy iloraz z dwóch pierwszych wyrazów: \[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{6}{12}=\frac12.\] **Krok \(3\).** Trzeci wyraz to drugi pomnożony przez iloraz: \[a_3=a_2\cdot q=6\cdot\frac12=3.\] **Krok \(4\).** Trzecim wyrazem jest \(2m-1\), więc \[2m-1=3,\qquad 2m=4,\qquad m=2.\] **Krok \(5\).** Wypisujemy gotowy ciąg: \((12,\;6,\;3)\). Każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, więc ciąg jest **malejący**. **Krok \(6\).** Kontrola warunkiem na ciąg geometryczny \(a_2^{\,2}=a_1\cdot a_3\): \[6^2=36,\qquad 12\cdot3=36.\] Zgadza się. **Uwaga.** O tym, że ciąg maleje, decyduje nie sam iloraz, lecz iloraz razem ze znakiem wyrazów: tutaj wyrazy są dodatnie, a \(q=\tfrac12\in(0,1)\), więc ciąg maleje. Gdyby iloraz był ujemny, ciąg byłby naprzemienny — ani rosnący, ani malejący. **Odpowiedź.** B2 — ciąg jest malejący oraz \(m=2\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.2) Zdający w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący; VI.6) Zdający wykorzystuje własności ciągów […] geometrycznych, do rozwiązywania zadań […].

**A.** \(3\).

**Krok \(1\).** Znamy dwa wyrazy ciągu geometrycznego, między którymi są trzy „przeskoki” (od \(a_2\) do \(a_5\)). W ciągu geometrycznym każdy przeskok o jedno miejsce w prawo to mnożenie przez iloraz \(q\), więc trzy przeskoki to mnożenie przez \(q^3\). **Krok \(2\).** Zapiszmy to jawnie: \[a_3=a_2q,\qquad a_4=a_2q^2,\qquad a_5=a_2q^3.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy dane \(a_2=2\) i \(a_5=54\): \[54=2q^3.\] **Krok \(4\).** Dzielimy obie strony przez \(2\): \[q^3=27.\] **Krok \(5\).** Szukamy liczby, której sześcian wynosi \(27\). Ponieważ \(3^3=27\) i pierwiastek stopnia nieparzystego jest wyznaczony jednoznacznie, mamy \[q=3.\] **Krok \(6\).** Sprawdzenie: przy \(a_2=2\) i \(q=3\) kolejne wyrazy to \(2,\;6,\;18,\;54\) — czwarty z nich, czyli \(a_5\), rzeczywiście wynosi \(54\). **Uwaga.** Nie wolno podzielić \(54:2=27\) i uznać, że to iloraz — liczba \(27\) jest równa \(q^3\), a nie \(q\). Właśnie na tej pomyłce opiera się dystraktor D. **Odpowiedź.** A: \(q=3\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.5) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz [...] ciągu geometrycznego.

**A.** \(3\)

**Krok \(1\).** W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez iloraz \(q\). Od \(a_2\) do \(a_5\) wykonujemy trzy takie mnożenia (\(a_2\to a_3\to a_4\to a_5\)), więc \[a_5=a_2\cdot q^{3}.\] Wykładnik to różnica numerów wyrazów: \(5-2=3\). **Krok \(2\).** Podstawiamy dane \(a_2=2\) oraz \(a_5=54\): \[54=2\cdot q^{3}.\] **Krok \(3\).** Dzielimy obie strony przez \(2\): \[q^{3}=27.\] **Krok \(4\).** Szukamy liczby, której sześcian wynosi \(27\). Ponieważ \(3^{3}=27\) i jest to jedyny pierwiastek rzeczywisty stopnia nieparzystego, mamy \[q=3.\] **Krok \(5\).** Sprawdzenie: \(a_3=2\cdot3=6\), \(a_4=6\cdot3=18\), \(a_5=18\cdot3=54\). Zgadza się z danymi. **Uwaga.** W ciągu geometrycznym wyrazy **mnożymy**, a nie dodajemy. Potraktowanie zadania jak ciągu arytmetycznego dałoby \(\frac{54-2}{3}=\frac{52}{3}\), czyli błędną odpowiedź C. Z kolei \(q^{3}\), a nie \(q^{2}\), bo między \(a_2\) i \(a_5\) są trzy kroki. **Odpowiedź.** A: \(3\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.

\(99{,}9\text{ mg}\)

Jedenasta dawka jest przyjmowana po \(40\) dniach od pierwszej. Tuż przed jej przyjęciem z kolejnych dziesięciu dawek pozostają masy \[100\left(\frac12\right)^{10},\ 100\left(\frac12\right)^9,\ldots,100\left(\frac12\right).\] Jest to suma dziesięciu wyrazów ciągu geometrycznego: \[M=100\sum_{j=1}^{10}\left(\frac12\right)^j=100\cdot\frac12\cdot\frac{1-(\frac12)^{10}}{1-\frac12}.\] Po uproszczeniu \[M=100\left(1-\left(\frac12\right)^{10}\right)=99{,}90234375\text{ mg}\approx99{,}9\text{ mg}.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(99{,}9\text{ mg}\) **2 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego i zapis \[100\cdot\frac12\cdot\frac{1-(\frac12)^{10}}{1-\frac12}.\] **1 pkt** – poprawne wyznaczenie mas pozostałych z poszczególnych dawek: \(100(\frac12)^{10},100(\frac12)^9,\ldots,100(\frac12)\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II i III wykorzystanie i tworzenie informacji oraz dobieranie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.5 stosowanie wzoru na wyraz ogólny i sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

\[a=1,\qquad b=3,\qquad c=9.\]

Z warunku \(c-b=6\) mamy \(c=b+6\). Ciąg \((2a,2b,c+1)=(2a,2b,b+7)\) jest arytmetyczny, więc \[2b=\frac{2a+b+7}{2}.\] Stąd \[4b=2a+b+7,\qquad b=\frac23a+\frac73.\] Zatem \[c=b+6=\frac23a+\frac{25}{3}.\] Ponieważ \((a,b,c)\) jest ciągiem geometrycznym, \[b^2=ac.\] Po podstawieniu: \[\left(\frac23a+\frac73\right)^2=a\left(\frac23a+\frac{25}{3}\right),\] \[2a^2+47a-49=0.\] Otrzymujemy \[a=-\frac{49}{2}\quad\text{lub}\quad a=1.\] Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc odrzucamy pierwsze rozwiązanie. Dla \(a=1\): \[b=3,\qquad c=9.\] Istotnie, \((1,3,9)\) jest geometryczny, a \((2,6,10)\) arytmetyczny.

**5 pkt** – obliczenie \(a=1\), \(b=3\), \(c=9\) **4 pkt** – rozwiązanie otrzymanego równania z jedną niewiadomą i uzyskanie obu kandydatów **3 pkt** – zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do rozwiązania **2 pkt** – poprawne wykorzystanie obu własności ciągów i zapisanie układu warunków albo przedstawienie wyrazów jednego z ciągów za pomocą jednej niewiadomej **1 pkt** – zapisanie zależności arytmetycznej \(2b=\frac{2a+c+1}{2}\) albo geometrycznej \(b^2=ac\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Nieodrzucenie ujemnego rozwiązania ogranicza ocenę do \(4\) punktów

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.6) Zdający wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

**C.** ciągiem geometrycznym o ilorazie \(2\)

Dla każdego \(n\geq1\): \[\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{-2^{n+1}}{-2^n}=2.\] Iloraz kolejnych wyrazów jest stały i równy \(2\), więc ciąg jest geometryczny o ilorazie \(2\).

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Element podstawy programowej:** ciągi; zdający rozpoznaje ciąg geometryczny i wyznacza jego iloraz.

A. \(11\),\(25\)

Iloraz ciągu jest równy \[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{-7{,}5}{3{,}75}=-2,\] więc \(a_3=a_2q=-7{,}5\cdot(-2)=15\). Suma trzech początkowych wyrazów wynosi \[S_3=3{,}75-7{,}5+15=11{,}25.\] **Odpowiedź.** **A.** \(11{,}25\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.5) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

\[q=\frac{m(4{,}5)}{m(2{,}5)}=(0{,}6)^{0{,}25\cdot4{,}5-0{,}25\cdot2{,}5}=(0{,}6)^{0{,}5}=\sqrt{\frac35}.\]

Iloraz ciągu geometrycznego to stosunek dwóch kolejnych jego wyrazów. Korzystamy z własności potęg o tej samej podstawie: \[q=\frac{m(4{,}5)}{m(2{,}5)}=\frac{m_0\cdot(0{,}6)^{0{,}25\cdot4{,}5}}{m_0\cdot(0{,}6)^{0{,}25\cdot2{,}5}}=(0{,}6)^{0{,}25\cdot(4{,}5-2{,}5)}=(0{,}6)^{0{,}5}.\] Zatem \[q=\sqrt{0{,}6}=\sqrt{\frac35}=\frac{\sqrt{15}}5.\] **Odpowiedź.** \(q=\sqrt{\frac35}\)

1 pkt: poprawna metoda i q=(0,6)⁰·⁵=√(3/5).

Zadanie 15.2. (0–1) Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.

**P, F**

Pierwszy wyraz jest równy pierwszej sumie: \[a_1=S_1=4(2^1-1)=4.\] Pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe. Dalej \[S_2=4(2^2-1)=12,\] ale drugi wyraz ciągu to \[a_2=S_2-S_1=12-4=8,\] a nie \(12\). Drugie stwierdzenie jest fałszywe.

**1 pkt** – odpowiedzi **P, F** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; dobieranie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.1 i VI.5 obliczanie wyrazów ciągu oraz stosowanie wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

**A.** \(a=-1\)

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego kwadrat wyrazu środkowego jest iloczynem wyrazów skrajnych: \[12^2=(1-2a)\cdot48.\] Stąd \[144=48(1-2a),\qquad3=1-2a,\qquad a=-1.\]

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; dobieranie i tworzenie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.6 wykorzystywanie własności ciągów geometrycznych.

\[m=\frac12.\]

Mamy \[f(m)=\frac1m,\qquad f(1)=1,\qquad f(2)=\frac12.\] Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego kwadrat wyrazu środkowego jest iloczynem sąsiednich, więc \[1^2=\frac1m\cdot\frac12.\] Stąd \(2m=1\), czyli \(m=\frac12\).

**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(m=\frac12\) **1 pkt** – zapisanie wartości \(f(m)=\frac1m\), \(f(1)=1\), \(f(2)=\frac12\) i wykorzystanie własności ciągu geometrycznego **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 operowanie obiektami matematycznymi. **Wymagania szczegółowe:** V.2, VI.4 i VI.7 obliczanie wartości funkcji oraz wykorzystywanie własności ciągu geometrycznego.

**C.** \(a=4\)

Iloraz dwóch pierwszych wyrazów wynosi \(q=\frac9{27}=\frac13\). Trzeci wyraz powinien więc być równy \[9\cdot\frac13=3.\] Zatem \(a-1=3\), skąd \(a=4\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; dobieranie i tworzenie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.6 zdający wykorzystuje własności ciągów, w tym ciągów geometrycznych, do rozwiązywania zadań.

A. −\(\frac{5}{4}\)

Iloraz ciągu wyznaczamy z dwóch pierwszych wyrazów: \[q=\frac{1}{-2}=-\frac12.\] Kolejne wyrazy to \(x=1\cdot\left(-\frac12\right)=-\frac12\) oraz \(y=-\frac12\cdot\left(-\frac12\right)=\frac14\). Suma wszystkich czterech wyrazów jest równa \[-2+1-\frac12+\frac14=-\frac54.\] **Odpowiedź.** **A.** \(-\frac54\)

Zadanie 16. Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

**F, P**

Korzystamy ze wzoru \(a_n=a_1q^{n-1}\). Dla \(n=2023\) wykładnik \(2022\) jest parzysty, więc \[a_{2023}=128\left(-\frac12\right)^{2022}>0.\] Pierwsze stwierdzenie jest fałszywe. Dalej \[a_2=128\cdot\left(-\frac12\right)=-64,\qquad a_3=(-64)\cdot\left(-\frac12\right)=32,\] więc \(a_3-a_2=32-(-64)=96\). Drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

**1 pkt** – odpowiedzi **F, P** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** ciągi - wzór ogólny ciągu geometrycznego i obliczanie jego wyrazów.

\[x=1.\]

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego kwadrat wyrazu środkowego jest iloczynem wyrazów skrajnych: \[(3x+2)^2=x(9x+16).\] Po rozwinięciu stron otrzymujemy \[9x^2+12x+4=9x^2+16x,\] \[4x=4,\qquad x=1.\] Dla \(x=1\) otrzymujemy ciąg \((1,5,25)\), który jest geometryczny.

**2 pkt** – zapisanie warunku ciągu geometrycznego i obliczenie wszystkich wartości: \(x=1\) **1 pkt** – zapisanie równania \((3x+2)^2=x(9x+16)\) albo równoważnego układu z ilorazem \(q\) **0 pkt** – podanie jedynie wyniku \(x=1\) bez metody

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.7 rozwiązywanie prostych równań wymiernych prowadzących do równań liniowych lub kwadratowych.

**A i E.** \[a_n=-5\cdot(-3)^{n-1}=5\cdot\frac{(-3)^n}{3}.\]

Iloraz ciągu jest równy \[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{15}{-5}=-3.\] Stąd wzór ogólny ma postać \[a_n=a_1q^{n-1}=-5\cdot(-3)^{n-1},\] czyli odpowiedź A. Ponieważ \[-5\cdot(-3)^{n-1}=\frac{-5}{-3}(-3)^n=5\cdot\frac{(-3)^n}{3},\] poprawna jest także odpowiedź E.

**2 pkt** – wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi: A i E **1 pkt** – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest poprawna: A albo E **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VI.5 stosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.

A. \(\frac{2}{3}\)

Korzystamy z zależności \(a_5=a_3q^{2}\) i podstawiamy ją do warunku \(9a_5=4a_3\): \[9a_3q^{2}=4a_3.\] Wyrazy ciągu są dodatnie, więc \(a_3\ne0\) i po podzieleniu przez \(a_3\) otrzymujemy \[q^{2}=\frac49,\qquad q=\frac23\ \text{lub}\ q=-\frac23.\] Gdyby \(q=-\frac23\), kolejne wyrazy zmieniałyby znak, a mają być dodatnie. Zostaje \(q=\frac23\). **Odpowiedź.** **A.** \(q=\frac23\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2022** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz […] ciągu geometrycznego.

**D.** \(31\)

Mamy \(a_2=a_1q=2\) oraz \(q=2\), więc \(a_1=1\). Pięć pierwszych wyrazów to \(1,2,4,8,16\), a ich suma wynosi \(31\).

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** V.3 stosowanie wzoru ogólnego i wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

**P, F.**

Iloraz kolejnych wyrazów jest stały: \[\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{7^{n+1}}{21}\cdot\frac{21}{7^n}=7,\] więc ciąg jest geometryczny. Trzy początkowe wyrazy wynoszą \[a_1=\frac13,\qquad a_2=\frac73,\qquad a_3=\frac{49}{3}.\] Ich suma jest równa \[S_3=\frac{1+7+49}{3}=\frac{57}{3}=19,\] a nie \(20\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: P, F **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** VI.3 i VI.5 sprawdzanie, czy ciąg jest geometryczny, oraz stosowanie wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

**B.** \(a_1=q\)

Dla ciągu geometrycznego \[a_2=a_1q,\qquad a_3=a_1q^2.\] Warunek \(a_3=a_1a_2\) daje \[a_1q^2=a_1^2q.\] Ciąg jest dodatni i rosnący, więc \(a_1>0\) oraz \(q>1\). Możemy podzielić przez \(a_1q\), otrzymując \(a_1=q\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** posługiwanie się wzorem ogólnym ciągu geometrycznego i jego ilorazem.

**D.** \(x=\frac53\)

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego kwadrat wyrazu środkowego jest iloczynem wyrazów skrajnych: \[(3x)^2=15\cdot\frac53=25.\] Ponieważ wszystkie wyrazy są dodatnie, \(3x=5\), a więc \[x=\frac53.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.4 stosowanie własności i wzoru na wyraz ciągu geometrycznego.

**C.** \(y=4\)

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi \(y^2=xz\). Z warunku o iloczynie: \[xyz=y(xz)=y\cdot y^2=y^3=64.\] Stąd \(y=4\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.4 stosowanie własności wyrazów ciągu geometrycznego.

C. x=\(6\)

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi \(x^{2}=2\cdot18=36\), skąd \(x=6\) albo \(x=-6\). Dla \(x=-6\) ciąg \((2,-6,18)\) ma iloraz \(-3\) i nie jest rosnący, bo drugi wyraz jest mniejszy od pierwszego. Dla \(x=6\) ciąg \((2,6,18)\) ma iloraz \(3\) i jest rosnący. **Odpowiedź.** **C.** \(x=6\)

Zadanie 15. Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

\[x=0,\qquad q=-2.\]

Obliczamy wskazane wyrazy ciągu: \[a_4=\frac{5-3\cdot4}{7}=-1,\qquad a_{11}=\frac{5-3\cdot11}{7}=-4.\] Liczby \(-1\), \(x^2+2\), \(-4\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, więc kwadrat wyrazu środkowego jest iloczynem wyrazów skrajnych: \[(x^2+2)^2=(-1)\cdot(-4)=4.\] Ponieważ \(x^2+2\geq2\), otrzymujemy \[x^2+2=2,\qquad x=0.\] Trójka ma więc postać \((-1,2,-4)\), a jej iloraz wynosi \[q=\frac2{-1}=-2.\]

**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i otrzymanie \(x=0\) oraz \(q=-2\) **4 pkt** – rozwiązanie równania \((x^2+2)^2=4\) i otrzymanie \(x=0\) albo poprawne rozpatrzenie możliwych ilorazów z odrzuceniem \(q=2\) **3 pkt** – zapisanie równania \((x^2+2)^2=(-1)(-4)\) albo równania \((-1)q^2=-4\) **2 pkt** – obliczenie \(a_4=-1\) oraz \(a_{11}=-4\) **1 pkt** – obliczenie jednego z wyrazów \(a_4\), \(a_{11}\) albo zapisanie własności \((x^2+2)^2=a_4a_{11}\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 5.1 i 5.4 wyznaczanie wyrazów ciągu danego wzorem oraz stosowanie własności ciągu geometrycznego i jego ilorazu.

\(a_{1}\)=\(3\). Jeśli q jest ilorazem ciągu geometrycznego, warunki ciągu arytmetycznego prowadzą do \(2\)\(q^{2}\)−\(3q\)+\(1=0\). Wartość q=\(1\) odpada, bo ciąg arytmetyczny ma być rosnący, więc q=\(\frac{1}{2}\); z \(a_{1}\)(\(1\)+q+\(q^{2}\))=\(\frac{21}{4}\) otrzymujemy \(a_{1}\)=\(3\).

Oznaczmy iloraz ciągu geometrycznego przez \(q\); wtedy \(a_2=a_1q\) oraz \(a_3=a_1q^{2}\). Liczby \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) są odpowiednio czwartym, drugim i pierwszym wyrazem ciągu arytmetycznego o różnicy \(R\). Wynika stąd, że \(a_2-a_3=R\) oraz \(a_1-a_2=2R\), czyli \[a_1-a_2=2(a_2-a_3).\] Po podstawieniu i podzieleniu przez \(a_1\ne0\) \[1-q=2\left(q-q^{2}\right),\qquad 2q^{2}-3q+1=0,\qquad (2q-1)(q-1)=0.\] Dla \(q=1\) wszystkie wyrazy byłyby równe, więc \(R=0\) i ciąg arytmetyczny nie byłby rosnący. Zostaje \(q=\frac12\). Z warunku na sumę trzech wyrazów \[a_1\left(1+q+q^{2}\right)=\frac{21}4,\qquad a_1\cdot\frac74=\frac{21}4,\qquad a_1=3.\] Sprawdzenie: ciąg geometryczny to \(\left(3,\tfrac32,\tfrac34\right)\), a ciąg arytmetyczny ma wyrazy \(b_1=\tfrac34\), \(b_2=\tfrac32\), \(b_4=3\), czyli \(R=\tfrac34>0\) — jest rosnący. **Odpowiedź.** \(a_1=3\)

**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: zdający wykorzysta wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego lub własność ciągu geometrycznego i zapisze np. \(a_2=a_1q\) i \(a_3=a_1q^{2}\), lub \(a_1+a_1q+a_1q^{2}=\frac{21}{4}\), lub \(a_2^{2}=a_1\cdot a_3\); albo wykorzysta wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego lub własność ciągu arytmetycznego i zapisze np. […]; i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający zapisze układ równań, z którego można otrzymać równanie z jedną niewiadomą, np. \(a_1+a_1q+a_1q^{2}=\frac{21}{4}\) i \(a_1=a_1q^{2}+3\left(a_1q-a_1q^{2}\right)\), albo zapisze równanie pozwalające wyznaczyć związek między \(a_3\) i \(r\), np. \(\left(a_3+r\right)^{2}=\left(a_3+3r\right)\cdot a_3\); i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np. \(2q^{2}-3q+1=0\), albo zapisze \(r=a_3\); i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **4 pkt** – rozwiązanie prawie pełne: zdający rozwiąże równanie z jedną niewiadomą, np. \(2q^{2}-3q+1=0\): \(q=1\) lub \(q=\frac{1}{2}\), albo obliczy trzeci wyraz ciągu geometrycznego \(\left(a_n\right)\): \(a_3=\frac{3}{4}\); i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **5 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający obliczy pierwszy wyraz ciągu geometrycznego \(a_1=3\).

Zadanie 10. (0–5) Wymagania ogólne Wymagania szczegółowe V. Rozumowanie i argumentacja. 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3). Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (5.4).

\[q=3.\]

Dla ciągu geometrycznego \[a_2=a_1q,\qquad a_3=a_1q^2.\] Podstawiamy te zależności do warunku zadania: \[6a_1-5a_1q+a_1q^2=0,\]\[a_1(q^2-5q+6)=0.\] Ciąg jest dodatni, więc \(a_1>0\). Możemy zatem podzielić przez \(a_1\): \[q^2-5q+6=0,\qquad (q-2)(q-3)=0.\] Stąd \(q=2\) lub \(q=3\). Ponieważ \[2\notin(2\sqrt2,3\sqrt2),\qquad 3\in(2\sqrt2,3\sqrt2),\] warunki zadania spełnia tylko \(q=3\).

**4 pkt** – wyznaczenie ilorazu \(q=3\) z uwzględnieniem podanego przedziału **3 pkt** – rozwiązanie równania \(q^2-5q+6=0\) i otrzymanie \(q=2\) lub \(q=3\) **2 pkt** – zapisanie warunku w postaci \(a_1(q^2-5q+6)=0\) **1 pkt** – zapisanie \(a_2=a_1q\) oraz \(a_3=a_1q^2\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 5.4 stosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.

**B.** \(a_7<0\)

**Krok \(1\).** Dane są dwa wyrazy ciągu geometrycznego, a pytania dotyczą wyrazów dalszych. Kluczem w każdym takim zadaniu jest najpierw wyznaczyć iloraz \(q\), bo dopiero znając go, możemy przechodzić od wyrazu do wyrazu. **Krok \(2\).** Od wyrazu \(a_2\) do wyrazu \(a_5\) mnożymy przez \(q\) trzy razy (przejścia \(2\to3\), \(3\to4\), \(4\to5\)), zatem \[a_5=a_2\cdot q^3.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy dane: \[-48=6q^3,\qquad q^3=-8,\qquad q=-2.\] Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby ujemnej jest jeden i jest ujemny, więc innej możliwości nie ma. **Krok \(4\).** Liczymy kolejne wyrazy, mnożąc za każdym razem przez \(q=-2\): \[a_6=a_5\cdot q=-48\cdot(-2)=96,\] \[a_7=a_6\cdot q=96\cdot(-2)=-192,\] \[a_8=a_7\cdot q=-192\cdot(-2)=384.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy odpowiedzi. \(a_7=-192\lt0\), więc **B** jest prawdziwa, a **A** fałszywa. **Krok \(6\).** Odpowiedź **C** mówi \(a_7\gt a_6\), czyli \(-192\gt96\) — fałsz. Odpowiedź **D** mówi \(a_7\gt a_8\), czyli \(-192\gt384\) — też fałsz. **Uwaga.** Ujemny iloraz sprawia, że wyrazy ciągu na przemian zmieniają znak: wyrazy o numerach parzystych są tu dodatnie, o nieparzystych (od \(a_3\) w górę) ujemne. Taki ciąg nie jest ani rosnący, ani malejący. **Odpowiedź.** B: \(a_7\lt0\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.4 stosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.

x=\(1\) lub x=−\(\frac{6}{5}\)

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny dokładnie wtedy, gdy kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych: \[(4x+2)^{2}=(x+2)(x+11).\] Po rozwinięciu obu stron \[16x^{2}+16x+4=x^{2}+13x+22,\qquad 15x^{2}+3x-18=0,\qquad 5x^{2}+x-6=0.\] Wyróżnik jest równy \(\Delta=1+120=121\), \(\sqrt\Delta=11\), więc \[x=\frac{-1-11}{10}=-\frac65\qquad\text{lub}\qquad x=\frac{-1+11}{10}=1.\] Sprawdzamy, czy żaden wyraz nie jest zerem: dla \(x=1\) ciąg to \((3,6,12)\), a dla \(x=-\frac65\) ciąg to \(\left(\frac45,-\frac{14}5,\frac{49}5\right)\). Oba są poprawnymi ciągami geometrycznymi. **Odpowiedź.** \(x=1\) lub \(x=-\frac65\)

1 pkt: równanie (4x+2)²=(x+2)(x+11). 2 pkt: x=1 lub x=−6/5.

Zadanie 27. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

A

Warunek \(a_{n+3}=-2\cdot3^{n+1}\) wiąże numer wyrazu z wykładnikiem. Aby otrzymać \(a_5\), przyjmujemy \(n+3=5\), czyli \(n=2\). Wtedy \[a_5=-2\cdot3^{2+1}=-2\cdot27=-54.\] **Odpowiedź.** **A.** \(a_5=-54\)

Zadanie 10. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

q=\(5\), \(a_{5}\)=\(1250\)

Suma jednego początkowego wyrazu to po prostu pierwszy wyraz, więc \(a_1=S_1=2\). Z równości \(S_2=a_1+a_2\) otrzymujemy \[a_2=S_2-S_1=12-2=10,\] a stąd iloraz \[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{10}{2}=5.\] Ze wzoru \(a_n=a_1q^{n-1}\) obliczamy \[a_5=2\cdot5^{4}=2\cdot625=1250.\] **Odpowiedź.** \(q=5\), \(a_5=1250\)

1 pkt: q=5. 2 pkt: q=5 i a₅=1250.

Zadanie 30. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

A. \(\frac{1}{3}\)

W ciągu geometrycznym \(\frac{a_5}{a_3}=q^{2}\), więc \[q^{2}=\frac19,\qquad q=\frac13\ \text{lub}\ q=-\frac13.\] Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, a przy ujemnym ilorazie kolejne wyrazy zmieniałyby znak. Zatem \(q=\frac13\). **Odpowiedź.** **A.** \(q=\frac13\)

Zadanie 12. (0−1) Wersja Wersja 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz III. Modelowanie I II i na sumę n początkowych wyrazów ciągu matematyczne. geometrycznego (5.4). A C

Iloraz ciągu geometrycznego jest równy \[q=\frac13.\]

Ponieważ \((a,b,c)\) jest ciągiem arytmetycznym, mamy \(c=2b-a\). Dla ciągu geometrycznego \[q=\frac{\frac2{3b}}{\frac1a}=\frac{2a}{3b},\] więc \(a=\frac32bq\). Z drugiej i trzeciej liczby tego ciągu otrzymujemy także \[q=\frac{\frac1{2a+2b+c}}{\frac2{3b}}=\frac{3b}{2(2a+2b+c)}.\] Po podstawieniu \(c=2b-a\) mianownik ma postać \(2a+2b+c=a+4b\), zatem \[q=\frac{3b}{2(a+4b)}=\frac3{3q+8}.\] Stąd \[3q^2+8q-3=0,\qquad q\in\left\{\frac13,-3\right\}.\] Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc \(q>0\). Ostatecznie \(q=\frac13\).

**6 pkt** – obliczenie \(q=\frac13\) z odrzuceniem ujemnego pierwiastka **5 pkt** – rozwiązanie równania \(3q^2+8q-3=0\) bez pełnego uzasadnienia wyboru dodatniego pierwiastka **4 pkt** – doprowadzenie do równania \(3q^2+8q-3=0\) **2: 3 pkt** – poprawne zapisanie zależności wynikających z arytmetyczności i geometryczności oraz częściowe ich połączenie **1 pkt** – zapisanie jednej poprawnej zależności, np. \(c=2b-a\) albo \(q=\frac{2a}{3b}\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 5.3 stosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz i sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego oraz własności ciągu arytmetycznego. 5.4 stosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz i sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego oraz własności ciągu geometrycznego.

A

Z zależności \(a_5=a_2q^{3}\) otrzymujemy \[q^{3}=\frac{a_5}{a_2}=\frac{48}{162}=\frac{8}{27},\] a stąd \(q=\sqrt[3]{\frac8{27}}=\frac23\). Wartość ta jest dodatnia, więc wszystkie wyrazy ciągu pozostają dodatnie, zgodnie z treścią. **Odpowiedź.** **A.** \(q=\frac23\)

Zadanie 12. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

\[aq=3.\]

Największym wyrazem rosnącego ciągu jest \(aq^2\). Po jego zmniejszeniu o \(4\) ciąg \(a,aq,aq^2-4\) ma być arytmetyczny, więc \[2aq=a+aq^2-4.\] Po uporządkowaniu \[a(q-1)^2=4.\] Liczby \(a\) i \(q\) są nieparzystymi liczbami całkowitymi, a ciąg jest rosnący. Stąd jedyną dopuszczalną możliwością jest \[a=1,\qquad (q-1)^2=4,\qquad q=3.\] Wartość \(q=-1\) nie daje ciągu rosnącego. Zatem \[aq=1\cdot3=3.\]

**4 pkt** – obliczenie drugiego wyrazu ciągu: \(aq=3\) **3 pkt** – wykorzystanie rozkładu liczby \(4\) na czynniki i wyznaczenie co najmniej jednej z liczb \(a\) lub \(q\) **2 pkt** – otrzymanie równania \(a(q-1)^2=4\) **1 pkt** – zapisanie warunku ciągu arytmetycznego, np. \(2aq=a+aq^2-4\) **0 pkt** – brak istotnego postępu

Klucz CKE nie zawiera przy tym zadaniu osobnej tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** ciągi - własności ciągu geometrycznego i arytmetycznego oraz całkowite, nieparzyste wartości parametrów.

B

W ciągu geometrycznym \(a_3=a_2q\). Warunek \(3a_2=2a_3\) przyjmuje więc postać \[3a_2=2a_2q.\] Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc \(a_2\neq0\) i można podzielić obie strony przez \(2a_2\): \[q=\tfrac32.\] **Odpowiedź.** B

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Zadanie 13. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Trygonometria.

**B.** \(a_n=\frac{2^n}{\sqrt2}\)

Iloraz ciągu wynosi \(q=2\), więc \[a_n=a_1q^{n-1}=\sqrt2\cdot2^{n-1}=\frac{2^n}{\sqrt2}.\]

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **5.4:** zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.

\(n=15\). Z równań \(a_3+a_6=-84\) oraz \(a_4+a_7=168\) po podzieleniu stronami otrzymujemy \(q=-2\), a następnie \(a_1=3\). Ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego \[S_n=\frac{3\left(1-(-2)^{n}\right)}{1-(-2)}=1-(-2)^{n}=32769,\] skąd \((-2)^{n}=-32768=(-2)^{15}\), czyli \(n=15\).

**Krok \(1\).** Mamy ciąg geometryczny i dwa równania, w których wyrazy drugiego równania mają wskaźniki o \(1\) większe niż w pierwszym. To podpowiada sztuczkę: w ciągu geometrycznym przejście do następnego wyrazu to mnożenie przez iloraz \(q\), więc drugie równanie jest pierwszym pomnożonym przez \(q\). Stąd od razu wyliczymy \(q\). **Krok \(2\).** Zapisujemy wyrazy przez \(a_1\) i \(q\): \[a_3=a_1q^2,\quad a_6=a_1q^5,\quad a_4=a_1q^3,\quad a_7=a_1q^6.\] Widać, że \(a_4=q\cdot a_3\) oraz \(a_7=q\cdot a_6\), zatem \[a_4+a_7=q\left(a_3+a_6\right).\] **Krok \(3\).** Podstawiamy dane: \[168=q\cdot(-84)\ \Longrightarrow\ q=-2.\] **Krok \(4\).** Wracamy do pierwszego równania: \[a_1q^2\left(1+q^3\right)=-84.\] Dla \(q=-2\) mamy \(q^2=4\) i \(q^3=-8\), więc \[a_1\cdot4\cdot(1-8)=-28a_1=-84\ \Longrightarrow\ a_1=3.\] **Krok \(5\).** Wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (dla \(q\neq1\)): \[S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}=3\cdot\frac{1-(-2)^n}{1-(-2)}=3\cdot\frac{1-(-2)^n}{3}=1-(-2)^n.\] **Krok \(6\).** Rozwiązujemy równanie \(S_n=32769\): \[1-(-2)^n=32769\ \Longrightarrow\ (-2)^n=-32768.\] **Krok \(7\).** Wynik jest ujemny, więc \(n\) musi być nieparzyste, a co do wartości bezwzględnej \(2^n=32768\). Ponieważ \(2^{10}=1024\), \(2^{15}=32768\), otrzymujemy \[(-2)^{15}=-32768,\qquad n=15.\] **Krok \(8\).** Sprawdzenie: \(S_{15}=1-(-2)^{15}=1+32768=32769\). Zgadza się. **Uwaga.** Kluczowe jest pilnowanie znaku: iloraz jest ujemny, więc potęgi \((-2)^n\) na przemian zmieniają znak. Gdyby prawa strona równania z kroku \(6\) była dodatnia, \(n\) musiałoby być parzyste. **Odpowiedź.** \(n=15\) (przy \(a_1=3\) i \(q=-2\)).

**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi […] albo układ równań z niewiadomymi \(q\), \(a_3\), \(a_6\) […], i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą \(q\) i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności: zdający rozwiąże układ równań: \(q=-2\). **4 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający wyznaczy szukaną liczbę \(n\): \(n=15\).

III. Modelowanie matematyczne. 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (5.4).

B

Ciąg \((x,\,x+4,\,16)\) jest geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych: \[(x+4)^{2}=16x.\] Stąd \[x^{2}+8x+16=16x,\qquad x^{2}-8x+16=0,\qquad (x-4)^{2}=0,\] czyli \(x=4\). Dla tej wartości ciąg ma postać \((4,8,16)\) i jego iloraz jest równy \(2\). **Odpowiedź.** B

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Zadanie 14. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Trygonometria.

**B.** \(x=1\)

Dla ciągu geometrycznego zachodzi \((2x^2)^2=x\cdot4x^3\), co dla \(x\neq0\) jest tożsamością, oraz \((4x^3)^2=(2x^2)\cdot8\). Drugi warunek daje \(16x^6=16x^2\), czyli przy nieujemnych wyrazach \(x=1\). Wartość \(x=0\) nie tworzy z ostatnim wyrazem \(8\) ciągu geometrycznego.

**1 pkt** – odpowiedź B **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** ciąg geometryczny - własność trzech kolejnych wyrazów.

A. a = \(\frac{5}{2}\)

Iloraz ciągu wyznaczamy z dwóch pierwszych wyrazów: \[q=\frac{6}{24}=\frac14.\] Trzeci wyraz jest równy \(a-1=6\cdot\frac14=\frac32\), skąd \[a=\frac32+1=\frac52.\] **Odpowiedź.** **A.** \(a=\frac52\)

Zadanie 13. (0−1) Wersja Wersja 5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz III. Modelowanie I II i na sumę n początkowych wyrazów ciągu matematyczne. geometrycznego (5.4). A B

\[(a,b,c)=(5,9,13)\quad\text{lub}\quad(a,b,c)=\left(\frac{31}{2},9,\frac52\right).\]

Niech \(r\) oznacza różnicę ciągu arytmetycznego. Wtedy \(a=b-r\), \(c=b+r\), a z \(a+b+c=27\) wynika \(b=9\). Warunek geometryczności ciągu \((a-2,b,2c+1)\) daje \[81=(7-r)(2r+19).\] Stąd \(r=4\) lub \(r=-\frac{13}{2}\). Otrzymujemy odpowiednio \((a,b,c)=(5,9,13)\) oraz \((a,b,c)=(\frac{31}{2},9,\frac52)\).

**6 pkt** – podanie obu zestawów **5 pkt** – poprawne wyznaczenie jednego zestawu **4 pkt** – poprawne rozwiązanie otrzymanego równania kwadratowego **3 pkt** – sprowadzenie warunków do równania z jedną niewiadomą, np. \(81=(7-r)(2r+19)\) **2 pkt** – zapisanie zależności wynikających z obu ciągów **1 pkt** – poprawna parametryzacja ciągu arytmetycznego albo jedna poprawna zależność **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny i równania kwadratowe.

B

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych: \[(3x)^{2}=81\cdot4=324.\] Stąd \(3x=18\) albo \(3x=-18\). Wyrazy ciągu mają być dodatnie, więc \(3x=18\), czyli \(x=6\). **Odpowiedź.** **B.** \(x=6\)

Zadanie 12. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

A

Ze wzoru \(a_4=a_1q^{3}\) mamy \[q^{3}=\frac{a_4}{a_1}=\frac{9}{72}=\frac18,\] więc \(q=\frac12\). **Odpowiedź.** **A.** \(q=\frac12\)

Zadanie 12. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

**D.** \(x=-1\)

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi \[(2x+3)^2=x(4x+3).\] Stąd \(4x^2+12x+9=4x^2+3x\), więc \(9x=-9\) i \(x=-1\).

**1 pkt** – odpowiedź D **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** ciąg geometryczny - zależność między trzema kolejnymi wyrazami.

B

Ze wzoru \(a_4=a_1q^{3}\) otrzymujemy \[q^{3}=\frac{a_4}{a_1}=\frac{-216}{8}=-27,\] a stąd \(q=\sqrt[3]{-27}=-3\). **Odpowiedź.** **B.** \(q=-3\)

Zadanie 8. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

**B.** \(a_5=6\).

W dziewięciowyrazowym ciągu geometrycznym środkowy wyraz spełnia \(a_5^2=a_1a_9\). Wyrazy są dodatnie, więc \[a_5=\sqrt{3\cdot12}=6.\]

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE podaje tylko odpowiedź. **Klasyfikacja rzeczowa:** ciągi, własności ciągu geometrycznego.

\[P_{K_{12}}=\frac{a^2}{2^{22}}.\]

Boki kolejnych kwadratów tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \(\frac12\). Bok kwadratu \(K_n\) ma długość \[a_n=a\left(\frac12\right)^{n-1}.\] Dla \(n=12\) otrzymujemy bok \(\frac{a}{2^{11}}\), więc \[P_{K_{12}}=\left(\frac{a}{2^{11}}\right)^2=\frac{a^2}{2^{22}}.\]

**2 pkt** – poprawne pole \(\frac{a^2}{2^{22}}\) **1 pkt** – poprawne wyznaczenie boku \(K_{12}\) jako \(\frac{a}{2^{11}}\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

Klucz CKE publikuje rozwiązanie i punktację. **Klasyfikacja rzeczowa:** ciągi geometryczne i pole kwadratu.

**B.** \(-2(1-2^{10})\).

Mamy \(a_1=2\) i iloraz \(q=2\). Zatem \[S_{10}=a_1\frac{1-q^{10}}{1-q}=2\frac{1-2^{10}}{1-2}=-2(1-2^{10}).\]

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** ciągi, suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

**A.** \(x=-3\).

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi zależność \(a_2^2=a_1a_3\). Zatem \[4^2=(-8)(x+1).\] Stąd \(16=-8x-8\), więc \(x=-3\).

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **A** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 5.4. Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

**C.** \(q=\sqrt[3]{3}\).

W ciągu geometrycznym \(a_4=a_1q^3\). Z warunku \(a_4=3a_1\) otrzymujemy \(q^3=3\), więc \(q=\sqrt[3]{3}\). Wartość jest większa od \(1\), zgodnie z informacją, że ciąg jest rosnący.

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.4 zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.

Są dwie uporządkowane trójki liczb: \[(-3,6,-12)\qquad\text{oraz}\qquad\left(-\frac79,\frac{14}{9},-\frac{28}{9}\right).\]

Niech \(a,b,c\) będą kolejno szukanymi liczbami. Z warunków zadania otrzymujemy \[b^2=ac,\qquad 2a=b+c,\qquad a^2=(b-7)(c+3).\] Z równania \(2a=b+c\) mamy \(b=2a-c\). Po podstawieniu do \(b^2=ac\): \[(2a-c)^2=ac,\] czyli \[(4a-c)(a-c)=0.\] Przypadek \(c=a\) prowadzi do ilorazu ciągu równego \(1\), więc go odrzucamy. Zatem \(c=4a\), a następnie \(b=-2a\). Trzeci warunek daje \[a^2=(-2a-7)(4a+3),\] a po uporządkowaniu \[9a^2+34a+21=0.\] Pierwiastki tego równania to \(a=-3\) oraz \(a=-\frac79\). Dla \(a=-3\) otrzymujemy \((a,b,c)=(-3,6,-12)\), a dla \(a=-\frac79\): \[(a,b,c)=\left(-\frac79,\frac{14}{9},-\frac{28}{9}\right).\]

**6 pkt** – wyznaczenie obu trójek i odrzucenie przypadku ciągu stałego **5 pkt** – doprowadzenie do równania \(9a^2+34a+21=0\) albo pełne rozwiązanie z drobną usterką **4 pkt** – uzyskanie równania kwadratowego z jedną niewiadomą, nawet w postaci nieuporządkowanej **3 pkt** – wyznaczenie zależności \(c=4a\) i \(b=-2a\), bez dokończenia obliczeń **2 pkt** – poprawny układ trzech równań wynikających z własności ciągów **1 pkt** – zapisanie co najmniej jednego z trzech kluczowych równań **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię wynikającą z treści zadania. **Wymagania szczegółowe:** Zdający wykorzystuje własności ciągów arytmetycznych i geometrycznych oraz rozwiązuje wynikający układ równań.

A

Sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie \(q\ne1\) obliczamy ze wzoru \(S_n=a_1\cdot\frac{1-q^{n}}{1-q}\). Tutaj \(q=-2\ne1\), więc \[S_{10}=5\cdot\frac{1-(-2)^{10}}{1-(-2)}=5\cdot\frac{1-1024}{3}=5\cdot\frac{-1023}{3}=5\cdot(-341)=-1705.\] **Odpowiedź.** **A.** \(-1705\)

Zadanie 11. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

**A.** \(32\)

Iloraz ciągu geometrycznego wyznaczamy z dwóch kolejnych wyrazów: \[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2}{-\sqrt2}=-\sqrt2.\] Sprawdzenie: \(a_2\cdot q=2\cdot(-\sqrt2)=-2\sqrt2=a_3\). Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz \(a_n=a_1q^{\,n-1}\): \[a_{10}=-\sqrt2\cdot\left(-\sqrt2\right)^{9}=\left(-\sqrt2\right)^{10}=\left(\sqrt2\right)^{10}=2^5=32.\] **Odpowiedź.** A. \(32\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** 5.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

\[a_1=10^{100}.\]

Niech \(q\) oznacza iloraz ciągu. Suma wyrazów nieparzystych ma postać \[a_1(1+q^2+\ldots+q^{98}),\] a suma wyrazów parzystych \[a_1q(1+q^2+\ldots+q^{98}).\] Ich iloraz jest równy \(\frac1q=100\), więc \[q=\frac1{100}=10^{-2}.\] Warunek z logarytmami oznacza \[\log(a_1a_2\cdots a_{100})=100,\] czyli \(a_1a_2\cdots a_{100}=10^{100}\). Iloczyn stu wyrazów ciągu geometrycznego jest równy \[a_1^{100}q^{0+1+\ldots+99}=a_1^{100}q^{4950}.\] Stąd \[a_1^{100}10^{-9900}=10^{100},\qquad a_1^{100}=10^{10000}.\] Ponieważ wyrazy są dodatnie, otrzymujemy \(a_1=10^{100}\).

**6 pkt** – poprawne obliczenie \(a_1=10^{100}\) **5 pkt** – poprawne równanie \(a_1^{100}(10^{-2})^{4950}=10^{100}\), lecz usterka rachunkowa na końcu **4 pkt** – zapisanie poprawnego równania z niewiadomą \(a_1\) po wyznaczeniu \(q\) **3 pkt** – poprawne wyznaczenie \(q=\frac1{100}\) **2 pkt** – poprawne porównanie sum wyrazów parzystych i nieparzystych **1 pkt** – zapisanie obu sum z wspólnym czynnikiem \(1+q^2+\ldots+q^{98}\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** Zdający stosuje własności ciągu geometrycznego, wzór na sumę jego wyrazów oraz własności logarytmu iloczynu.

D. \(5\)

Iloraz ciągu wyznaczamy z dwóch znanych sąsiednich wyrazów: \[q=\frac{12}{6}=2.\] Pierwszy wyraz spełnia więc \(6=(x-2)\cdot2\), skąd \(x-2=3\) i \(x=5\). **Odpowiedź.** **D.** \(x=5\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Badanie, czy dany ciąg jest geometryczny (II.5.b).

D

Iloraz ciągu geometrycznego to stosunek dwóch kolejnych wyrazów. Dla \(a_n=-\frac{3^{n}}4\) otrzymujemy \[q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{-\frac{3^{n+1}}4}{-\frac{3^{n}}4}=\frac{3^{n+1}}{3^{n}}=3.\] Wynik nie zależy od \(n\), więc ciąg rzeczywiście jest geometryczny o ilorazie \(3\). **Odpowiedź.** **D.** \(q=3\)

Zadanie 14. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

Równość została uzasadniona: \(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=\sqrt{a_1a_n}\).

Wyrazy ciągu są dodatnie, więc i jego iloraz \(q\) jest dodatni, a oba pierwiastki w tezie są dobrze określone. Ze wzoru na wyraz ogólny ciągu geometrycznego \(a_k=a_1q^{k-1}\), zatem \[a_1a_2\cdots a_n=a_1^{\,n}\cdot q^{0+1+2+\ldots+(n-1)}.\] Wykładniki tworzą ciąg arytmetyczny, więc \[0+1+\ldots+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2},\] a stąd \[a_1a_2\cdots a_n=a_1^{\,n}q^{\frac{n(n-1)}{2}}.\] Wyciągamy pierwiastek stopnia \(n\) z liczby dodatniej: \[\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=a_1q^{\frac{n-1}{2}}.\] Z drugiej strony \(a_n=a_1q^{\,n-1}\), więc \[\sqrt{a_1a_n}=\sqrt{a_1^{\,2}q^{\,n-1}}=a_1q^{\frac{n-1}{2}},\] bo \(a_1>0\) i \(q>0\). Obie strony sprowadziliśmy do tego samego wyrażenia. **Odpowiedź.** \(\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n}=\sqrt{a_1\cdot a_n}\), co należało uzasadnić.

**1 pkt** – zastosowanie wzoru \(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\) i zapisanie iloczynu \(a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot\ldots\cdot a_{n}\) w postaci […]. **2 pkt** – wyznaczenie sumy ciągu arytmetycznego: \(1+2+\ldots+(n-1)=\tfrac{n(n-1)}{2}\). **3 pkt** – zapisanie lewej strony równości w postaci: […]. **4 pkt** – uzasadnienie, że […].

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: własności i wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego.

**C.** \(q=\dfrac23\)

Ze wzoru \(a_4=a_1q^{3}\) otrzymujemy \[q^{3}=\frac{a_4}{a_1}=\frac{\frac13}{\frac98}=\frac13\cdot\frac89=\frac8{27},\] a stąd \(q=\frac23\). **Odpowiedź.** **C.** \(q=\frac23\)

Zadanie 21. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

q = \(3\)

Iloraz ciągu geometrycznego to stosunek dwóch kolejnych wyrazów. Ze wzoru \(a_n=7\cdot3^{n+1}\) otrzymujemy \[q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{7\cdot3^{n+2}}{7\cdot3^{n+1}}=3.\] Wynik nie zależy od \(n\), więc ciąg jest geometryczny o ilorazie \(3\). **Odpowiedź.** \(q=3\)

1 pkt: wyznaczenie dwóch kolejnych wyrazów lub postaci aₙ=63·3ⁿ⁻¹. 2 pkt: q=3.

Zadanie 31. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

C. x = \(7\)

Iloraz ciągu wyznaczamy z dwóch pierwszych wyrazów: \[q=\frac{18}{27}=\frac23.\] Trzeci wyraz jest więc równy \(x+5=18\cdot\frac23=12\), skąd \(x=7\). **Odpowiedź.** **C.** \(x=7\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego (II.5.c).

**D.** \(x=12\)

Iloraz ciągu odczytujemy z dwóch ostatnich wyrazów: \[q=\frac{2}{8}=\frac14.\] Pierwszy wyraz spełnia zatem \((3x-4)\cdot\frac14=8\), czyli \(3x-4=32\), skąd \(3x=36\) i \(x=12\). **Odpowiedź.** **D.** \(x=12\)

Zadanie 13. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

**B.** \(a=4\sqrt2\)

Iloraz ciągu wyznaczamy z dwóch pierwszych wyrazów: \[q=\frac{4}{2\sqrt2}=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2.\] Trzeci wyraz jest więc równy \(a=4\sqrt2\). **Odpowiedź.** **B.** \(a=4\sqrt2\)

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** Obliczenie wyrazu ciągu geometrycznego z wykorzystaniem własności ciągu (II.5.c).

Są dwie trójki: (\(4\),\(12\),\(36\)) oraz (\(\frac{4}{9}\),−\(\frac{20}{9}\),\(\frac{100}{9}\)). Oznaczmy początkowy ciąg geometryczny jako (a,aq,a\(q^{2}\)). Warunki arytmetyczności (a,aq+\(8\),a\(q^{2}\)) i geometryczności (a,aq+\(8\),a\(q^{2}\)+\(64\)) prowadzą do \(q^{2}\)+\(2q\)−\(15=0\), więc q=\(3\) lub q=−\(5\). Po wyznaczeniu a otrzymujemy obie trójki.

**Krok \(1\).** Skoro pierwsze trzy liczby tworzą ciąg geometryczny, najwygodniej zapisać je za pomocą pierwszego wyrazu \(a\) i ilorazu \(q\): są to \(a\), \(aq\), \(aq^2\). Dzięki temu zamiast trzech niewiadomych mamy dwie, a każdy warunek z treści zamienimy na jedno równanie. **Krok \(2\).** Po dodaniu \(8\) do drugiej liczby powstaje ciąg \((a,\ aq+8,\ aq^2)\), który ma być arytmetyczny. Podwojony wyraz środkowy równa się sumie sąsiadów: \[2(aq+8)=a+aq^2.\quad(1)\] **Krok \(3\).** Do ostatniej liczby tego nowego ciągu dodajemy \(64\) i otrzymujemy ciąg \((a,\ aq+8,\ aq^2+64)\), który ma być geometryczny. Kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi sąsiadów: \[(aq+8)^2=a\left(aq^2+64\right).\quad(2)\] **Krok \(4\).** Porządkujemy równanie \((1)\): \(2aq+16=a+aq^2\), czyli \(aq^2-2aq+a=16\), a po wyłączeniu \(a\) \[a(q-1)^2=16.\] Widać od razu, że \(a\neq0\) i \(q\neq1\). **Krok \(5\).** Porządkujemy równanie \((2)\): \(a^2q^2+16aq+64=a^2q^2+64a\). Wyrazy \(a^2q^2\) się redukują: \[16aq+64=64a,\qquad 16aq-64a=-64,\qquad a(q-4)=-4,\qquad a=\frac{4}{4-q}.\] **Krok \(6\).** Podstawiamy \(a\) z kroku \(5\) do równania z kroku \(4\): \[\frac{4(q-1)^2}{4-q}=16,\qquad (q-1)^2=4(4-q),\qquad q^2-2q+1=16-4q.\] **Krok \(7\).** Otrzymujemy równanie kwadratowe \[q^2+2q-15=0,\qquad \Delta=4+60=64,\qquad \sqrt{\Delta}=8,\] skąd \(q=\frac{-2-8}{2}=-5\) lub \(q=\frac{-2+8}{2}=3\). **Krok \(8\).** Dla \(q=3\): \(a=\frac{4}{4-3}=4\), więc liczby to \(4\), \(12\), \(36\). Dla \(q=-5\): \(a=\frac{4}{4+5}=\frac49\), więc liczby to \(\frac49\), \(-\frac{20}{9}\), \(\frac{100}{9}\). **Krok \(9\).** Sprawdzamy pierwszą trójkę: \((4,12,36)\) jest geometryczna (iloraz \(3\)); po dodaniu \(8\) mamy \((4,20,36)\) — ciąg arytmetyczny o różnicy \(16\); po dodaniu \(64\) do ostatniego wyrazu mamy \((4,20,100)\) — ciąg geometryczny o ilorazie \(5\). **Krok \(10\).** Sprawdzamy drugą trójkę: \(\left(\frac49,-\frac{20}{9},\frac{100}{9}\right)\) jest geometryczna (iloraz \(-5\)); po dodaniu \(8\) środkowy wyraz to \(-\frac{20}{9}+\frac{72}{9}=\frac{52}{9}\) i ciąg \(\left(\frac49,\frac{52}{9},\frac{100}{9}\right)\) jest arytmetyczny o różnicy \(\frac{48}{9}\); po dodaniu \(64\) ostatni wyraz to \(\frac{676}{9}\), a \(\left(\frac{52}{9}\right)^2=\frac{2704}{81}=\frac49\cdot\frac{676}{9}\), więc ciąg jest geometryczny. **Uwaga.** Polecenie żąda uwzględnienia wszystkich możliwości, więc obie trójki muszą znaleźć się w odpowiedzi — pominięcie tej z ujemnym ilorazem to typowa strata punktów. Odrzucony przypadek \(q=1\) też ma sens: wtedy pierwotny ciąg byłby stały, a ciąg \((a,a+8,a)\) nie jest arytmetyczny dla żadnego \(a\). **Odpowiedź.** Szukane liczby to \(4,\ 12,\ 36\) albo \(\frac49,\ -\frac{20}{9},\ \frac{100}{9}\).

**1 pkt** – zapisanie, że liczby \(a\), \(aq\), \(aq^{2}\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego oraz liczby \(a\), \(aq+8\), \(aq^{2}\), w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny, natomiast liczby \(a\), \(aq+8\), \(aq^{2}+64\), w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny. **2 pkt** – wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego do zapisania układu równań, np. \(2(aq+8)=a+aq^{2}\) oraz \((aq+8)^{2}=a\left(aq^{2}+64\right)\). **4 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą, np.: \(q^{2}+2q-15=0\) lub \(9a^{2}-40a+16=0\). **5 pkt** – rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe): zdający popełni błędy rachunkowe w rozwiązywaniu równania kwadratowego, np. \(q^{2}+2q-15=0\), i konsekwentnie do tych błędów poda w odpowiedzi dwa ciągi geometryczne, lub przekształci układ równań z błędem (np. błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu) i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste). **6 pkt** – zapisanie dwóch trójek liczb, z których każda tworzy ciąg geometryczny opisany w treści zadania: \((4,\,12,\,36)\) oraz \(\left(\tfrac{4}{9},\,-\tfrac{20}{9},\,\tfrac{100}{9}\right)\). Jeżeli zdający pomyli własności któregokolwiek ciągu, to za całe rozwiązanie otrzymuje \(0\) punktów. Jeżeli zdający w trakcie przekształcania układu równań popełni błąd, w wyniku którego otrzyma równanie mające mniej niż dwa rozwiązania, to otrzymuje \(2\) punkty za całe rozwiązanie.

IV. Użycie i tworzenie strategii. Zastosowanie własności ciągu geometrycznego oraz własności ciągu arytmetycznego. (IV.5.c)

Ponieważ (\(9\), x, \(19\)) jest ciągiem arytmetycznym, x = (\(9 + 19\))/\(2 = 14\). Ciąg (\(14\), \(42\), y, z) jest geometryczny z ilorazem q = \(\frac{42}{14 = 3}\). Stąd y = \(42\cdot 3 = 126\) i z = \(126\cdot 3 = 378\).

W ciągu arytmetycznym \((9,x,19)\) wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych: \[x=\frac{9+19}{2}=14.\] Ciąg \((14,42,y,z)\) jest geometryczny, a jego iloraz odczytujemy z dwóch pierwszych wyrazów: \[q=\frac{42}{14}=3.\] Zatem \[y=42\cdot3=126,\qquad z=126\cdot3=378.\] **Odpowiedź.** \(x=14\), \(y=126\), \(z=378\)

1 pkt: wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego albo geometrycznego. 2 pkt: obliczenie x = 14 i zapisanie równania pozwalającego wyznaczyć y. 3 pkt: obliczenie ilorazu q = 3 lub y = 126 i zapisanie równania dla z. 4 pkt: obliczenie x = 14, y = 126, z = 378.

Modelowanie matematyczne. Zastosowanie własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego (III.5.c).

**A.** \(-\frac12\)

Iloraz ciągu geometrycznego obliczamy z dwóch kolejnych wyrazów: \[q=\frac{a_3}{a_2}=\frac{-\frac32}{\frac{\sqrt3}{2}}=-\frac{3}{\sqrt3}=-\sqrt3.\] Ze związku \(a_2=a_1q\) wyznaczamy pierwszy wyraz: \[a_1=\frac{a_2}{q}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{-\sqrt3}=-\frac12.\] **Odpowiedź.** A. \(-\frac12\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie ilorazu i wyrazu ciągu geometrycznego na podstawie dwóch kolejnych wyrazów Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

\[a_5=\frac14.\]

Ze wzoru na trzeci wyraz ciągu geometrycznego \(a_3=a_1q^2\) mamy \[4=64q^2,\qquad q^2=\frac1{16},\qquad q=\frac14\ \text{lub}\ q=-\frac14.\] Ciąg ma być **malejący**, a dla \(q=-\frac14\) wyrazy zmieniałyby znak (\(64,\,-16,\,4\)) i ciąg nie byłby monotoniczny. Zostaje \(q=\frac14\), co daje \(64,\,16,\,4,\,1,\ldots\) Piąty wyraz: \[a_5=a_1q^4=64\cdot\left(\tfrac14\right)^4=\frac{64}{256}=\frac14.\] **Odpowiedź.** \(a_5=\frac14\).

**Uwaga** Zdający może obliczyć piąty wyraz ciągu, korzystając ze wzoru: […]. **Schemat oceniania** **1 pkt** – gdy obliczy iloraz ciągu: \(q=\frac{1}{4}\). **2 pkt** – gdy obliczy piąty wyraz ciągu: […].

Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.

**C.** \(a_4=4{,}5\)

Iloraz ciągu jest równy \(q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{18}{36}=\frac12\). Ze wzoru \(a_n=a_1q^{n-1}\) otrzymujemy \[a_4=36\cdot\left(\frac12\right)^{3}=\frac{36}8=4{,}5.\] **Odpowiedź.** **C.** \(a_4=4{,}5\)

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** Zdający wyznacza \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.

**A.** \(-\dfrac12\)

Iloraz ciągu wyznaczamy z dwóch danych wyrazów: \[q=\frac{a_3}{a_2}=\frac{-1}{\frac{\sqrt2}2}=-\frac{2}{\sqrt2}=-\sqrt2.\] Z zależności \(a_2=a_1q\) otrzymujemy \[a_1=\frac{a_2}{q}=\frac{\frac{\sqrt2}2}{-\sqrt2}=-\frac12.\] **Odpowiedź.** **A.** \(a_1=-\frac12\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Ciągi – wyznacza wyraz ciągu geometrycznego.

\(a_{8}\) = \(\frac{1}{81}\)

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych: \[x^{2}=27\cdot3=81,\qquad x=9\ \text{albo}\ x=-9.\] Ciąg ma być malejący. Dla \(x=-9\) wyrazy \(27,-9,3\) nie tworzą ciągu malejącego, bo trzeci wyraz jest większy od drugiego. Zostaje \(x=9\), a wtedy \[q=\frac{9}{27}=\frac13.\] Ze wzoru \(a_n=a_1q^{n-1}\) otrzymujemy \[a_8=27\cdot\left(\frac13\right)^{7}=\frac{27}{2187}=\frac1{81}.\] **Odpowiedź.** \(a_8=\frac1{81}\)

1 pkt: wyznaczenie ilorazu q=1/3. 2 pkt: a₈=1/81.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Ciągi – wyznacza odległy wyraz ciągu geometrycznego.

D. \(a_{1}\) = \(\frac{9}{4}\)

Iloraz ciągu jest równy \[q=\frac{a_4}{a_3}=\frac{\frac23}{1}=\frac23.\] Z zależności \(a_3=a_1q^{2}\) otrzymujemy \[a_1=\frac{a_3}{q^{2}}=\frac{1}{\frac49}=\frac94.\] **Odpowiedź.** **D.** \(a_1=\frac94\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego.

**D.** \(45\)

Iloraz ciągu odczytujemy z dwóch danych sąsiednich wyrazów: \[q=\frac{a_4}{a_3}=\frac{15}{5}=3.\] Zatem \(a_5=a_4q=15\cdot3=45\). **Odpowiedź.** **D.** \(a_5=45\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Ciągi – wyznacza kolejny wyraz ciągu geometrycznego.

**C.** \(16\)

W ciągu geometrycznym \(a_5=a_3q^2\), więc \[q^2=\frac{a_5}{a_3}=\frac14.\] Podobnie \(a_3=a_1q^2\), skąd \[a_1=\frac{a_3}{q^2}=\frac{4}{\frac14}=16.\] Znak ilorazu (\(q=\frac12\) albo \(q=-\frac12\)) nie wpływa na wynik, bo w rachunku występuje wyłącznie \(q^2\). **Odpowiedź.** C. \(16\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie pierwszego wyrazu ciągu geometrycznego na podstawie dwóch danych wyrazów Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**A.** \(16\)

Iloraz ciągu geometrycznego wyznaczamy z dwóch kolejnych wyrazów: \[q=\frac{a_4}{a_3}=\frac{-2}{4}=-\frac12.\] Ze związku \(a_3=a_1q^2\): \[a_1=\frac{a_3}{q^2}=\frac{4}{\frac14}=16.\] **Odpowiedź.** A. \(16\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie pierwszego wyrazu ciągu geometrycznego na podstawie dwóch kolejnych wyrazów Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**B.** \(a_4=432\)

Iloraz ciągu jest równy \(q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{12}{2}=6\). Ze wzoru \(a_n=a_1q^{n-1}\) otrzymujemy \[a_4=2\cdot6^{3}=2\cdot216=432.\] **Odpowiedź.** **B.** \(a_4=432\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Ciągi – wyznacza wyraz ciągu geometrycznego.

(a, b, c) = (\(3\), \(15\), \(75\)) lub (\(31\), \(31\), \(31\))

Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu arytmetycznego. Liczby \(a\), \(b\), \(c\) są jego pierwszym, drugim i siódmym wyrazem, więc \[b=a+r,\qquad c=a+6r.\] Ciąg \((a,b,c)\) jest geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych: \[(a+r)^{2}=a(a+6r),\qquad a^{2}+2ar+r^{2}=a^{2}+6ar,\qquad r^{2}-4ar=0,\qquad r(r-4a)=0.\] Rozważamy oba przypadki. Gdy \(r=0\), wszystkie trzy liczby są równe, a z warunku \(3a=93\) otrzymujemy \(a=b=c=31\). Ciąg stały o wyrazie różnym od zera jest geometryczny o ilorazie \(q=1\), więc ten przypadek spełnia warunki zadania. Gdy \(r=4a\), mamy \(b=5a\) oraz \(c=25a\), a suma daje \[a+5a+25a=31a=93,\qquad a=3,\] czyli \((a,b,c)=(3,15,75)\) i iloraz \(q=5\). **Odpowiedź.** \((a,b,c)=(3,15,75)\) albo \((a,b,c)=(31,31,31)\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \((a,\,b,\,c)=(3,\,15,\,75)\) lub \((31,\,31,\,31)\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Ciągi.

\(x=3\), \(y=6\); szukany ciąg geometryczny to \((3,6,12)\).

W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiadów, więc z warunku dla \((1,x,y-1)\) \[2x=1+(y-1)=y.\] W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi sąsiadów, więc z warunku dla \((x,y,12)\) \[y^2=12x.\] Podstawiamy \(y=2x\) do drugiego równania: \[4x^2=12x,\qquad 4x(x-3)=0,\] skąd \(x=0\) lub \(x=3\). Dla \(x=0\) mamy \(y=0\), a ciąg \((0,0,12)\) nie jest geometryczny — wyrazy ciągu geometrycznego muszą być różne od zera. Zostaje \(x=3\), a wtedy \(y=6\). Sprawdzenie: \((1,3,5)\) jest arytmetyczny o różnicy \(2\), a \((3,6,12)\) jest geometryczny o ilorazie \(2\). **Odpowiedź.** \(x=3\), \(y=6\); ciąg geometryczny to \((3,6,12)\).

*Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania* **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego albo geometrycznego (definicji lub wzoru na \(n\)-ty wyraz) i zapisanie równania, np.: […] albo […] albo równań, np.: \(x=1+r\) i \(y-1=x+r\), albo \(y^{2}=x\cdot 12\), albo równań, np.: […] **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć \(x\) i \(y\), np.: […] albo \(y^{2}=12x\) […] albo […] albo \(\begin{cases}y^{2}=12x\\ y-1=x+r\\ 12=y\cdot q\end{cases}\) Uwaga: Zdający nie musi zapisywać układu równań, wystarczy, że zapisze wszystkie konieczne zależności. **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zapisanie i rozwiązanie równania kwadratowego z jedną niewiadomą, np. \(4x^{2}-12x=0\), stąd \(x=3\) lub \(x=0\) albo \(y^{2}-6y=0\), stąd \(y=0\) lub \(y=6\). **Rozwiązanie pełne** – obliczenie \(x=3\) i \(y=6\) oraz zapisanie ciągu geometrycznego \((3,6,12)\). Uwaga: Przyznajemy \(4\) punkty, gdy zdający obliczy \(x=3\) i \(y=6\) i poda ciąg geometryczny w postaci \(a_{n}=3\cdot 2^{n}\). *Schemat oceniania III sposobu rozwiązania* **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego (definicji lub wzoru na \(n\)-ty wyraz) albo wykorzystanie własności ciągu geometrycznego (definicji lub wzoru na \(n\)-ty wyraz) i zapisanie: równania, np.: […] albo równania, np.: \(\frac{12}{y}\) […] **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć \(x\) i \(y\), np.: \(\frac{12}{y}\) […] Uwaga: Zdający nie musi zapisywać układu równań, wystarczy, że zapisze wszystkie konieczne zależności. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zapisanie i rozwiązanie równania z niewiadomą \(x\), np. \(\frac{12}{2x}=\frac{2x}{x}\) i \(x=3\). **4 pkt** – rozwiązanie pełne: obliczenie \(x=3\) i \(y=6\) oraz zapisanie ciągu geometrycznego \((3,6,12)\). *Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania* **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie równania, np.: \(x=\) […] **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: • zapisanie ciągu geometrycznego \((x,2x,12)\) albo • obliczenie ilorazu \(q\) tego ciągu: \(q=2\) **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: obliczenie \(x=3\) lub \(y=6\). **4 pkt** – rozwiązanie pełne: obliczenie \(x=3\) i \(y=6\) oraz zapisanie ciągu geometrycznego \((3,6,12)\).

Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.

\((a,b,c)=(2,5,8)\) lub \((a,b,c)=(26,5,-16)\). Z warunku \(2b=a+c=10\) wynika \(b=5\), a z warunku \(9^{2}=(a+1)(c+19)\) po podstawieniu \(c=10-a\) otrzymujemy \(a^{2}-28a+52=0\), czyli \(a=2\) lub \(a=26\).

**Krok \(1\).** Mamy trzy liczby i dwa warunki na ciągi trzywyrazowe. Dla takich zadań najwygodniejsze są warunki na wyraz środkowy: w ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów, czyli \(2b=a+c\), a w ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi sąsiadów. **Krok \(2\).** Z arytmetyczności ciągu \((a,b,c)\) mamy \(2b=a+c\), a z treści \(a+c=10\). Stąd od razu \[2b=10,\qquad b=5.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy \(b=5\) do drugiego ciągu. Ciąg \((a+1,\;b+4,\;c+19)\) to teraz \[(a+1,\;9,\;c+19).\] **Krok \(4\).** Warunek na ciąg geometryczny daje równanie \[9^2=(a+1)(c+19),\qquad\text{czyli}\qquad (a+1)(c+19)=81.\] **Krok \(5\).** Aby zostać z jedną niewiadomą, z warunku \(a+c=10\) wyznaczamy \(c=10-a\). Wtedy \(c+19=29-a\) i równanie przyjmuje postać \[(a+1)(29-a)=81.\] **Krok \(6\).** Wymnażamy i porządkujemy: \[29a-a^2+29-a=81,\] \[-a^2+28a-52=0,\] \[a^2-28a+52=0.\] **Krok \(7\).** Liczymy wyróżnik: \[\Delta=(-28)^2-4\cdot 1\cdot 52=784-208=576,\qquad \sqrt{\Delta}=24,\] \[a_1=\frac{28-24}{2}=2,\qquad a_2=\frac{28+24}{2}=26.\] **Krok \(8\).** Do każdej wartości \(a\) dobieramy \(c=10-a\): dla \(a=2\) mamy \(c=8\), dla \(a=26\) mamy \(c=-16\). **Krok \(9\).** Sprawdzamy obie trójki. Dla \((a,b,c)=(2,5,8)\) drugi ciąg to \((3,9,27)\), czyli geometryczny o ilorazie \(3\). Dla \((a,b,c)=(26,5,-16)\) drugi ciąg to \((27,9,3)\), czyli geometryczny o ilorazie \(\frac13\). Żaden wyraz nie jest zerem, więc oba rozwiązania są poprawne. **Uwaga.** Częsty błąd to odrzucenie drugiego rozwiązania dlatego, że pojawia się w nim liczba ujemna. Nic tego nie zabrania: wyrazy ciągu geometrycznego mogą być dowolne, byle żaden nie był równy zeru. Warto to sprawdzić właśnie po to, żeby mieć pewność. **Odpowiedź.** \((a,b,c)=(2,5,8)\) lub \((a,b,c)=(26,5,-16)\).

Zadanie 5. 0—5 Obszar standardów Modelowanie matematyczne I sposób rozwiązania Sprawdzane umiejętności Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego Z własności ciągu arytmetycznego mamy: 2b = a + c . Stąd i z warunków zadania otrzymujemy, że : 2b = 10 czyli b = 5 . Z własności ciągu geometrycznego zapisujemy równanie: (b + Klucz punktowania odpowiedzi — poziom rozszerzony Zatem otrzymujemy układ równań, np. a + c = 10 ¯ 19) Z drugiego równania wyznaczamy a = 10 — c lub c = 10—a i wstawiamy do trzeciego równanła. Otrzymujemy równanie, np. 92 lub 92 Przekształcamy to równanie i otrzymujemy równanie z niewiadomą c lub a, np. c2 +8c-128=o lub -28a+52=O. Rozwiązaniem równania są --16 lub =26. Zatem szukanymi liczbami są: a = 2, b = 5, c = 8 lub a = 26, b = 5, c = -16. Schemat oceniania do I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny do pełnego rozwiązania zadania Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego (geometrycznego) i zapisanie odpowiednie{ równanła, np. • 2b = a + c albo • (b +4)2 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp . Wykorzystanie własności obu ciągów (arytmetycznego i geometrycznego) i zapisanie ukłac równań umożliwiającego obliczenie liczb a, b, c, np. 2b = a + c a+c=lO Pokonanie zasadniczych trudności zadania Przekształcenie układu równań do równania kwadratowego z niewiadomą c lub a, np. c2 +8c-128=o lub -28a+52=O Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 p] • poprawne rozwiązanie równama kwadratowego, odrzucenie jednego z rozwiązań i poprawne wyznaczenie drugiej trójki liczb albo • przekształcenie układu równań z jedną niewiadomą do równania kwadratowego z błędem rachunkowym, np. błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywanil i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste). Rozwiązanie pełne 5 p] Wyznaczenie szukanych liczb: a = 2, b = 5, c =8 lub a = 26, b = 5, c = 16 II sposób rozwiązania Oznaczamy: przez a — pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, a przez r — różnicę tego ciągu Wówczas b = a + r, c=a+2r. Z własności ciągu arytmetycznego i z warunków zadania mamy 2a + 2r = 10 , stąd a + r = 5 Klucz punktowania odpowiedzi — poziom rozszerzony Z własności ciągu geometrycznego zapisujemy równanie, np. a następnie zapisujemy układ równań: (a 19) Z pierwszego równania wyznaczamy a = 5 — r i podstawiamy do drugiego równania. Otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą r: lub R +18-63=0. Rozwiązaniami tego równania są: = 3 lub — -21. Następnie obliczamy a, b, c. Warunki zadania spełniają liczby: a = 2, b = 5, c =8 lub a = 26, b = 5, c = 16 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania . .... 1 pkt Wprowadzenie oznaczeń: a — pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, r — różnica tego ciągu oraz wykorzystanie definicji ciągu arytmetycznego do zapisania odpowiedniego równania, np. 2a+2r=lO lub a +r=5 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp . .... 2 pkt Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie układu równań, np. 19) Pokonanie zasadniczych trudności zadania ....................................................................3 pkt Przekształcenie układu równań do równania z niewiadomą r, np. lub +18-63=0. Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)....................................................... 4 pkt • poprawne rozwiązanie równania kwadratowego, odrzucenie jednego z rozwiązań, np. r < O i poprawne wyznaczenie drugiej trójki liczb albo • przekształcenie układu równań z jedną niewiadomą do równania kwadratowego z błędem rachunkowym, np. błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste). Rozwiązanie pełne Wyznaczenie liczb spełniających warunki zadania: a = 2, b = 5, c = 8 lub Klucz punktowania odpowiedzi — poziom rozszerzony .....5 pkt

III. Modelowanie matematyczne. Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego.

B. \(2\)

Ze wzoru \(a_4=a_1q^{3}\) otrzymujemy \[q^{3}=\frac{a_4}{a_1}=\frac{24}{3}=8,\qquad q=2.\] **Odpowiedź.** **B.** \(q=2\)

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wyznaczanie wyrazów ciągu geometrycznego.

\((a,b,c)=(2,6,18)\) albo \((a,b,c)=(18,6,2)\). Z warunku arytmetycznego i z sumy wynika \(b=6\) oraz \(a+c=20\), a z warunku geometrycznego \(ac=36\); liczby \(a\) i \(c\) są więc pierwiastkami równania \(t^2-20t+36=0\).

**Krok \(1\).** W zadaniu występują dwie własności ciągów trzywyrazowych i te własności zamieniamy na równania. Dla ciągu geometrycznego \((a,b,c)\) kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi skrajnych, a dla ciągu arytmetycznego wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiadów. Do tego dochodzi podana suma. Razem: trzy równania z trzema niewiadomymi. **Krok \(2\).** Warunek arytmetyczny dla ciągu \((a-5,\ b-4,\ c-11)\): \[2(b-4)=(a-5)+(c-11).\] Po uporządkowaniu: \(2b-8=a+c-16\), czyli \[a+c=2b+8.\] **Krok \(3\).** Z warunku \(a+b+c=26\) mamy \(a+c=26-b\). Porównujemy z poprzednim: \[26-b=2b+8\ \Longrightarrow\ 3b=18\ \Longrightarrow\ b=6.\] **Krok \(4\).** Stąd natychmiast \(a+c=26-6=20\). **Krok \(5\).** Warunek geometryczny: \(b^2=ac\), czyli \[ac=6^2=36.\] **Krok \(6\).** Znamy sumę i iloczyn liczb \(a\) i \(c\), więc są one pierwiastkami równania kwadratowego \[t^2-20t+36=0.\] Liczymy wyróżnik: \(\Delta=400-144=256\), \(\sqrt{\Delta}=16\), zatem \[t=\frac{20-16}{2}=2\quad\text{lub}\quad t=\frac{20+16}{2}=18.\] **Krok \(7\).** Otrzymujemy dwie możliwości: \(a=2,\ c=18\) albo \(a=18,\ c=2\) (w obu \(b=6\)). **Krok \(8\).** Sprawdzenie. Dla \((2,6,18)\): iloraz \(3\), suma \(26\), a ciąg \((2-5,\ 6-4,\ 18-11)=(-3,2,7)\) jest arytmetyczny o różnicy \(5\). Dla \((18,6,2)\): iloraz \(\tfrac13\), suma \(26\), a ciąg \((13,2,-9)\) jest arytmetyczny o różnicy \(-11\). Oba rozwiązania są poprawne. **Uwaga.** Zadanie ma dwa rozwiązania i oba trzeba podać. Warto też zauważyć, że żaden wyraz nie jest zerem, więc ciąg geometryczny jest dobrze określony. **Odpowiedź.** \(a=2,\ b=6,\ c=18\) albo \(a=18,\ b=6,\ c=2\).

Schemat oceniania **Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – wykorzystanie własności ciągu geometrycznego (arytmetycznego) i zapisanie równania, np. \(b^{2}=a\cdot c\) albo \(2(b-4)=(a-5)+(c-11)\), albo […], albo \(a+aq+aq^{2}=26\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – wykorzystanie własności obu ciągów (arytmetycznego i geometrycznego) i zapisanie układu równań umożliwiającego obliczenie liczb \(a\), \(b\), \(c\): […]. **0 pkt** – jeżeli zdający pomyli własności któregokolwiek ciągu, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów. **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – przekształcenie układu równań do równania z jedną niewiadomą, np. \(a^{2}-20a+36=0\) lub \(c^{2}-20c+36=0\), lub \(3q^{2}-10q+3=0\). **2 pkt** – jeżeli w trakcie doprowadzania układu równań do równania kwadratowego zdający popełni błąd, w wyniku którego otrzyma równanie mające mniej niż dwa rozwiązania, to otrzymuje 2 punkty za całe zadanie. **Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)** – poprawne rozwiązanie równania kwadratowego, odrzucenie jednego z rozwiązań (na przykład dla \(q<1\)) i poprawne wyznaczenie drugiej trójki liczb, albo przekształcenie układu równań z jedną niewiadomą do równania kwadratowego z błędem rachunkowym (np. błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu) i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste). **Rozwiązanie bezbłędne** – \(a=2\), \(b=6\), \(c=18\) lub \(a=18\), \(b=6\), \(c=2\). **4 pkt** – jeżeli zdający poprawnie rozwiąże układ równań i popełni błąd w zredagowaniu odpowiedzi, na przykład: \(a=2\) lub \(a=18\), \(b=6\), \(c=18\) lub \(c=2\).

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i arytmetycznego w układzie równań.

**D.** \(\sqrt2\)

Z zależności \(a_3=a_1q^{2}\) otrzymujemy \[q^{2}=\frac{a_3}{a_1}=\frac{-4}{-2}=2,\qquad q=\sqrt2\ \text{lub}\ q=-\sqrt2.\] Dla \(q=-\sqrt2\) wyrazy ciągu zmieniałyby znak, więc ciąg nie byłby malejący. Dla \(q=\sqrt2\) mamy \(a_1=-2\), \(a_2=-2\sqrt2\), \(a_3=-4\) — każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego. **Odpowiedź.** **D.** \(q=\sqrt2\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Ciągi – wyznacza iloraz malejącego ciągu geometrycznego.

**C.** \(q=-\frac12\)

Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego \(a_n=a_1q^{n-1}\) mamy \[a_4=a_1q^3.\] Podstawiamy dane: \[-4=32q^3,\qquad q^3=-\frac18.\] Pierwiastek trzeciego stopnia jest jednoznaczny także dla liczb ujemnych, więc \[q=-\frac12.\] Sprawdzenie: \(32,\,-16,\,8,\,-4\) — czwarty wyraz istotnie wynosi \(-4\). **Odpowiedź.** **C.** \(-\frac12\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: \(\mathrm{C}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Iloraz \(q=4\) (dla \(x=5\) ciąg ma postać \(2,\ 8,\ 32,\ldots\)); ponadto \(\frac{S_{19}}{S_{20}}=\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}<\frac14\), bo nierówność ta sprowadza się do \(-3<0\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy dwie osobne sprawy. Pierwsza: mamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, a to znaczy, że kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi sąsiadów, czyli \(a_2^2=a_1\cdot a_3\) — stąd wyznaczymy \(x\). Druga: mając iloraz, skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów i przekształcimy nierówność w sposób równoważny. **Krok \(2\).** Zapisujemy warunek dla wyrazów \(a_1=x-3\), \(a_2=x+3\), \(a_3=6x+2\): \[(x+3)^2=(x-3)(6x+2).\] **Krok \(3\).** Rozwijamy obie strony: \[x^2+6x+9=6x^2+2x-18x-6=6x^2-16x-6,\] a po przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę \[0=5x^2-22x-15.\] **Krok \(4\).** Rozwiązujemy: \(\Delta=(-22)^2-4\cdot5\cdot(-15)=484+300=784\), \(\sqrt{\Delta}=28\), więc \[x_1=\frac{22-28}{10}=-\frac35,\qquad x_2=\frac{22+28}{10}=5.\] **Krok \(5\).** Wybieramy właściwe \(x\), korzystając z warunku, że wszystkie wyrazy są dodatnie. Dla \(x=-\frac35\) mamy \(a_1=-\frac35-3=-\frac{18}{5}\lt0\), więc ta wartość odpada. Dla \(x=5\) otrzymujemy \(a_1=2\), \(a_2=8\), \(a_3=32\), czyli same liczby dodatnie. **Krok \(6\).** Liczymy iloraz: \(q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac82=4\) (sprawdzenie: \(\dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac{32}{8}=4\)). **Krok \(7\).** Korzystamy ze wzoru \(S_n=a_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}\), co wolno, bo \(q=4\neq1\). Przy dzieleniu sum czynniki \(a_1\) oraz \(q-1\) się skracają: \[\frac{S_{19}}{S_{20}}=\frac{a_1\cdot\frac{4^{19}-1}{3}}{a_1\cdot\frac{4^{20}-1}{3}}=\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}.\] **Krok \(8\).** Dowodzimy nierówności. Liczby \(4^{19}-1\) i \(4^{20}-1\) są dodatnie, więc nierówność \[\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}\lt\frac14\] jest równoważna nierówności otrzymanej po pomnożeniu na krzyż: \[4\left(4^{19}-1\right)\lt4^{20}-1.\] **Krok \(9\).** Lewa strona to \(4\cdot4^{19}-4=4^{20}-4\), więc dostajemy \(4^{20}-4\lt4^{20}-1\). Po odjęciu \(4^{20}\) od obu stron zostaje \(-4\lt-1\), a to jest prawda. Wszystkie przekształcenia były równoważne, więc wyjściowa nierówność również zachodzi, co kończy dowód. **Uwaga.** Warunek o dodatnich wyrazach nie jest ozdobnikiem — bez niego zadanie miałoby dwie odpowiedzi. Dla \(x=-\frac35\) ciąg \(-\frac{18}{5},\ \frac{12}{5},\ -\frac85\) także jest geometryczny (o ilorazie \(q=-\frac23\)), tylko jego wyrazy nie są dodatnie. To właśnie ten warunek pozwala odrzucić drugi pierwiastek. Zwróć też uwagę, że w kroku \(8\) mnożymy na krzyż wyłącznie dlatego, że mianowniki są dodatnie; przy ujemnym mianowniku trzeba by odwrócić znak nierówności. **Odpowiedź.** Iloraz \(q=4\) (dla \(x=5\) ciąg ma postać \(2,\ 8,\ 32,\ldots\)); ponadto \(\frac{S_{19}}{S_{20}}=\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}\lt\frac14\), bo nierówność ta sprowadza się do nierówności prawdziwej.

**1 pkt** – jeśli wykorzysta własność ciągu geometrycznego i zapisze równanie opisujące warunki zadania. Poprawna odpowiedź: \((x+3)^{2}=(x-3)(6x+2)\). **1 pkt** – jeśli rozwiąże równanie kwadratowe. Poprawna odpowiedź: \(x=-\frac{3}{5}\) lub \(x=5\). **1 pkt** – jeśli wybierze odpowiednią wartość \(x\), tak aby wszystkie wyrazy ciągu były dodatnie. Poprawna odpowiedź: \(x=5\). **1 pkt** – jeśli obliczy iloraz ciągu. Poprawna odpowiedź: \(q=4\). **2 pkt** – jeśli oszacuje iloraz. Poprawna odpowiedź: np. Przekształcając równoważnie nierówność \(\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}<\frac{1}{4}\) dostaje kolejno: \(4\left(4^{19}-1\right)<4^{20}-1\), \(4^{20}-4<4^{20}-1\), \(-3<0\), co jest prawdą. To kończy dowód. **1 pkt** – jeśli wykorzysta wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego i zapisze iloraz \(\frac{S_{19}}{S_{20}}\) w postaci umożliwiającej oszacowanie. Poprawna odpowiedź: \(\frac{S_{19}}{S_{20}}=\frac{4^{19}-1}{4^{20}-1}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\).

Oznaczmy kąty ostre przez \(\alpha\) i \(\beta\); w trójkącie prostokątnym \(\alpha+\beta=90^{\circ}\), więc \(\sin\beta=\cos\alpha\). Skoro \((\sin\alpha,\sin\beta,1)\) jest ciągiem geometrycznym, to kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów skrajnych: \[\sin^{2}\beta=\sin\alpha\cdot1,\qquad \cos^{2}\alpha=\sin\alpha.\] Z jedynki trygonometrycznej \(\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha\), zatem \[1-\sin^{2}\alpha=\sin\alpha,\qquad \sin^{2}\alpha+\sin\alpha-1=0.\] Podstawiając \(s=\sin\alpha\), otrzymujemy \(s^{2}+s-1=0\), \(\Delta=5\), więc \[s=\frac{-1-\sqrt5}{2}\quad\text{lub}\quad s=\frac{-1+\sqrt5}{2}.\] Pierwsza wartość jest ujemna, a sinus kąta ostrego jest dodatni, więc \(\sin\alpha=\frac{\sqrt5-1}{2}\approx0{,}618\). Wtedy \(\sin\beta=\cos\alpha\approx0{,}786>\sin\alpha\), więc to \(\alpha\) jest najmniejszym kątem trójkąta. **Odpowiedź.** \(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **10.1. (1 pkt)** – zapisanie, że ciąg \((\sin\alpha,\sin\beta,1)\) lub \((1,\sin\beta,\sin\alpha)\) jest geometryczny. „\(1\)” jest pierwszym lub ostatnim wyrazem ciągu. **10.2. (1 pkt)** – wykorzystanie definicji lub własności ciągu geometrycznego i zapisanie warunku: \(\sin^{2}\beta=\sin\alpha\cdot 1\). **10.3. (1 pkt)** – wykorzystanie zależności między funkcjami trygonometrycznymi w trójkącie prostokątnym: \(\sin\beta=\cos\alpha\) oraz jedynki trygonometrycznej i zapisanie równania z niewiadomą \(\sin\alpha\): \(1-\sin^{2}\alpha=\sin\alpha\). **10.4. (1 pkt)** – rozwiązanie równania: \(\sin\alpha=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\), \(\sin\alpha=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}\). Podanie odpowiedzi: \(\sin\alpha=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Warunki spełniają dwa ciągi: o ilorazie \(q=\frac32\) i o ilorazie \(q=-\frac32\). b) Dla ciągu rosnącego \(a_6=91{,}125\).

**a)** Z zależności \(a_3=a_1q^{2}\) otrzymujemy \[q^{2}=\frac{27}{12}=\frac94,\qquad q=\frac32\ \text{lub}\ q=-\frac32.\] Każda z tych wartości wyznacza inny ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(12\) i trzecim wyrazie \(27\), a innych możliwości nie ma, bo równanie kwadratowe ma dokładnie dwa rozwiązania. Zatem warunki zadania spełniają **dwa** ciągi. **b)** Ciąg jest rosnący, gdy \(q=\frac32\) (przy \(q=-\frac32\) wyrazy zmieniają znak). Wtedy \[a_6=12\cdot\left(\frac32\right)^{5}=12\cdot\frac{243}{32}=\frac{2916}{32}=91{,}125.\] **Odpowiedź.** a) dwa ciągi; b) \(a_6=91{,}125\)

*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.* **4.1. ([…] pkt)** – […] i zapisanie odpowiedzi: Są dwa ciągi spełniające warunki zadania. **4.2. (1 pkt)** – obliczenie \(a_{6}\): \(a_{6}=91{,}125\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(q=\frac13\). b) Suma stu logarytmów jest równa \(-4950\).

**a)** Iloraz ciągu geometrycznego to stosunek wyrazu następnego do poprzedniego: \[q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3^{1-(n+1)}}{3^{1-n}}=3^{(1-n-1)-(1-n)}=3^{-1}=\frac13.\] **b)** Z definicji logarytmu \(\log_3 3^{k}=k\), więc \(\log_3 a_n=1-n\). Szukana suma jest sumą stu początkowych wyrazów ciągu **arytmetycznego** \((1-n)\) o pierwszym wyrazie \(0\) i różnicy \(-1\): \[S=\sum_{n=1}^{100}(1-n)=100-\left(1+2+\ldots+100\right)=100-\frac{100\cdot101}{2}=100-5050=-4950.\] **Odpowiedź.** a) \(q=\frac13\). b) Suma jest równa \(-4950\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **10.1. (1 pkt)** – wyznaczenie wyrazu \(a_{n+1}\): \(a_{n+1}=3^{-n}\). **10.2. (1 pkt)** – obliczenie ilorazu ciągu \((a_{n})\): \(q=3^{-1}\) lub \(q=\frac{1}{3}\). Jeśli zdający od razu poda prawidłowo iloraz ciągu to otrzymuje również punkt w czynności 10.1 **10.3. (1 pkt)** – zapisanie sumy logarytmów: \(S_{100}=\log_{3}1+\log_{3}(3)^{-1}+\log_{3}3^{-2}+\ldots.+\log_{3}3^{-99}\). **10.4. (1 pkt)** – zapisanie sumy logarytmów w postaci: \(S_{100}=\log_{3}3^{-(1+2+3+\ldots 99)}=\log_{3}3^{50\cdot(-99)}\). **10.5. (1 pkt)** – obliczenie sumy stu początkowych wyrazów ciągu: \(S_{100}=-4950\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(q=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt5}{2}}\approx 1{,}272\), ponieważ \(q^{4}-q^{2}-1=0\), skąd \(q^{2}=\frac{1+\sqrt5}{2}\).

**Krok \(1\).** trójkąta prostokątnego, np.: a, b, c – długości boków trójkąta **Krok \(2\).** prostokątnego i a < b < c , b = a ⋅ q , c = a ⋅ \(q_{2}\) lub \(b_{2}\) = ac . **Krok \(3\).** Wykorzystanie twierdzenie Pitagorasa i zapisanie równania, w którym **Krok \(4\).** występują najwyżej dwie niewiadome, np.: \(a_{2}\) + ( aq )\(2\) = ( \(aq2\) )\(2\) lub \(1\) **Krok \(5\).** \(a_{2}\) + ac = \(c_{2}\) . **Krok \(6\).** ⎛ c ⎞ c **Krok \(7\).** Zapisanie równania, np.: \(q_{4}\) − \(q_{2}\) − \(1 = 0\) lub ⎜ ⎟ − − \(1 = 0\) . \(1\) **Krok \(8\).** ⎝ a ⎠ a **Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **11.1. (1 pkt)** – […] trójkąta prostokątnego, np.: \(a\), \(b\), \(c\) – długości boków trójkąta prostokątnego i \(a<b<c\), \(b=a\cdot q\), \(c=a\cdot q^{2}\) lub \(b^{2}=ac\). **11.2. (1 pkt)** – wykorzystanie twierdzenie Pitagorasa i zapisanie równania, w którym występują najwyżej dwie niewiadome, np.: \(a^{2}+(aq)^{2}=\left(aq^{2}\right)^{2}\) lub \(a^{2}+ac=c^{2}\). **11.3. (1 pkt)** – zapisanie równania, np.: \(q^{4}-q^{2}-1=0\) lub \(\left(\frac{c}{a}\right)^{2}-\frac{c}{a}-1=0\). **11.4. (1 pkt)** – wykonanie podstawienia \(t=q^{2}\) lub \(t=\frac{c}{a}\) i rozwiązanie równania \(t^{2}-t-1=0\): \(t=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\vee t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\). **11.5. (1 pkt)** – obliczenie ilorazu ciągu: \(q=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(x=7\) oraz \(y=28\).

Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów sąsiednich: \[a_2^{2}=a_1\cdot a_3,\qquad 14^{2}=x\cdot y,\qquad xy=196.\] Razem z warunkiem \(x+y=35\) daje to układ \[\begin{cases}x+y=35,\\xy=196.\end{cases}\] Liczby \(x\) i \(y\) są więc pierwiastkami równania \[t^{2}-35t+196=0.\] Wyróżnik \(\Delta=1225-784=441\), \(\sqrt{\Delta}=21\), więc \[t=\frac{35-21}{2}=7\qquad\text{lub}\qquad t=\frac{35+21}{2}=28.\] Ciąg jest rosnący, więc \(a_1<a_2\), czyli \(x<14\). Stąd \(x=7\) i \(y=28\). Sprawdzenie: ciąg \((7,14,28)\) jest geometryczny o ilorazie \(2>1\), więc rosnący, a \(7+28=35\). **Odpowiedź.** \(x=7\), \(y=28\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 11.** (\(4\) pkt) Dany jest rosnący ciąg geometryczny \((a_{n})\) dla \(n\ge 1\), w którym \(a_{1}=x\), \(a_{2}=14\), \(a_{3}=y\). Oblicz \(x\) oraz \(y\), jeżeli wiadomo, że \(x+y=35\). Wykorzystuję własności ciągu geometrycznego do zapisania układu równań uwzględniającego warunki zadania: \(\begin{cases}x+y=35\\ x\cdot y=14^{2}\end{cases}\) Doprowadzam układ równań do równania postaci: \(x^{2}-35x+196=0\). Rozwiązaniem równania są liczby: \(x_{1}=7\), \(x_{2}=28\). Wyznaczam pary liczb, które są rozwiązaniem układu równań: \(\begin{cases}x_{1}=7\\ y_{1}=28\end{cases}\) oraz \(\begin{cases}x_{2}=28\\ y_{2}=7\end{cases}\). Rosnący ciąg geometryczny otrzymamy, gdy \(x=7\), \(y=28\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(k=\dfrac23\) lub \(k=2\sqrt3\) lub \(k=18\).

**Krok \(1\).** Wielomian jest już częściowo rozłożony na czynniki: dwa pierwiastki dostaniemy z trójmianu \(x^2-8x+12\), a trzecim jest \(k\). Nie wiemy jednak, na którym miejscu w ciągu geometrycznym stoi \(k\) — dlatego zadanie polega na rozpatrzeniu wszystkich trzech możliwych ustawień i sprawdzeniu w każdym dwóch rzeczy: warunku na ciąg geometryczny oraz tego, czy ciąg jest rosnący. **Krok \(2\).** Rozwiązujemy \(x^2-8x+12=0\): \(\Delta=64-48=16\), \(\sqrt{\Delta}=4\), więc \[x_1=\frac{8-4}{2}=2,\qquad x_2=\frac{8+4}{2}=6.\] Pierwiastkami wielomianu \(W\) są zatem liczby \(2\), \(6\) oraz \(k\). **Krok \(3\).** Przypominamy warunek na trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego: dla \((b_1,b_2,b_3)\) musi zachodzić \(b_2^{\,2}=b_1\cdot b_3\), przy czym żaden wyraz nie może być zerem. Ciąg jest rosnący, gdy każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego. Rozpatrujemy trzy możliwe ustawienia: \((k,2,6)\), \((2,k,6)\) oraz \((2,6,k)\). **Krok \(4\).** Ustawienie \((k,2,6)\): warunek \(2^2=k\cdot6\), czyli \(4=6k\), skąd \(k=\frac23\). Sprawdzamy monotoniczność: \(\frac23\lt2\lt6\), więc ciąg jest rosnący. Wartość \(k=\frac23\) pasuje. **Krok \(5\).** Ustawienie \((2,k,6)\): warunek \(k^2=2\cdot6=12\), skąd \(k=2\sqrt3\) lub \(k=-2\sqrt3\). Dla \(k=2\sqrt3\approx3{,}46\) mamy \(2\lt2\sqrt3\lt6\), więc ciąg jest rosnący i ta wartość pasuje. Dla \(k=-2\sqrt3\approx-3{,}46\) ciąg \(2,\ -2\sqrt3,\ 6\) nie jest rosnący, bo drugi wyraz jest mniejszy od pierwszego — tę wartość odrzucamy. **Krok \(6\).** Ustawienie \((2,6,k)\): warunek \(6^2=2\cdot k\), czyli \(36=2k\), skąd \(k=18\). Sprawdzamy: \(2\lt6\lt18\), więc ciąg jest rosnący i wartość \(k=18\) pasuje. **Krok \(7\).** Zbieramy wyniki: \(k=\frac23\) lub \(k=2\sqrt3\) lub \(k=18\). Kontrola: ilorazy tych ciągów wynoszą odpowiednio \(3\), \(\sqrt3\) i \(3\) — wszystkie są większe od \(1\) przy dodatnich wyrazach, co potwierdza, że ciągi rzeczywiście rosną. **Uwaga.** Dwie pułapki. Po pierwsze, trzeba rozważyć wszystkie trzy ustawienia — pierwiastki wielomianu nie mają z góry narzuconej kolejności, więc \(k\) może być pierwszym, drugim albo trzecim wyrazem. Po drugie, wartość \(k=-2\sqrt3\) spełnia warunek \(k^2=12\), ale daje ciąg o ujemnym ilorazie, czyli naprzemienny, który nie jest rosnący — pominięcie tego odrzucenia kosztuje punkt. **Odpowiedź.** \(k=\dfrac23\) lub \(k=2\sqrt3\) lub \(k=18\).

2.1 1 x = 2, x = 6 . 1 2 Rozważenie możliwych przypadków ciągów geometrycznych, które mogą być rosnące: 2.2 3 1 pkt za rozwiązanie każdego z przypadków. ( k, 2, 6) , ( 2, k, 6) , ( 2, 6, k ) Wyznaczenie wszystkich wartości k, dla których ciąg jest Jeśli zdający nie odrzucił rozwiązania k = −2 3 , nie 2.3 2 1 przyznajemy punktu. rosnący: k = lub k = 2 3 lub k = 18 . 3 1 pkt za [Dalsza część schematu, doklejona przez ekstrakcję, należy do kolejnego zadania z arkusza i została usunięta.]

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(q=\frac32\). b) \(a_n=12\cdot\left(\frac32\right)^{n-1}\). c) \(a_6=91{,}125\).

**a)** Z zależności \(a_3=a_1q^{2}\) otrzymujemy \[q^{2}=\frac{27}{12}=\frac94,\qquad q=\frac32\ \text{lub}\ q=-\frac32.\] Ciąg ma być rosnący, a przy \(q=-\frac32\) kolejne wyrazy zmieniałyby znak, więc \(q=\frac32\). **b)** Ze wzoru \(a_n=a_1q^{n-1}\) \[a_n=12\cdot\left(\frac32\right)^{n-1}.\] **c)** Podstawiamy \(n=6\): \[a_6=12\cdot\left(\frac32\right)^{5}=12\cdot\frac{243}{32}=\frac{729}{8}=91{,}125.\] **Odpowiedź.** \(q=\frac32\), \(a_n=12\left(\frac32\right)^{n-1}\), \(a_6=91{,}125\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 4.** (\(4\) pkt) Dany jest rosnący ciąg geometryczny, w którym \(a_{1}=12\), \(a_{3}=27\). a) Wyznacz iloraz tego ciągu. b) Zapisz wzór, na podstawie którego można obliczyć wyraz \(a_{n}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). c) Oblicz wyraz \(a_{6}\). Wyznaczam iloraz ciągu geometrycznego: \(q^{2}=\frac{a_{3}}{a_{1}}=\frac{27}{12}=\frac{9}{4}\); stąd \(q=\frac{3}{2}\) lub \(q=-\frac{3}{2}\). Odrzucam odpowiedź \(q=-\frac{3}{2}\), ponieważ \(a_{1}>0\) i ciąg jest rosnący. wniosek: ilorazem tego ciągu jest \(q=\frac{3}{2}\). Wyznaczam wzór na \(a_{n}\): \(a_{n}=12\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}\). Obliczam \(a_{6}\): \(a_{6}=12\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{5}=91\tfrac{1}{8}\). | Nr czynności | 4.1. | 4.2. | 4.3. | |---|---:|---:|---:| | Maks. liczba pkt | \(2\) | \(1\) | \(1\) |

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(p\in(-\infty,0)\cup(2,+\infty)\). b) \(p=2\).

**Krok \(1\).** Pytanie dotyczy granicy ciągu geometrycznego, a ta zależy wyłącznie od ilorazu \(q\): dla \(\lvert q\rvert\lt1\) ciąg dąży do \(0\), dla \(q=1\) jest stały i dąży do pierwszego wyrazu, a dla \(q=-1\) oraz \(\lvert q\rvert\gt1\) granicy (skończonej) nie ma. Dlatego najpierw wyznaczamy \(q\). **Krok \(2\).** Iloraz to stosunek kolejnych wyrazów: \[q=\frac{\frac{2}{p-1}}{2}=\frac1{p-1},\] przy czym musi być \(p\neq1\), aby wyrazy w ogóle istniały. Pierwszy wyraz to \(a_1=2\). **Krok \(3\).** Podpunkt a). Granica jest równa \(0\) dokładnie wtedy, gdy \[\left\lvert\frac1{p-1}\right\rvert\lt1.\] **Krok \(4\).** Ponieważ \(\left\lvert\frac1{p-1}\right\rvert=\frac1{\lvert p-1\rvert}\), nierówność ta jest równoważna \(\lvert p-1\rvert\gt1\). **Krok \(5\).** Nierówność \(\lvert p-1\rvert\gt1\) oznacza, że liczba \(p\) jest odległa od \(1\) o więcej niż \(1\), czyli \[p-1\gt1\quad\text{lub}\quad p-1\lt-1,\qquad\text{a więc}\qquad p\gt2\quad\text{lub}\quad p\lt0.\] **Krok \(6\).** Podpunkt b). Granica ma być równa \(2\), czyli pierwszemu wyrazowi. Dla \(\lvert q\rvert\lt1\) granica wynosi \(0\), a dla \(\lvert q\rvert\gt1\) lub \(q=-1\) granicy nie ma, więc jedyna możliwość to ciąg stały, czyli \(q=1\). **Krok \(7\).** Rozwiązujemy \( \frac1{p-1}=1\): stąd \(p-1=1\), czyli \(p=2\). Wtedy ciąg ma postać \(2,2,2,\ldots\) i jego granicą jest \(2\). **Uwaga.** Pytanie dotyczy granicy ciągu, a nie sumy szeregu geometrycznego — to zupełnie inne warunki. Zauważ też, że \(p=2\) nie należy do odpowiedzi z podpunktu a), bo wtedy granicą jest \(2\), a nie \(0\). **Odpowiedź.** a) \(p\in(-\infty,0)\cup(2,+\infty)\); b) \(p=2\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **15.1. (1 pkt)** – […] \(p-1\) […] i \(p\neq 1\). **15.2. (2 pkt)** – Rozwiązanie nierówności \(\left|\frac{1}{p-1}\right|<1\): \(p\in(-\infty;0)\cup(2;\infty)\), w tym: • 1 punkt za metodę rozwiązania • 1 punkt za napisanie rozwiązania nierówności **15.3. (1 pkt)** – Zapisanie warunku zbieżności ciągu do liczby \(2\): \(\frac{1}{p-1}=1\) **15.4. (1 pkt)** – Rozwiązanie równania \(\frac{1}{p-1}=1\) i podanie wartości parametru \(p\): \(p=2\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Na półce górnej stoi \(16\) płyt, a na półce dolnej \(36\) płyt.

**Krok \(1\).** W zadaniu pojawia się rosnący ciąg geometryczny o trzech wyrazach, przy czym znamy wyraz środkowy i sumę wszystkich trzech. Kluczowa własność, z której skorzystamy, brzmi: w ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów sąsiednich, czyli \(a_2^2=a_1\cdot a_3\). Razem z warunkiem na sumę da to układ dwóch równań. **Krok \(2\).** Oznaczamy: \(x\) — liczba płyt na półce górnej, \(24\) — na środkowej, \(z\) — na dolnej. Z treści \(x\), \(24\), \(z\) tworzą w tej kolejności ciąg geometryczny rosnący, więc \(0\lt x\lt 24\lt z\). **Krok \(3\).** Z własności ciągu geometrycznego: \[24^2=x\cdot z,\qquad\text{czyli}\qquad x\cdot z=576.\] **Krok \(4\).** Z warunku na łączną liczbę płyt: \[x+24+z=76,\qquad\text{czyli}\qquad x+z=52.\] **Krok \(5\).** Z drugiego równania wyznaczamy \(z=52-x\) i wstawiamy do pierwszego: \[x\,(52-x)=576,\] \[52x-x^2=576,\] \[x^2-52x+576=0.\] **Krok \(6\).** Liczymy wyróżnik: \[\Delta=(-52)^2-4\cdot1\cdot576=2704-2304=400,\qquad\sqrt{\Delta}=20,\] \[x_1=\frac{52-20}{2}=16,\qquad x_2=\frac{52+20}{2}=36.\] **Krok \(7\).** Wybieramy rozwiązanie zgodne z warunkami zadania. Ciąg ma być rosnący, więc na górnej półce musi stać mniej płyt niż na środkowej: \(x\lt24\). Warunek ten spełnia tylko \(x=16\). Wtedy \(z=52-16=36\). **Krok \(8\).** Sprawdzenie: \(16+24+36=76\) — zgadza się, a \(\frac{24}{16}=\frac{36}{24}=\frac32\), więc ciąg \(16,\,24,\,36\) rzeczywiście jest geometryczny i rosnący. **Uwaga.** Równanie kwadratowe daje dwie liczby, \(16\) i \(36\), i obie mają sens jako liczby płyt — to nie jest tak, że jedną odrzucamy jako bezsensowną. One po prostu opisują te same trzy półki, tylko w odwrotnej kolejności. To słowo rosnący decyduje, że \(16\) stoi na górze, a \(36\) na dole. **Odpowiedź.** Na półce górnej stoi \(16\) płyt, a na półce dolnej \(36\) płyt.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **4.1. (1 pkt)** – wprowadzenie oznaczeń, np.: […] \(x<24\) i \(x\in N\), \(24\) – liczba płyt ustawionych na środkowej półce, \(24\cdot\frac{24}{x}\) – liczba płyt ustawionych na dolnej półce **4.2. (1 pkt)** – wykorzystanie sumy trzech wyrazów ciągu geometrycznego i ułożenie równania z niewiadomą \(x\): \(x+24+\frac{576}{x}=76\) (*) **4.3. (1 pkt)** – przekształcenie równania (*) do postaci (**): \(x^{2}-52x+576=0\) (**) **4.4. (1 pkt)** – rozwiązanie równania (**): \(x_{1}=16\), \(x_{2}=36\) **4.5. (1 pkt)** – zapisanie odpowiedzi zgodnie z warunkami zadania. Na górnej półce jest \(16\) płyt, zaś na dolnej półce jest ich \(36\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Iloczyn dziewiętnastu początkowych wyrazów jest równy \(a_{10}^{19}=10^{19}\).

Oznaczmy pierwszy wyraz przez \(a_1\), a iloraz przez \(q\); wtedy \(a_k=a_1q^{k-1}\). Iloczyn dziewiętnastu początkowych wyrazów jest równy \[a_1a_2\ldots a_{19}=a_1^{19}\cdot q^{0+1+2+\ldots+18}=a_1^{19}q^{171}=\left(a_1q^{9}\right)^{19}=a_{10}^{19},\] bo \(0+1+\ldots+18=\frac{18\cdot19}{2}=171=9\cdot19\). To samo widać krócej: wyrazy jednakowo oddalone od \(a_{10}\) spełniają \(a_{10-i}\cdot a_{10+i}=a_{10}^{2}\), a wyrazów jest nieparzyście wiele. Ponieważ \(a_{10}=10\), szukany iloczyn wynosi \[a_{10}^{19}=10^{19}.\] **Odpowiedź.** \(10^{19}\)

**[…]. ([…] pkt)** – […] wyrazów danego ciągu do postaci \(a_{1}\cdot q\). **18. (1 pkt)** – przekształcenie iloczynu dziewiętnastu początkowych, kolejnych wyrazów danego ciągu do postaci \(a_{1}^{19}\cdot q^{19\cdot 9}\). **19. (1 pkt)** – przekształcenie iloczynu dziewiętnastu początkowych, kolejnych wyrazów danego ciągu do postaci \(\left(a_{1}\cdot q^{9}\right)^{19}\). **20. (1 pkt)** – zapisanie odpowiedzi: Iloczyn dziewiętnastu początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu jest równy \(10^{19}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.