Własności prawdopodobieństwa — zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku

Pan Nowak musi rozegrać co najmniej \(6\) partii.

Prawdopodobieństwo przegrania jednej partii wynosi \(0{,}6\). Dla \(n\) partii prawdopodobieństwo przynajmniej jednej wygranej jest równe \[1-(0{,}6)^n.\] Rozwiązujemy nierówność \[1-(0{,}6)^n>0{,}95\iff(0{,}6)^n<0{,}05.\] Najmniejszą liczbą naturalną spełniającą warunek jest \(n=6\).

**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(n=6\). **3 pkt** – zapisanie nierówności \(1-(0{,}6)^n>0{,}95\). **2 pkt** – zapisanie \(1-P(S_n^0)>0{,}95\). **1 pkt** – określenie prawdopodobieństw sukcesu \(0{,}4\) i porażki \(0{,}6\). **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. 2R) Zdający stosuje schemat Bernoullego.

Pan Nowak musi rozegrać co najmniej \(6\) partii.

Prawdopodobieństwo wygranej ojca w jednej partii wynosi \(0{,}4\), a przegranej \(0{,}6\). Dla \(n\) niezależnych partii prawdopodobieństwo, że ojciec nie wygra żadnej, jest równe \((0{,}6)^n\). Zatem \[1-(0{,}6)^n>0{,}95,\] czyli \[(0{,}6)^n<0{,}05.\] Ponieważ \((0{,}6)^5=0{,}07776>0{,}05\), natomiast \((0{,}6)^6=0{,}046656<0{,}05\), najmniejszą możliwą liczbą partii jest \(n=6\).

**4 pkt** – rozwiązanie nierówności \(1-(0{,}6)^n>0{,}95\) i odpowiedź \(n\ge6\) **3 pkt** – zastosowanie schematu Bernoulliego i zapisanie tej nierówności **2 pkt** – zapisanie \(1-P(S_n^0)>0{,}95\) **1 pkt** – obliczenie prawdopodobieństw sukcesu \(0{,}4\) i porażki \(0{,}6\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. dobieranie i tworzenie modeli matematycznych dla problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XII.2R stosowanie schematu Bernoulliego.

\[P(B\setminus A)=\frac{11}{35}=0{,}314285\ldots\] Należy zakodować cyfry **\(314\)**.

Zdarzenie \(A\cup B\) jest rozłączną sumą zdarzeń \(A\) oraz \(B\setminus A\). Zatem \[P(B\setminus A)=P(A\cup B)-P(A)=\frac35-\frac27=\frac{21-10}{35}=\frac{11}{35}.\] Rozwinięcie dziesiętne zaczyna się od \(0{,}314\ldots\), więc kod ma postać \(314\).

**2 pkt** – poprawne zakodowanie cyfr \(314\) **1 pkt** – poprawne wyznaczenie \(P(B\setminus A)=\frac{11}{35}\) albo poprawne rozpoczęcie rozwinięcia dziesiętnego bez prawidłowego kodu **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Klasyfikacja CKE:** prawdopodobieństwo - suma i różnica zdarzeń oraz działania na prawdopodobieństwach.

**D.** \(\frac56\)

Zdarzenia \(A\) i \(A'\) są przeciwne, więc \[P(A)+P(A')=1.\] Podstawiamy warunek \(P(A)=5\cdot P(A')\): \[5\,P(A')+P(A')=1,\qquad 6\,P(A')=1,\qquad P(A')=\frac16.\] Stąd \[P(A)=1-\frac16=\frac56.\] **Odpowiedź.** D. \(\frac56\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** stosowanie własności prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**B.** \(P(A\cup B)=0{,}7\)

Z założenia \(B\subset A\), więc suma tych zdarzeń jest równa zdarzeniu większemu: \[A\cup B=A.\] Zatem \[P(A\cup B)=P(A)=0{,}7.\] **Odpowiedź.** B. \(P(A\cup B)=0{,}7\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: B.

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Prawdopodobieństwo i statystyka.

\(0\),\(4\)

Z założenia \(A\subset B\), więc suma tych zdarzeń jest równa zdarzeniu większemu: \[A\cup B=B.\] Zatem \[P(A\cup B)=P(B)=0{,}4.\] Wartość \(P(A)=0{,}3\) jest tu zgodna z założeniem (musi zachodzić \(P(A)\leq P(B)\)), ale do wyniku niepotrzebna. **Odpowiedź.** \(P(A\cup B)=0{,}4\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(0{,}4\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Prawdopodobieństwo i statystyka.

\(0\),\(4\)

Zdarzenie \(B\setminus A\) zawiera te wyniki z \(B\), które nie należą do \(A\). Ponieważ \(A\subset B\), zdarzenia \(A\) i \(B\setminus A\) są rozłączne, a ich sumą jest \(B\). Stąd \[P(B)=P(A)+P(B\setminus A),\] czyli \[P(B\setminus A)=P(B)-P(A).\] Podstawiamy: \[P(B\setminus A)=0{,}7-0{,}3=0{,}4.\] **Odpowiedź.** \(P(B\setminus A)=0{,}4\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(0{,}4\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Prawdopodobieństwo i statystyka.

\[P(A^{\prime}\cap B^{\prime})=\frac1{12}.\]

Z prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego wyznaczamy \(P(A)\) i \(P(B)\): \[P(A)=1-P(A^{\prime})=1-\frac13=\frac23,\qquad P(B)=1-P(B^{\prime})=1-\frac14=\frac34.\] Ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń \[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac23+\frac34-\frac12=\frac{8+9-6}{12}=\frac{11}{12}.\] Z praw De Morgana \(A^{\prime}\cap B^{\prime}=(A\cup B)^{\prime}\), zatem \[P(A^{\prime}\cap B^{\prime})=1-P(A\cup B)=1-\frac{11}{12}=\frac1{12}.\] **Odpowiedź.** \(P(A^{\prime}\cap B^{\prime})=\frac1{12}\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **4.1. (1 pkt)** – obliczenie prawdopodobieństw: \(P(A)=\frac{[…]}{3}\), \(P(B)=\frac{[…]}{4}\). **4.2. (1 pkt)** – zastosowanie prawa De Morgana: \(A'\cap B'=(A\cup B)'\). Zdający nie musi wprost zapisywać prawa De Morgana. **4.3. (1 pkt)** – wykorzystanie wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń. **4.4. (1 pkt)** – obliczenie wartości \(P(A'\cap B')\): \(P(A'\cap B')=\frac{1}{12}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Teza wynika z równości \(\bigl(1-P(A)\bigr)\bigl(1-P(B)\bigr)=0\), otrzymanej z warunku \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B)=1\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie na dowód, w którym mamy do dyspozycji dokładnie dwa fakty. Pierwszy to wzór na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\). Drugi to definicja niezależności: \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\). Teza mówi o alternatywie (jedno albo drugie prawdopodobieństwo równe \(1\)), a to zwykle sygnał, że gdzieś pojawi się iloczyn równy zeru. **Krok \(2\).** Zapisujemy wzór na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń: \[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).\] **Krok \(3\).** Korzystamy z niezależności zdarzeń \(A\) i \(B\), zastępując \(P(A\cap B)\) iloczynem: \[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B).\] **Krok \(4\).** Wstawiamy założenie \(P(A\cup B)=1\): \[P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B)=1.\] **Krok \(5\).** Przenosimy wszystko na jedną stronę tak, aby po drugiej zostało zero: \[1-P(A)-P(B)+P(A)\cdot P(B)=0.\] **Krok \(6\).** Grupujemy wyrazy i wyłączamy wspólny czynnik przed nawias: \[\bigl(1-P(A)\bigr)-P(B)\bigl(1-P(A)\bigr)=0,\qquad \bigl(1-P(A)\bigr)\bigl(1-P(B)\bigr)=0.\] **Krok \(7\).** Iloczyn dwóch liczb rzeczywistych jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem. Zatem \(1-P(A)=0\) lub \(1-P(B)=0\), czyli \(P(A)=1\) lub \(P(B)=1\). To kończy dowód. **Uwaga.** Najtrudniejszym momentem jest krok \(6\) — trzeba wpaść na pomysł zwinięcia wyrażenia \(1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)\) do iloczynu. Podpowiedzią jest sama teza: skoro mamy udowodnić alternatywę, naturalnym narzędziem jest własność iloczynu równego zeru. Zwróć też uwagę, że słowo lub nie wyklucza sytuacji, w której oba prawdopodobieństwa są równe \(1\) — teza mówi o co najmniej jednym zdarzeniu pewnym. **Odpowiedź.** Teza wynika z równości \(\bigl(1-P(A)\bigr)\bigl(1-P(B)\bigr)=0\), otrzymanej z warunku \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B)=1\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **16.1. (1 pkt)** – […] zdarzeń. **16.2. (2 pkt)** – wykorzystanie niezależności zdarzeń i otrzymanie równania \(\left(1-P(A)\right)\left(1-P(B)\right)=0\). **16.3. (1 pkt)** – wywnioskowanie, że przynajmniej jedno ze zdarzeń \(A\) lub \(B\) jest zdarzeniem pewnym.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Zdarzenia \(A\) i \(B\) nie są rozłączne, ponieważ \(P(A\cap B)\geq\frac7{132}>0\).

Załóżmy nie wprost, że zdarzenia \(A\) i \(B\) są rozłączne, czyli \(A\cap B=\varnothing\). Wtedy \[P(A\cup B)=P(A)+P(B).\] Podstawiamy dane: \[P(A)+P(B)=\frac5{12}+\frac7{11}=\frac{55}{132}+\frac{84}{132}=\frac{139}{132}.\] Otrzymaliśmy \(P(A\cup B)=\frac{139}{132}>1\), co przeczy temu, że prawdopodobieństwo każdego zdarzenia spełnia \(P(A\cup B)\leq1\). Założenie o rozłączności prowadzi więc do sprzeczności. Ten sam wniosek daje rachunek wprost. Ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy \[P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\geq\frac{139}{132}-1=\frac7{132}>0,\] zatem \(A\cap B\neq\varnothing\). **Odpowiedź.** Zdarzenia \(A\) i \(B\) nie są rozłączne.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **14.1. (1 pkt)** – […] i zapisanie, że \(P(A\cap B)=\frac{139}{132}-P(A\cup B)\). **14.2. (1 pkt)** – Zauważenie i zapisanie, że \(P(A\cup B)\le 1\). **14.3. (1 pkt)** – Wywnioskowanie z powyższych warunków, że \(P(A\cap B)>0\). **14.4. (1 pkt)** – Zapisanie odpowiedzi: zdarzenia \(A\) i \(B\) nie są rozłączne (\(A\cap B\neq\emptyset\)). **Inna metoda (4 pkt)** 1. Użycie wzoru \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\), gdy \(A\cap B=\emptyset\) – 1 pkt 2. Stwierdzenie, że \(P(A)+P(B)>1\) – 1 pkt 3. Stwierdzenie sprzeczności (np. z warunku \(P(A\cup B)\le 1\)) i wniosek \(A\cap B\neq\emptyset\) – 2 pkt

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.