Równania kwadratowe — wyróżnik, wzory Viète'a i postać iloczynowa

\[x\approx8{,}99\,\mathrm{m}.\]

Przy zetknięciu z parkietem środek piłki jest na wysokości promienia, więc \[0{,}12=-0{,}174x^2+1{,}3x+2{,}5,\] \[0{,}174x^2-1{,}3x-2{,}38=0.\] Dla tego równania \(\Delta=3{,}34648\), zatem \[x_1=\frac{1{,}3-\sqrt{3{,}34648}}{0{,}348}\approx-1{,}52,\qquad x_2=\frac{1{,}3+\sqrt{3{,}34648}}{0{,}348}\approx8{,}99.\] Znaczenie fizyczne ma dodatni pierwiastek.

**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(8{,}99\,\mathrm{m}\) **2 pkt** – poprawne rozwiązanie równania \(0{,}174x^2-1{,}3x-2{,}38=0\) **1 pkt** – zapisanie równania \(0{,}12=-0{,}174x^2+1{,}3x+2{,}5\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** III.4) Zdający rozwiązuje równania kwadratowe. V.11) Wykorzystuje funkcję kwadratową do interpretacji zagadnień praktycznych.

B. dziesięciokąt

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, jak zamienić słowa na równanie. W \(n\)-kącie liczba boków wynosi \(n\), a liczbę przekątnych podano w treści: \(\frac{n(n-3)}{2}\). Sformułowanie, że przekątnych jest o \(25\) więcej niż boków, znaczy: liczba przekątnych \(=\) liczba boków \(+\,25\). To daje równanie z jedną niewiadomą \(n\). **Krok \(2\).** Zapisujemy je: \[\frac{n(n-3)}{2}=n+25.\] **Krok \(3\).** Mnożymy obie strony przez \(2\), żeby usunąć ułamek: \[n(n-3)=2n+50.\] **Krok \(4\).** Wymnażamy i przenosimy wszystko na lewą stronę: \[n^{2}-3n=2n+50\ \Longrightarrow\ n^{2}-5n-50=0.\] **Krok \(5\).** Rozwiązujemy równanie kwadratowe. Wyróżnik: \[\Delta=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot(-50)=25+200=225,\qquad\sqrt{\Delta}=15.\] Stąd \[n_{1}=\frac{5-15}{2}=-5,\qquad n_{2}=\frac{5+15}{2}=10.\] **Krok \(6\).** Wracamy do sensu zadania: \(n\) jest liczbą boków wielokąta, więc musi być liczbą naturalną i \(n\geq3\). Rozwiązanie \(n=-5\) odrzucamy, zostaje \(n=10\). **Krok \(7\).** Sprawdzamy: dziesięciokąt ma \(\frac{10\cdot(10-3)}{2}=\frac{70}{2}=35\) przekątnych i \(10\) boków, a \(35-10=25\) — zgodnie z warunkiem. **Uwaga.** Ujemnego pierwiastka nie wolno tu zostawić — liczba boków nie może być ujemna. Warto też sprawdzić, że pozostałe odpowiedzi nie pasują: siedmiokąt ma \(14\) przekątnych (\(14-7=7\)), dwunastokąt \(54\) (\(54-12=42\)), a piętnastokąt \(90\) (\(90-15=75\)). **Odpowiedź.** B: dziesięciokąt

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Egzamin maturalny z matematyki (poziom podstawowy) – termin główny 2021 r.

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.4) Zdający rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą.

B. dokładnie jedno rozwiązanie: x = \(2\)

**Krok \(1\).** adanie \(10\). (\(0\)—\(1\)) **Krok \(2\).** Wymaganie ogólne **Krok \(3\).** l. Wykorzystanie **Krok \(4\).** i tworzenie informacji. **Krok \(5\).** Wymaganie szczegółowe **Krok \(6\).** \(3\). Równania i nierówności. Zdający **Krok \(7\).** sprawdza, czy dana liczba **Krok \(8\).** rzeczywista jest rozwiązaniem **Odpowiedź.** B. dokładnie jedno rozwiązanie: x = \(2\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Poprawna odpowiedź: […]

**Wymaganie ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** 3. Równania i nierówności. Zdający sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności (3.1).

**C.** \(x=-\frac15\) i \(x=1\)

Przenosimy prawą stronę na lewą i wyłączamy wspólny czynnik: \[x(5x+1)-(5x+1)=0,\] \[(5x+1)(x-1)=0.\] Stąd \(5x+1=0\) lub \(x-1=0\), czyli \[x=-\frac15\quad\text{lub}\quad x=1.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje wyłącznie odpowiedzi. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania - wyłączanie wspólnego czynnika i własność iloczynu równego zeru.

**B.** \(0\) oraz \(\frac12\).

Ponieważ \(1-2x=-(2x-1)\), równanie ma postać \[(2x-1)(x-2)=-(2x-1)(x+2).\] Przenosimy wszystko na lewą stronę: \[(2x-1)\bigl((x-2)+(x+2)\bigr)=2x(2x-1)=0.\] Stąd \(x=0\) lub \(x=\frac12\).

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE podaje tylko odpowiedź. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności, równanie iloczynowe.

**D.** Równanie ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste.

Wyróżnik jest dodatni: \[\Delta=11^2-4\cdot2\cdot3=97>0,\] więc równanie ma dwa różne pierwiastki. Ze wzorów Viète'a \[x_1+x_2=-\frac{11}{2}<0,\qquad x_1x_2=\frac32>0.\] Pierwiastki mają ten sam znak i ujemną sumę, więc oba są ujemne.

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania kwadratowe, wyróżnik i wzory Viète'a.

\[575.\] Należy zakodować cyfry \(5,7,5\).

Ze wzorów Viète'a \[x_1+x_2=-48,\qquad x_1x_2=2.\] Zatem \[\frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}=\frac{(-48)^2-2\cdot2}{2^2}=575.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawny wynik \(575\) i kod \(575\) **1 pkt** – poprawne zastosowanie wzorów Viète'a i przekształcenie wyrażenia **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi. **Wymagania szczegółowe:** 3.1. R. Zdający stosuje wzory Viète'a.

**B.** \(-3\).

Rozkładamy trójmian na czynniki: \[x^2+5x+6=(x+2)(x+3).\] Pierwiastkami równania są \(x=-2\) i \(x=-3\). Mniejszą z tych liczb jest \(-3\).

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **B** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 3.4. Zdający rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą.

W roku \(2015\) Marek ma \(55\) lat.

Niech \(x\) oznacza wiek Marka w roku \(2015\). Wiek Marka sprzed \(27\) lat wynosi \(x-27\), wiek za \(15\) lat wyniesie \(x+15\), a rok jego urodzenia to \(2015-x\). Z warunku zadania otrzymujemy równanie \[(x-27)(x+15)=2015-x.\] Po rozwinięciu i uporządkowaniu \[x^2-12x-405=2015-x,\] czyli \[x^2-11x-2420=0.\] Rozkładamy trójmian na czynniki: \[(x-55)(x+44)=0.\] Stąd \(x=55\) lub \(x=-44\). Ujemny wiek odrzucamy, zatem w roku \(2015\) Marek ma \(55\) lat.

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 5 pkt** – poprawna odpowiedź \(55\) lat wraz z pełnym modelem, rozwiązaniem równania i odrzuceniem ujemnego pierwiastka **4 pkt** – poprawne wyznaczenie pierwiastków \(55\) i \(-44\) na podstawie prawidłowego równania, z niepełnym wnioskiem **3 pkt** – doprowadzenie do równania \(x^2-11x-2420=0\) **2 pkt** – poprawne zapisanie modelu \((x-27)(x+15)=2015-x\) **1 pkt** – oznaczenie obecnego wieku przez \(x\) i poprawne wyrażenie co najmniej dwóch wielkości z treści zadania **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. Zdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu. **Wymagania szczegółowe:** 3.4. Zdający rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą.

**B.** \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=0\)

Równanie \(2(x+2)(x-2)=0\) jest zapisane w postaci iloczynowej, więc jego pierwiastkami są \[x_1=-2,\qquad x_2=2.\] Oba są różne od zera, więc odwrotności istnieją. Obliczamy sumę odwrotności: \[\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{-2}+\frac{1}{2}=0.\] **Odpowiedź.** B: \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=0\)

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wyznaczanie miejsca zerowego funkcji kwadratowej (I.4.j).

Szukane liczby to \(-1,\ 0,\ 1,\ 2\). Jeśli \(a\) jest najmniejszą z nich, to warunek zadania daje równanie \(a+3=a^2+(a+1)^2+(a+2)^2\), czyli \(3a^2+5a+2=0\); jego pierwiastkami są \(-1\) oraz \(-\frac23\), a warunek całkowitości spełnia tylko \(a=-1\).

**Krok \(1\).** Sformułowanie *cztery kolejne liczby całkowite* podpowiada oznaczenie: wystarczy jedna niewiadoma, bo każda następna liczba jest o \(1\) większa. Warunek z treści przełożymy na równanie, które okaże się kwadratowe. **Krok \(2\).** Niech \(a\) będzie najmniejszą z tych liczb, \(a\in\mathbb{Z}\). Kolejne to \(a+1\), \(a+2\), \(a+3\), przy czym największa z nich to \(a+3\). **Krok \(3\).** Warunek zadania (największa liczba równa sumie kwadratów trzech pozostałych) zapisujemy jako \[a+3=a^2+(a+1)^2+(a+2)^2.\] **Krok \(4\).** Rozwijamy kwadraty po prawej stronie: \[a^2+\left(a^2+2a+1\right)+\left(a^2+4a+4\right)=3a^2+6a+5.\] **Krok \(5\).** Przenosimy wszystko na jedną stronę i redukujemy wyrazy podobne: \[a+3=3a^2+6a+5,\qquad 0=3a^2+5a+2.\] **Krok \(6\).** Rozwiązujemy równanie kwadratowe \(3a^2+5a+2=0\): \[\Delta=5^2-4\cdot3\cdot2=25-24=1,\qquad\sqrt\Delta=1,\] \[a_1=\frac{-5-1}{6}=-1,\qquad a_2=\frac{-5+1}{6}=-\frac23.\] **Krok \(7\).** Liczba \(-\frac23\) nie jest całkowita, a treść wymaga liczb całkowitych — odrzucamy ten pierwiastek. Zostaje \(a=-1\). **Krok \(8\).** Szukane liczby to \(-1\), \(0\), \(1\), \(2\). Sprawdzenie: \((-1)^2+0^2+1^2=1+0+1=2\), a największa z tych liczb to właśnie \(2\). **Uwaga.** Odrzucenie pierwiastka \(-\frac23\) jest pełnoprawną częścią rozwiązania, a nie formalnością — bez uzasadnienia, że musi być \(a\in\mathbb{Z}\), zadanie miałoby dwie czwórki liczb. **Odpowiedź.** Szukane liczby to \(-1\), \(0\), \(1\), \(2\).

**1 pkt** – zapisanie, że szukane liczby to: \(a\), \(a+1\), \(a+2\), \(a+3\), gdzie \(a\) jest liczbą całkowitą. **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą: \(a+3=a^{2}+(a+1)^{2}+(a+2)^{2}\) lub \(3a^{2}+5a+2=0\). **3 pkt** – przekształcenie równania \(a+3=a^{2}+(a+1)^{2}+(a+2)^{2}\) do postaci równania kwadratowego z błędem rachunkowym (na przykład błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu) i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste); albo poprawne rozwiązanie równania kwadratowego \(3a^{2}+5a+2=0\), nieodrzucenie rozwiązania \(-\frac{2}{3}\) i podanie w odpowiedzi dwóch czwórek liczb. **4 pkt** – zapisanie czwórki liczb całkowitych spełniających warunki zadania: \(-1\), \(0\), \(1\), \(2\). Uwagi: jeżeli zdający źle zinterpretuje treść zadania, to za całe rozwiązanie otrzymuje \(0\) punktów. Jeśli zdający bez wykonywania rachunków poda odpowiedź i nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje \(1\) punkt.

III. Modelowanie matematyczne. Rozwiązanie zadania prowadzącego do równania kwadratowego. (III.3.b)

**C.** \(-\dfrac{3}{2}\)

**Krok \(1\).** Pytanie dotyczy wyłącznie **sumy** pierwiastków, a nie każdego z osobna. Do tego służą wzory Viète'a: dla równania \(ax^2+bx+c=0\) o dwóch rozwiązaniach zachodzi \[x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.\] Dzięki nim nie musimy w ogóle wyciągać pierwiastka z wyróżnika. **Krok \(2\).** Odczytujemy współczynniki równania \(2x^2+3x-7=0\): \[a=2,\qquad b=3,\qquad c=-7.\] **Krok \(3\).** Upewniamy się, że pierwiastki rzeczywiście istnieją i są różne (o czym zresztą mówi treść): \[\Delta=3^2-4\cdot2\cdot(-7)=9+56=65 \gt 0.\] **Krok \(4\).** Korzystamy ze wzoru na sumę: \[x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}.\] **Krok \(5\).** Kontrola drogą dłuższą: \(x=\frac{-3\pm\sqrt{65}}{4}\), więc \[x_1+x_2=\frac{-3-\sqrt{65}}{4}+\frac{-3+\sqrt{65}}{4}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}.\] Pierwiastki się skróciły — wynik ten sam. **Uwaga.** Łatwo pomylić trzy podobne wyrażenia: \(-\frac{b}{a}=-\frac32\) to suma pierwiastków, \(\frac{c}{a}=-\frac72\) to ich iloczyn (odpowiedź A jest właśnie taką pułapką), a \(-\frac{b}{2a}=-\frac34\) to pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli (pułapka D). **Odpowiedź.** C: \(-\dfrac{3}{2}\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Obliczenie sumy rozwiązań równania kwadratowego (II.3.a).

Niech \(t\) oznacza czas jazdy pociągu osobowego, a \(v\) — jego średnią prędkość. Wtedy \(tv=210\) oraz \((t-1)(v+24)=210\). Po podstawieniu \(v=\frac{210}{t}\) otrzymujemy \(24t^{2}-24t-210=0\), czyli \(4t^{2}-4t-35=0\). Jedynym dodatnim rozwiązaniem jest \(t=3{,}5\) godziny, więc pociąg pospieszny jedzie \(3{,}5-1=2{,}5\) godziny.

**Krok \(1\).** Metoda: korzystamy ze wzoru \(s=v\cdot t\) i układamy układ dwóch równań — jedno dla pociągu osobowego, drugie dla pospiesznego. **Krok \(2\).** Wprowadzamy oznaczenia: niech \(v\) (w \(\mathrm{km/h}\)) będzie średnią prędkością pociągu osobowego, a \(t\) (w godzinach) — jego czasem przejazdu. Wtedy pociąg pospieszny ma prędkość \(v+24\) i czas przejazdu \(t-1\). Z natury zadania \(v\gt 0\) i \(t\gt 1\). **Krok \(3\).** Zapisujemy oba przejazdy tej samej trasy o długości \(210\ \mathrm{km}\): \[t\cdot v=210\qquad\text{oraz}\qquad (t-1)(v+24)=210.\] **Krok \(4\).** Z pierwszego równania \(v=\frac{210}{t}\). Podstawiamy do drugiego: \[(t-1)\left(\frac{210}{t}+24\right)=210.\] **Krok \(5\).** Wykonujemy mnożenie i porządkujemy: \[210+24t-\frac{210}{t}-24=210,\qquad\text{czyli}\qquad 24t-\frac{210}{t}-24=0.\] Mnożymy obie strony przez \(t\neq 0\): \[24t^{2}-24t-210=0,\qquad\text{czyli}\qquad 4t^{2}-4t-35=0.\] **Krok \(6\).** Rozwiązujemy to równanie kwadratowe: \[\Delta=(-4)^{2}-4\cdot 4\cdot(-35)=16+560=576,\qquad \sqrt{\Delta}=24,\] \[t=\frac{4-24}{8}=-2{,}5\qquad\text{lub}\qquad t=\frac{4+24}{8}=3{,}5.\] **Krok \(7\).** Odrzucamy \(t=-2{,}5\), bo czas musi być dodatni. Zostaje \(t=3{,}5\) godziny — to czas jazdy pociągu osobowego (jego prędkość to \(v=\frac{210}{3{,}5}=60\ \mathrm{km/h}\)). **Krok \(8\).** Czas pociągu pospiesznego jest o godzinę krótszy: \[t-1=3{,}5-1=2{,}5\ \text{godziny}.\] Sprawdzenie: prędkość pospiesznego to \(60+24=84\ \mathrm{km/h}\), a \(84\cdot 2{,}5=210\ \mathrm{km}\) — zgadza się. **Uwaga.** Pytanie dotyczy pociągu pospiesznego, a rozwiązaniem równania jest czas pociągu osobowego. Łatwo zatrzymać się o krok za wcześnie i podać \(3{,}5\) godziny. **Odpowiedź.** Pociąg pospieszny pokonuje trasę w czasie \(2{,}5\) godziny.

1 pkt: zapisanie poprawnej zależności z dwiema niewiadomymi, np. (t − 1)(v + 24) = 210. 2 pkt: zapisanie poprawnego układu równań. 3 pkt: doprowadzenie do równania z jedną niewiadomą. 4 pkt: rozwiązanie do końca z drobną usterką albo obliczenie tylko czasu pociągu osobowego 3,5 h. 5 pkt: obliczenie czasu pociągu pospiesznego 2,5 h.

Modelowanie matematyczne. Rozwiązanie zadania umieszczonego w kontekście praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego (III.3.b).

**C.** \(40\)

Iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się jeden z czynników, zatem \[x_1=-2,\qquad x_2=6\] (czynnik \(4\) jest różny od zera). Stąd \[x_1^2+x_2^2=(-2)^2+6^2=4+36=40.\] **Odpowiedź.** C. \(40\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie pierwiastków równania zapisanego w postaci iloczynowej i obliczanie wyrażenia symetrycznego \(x_1^2+x_2^2\) Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

Dla \(c\lt0\) zachodzi \(\Delta=b^{2}-4c\gt0\), więc trójmian ma dwa różne miejsca zerowe.

**Krok \(1\).** Pytanie o liczbę miejsc zerowych trójmianu kwadratowego rozstrzyga znak wyróżnika: dwa różne miejsca zerowe istnieją dokładnie wtedy, gdy \(\Delta\gt0\). Naszym zadaniem jest więc wykazać, że przy założeniu \(c\lt0\) wyróżnik jest dodatni. **Krok \(2\).** Odczytujemy współczynniki trójmianu \(y=x^{2}+bx+c\): przy \(x^{2}\) stoi \(1\), przy \(x\) stoi \(b\), wyrazem wolnym jest \(c\). Wyróżnik wynosi \[\Delta=b^{2}-4\cdot1\cdot c=b^{2}-4c.\] **Krok \(3\).** Pierwszy składnik szacujemy z dołu: kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc \(b^{2}\geq0\). **Krok \(4\).** Drugi składnik szacujemy, korzystając z założenia. Skoro \(c\lt0\), to po pomnożeniu obu stron przez liczbę ujemną \(-4\) znak nierówności się odwraca: \[-4c\gt0.\] **Krok \(5\).** Łączymy oba oszacowania: \[\Delta=b^{2}+(-4c)\geq0+(-4c)=-4c\gt0.\] Zatem \(\Delta\gt0\) dla każdej liczby rzeczywistej \(b\), o ile tylko \(c\lt0\). **Krok \(6\).** Dodatni wyróżnik oznacza, że trójmian ma dwa różne pierwiastki \[x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2},\qquad x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2},\] a to właśnie mieliśmy wykazać. **Uwaga.** Nie wystarczy napisać, że \(b^{2}-4c\gt0\), skoro \(c\lt0\). Trzeba połączyć dwa fakty: nieujemność kwadratu \(b^{2}\geq0\) oraz odwrócenie znaku przy mnożeniu przez liczbę ujemną, czyli \(-4c\gt0\). O współczynniku \(b\) niczego nie zakładamy i zakładać nie trzeba. **Odpowiedź.** Dla \(c\lt0\) zachodzi \(\Delta=b^{2}-4c\geq-4c\gt0\), więc trójmian \(y=x^{2}+bx+c\) ma dwa różne miejsca zerowe.

2 pkt: pełne uzasadnienie, że wyróżnik jest dodatni i trójmian ma dwa różne miejsca zerowe.

Zadanie 31. (0–2) Wykaż, że jeżeli c  0 , to trójmian kwadratowy y  x2  bx  c ma dwa różne miejsca zerowe. Rozumowanie i argumentacja Bada funkcję kwadratową. Rozwiązanie Zapisujemy wyróżnik danego trójmianu kwadratowego:   b2  4c . Ponieważ c  0 to 4c  0 . Stąd  jest sumą dwóch wyrażeń: nieujemnego i dodatniego, czyli jest dodatnia. A zatem trójmian y  x2  bx  c ma dwa różne miejsca zerowe. Schemat oceniania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy uzasadni, że trójmian ma dwa różne miejsca zerowe. Uwaga: Jeżeli zdający podstawi konkretną wartość w miejsce c, to otrzymuje 0 punktów.

**B.** \(-2\)

Iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się jeden z czynników: \[x-5=0\quad\text{lub}\quad x+7=0,\] czyli \(x_1=5\) i \(x_2=-7\). Czynnik \(2\) nie wpływa na pierwiastki. Stąd \(x_1+x_2=5+(-7)=-2\). Ten sam wynik daje wzór Viète'a: po wymnożeniu \(2x^{2}+4x-70=0\), więc \(x_1+x_2=-\tfrac{4}{2}=-2\). **Odpowiedź.** \(-2\), czyli odpowiedź **B**.

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – wykorzystuje miejsca zerowe równania iloczynowego.

Niech x oznacza liczbę dni, a y liczbę kilometrów dziennie. Mamy xy = \(112\) oraz (x + \(3\))(y − \(12\)) = \(112\). Z pierwszego równania y = \(112\)/x. Po podstawieniu: (x + \(3\))(\(112\)/x − \(12\)) = \(112\), czyli \(x^{2}\) + \(3x\) − \(28 = 0\). Dodatnim rozwiązaniem jest x = \(4\), zatem y = \(\frac{112}{4 = 28}\) km.

**Krok \(1\).** pkt: zapisanie jednej poprawnej zależności opisującej drogę. **Krok \(2\).** pkt: zapisanie poprawnego układu równań. **Krok \(3\).** pkt: zapisanie równania z jedną niewiadomą. **Krok \(4\).** pkt: rozwiązanie z drobną usterką albo obliczenie tylko liczby dni x = \(4\). **Krok \(5\).** pkt: obliczenie \(28\) km dziennie. **Odpowiedź.** Niech x oznacza liczbę dni, a y liczbę kilometrów dziennie. Mamy xy = \(112\) oraz (x + \(3\))(y − \(12\)) = \(112\). Z pierwszego równania y = \(112\)/x. Po podstawieniu: (x + \(3\))(\(112\)/x − \(12\)) = \(112\), czyli \(x^{2}\) + \(3x\) − \(28 = 0\). Dodatnim rozwiązaniem jest x = \(4\), zatem y = \(\frac{112}{4 = 28}\) km.

1 pkt: zapisanie jednej poprawnej zależności opisującej drogę. 2 pkt: zapisanie poprawnego układu równań. 3 pkt: zapisanie równania z jedną niewiadomą. 4 pkt: rozwiązanie z drobną usterką albo obliczenie tylko liczby dni x = 4. 5 pkt: obliczenie 28 km dziennie.

Modelowanie matematyczne. Rozwiązanie zadania w kontekście praktycznym prowadzącego do równania kwadratowego z jedną niewiadomą.

pierwsze boisko \(56\) m × \(33\) m; drugie \(60\) m × \(25\) m

Zadanie \(31\). (\(5\) punktów) Dwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa \(65\) m. Boisko w drugiej szkole ma długość o \(4\) m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o \(8\) m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych boisk. Rozwiązanie Oznaczmy długość boiska w pierwszej szkole przez a i szerokość przez b. Wówczas w drugiej szkole długość boiska jest równa a+\(4\), szerokość b−\(8\). Otrzymujemy układ równań ⎧\(a_{2}\) +\(b_{2}\) =\(652\) ⎪ ⎨ ⎪⎩ (a+\(4\))\(2\) +(b−\(8\))\(2 =652\) Przekształcamy układ do postaci ⎧⎪\(a_{2}\) +\(b_{2}\) =\(652\) ⎨ ⎪⎩\(a_{2}\) +\(8a\)+\(16\)+\(b_{2}\) −\(16b\)+\(64=652\) a następnie ⎧⎪\(a_{2}\) +\(b_{2}\) =\(652\) ⎨ ⎪⎩\(a_{2}\) +\(b_{2}\) +\(8a\)−\(16b\)+\(80=652\) skąd otrzymujemy układ ⎧\(a_{2}\) +\(b_{2}\) =\(652\) ⎨ ⎩\(8a\)−\(16b\)+\(80=0\) czyli ⎧\(a_{2}\) +\(b_{2}\) =\(652\) ⎨ ⎩a =\(2b\)−\(10\) Podstawiamy wyznaczoną wartość a do pierwszego równania i rozwiązujemy równanie kwadratowe (\(2b\)−\(10\))\(2\) +\(b_{2}\) =\(652\). Po uporządkowaniu otrzymujemy: \(b_{2}\) −\(8b\)−\(825=0\), Δ=\(3364\), Δ =\(58\) Rozwiązaniami tego równania są liczby b=\(33\) oraz b=−\(25\). Odrzucamy ujemne rozwiązanie i obliczamy a=\(56\). Zatem boisko w pierwszej szkole ma \(33m\) szerokości i \(56\) metrów długości, a więc boisko w drugiej szkole ma \(25\) m szerokości i \(60\) m długości. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania..............................................................................................\(1\) pkt Zapisanie jednego z równań \(a_{2}\) +\(b_{2}\) =\(652\) lub (a+\(4\))\(2\) +(b−\(8\))\(2 =652\) \(11\) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp..............................................................................\(2\) pkt ⎧\(a_{2}\) +\(b_{2}\) =\(652\) ⎪ Zapisanie układu równań z niewiadomymi a i b, np.: ⎨ ⎪⎩ (a+\(4\))\(2\) +(b−\(8\))\(2 =652\) Pokonanie zasadniczych trudności zadania.............................................................................\(3\) pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą a lub b w postaci: (\(2b\)−\(10\))\(2\) +\(b_{2}\) =\(652\) lub ⎛\(1\) ⎞ \(1\) \(b_{2}\) −\(8b\)−\(825=0\) lub \(a_{2}\) + a+\(5 =652\) lub \(a_{2}\) +a−\(840=0\). ⎜ ⎟ ⎝\(2\) ⎠ \(4\) Uwaga: Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą. Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania zadania (np. błędy rachunkowe)...................................................\(4\) pkt • zdający obliczy wymiary boiska w pierwszej szkole i na tym poprzestanie lub błędnie obliczy wymiary boiska w drugiej szkole albo • zdający obliczy wymiary boiska w pierwszej szkole z błędem rachunkowym i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy wymiary boiska w drugiej szkole. Rozwiązanie pełne .....................................................................................................................\(5\) pkt Obliczenie wymiarów boisk w obu szkołach: Boisko w pierwszej szkole ma \(33m\) szerokości i \(56\) metrów długości, natomiast boisko w drugiej szkole ma \(25\) m szerokości i \(60\) m długości. Uwaga: Jeśli zdający odgadnie poprawne wymiary boisk, to otrzymuje \(1\) punkt. \(12\)

**1–4 pkt** – układ zależności i równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa. **5 pkt** – oba komplety wymiarów.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – układa i rozwiązuje równanie opisujące wymiary prostokątów.

Obie rury naraz napełnią zbiornik w \(\tfrac{70}{3}=23\tfrac13\) godziny, czyli w \(23\) godziny i \(20\) minut.

Niech \(v\) oznacza wydajność drugiej rury w \(\mathrm{m^3/h}\); wtedy pierwsza ma wydajność \(v+5\). Z warunków zadania \(v>0\). Czasy napełniania samą pierwszą i samą drugą rurą to \(\dfrac{700}{v+5}\) i \(\dfrac{700}{v}\), a różnica tych czasów wynosi \(16\) godzin: \[\frac{700}{v}-\frac{700}{v+5}=16.\] Mnożymy obie strony przez \(v(v+5)>0\): \[700(v+5)-700v=16v(v+5),\qquad 3500=16v^2+80v,\] czyli \(16v^2+80v-3500=0\), a po podzieleniu przez \(4\) \[4v^2+20v-875=0.\] Wyróżnik \(\Delta=400+4\cdot4\cdot875=14400\), \(\sqrt{\Delta}=120\), więc \[v=\frac{-20+120}{8}=12{,}5\qquad\text{lub}\qquad v=\frac{-20-120}{8}=-17{,}5.\] Drugie rozwiązanie odrzucamy, bo wydajność jest dodatnia. Zatem \(v=12{,}5\;\mathrm{m^3/h}\) i \(v+5=17{,}5\;\mathrm{m^3/h}\), a razem \(30\;\mathrm{m^3/h}\). Czas napełniania obiema rurami: \[t=\frac{700}{30}=\frac{70}{3}=23\frac13\ \text{godziny}.\] **Odpowiedź.** \(23\) godziny i \(20\) minut.

Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.

Pociąg z \(A\) jechał z prędkością \(45\ \mathrm{km/h}\), a pociąg z \(B\) — \(54\ \mathrm{km/h}\).

Pociągi minęły się w połowie drogi, więc każdy z nich przejechał do momentu spotkania \[\frac{540}{2}=270\ \mathrm{km}.\] Oznaczmy przez \(v\) prędkość pociągu jadącego z miasta \(B\) (w \(\mathrm{km/h}\)). Pociąg z miasta \(A\) jechał z prędkością o \(9\ \mathrm{km/h}\) mniejszą, czyli \(v-9\), przy czym \(v>9\), żeby prędkość była dodatnia. Czas przejazdu wyznaczamy ze wzoru \(t=\frac{s}{v}\). Pociąg z \(A\) wyjechał godzinę wcześniej, a obaj byli w punkcie spotkania w tej samej chwili, więc jego czas jazdy był o godzinę dłuższy: \[\frac{270}{v-9}=\frac{270}{v}+1.\] Mnożymy obie strony przez \(v(v-9)\ne0\): \[270v=270(v-9)+v(v-9),\] \[270v=270v-2430+v^{2}-9v,\] \[v^{2}-9v-2430=0.\] Obliczamy wyróżnik: \[\Delta=81+4\cdot2430=9801,\qquad \sqrt\Delta=99,\] \[v=\frac{9\pm99}{2}.\] Otrzymujemy \(v=54\) lub \(v=-45\); warunek \(v>9\) spełnia tylko \(v=54\). Zatem pociąg z miasta \(B\) jechał z prędkością \(54\ \mathrm{km/h}\), a pociąg z miasta \(A\) — \(54-9=45\ \mathrm{km/h}\). Sprawdzenie: \(\frac{270}{45}=6\ \mathrm{h}\), \(\frac{270}{54}=5\ \mathrm{h}\), różnica wynosi \(1\) godzinę. **Odpowiedź.** \(45\ \mathrm{km/h}\) oraz \(54\ \mathrm{km/h}\)

**6 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: \(45\ \mathrm{km/h}\) i \(54\ \mathrm{km/h}\) **Uwaga:** Centralna Komisja Egzaminacyjna nie opublikowała dla tego arkusza pokazowego schematu oceniania z progami cząstkowymi. Podana punktacja całkowita pochodzi z arkusza.

**Sprawdzana umiejętność:** budowanie modelu matematycznego zadania o ruchu (zależność droga–prędkość–czas), doprowadzenie równania wymiernego do kwadratowego i odrzucenie rozwiązania sprzecznego z warunkami zadania.

**A.** \(-22\)

**Krok \(1\).** W treści jest równanie kwadratowe, ale pytanie dotyczy wyrażenia \(2x_1+x_2\), w którym pierwiastki mają **różne** współczynniki. Wzory Viète'a dają tylko sumę i iloczyn, więc tutaj nie wystarczą — musimy wyznaczyć każdy pierwiastek osobno, a potem rozstrzygnąć, który z nich jest mniejszy. **Krok \(2\).** Odczytujemy współczynniki równania \(x^2+10x-24=0\): \[a=1,\qquad b=10,\qquad c=-24.\] **Krok \(3\).** Liczymy wyróżnik: \[\Delta=b^2-4ac=10^2-4\cdot1\cdot(-24)=100+96=196.\] Ponieważ \(\Delta \gt 0\), równanie ma dwa różne pierwiastki, a \(\sqrt{\Delta}=\sqrt{196}=14\). **Krok \(4\).** Wyznaczamy pierwiastki: \[\frac{-10-14}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12,\qquad \frac{-10+14}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2.\] **Krok \(5\).** Warunek \(x_1 \lt x_2\) mówi, że \(x_1\) jest tym mniejszym, czyli \[x_1=-12,\qquad x_2=2.\] **Krok \(6\).** Podstawiamy do szukanego wyrażenia: \[2x_1+x_2=2\cdot(-12)+2=-24+2=-22.\] **Uwaga.** Cała trudność tkwi w kolejności pierwiastków. Gdyby przypisać odwrotnie (\(x_1=2\), \(x_2=-12\)), otrzymalibyśmy \(2\cdot2+(-12)=-8\), a takiej liczby nie ma nawet wśród odpowiedzi. Wartości liczbowe warto też skontrolować wzorami Viète'a: \(x_1+x_2=-12+2=-10=-\frac{b}{a}\) oraz \(x_1x_2=-12\cdot2=-24=\frac{c}{a}\). **Odpowiedź.** A: \(-22\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – wykorzystuje pierwiastki równania kwadratowego.

Rowerzysta jadący z \(B\) do \(A\): \(7\ \mathrm{km/h}\); rowerzysta jadący z \(A\) do \(B\): \(14\ \mathrm{km/h}\).

**Krok \(1\).** To zadanie o ruchu jednostajnym, w którym korzystamy ze wzoru \(s=v\cdot t\), czyli \(t=\frac{s}{v}\). Kluczowa jest obserwacja, że rowerzyści spotkali się w **tej samej chwili**, a ponieważ jeden wyjechał godzinę wcześniej, jego czas jazdy jest o godzinę dłuższy. To da nam równanie. **Krok \(2\).** Oznaczenia: niech \(v\) będzie średnią prędkością rowerzysty jadącego z \(B\) do \(A\) (w \(\mathrm{km/h}\)), przy czym z treści \(0\lt v\lt25\). Rowerzysta jadący z \(A\) do \(B\) ma wtedy prędkość \(v+7\). **Krok \(3\).** Liczymy przebyte drogi. Rowerzysta z \(A\) pokonał \(\frac{9}{13}\) całej trasy: \[s_A=\frac{9}{13}\cdot182=9\cdot14=126\ \mathrm{km}.\] Drugi rowerzysta pokonał resztę: \[s_B=182-126=56\ \mathrm{km}.\] **Krok \(4\).** Zapisujemy czasy jazdy każdego z nich do miejsca spotkania: \[t_A=\frac{126}{v+7},\qquad t_B=\frac{56}{v}.\] **Krok \(5\).** Rowerzysta z \(A\) wyjechał godzinę wcześniej, a spotkali się jednocześnie, więc jechał o godzinę dłużej: \[\frac{126}{v+7}=\frac{56}{v}+1.\] **Krok \(6\).** Mnożymy obie strony przez \(v(v+7)\) — jest to liczba różna od zera, bo \(v\gt0\): \[126v=56(v+7)+v(v+7).\] **Krok \(7\).** Wymnażamy i porządkujemy: \[126v=56v+392+v^2+7v,\qquad 126v=v^2+63v+392,\] \[v^2-63v+392=0.\] **Krok \(8\).** Liczymy wyróżnik i pierwiastki: \[\Delta=(-63)^2-4\cdot1\cdot392=3969-1568=2401,\qquad \sqrt{\Delta}=49,\] \[v_1=\frac{63-49}{2}=7,\qquad v_2=\frac{63+49}{2}=56.\] **Krok \(9\).** Wracamy do warunku z treści: prędkość rowerzysty jadącego z \(B\) do \(A\) jest **mniejsza od** \(25\ \mathrm{km/h}\). Liczba \(56\) tego warunku nie spełnia, więc ją odrzucamy. Zostaje \(v=7\), a stąd \(v+7=14\). **Krok \(10\).** Sprawdzenie: rowerzysta z \(A\) jechał \(\frac{126}{14}=9\) godzin, a rowerzysta z \(B\) — \(\frac{56}{7}=8\) godzin. Różnica wynosi dokładnie \(1\) godzinę, zgodnie z treścią. **Uwaga.** Warunek „prędkość mniejsza od \(25\ \mathrm{km/h}\)” nie jest ozdobnikiem — to on rozstrzyga, który pierwiastek równania kwadratowego jest rozwiązaniem zadania. Drugi pierwiastek (\(56\ \mathrm{km/h}\)) jest matematycznie poprawny, ale niezgodny z opisaną sytuacją. **Odpowiedź.** Rowerzysta jadący z \(B\) do \(A\) jechał ze średnią prędkością \(7\ \mathrm{km/h}\), a rowerzysta jadący z \(A\) do \(B\) — \(14\ \mathrm{km/h}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(7\) km/h, \(14\) km/h

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Równania i nierówności.

\(15\)

**Krok \(1\).** To zadanie tekstowe oparte na zależności: liczba stron dziennie razy liczba dni daje \(480\). Oznaczmy przez \(x\) liczbę dni, przez które uczeń czytał książkę. Wtedy dziennie czytał \(\frac{480}{x}\) stron. Drugi wariant z treści (o \(8\) stron więcej dziennie, o \(3\) dni krócej) da nam równanie. **Krok \(2\).** W drugim wariancie uczeń czytałby \(\frac{480}{x}+8\) stron dziennie przez \(x-3\) dni, a książka nadal ma \(480\) stron: \[\left(\frac{480}{x}+8\right)(x-3)=480.\] **Krok \(3\).** Wymnażamy nawiasy: \[\frac{480}{x}\cdot x-\frac{480}{x}\cdot3+8x-24=480,\] \[480-\frac{1440}{x}+8x-24=480.\] **Krok \(4\).** Redukujemy \(480\) po obu stronach i mnożymy całość przez \(x\) (możemy, bo \(x\gt0\)): \[8x-24-\frac{1440}{x}=0\quad\Longrightarrow\quad 8x^{2}-24x-1440=0.\] Dzielimy przez \(8\): \[x^{2}-3x-180=0.\] **Krok \(5\).** Liczymy wyróżnik: \[\Delta=(-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-180)=9+720=729,\qquad\sqrt{729}=27.\] **Krok \(6\).** Wyznaczamy pierwiastki: \[x_{1}=\frac{3-27}{2}=-12,\qquad x_{2}=\frac{3+27}{2}=15.\] **Krok \(7\).** Liczba dni musi być dodatnia, więc \(x=15\). Sprawdzamy: \(480:15=32\) strony dziennie; przy \(32+8=40\) stronach dziennie książka zajęłaby \(480:40=12\) dni, czyli o \(3\) dni mniej. Zgadza się z treścią. **Uwaga.** Ujemny pierwiastek \(-12\) trzeba odrzucić - to typowa pułapka w zadaniach tekstowych prowadzących do równania kwadratowego. Pytanie dotyczy liczby dni, a nie liczby stron czytanych dziennie (ta wynosi \(32\)). **Odpowiedź.** Uczeń czytał tę książkę przez \(15\) dni.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(15\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Równania i nierówności.

Równanie: \((x-10)(x+11)=2005-x\), czyli \(x^{2}+2x-2115=0\); stąd \(x=45\) (pierwiastek \(x=-47\) odrzucamy). Jubilat urodził się w \(1960\) roku.

**Krok \(1\).** To zadanie tekstowe, które trzeba przełożyć na równanie. Kluczowa decyzja to wybór niewiadomej: najwygodniej przyjąć obecny wiek jubilata, bo wtedy „wiek sprzed \(10\) lat” i „wiek za \(11\) lat” wyrażają się bardzo prosto, a rok urodzenia to \(2005\) minus obecny wiek. **Krok \(2\).** Niech \(x\) oznacza wiek jubilata w roku \(2005\) (liczba naturalna dodatnia). Wtedy wiek sprzed \(10\) lat to \(x-10\), wiek za \(11\) lat to \(x+11\), a rok urodzenia to \(2005-x\). **Krok \(3\).** Zdanie „iloczyn tych dwóch wieków jest równy rokowi urodzenia” zapisujemy jako \[(x-10)(x+11)=2005-x.\] **Krok \(4\).** Wymnażamy lewą stronę: \[(x-10)(x+11)=x^2+11x-10x-110=x^2+x-110,\] więc równanie przyjmuje postać \(x^2+x-110=2005-x\). **Krok \(5\).** Przenosimy wszystko na lewą stronę: \[x^2+x-110-2005+x=0,\qquad x^2+2x-2115=0.\] **Krok \(6\).** Liczymy wyróżnik: \[\Delta=2^2-4\cdot1\cdot(-2115)=4+8460=8464.\] Zauważamy, że \(92^2=8464\), więc \(\sqrt{\Delta}=92\). **Krok \(7\).** Wyznaczamy pierwiastki: \[x_1=\frac{-2-92}{2}=-47,\qquad x_2=\frac{-2+92}{2}=45.\] **Krok \(8\).** Wiek nie może być liczbą ujemną, więc rozwiązanie \(x=-47\) odrzucamy. Zostaje \(x=45\). **Krok \(9\).** Obliczamy rok urodzenia: \(2005-45=1960\). Sprawdzenie: wiek sprzed \(10\) lat to \(35\), wiek za \(11\) lat to \(56\), a \(35\cdot56=1960\). Zgadza się. **Uwaga.** Dwie rzeczy łatwo tu zgubić. Po pierwsze, ujemny pierwiastek \(x=-47\) trzeba jawnie odrzucić, powołując się na sens zadania (wiek jest dodatni) — sam rachunek go nie wyklucza. Po drugie, pytanie dotyczy roku urodzenia, a nie wieku, więc nie można poprzestać na \(x=45\). **Odpowiedź.** Równanie: \((x-10)(x+11)=2005-x\), czyli \(x^{2}+2x-2115=0\); stąd \(x=45\) (pierwiastek \(x=-47\) odrzucamy). Jubilat urodził się w \(1960\) roku.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **8.1. (1 pkt)** – […] np.: \((x-10)\cdot(x+11)=2005-x\), gdzie \(x\) oznacza obecny wiek jubilata (zapis założenia \(x>0\) albo \(x\in\mathbb{N}_{+}\) może być pominięty). **8.2. (1 pkt)** – doprowadzenie wyjściowego równania do postaci równania kwadratowego zupełnego: \(x^{2}+2x-2115=0\). **8.3. (1 pkt)** – rozwiązanie równania: \(x=-47\) oraz \(x=45\). **8.4. (1 pkt)** – zapisanie odpowiedzi: Jubilat urodził się w 1960 roku.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(p=3\) i \(q=-1\) albo \(p=-1\) i \(q=3\).

**Krok \(1\).** Dane są oba pierwiastki równania kwadratowego, a szukamy liczb ukrytych w jego współczynnikach. W takiej sytuacji naturalnym narzędziem są wzory Viete'a: znając \(x_1\) i \(x_2\), znamy sumę i iloczyn pierwiastków, a te wyrażają się przez współczynniki równania. Porównanie da nam układ dwóch równań z niewiadomymi \(p\) i \(q\). **Krok \(2\).** Liczymy sumę pierwiastków — składniki z pierwiastkiem kwadratowym się redukują: \[x_1+x_2=\left(5+\sqrt{23}\right)+\left(5-\sqrt{23}\right)=10.\] **Krok \(3\).** Liczymy iloczyn, korzystając ze wzoru \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\): \[x_1x_2=\left(5+\sqrt{23}\right)\left(5-\sqrt{23}\right)=25-23=2.\] **Krok \(4\).** W równaniu \(x^2-\left(p^2+q^2\right)x+(p+q)=0\) mamy \(a=1\), \(b=-\left(p^2+q^2\right)\) oraz \(c=p+q\). Wzory Viete'a dają \[x_1+x_2=-\frac ba=p^2+q^2,\qquad x_1x_2=\frac ca=p+q.\] Porównując z krokami \(2\) i \(3\), otrzymujemy układ \[\begin{cases}p^2+q^2=10\\ p+q=2.\end{cases}\] **Krok \(5\).** Rozwiązujemy układ metodą podstawiania: z drugiego równania \(q=2-p\), więc \[p^2+(2-p)^2=10,\qquad p^2+4-4p+p^2=10,\qquad 2p^2-4p-6=0,\qquad p^2-2p-3=0.\] **Krok \(6\).** Liczymy wyróżnik: \(\Delta=4+12=16\), \(\sqrt{\Delta}=4\), więc \[p_1=\frac{2-4}{2}=-1,\qquad p_2=\frac{2+4}{2}=3.\] **Krok \(7\).** Wyznaczamy odpowiadające im wartości \(q=2-p\): dla \(p=3\) mamy \(q=-1\), a dla \(p=-1\) mamy \(q=3\). **Krok \(8\).** Sprawdzenie: \(3^2+(-1)^2=9+1=10\) oraz \(3+(-1)=2\). Zgadza się (druga para daje te same liczby). **Uwaga.** Wartości \(p\) i \(q\) są ze sobą powiązane, więc trzeba podać całe pary, a nie same rozwiązania równania kwadratowego. Nie wolno też mieszać par, np. brać \(p=3\) razem z \(q=3\) — taka para nie spełnia warunku \(p+q=2\). **Odpowiedź.** \(p=3\) i \(q=-1\) albo \(p=-1\) i \(q=3\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Zapisuję równanie kwadratowe w postaci iloczynowej: \(\left(x-5-\sqrt{23}\right)\cdot\left(x-5+\sqrt{23}\right)=0\) przekształcam je do postaci ogólnej \[(x-5)^{2}-23=0\] \[x^{2}-10x+2=0\] Porównuję odpowiednie współczynniki obu postaci równania i stwierdzam, że muszą być spełnione równocześnie dwa warunki: \(p^{2}+q^{2}=10\) i \(p+q=2\). Rozwiązuję układ równań \(\begin{cases}p^{2}+q^{2}=10\\ p+q=2\end{cases}\) Dokonuję podstawienia: \(q=2-p\) i otrzymuję równanie kwadratowe z jedną niewiadomą: \(p^{2}-2p-3=0\). Rozwiązaniem tego równania kwadratowego są liczby: \(p_{1}=3\) lub \(p_{2}=-1\). Obliczam wartości \(q\) w zależności od \(p\): dla \(p_{1}=3\), \(q_{1}=-1\), natomiast dla \(p_{2}=-1\), \(q_{2}=3\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Bok kwadratu ma długość \(a=6\ \mathrm{cm}\).

**Krok \(1\).** To zadanie tekstowe prowadzące do równania kwadratowego. Metoda jest zawsze ta sama: wszystkie występujące wielkości wyrażamy przez jedną niewiadomą — tutaj przez bok kwadratu \(a\) — zapisujemy pola obu figur, a zdanie „pole prostokąta jest o \(12\) większe od pola kwadratu” zamieniamy na równanie. **Krok \(2\).** Bok kwadratu ma długość \(a\) (w centymetrach), więc pole kwadratu wynosi \(a^2\). **Krok \(3\).** Zapisujemy boki prostokąta. Bok \(AB\) jest dwa razy dłuższy niż bok kwadratu, więc \(|AB|=2a\). Bok \(AD\) jest o \(2\) cm krótszy od boku kwadratu, więc \(|AD|=a-2\). Pole prostokąta to zatem \(2a(a-2)\). **Krok \(4\).** Zapisujemy warunek z treści zadania: \[2a(a-2)=a^2+12.\] **Krok \(5\).** Przekształcamy do postaci ogólnej równania kwadratowego: \[2a^2-4a=a^2+12,\qquad a^2-4a-12=0.\] **Krok \(6\).** Liczymy wyróżnik: \(\Delta=16+48=64\), \(\sqrt{\Delta}=8\), więc \[a_1=\frac{4-8}{2}=-2,\qquad a_2=\frac{4+8}{2}=6.\] **Krok \(7\).** Odrzucamy \(a=-2\), bo długość boku musi być liczbą dodatnią. Zostaje \(a=6\). **Krok \(8\).** Sprawdzenie: boki prostokąta mają wtedy długości \(12\) i \(4\), więc jego pole wynosi \(48\); pole kwadratu to \(6^2=36\), a rzeczywiście \(48-36=12\). Zgadza się. **Uwaga.** Poza oczywistym warunkiem \(a\gt0\) kryje się tu drugi: bok \(|AD|=a-2\) też musi być dodatni, czyli \(a\gt2\). Wartość \(a=-2\) łamie oba te warunki i trzeba ją jawnie odrzucić — sam rachunek jej nie eliminuje. **Odpowiedź.** Bok kwadratu ma długość \(a=6\ \mathrm{cm}\).

2. 2.1 Zapisanie długości boków prostokąta: AB = 2a , AD = a − 2 . 1 liczby: a = −6, a = 2 . Zdający zapisze 1 2 odpowiedź: żadna z tych liczb nie spełnia warunków zadania. Punktujemy to rozwiązanie następująco: 0, 2, 1. 2 Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 2 Jeśli równanie nie jest dobrze ułożone, ale jest Zapisanie i rozwiązanie równania: 2a ⋅ ( a − 2 ) = a + 12 to równanie kwadratowe zupełne i zdający a = 6 lub a = −2 . rozwiąże je poprawnie, to punktujemy 1 pkt za napisanie równania, 2.2 2 następująco: 1 pkt za rozwiązanie równania. czynność 2.2 – 1 punkt, Uwaga! czynność 2.3 – 0 punktów. Zdający może napisać równanie w następujący sposób: a ( a − 4) = 12 . 2.3 Wybór i podanie odpowiedzi: a = 6 cm. 1 [Dalsza część schematu, doklejona przez ekstrakcję, należy do kolejnego zadania z arkusza i została usunięta.]

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(f(x)=x(x-3)=x^2-3x\). b) Równanie \(x^2-3x+3=0\) ma wyróżnik \(\Delta=-3<0\), więc nie ma rozwiązań.

**Krok \(1\).** Pierwsza część zadania to przetłumaczenie opisu słownego na wzór. Liczba o \(3\) mniejsza od \(x\) to \(x-3\), a przyporządkowanie iloczynu tych liczb daje \(f(x)=x\,(x-3)\). Druga część to pytanie o liczbę rozwiązań równania kwadratowego — o tym decyduje znak wyróżnika \(\Delta\), więc samych pierwiastków liczyć nie trzeba. **Krok \(2\).** Podpunkt a). Zapisujemy wzór i rozwijamy nawias: \[f(x)=x\,(x-3)=x^2-3x.\] **Krok \(3\).** Podpunkt b). Podstawiamy wzór do równania \(f(x)+3=0\): \[x^2-3x+3=0.\] **Krok \(4\).** Liczymy wyróżnik tego trójmianu (\(a=1\), \(b=-3\), \(c=3\)): \[\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot3=9-12=-3.\] **Krok \(5\).** Wyróżnik jest ujemny, a to oznacza, że równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych. Można to też zobaczyć na wykresie: parabola \(y=x^2-3x+3\) ma ramiona skierowane w górę i leży w całości nad osią \(Ox\), więc nigdzie jej nie przecina. **Uwaga.** Uważaj na sformułowanie liczba o \(3\) od niej mniejsza — chodzi o \(x-3\), a nie o \(3-x\) ani o \(\frac{x}{3}\). To najczęstsza pomyłka w tym zadaniu. Pytanie brzmi też ile rozwiązań, a nie jakie — wystarczy więc obliczyć \(\Delta\) i sformułować wniosek. **Odpowiedź.** a) \(f(x)=x(x-3)=x^2-3x\). b) Równanie \(x^2-3x+3=0\) ma wyróżnik \(\Delta=-3\lt0\), więc nie ma rozwiązań.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **(1 pkt)** – podanie wzoru funkcji \(f\): \(f(x)=x(x-3)\). **(1 pkt)** – zapisanie równania \(x^{2}-3x+3=0\). **(1 pkt)** – obliczenie wyróżnika i sformułowanie odpowiedzi: \(\Delta=-3\), brak rozwiązań.

Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Teza wynika z tego, że \(f(x)=3x^{2}-2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)\) jest funkcją kwadratową, której wyróżnik \(\Delta=2\left[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right]\ge0\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, co trzeba wykazać: że funkcja \(f\) ma co najmniej jedno miejsce zerowe. Po rozwinięciu nawiasów okaże się, że \(f\) jest funkcją kwadratową, a dla funkcji kwadratowej istnienie miejsca zerowego jest równoważne warunkowi \(\Delta\geqslant0\). Cały dowód sprowadza się więc do wyznaczenia wyróżnika i pokazania, że dla dowolnych \(a,b,c\) jest on nieujemny. **Krok \(2\).** Rozwijamy każdy iloczyn: \[(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab,\] \[(x-b)(x-c)=x^2-(b+c)x+bc,\] \[(x-c)(x-a)=x^2-(c+a)x+ca.\] Dodając stronami: \[f(x)=3x^2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ca).\] **Krok \(3\).** Zauważamy rzecz istotną: współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(3\), a więc jest RÓŻNY od zera niezależnie od wartości \(a,b,c\). Funkcja \(f\) zawsze jest zatem funkcją kwadratową (nie może się „zdegenerować” do liniowej) i możemy mówić o jej wyróżniku. **Krok \(4\).** Obliczamy wyróżnik dla \(A=3\), \(B=-2(a+b+c)\), \(C=ab+bc+ca\): \[\Delta=B^2-4AC=4(a+b+c)^2-12(ab+bc+ca).\] **Krok \(5\).** Rozwijamy kwadrat sumy trzech składników: \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\). Wtedy \[\Delta=4a^2+4b^2+4c^2+8(ab+bc+ca)-12(ab+bc+ca)=4(a^2+b^2+c^2)-4(ab+bc+ca).\] **Krok \(6\).** Grupujemy tak, aby powstały pełne kwadraty. Wyłączamy \(2\) przed nawias: \[\Delta=2\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\right).\] Rozdzielamy podwojone kwadraty po jednym do każdej pary: \[2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2),\] czyli \[\Delta=2\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right].\] **Krok \(7\).** Każdy z trzech składników w nawiasie kwadratowym jest kwadratem liczby rzeczywistej, a więc jest nieujemny. Suma liczb nieujemnych jest nieujemna, a po pomnożeniu przez \(2\) nadal jest nieujemna. Zatem \(\Delta\geqslant0\) dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a,b,c\), co oznacza, że funkcja kwadratowa \(f\) ma co najmniej jedno miejsce zerowe. To kończy dowód. **Uwaga.** Teza mówi „CO NAJMNIEJ jedno” miejsce zerowe, więc przypadek \(\Delta=0\) jest dopuszczalny i nie trzeba (ani nie da się) wykazać \(\Delta\gt0\). Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(a=b=c\) — wówczas \(f(x)=3(x-a)^2\) i miejsce zerowe jest jedno, podwójne. Ważne jest też stwierdzenie z kroku \(3\): gdyby współczynnik przy \(x^2\) mógł być zerem, rozumowanie z wyróżnikiem nie miałoby zastosowania. **Odpowiedź.** Teza wynika z tego, że \(f(x)=3x^{2}-2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)\) jest funkcją kwadratową, której wyróżnik \(\Delta=2\left[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right]\ge0\) (dowód w rozwiązaniu).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **12.1. (1 pkt)** – […] postaci ogólnej funkcji kwadratowej: \(f(x)=3x^{2}-2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)\). **12.2. (2 pkt)** – wyznaczenie wyróżnika funkcji kwadratowej (w tym \(1\) p. za metodę oraz \(1\) p. za przekształcenia): \(\Delta=2\left[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right]\). **12.3. (1 pkt)** – uzasadnienie, że wyróżnik jest nieujemny: \(\Delta\ge 0\) dla dowolnych rzeczywistych \(a,b,c\), stąd funkcja \(f\) ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Wymiary działki: \(35\ \mathrm{m}\) oraz \(44\ \mathrm{m}\).

**Krok \(1\).** Prostokąt ma dwa wymiary, a my znamy dwie informacje: pole (iloczyn wymiarów) oraz różnicę wymiarów. Wprowadzamy jedną niewiadomą — krótszy bok — i drugi bok wyrażamy przez nią. Po wstawieniu do wzoru na pole dostaniemy równanie kwadratowe. **Krok \(2\).** Oznaczmy przez \(x\) długość krótszego boku działki (w metrach). Ponieważ boki różnią się o \(9\ \mathrm{m}\), dłuższy bok ma długość \(x+9\). Z natury zadania \(x\gt0\). **Krok \(3\).** Zapisujemy warunek na pole: \[x\,(x+9)=1540.\] **Krok \(4\).** Przekształcamy do postaci ogólnej równania kwadratowego: \[x^2+9x-1540=0.\] **Krok \(5\).** Liczymy wyróżnik: \[\Delta=9^2-4\cdot1\cdot(-1540)=81+6160=6241.\] Pierwiastkujemy: \(\sqrt{6241}=79\) (rzeczywiście \(79^2=6241\); warto to sprawdzić, zauważając, że \(80^2=6400\), więc szukana liczba jest tuż poniżej \(80\), a kończy się cyfrą \(9\), bo \(9^2=81\)). **Krok \(6\).** Wyznaczamy pierwiastki: \[x_1=\frac{-9-79}{2}=-44,\qquad x_2=\frac{-9+79}{2}=35.\] **Krok \(7\).** Długość boku musi być dodatnia, więc \(x_1=-44\) odrzucamy. Zostaje \(x=35\), a drugi bok ma długość \(35+9=44\). **Krok \(8\).** Sprawdzenie: \(35\cdot44=1540\) oraz \(44-35=9\) — oba warunki zadania są spełnione. **Uwaga.** Ujemnego rozwiązania nie wolno zostawić bez komentarza — trzeba wprost napisać, że odrzucamy je, bo długość boku nie może być ujemna. Pamiętaj też o jednostkach: wynik podajemy w metrach, bo pole było podane w metrach kwadratowych. **Odpowiedź.** Wymiary działki: \(35\ \mathrm{m}\) oraz \(44\ \mathrm{m}\).

**2. (1 pkt)** – przekształcenie równania do postaci \(x^{2}+9x-1540=0\) i rozwiązanie tego równania. **3. (1 pkt)** – wybranie rozwiązania spełniającego warunki zadania i podanie wymiarów działki: \(35\) m oraz \(44\) m.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.