Okrąg w układzie współrzędnych — równanie okręgu, środek i promień

**C.** \((x-2)^2+y^2=2\)

Środek okręgu jest środkiem średnicy \(AB\): \[S=\left(\frac{1+3}2,\frac{1+(-1)}2\right)=(2,0).\] Promień jest połową długości średnicy: \[|AB|=\sqrt{(3-1)^{2}+(-1-1)^{2}}=\sqrt8=2\sqrt2,\qquad r=\sqrt2,\qquad r^{2}=2.\] Zatem okrąg ma równanie \((x-2)^{2}+y^{2}=2\). **Odpowiedź.** Wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

IV. Rozumowanie i argumentacja. IX.4) Zdający posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r².

\[\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}.\]

**Krok \(1\).** Metoda: najpierw ustalamy, które ramię leży na danej prostej (sprawdzając, który z punktów \(A\), \(B\) do niej należy), potem wyznaczamy \(C\) z układu: dana prosta oraz symetralna podstawy \(AB\). **Krok \(2\).** Sprawdzamy: dla \(A=(1,-1)\) mamy \(1+2\cdot(-1)-4=-5\neq 0\), a dla \(B=(4,0)\) mamy \(4+0-4=0\). Zatem prosta \(x+2y-4=0\) zawiera ramię \(BC\), a więc leży na niej punkt \(C\). **Krok \(3\).** Z warunku \(|CA|=|CB|\) punkt \(C\) leży na symetralnej odcinka \(AB\). Zapisujemy \(|CA|^{2}=|CB|^{2}\) dla \(C=(x,y)\): \[(1-x)^{2}+(-1-y)^{2}=(4-x)^{2}+(0-y)^{2},\] \[1-2x+x^{2}+1+2y+y^{2}=16-8x+x^{2}+y^{2},\qquad 6x+2y-14=0,\qquad 3x+y=7.\] **Krok \(4\).** Rozwiązujemy układ \(x+2y=4\) oraz \(3x+y=7\). Z drugiego równania \(y=7-3x\), więc \(x+14-6x=4\), skąd \(x=2\) i \(y=1\). Zatem \(C=(2,1)\). **Krok \(5\).** Punkt \(M\) leży na odcinku \(AC\) i \(|AM|:|MC|=1:4\), więc \(|AM|=\frac{1}{5}|AC|\), czyli \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}\). **Krok \(6\).** Obliczamy współrzędne: \[M=\left(1+\frac{1}{5}(2-1),\ -1+\frac{1}{5}\bigl(1-(-1)\bigr)\right)=\left(\frac{6}{5},-\frac{3}{5}\right).\] **Krok \(7\).** Kwadrat promienia to kwadrat odległości \(M\) od \(C\): \[r^{2}=\left(2-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(1+\frac{3}{5}\right)^{2}=\left(\frac{4}{5}\right)^{2}+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{16+64}{25}=\frac{16}{5}.\] **Uwaga.** Stosunek \(1:4\) oznacza podział odcinka na \(5\) równych części, więc mnożnik wektora wynosi \(\frac{1}{5}\), a nie \(\frac{1}{4}\) — to najczęstsze potknięcie w tym zadaniu. **Odpowiedź.** \(\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}\).

**Zasady oceniania (dla sposobu I)** **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}\). **4 pkt** – obliczenie współrzędnych punktów \(C\) oraz \(M\): \(C=(2,1)\) oraz \(M=\left(\frac{6}{5},-\frac{3}{5}\right)\) ALBO – obliczenie współrzędnych punktu \(C\) oraz długości odcinka \(MC\): \(C=(2,1)\) oraz \(\lvert MC\rvert=\frac{4}{\sqrt{5}}\). **3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(C\): \(C=(2,1)\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu \(C\)), oraz wyznaczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), np. \(6x_{C}+2\cdot\left(-\frac{1}{2}x_{C}+2\right)-14=0\) oraz \(x_{M}=\frac{1}{5}\left(x_{C}-x_{A}\right)+x_{A}\) oraz \(y_{M}=\frac{1}{5}\left(y_{C}-y_{A}\right)+y_{A}\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu \(C\)), np. \(6x_{C}+2\cdot\left(-\frac{1}{2}x_{C}+2\right)-14=0\), \(6\left(4-2y_{C}\right)+2y_{C}-14=0\) ALBO – wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej boku \(AB\) trójkąta oraz wyznaczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), np. \(6x+2y-14=0\) oraz \(x_{M}=\frac{1}{5}\left(x_{C}-x_{A}\right)+x_{A}\) oraz \(y_{M}=\frac{1}{5}\left(y_{C}-y_{A}\right)+y_{A}\). **1 pkt** – wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej boku \(AB\) trójkąta, np. \(6x+2y-14=0\) ALBO – zapisanie współrzędnych punktu \(C\) w zależności od jednej zmiennej, np. \(C=\left(x_{C},-\frac{1}{2}x_{C}+2\right)\), ALBO – wyznaczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), np. \(x_{M}=\frac{1}{5}\left(x_{C}-x_{A}\right)+x_{A}\) oraz \(y_{M}=\frac{1}{5}\left(y_{C}-y_{A}\right)+y_{A}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający zapisze współrzędne punktu \(C=(2,1)\) oraz uzasadni (np. rachunkowo), że ten punkt spełnia warunki zadania, to za tę część rozwiązania otrzymuje \(3\) punkty. Jeżeli zdający takiego uzasadnienia nie zapisze, to za tę część rozwiązania otrzymuje \(0\) punktów. 2. a) Jeżeli zdający przyjmuje \(\lvert AM\rvert:\lvert MC\rvert=4:1\), to może otrzymać co najwyżej \(4\) punkty za całe rozwiązanie. b) Jeżeli zdający przyjmuje stosunek \(\lvert AM\rvert:\lvert MC\rvert\) inny niż \(1:4\) lub \(4:1\), to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że prosta \(AC\) jest prostopadła do prostej \(BC\), to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (\(1\) punkt za zapisanie współrzędnych punktu \(C\) w zależności od jednej zmiennej lub wyznaczenie/obliczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), oraz \(1\) punkt za konsekwentne rozwiązanie zadania do końca). **Zasady oceniania (dla sposobu II)** **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}\). **4 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(M\) oraz współrzędnych wektora \(\overrightarrow{AM}\) (lub współrzędnych wektora \(\overrightarrow{MC}\)): \(M=\left(\frac{6}{5},-\frac{3}{5}\right)\) oraz \(\overrightarrow{AM}=\left[\frac{1}{5},\frac{2}{5}\right]\) (lub \(\overrightarrow{MC}=\left[\frac{4}{5},\frac{8}{5}\right]\)). **3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(D\) oraz wyznaczenie równania prostej \(ME\): \(D=\left(\frac{13}{10},-\frac{9}{10}\right)\) oraz np. \(y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{8}{5}\right)-\frac{4}{5}\) ALBO – obliczenie współrzędnych punktu \(E\) oraz wyznaczenie równania prostej \(MD\): \(E=\left(\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)\) oraz np. \(y=-3\left(x-\frac{13}{10}\right)-\frac{9}{10}\). **2 pkt** – obliczenie współrzędnych punktów \(D\) oraz \(E\): \(D=\left(\frac{13}{10},-\frac{9}{10}\right)\) oraz \(E=\left(\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)\) ALBO – wyznaczenie równania prostej \(MD\), np. \(y=-3\left(x-\frac{13}{10}\right)-\frac{9}{10}\), ALBO – wyznaczenie równania prostej \(ME\), np. \(y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{8}{5}\right)-\frac{4}{5}\). **1 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(D\): \(D=\left(\frac{13}{10},-\frac{9}{10}\right)\) ALBO – obliczenie współrzędnych punktu \(E\): \(E=\left(\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** IX.R3) Zdający zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość, dodaje wektory i mnoży wektor przez liczbę, oba te działania wykonuje zarówno analitycznie, jak i geometrycznie; IX.R4) Zdający wyznacza równanie prostej prostopadłej do zadanej prostej i prostej stycznej do zadanego okręgu.

\[\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}.\]

**Krok \(1\).** Metoda: najpierw ustalamy, które ramię trójkąta leży na danej prostej (sprawdzając, który z punktów \(A\), \(B\) do niej należy). Potem wyznaczamy \(C\) z warunku \(\lvert CA\rvert=\lvert CB\rvert\), następnie \(M\) ze stosunku podziału, a na końcu promień okręgu. **Krok \(2\).** Sprawdzamy oba wierzchołki: \[A=(1,-1)\colon\ 1+2\cdot(-1)-4=-5\neq 0,\qquad B=(4,0)\colon\ 4+2\cdot 0-4=0.\] Na prostej \(x+2y-4=0\) leży zatem punkt \(B\), więc to ramię \(BC\) zawiera się w tej prostej. **Krok \(3\).** Zapisujemy współrzędne \(C\) w zależności od jednej zmiennej. Z równania prostej \(y=-\frac{1}{2}x+2\), więc \[C=\left(x,\ 2-\frac{x}{2}\right).\] **Krok \(4\).** Warunek \(\lvert CA\rvert=\lvert CB\rvert\) zapisujemy jako równość kwadratów odległości: \[(1-x)^{2}+(-1-y)^{2}=(4-x)^{2}+(0-y)^{2},\] \[1-2x+x^{2}+1+2y+y^{2}=16-8x+x^{2}+y^{2},\] \[6x+2y-14=0,\qquad\text{czyli}\qquad 3x+y-7=0.\] Jest to równanie symetralnej odcinka \(AB\). **Krok \(5\).** Podstawiamy \(y=2-\frac{x}{2}\): \[3x+2-\frac{x}{2}-7=0,\qquad \frac{5}{2}x=5,\qquad x=2,\qquad y=1.\] Zatem \(C=(2,1)\). **Krok \(6\).** Z warunku \(\lvert AM\rvert:\lvert MC\rvert=1:4\) wynika \(\lvert AM\rvert=\frac{1}{5}\lvert AC\rvert\), czyli \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}\). Ponieważ \(\overrightarrow{AC}=[2-1,\ 1-(-1)]=[1,2]\), mamy \[M=\left(1+\frac{1}{5},\ -1+\frac{2}{5}\right)=\left(\frac{6}{5},\ -\frac{3}{5}\right).\] **Krok \(7\).** Promień okręgu to odległość \(\lvert MC\rvert\): \[r^{2}=\left(2-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(1+\frac{3}{5}\right)^{2}=\left(\frac{4}{5}\right)^{2}+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{16+64}{25}=\frac{80}{25}=\frac{16}{5}.\] **Krok \(8\).** Zapisujemy równanie okręgu o środku \(M\) i promieniu \(r\): \[\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}.\] **Uwaga.** Pułapką jest założenie, że to ramię \(AC\) leży na danej prostej. Sprawdzenie z kroku \(2\) rozstrzyga to jednoznacznie: warunek spełnia tylko punkt \(B\). **Odpowiedź.** \(\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}\).

**Zasady oceniania (dla sposobu I)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej boku \(AB\) trójkąta, np. \(6x+2y-14=0\) ALBO zapisanie współrzędnych punktu \(C\) w zależności od jednej zmiennej, np. \(C=\left(x_C,-\frac{1}{2}x_C+2\right)\), ALBO wyznaczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), np. \(x_M=\frac{1}{5}(x_C-x_A)+x_A\) oraz \(y_M=\frac{1}{5}(y_C-y_A)+y_A\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu \(C\)), np. \(6x_C+2\cdot\left(-\frac{1}{2}x_C+2\right)-14=0\), \(6(4-2y_C)+2y_C-14=0\) ALBO wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej boku \(AB\) trójkąta oraz wyznaczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), np. \(6x+2y-14=0\) oraz \(x_M=\frac{1}{5}(x_C-x_A)+x_A\) oraz \(y_M=\frac{1}{5}(y_C-y_A)+y_A\). **3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(C\): \(C=(2,1)\) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu \(C\)), oraz wyznaczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), np. \(6x_C+2\cdot\left(-\frac{1}{2}x_C+2\right)-14=0\) oraz \(x_M=\frac{1}{5}(x_C-x_A)+x_A\) oraz \(y_M=\frac{1}{5}(y_C-y_A)+y_A\). **4 pkt** – obliczenie współrzędnych punktów \(C\) oraz \(M\): \(C=(2,1)\) oraz \(M=\left(\frac{6}{5},-\frac{3}{5}\right)\) ALBO obliczenie współrzędnych punktu \(C\) oraz długości odcinka \(MC\): \(C=(2,1)\) oraz \(\lvert MC\rvert=\frac{4}{\sqrt{5}}\). **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający zapisze współrzędne punktu \(C=(2,1)\) oraz uzasadni (np. rachunkowo), że ten punkt spełnia warunki zadania, to za tę część rozwiązania otrzymuje 3 punkty. Jeżeli zdający takiego uzasadnienia nie zapisze, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów. 2. a) Jeżeli zdający przyjmuje \(\lvert AM\rvert:\lvert MC\rvert=4:1\), to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie. 2. b) Jeżeli zdający przyjmuje stosunek \(\lvert AM\rvert:\lvert MC\rvert\) inny niż \(1:4\) lub \(4:1\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że prosta \(AC\) jest prostopadła do prostej \(BC\), to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie współrzędnych punktu \(C\) w zależności od jednej zmiennej lub wyznaczenie/obliczenie współrzędnych punktu \(M\) w zależności od współrzędnych punktów \(A\) oraz \(C\), oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie zadania do końca). **Zasady oceniania (dla sposobu II)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(D\): \(D=\left(\frac{13}{10},-\frac{9}{10}\right)\) ALBO obliczenie współrzędnych punktu \(E\): \(E=\left(\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)\). **2 pkt** – obliczenie współrzędnych punktów \(D\) oraz \(E\): \(D=\left(\frac{13}{10},-\frac{9}{10}\right)\) oraz \(E=\left(\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)\) ALBO wyznaczenie równania prostej \(MD\), np. \(y=-3\left(x-\frac{13}{10}\right)-\frac{9}{10}\), ALBO wyznaczenie równania prostej \(ME\), np. \(y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{8}{5}\right)-\frac{4}{5}\). **3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(D\) oraz wyznaczenie równania prostej \(ME\): \(D=\left(\frac{13}{10},-\frac{9}{10}\right)\) oraz np. \(y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{8}{5}\right)-\frac{4}{5}\) ALBO obliczenie współrzędnych punktu \(E\) oraz wyznaczenie równania prostej \(MD\): \(E=\left(\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)\) oraz np. \(y=-3\left(x-\frac{13}{10}\right)-\frac{9}{10}\). **4 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(M\) oraz współrzędnych wektora \(\overrightarrow{AM}\) (lub współrzędnych wektora \(\overrightarrow{MC}\)): \(M=\left(\frac{6}{5},-\frac{3}{5}\right)\) oraz \(\overrightarrow{AM}=\left[\frac{1}{5},\frac{2}{5}\right]\) (lub \(\overrightarrow{MC}=\left[\frac{4}{5},\frac{8}{5}\right]\)). **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}\).

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 8.3) Zdający wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt. 8.7R) Zdający oblicza współrzędne oraz długość wektora; dodaje i odejmuje wektory oraz mnoży je przez liczbę. Interpretuje geometrycznie działania na wektorach.

**P, F.** Punkt \(A\) spełnia równanie okręgu, ponieważ \((4-1)^{2}+(-7+3)^{2}=25\). Poprawne równanie okręgu to \((x-1)^{2}+(y+3)^{2}=25\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy narzędzie: okrąg o środku \(S=(a,b)\) i promieniu \(r\) ma równanie \[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},\] a punkt leży na okręgu dokładnie wtedy, gdy jego odległość od środka jest równa \(r\). W zadaniu \(a=1\), \(b=-3\), \(r=5\). Oba stwierdzenia oceniamy osobno. **Krok \(2\).** Stwierdzenie \(1\). Liczymy odległość punktu \(A=(4,-7)\) od środka \(S=(1,-3)\) wzorem na odległość punktów: \[|AS|=\sqrt{(4-1)^{2}+\left(-7-(-3)\right)^{2}}.\] **Krok \(3\).** Upraszczamy różnice: \(4-1=3\) oraz \(-7+3=-4\). Zatem \[|AS|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.\] **Krok \(4\).** Odległość wyszła równa promieniowi \(r=5\), więc punkt \(A\) leży na okręgu \(O\). Stwierdzenie \(1\) jest **prawdziwe**. **Krok \(5\).** Stwierdzenie \(2\). Podstawiamy dane do wzoru na równanie okręgu. Uwaga na znak: \(y-b=y-(-3)=y+3\), a po prawej stronie stoi \(r^{2}\): \[(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=5^{2}=25.\] **Krok \(6\).** W stwierdzeniu po prawej stronie zapisano \(5\), a powinno być \(25\). Stwierdzenie \(2\) jest więc **fałszywe**. **Uwaga.** Po prawej stronie równania okręgu zawsze stoi **kwadrat** promienia. Równanie \((x-1)^{2}+(y+3)^{2}=5\) też opisuje okrąg o środku \(S=(1,-3)\), ale o promieniu \(\sqrt5\), a nie \(5\). Zauważ, że kroki \(3\) i \(5\) się zazębiają: obliczenie \(3^{2}+(-4)^{2}=25\) to właśnie sprawdzenie, czy współrzędne \(A\) spełniają równanie \((x-1)^{2}+(y+3)^{2}=25\). **Odpowiedź.** Stwierdzenie \(1\) — prawda, stwierdzenie \(2\) — fałsz (P, F).

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** IX.3) Zdający oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych; IX.4) Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

\[(x+1)^2+(y-3)^2=25.\]

W symetrii względem osi \(Oy\): \[A'= (3,0),\qquad C'=(-5,6).\] Punkty \(A'\) i \(C'\) są końcami średnicy okręgu. Jego środek to środek odcinka \(A'C'\): \[S'=\left(\frac{3-5}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(-1,3).\] Promień jest równy połowie długości przekątnej: \[r=\frac12\sqrt{(-5-3)^2+(6-0)^2}=5.\] Równanie okręgu: \[(x+1)^2+(y-3)^2=25.\]

**4 pkt** – poprawna metoda i równanie \((x+1)^2+(y-3)^2=25\) **3 pkt** – obliczenie \(r=5\) oraz \(S'=(-1,3)\), albo wyznaczenie równania okręgu przed symetrią **2 pkt** – obliczenie \(A'=(3,0)\), \(C'=(-5,6)\) oraz promienia, albo wyznaczenie środka okręgu **1 pkt** – obliczenie obrazów punktów, promienia albo środka odpowiedniego okręgu **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** IX.3) Zdający oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych. IX.4) Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\). IX.5) Zdający wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych.

\((x+1)^{2}+(y+2)^{2}=5\). Ze środka symetrii otrzymujemy \(B=(4,-7)\) i \(C=(-1,3)\), a proste \(AB\) i \(BC\) mają równania \(x+2y+10=0\) oraz \(2x+y-1=0\). Środek okręgu leży na dwusiecznej \(x+y+3=0\) (druga dwusieczna nie daje rozwiązań rzeczywistych), a warunek styczności prowadzi do \(9k^{2}+16k-4=0\), czyli \(k=-2\) lub \(k=\frac{2}{9}\). Ujemna druga współrzędna daje \(S=(-1,-2)\) i \(r=\sqrt{5}\).

**Krok \(1\).** Metoda: najpierw ze środka symetrii odtwarzamy brakujące wierzchołki równoległoboku, potem korzystamy z tego, że środek okręgu stycznego do dwóch prostych jest równo odległy od obu, czyli leży na jednej z dwusiecznych ich kątów. **Krok \(2\).** Środek symetrii \(M\) jest środkiem obu przekątnych, więc \[B=2M-D=(-9+13,\ 2-9)=(4,-7),\qquad C=2M-A=(-9+8,\ 2+1)=(-1,3).\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy równania prostych. Prosta \(AB\) przez \((-8,-1)\) i \((4,-7)\) ma współczynnik kierunkowy \(\frac{-7+1}{4+8}=-\frac{1}{2}\), więc \(x+2y+10=0\). Prosta \(BC\) przez \((4,-7)\) i \((-1,3)\) ma współczynnik \(\frac{3+7}{-1-4}=-2\), więc \(2x+y-1=0\). **Krok \(4\).** Niech \(S=(h,k)\) będzie środkiem szukanego okręgu, a \(r\) jego promieniem. Okrąg przechodzi przez \((0,0)\), więc \(r=\sqrt{h^{2}+k^{2}}\), a ze styczności do obu prostych (wzór na odległość punktu od prostej) \[\frac{|h+2k+10|}{\sqrt{5}}=r\qquad\text{oraz}\qquad \frac{|2h+k-1|}{\sqrt{5}}=r.\] **Krok \(5\).** Z równości tych odległości \(|h+2k+10|=|2h+k-1|\), czyli \(h+2k+10=2h+k-1\) albo \(h+2k+10=-(2h+k-1)\). Stąd \[h=k+11\qquad\text{albo}\qquad h+k+3=0.\] To równania dwóch prostopadłych dwusiecznych kątów przy wierzchołku \(B\). **Krok \(6\).** Przypadek \(h=k+11\). Wtedy \(h+2k+10=3k+21\) i warunek \(\frac{(3k+21)^{2}}{5}=h^{2}+k^{2}\) daje \[9k^{2}+126k+441=10k^{2}+110k+605,\qquad k^{2}-16k+164=0,\] a \(\Delta=256-656\lt 0\), więc ten przypadek nie daje żadnego okręgu. **Krok \(7\).** Przypadek \(h=-k-3\). Wtedy \(h+2k+10=k+7\) i \[\frac{(k+7)^{2}}{5}=(k+3)^{2}+k^{2},\qquad k^{2}+14k+49=10k^{2}+30k+45,\qquad 9k^{2}+16k-4=0.\] **Krok \(8\).** \(\Delta=256+144=400\), więc \(k=\frac{-16-20}{18}=-2\) lub \(k=\frac{-16+20}{18}=\frac{2}{9}\). Druga współrzędna środka ma być ujemna, więc \(k=-2\), a stąd \(h=-k-3=-1\). **Krok \(9\).** Obliczamy promień: \(r^{2}=h^{2}+k^{2}=1+4=5\). Sprawdzenie odległości od prostych: \(\frac{|-1-4+10|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\) oraz \(\frac{|-2-2-1|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\) — zgadza się. **Uwaga.** Warunek styczności do dwóch prostych daje dwie dwusieczne, a nie jedną, więc formalnie trzeba rozpatrzyć oba przypadki. Tutaj drugi z nich odpada, bo prowadzi do równania kwadratowego bez pierwiastków rzeczywistych. Dodatkowe zastrzeżenie o ujemnej drugiej współrzędnej środka odrzuca jeszcze rozwiązanie \(k=\frac{2}{9}\). **Odpowiedź.** \((x+1)^{2}+(y+2)^{2}=5\).

**(dla sposobów I–III)** **6 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((x+1)^2+(y+2)^2=5\). **5 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą – pierwszą lub drugą współrzędną punktu \(S\), np.: \(\left[x_S-\left(\tfrac{3}{5}x_S+\tfrac{8}{5}\right)\right]^2+\left[-x_S-3-\left(-\tfrac{6}{5}x_S-\tfrac{11}{5}\right)\right]^2=x_S^2+(-x_S-3)^2\) (ze związków \(r=\lvert ST\rvert\) oraz \(r=\lvert SO\rvert\)), \((x_S-4)^2+\left(-x_S-3-(-7)\right)^2=\left(\tfrac{3}{5}x_S+\tfrac{8}{5}-4\right)^2+\left(-\tfrac{6}{5}x_S-\tfrac{11}{5}-(-7)\right)^2+x_S^2+(-x_S-3)^2\) (ze związków \(\lvert BS\rvert^2=\lvert BT\rvert^2+r^2\) oraz \(r=\lvert SO\rvert\)). **4 pkt** – wyznaczenie równania dwusiecznej kąta \(ABC\) równoległoboku: \(y=-x-3\) ALBO – zapisanie współrzędnych środka \(S\) za pomocą jednej niewiadomej, np. \(S=(x_S,-x_S-3)\). **3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(E\): \(E=(-2,5)\) ALBO – obliczenie współrzędnych takich punktów \(P_1\) oraz \(P_2\), że \(P_1\) leży na półprostej \(\overrightarrow{BA}\) oraz \(P_2\) leży na półprostej \(\overrightarrow{BC}\) oraz \(\lvert BP_1\rvert=\lvert BP_2\rvert\), ALBO – obliczenie tangensa kąta \(\alpha\): \(\operatorname{tg}\alpha=\tfrac{1}{3}\) (dla sposobu II), ALBO – zapisanie związku \(\frac{\left\lvert\tfrac{1}{2}x_S+y_S+5\right\rvert}{\sqrt{\left(\tfrac{1}{2}\right)^2+1}}=\frac{\lvert 2x_S+y_S-1\rvert}{\sqrt{2^2+1}}\) (dla sposobu III). **2 pkt** – wyznaczenie równania prostej \(BC\) oraz obliczenie długości odcinka \(AB\): \(y=-2x+1\) oraz \(\lvert AB\rvert=\sqrt{180}\) ALBO – wyznaczenie równania prostej \(AB\) oraz obliczenie długości odcinka \(BC\): \(y=-\tfrac{1}{2}x-5\) oraz \(\lvert BC\rvert=\sqrt{75}\), ALBO – obliczenie współczynników kierunkowych prostych \(AB\) oraz \(BC\): \(a_{AB}=-\tfrac{1}{2}\) oraz \(a_{BC}=-2\) (dla sposobu II), ALBO – wyznaczenie równań prostych \(AB\) oraz \(BC\), np. \(y=-\tfrac{1}{2}x-5\) oraz \(y=-2x+1\) (dla sposobu III). **1 pkt** – obliczenie współrzędnych wierzchołka \(B\): \(B=(4,-7)\) ALBO – obliczenie współrzędnych wierzchołka \(C\): \(C=(-1,3)\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** IX.R1) Zdający znajduje punkty wspólne prostej i okręgu; IX.R4) Zdający wyznacza równanie prostej prostopadłej do zadanej prostej i prostej stycznej do zadanego okręgu. VIII.4) Zdający korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach.

Okrąg ma równanie \((x+1)^{2}+(y+2)^{2}=5\). Ze środka symetrii równoległoboku otrzymujemy \(B=(4,-7)\) i \(C=(-1,3)\), a proste \(AB\) i \(BC\) mają równania \(x+2y+10=0\) oraz \(2x+y-1=0\). Punkty jednakowo odległe od obu prostych leżą na dwusiecznych \(y=-x-3\) albo \(y=x-11\); druga z nich nie daje rozwiązań, a pierwsza prowadzi do \(S=(-1,-2)\) (drugą możliwość \(S=\left(-\frac{29}{9},\frac{2}{9}\right)\) odrzucamy, bo jej druga współrzędna jest dodatnia).

**Krok \(1\).** Metoda: najpierw z własności równoległoboku (przekątne dzielą się na połowy) wyznaczamy brakujące wierzchołki i równania prostych \(AB\) i \(BC\). Potem szukamy środka \(S=(p,q)\) okręgu z dwóch warunków: jest jednakowo odległy od obu prostych i ta odległość jest równa \(\lvert SO\rvert\), gdzie \(O=(0,0)\). **Krok \(2\).** Punkt \(M\) jest środkiem przekątnej \(BD\), więc \(B=2M-D\): \[B=\left(2\cdot\left(-\tfrac{9}{2}\right)-(-13),\ 2\cdot 1-9\right)=(4,-7).\] **Krok \(3\).** Podobnie \(M\) jest środkiem przekątnej \(AC\), więc \(C=2M-A\): \[C=\left(-9-(-8),\ 2-(-1)\right)=(-1,3).\] **Krok \(4\).** Wyznaczamy prostą \(AB\) przez \(A=(-8,-1)\) i \(B=(4,-7)\): \[a_{AB}=\frac{-7-(-1)}{4-(-8)}=-\frac{1}{2},\qquad y=-\frac{1}{2}x-5,\qquad\text{czyli}\qquad x+2y+10=0.\] **Krok \(5\).** Wyznaczamy prostą \(BC\) przez \(B=(4,-7)\) i \(C=(-1,3)\): \[a_{BC}=\frac{3-(-7)}{-1-4}=-2,\qquad y=-2x+1,\qquad\text{czyli}\qquad 2x+y-1=0.\] **Krok \(6\).** Niech \(S=(p,q)\) i niech \(r\) będzie promieniem. Okrąg przechodzi przez \(O=(0,0)\), więc \(r^{2}=p^{2}+q^{2}\), a ze styczności do obu prostych (obie mają ten sam mianownik \(\sqrt5\)): \[\frac{\lvert p+2q+10\rvert}{\sqrt5}=\frac{\lvert 2p+q-1\rvert}{\sqrt5}=r.\] **Krok \(7\).** Z równości pierwszych dwóch wyrażeń: \(\lvert p+2q+10\rvert=\lvert 2p+q-1\rvert\), czyli \[p+2q+10=2p+q-1\quad\Rightarrow\quad q=p-11,\] \[p+2q+10=-(2p+q-1)\quad\Rightarrow\quad 3p+3q+9=0\quad\Rightarrow\quad q=-p-3.\] To są równania dwóch dwusiecznych kątów utworzonych przez proste \(AB\) i \(BC\); obie przechodzą przez \(B=(4,-7)\). **Krok \(8\).** Przypadek \(q=p-11\). Warunek \(p^{2}+q^{2}=\frac{(2p+q-1)^{2}}{5}\) daje \[5\left(2p^{2}-22p+121\right)=(3p-12)^{2},\qquad p^{2}-38p+461=0,\] a \(\Delta=1444-1844=-400\lt 0\), więc ten przypadek nie daje żadnego rozwiązania. **Krok \(9\).** Przypadek \(q=-p-3\). Wtedy \[5\left(p^{2}+(p+3)^{2}\right)=(p-4)^{2},\qquad 10p^{2}+30p+45=p^{2}-8p+16,\qquad 9p^{2}+38p+29=0.\] Wyróżnik \(\Delta=1444-1044=400\), więc \[p=\frac{-38-20}{18}=-\frac{29}{9}\qquad\text{lub}\qquad p=\frac{-38+20}{18}=-1.\] **Krok \(10\).** Sprawdzamy warunek „druga współrzędna środka jest ujemna”. Dla \(p=-\frac{29}{9}\) mamy \(q=\frac{29}{9}-3=\frac{2}{9}\gt 0\) — odrzucamy. Dla \(p=-1\) mamy \(q=-2\lt 0\) — przyjmujemy, czyli \(S=(-1,-2)\). **Krok \(11\).** Obliczamy promień i sprawdzamy styczność: \[r^{2}=(-1)^{2}+(-2)^{2}=5,\qquad \frac{\lvert -1-4+10\rvert}{\sqrt5}=\sqrt5,\qquad \frac{\lvert -2-2-1\rvert}{\sqrt5}=\sqrt5.\] Odległości od obu prostych są równe \(\sqrt5=r\) — warunki zadania są spełnione. **Uwaga.** Punktów jednakowo odległych od dwóch przecinających się prostych szukamy na obu dwusiecznych, nie tylko na tej „wewnętrznej”. Tutaj druga dwusieczna nie daje rozwiązań, ale trzeba to sprawdzić, a nie założyć. **Odpowiedź.** Okrąg \(O\) ma równanie \((x+1)^{2}+(y+2)^{2}=5\).

**(dla sposobów I–III)** **6 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((x+1)^2+(y+2)^2=5\). **5 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą – pierwszą lub drugą współrzędną punktu \(S\), np.: \(\left[x_S-\left(\tfrac{3}{5}x_S+\tfrac{8}{5}\right)\right]^2+\left[-x_S-3-\left(-\tfrac{6}{5}x_S-\tfrac{11}{5}\right)\right]^2=x_S^2+(-x_S-3)^2\) (ze związków \(r=\lvert ST\rvert\) oraz \(r=\lvert SO\rvert\)), \((x_S-4)^2+\left(-x_S-3-(-7)\right)^2=\left(\tfrac{3}{5}x_S+\tfrac{8}{5}-4\right)^2+\left(-\tfrac{6}{5}x_S-\tfrac{11}{5}-(-7)\right)^2+x_S^2+(-x_S-3)^2\) (ze związków \(\lvert BS\rvert^2=\lvert BT\rvert^2+r^2\) oraz \(r=\lvert SO\rvert\)). **4 pkt** – wyznaczenie równania dwusiecznej kąta \(ABC\) równoległoboku: \(y=-x-3\) ALBO – zapisanie współrzędnych środka \(S\) za pomocą jednej niewiadomej, np. \(S=(x_S,-x_S-3)\). **3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktu \(E\): \(E=(-2,5)\) ALBO – obliczenie współrzędnych takich punktów \(P_1\) oraz \(P_2\), że \(P_1\) leży na półprostej \(\overrightarrow{BA}\) oraz \(P_2\) leży na półprostej \(\overrightarrow{BC}\) oraz \(\lvert BP_1\rvert=\lvert BP_2\rvert\), ALBO – obliczenie tangensa kąta \(\alpha\): \(\operatorname{tg}\alpha=\tfrac{1}{3}\) (dla sposobu II), ALBO – zapisanie związku \(\frac{\left\lvert\tfrac{1}{2}x_S+y_S+5\right\rvert}{\sqrt{\left(\tfrac{1}{2}\right)^2+1}}=\frac{\lvert 2x_S+y_S-1\rvert}{\sqrt{2^2+1}}\) (dla sposobu III). **2 pkt** – wyznaczenie równania prostej \(BC\) oraz obliczenie długości odcinka \(AB\): \(y=-2x+1\) oraz \(\lvert AB\rvert=\sqrt{180}\) ALBO – wyznaczenie równania prostej \(AB\) oraz obliczenie długości odcinka \(BC\): \(y=-\tfrac{1}{2}x-5\) oraz \(\lvert BC\rvert=\sqrt{75}\), ALBO – obliczenie współczynników kierunkowych prostych \(AB\) oraz \(BC\): \(a_{AB}=-\tfrac{1}{2}\) oraz \(a_{BC}=-2\) (dla sposobu II), ALBO – wyznaczenie równań prostych \(AB\) oraz \(BC\), np. \(y=-\tfrac{1}{2}x-5\) oraz \(y=-2x+1\) (dla sposobu III). **1 pkt** – obliczenie współrzędnych wierzchołka \(B\): \(B=(4,-7)\) ALBO – obliczenie współrzędnych wierzchołka \(C\): \(C=(-1,3)\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 8.5R) Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) […]; 8.6R) Zdający wyznacza punkty wspólne prostej i okręgu.

**D.** \((x-1)^2+(y-2)^2=9\)

Okrąg \(O\) ma środek \((-1,2)\) i promień \(3\). Symetria względem osi \(Oy\) zmienia znak pierwszej współrzędnej i zachowuje odległości, więc obrazem środka jest punkt \((1,2)\), a promień pozostaje równy \(3\). Zatem \[(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=9.\] **Odpowiedź.** Wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: IX.4) Posługuje się równaniem okręgu; IX.5) wyznacza obraz okręgu w symetrii osiowej.

\(\sin\angle ABC=\frac8{17}\).

Okrąg ma równanie \[(x-19)^2+(y+11)^2=578.\] Punkty \(A\) i \(C\) leżą również na prostej \(y=x\), więc \[(x-19)^2+(x+11)^2=578\iff2x^2-16x-96=0.\] Stąd \(A=(-4,-4)\) i \(C=(12,12)\), zatem \(|AC|=16\sqrt2\). Z twierdzenia sinusów dla trójkąta wpisanego w okrąg o promieniu \(17\sqrt2\): \[\sin\angle ABC=\frac{|AC|}{2R}=\frac{16\sqrt2}{34\sqrt2}=\frac8{17}.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wynik. **2 pkt** – obliczenie długości \(|AC|\). **1 pkt** – wyznaczenie punktów \(A,C\) albo odległości środka okręgu od prostej \(AC\). **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. 1R) Zdający znajduje punkty wspólne prostej i okręgu. VII. Trygonometria. 7R) Zdający stosuje twierdzenie sinusów.

**A, F.** \(S=(2,-3)\), \(r=4\).

Porównujemy równanie z postacią \[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.\] Mamy \(a=2\), \(b=-3\) oraz \(r^2=16\), czyli \(r=4\).

**1 pkt** – odpowiedź **A, F** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** IX.4) Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

Po odjęciu równań okręgów otrzymujemy prostą \(x+7y+15=0\). Jej punkty przecięcia z \(O_1\) to \(A=(\frac{16}{5},-\frac{13}{5})\) oraz \(B=(-1,-2)\). Z równania \(M-A=-2(M-B)\) wynika \(M=\frac{A+2B}{3}=(\frac{2}{5},-\frac{11}{5})\).

Wspólne punkty okręgów spełniają oba równania jednocześnie. Odejmując je stronami, eliminujemy wyrazy kwadratowe: \[(x-1)^{2}+(y+3)^{2}-\left[(x-2)^{2}+(y-4)^{2}\right]=5-45,\]\[2x+14y+30=0\quad\Longleftrightarrow\quad x+7y+15=0.\] Jest to równanie prostej zawierającej cięciwę wspólną \(AB\). Podstawiamy \(x=-7y-15\) do równania okręgu \(O_1\): \[(-7y-16)^{2}+(y+3)^{2}=5\quad\Longleftrightarrow\quad 50y^{2}+230y+260=0\quad\Longleftrightarrow\quad 5y^{2}+23y+26=0.\] Wyróżnik \(\Delta=529-520=9\), więc \(y=-2\) albo \(y=-\frac{13}5\). Odpowiadające pierwsze współrzędne to \(x=-1\) oraz \(x=\frac{16}5\). Punkt \(A\) ma pierwszą współrzędną dodatnią, zatem \[A=\left(\frac{16}5,-\frac{13}5\right),\qquad B=(-1,-2).\] Warunek \(\overrightarrow{AM}=-2\overrightarrow{BM}\) zapisujemy wektorowo: \(M-A=-2(M-B)\), skąd \(3M=A+2B\), czyli \[M=\frac{A+2B}3=\left(\frac{\frac{16}5-2}3,\ \frac{-\frac{13}5-4}3\right)=\left(\frac25,-\frac{11}5\right).\] **Odpowiedź.** \(A=\left(\frac{16}5,-\frac{13}5\right)\), \(B=(-1,-2)\), \(M=\left(\frac25,-\frac{11}5\right)\)

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie równania prostej \(AB\), np. \(2x+14y=-30\) ALBO zapisanie równości \(x_M=\frac{1}{3}x_A+\frac{2}{3}x_B\) oraz \(y_M=\frac{1}{3}y_A+\frac{2}{3}y_B\), ALBO zapisanie współrzędnych punktu \(B\): \(B=(-1,-2)\) i sprawdzenie rachunkiem, że punkt \(B\) jest punktem przecięcia okręgów oraz zapisanie/obliczenie współczynnika kierunkowego prostej przechodzącej przez środki okręgów: \(7\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego obliczyć pierwsze (lub drugie) współrzędne punktów przecięcia okręgów, np. \((-7y-15-2)^{2}+(y-4)^{2}=45\), ALBO wyznaczenie równania prostej \(AB\), np. \(2x+14y=-30\) oraz zapisanie równości \(x_M=\frac{1}{3}x_A+\frac{2}{3}x_B\) oraz \(y_M=\frac{1}{3}y_A+\frac{2}{3}y_B\), ALBO zapisanie współrzędnych punktu \(B\): \(B=(-1,-2)\) i sprawdzenie rachunkiem, że punkt \(B\) jest punktem przecięcia okręgów oraz wyznaczenie równania prostej \(AB\), ALBO zapisanie współrzędnych punktu \(B\): \(B=(-1,-2)\) i sprawdzenie rachunkiem, że punkt \(B\) jest punktem przecięcia okręgów oraz obliczenie współrzędnych środka odcinka \(AB\): \(\left(\frac{11}{10},-\frac{23}{10}\right)\). **3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktów \(A\) oraz \(B\): \(A=\left(\frac{16}{5},-\frac{13}{5}\right)\) oraz \(B=(-1,-2)\) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego obliczyć pierwsze (lub drugie) współrzędne punktów przecięcia okręgów, np. \((-7y-15-2)^{2}+(y-4)^{2}=45\) oraz zapisanie równości \(x_M=\frac{1}{3}x_A+\frac{2}{3}x_B\) oraz \(y_M=\frac{1}{3}y_A+\frac{2}{3}y_B\). **4 pkt** – zapisanie równania \(\left[x_M-\frac{16}{5},\ y_M-\left(-\frac{13}{5}\right)\right]=-2\cdot\left[x_M-(-1),\ y_M-(-2)\right]\) ALBO zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, który pozwala obliczyć współrzędne punktu \(M\), np. \(\sqrt{(-1-x_M)^{2}+(-2-y_M)^{2}}=\sqrt{2}\) oraz \(\sqrt{(x_M-3{,}2)^{2}+(y_M+2{,}6)^{2}}=2\sqrt{2}\), ALBO obliczenie współrzędnych punktów \(A\) oraz \(B\): \(A=\left(\frac{16}{5},-\frac{13}{5}\right)\) i \(B=(-1,-2)\) oraz zapisanie równości \(x_M=\frac{1}{3}x_A+\frac{2}{3}x_B\) oraz \(y_M=\frac{1}{3}y_A+\frac{2}{3}y_B\). **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(A=\left(\frac{16}{5},-\frac{13}{5}\right)\), \(B=(-1,-2)\) oraz \(M=\left(\frac{2}{5},-\frac{11}{5}\right)\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający błędnie identyfikuje punkt \(A\) jako \((-1,-2)\), to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma punkty \(A\) oraz \(B\), których pierwsze współrzędne są liczbami dodatnimi, i konsekwentnie do popełnionych błędów rozwiązuje zadanie do końca, rozważając dwa przypadki, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma punkty \(A\) oraz \(B\), których pierwsze współrzędne są liczbami ujemnymi, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (trzeci punkt otrzymuje za zapisanie równości \(x_M=\frac{1}{3}x_A+\frac{2}{3}x_B\) oraz \(y_M=\frac{1}{3}y_A+\frac{2}{3}y_B\)).

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** IX.R2) Zdający znajduje punkty wspólne dwóch okręgów; IX.R3) Zdający zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość, dodaje wektory i mnoży wektor przez liczbę, oba te działania wykonuje zarówno analitycznie, jak i geometrycznie.

Po odjęciu równań okręgów otrzymujemy prostą \(x+7y+15=0\). Jej punkty przecięcia z \(O_1\) to \(A=(\frac{16}{5},-\frac{13}{5})\) oraz \(B=(-1,-2)\); punkt \(A\) ma dodatnią pierwszą współrzędną. Z równania \(M-A=-2(M-B)\) wynika \(M=\frac{A+2B}{3}=(\frac{2}{5},-\frac{11}{5})\).

**Krok \(1\).** Metoda: odejmując równania obu okręgów stronami, likwidujemy wyrazy kwadratowe i otrzymujemy równanie prostej zawierającej wspólną cięciwę \(AB\). **Krok \(2\).** Odejmujemy równania: \[(x-1)^{2}+(y+3)^{2}-\left[(x-2)^{2}+(y-4)^{2}\right]=5-45,\] \[(2x-3)+(14y-7)=-40,\qquad 2x+14y=-30,\qquad x+7y+15=0.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy \(x=-7y-15\) do równania okręgu \(O_{1}\): \[(-7y-16)^{2}+(y+3)^{2}=5,\qquad 49y^{2}+224y+256+y^{2}+6y+9=5,\] \[50y^{2}+230y+260=0,\qquad 5y^{2}+23y+26=0.\] **Krok \(4\).** \(\Delta=529-520=9\), więc \(y=\frac{-23-3}{10}=-\frac{13}{5}\) lub \(y=\frac{-23+3}{10}=-2\). **Krok \(5\).** Wyznaczamy odcięte: dla \(y=-\frac{13}{5}\) mamy \(x=\frac{91}{5}-15=\frac{16}{5}\), a dla \(y=-2\) mamy \(x=14-15=-1\). **Krok \(6\).** Pierwsza współrzędna punktu \(A\) jest dodatnia, więc \[A=\left(\frac{16}{5},-\frac{13}{5}\right),\qquad B=(-1,-2).\] **Krok \(7\).** Warunek \(\overrightarrow{AM}=-2\cdot\overrightarrow{BM}\) zapisujemy wektorowo: \(M-A=-2(M-B)\), skąd \(3M=A+2B\), czyli \(M=\frac{A+2B}{3}\). **Krok \(8\).** Obliczamy współrzędne: \[x_{M}=\frac{\frac{16}{5}-2}{3}=\frac{\frac{6}{5}}{3}=\frac{2}{5},\qquad y_{M}=\frac{-\frac{13}{5}-4}{3}=\frac{-\frac{33}{5}}{3}=-\frac{11}{5}.\] **Uwaga.** Zależność \(\overrightarrow{AM}=-2\cdot\overrightarrow{BM}\) oznacza, że wektory mają przeciwne zwroty, więc \(M\) leży między \(A\) i \(B\) i dzieli odcinek \(AB\) w stosunku \(2:1\) licząc od \(A\). To dobry sposób na sprawdzenie wyniku. **Odpowiedź.** \(A=\left(\frac{16}{5},-\frac{13}{5}\right)\), \(B=(-1,-2)\), \(M=\left(\frac{2}{5},-\frac{11}{5}\right)\).

**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(A=\left(\tfrac{16}{5},-\tfrac{13}{5}\right)\), \(B=(-1,-2)\) oraz \(M=\left(\tfrac{2}{5},-\tfrac{11}{5}\right)\). **4 pkt** – zapisanie równania \(\left[x_M-\tfrac{16}{5},\ y_M-\left(-\tfrac{13}{5}\right)\right]=-2\cdot\left[x_M-(-1),\ y_M-(-2)\right]\) ALBO – zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, który pozwala obliczyć współrzędne punktu \(M\), np. \(\sqrt{(-1-x_M)^2+(-2-y_M)^2}=\sqrt{2}\) oraz \(\sqrt{(x_M-3{,}2)^2+(y_M+2{,}6)^2}=2\sqrt{2}\), ALBO – obliczenie współrzędnych punktów \(A\) oraz \(B\): \(A=\left(\tfrac{16}{5},-\tfrac{13}{5}\right)\) i \(B=(-1,-2)\) oraz zapisanie równości \(x_M=\tfrac{1}{3}x_A+\tfrac{2}{3}x_B\) oraz \(y_M=\tfrac{1}{3}y_A+\tfrac{2}{3}y_B\). **3 pkt** – obliczenie współrzędnych punktów \(A\) oraz \(B\): \(A=\left(\tfrac{16}{5},-\tfrac{13}{5}\right)\) oraz \(B=(-1,-2)\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego obliczyć pierwsze (lub drugie) współrzędne punktów przecięcia okręgów, np. \((-7y-15-2)^2+(y-4)^2=45\) oraz zapisanie równości \(x_M=\tfrac{1}{3}x_A+\tfrac{2}{3}x_B\) oraz \(y_M=\tfrac{1}{3}y_A+\tfrac{2}{3}y_B\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego obliczyć pierwsze (lub drugie) współrzędne punktów przecięcia okręgów, np. \((-7y-15-2)^2+(y-4)^2=45\), ALBO – wyznaczenie równania prostej \(AB\), np. \(2x+14y=-30\) oraz zapisanie równości \(x_M=\tfrac{1}{3}x_A+\tfrac{2}{3}x_B\) oraz \(y_M=\tfrac{1}{3}y_A+\tfrac{2}{3}y_B\), ALBO – zapisanie współrzędnych punktu \(B\): \(B=(-1,-2)\) i sprawdzenie rachunkiem, że punkt \(B\) jest punktem przecięcia okręgów oraz wyznaczenie równania prostej \(AB\), ALBO – zapisanie współrzędnych punktu \(B\): \(B=(-1,-2)\) i sprawdzenie rachunkiem, że punkt \(B\) jest punktem przecięcia okręgów oraz obliczenie współrzędnych środka odcinka \(AB\): \(\left(\tfrac{11}{10},-\tfrac{23}{10}\right)\). **1 pkt** – wyznaczenie równania prostej \(AB\), np. \(2x+14y=-30\) ALBO – zapisanie równości \(x_M=\tfrac{1}{3}x_A+\tfrac{2}{3}x_B\) oraz \(y_M=\tfrac{1}{3}y_A+\tfrac{2}{3}y_B\), ALBO – zapisanie współrzędnych punktu \(B\): \(B=(-1,-2)\) i sprawdzenie rachunkiem, że punkt \(B\) jest punktem przecięcia okręgów oraz zapisanie/obliczenie współczynnika kierunkowego prostej przechodzącej przez środki okręgów: \(7\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający błędnie identyfikuje punkt \(A\) jako \((-1,-2)\), to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma punkty \(A\) oraz \(B\), których pierwsze współrzędne są liczbami dodatnimi, i konsekwentnie do popełnionych błędów rozwiązuje zadanie do końca, rozważając dwa przypadki, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma punkty \(A\) oraz \(B\), których pierwsze współrzędne są liczbami ujemnymi, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (trzeci punkt otrzymuje za zapisanie równości \(x_M=\tfrac{1}{3}x_A+\tfrac{2}{3}x_B\) oraz \(y_M=\tfrac{1}{3}y_A+\tfrac{2}{3}y_B\)).

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 8.5R) Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) […]; 8.7R) Zdający oblicza współrzędne oraz długość wektora; dodaje i odejmuje wektory oraz mnoży je przez liczbę. Interpretuje geometrycznie działania na wektorach.

**B.** Kwadrat promienia wynosi \(|SP|^{2}=(2-0)^{2}+(4-0)^{2}=20\). Równanie okręgu to \((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=20\).

**Krok \(1\).** Znamy środek okręgu i jeden jego punkt. Równanie okręgu o środku \(S=(a,b)\) i promieniu \(r\) ma postać \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\), więc do jego napisania brakuje nam tylko \(r^{2}\), które wyliczymy z odległości \(|SP|\). **Krok \(2\).** Wstawiamy współrzędne środka \(S=(2,4)\). Lewa strona równania to \[(x-2)^{2}+(y-4)^{2},\] a więc w nawiasach są znaki minus. Warianty ze znakami plus opisują okrąg o środku \((-2,-4)\) i od razu odpadają. **Krok \(3\).** Liczymy kwadrat promienia jako kwadrat odległości środka od punktu \(P=(0,0)\) leżącego na okręgu: \[r^{2}=|SP|^{2}=(2-0)^{2}+(4-0)^{2}=4+16=20.\] **Krok \(4\).** Po prawej stronie równania okręgu stoi \(r^{2}\), czyli \(20\). Sam promień to \(r=\sqrt{20}=2\sqrt5\) i to właśnie ta liczba pojawia się w błędnych wariantach. **Krok \(5\).** Składamy równanie: \[(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=20.\] Sprawdzamy, że punkt \(P=(0,0)\) je spełnia: \((0-2)^{2}+(0-4)^{2}=4+16=20\). **Uwaga.** Po prawej stronie równania okręgu jest zawsze kwadrat promienia, a nie promień. Wpisanie \(2\sqrt5\) zamiast \(20\) to najczęstszy błąd w tym zadaniu. **Odpowiedź.** B, czyli \((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=20\).

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** IX.4) Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

**P, P**

**Krok \(1\).** Równanie okręgu podano w postaci kanonicznej \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\), więc od razu odczytujemy środek i promień. Liczbę punktów wspólnych okręgu z prostą (tu: z osią układu) rozstrzyga porównanie promienia z odległością środka od tej prostej. **Krok \(2\).** Porównujemy z wzorcem: \((x-1)^{2}+(y+3)^{2}=4\), więc \(a=1\), \(b=-3\) (bo \(y+3=y-(-3)\)) oraz \(r^{2}=4\), czyli \(r=2\). Środek to \(S=(1,-3)\). **Krok \(3\).** Reguła: jeżeli odległość środka od prostej jest większa od \(r\), punktów wspólnych nie ma; jeżeli równa \(r\) — jest jeden (styczna); jeżeli mniejsza od \(r\) — są dwa. **Krok \(4\).** Odległość środka od osi \(Ox\) to wartość bezwzględna drugiej współrzędnej: \(|-3|=3\). Ponieważ \(3\gt 2\), okrąg nie ma punktów wspólnych z osią \(Ox\) — pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe. **Krok \(5\).** Odległość środka od osi \(Oy\) to wartość bezwzględna pierwszej współrzędnej: \(|1|=1\). Ponieważ \(1\lt 2\), okrąg przecina oś \(Oy\) w dwóch punktach — drugie stwierdzenie także jest prawdziwe. **Krok \(6\).** Sprawdzamy rachunkiem. Dla osi \(Ox\) podstawiamy \(y=0\): \[(x-1)^{2}+9=4,\qquad (x-1)^{2}=-5,\] co jest niemożliwe — brak punktów wspólnych. **Krok \(7\).** Dla osi \(Oy\) podstawiamy \(x=0\): \[1+(y+3)^{2}=4,\qquad (y+3)^{2}=3,\qquad y=-3\pm\sqrt{3},\] czyli dwa punkty wspólne. **Uwaga.** Łatwo pomylić osie: odległość środka od osi \(Ox\) mierzymy wzdłuż osi \(Oy\), więc bierzemy współrzędną \(y\) środka (tu \(3\)), a nie \(x\). Uwagi wymaga też znak w równaniu: \((y+3)^{2}\) oznacza \(b=-3\), a nie \(b=3\). **Odpowiedź.** Prawda, Prawda (P, P)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** IX.4) Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

**P, F.**

Dla punktu \((-1,-3)\) lewa strona równania okręgu jest równa \[(-1-1)^2+(-3+2)^2=4+1=5,\] więc punkt należy do okręgu. Pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe. Równanie ma postać \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\). Tutaj \(r^2=5\), zatem \[r=\sqrt5,\] a nie \(5\). Drugie stwierdzenie jest fałszywe.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **PF** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** IX.4) Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

**D.** \((x+1)^2+(y-2)^2=5\)

Okrąg \(O\) ma środek \((1,-2)\) i promień \(\sqrt5\). Symetria środkowa względem początku układu przekształca punkt \((x,y)\) na \((-x,-y)\) i zachowuje odległości, więc obrazem środka jest \((-1,2)\), a promień się nie zmienia: \[(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=5.\] **Odpowiedź.** Wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** IX.6) Zdający wyznacza obrazy okręgów […] w symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

\[C=(\sqrt5-1,\ 3\sqrt5+3)\quad\text{lub}\quad C=(-\sqrt5-1,\ -3\sqrt5+3).\]

Z warunku \(|AC|=|BC|\) wynika, że punkt \(C\) leży na symetralnej odcinka \(AB\). Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) wynosi \[a_{AB}=\frac{8-4}{-6-6}=-\frac13,\] więc symetralna ma współczynnik kierunkowy \(3\). Środek odcinka \(AB\) ma współrzędne \[M=\left(\frac{6+(-6)}2,\frac{4+8}2\right)=(0,6).\] Równanie symetralnej jest zatem równe \[y=3x+6.\] Punkty \(C\) są punktami przecięcia tej prostej z okręgiem: \[(x+1)^2+(3x+6-3)^2=50,\] \[(x+1)^2+9(x+1)^2=50,\] \[10(x+1)^2=50,\qquad (x+1)^2=5.\] Stąd \[x=\sqrt5-1\quad\text{lub}\quad x=-\sqrt5-1.\] Dla \(x=\sqrt5-1\): \[y=3(\sqrt5-1)+6=3\sqrt5+3.\] Dla \(x=-\sqrt5-1\): \[y=3(-\sqrt5-1)+6=-3\sqrt5+3.\] Ostatecznie \[C=(\sqrt5-1,3\sqrt5+3)\quad\text{lub}\quad C=(-\sqrt5-1,-3\sqrt5+3).\]

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i podanie obu punktów: \(C=(\sqrt5-1,3\sqrt5+3)\) lub \(C=(-\sqrt5-1,-3\sqrt5+3)\) **3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą, na przykład \((x+1)^2+(3x+6-3)^2=50\) **2 pkt** – wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(AB\): \(y=3x+6\) **1 pkt** – obliczenie współczynnika kierunkowego prostej \(AB\): \(-\frac13\); albo zapisanie równania odległości \(\sqrt{(x-6)^2+(y-4)^2}=\sqrt{(x+6)^2+(y-8)^2}\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** IX.R1) Zdający znajduje punkty wspólne prostej i okręgu. IX.R4) Zdający wyznacza równanie prostej prostopadłej do zadanej prostej.

**C.** \(o_3\)

Okrąg nie ma punktu wspólnego z żadną osią, gdy odległość jego środka od każdej osi jest większa od promienia. Dla \(o_3\) środkiem jest punkt \((3,4)\), a promień jest równy \(2\). Odległości środka od osi wynoszą odpowiednio \(3\) i \(4\), a więc obie są większe od \(2\). Zatem \(o_3\) nie przecina ani osi \(Ox\), ani osi \(Oy\). Pozostałe okręgi przecinają co najmniej jedną oś lub są do niej styczne.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** IX.4) Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

\(S=(6,7)\) lub \(S=(-4,-3)\). Z pola dwóch przystających trójkątów prostokątnych otrzymujemy \(\lvert AB\rvert=\lvert AC\rvert=3\sqrt5\), a z twierdzenia Pitagorasa \(\lvert AS\rvert=5\sqrt2\). Dla \(S=(s,s+1)\) daje to równanie \(2(s-1)^{2}=50\), czyli \(s=6\) lub \(s=-4\).

**Krok \(1\).** Metoda: czworokąt \(ABSC\) składa się z dwóch przystających trójkątów prostokątnych. Z jego pola wyznaczymy długość stycznej, z twierdzenia Pitagorasa — długość \(\lvert AS\rvert\), a stąd współrzędne \(S\). **Krok \(2\).** Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc \(SB\perp AB\) oraz \(SC\perp AC\). Trójkąty \(ABS\) i \(ACS\) są zatem prostokątne (kąt prosty przy \(B\) i przy \(C\)). **Krok \(3\).** Trójkąty te mają wspólną przeciwprostokątną \(AS\) i równe przyprostokątne \(\lvert BS\rvert=\lvert CS\rvert=\sqrt5\), więc są przystające. Oznaczmy \(t=\lvert AB\rvert=\lvert AC\rvert\). **Krok \(4\).** Zapisujemy pole czworokąta jako sumę pól tych trójkątów: \[15=2\cdot\frac{1}{2}\cdot t\cdot\sqrt5=t\sqrt5,\qquad\text{zatem}\qquad t=\frac{15}{\sqrt5}=3\sqrt5.\] **Krok \(5\).** Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABS\): \[\lvert AS\rvert^{2}=\lvert AB\rvert^{2}+\lvert BS\rvert^{2}=\left(3\sqrt5\right)^{2}+\left(\sqrt5\right)^{2}=45+5=50,\] czyli \(\lvert AS\rvert=5\sqrt2\). **Krok \(6\).** Punkt \(S\) leży na prostej \(y=x+1\), więc \(S=(s,\ s+1)\) dla pewnego \(s\in\mathbb{R}\). **Krok \(7\).** Zapisujemy warunek \(\lvert AS\rvert^{2}=50\) dla \(A=(1,2)\): \[(s-1)^{2}+(s+1-2)^{2}=50,\qquad 2(s-1)^{2}=50,\qquad (s-1)^{2}=25.\] **Krok \(8\).** Stąd \(\lvert s-1\rvert=5\), czyli \(s=6\) lub \(s=-4\), a więc \[S=(6,7)\qquad\text{lub}\qquad S=(-4,-3).\] Oba punkty spełniają warunek \(\lvert AS\rvert=5\sqrt2\gt\sqrt5\), więc oba są dobre. **Uwaga.** Zadanie wyraźnie prosi o rozważenie wszystkich przypadków: równanie \((s-1)^{2}=25\) ma dwa rozwiązania i oba dają poprawne położenie środka okręgu, po dwóch stronach punktu \(A\). **Odpowiedź.** \(S=(6,7)\) lub \(S=(-4,-3)\).

**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(S=(6,\,7)\) oraz \(S=(-4,\,-3)\). **4 pkt** – obliczenie obydwu wartości \(x_{S}\): \(6\) oraz \((-4)\) ALBO – obliczenie obydwu współrzędnych punktu \(S\) tylko dla jednego przypadku: \(S=(6,\,7)\) albo \(S=(-4,\,-3)\). **3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą (współrzędną punktu \(S\)), np. \((x_{S}-1)^{2}+(x_{S}+1-2)^{2}=50\), \(\frac{\lvert 2x_{S}-(x_{S}+1)\rvert}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\sqrt{5}\), \((x_{S}-(-5))^{2}+(x_{S}+1-(-1))^{2}=5\), \((x_{S}-(-2))^{2}+(x_{S}+1-(-4))^{2}=5\), \((x_{S}-4)^{2}+(x_{S}+1-8)^{2}=5\), \((x_{S}-7)^{2}+(x_{S}+1-5)^{2}=5\). **2 pkt** – obliczenie długości \(m\) odcinka \(AB\) (lub \(AC\)) stycznej: \(3\sqrt{5}\) ALBO – obliczenie długości odcinka \(AS\): \(\lvert AS\rvert=5\sqrt{2}\). **1 pkt** – zapisanie współrzędnych punktu \(S\) w zależności od jednej zmiennej, np. \(S=(x,\,x+1)\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością \(m\) odcinka \(AB\) stycznej), np. \(15=2\cdot\frac{1}{2}\cdot m\cdot\sqrt{5}\), ALBO – zapisanie układ trzech równań: \(\lvert z\rvert^{2}=m^{2}+m^{2}-2m\cdot m\cdot\cos\alpha\) oraz \(\lvert z\rvert^{2}=(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{5})^{2}-2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\cdot\cos(180^\circ-\alpha)\) oraz \(15=\frac{1}{2}\cdot m^{2}\cdot\sin\alpha+\frac{1}{2}\cdot(\sqrt{5})^{2}\cdot\sin(180^\circ-\alpha)\), gdzie \(z=\lvert BC\rvert\), \(m=\lvert AB\rvert\), \(\alpha=\lvert\measuredangle BAC\rvert\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający pomija współczynnik \(\frac{1}{2}\) we wzorze na pole trójkąta lub deltoidu, to błąd ten traktujemy jako błąd rachunkowy. 2. Jeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca, ale otrzyma więcej niż dwa punkty \(S\), to może otrzymać co najwyżej \(4\) punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** IX.3) Zdający oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych; IX.5) Zdający oblicza odległość punktu od prostej. IX.R1) Zdający posługuje się równaniem prostej w postaci ogólnej na płaszczyźnie […].

\(S=(6,7)\) lub \(S=(-4,-3)\). Pole jest sumą pól dwóch przystających trójkątów prostokątnych, więc \(15=|AB|\sqrt{5}\) i \(|AB|=3\sqrt{5}\). Stąd \(|AS|^{2}=50\), a dla \(S=(s,s+1)\) otrzymujemy \(2(s-1)^{2}=50\).

**Krok \(1\).** Metoda: czworokąt \(ABSC\) jest deltoidem złożonym z dwóch przystających trójkątów prostokątnych; z jego pola wyznaczymy \(|AS|\), a potem skorzystamy z tego, że \(S\) leży na danej prostej. **Krok \(2\).** Promienie \(SB\) i \(SC\) poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do stycznych \(AB\) i \(AC\), więc trójkąty \(ABS\) i \(ACS\) są prostokątne odpowiednio przy wierzchołkach \(B\) i \(C\). Mają wspólną przeciwprostokątną \(AS\) i równe przyprostokątne \(|SB|=|SC|=\sqrt{5}\), więc są przystające i \(|AB|=|AC|\). **Krok \(3\).** Pole czworokąta jest sumą pól tych trójkątów: \[15=2\cdot\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot\sqrt{5}=|AB|\sqrt{5},\qquad |AB|=\frac{15}{\sqrt{5}}=3\sqrt{5}.\] **Krok \(4\).** Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABS\): \[|AS|^{2}=|AB|^{2}+|BS|^{2}=45+5=50.\] **Krok \(5\).** Punkt \(S\) leży na prostej \(y=x+1\), więc \(S=(s,s+1)\). Zapisujemy warunek \(|AS|^{2}=50\) dla \(A=(1,2)\): \[(s-1)^{2}+(s+1-2)^{2}=50,\qquad 2(s-1)^{2}=50,\qquad (s-1)^{2}=25.\] **Krok \(6\).** Stąd \(|s-1|=5\), czyli \(s=6\) albo \(s=-4\), a więc \[S=(6,7)\quad\text{lub}\quad S=(-4,-3).\] **Krok \(7\).** Sprawdzamy założenie: w obu przypadkach \(|AS|=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\gt\sqrt{5}\), więc punkt \(A\) leży na zewnątrz okręgu i obie styczne istnieją. Oba rozwiązania są dobre. **Uwaga.** Punkt \(A=(1,2)\) sam leży na prostej \(y=x+1\), więc odległość \(|AS|\) mierzymy wzdłuż tej prostej: \(|AS|=|s-1|\sqrt{2}\). Z równania \(|s-1|\sqrt{2}=5\sqrt{2}\) natychmiast dostajemy \(|s-1|=5\) — to skrót do Kroku \(6\). Odpowiedź musi zawierać oba położenia \(S\) — po jednym z każdej strony punktu \(A\). **Odpowiedź.** \(S=(6,7)\) lub \(S=(-4,-3)\).

**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(S=(6,\,7)\) oraz \(S=(-4,\,-3)\). **4 pkt** – obliczenie obydwu wartości \(x_{S}\): \(6\) oraz \((-4)\) ALBO – obliczenie obydwu współrzędnych punktu \(S\) tylko dla jednego przypadku: \(S=(6,\,7)\) albo \(S=(-4,\,-3)\). **3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą (współrzędną punktu \(S\)), np. \((x_{S}-1)^{2}+(x_{S}+1-2)^{2}=50\), \(\frac{\lvert 2x_{S}-(x_{S}+1)\rvert}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\sqrt{5}\), \((x_{S}-(-5))^{2}+(x_{S}+1-(-1))^{2}=5\), \((x_{S}-(-2))^{2}+(x_{S}+1-(-4))^{2}=5\), \((x_{S}-4)^{2}+(x_{S}+1-8)^{2}=5\), \((x_{S}-7)^{2}+(x_{S}+1-5)^{2}=5\). **2 pkt** – obliczenie długości \(m\) odcinka \(AB\) (lub \(AC\)) stycznej: \(3\sqrt{5}\) ALBO – obliczenie długości odcinka \(AS\): \(\lvert AS\rvert=5\sqrt{2}\). **1 pkt** – zapisanie współrzędnych punktu \(S\) w zależności od jednej zmiennej, np. \(S=(x,\,x+1)\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością \(m\) odcinka \(AB\) stycznej), np. \(15=2\cdot\frac{1}{2}\cdot m\cdot\sqrt{5}\), ALBO – zapisanie układ trzech równań: \(\lvert z\rvert^{2}=a^{2}+a^{2}-2a\cdot a\cdot\cos\alpha\) oraz \(\lvert z\rvert^{2}=(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{5})^{2}-2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\cdot\cos(180^\circ-\alpha)\) oraz \(15=\frac{1}{2}\cdot a^{2}\cdot\sin\alpha+\frac{1}{2}\cdot(\sqrt{5})^{2}\cdot\sin(180^\circ-\alpha)\), gdzie \(z=\lvert BC\rvert\), \(a=\lvert AB\rvert\), \(\alpha=\lvert\measuredangle BAC\rvert\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający pomija współczynnik \(\frac{1}{2}\) we wzorze na pole trójkąta lub deltoidu, to błąd ten traktujemy jako błąd rachunkowy. 2. Jeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca, ale otrzyma więcej niż dwa punkty \(S\), to może otrzymać co najwyżej \(4\) punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 8.6) Zdający oblicza odległość dwóch punktów. 8.1R) Zdający oblicza odległość punktu od prostej.

**A.** \((x-1)^2+(y-3)^2=41\).

Środek okręgu jest środkiem odcinka \(AB\): \[O=\left(\frac{-4+6}{2},\frac{7+(-1)}{2}\right)=(1,3).\] Kwadrat promienia obliczamy na przykład z odległości środka od punktu \(A\): \[r^2=(-4-1)^2+(7-3)^2=25+16=41.\] Równanie okręgu ma więc postać \[(x-1)^2+(y-3)^2=41.\] Poprawna jest odpowiedź **A**.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** IX.4) Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

Punkt styczności ma współrzędne \[(8,0).\]

Niech \(l\) będzie prostą zawierającą bok \(AB\). Jest ona styczna do okręgu \(\mathcal O\) i przechodzi przez \(A=(9,12)\), więc ma równanie \[y=ax+12-9a.\] W postaci ogólnej: \[ax-y+12-9a=0.\] Środek okręgu to \(S=(8,4)\), a promień jest równy \(4\). Warunek styczności daje \[\frac{|8a-4+12-9a|}{\sqrt{a^2+1}}=4.\] Po podniesieniu do kwadratu: \[15a^2+16a-48=0,\] stąd \[a=\frac43\quad\text{lub}\quad a=-\frac{12}{5}.\] Dla \(a=\frac43\) prosta \(l\) ma równanie \(y=\frac43x\). Jej punkt przecięcia z dwusieczną \(k\colon y=\frac12x\) to \[B=(0,0).\] Druga z otrzymanych prostych nie może zawierać boku \(AB\), ponieważ wraz z prostą \(k\) tworzyłaby po stronie środka okręgu kąt większy niż \(90^\circ\), podczas gdy \(k\) jest dwusieczną kąta wewnętrznego trójkąta. Okrąg \(\mathcal O\) o środku \((8,4)\) i promieniu \(4\) jest styczny do osi \(Ox\). Ponieważ \(B=(0,0)\), prosta \(BC\) ma równanie \[y=0\] i jest styczna do okręgu w punkcie \[(8,0).\]

**6 pkt** – wyznaczenie prostej \(BC\) i punktu styczności \((8,0)\) **5 pkt** – uzasadnione odrzucenie drugiej prostej stycznej przechodzącej przez \(A\) oraz obliczenie \(B=(0,0)\) **4 pkt** – obliczenie \(B=(0,0)\) albo poprawne uzasadnienie, że druga kandydatka nie zawiera boku \(AB\) **3 pkt** – wyznaczenie obu prostych stycznych do okręgu przechodzących przez \(A\): \(y=\frac43x\) i \(y=-\frac{12}{5}x+\frac{168}{5}\) **2 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru na odległość punktu od prostej i zapisanie równania wyznaczającego współczynnik kierunkowy **1 pkt** – zapisanie równania prostej stycznej przechodzącej przez \(A\) ze współczynnikami zależnymi od jednego parametru **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** IX.R1) Zdający posługuje się równaniem prostej w postaci ogólnej na płaszczyźnie i wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach. IX.R3) Zdający znajduje punkty wspólne prostej i okręgu.

**A.** \((x-2)^2+(y+5)^2=9\)

Równanie okręgu o środku \((a,b)\) i promieniu \(r\) ma postać \[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.\] Dla \(a=2\), \(b=-5\), \(r=3\) otrzymujemy \[(x-2)^2+(y+5)^2=9.\]

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** IX.4 posługiwanie się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

\[P_{ABC}=20.\]

Środkiem danego okręgu jest punkt \(S=(1,2)\). Sprawdzamy, że leży on na prostej zawierającej bok \(AB\): \[4\cdot1-3\cdot2+2=0.\] Zatem \(AB\) jest średnicą okręgu, więc \[|AB|=10.\] Z warunku \(|AD|=4|DB|\) i równości \(|AD|+|DB|=10\) wynika \[|AD|=8,\qquad |DB|=2.\] Kąt \(ACB\) jest kątem wpisanym opartym na średnicy, więc jest prosty. Dla wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną: \[|CD|^2=|AD|\cdot|DB|=8\cdot2,\] \[|CD|=4.\] Pole trójkąta wynosi \[P_{ABC}=\frac12|AB|\cdot|CD|=\frac12\cdot10\cdot4=20.\]

**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(P=20\) **3 pkt** – obliczenie \(|CD|=4\) **2 pkt** – obliczenie \(|AD|=8\) oraz \(|DB|=2\) **1 pkt** – zapisanie, że \(AB\) jest średnicą okręgu, albo że \(S=(1,2)\) leży na prostej \(4x-3y+2=0\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja; 3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VIII.5) Zdający stosuje własności kątów wpisanych i środkowych. IX.4) Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

\[K_1=(-6,11)\qquad\text{lub}\qquad K_2=(14,-9).\]

Z równania okręgu \(o_1\) odczytujemy \(S_1=(6,-1)\). Ponieważ \(\overrightarrow{S_1S_2}=[-4,4]\), mamy \[S_2=(2,3).\] Prosta przechodząca przez oba środki jest osią symetrii o równaniu \[y=-x+5.\] Druga oś przechodzi przez środek \(S=(4,1)\) odcinka \(S_1S_2\), jest do niego prostopadła i ma równanie \[y=x-3.\] To ona ma dodatni współczynnik kierunkowy. Jej punkty przecięcia z okręgiem \(o_1\) spełniają \[(x-6)^2+(x-2)^2=16,\] \[2x^2-16x+24=0.\] Stąd \(x=2\) lub \(x=6\), więc \[M=(2,-1),\qquad N=(6,3).\] Punkt \(K\) leży na drugiej osi symetrii, zatem \[K=(x,-x+5).\] Korzystamy ze wzoru wyznacznikowego na pole trójkąta: \[\frac12\left|(6-2)(-x+5+1)-(3+1)(x-2)\right|=40,\] \[\frac12|-8x+32|=40.\] Otrzymujemy \(x=-6\) albo \(x=14\). Odpowiadające punkty to \[K_1=(-6,11),\qquad K_2=(14,-9).\]

**7 pkt** – poprawne wykonanie obu etapów i oba punkty \(K_1=(-6,11)\), \(K_2=(14,-9)\) **I etap: 4 pkt** – wyznaczenie \(M=(2,-1)\) i \(N=(6,3)\) **3 pkt** – zapisanie równania prowadzącego do ich współrzędnych, np. \((x-6)^2+(x-2)^2-16=0\) **2 pkt** – wyznaczenie osi \(y=x-3\) **1 pkt** – obliczenie \(S_2=(2,3)\) **II etap: 3 pkt** – obliczenie obu punktów \(K\) **2 pkt** – zapisanie równania pola z jedną niewiadomą, np. \(\frac12|-8x+32|=40\) **1 pkt** – zapisanie \(K=(x,-x+5)\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Element podstawy programowej:** geometria analityczna okręgu i prostej, osie symetrii, współrzędne punktów przecięcia oraz pole trójkąta obliczane ze współrzędnych. Klucz CKE dla tego arkusza w formule 2015 nie podaje osobnego kodu wymagania.

**A.** \((x-4)^2+(y+2)^2=4\)

Odległość środka \(S=(4,-2)\) od osi \(Ox\) wynosi \(2\), więc promień okręgu jest równy \(r=2\). Równanie okręgu ma postać \[(x-4)^2+(y-(-2))^2=2^2,\] czyli \((x-4)^2+(y+2)^2=4\).

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** IX.4 posługiwanie się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

\(\sin\angle ABC=\frac8{17}\)

Sprowadzamy równanie okręgu do postaci kanonicznej: \[(x-19)^2+(y+11)^2=578=(17\sqrt2)^2,\] zatem promień ma długość \(R=17\sqrt2\). Punkty \(A\) i \(C\) są punktami przecięcia okręgu z prostą \(y=x\). Po podstawieniu otrzymujemy \[2x^2-16x-96=0,\] więc \(x=-4\) lub \(x=12\). Ponieważ \(A\) ma obie współrzędne ujemne, \[A=(-4,-4),\qquad C=(12,12).\] Stąd \[|AC|=\sqrt{16^2+16^2}=16\sqrt2.\] Z twierdzenia sinusów w trójkącie \(ABC\): \[\frac{|AC|}{\sin\angle ABC}=2R,\] a zatem \[\sin\angle ABC=\frac{16\sqrt2}{34\sqrt2}=\frac8{17}.\]

**4 pkt** – zastosowanie twierdzenia sinusów i wynik \(\frac8{17}\) **3 pkt** – obliczenie \(R=17\sqrt2\) i \(|AC|=16\sqrt2\) **2 pkt** – obliczenie promienia oraz punktów \(A=(-4,-4)\), \(C=(12,12)\) albo punktów i długości \(AC\) **1 pkt** – obliczenie promienia albo współrzędnych \(A\) i \(C\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. stosowanie i tworzenie strategii w zadaniach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** IX.1R i VII.5 stosowanie równania okręgu w postaci ogólnej oraz twierdzenia sinusów.

\(\sin\angle ABC=\frac8{17}\)

Sprowadzamy równanie okręgu do postaci kanonicznej: \[(x-19)^2+(y+11)^2=578=(17\sqrt2)^2,\] zatem promień ma długość \(R=17\sqrt2\). Punkty \(A\) i \(C\) są punktami przecięcia okręgu z prostą \(y=x\). Po podstawieniu otrzymujemy \[2x^2-16x-96=0,\] więc \(x=-4\) lub \(x=12\). Ponieważ \(A\) ma obie współrzędne ujemne, \[A=(-4,-4),\qquad C=(12,12).\] Stąd \[|AC|=\sqrt{16^2+16^2}=16\sqrt2.\] Z twierdzenia sinusów w trójkącie \(ABC\): \[\frac{|AC|}{\sin\angle ABC}=2R,\] a zatem \[\sin\angle ABC=\frac{16\sqrt2}{34\sqrt2}=\frac8{17}.\]

**4 pkt** – zastosowanie twierdzenia sinusów i wynik \(\frac8{17}\) **3 pkt** – obliczenie \(R=17\sqrt2\) i \(|AC|=16\sqrt2\) **2 pkt** – obliczenie promienia oraz punktów \(A=(-4,-4)\), \(C=(12,12)\) albo punktów i długości \(AC\) **1 pkt** – obliczenie promienia albo współrzędnych \(A\) i \(C\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV.4 stosowanie i tworzenie strategii w zadaniach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** IX.1R i VII.5 stosowanie równania okręgu w postaci ogólnej oraz twierdzenia sinusów.

**A, F.** \(S=(2,-3)\) oraz \(r=4\).

Porównujemy równanie \[(x-2)^2+(y+3)^2=16\] z postacią kanoniczną okręgu \[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.\] Otrzymujemy \(a=2\), \(b=-3\) i \(r=\sqrt{16}=4\). Zatem poprawny zestaw odpowiedzi to **AF**.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **AF** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III.1 stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** IX.4 posługiwanie się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

Współrzędne \(x\) punktów przecięcia to \[x_1=2+\sqrt7,\qquad x_2=2-\sqrt7.\]

Punkt osi \(Ox\) ma drugą współrzędną równą \(0\), więc do równania okręgu podstawiamy \(y=0\): \[(x-2)^2+(0+3)^2=16.\] Stąd \[(x-2)^2=7,\qquad |x-2|=\sqrt7.\] Otrzymujemy dwa rozwiązania: \[x_1=2+\sqrt7,\qquad x_2=2-\sqrt7.\]

**2 pkt** – poprawne równanie \((x-2)^2+(0+3)^2=16\) oraz oba rozwiązania \(x=2+\sqrt7\) i \(x=2-\sqrt7\) **1 pkt** – wykorzystanie informacji, że na osi \(Ox\) mamy \(y=0\), i poprawne zapisanie równania **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** I.7, III.4, IX.4 i IX.6 równania z wartością bezwzględną i równania kwadratowe, równanie okręgu oraz punkty wspólne prostej i okręgu.

\[(x-3)^2+(y+4)^2=\frac15.\]

Promień okręgu jest równy odległości środka \(S=(3,-4)\) od stycznej \(k:2x-y-11=0\): \[r=d(S,k)=\frac{|2\cdot3-(-4)-11|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac1{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}.\] Zatem \(r^2=\frac15\), a równanie okręgu ma postać \[(x-3)^2+(y+4)^2=\frac15.\]

**2 pkt** – poprawna metoda oraz równanie \((x-3)^2+(y+4)^2=\frac15\) **1 pkt** – poprawna metoda obliczenia promienia i wynik \(r=\frac{\sqrt5}{5}\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 i III.3 operowanie obiektami oraz tworzenie obiektów pomocniczych. **Wymagania szczegółowe:** IX.4-IX.5 równanie okręgu oraz odległość punktu od prostej.

\[P=\left(\frac{17}{5},-\frac{21}{5}\right).\]

Prosta \(k\) ma równanie \(y=2x-11\). Promień \(SP\) jest prostopadły do \(k\), więc prosta przechodząca przez \(S=(3,-4)\) i \(P\) ma współczynnik kierunkowy \(-\frac12\): \[k_\perp:y=-\frac12x-\frac52.\] Rozwiązujemy układ \[\begin{cases}y=2x-11,\\y=-\frac12x-\frac52.\end{cases}\] Stąd \(x=\frac{17}{5}\), a następnie \(y=2\cdot\frac{17}{5}-11=-\frac{21}{5}\). Zatem \[P=\left(\frac{17}{5},-\frac{21}{5}\right).\]

**2 pkt** – poprawny układ równań i wynik \(P=(\frac{17}{5},-\frac{21}{5})\), albo poprawne rozwiązanie układu równania prostej i okręgu **1 pkt** – wyznaczenie prostej prostopadłej \(k_\perp:y=-\frac12x-\frac52\) lub poprawne zapisanie układu prostej i okręgu **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 i III.3 operowanie obiektami i tworzenie konstrukcji pomocniczej. **Wymagania szczegółowe:** IV.1, IV.3 oraz IX.2, IX.4-IX.6 układy równań, równania prostych, równanie okręgu, odległość punktu od prostej i punkty wspólne prostej z okręgiem.

\[C=\left(\frac{11}{10},-\frac3{10}\right).\]

Prosta \(l\) ma równanie kierunkowe \(y=x-2\). Wyznaczamy jej punkty wspólne z parabolą: \[x-2=4x^2-7x+1,\] \[4x^2-8x+3=0.\] Stąd \[A=\left(\frac12,-\frac32\right),\qquad B=\left(\frac32,-\frac12\right).\] Prosta \(l\) jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem \(45^\circ\). Prosta \(AC\) jest więc nachylona pod kątem \(\alpha+45^\circ\). Ponieważ \(\operatorname{tg}\alpha=\frac13\), \[\operatorname{tg}(\alpha+45^\circ)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+1}{1-\operatorname{tg}\alpha}=\frac{\frac13+1}{1-\frac13}=2.\] Równanie prostej \(AC\) ma postać \[y=2\left(x-\frac12\right)-\frac32=2x-\frac52.\] Ponieważ \(AB\) jest średnicą okręgu, kąt \(ACB\) jest prosty. Prosta \(BC\) jest prostopadła do \(AC\), zatem ma współczynnik kierunkowy \(-\frac12\) i równanie \[y=-\frac12\left(x-\frac32\right)-\frac12.\] Współrzędne punktu \(C\) spełniają oba równania, więc \[2x-\frac52=-\frac12\left(x-\frac32\right)-\frac12.\] Otrzymujemy \[x=\frac{11}{10},\qquad y=2\cdot\frac{11}{10}-\frac52=-\frac3{10}.\] Zatem \[C=\left(\frac{11}{10},-\frac3{10}\right).\]

**6 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i wynik \(C=\left(\frac{11}{10},-\frac3{10}\right)\) **5 pkt** – zapisanie układu równań wyznaczającego punkt \(C\), np. równań prostych \(AC\) i \(BC\), albo odpowiedniego równania prostej i równania okręgu **4 pkt** – zapisanie jednego kluczowego równania z dwiema niewiadomymi, np. równania prostej \(AC\), prostej \(SC\) albo okręgu \(\mathcal O\) **3 pkt** – wyznaczenie punktów \(A\), \(B\) oraz współczynnika kierunkowego prostej \(AC\), albo wyznaczenie środka lub promienia okręgu wraz z odpowiednim dalszym etapem **2 pkt** – wyznaczenie punktów \(A=\left(\frac12,-\frac32\right)\), \(B=\left(\frac32,-\frac12\right)\), albo współczynnika kierunkowego prostej \(AC\) równego \(2\), albo równoważnego istotnego etapu **1 pkt** – zapisanie równania prowadzącego do punktów przecięcia prostej i paraboli albo zależności \(a_{AC}=\operatorname{tg}(\alpha+45^\circ)\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VII.R5) Zdający korzysta ze wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych. IX.R3) Zdający znajduje punkty wspólne prostej i okręgu oraz prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej.

**C.** \((x+1)^2+(y-2)^2=9\)

Równanie okręgu o środku \(S=(a,b)\) i promieniu \(r\) ma postać \[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.\] Dla \(a=-1\), \(b=2\), \(r=3\) otrzymujemy \[(x+1)^2+(y-2)^2=9.\]

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna - równanie okręgu.

\[(x+3)^2+(y-1)^2=20.\]

Środkiem okręgu \(o_1\) jest \(S_1=(6,4)\). Prosta łącząca środki okręgów jest prostopadła do ich wspólnej cięciwy \(k\), dlatego ma równanie \[y=\frac13x+2.\] Oznaczmy \(S_2=(a,b)\). Mamy więc \(b=\frac13a+2\). Równanie okręgu \(o_2\) ma postać \[(x-a)^2+(y-b)^2=20.\] Po odjęciu równań okręgów ich oś potęgowa ma być prostą \(3x+y+6=0\). Porównanie współczynników wraz z \(b=\frac13a+2\) daje dwa możliwe położenia środka. Warunek, że \(S_1\) i \(S_2\) leżą po różnych stronach prostej \(k\), pozostawia \[S_2=(-3,1).\] Zatem \[o_2:\quad (x+3)^2+(y-1)^2=20.\]

**6 pkt** – poprawne wyznaczenie środka i równania okręgu \(o_2\) **5 pkt** – wyznaczenie obu kandydatów na środek i poprawne zastosowanie warunku położenia **4 pkt** – ułożenie poprawnego układu równań dla współrzędnych środka **3 pkt** – wykorzystanie osi potęgowej i prostej środków **2 pkt** – wyznaczenie prostej środków \(y=\frac13x+2\) **1 pkt** – poprawne odczytanie \(S_1=(6,4)\) i prostopadłości prostej środków do \(k\) **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R8.1-R8.3 obliczanie odległości punktu od prostej, posługiwanie się równaniem okręgu oraz wyznaczanie punktów wspólnych prostej i okręgu.

**A.** \((0,1)\) i \((0,5)\)

Na osi \(Oy\) mamy \(x=0\). Po podstawieniu do równania okręgu: \[(0-3)^2+(y-3)^2=13,\] \[9+(y-3)^2=13,\qquad (y-3)^2=4.\] Stąd \(y-3=\pm2\), czyli \(y=1\) albo \(y=5\). Punkty przecięcia to \((0,1)\) i \((0,5)\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** IX.4 posługiwanie się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

**B.** \(13\)

Środkiem okręgu jest punkt \(S=(3,-1)\). Odległość punktu \(A=(8,11)\) od środka wynosi \[|AS|=\sqrt{(8-3)^2+(11-(-1))^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** IX.4 posługiwanie się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

Promień jest równy \(5\sqrt{2}\), a punkt styczności ma współrzędne P=(\(7\),\(1\)). Prosta AB ma równanie y=−\(7x\)+\(50\). Jej odległość od O wynosi \(50\)/√\(50=5\sqrt{2}\), a prosta OP prostopadła do AB ma równanie y=x/\(7\); przecięcie daje P.

Wyznaczamy równanie prostej \(AB\). Jej współczynnik kierunkowy wynosi \[a=\frac{15-(-6)}{5-8}=-7,\] a z warunku przechodzenia przez \(A=(8,-6)\) otrzymujemy \(b=50\), czyli \[AB:\ y=-7x+50\qquad\text{lub}\qquad 7x+y-50=0.\] Promień okręgu stycznego jest odległością środka \(O=(0,0)\) od tej prostej: \[r=\frac{|7\cdot0+0-50|}{\sqrt{7^{2}+1^{2}}}=\frac{50}{\sqrt{50}}=\sqrt{50}=5\sqrt2.\] Punkt styczności jest spodkiem prostopadłej opuszczonej z \(O\) na \(AB\). Prosta \(OP\) ma współczynnik kierunkowy \(\frac17\), więc \(y=\frac17x\), a z układu \[\frac17x=-7x+50\quad\Longrightarrow\quad 50x=350\quad\Longrightarrow\quad x=7,\qquad y=1.\] **Odpowiedź.** \(r=5\sqrt2\) oraz \(P=(7,1)\)

**1 pkt** – gdy: • wyznaczy równanie prostej \(AB\), np.: \(y=-7x+50\) ALBO • obliczy długość odcinka \(AB\) oraz pole trójkąta \(AOB\): \(\lvert AB\rvert=15\sqrt{2}\), \(P_{\Delta AOB}=75\) ALBO • wyznaczy równanie prostej prostopadłej do \(AB\): \(y=\frac{1}{7}x\) **2 pkt** – gdy: • zapisze układ równań złożony z równań dwóch prostych: \(\begin{cases}y=\frac{1}{7}x\\ y=-7x+50\end{cases}\) ALBO • obliczy promień okręgu, korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej lub obliczając wysokość trójkąta \(AOB\): \(r=5\sqrt{2}\) ALBO • zapisze, że punkt styczności prostej \(AB\) do okręgu ma współrzędne \(P=(x_{0},f(x_{0}))\) i \(f'(x_{0})=-7\), gdzie \(f(x)=\sqrt{50-x^{2}}\) i \(50-x^{2}>0\) ALBO • zapisze odległość \(g\) (lub kwadrat odległości) punktu \((0,\,0)\) od dowolnego punktu prostej \(AB\) w zależności od jednej zmiennej, np. \(g(x)=\sqrt{x^{2}+(-7x+50)^{2}}\) ALBO • wyznaczy równanie prostej \(AB\) oraz poda współrzędne wektora prostopadłego do prostej \(AB\) **3 pkt** – gdy zapisze równanie z jedną niewiadomą, prowadzące do obliczenia współrzędnych punktu styczności, np.: \(\frac{1}{7}x=-7x+50\) lub \(x^{2}+\left(\frac{1}{7}x\right)^{2}=50\), lub \(x^{2}+(-7x+50)^{2}=50\), lub \(\frac{-2x}{2\sqrt{50-x^{2}}}=-7\), lub \(\sqrt{\left(x^{2}+(-7x+50)^{2}\right)}=\frac{\lvert 7\cdot 0+0-50\rvert}{\sqrt{7^{2}+1^{2}}}\) **4 pkt** – gdy zastosuje poprawną metodę i obliczy promień okręgu oraz współrzędne punktu styczności prostej \(AB\) do okręgu: \(r=5\sqrt{2}\), \(P=(7,\,1)\). **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania i jedynym błędem zdającego, który jednak nie ułatwia zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania, jest błąd polegający na: a) zastosowaniu nieistniejącego wzoru \(\sqrt{a^{2}\pm b^{2}}=a\pm b\) lub \((a\pm b)^{2}=a^{2}\pm b^{2}\) b) niepoprawnym użyciu współrzędnych punktów \(A\) i \(B\) przy wyznaczaniu równania prostej \(AB\) c) niepoprawnym zastosowaniu wzoru na odległość punktu od prostej lub na odległość dwóch punktów, lub wzoru na pole trójkąta, lub równania okręgu d) niepoprawnym wyznaczeniu współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej do danej prostej e) wyznaczeniu jednej z niewiadomych z równania \(x^{2}+y^{2}=50\) bez koniecznych założeń to zdający otrzymuje co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający wyznaczy równanie prostej \(AB\) i obliczy promień okręgu stycznego do prostej \(AB\), a następnie poda (bez obliczeń) współrzędne punktu styczności, to otrzymuje: \(3\) punkty za całe rozwiązanie, jeśli nie sprawdzi rachunkiem, że punkt \(P=(7,\,1)\) należy do prostej \(AB\) oraz do prostej prostopadłej (lub do prostej \(AB\) i okręgu); \(4\) punkty za całe rozwiązanie, jeśli sprawdzi, wykonując stosowne obliczenia, że punkt \(P=(7,\,1)\) należy do prostej \(AB\) oraz do prostej prostopadłej (lub do prostej \(AB\) i okręgu). 3. Jeżeli zdający odczyta z rysunku współrzędne punktu styczności \(P=(7,1)\) (bez obliczeń) i obliczy długość promienia, to otrzymuje \(1\) punkt za całe rozwiązanie. Jeżeli zdający nie sporządzi rysunku i poda bez stosownych obliczeń współrzędne punktu styczności \(P=(7,1)\) i obliczy długość promienia, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** P8.1) Zdający wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej); R8.1) Zdający oblicza odległość punktu od prostej.

Obraz ma równanie (x−\(10\))\(2\)+(y−\(9\))\(2=153\). Okrąg wyjściowy ma środek P=(\(4\),\(3\)) i promień √\(17\). Środek cięciwy to S=(\(\frac{11}{2}\),\(\frac{9}{2}\)); jednokładność o skali −\(3\) przenosi P na P′=(\(10\),\(9\)), a promień na \(3\sqrt{17}\).

Sprowadzamy równanie okręgu do postaci kanonicznej: \[x^2+y^2-8x-6y+8=0,\qquad (x-4)^2+(y-3)^2=17,\] więc środek to \(P=(4,3)\), a promień \(R=\sqrt{17}\). Punkt \(S\) jest środkiem cięciwy, czyli spodkiem prostopadłej poprowadzonej z \(P\) do prostej \(x+y-10=0\). Prosta przez \(P\) prostopadła do niej ma wektor kierunkowy \([1,1]\): \[(4+t,\ 3+t),\qquad (4+t)+(3+t)-10=0,\qquad t=\tfrac32,\] \[S=\left(\tfrac{11}{2},\tfrac92\right).\] Jednokładność o środku \(S\) i skali \(k=-3\) przeprowadza środek okręgu na \[P'=S+k\left(P-S\right)=\left(\tfrac{11}{2},\tfrac92\right)-3\left(-\tfrac32,-\tfrac32\right)=(10,9),\] a promień mnoży przez \(\lvert k\rvert=3\): \[R'=3\sqrt{17},\qquad R'^2=153.\] **Odpowiedź.** \((x-10)^2+(y-9)^2=153\)

**1–2 pkt** – wyznaczenie środka \(P=(4,3)\) i promienia \(R=\sqrt{17}\). **3 pkt** – wyznaczenie \(S=\left(\frac{11}{2},\frac92\right)\). **4–5 pkt** – wyznaczenie obrazu środka i promienia oraz zapisanie równania obrazu.

Zadanie 12. (0–5) Wymagania ogólne Wymagania szczegółowe IV. Użycie i tworzenie strategii. 7. Planimetria. Zdający znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych w jednokładności (odcinka, trójkąta, czworokąta itp.) (R7.3). 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający posługuje się równaniem okręgu ( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 oraz opisuje koła za pomocą nierówności (R8.5).

**C.** \(2\pi\sqrt2\)

Promień okręgu jest odległością punktów \(S\) i \(P\): \[r=|SP|=\sqrt{(2-1)^2+(4-3)^2}=\sqrt2.\] Długość okręgu wynosi zatem \[2\pi r=2\pi\sqrt2.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna - odległość punktów oraz długość okręgu.

\[a\in\{6-6\sqrt3,\ 6,\ 6+6\sqrt3\}.\]

Sprowadzamy równania do postaci kanonicznej: \[(x-6)^2+(y-4)^2=9,\qquad (x-a)^2+(y+2)^2=81.\] Okręgi mają środki \(S_1=(6,4)\), \(S_2=(a,-2)\) i promienie odpowiednio \(3\) oraz \(9\). Odległość środków wynosi \[d=\sqrt{(a-6)^2+36}.\] Dokładnie jeden punkt wspólny występuje przy styczności zewnętrznej lub wewnętrznej. Dla styczności zewnętrznej \(d=3+9=12\), więc \[(a-6)^2+36=144,\qquad a=6\pm6\sqrt3.\] Dla styczności wewnętrznej \(d=9-3=6\), zatem \[(a-6)^2+36=36,\qquad a=6.\] Wszystkie szukane wartości to \(6-6\sqrt3\), \(6\) i \(6+6\sqrt3\).

**6 pkt** – wyznaczenie wszystkich trzech wartości parametru **5 pkt** – poprawne rozwiązanie obu przypadków styczności z jedną drobną usterką rachunkową **4 pkt** – poprawne rozwiązanie jednego przypadku styczności oraz zapisanie warunku dla drugiego **3 pkt** – wyznaczenie środków i promieni obu okręgów oraz zapisanie obu warunków: \(d=12\) i \(d=6\) **2 pkt** – poprawne rozwiązanie równania dla styczności zewnętrznej albo wewnętrznej **1 pkt** – poprawne wyznaczenie środków i promieni obu okręgów **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R8.5 posługiwanie się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) oraz opisywanie wzajemnego położenia okręgów za pomocą odległości ich środków i promieni.

**A.** \(3\)

Okrąg jest styczny do prostej poziomej \(y=2\), więc jego promień jest równy odległości środka od tej prostej: \[r=|5-2|=3.\] Styczność do osi \(Oy\) wyznacza jedynie pierwszą współrzędną środka (\(|a|=3\)) i nie wpływa na wartość promienia. **Odpowiedź.** \(r=3\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 15. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**C.** \(r=10\)

Pierwszy okrąg ma środek \(O=(3,-7)\) i promień \(R=25\). Odległość środków wynosi \[|OS|=\sqrt{(12-3)^2+(5+7)^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15.\] Przy styczności wewnętrznej \(|OS|=R-r\), zatem \[15=25-r,\qquad r=10.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje wyłącznie odpowiedzi. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna - równanie okręgu, odległość punktów i styczność wewnętrzna okręgów.

\[A=(0,0),\qquad B=(0,25),\qquad C=(12,9).\]

Odczytujemy punkty styczności: \(P=(0,10)\) leży na osi \(Oy\), a więc na boku \(AB\); pozostałe dwa to \(Q=(8,6)\) oraz \(R=(9,13)\). Środek \(I\) okręgu wpisanego jest jednakowo oddalony od wszystkich punktów styczności, więc leży na symetralnych odcinków \(PQ\) i \(PR\). Ponadto \(IP\perp AB\), a \(AB\) leży na osi \(Oy\), więc \(IP\) jest poziomy i \(I=(r,10)\). Z równości \(\lvert IP\rvert=\lvert IQ\rvert\): \[r^2=(r-8)^2+16,\qquad 16r=80,\qquad r=5,\] czyli \(I=(5,10)\). Sprawdzenie: \(\lvert IR\rvert=\sqrt{4^2+3^2}=5\). Prosta \(AC\) jest styczna w \(Q=(8,6)\), więc jest prostopadła do \(\vec{IQ}=[3,-4]\) i ma równanie \[3(x-8)-4(y-6)=0,\qquad 3x-4y=0,\qquad y=\tfrac34x.\] Prosta \(BC\) jest styczna w \(R=(9,13)\), więc jest prostopadła do \(\vec{IR}=[4,3]\): \[4(x-9)+3(y-13)=0,\qquad 4x+3y-75=0,\qquad y=-\tfrac43x+25.\] Wierzchołki: \[A=AC\cap Oy=(0,0),\qquad B=BC\cap Oy=(0,25),\] \[C:\quad \tfrac34x=-\tfrac43x+25,\qquad x=12,\qquad y=9,\qquad C=(12,9).\] Sprawdzenie: \(\lvert AC\rvert=15\), \(\lvert BC\rvert=20\), \(\lvert AB\rvert=25\) oraz \(15^2+20^2=625=25^2\) — trójkąt jest prostokątny, a \(r=\frac{15+20-25}{2}=5\). **Odpowiedź.** \(A=(0,0)\), \(B=(0,25)\), \(C=(12,9)\)

**1–2 pkt** – wyznaczenie środka okręgu wpisanego \(I=(5,10)\) i promienia \(r=5\). **3–4 pkt** – wyznaczenie równań prostych \(AC\) i \(BC\) jako stycznych prostopadłych do promieni w punktach styczności. **5 pkt** – obliczenie współrzędnych \(A\), \(B\) i \(C\).

Klasyfikacja rzeczowa: wyznaczanie równań symetralnych i stycznych do okręgu oraz punktów przecięcia prostych w układzie współrzędnych.

A

Dwa okręgi są styczne zewnętrznie dokładnie wtedy, gdy odległość ich środków jest równa sumie promieni. Obliczamy odległość środków: \[\lvert S_1S_2\rvert=\sqrt{(5-2)^2+(5-1)^2}=\sqrt{9+16}=5.\] Zatem \[r+4=5,\qquad r=1.\] **Odpowiedź.** A. \(r=1\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Zadanie 17. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria płaska.

B=(−\(\frac{17}{5}\),\(\frac{31}{5}\)), C=(−\(3\),−\(\frac{13}{3}\)). Styczne z A=(\(7\),−\(1\)) do okręgu \(x^{2}\)+\(y^{2}\)=\(10\) mają równania y=x/\(3\)−\(\frac{10}{3}\) oraz y=−\(\frac{9x}{13+50}\)/\(13\). Pierwsza przechodzi przez trzecią ćwiartkę, więc jest prostą AC. Oś symetrii trójkąta przechodzi przez (\(0\),\(0\)), jest prostopadła do AB i ma równanie y=\(\frac{13x}{9}\); jej przecięcie z AC daje C. Punkt styczności D=(\(\frac{9}{5}\),\(\frac{13}{5}\)) jest środkiem AB, skąd otrzymujemy B.

Okrąg wpisany ma środek \(O=(0,0)\) i promień \(r=\sqrt{10}\). Proste \(AB\) i \(AC\) są styczne do tego okręgu i przechodzą przez \(A=(7,-1)\). Prosta \(y=ax+b\) przechodząca przez \(A\) spełnia \(b=-1-7a\); warunek styczności \(\frac{\lvert b\rvert}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{10}\) daje \[(1+7a)^2=10(a^2+1),\qquad 39a^2+14a-9=0,\] skąd \(a=\frac13\) albo \(a=-\frac{9}{13}\). Styczne mają zatem równania \[k_1:\ y=\tfrac13x-\tfrac{10}{3},\qquad k_2:\ y=-\tfrac{9}{13}x+\tfrac{50}{13}.\] Obie współrzędne punktu \(C\) są ujemne, a spośród tych prostych tylko \(k_1\) przechodzi przez trzecią ćwiartkę. Zatem \(AC\subset k_1\) oraz \(AB\subset k_2\). W trójkącie równoramiennym o \(\lvert AC\rvert=\lvert BC\rvert\) dwusieczna kąta \(ACB\) jest jednocześnie osią symetrii i wysokością opuszczoną na \(AB\); przechodzi ona przez środek okręgu wpisanego \(O\). Prosta ta jest prostopadła do \(k_2\) i przechodzi przez \((0,0)\), więc ma równanie \[y=\tfrac{13}{9}x.\] Punkt \(C\) jest jej przecięciem z \(k_1\): \[\tfrac{13}{9}x=\tfrac13x-\tfrac{10}{3},\qquad 13x=3x-30,\qquad x=-3,\qquad y=-\tfrac{13}{3}.\] Obie współrzędne są ujemne, więc \(C=\left(-3,-\frac{13}{3}\right)\). Prosta \(BC\) przechodzi przez \(C\) i jest styczna do okręgu. Dla \(y+\frac{13}{3}=m(x+3)\) warunek styczności daje \[\left(3m-\tfrac{13}{3}\right)^2=10(m^2+1),\qquad m^2+26m-\tfrac{79}{9}=0,\] czyli \(m=\frac13\) (to prosta \(k_1\), czyli \(AC\)) albo \(m=-\frac{79}{3}\). Drugi pierwiastek wyznacza prostą \(BC\). Punkt \(B\) to przecięcie prostej \(BC\) z \(k_2\): \[-\tfrac{9}{13}x+\tfrac{50}{13}+\tfrac{13}{3}=-\tfrac{79}{3}(x+3),\qquad x=-\tfrac{17}{5},\qquad y=\tfrac{31}{5}.\] Sprawdzenie: \(\lvert AC\rvert=\sqrt{10^2+\left(\frac{10}{3}\right)^2}=\frac{10\sqrt{10}}{3}\) oraz \(\lvert BC\rvert=\sqrt{\left(\frac25\right)^2+\left(\frac{158}{15}\right)^2}=\frac{10\sqrt{10}}{3}\). **Odpowiedź.** \(B=\left(-\dfrac{17}{5},\dfrac{31}{5}\right)\), \(C=\left(-3,-\dfrac{13}{3}\right)\)

**1–2 pkt** – wyznaczenie równań obu stycznych poprowadzonych z punktu \(A\). **3–5 pkt** – wskazanie, która styczna zawiera \(AC\), i wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\). **6 pkt** – wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający posługuje się równaniem okręgu (x−a)²+(y−b)²=r², wyznacza współrzędne środka odcinka, równanie prostej równoległej lub prostopadłej, punkt przecięcia prostych, punkty wspólne prostej i okręgu oraz odległość punktu od prostej (R8.5, 8.5, 8.3, 8.4, R8.6, R8.4).

\[x^{2}+\left(y-\tfrac13\right)^{2}=\frac{289}{9}.\]

Środek \(S\) okręgu jest równo oddalony od \(A\) i \(B\), leży więc na symetralnej odcinka \(AB\). Środek odcinka \(AB\) to \(\left(-\frac52,\frac92\right)\), a wektor \(\vec{AB}=[5,3]\) ma współczynnik kierunkowy \(\frac35\); symetralna ma współczynnik \(-\frac53\): \[y-\tfrac92=-\tfrac53\left(x+\tfrac52\right),\qquad y=-\tfrac53x+\tfrac13.\] Z warunku, że \(S\) leży na prostej \(x-3y+1=0\), czyli \(x=3y-1\), otrzymujemy \[y=-\tfrac53\left(3y-1\right)+\tfrac13=-5y+2,\qquad 6y=2,\qquad y=\tfrac13,\qquad x=0.\] Zatem \(S=\left(0,\frac13\right)\). Promień: \[r^2=\lvert SA\rvert^2=(-5-0)^2+\left(3-\tfrac13\right)^2=25+\frac{64}{9}=\frac{289}{9},\qquad r=\frac{17}{3}.\] Sprawdzenie dla \(B\): \(0^2+\left(6-\frac13\right)^2=\frac{289}{9}\). **Odpowiedź.** \(x^{2}+\left(y-\frac13\right)^{2}=\frac{289}{9}\)

**1–2 pkt** – wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(AB\). **3–4 pkt** – wyznaczenie środka \(S=\left(0,\frac13\right)\). **5 pkt** – obliczenie promienia i zapisanie równania okręgu.

IV. Użycie i tworzenie strategii. 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający posługuje się równaniem okręgu (x−a)²+(y−b)²=r², wyznacza współrzędne środka odcinka, równanie prostej równoległej lub prostopadłej, punkt przecięcia prostych oraz odległość dwóch punktów (R8.5, 8.5, 8.3, 8.4, 8.6).

**A.** \((-1,7)\)

Punkt leży na okręgu dokładnie wtedy, gdy jego odległość od środka jest równa promieniowi. Sprawdzamy punkt \((-1,7)\): \[\sqrt{(-1-2)^{2}+(7-3)^{2}}=\sqrt{9+16}=5=r.\] Dla pozostałych punktów odległości od \(S=(2,3)\) wynoszą kolejno \(6\), \(\sqrt2\) i \(3\), więc żaden z nich nie leży na tym okręgu. **Odpowiedź.** Wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 20. (0−1) Wersja Wersja II. Wykorzystanie 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. I II i interpretowanie Zdający oblicza odległość dwóch punktów reprezentacji. (8.6). A C

**C.** \(5\)

Odległość środków wynosi \[|S_1S_2|=\sqrt{(9-3)^{2}+(-4-4)^{2}}=\sqrt{36+64}=10.\] Przy styczności zewnętrznej odległość środków jest sumą promieni, a promienie są równe, więc \[2r=10\quad\Longrightarrow\quad r=5.\] **Odpowiedź.** \(r=5\), czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 20. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**D.** Okrąg \(o_2\) leży w całości wewnątrz okręgu \(o_1\), bez punktów wspólnych.

Środki i promienie okręgów to \[S_1=(0,1),\ r_1=5,\qquad S_2=(1,0),\ r_2=3.\] Odległość środków wynosi \(d=\sqrt2\). Ponieważ \[d+r_2=\sqrt2+3<5=r_1,\] cały okrąg \(o_2\) leży wewnątrz \(o_1\) i okręgi nie mają punktów wspólnych.

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** CKE IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 8.5 R - równanie okręgu i wzajemne położenie okręgów.

\[m\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{12}{5},\infty\right).\]

Prostą zapisujemy w postaci ogólnej \[mx-y+2m+3=0.\] Ma ona dwa punkty wspólne z okręgiem wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środka \(S=(0,0)\) od prostej jest mniejsza od promienia: \[\frac{|2m+3|}{\sqrt{m^2+1}}<3.\] Po podniesieniu stronami do kwadratu otrzymujemy \[(2m+3)^2<9(m^2+1),\] \[4m^2+12m+9<9m^2+9,\] \[m(5m-12)>0.\] Zatem \(m<0\) albo \(m>\frac{12}{5}\).

**3 pkt** – poprawny zbiór wartości parametru **2 pkt** – otrzymanie i rozwiązanie nierówności \(m(5m-12)>0\) z drobnym błędem w zapisie końcowym **1 pkt** – zapisanie warunku \(\frac{|2m+3|}{\sqrt{m^2+1}}<3\) albo równoważnego warunku dodatniego wyróżnika **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 8.6 R - wyznaczanie punktów wspólnych prostej i okręgu.

\[(x-2)^2+(y-5)^2=25.\]

Ponieważ okrąg jest styczny do osi \(Ox\) w punkcie \(A=(2,0)\), jego środek ma postać \(S=(2,b)\). Równość promieni \(AS=BS\) daje \[b^2=(2+1)^2+(b-9)^2.\] Po uproszczeniu otrzymujemy \(18b=90\), więc \(b=5\). Środek to \(S=(2,5)\), a promień wynosi \(5\).

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – poprawne równanie okręgu **3 pkt** – poprawny środek \((2,5)\) i promień \(5\) **2 pkt** – poprawne równanie wynikające z \(AS=BS\) **1 pkt** – ustalenie postaci środka \(S=(2,b)\) **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający tworzy strategię rozwiązania problemu. **Wymagania szczegółowe:** 8.5. R. Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) oraz opisuje koła za pomocą nierówności.

\[y=-\frac12x+11-5\sqrt5.\]

Większy okrąg ma środek \(S_1=(6,8)\) i promień \(R=10\). Prosta \(SS_1\) ma równanie \(y=2x-4\), więc wspólna styczna jest do niej prostopadła i ma postać \[y=-\frac12x+b.\] Jej odległość od \(S_1\) jest równa \(10\), zatem \[\frac{|\frac12\cdot6+8-b|}{\sqrt{(1/2)^2+1}}=10,\] czyli \(|11-b|=5\sqrt5\). Otrzymujemy \(b=11-5\sqrt5\) lub \(b=11+5\sqrt5\). Tylko pierwsza z tych prostych jest styczna również do okręgu wewnętrznego: jego promień wynosi \(10-SS_1=10-3\sqrt5\), a odległość środka \(S=(3,2)\) od prostej dla \(b=11-5\sqrt5\) jest równa \[\frac{|\frac32+2-(11-5\sqrt5)|}{\sqrt5/2}=10-3\sqrt5.\] Stąd szukana prosta ma równanie \(y=-\frac12x+11-5\sqrt5\).

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 5 pkt** – poprawne równanie wspólnej stycznej wraz z odrzuceniem drugiej prostej **4 pkt** – wyznaczenie obu prostych stycznych do większego okręgu i poprawne wskazanie właściwej bez pełnego uzasadnienia **2: 3 pkt** – ustalenie nachylenia \(-\frac12\) i poprawne równanie odległości środka od prostej **1 pkt** – rozpoznanie, że styczna jest prostopadła do prostej łączącej środki **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający tworzy strategię rozwiązania problemu. **Wymagania szczegółowe:** 8.5. R. Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) oraz opisuje koła za pomocą nierówności.

**B.** \((x-2)^2+(y+2)^2=4\)

Okrąg styczny do osi \(Ox\) w punkcie \(M=(2,0)\) ma środek na prostej pionowej \(x=2\); styczny do osi \(Oy\) w punkcie \(N=(0,-2)\) — na prostej poziomej \(y=-2\). Zatem środek to \((2,-2)\). Promień jest odległością środka od punktu styczności: \(r=2\). Stąd \[(x-2)^{2}+(y+2)^{2}=4.\] **Odpowiedź.** Wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 23. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**C.** \(y=-x\)

Okrąg \((x+2)^2+(y-2)^2=4\) ma środek \(S=(-2,2)\) i promień \(r=2\). Prosta ma z okręgiem dwa punkty wspólne dokładnie wtedy, gdy odległość środka od prostej jest mniejsza od \(r\). Liczymy odległości \(S\) od kolejnych prostych: \[d(x=0)=|-2|=2,\qquad d(y=0)=|2|=2,\] \[d(x+y=0)=\frac{|-2+2|}{\sqrt2}=0,\qquad d(x-y=0)=\frac{|-2-2|}{\sqrt2}=2\sqrt2.\] Warunek \(d<2\) spełnia tylko prosta \(y=-x\) (dla \(x=0\) i \(y=0\) prosta jest styczna, dla \(y=x\) rozłączna z okręgiem). **Odpowiedź.** C. \(y=-x\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** R8.5, 4.5) Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) oraz opisuje koła za pomocą nierówności; rysuje wykres funkcji liniowej, korzystając z jej wzoru.

\(\left|S_{1}S_{2}\right|=8\sqrt2\) (okręgi mają promienie \(r_{1}=1\) i \(r_{2}=9\) oraz środki \(S_{1}=(1,1)\) i \(S_{2}=(9,9)\)).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy dwa fakty, które zamieniają geometrię na jedno równanie. Po pierwsze: okrąg leżący w pierwszej ćwiartce i styczny do obu osi ma środek w punkcie \((r,r)\) i promień \(r\), bo odległość środka od każdej z osi musi być równa promieniowi. Po drugie: dwa okręgi są styczne zewnętrznie dokładnie wtedy, gdy odległość ich środków równa się sumie promieni. **Krok \(2\).** Z równania \((x-3)^2+(y-1)^2=1\) odczytujemy, że okrąg \(o_0\) ma środek \(S_0=(3,1)\) i promień \(r_0=1\). **Krok \(3\).** Szukany okrąg ma środek \(S=(r,r)\) i promień \(r\gt0\). **Krok \(4\).** Warunek styczności zewnętrznej: \[\sqrt{(r-3)^2+(r-1)^2}=r+1.\] **Krok \(5\).** Obie strony są nieujemne (prawa jest dodatnia), więc podnosimy je do kwadratu: \[(r-3)^2+(r-1)^2=(r+1)^2.\] **Krok \(6\).** Rozwijamy kwadraty: \[r^2-6r+9+r^2-2r+1=r^2+2r+1,\qquad 2r^2-8r+10=r^2+2r+1.\] **Krok \(7\).** Porządkujemy i rozwiązujemy równanie kwadratowe: \[r^2-10r+9=0,\qquad\Delta=100-36=64,\qquad\sqrt\Delta=8,\] \[r_1=\frac{10-8}{2}=1,\qquad r_2=\frac{10+8}{2}=9.\] **Krok \(8\).** Otrzymujemy dwa okręgi o środkach \(S_1=(1,1)\) i \(S_2=(9,9)\). Sprawdzenie: \(\left\lvert S_0S_1\right\rvert=2=1+1\) oraz \(\left\lvert S_0S_2\right\rvert=\sqrt{36+64}=10=9+1\), więc oba są styczne zewnętrznie do \(o_0\). **Krok \(9\).** Liczymy szukaną odległość: \[\left\lvert S_1S_2\right\rvert=\sqrt{(9-1)^2+(9-1)^2}=\sqrt{64+64}=\sqrt{128}=8\sqrt2.\] **Uwaga.** Oba pierwiastki równania są dobre — zadanie wprost mówi o dwóch okręgach, więc żadnego nie odrzucamy. Zwróć uwagę, że pytanie dotyczy odległości środków \(o_1\) i \(o_2\), a nie odległości od okręgu \(o_0\). **Odpowiedź.** \(\left\lvert S_1S_2\right\rvert=8\sqrt2\) (okręgi mają promienie \(1\) i \(9\) oraz środki \((1,1)\) i \((9,9)\)).

**Schemat oceniania** **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: zapisanie, że okrąg o równaniu \((x-3)^2+(y-1)^2=1\) ma środek w punkcie \((3,1)\) i promień \(1\). **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zapisanie postaci równania okręgu leżącego w I „ćwiartce” układu współrzędnych i stycznego do obu osi układu: \((x-r)^2+(y-r)^2=r^2\), gdzie \(r>0\). **[…] pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zapisanie równania wynikającego z warunku styczności okręgów. **[…] pkt** – rozwiązanie prawie pełne. **6 pkt** – rozwiązanie pełne: obliczenie odległości środków okręgów: […].

91 Zadanie 17. (0–6) Dany jest okrąg o o równaniu  x  32   y 12  1. W pierwszej „ćwiartce” układu 0 współrzędnych istnieją dwa okręgi o , o styczne zewnętrznie do okręgu o i jednocześnie 1 2 0 styczne do obu osi układu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów o oraz o . 1 2 R8.5. Zdający posługuje się równaniem okręgu IV. Użycie i tworzenie  x  a2   y  b2  r 2 oraz opisuje koła za pomocą strategii nierówności. Rozwiązanie: Okrąg o równaniu  x  32   y 12  1 ma środek w punkcie 3,1 i promień 1. Z treści zadania wynika, że okręgi o , o leżą w pierwszej „ćwiartce” układu współrzędnych. 1 2 Równanie okręgu leżącego w I „ćwiartce” układu współrzędnych i stycznego do obu osi układu jest postaci  x  r 2   y  r 2  r2 , gdzie r  0 . Zapisujemy warunek styczności okręgów. Okręgi są styczne zewnętrznie, czyli odległość środków tych okręgów jest równa sumie ich promieni, zatem r  32  r 12  r 1. Przekształcając to równanie, otrzymujemy równanie r2 10r  9  0 , które ma dwa rozwiązania r  1, r  9 . 1 2 Środki S , S okręgów o , o mają współrzędne S  1,1 , S  9, 9 i ich odległość jest 1 2 1 2 1 2 równa 8 2 . Schemat oceniania: Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania ............................................................................................................ 1 p. Zapisanie, że okrąg o równaniu  x  32   y 12  1 ma środek w punkcie 3,1 i promień 1. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ........................................................................ 2 p. Zapisanie postaci równania okręgu leżącego w I „ćwiartce” układu współrzędnych i stycznego do obu osi układu jest postaci  x  r 2   y  r 2  r2 , gdzie r  0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania ....................................................................... 3 p. Zapisanie równania wynikającego z warunku styczności okręgów r  32  r 12  r 1 Rozwiązanie prawie pełne ................................................................................................... 5 p. Rozwiązanie pełne ................................................................................................................ 6 p. Obliczenie odległości środków okręgów: 8 2 .

Równanie stycznej ma postać \[y=-\frac{\sqrt3}{3}x+6\sqrt3.\]

Długość boku sześciokąta jest równa \[|AB|=\sqrt{(2-0)^2+(0-2\sqrt3)^2}=4.\] Ponieważ \(C\) leży na osi \(Ox\), mamy \(C=(6,0)\). Środek okręgu opisanego na sześciokącie jest punktem \[S=(4,2\sqrt3),\] a wierzchołek przeciwny do \(B\) ma współrzędne \[E=(6,4\sqrt3).\] Promień \(SE\) ma współczynnik kierunkowy \(\sqrt3\), zatem prostopadła do niego styczna ma współczynnik \(-\frac1{\sqrt3}=-\frac{\sqrt3}{3}\). Prosta przechodząca przez \(E\) ma więc równanie \[y-4\sqrt3=-\frac{\sqrt3}{3}(x-6),\] czyli \[y=-\frac{\sqrt3}{3}x+6\sqrt3.\]

**4 pkt** – poprawne równanie stycznej **3 pkt** – poprawny współczynnik kierunkowy stycznej i współrzędne punktu \(E\) **2 pkt** – wyznaczenie \(E=(6,4\sqrt3)\) albo wskazanie prostej równoległej do stycznej **1 pkt** – poprawne obliczenie długości boku lub współczynnika kierunkowego odpowiedniego promienia **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** Zdający rozwiązuje zadania dotyczące wzajemnego położenia prostej i okręgu oraz wyznacza równanie prostej prostopadłej.

**B.** \(1\)

Okrąg ma środek \(S=(-2,3)\) i promień \(r=2\). Odległość środka od osi \(Oy\) jest równa \(|-2|=2=r\), więc okrąg jest do niej styczny — mają dokładnie jeden punkt wspólny. Odległość środka od osi \(Ox\) wynosi \(3>2=r\), więc okrąg nie ma z nią punktów wspólnych. **Odpowiedź.** Jeden punkt wspólny, czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Posługiwanie się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r² (II.8.g).

**C.** \((x+1)^2+(y+3)^2=9\)

Punkt \(P\) leży na okręgu, gdy jego odległość od środka równa się promieniowi. Dla wariantu **C** środek to \((-1,-3)\), a promień \(3\): \[\sqrt{(-1+1)^{2}+(0+3)^{2}}=3.\] Warunek jest spełniony. W wariancie **A** punkt \(P\) jest środkiem okręgu, a w wariantach **B** i **D** promień wynosi \(\sqrt3\), co nie zgadza się z treścią. **Odpowiedź.** Wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 20. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

\[C=\left(1-\sqrt5,\ 3+\sqrt5\right)\quad\text{albo}\quad C=\left(1+\sqrt5,\ 3-\sqrt5\right).\]

Sprawdzamy najpierw, że \(A\) i \(B\) rzeczywiście leżą na okręgu: \[(2-1)^2+(0-3)^2=10,\qquad (4-1)^2+(2-3)^2=10.\] Trójkąt \(ABC\) ma być równoramienny o podstawie \(AB\), czyli \(\lvert CA\rvert=\lvert CB\rvert\). Punkt \(C\) leży zatem na symetralnej odcinka \(AB\). Środek \(AB\) to \(\left(3,1\right)\), a wektor \(\vec{AB}=[2,2]\) ma współczynnik kierunkowy \(1\), więc symetralna ma współczynnik \(-1\): \[y-1=-\left(x-3\right),\qquad y=-x+4.\] Szukamy punktów wspólnych symetralnej i okręgu: \[(x-1)^2+\left(-x+4-3\right)^2=10,\qquad (x-1)^2+(1-x)^2=10,\] \[2(x-1)^2=10,\qquad (x-1)^2=5,\qquad x=1\pm\sqrt5,\] a stąd \(y=4-x=3\mp\sqrt5\). Oba punkty są różne od \(A\) i \(B\), więc oba spełniają warunki zadania. **Odpowiedź.** \(C=\left(1-\sqrt5,3+\sqrt5\right)\) albo \(C=\left(1+\sqrt5,3-\sqrt5\right)\)

**1–2 pkt** – wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(AB\). **3 pkt** – zapisanie i rozwiązanie równania \((x-1)^2=5\). **4 pkt** – podanie obu punktów \(C\).

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: symetralna odcinka oraz przecięcie prostej z okręgiem.

\[(x+3)^2+(y-5)^2=72.\]

Środek okręgu jest punktem przecięcia prostych zawierających ramiona \(AD\) i \(BC\). Prosta \(AD\) przez \(A=(-1,-5)\) i \(D=(-2,0)\) ma współczynnik \(\frac{0+5}{-2+1}=-5\), więc \(y=-5x-10\). Prosta \(BC\) przez \(B=(5,1)\) i \(C=(1,3)\) ma współczynnik \(\frac{3-1}{1-5}=-\frac12\), więc \(y=-\frac12x+\frac72\). Z porównania \[-5x-10=-\frac12x+\frac72\quad\Longrightarrow\quad -\frac92x=\frac{27}2\quad\Longrightarrow\quad x=-3,\qquad y=5,\] więc środkiem okręgu jest \(S=(-3,5)\). Promień jest odległością \(S\) od prostej \(AB\). Prosta \(AB\) przez \(A=(-1,-5)\) i \(B=(5,1)\) ma równanie \(y=x-4\), czyli \(x-y-4=0\): \[r=\frac{\left|-3-5-4\right|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{12}{\sqrt2}=6\sqrt2,\qquad r^{2}=72.\] **Odpowiedź.** \((x+3)^2+(y-5)^2=72\)

**1–4 pkt** – proste \(AD\) i \(BC\), środek \(S=(-3,\,5)\), punkt styczności i promień \(6\sqrt{2}\). **5 pkt** – równanie okręgu.

Zadanie 34. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

\((x-3)^2+(y-12)^2=625\). Odległość środka \(S=(3,12)\) od prostej \(3x-4y-36=0\) wynosi \(15\), a połowa cięciwy ma długość \(20\), więc z twierdzenia Pitagorasa \(r^2=15^2+20^2=625\), czyli \(r=25\).

**Krok \(1\).** Znamy środek okręgu, więc do napisania równania brakuje tylko promienia. Rozpoznajemy klasyczną konfigurację: środek okręgu, cięciwa i odcinek łączący środek ze środkiem cięciwy. Ten odcinek jest prostopadły do cięciwy i dzieli ją na połowy, więc powstaje trójkąt prostokątny, w którym promień jest przeciwprostokątną. **Krok \(2\).** Liczymy odległość środka \(S=(3,12)\) od prostej \(3x-4y-36=0\) ze wzoru \(d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\): \[d=\frac{|3\cdot3-4\cdot12-36|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{|9-48-36|}{5}=\frac{75}{5}=15.\] **Krok \(3\).** Niech \(C\) będzie środkiem cięciwy \(AB\). Odcinek \(SC\) realizuje właśnie tę odległość, więc \(|SC|=15\), a ponadto \(SC\) jest prostopadły do \(AB\). **Krok \(4\).** Prostopadła poprowadzona ze środka okręgu do cięciwy dzieli ją na połowy, zatem \[|AC|=\tfrac12\cdot|AB|=\tfrac12\cdot40=20.\] **Krok \(5\).** Trójkąt \(ACS\) jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku \(C\), a jego przeciwprostokątna \(SA\) to promień \(r\). Z twierdzenia Pitagorasa: \[r^2=|AC|^2+|SC|^2=20^2+15^2=400+225=625.\] **Krok \(6\).** Stąd \(r=25\) (długość jest dodatnia). **Krok \(7\).** Równanie okręgu o środku \((a,b)\) i promieniu \(r\) ma postać \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), więc \[(x-3)^2+(y-12)^2=625.\] **Uwaga.** Częsty błąd to potraktowanie odległości \(15\) jako promienia. Ta odległość to tylko jedna przyprostokątna; promień jest przeciwprostokątną i musi być większy — tu \(25\gt15\), co zgadza się z tym, że prosta faktycznie przecina okrąg w dwóch punktach. **Odpowiedź.** \((x-3)^2+(y-12)^2=625\) (promień \(r=25\)).

**1 pkt** – zdający wykona rysunek, na którym zaznaczy środek cięciwy \(AB\), albo zapisze, że środek cięciwy \(AB\), środek okręgu i koniec cięciwy to wierzchołki trójkąta prostokątnego; albo wykorzysta współrzędne środka okręgu i zapisze równanie okręgu w postaci […]; albo obliczy połowę długości cięciwy \(AB\): \(\tfrac{1}{2}\lvert AB\rvert=20\); albo obliczy odległość punktu \(S\) od prostej \(AB\) i nie interpretuje jej błędnie (np. jako promień szukanego okręgu) i na tym zakończy. **2 pkt** – zdający obliczy odległość środka okręgu od prostej o równaniu \(3x-4y-36=0\), np. wykorzystując wzór na odległość punktu od prostej albo obliczając wysokość trójkąta opuszczoną z wierzchołka \(S\) na bok zawarty w tej prostej: \(\tfrac{\lvert 3\cdot 3-4\cdot 12-36\rvert}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=15\), oraz wykona rysunek, na którym zaznaczy środek cięciwy \(AB\), lub zapisze, że środek cięciwy \(AB\), środek okręgu i koniec cięciwy to wierzchołki trójkąta prostokątnego, lub wykorzysta współrzędne środka okręgu i zapisze równanie okręgu w postaci […], lub obliczy połowę długości cięciwy \(AB\): \(\tfrac{1}{2}\lvert AB\rvert=20\). **3 pkt** – zdający zapisze równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta \(ACS\), gdzie \(C\) oznacza środek cięciwy \(AB\): \(r^{2}=20^{2}+15^{2}\). **4 pkt** – zdający zapisze równanie okręgu: \((x-3)^{2}+(y-12)^{2}=625\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. Wyznaczenie równania okręgu. (IV.8.e.g.c.R)

**A.** \(\sqrt5\)

Z równań okręgów odczytujemy środki: \(S_1=(-1,2)\) oraz \(S_2=(0,0)\). Zatem \[|S_1S_2|=\sqrt{(0+1)^{2}+(0-2)^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt5.\] **Odpowiedź.** \(\sqrt5\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Posługiwanie się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r² (II.8.g).

l: x−√\(3y\)+\(2\sqrt{3+2=0}\), równoważnie y=(√\(\frac{3}{3}\))x+\(2\)(\(1\)+√\(\frac{3}{3}\)). Okrąg ma środek S=(\(2\),\(2\)) i promień \(2\). Z C=(\(1\),a) oraz równania okręgu, przy a>\(1\), dostajemy C=(\(1\),\(2\)+√\(3\)). Styczna jest prostopadła do CS.

Okrąg jest styczny do obu osi, a punkty styczności to \(A=(0,2)\) i \(B=(2,0)\). Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc środek \(S\) leży na prostej \(y=2\) (prostopadłej do osi \(Oy\) w \(A\)) oraz na prostej \(x=2\). Zatem \[S=(2,2),\qquad r=\lvert SA\rvert=2.\] Równanie okręgu: \((x-2)^2+(y-2)^2=4\). Punkt \(C=(1,a)\) leży na okręgu, więc \[(1-2)^2+(a-2)^2=4,\qquad (a-2)^2=3,\qquad a=2\pm\sqrt3.\] Z warunku \(a>1\) i z tego, że \(2-\sqrt3\approx0{,}27<1\), wybieramy \(a=2+\sqrt3\), czyli \(C=\left(1,2+\sqrt3\right)\). Prosta \(l\) jest styczna w \(C\), więc jest prostopadła do promienia \(SC\). Wektor \(\vec{SC}=\left[-1,\sqrt3\right]\) ma współczynnik kierunkowy \(-\sqrt3\), zatem prosta \(l\) ma współczynnik kierunkowy \[m=\frac{-1}{-\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}.\] Równanie prostej przechodzącej przez \(C\): \[y-\left(2+\sqrt3\right)=\frac{\sqrt3}{3}\left(x-1\right),\qquad y=\frac{\sqrt3}{3}x+2+\frac{2\sqrt3}{3},\] równoważnie \(x-\sqrt3\,y+2\sqrt3+2=0\). **Odpowiedź.** \(l:\ y=\dfrac{\sqrt3}{3}x+2+\dfrac{2\sqrt3}{3}\)

**1–2 pkt** – wyznaczenie środka \(S=(2,2)\) i promienia \(r=2\). **3 pkt** – wyznaczenie \(C=\left(1,2+\sqrt3\right)\) z uwzględnieniem warunku \(a>1\). **4 pkt** – wyznaczenie równania stycznej w punkcie \(C\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie zadania dotyczącego wzajemnego położenia prostej i okręgu (IV.8.b.R).

**A.** \((x-2)^2+(y-1)^2=9\)

Z rysunku odczytujemy środek okręgu \(O=(2,1)\). Okrąg przecina prostą poziomą przechodzącą przez środek w punktach o pierwszych współrzędnych \(-1\) oraz \(5\), więc jego promień jest równy \[r=\frac{5-(-1)}2=3.\] Okrąg o środku \((a,b)\) i promieniu \(r\) ma równanie \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\), zatem \[(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=9.\] **Odpowiedź.** \((x-2)^2+(y-1)^2=9\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** zdający wskazuje równanie okręgu o podanym środku i promieniu (II.8.g).

**B.** \(B=(2,-5)\)

Okrąg ma środek \(S=(2,-7)\) i promień \(r=2\). Punkt leży na okręgu, gdy jego odległość od środka wynosi \(2\): \[\sqrt{(2-2)^{2}+(-5+7)^{2}}=2.\] Dla pozostałych punktów odległości od \(S\) wynoszą \(\sqrt{160}\), \(0\) oraz \(\sqrt{50}\). **Odpowiedź.** Wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zbadanie, czy dany punkt spełnia równanie okręgu (II.8.g).

Warunki zadania spełniają dwa okręgi: \((x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1\) oraz \((x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25\).

**Krok \(1\).** Kluczowa jest tu styczność do osi układu. Okrąg jest styczny do prostej dokładnie wtedy, gdy odległość jego środka od tej prostej jest równa promieniowi. Odległość punktu \((p,q)\) od osi \(Oy\) wynosi \(|p|\), a od osi \(Ox\) wynosi \(|q|\). Zatem środek musi spełniać \(|p|=|q|=r\). **Krok \(2\).** Ustalmy jeszcze ćwiartkę. Okrąg styczny do obu osi ich nie przecina, więc leży w całości w jednej ćwiartce. Ponieważ przechodzi przez punkt \(A=(2,1)\) leżący w pierwszej ćwiartce, cały okrąg (a więc i jego środek) leży w pierwszej ćwiartce. Stąd \(p=q=r\) i środek ma współrzędne \[S=(r,r),\qquad r\gt 0.\] **Krok \(3\).** Równanie okręgu o środku \((r,r)\) i promieniu \(r\) to \[(x-r)^2+(y-r)^2=r^2.\] **Krok \(4\).** Punkt \(A=(2,1)\) leży na okręgu, więc jego współrzędne spełniają to równanie: \[(2-r)^2+(1-r)^2=r^2.\] **Krok \(5\).** Rozwijamy kwadraty: \[4-4r+r^2+1-2r+r^2=r^2.\] **Krok \(6\).** Redukujemy i porządkujemy (jedno \(r^2\) skraca się z prawą stroną): \[r^2-6r+5=0.\] **Krok \(7\).** Liczymy wyróżnik: \[\Delta=36-20=16,\qquad \sqrt{\Delta}=4,\] \[r_1=\frac{6-4}{2}=1,\qquad r_2=\frac{6+4}{2}=5.\] Oba wyniki są dodatnie, więc obu odpowiadają istniejące okręgi. **Krok \(8\).** Zapisujemy oba równania i sprawdzamy je: dla \(r=1\): \((x-1)^2+(y-1)^2=1\), bo \((2-1)^2+(1-1)^2=1\), dla \(r=5\): \((x-5)^2+(y-5)^2=25\), bo \((2-5)^2+(1-5)^2=9+16=25\). **Uwaga.** Treść wprost każe rozważyć wszystkie przypadki, więc odrzucenie jednego z pierwiastków byłoby błędem. Mniejszy okrąg przechodzi przez \(A\) niejako od dołu (punkt \(A\) leży na nim), a większy obejmuje ten punkt od góry. Odrzucamy natomiast ewentualne rozwiązania niedodatnie, bo promień musi być liczbą dodatnią. **Odpowiedź.** Warunki zadania spełniają dwa okręgi: \((x-1)^2+(y-1)^2=1\) oraz \((x-5)^2+(y-5)^2=25\).

**Schemat oceniania** **1 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zapisanie współrzędnych środka \(S\) szukanego okręgu w zależności od promienia \(r\) okręgu: \(S=(r,r)\) lub zapisanie, że środek okręgu leży na prostej o równaniu \(y=x\). **[…] pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zapisanie równania kwadratowego z jedną niewiadomą: […] \(=r^2\), czyli \(r^2-6r+5=0\). **3 pkt** – rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe): zadanie rozwiązane do końca, ale w trakcie rozwiązania popełniano błędy rachunkowe. **4 pkt** – rozwiązanie pełne: zapisanie równań obu okręgów w postaci kanonicznej: […] i \((x-5)^2\) […], lub w postaci ogólnej: \(x^2+y^2-2x-2y+1=0\) i \(x^2+y^2-10x-10y+25=0\). **Uwagi** 1. Jeżeli zdający zapisze równanie jednego okręgu (nie wyprowadzając go), to otrzymuje \(1\) punkt. 2. Jeżeli zdający zapisze równania obu okręgów (nie wyprowadzając ich), to otrzymuje \(2\) punkty.

Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.

**D.** \((-4,6)\)

W równaniu okręgu \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\) środek ma współrzędne \((a,b)\). Zapisując dane równanie w tej postaci: \[\left(x-(-4)\right)^{2}+(y-6)^{2}=100,\] otrzymujemy środek \((-4,6)\). **Odpowiedź.** Wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 21. (0–1) Wykorzystanie i tworzenie Posługuje się postacią równania okręgu; informacji z zapisu równania okręgu odczytuje D współrzędne jego środka.

**C.** \((-2,3)\)

Równanie okręgu w postaci kanonicznej to \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\), gdzie \((a,b)\) jest środkiem. Zapisując dane równanie jako \(\left(x-(-2)\right)^{2}+(y-3)^{2}=5\), odczytujemy środek \((-2,3)\). **Odpowiedź.** Wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria analityczna – odczytuje środek okręgu z jego równania.

(x−\(5\))\(2\)+(y−\(5\))\(2=25\) lub (x−\(13\))\(2\)+(y−\(13\))\(2=169\)

Okrąg styczny do obu osi ma środek w równej odległości od nich, a ta odległość jest jego promieniem. Punkt \(A=(1,8)\) leży w pierwszej ćwiartce, więc środek również, czyli \(S=(r,r)\) dla pewnego \(r>0\). Z warunku, że \(A\) leży na okręgu: \[(1-r)^{2}+(8-r)^{2}=r^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad r^{2}-18r+65=0.\] Wyróżnik \(\Delta=324-260=64\), więc \[r=\frac{18-8}2=5\qquad\text{albo}\qquad r=\frac{18+8}2=13.\] Oba rozwiązania są dodatnie, więc oba są dopuszczalne i zadanie ma dwa rozwiązania: \[(x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25\qquad\text{oraz}\qquad (x-13)^{2}+(y-13)^{2}=169.\] **Odpowiedź.** \((x-5)^2+(y-5)^2=25\) lub \((x-13)^2+(y-13)^2=169\)

**1–3 pkt** – zapis środka \((r,r)\), warunku przechodzenia przez \(A\) i rozwiązanie równania dla \(r\). **4 pkt** – oba równania okręgów.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria analityczna – wyznacza równania okręgów spełniających warunki styczności.

Kąt między stycznymi ma miarę \(90^\circ\).

Sprowadzamy równanie okręgu do postaci kanonicznej: \[x^2+y^2+2x-2y-3=0,\qquad (x+1)^2+(y-1)^2=5,\] więc \(S=(-1,1)\) i \(r=\sqrt5\). Odległość punktu \(A=(2,0)\) od środka: \[\lvert SA\rvert=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}>\sqrt5,\] więc \(A\) leży na zewnątrz okręgu i istnieją dwie styczne. Niech \(B\) będzie punktem styczności. Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc trójkąt \(ABS\) jest prostokątny przy \(B\) i \[\sin\lvert\angle BAS\rvert=\frac{r}{\lvert SA\rvert}=\frac{\sqrt5}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \lvert\angle BAS\rvert=45^\circ.\] Prosta \(AS\) zawiera dwusieczną kąta między stycznymi, zatem szukany kąt ma miarę \[2\cdot45^\circ=90^\circ.\] Kontrola drugą metodą: styczne przechodzące przez \(A\) mają równania \(y=a(x-2)\); warunek styczności prowadzi do równania \(2a^2+3a-2=0\) o pierwiastkach \(a_1=-2\) i \(a_2=\frac12\). Ponieważ \(a_1a_2=-1\), proste są prostopadłe. **Odpowiedź.** Kąt między stycznymi ma miarę \(90^\circ\).

**1–2 pkt** – wyznaczenie środka \(S=(-1,1)\) i promienia \(r=\sqrt5\) oraz odległości \(\lvert SA\rvert=\sqrt{10}\). **3 pkt** – zapisanie zależności pozwalającej wyznaczyć kąt, np. \(\sin\lvert\angle BAS\rvert=\frac{r}{\lvert SA\rvert}\). **4 pkt** – obliczenie miary kąta równej \(90^\circ\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie zadania dotyczącego wzajemnego położenia prostej i okręgu.

**B.** \(x=3\)

Okrąg \((x-1)^{2}+y^{2}=4\) ma środek \(S=(1,0)\) i promień \(2\). Prosta jest styczna do okręgu, gdy jej odległość od środka jest równa promieniowi. Dla prostej pionowej \(x=3\) odległość ta wynosi \(|3-1|=2=r\). Dla \(x=1\) i \(y=0\) odległość wynosi \(0\) (proste przechodzą przez środek), a dla \(y=4\) wynosi \(4>2\). **Odpowiedź.** \(x=3\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Posłużenie się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r² i sprawdzenie, czy dana prosta jest styczną.

\[\left(\frac{23}5,\frac{31}5\right).\]

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc prosta \(SP\) ma współczynnik kierunkowy \(-\frac12\) i przechodzi przez \(S=(3,7)\): \[y=-\frac12(x-3)+7=-\frac12x+\frac{17}2.\] Punkt styczności jest przecięciem tej prostej z daną styczną: \[2x-3=-\frac12x+\frac{17}2\quad\Longrightarrow\quad \frac52x=\frac{23}2\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{23}5,\qquad y=\frac{31}5.\] **Odpowiedź.** Punkt styczności to \(\left(\frac{23}5,\frac{31}5\right)\)

1 pkt: zapisanie współczynnika −1/2 prostej prostopadłej do stycznej. 2 pkt: zapisanie poprawnego układu równań prostych. 3 pkt: doprowadzenie układu do równania z jedną niewiadomą. 4 pkt: obliczenie punktu styczności (23/5, 31/5).

Użycie i tworzenie strategii. Wyznaczenie współrzędnych punktu styczności prostej z okręgiem.

**C.** \(2\)

Liczbę punktów wspólnych prostej i okręgu rozstrzyga porównanie odległości środka okręgu od prostej z promieniem. Prostą zapisujemy w postaci ogólnej \(x+y-2=0\). Odległość środka \(O=(0,0)\) od tej prostej wynosi \[d=\frac{|0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2.\] Ponieważ \(\sqrt2\approx1{,}41<2=r\), prosta jest sieczną i ma z okręgiem dwa punkty wspólne. **Odpowiedź.** C. \(2\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** badanie wzajemnego położenia prostej i okręgu przez porównanie odległości środka od prostej z promieniem Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**C.** \((x-1)^2+(y+2)^2=4\)

Okrąg o środku \(S=(a,b)\) i promieniu \(r\) ma równanie \[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.\] Dla \(S=(1,-2)\) i \(r=2\) otrzymujemy \[(x-1)^2+(y+2)^2=4.\] Warianty A i B mają po prawej stronie \(2\) zamiast \(r^2=4\). **Odpowiedź.** C. \((x-1)^2+(y+2)^2=4\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** zapisywanie równania okręgu o danym środku i promieniu Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**B.** \((x-2)^2+(y-1)^2=25\)

Promień jest odległością środka od punktu \(M\) leżącego na okręgu: \[r^{2}=(6-2)^{2}+(4-1)^{2}=16+9=25.\] Okrąg o środku \(S=(2,1)\) ma zatem równanie \((x-2)^{2}+(y-1)^{2}=25\). **Odpowiedź.** Wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria analityczna – wyznacza równanie okręgu z środka i punktu.

**C.** \(2\)

Okrąg ma środek \((-3,1)\) i promień \(2\). Odległość środka od osi \(Oy\) wynosi \(3>2\), więc okrąg nie przecina tej osi. Odległość środka od osi \(Ox\) wynosi \(1<2\), więc okrąg przecina tę oś w dwóch punktach. **Odpowiedź.** Dwa punkty wspólne, czyli wariant **C**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria analityczna.

**A.** \(S=(-2,3)\)

Doprowadzamy równanie do postaci kanonicznej, uzupełniając wyrażenia do kwadratów: \[x^{2}+4x+y^{2}-6y=221,\]\[(x+2)^{2}-4+(y-3)^{2}-9=221,\]\[(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=234.\] Środkiem jest zatem punkt \((-2,3)\). **Odpowiedź.** Wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria analityczna.

\[(x-3)^2+(y+5)^2=9.\]

Okrąg jest styczny do osi \(Oy\), więc jego promień jest równy odległości środka od tej osi, czyli wartości bezwzględnej pierwszej współrzędnej środka: \[r=|3|=3,\qquad r^{2}=9.\] Stąd \[(x-3)^{2}+(y+5)^{2}=9.\] **Odpowiedź.** \((x-3)^2+(y+5)^2=9\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \((x-3)^{2}+(y+5)^{2}=9\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria analityczna.

\[(x-3)^2+(y+5)^2=34.\]

Promień okręgu jest odległością środka od punktu, przez który okrąg przechodzi: \[r=\sqrt{(0-3)^{2}+(0+5)^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34},\qquad r^{2}=34.\] Zatem \[(x-3)^{2}+(y+5)^{2}=34.\] **Odpowiedź.** \((x-3)^2+(y+5)^2=34\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \((x-3)^{2}+(y+5)^{2}=34\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria analityczna.

**D.** \(x^2+y^2=36\)

Okrąg o środku w początku układu i promieniu \(r\) ma równanie \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\). Dla \(r=6\) otrzymujemy \(r^{2}=36\), czyli \[x^{2}+y^{2}=36.\] **Odpowiedź.** Wariant **D**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wskazanie równania okręgu o podanej długości promienia.

**A.** \(\sqrt{13}\)

W równaniu \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\) prawa strona jest kwadratem promienia, więc \(r^{2}=13\) i \(r=\sqrt{13}\). **Odpowiedź.** \(r=\sqrt{13}\), czyli wariant **A**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria analityczna – odczytuje promień z równania okręgu.

\((x-4)^2+(y+2)^2=20\) (równoważnie \(x^2+y^2-8x+4y=0\)).

**Krok \(1\).** Równanie okręgu o środku \(S=(a,b)\) i promieniu \(r\) ma postać \[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.\] Środek jest dany, więc jedyne, czego brakuje, to \(r\). A skoro okrąg przechodzi przez punkt \(O\), to promień jest po prostu odległością środka od tego punktu. **Krok \(2\).** Liczymy \(r=|SO|\) ze wzoru na długość odcinka, dla \(S=(4,-2)\) i \(O=(0,0)\): \[r^2=(4-0)^2+(-2-0)^2=16+4=20.\] **Krok \(3\).** Do równania okręgu wstawiamy \(r^2\), a nie \(r\), więc pierwiastka nie musimy nawet wyciągać. (Gdyby był potrzebny: \(r=\sqrt{20}=2\sqrt5\).) **Krok \(4\).** Podstawiamy \(a=4\) oraz \(b=-2\). Uwaga na znak: \(y-b=y-(-2)=y+2\). **Krok \(5\).** Otrzymujemy równanie \[(x-4)^2+(y+2)^2=20.\] **Krok \(6\).** Dla sprawdzenia wstawiamy \(O=(0,0)\): \((0-4)^2+(0+2)^2=16+4=20\), więc punkt \(O\) rzeczywiście leży na tym okręgu. **Uwaga.** Ujemna współrzędna środka zmienia znak w nawiasie na przeciwny — typowy błąd to zapisanie \((y-2)^2\). Jeśli ktoś woli postać ogólną, po rozwinięciu wychodzi \(x^2+y^2-8x+4y=0\). **Odpowiedź.** \((x-4)^2+(y+2)^2=20\).

1 pkt: obliczenie r²=20. 2 pkt: poprawne równanie okręgu.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria analityczna – wyznacza równanie okręgu.

**D.** \(4\)

Równanie okręgu o środku \(S=(a,b)\) i promieniu \(r\) ma postać \[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.\] Tu \(r^2=16\), a promień jest dodatni, więc \(r=4\). **Odpowiedź.** \(r=4\), czyli odpowiedź **D**.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: \(\mathrm{D}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(y=-\tfrac34x-1\).

Z równania okręgu odczytujemy środek \(S=(-2,3)\) i promień \(r=2\). Druga styczna nie jest pionowa, więc ma równanie \(y=ax-1\) (przechodzi przez \(A=(0,-1)\)), czyli \(ax-y-1=0\). Prosta jest styczna do okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środka od niej równa się promieniowi: \[\frac{|a\cdot(-2)-3-1|}{\sqrt{a^{2}+1}}=2,\qquad |2a+4|=2\sqrt{a^{2}+1}.\] Podnosimy obie strony (nieujemne) do kwadratu: \[4a^{2}+16a+16=4a^{2}+4,\qquad 16a=-12,\qquad a=-\tfrac34.\] **Odpowiedź.** \(y=-\tfrac34x-1\).

**1 pkt** – jeśli narysuje w układzie współrzędnych opisany w zadaniu okrąg i zaznaczy dany punkt \(A\). **1 pkt** – jeśli zapisze równanie szukanej rodziny stycznych. Poprawna odpowiedź: \(y=ax-1\) lub \(ax-y-1=0\). **1 pkt** – jeśli zapisze warunek styczności prostej \(k\) o równaniu \(y=ax-1\) i danego okręgu. Poprawna odpowiedź: Odległość środka okręgu \(S\) od prostej \(k\) jest równa promieniowi okręgu. **1 pkt** – jeśli zapisze równanie z niewiadomą \(a\). Poprawna odpowiedź: \(\frac{\lvert a\cdot(-2)-3-1\rvert}{\sqrt{a^{2}+1}}=2\). **1 pkt** – jeśli zapisze równanie szukanej stycznej. Poprawna odpowiedź: \(y=-\frac{3}{4}x-1\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \((x+2)^{2}+y^{2}=25\); b) \(y=-7x+10\sqrt2\) albo \(y=-7x-10\sqrt2\).

**a)** Środek okręgu leży na osi \(Ox\), więc ma postać \(S=(p,0)\). Z równości promieni \(|SA|=|SB|\): \[(p-1)^{2}+4^{2}=(p+6)^{2}+3^{2}.\] Stąd \(p^{2}-2p+17=p^{2}+12p+45\), czyli \(14p=-28\) i \(p=-2\). Promień: \(r^{2}=(-2-1)^{2}+16=25\), więc \(r=5\), a równanie okręgu to \[(x+2)^{2}+y^{2}=25.\] **b)** Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\): \[a_{AB}=\frac{3-4}{-6-1}=\frac17,\] więc prosta prostopadła ma współczynnik \(-7\) i równanie \(y=-7x+c\), czyli \(7x+y-c=0\). Odległość początku układu od tej prostej: \[\frac{|7\cdot0+0-c|}{\sqrt{7^{2}+1^{2}}}=\frac{|c|}{\sqrt{50}}=2,\] skąd \(|c|=2\sqrt{50}=10\sqrt2\). **Odpowiedź.** a) \((x+2)^{2}+y^{2}=25\); b) \(y=-7x+10\sqrt2\) lub \(y=-7x-10\sqrt2\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **9.1. (1 pkt)** – […] pozwalającego wyznaczyć współrzędne środka okręgu, np.: \((x-1)^{2}+4^{2}=(x+6)^{2}+3^{2}\). **9.2. (1 pkt)** – obliczenie współrzędnych punktu \(S\): \(S=(-2,0)\). Jeśli zdający wyznaczy równanie symetralnej odcinka \(AB\) oraz jej punkt przecięcia z osią \(Ox\), to przyznajemy punkty w czynnościach 9.1 oraz 9.2. **9.3. (1 pkt)** – obliczenie długości promienia okręgu: \(r=5\) i zapisanie równania okręgu: \((x+2)^{2}+y^{2}=25\). **9.4. (1 pkt)** – wyznaczenie równania prostej \(AB\): \(y=\frac{1}{7}x+\frac{27}{7}\). Wystarczy, że zdający obliczy współczynnik kierunkowy prostej \(AB\). **9.5. (1 pkt)** – zapisanie równania rodziny prostych prostopadłych do prostej \(AB\): \(y=-7x+b\). **9.6. (1 pkt)** – wykorzystanie wzoru na odległość punktu \((0,0)\) od prostej o równaniu \(y=-7x+b\) i zapisanie równania: \(\sqrt{2}=\frac{\lvert b\rvert}{5\sqrt{2}}\). **9.7. (1 pkt)** – wyznaczenie równań prostych spełniających warunek zadania: \(y=-7x-10\), \(y=-7x+10\). Wystarczy, że zdający obliczy wartości \(b\), o ile zapisał równanie rodziny prostych \(y=-7x+b\). […] Nie wymagamy rozpatrzenia obu przypadków, ale istotne jest założenie, że […]

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Koło o średnicy \(AB\) ma środek \(S=(-20,24)\) i promień \(r=8\sqrt5\). Ponieważ \(-20+8\sqrt5<0\) oraz \(24-8\sqrt5>0\), całe koło leży w II ćwiartce.

Środek koła jest środkiem odcinka \(AB\): \[S=\left(\frac{-4+(-36)}2,\frac{32+16}2\right)=(-20,24).\] Promień jest połową długości średnicy: \[|AB|=\sqrt{(-36+4)^{2}+(16-32)^{2}}=\sqrt{1024+256}=\sqrt{1280}=16\sqrt5,\qquad r=8\sqrt5.\] Koło leży w II ćwiartce dokładnie wtedy, gdy każdy jego punkt ma pierwszą współrzędną ujemną, a drugą dodatnią. Wystarczy więc, by odległość środka od każdej z osi była większa od promienia, przy zachowaniu znaków współrzędnych środka. Odległość \(S\) od osi \(Oy\) wynosi \(20\), odległość od osi \(Ox\) wynosi \(24\). Szacujemy promień: \[r=8\sqrt5=\sqrt{320}<\sqrt{400}=20<24.\] Zatem każdy punkt koła ma pierwszą współrzędną nie większą niż \(-20+r<0\) i drugą nie mniejszą niż \(24-r>0\). **Odpowiedź.** Koło o średnicy \(AB\) jest zawarte w II ćwiartce układu współrzędnych.

**1 pkt** – wyznaczenie środka koła \(S=(-20,24)\) **1 pkt** – wyznaczenie promienia \(r=8\sqrt5\) **2 pkt** – uzasadnienie, że \(r<20\) i \(r<24\), a więc całe koło leży w II ćwiartce

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

**a)** \(A=(0,-5)\), \(B=(5,0)\), \(C=\left(-\frac{5\sqrt2}2,\frac{5\sqrt2}2\right)\). **b)** Kąt przy wierzchołku \(C\) ma miarę \(45^\circ\), a kąty przy podstawie \(67{,}5^\circ\) każdy.

**a)** Punkty \(A\) i \(B\) leżą jednocześnie na okręgu i na prostej, więc ich współrzędne spełniają układ \[\begin{cases}x^{2}+y^{2}=25\\ y=x-5\end{cases}\] Po podstawieniu \(x^{2}+(x-5)^{2}=25\), czyli \(2x^{2}-10x=0\) i \(x\in\{0,5\}\). Zatem \(A=(0,-5)\) oraz \(B=(5,0)\). Trójkąt jest równoramienny o podstawie \(AB\), więc \(C\) leży na symetralnej odcinka \(AB\). Symetralna cięciwy przechodzi przez środek okręgu, czyli przez początek układu, a jest prostopadła do \(AB\), więc ma równanie \(y=-x\). Podstawiając do równania okręgu, otrzymujemy \(2x^{2}=25\), czyli \(x=\pm\frac{5\sqrt2}2\). Warunek, by trójkąt był ostrokątny, spełnia ten punkt, który leży dalej od prostej \(AB\): \[C=\left(-\frac{5\sqrt2}2,\frac{5\sqrt2}2\right).\] **b)** Kąt środkowy \(AOB\) oparty na cięciwie \(AB\) jest prosty, bo \(\overrightarrow{OA}=[0,-5]\) i \(\overrightarrow{OB}=[5,0]\) są prostopadłe. Kąt wpisany oparty na tym samym łuku jest połową kąta środkowego, więc \[|\angle ACB|=45^{\circ}.\] Pozostałe kąty, jako kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego, mają miarę \[\frac{180^{\circ}-45^{\circ}}2=67{,}5^{\circ}.\] **Odpowiedź.** \(A=(0,-5)\), \(B=(5,0)\), \(C=\left(-\frac{5\sqrt2}2,\frac{5\sqrt2}2\right)\); kąty trójkąta to \(45^\circ\), \(67{,}5^\circ\), \(67{,}5^\circ\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **11.1. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych punktów \(A\), \(B\): \(A=(0,-5)\), \(B=(5,0)\). **11.2. (1 pkt)** – wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(AB\): \(y=-x\). **11.3. (2 pkt)** – obliczenie współrzędnych punktu \(C\): \(C=\left(\frac{-5\sqrt{2}}{2},\ \frac{5\sqrt{2}}{2}\right)\). **11.4. (1 pkt)** – obliczenie miar kątów trójkąta \(ABC\): \(45^{\circ}\), \(67{,}5^{\circ}\), \(67{,}5^{\circ}\). Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Środek jednokładności ma współrzędne \(\left(\tfrac{38}{3},\tfrac43\right)\).

Pierwszy okrąg ma środek \(S_1=(16,0)\) i promień \(2\), drugi środek \(S_2=(6,4)\) i promień \(4\). Jednokładność o skali \(k\) zmienia promień \(|k|\) razy, więc \(|k|=\tfrac42=2\). Skala jest ujemna, zatem \(k=-2\). Środek jednokładności \(P\) spełnia \(\vec{PS_2}=k\,\vec{PS_1}\), czyli \[S_2-P=-2\,(S_1-P).\] Dla współrzędnej \(x\): \(6-x=-2(16-x)\), stąd \(6-x=-32+2x\), czyli \(3x=38\) i \(x=\tfrac{38}{3}\). Dla współrzędnej \(y\): \(4-y=-2(0-y)\), stąd \(4-y=2y\), czyli \(y=\tfrac43\). Sprawdzenie: \(P+(-2)(S_1-P)=\left(\tfrac{38}3-\tfrac{20}3,\ \tfrac43+\tfrac83\right)=(6,4)=S_2\). **Odpowiedź.** \(P=\left(\dfrac{38}{3},\dfrac43\right)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Środkiem okręgu \((x-16)^{2}+y^{2}=4\) jest punkt \(S_{1}=(16,0)\), a promień \(r_{1}=2\). Środkiem okręgu \((x-6)^{2}+(y-4)^{2}=16\) jest punkt \(S_{2}=(6,4)\), a promień \(r_{2}=4\). […] Na płaszczyźnie każde dwa okręgi są jednokładne. W tym przypadku stosunek długości promieni danych okręgów jest równy \(2\), więc szukam punktu \(S=(x,y)\), który jest środkiem jednokładności o skali \((-2)\). Z własności jednokładności wynika równanie: \(\overrightarrow{SS_{2}}=-2\cdot\overrightarrow{SS_{1}}\), \[\overrightarrow{SS_{2}}=[6-x,\,4-y],\qquad \overrightarrow{SS_{1}}=[16-x,\,-y]\] \[[6-x,\,4-y]=-2\cdot[16-x,\,-y]\] \[[6-x,\,4-y]=[-32+2x,\,2y]\] Obliczam odciętą punktu \(S\): \(6-x=-32+2x\), stąd \(x=\frac{38}{3}\). Obliczam rzędną punktu \(S\): \(4-y=2y\), stąd \(y=\frac{4}{3}\). Odp. Środkiem jednokładności jest punkt \(S=\left(\frac{38}{3},\frac{4}{3}\right)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(r=2\sqrt5\); środkiem okręgu jest punkt \(S=(-2,3)\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy własność, która rozwiązuje to zadanie: promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej. Zatem środek okręgu leży na prostej prostopadłej do pierwszej stycznej w punkcie \(A\) i jednocześnie na prostej prostopadłej do drugiej stycznej w punkcie \(B\). Przecięcie tych dwóch prostych to środek, a odległość środka od \(A\) to promień. **Krok \(2\).** Prosta prostopadła do \(y=2x-3\) ma współczynnik kierunkowy \(-\dfrac12\) (bo \(2\cdot\left(-\dfrac12\right)=-1\)) i przechodzi przez \(A=(2,1)\): \[y-1=-\frac12(x-2)\ \Longrightarrow\ y=-\frac12x+2.\] **Krok \(3\).** Prosta prostopadła do \(y=\dfrac12x+9\) ma współczynnik kierunkowy \(-2\) i przechodzi przez \(B=(-4,7)\): \[y-7=-2\left(x+4\right)\ \Longrightarrow\ y=-2x-1.\] **Krok \(4\).** Wyznaczamy środek \(S\), rozwiązując układ: \[-\frac12x+2=-2x-1.\] Mnożymy obie strony przez \(2\): \[-x+4=-4x-2\ \Longrightarrow\ 3x=-6\ \Longrightarrow\ x=-2.\] **Krok \(5\).** Podstawiamy: \(y=-2\cdot(-2)-1=3\), zatem \(S=(-2,3)\). **Krok \(6\).** Promień to odległość \(S\) od punktu styczności \(A=(2,1)\): \[r=|SA|=\sqrt{\left(2-(-2)\right)^2+(1-3)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5.\] **Krok \(7\).** Kontrola przez drugi punkt styczności: \[|SB|=\sqrt{\left(-4-(-2)\right)^2+(7-3)^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt5.\] Obie odległości są równe, co potwierdza, że \(S\) jest środkiem szukanego okręgu. **Uwaga.** Warto sprawdzić, że podane punkty faktycznie leżą na swoich stycznych: \(2\cdot2-3=1\) dla \(A\) oraz \(\dfrac12\cdot(-4)+9=7\) dla \(B\). Bez tego cała konstrukcja nie miałaby sensu. **Odpowiedź.** \(r=2\sqrt5\) (środkiem okręgu jest punkt \(S=(-2,3)\)).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **4.1. (1 pkt)** – […] stycznej w punkcie styczności. **4.2. (1 pkt)** – wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt \(B\) i prostopadłej do prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+9\): \(y=-2x-1\). **4.3. (1 pkt)** – wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt \(A\) i prostopadłej do prostej o równaniu \(y=2x-3\): \(y=-\frac{1}{2}x+2\). **4.4. (1 pkt)** – obliczenie współrzędnych punktu przecięcia prostych \(y=-\frac{1}{2}x+2\) i \(y=-2x-1\), który jest środkiem okręgu stycznego do danych prostych: \(S=(-2,\,3)\). **4.5. (1 pkt)** – obliczenie promienia szukanego okręgu: \(r=SA=SB=2\sqrt{5}\). Jeśli zdający nie zapisał w punkcie 4.1 własności: promień okręgu jest prostopadły do stycznej w punkcie styczności, ale z niej skorzystał w rozwiązaniu, to przyznajemy punkt w czynności 4.1. **II sposób rozwiązania:** **4.1. (1 pkt)** – wykorzystanie własności – środek okręgu leży na symetralnej odcinka \(AB\). Obliczenie współrzędnych punktów \(W\) – przecięcia się danych prostych oraz \(P\) – środka odcinka \(AB\): \(W=(8,\,13)\), \(P=(-1,\,4)\). (rysunek: oś \(y\): \(14,\ 13,\ 12,\ 11,\ 10,\ 9,\ 8,\ 7,\ 6,\ 5,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1\); oś \(x\): \(-6,\ -5,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\); punkty \(W\), \(B\), \(P\), \(S\), \(A\)) **4.2. (1 pkt)** – wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty \(W\) oraz \(P\) (symetralnej odcinka \(AB\)): \(y=x+5\). **4.3. (1 pkt)** – wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt \(B\) i prostopadłej do prostej, na której leży ten punkt (lub prostej przechodzącej przez punkt \(A\) i prostopadłej do prostej, na której leży ten punkt): \(y=-2x-1\) lub \(y=-\frac{1}{2}x+2\). **4.4. (1 pkt)** – obliczenie współrzędnych środka okręgu: \(S=(-2,\,3)\). **4.5. (1 pkt)** – obliczenie promienia okręgu: \(r=SA=SB=2\sqrt{5}\). **III sposób rozwiązania** **4.1. (1 pkt)** – obliczenie współrzędnych punktu \(W\) i obliczenie długości odcinków \(AW\) i \(BW\): \(W=(8,\,13)\), \(AW=BW=6\sqrt{5}\) (trójkąt \(AWB\) jest równoramienny). (rysunek: oś \(y\): \(14,\ 13,\ 12,\ 11,\ 10,\ 9,\ 8,\ 7,\ 6,\ 5,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1\); oś \(x\): \(-6,\ -5,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\); punkty \(W\), \(B\), \(P\), \(S\), \(A\)) **4.2. (1 pkt)** – obliczenie współrzędnych punktu \(P\) (środka odcinka \(AB\)) oraz długości odcinków \(BP\) i \(PW\): \(P=(-1,\,4)\), \(BP=3\sqrt{2}\), \(PW=9\sqrt{2}\). **4.3. (1 pkt)** – stwierdzenie podobieństwa trójkątów \(BWP\) i \(BSP\). **4.4. (1 pkt)** – zapisanie proporcji \(\frac{BS}{BP}=\frac{BW}{PW}\). **4.5. (1 pkt)** – obliczenie promienia okręgu: \(r=AS=BS=2\sqrt{5}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(C=(3,0)\). b) \((x+3)^2+(y+10)^2=100\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy dwa narzędzia. W podpunkcie a) warunek \(\angle BCA=90^\circ\) oznacza prostopadłość wektorów \(\overrightarrow{CA}\) i \(\overrightarrow{CB}\), czyli zerowanie się ich iloczynu skalarnego; ponieważ \(C\) leży na osi \(OX\), ma postać \(C=(x,0)\) i zostaje jedna niewiadoma. W podpunkcie b) korzystamy z twierdzenia Talesa: w trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest ŚREDNICĄ okręgu opisanego — to od razu daje środek i promień, a potem stosujemy jednokładność. **Krok \(2\).** Niech \(C=(x,0)\). Obliczamy wektory wychodzące z \(C\): \[\overrightarrow{CA}=(7-x,\,8-0)=(7-x,\,8),\qquad \overrightarrow{CB}=(-1-x,\,2-0)=(-1-x,\,2).\] **Krok \(3\).** Zapisujemy warunek prostopadłości (iloczyn skalarny równy zeru): \[(7-x)(-1-x)+8\cdot2=0.\] **Krok \(4\).** Rozwiązujemy. Wymnażamy nawiasy: \[(7-x)(-1-x)=-7-7x+x+x^2=x^2-6x-7,\] więc równanie przyjmuje postać \[x^2-6x-7+16=0\quad\Longrightarrow\quad x^2-6x+9=0\quad\Longrightarrow\quad (x-3)^2=0\quad\Longrightarrow\quad x=3.\] Zatem \(C=(3,0)\). (Rozwiązanie jest podwójne, bo oś \(OX\) jest styczna do okręgu o średnicy \(AB\) — istnieje dokładnie jeden taki punkt.) **Krok \(5\).** Podpunkt b): skoro kąt przy \(C\) jest prosty, to \(AB\) jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\). Środek okręgu to środek odcinka \(AB\): \[S=\left(\frac{7+(-1)}{2},\,\frac{8+2}{2}\right)=(3,5).\] **Krok \(6\).** Promień to połowa długości \(AB\): \[|AB|=\sqrt{(7-(-1))^2+(8-2)^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10,\qquad r=\frac{10}{2}=5.\] **Krok \(7\).** Wyznaczamy obraz środka w jednokładności o środku \(P=(1,0)\) i skali \(k=-2\). Korzystamy z warunku \(\overrightarrow{PS^{\prime}}=k\cdot\overrightarrow{PS}\): \[\overrightarrow{PS}=(3-1,\,5-0)=(2,5),\qquad \overrightarrow{PS^{\prime}}=-2\cdot(2,5)=(-4,-10).\] Stąd \[S^{\prime}=(1,0)+(-4,-10)=(-3,-10).\] **Krok \(8\).** Wyznaczamy promień obrazu. Jednokładność o skali \(k\) zmienia długości \(|k|\) razy: \[r^{\prime}=|k|\cdot r=2\cdot5=10.\] **Krok \(9\).** Zapisujemy równanie okręgu o środku \((-3,-10)\) i promieniu \(10\): \[(x-(-3))^2+(y-(-10))^2=10^2,\qquad\text{czyli}\qquad (x+3)^2+(y+10)^2=100.\] **Uwaga.** Przy skali ujemnej promień mnożymy przez \(|k|\), a NIE przez \(k\) — promień musi być liczbą dodatnią. Znak minus wpływa wyłącznie na położenie środka: obraz leży po przeciwnej stronie punktu \(P\) niż oryginał (porównaj: \(S=(3,5)\) leży „na prawo i w górę” od \(P\), a \(S^{\prime}=(-3,-10)\) — „na lewo i w dół”). Warto też pamiętać, że w podpunkcie a) równanie \((x-3)^2=0\) daje tylko jedno położenie punktu \(C\). **Odpowiedź.** a) \(C=(3,0)\). b) \((x+3)^2+(y+10)^2=100\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **18.1. (2 pkt)** – […] \(C\) (w tym \(1\) punkt za zapisanie warunku prostopadłości prostych). **18.2. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\): \(C=(3,\,0)\). **18.3. (1 pkt)** – zapisanie współrzędnych środka okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\): \(S=(3,\,5)\) i długości promienia tego okręgu: \(r=5\). **18.4. (2 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych środka obrazu okręgu: \(S'=(-3,\,-10)\) (w tym \(1\) punkt za metodę). **18.5. (1 pkt)** – zapisanie długości promienia obrazu okręgu: \(r'=10\). **18.6. (1 pkt)** – zapisanie równania obrazu okręgu: \((x+3)^{2}+(y+10)^{2}=100\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(o_2\colon (x-2)^2+(y+3)^2=25\). b) \(P=21\pi\).

**Krok \(1\).** Okrąg \(o_1\) dany jest w postaci ogólnej, więc najpierw sprowadzamy jego równanie do postaci kanonicznej \((x-p)^2+(y-q)^2=r^2\) przez uzupełnianie do kwadratów — tylko z niej odczytamy środek i promień. Słowo współśrodkowy oznacza, że \(o_2\) ma ten sam środek, a skoro przechodzi przez znany punkt, to jego promień jest po prostu odległością tego punktu od środka. **Krok \(2\).** Uzupełniamy do kwadratów w równaniu okręgu \(o_1\): \[x^2-4x=(x-2)^2-4,\qquad y^2+6y=(y+3)^2-9.\] Podstawiamy: \[(x-2)^2-4+(y+3)^2-9+9=0,\] \[(x-2)^2+(y+3)^2=4.\] **Krok \(3\).** Odczytujemy: środek \(S=(2,-3)\), a promień \(r=\sqrt{4}=2\). **Krok \(4\).** Podpunkt a). Okrąg \(o_2\) ma ten sam środek \(S\), a jego promień \(R\) to odległość \(|AS|\), gdzie \(A=(6,0)\): \[R=|AS|=\sqrt{(6-2)^2+\left(0-(-3)\right)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.\] **Krok \(5\).** Zapisujemy równanie okręgu \(o_2\): \[(x-2)^2+(y+3)^2=25.\] **Krok \(6\).** Podpunkt b). Pierścień kołowy to obszar między dwoma okręgami współśrodkowymi, więc jego pole to różnica pól kół: \[P=\pi R^2-\pi r^2=\pi\left(R^2-r^2\right).\] **Krok \(7\).** Podstawiamy \(R^2=25\) i \(r^2=4\): \[P=\pi(25-4)=21\pi.\] **Uwaga.** Częsty błąd to pomylenie \(r^2\) z \(r\): z równania \((x-2)^2+(y+3)^2=4\) odczytujemy \(r^2=4\), czyli \(r=2\), a nie \(r=4\). Zwróć też uwagę na znaki we współrzędnych środka: z zapisu \((y+3)^2\) wynika \(q=-3\), bo \(y+3=y-(-3)\). W polu pierścienia wygodnie jest w ogóle nie pierwiastkować — potrzebne są przecież kwadraty promieni. **Odpowiedź.** a) \(o_2\colon (x-2)^2+(y+3)^2=25\). b) \(P=21\pi\).

**1. (1 pkt)** – Obliczenie długości promienia okręgu \(o_{2}\) (np. jako \(|AS|\)): \(R=5\) **2. (1 pkt)** – Zapisanie równania okręgu \(o_{2}\): \((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=25\) **3. (2 pkt)** – Obliczenie pola pierścienia (1 punkt przyznajemy za metodę, a jeden za obliczenia): \(P=21\pi\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Środek \(S=\left(-\frac a2,-\frac b2\right)\), promień \(r=\frac{|a-b|}{2}\); teza wynika z przekształcenia równania do postaci \(\left(x+\frac a2\right)^2+\left(y+\frac b2\right)^2=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\), której prawa strona jest dodatnia dla \(a\neq b\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Równanie ma postać \(x^2+y^2+Ax+By+C=0\). Takie równanie przedstawia okrąg dokładnie wtedy, gdy da się je zapisać w postaci kanonicznej \((x-p)^2+(y-q)^2=r^2\), w której prawa strona jest liczbą dodatnią. Metoda jest jedna: uzupełniamy wyrażenia z \(x\) i z \(y\) do pełnych kwadratów. **Krok \(2\).** Uzupełniamy do kwadratu wyrażenie z \(x\). Skoro \(\left(x+\frac{a}{2}\right)^2=x^2+ax+\frac{a^2}{4}\), to \[x^2+ax=\left(x+\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}.\] Analogicznie dla \(y\): \[y^2+by=\left(y+\frac{b}{2}\right)^2-\frac{b^2}{4}.\] **Krok \(3\).** Wstawiamy to do danego równania: \[\left(x+\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}+\left(y+\frac{b}{2}\right)^2-\frac{b^2}{4}+\frac{ab}{2}=0,\] a po przeniesieniu liczb na prawą stronę: \[\left(x+\frac{a}{2}\right)^2+\left(y+\frac{b}{2}\right)^2=\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-\frac{ab}{2}.\] **Krok \(4\).** Upraszczamy prawą stronę, sprowadzając ją do wspólnego mianownika \(4\) i rozpoznając wzór skróconego mnożenia: \[\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-\frac{ab}{2}=\frac{a^2-2ab+b^2}{4}=\frac{(a-b)^2}{4}=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2.\] Równanie ma więc postać \[\left(x+\frac{a}{2}\right)^2+\left(y+\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2.\] **Krok \(5\).** Teraz korzystamy z założenia. Skoro \(a\neq b\), to \(a-b\neq0\), a zatem \((a-b)^2\gt0\) i prawa strona jest liczbą dodatnią. Otrzymana postać kanoniczna przedstawia więc okrąg — to kończy dowód. **Krok \(6\).** Odczytujemy z postaci kanonicznej środek. Zapisując lewą stronę jako \(\left(x-\left(-\frac{a}{2}\right)\right)^2+\left(y-\left(-\frac{b}{2}\right)\right)^2\), widzimy, że \[S=\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right).\] **Krok \(7\).** Wyznaczamy promień. Z \(r^2=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\) otrzymujemy \[r=\sqrt{\left(\frac{a-b}{2}\right)^2}=\left|\frac{a-b}{2}\right|=\frac{|a-b|}{2}.\] **Uwaga.** Dwa szczegóły decydują tu o kompletności rozwiązania. Po pierwsze, założenie \(a\neq b\) nie jest ozdobnikiem — gdyby \(a=b\), prawa strona byłaby zerem i równanie opisywałoby jeden punkt, a nie okrąg. Po drugie, w promieniu konieczna jest wartość bezwzględna: promień jest dodatni, a różnica \(a-b\) może być ujemna, więc zapis \(r=\frac{a-b}{2}\) bez modułu jest błędny. **Odpowiedź.** Środek \(S=\left(-\frac a2,-\frac b2\right)\), promień \(r=\frac{|a-b|}{2}\); teza wynika z przekształcenia równania do postaci \(\left(x+\frac a2\right)^2+\left(y+\frac b2\right)^2=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\), której prawa strona jest dodatnia dla \(a\neq b\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **14.1. (1 pkt)** – przekształcenie podanego równania: \(\left(x+\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}\). **14.2. (1 pkt)** – uzasadnienie, że otrzymane równanie jest równaniem okręgu: Ponieważ \(a\ne b\), to \(\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}>0\). Otrzymane równanie przedstawia okrąg. **14.3. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych środka i długości promienia okręgu: \(S=\left(-\frac{a}{2};-\frac{b}{2}\right)\), \(r=\frac{a-b}{2}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.