Równania i nierówności wymierne — niewiadoma w mianowniku, dziedzina, znak ilorazu

Po pomnożeniu obu stron równania przez \(3x(x-1)\) otrzymujemy \(3x(3x+4)=(x-1)(x+3)\), czyli \(8x^{2}+10x+3=0\). Pierwiastkami są \(x=-\frac{3}{4}\) oraz \(x=-\frac{1}{2}\). Do przedziału \((-\infty,-\frac{2}{3})\) należy tylko \(x=-\frac{3}{4}\).

**Krok \(1\).** pkt: poprawne sprowadzenie równania do równania kwadratowego, np. (\(3x\) + \(4\))·\(3x\) = (x − \(1\))(x + \(3\)). **Krok \(2\).** pkt: wyznaczenie obu rozwiązań równania: −\(\frac{3}{4}\) i −\(\frac{1}{2}\). **Krok \(3\).** pkt: wskazanie rozwiązania należącego do zadanego przedziału: x = −\(\frac{3}{4}\). **Odpowiedź.** Po pomnożeniu obu stron równania przez \(3x(x-1)\) otrzymujemy \(3x(3x+4)=(x-1)(x+3)\), czyli \(8x^{2}+10x+3=0\). Pierwiastkami są \(x=-\frac{3}{4}\) oraz \(x=-\frac{1}{2}\). Do przedziału \((-\infty,-\frac{2}{3})\) należy tylko \(x=-\frac{3}{4}\).

1 pkt: poprawne sprowadzenie równania do równania kwadratowego, np. (3x + 4)·3x = (x − 1)(x + 3). 2 pkt: wyznaczenie obu rozwiązań równania: −3/4 i −1/2. 3 pkt: wskazanie rozwiązania należącego do zadanego przedziału: x = −3/4.

III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. III.1), III.4) i I.6) Zdający przekształca równania równoważnie, rozwiązuje równania kwadratowe i posługuje się przedziałem liczbowym.

Po pomnożeniu obu stron równania przez \(3x(x-1)\) otrzymujemy \(3x(3x+4)=(x-1)(x+3)\), czyli \(8x^{2}+10x+3=0\). Pierwiastkami są \(x=-\frac{3}{4}\) oraz \(x=-\frac{1}{2}\); oba spełniają warunki \(x\neq0\) i \(x\neq1\).

**Krok \(1\).** pkt: poprawne sprowadzenie równania do równania kwadratowego, np. (\(3x\) + \(4\))·\(3x\) = (x − \(1\))(x + \(3\)). **Krok \(2\).** pkt: poprawna metoda i oba rozwiązania: −\(\frac{3}{4}\) i −\(\frac{1}{2}\). **Odpowiedź.** Po pomnożeniu obu stron równania przez \(3x(x-1)\) otrzymujemy \(3x(3x+4)=(x-1)(x+3)\), czyli \(8x^{2}+10x+3=0\). Pierwiastkami są \(x=-\frac{3}{4}\) oraz \(x=-\frac{1}{2}\); oba spełniają warunki \(x\neq0\) i \(x\neq1\).

1 pkt: poprawne sprowadzenie równania do równania kwadratowego, np. (3x + 4)·3x = (x − 1)(x + 3). 2 pkt: poprawna metoda i oba rozwiązania: −3/4 i −1/2.

Uwaga: Jeżeli zdający popełnia błąd przy przekształceniu równania \(\frac{3x+4}{x-1}=\frac{x+3}{3x}\) do postaci równania kwadratowego, lecz dalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego równania kwadratowego i konsekwentnie oblicza pierwiastki tego równania, to może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.

**B.** \(42\)

**Krok \(1\).** Zanim zaczniemy szacować, upraszczamy wyrażenie pod wartością bezwzględną: różnicę dwóch ułamków sprowadzamy do wspólnego mianownika. Po redukcji licznik okaże się stałą, dzięki czemu nierówność stanie się bardzo prosta. **Krok \(2\).** Wspólny mianownik to \(3(3n+2)\): \[\frac{2n-5}{3n+2}-\frac23=\frac{3(2n-5)-2(3n+2)}{3(3n+2)}=\frac{6n-15-6n-4}{3(3n+2)}=\frac{-19}{3(3n+2)}.\] **Krok \(3\).** Dla \(n\) naturalnego mianownik \(3(3n+2)=9n+6\) jest dodatni, więc wartość bezwzględna zdejmuje tylko minus z licznika: \[\left\lvert\frac{-19}{9n+6}\right\rvert=\frac{19}{9n+6}.\] **Krok \(4\).** Nierówność przyjmuje postać \[\frac{19}{9n+6}\lt\frac1{20}.\] Obie strony są dodatnie, więc możemy pomnożyć na krzyż bez zmiany zwrotu: \[19\cdot20\lt 9n+6,\qquad 380\lt 9n+6.\] **Krok \(5\).** Stąd \(9n\gt374\), czyli \[n\gt\frac{374}{9}=41\tfrac59\approx41{,}56.\] **Krok \(6\).** Najmniejszą liczbą naturalną większą od \(41{,}56\) jest \(42\). **Krok \(7\).** Sprawdzenie: dla \(n=41\) mamy \(9\cdot41+6=375\lt380\), więc nierówność nie zachodzi; dla \(n=42\) mamy \(9\cdot42+6=384\gt380\), więc zachodzi. **Uwaga.** Pytanie dotyczy najmniejszego \(n\), więc nie wystarczy wskazać jakiekolwiek \(n\) spełniające nierówność — odpowiedzi \(82\) i \(84\) też ją spełniają, ale nie są najmniejsze. **Odpowiedź.** **B.** \(42\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. 1

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.8R) Zdający rozwiązuje proste nierówności wymierne […].

**D.** \(x=12\)

**Krok \(1\).** To równanie wymierne: niewiadoma stoi w mianowniku. Zaczynamy więc od dziedziny, a potem korzystamy z tego, że równość dwóch ułamków pozwala mnożyć na krzyż. **Krok \(2\).** Dziedzina: mianownik nie może być zerem, więc \[3x-1\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq\frac13.\] Od razu widać, że wariant \(x=\frac13\) jest niemożliwy. **Krok \(3\).** Mnożymy na krzyż: \[5(x+2)=2(3x-1).\] **Krok \(4\).** Wykonujemy mnożenia: \[5x+10=6x-2.\] **Krok \(5\).** Przenosimy niewiadome na jedną stronę, liczby na drugą: \[10+2=6x-5x\quad\Longrightarrow\quad x=12.\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy, że wynik należy do dziedziny (\(12\neq\frac13\)) i spełnia równanie: \[\frac{12+2}{3\cdot12-1}=\frac{14}{35}=\frac{2}{5}.\] **Uwaga.** W równaniu wymiernym sprawdzenie dziedziny nie jest formalnością - gdyby otrzymany wynik wypadł równy \(\frac13\), trzeba by go odrzucić i stwierdzić, że równanie nie ma rozwiązań. **Odpowiedź.** D, czyli \(x=12\).

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.1) Zdający przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie \(\frac{5}{x+1}=\frac{x+3}{2x-1}\).

Dziedzina: \(x\neq-\frac12\) oraz \(x\neq-2\). Rozwiązania: \(x=-1\) lub \(x=\frac52\).

Mianowniki muszą być różne od zera, zatem \[x\neq-\frac12,\qquad x\neq-2.\] Mnożymy równanie stronami przez \((2x+1)(x+2)\): \[2(x+2)=(2x+1)(x-1).\] Po uporządkowaniu otrzymujemy \[2x^2-3x-5=0.\] Wyróżnik wynosi \(\Delta=49\), więc \[x_1=\frac{3-7}{4}=-1,\qquad x_2=\frac{3+7}{4}=\frac52.\] Obie liczby należą do dziedziny.

**Część I: 1 pkt** – dziedzina \(x\neq-\frac12\), \(x\neq-2\) **Część II: 2 pkt** – poprawna metoda i oba rozwiązania: \(-1\), \(\frac52\) **Część II: 1 pkt** – otrzymanie równania \(2(x+2)=(2x+1)(x-1)\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania w danej części

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** III.1) Zdający przekształca równania w sposób równoważny. III.4) Rozwiązuje równania kwadratowe.

Po uwzględnieniu założeń mnożymy równanie przez \((3x-7)(x-8)\): \[3(x-8)=5x(3x-7)\iff15x^2-38x+24=0.\] Pierwiastki to \(\frac65\) i \(\frac43\). Do przedziału \((\frac54,+\infty)\) należy tylko \(x=\frac43\).

**Krok \(1\).** pkt: sprowadzenie do równania kwadratowego, np. \(3\)(x − \(8\)) = \(5x\)(\(3x\) − \(7\)). **Krok \(2\).** pkt: obliczenie obu rozwiązań \(\frac{6}{5}\) i \(\frac{4}{3}\). **Krok \(3\).** pkt: wskazanie x = \(\frac{4}{3}\) jako jedynego rozwiązania w zadanym przedziale. **Odpowiedź.** Po uwzględnieniu założeń mnożymy równanie przez \((3x-7)(x-8)\): \[3(x-8)=5x(3x-7)\iff15x^2-38x+24=0.\] Pierwiastki to \(\frac65\) i \(\frac43\). Do przedziału \((\frac54,+\infty)\) należy tylko \(x=\frac43\).

1 pkt: sprowadzenie do równania kwadratowego, np. 3(x − 8) = 5x(3x − 7). 2 pkt: obliczenie obu rozwiązań 6/5 i 4/3. 3 pkt: wskazanie x = 4/3 jako jedynego rozwiązania w zadanym przedziale.

Uwaga: Jeżeli zdający popełnia błąd przy przekształceniu równania \(\frac{3}{3x-7}=\frac{5x}{x-8}\) do postaci równania kwadratowego, lecz dalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego równania kwadratowego i konsekwentnie oblicza pierwiastki tego równania, to może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.

Dla \(x\neq\frac73\) i \(x\neq8\) mnożymy równanie stronami przez \((3x-7)(x-8)\): \[3(x-8)=5x(3x-7),\] \[15x^2-38x+24=0.\] Ponieważ \(\Delta=4\), otrzymujemy \(x_1=\frac65\) oraz \(x_2=\frac43\). Oba rozwiązania spełniają założenia.

**Krok \(1\).** pkt: przekształcenie równania do równania kwadratowego, np. \(3\)(x − \(8\)) = \(5x\)(\(3x\) − \(7\)). **Krok \(2\).** pkt: poprawna metoda i oba rozwiązania: x = \(\frac{6}{5}\) oraz x = \(\frac{4}{3}\). **Odpowiedź.** Dla \(x\neq\frac73\) i \(x\neq8\) mnożymy równanie stronami przez \((3x-7)(x-8)\): \[3(x-8)=5x(3x-7),\] \[15x^2-38x+24=0.\] Ponieważ \(\Delta=4\), otrzymujemy \(x_1=\frac65\) oraz \(x_2=\frac43\). Oba rozwiązania spełniają założenia.

1 pkt: przekształcenie równania do równania kwadratowego, np. 3(x − 8) = 5x(3x − 7). 2 pkt: poprawna metoda i oba rozwiązania: x = 6/5 oraz x = 4/3.

Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: 3.8) Rozwiązuje proste równania wymierne prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych.

**B.** \(-4\)

Dziedzinę wyrażenia określa warunek \(x\neq2\). Iloczyn jest równy zero, gdy \[3x=0\quad\text{lub}\quad2x+8=0.\] Stąd \(x=0\) lub \(x=-4\). Spośród podanych odpowiedzi występuje liczba \(-4\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.7) Zdający rozwiązuje proste równania wymierne prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych.

\[x=-6.\]

Najpierw zapisujemy konieczne założenie: \[x-1\neq0\quad\text{oraz}\quad2x-2\neq0,\] czyli \[x\neq1.\] Ponieważ \(2x-2=2(x-1)\), mnożymy obie strony równania przez \(2(x-1)\): \[2(x+3)=x.\] Rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe: \[2x+6=x,\qquad x=-6.\] Liczba \(-6\) spełnia założenie, więc jest rozwiązaniem danego równania.

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody, zapisanie założenia \(x \neq1\) oraz poprawny wynik \(x=-6\) **2 pkt** – przekształcenie równania do równania liniowego \(2(x+3)=x\) i rozwiązanie go; albo wykonanie tego przekształcenia i zapisanie założenia \(x \neq1\); albo poprawne rozwiązanie równania kwadratowego otrzymanego po mnożeniu stronami i zapisanie założenia **1 pkt** – przekształcenie równania do postaci \(2(x+3)=x\); albo do równoważnego równania kwadratowego; albo zapisanie założenia \(x \neq1\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.1) Zdający przekształca równania i nierówności w sposób równoważny. III.4) Zdający rozwiązuje równania kwadratowe. SP VI.3) Zdający rozwiązuje równania, które po prostych przekształceniach wyrażeń algebraicznych sprowadzają się do równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

**B.** Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=-1\).

Wyrażenie wymierne jest równe zero, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera. Mamy \[x+1=0,\] więc \(x=-1\). Dla tej wartości \[(x+2)(x-3)=1\cdot(-4)\neq0.\] Liczby \(-2\) i \(3\) są wykluczone z dziedziny, nie są rozwiązaniami.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.6) Zdający rozwiązuje równania wymierne postaci \(\frac{V(x)}{W(x)}=0\), gdy wielomiany \(V(x)\) i \(W(x)\) są zapisane w postaci iloczynowej.

**D.** \(17\)

Dziedzina równania wymaga \(x\neq3\). Mnożymy równanie stronami: \[7(x-1)=4(2x-6),\] \[7x-7=8x-24,\] \[x=17.\] Liczba \(17\) należy do dziedziny.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.7) Zdający rozwiązuje proste równania wymierne prowadzące do równań liniowych.

C. −\(5\), \(0\), \(2\)

Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest równy zeru, a mianownik od zera różny. Dziedzinę wyznacza warunek \(2x+4\neq0\), czyli \(x\neq-2\). Licznik zeruje się dla \[x=0\quad\text{lub}\quad x+5=0\quad\text{lub}\quad 2-x=0,\] czyli dla \(x=0\), \(x=-5\), \(x=2\). Żadna z tych liczb nie jest równa \(-2\), więc wszystkie należą do dziedziny. **Odpowiedź.** Trzy rozwiązania: \(-5\), \(0\), \(2\), czyli odpowiedź **C**.

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.6) Zdający rozwiązuje równania wymierne postaci \(\frac{V(x)}{W(x)}=0\), gdzie wielomiany \(V(x)\) i \(W(x)\) są zapisane w postaci iloczynowej.

**A.** dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=2\)

Dziedzinę ograniczają zera mianownika: \[x\neq0,\qquad x\neq1{,}5,\qquad x\neq-6.\] Licznik jest równy zeru dla \(x=1{,}5\) lub \(x=2\). Wartość \(x=1{,}5\) nie należy do dziedziny, natomiast \(x=2\) należy. Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.6 rozwiązywanie równań wymiernych \(\frac{V(x)}{W(x)}=0\), gdy wielomiany są zapisane w postaci iloczynowej.

**B.** dwa rozwiązania

Dziedzina równania wyklucza \(x=-2\) i \(x=2\). Licznik jest równy zeru, gdy \[(x^2-3x)(x+2)=x(x-3)(x+2)=0,\] czyli dla \(x=0\), \(x=3\) lub \(x=-2\). Ostatnia wartość nie należy do dziedziny. Równanie ma więc dokładnie dwa rozwiązania: \(0\) i \(3\).

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** III.6 zdający rozwiązuje równania wymierne postaci \(\frac{V(x)}{W(x)}=0\), gdzie wielomiany są zapisane w postaci iloczynowej.

\[x=-\frac14.\]

Dziedzina równania spełnia \((2x-10)(x+3)\ne0\), więc \(x\ne5\) i \(x\ne-3\). Licznik jest równy zero dla \(x=-\frac14\) lub \(x=5\). Drugą wartość wyklucza dziedzina, zatem jedynym rozwiązaniem jest \(x=-\frac14\).

**2 pkt** – poprawna metoda rozwiązania, uwzględnienie dziedziny i wynik \(x=-\frac14\) **1 pkt** – rozwiązanie równania licznika albo poprawne wyznaczenie dziedziny \(x\ne5\), \(x\ne-3\) **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.7 rozwiązywanie równań wymiernych zapisanych w postaci iloczynowej.

**A.** Równanie nie ma rozwiązania.

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru i mianownik jest różny od zera. Licznik zeruje się dla \(x=-1\) lub \(x=1\), lecz obie liczby są wykluczone z dziedziny przez mianownik \((x-1)(x+1)^2\). Równanie nie ma więc rozwiązań.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.6 zdający rozwiązuje równania wymierne postaci \(\frac{V(x)}{W(x)}=0\), gdy wielomiany są zapisane w postaci iloczynowej.

**B.** dwa rozwiązania

Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest równy zeru, a mianownik jest różny od zera. Z równania \[(x^2-3x)(x^2+1)=x(x-3)(x^2+1)=0\] otrzymujemy rzeczywiste rozwiązania \(x=0\) i \(x=3\); równanie \(x^2+1=0\) nie ma rozwiązań rzeczywistych. Obie wartości spełniają warunek \(x\neq-5\) i \(x\neq5\). Równanie ma więc dokładnie dwa rozwiązania.

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności - równanie wymierne i dziedzina wyrażenia.

\(x\in\left\{\frac14,2\right\}\)

Równanie ma sens dla \(x\neq0\) i \(x\neq\frac23\). Mnożymy obie strony przez \(2x(3x-2)\): \[(2x-3)\cdot2x=3x-2.\] Stąd \[4x^2-9x+2=0.\] Wyróżnik jest równy \(\Delta=49\), więc \[x_1=\frac{9-7}{8}=\frac14,\qquad x_2=\frac{9+7}{8}=2.\] Obie wartości należą do dziedziny równania.

**2 pkt** – poprawna metoda rozwiązania równania wymiernego i wyniki \(x=\frac14\) oraz \(x=2\) **1 pkt** – poprawne przekształcenie do równania kwadratowego, np. \((2x-3)\cdot2x=3x-2\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania. Brak zapisu zastrzeżeń \(x\neq0\), \(x\neq\frac23\) nie odbiera punktów przy poprawnym rozwiązaniu

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności - rozwiązywanie równania wymiernego prowadzącego do równania kwadratowego.

\[x\in\left(-\infty,-\frac32\right)\cup\left(-\frac12,+\infty\right).\]

Dziedzina wyklucza \(x=-\frac12\) i \(x=-\frac32\). Przenosimy prawą stronę na lewą: \[\frac{3x+1}{2x+1}-\frac{3x+4}{2x+3}=\frac{(3x+1)(2x+3)-(3x+4)(2x+1)}{(2x+1)(2x+3)}\] \[=\frac{-1}{(2x+1)(2x+3)}.\] Nierówność jest więc równoważna warunkowi \[(2x+1)(2x+3)>0.\] Iloczyn jest dodatni poza przedziałem między jego miejscami zerowymi, zatem \[x\in\left(-\infty,-\frac32\right)\cup\left(-\frac12,+\infty\right).\]

**3 pkt** – poprawna metoda i pełny zbiór rozwiązań **2 pkt** – sprowadzenie do nierówności \((2x+1)(2x+3)>0\) z poprawnie określoną dziedziną **1 pkt** – poprawne sprowadzenie różnicy ułamków do wspólnego mianownika albo równoważny poprawny pierwszy krok **0 pkt** – brak poprawnego postępu **Uwaga:** pominięcie wykluczeń z dziedziny ogranicza wynik do najwyżej \(2\) pkt.

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R3.7 rozwiązywanie nierówności wymiernych.

\[x\in[-3,-2)\cup\left(2,\frac52\right].\]

Dziedzinę określają warunki \(x\neq-2\) i \(x\neq2\). Przekształcamy nierówność do wspólnego mianownika: \[\frac{x-1}{(x-2)(x+2)}+\frac1{x-2}\geq\frac3{x+2}+2,\] \[\frac{-2x^2-x+15}{(x-2)(x+2)}\geq0.\] Rozkładamy licznik na czynniki: \[\frac{-2\left(x-\frac52\right)(x+3)}{(x-2)(x+2)}\geq0.\] Punkty krytyczne to \(-3,-2,2,\frac52\). Analiza znaków, z uwzględnieniem wyłączeń z dziedziny, daje \[x\in[-3,-2)\cup\left(2,\frac52\right].\]

**5 pkt** – poprawna metoda i wynik \([-3,-2)\cup(2,\frac52]\) **4 pkt** – dziedzina oraz poprawna postać iloczynowa ułamka albo rozwiązanie odpowiadającej nierówności wielomianowej **3 pkt** – dziedzina i postać \(\frac{-2x^2-x+15}{(x-2)(x+2)}\geq0\) albo poprawna postać iloczynowa **2 pkt** – dziedzina i poprawne sprowadzenie do wspólnego mianownika **1 pkt** – wyznaczenie dziedziny \(\mathbb R\setminus\{-2,2\}\) albo poprawne pierwsze przekształcenie ułamków **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji oraz operowanie obiektami matematycznymi. **Wymagania szczegółowe:** III.R2 rozwiązywanie równań i nierówności wymiernych.

**A.** Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Licznik jest równy zeru dla \(x=4\) albo \(x=\frac32\). Mianownik zeruje się dla \(x=\frac53\) albo \(x=\frac32\), więc \(x=\frac32\) nie należy do dziedziny. Jedynym rozwiązaniem równania jest zatem \[x=4.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.6 rozwiązywanie równań wymiernych postaci \(\frac{V(x)}{W(x)}=0\), gdy wielomiany \(V(x)\) i \(W(x)\) są zapisane w postaci iloczynowej.

\[x=-3\quad\text{lub}\quad x=2.\]

Dziedzinę określa warunek \(x\neq-2\). Mnożymy równanie przez \(x+2\): \[4=(x-1)(x+2)=x^2+x-2.\] Otrzymujemy \[x^2+x-6=0,\qquad (x+3)(x-2)=0.\] Stąd \(x=-3\) lub \(x=2\). Oba rozwiązania należą do dziedziny.

**2 pkt** – poprawne wyznaczenie rozwiązań \(x=-3\) i \(x=2\) z uwzględnieniem dziedziny **1 pkt** – poprawne przekształcenie równania wymiernego do równania kwadratowego **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.1 i III.4 rozwiązywanie równań wymiernych prowadzących do równań kwadratowych.

**B.** Równanie ma dwa rozwiązania: \(x=-3\) oraz \(x=0\).

Dziedziną równania jest \[D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}.\] Licznik jest równy zeru, gdy \[x(x+1)(x+3)(x-1)=0,\] czyli dla \(x\in\{0,-1,-3,1\}\). Po odrzuceniu wartości wyłączonych z dziedziny pozostają \[x=-3\quad\text{lub}\quad x=0.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.6 rozwiązywanie równań wymiernych postaci \(\frac{V(x)}{W(x)}=0\), gdy wielomiany \(V(x)\) i \(W(x)\) są zapisane w postaci iloczynowej.

A. Jedno rozwiązanie

**Krok \(1\).** Mamy ułamek algebraiczny równy zeru. Podstawowa zasada: ułamek jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera. Dlatego zaczynamy od dziedziny. **Krok \(2\).** Dziedzina: mianownik nie może się zerować, \[x^{2}-49\neq 0\ \Longleftrightarrow\ (x-7)(x+7)\neq 0\ \Longleftrightarrow\ x\neq 7\ \text{ i }\ x\neq-7.\] **Krok \(3\).** Przyrównujemy licznik do zera i rozkładamy go na czynniki: \[x^{2}-7x=0\ \Longleftrightarrow\ x(x-7)=0.\] **Krok \(4\).** Stąd \(x=0\) lub \(x=7\). **Krok \(5\).** Konfrontujemy z dziedziną: liczba \(7\) jest wykluczona, bo dla niej zeruje się także mianownik, a dzielenie przez zero nie ma sensu. Zostaje jedynie \(x=0\). **Krok \(6\).** Sprawdzamy: \(\frac{0^{2}-7\cdot 0}{0^{2}-49}=\frac{0}{-49}=0\) — równanie jest spełnione, więc rozwiązanie jest dokładnie jedno. **Uwaga.** Kusi skrócenie ułamka: \(\frac{x(x-7)}{(x-7)(x+7)}=\frac{x}{x+7}\). Skracać wolno, ale warunek \(x\neq 7\) obowiązuje nadal — pochodzi z pierwotnego mianownika. Kto skróci i zapomni o dziedzinie, otrzyma dwa rozwiązania i straci punkt. **Odpowiedź.** A. Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Zadanie 8. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

\[x\in\left(-\infty,-\frac14\right]\cup\left(0,\frac23\right]\cup(1,+\infty).\]

Dziedzina wyrażenia wymaga \(x\neq0\) i \(x\neq1\). Przenosimy wszystko na lewą stronę: \[\frac{2x-1}{1-x}-\frac{2+2x}{5x}\leq0,\] \[\frac{5x(2x-1)-(2+2x)(1-x)}{5x(1-x)}\leq0,\] \[\frac{12x^2-5x-2}{5x(1-x)}\leq0.\] Licznik rozkłada się na czynniki: \[12x^2-5x-2=12\left(x-\frac23\right)\left(x+\frac14\right).\] Punkty krytyczne to \(-\frac14\), \(0\), \(\frac23\), \(1\). Analiza znaków daje \[x\in\left(-\infty,-\frac14\right]\cup\left(0,\frac23\right]\cup(1,+\infty).\]

**3 pkt** – poprawna metoda i pełny zbiór rozwiązań **2 pkt** – doprowadzenie nierówności do postaci iloczynowej i poprawne wyznaczenie punktów krytycznych albo poprawne rozwiązanie odpowiednich przypadków **1 pkt** – sprowadzenie do nierówności \(\frac{12x^2-5x-2}{5x(1-x)}\leq0\) lub równoważnego zapisu **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo nieuprawnione mnożenie przez mianowniki bez analizy ich znaku

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R3.7 rozwiązywanie nierówności wymiernych z uwzględnieniem dziedziny i znaków czynników.

\[x\in\left\{\frac53,2\right\}.\]

Równanie ma sens dla \[x\neq\frac23.\] Mnożymy obie strony przez \(3x-2\): \[3x+2=(3x-2)(4-x).\] Po rozwinięciu i uporządkowaniu otrzymujemy \[3x^2-11x+10=0.\] Wyróżnik tego trójmianu jest równy \[\Delta=(-11)^2-4\cdot3\cdot10=1.\] Stąd \[x_1=\frac{11-1}{6}=\frac53,\qquad x_2=\frac{11+1}{6}=2.\] Obie liczby należą do dziedziny, więc są rozwiązaniami równania.

**2 pkt** – poprawne przekształcenie równania wymiernego i otrzymanie obu rozwiązań: \(x=\frac53\) oraz \(x=2\) **1 pkt** – poprawne sprowadzenie równania do postaci \(3x+2=(3x-2)(4-x)\) lub równoważnego równania kwadratowego **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania. Brak zapisu \(x \neq\frac23\) nie obniża punktacji, jeśli dalsze rozwiązanie jest poprawne

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.7 rozwiązywanie prostych równań wymiernych prowadzących do równań liniowych lub kwadratowych.

\[x=-\frac13\quad\text{lub}\quad x=1.\]

Dziedzinę równania określa warunek \(x\neq\frac23\). Mnożymy obie strony przez \(3x-2\): \[6x-1=(3x-2)(3x+2)=9x^2-4.\] Po uporządkowaniu otrzymujemy \[9x^2-6x-3=0,\qquad 3x^2-2x-1=0.\] Rozkładamy lewą stronę na czynniki: \[(3x+1)(x-1)=0.\] Stąd \(x=-\frac13\) lub \(x=1\). Oba rozwiązania należą do dziedziny.

**2 pkt** – wyznaczenie obu rozwiązań: \(x=-\frac13\) i \(x=1\) **1 pkt** – poprawne sprowadzenie równania do postaci \(3x^2-2x-1=0\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.7 rozwiązywanie równań wymiernych prowadzących do równań liniowych lub kwadratowych.

\[x\in\left\{-\frac12,8\right\}.\]

Równanie ma sens dla \(x\neq7\). Mnożymy obie strony przez \(x-7\): \[x+8=2x(x-7).\] Po uporządkowaniu otrzymujemy \[2x^2-15x-8=0.\] Wyróżnik jest równy \[\Delta=(-15)^2-4\cdot2\cdot(-8)=289=17^2.\] Stąd \[x_1=\frac{15-17}{4}=-\frac12,\qquad x_2=\frac{15+17}{4}=8.\] Oba pierwiastki należą do dziedziny, więc są rozwiązaniami równania.

**2 pkt** – poprawne przekształcenie równania i otrzymanie obu rozwiązań: \(x=-\frac12\) oraz \(x=8\) **1 pkt** – poprawne sprowadzenie równania do postaci \(x+8=2x(x-7)\) lub równoważnego równania kwadratowego **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania. Brak zastrzeżenia \(x\neq7\) nie obniża punktacji, jeśli dalsze rozwiązanie jest poprawne

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.7 rozwiązywanie prostych równań wymiernych prowadzących do równań kwadratowych.

**C.** \(a=1\)

Sprawdzamy wartości podane w odpowiedziach lub rozwiązujemy równanie przy założeniu \(a\neq-\frac12\): \[(a+2)(2a+1)=9a,\] \[2a^2+5a+2=9a,\] \[2a^2-4a+2=0,\qquad 2(a-1)^2=0.\] Stąd \(a=1\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.1 sprawdzanie, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania.

B. Ma dokładnie jedno rozwiązanie

**Krok \(1\).** Niewiadoma stoi w mianowniku, więc to równanie wymierne: najpierw dziedzina, potem mnożenie przez mianownik. Dodatkowo pytanie dotyczy rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych, więc na końcu trzeba odsiać te, które całkowite nie są. **Krok \(2\).** Dziedzina: mianownik nie może być zerem, czyli \(x\neq 0\). **Krok \(3\).** Mnożymy obie strony przez \(x\): \[1-x=2x^{2}.\] **Krok \(4\).** Porządkujemy do postaci ogólnej trójmianu: \[2x^{2}+x-1=0.\] **Krok \(5\).** Liczymy wyróżnik dla \(a=2\), \(b=1\), \(c=-1\): \[\Delta=1^{2}-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9,\qquad \sqrt{\Delta}=3,\] a stąd \[x_{1}=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad x_{2}=\frac{-1+3}{4}=\frac12.\] **Krok \(6\).** Oba wyniki należą do dziedziny (żaden nie jest zerem), ale liczbą całkowitą jest tylko \(x=-1\). Liczba \(\frac12\) spełnia równanie, lecz nie należy do zbioru, o który pyta zadanie. **Krok \(7\).** Sprawdzamy \(x=-1\) w wyjściowym równaniu: \[\frac{1-(-1)}{-1}=\frac{2}{-1}=-2,\qquad 2\cdot(-1)=-2,\] obie strony są równe. **Uwaga.** W zbiorze liczb rzeczywistych rozwiązania byłyby dwa. Cała trudność polega na tym, że pytamy o liczby całkowite — dlatego \(\frac12\) odrzucamy i zostaje dokładnie jedno rozwiązanie. **Odpowiedź.** B. Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Właściwego klucza do tego zadania brak w materiale źródłowym.

Zadanie 6. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

**C.** \(3\)

Ułamek algebraiczny jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru, a mianownik jest różny od zera. Rozkładamy licznik: \[x^2-3x=x(x-3).\] Kandydatami są \(x=0\) i \(x=3\), lecz dla \(x=0\) mianownik \(x^2+x\) jest równy zeru. Jedynym rozwiązaniem jest więc \(x=3\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** wyrażenia algebraiczne - równania wymierne i dziedzina wyrażenia.

**C.** \(1\)

Dziedzina równania wymaga \(x\neq1\). Licznik rozkładamy na czynniki: \[(x^2-2x-3)(x^2-9)=(x-3)^2(x+1)(x+3).\] Równanie spełniają więc liczby \(-3\), \(-1\) i \(3\). Liczba \(1\) nie jest rozwiązaniem.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje odpowiedzi, bez osobnej tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania wymierne, dziedzina wyrażenia i rozkład wielomianu na czynniki.

Jedynym rozwiązaniem jest \[x=-2.\]

Równanie ma sens dla \(x\neq3\). Licznik rozkładamy na czynniki: \[3x^2-8x-3=(3x+1)(x-3).\] Dla \(x\neq3\) możemy skrócić czynnik \(x-3\), więc równanie jest równoważne równaniu \[3x+1=x-3.\] Stąd \(2x=-4\), czyli \(x=-2\). Liczba ta spełnia założenie dziedziny.

**2 pkt** – zapisanie, że jedynym rozwiązaniem równania jest \(x=-2\) **1 pkt** – obliczenie pierwiastków równania kwadratowego powstałego po pomnożeniu przez \(x-3\), tj. \(x=-2\) i \(x=3\), albo poprawne skrócenie wyrażenia po rozkładzie \(3x^2-8x-3=(3x+1)(x-3)\), bez poprawnego zakończenia **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

Klucz CKE nie zawiera przy tym zadaniu osobnej tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania wymierne - dziedzina, rozkład trójmianu na czynniki i odrzucenie wartości niedopuszczalnej.

D. a = \(\frac{20}{11}\)

**Krok \(1\).** Zadanie \(4\). (\(0\)—\(1\)) **Krok \(2\).** \(3\). Równama i nierówności. Zdający sprawdza, **Krok \(3\).** I. Wykorzystanie **Krok \(4\).** czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem **Krok \(5\).** i tworzenie informacji. **Krok \(6\).** równania lub nierówności (\(3\).\(1\)). **Krok \(7\).** Wersja Wersja **Odpowiedź.** D. a = \(\frac{20}{11}\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Wersja: \(\mathrm{D}\) Wersja: \(\mathrm{C}\)

Zadanie 4. (0−1) Wersja Wersja 3. Równania i nierówności. Zdający sprawdza, I. Wykorzystanie I II czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem i tworzenie informacji. równania lub nierówności (3.1). D C

C. ma dwa różne rozwiązania: x = \(1\), x = −\(2\)

Ułamek jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy licznik jest równy zeru, a mianownik jest od zera różny. Dziedziną jest więc zbiór \(x\neq3\). Licznik zeruje się dla \[(x-1)(x+2)=0,\qquad x=1\ \text{lub}\ x=-2,\] i obie te liczby należą do dziedziny. Liczba \(3\) zeruje mianownik, więc nie jest rozwiązaniem. **Odpowiedź.** Równanie ma dwa różne rozwiązania: \(x=1\) i \(x=-2\), czyli odpowiedź **C**.

Zadanie 6. (0−1) 3. Równania i nierówności. Zdający Wersja Wersja I. Wykorzystanie rozwiązuje proste równania wymierne, I II i tworzenie informacji. prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych (3.8). C A

**C.** dwa rozwiązania: \(x = 2, x = -4\).

**Krok \(1\).** To równanie wymierne postaci \[\frac{(x-2)(x+4)}{(x-4)^2}=0.\] Ułamek równa się zero dokładnie wtedy, gdy licznik jest zerem, a mianownik zerem nie jest. Zaczynamy zatem od dziedziny. **Krok \(2\).** Dziedzina: \((x-4)^2\neq0\), czyli \(x-4\neq0\), a więc \[x\neq4.\] Wszystkie pozostałe liczby rzeczywiste są dozwolone. **Krok \(3\).** Przyrównujemy licznik do zera. Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z czynników: \[(x-2)(x+4)=0\iff x=2\ \ \text{lub}\ \ x=-4.\] **Krok \(4\).** Sprawdzamy, czy oba kandydaci należą do dziedziny: \(2\neq4\) oraz \(-4\neq4\) — żaden nie zeruje mianownika, więc oba pozostają. **Krok \(5\).** Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=2\) i \(x=-4\). **Krok \(6\).** Sprawdzenie dla \(x=-4\): licznik \((-4-2)(-4+4)=(-6)\cdot0=0\), mianownik \((-4-4)^2=64\neq0\), więc ułamek wynosi \(0\). Zgadza się. **Uwaga.** Łatwo pomylić liczbę \(-4\) z liczbą \(4\) wykluczoną przez mianownik — dokładnie na tym opiera się odpowiedź D, w której znaki przy \(2\) i \(4\) są podmienione. Zwróćmy też uwagę, że mianownik jest kwadratem, więc z jednego nawiasu wypada tylko jedna zakazana wartość. **Odpowiedź.** C: dwa rozwiązania \(x=2\) oraz \(x=-4\)

Zadanie 6. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

**A.** ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste

**Krok \(1\).** W równaniu niewiadoma stoi w mianowniku ułamka o mianowniku \(2x+1\) — to równanie wymierne. Kolejność postępowania jest tu zawsze taka sama: najpierw dziedzina, potem pozbycie się mianownika, potem rozwiązanie powstałego równania, a na końcu odrzucenie pierwiastków, które wypadły poza dziedzinę. **Krok \(2\).** Wyznaczamy dziedzinę. Mianownik nie może być zerem: \[2x+1\neq 0\ \Longleftrightarrow\ x\neq-\frac12.\] Zapisujemy to od razu, zanim zaczniemy przekształcać równanie. **Krok \(3\).** Mnożymy obie strony przez \(2x+1\) — wolno, bo z dziedziny wiemy, że jest to liczba różna od zera. Składnik \(x\) daje przy tym \[x\cdot(2x+1)=2x^{2}+x,\] więc po uporządkowaniu otrzymujemy równanie kwadratowe postaci \[2x^{2}+x-c=0,\] gdzie \(c\) oznacza liczbę stojącą w liczniku ułamka. **Krok \(4\).** Liczbę rozwiązań równania kwadratowego rozstrzyga wyróżnik: \[\Delta=1^{2}-4\cdot 2\cdot(-c)=1+8c.\] Gdy \(\Delta\gt 0\), trójmian ma dwa różne pierwiastki \[x=\frac{-1-\sqrt{\Delta}}{4}\qquad\text{oraz}\qquad x=\frac{-1+\sqrt{\Delta}}{4}.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy, czy któryś z nich nie wypada z dziedziny. Podstawiając \(x=-\frac12\) do lewej strony, dostajemy \[2\cdot\frac14-\frac12-c=-c,\] więc \(-\frac12\) mogłoby być pierwiastkiem tylko przy \(c=0\), a wtedy w równaniu nie byłoby w ogóle ułamka. Oba pierwiastki należą zatem do dziedziny. **Krok \(6\).** Wniosek: równanie sprowadza się do trójmianu kwadratowego o dodatnim wyróżniku, którego oba pierwiastki są dopuszczalne. Rozwiązań rzeczywistych jest więc dokładnie dwa. **Uwaga.** Dwie rzeczy, na których traci się tu punkt: dziedzina to \(x\neq-\frac12\) (rozwiązujemy \(2x+1=0\), a nie \(2x-1=0\)) oraz obowiązek sprawdzenia na końcu, czy otrzymane pierwiastki nie są liczbą wykluczoną z dziedziny. **Odpowiedź.** A. Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

Zadanie 6. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

D. Równanie ma jedno rozwiązanie: \(x=0\).

**Krok \(1\).** To równanie wymierne — niewiadoma stoi także w mianowniku. Obowiązuje żelazna zasada: ułamek jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera. Zaczynamy więc od dziedziny. **Krok \(2\).** Dziedzina: musi być \(x^2-4\neq0\). Rozkładamy: \[x^2-4=(x-2)(x+2),\] więc \(x\neq2\) oraz \(x\neq-2\). **Krok \(3\).** Przyrównujemy licznik do zera i wyłączamy \(x\) przed nawias: \[x^2+2x=0,\qquad x(x+2)=0,\] skąd \(x=0\) lub \(x=-2\). **Krok \(4\).** Konfrontujemy z dziedziną: liczba \(-2\) jest wykluczona (zeruje mianownik), więc odpada. Zostaje jedno rozwiązanie: \[x=0.\] **Krok \(5\).** Sprawdzenie: dla \(x=0\) mamy \(\frac{0+0}{0-4}=\frac{0}{-4}=0\). Równanie jest spełnione. **Krok \(6\).** Zatem równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie. **Uwaga.** Kusi skrócenie ułamka: \(\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x}{x-2}\). Wolno to zrobić dopiero po wypisaniu dziedziny — samo skrócenie „gubi” informację, że \(x=-2\) jest zabronione, i prowadzi wprost do błędnej odpowiedzi B. **Odpowiedź.** D: równanie ma jedno rozwiązanie \(x=0\)

Zadanie 7. (0−1) 3. Równania i nierówności. Zdający Wersja Wersja I. Wykorzystanie rozwiązuje proste równania wymierne, I II i tworzenie informacji prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych (3.8). D B

C

Zaczynamy od dziedziny: mianownik nie może być zerem, więc \(3(x+2)\ne0\), czyli \(x\ne-2\). To od razu wyklucza wariant A. Równanie \[\frac{x-2}{3(x+2)}=\frac19\] przekształcamy przez mnożenie na krzyż: \[9(x-2)=3(x+2),\] \[9x-18=3x+6,\] \[6x=24,\qquad x=4.\] Otrzymana liczba należy do dziedziny. Sprawdzenie: \(\frac{4-2}{3\cdot6}=\frac{2}{18}=\frac19\). **Odpowiedź.** C: \(4\)

Zadanie 7. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

**D.** \(x=-\frac52\in[-5,-2)\)

Dla \(x\neq-2\) mnożymy równanie przez \(x+2\): \[x+1=3x+6,\qquad -5=2x,\qquad x=-\frac52.\] Liczba \(-\frac52\) należy do przedziału \([-5,-2)\).

**1 pkt** – odpowiedź D **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** równania wymierne - dziedzina, rozwiązanie równania i przynależność liczby do przedziału.

**B.** \(x=-\frac74\in[-2,-1)\)

Dla \(x\neq0\) mnożymy równanie przez \(x\): \[x-7=5x,\qquad -7=4x,\qquad x=-\frac74.\] Liczba \(-\frac74=-1{,}75\) należy do przedziału \([-2,-1)\).

**1 pkt** – odpowiedź B **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** równania wymierne - rozwiązywanie równania z uwzględnieniem dziedziny i odczyt przedziału.

\[x\in\left\{-\frac12,1\right\}.\]

Uwzględniamy założenia \(x\neq-1\) i \(x\neq0\). Po pomnożeniu równania przez \(2x(x+1)\) otrzymujemy \[(2x+1)(x+1)=2x(2x+1),\] \[(2x+1)(1-x)=0.\] Stąd \(2x+1=0\) lub \(1-x=0\), czyli \(x=-\frac12\) lub \(x=1\). Obie liczby spełniają założenia.

**2 pkt** – wyznaczenie obu rozwiązań: \(x=-\frac12\) i \(x=1\) **1 pkt** – doprowadzenie równania do postaci \((2x+1)(1-x)=0\) lub wyznaczenie jednego z dwóch rozwiązań **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Klasyfikacja CKE:** równania wymierne - założenia, usuwanie mianowników i równanie w postaci iloczynowej.

\(54\) minuty

**Krok \(1\).** To zadanie o zależności droga–prędkość–czas. Trasa nad Austrią jest za każdym razem ta sama, więc jej długość \(s\) jest wspólna dla obu lotów. To ona posłuży za pomost między wtorkiem a czwartkiem: raz zapiszemy ją przez wtorkową prędkość i czas, raz przez czwartkowe. **Krok \(2\).** Oznaczmy: \(v\) — zakładana prędkość przelotowa, \(s\) — długość trasy nad Austrią, \(t\) — czas przelotu we wtorek (w minutach). Wtedy prędkość we wtorek to \(1{,}1v\), a w czwartek \(0{,}9v\). **Krok \(3\).** W czwartek samolot leciał wolniej, więc na tej samej trasie potrzebował więcej czasu. Skoro czasy różnią się o \(12\) minut, to czas czwartkowy wynosi \(t+12\). **Krok \(4\).** Zapisujemy długość trasy na dwa sposoby, korzystając ze wzoru \(s=v\cdot t\): \[s=1{,}1v\cdot t\qquad\text{oraz}\qquad s=0{,}9v\cdot(t+12).\] **Krok \(5\).** Prawe strony są równe, bo opisują tę samą trasę: \[1{,}1v\cdot t=0{,}9v\cdot(t+12).\] **Krok \(6\).** Prędkość \(v\) jest dodatnia, więc możemy przez nią podzielić obie strony — i niewiadoma \(v\) znika z zadania: \[1{,}1t=0{,}9(t+12).\] **Krok \(7\).** Rozwiązujemy równanie: \[1{,}1t=0{,}9t+10{,}8,\qquad 0{,}2t=10{,}8,\qquad t=54.\] **Krok \(8\).** Sprawdzenie: czas czwartkowy to \(54+12=66\) minut, a stosunek czasów \(\frac{66}{54}=\frac{11}{9}\) jest odwrotnością stosunku prędkości \(\frac{0{,}9}{1{,}1}=\frac{9}{11}\) — zgadza się. **Uwaga.** Trzeba uważnie ustalić, który lot był dłuższy: mniejsza prędkość to dłuższy czas, więc dwanaście minut dodajemy do wtorku, a nie odejmujemy. Wynik wychodzi w tych jednostkach, w których podaliśmy różnicę, czyli w minutach. **Odpowiedź.** Przelot nad Austrią trwał we wtorek \(54\) minuty.

**1–3 pkt** – równania drogi i równanie \(1{,}1vt=0{,}9v(t+12)\). **4 pkt** – czas wtorkowego przelotu \(54\) minuty.

Zadanie 33. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

**A.** Równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Dla \(x\neq-5\) równanie byłoby równoważne \[3x-1=3(x+5)=3x+15,\] czyli \(-1=15\), co jest sprzecznością.

**1 pkt** – odpowiedź A **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** równania wymierne - dziedzina i rozpoznawanie równania sprzecznego.

\[x\in\left\{\frac12,2\right\}.\]

Z założenia \(x\neq1\). Mnożymy równanie przez \(x-1\): \[x(x+1)=(5x-4)(x-1).\] Po rozwinięciu i uporządkowaniu: \[x^2+x=5x^2-9x+4,\qquad 2x^2-5x+2=0.\] Trójmian rozkłada się na \((2x-1)(x-2)=0\), więc \(x=\frac12\) lub \(x=2\). Obie liczby spełniają założenie.

**2 pkt** – wyznaczenie obu rozwiązań \(x=\frac12\) i \(x=2\) **1 pkt** – doprowadzenie do równania \(2x^2-5x+2=0\) lub równoważny istotny postęp **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

Klucz CKE publikuje rozwiązanie i punktację. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności, równanie wymierne i kwadratowe.

**D.** \(\frac83\).

Dziedzina wyklucza \(x=2\). Mnożymy obie strony równania przez \(2(2-x)\): \[2(x-3)=2-x.\] Stąd \[2x-6=2-x,\qquad 3x=8,\qquad x=\frac83.\]

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **D** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 3.1. Zdający sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności.

Dla każdego \(x>0\) zachodzi \(x^2+\frac{16}{x}\geq12\), przy czym równość występuje dla \(x=2\).

Niech \[f(x)=x^2+\frac{16}{x},\qquad x\in(0,+\infty).\] Pochodna ma postać \[f'(x)=2x-\frac{16}{x^2}=\frac{2(x-2)(x^2+2x+4)}{x^2}.\] Dla \(x>0\) czynniki \(x^2\) i \(x^2+2x+4\) są dodatnie. Zatem \(f'(x)<0\) dla \(x\in(0,2)\), \(f'(2)=0\) i \(f'(x)>0\) dla \(x\in(2,+\infty)\). Funkcja maleje do punktu \(x=2\), a następnie rośnie, więc osiąga tam minimum. Ponieważ \[f(2)=2^2+\frac{16}{2}=12,\] to \(f(x)\geq12\) dla każdego \(x>0\).

**Oficjalny schemat CKE dla sposobu z pierwszą pochodną:** **1 pkt** – istotny postęp: określenie funkcji \(f(x)=x^2+\frac{16}{x}\) dla \(x>0\) i poprawne obliczenie pochodnej **2 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności: wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej oraz przedziałów jej znaku **3 pkt** – rozwiązanie pełne: uzasadnienie minimum w \(x=2\), obliczenie \(f(2)=12\) i zapisanie wniosku

Informator CKE nie przypisuje temu przykładowi osobnego numeru wymagania. Wymaganie ustalono na podstawie treści i rozwiązania: **równania i nierówności** oraz badanie najmniejszej wartości funkcji za pomocą pochodnej.

\[x=\frac58.\]

Lewa strona równania jest określona dla \(x\neq\frac12\). Przenosimy wszystko na lewą stronę i sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika: \[\frac{2-3x}{1-2x}+\frac12=0,\] \[\frac{2(2-3x)+(1-2x)}{2(1-2x)}=0,\] \[\frac{5-8x}{2(1-2x)}=0.\] Stąd \(5-8x=0\), czyli \(x=\frac58\). Ta wartość spełnia warunek dziedziny.

**2 pkt** – poprawne rozwiązanie równania: \(x=\frac58\), z uwzględnieniem dziedziny **1 pkt** – poprawne sprowadzenie równania do postaci \(5-8x=0\) lub równoważnej, lecz brak poprawnego wyniku końcowego **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 3.8. Zdający rozwiązuje proste równania wymierne prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych.

**D.** \(x=0\) oraz \(x=1\).

Dziedzina wymaga \(x\neq-1\). Mnożymy równanie przez \(x+1\): \[x-1=(x-1)(x+1).\] Po przeniesieniu na jedną stronę: \[(x-1)\bigl(1-(x+1)\bigr)=0,\] czyli \(-x(x-1)=0\). Otrzymujemy \(x=0\) lub \(x=1\); oba rozwiązania należą do dziedziny.

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.8 zdający rozwiązuje proste równania wymierne prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych.

\[x\in\left\{\frac43,4\right\}.\]

Z założeń \(x\neq0\) i \(x\neq2\). Mnożymy równanie przez \(x(2x-4)\): \[(2x-4)^2=x^2.\] Po uporządkowaniu otrzymujemy \[3x^2-16x+16=0.\] Ponieważ \(\Delta=64\), mamy \[x_1=\frac{16-8}{6}=\frac43,\qquad x_2=\frac{16+8}{6}=4.\] Oba rozwiązania spełniają założenia.

**2 pkt** – wyznaczenie obu rozwiązań \(x=\frac43\) i \(x=4\) z uwzględnieniem dziedziny **1 pkt** – doprowadzenie do równania \(3x^2-16x+16=0\) lub równoważny istotny postęp **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności, równanie wymierne i równanie kwadratowe.

Pan Kowalski jechał ze średnią prędkością \(25\,\mathrm{km/h}\), a pan Nowak \(36\,\mathrm{km/h}\).

Niech \(v\) oznacza średnią prędkość pana Kowalskiego. Wtedy prędkość pana Nowaka wynosi \(v+11\). Różnica czasów przejazdu jest równa \(1\) godzinie i \(50\) minutom, czyli \(\frac{11}{6}\) godziny. Otrzymujemy równanie \[\frac{150}{v}-\frac{150}{v+11}=\frac{11}{6}.\] Po przekształceniu \[v(v+11)=900,\qquad v^2+11v-900=0.\] Pierwiastki to \(v=25\) i \(v=-36\). Odrzucamy wartość ujemną. Zatem Kowalski jechał ze średnią prędkością \(25\,\mathrm{km/h}\), a Nowak \[25+11=36\,\mathrm{km/h}.\]

**4 pkt** – poprawne prędkości: \(25\,\mathrm{km/h}\) i \(36\,\mathrm{km/h}\) **3 pkt** – poprawne rozwiązanie równania kwadratowego i wybór dodatniego pierwiastka z drobną usterką końcową **2 pkt** – poprawne równanie \(\frac{150}{v}-\frac{150}{v+11}=\frac{11}{6}\) **1 pkt** – poprawne oznaczenie prędkości i czasów obu zawodników **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** Zdający układa i rozwiązuje równanie wymierne opisujące zależność między drogą, prędkością i czasem.

Równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych.

Zaczynamy od założenia: mianownik nie może być zerem, więc \(x\neq2\). Mnożymy obie strony przez \(x-2\): \[2x+4=(2x+1)(x-2)=2x^2-3x-2,\] skąd \[2x^2-5x-6=0.\] Wyróżnik tego trójmianu wynosi \[\Delta=25+48=73.\] Liczba \(73\) nie jest kwadratem liczby całkowitej, więc \(\sqrt{73}\) jest niewymierny, a pierwiastki \[x=\frac{5\pm\sqrt{73}}{4}\] są liczbami niewymiernymi. Żadna z nich nie jest więc liczbą całkowitą. Można to uzasadnić także bez liczenia pierwiastków: gdyby całkowite \(x\) spełniało \(2x^2-5x-6=0\), to \(x\) dzieliłoby wyraz wolny \(6\), a żadna z liczb \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\) równania nie spełnia. **Odpowiedź.** Żadna liczba całkowita nie spełnia tego równania.

**Schemat oceniania** **1 pkt** – jeżeli doprowadzi równanie do postaci \(ax^2+bx+c=0\), np. \(2x^2-5x-6\) […], i obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego \(ax^2+bx+c\), np. \(\Delta=73\). **2 pkt** – jeżeli poprawnie uzasadni, że równanie \(\frac{2x+4}{[…]}=2x+1\) nie ma rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych, np. przez wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania i zauważenie, że żadne z rozwiązań nie jest liczbą całkowitą.

Zadanie 26. (0–2) 2x  4 Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania  2x 1. x  2 3.8. Zdający rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące x 1 IV. Użycie i tworzenie do równań liniowych lub kwadratowych, np.  2 , x  3 strategii. x 1  2x . x I sposób rozwiązania: Zauważamy, że x  2 . Mnożymy obie strony równania przez x  2 i przekształcamy równanie do postaci równania 2 kwadratowego, np. 2x  5x  6  0 . Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego, znajdującego się po lewej stronie równania.   25  48  73 Zauważamy, że   73 jest liczbą niewymierną. Stwierdzamy, że jeżeli z jednej strony równania występuje trójmian kwadratowy o współczynnikach całkowitych, a z drugiej strony równania liczba zero i  tego trójmianu kwadratowego jest liczbą niewymierną, to równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych. II sposób rozwiązania: Zauważamy, że x  2 . Przenosimy wyrażenie z prawej strony równania na lewą i przekształcamy lewą stronę równania do postaci ilorazu. 2x2  5x  6 Otrzymujemy  0 x  2 2 Mnożymy obie strony równania przez x  2 i otrzymujemy 2x  5x  6  0 . Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej f  x  2x 2  5x  6 .   5 2  4  2  6  25  48  73   73 5  73 5  73 5  73 5  73 x   oraz x   1 2 4 4 4 4 Zauważamy, że rozwiązania są liczbami niewymiernymi. Stwierdzamy, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania. Schemat oceniania Zdający otrzymuje 1 pkt 2 2 jeżeli doprowadzi równanie do postaci ax  bx  c  0 , np. 2x  5x  6  0 , i obliczy 2 wyróżnik trójmianu kwadratowego ax  bx  c , np.   73 Zdający otrzymuje 2 pkt 2x  4 jeżeli poprawnie uzasadni, że równanie  2x 1 nie ma rozwiązań w zbiorze liczb x  2 całkowitych, np. przez wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania i zauważenie, że żadne z rozwiązań nie jest liczbą całkowitą.

C. \(5\)

**Krok \(1\).** Szukamy liczby, która jest rozwiązaniem obu równań naraz. Najprościej rozwiązać każde z nich osobno, a potem wybrać liczbę wspólną dla obu zbiorów rozwiązań. **Krok \(2\).** Pierwsze równanie jest już w postaci iloczynowej, więc przyrównujemy do zera kolejne czynniki: \[x^2-1=0\quad\text{lub}\quad x-10=0\quad\text{lub}\quad x-5=0.\] **Krok \(3\).** Z \(x^2-1=0\) mamy \(x^2=1\), czyli \(x=-1\) lub \(x=1\). Z pozostałych: \(x=10\) oraz \(x=5\). Pierwsze równanie ma więc rozwiązania \(-1,\ 1,\ 5,\ 10\) — a to są dokładnie wszystkie cztery liczby z odpowiedzi, więc samo pierwsze równanie niczego nie rozstrzyga. **Krok \(4\).** Przechodzimy do drugiego równania. Jest ono wymierne, więc zaczynamy od dziedziny: mianownik nie może być zerem, czyli \[x-1\neq0,\qquad\text{a więc}\qquad x\neq1.\] **Krok \(5\).** Ułamek jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy jego licznik jest równy zeru, a mianownik nie: \[2x-10=0\ \Rightarrow\ 2x=10\ \Rightarrow\ x=5.\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy, czy \(x=5\) należy do dziedziny: \(5\neq1\), więc tak. Drugie równanie ma zatem dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=5\). **Krok \(7\).** Porównujemy zbiory rozwiązań: \(\{-1,1,5,10\}\) oraz \(\{5\}\). Wspólnym pierwiastkiem obu równań jest \(5\). **Uwaga.** Liczba \(1\) jest pierwiastkiem pierwszego równania, ale drugie wyrażenie nie ma w tym punkcie żadnej wartości — mianownik się zeruje. Dlatego odpowiedź B jest błędna. W zadaniach z ułamkiem zawsze wypisz dziedzinę, zanim przyrównasz licznik do zera. **Odpowiedź.** C: \(5\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Rozwiązywanie prostych równań wymiernych (II.3.e).

\[v=3{,}5\,\mathrm{km/h}.\]

Niech \(v>0\) oznacza średnią prędkość wchodzenia wyrażoną w \(\mathrm{km/h}\). Prędkość schodzenia wynosi wtedy \(v+1\). Łączny czas to \[1\,\mathrm{h}+4\,\mathrm{min}=\frac{16}{15}\,\mathrm{h}.\] Otrzymujemy równanie \[\frac{2{,}1}{v}+\frac{2{,}1}{v+1}=\frac{16}{15}.\] Po usunięciu mianowników: \[32v^2-94v-63=0.\] Pierwiastkami są \(v=3{,}5\) oraz \(v=-\frac9{16}\). Odrzucamy wartość ujemną, zatem turysta wchodził ze średnią prędkością \[v=3{,}5\,\mathrm{km/h}.\]

**5 pkt** – poprawne obliczenie średniej prędkości wchodzenia: \(3{,}5\,\mathrm{km/h}\) **4 pkt** – rozwiązanie równania z drobną usterką rachunkową, która nie przekreśla poprawności metody **3 pkt** – ułożenie poprawnego równania z jedną niewiadomą **2 pkt** – poprawne uzależnienie czasów lub prędkości od jednej zmiennej **1 pkt** – poprawne wprowadzenie oznaczeń i zapisanie koniecznej zależności między czasem, drogą i prędkością **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** Rozwiązywanie zadań osadzonych w kontekście praktycznym, prowadzących do równań kwadratowych (III.3.b).

**B.** \(x=\tfrac{11}{2}\)

Równanie ma sens dla \(7-x\neq0\), czyli \(x\neq7\). Mnożymy na krzyż: \[3(x-5)=7-x,\qquad 3x-15=7-x,\qquad 4x=22,\qquad x=\frac{11}{2}.\] Liczba \(\tfrac{11}{2}\) należy do dziedziny. Sprawdzenie: \(\dfrac{\frac{11}{2}-5}{7-\frac{11}{2}}=\dfrac{\frac12}{\frac32}=\dfrac13\). **Odpowiedź.** \(x=\tfrac{11}{2}\), czyli odpowiedź **B**.

Zadanie 6. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

Danuta: \(72\) km/\(h\); Lidia: \(90\) km/\(h\)

**Krok \(1\).** To zadanie o ruchu jednostajnym: droga jest ta sama, a porównujemy czasy i prędkości. Wszystko opiera się na wzorze \(t=\frac{s}{v}\). Wprowadzimy jedną niewiadomą — prędkość — i zapiszemy równanie wynikające z różnicy czasów. **Krok \(2\).** Niech \(v\) oznacza średnią prędkość pani Lidii (w \(\mathrm{km/h}\)). Pani Danuta jechała o \(18\,\mathrm{km/h}\) wolniej, więc jej prędkość to \(v-18\). Z sensu zadania \(v\gt18\). **Krok \(3\).** Czasy przejazdu tej samej trasy \(450\,\mathrm{km}\): pani Lidia jedzie \(\frac{450}{v}\) godzin, pani Danuta \(\frac{450}{v-18}\) godzin. **Krok \(4\).** Zamieniamy \(75\) minut na godziny, bo prędkości są w kilometrach na godzinę: \[75\ \text{min}=\frac{75}{60}\ \text{h}=\frac54\ \text{h}.\] **Krok \(5\).** Danuta jechała dłużej, więc jej czas minus czas Lidii daje \(\frac54\): \[\frac{450}{v-18}-\frac{450}{v}=\frac54.\] **Krok \(6\).** Mnożymy obie strony przez \(4v(v-18)\) (jest to liczba dodatnia, bo \(v\gt18\)): \[1800v-1800(v-18)=5v(v-18).\] Po lewej stronie \(1800v-1800v+32400=32400\), więc \[32400=5v^2-90v.\] **Krok \(7\).** Dzielimy przez \(5\) i porządkujemy: \[v^2-18v-6480=0.\] **Krok \(8\).** Obliczamy wyróżnik: \[\Delta=(-18)^2-4\cdot1\cdot(-6480)=324+25920=26244,\qquad \sqrt{\Delta}=162,\] bo \(162^2=26244\). Stąd \[v=\frac{18-162}{2}=-72\qquad\text{lub}\qquad v=\frac{18+162}{2}=90.\] **Krok \(9\).** Prędkość nie może być ujemna, więc \(v=90\), a prędkość pani Danuty to \(90-18=72\). **Krok \(10\).** Sprawdzenie: \(\frac{450}{90}=5\) h, \(\frac{450}{72}=6{,}25\) h, różnica \(1{,}25\) h \(=75\) minut. Zgadza się. **Uwaga.** Dwie pułapki. Po pierwsze jednostki — \(75\) minut trzeba zamienić na \(\frac54\) godziny, inaczej równanie jest bezsensowne. Po drugie, ujemny pierwiastek równania kwadratowego trzeba wyraźnie odrzucić, powołując się na to, że prędkość jest dodatnia. **Odpowiedź.** Pani Danuta jechała ze średnią prędkością \(72\,\mathrm{km/h}\), a pani Lidia \(90\,\mathrm{km/h}\).

**1–4 pkt** – zależności drogi, czasu i prędkości oraz rozwiązanie równania. **5 pkt** – \(72\) km/h i \(90\) km/h.

Zadanie 32. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

\(6\) osób

**Krok \(1\).** Stała kwota \(120\) zł dzieli się na tyle samo części, ile jest osób, więc opłata na osobę to \(120\) podzielone przez liczbę osób. Niewiadomą jest liczba osób, a warunek dotyczy różnicy dwóch takich ułamków. To prowadzi do równania z niewiadomą w mianowniku. **Krok \(2\).** Oznaczmy przez \(n\) liczbę osób w pierwszym miesiącu, gdzie \(n\) jest liczbą naturalną dodatnią. Wtedy każdy płacił \[\frac{120}{n}\ \text{złotych}.\] **Krok \(3\).** Po dołączeniu dwóch osób grupa liczy \(n+2\) osób, a opłata na jedną osobę wynosi \[\frac{120}{n+2}\ \text{złotych}.\] **Krok \(4\).** Opłata zmniejszyła się o \(5\) złotych, czyli nowa opłata jest o \(5\) mniejsza od starej: \[\frac{120}{n}-\frac{120}{n+2}=5.\] **Krok \(5\).** Mnożymy obie strony przez \(n(n+2)\) (to liczba dodatnia, więc równanie pozostaje równoważne): \[120(n+2)-120n=5n(n+2).\] **Krok \(6\).** Upraszczamy lewą stronę i rozwijamy prawą: \[120n+240-120n=5n^2+10n,\qquad 240=5n^2+10n.\] Dzielimy obie strony przez \(5\) i porządkujemy: \[n^2+2n-48=0.\] **Krok \(7\).** Liczymy wyróżnik: \[\Delta=2^2-4\cdot 1\cdot(-48)=4+192=196,\qquad \sqrt{\Delta}=14,\] \[n_1=\frac{-2-14}{2}=-8,\qquad n_2=\frac{-2+14}{2}=6.\] **Krok \(8\).** Liczba osób nie może być ujemna, więc rozwiązanie \(n=-8\) odrzucamy. Zostaje \(n=6\). **Krok \(9\).** Sprawdzamy: przy \(6\) osobach każda płaciła \(\frac{120}{6}=20\) zł, przy \(8\) osobach \(\frac{120}{8}=15\) zł, a \(20-15=5\). Zgadza się z treścią. **Uwaga.** Dwie rzeczy do pilnowania. Po pierwsze, ujemnego pierwiastka nie tylko się nie wpisuje do odpowiedzi, ale trzeba jawnie napisać, dlaczego go odrzucamy. Po drugie, pytanie dotyczy grupy w pierwszym miesiącu, czyli liczby \(6\), a nie liczby \(8\) osób po dołączeniu dwóch nowych. **Odpowiedź.** Grupa liczyła w pierwszym miesiącu \(6\) osób.

**1–4 pkt** – zapis kosztów przed i po dołączeniu dwóch osób oraz rozwiązanie równania. **5 pkt** – grupa początkowo liczyła \(6\) osób.

Zadanie 33. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

Niech v oznacza średnią prędkość pierwszego pociągu. Drugi jedzie z prędkością v − \(9\), a różnica czasów wynosi \(\frac{2}{3}\) \(h\). Zatem \(336\)/(v − \(9\)) − \(336\)/v = \(\frac{2}{3}\). Po przekształceniu \(v^{2}\) − \(9v\) − \(4536 = 0\), skąd v = \(72\) lub v = −\(63\). Odrzucamy wartość ujemną. Prędkości pociągów wynoszą odpowiednio \(72\) km/\(h\) i \(63\) km/\(h\).

**Krok \(1\).** pkt: zapisanie poprawnej zależności, w której co najmniej jedna wielkość jest uzależniona od przyjętej niewiadomej. **Krok \(2\).** pkt: zapisanie poprawnego układu równań opisującego drogę, czas i prędkość. **Krok \(3\).** pkt: zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą. **Krok \(4\).** pkt: rozwiązanie do końca z drobną usterką albo podanie prędkości tylko jednego pociągu. **Krok \(5\).** pkt: obliczenie obu prędkości: \(72\) km/\(h\) i \(63\) km/\(h\). **Odpowiedź.** Niech v oznacza średnią prędkość pierwszego pociągu. Drugi jedzie z prędkością v − \(9\), a różnica czasów wynosi \(\frac{2}{3}\) \(h\). Zatem \(336\)/(v − \(9\)) − \(336\)/v = \(\frac{2}{3}\). Po przekształceniu \(v^{2}\) − \(9v\) − \(4536 = 0\), skąd v = \(72\) lub v = −\(63\). Odrzucamy wartość ujemną. Prędkości pociągów wynoszą odpowiednio \(72\) km/\(h\) i \(63\) km/\(h\).

1 pkt: zapisanie poprawnej zależności, w której co najmniej jedna wielkość jest uzależniona od przyjętej niewiadomej. 2 pkt: zapisanie poprawnego układu równań opisującego drogę, czas i prędkość. 3 pkt: zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą. 4 pkt: rozwiązanie do końca z drobną usterką albo podanie prędkości tylko jednego pociągu. 5 pkt: obliczenie obu prędkości: 72 km/h i 63 km/h.

Modelowanie matematyczne. Rozwiązanie zadania umieszczonego w kontekście praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego (III.3.b).

**A.** nie ma rozwiązań.

Dziedziną równania jest zbiór \(x\ne6\). Ułamek jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy jego licznik jest równy zeru, a mianownik różny od zera: \[x^2+36=0.\] Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) zachodzi \(x^2\geq0\), więc \(x^2+36\geq36>0\). Licznik nigdy się nie zeruje, zatem równanie nie ma rozwiązań. **Odpowiedź.** A. nie ma rozwiązań.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie dziedziny równania wymiernego i rozstrzyganie o liczbie jego rozwiązań Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**B.** dokładnie dwa rozwiązania

Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest równy zeru, a mianownik od zera różny. Dziedzina: \(x\neq3\) i \(x\neq-2\). Licznik zeruje się dla \(x=-3\) oraz \(x=2\). Obie liczby należą do dziedziny, bo żadna nie jest równa \(3\) ani \(-2\). **Odpowiedź.** Dokładnie dwa rozwiązania, czyli odpowiedź **B**.

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** Zdający rozwiązuje proste równanie wymierne.

Średnia prędkość kolarza wynosiła \(28{,}5\ \mathrm{km/h}\). Z równania \(\dfrac{114}{v-9{,}5}=\dfrac{114}{v}+2\) otrzymujemy \(2v^2-19v-1083=0\), skąd \(v=28{,}5\) (drugi pierwiastek \(v=-19\) odrzucamy).

**Krok \(1\).** To klasyczne zadanie o drodze, prędkości i czasie z porównaniem dwóch wariantów jazdy. Metoda jest zawsze ta sama: wprowadzamy niewiadomą prędkość, obie sytuacje opisujemy wzorem \(t=\dfrac{s}{v}\) i zapisujemy równanie wynikające z informacji o różnicy czasów. **Krok \(2\).** Niech \(v\) oznacza rzeczywistą średnią prędkość kolarza w \(\mathrm{km/h}\). Wtedy czas przejazdu wynosi \(\dfrac{114}{v}\) godzin. Musi być \(v\gt9{,}5\), bo prędkość mniejsza o \(9{,}5\) ma być dodatnia. **Krok \(3\).** W drugim wariancie prędkość to \(v-9{,}5\), a czas \(\dfrac{114}{v-9{,}5}\). Ten czas jest o \(2\) godziny dłuższy: \[\frac{114}{v-9{,}5}=\frac{114}{v}+2.\] **Krok \(4\).** Mnożymy obie strony przez \(v(v-9{,}5)\), co jest różne od zera: \[114v=114(v-9{,}5)+2v(v-9{,}5).\] **Krok \(5\).** Wykonujemy mnożenia: \[114v=114v-1083+2v^2-19v.\] Odejmujemy \(114v\) od obu stron i porządkujemy: \[2v^2-19v-1083=0.\] **Krok \(6\).** Wyróżnik: \[\Delta=(-19)^2-4\cdot2\cdot(-1083)=361+8664=9025,\qquad \sqrt{\Delta}=95,\] bo \(95^2=9025\). **Krok \(7\).** Pierwiastki: \[v=\frac{19-95}{4}=-19\qquad\text{lub}\qquad v=\frac{19+95}{4}=\frac{114}{4}=28{,}5.\] **Krok \(8\).** Prędkość nie może być ujemna, więc \(v=-19\) odrzucamy. Zostaje \(v=28{,}5\), co spełnia warunek \(v\gt9{,}5\). Sprawdzenie: \(\dfrac{114}{28{,}5}=4\) godziny, a \(\dfrac{114}{19}=6\) godzin — różnica dokładnie \(2\) godziny. **Uwaga.** Ujemny pierwiastek trzeba wyraźnie odrzucić, powołując się na sens zadania. Warto też pilnować jednostek: droga w kilometrach i prędkość w \(\mathrm{km/h}\) dają czas w godzinach, a różnica czasów jest podana właśnie w godzinach. **Odpowiedź.** Kolarz jechał ze średnią prędkością \(28{,}5\ \mathrm{km/h}\).

**1–4 pkt** – zależności drogi, czasu i prędkości oraz rozwiązanie równania. **5 pkt** – średnia prędkość \(28{,}5\) km/h.

Zadanie 34. (0–5) Kolarz pokonał trasę 114 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o 9,5 km/h, to pokonałby tę trasę w czasie o 2 godziny dłuższym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz. Modelowanie matematyczne Rozwiązuje zadania dotyczących sytuacji praktycznych, prowadzące do równania kwadratowego. I sposób rozwiązania: Przyjmujemy oznaczenia, np.: t – czas pokonania całej trasy w godzinach, v – średnia prędkość w kilometrach na godzinę. Zapisujemy zależności między czasem a prędkością w obu sytuacjach opisanych w zadaniu: v  t  114 oraz v  9, 5  t  2  114 . Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy v  t  114 Następnie zapisujemy układ równań   v  9, 5  t  2  114 Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.:  114   9, 5  t  2  114    t  228 114   9, 5  t 19  114 t Mnożymy obie strony przez t: 9, 5t 2 19t  228  0 Dzielimy obie strony przez 9,5: t 2  2t  24  0 t  6  t  4  0 t   6 lub t  4 1 2 t jest sprzeczne z warunkami zadania. 1 114 Obliczamy średnią prędkość, z jaką jechał kolarz: v   28, 5 . 4 II sposób rozwiązania: Zapisujemy zależności między czasem a prędkością w obu sytuacjach opisanych w zadaniu: v  t  114 oraz v  9, 5  t  2  114 v  t  114 Następnie zapisujemy układ równań   v  9, 5  t  2  114 Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.:  114  v  9, 5   2  114    v  1083 114  2v  19  114 v Mnożymy obie strony przez v 2v2 19v 1083  0   192  8 1083  9025   95 19  95 19  95 114 v  v    28, 5 1 4 2 4 4 v jest sprzeczne z warunkami zadania. 1 Średnia prędkość, z jaką jechał kolarz, jest równa 28,5 km/godzinę. Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy III sposób rozwiązania: Przyjmujemy oznaczenia, np.: t – czas pokonania całej trasy w godzinach, v – średnia prędkość w kilometrach na godzinę. v v – 9,5 t t +2 Narysowane duże prostokąty reprezentują trasę przebytą przez kolarza w obu sytuacjach opisanych w zadaniu, mają zatem równe pola. Wobec tego pola zakreskowanych prostokątów są równe. Stąd równość 9, 5  t  2 v  9, 5 i następnie 9, 5t  2  2v i v  4, 75t  2 . Ponieważ trasa przebyta przez kolarza ma długość 114 km, otrzymujemy równanie: 4, 75t  2  t  114 4, 75t 2  9, 5t 114  0 . Dzielimy obie strony przez 4,75: t 2  2t  24  0 t  6  t  4  0 t   6 lub t  4 1 2 t jest sprzeczne z warunkami zadania. 1 114 Obliczamy średnią prędkość, z jaką jechał kolarz: v   28, 5 . 4 Odp. Średnia prędkość, z jaką jechał kolarz, jest równa 28,5 km/godzinę. Schemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania ........................................................................................................ 1 pkt Zapisanie równania w sytuacji domniemanej (t oznacza czas pokonania całej trasy w godzinach, a v średnią prędkość rowerzysty w kilometrach na godzinę)     t  2  v  9,5  114 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ................................................................... 2 pkt Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t, np.: t  v  114   t  2  v  9,5  114 Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................. 3 pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą v lub t, np.:  114   114   9, 5  t  2  114 lub v  9, 5   2  114 lub 4, 75t  2  t  114      t   v  Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą. Zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały popełnione błędy rachunkowe lub usterki ........................................................ 2 pkt Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) ....................................................... 4 pkt  obliczenie czasu: t  4 lub t  6 i nie obliczenie prędkości lub obliczenie prędkości z błędem rachunkowym albo  obliczenie czasu: t  4 lub t  6 i obliczenie prędkości: v  28, 5 i v  19 i niewyeliminowanie prędkości niezgodnej z warunkami zadania albo  obliczenie czasu z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie prędkości albo  rozwiązanie równania z niewiadomą v z błędem rachunkowym. Rozwiązanie pełne ............................................................................................................ 5 pkt Obliczenie średniej prędkości, z jaką jechał kolarz: v  28, 5 km/godzinę . Uwagi: 1. Jeżeli zdający porównuje wielkości różnych typów, to otrzymuje 0 punktów. 2. Jeżeli zdający odgadnie średnią prędkość jazdy kolarza i nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt. Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Przykład 1. Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkość kolarza, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez kolarza 114 v  9, 5  t  2 114  v  t   114  v  9, 5 t  2 i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp i przyznajemy 2 punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie 114 ujął wyrażenia t  2 w nawias. Zapis równania v  9, 5  wskazuje na poprawną t  2 interpretację zależności między wielkościami. Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy Przykład 2. Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkość kolarza, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez kolarza  114 v   114  t 411 114 v  9, 5    9, 5  t  2 210 t t   v  9, 5   t  i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych 411 114 trudności zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo że w równaniu  9, 5  zdający t t  przestawił cyfry w zapisie liczby 114 i pominął liczbę 2 w mianowniku ułamka. Przykład 3. Jeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np. 2v2  19v 1083  0 zamiast równania 2v2 19v 1083  0 (np. w wyniku złego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie jednak rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwiązanie i pozostawi wynik, który może być realną prędkością jazdy kolarza, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy 5 punktów.

**A.** nie ma rozwiązań.

Dziedziną jest zbiór \(x\neq5\). Ułamek jest równy zeru tylko wtedy, gdy licznik jest równy zeru. Tymczasem \[x^{2}+25\geq25>0\] dla każdej liczby rzeczywistej \(x\), bo \(x^{2}\geq0\). Licznik nigdy się nie zeruje. **Odpowiedź.** Równanie nie ma rozwiązań, czyli odpowiedź **A**.

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – uwzględnia dziedzinę równania wymiernego.

**C.** \(1\)

Dziedziną równania jest zbiór liczb spełniających \((5-x)(x+2)\ne0\), czyli \(x\ne5\) i \(x\ne-2\). Ułamek jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy licznik jest równy zeru: \[x+3=0,\qquad x=-3.\] Liczba \(-3\) należy do dziedziny, więc równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie. **Odpowiedź.** C. \(1\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie dziedziny równania wymiernego i liczby jego rozwiązań Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**A.** ma dwa rozwiązania: \(x=-\frac13\), \(x=1\).

Dziedziną równania jest zbiór \(x\ne0\). Mnożymy obie strony przez \(x\): \[2x+1=3x^2,\qquad 3x^2-2x-1=0.\] Obliczamy wyróżnik: \[\Delta=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-1)=4+12=16,\qquad \sqrt\Delta=4.\] Stąd \[x=\frac{2\pm4}{6},\] czyli \(x=1\) lub \(x=-\frac13\). Oba pierwiastki są różne od zera, więc oba należą do dziedziny. **Odpowiedź.** A. ma dwa rozwiązania: \(x=-\frac13\), \(x=1\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** rozwiązywanie równania wymiernego sprowadzalnego do kwadratowego, z wyznaczeniem dziedziny Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

Zadanie ma dwa rozwiązania: \(v_A=51\;\mathrm{km/h}\) i \(v_B=68\;\mathrm{km/h}\) albo \(v_A=58\;\mathrm{km/h}\) i \(v_B=75\;\mathrm{km/h}\).

Do chwili spotkania samochód z miasta \(B\) przejechał \(300\;\mathrm{km}\), a samochód z miasta \(A\) — pozostałe \(474-300=174\;\mathrm{km}\). Oznaczmy przez \(v_B\) średnią prędkość samochodu z \(B\), a przez \(t_B\) jego czas jazdy do spotkania. Wtedy \(v_A=v_B-17\) oraz \(t_A=t_B-1\), przy czym \(v_B>17\) i \(t_B>1\). Z definicji prędkości średniej otrzymujemy układ \[v_B\,t_B=300,\qquad (v_B-17)(t_B-1)=174.\] Po wymnożeniu drugiego równania i wykorzystaniu \(v_B t_B=300\): \[300-v_B-17t_B+17=174,\qquad v_B=143-17t_B.\] Podstawiamy do pierwszego równania: \[(143-17t_B)\,t_B=300,\qquad 17t_B^{\,2}-143t_B+300=0.\] Wyróżnik \[\Delta=(-143)^2-4\cdot17\cdot300=20449-20400=49,\qquad \sqrt{\Delta}=7,\] więc \[t_B=\frac{143-7}{34}=4\qquad\text{lub}\qquad t_B=\frac{143+7}{34}=\frac{75}{17}.\] Dla \(t_B=4\): \(v_B=\frac{300}{4}=75\) i \(v_A=58\); sprawdzenie \(58\cdot3=174\). Dla \(t_B=\frac{75}{17}\): \(v_B=\frac{300\cdot17}{75}=68\) i \(v_A=51\); sprawdzenie \(51\cdot\frac{58}{17}=174\). Oba przypadki spełniają warunki zadania, więc żadnego nie odrzucamy. **Odpowiedź.** \(v_A=51\;\mathrm{km/h}\) i \(v_B=68\;\mathrm{km/h}\) albo \(v_A=58\;\mathrm{km/h}\) i \(v_B=75\;\mathrm{km/h}\).

**1 pkt** – obliczenie drogi przebytej przez samochód z miasta \(A\) do chwili spotkania: \(174\;\mathrm{km}\), oraz zapisanie równania \((v_B-17)(t_B-1)=174\) albo \((v_A+17)(t_A+1)=300\) **2 pkt** – zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi **3 pkt** – sprowadzenie do równania z jedną niewiadomą **4 pkt** – rozwiązanie zadania do końca z usterkami, które nie przekreślają poprawności (np. błąd rachunkowy) albo przyjęcie tylko jednego z dwóch rozwiązań **5 pkt** – obliczenie prędkości obu samochodów w obu przypadkach; punkt przyznaje się tylko przy poprawnym przyporządkowaniu prędkości do miast Zapis odtworzony ze schematu oceniania CKE zawartego w materiale źródłowym; skan tabeli był nieczytelny w warstwie tekstowej.

**Wymaganie ogólne:** Modelowanie matematyczne. **Wymaganie szczegółowe:** Zdający buduje model matematyczny sytuacji opisanej w zadaniu (ruch jednostajny), zapisuje układ równań z dwiema niewiadomymi i rozwiązuje otrzymane równanie kwadratowe. Uwaga redakcyjna: w tym miejscu w zastanym materiale znajdował się zrzut treści zadania, dwóch sposobów rozwiązania CKE i schematu oceniania — usunięto go, bo ujawniał wynik przed próbą.

**B.** \(1\)

Dziedziną jest zbiór tych \(x\), dla których \(x^{2}-11\neq0\), czyli \(x\neq-\sqrt{11}\) i \(x\neq\sqrt{11}\). Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest równy zeru: \[11-x=0,\qquad x=11.\] Liczba \(11\) należy do dziedziny, bo \(11^{2}-11=110\neq0\). **Odpowiedź.** Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, czyli odpowiedź **B**.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: B.

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Równania i nierówności.

\(x=\frac{5}{8}\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typ równania: niewiadoma stoi w mianowniku, więc jest to równanie wymierne. Zanim cokolwiek przekształcimy, wypisujemy **założenie**, przy którym ułamek w ogóle ma sens — mianownik nie może być zerem. **Krok \(2\).** Założenie: \[1-2x\neq0\ \Longrightarrow\ 2x\neq1\ \Longrightarrow\ x\neq\frac12.\] **Krok \(3\).** Mamy równość dwóch ułamków, więc mnożymy na krzyż: \[\frac{2-3x}{1-2x}=-\frac12\ \Longrightarrow\ 2\cdot(2-3x)=-1\cdot(1-2x).\] **Krok \(4\).** Wymnażamy obie strony: \[4-6x=-1+2x.\] Po prawej stronie pamiętamy o zmianie znaku obu składników przy mnożeniu przez \(-1\). **Krok \(5\).** Przenosimy niewiadome na jedną stronę, a liczby na drugą: \[4+1=2x+6x\ \Longrightarrow\ 5=8x.\] **Krok \(6\).** Wyznaczamy \(x\): \[x=\frac58.\] **Krok \(7\).** Sprawdzamy założenie: \(\frac58\neq\frac12\), bo \(\frac12=\frac48\). Rozwiązanie jest więc dopuszczalne. **Krok \(8\).** Sprawdzenie rachunkowe: dla \(x=\frac58\) licznik wynosi \(2-3\cdot\frac58=2-\frac{15}{8}=\frac18\), a mianownik \(1-2\cdot\frac58=1-\frac{10}{8}=-\frac28\). Iloraz: \[\frac{\frac18}{-\frac28}=-\frac12,\] czyli zgadza się z prawą stroną równania. **Uwaga.** Pominięcie założenia \(x\neq\frac12\) bywa karane, mimo że akurat tutaj wyliczona liczba je spełnia. W równaniach wymiernych zawsze trzeba na końcu sprawdzić, czy otrzymana wartość nie zeruje mianownika. **Odpowiedź.** \(x=\frac58\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(x=\frac{5}{8}\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Równania i nierówności.

D. \(7\)

Równanie ma sens dla \(7x+1\neq0\), czyli \(x\neq-\tfrac17\). Mnożymy na krzyż (mnożenie przez \(5(7x+1)\neq0\) jest przekształceniem równoważnym): \[5(3x-1)=2(7x+1),\qquad 15x-5=14x+2,\qquad x=7.\] Liczba \(7\) należy do dziedziny. Sprawdzenie: \(\frac{3\cdot7-1}{7\cdot7+1}=\frac{20}{50}=\frac25\). **Odpowiedź.** \(x=7\), czyli odpowiedź **D**.

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Rozwiązanie prostego równania wymiernego prowadzącego do równania liniowego.

**C.** Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=-2\) oraz \(x=2\).

**Krok \(1\).** Niewiadoma stoi tu w mianowniku, więc mamy równanie wymierne. Ułamek jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy jego licznik jest równy zeru, a mianownik jest różny od zera. Rozwiązanie ma zatem dwie części: najpierw dziedzina, potem licznik. **Krok \(2\).** Dziedzina. Mianownik nie może się zerować: \[(x-4)(x+4)\ne0,\] czyli \(x\ne4\) oraz \(x\ne-4\). **Krok \(3\).** Przyrównujemy licznik do zera i rozkładamy go wzorem na różnicę kwadratów: \[x^2-4=0,\qquad (x-2)(x+2)=0.\] **Krok \(4\).** Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem, więc \[x=2\qquad\text{lub}\qquad x=-2.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy, czy obie liczby należą do dziedziny. Ani \(2\), ani \(-2\) nie jest równe \(4\) ani \(-4\), więc obie są rozwiązaniami. Dla kontroli podstawmy \(x=2\): \[\frac{2^2-4}{(2-4)(2+4)}=\frac{0}{-12}=0.\] **Uwaga.** Łatwo tu pomylić licznik z mianownikiem: licznik to \(x^2-4\), a mianownik po wymnożeniu to \(x^2-16\). To dwa różne wyrażenia, więc ułamek nie skraca się do liczby stałej, a miejsca zerowe biorą się wyłącznie z licznika. **Odpowiedź.** C: równanie ma dokładnie dwa rozwiązania.

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje równanie wymierne z uwzględnieniem dziedziny.

\(24\ \mathrm{km/h}\)

**Krok \(1\).** Metoda: zadanie o ruchu jednostajnym opisujemy równaniem opartym na zależności \(t=\frac{s}{v}\). Oznaczamy przez \(v\) szukaną średnią prędkość kolarza (w \(\mathrm{km/h}\)); z natury zagadnienia \(v\gt 0\). **Krok \(2\).** Przy prędkości \(v\) czas przejazdu wynosi \(\frac{60}{v}\) godziny, a przy prędkości większej o \(1\ \mathrm{km/h}\) — \(\frac{60}{v+1}\) godziny. **Krok \(3\).** Zamieniamy \(6\) minut na godziny, bo prędkość jest podana w \(\mathrm{km/h}\): \[6\ \text{min}=\frac{6}{60}\ \text{h}=0{,}1\ \text{h}.\] **Krok \(4\).** Jazda szybsza trwa krócej, więc od czasu większego odejmujemy mniejszy: \[\frac{60}{v}-\frac{60}{v+1}=0{,}1.\] **Krok \(5\).** Mnożymy obie strony przez \(v(v+1)\neq 0\): \[60(v+1)-60v=0{,}1\cdot v(v+1),\qquad 60=0{,}1v^{2}+0{,}1v.\] **Krok \(6\).** Mnożymy przez \(10\) i porządkujemy: \[v^{2}+v-600=0.\] **Krok \(7\).** Obliczamy wyróżnik: \(\Delta=1^{2}-4\cdot 1\cdot(-600)=2401\), \(\sqrt{\Delta}=49\). Stąd \[v_{1}=\frac{-1-49}{2}=-25,\qquad v_{2}=\frac{-1+49}{2}=24.\] **Krok \(8\).** Wartość \(v_{1}=-25\) odrzucamy, bo prędkość jest dodatnia. Zostaje \(v=24\). **Krok \(9\).** Sprawdzenie: \(\frac{60}{24}=2{,}5\) h oraz \(\frac{60}{25}=2{,}4\) h, a różnica \(0{,}1\) h to dokładnie \(6\) minut. **Uwaga.** Dwie typowe pułapki: pozostawienie \(6\) minut zamiast \(0{,}1\) godziny (wtedy jednostki się nie zgadzają) oraz zapisanie równania \(60=(v+1)(t+0{,}1)\), czyli stwierdzenie, że jadąc szybciej, kolarz jedzie dłużej. **Odpowiedź.** Kolarz jechał ze średnią prędkością \(24\ \mathrm{km/h}\).

**1–4 pkt** – równanie \(\frac{60}{v}-\frac{60}{v+1}=0{,}1\) i rozwiązanie równania kwadratowego. **5 pkt** – \(24\) km/h.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje zadanie tekstowe o prędkości.

**A.** \(21\)

Równanie ma sens dla \(x\neq-3\). Mnożymy obie strony przez \(3(x+3)\neq0\): \[3(x-5)=2(x+3),\qquad 3x-15=2x+6,\qquad x=21.\] Liczba \(21\) należy do dziedziny. Sprawdzenie: \(\frac{21-5}{21+3}=\frac{16}{24}=\frac23\). **Odpowiedź.** \(x=21\), czyli odpowiedź **A**.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: \(\mathrm{A}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Uczeń czytał książkę \(15\) dni.

Niech \(x\) oznacza liczbę stron czytanych dziennie, a \(y\) liczbę dni. Z warunków zadania \(x>0\) i \(y>3\), a ponadto \[xy=480,\qquad (x+8)(y-3)=480.\] Po wymnożeniu drugiego równania i wykorzystaniu \(xy=480\): \[480-3x+8y-24=480,\qquad 8y-3x=24,\qquad x=\frac{8y-24}{3}.\] Podstawiamy do pierwszego równania: \[\frac{8y-24}{3}\cdot y=480,\qquad 8y^{2}-24y=1440,\qquad y^{2}-3y-180=0.\] Wyróżnik \(\Delta=9+720=729\), \(\sqrt{\Delta}=27\), więc \[y=\frac{3+27}{2}=15\qquad\text{lub}\qquad y=\frac{3-27}{2}=-12.\] Ujemną liczbę dni odrzucamy. Sprawdzenie: dla \(y=15\) mamy \(x=32\); przy \(40\) stronach dziennie książka zajęłaby \(12\) dni, czyli o \(3\) dni mniej. **Odpowiedź.** Uczeń czytał książkę \(15\) dni.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Oznaczam: \(x\) – liczba stron przeczytanych każdego dnia, \(y\) – liczba dni. Zapisuję i rozwiązuję układ równań: \[\begin{cases}x\cdot y=480\\ (x+8)\cdot(y-3)=480\end{cases}\] Z pierwszego równania mamy \(x=\frac{480}{y}\), zatem \[\left(\frac{480}{y}+8\right)\cdot(y-3)=480\]\[(480+8y)(y-3)=480y\] Po uproszczeniu otrzymuję równanie \(y^{2}-3y-180=0\). Rozwiązaniem równania są liczby: \(-12\) oraz \(15\). Odrzucam ujemną liczbę dni. Odpowiedź: Uczeń przeczytał książkę w ciągu \(15\) dni.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Właściciel kupił \(40\) koszulek, a cena jednej koszulki wynosiła \(18\ \text{zł}\).

**Krok \(1\).** To klasyczne zadanie typu „ta sama kwota, inna cena”. Kwota \(720\) zł jest w obu sytuacjach ta sama, zmieniają się cena i liczba sztuk. Wprowadzamy dwie niewiadome i zapisujemy dwa równania — po jednym dla każdej sytuacji. **Krok \(2\).** Niech \(x\) oznacza liczbę kupionych koszulek, a \(y\) cenę jednej koszulki (w złotych). Z pierwszego zdania: \[xy=720.\quad(1)\] **Krok \(3\).** Gdyby cena była o \(2\) zł niższa, czyli \(y-2\), to za te same \(720\) zł właściciel kupiłby o \(5\) koszulek więcej, czyli \(x+5\): \[(x+5)(y-2)=720.\quad(2)\] **Krok \(4\).** Wymnażamy równanie \((2)\): \[xy-2x+5y-10=720.\] Podstawiamy \(xy=720\) z równania \((1)\) i redukujemy: \[720-2x+5y-10=720,\qquad -2x+5y=10.\] **Krok \(5\).** Wyznaczamy \(y\): \[5y=2x+10,\qquad y=\frac{2x+10}{5}.\] **Krok \(6\).** Wstawiamy to do równania \((1)\): \[x\cdot\frac{2x+10}{5}=720,\qquad 2x^2+10x=3600,\qquad x^2+5x-1800=0.\] **Krok \(7\).** Obliczamy wyróżnik: \[\Delta=25+4\cdot1800=25+7200=7225,\qquad\sqrt{\Delta}=85,\] bo \(85^2=7225\). Stąd \[x=\frac{-5-85}{2}=-45\qquad\text{lub}\qquad x=\frac{-5+85}{2}=40.\] **Krok \(8\).** Liczba koszulek musi być dodatnia, więc odrzucamy \(x=-45\) i przyjmujemy \(x=40\). Wtedy z równania \((1)\) \[y=\frac{720}{40}=18.\] **Krok \(9\).** Sprawdzenie: przy cenie o \(2\) zł niższej, czyli \(16\) zł, za \(720\) zł można kupić \(\frac{720}{16}=45\) koszulek, a to dokładnie o \(5\) więcej niż \(40\). Warunki zadania są spełnione. **Uwaga.** Ujemny pierwiastek trzeba wyraźnie odrzucić z powołaniem się na sens zadania — liczba koszulek jest dodatnią liczbą naturalną. Warto też uważać na kierunek zmian: niższa cena oznacza więcej sztuk, więc w drugim równaniu jest \((x+5)(y-2)\), a nie \((x-5)(y+2)\). **Odpowiedź.** Właściciel kupił \(40\) koszulek, a cena jednej koszulki wynosiła \(18\) zł.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **6.1. (1 pkt)** – […] zapisanie równania: \(x\cdot y=720\). **6.2. (1 pkt)** – zapisanie równania: \((x+5)(y-2)=720\). **6.3. (1 pkt)** – zapisanie równania kwadratowego w zależności od jednej niewiadomej, np. \(x^{2}+5x-1800=0\) lub \(y^{2}-2y-288=0\). **6.4. (1 pkt)** – rozwiązanie równania kwadratowego \(x=40\) lub \(x=-45\) (\(y=18\) lub \(y=-16\)) i wybór właściwego rozwiązania, spełniającego warunki zadania. **6.5. (1 pkt)** – podanie odpowiedzi: \(x=40\), \(y=18\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(v=60\ \mathrm{km/h}\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy klasyczne zadanie o drodze, prędkości i czasie, w którym porównuje się dwa przejazdy. Narzędziem jest wzór \(t=\dfrac{s}{v}\), a informacja o skróceniu czasu daje równanie z niewiadomą w mianowniku. **Krok \(2\).** Oznaczamy przez \(v\) średnią prędkość samochodu (w \(\mathrm{km/h}\)); z natury zagadnienia \(v\gt0\). **Krok \(3\).** Zapisujemy oba czasy przejazdu tej samej drogi \(210\ \mathrm{km}\): \[t_1=\frac{210}{v}\ \text{(przy prędkości }v\text{)},\qquad t_2=\frac{210}{v+10}\ \text{(przy prędkości o }10\text{ większej)}.\] **Krok \(4\).** Przy większej prędkości czas jest krótszy, i to o pół godziny, czyli o \(\frac12\) h. Zapisujemy to jako różnicę czasów: \[\frac{210}{v}-\frac{210}{v+10}=\frac12.\] **Krok \(5\).** Mnożymy obie strony przez \(2v(v+10)\), co wolno zrobić, bo \(v\gt0\): \[420(v+10)-420v=v(v+10),\qquad 420v+4200-420v=v^2+10v,\qquad 4200=v^2+10v.\] **Krok \(6\).** Porządkujemy i rozwiązujemy równanie kwadratowe \(v^2+10v-4200=0\): \[\Delta=10^2-4\cdot1\cdot(-4200)=100+16\,800=16\,900,\qquad \sqrt{\Delta}=130,\] \[v_1=\frac{-10-130}{2}=-70,\qquad v_2=\frac{-10+130}{2}=60.\] **Krok \(7\).** Odrzucamy \(v_1=-70\), bo prędkość nie może być ujemna. Zostaje \(v=60\ \mathrm{km/h}\). Sprawdzenie: \(\frac{210}{60}=3{,}5\) h, \(\frac{210}{70}=3\) h — różnica to istotnie pół godziny. **Uwaga.** Dwie rzeczy potrafią tu zepsuć rozwiązanie. Po pierwsze jednostki: pół godziny musimy zapisać jako \(\frac12\), a nie \(30\), bo prędkość jest podana w \(\mathrm{km/h}\), więc czas wychodzi w godzinach. Po drugie kolejność odejmowania: szybszy przejazd trwa krócej, więc od \(\frac{210}{v}\) odejmujemy \(\frac{210}{v+10}\), a nie odwrotnie. **Odpowiedź.** \(v=60\ \mathrm{km/h}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 4.** (\(5\) pkt) Samochód przebył w pewnym czasie \(210\,\mathrm{km}\). Gdyby jechał ze średnią prędkością o \(10\,\mathrm{km/h}\) większą, to czas przejazdu skróciłby się o pół godziny. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten samochód. Wprowadzam oznaczenia: \(v\) – średnia prędkość samochodu, \(\frac{210}{v}\) – czas, w którym samochód przebył drogę ze średnią prędkością \(v\), \(\frac{210}{v+10}\) – czas, w którym samochód przebył drogę ze średnią prędkością \(v+10\). Warunki zadania zapisuję za pomocą równania: \(\frac{210}{v}-\frac{210}{v+10}=\frac{1}{2}\), które po przekształceniu przyjmuje postać: \(v^{2}+10v-4200=0\). Rozwiązaniem równania są liczby: \(v_{1}=60\), \(v_{2}=-70\). Odrzucam rozwiązanie \(v_{2}=-70\), które jest niezgodne z warunkami zadania. Odpowiedź: Samochód jechał ze średnią prędkością \(60\,\mathrm{km/h}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.