Indukcja matematyczna — dowodzenie wzorów na sumy i nierówności metodą indukcji zupełnej

Wzór jest prawdziwy dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\).

Oznaczmy przez \(S_n\) lewą stronę wzoru: \[S_n=\sum_{k=1}^{n}k(k+2)(k!)^2.\] Dowodzimy przez indukcję, że \(S_n=\bigl[(n+1)!\bigr]^2-1\). **Krok początkowy.** Dla \(n=1\): \[L=1\cdot3\cdot(1!)^2=3,\qquad P=\bigl[(1+1)!\bigr]^2-1=(2!)^2-1=4-1=3.\] Zatem \(L=P\) i wzór jest prawdziwy dla \(n=1\). **Założenie indukcyjne.** Przyjmijmy, że dla pewnej liczby naturalnej \(n\geq1\) \[S_n=\bigl[(n+1)!\bigr]^2-1.\] **Krok indukcyjny.** Wykażemy, że wtedy \(S_{n+1}=\bigl[(n+2)!\bigr]^2-1\). Do sumy \(S_n\) dodajemy wyraz o numerze \(n+1\), czyli \((n+1)(n+3)\bigl[(n+1)!\bigr]^2\): \[S_{n+1}=S_n+(n+1)(n+3)\bigl[(n+1)!\bigr]^2.\] Korzystamy z założenia indukcyjnego i wyłączamy \(\bigl[(n+1)!\bigr]^2\) przed nawias: \[S_{n+1}=\bigl[(n+1)!\bigr]^2-1+(n+1)(n+3)\bigl[(n+1)!\bigr]^2 =\bigl[(n+1)!\bigr]^2\bigl(1+(n+1)(n+3)\bigr)-1.\] Upraszczamy wyrażenie w nawiasie: \[1+(n+1)(n+3)=1+n^{2}+4n+3=n^{2}+4n+4=(n+2)^{2}.\] Stąd \[S_{n+1}=\bigl[(n+1)!\bigr]^2(n+2)^{2}=\bigl[(n+1)!\,(n+2)\bigr]^2-1=\bigl[(n+2)!\bigr]^2-1,\] bo \((n+1)!\,(n+2)=(n+2)!\). Otrzymaliśmy tezę dla \(n+1\). Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\). **Odpowiedź.** Wzór \(1\cdot3\cdot(1!)^2+2\cdot4\cdot(2!)^2+\ldots+n(n+2)(n!)^2=\bigl[(n+1)!\bigr]^2-1\) zachodzi dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\), co należało wykazać.

**Schemat CKE (\(5\) pkt łącznie):** **1 pkt** – sprawdzenie prawdziwości wzoru dla \(n=1\) **1 pkt** – poprawne zapisanie założenia indukcyjnego i tezy indukcyjnej **2 pkt** – przeprowadzenie kroku indukcyjnego: dodanie wyrazu \((n+1)(n+3)\bigl[(n+1)!\bigr]^2\) i wyłączenie \(\bigl[(n+1)!\bigr]^2\) przed nawias **1 pkt** – doprowadzenie do postaci \(\bigl[(n+2)!\bigr]^2-1\) i powołanie się na zasadę indukcji matematycznej

**Sprawdzana umiejętność:** przeprowadzanie dowodu metodą indukcji matematycznej — sprawdzenie kroku początkowego, poprawne sformułowanie założenia i tezy indukcyjnej oraz wykonanie kroku indukcyjnego z przekształceniem silni.

Teza wynika z zasady indukcji matematycznej: nierówność zachodzi dla \(n=5\) (bo \(32\gt29\)), a z założenia \(2^{k}\gt k^{2}+k-1\) otrzymujemy \(2^{k+1}\gt2k^{2}+2k-2=(k+1)^{2}+(k+1)-1+(k^{2}-k-3)\), przy czym \(k^{2}-k-3\gt0\) dla każdej liczby naturalnej \(k\geqslant5\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy dowód indukcyjny — metoda jest narzucona w treści. Schemat ma zawsze dwa etapy: sprawdzamy nierówność dla najmniejszej liczby, od której ma zachodzić (tu \(n=5\)), a potem pokazujemy, że jeśli zachodzi dla pewnego \(k\geqslant5\), to zachodzi też dla \(k+1\). **Krok \(2\).** Sprawdzamy warunek początkowy dla \(n=5\): \[2^5=32,\qquad 5^2+5-1=25+5-1=29,\] a \(32\gt29\), więc nierówność jest prawdziwa. **Krok \(3\).** Formułujemy założenie i tezę indukcyjną. Zakładamy, że dla pewnej liczby naturalnej \(k\geqslant5\) zachodzi \[2^k\gt k^2+k-1\qquad(\text{założenie indukcyjne}).\] Chcemy wykazać, że \[2^{k+1}\gt(k+1)^2+(k+1)-1.\] **Krok \(4\).** Upraszczamy prawą stronę tezy: \[(k+1)^2+(k+1)-1=k^2+2k+1+k+1-1=k^2+3k+1.\] **Krok \(5\).** Szacujemy lewą stronę tezy, korzystając z założenia. Ponieważ \(2^{k+1}=2\cdot2^k\), a mnożenie przez \(2\) zachowuje nierówność, dostajemy \[2^{k+1}=2\cdot2^k\gt2\bigl(k^2+k-1\bigr)=2k^2+2k-2.\] **Krok \(6\).** Porównujemy otrzymane oszacowanie z prawą stroną tezy. Liczymy różnicę: \[\bigl(2k^2+2k-2\bigr)-\bigl(k^2+3k+1\bigr)=k^2-k-3.\] Wystarczy więc pokazać, że \(k^2-k-3\gt0\) dla \(k\geqslant5\). **Krok \(7\).** Uzasadniamy tę nierówność. Zapiszmy \(k^2-k-3=k(k-1)-3\). Dla \(k\geqslant5\) iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych spełnia \(k(k-1)\geqslant5\cdot4=20\), więc \(k(k-1)-3\geqslant17\gt0\). (Można też policzyć pierwiastki: \(\Delta=1+12=13\), \(k=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}\), a większy z nich to około \(2{,}30\), więc dla \(k\geqslant5\) trójmian jest dodatni.) **Krok \(8\).** Składamy dowód w całość: \[2^{k+1}\gt2k^2+2k-2=\bigl(k^2+3k+1\bigr)+\bigl(k^2-k-3\bigr)\gt k^2+3k+1=(k+1)^2+(k+1)-1,\] czyli teza indukcyjna zachodzi. Wraz ze sprawdzonym warunkiem początkowym, na mocy zasady indukcji matematycznej nierówność \(2^n\gt n^2+n-1\) jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej \(n\geqslant5\). **Uwaga.** Nie jest przypadkiem, że dowód zaczyna się od \(n=5\), a nie od \(n=1\). Dla \(n=2\) mamy \(2^2=4\), a \(2^2+2-1=5\), więc nierówność jest fałszywa; podobnie dla \(n=3\) (\(8\) i \(11\)) oraz \(n=4\) (\(16\) i \(19\)). Nierówność zaczyna obowiązywać dopiero od \(n=5\) i dlatego właśnie tam trzeba umieścić warunek początkowy. Zauważ też, gdzie dokładnie potrzebne jest \(k\geqslant5\): wyłącznie w kroku \(7\), przy uzasadnianiu \(k^2-k-3\gt0\). **Odpowiedź.** Teza wynika z zasady indukcji matematycznej: nierówność zachodzi dla \(n=5\) (bo \(32\gt29\)), a z założenia \(2^{k}\gt k^{2}+k-1\) otrzymujemy \(2^{k+1}\gt2k^{2}+2k-2=(k+1)^{2}+(k+1)-1+(k^{2}-k-3)\), przy czym \(k^{2}-k-3\gt0\) dla każdej liczby naturalnej \(k\geqslant5\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **19.1. (1 pkt)** – Sprawdzenie, że nierówność zachodzi dla \(n=5\). **19.2. (1 pkt)** – Sformułowanie założenia i tezy indukcyjnej, np.: należy wykazać, że dla każdej liczby naturalnej \(k\ge 5\) zachodzi implikacja: jeżeli \(2^{k}>k^{2}+k-1\), to \(2^{k+1}>(k+1)^{2}+(k+1)-1\). **19.3. (4 pkt)** – Udowodnienie tezy indukcyjnej, w tym: • 1 punkt, za wykorzystanie założenia indukcyjnego, • 1 punkt, za doprowadzenie do nierówności \(k^{2}-k-3>0\), • 2 punkty, za rozwiązanie powyższej nierówności w zbiorze liczb rzeczywistych oraz za zapisanie, że każda liczba naturalna \(k\ge 5\) spełnia nierówność \(k^{2}-k-3>0\). Uwaga: Jeżeli uczeń zauważy i zapisze, że dla \(k\ge 5\) iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych \(k\cdot(k-1)\) jest liczbą większą niż \(3\), to otrzymuje obydwa punkty.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Równość \(2+5+8+\ldots+(3n-1)=\frac32n^{2}+\frac12n\) zachodzi dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(n\); dowód przez indukcję matematyczną.

Oznaczmy przez \(L(n)\) lewą, a przez \(P(n)\) prawą stronę dowodzonej równości. Dowód przeprowadzamy metodą indukcji matematycznej. **Baza indukcji.** Dla \(n=1\) lewa strona to pojedynczy składnik \(3\cdot1-1=2\), a prawa strona jest równa \(\frac32\cdot1^{2}+\frac12\cdot1=2\). Równość zachodzi. **Krok indukcyjny.** Zakładamy, że dla pewnej liczby całkowitej dodatniej \(n\) zachodzi \[2+5+8+\ldots+(3n-1)=\frac32n^{2}+\frac12n.\] Do obu stron dodajemy kolejny składnik sumy, czyli \(3(n+1)-1=3n+2\): \[L(n+1)=\frac32n^{2}+\frac12n+3n+2=\frac32n^{2}+\frac72n+2.\] Z drugiej strony \[P(n+1)=\frac32(n+1)^{2}+\frac12(n+1)=\frac32n^{2}+3n+\frac32+\frac12n+\frac12=\frac32n^{2}+\frac72n+2.\] Obie wartości są równe, więc równość zachodzi także dla \(n+1\). Na mocy zasady indukcji matematycznej dowodzona równość jest prawdziwa dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(n\), co kończy dowód.

**1. (1 pkt)** – sprawdzenie, czy dla \(n=1\) zachodzi dana równość. Odp. Lewa strona równości jest równa \(2\). Prawa strona jest równa \(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2\). **2. (1 pkt)** – zapisanie założenia indukcyjnego. Odp. \(2+5+8+\ldots+(3k-1)=\frac{3}{2}k^{2}+\frac{1}{2}k\), gdzie \(k\) jest dowolną ustaloną liczbą naturalną większą lub równą \(1\). **3. (1 pkt)** – zapisanie tezy indukcyjnej. Odp. \(2+5+8+\ldots+(3k-1)+(3k+2)=\frac{3}{2}(k+1)^{2}+\frac{1}{2}(k+1)\) **4. (2 pkt)** – przeprowadzenie dowodu tezy indukcyjnej. Odp. \(2+5+8+\ldots+(3k-1)+(3k+2)=\frac{3}{2}k^{2}+\frac{1}{2}k+(3k+2)=\frac{3}{2}k^{2}+3k+\frac{3}{2}+\frac{1}{2}k+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}(k+1)^{2}+\frac{1}{2}(k+1)\) **5. (1 pkt)** – sformułowanie odpowiedzi. Odp. Na mocy zasady indukcji matematycznej dana równość jest prawdziwa dla każdej liczby całkowitej, dodatniej \(n\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.