Funkcje

Funkcja kwadratowa — parabola, wierzchołek i zbiór wartości funkcji

Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wzór na wierzchołek paraboli, zbiór wartości funkcji oraz wartość największa i najmniejsza. Zobacz też równania kwadratowe, nierówności kwadratowe i przekształcenia wykresów — każde zadanie z odpowiedzią, rozwiązaniem krok po kroku i zasadami oceniania CKE.

Ćwicz w bazie
203zadań w tym temacie

Węższe przekroje

Zagadnienia w tym temacie

Te same zadania pogrupowane według konkretnego pojęcia.

Wartość najmniejsza i największa funkcji Wierzchołek paraboli Postać kanoniczna funkcji kwadratowej Miejsca zerowe funkcji kwadratowej Postać iloczynowa funkcji kwadratowej Kwadrat i prostokąt

Zanim zaczniesz rozwiązywać

Wyjaśnienie teorii

Jeśli temat jest dla Ciebie nowy, zacznij od wyjaśnienia: teoria: funkcja kwadratowa, najpierw ogarnij teorię oraz postać kanoniczna — teoria i przykłady.

Pełny zestaw

Wszystkie zadania z odpowiedziami i rozwiązaniami

Zadania z arkuszy CKE z lat 2002–2026, uporządkowane od najnowszych.

Równania i nierówności

Zadanie 11, czerwiec 2026, poziom podstawowy

czerwiec 2026podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=2x^{2}-kx+6\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba \(2\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\). Liczba \(k\) jest równa **A.** \(-11\) **B.** \(-7\) **C.** \(7\) **D.** \(11\)
Podpowiedź
Jeżeli \(2\) jest miejscem zerowym, to \(f(2)=0\).
Nasze opracowanie

Kluczowa idea

Podstawiamy znane miejsce zerowe do wzoru funkcji i rozwiązujemy równanie z parametrem \(k\).

Rozwiązanie

Warunek \(f(2)=0\) daje \[2\cdot2^2-2k+6=0.\] Zatem \(8-2k+6=0\), czyli \(14-2k=0\), więc \(k=7\).

Sprawdzenie

Dla \(k=7\) mamy \(f(2)=8-14+6=0\), więc warunek z treści jest spełniony.
Odpowiedź
**C.** \(k=7\)
Rozwiązanie krok po kroku
Liczba \(2\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\), więc \(f(2)=0\): \[2\cdot2^{2}-k\cdot2+6=0,\qquad 8-2k+6=0,\qquad 2k=14.\] Stąd \(k=7\). Sprawdzenie: dla \(k=7\) mamy \(f(2)=8-14+6=0\). **Odpowiedź.** \(k=7\), czyli odpowiedź **C**.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.2) Zdający oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu. Posługuje się poznanymi metodami rozwiązywania równań do obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje daną wartość.

Optymalizacja

Zadanie 32, czerwiec 2026, poziom podstawowy

czerwiec 2026podstawowy3 pkt
Dany jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości \(4\). Rozważamy wszystkie trójkąty \(DEF\) spełniające jednocześnie następujące warunki: - punkt \(E\) leży na boku \(AB\) kwadratu \(ABCD\), - punkt \(F\) leży na boku \(BC\) kwadratu \(ABCD\), - \(\lvert CF\rvert=\frac{1}{2}\lvert EB\rvert=x\), gdzie \(x\in(0,2)\) (zobacz rysunek). Niech \(P(x)\) oznacza pole trójkąta \(DEF\) w zależności od długości \(x\) odcinka \(CF\). Wyznacz wzór funkcji \(P\) zmiennej \(x\), gdzie \(x\in(0,2)\). Oblicz długość \(x\) odcinka \(CF\), dla której pole trójkąta \(DEF\) jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.
Kwadrat ABCD o boku 4: D lewy górny, C prawy górny, A lewy dolny, B prawy dolny. Na boku AB zaznaczono punkt E, a odcinek EB oznaczono jako 2x. Na boku BC zaznaczono punkt F, a odcinek CF, liczony od wierzchołka C w dół, oznaczono jako x. Bok AD oznaczono liczbą 4. Trójkąt DEF o wierzchołkach D, E i F jest zacieniowany.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
\[P(x)=x^{2}-2x+8\quad\text{dla }x\in(0,2);\qquad \text{pole jest najmniejsze dla }x=1.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy położenie punktów: \(E\) leży na boku \(AB\), przy czym odcinek \(EB\) ma długość \(2x\), a \(F\) leży na boku \(BC\), przy czym \(CF=x\). Kwadrat \(ABCD\) ma bok \(4\). **Wyrażenie pozostałych odcinków.** Z warunku \(|CF|=\frac12|EB|=x\) mamy \(|EB|=2x\), więc \[|AE|=4-2x,\qquad |BF|=|BC|-|CF|=4-x.\] Warunek \(x\in(0,2)\) zapewnia, że oba te odcinki są dodatnie, a punkty \(E\) i \(F\) leżą wewnątrz odpowiednich boków. **Pole trójkąta \(DEF\).** Trójkąt \(DEF\) powstaje z kwadratu przez odcięcie trzech trójkątów prostokątnych o wierzchołkach w narożach \(A\), \(B\) i \(C\): \[P_{DAE}=\tfrac12\cdot|AD|\cdot|AE|=\tfrac12\cdot4\cdot(4-2x)=8-4x,\] \[P_{EBF}=\tfrac12\cdot|EB|\cdot|BF|=\tfrac12\cdot2x\cdot(4-x)=x(4-x),\] \[P_{FCD}=\tfrac12\cdot|CF|\cdot|CD|=\tfrac12\cdot x\cdot4=2x.\] Zatem \[P(x)=16-\bigl[(8-4x)+x(4-x)+2x\bigr]=16-\left(-x^{2}+2x+8\right)=x^{2}-2x+8.\] **Najmniejsza wartość.** Sprowadzamy wzór do postaci kanonicznej: \[P(x)=(x-1)^{2}+7.\] Dla każdego \(x\) zachodzi \((x-1)^{2}\geq0\), więc \(P(x)\geq7\), a równość zachodzi dokładnie dla \(x=1\). Liczba \(1\) należy do dziedziny \((0,2)\), więc jest to minimum przyjmowane na całym rozważanym przedziale, a nie tylko lokalnie. **Odpowiedź.** \(P(x)=x^{2}-2x+8\) dla \(x\in(0,2)\); pole trójkąta \(DEF\) jest najmniejsze dla \(|CF|=x=1\) i wynosi wtedy \(7\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawny wzór funkcji \(P\) oraz poprawne wyznaczenie \(x=1\) **2 pkt** – wyznaczenie poprawnego wzoru \(P(x)=x^{2}-2x+8\) **1 pkt** – zapisanie pola trójkąta \(DEF\) przez pola trzech trójkątów pomocniczych albo zapisanie co najmniej dwóch z tych pól w zależności od \(x\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Inne zagadnienia

Zadanie 34, czerwiec 2026, poziom podstawowy

czerwiec 2026podstawowy5 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax^{2}+bx+c\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(100\). Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział \((-2,8)\). Oblicz wartości współczynników \(a\), \(b\) oraz \(c\).
Odpowiedź
\[a=-4,\qquad b=24,\qquad c=64.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Zbiorem argumentów, dla których \(f\) przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział ograniczony \((-2,8)\). Oznacza to, że parabola przecina oś \(Ox\) w punktach \(-2\) i \(8\), a jej ramiona są skierowane w dół, czyli \(a<0\) (dla \(a>0\) zbiorem tym byłaby suma dwóch półprostych). Zapisujemy funkcję w postaci iloczynowej: \[f(x)=a(x+2)(x-8).\] Największa wartość jest przyjmowana w wierzchołku, którego pierwsza współrzędna leży w połowie odległości między miejscami zerowymi: \[p=\frac{-2+8}{2}=3.\] Z warunku \(f(3)=100\): \[a\cdot(3+2)\cdot(3-8)=100,\qquad a\cdot5\cdot(-5)=100,\qquad -25a=100,\qquad a=-4.\] Warunek \(a<0\) jest spełniony. Doprowadzamy wzór do postaci ogólnej: \[f(x)=-4(x+2)(x-8)=-4\left(x^{2}-6x-16\right)=-4x^{2}+24x+64.\] **Odpowiedź.** \(a=-4\), \(b=24\), \(c=64\).
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawna metoda i wszystkie współczynniki: \(a=-4\), \(b=24\), \(c=64\) **4 pkt** – spełnienie progu na \(3\) pkt oraz obliczenie jednej z liczb \(a=-4\), \(b=24\), \(c=64\) **3 pkt** – zapisanie postaci iloczynowej i współrzędnych wierzchołka albo zapisanie postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-3)^{2}+100\) **2 pkt** – zapisanie \(f(x)=a(x+2)(x-8)\) albo obliczenie współrzędnych wierzchołka \((3,100)\) **1 pkt** – wskazanie miejsc zerowych \(-2\) i \(8\), albo współrzędnej \(q=100\), albo osi symetrii \(x=3\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie miejsc zerowych i wartości największej; przejście między postacią iloczynową, kanoniczną i ogólną. Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 13.1, czerwiec 2026, poziom podstawowy

czerwiec 2026podstawowy1 pkt
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(-3,7)\). Liczba \(t\) spełnia warunki: \(f(t)=f(-9)\) oraz \(t\neq-9\). Liczba \(t\) jest równa **A.** \(3\) **B.** \(9\) **C.** \(15\) **D.** \(21\)

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Podpowiedź
Argumenty, dla których funkcja kwadratowa przyjmuje tę samą wartość, są symetryczne względem osi paraboli.
Nasze opracowanie

Kluczowa idea

Oś symetrii ma równanie \(x=-3\), więc jest środkiem między argumentami \(-9\) i \(t\).

Rozwiązanie

Z symetrii paraboli otrzymujemy \[\frac{-9+t}{2}=-3.\] Stąd \(-9+t=-6\), a więc \(t=3\).

Sprawdzenie

Liczby \(-9\) i \(3\) są jednakowo odległe od \(-3\): obie odległości wynoszą \(6\).
Odpowiedź
**A.** \(t=3\)
Rozwiązanie krok po kroku
Wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny względem prostej pionowej przechodzącej przez wierzchołek, czyli względem prostej \(x=-3\). Dwa różne argumenty dają tę samą wartość funkcji dokładnie wtedy, gdy leżą symetrycznie względem tej prostej — w równych od niej odległościach. Argument \(-9\) leży w odległości \[-3-(-9)=6\] na lewo od osi symetrii. Argument \(t\), różny od \(-9\), musi więc leżeć w tej samej odległości na prawo: \[t=-3+6=3.\] Równoważnie: pierwsza współrzędna wierzchołka jest średnią arytmetyczną obu argumentów, czyli \(\frac{-9+t}{2}=-3\), skąd \(t=3\). **Odpowiedź.** A: \(t=3\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. V.11) Zdający wykorzystuje własności funkcji kwadratowej.

Równania i nierówności

Zadanie 14, maj 2026, poziom podstawowy

maj 2026podstawowy4 pkt
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(3,-2)\). Funkcja kwadratowa \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) wzorem \(g(x)=f(x+1)\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\) jest liczba \(0\). Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.

To zadanie nie zawiera gotowego rysunku; arkusz przewiduje puste miejsce na wykonanie rysunku przez zdającego. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Podpowiedź
Najpierw zapisz funkcję w postaci kanonicznej, a z warunku \(g(0)=0\) wyznacz dodatkowe miejsce zerowe funkcji \(f\).
Nasze opracowanie

Kluczowa idea

Przesunięcie argumentu daje \(g(0)=f(1)\), co pozwala obliczyć współczynnik przy kwadracie.

Rozwiązanie

Wierzchołek \(W=(3,-2)\) daje postać \[f(x)=a(x-3)^2-2.\] Ponieważ \(g(0)=f(1)=0\), mamy \(0=4a-2\), czyli \(a=\frac{1}{2}\). Po rozwinięciu: \[f(x)=\frac12(x-3)^2-2=\frac12x^2-3x+\frac52.\]

Sprawdzenie

Dla \(x=3\) otrzymujemy \(f(3)=-2\), a dla \(x=1\) mamy \(f(1)=0\), więc oba warunki są spełnione.
Odpowiedź
Ponieważ \(g(0)=f(1)=0\), liczba \(1\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\). Zatem \(f(x)=a(x-3)^{2}-2\) i \(0=4a-2\), więc \(a=\frac{1}{2}\). Ostatecznie \(f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-3x+\frac{5}{2}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z definicji funkcji \(g\) wynika, że \(g(0)=f(0+1)=f(1)\). Skoro \(0\) jest miejscem zerowym funkcji \(g\), to \(f(1)=0\), czyli miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba \(1\). Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem \(f\) jest \(W=(3,-2)\), więc w postaci kanonicznej \[f(x)=a(x-3)^2-2.\] Warunek \(f(1)=0\) daje \[a(1-3)^2-2=0,\qquad 4a=2,\qquad a=\tfrac12.\] Po rozwinięciu kwadratu \[f(x)=\tfrac12(x-3)^2-2=\tfrac12x^2-3x+\tfrac92-2=\tfrac12x^2-3x+\tfrac52.\] Sprawdzenie: \(f(1)=\tfrac12-3+\tfrac52=0\), a wierzchołek ma odciętą \(-\frac{-3}{2\cdot\frac12}=3\). **Odpowiedź.** \(f(x)=\tfrac12x^2-3x+\tfrac52\).
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
2 pkt – zapisanie miejsc zerowych funkcji \(f\): \(x_1=1\), \(x_2=5\), ALBO – zapisanie wzoru funkcji \(g\) w postaci \(g(x)=a(x-2)^2-2\), ALBO – zapisanie wzoru funkcji \(g\) w postaci \(g(x)=ax(x-4)\), ALBO – zapisanie, że wierzchołkiem wykresu funkcji \(g\) jest punkt o współrzędnych \((2,-2)\), oraz zapisanie, że drugim miejscem zerowym funkcji \(g\) jest liczba 4. 1 pkt – zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci \(f(x)=a(x-p)^2+q\) oraz zapisanie \(p=3\) oraz \(q=-2\) ALBO – zapisanie jednego z równań: • \(\frac{-b}{2a}=3\) • \(\frac{-\Delta}{4a}=-2\) • \(a\cdot 3^2+b\cdot 3+c=-2\) • \(a+b+c=0\)

Odczytywanie własności z wykresu

Zadanie 33.1, maj 2026, poziom podstawowy

maj 2026podstawowy1 pkt
W chwili \(t=0\) z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Wysokość \(h\), na której znajduje się piłeczka w chwili \(t\), jest określona wzorem \[h(t)=-4{,}9t^{2}+14{,}7t,\] gdzie czas \(t\) jest wyrażony w sekundach i zmienia się od \(0\) do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię. Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili **A.** \(t=1{,}5\,\mathrm{s}\) **B.** \(t=2\,\mathrm{s}\) **C.** \(t=2{,}5\,\mathrm{s}\) **D.** \(t=3\,\mathrm{s}\)
Podpowiedź
Uderzenie w ziemię następuje wtedy, gdy \(h(t)=0\); wybierz dodatnie miejsce zerowe.
Nasze opracowanie

Kluczowa idea

Wyłączamy \(t\) przed nawias i rozwiązujemy równanie iloczynowe.

Rozwiązanie

Mamy \[h(t)=t(-4{,}9t+14{,}7).\] Miejsca zerowe to \(t=0\) oraz \(-4{,}9t+14{,}7=0\), czyli \(t=3\). Pierwsze miejsce opisuje chwilę wyrzutu, a pierwsze późniejsze uderzenie w ziemię następuje po \(3\,\mathrm{s}\). Poprawna jest odpowiedź D.

Sprawdzenie

Po podstawieniu \(t=3\) otrzymujemy \(h(3)=-4{,}9\cdot9+14{,}7\cdot3=0\).
Odpowiedź
**D.** \(t=3\,\mathrm{s}\), ponieważ \(h(t)=t(-4{,}9t+14{,}7)\) ma dodatnie miejsce zerowe \(t=3\).
Rozwiązanie krok po kroku
Piłeczka uderza w ziemię, gdy jej wysokość jest równa zeru, czyli gdy \(h(t)=0\) dla \(t>0\). Rozkładamy prawą stronę na czynniki: \[h(t)=-4{,}9t^2+14{,}7t=t\left(-4{,}9t+14{,}7\right).\] Iloczyn jest równy zeru, gdy \(t=0\) albo \(-4{,}9t+14{,}7=0\). Drugie równanie daje \[t=\frac{14{,}7}{4{,}9}=3.\] Chwila \(t=0\) to moment wyrzutu, więc pierwsze uderzenie o ziemię następuje po \(3\) sekundach. **Odpowiedź.** D: \(t=3\,\mathrm{s}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.11) Zdający wykorzystuje własności funkcji […] kwadratowej do interpretacji zagadnień […] fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym.

Odczytywanie własności z wykresu

Zadanie 33.2, maj 2026, poziom podstawowy

maj 2026podstawowy1 pkt
Wysokość piłeczki w chwili \(t\) jest określona wzorem \(h(t)=-4{,}9t^{2}+14{,}7t\). Piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili **A.** \(t=1{,}5\,\mathrm{s}\) **B.** \(t=2\,\mathrm{s}\) **C.** \(t=2{,}5\,\mathrm{s}\) **D.** \(t=3\,\mathrm{s}\)
Podpowiedź
Największa wysokość odpowiada wierzchołkowi paraboli skierowanej ramionami w dół.
Nasze opracowanie

Kluczowa idea

Korzystamy ze wzoru \(t_w=-\frac{b}{2a}\).

Rozwiązanie

Dla \(h(t)=-4{,}9t^2+14{,}7t\) mamy \(a=-4{,}9\) i \(b=14{,}7\). Chwila osiągnięcia wierzchołka to \[t_w=-\frac{14{,}7}{2\cdot(-4{,}9)}=1{,}5\,\mathrm{s}.\] Poprawna jest odpowiedź A.

Sprawdzenie

Czas \(1{,}5\,\mathrm{s}\) leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi \(0\) i \(3\), zgodnie z symetrią paraboli.
Odpowiedź
**A.** Wierzchołek paraboli jest osiągany dla \(t=-\frac{14{,}7}{2\cdot(-4{,}9)}=1{,}5\,\mathrm{s}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Funkcja \(h(t)=-4{,}9t^2+14{,}7t\) jest funkcją kwadratową o współczynniku \(a=-4{,}9<0\), więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół. Największą wartość przyjmuje ona w wierzchołku. Pierwszą współrzędną wierzchołka obliczamy ze wzoru \(t_w=-\frac{b}{2a}\), gdzie \(b=14{,}7\): \[t_w=-\frac{14{,}7}{2\cdot(-4{,}9)}=\frac{14{,}7}{9{,}8}=1{,}5.\] Ten sam wynik daje symetria: miejsca zerowe funkcji \(h\) to \(0\) i \(3\), a wierzchołek leży dokładnie pośrodku między nimi, czyli dla \(t=1{,}5\). **Odpowiedź.** A: \(t=1{,}5\,\mathrm{s}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymagania szczegółowe:** XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 12, próbna marzec 2026, poziom podstawowy

próbna marzec 2026podstawowy3 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-16x^{2}+40x+11\). W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(C\). Ta parabola przecina oś \(Ox\) w punktach \(A\) oraz \(B\). **Oblicz pole trójkąta** \(\mathbf{ABC}\)**. Zapisz obliczenia.**

To zadanie nie zawiera gotowego rysunku; arkusz przewiduje puste miejsce na wykonanie rysunku przez zdającego. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
\[P_{ABC}=54.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Miejsca zerowe funkcji \(f(x)=-16x^2+40x+11\) wyznaczamy z \(\Delta=2304\): \[x_1=-\frac14,\qquad x_2=\frac{11}{4}.\] Zatem \(|AB|=3\). Rzędna wierzchołka paraboli wynosi \[q=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{2304}{4\cdot(-16)}=36.\] Pole trójkąta: \[P_{ABC}=\frac12\cdot3\cdot36=54.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(P_{ABC}=54\) **2 pkt** – obliczenie rzędnej wierzchołka \(q=36\) oraz miejsc zerowych \(x_1=-\frac14\), \(x_2=\frac{11}{4}\) **1 pkt** – poprawne obliczenie rzędnej wierzchołka albo obu miejsc zerowych **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** V.7) Zdający szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem. V.11) Zdający wykorzystuje własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 32.1, próbna marzec 2026, poziom podstawowy

próbna marzec 2026podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-5(x-\pi)^{2}+\sqrt{2}\). **Zadanie \(32\).\(1\).** **Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Funkcja \(f\) przyjmuje wartość __największą__ w przedziale \([0,6]\) dla argumentu **A.** \(0\) **B.** \(3\) **C.** \(\pi\) **D.** \(6\)
Odpowiedź
**C.** \(\pi\)
Rozwiązanie krok po kroku
Parabola ma ramiona skierowane w dół, a jej wierzchołek ma pierwszą współrzędną \(\pi\). Ponieważ \(\pi\in[0,6]\), funkcja przyjmuje wartość największą dla \(x=\pi\). Poprawna jest odpowiedź **C**.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** V.10) Zdający wyznacza największą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 32.2, próbna marzec 2026, poziom podstawowy

próbna marzec 2026podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-5(x-\pi)^{2}+\sqrt{2}\). **Zadanie \(32\).\(2\).** **Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Funkcja \(f\) przyjmuje wartość __najmniejszą__ w przedziale \([0,6]\) dla argumentu **A.** \(0\) **B.** \(3\) **C.** \(\pi\) **D.** \(6\)
Odpowiedź
**A.** \(0\)
Rozwiązanie krok po kroku
Parabola ma ramiona skierowane w dół, więc minimum na przedziale domkniętym występuje na jednym z jego końców. Ponieważ \(\pi<3\), punkt \(0\) leży dalej od osi symetrii \(x=\pi\) niż punkt \(6\). Zatem najmniejsza wartość jest przyjmowana dla \(x=0\). Poprawna jest odpowiedź **A**.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** V.10) Zdający wyznacza najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

Optymalizacja

Zadanie 11, czerwiec 2025, poziom podstawowy

czerwiec 2025podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(500+50x)(16-x)\). Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \([0,14]\) jest równa **A.** \(f(3)\) **B.** \(f(4)\) **C.** \(f(7)\) **D.** \(f(14)\)
Odpowiedź
**A.** \(f(3)\)
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwijamy wzór funkcji: \[f(x)=(500+50x)(16-x)=8000-500x+800x-50x^{2}=-50x^{2}+300x+8000.\] Współczynnik przy \(x^{2}\) jest ujemny, więc parabola ma ramiona skierowane w dół, a funkcja rośnie na \((-\infty,x_w\rangle\) i maleje na \(\langle x_w,+\infty)\), gdzie \[x_w=-\frac{300}{2\cdot(-50)}=3.\] Argument \(x_w=3\) należy do przedziału \([0,14]\), więc wartość największa w tym przedziale jest przyjmowana właśnie w wierzchołku. Gdyby wierzchołek leżał poza przedziałem, największej wartości należałoby szukać na jednym z jego krańców. **Odpowiedź.** A. \(f(3)\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: 4.11) Wyznacza wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 13, czerwiec 2025, poziom podstawowy

czerwiec 2025podstawowy3 pkt
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji kwadratowej \(f\) przechodzi przez punkt \((2,15)\). Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu \(x=-1\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(1\). Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

To zadanie nie zawiera gotowego rysunku; arkusz przewiduje puste miejsce na wykonanie rysunku przez zdającego. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
Drugie miejsce zerowe, symetryczne do \(1\) względem osi \(x=-1\), jest równe \(-3\). Zatem \(f(x)=a(x-1)(x+3)\). Ponieważ \(f(2)=15\), mamy \(5a=15\), czyli \(a=3\). Stąd \[f(x)=3(x+1)^{2}-12.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Osią symetrii wykresu jest prosta \(x=-1\), więc miejsca zerowe funkcji leżą symetrycznie względem liczby \(-1\). Jedno z nich jest równe \(1\), a jego odległość od osi symetrii wynosi \(1-(-1)=2\); drugie leży o \(2\) na lewo: \[x_2=-1-2=-3.\] Zapisujemy funkcję w postaci iloczynowej: \[f(x)=a(x-1)(x+3),\] a współczynnik \(a\) wyznaczamy z warunku \(f(2)=15\): \[a(2-1)(2+3)=15,\qquad 5a=15,\qquad a=3.\] Przechodzimy do postaci kanonicznej: pierwszą współrzędną wierzchołka jest \(p=-1\), a drugą \[q=f(-1)=3\cdot(-1-1)(-1+3)=3\cdot(-2)\cdot2=-12.\] Zatem \[f(x)=3(x+1)^2-12.\] Sprawdzenie: \(f(2)=3\cdot9-12=15\) oraz \(f(1)=3\cdot4-12=0\). **Odpowiedź.** \(f(x)=3(x+1)^2-12\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: zapisanie f(x)=a(x+1)²+q, f(x)=a(x−1)(x+3) albo równoważnego układu równań. 2 pkt: obliczenie a=3 albo q=−12. 3 pkt: poprawna metoda i f(x)=3(x+1)²−12.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: IV. Rozumowanie i argumentacja. Wymaganie szczegółowe: V.9) Wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o funkcji lub wykresie.

Optymalizacja

Zadanie 31, czerwiec 2025, poziom podstawowy

czerwiec 2025podstawowy1 pkt
Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki \(L_{25}\) na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk \(Z\) ze sprzedaży latarek \(L_{25}\) wyraża się wzorem \[Z(x)=(500+50x)(16-x),\] gdzie: - \(x\) - kwota obniżki ceny latarki \(L_{25}\) (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki \(x\geq1\) i \(x\leq14\), - \(Z\) - roczny zysk ze sprzedaży latarek \(L_{25}\) (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Roczny zysk \(Z\) ze sprzedaży latarek \(L_{25}\) będzie największy dla \(x\) równego **A.** \(3\) **B.** \(4\) **C.** \(7\) **D.** \(14\)
Odpowiedź
**A.** \(3\)
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwijamy podany wzór zysku: \[Z(x)=(500+50x)(16-x)=8000-500x+800x-50x^{2}=-50x^{2}+300x+8000.\] Jest to funkcja kwadratowa o współczynniku \(a=-50<0\), więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół i największą wartość przyjmuje ona w wierzchołku. Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \[x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{300}{2\cdot(-50)}=3.\] Z treści zadania \(x\) jest wyrażone w pełnych złotych i spełnia \(1\leq x\leq14\). Liczba \(3\) jest całkowita i należy do tego przedziału, więc maksimum modelu jest osiągane wewnątrz dziedziny — nie trzeba porównywać wartości na jej krańcach. **Odpowiedź.** A. \(3\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 32, czerwiec 2025, poziom podstawowy

czerwiec 2025podstawowy4 pkt
W układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji kwadratowej \(f\) przechodzi przez punkt \((2,15)\). Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu \(x=-1\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(1\). Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej oraz zbiór wartości funkcji \(f\).

To zadanie nie zawiera gotowego rysunku; arkusz przewiduje puste miejsce na wykonanie rysunku przez zdającego. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
\(f(x)=3(x+1)^2-12\), a zbiorem wartości jest \(\langle-12,+\infty)\).
Rozwiązanie krok po kroku
Osią symetrii wykresu jest prosta \(x=-1\), więc miejsca zerowe funkcji leżą symetrycznie względem liczby \(-1\). Jedno z nich jest równe \(1\), a jego odległość od osi symetrii wynosi \(1-(-1)=2\); drugie leży o \(2\) na lewo: \[x_2=-1-2=-3.\] Zapisujemy funkcję w postaci iloczynowej: \[f(x)=a(x-1)(x+3).\] Współczynnik \(a\) wyznaczamy z warunku \(f(2)=15\): \[a(2-1)(2+3)=15,\qquad 5a=15,\qquad a=3.\] Przechodzimy do postaci kanonicznej. Pierwsza współrzędna wierzchołka to \(p=-1\), a druga \[q=f(-1)=3\cdot(-1-1)(-1+3)=3\cdot(-2)\cdot2=-12,\] zatem \[f(x)=3(x+1)^2-12.\] Ponieważ \(a=3>0\), ramiona paraboli są skierowane w górę i \(-12\) jest najmniejszą wartością funkcji, osiąganą w wierzchołku. Zbiorem wartości jest więc \[ZW_f=\langle-12,+\infty).\] **Odpowiedź.** \(f(x)=3(x+1)^2-12\), \(ZW_f=\langle-12,+\infty)\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: zapisanie f(x)=a(x+1)²+q, f(x)=a(x−1)(x+3) albo równoważnego układu. 2 pkt: obliczenie a=3 albo q=−12. 3 pkt: zapisanie f(x)=3(x+1)²−12 albo obliczenie q=−12 i podanie zbioru wartości. 4 pkt: poprawny wzór i zbiór wartości [−12,+∞).
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymaganie szczegółowe: 4.9) Wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o funkcji lub wykresie.

Potęgi i pierwiastki

Zadanie 19, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony

zbiór zadań z informatora 2025rozszerzony4 pkt
Na rysunku przedstawiono położenie miejscowości \(A\), \(B\) i \(C\), gdzie \(|AB|=15\) km, \(|AC|=20\) km oraz \(AB\perp AC\). O godzinie \(9{:}00\) z miejscowości \(A\) do \(C\) wyruszyli harcerze z zastępu „Tropiciele” i maszerowali z prędkością \(4\,\mathrm{km/h}\). O tej samej godzinie z miejscowości \(B\) do \(A\) wyruszyli harcerze z zastępu „Korsarze” i maszerowali z prędkością \(2\,\mathrm{km/h}\). Wyznacz godzinę, o której odległość między tymi zastępami harcerzy będzie najmniejsza. Zapisz obliczenia.
Szkic położenia trzech miejscowości: punkt A, punkt B oddalony o 15 km oraz punkt C oddalony o 20 km, przy czym odcinki AB i AC są do siebie prostopadłe. Zaznaczono trasy marszu z A do C oraz z B do C
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
Odległość między zastępami jest najmniejsza o godzinie \(10{:}30\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(t\) oznacza liczbę godzin od \(9{:}00\). Dla \(t\in[0,5]\) odległości zastępów od punktu \(A\) wynoszą \(4t\) i \(15-2t\). Z twierdzenia Pitagorasa \[d(t)=\sqrt{(4t)^2+(15-2t)^2}.\] Wystarczy zminimalizować \[d^2(t)=20t^2-60t+225.\] Wierzchołek tej paraboli przypada dla \(t=\frac{60}{40}=1{,}5\). Jest to półtorej godziny po rozpoczęciu marszu, czyli godzina \(10{:}30\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i godzina \(10{:}30\). **3 pkt** – uzasadnienie minimalizacji wyrażenia \(20t^2-60t+225\) w poprawnej dziedzinie. **2 pkt** – wyznaczenie \(d(t)\). **1 pkt** – wyznaczenie położeń obu zastępów w zależności od \(t\). **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań […]. **Wymagania szczegółowe:** XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. 4R) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej; 6R) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

Równania kwadratowe

Zadanie 26, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy

zbiór zadań z informatora 2025podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=3x^2+2x+m,\] gdzie \(m<0\). Zaznacz odpowiedź **A**, **B** albo **C** oraz jej uzasadnienie **\(1\)**, **\(2\)** albo **\(3\)**. Funkcja \(f\) **A.** ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe, **B.** ma jedno rzeczywiste miejsce zerowe, **C.** nie ma rzeczywistych miejsc zerowych, ponieważ **\(1\).** \(4-12m>0\) **\(2\).** \(4-12m=0\) **\(3\).** \(4-12m<0\)
Wycinek arkusza CKE: tabela wyboru dla funkcji f(x) = 3x kwadrat + 2x + m przy m mniejszym od zera. Po lewej warianty A („ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe”), B („ma jedno rzeczywiste miejsce zerowe”), C („nie ma rzeczywistych miejsc zerowych”); po prawej uzasadnienia 1. 4 − 12m > 0, 2. 4 − 12m = 0, 3. 4 − 12m < 0.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**\(A_{1}\).** Funkcja ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe, ponieważ \(4-12m>0\).
Rozwiązanie krok po kroku
Wyróżnik trójmianu wynosi \[\Delta=2^2-4\cdot3\cdot m=4-12m.\] Ponieważ \(m<0\), mamy \(-12m>0\), a więc \(\Delta=4-12m>0\). Funkcja ma zatem dwa różne rzeczywiste miejsca zerowe.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – poprawna para odpowiedzi: **A1** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. IV. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** III.4) Zdający rozwiązuje równania kwadratowe. V.8) Interpretuje współczynniki we wzorze funkcji kwadratowej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 30, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy

zbiór zadań z informatora 2025podstawowy1 pkt
Fragment wykresu funkcji kwadratowej \(y=f(x)\) przedstawiono na rysunku. Funkcja \(f\) jest określona wzorem **A.** \(f(x)=-(x+5)^2-6\) **B.** \(f(x)=-(x+5)^2+6\) **C.** \(f(x)=-(x-5)^2-6\) **D.** \(f(x)=-(x-5)^2+6\)
Fragment paraboli y = f(x) o ramionach skierowanych w dół w układzie współrzędnych o obu osiach od -8 do 8; wierzchołek w punkcie (-5, 6), a ramiona przecinają oś x w pobliżu -7,5 oraz -2,5.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**B.** \(f(x)=-(x+5)^2+6\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z wykresu odczytujemy wierzchołek paraboli \((-5,6)\) oraz ramiona skierowane w dół. Spośród podanych wzorów te warunki spełnia \[f(x)=-(x+5)^2+6.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie wykresu. **Wymagania szczegółowe:** V.9) Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o jej wykresie.

Równania i nierówności

Zadanie 31, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy

zbiór zadań z informatora 2025podstawowy2 pkt
Do wykresu funkcji kwadratowej \(y=g(x)\) należy punkt \((2,-6)\). Osią symetrii wykresu jest prosta \(x=3\), a jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\) jest \(x_1=1\). Wyznacz wzór funkcji \(g\) w postaci iloczynowej.
Wycinek arkusza CKE z treścią zadania (wzór funkcji kwadratowej g w postaci iloczynowej) i pustą kratką na obliczenia. Rysunek nie wnosi danych do rozwiązania.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
\[g(x)=2(x-1)(x-5).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oś symetrii leży w połowie między miejscami zerowymi, więc \[3=\frac{1+x_2}{2},\qquad x_2=5.\] Zatem \(g(x)=a(x-1)(x-5)\). Ponieważ punkt \((2,-6)\) należy do wykresu, \[-6=a(2-1)(2-5)=-3a,\] czyli \(a=2\). Ostatecznie \[g(x)=2(x-1)(x-5).\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i wzór \(g(x)=2(x-1)(x-5)\) **1 pkt** – zapisanie \(g(x)=a(x-1)(x-5)\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** V.8) Zdający interpretuje współczynniki funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej. V.9) Wyznacza wzór funkcji kwadratowej z informacji o jej wykresie.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 38, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2025, poziom podstawowy

zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2025podstawowy4 pkt
Dwie jednakowe prostokątne działki magazynowe mają wspólny bok. Całość jest ogrodzona, a wspólny bok także stanowi ogrodzenie. W płocie znajdują się dwie bramy o szerokości \(10\,\mathrm{m}\) każda, których szerokości nie wlicza się do długości płotu. Łączna długość płotu wynosi \(580\,\mathrm{m}\). Wymiary każdej działki oznaczono przez \(x\) i \(y\), jak na rysunku. Oblicz wymiary \(x\) oraz \(y\) każdej działki, dla których całkowite pole powierzchni magazynowej jest największe.
Plan prostokątnego terenu o wysokości x, podzielonego pionową linią na dwie równe części o szerokości y każda; obrys narysowano linią przerywaną, a w dolnej krawędzi każdej części zostawiono przerwę 10 m.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
\[x=100\,\mathrm{m},\qquad y=75\,\mathrm{m}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Długość płotu spełnia równanie \[3x+4y-2\cdot10=580,\] czyli \(3x+4y=600\) oraz \(y=150-\frac34x\). Całkowite pole dwóch działek jest równe \[P=2xy=2x\left(150-\frac34x\right)=-\frac32x^2+300x.\] Jest to funkcja kwadratowa skierowana ramionami w dół. Współrzędna wierzchołka wynosi \[x=-\frac{300}{2\cdot(-\frac32)}=100.\] Wtedy \[y=150-\frac34\cdot100=75.\] Największe pole otrzymujemy dla \(x=100\,\mathrm{m}\) i \(y=75\,\mathrm{m}\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda obliczenia obu wymiarów i wyniki \(x=100\,\mathrm{m}\), \(y=75\,\mathrm{m}\) **3 pkt** – poprawny wzór na pole zależne od jednej zmiennej i obliczenie \(x=100\,\mathrm{m}\) **2 pkt** – zapisanie \(P(x)=2x(150-\frac34x)\) z właściwą dziedziną **1 pkt** – zapisanie \(P=2xy\) albo \(3x+4y-20=580\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - tworzenie modeli matematycznych. IV. Rozumowanie i argumentacja - tworzenie strategii rozwiązania. **Wymagania szczegółowe:** XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach opisywanych funkcją kwadratową.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 38, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy

zbiór zadań z informatora 2025podstawowy4 pkt
Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Całość ma być ogrodzona płotem, przy czym obie działki będzie rozdzielał wspólny płot. W ogrodzeniu będą zamontowane dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości \(10\,\mathrm{m}\) (zobacz rysunek). Łączna długość płotu ogradzającego oraz rozdzielającego obie działki wyniesie \(580\,\mathrm{m}\), przy czym szerokości obu bram wjazdowych nie wliczają się w długość płotu. Na rysunku wymiar poziomy każdej działki oznaczono przez \(y\), a wspólny wymiar pionowy przez \(x\). Oblicz wymiary \(x\) oraz \(y\) każdej z dwóch prostokątnych działek, tak aby całkowite pole powierzchni magazynowej było największe.
Szary prostokątny obszar podzielony pionową linią przerywaną na dwie równe części o szerokości y każda i wysokości x; w dolnej krawędzi obu części zaznaczono strzałkami przerwy o szerokości 10 m.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
Każda działka powinna mieć wymiary \(x=100\,\mathrm{m}\) oraz \(y=75\,\mathrm{m}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z warunku dotyczącego długości płotu otrzymujemy \[3x+4y-2\cdot10=580,\] czyli \[y=150-\frac34x.\] Pole całej powierzchni magazynowej jest polem prostokąta o bokach \(x\) oraz \(2y\): \[P=x\cdot2y.\] Po podstawieniu zależności na \(y\) dostajemy \[P(x)=2x\left(150-\frac34x\right)=-\frac32x^2+300x.\] Warunki geometryczne \(x>0\) i \(y>10\) dają \(x\in(0,\frac{560}{3})\). Parabola jest skierowana ramionami w dół, więc maksimum przyjmuje w wierzchołku: \[x_w=-\frac{300}{2\cdot(-\frac32)}=100.\] Wtedy \[y=150-\frac34\cdot100=75.\] Zatem największe pole otrzymujemy dla \(x=100\,\mathrm{m}\) i \(y=75\,\mathrm{m}\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda obliczenia obu wymiarów i wyniki \(x=100\,\mathrm{m}\), \(y=75\,\mathrm{m}\) **3 pkt** – poprawny wzór na pole w zależności od jednej zmiennej oraz obliczenie \(x=100\,\mathrm{m}\) **2 pkt** – zapisanie \(P(x)=2x(150-\frac34x)\) dla \(x\in(0,\frac{560}{3})\) **1 pkt** – zapisanie \(P=x\cdot2y\) albo związku \(3x+4y-20=580\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych. IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii rozwiązywania zadań. **Wymagania szczegółowe:** XIII. Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Równania i nierówności

Zadanie 32.1, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy

zbiór zadań z informatora 2025podstawowy1 pkt
Tor ruchu środka piłki opisuje parabola \[y=-0{,}174x^2+1{,}3x+2{,}5.\] W chwili początkowej środek piłki znajdował się w punkcie \((0,2{,}50)\), a środek obręczy był oddalony poziomo o \(x_k=7{,}01\,\mathrm{m}\). Rzut był celny. Obręcz kosza znajduje się na wysokości, podanej z dokładnością do \(0{,}01\,\mathrm{m}\), **A.** \(3{,}04\,\mathrm{m}\) **B.** \(3{,}06\,\mathrm{m}\) **C.** \(3{,}80\,\mathrm{m}\) **D.** \(4{,}93\,\mathrm{m}\)
Wycinek arkusza CKE: tor rzutu piłki do kosza w układzie współrzędnych, oś pozioma x w metrach, oś pionowa y w metrach. Przy osi pionowej sylwetka koszykarza; tor zaczyna się na wysokości 2,5 m nad punktem (0,0), wznosi się do maksimum mniej więcej w połowie rysunku i opada. Na opadającej gałęzi narysowano piłkę, dalej obręcz kosza z tablicą; położenie obręczy zaznaczono linią przerywaną przy odciętej 7,01. Poza wartościami 2,5 i 7,01 osie nie mają podziałki.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**B.** \(3{,}06\,\mathrm{m}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Podstawiamy \(x_k=7{,}01\): \[y(7{,}01)=-0{,}174(7{,}01)^2+1{,}3\cdot7{,}01+2{,}5\approx3{,}06.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** V.11) Zdający wykorzystuje funkcję kwadratową do interpretacji zagadnień fizycznych i praktycznych.

Równania i nierówności

Zadanie 32.1, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2025, poziom podstawowy

zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2025podstawowy1 pkt
Tor ruchu środka rzuconej piłki opisuje parabola \[y=-0{,}174x^2+1{,}3x+2{,}5.\] W chwili początkowej środek piłki znajdował się w punkcie \((0,2{,}50)\). Koszykarz rzucił piłkę do kosza z odległości poziomej \(x_k=7{,}01\,\mathrm{m}\). Rzut był celny i środek piłki przeszedł przez środek obręczy. Sytuację przedstawiono na rysunku. Obręcz kosza znajduje się na wysokości, podanej z dokładnością do \(0{,}01\,\mathrm{m}\), **A.** \(3{,}04\,\mathrm{m}\) **B.** \(3{,}06\,\mathrm{m}\) **C.** \(3{,}80\,\mathrm{m}\) **D.** \(4{,}93\,\mathrm{m}\)
Wycinek arkusza CKE: tor rzutu piłki do kosza w układzie współrzędnych, oś pozioma x w metrach, oś pionowa y w metrach. Przy osi pionowej sylwetka koszykarza; tor zaczyna się na wysokości 2,5 m nad punktem (0,0), wznosi się do maksimum mniej więcej w połowie rysunku i opada. Na opadającej gałęzi narysowano piłkę, dalej obręcz kosza z tablicą; położenie obręczy zaznaczono linią przerywaną przy odciętej 7,01. Poza wartościami 2,5 i 7,01 osie nie mają podziałki.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**B.** \(3{,}06\,\mathrm{m}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Podstawiamy poziomą odległość obręczy \(x_k=7{,}01\) do wzoru funkcji: \[y(7{,}01)=-0{,}174\cdot(7{,}01)^2+1{,}3\cdot7{,}01+2{,}5\approx3{,}06.\] Obręcz znajduje się na wysokości około \(3{,}06\,\mathrm{m}\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie modeli matematycznych do problemów praktycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.11) Zdający wykorzystuje własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień fizycznych i praktycznych.

Równania i nierówności

Zadanie 32.2, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2025, poziom podstawowy

zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2025podstawowy2 pkt
Tor ruchu środka rzuconej piłki opisuje parabola \[y=-0{,}174x^2+1{,}3x+2{,}5.\] W chwili początkowej środek piłki znajdował się w punkcie \((0,2{,}50)\). Sytuację przedstawiono na rysunku. Oblicz maksymalną wysokość środka piłki podczas rzutu. Wynik podaj z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku.
Wycinek arkusza CKE: tor rzutu piłki do kosza w układzie współrzędnych, oś pozioma x w metrach, oś pionowa y w metrach. Przy osi pionowej sylwetka koszykarza; tor zaczyna się na wysokości 2,5 m nad punktem (0,0), wznosi się do maksimum mniej więcej w połowie rysunku i opada. Na opadającej gałęzi narysowano piłkę, dalej obręcz kosza z tablicą; położenie obręczy zaznaczono linią przerywaną przy odciętej 7,01. Poza wartościami 2,5 i 7,01 osie nie mają podziałki.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
\[h_{\max}\approx4{,}93\,\mathrm{m}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Maksymalna wysokość jest rzędną wierzchołka paraboli. Dla \(a=-0{,}174\), \(b=1{,}3\), \(c=2{,}5\) mamy \[h_{\max}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{1{,}3^2-4\cdot(-0{,}174)\cdot2{,}5}{4\cdot(-0{,}174)}\approx4{,}93\,\mathrm{m}.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(4{,}93\,\mathrm{m}\) **1 pkt** – zastosowanie wzoru na wierzchołek paraboli i prawidłowe podstawienie danych albo zapisanie funkcji w postaci kanonicznej oraz rozpoznanie rzędnej wierzchołka jako maksymalnej wysokości **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.10) Zdający wyznacza największą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym. V.11) Wykorzystuje własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień fizycznych i praktycznych.

Równania i nierówności

Zadanie 32.2, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy

zbiór zadań z informatora 2025podstawowy2 pkt
Tor ruchu środka piłki opisuje parabola \[y=-0{,}174x^2+1{,}3x+2{,}5.\] Oblicz maksymalną wysokość środka piłki podczas rzutu. Wynik podaj w metrach z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku.
Wycinek arkusza CKE: tor rzutu piłki do kosza w układzie współrzędnych, oś pozioma x w metrach, oś pionowa y w metrach. Przy osi pionowej sylwetka koszykarza; tor zaczyna się na wysokości 2,5 m nad punktem (0,0), wznosi się do maksimum mniej więcej w połowie rysunku i opada. Na opadającej gałęzi narysowano piłkę, dalej obręcz kosza z tablicą; położenie obręczy zaznaczono linią przerywaną przy odciętej 7,01. Poza wartościami 2,5 i 7,01 osie nie mają podziałki.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
\[h_{\max}\approx4{,}93\,\mathrm{m}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Maksymalna wysokość jest rzędną wierzchołka paraboli. Dla \(a=-0{,}174\), \(b=1{,}3\), \(c=2{,}5\): \[h_{\max}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{1{,}3^2-4\cdot(-0{,}174)\cdot2{,}5}{4\cdot(-0{,}174)}\approx4{,}93\,\mathrm{m}.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(4{,}93\,\mathrm{m}\) **1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru na wierzchołek albo zapis funkcji w postaci kanonicznej i rozpoznanie rzędnej wierzchołka **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** V.10) Zdający wyznacza największą wartość funkcji kwadratowej. V.11) Interpretuje funkcję kwadratową w zagadnieniu praktycznym.

Równania kwadratowe

Zadanie 32.3, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2025, poziom podstawowy

zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2025podstawowy3 pkt
Tor ruchu środka rzuconej piłki opisuje parabola \[y=-0{,}174x^2+1{,}3x+2{,}5.\] Piłka przeleciała przez obręcz kosza i upadła na podłogę. Promień piłki wynosi \(0{,}12\,\mathrm{m}\). Oblicz współrzędną \(x\) środka piłki w chwili, w której piłka dotknęła podłogi. Wynik podaj z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku.
Wycinek arkusza CKE: tor rzutu piłki do kosza w układzie współrzędnych, oś pozioma x w metrach, oś pionowa y w metrach. Przy osi pionowej sylwetka koszykarza; tor zaczyna się na wysokości 2,5 m nad punktem (0,0), wznosi się do maksimum mniej więcej w połowie rysunku i opada. Na opadającej gałęzi narysowano piłkę, dalej obręcz kosza z tablicą; położenie obręczy zaznaczono linią przerywaną przy odciętej 7,01. Poza wartościami 2,5 i 7,01 osie nie mają podziałki.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
\[x\approx8{,}99\,\mathrm{m}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
W chwili zetknięcia piłki z podłogą jej środek znajduje się na wysokości równej promieniowi, więc \(y=0{,}12\). Otrzymujemy \[0{,}12=-0{,}174x^2+1{,}3x+2{,}5,\] \[0{,}174x^2-1{,}3x-2{,}38=0.\] Wyróżnik jest równy \[\Delta=(-1{,}3)^2-4\cdot0{,}174\cdot(-2{,}38)=3{,}34648.\] Stąd \[x_1=\frac{1{,}3-\sqrt{3{,}34648}}{0{,}348}\approx-1{,}52,\qquad x_2=\frac{1{,}3+\sqrt{3{,}34648}}{0{,}348}\approx8{,}99.\] Znaczenie fizyczne ma dodatni pierwiastek, zatem \(x\approx8{,}99\,\mathrm{m}\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda wyznaczenia współrzędnej \(x\) i wynik \(8{,}99\,\mathrm{m}\) **2 pkt** – poprawne rozwiązanie równania \(0{,}174x^2-1{,}3x-2{,}38=0\) **1 pkt** – zapisanie równania \(0{,}12=-0{,}174x^2+1{,}3x+2{,}5\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.4) Zdający rozwiązuje równania kwadratowe. V.11) Wykorzystuje własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień fizycznych i praktycznych.

Inne zagadnienia

Zadanie 31, maj 2025, poziom podstawowy

maj 2025podstawowy4 pkt
Rozważamy prostopadłościany \(ABCDEFGH\), w których krawędź \(BC\) ma długość \(4\), a suma długości trzech krawędzi wychodzących z wierzchołka \(B\) jest równa \(15\). Funkcja \(P(x)\) oznacza pole powierzchni całkowitej w zależności od długości \(x\) krawędzi \(AB\). Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji \(P\). Oblicz długość \(x\) krawędzi \(AB\) prostopadłościanu, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.
Prostopadłościan ABCDEFGH narysowany w rzucie równoległym: podstawa dolna ABCD, podstawa górna EFGH, krawędzie niewidoczne linią przerywaną. Krawędź AB podstawy dolnej oznaczona literą x, krawędź BC oznaczona liczbą 4. Wysokość bryły, czyli krawędź BF, nie ma oznaczenia na rysunku.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
\[P(x)=-2x^{2}+22x+88,\qquad D_P=(0,11),\qquad x=\frac{11}{2}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że z wierzchołka \(B\) wychodzą trzy krawędzie prostopadłościanu: \(BA\), \(BC\) oraz \(BF\), przy czym \(|AB|=x\) i \(|BC|=4\). **Wzór i dziedzina.** Z warunku na sumę długości tych krawędzi \[x+4+|BF|=15,\qquad\text{czyli}\qquad |BF|=11-x.\] Długości krawędzi muszą być dodatnie, więc \(x>0\) oraz \(11-x>0\). Stąd \[D_P=(0,11).\] Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach \(a\), \(b\), \(c\) wynosi \(2(ab+bc+ca)\), zatem \[P(x)=2\bigl(4x+x(11-x)+4(11-x)\bigr)=2\left(4x+11x-x^{2}+44-4x\right)=-2x^{2}+22x+88.\] **Maksimum.** Funkcja \(P\) jest kwadratowa o współczynniku \(a=-2<0\), więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół i największą wartość przyjmuje w wierzchołku: \[x_w=-\frac{22}{2\cdot(-2)}=\frac{22}{4}=\frac{11}{2}.\] Liczba \(\frac{11}{2}=5{,}5\) należy do dziedziny \((0,11)\), więc maksimum jest osiągane wewnątrz dziedziny i jest maksimum globalnym na całym tym przedziale. **Odpowiedź.** \(P(x)=-2x^{2}+22x+88\) dla \(x\in(0,11)\); pole powierzchni całkowitej jest największe dla \(|AB|=\frac{11}{2}\) i wynosi wtedy \(P\!\left(\frac{11}{2}\right)=\frac{297}{2}\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda oraz wyznaczenie wzoru \(P(x)=-2x^{2}+22x+88\), dziedziny \(D_P=(0,11)\) i argumentu maksimum \(x=\frac{11}{2}\) **3 pkt** – wyznaczenie wzoru funkcji \(P\) wraz z dziedziną **2 pkt** – zapisanie zależności między długościami krawędzi \(BF\) i \(AB\), na przykład \(x+4+|BF|=15\), oraz zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej w zależności od \(x\) i \(|BF|\): \(P=2\left(4x+x\cdot|BF|+4\cdot|BF|\right)\) **1 pkt** – zapisanie zależności \(|BF|=11-x\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** budowanie modelu funkcyjnego opisującego pole powierzchni bryły, wyznaczanie dziedziny wynikającej z warunków geometrycznych oraz rozwiązywanie zadania optymalizacyjnego opisanego funkcją kwadratową. Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera pełnej tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 12.1, maj 2025, poziom podstawowy

maj 2025podstawowy2 pkt
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne \((3,6)\). Ta parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych \((0,3)\). Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.
Fragment paraboli w kartezjańskim układzie współrzędnych na kratownicy; oś Ox od -3 do 5, oś Oy od -2 do 6. Parabola o ramionach skierowanych w dół, wierzchołek w punkcie (3,6), przecina oś Oy w punkcie (0,3) i oś Ox w punkcie o odciętej między -2 a -1. Poniżej kratownica na zapis rozwiązania.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
Postać kanoniczna ma postać \(f(x)=a(x-3)^{2}+6\). Ponieważ punkt \((0,3)\) należy do wykresu, \[3=a(0-3)^{2}+6,\qquad 9a=-3,\qquad a=-\frac13.\] Zatem \(f(x)=-\frac13(x-3)^{2}+6\).
Rozwiązanie krok po kroku
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \((p,q)\) są współrzędnymi wierzchołka paraboli. Z treści zadania i z rysunku odczytujemy wierzchołek \((3,6)\), więc \[f(x)=a(x-3)^2+6.\] Współczynnik \(a\) wyznaczamy z warunku, że parabola przechodzi przez punkt \((0,3)\): \[3=a(0-3)^2+6,\qquad 9a=-3,\qquad a=-\frac13.\] Znak ujemny zgadza się z rysunkiem — ramiona paraboli są skierowane w dół. Zatem \[f(x)=-\frac13(x-3)^2+6.\] Sprawdzenie: \(f(0)=-\frac13\cdot9+6=-3+6=3\) oraz \(f(3)=6\). **Odpowiedź.** \(f(x)=-\frac13(x-3)^2+6\)
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci kanonicznej: \(f(x)=\) […]. **1 pkt** – zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci \(f(x)=a(x-\) […] \()+6\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia \(a\), np.: […] ALBO – obliczenie (lub podanie wraz z uzasadnieniem) współczynnika \(a\): \(a=\) […]. **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający zapisze \(f(x)=\) […] \((x-\) […] \()+6\) i nie obliczy (ani nie uzasadni), że […], to otrzymuje 1 punkt. 2. Jeżeli zdający zapisze wzór funkcji \(f\) w postaci \(f(x)=a(x-\) […] \()+6\) oraz poprawnie obliczy współczynnik \(a\), to otrzymuje 2 punkty.
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymaganie szczegółowe:** V.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 12.2, maj 2025, poziom podstawowy

maj 2025podstawowy1 pkt
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne \((3,6)\). Ta parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych \((0,3)\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu **A.** \(x=3\) **B.** \(x=-3\) **C.** \(y=6\) **D.** \(y=-6\)
Fragment paraboli w kartezjańskim układzie współrzędnych na kratownicy; oś Ox od -3 do 5, oś Oy od -2 do 6. Parabola o ramionach skierowanych w dół, wierzchołek w punkcie (3,6), przecina oś Oy w punkcie (0,3) i oś Ox w punkcie o odciętej między -2 a -1. Wykres opisano jako y = f(x).
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**A.** Oś symetrii paraboli przechodzi przez jej wierzchołek \((3,6)\), więc ma równanie \(x=3\).
Rozwiązanie krok po kroku
Osią symetrii paraboli jest prosta pionowa przechodząca przez jej wierzchołek. Wierzchołek ma współrzędne \((3,6)\), więc oś symetrii jest prostą o równaniu \[x=3.\] Warianty C i D podają proste poziome, które nie mogą być osiami symetrii wykresu funkcji (prosta pozioma przecinałaby parabolę w co najwyżej dwóch punktach, a odbicie względem niej nie przeprowadza wykresu funkcji na siebie). Wariant B odpowiadałby wierzchołkowi o odciętej \(-3\). **Odpowiedź.** A: \(x=3\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.11) Zdający wykorzystuje własności funkcji […] kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych […].

Inne zagadnienia

Zadanie 12.3, maj 2025, poziom podstawowy

maj 2025podstawowy1 pkt
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne \((3,6)\). Ta parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych \((0,3)\). Funkcja \(g\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(g(x)=f(x)-3\). Liczby \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(g\). Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe. Suma \(x_{1}+x_{2}\) jest równa ... .
Fragment paraboli w układzie współrzędnych z siatką. Ramiona skierowane w dół, wierzchołek w punkcie (3, 6). Krzywa przecina oś Oy w punkcie (0, 3) i oś Ox w punkcie o odciętej między −2 a −1; narysowany fragment kończy się przy x równym 5.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
\[x_1+x_2=6.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Miejsca zerowe funkcji \(g\) spełniają równanie \[g(x)=0\iff f(x)-3=0\iff f(x)=3.\] Z rysunku odczytujemy, że parabola przechodzi przez punkt \((0,3)\), więc \(f(0)=3\) i liczba \(x_1=0\) jest jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\). Wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny względem prostej pionowej przechodzącej przez wierzchołek. Wierzchołek ma współrzędne \((3,6)\), więc osią symetrii jest prosta \(x=3\). Drugi argument o tej samej wartości funkcji jest obrazem \(x_1\) w symetrii względem tej prostej: \[x_2=2\cdot3-0=6.\] Ponieważ \(x_1\ne x_2\), są to dwa różne miejsca zerowe. Stąd \[x_1+x_2=0+6=6.\] **Odpowiedź.** \(x_1+x_2=6\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: \(6\) **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.12) Zdający na podstawie wykresu funkcji \(y=f(x)\) szkicuje wykres funkcji \(y=f(x)+b\); V.4) Zdający odczytuje z wykresu funkcji miejsca zerowe.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 10, sierpień 2025, poziom podstawowy

sierpień 2025podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac12x^{2}+bx+c\), gdzie \(b\) oraz \(c\) są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(6\). W układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta o równaniu \(x=1\) jest osią symetrii wykresu funkcji \(f\). Współczynnik \(b\) jest równy **A.** \(-2\) **B.** \(-1\) **C.** \(-\frac12\) **D.** \(2\)

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
**B.** Dla funkcji \(f(x)=\frac12x^2+bx+c\) oś symetrii ma równanie \(x=-\frac{b}{2\cdot\frac12}=-b\). Ponieważ osią jest \(x=1\), otrzymujemy \(b=-1\).
Rozwiązanie krok po kroku
Osią symetrii paraboli jest prosta pionowa przechodząca przez jej wierzchołek, czyli \(x=p\), gdzie \(p=-\frac{b}{2a}\). We wzorze \(f(x)=\frac12x^2+bx+c\) mamy \(a=\frac12\), więc \[p=-\frac{b}{2\cdot\frac12}=-b.\] Z treści zadania osią symetrii jest prosta \(x=1\), zatem \[-b=1,\qquad b=-1.\] Informacja o miejscu zerowym \(6\) nie jest w tym podpunkcie potrzebna — służy do wyznaczenia współczynnika \(c\). **Odpowiedź.** B: \(b=-1\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wymaganie szczegółowe: 4.10) Interpretuje współczynniki funkcji kwadratowej w postaci ogólnej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 11, sierpień 2025, poziom podstawowy

sierpień 2025podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac12x^{2}+bx+c\), gdzie \(b\) oraz \(c\) są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(6\). W układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta o równaniu \(x=1\) jest osią symetrii wykresu funkcji \(f\). Funkcja \(f\) jest określona wzorem **A.** \(f(x)=\frac12(x-4)(x-6)\) **B.** \(f(x)=\frac12(x-4)(x+6)\) **C.** \(f(x)=\frac12(x+4)(x-6)\) **D.** \(f(x)=\frac12(x+4)(x+6)\)

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
**C.** Jedno miejsce zerowe wynosi \(6\), a z symetrii względem \(x=1\) drugie wynosi \(-4\). Przy współczynniku \(\frac12\) mamy \(f(x)=\frac12(x+4)(x-6)\).
Rozwiązanie krok po kroku
Wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny względem prostej \(x=1\), więc jej miejsca zerowe leżą symetrycznie po obu stronach liczby \(1\), w równych od niej odległościach. Jedno miejsce zerowe to \(6\), a jego odległość od osi symetrii wynosi \(6-1=5\). Drugie miejsce zerowe leży o \(5\) na lewo od osi: \[x_2=1-5=-4.\] Postać iloczynowa funkcji kwadratowej o miejscach zerowych \(-4\) i \(6\) oraz współczynniku \(a=\frac12\) (odczytanym ze wzoru ogólnego) to \[f(x)=\frac12\bigl(x-(-4)\bigr)(x-6)=\frac12(x+4)(x-6).\] Sprawdzenie: po wymnożeniu \(f(x)=\frac12(x^2-2x-24)=\frac12x^2-x-12\), czyli \(b=-1\), co zgadza się z osią symetrii \(x=-b=1\). **Odpowiedź.** C: \(f(x)=\frac12(x+4)(x-6)\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wymaganie szczegółowe: 4.9) Wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o funkcji lub wykresie.

Inne zagadnienia

Zadanie 31, sierpień 2025, poziom podstawowy

sierpień 2025podstawowy2 pkt
Hotel ma do dyspozycji gości \(80\) pokoi jednoosobowych. Przy wyjściowej cenie \(120\) zł za dobę wszystkie pokoje są wynajęte, a każdy wzrost ceny za dobę o \(5\) zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o \(1\). Dobowy przychód \(P\) hotelu, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej o \(5x\) złotych, opisuje funkcja \[P(x)=(80-x)(120+5x),\] gdzie \(x\) jest liczbą całkowitą spełniającą warunki \(0\leq x\leq80\). Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju za dobę, aby dobowy przychód hotelu był największy. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Cena za dobę powinna wynosić \(260\) zł.
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwijamy podany wzór przychodu: \[P(x)=(80-x)(120+5x)=9600+400x-120x-5x^{2}=-5x^{2}+280x+9600.\] Jest to funkcja kwadratowa o współczynniku \(a=-5<0\), więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół i największą wartość przyjmuje ona w wierzchołku. Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \[x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{280}{2\cdot(-5)}=28.\] Liczba \(28\) jest całkowita i spełnia warunki \(0\leq x\leq80\), należy więc do dziedziny — maksimum jest osiągane wewnątrz rozważanego zbioru, a nie na jego krańcu. Zmienna \(x\) oznacza liczbę podwyżek po \(5\) zł, zatem szukana cena to \[120+5\cdot28=120+140=260\ \text{zł}.\] **Odpowiedź.** Cena wynajęcia pokoju za dobę powinna wynosić \(260\) zł (przychód wynosi wtedy \(P(28)=52\cdot260=13\,520\) zł).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i poprawny wynik: cena \(260\) zł **1 pkt** – obliczenie liczby podwyżek \(x=28\) albo równoważne wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** rozwiązywanie zadania optymalizacyjnego opisanego funkcją kwadratową — wyznaczenie wierzchołka paraboli, sprawdzenie przynależności argumentu do dziedziny modelu i zinterpretowanie wyniku w kontekście zadania. Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 14.1, sierpień 2025, poziom podstawowy

sierpień 2025podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac12x^2+bx+c\), gdzie \(b\) oraz \(c\) są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(6\). W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta o równaniu \(x=1\) jest osią symetrii wykresu funkcji \(f\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja \(f\) jest określona wzorem **A.** \(f(x)=\frac12(x-4)(x-6)\) **B.** \(f(x)=\frac12(x-4)(x+6)\) **C.** \(f(x)=\frac12(x+4)(x-6)\) **D.** \(f(x)=\frac12(x+4)(x+6)\)

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
**C.** Drugie miejsce zerowe, symetryczne do \(6\) względem \(x=1\), wynosi \(-4\). Zatem \(f(x)=\frac12(x+4)(x-6)\).
Rozwiązanie krok po kroku
Wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny względem prostej \(x=1\), więc oba miejsca zerowe leżą w równych odległościach od liczby \(1\), po jej przeciwnych stronach. Jedno z nich to \(6\), a jego odległość od osi symetrii wynosi \(6-1=5\). Drugie leży o \(5\) na lewo: \[x_2=1-5=-4.\] Współczynnik przy \(x^2\) odczytujemy ze wzoru ogólnego: \(a=\frac12\). Postać iloczynowa jest więc równa \[f(x)=\frac12(x+4)(x-6).\] Sprawdzenie: \(f(6)=0\) oraz \(f(-4)=0\), a po wymnożeniu \(f(x)=\frac12x^2-x-12\), czyli oś symetrii \(x=-\frac{-1}{2\cdot\frac12}=1\). **Odpowiedź.** C: \(f(x)=\frac12(x+4)(x-6)\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.9) Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 14.2, sierpień 2025, poziom podstawowy

sierpień 2025podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac12x^2+bx+c\), gdzie \(b\) oraz \(c\) są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(6\). W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) prosta o równaniu \(x=1\) jest osią symetrii wykresu funkcji \(f\). Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz **P**, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo **F** - jeśli jest fałszywe. | Stwierdzenie | P | F | |---|:---:|:---:| | Współczynnik \(b\) we wzorze funkcji \(f\) jest liczbą dodatnią. | P | F | | Współczynnik \(c\) we wzorze funkcji \(f\) jest liczbą dodatnią. | P | F |
Wycinek arkusza CKE z informacją: wzór f(x) = jedna druga x kwadrat plus bx plus c, jedno z miejsc zerowych równe 6, prosta x = 1 jest osią symetrii wykresu; poniżej tabela z dwoma stwierdzeniami o znakach współczynników b i c oraz kolumnami P i F.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**F, F.** Po rozwinięciu \(f(x)=\frac12(x+4)(x-6)=\frac12x^2-x-12\). Zatem \(b=-1\) i \(c=-12\).
Rozwiązanie krok po kroku
Najpierw wyznaczamy wzór funkcji. Wykres jest symetryczny względem prostej \(x=1\), więc drugie miejsce zerowe leży symetrycznie do liczby \(6\) względem \(1\), czyli \[x_2=1-(6-1)=-4.\] Przy współczynniku \(a=\frac12\) otrzymujemy postać iloczynową, a po wymnożeniu postać ogólną: \[f(x)=\frac12(x+4)(x-6)=\frac12\left(x^2-2x-24\right)=\frac12x^2-x-12.\] Stąd \(b=-1\) oraz \(c=-12\). \(1\). Współczynnik \(b=-1\) jest liczbą ujemną, więc stwierdzenie „\(b\) jest liczbą dodatnią” jest **fałszywe**. \(2\). Współczynnik \(c=-12\) także jest ujemny (jest to wartość \(f(0)\), a wykres przecina oś \(Oy\) poniżej początku układu), więc drugie stwierdzenie również jest **fałszywe**. **Odpowiedź.** \(1\). F, \(2\). F
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.8) Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje).

Funkcja kwadratowa

Zadanie 14, czerwiec 2024, poziom podstawowy

czerwiec 2024podstawowy2 pkt
Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\), ma z osiami układu współrzędnych \((x,y)\) dokładnie dwa punkty wspólne: \(M=(0,18)\) oraz \(N=(3,0)\). Wyznacz wzór funkcji kwadratowej \(f\).

To zadanie nie zawiera gotowego rysunku; arkusz przewiduje puste miejsce na wykonanie rysunku przez zdającego. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
\[f(x)=2(x-3)^2=2x^2-12x+18.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Punkt \(N=(3,0)\) jest jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji \(f\) i osi \(Ox\), więc jest wierzchołkiem paraboli. Zapisujemy \[f(x)=a(x-3)^2,\qquad a\neq0.\] Punkt \(M=(0,18)\) leży na wykresie, zatem \[f(0)=18,\] \[a(0-3)^2=18,\] \[9a=18,\qquad a=2.\] Ostatecznie \[f(x)=2(x-3)^2=2x^2-12x+18.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i zapisanie wzoru funkcji \(f\) z poprawnymi wartościami współczynników, np. \(f(x)=2(x-3)^2\) lub \(f(x)=2x^2-12x+18\) **1 pkt** – zapisanie \(f(x)=a(x-3)^2\), uwzględnienie wyrazu wolnego \(c=18\), zapisanie warunku \(\Delta=0\) albo równoważnego warunku \(-\frac{b}{2a}=3\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania. **Wymagania szczegółowe:** V.9) Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 14, czerwiec 2024, poziom podstawowy

czerwiec 2024podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=-(x+1)^2+4.\] Wybierz spośród rysunków **A-D** fragment wykresu funkcji \(f\).
Dwa układy współrzędnych oznaczone A i B z osiami wyskalowanymi od -5 do 5; na rysunku A parabola o ramionach skierowanych w górę z wierzchołkiem (1, -4), na rysunku B parabola o ramionach w dół z wierzchołkiem (-1, 4).
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**B.**
Rozwiązanie krok po kroku
Funkcja jest zapisana w postaci kanonicznej. Jej wykres jest parabolą skierowaną ramionami w dół, o wierzchołku \[W=(-1,4).\] Takie własności ma wykres przedstawiony na rysunku **B**.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.7) Zdający szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem.

Optymalizacja

Zadanie 32, czerwiec 2024, poziom podstawowy

czerwiec 2024podstawowy2 pkt
Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że dzienny przychód \(P\) ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o \(x\) zł, wyraża się wzorem \[P(x)=(70-x)(20+x),\] gdzie \(x\) jest liczbą całkowitą spełniającą warunki \(x\geq0\) i \(x\leq60\). **Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedzi spośród A-E.** \(1\). Przychód jest największy dla \(x\) równego ... . \(2\). Przychód wynosi \(800\) zł dla \(x\) równego ... . **A.** \(25\) **B.** \(30\) **C.** \(45\) **D.** \(50\) **E.** \(60\)
Tabela do uzupełnienia o dwóch wierszach oznaczonych 32.1. i 32.2., z pustymi komórkami na wpisanie odpowiedzi wybranej spośród wariantów A–E. Wiersz 32.1. dotyczy wartości x, dla której dzienny przychód jest największy; wiersz 32.2. — wartości x, dla której przychód wynosi 800 zł. Na rysunku nie ma wykresu ani danych liczbowych spoza treści zadania.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**\(32\).\(1\). A.** \(25\) **\(32\).\(2\). E.** \(60\)
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwijamy wzór funkcji przychodu: \[P(x)=(70-x)(20+x)=-x^2+50x+1400.\] Jest to funkcja kwadratowa skierowana ramionami w dół. Współrzędna \(x\) wierzchołka wynosi \[x_w=-\frac{50}{2\cdot(-1)}=25,\] więc największy przychód uzyskuje się dla \(x=25\). Rozwiązujemy równanie \(P(x)=800\): \[-x^2+50x+1400=800,\] \[x^2-50x-600=0.\] Mamy \(\Delta=4900\), więc \[x=\frac{50\pm70}{2}.\] Otrzymujemy \(x=60\) lub \(x=-10\). Warunki \(0\leq x\leq60\) spełnia tylko \(x=60\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi: **A** i **E** **1 pkt** – wybranie jednej poprawnej odpowiedzi **0 pkt** – odpowiedzi niepoprawne albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 15.2, czerwiec 2024, poziom podstawowy

czerwiec 2024podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=-(x+1)^2+4.\] **Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.** \(1\). Wykres funkcji \(f\) przecina oś \(Oy\) kartezjańskiego układu współrzędnych \((x,y)\) w punkcie o współrzędnych \((0,4)\). \(2\). Miejsca zerowe funkcji \(f\) są równe \(-3\) oraz \(1\).
Tabela z dwoma wierszami: pierwszy dotyczy punktu przecięcia wykresu funkcji f z osią Oy, drugi jej miejsc zerowych; obok każdego zdania kolumny z literami P i F do zaznaczenia.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**F, P.**
Rozwiązanie krok po kroku
Obliczamy wartość funkcji dla \(x=0\): \[f(0)=-(0+1)^2+4=3,\] więc wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,3)\), a pierwsze stwierdzenie jest fałszywe. Miejsca zerowe spełniają \[-(x+1)^2+4=0,\] \[(x+1)^2=4,\] \[x+1=\pm2.\] Stąd \(x=-3\) lub \(x=1\), więc drugie stwierdzenie jest prawdziwe.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **FP** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.2) Zdający oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym. V.8) Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 30, próbna grudzień 2024, poziom podstawowy

próbna grudzień 2024podstawowy4 pkt
Rozważamy wszystkie prostopadłościany \(ABCDEFGH\), w których krawędź \(AE\) jest \(3\) razy dłuższa od krawędzi \(AB\), a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa \(48\) (zobacz rysunek). Niech \(P(x)\) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości \(x\) krawędzi \(AB\). **Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji \(P\). Oblicz długość \(x\) krawędzi \(AB\) tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.**
Prostopadłościan ABCDEFGH z podstawą ABCD i górną ścianą EFGH; krawędź AB oznaczono literą x, a krawędzie niewidoczne narysowano linią przerywaną.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
\[P(x)=-26x^2+96x,\qquad D_P=(0,3),\qquad x=\frac{24}{13}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Mamy \(|AB|=x\) oraz \(|AE|=3x\). Oznaczmy \(|AD|=y\). Suma długości wszystkich dwunastu krawędzi jest równa \[4x+4y+4\cdot3x=48.\] Po podzieleniu przez \(4\): \[x+y+3x=12,\qquad y=12-4x.\] Pole powierzchni całkowitej wynosi \[P=2(xy+x\cdot3x+y\cdot3x).\] Podstawiamy \(y=12-4x\): \[P(x)=2[x(12-4x)+3x^2+3x(12-4x)]\] \[=2(-13x^2+48x)=-26x^2+96x.\] Wszystkie długości muszą być dodatnie: \[x>0,\qquad 12-4x>0,\qquad 3x>0,\] więc \[D_P=(0,3).\] Wykres funkcji \(P\) jest parabolą skierowaną ramionami w dół. Pierwsza współrzędna jej wierzchołka jest równa \[x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{96}{2\cdot(-26)}=\frac{24}{13}.\] Ponieważ \(\frac{24}{13}\in(0,3)\), dla tej wartości funkcja przyjmuje wartość największą. Zatem szukana długość wynosi \[x=\frac{24}{13}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: \(P(x)=-26x^2+96x\), \(D_P=(0,3)\), \(x=\frac{24}{13}\) **3 pkt** – zapisanie poprawnego wzoru funkcji i wyznaczenie jej dziedziny; albo zapisanie poprawnego wzoru funkcji i prawidłowe obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka \(x=\frac{24}{13}\) **2 pkt** – zapisanie poprawnego wzoru \(P(x)=-26x^2+96x\); albo zapisanie zależności między długościami krawędzi i wyznaczenie \(x\in(0,3)\) **1 pkt** – zapisanie zależności \(4x+4|AD|+4\cdot3x=48\); albo wyznaczenie dziedziny \(x\in(0,3)\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Inne zagadnienia

Zadanie 12.1, próbna grudzień 2024, poziom podstawowy

próbna grudzień 2024podstawowy1 pkt
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \((3,0)\). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych \((0,-9)\). **Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale **A.** \(( -\infty,0]\) **B.** \(( -\infty,3]\) **C.** \([0,+\infty)\) **D.** \([3,+\infty)\)

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
**D.** \([3,+\infty)\)
Rozwiązanie krok po kroku
Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((3,0)\), a punkt \((0,-9)\) leży poniżej wierzchołka. Ramiona paraboli są więc skierowane w dół. Funkcja rośnie do argumentu \(3\), a następnie maleje. Zatem jest malejąca w przedziale \[[3,+\infty).\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 3. Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu. **Wymagania szczegółowe:** V.4) Zdający odczytuje przedziały monotoniczności funkcji.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 12.2, próbna grudzień 2024, poziom podstawowy

próbna grudzień 2024podstawowy2 pkt
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \((3,0)\). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych \((0,-9)\). **Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.** Wzór funkcji \(f\) zapisano w odpowiedziach oznaczonych literami ... oraz ... . **A.** \(f(x)=-x^2-9\) **B.** \(f(x)=-(x-3)^2\) **C.** \(f(x)=-(x+3)^2\) **D.** \(f(x)=-x^2+6x-9\) **E.** \(f(x)=-x^2-6x+9\) **F.** \(f(x)=-x^2-6x-9\)

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
**B oraz D.**
Rozwiązanie krok po kroku
Postać kanoniczna funkcji o wierzchołku \((3,0)\) ma postać \[f(x)=a(x-3)^2.\] Ponieważ wykres przechodzi przez \((0,-9)\), mamy \[-9=a(0-3)^2=9a,\] stąd \(a=-1\). Zatem \[f(x)=-(x-3)^2.\] Po rozwinięciu kwadratu: \[f(x)=-(x^2-6x+9)=-x^2+6x-9.\] Są to wzory podane w odpowiedziach **B** i **D**.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne: **B** i **D** **1 pkt** – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Wybranie co najmniej trzech odpowiedzi daje \(0\) punktów
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.9) Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.

Inne zagadnienia

Zadanie 31, maj 2024, poziom podstawowy

maj 2024podstawowy4 pkt
W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt, którego wymiary oznaczono przez \(x\) oraz \(y\). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć \(36\) metrów bieżących siatki. **Oblicz wymiary \(x\) oraz \(y\) jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.**
Schematyczny rysunek trzech przylegających do siebie prostokątnych wybiegów widzianych z góry, oznaczonych „wybieg 1.”, „wybieg 2.” i „wybieg 3.”. Siatkę zaznaczono linią przerywaną. Wspólna wysokość wszystkich trzech prostokątów oznaczona literą x i zaznaczona strzałką po lewej stronie. Szerokość każdego z prostokątów oznaczona literą y i zaznaczona trzema strzałkami nad rysunkiem.
Oryginalny wycinek CKE z materiałem graficznym niezbędnym do rozwiązania zadania.
Odpowiedź
\[x=4{,}5\ \mathrm{m},\qquad y=3\ \mathrm{m}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Długość całej siatki opisuje równanie \[4x+6y=36,\] więc \[y=6-\frac23x.\] Suma pól trzech wybiegów jest równa \[P=3xy.\] Po podstawieniu zależności między wymiarami otrzymujemy \[P(x)=3x\left(6-\frac23x\right)=-2x^2+18x,\qquad x\in(0,9).\] Wykres tej funkcji jest parabolą skierowaną ramionami w dół. Pierwsza współrzędna jej wierzchołka wynosi \[x=-\frac{18}{2\cdot(-2)}=4{,}5.\] Wtedy \[y=6-\frac23\cdot4{,}5=3.\] Suma pól jest największa dla \(x=4{,}5\ \mathrm{m}\) oraz \(y=3\ \mathrm{m}\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda obliczenia obu wymiarów prostokąta i wynik \(x=4{,}5\ \mathrm{m}\), \(y=3\ \mathrm{m}\) **3 pkt** – poprawny wzór opisujący pole jako funkcję jednej zmiennej oraz poprawne wyznaczenie argumentu, dla którego funkcja przyjmuje wartość największą: \(x=4{,}5\ \mathrm{m}\) albo \(y=3\ \mathrm{m}\) **2 pkt** – poprawny wzór opisujący sumę pól albo pole jednego wybiegu jako funkcję jednej zmiennej, np. \(P(x)=3x\left(6-\frac23x\right)\) **1 pkt** – poprawna zależność między wymiarami a długością siatki, np. \(4x+6y=36\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 14.2, maj 2024, poziom podstawowy

maj 2024podstawowy1 pkt
Na podstawie przedstawionego wykresu funkcji kwadratowej \(f\) wybierz jej wzór. **A.** \(f(x)=-(x+1)^2-9\) **B.** \(f(x)=-(x-1)^2+9\) **C.** \(f(x)=-(x-1)^2-9\) **D.** \(f(x)=-(x+1)^2+9\)
Parabola opisana jako y = f(x), o ramionach skierowanych w dół, z wierzchołkiem w punkcie (1,9) i punktami przecięcia z osią x w -2 oraz 4; osie wyskalowane co 1, x od -7 do 7, y od -6 do 10.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**B.** \(f(x)=-(x-1)^2+9\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z wykresu odczytujemy wierzchołek paraboli \((1,9)\), więc wzór w postaci kanonicznej ma postać \[f(x)=a(x-1)^2+9.\] Ramiona paraboli są skierowane w dół, zatem \(a<0\). Spośród podanych odpowiedzi warunki te spełnia \[f(x)=-(x-1)^2+9.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych. **Wymagania szczegółowe:** V.9) Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 14, sierpień 2024, poziom podstawowy

sierpień 2024podstawowy1 pkt
W układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((1,-2)\). **Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu **A.** \(x=1\) **B.** \(y=1\) **C.** \(x=-2\) **D.** \(y=-2\)
Parabola y = f(x) o ramionach skierowanych w górę, na kratce z osią x od -3 do 5 i osią y od -3 do 6; wierzchołek w punkcie (1, -2), przecięcia z osią x w -1 i 3.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**A.** \(x=1\)
Rozwiązanie krok po kroku
Oś symetrii paraboli jest pionową prostą przechodzącą przez jej wierzchołek. Wierzchołek ma pierwszą współrzędną równą \(1\), więc oś symetrii ma równanie \[x=1.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** G10.16) Zdający wskazuje oś symetrii figury. 8.1) Zdający wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 15, sierpień 2024, poziom podstawowy

sierpień 2024podstawowy1 pkt
W układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((1,-2)\), a jej miejsca zerowe są równe \(-1\) i \(3\). **Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Funkcja \(f\) jest określona wzorem **A.** \(f(x)=\frac{(x-1)^2}{2}+2\) **B.** \(f(x)=\frac{(x+1)^2}{2}+2\) **C.** \(f(x)=\frac{(x-1)^2}{2}-2\) **D.** \(f(x)=\frac{(x+1)^2}{2}-2\)
Parabola y = f(x) o ramionach skierowanych w górę na siatce, oś x od -3 do 5, oś y od -3 do 6; wierzchołek w punkcie (1, -2), a wykres przecina oś x w punktach -1 oraz 3.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**C.** \(f(x)=\frac{(x-1)^2}{2}-2\)
Rozwiązanie krok po kroku
Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((1,-2)\), więc wzór w postaci kanonicznej ma postać \[f(x)=a(x-1)^2-2.\] Z wykresu odczytujemy miejsce zerowe \(x=3\). Zatem \[0=a(3-1)^2-2=4a-2,\] więc \(a=\frac12\). Otrzymujemy \[f(x)=\frac{(x-1)^2}{2}-2.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.9) Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.

Optymalizacja

Zadanie 30, sierpień 2024, poziom podstawowy

sierpień 2024podstawowy3 pkt
Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\) oraz \(y\) jest równa \(12\). **Wyznacz \(x\) oraz \(y\), dla których wartość wyrażenia \(2x^2+y^2\) jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[x=4,\qquad y=8,\qquad \min(2x^2+y^2)=96.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z warunku \[x+y=12\] otrzymujemy \(y=12-x\). Ponieważ \(x\geq0\) i \(y\geq0\), mamy \(x\in[0,12]\). Wyrażenie zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej: \[f(x)=2x^2+(12-x)^2=2x^2+144-24x+x^2=3x^2-24x+144.\] Sprowadzamy funkcję do postaci kanonicznej: \[f(x)=3(x^2-8x)+144=3\bigl((x-4)^2-16\bigr)+144=3(x-4)^2+96.\] Ponieważ \(3(x-4)^2\geq0\), najmniejsza wartość funkcji jest równa \(96\) i jest przyjmowana dla \(x=4\). Wtedy \[y=12-4=8.\] Zatem \[x=4,\qquad y=8,\qquad \min(2x^2+y^2)=96.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x=4\), \(y=8\), a najmniejsza wartość wyrażenia \(2x^2+y^2\) jest równa \(96\) **2 pkt** – zapisanie poprawnego wzoru funkcji jednej zmiennej, na przykład \(f(x)=2x^2+(12-x)^2\), oraz obliczenie argumentu minimum \(x=4\) albo wartości minimum \(96\); równoważnie: zapisanie \(f(y)=2(12-y)^2+y^2\) oraz obliczenie \(y=8\) albo wartości \(96\) **1 pkt** – zapisanie poprawnego wzoru opisującego \(2x^2+y^2\) jako funkcję jednej zmiennej, na przykład \(f(x)=2x^2+(12-x)^2\) albo \(f(y)=2(12-y)^2+y^2\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania **Uwagi CKE:** argument minimum musi należeć do przedziału \([0,12]\). Samo sprawdzenie kilku par \((x,y)\), bez poprawnego modelu funkcji jednej zmiennej i bez odwołania do własności funkcji kwadratowej, nie uzasadnia pełnego wyniku.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 12.1, sierpień 2024, poziom podstawowy

sierpień 2024podstawowy1 pkt
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią \(Ox\) układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. Z wykresu odczytujemy wierzchołek \((1,-2)\) oraz miejsca zerowe \(-1\) i \(3\). **Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział **A.** \(( -\infty,-2]\) **B.** \([1,+\infty)\) **C.** \([-1,3]\) **D.** \([-2,+\infty)\)
Parabola oznaczona y = f(x) w układzie współrzędnych z osią x od -3 do 5 i osią y od -3 do 6; ramiona skierowane w górę, wierzchołek w punkcie (1, -2), wykres przecina oś x dla x = -1 oraz x = 3.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**D.** \([-2,+\infty)\).
Rozwiązanie krok po kroku
Ramiona paraboli są skierowane ku górze, a jej wierzchołek ma współrzędne \((1,-2)\). Najmniejszą wartością funkcji jest więc \(-2\), a wszystkie większe wartości są przyjmowane. Zatem \[W_f=[-2,+\infty).\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów i tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.4) Zdający odczytuje z wykresu funkcji: [...] zbiór wartości [...].

Funkcja kwadratowa

Zadanie 12.2, sierpień 2024, poziom podstawowy

sierpień 2024podstawowy1 pkt
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią \(Ox\) układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. Z wykresu odczytujemy wierzchołek \((1,-2)\) oraz miejsca zerowe \(-1\) i \(3\). **Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu **A.** \(x=1\) **B.** \(y=1\) **C.** \(x=-2\) **D.** \(y=-2\)
Parabola y = f(x) o ramionach skierowanych w górę w układzie współrzędnych z osią x od -3 do 5 i osią y od -3 do 6; wierzchołek w punkcie (1, -2), miejsca zerowe -1 oraz 3.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**A.** \(x=1\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oś symetrii paraboli przechodzi przez jej wierzchołek \((1,-2)\) i jest pionowa. Ma zatem równanie \[x=1.\] Poprawna jest odpowiedź **A**.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów i tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.11) Zdający wykorzystuje własności funkcji [...] kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych [...].

Funkcja kwadratowa

Zadanie 12.3, sierpień 2024, poziom podstawowy

sierpień 2024podstawowy1 pkt
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią \(Ox\) układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. Z wykresu odczytujemy wierzchołek \((1,-2)\) oraz miejsca zerowe \(-1\) i \(3\). **Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Funkcja \(f\) jest określona wzorem **A.** \(f(x)=\frac12(x-1)^2+2\) **B.** \(f(x)=\frac12(x+1)^2+2\) **C.** \(f(x)=\frac12(x-1)^2-2\) **D.** \(f(x)=\frac12(x+1)^2-2\)
Parabola opisana jako y = f(x), o ramionach skierowanych w górę, z wierzchołkiem w punkcie (1,-2) i miejscami przecięcia z osią x w -1 oraz 3; osie wyskalowane co 1, x od -3 do 5, y od -3 do 6.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**C.** \(f(x)=\frac12(x-1)^2-2\).
Rozwiązanie krok po kroku
Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((1,-2)\), więc jej wzór w postaci kanonicznej ma postać \[f(x)=a(x-1)^2-2.\] Z wykresu odczytujemy miejsce zerowe \(x=3\). Zatem \[0=a(3-1)^2-2=4a-2,\] skąd \(a=\frac12\). Otrzymujemy \[f(x)=\frac12(x-1)^2-2.\] Poprawna jest odpowiedź **C**.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 2. Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych. **Wymagania szczegółowe:** V.9) Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji [...] o jej wykresie.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 29, arkusz pokazowy 2023, poziom podstawowy

arkusz pokazowy 2023podstawowy4 pkt
Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym \(200\) i kącie ostrym o mierze \(30^\circ\). **Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości \(x\) boku równoległoboku. Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
Boki mają długości \(50\) i \(50\), a największe pole wynosi \(1250\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech długości boków będą równe \(x\) i \(y\). Z warunku obwodu \(2x+2y=200\), więc \(y=100-x\) oraz \(x\in(0,100)\). Pole jest równe \[P(x)=xy\sin30^\circ=x(100-x)\cdot\frac12=-\frac12x^2+50x.\] Parabola ma ramiona skierowane w dół, a jej wierzchołek ma pierwszą współrzędną \[x=-\frac{50}{2\cdot(-\frac12)}=50.\] Wtedy \(y=50\) i \[P(50)=\frac12\cdot50\cdot50=1250.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda, wymiary \(50\) i \(50\) oraz największe pole \(1250\) **3 pkt** – poprawny wzór z dziedziną oraz wyznaczenie \(x=50\) **2 pkt** – zapisanie \(P(x)=\frac12x(100-x)\) z poprawną dziedziną **1 pkt** – zapisanie \(P=xy\sin30^\circ\) albo \(2x+2y=200\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja; tworzenie strategii rozwiązania w sytuacji nietypowej. **Wymagania szczegółowe:** XIII rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych z wykorzystaniem własności funkcji kwadratowej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 10.3, arkusz pokazowy 2023, poziom podstawowy

arkusz pokazowy 2023podstawowy3 pkt
Dana jest funkcja kwadratowa \(f\), której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku. Wierzchołek paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite. **Zadanie \(10\).\(3\).** Wyznacz wzór funkcji kwadratowej \(f\) w postaci kanonicznej. **Zapisz obliczenia.**
Skan fragmentu arkusza z zadaniem 10: obok treści mały wykres paraboli o ramionach skierowanych w dół, z wierzchołkiem nad osią x, na siatce z jednostką 2 na obu osiach, oraz pusta kratownica na obliczenia.
Oryginalny wycinek CKE z materiałem graficznym niezbędnym do rozwiązania zadania.
Odpowiedź
\(f(x)=-2(x-1)^2+8\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z wykresu odczytujemy wierzchołek paraboli \((1,8)\), więc \[f(x)=a(x-1)^2+8.\] Jednym z miejsc zerowych jest \(x=-1\). Podstawiamy \(f(-1)=0\): \[0=a(-1-1)^2+8=4a+8,\] stąd \(a=-2\). Ostatecznie \[f(x)=-2(x-1)^2+8.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawny wzór \(f(x)=-2(x-1)^2+8\) **2 pkt** – poprawne odczytanie punktu przecięcia paraboli z osią i podstawienie go do \(f(x)=a(x-1)^2+8\), np. \(0=a(-1-1)^2+8\) **1 pkt** – odczytanie wierzchołka \((1,8)\) i zapisanie \(f(x)=a(x-1)^2+8\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** V.8 i V.9 interpretowanie współczynników postaci kanonicznej oraz wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej z informacji o wykresie.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 12, czerwiec 2023, poziom podstawowy

czerwiec 2023podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=ax^2+bx+1,\] gdzie \(a\) oraz \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi takimi, że \(a<0\) i \(b>0\). Na jednym z rysunków A-D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji. **Fragment wykresu funkcji \(f\) przedstawiono na rysunku** **A.** Rysunek A. **B.** Rysunek B. **C.** Rysunek C. **D.** Rysunek D.
Cztery układy współrzędnych z fragmentami parabol; na osiach zaznaczono tylko jednostkę 1. A: ramiona w górę, przecina oś Oy w punkcie (0,1), wierzchołek na lewo od osi Oy. B: ramiona w dół, przecina oś Oy w punkcie (0,1), wierzchołek na lewo od osi Oy. C: ramiona w górę, przecina oś Oy w punkcie (0,1), wierzchołek na prawo od osi Oy. D: ramiona w dół, przecina oś Oy w punkcie (0,1), wierzchołek na prawo od osi Oy.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**D.** Rysunek D.
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(a<0\), ramiona paraboli są skierowane w dół. Ponadto \[f(0)=1,\] więc wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,1)\). Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \[x_w=-\frac b{2a}>0,\] gdyż \(b>0\) i \(a<0\). Wszystkie te warunki spełnia rysunek D.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Element podstawy programowej:** funkcja kwadratowa; zdający interpretuje współczynniki wzoru funkcji kwadratowej, kierunek ramion paraboli, punkt przecięcia z osią \(Oy\) oraz położenie wierzchołka.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 14, czerwiec 2023, poziom podstawowy

czerwiec 2023podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=ax^2+bx+1,\] gdzie \(a\) oraz \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że \(a<0\) i \(b>0\). Na jednym z rysunków A-D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\). **Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Fragment wykresu funkcji \(f\) przedstawiono na rysunku **A.** Rysunek A. **B.** Rysunek B. **C.** Rysunek C. **D.** Rysunek D.
Wariant oznaczony literą B: parabola o ramionach skierowanych w dół, z wierzchołkiem w drugiej ćwiartce; przecina oś y przy zaznaczonej wartości 1, a oś x w punkcie ujemnym oraz między zerem a jednostką 1.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**D.** Rysunek D.
Rozwiązanie krok po kroku
Warunek \(a<0\) oznacza, że ramiona paraboli są skierowane w dół. Ponadto \(f(0)=1\), więc wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,1)\). Współrzędna \(x\) wierzchołka wynosi \[x_W=-\frac{b}{2a}>0,\] ponieważ \(b>0\) i \(a<0\). Wszystkie trzy warunki spełnia rysunek **D**.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** V.8 zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 33, czerwiec 2023, poziom podstawowy

czerwiec 2023podstawowy2 pkt
Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(A=(0,3)\). Punkt \(B=(2,0)\) leży na wykresie funkcji \(f\). Wyznacz wzór funkcji \(f\).

To zadanie nie zawiera gotowego rysunku; arkusz przewiduje puste miejsce na wykonanie rysunku przez zdającego. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
\(f(x)=-\frac34x^2+3\)
Rozwiązanie krok po kroku
Wierzchołek paraboli ma współrzędne \(A=(0,3)\), więc zapisujemy wzór w postaci kanonicznej: \[f(x)=a(x-0)^2+3=ax^2+3.\] Punkt \(B=(2,0)\) leży na wykresie, zatem \[0=4a+3,\] \[a=-\frac34.\] Ostatecznie \[f(x)=-\frac34x^2+3.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i otrzymanie \(f(x)=-\frac34x^2+3\) albo równoważnej postaci **1 pkt** – zapisanie \(f(x)=ax^2+3\), albo innego równoważnego istotnego kroku wskazanego w zasadach CKE **0 pkt** – rozwiązanie z niepoprawną metodą albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Element podstawy programowej:** funkcja kwadratowa; zdający korzysta z postaci kanonicznej i wyznacza wzór funkcji na podstawie wierzchołka oraz punktu wykresu.

Optymalizacja

Zadanie 33, czerwiec 2023, poziom podstawowy

czerwiec 2023podstawowy4 pkt
Działka ma kształt trapezu. Podstawy \(AB\) i \(CD\) tego trapezu mają długości \(|AB|=400\text{ m}\) oraz \(|CD|=100\text{ m}\). Wysokość trapezu jest równa \(75\text{ m}\), a jego kąty \(DAB\) i \(ABC\) są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie \(AB\) tego trapezu, a dwa pozostałe - \(E\) oraz \(F\) - na ramionach \(AD\) i \(BC\) trapezu (zobacz rysunek). **Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię. Zapisz obliczenia.** *Wskazówka:* Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu \(ABCD\) jest sumą pól trapezów \(ABFE\) oraz \(EFCD\): \[P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}.\]
Trapez ABCD widziany z góry, przedstawiający działkę: podstawa dolna AB ma długość 400 m, podstawa górna DC — 100 m, wysokość trapezu 75 m zaznaczona strzałką po lewej stronie. Na ramieniu AD zaznaczono punkt E, na ramieniu BC punkt F. Prostokąt o wierzchołkach E, F i dwóch punktach na podstawie AB jest zacieniowany i opisany napisem „plac przeznaczony na parking”.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
Boki \(50\text{ m}\) i \(200\text{ m}\); największe pole \(10\ 000\text{ m}^2\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(x\) oznacza wysokość prostokąta, a \(y=|EF|\) jego drugi bok. Z porównania pól trapezów zgodnie ze wskazówką: \[\frac{100+400}{2}\cdot75=\frac{400+y}{2}x+\frac{100+y}{2}(75-x).\] Po uproszczeniu otrzymujemy \[y=400-4x.\] Pole prostokąta jest więc funkcją \[P(x)=x(400-4x)=-4x^2+400x,\qquad x\in(0,75].\] Parabola ma ramiona skierowane w dół. Współrzędna wierzchołka wynosi \[x=-\frac{400}{2\cdot(-4)}=50.\] Wtedy \[y=400-4\cdot50=200,\] a największe pole jest równe \[P(50)=50\cdot200=10\ 000\text{ m}^2.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda oraz wyniki: \(50\text{ m}\times200\text{ m}\) i \(10\ 000\text{ m}^2\) **3 pkt** – zapisanie dziedziny \(x\in(0,75]\) oraz wyznaczenie argumentu maksimum \(x=50\text{ m}\) **2 pkt** – zapisanie wzoru \(P(x)=x(400-4x)\) **1 pkt** – zapisanie zależności \(y=400-4x\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja oraz przeprowadzanie rozumowań kilkuetapowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 30, próbna grudzień 2023, poziom podstawowy

próbna grudzień 2023podstawowy4 pkt
Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość \(12\,\mathrm{dm}\), a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa \(18\,\mathrm{dm}\). **Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
Krótsza podstawa powinna mieć długość \(3\,\mathrm{dm}\), a największe pole wynosi \(112{,}5\,\mathrm{dm}^2\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy krótszą podstawę przez \(b\), a wysokość przez \(h\). Z warunku zadania \(b+h=18\), więc \(h=18-b\). Pole trapezu jest funkcją \[P(b)=\frac12(12+b)(18-b)=-\frac12b^2+3b+108,\qquad b\in(0,12).\] Jest to funkcja kwadratowa o ramionach skierowanych w dół. Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \[b=-\frac{3}{2\cdot(-\frac12)}=3.\] Dla \(b=3\) mamy \(h=15\) oraz \[P(3)=\frac12(12+3)\cdot15=112{,}5\,\mathrm{dm}^2.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda, \(b=3\,\mathrm{dm}\) i \(P_{\max}=112{,}5\,\mathrm{dm}^2\) **3 pkt** – poprawny wzór na pole jako funkcję jednej zmiennej i wyznaczenie argumentu maksimum \(b=3\) albo \(h=15\) **2 pkt** – poprawny wzór \(P(b)=\frac12(12+b)(18-b)\) albo \(P(h)=\frac12(30-h)h\) **1 pkt** – zapisanie \(b+h=18\) oraz wzoru \(P=\frac12(12+b)h\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** XIII rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 11.1, próbna grudzień 2023, poziom podstawowy

próbna grudzień 2023podstawowy1 pkt
**Informacja do zadań \(11\).\(1\).-\(11\).\(4\).** W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\). Parabola ma wierzchołek \((4,-2)\), miejsca zerowe \(2\) i \(6\) oraz przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,6)\) (zobacz rysunek). **Zadanie \(11\).\(1\).** **Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział **A.** \(( -\infty,-2]\) **B.** \(( -\infty,4]\) **C.** \([-2,+\infty)\) **D.** \([4,+\infty)\)
Parabola y = f(x) o ramionach skierowanych w górę na siatce, oś x od -3 do 9, oś y od -3 do 9; wierzchołek w punkcie (4, -2), miejsca zerowe 2 i 6, przecięcie z osią y na wysokości 6.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**C.** \([-2,+\infty)\)
Rozwiązanie krok po kroku
Parabola ma ramiona skierowane w górę, a jej wierzchołek ma drugą współrzędną równą \(-2\). Jest to najmniejsza wartość funkcji, zatem zbiorem wartości jest \([-2,+\infty)\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji; interpretowanie informacji przedstawionych na wykresie. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie z wykresu funkcji jej zbioru wartości.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 11.2, próbna grudzień 2023, poziom podstawowy

próbna grudzień 2023podstawowy1 pkt
**Informacja do zadań \(11\).\(1\).-\(11\).\(4\).** W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\). Parabola ma wierzchołek \((4,-2)\), miejsca zerowe \(2\) i \(6\) oraz przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,6)\) (zobacz rysunek). **Zadanie \(11\).\(2\).** **Zapisz w postaci przedziału zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości ujemne.**
Parabola y = f(x) o ramionach skierowanych w górę na tle siatki; oś x wyskalowana od -3 do 9, oś y od -3 do 9; wierzchołek leży w punkcie (4, -2), a krzywa przecina oś x w punktach 2 oraz 6.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
\((2,6)\)
Rozwiązanie krok po kroku
Wykres leży poniżej osi \(Ox\) między miejscami zerowymi \(x=2\) i \(x=6\). Ponieważ szukamy wartości ujemnych, końce przedziału nie należą do rozwiązania. Zatem \(f(x)<0\) dla \(x\in(2,6)\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – poprawny przedział \((2,6)\) **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji; interpretowanie informacji przedstawionych na wykresie. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie z wykresu przedziałów, w których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od danej liczby.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 11.3, próbna grudzień 2023, poziom podstawowy

próbna grudzień 2023podstawowy2 pkt
**Informacja do zadań \(11\).\(1\).-\(11\).\(4\).** W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\). Parabola ma wierzchołek \((4,-2)\), miejsca zerowe \(2\) i \(6\) oraz przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,6)\) (zobacz rysunek). **Zadanie \(11\).\(3\).** **Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F.** Wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci: ... oraz ... . **A.** \(f(x)=\frac12(x-2)(x-6)\) **B.** \(f(x)=\frac12(x-4)^2-2\) **C.** \(f(x)=2(x-2)(x-6)\) **D.** \(f(x)=\frac12(x+4)^2-2\) **E.** \(f(x)=2(x+2)(x+6)\) **F.** \(f(x)=2(x+4)^2-2\)
Parabola opisana jako y równe f(x), o ramionach skierowanych w górę, z wierzchołkiem w punkcie 4 i -2, przecinająca oś OX w punktach 2 oraz 6, a oś OY w punkcie 6. Osie wyskalowane od -3 do 9.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**A i B**
Rozwiązanie krok po kroku
Miejsca zerowe \(2\) i \(6\) dają postać iloczynową \(f(x)=a(x-2)(x-6)\). Z wykresu odczytujemy \(f(0)=6\), więc \[6=a(-2)(-6)=12a,\] stąd \(a=\frac12\). Otrzymujemy odpowiedź **A**. Wierzchołek ma współrzędne \((4,-2)\), więc postać kanoniczna to \[f(x)=\frac12(x-4)^2-2,\] czyli odpowiedź **B**.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – dwie poprawne odpowiedzi: **A** i **B** **1 pkt** – jedna poprawna odpowiedź **0 pkt** – odpowiedź całkowicie niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji; interpretowanie informacji przedstawionych na wykresie. **Wymagania szczegółowe:** V.9 wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie informacji o funkcji lub jej wykresie.

Równania i nierówności z parametrem

Zadanie 6, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony

zbiór zadań z informatora 2023rozszerzony4 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=px^2+(p-1)x+1-2p\] dla każdego \(x\in\mathbb R\). **Wyznacz wszystkie wartości parametru \(p\), dla których funkcja \(f\) ma dokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o \(1\).**
Odpowiedź
\(p=\frac14\) lub \(p=\frac12\)
Rozwiązanie krok po kroku
Warunki konieczne i dostateczne są następujące: \(p\ne0\), \(\Delta>0\) oraz \(|x_1-x_2|=1\). Dla trójmianu z zadania \[\Delta=(p-1)^2-4p(1-2p)=(3p-1)^2,\] zatem \(\Delta>0\) dla \(p\in(-\infty,\frac13)\cup(\frac13,+\infty)\). Ze wzorów Viète'a i warunku różnicy pierwiastków otrzymujemy \[(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=1,\] czyli \[\left(-\frac{p-1}{p}\right)^2-4\frac{1-2p}{p}=1.\] Po uproszczeniu \[8p^2-6p+1=0,\] stąd \(p=\frac14\) lub \(p=\frac12\). Obie wartości spełniają pozostałe warunki.
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zapisanie wszystkich wartości \(p\), dla których funkcja ma dokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o \(1\) **3 pkt** – zapisanie i rozwiązanie nierówności \(\Delta>0\) oraz zapisanie i rozwiązanie warunku \(|x_1-x_2|=1\) w zależności od \(p\) **2 pkt** – zapisanie i rozwiązanie nierówności \(\Delta>0\) albo zapisanie i rozwiązanie warunku \(|x_1-x_2|=1\) **1 pkt** – wyznaczenie warunków koniecznych i dostatecznych, aby funkcja \(f\) miała dokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o \(1\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** IV.1 przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, i podawanie argumentów uzasadniających ich poprawność. **Wymagania szczegółowe:** III.3R i III.5R stosowanie wzorów Viète'a oraz analizowanie równań i nierówności kwadratowych z parametrami.

Równania kwadratowe

Zadanie 18, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy

zbiór zadań z informatora 2023podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=3x^2+bx-5\] dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Współczynnik \(b\) jest liczbą rzeczywistą mniejszą od zera. **Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie \(1\)., \(2\). albo \(3\).** Funkcja \(f\) A. ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe, B. ma jedno rzeczywiste miejsce zerowe, C. nie ma rzeczywistych miejsc zerowych, ponieważ \(1\). \(b^2+60>0\). \(2\). \(b^2+60=0\). \(3\). \(b^2+60<0\).
Wycinek arkusza CKE: tabela wyboru dla funkcji f(x) = 3x kwadrat + bx − 5 przy b mniejszym od zera. Po lewej warianty A („ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe”), B („ma jedno rzeczywiste miejsce zerowe”), C („nie ma rzeczywistych miejsc zerowych”); po prawej uzasadnienia 1. b kwadrat + 60 > 0, 2. b kwadrat + 60 = 0, 3. b kwadrat + 60 < 0.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**\(A_{1}\).** Funkcja ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe, ponieważ \(b^2+60>0\).
Rozwiązanie krok po kroku
Dla równania \(3x^2+bx-5=0\) wyróżnik jest równy \[\Delta=b^2-4\cdot3\cdot(-5)=b^2+60.\] Dla każdego rzeczywistego \(b\) zachodzi \(b^2+60>0\), więc funkcja ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **A1** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III.1 i III.3 operowanie obiektami matematycznymi i tworzenie obiektów pomocniczych. **Wymagania szczegółowe:** III.4 i V.8 równania kwadratowe oraz interpretacja współczynników funkcji kwadratowej.

Liczby rzeczywiste

Zadanie 19, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2023, poziom rozszerzony

zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2023rozszerzony4 pkt
Na rysunku przedstawiono położenie miejscowości \(A\), \(B\) i \(C\). Odcinki \(AB\) i \(AC\) są prostopadłe oraz \[|AB|=15\,\mathrm{km},\qquad |AC|=20\,\mathrm{km}.\] O godzinie \(9{:}00\) z miejscowości \(A\) do \(C\) wyruszyli harcerze z zastępu „Tropiciele” i maszerowali z prędkością \(4\,\mathrm{km/h}\). O tej samej godzinie z miejscowości \(B\) do \(A\) wyruszyli harcerze z zastępu „Korsarze” i maszerowali z prędkością \(2\,\mathrm{km/h}\). **Wyznacz godzinę, o której odległość między tymi zastępami harcerzy będzie najmniejsza.**
Szkic położenia trzech miejscowości: punkt A, punkt B oddalony o 15 km oraz punkt C oddalony o 20 km, przy czym odcinki AB i AC są do siebie prostopadłe. Zaznaczono trasy marszu z A do C oraz z B do C
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
Odległość między zastępami będzie najmniejsza o godzinie \(10{:}30\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(t\) oznacza liczbę godzin od \(9{:}00\). Tropiciele są wtedy w odległości \(4t\) od \(A\), a Korsarze w odległości \(15-2t\) od \(A\). Ponieważ ich drogi są prostopadłe, dla \(t\in[0,5]\) odległość między zastępami wynosi \[d(t)=\sqrt{(4t)^2+(15-2t)^2}.\] Pierwiastek jest funkcją rosnącą, więc minimalizujemy \[d^2(t)=16t^2+(15-2t)^2=20t^2-60t+225.\] Wierzchołek tej paraboli ma pierwszą współrzędną \[t=-\frac{-60}{2\cdot20}=1{,}5.\] Od chwili wymarszu upływa półtorej godziny, zatem szukana godzina to \(10{:}30\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – prawidłowa metoda wyznaczenia minimum i odpowiedź \(10{:}30\) **3 pkt** – uzasadnienie, że wystarczy minimalizować \(20t^2-60t+225\), wraz z dziedziną \(t\in[0,5]\) **2 pkt** – zapisanie \(d(t)=\sqrt{16t^2+(15-2t)^2}\) **1 pkt** – zapisanie odległości zastępów od \(A\): \(4t\) i \(15-2t\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III i IV tworzenie modelu matematycznego problemu praktycznego oraz stosowanie strategii rozwiązania. **Wymagania szczegółowe:** XIII.4 i XIII.6R obliczanie pochodnych funkcji złożonych oraz rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych z zastosowaniem pochodnej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 28, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy

zbiór zadań z informatora 2023podstawowy4 pkt
Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Każda działka ma wymiary \(x\) i \(y\). Całość ma być ogrodzona, a działki rozdziela wspólny płot. W ogrodzeniu będą dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości \(10\,\mathrm m\). Łączna długość płotu ogradzającego i rozdzielającego działki wyniesie \(580\,\mathrm m\); szerokości bram nie wliczają się w długość płotu. **Oblicz wymiary \(x\) i \(y\) każdej z dwóch prostokątnych działek tak, aby całkowite pole powierzchni magazynowej było największe.**
Odpowiedź
\[x=100\,\mathrm m,\qquad y=75\,\mathrm m.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Długość płotu spełnia \[3x+4y-2\cdot10=580,\] więc \(y=150-\frac34x\). Całkowite pole dwóch działek jest równe \[P(x)=2xy=2x\left(150-\frac34x\right).\] Jest to funkcja kwadratowa skierowana ramionami w dół, o miejscach zerowych \(0\) i \(200\). Współrzędna wierzchołka wynosi zatem \(x=100\). Wtedy \[y=150-\frac34\cdot100=75.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i wymiary \(x=100\,\mathrm m\), \(y=75\,\mathrm m\) **3 pkt** – poprawny wzór pola jednej zmiennej i wyznaczenie \(x=100\,\mathrm m\) **2 pkt** – zapisanie \(P(x)=2x(150-\frac34x)\) z właściwą dziedziną **1 pkt** – zapisanie \(P=2xy\) albo \(3x+4y-20=580\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III.2 i IV.4 modelowanie oraz tworzenie strategii rozwiązania. **Wymagania szczegółowe:** XIII rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych opisywanych funkcją kwadratową.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 28, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2023, poziom podstawowy

zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2023podstawowy4 pkt
Powierzchnia magazynowa będzie na dwóch takich samych prostokątnych działkach mających jeden wspólny bok. Całość będzie ogrodzona płotem, a działki rozdzieli wspólny płot. W ogrodzeniu będą dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości \(10\,\mathrm m\). Łączna długość płotu ogradzającego i rozdzielającego działki wynosi \(580\,\mathrm m\); szerokości bram nie wlicza się w długość płotu. Oznaczenia wymiarów \(x\) i \(y\) przedstawiono na rysunku. **Oblicz wymiary \(x\) i \(y\) każdej z dwóch prostokątnych działek tak, aby całkowite pole powierzchni magazynowej było największe.**
Plan dwóch przylegających prostokątnych działek, każda o szerokości y i wspólnej wysokości x; ogrodzenie zaznaczono linią przerywaną, a w dolnym boku każdej działki pozostawiono przerwę o długości 10 m.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
Każda działka powinna mieć wymiary \(x=100\,\mathrm m\) i \(y=75\,\mathrm m\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z warunków ogrodzenia wynika \[3x+4y-2\cdot10=580,\qquad y=150-\frac34x.\] Pole obu działek jest równe \[P(x)=2xy=2x\left(150-\frac34x\right),\qquad x\in\left(0,\frac{560}{3}\right).\] Miejsca zerowe tej funkcji kwadratowej to \(0\) i \(200\), więc pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \(x=100\). Wówczas \[y=150-\frac34\cdot100=75.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda obliczenia obu wymiarów i wyniki \(x=100\,\mathrm m\), \(y=75\,\mathrm m\) **3 pkt** – poprawny wzór na pole jako funkcję jednej zmiennej i obliczenie \(x=100\,\mathrm m\) **2 pkt** – zapisanie \(P(x)=2x(150-\frac34x)\) dla \(x\in(0,\frac{560}{3})\) **1 pkt** – zapisanie \(P=2xy\) albo związku \(3x+4y-20=580\) **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III.2 i IV.4 tworzenie modeli matematycznych oraz strategii rozwiązywania zadań. **Wymagania szczegółowe:** XIII rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych opisywanych funkcją kwadratową.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 21.1, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy

zbiór zadań z informatora 2023podstawowy1 pkt
Dana jest funkcja kwadratowa \(y=f(x)\), której fragment wykresu przedstawiono na rysunku CKE. Parabola jest skierowana ramionami w dół i ma wierzchołek \((-5,6)\). **Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych, jeżeli wiadomo, że jeden ze wzorów podanych w odpowiedziach A-D to wzór funkcji \(f\).** Funkcja kwadratowa \(y=f(x)\) jest określona wzorem A. \(y=-(x+5)^2-6\) B. \(y=-(x+5)^2+6\) C. \(y=-(x-5)^2-6\) D. \(y=-(x-5)^2+6\)
Parabola oznaczona literą f o ramionach skierowanych w dół, z wierzchołkiem w punkcie (-5, 6); ramiona przecinają oś x w pobliżu -7,5 oraz -2,5. Osie opisane liczbami od -8 do 8 co 2, w tle siatka.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**B.** \(y=-(x+5)^2+6\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z wykresu odczytujemy wierzchołek \((-5,6)\) i ramiona skierowane w dół. Postać kanoniczna musi więc mieć postać \(y=a(x+5)^2+6\) z \(a<0\). Spośród podanych wzorów warunki spełnia odpowiedź B.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III.1 interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** V.8-V.9 interpretacja postaci kanonicznej i wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej z wykresu.

Równania i nierówności

Zadanie 21.2, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy

zbiór zadań z informatora 2023podstawowy2 pkt
Do wykresu pewnej funkcji kwadratowej \(y=g(x)\) należy punkt \(P=(2,-6)\). Osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu \(x=3\), a jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\) jest \(x_1=1\). **Wyznacz i zapisz wzór funkcji \(y=g(x)\) w postaci iloczynowej.**
Wycinek arkusza CKE z treścią zadania (wzór funkcji kwadratowej y = g(x) w postaci iloczynowej) i pustą kratką na obliczenia. Rysunek nie wnosi danych do rozwiązania.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
\[y=g(x)=2(x-1)(x-5).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oś symetrii leży w połowie między miejscami zerowymi, więc \[3=\frac{1+x_2}{2},\qquad x_2=5.\] Zapisujemy \(g(x)=a(x-1)(x-5)\). Ponieważ \(P=(2,-6)\) należy do wykresu, \[-6=a(2-1)(2-5)=-3a,\] stąd \(a=2\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i wzór \(y=g(x)=2(x-1)(x-5)\) **1 pkt** – zapisanie \(y=g(x)=a(x-1)(x-5)\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III.1 operowanie reprezentacjami funkcji. **Wymagania szczegółowe:** V.8-V.9 interpretacja postaci iloczynowej i wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej.

Równania i nierówności

Zadanie 22.1, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy

zbiór zadań z informatora 2023podstawowy1 pkt
Środek piłki podczas rzutu poruszał się po paraboli \[y=-0{,}174x^2+1{,}3x+2{,}5.\] W chwili początkowej znajdował się w punkcie \((0,2{,}50)\), a środek obręczy kosza miał współrzędną poziomą \(x_k=7{,}01\,\mathrm m\). **Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Obręcz kosza znajduje się na wysokości, podanej w zaokrągleniu do \(0{,}01\,\mathrm m\), A. \(3{,}04\,\mathrm m\)\qquad B. \(3{,}06\,\mathrm m\)\qquad C. \(3{,}80\,\mathrm m\)\qquad D. \(4{,}93\,\mathrm m\)
Wycinek arkusza CKE: tor rzutu piłki do kosza w układzie współrzędnych, oś pozioma x w metrach, oś pionowa y w metrach. Przy osi pionowej sylwetka koszykarza; tor zaczyna się na wysokości 2,5 m nad punktem (0,0), wznosi się do maksimum mniej więcej w połowie rysunku i opada. Na opadającej gałęzi narysowano piłkę, dalej obręcz kosza z tablicą; położenie obręczy zaznaczono linią przerywaną przy odciętej 7,01. Poza wartościami 2,5 i 7,01 osie nie mają podziałki.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**B.** \(3{,}06\,\mathrm m\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy sens wzoru. Zależność \(y=-0{,}174x^{2}+1{,}3x+2{,}5\) opisuje wysokość \(y\) środka piłki nad podłożem przy poziomej odległości \(x\) od miejsca rzutu. Skoro środek obręczy ma współrzędną poziomą \(x_k=7{,}01\), a piłka przez środek obręczy przechodzi, to wysokość obręczy jest po prostu wartością tej funkcji dla \(x=7{,}01\). Nie trzeba więc szukać wierzchołka paraboli ani rozwiązywać równania — wystarczy podstawić liczbę. **Krok \(2\).** Podstawiamy: \[y(7{,}01)=-0{,}174\cdot(7{,}01)^{2}+1{,}3\cdot7{,}01+2{,}5.\] **Krok \(3\).** Liczymy kwadrat: \[(7{,}01)^{2}=7{,}01\cdot7{,}01=49{,}1401.\] **Krok \(4\).** Pierwszy składnik: \[-0{,}174\cdot49{,}1401=-8{,}5503774.\] **Krok \(5\).** Drugi składnik: \[1{,}3\cdot7{,}01=9{,}113.\] **Krok \(6\).** Dodajemy wszystko: \[-8{,}5503774+9{,}113+2{,}5=3{,}0626226.\] **Krok \(7\).** Zaokrąglamy do \(0{,}01\,\mathrm m\), czyli do dwóch miejsc po przecinku. Trzecia cyfra po przecinku to \(2\), więc zaokrąglamy w dół: \[y(7{,}01)\approx3{,}06\,\mathrm m.\] **Uwaga.** Nie zaokrąglaj wyników pośrednich zbyt wcześnie. Odpowiedzi A i B różnią się o \(0{,}02\,\mathrm m\), więc rachunek trzeba prowadzić z zapasem cyfr — przybliżenie \((7{,}01)^{2}\approx49\) daje już \(3{,}087\), a to prowadziłoby do złego zaokrąglenia. **Odpowiedź.** B: \(3{,}06\,\mathrm m\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III.2 i II.1 modelowanie oraz interpretowanie informacji tekstowej i graficznej. **Wymagania szczegółowe:** V.11 wykorzystanie funkcji kwadratowej w kontekście praktycznym.

Równania i nierówności

Zadanie 22.1, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2023, poziom podstawowy

zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2023podstawowy1 pkt
Torem rzutu, przy pominięciu oporów powietrza, jest fragment paraboli. Koszykarz rzucił piłkę do kosza z odległości \(x_k=7{,}01\,\mathrm m\), mierzonej w poziomie od środka piłki do środka obręczy. W chwili początkowej środek piłki był w punkcie \((x_0,y_0)=(0,2{,}50)\), a podczas rzutu poruszał się po paraboli \[y=-0{,}174x^2+1{,}3x+2{,}5.\] Środek piłki przeszedł dokładnie przez środek obręczy kosza. **Dokończ zdanie. Zaznacz prawidłową odpowiedź.** Obręcz kosza jest na wysokości, podanej w zaokrągleniu do \(0{,}01\,\mathrm m\), A. \(3{,}04\,\mathrm m\)\qquad B. \(3{,}06\,\mathrm m\)\qquad C. \(3{,}8\,\mathrm m\)\qquad D. \(4{,}93\,\mathrm m\)
Wycinek arkusza CKE: tor rzutu piłki do kosza w układzie współrzędnych, oś pozioma x w metrach, oś pionowa y w metrach. Przy osi pionowej sylwetka koszykarza; tor zaczyna się na wysokości 2,5 m nad punktem (0,0), wznosi się do maksimum mniej więcej w połowie rysunku i opada. Na opadającej gałęzi narysowano piłkę, dalej obręcz kosza z tablicą; położenie obręczy zaznaczono linią przerywaną przy odciętej 7,01. Poza wartościami 2,5 i 7,01 osie nie mają podziałki.
Oryginalny wycinek CKE z materiałem graficznym niezbędnym do rozwiązania zadania.
Odpowiedź
**B.** \(3{,}06\,\mathrm m\)
Rozwiązanie krok po kroku
Podstawiamy poziomą odległość obręczy \(x=7{,}01\) do równania toru: \[y(7{,}01)=-0{,}174\cdot(7{,}01)^2+1{,}3\cdot7{,}01+2{,}5\approx3{,}06.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II.1 i III.2 interpretowanie informacji oraz dobieranie modeli matematycznych do problemów praktycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.11 wykorzystywanie własności funkcji kwadratowej w zagadnieniach fizycznych i praktycznych.

Równania i nierówności

Zadanie 22.2, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy

zbiór zadań z informatora 2023podstawowy2 pkt
Środek piłki podczas rzutu poruszał się po paraboli \[y=-0{,}174x^2+1{,}3x+2{,}5.\] **Oblicz wysokość maksymalną, na jaką wzniesie się środek piłki podczas opisanego rzutu. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.**
Wycinek arkusza CKE: tor rzutu piłki do kosza w układzie współrzędnych, oś pozioma x w metrach, oś pionowa y w metrach. Przy osi pionowej sylwetka koszykarza; tor zaczyna się na wysokości 2,5 m nad punktem (0,0), wznosi się do maksimum mniej więcej w połowie rysunku i opada. Na opadającej gałęzi narysowano piłkę, dalej obręcz kosza z tablicą; położenie obręczy zaznaczono linią przerywaną przy odciętej 7,01. Poza wartościami 2,5 i 7,01 osie nie mają podziałki.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
\[h_{\max}\approx4{,}93\,\mathrm m.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Maksymalna wysokość jest współrzędną \(y\) wierzchołka paraboli. Dla \(a=-0{,}174\), \(b=1{,}3\), \(c=2{,}5\) otrzymujemy \[y_w=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{1{,}3^2+4\cdot0{,}174\cdot2{,}5}{4\cdot(-0{,}174)}\approx4{,}93.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(4{,}93\,\mathrm m\) **1 pkt** – prawidłowe podstawienie danych do wzoru na wierzchołek albo zapis postaci kanonicznej i rozpoznanie \(q\) jako wysokości maksymalnej **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III.2 i II.1 modelowanie i interpretowanie informacji. **Wymagania szczegółowe:** V.10-V.11 wyznaczanie największej wartości funkcji kwadratowej i zastosowanie jej w kontekście praktycznym.

Równania i nierówności

Zadanie 22.2, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2023, poziom podstawowy

zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2023podstawowy2 pkt
Środek piłki porusza się po paraboli \[y=-0{,}174x^2+1{,}3x+2{,}5.\] Sytuację i tor ruchu przedstawiono na rysunku w treści zadania. **Oblicz wysokość maksymalną, na jakiej będzie środek piłki podczas opisanego rzutu. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.**
Wycinek arkusza CKE: tor rzutu piłki do kosza w układzie współrzędnych, oś pozioma x w metrach, oś pionowa y w metrach. Przy osi pionowej sylwetka koszykarza; tor zaczyna się na wysokości 2,5 m nad punktem (0,0), wznosi się do maksimum mniej więcej w połowie rysunku i opada. Na opadającej gałęzi narysowano piłkę, dalej obręcz kosza z tablicą; położenie obręczy zaznaczono linią przerywaną przy odciętej 7,01. Poza wartościami 2,5 i 7,01 osie nie mają podziałki.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
Maksymalna wysokość środka piłki wynosi \(4{,}93\,\mathrm m\).
Rozwiązanie krok po kroku
Maksymalna wysokość jest rzędną wierzchołka paraboli. Dla \(a=-0{,}174\), \(b=1{,}3\), \(c=2{,}5\) mamy \[y_w=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{1{,}3^2+4\cdot0{,}174\cdot2{,}5}{4\cdot(-0{,}174)}\approx4{,}92816.\] Po zaokrągleniu otrzymujemy \(4{,}93\,\mathrm m\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda rozwiązania oraz wynik \(4{,}93\,\mathrm m\) **1 pkt** – zastosowanie wzoru na wierzchołek paraboli z prawidłowym podstawieniem danych albo zapisanie funkcji w postaci \(y=-0{,}174(x-p)^2+q\) i rozpoznanie \(q\) jako wysokości maksymalnej **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II.1 i III.2 interpretowanie informacji oraz dobieranie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.10-V.11 wyznaczanie największej wartości funkcji kwadratowej oraz stosowanie jej własności w kontekście fizycznym.

Równania i nierówności

Zadanie 22.3, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy

zbiór zadań z informatora 2023podstawowy3 pkt
Środek piłki podczas rzutu poruszał się po paraboli \[y=-0{,}174x^2+1{,}3x+2{,}5.\] Piłka przeleciała swobodnie przez obręcz kosza i upadła na parkiet. Przyjmij, że obręcz nie miała siatki, a na drodze rzutu nie było przeszkód. Promień piłki jest równy \(0{,}12\,\mathrm m\). **Oblicz współrzędną \(x\) punktu środka piłki w momencie, w którym piłka dotknęła parkietu. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.**
Wycinek arkusza CKE: tor rzutu piłki do kosza w układzie współrzędnych, oś pozioma x w metrach, oś pionowa y w metrach. Przy osi pionowej sylwetka koszykarza; tor zaczyna się na wysokości 2,5 m nad punktem (0,0), wznosi się do maksimum mniej więcej w połowie rysunku i opada. Na opadającej gałęzi narysowano piłkę, dalej obręcz kosza z tablicą; położenie obręczy zaznaczono linią przerywaną przy odciętej 7,01. Poza wartościami 2,5 i 7,01 osie nie mają podziałki.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
\[x\approx8{,}99\,\mathrm m.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przy dotknięciu parkietu środek piłki znajduje się na wysokości jej promienia, czyli \(y=0{,}12\). Rozwiązujemy \[0{,}12=-0{,}174x^2+1{,}3x+2{,}5,\] \[0{,}174x^2-1{,}3x-2{,}38=0.\] Pierwiastki wynoszą w przybliżeniu \(x_1=-1{,}52\) i \(x_2=8{,}99\). Z kontekstu wybieramy dodatnią wartość po rzucie: \(x\approx8{,}99\,\mathrm m\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(8{,}99\,\mathrm m\) **2 pkt** – poprawne rozwiązanie równania \(0{,}174x^2-1{,}3x-2{,}38=0\) **1 pkt** – zapisanie równania \(0{,}12=-0{,}174x^2+1{,}3x+2{,}5\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III.2 i II.1 tworzenie modelu i interpretowanie informacji. **Wymagania szczegółowe:** V.11 wykorzystanie własności funkcji kwadratowej w kontekście fizycznym.

Równania i nierówności

Zadanie 22.3, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2023, poziom podstawowy

zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2023podstawowy3 pkt
Środek piłki porusza się po paraboli \[y=-0{,}174x^2+1{,}3x+2{,}5.\] W opisanym rzucie piłka przeleciała przez obręcz kosza i upadła na podłogę. Przyjmij, że obręcz nie miała siatki, a na drodze rzutu nie było żadnej przeszkody. Promień piłki wynosi \(0{,}12\,\mathrm m\). **Oblicz współrzędną \(x\) punktu środka piłki w momencie, w którym piłka dotknęła podłogi. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.**
Wycinek arkusza CKE: tor rzutu piłki do kosza w układzie współrzędnych, oś pozioma x w metrach, oś pionowa y w metrach. Przy osi pionowej sylwetka koszykarza; tor zaczyna się na wysokości 2,5 m nad punktem (0,0), wznosi się do maksimum mniej więcej w połowie rysunku i opada. Na opadającej gałęzi narysowano piłkę, dalej obręcz kosza z tablicą; położenie obręczy zaznaczono linią przerywaną przy odciętej 7,01. Poza wartościami 2,5 i 7,01 osie nie mają podziałki.
Oryginalny wycinek CKE z materiałem graficznym niezbędnym do rozwiązania zadania.
Odpowiedź
\[x\approx8{,}99\,\mathrm m.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Gdy piłka dotyka podłogi, jej środek znajduje się na wysokości równej promieniowi, więc \(y=0{,}12\). Rozwiązujemy \[0{,}12=-0{,}174x^2+1{,}3x+2{,}5,\] czyli \[0{,}174x^2-1{,}3x-2{,}38=0.\] Stąd \[x=\frac{1{,}3\pm\sqrt{3{,}34648}}{0{,}348},\] co daje \(x_1\approx-1{,}52\) i \(x_2\approx8{,}99\). W kontekście rzutu wybieramy dodatnie rozwiązanie \(x\approx8{,}99\,\mathrm m\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda wyznaczenia współrzędnej \(x\) i wynik \(8{,}99\,\mathrm m\) **2 pkt** – poprawne rozwiązanie równania \(0{,}174x^2-1{,}3x-2{,}38=0\) **1 pkt** – zapisanie równania \(0{,}12=-0{,}174x^2+1{,}3x+2{,}5\) **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II.1 i III.2 interpretowanie informacji oraz dobieranie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.11 wykorzystywanie własności funkcji kwadratowej w zagadnieniach fizycznych i praktycznych.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 14, maj 2023, poziom podstawowy

maj 2023podstawowy1 pkt
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej \(f\) jest liczba \(-5\). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\), jest równa \(3\). **Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba **A.** \(11\) **B.** \(1\) **C.** \(-1\) **D.** \(-13\)

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
**A.** \(11\)
Rozwiązanie krok po kroku
Oś symetrii paraboli przechodzi przez środek między miejscami zerowymi. Jeśli drugie miejsce zerowe oznaczymy przez \(x_2\), to \[\frac{-5+x_2}{2}=3.\] Stąd \(-5+x_2=6\), więc \(x_2=11\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji; interpretowanie informacji przedstawionych w tekście i w formie wykresu. **Wymagania szczegółowe:** V.11 zdający wykorzystuje własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych.

Wyrażenia algebraiczne

Zadanie 31.1, maj 2023, poziom podstawowy

maj 2023podstawowy1 pkt
Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z \(30\) kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę \(L\) obsługiwanych klientów \(n\)-tego dnia opisuje funkcja \[L(n)=-n^2+22n+279,\] gdzie \(n\) jest liczbą naturalną spełniającą warunki \(n\geq1\) i \(n\leq30\). **Zadanie \(31\).\(1\).** **Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.** \(1\). Łączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni jest równa \(L(30)\). \(2\). W trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono \(336\) klientów.
Odpowiedź
**F, P.**
Rozwiązanie krok po kroku
Wartość \(L(30)\) opisuje liczbę klientów obsłużonych wyłącznie trzydziestego dnia, a nie sumę z całego okresu, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe. Ponadto \[L(3)=-3^2+22\cdot3+279=-9+66+279=336,\] więc drugie stwierdzenie jest prawdziwe.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **F, P** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa; wykonywanie obliczeń i wykorzystywanie ich w kontekstach praktycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.2 i V.3 zdający oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym i interpretuje wartości funkcji określonej wzorem.

Inne zagadnienia

Zadanie 31.2, maj 2023, poziom podstawowy

maj 2023podstawowy2 pkt
Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z \(30\) kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę \(L\) obsługiwanych klientów \(n\)-tego dnia opisuje funkcja \[L(n)=-n^2+22n+279,\] gdzie \(n\) jest liczbą naturalną spełniającą warunki \(n\geq1\) i \(n\leq30\). **Zadanie \(31\).\(2\).** **Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
Jedenastego dnia; \(400\) klientów.
Rozwiązanie krok po kroku
Przekształcamy wzór do postaci kanonicznej: \[L(n)=-n^2+22n+279=-(n-11)^2+400.\] Parabola ma ramiona skierowane w dół, a \(11\in\{1,2,\ldots,30\}\). Funkcja przyjmuje więc największą wartość dla \(n=11\), a wartość ta wynosi \[L(11)=400.\] Największą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia i było to \(400\) osób.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda oraz poprawne wyniki: \(11\) i \(400\) **1 pkt** – wyznaczenie postaci kanonicznej \(L(n)=-(n-11)^2+400\), obliczenie dnia maksimum lub największej liczby klientów albo wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych. **Wymagania szczegółowe:** XIII zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 11, sierpień 2023, poziom podstawowy

sierpień 2023podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \[f(x)=(x-13)^2-256\] ma jedno miejsce zerowe równe \(-3\). **Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Drugim miejscem zerowym jest **A.** \(-29\) **B.** \(-23\) **C.** \(23\) **D.** \(29\)
Odpowiedź
**D.** \(29\)
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwiązujemy równanie \[(x-13)^2-256=0\iff(x-13)^2=16^2.\] Stąd \(x-13=-16\) lub \(x-13=16\), czyli \(x=-3\) lub \(x=29\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje - wyznaczanie miejsc zerowych funkcji kwadratowej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 13, sierpień 2023, poziom podstawowy

sierpień 2023podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=(x-13)^2-256.\] Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(-3\). **Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba **A.** \(-29\) **B.** \(-23\) **C.** \(23\) **D.** \(29\)
Odpowiedź
**D.** \(29\)
Rozwiązanie krok po kroku
Warunek \(f(x)=0\) prowadzi do równania \[(x-13)^2=256=16^2.\] Zatem \(x-13=-16\) albo \(x-13=16\), czyli \(x=-3\) albo \(x=29\). Drugim miejscem zerowym jest \(29\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje - miejsca zerowe funkcji kwadratowej zapisanej w postaci kanonicznej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 14, sierpień 2023, poziom podstawowy

sierpień 2023podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f(x)=-(x-1)(x-5)\) przyjmuje wartość A. najmniejszą równą \(3\) B. najmniejszą równą \(4\) C. największą równą \(3\) D. największą równą \(4\)
Odpowiedź
**D.** największą równą \(4\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy postać wzoru: \(f(x)=-(x-1)(x-5)\) to funkcja kwadratowa w postaci iloczynowej. Najpierw rozstrzygamy, czy ma wartość największą, czy najmniejszą — decyduje o tym znak współczynnika przy \(x^{2}\). **Krok \(2\).** Po wymnożeniu wyraz z \(x^{2}\) powstaje jako \(-x\cdot x=-x^{2}\), więc \(a=-1\lt0\). Ramiona paraboli są skierowane w dół, zatem funkcja przyjmuje wartość **największą** (w wierzchołku), a wartości najmniejszej nie ma. To już eliminuje odpowiedzi A i B. **Krok \(3\).** Z postaci iloczynowej odczytujemy miejsca zerowe: \(x_{1}=1\) i \(x_{2}=5\) (to dla nich któryś nawias się zeruje). **Krok \(4\).** Parabola jest symetryczna względem prostej przechodzącej przez wierzchołek, więc pierwsza współrzędna wierzchołka leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi: \[p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{1+5}{2}=3.\] **Krok \(5\).** Wartość największa to \(f(p)\): \[f(3)=-(3-1)(3-5)=-\,2\cdot(-2)=4.\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy dwiema wartościami kontrolnymi: \(f(0)=-(0-1)(0-5)=-5\) oraz \(f(2)=-(2-1)(2-5)=3\). Obie są mniejsze od \(4\), co potwierdza, że \(4\) jest wartością największą. **Uwaga.** Znak minus przed iloczynem odwraca całą sytuację. Gdyby wzór brzmiał \(f(x)=(x-1)(x-5)\), funkcja miałaby wartość **najmniejszą** równą \(-4\). Zwróć też uwagę, że pytamy o wartość funkcji (drugą współrzędną wierzchołka), a nie o argument \(x=3\), przy którym jest ona osiągana — stąd pułapka w odpowiedzi C. **Odpowiedź.** D: największą równą \(4\)
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Zadanie 14. Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 15, sierpień 2023, poziom podstawowy

sierpień 2023podstawowy2 pkt
Funkcje A-F są określone dla wszystkich liczb rzeczywistych. **Wybierz dwie funkcje, których zbiorem wartości jest \(( -\infty,2]\).** **A.** \(A(x)=-(x-3)^2+2\) **B.** \(B(x)=x^2+2\) **C.** \(C(x)=-5(x-2)^2\) **D.** \(D(x)=(x-2)^2\) **E.** \(E(x)=2x^2-8x+10\) **F.** \(F(x)=-2x^2+4x\)
Odpowiedź
**A i F**
Rozwiązanie krok po kroku
Dla funkcji **A** ramiona paraboli są skierowane w dół, a wierzchołek ma współrzędne \((3,2)\), więc jej zbiorem wartości jest \(( -\infty,2]\). Funkcję **F** zapisujemy w postaci kanonicznej: \[F(x)=-2x^2+4x=-2(x-1)^2+2.\] Jej największa wartość także wynosi \(2\), więc zbiorem wartości jest \(( -\infty,2]\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – wybranie obu poprawnych odpowiedzi: **A** i **F** **1 pkt** – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest poprawna **0 pkt** – odpowiedzi niepoprawne albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje - wyznaczanie zbioru wartości funkcji kwadratowej.

Optymalizacja

Zadanie 33, sierpień 2023, poziom podstawowy

sierpień 2023podstawowy4 pkt
Zakład sprzedaje krzesła po \(196\text{ zł}\) za sztukę. Przychód ze sprzedaży \(x\) krzeseł określa funkcja \[P(x)=196x,\] a koszt produkcji funkcja \[K(x)=4x^2+4x+240.\] Dziennie można wyprodukować najwyżej \(30\) krzeseł. Oblicz liczbę krzeseł, których sprzedaż daje największy zysk, oraz wartość tego zysku. **Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\(24\) krzesła; maksymalny zysk \(2064\text{ zł}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Zysk jest różnicą przychodu i kosztu: \[Z(x)=P(x)-K(x)=196x-(4x^2+4x+240)=-4x^2+192x-240.\] Rozpatrujemy całkowite \(x\) spełniające \(0\leq x\leq30\). Parabola ma ramiona skierowane w dół, a współrzędna jej wierzchołka wynosi \[x_w=-\frac{192}{2\cdot(-4)}=24.\] Największy zysk to \[Z(24)=-4\cdot24^2+192\cdot24-240=2064\text{ zł}.\] Największy zysk uzyskuje się zatem przy sprzedaży \(24\) krzeseł.
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda oraz wyniki: \(24\) krzesła i maksymalny zysk \(2064\text{ zł}\) **3 pkt** – wyznaczenie argumentu maksimum \(x=24\) **2 pkt** – zapisanie funkcji zysku \(Z(x)=-4x^2+192x-240\) **1 pkt** – zapisanie zależności \(Z(x)=P(x)-K(x)\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** optymalizacja - maksymalizacja funkcji kwadratowej w zadaniu praktycznym.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 7, czerwiec 2022, poziom podstawowy

czerwiec 2022podstawowy1 pkt
**Informacja do zadań \(7\). i \(8\).** Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \[f(x)=2x^2+5x.\] **Zadanie \(7\).** Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu **A.** \(x=-\frac54\) **B.** \(x=\frac54\) **C.** \(y=-\frac54\) **D.** \(y=-\frac{25}{16}\)
Fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x) = 2x kwadrat + 5x na kratownicy; oś Ox od -5 do 7, oś Oy od -3 do 5. Parabola o ramionach skierowanych w górę, przecina oś Ox w punktach (-2,5;0) i (0,0), najniższy punkt leży nieco poniżej poziomu -3 dla odciętej -1,25.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**A.** \(x=-\frac54\)
Rozwiązanie krok po kroku
Dla funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\) oś symetrii ma równanie \(x=-\frac{b}{2a}\). Tutaj \(a=2\) i \(b=5\), więc \[x=-\frac5{2\cdot2}=-\frac54.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3 odczytywanie z wykresu własności funkcji.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 12, czerwiec 2022, poziom podstawowy

czerwiec 2022podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \[f(x)=-2(x-1)^2+3\] jest rosnąca w przedziale **A.** \((-\infty,1\rangle\) **B.** \(\langle-2,+\infty)\) **C.** \((-\infty,3\rangle\) **D.** \(\langle1,+\infty)\)
Odpowiedź
**A.** \((-\infty,1\rangle\)
Rozwiązanie krok po kroku
Parabola \(y=-2(x-1)^2+3\) ma ramiona skierowane w dół, a jej wierzchołek ma pierwszą współrzędną \(x=1\). Funkcja rośnie zatem do wierzchołka, czyli w przedziale \[(-\infty,1\rangle.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.10 interpretowanie współczynników występujących we wzorze funkcji kwadratowej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 31, czerwiec 2022, poziom podstawowy

czerwiec 2022podstawowy2 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe \(2\). Ponadto \(f(0)=8\). **Wyznacz wzór funkcji \(f\).**
Odpowiedź
\[f(x)=2(x-2)^2=2x^2-8x+8.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Jedno miejsce zerowe równe \(2\) oznacza, że funkcję można zapisać w postaci \[f(x)=a(x-2)^2,\qquad a\ne0.\] Z warunku \(f(0)=8\) otrzymujemy \[8=a(0-2)^2=4a,\] więc \(a=2\). Stąd \[f(x)=2(x-2)^2=2x^2-8x+8.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i wzór \(f(x)=2(x-2)^2\) lub \(f(x)=2x^2-8x+8\) **1 pkt** – zapisanie \(f(x)=a(x-2)^2\), wykorzystanie \(f(0)=8\) do ustalenia wyrazu wolnego albo poprawny warunek \(\Delta=0\) lub \(-\frac{b}{2a}=2\) **0 pkt** – brak poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 4.9 wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie informacji o funkcji lub jej wykresie.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 9, próbna grudzień 2022, poziom podstawowy

próbna grudzień 2022podstawowy1 pkt
Dana jest funkcja kwadratowa \[f(x)=ax^2+bx+c,\] gdzie \(a\), \(b\) i \(c\) są liczbami rzeczywistymi takimi, że \(a\neq0\) oraz \(c<0\). Funkcja \(f\) nie ma miejsc zerowych. **Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie \(1\)., \(2\). albo \(3\).** Wykres funkcji \(f\) leży w całości **A.** nad osią \(Ox\), **B.** pod osią \(Ox\), ponieważ **\(1\).** \(a<0\) i \(b^2-4ac<0\). **\(2\).** \(a>0\) i \(b^2-4ac<0\). **\(3\).** \(a<0\) i \(b^2-4ac=0\).
Tabela wyboru odpowiedzi: w lewej kolumnie warianty A i B dotyczące położenia wykresu nad osią Ox albo pod osią Ox, w środku słowo ponieważ, w prawej trzy uzasadnienia 1, 2, 3 z warunkami na współczynnik a oraz na wyrażenie b do kwadratu minus 4ac.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**\(B_{1}\).** Wykres funkcji \(f\) leży w całości pod osią \(Ox\), ponieważ \(a<0\) i \(b^2-4ac<0\).
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(c=f(0)<0\), wykres funkcji zawiera punkt leżący pod osią \(Ox\). Funkcja nie ma miejsc zerowych, więc jej wykres nie przecina osi \(Ox\) i musi w całości leżeć pod nią. Parabola ma zatem ramiona skierowane w dół, czyli \(a<0\), a brak miejsc zerowych oznacza \[\Delta=b^2-4ac<0.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** V.8 interpretowanie współczynników występujących we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 20, próbna grudzień 2022, poziom podstawowy

próbna grudzień 2022podstawowy4 pkt
Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości \(200\text{ m}\). Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który w tym miejscu jest linią prostą. Na rysunku boki prostopadłe do brzegu oznaczono przez \(a\), a bok równoległy do brzegu przez \(b\). **Oblicz wymiary \(a\) i \(b\) kąpieliska tak, aby jego powierzchnia była największa. Zapisz obliczenia.**
Kolorowa ilustracja brzegu: żółty pas plaży i niebieski akwen, a w wodzie prostokątne kąpielisko o bokach a i b, którego trzy boki wyznacza lina narysowana linią przerywaną, a czwarty przylega do plaży.
Oryginalny wycinek CKE z materiałem graficznym niezbędnym do rozwiązania zadania.
Odpowiedź
\[a=50\text{ m},\qquad b=100\text{ m}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Długość liny daje zależność \[2a+b=200,\qquad b=200-2a.\] Pole kąpieliska jako funkcja \(a\) ma postać \[P(a)=ab=a(200-2a)=-2a^2+200a,\qquad a\in(0,100).\] Parabola jest skierowana ramionami w dół. Pierwsza współrzędna jej wierzchołka wynosi \[a=-\frac{200}{2\cdot(-2)}=50.\] Wtedy \[b=200-2\cdot50=100.\] Największą powierzchnię ma kąpielisko o wymiarach \(50\text{ m}\) i \(100\text{ m}\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda obliczenia obu wymiarów i wyniki \(a=50\text{ m}\), \(b=100\text{ m}\) **3 pkt** – poprawny wzór na pole, dziedzina i wyznaczenie argumentu wierzchołka \(a=50\text{ m}\) albo \(b=100\text{ m}\) **2 pkt** – poprawny wzór \(P(a)=a(200-2a)\) albo \(P(b)=b(100-\frac12b)\) **1 pkt** – zapisanie związku \(2a+b=200\) **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III i IV dobieranie i tworzenie modeli matematycznych oraz stosowanie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Odczytywanie własności z wykresu

Zadanie 2.1, próbna grudzień 2022, poziom rozszerzony

próbna grudzień 2022rozszerzony2 pkt
Funkcja \(g\) jest określona wzorem \[g(x)=\left|-\frac14x^2+3x-5\right|\] dla każdego \(x\in\mathbb R\). Fragment wykresu funkcji \(g\) w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto). **Zadanie \(2\).\(1\).** **Wyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja \(g\) przyjmuje w przedziale \([9,11]\). Zapisz obliczenia.**
Wykres funkcji y = g(x) w układzie bez podziałki: ramię opadające z lewej strony przecina oś Oy i dochodzi do osi Ox, tworząc ostry wierzchołek, dalej łuk wypukły ku górze i drugi ostry wierzchołek na osi Ox.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
Zbiorem wartości funkcji \(g\) w przedziale \([9,11]\) jest \([0,\frac94]\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(f(x)=-\frac14x^2+3x-5\), wtedy \(g(x)=|f(x)|\). Miejsca zerowe funkcji \(f\) to \(2\) i \(10\), a pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \[p=-\frac3{2(-1/4)}=6.\] Ponieważ \(6\notin[9,11]\), funkcja \(g\) maleje na \([9,10]\) i rośnie na \([10,11]\). Obliczamy wartości na końcach i w miejscu zerowym: \[g(9)=\left|-\frac{81}{4}+27-5\right|=\frac74,\qquad g(10)=0,\] \[g(11)=\left|-\frac{121}{4}+33-5\right|=\frac94.\] Zatem najmniejszą wartością jest \(0\), a największą \(\frac94\), więc szukany zbiór to \([0,\frac94]\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – obliczenie \(g(11)=\frac94\) i zapisanie zbioru wartości \([0,\frac94]\) **1 pkt** – obliczenie miejsc zerowych \(2\) i \(10\) oraz współrzędnej \(p=6\) wierzchołka paraboli **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. wykorzystywanie i tworzenie informacji przedstawionych w tekście i na wykresie. **Wymagania szczegółowe:** V.R1 tworzenie i interpretowanie wykresu funkcji \(y=|f(x)|\) na podstawie wykresu \(y=f(x)\).

Funkcja kwadratowa

Zadanie 7.1, próbna grudzień 2022, poziom podstawowy

próbna grudzień 2022podstawowy1 pkt
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \[f(x)=ax^2+bx+c.\] Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), ma współrzędne \((5,-3)\). Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią \(Ox\) ma współrzędne \((4,0)\). **Zadanie \(7\).\(1\).** Zapisz zbiór wszystkich wartości funkcji \(f\).
Parabola oznaczona y = f(x) w układzie z osiami wyskalowanymi od -7 do 7; ramiona skierowane w górę, wierzchołek w punkcie (5, -3), a wykres przecina oś x dla x = 4 oraz x = 6.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
\[[-3,+\infty).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Najmniejszą wartością funkcji jest druga współrzędna wierzchołka paraboli, czyli \(-3\). Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc funkcja przyjmuje wszystkie wartości nie mniejsze niż \(-3\). Zatem jej zbiorem wartości jest \[[-3,+\infty).\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – rozwiązanie poprawne **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie z wykresu funkcji jej zbioru wartości.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 7.2, próbna grudzień 2022, poziom podstawowy

próbna grudzień 2022podstawowy2 pkt
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \[f(x)=ax^2+bx+c.\] Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), ma współrzędne \((5,-3)\). Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią \(Ox\) ma współrzędne \((4,0)\). **Zadanie \(7\).\(2\).** Wyznacz wzór funkcji kwadratowej \(f\) w postaci kanonicznej. **Zapisz obliczenia.**
Fragment paraboli y = f(x) o ramionach skierowanych w górę w układzie współrzędnych o obu osiach od -7 do 7; wierzchołek w punkcie (5, -3), przecięcia z osią x w punktach 4 oraz 6.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
\[f(x)=3(x-5)^2-3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z wierzchołka \((5,-3)\) otrzymujemy postać kanoniczną \[f(x)=a(x-5)^2-3,\qquad a\neq0.\] Wykres przechodzi przez punkt \((4,0)\), więc \[0=a(4-5)^2-3=a-3.\] Stąd \(a=3\), a zatem \[f(x)=3(x-5)^2-3.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda wyznaczenia postaci kanonicznej funkcji \(f\) oraz zapisanie wzoru \(f(x)=3(x-5)^2-3\) **1 pkt** – zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-5)^2-3\), iloczynowej \(f(x)=a(x-4)(x-6)\) albo ogólnej \(f(x)=3x^2-30x+72\) **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** V.8 i V.9 interpretowanie współczynników funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej oraz wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie informacji o funkcji lub jej wykresie.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 12, maj 2022, poziom podstawowy

maj 2022podstawowy1 pkt
Wykresem funkcji kwadratowej \[f(x)=3x^2+bx+c\] jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(-3,2)\). Wzór tej funkcji w postaci kanonicznej to **A.** \(f(x)=3(x-3)^2+2\) **B.** \(f(x)=3(x+3)^2+2\) **C.** \(f(x)=(x-3)^2+2\) **D.** \(f(x)=(x+3)^2+2\)

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
**B.** \(f(x)=3(x+3)^2+2\)
Rozwiązanie krok po kroku
Postać kanoniczna funkcji o wierzchołku \(W=(p,q)\) ma postać \(f(x)=a(x-p)^2+q\). Tutaj \(a=3\), \(p=-3\) i \(q=2\), zatem \[f(x)=3(x-(-3))^2+2=3(x+3)^2+2.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.10 interpretowanie współczynników funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, ogólnej i iloczynowej.

Inne zagadnienia

Zadanie 35, maj 2022, poziom podstawowy

maj 2022podstawowy5 pkt
Wykres funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \[f(x)=ax^2+bx+c\] ma z prostą o równaniu \(y=6\) dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty \(A=(-5,0)\) i \(B=(3,0)\) należą do wykresu funkcji \(f\). **Oblicz wartości współczynników \(a\), \(b\) oraz \(c\).**

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
\[a=-\frac38,\qquad b=-\frac34,\qquad c=\frac{45}{8}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Miejsca zerowe \(-5\) i \(3\) dają postać iloczynową \[f(x)=a(x+5)(x-3).\] Oś symetrii paraboli ma równanie \[x=\frac{-5+3}{2}=-1.\] Prosta \(y=6\) ma z wykresem dokładnie jeden punkt wspólny, więc jest styczna w wierzchołku i \(f(-1)=6\). Zatem \[a(-1+5)(-1-3)=6,\] \[-16a=6,\qquad a=-\frac38.\] Po rozwinięciu \[f(x)=-\frac38(x^2+2x-15)=-\frac38x^2-\frac34x+\frac{45}{8}.\] Stąd \(a=-\frac38\), \(b=-\frac34\), \(c=\frac{45}{8}\).
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawna metoda i wszystkie współczynniki: \(a=-\frac38\), \(b=-\frac34\), \(c=\frac{45}{8}\) **4 pkt** – poprawne wyznaczenie \(a\) z warunku styczności i drobny błąd przy rozwinięciu postaci iloczynowej **3 pkt** – zapisanie \(f(x)=a(x+5)(x-3)\), wyznaczenie osi \(x=-1\) i równania \(f(-1)=6\) **2 pkt** – poprawna postać iloczynowa oraz wykorzystanie jednego z warunków dotyczących wierzchołka lub styczności **1 pkt** – zapisanie \(f(x)=a(x+5)(x-3)\) albo równoważnego układu wynikającego z danych **0 pkt** – brak poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 4.9 wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie informacji o funkcji i jej wykresie.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 10, sierpień 2022, poziom podstawowy

sierpień 2022podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\) osiąga dla \(x=2\) wartość najmniejszą równą \(4\). Wtedy **A.** \(b=-4,\ c=8\) **B.** \(b=4,\ c=-8\) **C.** \(b=-4,\ c=-8\) **D.** \(b=4,\ c=8\)
Odpowiedź
**A.** \(b=-4\), \(c=8\)
Rozwiązanie krok po kroku
Oś symetrii paraboli ma równanie \(x=-\frac b2\). Z warunku \(-\frac b2=2\) otrzymujemy \(b=-4\). Ponadto \(f(2)=4\), więc \[4+2b+c=4,\qquad c=8.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** IV.8 posługiwanie się własnościami funkcji kwadratowej, w szczególności położeniem jej wierzchołka.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 11, sierpień 2022, poziom podstawowy

sierpień 2022podstawowy1 pkt
Dana jest funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=-2(x-2)(x+1)\). Funkcja \(f\) jest rosnąca w zbiorze **A.** \(({-}\infty,\frac12]\) **B.** \((-1,2)\) **C.** \((0,\frac52)\) **D.** \([\frac52,+\infty)\)
Odpowiedź
**A.** \(({-}\infty,\frac12]\)
Rozwiązanie krok po kroku
Miejsca zerowe funkcji to \(-1\) i \(2\), więc współrzędna \(x\) wierzchołka jest równa \[x_w=\frac{-1+2}{2}=\frac12.\] Ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny, funkcja rośnie na \(({-}\infty,\frac12]\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** IV.8 odczytywanie i wyznaczanie przedziałów monotoniczności funkcji kwadratowej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 23, próbna wrzesień 2022, poziom podstawowy

próbna wrzesień 2022podstawowy4 pkt
Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że: - przychód \(P\) (w złotych) z tygodniowej sprzedaży \(x\) wiatraków można opisać funkcją \(P(x)=251x\), - koszt \(K\) (w złotych) produkcji \(x\) wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją \(K(x)=x^2+21x+170\). Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej \(150\) wiatraków. **Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk. Zapisz obliczenia.** *Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.*
Odpowiedź
Należy sprzedać \(115\) wiatraków. Największy tygodniowy zysk wynosi \(13\,055\text{ zł}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Zysk jest różnicą przychodu i kosztu: \[Z(x)=P(x)-K(x)=251x-(x^2+21x+170)=-x^2+230x-170.\] Dziedziną jest zbiór \[x\in[0,150]\cap\mathbb Z.\] Parabola ma ramiona skierowane w dół, a pierwsza współrzędna jej wierzchołka wynosi \[x_w=-\frac{230}{2\cdot(-1)}=115.\] Liczba \(115\) należy do dziedziny. Obliczamy zysk: \[Z(115)=-115^2+230\cdot115-170=13\,055.\] Największy zysk uzyskuje się przy sprzedaży \(115\) wiatraków.
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda obliczenia liczby wiatraków maksymalizującej zysk oraz wyniki \(x=115\) i \(Z(115)=13\,055\text{ zł}\) **3 pkt** – zapisanie dziedziny \(x\in[0,150]\cap\mathbb Z\), obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka i stwierdzenie, że \(115\) należy do dziedziny **2 pkt** – zapisanie \(Z(x)=-x^2+230x-170\) **1 pkt** – zapisanie \(Z(x)=P(x)-K(x)\) **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów. **Wymagania szczegółowe:** XIII rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 13.1, próbna wrzesień 2022, poziom podstawowy

próbna wrzesień 2022podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=-(x-1)^2+2.\] **Zadanie \(13\).\(1\).** **Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Wykresem funkcji \(f\) jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne **A.** \((1,2)\) **B.** \((-1,2)\) **C.** \((1,-2)\) **D.** \((-1,-2)\)

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
**A.** \((1,2)\)
Rozwiązanie krok po kroku
Funkcja jest zapisana w postaci kanonicznej \[f(x)=a(x-p)^2+q.\] Ze wzoru \(f(x)=-(x-1)^2+2\) odczytujemy \(p=1\) oraz \(q=2\). Wierzchołek paraboli ma więc współrzędne \[W=(1,2).\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** V.8 interpretowanie współczynników występujących we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 13.2, próbna wrzesień 2022, poziom podstawowy

próbna wrzesień 2022podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=-(x-1)^2+2.\] **Zadanie \(13\).\(2\).** **Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział **A.** \(( -\infty,2]\) **B.** \(( -\infty,2)\) **C.** \((2,+\infty)\) **D.** \([2,+\infty)\)
Odpowiedź
**A.** \(( -\infty,2]\)
Rozwiązanie krok po kroku
Współczynnik przy \((x-1)^2\) jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Największa wartość funkcji jest osiągana w wierzchołku i wynosi \(2\). Zatem \[W_f=(-\infty,2].\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie dziedziny i zbioru wartości funkcji.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 10, czerwiec 2021, poziom podstawowy

czerwiec 2021podstawowy1 pkt
Wykresem funkcji \(f\) określonej wzorem \[f(x)=-3(x+4)(x-2)\] jest parabola o wierzchołku \(W=(p,q)\). Współrzędne \(p\) i \(q\) spełniają warunki **A.** \(p>0\) i \(q>0\) **B.** \(p<0\) i \(q>0\) **C.** \(p<0\) i \(q<0\) **D.** \(p>0\) i \(q<0\)

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
**B.** \(p<0\) i \(q>0\)
Rozwiązanie krok po kroku
Miejsca zerowe mają wartości \(-4\) i \(2\), więc oś symetrii ma równanie \[x=\frac{-4+2}{2}=-1.\] Zatem \(p=-1<0\). Ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny, parabola ma ramiona skierowane w dół, a jej wierzchołek leży ponad osią \(Ox\), więc \(q>0\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** odczytywanie własności funkcji kwadratowej z postaci iloczynowej i wyznaczanie osi symetrii paraboli.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 11, czerwiec 2021, poziom podstawowy

czerwiec 2021podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) ma miejsce zerowe równe \(2\), a oś symetrii wykresu tej funkcji ma równanie \(x=-2\). Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba **A.** \(-2\) **B.** \(-3\) **C.** \(-4\) **D.** \(-6\)

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
**D.** \(-6\)
Rozwiązanie krok po kroku
Oś symetrii paraboli leży w połowie między miejscami zerowymi. Jeśli drugie miejsce zerowe oznaczymy przez \(x_2\), to \[\frac{2+x_2}{2}=-2.\] Stąd \(2+x_2=-4\), czyli \(x_2=-6\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** korzystanie z symetrii wykresu funkcji kwadratowej względem osi przechodzącej przez wierzchołek.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 12, czerwiec 2021, poziom podstawowy

czerwiec 2021podstawowy1 pkt
Dla funkcji \(f\) opisanej w zadaniu \(11\). wiadomo dodatkowo, że \(f(0)=3\). Wartość \(f(-4)\) jest równa **A.** \(-2\) **B.** \(0\) **C.** \(3\) **D.** \(4\)
Odpowiedź
**C.** \(3\)
Rozwiązanie krok po kroku
Punkty o argumentach \(0\) i \(-4\) są symetryczne względem osi \(x=-2\). Funkcja kwadratowa przyjmuje w takich punktach równe wartości, dlatego \[f(-4)=f(0)=3.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** wykorzystywanie symetrii wykresu funkcji kwadratowej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 12, maj 2021, poziom podstawowy

maj 2021podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \[f(x)=-2(x+1)(x-3)\] jest malejąca w przedziale **A.** \([1,+\infty)\) **B.** \(( -\infty,1]\) **C.** \(( -\infty,-8]\) **D.** \([-8,+\infty)\)
Odpowiedź
**A.** \([1,+\infty)\)
Rozwiązanie krok po kroku
Miejsca zerowe funkcji to \(-1\) i \(3\), więc oś symetrii paraboli ma równanie \[x=\frac{-1+3}{2}=1.\] Współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny, zatem parabola ma ramiona skierowane w dół. Funkcja jest malejąca dla \(x\geq1\), czyli w przedziale \([1,+\infty)\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3 odczytywanie maksymalnych przedziałów monotoniczności funkcji kwadratowej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 34, próbna marzec 2021, poziom podstawowy

próbna marzec 2021podstawowy2 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=x^2+bx+c.\] Funkcja \(f\) nie ma miejsc zerowych. Wykaż, że \[1+c>b.\]
Odpowiedź
\[1+c>b.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, a funkcja kwadratowa \(f\) nie ma miejsc zerowych. Jej wykres leży więc w całości nad osią \(Ox\), czyli \(f(x)>0\) dla każdego \(x\in\mathbb R\). W szczególności dla \(x=-1\) mamy \[f(-1)=(-1)^2-b+c=1-b+c>0.\] Po przeniesieniu \(b\) na prawą stronę otrzymujemy \[1+c>b,\] co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu nierówności \(1+c>b\) **1 pkt** – stwierdzenie, że \(f(x)>0\) dla każdego \(x\in\mathbb R\), i rozważenie wartości \(f(-1)\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** V. rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** 4.10 interpretowanie współczynników występujących we wzorze funkcji kwadratowej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 10, sierpień 2021, poziom podstawowy

sierpień 2021podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=-2(x+3)(x-5).\] Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) jest równa **A.** \(-3\) **B.** \(-1\) **C.** \(1\) **D.** \(5\)

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
**C.** \(1\)
Rozwiązanie krok po kroku
Miejsca zerowe funkcji to \(x_1=-3\) oraz \(x_2=5\). Oś symetrii paraboli, a więc pierwsza współrzędna jej wierzchołka, jest równa \[x_W=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-3+5}{2}=1.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3 odczytywanie własności funkcji kwadratowej z jej postaci iloczynowej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 11, sierpień 2021, poziom podstawowy

sierpień 2021podstawowy1 pkt
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=-x^2+4.\] Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział **A.** \(( -\infty,-2]\) **B.** \([2,+\infty)\) **C.** \([-4,+\infty)\) **D.** \(( -\infty,4]\)
Odpowiedź
**D.** \(( -\infty,4]\)
Rozwiązanie krok po kroku
Parabola \(y=-x^2+4\) ma ramiona skierowane w dół, a jej wierzchołek to \(W=(0,4)\). Największa wartość funkcji jest równa \(4\), dlatego \[W_f=( -\infty,4].\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3 wyznaczanie zbioru wartości funkcji kwadratowej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 12, sierpień 2021, poziom podstawowy

sierpień 2021podstawowy1 pkt
Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wskaż wzór tej funkcji. **A.** \(f(x)=x^2-6x+11\) **B.** \(f(x)=-x^2+x+2\) **C.** \(f(x)=x^2-6x-7\) **D.** \(f(x)=-x^2+6x-7\)
Parabola o ramionach skierowanych w dół, przecinająca oś x w dwóch punktach dodatnich; wierzchołek leży powyżej poziomu 1, a na obu osiach zaznaczono jedynie jednostkę 1 bez dalszej skali.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**D.** \(f(x)=-x^2+6x-7\)
Rozwiązanie krok po kroku
Parabola z rysunku ma ramiona skierowane w dół, więc odrzucamy odpowiedzi A i C. Jej oś symetrii ma równanie \(x=3\), co spełnia funkcja z odpowiedzi D: \[-x^2+6x-7=-(x-3)^2+2.\] Jej wierzchołkiem jest punkt \(W=(3,2)\), zgodny z rysunkiem.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3 rozpoznawanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie jej wykresu i własności paraboli.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 7, czerwiec 2020, poziom podstawowy

czerwiec 2020podstawowy1 pkt
**Informacja do zadań \(7\).–\(9\).** Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=a(x-1)(x-3).\] Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji \(f\). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne \(W=(2,1)\). **Zadanie \(7\).** Współczynnik \(a\) we wzorze funkcji \(f\) jest równy **A.** \(1\) **B.** \(2\) **C.** \(-2\) **D.** \(-1\)
Fragment paraboli w układzie współrzędnych na kratownicy; oś Ox od -4 do 5, oś Oy od -4 do 4. Parabola o ramionach skierowanych w dół, wierzchołek zaznaczony kropką i opisany literą W w punkcie (2,1), przecina oś Ox w punktach (1,0) i (3,0), a oś Oy w punkcie (0,-3).
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**D.** \(a=-1\)
Rozwiązanie krok po kroku
Wierzchołek \(W=(2,1)\) należy do wykresu funkcji, więc \(f(2)=1\). Podstawiamy \(x=2\): \[a(2-1)(2-3)=1,\] \[-a=1,\qquad a=-1.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.10 interpretowanie współczynników we wzorze funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 8, czerwiec 2020, poziom podstawowy

czerwiec 2020podstawowy1 pkt
**Informacja do zadań \(7\).–\(9\).** Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=a(x-1)(x-3).\] Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) ma współrzędne \(W=(2,1)\). **Zadanie \(8\).** Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \([1,4]\) jest równa **A.** \(-3\) **B.** \(0\) **C.** \(1\) **D.** \(2\)
Fragment paraboli w układzie współrzędnych na kratownicy; oś Ox od -4 do 5, oś Oy od -4 do 4. Parabola o ramionach skierowanych w dół, wierzchołek W = (2,1), miejsca zerowe 1 i 3, punkt przecięcia z osią Oy w (0,-3).
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**C.** \(1\)
Rozwiązanie krok po kroku
Parabola ma ramiona skierowane w dół, a jej wierzchołek \(W=(2,1)\) należy do rozpatrywanego przedziału \([1,4]\). Największą wartością funkcji w tym przedziale jest więc druga współrzędna wierzchołka: \[\max_{x\in[1,4]}f(x)=f(2)=1.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.11 wyznaczanie wartości największej funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 9, czerwiec 2020, poziom podstawowy

czerwiec 2020podstawowy1 pkt
**Informacja do zadań \(7\).–\(9\).** Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=a(x-1)(x-3).\] Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) ma współrzędne \(W=(2,1)\). **Zadanie \(9\).** Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) jest prosta o równaniu **A.** \(x=1\) **B.** \(x=2\) **C.** \(y=1\) **D.** \(y=2\)
Parabola o ramionach skierowanych w dół w układzie współrzędnych z osią x od -4 do 5 i osią y od -4 do 4; zaznaczony wierzchołek W w punkcie (2, 1), miejsca zerowe 1 i 3, przecięcie osi y w -3.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**B.** \(x=2\)
Rozwiązanie krok po kroku
Oś symetrii paraboli przechodzi przez jej wierzchołek i jest równoległa do osi \(Oy\). Ponieważ wierzchołek ma współrzędne \(W=(2,1)\), równaniem osi symetrii jest \[x=2.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.12 wykorzystywanie własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 9, lipiec 2020, poziom podstawowy

lipiec 2020podstawowy1 pkt
Wykresem \(f(x)=-x^{2}+6x+4\) jest parabola o wierzchołku (\(3\),q). Liczba q jest równa A. \(4\) B. \(7\) C. \(9\) D. \(13\)

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
D. \(13\)
Rozwiązanie krok po kroku
Druga współrzędna wierzchołka to wartość funkcji dla pierwszej współrzędnej wierzchołka. Skoro wierzchołkiem jest punkt \((3,q)\), to \[q=f(3)=-3^2+6\cdot3+4=-9+18+4=13.\] Sprawdzenie pierwszej współrzędnej: dla \(a=-1\) i \(b=6\) mamy \(p=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{-2}=3\), co zgadza się z treścią zadania. **Odpowiedź.** D: \(q=13\)
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Zadanie 9. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 11, lipiec 2020, poziom podstawowy

lipiec 2020podstawowy1 pkt
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \[f(x)=ax^2+bx+c.\] Z rysunku wynika, że **A.** \(a<0\) i \(b<0\) **B.** \(a<0\) i \(b>0\) **C.** \(a>0\) i \(b<0\) **D.** \(a>0\) i \(b>0\)
Parabola o ramionach skierowanych w dół w układzie współrzędnych bez podziałki; jej wierzchołek, zaznaczony kropką, leży na dodatniej półosi x, a lewa gałąź przecina oś y poniżej zera.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**B.** \(a<0\) i \(b>0\)
Rozwiązanie krok po kroku
Ramiona paraboli są skierowane w dół, zatem \[a<0.\] Wierzchołek paraboli leży na prawo od osi \(Oy\), więc jego pierwsza współrzędna spełnia \[-\frac{b}{2a}>0.\] Ponieważ \(2a<0\), powyższa nierówność jest możliwa tylko dla \(b>0\). Zatem \(a<0\) i \(b>0\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.10 interpretowanie współczynników funkcji kwadratowej na podstawie jej wykresu.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 8, wrzesień 2020, poziom podstawowy

wrzesień 2020podstawowy1 pkt
Zbiorem wartości funkcji kwadratowej \(f\), określonej wzorem \[f(x)=-(x+9)^2+m,\] jest przedział \(( -\infty,-5]\). Wtedy **A.** \(m=5\) **B.** \(m=-5\) **C.** \(m=-9\) **D.** \(m=9\)
Odpowiedź
**B.** \(m=-5\)
Rozwiązanie krok po kroku
Wzór jest zapisany w postaci kanonicznej. Parabola ma ramiona skierowane w dół, a jej wierzchołek ma współrzędne \((-9,m)\). Największą wartością funkcji jest więc \(m\), a jej zbiór wartości ma postać \[(-\infty,m].\] Porównując z \((-\infty,-5]\), otrzymujemy \(m=-5\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcja kwadratowa - odczytywanie zbioru wartości z postaci kanonicznej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 9, wrzesień 2020, poziom podstawowy

wrzesień 2020podstawowy1 pkt
Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej \(f\), określonej wzorem \[f(x)=\frac13x^2+4x+7,\] jest prosta o równaniu **A.** \(x=-6\) **B.** \(y=-6\) **C.** \(x=-2\) **D.** \(y=-2\)

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
**A.** \(x=-6\)
Rozwiązanie krok po kroku
Dla funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\) oś symetrii ma równanie \(x=-\frac{b}{2a}\). Tutaj \(a=\frac13\) i \(b=4\), zatem \[x=-\frac4{2\cdot\frac13}=-6.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcja kwadratowa - wyznaczanie osi symetrii paraboli.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 10, wrzesień 2020, poziom podstawowy

wrzesień 2020podstawowy1 pkt
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\), określonej wzorem \[f(x)=ax^2+bx+c.\] Z rysunku wynika, że **A.** \(a<0\) i \(c<0\) **B.** \(a<0\) i \(c>0\) **C.** \(a>0\) i \(c<0\) **D.** \(a>0\) i \(c>0\)
Parabola o ramionach skierowanych w górę, styczna do osi OX w jednym punkcie zaznaczonym kropką po prawej stronie początku układu; osie nie mają podziałki ani opisanych wartości.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**D.** \(a>0\) i \(c>0\)
Rozwiązanie krok po kroku
Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc \(a>0\). Punkt przecięcia wykresu z osią \(Oy\) leży powyżej osi \(Ox\), a jego rzędna jest równa \(f(0)=c\). Zatem również \(c>0\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcja kwadratowa - interpretowanie współczynników na podstawie wykresu.

Funkcje

Zadanie 33, czerwiec 2019, poziom podstawowy

czerwiec 2019podstawowy4 pkt
Liczby rzeczywiste \(x\) i \(z\) spełniają warunek \(2x+z=1\). Wyznacz takie wartości \(x\) i \(z\), dla których wyrażenie \(x^{2}+z^{2}+7xz\) przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.
Odpowiedź
x=\(\frac{1}{6}\), z=\(\frac{2}{3}\), wartość największa \(\frac{5}{4}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** \(1\)–\(3\) pkt: zapis i analiza funkcji −\(9\)\(x^{2}\)+\(3x\)+\(1\). \(4\) pkt: x=\(\frac{1}{6}\), z=\(\frac{2}{3}\) i maksimum \(\frac{5}{4}\). **Odpowiedź.** x=\(\frac{1}{6}\), z=\(\frac{2}{3}\), wartość największa \(\frac{5}{4}\)
Klucz i zasady oceniania
**1–3 pkt** – zapis i analiza funkcji \(-9x^{2}+3x+1\). **4 pkt** – \(x=\frac{1}{6}\), \(z=\frac{2}{3}\) i maksimum \(\frac{5}{4}\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 33. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 8, maj 2019, poziom podstawowy

maj 2019podstawowy1 pkt
**Informacja do zadań \(8\).-\(10\).** Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,-4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\). **Zadanie \(8\).** Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział **A.** \(( -\infty,0]\) **B.** \([0,4]\) **C.** \([-4,+\infty)\) **D.** \([4,+\infty)\)
Fragment paraboli w układzie współrzędnych na kratownicy; oś Ox od -4 do 6, oś Oy od -4 do 4. Parabola o ramionach skierowanych w górę, wierzchołek zaznaczony kropką i opisany literą W w punkcie (2,-4), przecina oś Ox w punktach (0,0) i (4,0).
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**C.** \([-4,+\infty)\)
Rozwiązanie krok po kroku
Parabola jest skierowana ramionami w górę, a jej wierzchołek \(W=(2,-4)\) wyznacza najmniejszą wartość funkcji równą \(-4\). Zatem zbiorem wartości jest \[\left[-4,+\infty\right).\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3 odczytywanie z wykresu własności funkcji, w tym zbioru wartości.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 9, maj 2019, poziom podstawowy

maj 2019podstawowy1 pkt
**Informacja do zadań \(8\).-\(10\).** Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,-4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\). **Zadanie \(9\).** Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \([1,4]\) jest równa **A.** \(-3\) **B.** \(-4\) **C.** \(4\) **D.** \(0\)
Fragment paraboli w układzie współrzędnych na kratownicy; oś Ox od -4 do 6, oś Oy od -4 do 4. Parabola o ramionach skierowanych w górę, wierzchołek W = (2,-4), miejsca zerowe 0 i 4.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**D.** \(0\)
Rozwiązanie krok po kroku
W przedziale \([1,4]\) parabola osiąga najmniejszą wartość \(-4\) w wierzchołku dla \(x=2\), a następnie rośnie do miejsca zerowego \(x=4\). Największą wartością na tym przedziale jest więc \[f(4)=0.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3 odczytywanie z wykresu wartości największej lub najmniejszej funkcji w podanym przedziale.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 10, maj 2019, poziom podstawowy

maj 2019podstawowy1 pkt
**Informacja do zadań \(8\).-\(10\).** Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,-4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\). **Zadanie \(10\).** Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu **A.** \(y=-4\) **B.** \(x=-4\) **C.** \(y=2\) **D.** \(x=2\)
Fragment paraboli w układzie współrzędnych na kratownicy; oś Ox od -4 do 6, oś Oy od -4 do 4. Parabola o ramionach skierowanych w górę, wierzchołek W = (2,-4), miejsca zerowe 0 i 4; wykres jest symetryczny względem prostej pionowej przechodzącej przez wierzchołek.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**D.** \(x=2\)
Rozwiązanie krok po kroku
Oś symetrii paraboli przechodzi przez jej wierzchołek \(W=(2,-4)\) i jest pionowa. Ma zatem równanie \[x=2.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.12 wykorzystywanie własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych i praktycznych.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 7, sierpień 2019, poziom podstawowy

sierpień 2019podstawowy1 pkt
Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f ( x ) = 9 - ( 3 - x )2\) są liczby A. \(0\) oraz \(3\) B. −\(6\) oraz \(6\) C. \(0\) oraz − \(6\) D. \(0\) oraz \(6\)
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis: „Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=9-(3-x)^2\) są liczby” z wariantami **A.** \(0\) oraz \(3\) **B.** \(-6\) oraz \(6\) **C.** \(0\) oraz \(-6\) **D.** \(0\) oraz \(6\).
w zapisie zastanym po nawiasie \((3-x)\) stoi osierocona cyfra \(2\) — utracony wykładnik potęgi; liczba i kolejność tokenów w wariantach zachowana; zgodność z kluczem CKE (odpowiedź D), bo \(9-(3-x)^2=0\) daje \(x=0\) albo \(x=6\)
Odpowiedź
D
Rozwiązanie krok po kroku
Miejsca zerowe wyznaczamy z równania \(f(x)=0\): \[9-(3-x)^2=0,\qquad (3-x)^2=9.\] Stąd \[3-x=3\quad\text{albo}\quad 3-x=-3,\] czyli \(x=0\) albo \(x=6\). Ten sam wynik daje wzór na różnicę kwadratów: \[9-(3-x)^2=\bigl(3-(3-x)\bigr)\bigl(3+(3-x)\bigr)=x(6-x).\] **Odpowiedź.** D: \(0\) oraz \(6\)
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Zadanie 7. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 8, sierpień 2019, poziom podstawowy

sierpień 2019podstawowy1 pkt
Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(g\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,1)\). Zbiorem wartości funkcji \(g\) jest przedział **A.** \(( -\infty,0]\) **B.** \([0,2]\) **C.** \([1,+\infty)\) **D.** \(( -\infty,1]\)
Parabola o ramionach skierowanych w dół, z wierzchołkiem W w punkcie o współrzędnych 1 i 1, przecinająca oś OX w punktach 0 oraz 2. Osie wyskalowane od -4 do 5 i od -4 do 4, w tle kratownica.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**D.** \(( -\infty,1]\)
Rozwiązanie krok po kroku
Parabola jest skierowana ramionami w dół, a jej wierzchołek \(W=(1,1)\) wyznacza największą wartość funkcji równą \(1\). Funkcja przyjmuje wszystkie wartości nie większe od \(1\), więc jej zbiorem wartości jest \[(-\infty,1].\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje wyłącznie odpowiedzi. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcja kwadratowa - odczytywanie zbioru wartości z wykresu paraboli.

Funkcje

Zadanie 10, czerwiec 2018, poziom podstawowy

czerwiec 2018podstawowy1 pkt
( ) Największą wartością funkcji \(y = - x - 2 2 + 4 w\) przedziale \(3\), \(5\) jest A. \(4\) B. \(3\) C. \(0\) D. \(5\)
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis: „Największą wartością funkcji \(y=-(x-2)^2+4\) w przedziale \(\langle3,5\rangle\) jest” z wariantami **A.** \(4\) **B.** \(3\) **C.** \(0\) **D.** \(5\).
w zapisie zastanym po nawiasie stoi osierocona cyfra \(2\) (utracony wykładnik) oraz osierocony wiersz „( )” nad treścią, a końce przedziału rozdzieliła ekstrakcja; liczba i kolejność tokenów zachowana; zgodność z kluczem CKE (odpowiedź B), bo \(-(3-2)^2+4=3\)
Odpowiedź
B
Rozwiązanie krok po kroku
Wzór \(y=-(x-2)^2+4\) jest zapisany w postaci kanonicznej, więc wierzchołkiem paraboli jest punkt \((2,4)\), a ramiona są skierowane w dół (\(a=-1<0\)). Funkcja jest zatem malejąca dla \(x\geqslant2\). Cały przedział \(\langle3,5\rangle\) leży na prawo od wierzchołka, więc na tym przedziale funkcja maleje i największą wartość przyjmuje w lewym końcu: \[y(3)=-(3-2)^2+4=-1+4=3.\] Wartość \(4\) z wariantu A jest największą wartością funkcji w całej dziedzinie, ale osiąganą dla \(x=2\), czyli poza rozważanym przedziałem. **Odpowiedź.** B: \(3\)
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Zadanie 10. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

Ciągi

Zadanie 12, czerwiec 2018, poziom podstawowy

czerwiec 2018podstawowy1 pkt
Na jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem \(f (x) = - ( x -1 ) ( 3 - x )\) . Wskaż ten rysunek. A. B. C. D.
Cztery fragmenty wykresów funkcji kwadratowych w układach współrzędnych, oznaczone A, B, C i D. Wykres A: parabola o ramionach skierowanych w dół, wierzchołek w pobliżu punktu (−2, 1), przecina oś y w punkcie −3. Wykres B: parabola o ramionach w górę, wierzchołek w pobliżu (−2, −1), przecina oś y w punkcie 3. Wykres C: parabola o ramionach w dół, wierzchołek w pobliżu (2, 1), przecina oś y w punkcie −3. Wykres D: parabola o ramionach w górę, wierzchołek w pobliżu (2, −1), przecina oś y w punkcie 3.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
D
Rozwiązanie krok po kroku
Doprowadzamy wzór do postaci ogólnej: \[f(x)=-(x-1)(3-x)=-\left(-x^{2}+4x-3\right)=x^{2}-4x+3.\] Współczynnik przy \(x^{2}\) jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę — odpada wykres A i wykres C. Miejsca zerowe to \(x=1\) i \(x=3\), a wierzchołek leży w punkcie \(x=\frac{1+3}2=2\), przy czym \(f(2)=4-8+3=-1\). Ponadto \(f(0)=3\). Na rysunku D parabola ma ramiona w górę, przecina oś \(x\) w punktach \(1\) i \(3\), ma wierzchołek \((2,-1)\) i przechodzi przez \((0,3)\). **Odpowiedź.** **D.**
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Zadanie 12. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 27, czerwiec 2018, poziom podstawowy

czerwiec 2018podstawowy2 pkt
Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f ( x ) = x^{2} +\) bx + c jest parabola, na której leży punkt \(A = ( 0, -5 )\) . Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu \(x = 7\) . Oblicz wartości współczynników b i c.

To zadanie nie zawiera gotowego rysunku; arkusz przewiduje puste miejsce na wykonanie rysunku przez zdającego. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
\(b=-14\), \(c=-5\)
Rozwiązanie krok po kroku
Wzór funkcji ma postać \(f(x)=x^2+bx+c\), więc współczynnik przy \(x^2\) jest równy \(1\). **Wyznaczenie \(c\).** Punkt \(A=(0,-5)\) leży na paraboli, a \(f(0)=c\), zatem \[c=-5.\] **Wyznaczenie \(b\).** Osią symetrii paraboli jest prosta \(x=p\), gdzie \(p=-\frac{b}{2a}=-\frac b2\). Z warunku \(p=7\) otrzymujemy \[-\frac b2=7,\qquad b=-14.\] Sprawdzenie: dla \(f(x)=x^2-14x-5\) mamy \(f(0)=-5\) oraz \(p=-\frac{-14}{2}=7\). **Odpowiedź.** \(b=-14\) i \(c=-5\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: wyznaczenie jednego współczynnika. 2 pkt: b=−14 i c=−5.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 27. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 6, maj 2018, poziom podstawowy

maj 2018podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \[f(x)=-2(x+3)(x-5).\] Liczby \(x_1\), \(x_2\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(f\). Zatem **A.** \(x_1+x_2=-8\) **B.** \(x_1+x_2=-2\) **C.** \(x_1+x_2=2\) **D.** \(x_1+x_2=8\)
Odpowiedź
**C.** \(x_1+x_2=2\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z postaci iloczynowej odczytujemy miejsca zerowe: \(x_1=-3\) i \(x_2=5\). Zatem \(x_1+x_2=2\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne I.** **4.10:** zdający interpretuje współczynniki i informacje zawarte w postaci iloczynowej funkcji kwadratowej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 9, maj 2018, poziom podstawowy

maj 2018podstawowy1 pkt
Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x) = x^{2} - 6x - 3\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych A. (−\(6\), −\(3\)) B. (−\(6\), \(69\)) C. (\(3\), −\(12\)) D. (\(6\), −\(3\))

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
C. (\(3\), −\(12\))
Rozwiązanie krok po kroku
Współrzędne wierzchołka paraboli \(y=ax^2+bx+c\) obliczamy ze wzorów \(p=-\frac{b}{2a}\) oraz \(q=f(p)\). We wzorze \(f(x)=x^2-6x-3\) mamy \(a=1\), \(b=-6\), \(c=-3\), zatem \[p=-\frac{-6}{2\cdot1}=3,\qquad q=f(3)=3^2-6\cdot3-3=9-18-3=-12.\] Wierzchołkiem jest więc punkt \(W=(3,-12)\). **Odpowiedź.** C: \((3,-12)\)
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Zadanie 9. (0−1) **Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** 4. Funkcje. Zdający szkicuje wykres funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru (4.8).

Ciągi

Zadanie 10, sierpień 2018, poziom podstawowy

sierpień 2018podstawowy1 pkt
Wykresem funkcji kwadratowej \(f ( x ) = x^{2} - 2x -11\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych A. ( −\(2\), − \(3\) ) B. ( −\(2\), −\(12\) ) C. ( \(1\), − \(8\) ) D. ( \(1\), −\(12\) )

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
D
Rozwiązanie krok po kroku
Pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) obliczamy ze wzoru \(p=-\frac{b}{2a}\). Tutaj \(a=1\), \(b=-2\), \(c=-11\), więc \[p=-\frac{-2}{2\cdot1}=1.\] Drugą współrzędną otrzymujemy, podstawiając \(p\) do wzoru funkcji: \[q=f(1)=1-2-11=-12.\] **Odpowiedź.** **D.** \((1,-12)\)
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Zadanie 10. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

Ciągi

Zadanie 11, sierpień 2018, poziom podstawowy

sierpień 2018podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \[f(x)=-3(x-2)(x-9).\] Liczby \(x_1\), \(x_2\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(f\). Zatem **A.** \(x_1+x_2=11\) **B.** \(x_1+x_2=-11\) **C.** \(x_1+x_2=33\) **D.** \(x_1+x_2=-33\)
Odpowiedź
**A.** \(x_1+x_2=11\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z postaci iloczynowej odczytujemy \(x_1=2\) i \(x_2=9\), więc \(x_1+x_2=11\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź A **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak
Wymagania podstawy programowej
**Klasyfikacja CKE:** funkcja kwadratowa - interpretacja postaci iloczynowej i miejsc zerowych.

Ciągi

Zadanie 12, sierpień 2018, poziom podstawowy

sierpień 2018podstawowy1 pkt
( ) Największą wartością funkcji \(y = - x - 2 2 + 4 w\) przedziale \(3\), \(5\) jest A. \(0\) B. \(5\) C. \(4\) D. \(3\)
Odpowiedź
D
Rozwiązanie krok po kroku
Funkcja \(y=-(x-2)^{2}+4\) jest zapisana w postaci kanonicznej: jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku \((2,4)\). Na prawo od wierzchołka funkcja maleje, a przedział \(\langle3,5\rangle\) leży w całości na prawo od \(x=2\). Największą wartość funkcja przyjmuje więc na lewym końcu przedziału: \[y(3)=-(3-2)^{2}+4=-1+4=3.\] **Odpowiedź.** **D.** \(3\)
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Zadanie 12. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 6, czerwiec 2017, poziom rozszerzony

czerwiec 2017rozszerzony2 pkt
Funkcja kwadratowa \(f(x)=-x^{2}+bx+c\) ma dwa miejsca zerowe \(x_{1}=-1\) i \(x_{2}=12\). Oblicz największą wartość tej funkcji. Zakoduj kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego wyniku.
Odpowiedź
Największa wartość funkcji jest równa \(42{,}25\); kod: \(2\), \(2\), \(5\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Skoro \(a=-1\), a miejscami zerowymi są \(x_{1}=-1\) i \(x_{2}=12\), to \[f(x)=-(x+1)(x-12).\] **Krok \(2\).** Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie odległości między miejscami zerowymi: \[x_{w}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{-1+12}{2}=5{,}5.\] **Krok \(3\).** Ramiona paraboli są skierowane w dół (\(a=-1\lt 0\)), więc funkcja przyjmuje w wierzchołku wartość największą: \[f(5{,}5)=-(5{,}5+1)(5{,}5-12)=-6{,}5\cdot(-6{,}5)=42{,}25.\] **Krok \(4\).** Kodujemy cyfrę jedności wyniku oraz dwie pierwsze cyfry po przecinku: \(42{,}25\) daje cyfry \(2\), \(2\), \(5\). **Odpowiedź.** Największa wartość funkcji wynosi \(42{,}25\), a kod to \(225\).
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa: odtwarzanie wzoru funkcji kwadratowej z miejsc zerowych i wyznaczanie jej największej wartości.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 9, czerwiec 2017, poziom podstawowy

czerwiec 2017podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f ( x ) = x^{2} +\) bx + c oraz \(f (-1 ) = f ( 3 ) = 1\) . Współczynnik b jest równy A. −\(2\) B. −\(1\) C. \(0\) D. \(3\)
Odpowiedź
A
Rozwiązanie krok po kroku
Równość \(f(-1)=f(3)\) oznacza, że argumenty \(-1\) i \(3\) dają tę samą wartość funkcji kwadratowej, a więc leżą symetrycznie względem osi symetrii paraboli. Osią symetrii jest zatem prosta o równaniu \[x=\frac{-1+3}{2}=1.\] Z drugiej strony dla \(f(x)=x^2+bx+c\) osią symetrii jest prosta \(x=-\frac{b}{2}\). Porównując: \[-\frac b2=1,\qquad b=-2.\] **Odpowiedź.** A: \(b=-2\)
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Zadanie 9. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 11, czerwiec 2017, poziom podstawowy

czerwiec 2017podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=(x-3)(7-x).\] Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) należy do prostej o równaniu **A.** \(y=-5\) **B.** \(y=5\) **C.** \(y=-4\) **D.** \(y=4\)

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
**D.** \(y=4\)
Rozwiązanie krok po kroku
Miejsca zerowe funkcji to \(3\) i \(7\), więc odcięta wierzchołka jest równa \(5\). Wtedy \(f(5)=(5-3)(7-5)=4\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź D **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak
Wymagania podstawy programowej
**Klasyfikacja CKE:** funkcja kwadratowa - postać iloczynowa i współrzędne wierzchołka.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 10, maj 2017, poziom podstawowy

maj 2017podstawowy1 pkt
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f(x) = ax^{2} +\) bx + c, której miejsca zerowe to −\(3\) i \(1\). Współczynnik c jest równy A. \(1\) B. \(2\) C. \(3\) D. \(4\)
Fragment wykresu funkcji kwadratowej w układzie współrzędnych, oś Ox od -5 do 3, oś Oy od -5 do 5. Parabola o ramionach skierowanych w dół, wierzchołek opisany jako W = (-1,4), przecina oś Ox w punktach (-3,0) i (1,0), a oś Oy w punkcie (0,3). Wszystkie trzy punkty zaznaczono kropkami.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**C.** \(c=3\)
Rozwiązanie krok po kroku
Współczynnik \(c\) we wzorze \(f(x)=ax^2+bx+c\) jest wartością funkcji dla argumentu \(0\), bo \(f(0)=c\). Geometrycznie jest to rzędna punktu przecięcia wykresu z osią \(Oy\). Z rysunku odczytujemy, że wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,3)\), zatem \(c=3\). Wynik można potwierdzić rachunkiem. Z miejsc zerowych \(-3\) i \(1\) zapisujemy postać iloczynową \(f(x)=a(x+3)(x-1)\). Z rysunku wierzchołkiem jest \(W=(-1,4)\), więc \[f(-1)=a\cdot2\cdot(-2)=-4a=4,\qquad a=-1.\] Stąd \(f(x)=-(x+3)(x-1)\) oraz \(c=f(0)=-3\cdot(-1)=3\). **Odpowiedź.** C: \(c=3\)
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Zadanie 10. (0−1) **Wymaganie ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** 4. Funkcje. Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje) (4.10).

Funkcja kwadratowa

Zadanie 29, maj 2017, poziom podstawowy

maj 2017podstawowy4 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) wzorem \[f(x)=ax^2+bx+c.\] Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(6\) oraz \[f(-6)=f(0)=\frac32.\] Oblicz wartość współczynnika \(a\).
Odpowiedź
\[a=-\frac12.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(f(-6)=f(0)\), oś symetrii paraboli ma równanie \(x=-3\). Największa wartość funkcji jest równa \(6\), więc \[f(x)=a(x+3)^2+6.\] Podstawiamy \(f(0)=\frac32\): \[9a+6=\frac32,\qquad 9a=-\frac92,\qquad a=-\frac12.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – obliczenie \(a=-\frac12\) **3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą, np. \(a(0+3)^2+6=\frac32\), albo poprawne wyznaczenie \(b=-3\) i \(c=\frac32\) **2 pkt** – zapisanie \(f(x)=a(x+3)^2+6\) albo pełnego układu równań wynikającego z danych **1 pkt** – wyznaczenie osi symetrii \(x=-3\), użycie \(q=6\), zapisanie dwóch równań z wartości funkcji albo równoważny istotny postęp **0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** CKE IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** postać kanoniczna funkcji kwadratowej, oś symetrii i wyznaczanie wzoru funkcji z podanych informacji.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 10, sierpień 2017, poziom podstawowy

sierpień 2017podstawowy1 pkt
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f ( x ) = x^{2} +\) bx + c . Współczynniki b i c spełniają warunki: A. \(b < 0 , c > 0 B\). \(b < 0 , c < 0 C\). \(b > 0 , c > 0 D\). \(b > 0 , c < 0\)
Fragment wykresu funkcji kwadratowej bez podziałki na osiach. Parabola o ramionach skierowanych w górę, przecina oś Oy powyżej początku układu współrzędnych, a oś Ox w dwóch punktach o dodatnich odciętych; wierzchołek leży na prawo od osi Oy i poniżej osi Ox.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**A.** \(b<0\) i \(c>0\)
Rozwiązanie krok po kroku
We wzorze \(f(x)=x^2+bx+c\) współczynnik przy \(x^2\) jest równy \(1\), więc ramiona paraboli są skierowane w górę — zgadza się to z rysunkiem. **Znak \(c\).** Zachodzi \(f(0)=c\), czyli \(c\) jest rzędną punktu przecięcia wykresu z osią \(Oy\). Z rysunku widać, że wykres przecina oś \(Oy\) powyżej początku układu współrzędnych, więc \(c>0\). **Znak \(b\).** Pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa \(p=-\frac{b}{2}\). Z rysunku wierzchołek leży na prawo od osi \(Oy\), czyli \(p>0\), a stąd \(-\frac b2>0\), czyli \(b<0\). (Ten sam wniosek daje odczyt miejsc zerowych: oba są dodatnie, a ich suma wynosi \(-b\), więc \(-b>0\).) **Odpowiedź.** A: \(b<0\), \(c>0\)
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Zadanie 10. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 32, sierpień 2017, poziom podstawowy

sierpień 2017podstawowy4 pkt
Funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) ma dwa miejsca zerowe \(x_{1}=-2\) i \(x_{2}=6\). Wykres funkcji \(f\) przechodzi przez punkt \(A=(1,-5)\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\).

To zadanie nie zawiera gotowego rysunku; arkusz przewiduje puste miejsce na wykonanie rysunku przez zdającego. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(-\frac{16}{3}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Skoro funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe \(x_1=-2\) i \(x_2=6\), to można ją zapisać w postaci iloczynowej: \[f(x)=a(x+2)(x-6).\] Współczynnik \(a\) wyznaczamy z warunku \(f(1)=-5\): \[a(1+2)(1-6)=-5,\qquad -15a=-5,\qquad a=\frac13.\] Ponieważ \(a>0\), ramiona paraboli są skierowane w górę, a więc funkcja przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku. Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie odległości między miejscami zerowymi: \[p=\frac{-2+6}{2}=2.\] Najmniejsza wartość to \[q=f(2)=\frac13(2+2)(2-6)=\frac13\cdot4\cdot(-4)=-\frac{16}{3}.\] **Odpowiedź.** Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(-\frac{16}{3}\).
Klucz i zasady oceniania
**1–3 pkt** – postać iloczynowa, współczynnik \(a=\tfrac{1}{3}\) i argument wierzchołka \(x=2\). **4 pkt** – wartość najmniejsza \(-\tfrac{16}{3}\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 32. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 10, czerwiec 2016, poziom podstawowy

czerwiec 2016podstawowy1 pkt
Dana jest funkcja kwadratowa \[f(x)=-2(x+5)(x-11).\] Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja \(f\) jest rosnąca. **A.** \(( -\infty,3]\) **B.** \(( -\infty,5]\) **C.** \(( -\infty,11]\) **D.** \([6,+\infty)\)
Odpowiedź
**A.** \(( -\infty,3]\)
Rozwiązanie krok po kroku
Miejsca zerowe funkcji to \(-5\) i \(11\), więc pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli wynosi \[x_w=\frac{-5+11}{2}=3.\] Współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny, zatem funkcja jest rosnąca w maksymalnym przedziale \(( -\infty,3]\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź A **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak
Wymagania podstawy programowej
**Klasyfikacja CKE:** funkcja kwadratowa - postać iloczynowa, wierzchołek paraboli i monotoniczność.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 10, maj 2016, poziom podstawowy

maj 2016podstawowy1 pkt
**Informacja do zadań \(10\). i \(11\).** Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\). **Zadanie \(10\).** Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział **A.** \(( -\infty,-2]\) **B.** \([-2,4]\) **C.** \([4,+\infty)\) **D.** \(( -\infty,9]\)
Fragment paraboli w układzie współrzędnych na kratownicy; oś Ox od -7 do 9, oś Oy od -7 do 10. Parabola o ramionach skierowanych w dół, wierzchołek W = (1,9), przecina oś Ox w punktach (-2,0) i (4,0), a oś Oy w punkcie (0,8).
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**D.** \(( -\infty,9]\)
Rozwiązanie krok po kroku
Parabola ma ramiona skierowane w dół, a jej wierzchołek \(W=(1,9)\) wyznacza największą wartość funkcji równą \(9\). Zatem zbiorem wartości jest \(( -\infty,9]\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź D **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak
Wymagania podstawy programowej
**Klasyfikacja CKE:** funkcja kwadratowa - odczytywanie zbioru wartości z wykresu paraboli.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 11, maj 2016, poziom podstawowy

maj 2016podstawowy1 pkt
**Informacja do zadań \(10\). i \(11\).** Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\). **Zadanie \(11\).** Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \([-1,2]\) jest równa **A.** \(2\) **B.** \(5\) **C.** \(8\) **D.** \(9\)
Fragment paraboli w układzie współrzędnych na kratownicy; oś Ox od -7 do 9, oś Oy od -7 do 10. Parabola o ramionach skierowanych w dół, wierzchołek W = (1,9), miejsca zerowe -2 i 4.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**B.** \(5\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z miejsc zerowych i wierzchołka wynika \(f(x)=-(x+2)(x-4)\). W przedziale \([-1,2]\) największa wartość jest w wierzchołku, a najmniejszą porównujemy na końcach: \[f(-1)=5,\qquad f(2)=8.\] Najmniejsza wartość jest równa \(5\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź B **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak
Wymagania podstawy programowej
**Klasyfikacja CKE:** funkcja kwadratowa - odczytywanie wartości i ekstremum funkcji w przedziale.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 6, sierpień 2016, poziom podstawowy

sierpień 2016podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \[f(x)=(x-1)(x-9).\] Wynika stąd, że funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale **A.** \([5,+\infty)\) **B.** \(( -\infty,5]\) **C.** \(( -\infty,-5]\) **D.** \([-5,+\infty)\)
Odpowiedź
**A.** \([5,+\infty)\)
Rozwiązanie krok po kroku
Miejsca zerowe funkcji to \(1\) i \(9\), więc oś symetrii paraboli ma równanie \(x=5\). Ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, funkcja \(f\) jest rosnąca dla \(x\geq5\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź A **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak
Wymagania podstawy programowej
**Klasyfikacja CKE:** funkcja kwadratowa - przedziały monotoniczności paraboli.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 10, sierpień 2016, poziom podstawowy

sierpień 2016podstawowy1 pkt
Jeśli funkcja kwadratowa \(f ( x ) = x^{2} + 2x + 3a\) nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba a spełnia warunek \(1\) \(1\) A. \(a < -1 B\). \(-1 \leq a < 0 C\). \(0 \leq a < D\). \(a >\) \(3\) \(3\)
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis wariantów: **A.** \(a<-1\) **B.** \(-1\leq a<0\) **C.** \(0\leq a<\frac13\) **D.** \(a>\frac13\).
w zapisie zastanym nad i pod wierszem wariantów pozostały osierocone wiersze „1 1” oraz „3 3” — dwa ułamki \(\frac13\) rozbite przez ekstrakcję; ich liczba (dwa) i położenie odpowiadają wariantom C i D; zgodność z warunkiem \(\Delta<0\) oraz z kluczem CKE (odpowiedź D)
Odpowiedź
D
Rozwiązanie krok po kroku
Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych dokładnie wtedy, gdy jej wyróżnik jest ujemny. Dla \(f(x)=x^2+2x+3a\) mamy \(A=1\), \(B=2\), \(C=3a\), więc \[\Delta=2^2-4\cdot1\cdot3a=4-12a.\] Warunek \(\Delta<0\) daje \[4-12a<0,\qquad 12a>4,\qquad a>\frac13.\] **Odpowiedź.** D: \(a>\frac13\)
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Zadanie 10. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 29, sierpień 2016, poziom podstawowy

sierpień 2016podstawowy2 pkt
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \[f(x)=x^2-11x.\] Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) w przedziale \([-6,6]\).
Odpowiedź
\[\min_{x\in[-6,6]}f(x)=-\frac{121}{4}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Wierzchołek paraboli ma pierwszą współrzędną \[x_w=-\frac{b}{2a}=\frac{11}{2}.\] Ponieważ \(\frac{11}{2}\in[-6,6]\) i ramiona paraboli są skierowane w górę, najmniejsza wartość w tym przedziale wynosi \[f\left(\frac{11}{2}\right)=\left(\frac{11}{2}\right)^2-11\cdot\frac{11}{2}=-\frac{121}{4}.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna najmniejsza wartość \(-\frac{121}{4}\) **1 pkt** – poprawne wyznaczenie \(x_w=\frac{11}{2}\) lub równoważnej postaci kanonicznej funkcji **0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** CKE IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** funkcja kwadratowa - wyznaczanie najmniejszej wartości w przedziale domkniętym.

Inne zagadnienia

Zadanie 13, arkusz pokazowy 2015, poziom podstawowy

arkusz pokazowy 2015podstawowy1 pkt
Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku \(W=(5,7)\). Wówczas prawdziwa jest równość: **A.** \(f(1)=f(9)\) **B.** \(f(1)=f(11)\) **C.** \(f(1)=f(13)\) **D.** \(f(1)=f(15)\)

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
**A.** \(f(1)=f(9)\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oś symetrii paraboli przechodzi przez wierzchołek i ma równanie \(x=5\). Argumenty \(1\) i \(9\) leżą w tej samej odległości \(4\) od osi, więc wartości funkcji są równe.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE podaje tylko odpowiedź. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje, symetria wykresu funkcji kwadratowej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 30, czerwiec 2015, poziom podstawowy

czerwiec 2015podstawowy2 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) dla \(x=-3\) przyjmuje wartość największą równą \(4\). Do wykresu funkcji \(f\) należy punkt \(A=(-1,3)\). Zapisz wzór funkcji kwadratowej \(f\).

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
\[f(x)=-\frac14(x+3)^2+4.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((-3,4)\), więc zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej \[f(x)=a(x+3)^2+4.\] Punkt \(A=(-1,3)\) należy do wykresu, zatem \[3=a(-1+3)^2+4=4a+4,\] skąd \(a=-\frac14\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zapisanie postaci \(f(x)=a(x+3)^2+4\) i wykorzystanie punktu \(A\) **2 pkt** – podanie poprawnego wzoru \(f(x)=-\frac14(x+3)^2+4\) **0 pkt** – rozwiązanie bez poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje, postać kanoniczna funkcji kwadratowej.

Liczby rzeczywiste

Zadanie 8, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony

zbiór zadań z informatora 2015rozszerzony5 pkt
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których funkcja \(f\) określona wzorem \[f(x)=(m^2-1)x^2-2(1-m)x+2\] przyjmuje wartości dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej.
Odpowiedź
\[m\in(-\infty,-3)\cup[1,+\infty).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Gdy \(m^2-1=0\), funkcja jest liniowa lub stała. Dla \(m=-1\) mamy \(f(x)=-4x+2\), więc warunek nie zachodzi. Dla \(m=1\) mamy \(f(x)=2>0\), więc \(m=1\) jest rozwiązaniem. Gdy \(m^2-1\neq0\), funkcja jest kwadratowa i jest dodatnia dla każdego \(x\) wtedy i tylko wtedy, gdy \[m^2-1>0\quad\text{oraz}\quad\Delta<0.\] Pierwszy warunek daje \(m\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\). Ponadto \[\Delta=4(1-m)^2-8(m^2-1)=-4(m-1)(m+3),\] więc \(\Delta<0\) dla \(m<-3\) lub \(m>1\). Część wspólna warunków kwadratowych to \((-\infty,-3)\cup(1,+\infty)\). Po dołączeniu przypadku \(m=1\) otrzymujemy \((-\infty,-3)\cup[1,+\infty)\).
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 5 pkt** – poprawny zbiór \((-\infty,-3)\cup[1,+\infty)\) z rozpatrzeniem przypadków liniowych i kwadratowego **4 pkt** – poprawne warunki dla funkcji kwadratowej i wynik z pominięciem przypadku \(m=1\) **3 pkt** – poprawne rozwiązanie układu \(m^2-1>0\), \(\Delta<0\) **2 pkt** – poprawne zapisanie obu warunków dla funkcji kwadratowej **1 pkt** – zauważenie potrzeby osobnego rozpatrzenia \(m=\pm1\) lub poprawne rozpoczęcie analizy wyróżnika **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający tworzy strategię rozwiązania problemu. **Wymagania szczegółowe:** 3.2. R. Zdający rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem.

Równania i nierówności

Zadanie 8, zbiór zadań z informatora 2015, poziom podstawowy

zbiór zadań z informatora 2015podstawowy1 pkt
Wskaż równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem \[y=-x^2+4x-11.\] **A.** \(x=-4\) **B.** \(x=-2\) **C.** \(x=2\) **D.** \(x=4\)
Odpowiedź
**C.** \(x=2\).
Rozwiązanie krok po kroku
Dla funkcji kwadratowej \(y=ax^2+bx+c\) oś symetrii ma równanie \(x=-\frac{b}{2a}\). Tutaj \(a=-1\) i \(b=4\), więc \[x=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **C** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 4.10. Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje).

Równania i nierówności

Zadanie 9, zbiór zadań z informatora 2015, poziom podstawowy

zbiór zadań z informatora 2015podstawowy1 pkt
Prosta o równaniu \(y=a\) ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej \[f(x)=-x^2+6x-10.\] Wynika stąd, że: **A.** \(a=3\) **B.** \(a=0\) **C.** \(a=-1\) **D.** \(a=-3\)

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
**C.** \(a=-1\).
Rozwiązanie krok po kroku
Sprowadzamy wzór funkcji do postaci kanonicznej: \[f(x)=-x^2+6x-10=-(x-3)^2-1.\] Największa wartość funkcji wynosi \(-1\). Prosta pozioma \(y=a\) ma z parabolą dokładnie jeden punkt wspólny wtedy, gdy przechodzi przez jej wierzchołek. Zatem \(a=-1\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **C** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 4.10. Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje).

Funkcja kwadratowa

Zadanie 10, zbiór zadań z informatora 2015, poziom podstawowy

zbiór zadań z informatora 2015podstawowy1 pkt
Jaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej \[f(x)=x^2+4x-3\] w przedziale \(\langle0,3\rangle\)? **A.** \(-7\) **B.** \(-4\) **C.** \(-3\) **D.** \(-2\)
Odpowiedź
**C.** \(-3\).
Rozwiązanie krok po kroku
Mamy \[f(x)=x^2+4x-3=(x+2)^2-7.\] Wierzchołek paraboli ma pierwszą współrzędną \(-2\), więc na przedziale \(\langle0,3\rangle\) funkcja jest rosnąca. Najmniejszą wartość przyjmuje dla \(x=0\): \[f(0)=-3.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **C** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 4.11. Zdający wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 24, zbiór zadań z informatora 2015, poziom podstawowy

zbiór zadań z informatora 2015podstawowy2 pkt
Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej \[f(x)=x^2-6x+1\] w przedziale \(\langle0,1\rangle\).
Odpowiedź
Najmniejsza wartość funkcji jest równa \(-4\).
Rozwiązanie krok po kroku
Wierzchołek paraboli \(y=x^2-6x+1\) ma pierwszą współrzędną \[x_w=-\frac{-6}{2\cdot1}=3.\] Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc funkcja maleje na przedziale \(( -\infty,3\rangle\), a zatem również na \(\langle0,1\rangle\). Najmniejszą wartość przyjmuje w prawym końcu przedziału: \[f(1)=1^2-6\cdot1+1=-4.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne wyznaczenie najmniejszej wartości \(-4\) wraz z uzasadnieniem wyboru argumentu \(x=1\) **1 pkt** – poprawne ustalenie monotoniczności na \(\langle0,1\rangle\) lub poprawne obliczenie \(f(1)=-4\), lecz bez pełnego uzasadnienia odpowiedzi **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 4.11. Zdający wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 24, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2015, poziom podstawowy

zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2015podstawowy2 pkt
Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej \[f(x)=x^2-6x+1\] w przedziale \([0,1]\).
Odpowiedź
Najmniejsza wartość funkcji w przedziale \([0,1]\) jest równa \(-4\).
Rozwiązanie krok po kroku
Wierzchołek paraboli \(y=x^2-6x+1\) ma pierwszą współrzędną \[x_w=-\frac{b}{2a}=3.\] Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc funkcja maleje na \(( -\infty,3]\). Cały przedział \([0,1]\) leży w tym zakresie, dlatego najmniejsza wartość jest przyjmowana w prawym końcu, dla \(x=1\). Mamy \[f(1)=1^2-6\cdot1+1=-4.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawna najmniejsza wartość \(-4\) z uzasadnieniem monotoniczności **1 pkt** – poprawne wyznaczenie wierzchołka lub ustalenie, że funkcja maleje na \([0,1]\) **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 4.11. Zdający wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

Wyrażenia algebraiczne

Zadanie 7, maj 2015, poziom rozszerzony

maj 2015rozszerzony2 pkt
Liczby \(-1\) i \(3\) są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej \(f\). Oblicz \[\frac{f(6)}{f(12)}.\]
Odpowiedź
\[\frac{f(6)}{f(12)}=\frac7{39}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ miejscami zerowymi funkcji kwadratowej są \(-1\) i \(3\), jej postać iloczynowa ma postać \[f(x)=a(x+1)(x-3),\qquad a\neq0.\] Stąd \[\frac{f(6)}{f(12)}=\frac{a(6+1)(6-3)}{a(12+1)(12-3)}=\frac{7\cdot3}{13\cdot9}=\frac7{39}.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – wynik \(\frac7{39}\) **1 pkt** – poprawne wykorzystanie postaci iloczynowej i zapisanie \(f(6)=a\cdot7\cdot3\) lub \(f(12)=a\cdot13\cdot9\) **0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4. Funkcje - interpretowanie współczynników funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej (4.10).

Funkcja kwadratowa

Zadanie 11, maj 2015, poziom podstawowy

maj 2015podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa określona jest wzorem \[f(x)=x^2+x+c.\] Jeżeli \(f(3)=4\), to: **A.** \(f(1)=-6\) **B.** \(f(1)=0\) **C.** \(f(1)=6\) **D.** \(f(1)=18\)
Odpowiedź
**A.** \(f(1)=-6\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z warunku \(f(3)=4\) otrzymujemy \[3^2+3+c=4,\] czyli \(c=-8\). Wtedy \[f(1)=1^2+1-8=-6.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.9 zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub jej wykresie.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 29, maj 2015, poziom podstawowy

maj 2015podstawowy2 pkt
Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \[f(x)=x^2-6x+3\] w przedziale \([0,4]\).
Odpowiedź
Wartość najmniejsza: \(-6\). Wartość największa: \(3\).
Rozwiązanie krok po kroku
Wierzchołek paraboli ma pierwszą współrzędną \[x_w=-\frac{-6}{2}=3,\] która należy do \([0,4]\). Zatem wartość najmniejsza wynosi \(f(3)=9-18+3=-6\). Na końcach przedziału mamy \(f(0)=3\) i \(f(4)=16-24+3=-5\), więc wartość największa to \(3\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – poprawne wyznaczenie wierzchołka i wartości najmniejszej \(-6\) **2 pkt** – dodatkowe sprawdzenie końców przedziału i podanie wartości największej \(3\) **0 pkt** – rozwiązanie bez poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.11 zdający wyznacza wartość najmniejszą i największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 11, sierpień 2015, poziom podstawowy

sierpień 2015podstawowy1 pkt
Parabola o wierzchołku \(W=(-3,5)\) i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem: **A.** \(y=2(x+3)^2+5\) **B.** \(y=-2(x-3)^2+5\) **C.** \(y=-2(x+3)^2+5\) **D.** \(y=-2(x-3)^2-5\)

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
**C.** \(y=-2(x+3)^2+5\).
Rozwiązanie krok po kroku
Postać kanoniczna paraboli o wierzchołku \((p,q)=(-3,5)\) to \(y=a(x+3)^2+5\). Ramiona są skierowane w dół, więc \(a<0\). Warunki spełnia wyłącznie odpowiedź C.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje, postać kanoniczna funkcji kwadratowej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 34, sierpień 2015, poziom podstawowy

sierpień 2015podstawowy5 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem \[f(x)=ax^2+bx+c.\] Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x)>0\) jest przedział \((0,12)\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(9\). Oblicz współczynniki \(a,b,c\) funkcji \(f\).
Odpowiedź
\[a=-\frac14,\qquad b=3,\qquad c=0.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Skoro zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x)>0\) jest \((0,12)\), miejscami zerowymi są \(0\) i \(12\), a ramiona paraboli są skierowane w dół. Zatem \[f(x)=a x(x-12),\qquad a<0.\] Oś symetrii ma równanie \(x=6\), a największa wartość wynosi \(f(6)=9\). Stąd \[-36a=9,\qquad a=-\frac14.\] Po rozwinięciu: \[f(x)=-\frac14x(x-12)=-\frac14x^2+3x.\] Otrzymujemy \(a=-\frac14\), \(b=3\), \(c=0\).
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawne współczynniki \(a=-\frac14\), \(b=3\), \(c=0\) **4 pkt** – wyznaczenie \(a=-\frac14\) i poprawnej postaci iloczynowej, lecz błąd w rozwinięciu **3 pkt** – wykorzystanie wierzchołka \((6,9)\) do wyznaczenia współczynnika \(a\) **2 pkt** – zapis \(f(x)=ax(x-12)\) i rozpoznanie osi \(x=6\) **1 pkt** – rozpoznanie miejsc zerowych \(0\) i \(12\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje, miejsca zerowe, postać iloczynowa i wierzchołek funkcji kwadratowej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 7, czerwiec 2014, poziom podstawowy

czerwiec 2014podstawowy1 pkt
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej \[f(x)=3x^2+7x+c\] jest liczba \(-\frac73\). Wówczas \(c\) jest równe **A.** \(0\) **B.** \(1\) **C.** \(-98\) **D.** \(98\)
Odpowiedź
**A.** \(0\)
Rozwiązanie krok po kroku
Miejsce zerowe spełnia równanie \(f(x)=0\). Podstawiamy \(x=-\frac73\): \[3\cdot\left(-\frac73\right)^2+7\cdot\left(-\frac73\right)+c=0.\] Obliczamy kolejne składniki: \[3\cdot\frac{49}{9}=\frac{49}{3},\qquad 7\cdot\left(-\frac73\right)=-\frac{49}{3},\] więc \[\frac{49}{3}-\frac{49}{3}+c=0,\qquad c=0.\] Sprawdzenie: dla \(c=0\) mamy \(f(x)=3x^2+7x=x(3x+7)\), a jednym z miejsc zerowych jest istotnie \(-\frac73\). **Odpowiedź.** A: \(c=0\)
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Zadanie 7. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 10, czerwiec 2014, poziom podstawowy

czerwiec 2014podstawowy1 pkt
Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli o równaniu \(y = ( x + 2) ( x - 4)\) jest równa A. −\(8\) B. −\(4\) C. \(1\) D. \(2\)
Odpowiedź
C
Rozwiązanie krok po kroku
Równanie \(y=(x+2)(x-4)\) jest zapisane w postaci iloczynowej, więc miejsca zerowe to \(x_1=-2\) i \(x_2=4\). Parabola jest symetryczna względem prostej przechodzącej przez wierzchołek, a miejsca zerowe leżą symetrycznie po jej obu stronach. Pierwsza współrzędna wierzchołka jest zatem średnią arytmetyczną miejsc zerowych: \[p=\frac{-2+4}{2}=1.\] **Odpowiedź.** C: \(1\)
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Zadanie 10. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

Inne zagadnienia

Zadanie 13, próbna grudzień 2014, poziom podstawowy

próbna grudzień 2014podstawowy1 pkt
W układzie współrzędnych narysowano część paraboli o wierzchołku w punkcie \(A=(2,4)\), która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Funkcja \(f\) może być opisana wzorem **A.** \(f(x)=(x-2)^2+4\) **B.** \(f(x)=(x+2)^2+4\) **C.** \(f(x)=-(x-2)^2+4\) **D.** \(f(x)=-(x+2)^2+4\)
Fragment paraboli w układzie współrzędnych, osie od minus 2 do 2. Ramiona skierowane w dół, wierzchołek w punkcie A o współrzędnych (2, 4). Narysowana część krzywej zaczyna się poniżej osi Ox przy x bliskim −0,5, przechodzi przez początek układu współrzędnych i rośnie do wierzchołka.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**C.** \(f(x)=-(x-2)^2+4\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że ramiona paraboli są skierowane w dół (wykres rośnie do wierzchołka, a za nim opada), a wierzchołek ma współrzędne \(A=(2,4)\). Postać kanoniczna funkcji kwadratowej o wierzchołku \((p,q)\) to \(f(x)=a(x-p)^2+q\), tu \(p=2\) i \(q=4\), a ramiona w dół oznaczają \(a<0\). Warunki te spełnia wyłącznie wzór \(f(x)=-(x-2)^2+4\). Sprawdzenie zgodności z rysunkiem: \(f(0)=-4+4=0\), a wykres istotnie przechodzi przez początek układu współrzędnych. **Odpowiedź.** C. \(f(x)=-(x-2)^2+4\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** 4.9) Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 7, maj 2014, poziom podstawowy

maj 2014podstawowy1 pkt
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\). Funkcja \(f\) jest określona wzorem **A.** \(f(x)=\frac12(x+3)(x-1)\) **B.** \(f(x)=\frac12(x-3)(x+1)\) **C.** \(f(x)=-\frac12(x+3)(x-1)\) **D.** \(f(x)=-\frac12(x-3)(x+1)\)
Fragment wykresu funkcji kwadratowej w układzie współrzędnych, oś Ox od -3 do 5, oś Oy od -5 do 3, podziałka co 1. Parabola o ramionach skierowanych w dół, wierzchołek w punkcie (1,2), przecina oś Ox w punktach (-1,0) i (3,0). Poniżej cztery warianty wzoru A-D.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**D.** \(f(x)=-\frac12(x-3)(x+1)\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy dwie własności wykresu. Po pierwsze, ramiona paraboli są skierowane w dół, więc współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny — odpada A i B. Po drugie, wykres przecina oś \(Ox\) w punktach o odciętych \(-1\) i \(3\), więc w postaci iloczynowej muszą wystąpić czynniki \((x+1)\) i \((x-3)\) — odpada C, w której miejscami zerowymi są \(-3\) i \(1\). Pozostaje wzór \(f(x)=-\frac12(x-3)(x+1)\). Sprawdzamy go w wierzchołku odczytanym z rysunku, czyli w punkcie \((1,2)\): \[f(1)=-\frac12(1-3)(1+1)=-\frac12\cdot(-2)\cdot2=2.\] Zgadza się. **Odpowiedź.** D: \(f(x)=-\frac12(x-3)(x+1)\)
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Rozwiązywanie zadań prowadzących do badania funkcji kwadratowej (II.4.l).

Funkcja kwadratowa

Zadanie 26, maj 2014, poziom podstawowy

maj 2014podstawowy2 pkt
Wykresem funkcji kwadratowej \[f(x)=2x^2+bx+c\] jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \(W=(4,0)\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\).

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
\[b=-16,\qquad c=32.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ wierzchołkiem paraboli jest punkt \(W=(4,0)\), funkcję można zapisać w postaci kanonicznej \[f(x)=2(x-4)^2.\] Po rozwinięciu otrzymujemy \[f(x)=2(x^2-8x+16)=2x^2-16x+32.\] Porównanie z \(f(x)=2x^2+bx+c\) daje \[b=-16,\qquad c=32.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne wyznaczenie obu współczynników: \(b=-16\) i \(c=32\) **1 pkt** – zapisanie \(f(x)=2(x-4)^2\), wyznaczenie \(b=-16\) albo ułożenie poprawnego układu równań dla \(b\) i \(c\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (IV.4.i).

Funkcja kwadratowa

Zadanie 10, sierpień 2014, poziom podstawowy

sierpień 2014podstawowy1 pkt
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem \[f(x)=(x-2)(x+4).\] Warianty **A–D** przedstawiono na rysunkach w wycinku CKE.
Cztery układy współrzędnych z osią Ox od -9 do 10 i wykresami paraboli. A: ramiona w dół, miejsca zerowe -2 i 4, wierzchołek na wysokości 9. B: ramiona w dół, miejsca zerowe -4 i 2, wierzchołek na wysokości 9. C: ramiona w górę, miejsca zerowe -2 i 4, wierzchołek na wysokości -9. D: ramiona w górę, miejsca zerowe -4 i 2, wierzchołek w punkcie (-1,-9).
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
D
Rozwiązanie krok po kroku
Wzór \(f(x)=(x-2)(x+4)\) jest zapisany w postaci iloczynowej, więc odczytujemy z niego miejsca zerowe: \(x=2\) oraz \(x=-4\). Po wymnożeniu \(f(x)=x^2+2x-8\), a więc współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni i ramiona paraboli są skierowane w górę. Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie odległości między miejscami zerowymi: \[p=\frac{-4+2}{2}=-1,\qquad q=f(-1)=(-1-2)(-1+4)=-9,\] czyli \(W=(-1,-9)\). Z rysunków odczytujemy: na A i B ramiona są skierowane w dół, na C miejsca zerowe to \(-2\) i \(4\). Wszystkie trzy warunki — ramiona w górę, miejsca zerowe \(-4\) i \(2\), wierzchołek \((-1,-9)\) — spełnia tylko rysunek D. **Odpowiedź.** D
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Zadanie 10. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 11, sierpień 2014, poziom podstawowy

sierpień 2014podstawowy1 pkt
Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział \(( -\infty , -3\), może być określona wzorem A. \(y = ( x + 2)2 - 3 B\). \(y = - ( x + 3)2 C\). \(y = - ( x - 2)2 - 3 D\). \(y = -x^{2} + 3\)
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis wariantów: **A.** \(y=(x+2)^2-3\) **B.** \(y=-(x+3)^2\) **C.** \(y=-(x-2)^2-3\) **D.** \(y=-x^2+3\). Zbiór wartości w poleceniu to przedział \((-\infty,-3\rangle\).
w zapisie zastanym po każdym nawiasie stoi samotna cyfra \(2\) — utracony wykładnik potęgi; liczba i kolejność tokenów w wariantach zachowana, litera kolejnego wariantu wciągnięta do poprzedniego wzoru; zgodność z kluczem CKE (odpowiedź C), dla której \(-(x-2)^2-3\) ma zbiór wartości \((-\infty,-3\rangle\)
Odpowiedź
C
Rozwiązanie krok po kroku
Zbiór wartości \((-\infty,-3\rangle\) jest ograniczony z góry, a nieograniczony z dołu. Ramiona paraboli muszą więc być skierowane w dół (\(a<0\)), a druga współrzędna wierzchołka ma być równa \(-3\). Sprawdzamy kolejne wzory w postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\): - \(y=(x+2)^2-3\): \(a=1>0\), zbiorem wartości jest \(\langle-3,+\infty)\); - \(y=-(x+3)^2\): \(a=-1<0\), ale \(q=0\), więc zbiorem wartości jest \((-\infty,0\rangle\); - \(y=-(x-2)^2-3\): \(a=-1<0\) oraz \(q=-3\), więc zbiorem wartości jest \((-\infty,-3\rangle\); - \(y=-x^2+3\): \(a=-1<0\), ale \(q=3\), więc zbiorem wartości jest \((-\infty,3\rangle\). Warunek spełnia tylko trzeci wzór. **Odpowiedź.** C: \(y=-(x-2)^2-3\)
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Zadanie 11. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 11, czerwiec 2013, poziom rozszerzony

czerwiec 2013rozszerzony4 pkt
Suma długości dwóch boków trójkąta równa się \(4\), a kąt między tymi bokami ma miarę \(120^\circ\). Oblicz najmniejszą wartość sumy kwadratów długości wszystkich boków tego trójkąta.
Odpowiedź
Najmniejsza wartość wynosi \(20\). Niech a+b=\(4\), a kąt między tymi bokami ma \(120\)°. Z twierdzenia cosinusów \(c^{2}\)=\(a^{2}\)+\(b^{2}\)+ab. Suma S=\(a^{2}\)+\(b^{2}\)+\(c^{2}\) po podstawieniu b=\(4\)−a ma postać S(a)=\(3\)\(a^{2}\)−\(12a\)+\(32\) i osiąga minimum dla a=\(2\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Dane są dwa boki (a właściwie ich suma) i kąt między nimi — to wprost sytuacja z twierdzenia cosinusów, które pozwoli wyrazić trzeci bok przez dwa pierwsze. Warunek \(a+b=4\) pozwoli potem zejść do jednej zmiennej, a szukanie najmniejszej wartości sprowadzi się do wierzchołka paraboli. **Krok \(2\).** Oznaczmy przez \(a\) i \(b\) długości boków tworzących kąt \(120^\circ\), a przez \(c\) długość trzeciego boku. Z treści \(a+b=4\). **Krok \(3\).** Twierdzenie cosinusów dla kąta \(120^\circ\), przy czym \(\cos120^\circ=-\frac12\): \[c^2=a^2+b^2-2ab\cos120^\circ=a^2+b^2-2ab\cdot\left(-\frac12\right)=a^2+b^2+ab.\] **Krok \(4\).** Suma kwadratów wszystkich boków wynosi więc \[S=a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+(a^2+b^2+ab)=2(a^2+b^2)+ab.\] **Krok \(5\).** Podstawiamy \(b=4-a\). Liczymy osobno oba składniki: \[a^2+b^2=a^2+(4-a)^2=a^2+16-8a+a^2=2a^2-8a+16,\] \[ab=a(4-a)=4a-a^2.\] **Krok \(6\).** Wstawiamy do wzoru na \(S\): \[S(a)=2\big(2a^2-8a+16\big)+4a-a^2=4a^2-16a+32+4a-a^2=3a^2-12a+32.\] **Krok \(7\).** Dziedziną są te \(a\), dla których trójkąt istnieje: \(a\gt 0\) oraz \(b=4-a\gt 0\), czyli \(a\in(0,4)\). **Krok \(8\).** Współczynnik przy \(a^2\) jest dodatni, więc najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku: \[a_w=\frac{12}{2\cdot3}=2,\] a liczba \(2\) należy do przedziału \((0,4)\). **Krok \(9\).** Obliczamy wartość najmniejszą: \[S(2)=3\cdot4-12\cdot2+32=12-24+32=20.\] (Wtedy \(a=b=2\), \(c^2=4+4+4=12\), czyli \(c=2\sqrt3\) — taki trójkąt rzeczywiście istnieje.) **Uwaga.** Kąt \(120^\circ\) jest rozwarty, więc jego cosinus jest ujemny i po podstawieniu do twierdzenia cosinusów minus zamienia się w plus: \(c^2=a^2+b^2+ab\). Trzeba też sprawdzić, czy wierzchołek paraboli mieści się w dziedzinie — tu mieści się, więc odpowiedź jest po prostu wartością w wierzchołku. **Odpowiedź.** Najmniejsza wartość sumy kwadratów długości boków wynosi \(20\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zdający wyznaczy kwadrat długości trzeciego boku tego trójkąta i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – zdający zapisze sumę kwadratów długości boków tego trójkąta jako funkcję jednej zmiennej: \(S(a)=3a^{2}-12a+32\) lub \(S(b)=3b^{2}-12b+32\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **4 pkt** – zdający obliczy i zapisze, że najmniejsza wartość sumy kwadratów długości boków tego trójkąta jest równa \(20\). Jeżeli zdający zapisze sumę kwadratów długości boków tego trójkąta jako funkcję jednej zmiennej z błędem rachunkowym i na tym zakończy, to otrzymuje \(2\) punkty.
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: twierdzenie cosinusów i minimum funkcji kwadratowej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 6, maj 2013, poziom podstawowy

maj 2013podstawowy1 pkt
Wierzchołkiem paraboli o równaniu \(y=-3(x-2)^2+4\) jest punkt o współrzędnych **A.** \((-2,-4)\) **B.** \((-2,4)\) **C.** \((2,-4)\) **D.** \((2,4)\)
Odpowiedź
**D.** \((2,4)\)
Rozwiązanie krok po kroku
Równanie \(y=-3(x-2)^2+4\) jest zapisane w postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\), z której współrzędne wierzchołka odczytujemy bezpośrednio: \[p=2,\qquad q=4,\] czyli wierzchołkiem jest punkt \((2,4)\). Uwaga na znak: w nawiasie stoi \(x-2\), więc \(p=2\), a nie \(-2\) — to źródło wariantów A i B. **Odpowiedź.** D: \((2,4)\)
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Odczytanie ze wzoru funkcji kwadratowej współrzędnych wierzchołka paraboli (II.4.b).

Funkcja kwadratowa

Zadanie 9, sierpień 2013, poziom podstawowy

sierpień 2013podstawowy1 pkt
Wierzchołek paraboli o równaniu \(y=(x-1)^2+2c\) leży na prostej o równaniu \(y=6\). Wtedy **A.** \(c=-6\) **B.** \(c=-3\) **C.** \(c=3\) **D.** \(c=6\)
Odpowiedź
**C.** \(c=3\)
Rozwiązanie krok po kroku
Równanie \(y=(x-1)^2+2c\) jest zapisane w postaci kanonicznej, więc wierzchołkiem paraboli jest punkt \((1,2c)\). Wierzchołek leży na prostej \(y=6\), czyli jego druga współrzędna jest równa \(6\): \[2c=6,\qquad c=3.\] **Odpowiedź.** C: \(c=3\)
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Zadanie 9. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 5, czerwiec 2012, poziom podstawowy

czerwiec 2012podstawowy1 pkt
Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji \[y=x^2+2x-3.\] Wskaż ten rysunek. **A.** Parabola skierowana ramionami w górę, z wierzchołkiem \((-1,-4)\). **B.** Parabola skierowana ramionami w dół, z wierzchołkiem \((1,4)\). **C.** Parabola skierowana ramionami w dół, z wierzchołkiem \((-1,4)\). **D.** Parabola skierowana ramionami w górę, z wierzchołkiem \((1,-4)\).
Cztery układy współrzędnych na kratownicy, osie od -4 do 4, z wykresami paraboli. A: ramiona w górę, wierzchołek (-1,-4), miejsca zerowe -3 i 1. B: ramiona w dół, wierzchołek (1,4). C: ramiona w dół, wierzchołek (-1,4). D: ramiona w górę, wierzchołek (1,-4).
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**A.** Parabola skierowana ramionami w górę, z wierzchołkiem \((-1,-4)\).
Rozwiązanie krok po kroku
We wzorze \(y=x^2+2x-3\) współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Odpadają rysunki B i C. Współrzędne wierzchołka: \[p=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2}=-1,\qquad q=(-1)^2+2\cdot(-1)-3=-4,\] czyli \(W=(-1,-4)\). Rysunek D przedstawia parabolę o wierzchołku \((1,-4)\), więc również odpada. Dodatkowo miejsca zerowe wyznaczone z rozkładu \(x^2+2x-3=(x+3)(x-1)\) to \(-3\) i \(1\); wykres na rysunku A przecina oś \(Ox\) dokładnie w tych punktach. **Odpowiedź.** A
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Zadanie 5. (0–1) **Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** Wskazanie wykresu funkcji kwadratowej danej wzorem (II.4.a).

Funkcja kwadratowa

Zadanie 6, czerwiec 2012, poziom podstawowy

czerwiec 2012podstawowy1 pkt
Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji określonej wzorem \[f(x)=x^2-4x+4\] jest punkt o współrzędnych **A.** \((0,2)\) **B.** \((0,-2)\) **C.** \((-2,0)\) **D.** \((2,0)\)

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
**D.** \((2,0)\)
Rozwiązanie krok po kroku
Trójmian \(x^2-4x+4\) jest kwadratem sumy, więc od razu otrzymujemy postać kanoniczną: \[f(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2.\] Stąd wierzchołkiem paraboli jest punkt \(W=(2,0)\). Można też skorzystać ze wzorów: \(a=1\), \(b=-4\), \(c=4\), więc \[p=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2,\qquad q=f(2)=4-8+4=0.\] **Odpowiedź.** D: \((2,0)\)
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Zadanie 6. (0–1) Wykorzystanie Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka i interpretowanie reprezentacji paraboli będącej wykresem funkcji D kwadratowej (II.4.b)

Funkcje

Zadanie 10, czerwiec 2012, poziom rozszerzony

czerwiec 2012rozszerzony4 pkt
Na płaszczyźnie dane są punkty \[A=(3,-2)\qquad\text{i}\qquad B=(11,4).\] Na prostej o równaniu \[y=8x+10\] znajdź punkt \(P\), dla którego suma \[|AP|^2+|BP|^2\] jest najmniejsza.
Odpowiedź
\(P=(-1,2)\). Punkt prostej ma postać \(P=(x,8x+10)\), a suma \(|AP|^2+|BP|^2\) jest funkcją \(f(x)=130x^2+260x+310\), która najmniejszą wartość osiąga dla \(x=-1\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Szukany punkt ma leżeć na danej prostej, więc opiszmy go jedną zmienną. Wtedy suma \(|AP|^2+|BP|^2\) stanie się funkcją tej zmiennej, a że w odległościach występują kwadraty, będzie to funkcja kwadratowa — a najmniejszą wartość funkcji kwadratowej o dodatnim współczynniku przy \(x^2\) znajdujemy w wierzchołku paraboli. **Krok \(2\).** Punkt prostej \(y=8x+10\) ma postać \[P=(x,\ 8x+10).\] **Krok \(3\).** Liczymy pierwszy składnik, korzystając ze wzoru na kwadrat długości odcinka, dla \(A=(3,-2)\): \[|AP|^2=(x-3)^2+\big(8x+10-(-2)\big)^2=(x-3)^2+(8x+12)^2.\] **Krok \(4\).** Podobnie dla \(B=(11,4)\): \[|BP|^2=(x-11)^2+(8x+10-4)^2=(x-11)^2+(8x+6)^2.\] **Krok \(5\).** Rozwijamy wszystkie kwadraty: \[(x-3)^2=x^2-6x+9,\qquad (8x+12)^2=64x^2+192x+144,\] \[(x-11)^2=x^2-22x+121,\qquad (8x+6)^2=64x^2+96x+36.\] **Krok \(6\).** Dodajemy stronami i redukujemy wyrazy podobne: \[f(x)=130x^2+(-6+192-22+96)x+(9+144+121+36)=130x^2+260x+310.\] **Krok \(7\).** Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni (\(130\gt 0\)), więc parabola ma ramiona skierowane w górę i w wierzchołku przyjmuje wartość najmniejszą. Pierwsza współrzędna wierzchołka: \[x_w=\frac{-260}{2\cdot130}=-1.\] **Krok \(8\).** Wracamy do równania prostej: \(y=8\cdot(-1)+10=2\), więc \(P=(-1,2)\). **Uwaga.** Nie liczymy tu miejsc zerowych funkcji \(f\) (parabola leży w całości nad osią \(OX\)) ani nie szukamy pierwiastków — interesuje nas wyłącznie wierzchołek. Warto też sprawdzić, że otrzymany punkt faktycznie leży na prostej, bo drugą współrzędną wyznaczamy właśnie z jej równania. **Odpowiedź.** \(P=(-1,2)\); najmniejsza wartość sumy wynosi \(f(-1)=130-260+310=180\).
Klucz i zasady oceniania
**Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania** – zapisanie za pomocą niewiadomej \(x\) współrzędnych punktu \(P\): \(P=(x,8x+10)\). **2 pkt** – wyznaczenie wzoru funkcji \(f\): \(f(x)=130x^{2}+260x+310\). **3 pkt** – obliczenie \(x\), dla którego funkcja \(f(x)=130x^{2}+260x+310\) przyjmuje wartość najmniejszą. **Rozwiązanie pełne** – podanie współrzędnych punktu \(P\), dla którego suma \(\lvert AP\rvert^{2}+\lvert BP\rvert^{2}\) przyjmuje najmniejszą wartość: \(P=(-1,2)\).
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Znalezienie związków miarowych na płaszczyźnie, wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji (IV.8.e, 4.k).

Funkcje

Zadanie 6, maj 2012, poziom rozszerzony

maj 2012rozszerzony6 pkt
W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty \(P\) postaci: \[P=\left(\frac{1}{2}m+\frac{5}{2},m\right),\] gdzie \[m\in\langle-1,7\rangle.\] Oblicz najmniejszą i największą wartość \(|PQ|^2\), gdzie \[Q=\left(\frac{55}{2},0\right).\]
Odpowiedź
Najmniejsza wartość \(|PQ|^2\) to \(511{,}25\), a największa \(651{,}25\). Mamy \(|PQ|^2=\left(25-\frac m2\right)^2+m^2=\frac54\left(m^2-20m+500\right)\); wierzchołek paraboli wypada dla \(m=10\), czyli poza przedziałem \(\langle-1,7\rangle\), więc wartości skrajne przyjmowane są na jego końcach.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Punkt \(P\) zależy od jednego parametru \(m\), więc \(|PQ|^2\) będzie funkcją zmiennej \(m\) — i to funkcją kwadratową. Szukamy jej wartości najmniejszej i największej, ale nie na całej prostej, tylko na przedziale domkniętym \(\langle-1,7\rangle\); dlatego po wyznaczeniu wierzchołka trzeba sprawdzić, czy w ogóle do tego przedziału należy. **Krok \(2\).** Ze wzoru na kwadrat długości odcinka, dla \(P=\left(\tfrac12m+\tfrac52,\ m\right)\) i \(Q=\left(\tfrac{55}{2},0\right)\): \[|PQ|^2=\left(\frac{55}{2}-\frac12m-\frac52\right)^2+(0-m)^2.\] **Krok \(3\).** Upraszczamy pierwszy nawias: \(\frac{55}{2}-\frac52=\frac{50}{2}=25\), więc \[|PQ|^2=\left(25-\frac{m}{2}\right)^2+m^2.\] **Krok \(4\).** Rozwijamy kwadrat: \[\left(25-\frac{m}{2}\right)^2=625-25m+\frac{m^2}{4},\] zatem \[f(m)=625-25m+\frac{m^2}{4}+m^2=\frac54m^2-25m+625.\] **Krok \(5\).** Wygodnie wyłączyć \(\frac54\) przed nawias: \[f(m)=\frac54\left(m^2-20m+500\right),\qquad m\in\langle-1,7\rangle.\] **Krok \(6\).** Współczynnik przy \(m^2\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona w górę. Pierwsza współrzędna wierzchołka: \[m_w=\frac{20}{2}=10.\] **Krok \(7\).** Liczba \(10\) nie należy do przedziału \(\langle-1,7\rangle\) — cały przedział leży na lewo od wierzchołka, a tam parabola o ramionach skierowanych w górę maleje. Wartości skrajne funkcja przyjmuje więc na końcach przedziału: największą w \(m=-1\), najmniejszą w \(m=7\). **Krok \(8\).** Liczymy obie wartości: \[f(-1)=\frac54\big(1+20+500\big)=\frac54\cdot521=651{,}25,\] \[f(7)=\frac54\big(49-140+500\big)=\frac54\cdot409=511{,}25.\] **Uwaga.** Gdyby bezmyślnie wstawić \(m_w=10\), otrzymalibyśmy wartość \(f(10)=125\), która w tym zadaniu w ogóle nie występuje, bo dla \(m=10\) punkt \(P\) nie istnieje. Za każdym razem, gdy szukamy wartości ekstremalnych na przedziale, najpierw sprawdzamy położenie wierzchołka względem tego przedziału. **Odpowiedź.** Najmniejsza wartość \(|PQ|^2\) wynosi \(511{,}25\) (dla \(m=7\)), a największa \(651{,}25\) (dla \(m=-1\)).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wyznaczenie odległości między punktami \(P\) i \(Q\): \(\lvert PQ\rvert=[…]\) lub \(\lvert PQ\rvert^{2}=[…]\). **2 pkt** – zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci, np.: \(f(m)=\tfrac{5}{4}\left(m^{2}-20m+500\right)\) lub \(f(m)=\tfrac{5}{4}m^{2}-25m+625\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\), i stwierdzenie, że współrzędna ta nie należy do przedziału \((-1,7)\): \(m_{w}=10\) i \(10\notin(-1,7)\); albo obliczenie \(f(-1)\) i \(f(7)\), zapisanie bez uzasadnienia, że \(f(-1)\) jest wartością największą, a \(f(7)\) wartością najmniejszą. **Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)**. **Rozwiązanie pełne** – podanie najmniejszej i największej wartości \(\lvert PQ\rvert^{2}\), odpowiednio \(511{,}25\) oraz \(651{,}25\), z uzasadnieniem, np. powołanie się na monotoniczność lub stwierdzenie, że […] współrzędna wierzchołka nie należy do podanego przedziału. Dalszej ocenie podlega badanie tylko takich funkcji kwadratowych, które przyjmują wartości nieujemne w całym zbiorze liczb rzeczywistych. Jeśli zdający obliczy \(f(10)=500\), \(f(-1)=651{,}25\) i \(f(7)=511{,}25\) i stąd wywnioskuje, że najmniejszą wartością funkcji \(f\) jest \(500\), a największą \(651{,}25\), to za całe rozwiązanie otrzymuje \(4\) punkty.
Wymagania podstawy programowej
III. Modelowanie matematyczne. Znalezienie związków miarowych na płaszczyźnie, wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji. (III.8.e; 4.k)

Funkcja kwadratowa

Zadanie 7, maj 2012, poziom podstawowy

maj 2012podstawowy1 pkt
Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej \[y=-3(x-7)(x+2)\] są **A.** \(x_1=7\), \(x_2=-2\) **B.** \(x_1=-7\), \(x_2=-2\) **C.** \(x_1=7\), \(x_2=2\) **D.** \(x_1=-7\), \(x_2=2\)
Odpowiedź
**A.** \(x_1=7\), \(x_2=-2\)
Rozwiązanie krok po kroku
Wzór \(y=-3(x-7)(x+2)\) jest zapisany w postaci iloczynowej. Iloczyn jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy zeruje się jeden z czynników (czynnik \(-3\) jest stały i różny od zera): \[x-7=0\ \Rightarrow\ x_1=7,\qquad x+2=0\ \Rightarrow\ x_2=-2.\] Typowy błąd polega na przepisaniu liczb z nawiasów bez zmiany znaku — stąd warianty B, C i D. **Odpowiedź.** A: \(x_1=7\), \(x_2=-2\)
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Wykorzystanie i interpretowanie informacji. Odczytanie z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej jej miejsc zerowych (I.4.j).

Funkcja kwadratowa

Zadanie 7, sierpień 2012, poziom podstawowy

sierpień 2012podstawowy1 pkt
Dana jest parabola o równaniu \[y=x^2+8x-14.\] Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa **A.** \(x=-8\) **B.** \(x=-4\) **C.** \(x=4\) **D.** \(x=8\)
Odpowiedź
**B.** \(x=-4\)
Rozwiązanie krok po kroku
Pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli \(y=ax^2+bx+c\) wyznaczamy ze wzoru \(p=-\frac{b}{2a}\). Dla równania \(y=x^2+8x-14\) mamy \(a=1\) i \(b=8\), więc \[p=-\frac{8}{2\cdot1}=-4.\] **Odpowiedź.** B: \(x=-4\)
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Zadanie 7. (0–1) **Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** Wyznacza pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 8, sierpień 2012, poziom podstawowy

sierpień 2012podstawowy1 pkt
Wskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest \[\langle-2,+\infty).\] **A.–D.** Wykresy przedstawiono na wycinku źródłowym.
Cztery układy współrzędnych z osiami od -3 do 3 i od -4 do 4 oraz wykresami paraboli. A: ramiona w górę, wierzchołek (-2,2). B: ramiona w górę, wierzchołek (-2,-2). C: ramiona w dół, wierzchołek (2,-2). D: ramiona w dół, wierzchołek (2,2).
Oryginalny wycinek CKE z materiałem graficznym niezbędnym do rozwiązania zadania.
Odpowiedź
B
Rozwiązanie krok po kroku
Zbiór wartości \(\langle-2,+\infty)\) jest ograniczony z dołu, a nieograniczony z góry. Parabola musi więc mieć ramiona skierowane w górę, a jej najmniejsza wartość — druga współrzędna wierzchołka — ma być równa \(-2\). Sam koniec przedziału jest domknięty, co potwierdza, że wartość \(-2\) jest osiągana (w wierzchołku). Z rysunków odczytujemy: na A ramiona są skierowane w górę, ale wierzchołek leży w punkcie \((-2,2)\), więc zbiorem wartości jest \(\langle2,+\infty)\). Na C i D ramiona są skierowane w dół, więc zbiory wartości są postaci \((-\infty,q\rangle\). Tylko na rysunku B parabola ma ramiona skierowane w górę, a jej wierzchołek leży na wysokości \(-2\). **Odpowiedź.** B
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Zadanie 8. (0–1) **Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** Odczytuje z wykresu zbiór wartości funkcji.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 10, czerwiec 2011, poziom rozszerzony

czerwiec 2011rozszerzony5 pkt
Dany jest kwadrat \(ABCD\) o boku równym \(2\). Na bokach \(BC\) i \(CD\) wybrano odpowiednio punkty \(E\) i \(F\), różne od wierzchołków kwadratu, takie że \(|CE|=|DF|=x\). Oblicz wartość \(x\), dla której pole trójkąta \(AEF\) jest najmniejsze, i oblicz to pole.
Odpowiedź
\(x=1\), a najmniejsze pole trójkąta \(AEF\) wynosi \(\dfrac32\). Odejmując od pola kwadratu pola trójkątów \(ADF\), \(ABE\) i \(CEF\), otrzymujemy \(P(x)=\dfrac{x^2}{2}-x+2\) dla \(x\in(0,2)\); wierzchołek tej paraboli ma odciętą \(x=1\), a \(P(1)=\dfrac32\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Trójkąt \(AEF\) ma wierzchołki na trzech różnych bokach kwadratu, więc jego pola nie policzymy jednym prostym wzorem. Odejmiemy od pola kwadratu pola trzech trójkątów prostokątnych przylegających do jego wierzchołków: \(ADF\), \(ABE\) i \(CEF\). Otrzymamy funkcję kwadratową zmiennej \(x\) i znajdziemy jej wierzchołek. **Krok \(2\).** Oznaczenia. Bok kwadratu ma długość \(2\), a \(|CE|=|DF|=x\), więc \[|CF|=|CD|-|DF|=2-x,\qquad |BE|=|BC|-|CE|=2-x.\] Ponieważ punkty \(E\) i \(F\) są różne od wierzchołków, mamy \(x\in(0,2)\). **Krok \(3\).** Pola trzech trójkątów prostokątnych: \[P_{ADF}=\tfrac12\cdot|AD|\cdot|DF|=\tfrac12\cdot2\cdot x=x,\] \[P_{ABE}=\tfrac12\cdot|AB|\cdot|BE|=\tfrac12\cdot2\cdot(2-x)=2-x,\] \[P_{CEF}=\tfrac12\cdot|CE|\cdot|CF|=\tfrac12\,x(2-x)=x-\tfrac{x^2}{2}.\] **Krok \(4\).** Pole kwadratu wynosi \(2^2=4\), więc \[P(x)=4-x-(2-x)-\left(x-\frac{x^2}{2}\right).\] **Krok \(5\).** Porządkujemy: \[P(x)=4-x-2+x-x+\frac{x^2}{2}=\frac{x^2}{2}-x+2.\] **Krok \(6\).** Współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(\tfrac12\gt0\), więc ramiona paraboli są skierowane w górę i najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku: \[x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2\cdot\tfrac12}=1.\] Liczba \(1\) należy do przedziału \((0,2)\), więc jest dopuszczalna. **Krok \(7\).** Obliczamy najmniejsze pole: \[P(1)=\frac{1}{2}-1+2=\frac32.\] **Uwaga.** Zadanie prosi o dwie rzeczy: o wartość \(x\) oraz o samo pole. Podanie tylko \(x=1\) nie jest pełną odpowiedzią. **Odpowiedź.** \(x=1\), a najmniejsze pole trójkąta \(AEF\) jest równe \(\dfrac32\).
Klucz i zasady oceniania
*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.* **Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – zapisanie, że \(P_{AEF}=P_{ABCD}-\left(P_{ADF}+P_{CEF}+P_{ABE}\right)\) lub \(P_{AEF}=P_{ABCD}-P_{ADF}-P_{CEF}-P_{ABE}\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zapisanie pól trójkątów \(ADF\), \(CEF\) i \(ABE\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zapisanie \(P_{AEF}\) jako funkcji \(x\): \(P(x)=\frac{1}{2}x^{2}-x+2\). **Rozwiązanie pełne** – wyznaczenie \(x\), dla którego funkcja przyjmuje minimum: \(x=1\); obliczenie pola trójkąta \(AEF\): \(P=1\frac{1}{2}\). Uwagi: jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczeniu sumy pól trójkątów \(ADF\), \(ABE\) i \(CEF\) i rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje \(4\) punkty. Jeżeli zdający popełni błąd w obliczeniu odciętej wierzchołka paraboli i konsekwentnie do tego błędu obliczy pole trójkąta \(AEF\), to otrzymuje \(4\) punkty. Nie wymagamy uzasadnienia, że dla znalezionej wartości \(x=1\) funkcja przyjmuje minimum. Jeżeli zdający wyznaczy wartość \(x\), dla której pole trójkąta \(AEF\) jest najmniejsze i nie obliczy pola tego trójkąta, to otrzymuje \(4\) punkty.
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: opisanie pola figury funkcją kwadratową i wyznaczenie minimum.

Funkcje

Zadanie 8, maj 2011, poziom rozszerzony

maj 2011rozszerzony4 pkt
Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(24\), jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.
Odpowiedź
Krawędź podstawy ma długość \(1\). Jeśli a oznacza krawędź podstawy, a \(h\) krawędź boczną, to \(12a\)+\(6h\)=\(24\), czyli \(h\)=\(4\)−\(2a\). Pole powierzchni bocznej jest równe P(a)=\(6ah\)=−\(12\)\(a^{2}\)+\(24a\) dla a∈(\(0\),\(2\)). Funkcja osiąga maksimum w wierzchołku paraboli, dla a=\(1\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** To zadanie optymalizacyjne: mamy dwie zmienne (krawędź podstawy i krawędź boczna) związane jednym warunkiem, a szukamy największej wartości pola. Schemat jest stały: oznaczyć zmienne, z warunku wyznaczyć jedną przez drugą, zapisać pole jako funkcję jednej zmiennej i znaleźć jej maksimum. Tu funkcja okaże się kwadratowa, więc wystarczy wierzchołek paraboli. **Krok \(2\).** Oznaczmy przez \(a\) długość krawędzi podstawy, a przez \(h\) długość krawędzi bocznej. Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma dwie podstawy będące sześciokątami foremnymi (razem \(12\) krawędzi długości \(a\)) oraz \(6\) krawędzi bocznych długości \(h\). **Krok \(3\).** Warunek na sumę długości wszystkich krawędzi: \[12a+6h=24,\qquad\text{czyli}\qquad 2a+h=4,\qquad h=4-2a.\] **Krok \(4\).** Ustalamy dziedzinę. Musi być \(a\gt0\) oraz \(h\gt0\), czyli \(4-2a\gt0\), a stąd \(a\lt2\). Zatem \(a\in(0,2)\). **Krok \(5\).** Powierzchnia boczna składa się z sześciu prostokątów o wymiarach \(a\times h\), więc \[P=6ah.\] **Krok \(6\).** Podstawiamy \(h=4-2a\), aby otrzymać funkcję jednej zmiennej: \[P(a)=6a(4-2a)=24a-12a^2.\] **Krok \(7\).** To funkcja kwadratowa o współczynniku \(-12\lt0\), więc jej wykresem jest parabola ramionami w dół i największą wartość przyjmuje w wierzchołku: \[a=-\frac{24}{2\cdot(-12)}=1.\] **Krok \(8\).** Sprawdzamy, że \(a=1\) należy do dziedziny \((0,2)\) — należy. Wtedy \(h=4-2\cdot1=2\), a największe pole boczne wynosi \(P=6\cdot1\cdot2=12\). **Uwaga.** Pytanie dotyczy długości krawędzi podstawy, a nie największego pola ani krawędzi bocznej — odpowiedzią jest liczba \(1\). Pamiętaj też, że podstawy są dwie, więc krawędzi podstawy jest \(12\), a nie \(6\). **Odpowiedź.** Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość \(a=1\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wprowadzenie oznaczeń i zapisanie, że \(12a+6h=24\). **2 pkt** – zapisanie pola \(P\) powierzchni bocznej graniastosłupa oraz wyznaczenie \(a\) lub \(h\) w zależności od jednej zmiennej, np. \(P=6ah\) oraz \(a=2-\frac{h}{2}\) lub \(h=4-2a\). **3 pkt** – zapisanie pola powierzchni bocznej w zależności od jednej zmiennej. **4 pkt** – obliczenie długości krawędzi podstawy graniastosłupa, którego pole powierzchni bocznej jest największe: \(a=1\). Uwaga: jeżeli zdający wyznaczy tylko wartość \(h=2\), dla której pole powierzchni bocznej jest największe, to otrzymuje \(3\) punkty.
Wymagania podstawy programowej
III. Modelowanie matematyczne. Znalezienie związków miarowych w graniastosłupie, wyznaczenie największej wartości funkcji.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 9, maj 2011, poziom podstawowy

maj 2011podstawowy1 pkt
Dane są funkcje liniowe \(f(x)=x-2\) oraz \(g(x)=x+4\) określone dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji \[ h(x)=f(x)\cdot g(x). \] **A.–D.** Wykresy przedstawiono na wycinku źródłowym.
Cztery wykresy paraboli z zaznaczonymi punktami przecięcia z osią Ox. A: ramiona w górę, miejsca zerowe -4 i 2. B: ramiona w dół, miejsca zerowe -4 i 2. C: ramiona w górę, miejsca zerowe -2 i 4. D: ramiona w dół, miejsca zerowe -2 i 4.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
**A.**
Rozwiązanie krok po kroku
Iloczyn dwóch funkcji liniowych jest funkcją kwadratową: \[h(x)=f(x)\cdot g(x)=(x-2)(x+4).\] Wzór jest już zapisany w postaci iloczynowej, więc odczytujemy z niego miejsca zerowe: \(x=2\) oraz \(x=-4\). Po wymnożeniu \(h(x)=x^2+2x-8\), czyli współczynnik przy \(x^2\) jest równy \(1>0\) i ramiona paraboli są skierowane w górę. Szukamy więc wykresu paraboli o ramionach skierowanych w górę, przecinającej oś \(Ox\) w punktach \((-4,0)\) i \((2,0)\). Na rysunkach B i D ramiona są skierowane w dół, a na rysunkach C i D miejsca zerowe to \(-2\) i \(4\). Oba warunki spełnia tylko rysunek A. **Odpowiedź.** A
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Określenie funkcji za pomocą wzoru i interpretowanie wykresów funkcji kwadratowych.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 10, sierpień 2011, poziom podstawowy

sierpień 2011podstawowy1 pkt
Zbiorem wartości funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-4\) jest **A.** \(\langle-4,+\infty)\) **B.** \(\langle-2,+\infty)\) **C.** \(\langle2,+\infty)\) **D.** \(\langle4,+\infty)\)
Odpowiedź
**A.** \(\langle-4,+\infty)\)
Rozwiązanie krok po kroku
Wzór \(f(x)=x^2-4\) jest zapisany w postaci kanonicznej \(f(x)=(x-0)^2+(-4)\), więc wierzchołkiem paraboli jest punkt \((0,-4)\). Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę, a druga współrzędna wierzchołka jest najmniejszą wartością funkcji. Funkcja przyjmuje wszystkie wartości nie mniejsze od \(-4\): \[ZW_f=\langle-4,+\infty).\] **Odpowiedź.** A: \(\langle-4,+\infty)\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Funkcje – wyznacza zbiór wartości funkcji kwadratowej.

Inne zagadnienia

Zadanie 8, arkusz pokazowy 2010 P1, poziom podstawowy

arkusz pokazowy 2010 P1podstawowy1 pkt
Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział \(\langle-2,+\infty)\). **A.** \(y=-2x^2+2\) **B.** \(y=-(x+1)^2-2\) **C.** \(y=2(x-1)^2+2\) **D.** \(y=(x+1)^2-2\)
Odpowiedź
**D.** \(y=(x+1)^2-2\)
Rozwiązanie krok po kroku
Funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\) ma zbiór wartości \(\langle q,+\infty)\), gdy \(a>0\), oraz \((-\infty,q\rangle\), gdy \(a<0\). Szukany zbiór wartości to \(\langle-2,+\infty)\), więc potrzebujemy \(a>0\) i \(q=-2\). Warianty A i B mają \(a<0\), wariant C ma \(q=2\). Warunki spełnia tylko \(y=(x+1)^2-2\). **Odpowiedź.** D. \(y=(x+1)^2-2\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** odczytywanie zbioru wartości funkcji kwadratowej z postaci kanonicznej Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

Inne zagadnienia

Zadanie 12, arkusz pokazowy 2010 P2, poziom podstawowy

arkusz pokazowy 2010 P2podstawowy1 pkt
Wykres funkcji kwadratowej \(f(x)=(x-3)^2-2\) **nie ma** punktów wspólnych z prostą o równaniu **A.** \(y=-3\) **B.** \(y=-1\) **C.** \(y=1\) **D.** \(y=3\)

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
**A.** \(y=-3\)
Rozwiązanie krok po kroku
Wzór \(f(x)=(x-3)^2-2\) jest postacią kanoniczną funkcji kwadratowej o wierzchołku \((3,-2)\) i ramionach skierowanych w górę (bo \(a=1>0\)). Najmniejszą wartością funkcji jest zatem \(-2\), a zbiorem wartości przedział \(\langle-2,+\infty)\). Prosta pozioma \(y=c\) nie ma punktów wspólnych z wykresem dokładnie wtedy, gdy \(c<-2\). Spośród podanych liczb warunek ten spełnia tylko \(c=-3\). **Odpowiedź.** A. \(y=-3\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** odczytywanie zbioru wartości funkcji kwadratowej z postaci kanonicznej i badanie liczby punktów wspólnych z prostą poziomą Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 14, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany

zbiór zadań z informatora 2010mieszany1 pkt
Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział \(( -\infty,3\rangle\). **A.** \(f(x)=-(x-2)^2+3\) **B.** \(f(x)=(2-x)^2+3\) **C.** \(f(x)=-(x+2)^2-3\) **D.** \(f(x)=(2-x)^2-3\)
Odpowiedź
**A.** \(f(x)=-(x-2)^2+3\)
Rozwiązanie krok po kroku
Zbiór wartości \((-\infty,3\rangle\) jest ograniczony z góry, a nieograniczony z dołu, więc ramiona paraboli muszą być skierowane w dół (\(a<0\)), a największa wartość — druga współrzędna wierzchołka — ma być równa \(3\). Sprawdzamy wzory zapisane w postaci kanonicznej: - \(f(x)=-(x-2)^2+3\): \(a=-1<0\) i \(q=3\), czyli \(ZW_f=(-\infty,3\rangle\); - \(f(x)=(2-x)^2+3\): \((2-x)^2=(x-2)^2\), więc \(a=1>0\) i \(ZW_f=\langle3,+\infty)\); - \(f(x)=-(x+2)^2-3\): \(a<0\), ale \(q=-3\), czyli \(ZW_f=(-\infty,-3\rangle\); - \(f(x)=(2-x)^2-3\): \(a>0\), czyli \(ZW_f=\langle-3,+\infty)\). **Odpowiedź.** A: \(f(x)=-(x-2)^2+3\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: A.
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Funkcje.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 16, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany

zbiór zadań z informatora 2010mieszany1 pkt
Wykres funkcji kwadratowej \(f(x)=3(x+1)^2-4\) **nie ma** punktów wspólnych z prostą o równaniu **A.** \(y=1\) **B.** \(y=-1\) **C.** \(y=-3\) **D.** \(y=-5\)

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
**D.** \(y=-5\)
Rozwiązanie krok po kroku
Wzór \(f(x)=3(x+1)^2-4\) jest zapisany w postaci kanonicznej, więc bezpośrednio odczytujemy wierzchołek paraboli: \(W=(-1,-4)\). Współczynnik przy kwadracie jest dodatni (\(a=3>0\)), zatem ramiona paraboli są skierowane w górę, a najmniejszą wartością funkcji jest \(-4\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest więc \[ZW_f=\langle-4,+\infty).\] Prosta pozioma o równaniu \(y=c\) ma punkt wspólny z wykresem dokładnie wtedy, gdy liczba \(c\) należy do zbioru wartości, czyli gdy \(c\geqslant-4\). Warunek ten spełniają liczby \(1\), \(-1\) i \(-3\). Natomiast \(-5<-4\), więc prosta \(y=-5\) przebiega w całości poniżej wierzchołka paraboli i punktów wspólnych z wykresem nie ma. **Odpowiedź.** D: \(y=-5\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: D.
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Funkcje.

Inne zagadnienia

Zadanie 22, próbna listopad 2010, poziom podstawowy

próbna listopad 2010podstawowy1 pkt
Wskaż równanie prostej, która jest osią symetrii paraboli o równaniu \(y=x^2-4x+2010\). **A.** \(x=4\) **B.** \(x=-4\) **C.** \(x=2\) **D.** \(x=-2\)
Odpowiedź
**C.** \(x=2\)
Rozwiązanie krok po kroku
Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji \(y=ax^2+bx+c\) jest prosta pionowa przechodząca przez wierzchołek, o równaniu \(x=-\frac{b}{2a}\). Tutaj \(a=1\), \(b=-4\), więc \[x=-\frac{-4}{2\cdot1}=2.\] Wyraz wolny \(2010\) przesuwa wykres pionowo i nie wpływa na położenie osi symetrii. **Odpowiedź.** C. \(x=2\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie równania osi symetrii paraboli Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 3, maj 2010, poziom rozszerzony

maj 2010rozszerzony4 pkt
Bok kwadratu \(ABCD\) ma długość \(1\). Na bokach \(BC\) i \(CD\) wybrano odpowiednio punkty \(E\) i \(F\) umieszczone tak, by \(|CE|=2|DF|\). Oblicz wartość \(x=|DF|\), dla której pole trójkąta \(AEF\) jest najmniejsze.
Odpowiedź
\(x=\dfrac14\). Pole trójkąta \(AEF\) jako funkcja \(x\) wynosi \(P(x)=x^2-\dfrac{x}{2}+\dfrac12\) dla \(x\in\left\langle0,\tfrac12\right\rangle\); parabola ma ramiona skierowane w górę, więc minimum jest w wierzchołku \(x=\dfrac14\), a najmniejsze pole to \(\dfrac{7}{16}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Pole trójkąta \(AEF\) trudno policzyć wprost, bo żaden jego bok nie leży na boku kwadratu. Standardowy chwyt: od pola całego kwadratu odejmujemy pola trzech trójkątów prostokątnych, które zostają w rogach, czyli \(ADF\), \(ABE\) i \(CEF\). Otrzymamy wzór na pole jako funkcję zmiennej \(x\), a jej najmniejszej wartości poszukamy jak dla funkcji kwadratowej. **Krok \(2\).** Oznaczenia i odcinki. Skoro \(|DF|=x\) oraz \(|CE|=2|DF|=2x\), to \[|CF|=|CD|-|DF|=1-x,\qquad |BE|=|BC|-|CE|=1-2x.\] **Krok \(3\).** Dziedzina. Punkt \(F\) leży na boku \(CD\), więc \(x\geqslant0\) i \(x\leqslant1\); punkt \(E\) leży na boku \(BC\), więc \(2x\leqslant1\). Mocniejszy jest drugi warunek, zatem \[x\in\left\langle0,\tfrac12\right\rangle.\] **Krok \(4\).** Pola trzech trójkątów prostokątnych (każdy ma kąt prosty w wierzchołku kwadratu): \[P_{ADF}=\tfrac12\cdot|AD|\cdot|DF|=\tfrac12\cdot1\cdot x=\tfrac{x}{2},\] \[P_{ABE}=\tfrac12\cdot|AB|\cdot|BE|=\tfrac12(1-2x),\] \[P_{CEF}=\tfrac12\cdot|CE|\cdot|CF|=\tfrac12\cdot2x(1-x)=x-x^2.\] **Krok \(5\).** Pole kwadratu wynosi \(1\), więc \[P(x)=1-\frac{x}{2}-\frac{1-2x}{2}-\left(x-x^2\right).\] **Krok \(6\).** Porządkujemy: \[P(x)=1-\frac{x}{2}-\frac12+x-x+x^2=x^2-\frac{x}{2}+\frac12.\] **Krok \(7\).** To funkcja kwadratowa o współczynniku \(a=1\gt0\), więc jej ramiona są skierowane w górę i najmniejszą wartość przyjmuje w wierzchołku: \[x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-\tfrac12}{2}=\frac14.\] **Krok \(8\).** Sprawdzamy, że \(\tfrac14\) należy do dziedziny \(\left\langle0,\tfrac12\right\rangle\) — tak. Dla porządku obliczmy jeszcze to najmniejsze pole: \[P\!\left(\tfrac14\right)=\frac1{16}-\frac18+\frac12=\frac{1-2+8}{16}=\frac{7}{16}.\] **Uwaga.** Dziedzina bierze się z warunku \(2x\leqslant1\), a nie z \(x\leqslant1\) — to punkt \(E\), a nie \(F\), pierwszy dobiega do wierzchołka kwadratu. Gdyby wierzchołek paraboli wypadł poza dziedziną, najmniejszej wartości trzeba by szukać na jej końcu. **Odpowiedź.** \(x=\dfrac14\) (najmniejsze pole trójkąta \(AEF\) wynosi wtedy \(\dfrac{7}{16}\)).
Klucz i zasady oceniania
Schemat oceniania **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania: zapisanie, że \(P_{AEF}=P_{ABCD}-P_{ADF}-P_{CEF}-P_{ABE}\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zapisanie pól trójkątów \(ADF\), \(ABE\) i \(CEF\): […]. **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zapisanie \(P_{AEF}\) w postaci trójmianu kwadratowego zmiennej \(x\): […]. **Rozwiązanie pełne** – wyznaczenie \(x\), dla którego funkcja przyjmuje minimum: \(x=\frac{1}{4}\). Schemat oceniania – II sposób rozwiązania (geometria analityczna) **Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – wyznaczenie współrzędnych punktów na płaszczyźnie: […]. **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – wyznaczenie pola trójkąta \(AFE\): […]. **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zapisanie \(P_{AEF}\) w postaci trójmianu kwadratowego zmiennej \(x\): […]. **Rozwiązanie pełne** – wyznaczenie \(x\), dla którego funkcja przyjmuje minimum: \(x=\frac{1}{4}\).
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście praktycznym, prowadzącego do badania funkcji kwadratowej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 8, maj 2010, poziom podstawowy

maj 2010podstawowy1 pkt
Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=-3x^2+3\) jest parabola o wierzchołku w punkcie **A.** \((3,0)\) **B.** \((0,3)\) **C.** \((-3,0)\) **D.** \((0,-3)\)

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
B. (\(0\), \(3\))
Rozwiązanie krok po kroku
Wzór \(f(x)=-3x^2+3\) można zapisać w postaci kanonicznej jako \(f(x)=-3(x-0)^2+3\), więc wierzchołkiem paraboli jest punkt \(W=(0,3)\). Ten sam wynik daje rachunek ze wzorów. We wzorze ogólnym mamy \(a=-3\), \(b=0\), \(c=3\), zatem \[p=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{-6}=0,\qquad q=f(0)=-3\cdot0^2+3=3.\] **Odpowiedź.** B: \((0,3)\)
Klucz i zasady oceniania

Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.

Wymagania podstawy programowej
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Odczytanie współrzędnych wierzchołka paraboli z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 3, sierpień 2010, poziom rozszerzony

sierpień 2010rozszerzony5 pkt
Dane są punkty \(A=(1,5)\), \(B=(9,3)\) i prosta \(k\) o równaniu \(y=x+1\). Oblicz współrzędne punktu \(C\) leżącego na prostej \(k\), dla którego suma \(|AC|^2+|BC|^2\) jest najmniejsza.
Odpowiedź
\(C=(4,5)\). Punkt \(C\) ma postać \((x,x+1)\), a suma kwadratów odległości wynosi \(f(x)=(x-1)^{2}+(x-4)^{2}+(x-9)^{2}+(x-2)^{2}=4x^{2}-32x+102\); jej najmniejsza wartość przypada dla \(x=4\), skąd \(y=5\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Punkt \(C\) nie jest dowolny: leży na prostej \(k\), więc ma tylko jeden stopień swobody. Jeśli oznaczymy jego pierwszą współrzędną przez \(x\), to druga jest już wyznaczona. Wtedy suma \(|AC|^2+|BC|^2\) stanie się funkcją jednej zmiennej, i to funkcją kwadratową, a najmniejszej wartości funkcji kwadratowej szukamy w wierzchołku paraboli. **Krok \(2\).** Skoro \(C\) leży na prostej \(y=x+1\), to \[C=(x,\;x+1).\] **Krok \(3\).** Liczymy kwadrat odległości od \(A=(1,5)\) ze wzoru \(|AC|^2=(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2\): \[|AC|^2=(x-1)^2+(x+1-5)^2=(x-1)^2+(x-4)^2.\] **Krok \(4\).** Tak samo dla \(B=(9,3)\): \[|BC|^2=(x-9)^2+(x+1-3)^2=(x-9)^2+(x-2)^2.\] **Krok \(5\).** Dodajemy i rozwijamy wszystkie kwadraty: \[f(x)=(x^2-2x+1)+(x^2-8x+16)+(x^2-18x+81)+(x^2-4x+4).\] Po redukcji wyrazów podobnych \[f(x)=4x^2-32x+102.\] **Krok \(6\).** To parabola o współczynniku \(a=4\gt 0\), więc ramiona są skierowane do góry i w wierzchołku funkcja przyjmuje wartość najmniejszą. Pierwsza współrzędna wierzchołka: \[x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{32}{2\cdot 4}=4.\] **Krok \(7\).** Wracamy do prostej i obliczamy drugą współrzędną punktu \(C\): \[y=x+1=4+1=5,\qquad C=(4,5).\] **Krok \(8\).** Kontrolnie: \(f(4)=4\cdot 16-32\cdot 4+102=64-128+102=38\), więc najmniejsza możliwa suma kwadratów odległości wynosi \(38\). **Uwaga.** Zadanie pyta o współrzędne punktu, a nie o najmniejszą wartość sumy, więc samo \(x_w=4\) to jeszcze nie koniec. Trzeba dopisać drugą współrzędną, korzystając z równania prostej. **Odpowiedź.** \(C=(4,5)\).
Klucz i zasady oceniania
Schemat oceniania **Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – zapisanie współrzędnych punktu \(C\) leżącego na prostej \(k\): \(C=(x,x+1)\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zapisanie zależności z jedną niewiadomą określającej kwadraty odległości punktu \(A\) od \(C\) lub odległości punktu \(B\) od \(C\) (lub odległości): \(\lvert AC\rvert^{2}\) lub \(\lvert BC\rvert^{2}\) […]. **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – określenie wzoru funkcji jednej zmiennej będącej sumą kwadratów odległości punktu \(C\) od punktów \(A\) i \(B\): \(f(x)=4x^{2}-32x+102\). Uwagi: **2 pkt** – jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczeniu jednej z odległości \(\lvert AC\rvert\) lub \(\lvert BC\rvert\) i na tym poprzestanie. **Rozwiązanie pełne** – wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\): \(C=(4,5)\). **4 pkt** – jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczeniu jednej z odległości \(\lvert AC\rvert\) lub \(\lvert BC\rvert\) i rozwiązanie doprowadzi do końca. **4 pkt** – jeżeli zdający obliczy odciętą wierzchołka paraboli o równaniu \(y=4x^{2}-32x+102\) […] pierwszą współrzędną punktu \(C\) i na tym zakończy lub błędnie obliczy jego […] współrzędną.
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: opisanie odległości w układzie współrzędnych funkcją kwadratową i wyznaczenie jej minimum.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 9, sierpień 2010, poziom podstawowy

sierpień 2010podstawowy1 pkt
Wierzchołek paraboli \(y=x^2+4x-13\) leży na prostej o równaniu **A.** \(x=-2\) **B.** \(x=2\) **C.** \(x=4\) **D.** \(x=-4\)
Odpowiedź
**A.** \(x=-2\)
Rozwiązanie krok po kroku
Wierzchołek paraboli \(y=ax^2+bx+c\) leży na prostej pionowej \(x=p\), gdzie \(p=-\frac{b}{2a}\). Dla \(y=x^2+4x-13\) mamy \(a=1\) i \(b=4\), więc \[p=-\frac{4}{2\cdot1}=-2.\] Wierzchołek leży zatem na prostej o równaniu \(x=-2\). **Odpowiedź.** A: \(x=-2\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Funkcje – wyznacza oś symetrii paraboli.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 11, sierpień 2010, poziom podstawowy

sierpień 2010podstawowy1 pkt
Zbiorem wartości funkcji kwadratowej \(f\) jest przedział \(( -\infty,3\rangle\). Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\)? **A.–D.** Wykresy przedstawiono na wycinku źródłowym.
Cztery układy współrzędnych z osiami od -5 do 5 i wykresami paraboli. A: ramiona w górę, wierzchołek (-3,3). B: ramiona w dół, wierzchołek (-3,3). C: ramiona w górę, wierzchołek (3,-3). D: ramiona w dół, wierzchołek (3,-3).
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
B
Rozwiązanie krok po kroku
Zbiór wartości funkcji kwadratowej zależy od znaku współczynnika \(a\) i od drugiej współrzędnej wierzchołka. Jeśli \(ZW_f=(-\infty,3\rangle\), to zbiór wartości jest ograniczony z góry, a nieograniczony z dołu — ramiona paraboli muszą być skierowane w dół (\(a<0\)), a największa wartość, czyli druga współrzędna wierzchołka, ma być równa \(3\). Z rysunków odczytujemy: na rysunku A parabola ma ramiona skierowane w górę i wierzchołek \((-3,3)\), więc jej zbiorem wartości jest \(\langle3,+\infty)\). Na rysunku C ramiona są skierowane w górę, a wierzchołek leży w punkcie \((3,-3)\). Na rysunku D ramiona są skierowane w dół, ale wierzchołek leży w punkcie \((3,-3)\), więc zbiorem wartości jest \((-\infty,-3\rangle\). Tylko na rysunku B parabola ma ramiona skierowane w dół i wierzchołek na wysokości \(3\) — w punkcie \((-3,3)\). **Odpowiedź.** B
Klucz i zasady oceniania
1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Funkcje – rozpoznaje wykres z danego zbioru wartości.

Równania i nierówności

Zadanie 8, próbna listopad 2009, poziom podstawowy

próbna listopad 2009podstawowy1 pkt
Wierzchołek paraboli o równaniu \(y=-3(x+1)^2\) ma współrzędne A. \((-1,0)\) B. \((0,-1)\) C. \((1,0)\) D. \((0,1)\)
Odpowiedź
**A.** \((-1,0)\)
Rozwiązanie krok po kroku
Wzór \(y=-3(x+1)^2\) jest postacią kanoniczną \(y=a(x-p)^2+q\) z \(a=-3\), \(p=-1\) i \(q=0\). Wierzchołkiem paraboli jest punkt \((p,q)\). **Odpowiedź.** \((-1,0)\), czyli odpowiedź **A**.
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: A.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Nierówności

Zadanie 3, maj 2009, poziom podstawowy

maj 2009podstawowy5 pkt
Wykres funkcji \(f\) danej wzorem \(f(x)=-2x^2\) przesunięto wzdłuż osi \(Ox\) o \(3\) jednostki w prawo oraz wzdłuż osi \(Oy\) o \(8\) jednostek w górę, otrzymując wykres funkcji \(g\). a) Rozwiąż nierówność \(f(x)+5<3x\). b) Podaj zbiór wartości funkcji \(g\). c) Funkcja \(g\) określona jest wzorem \(g(x)=-2x^2+bx+c\). Oblicz \(b\) i \(c\).

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
a) \(x\in\left(-\infty,-\dfrac52\right)\cup(1,+\infty)\). b) Zbiorem wartości funkcji \(g\) jest \((-\infty,8\rangle\). c) \(g(x)=-2(x-3)^{2}+8=-2x^{2}+12x-10\), zatem \(b=12\) i \(c=-10\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Zadanie składa się z trzech niezależnych części. W podpunkcie a) mamy zwykłą nierówność kwadratową — przenosimy wszystko na jedną stronę i badamy znak trójmianu. Podpunkty b) i c) opierają się na przesunięciu wykresu: przesunięcie o \(3\) jednostki w prawo i \(8\) w górę oznacza przejście od \(f(x)=-2x^2\) do \(g(x)=-2(x-3)^2+8\), czyli do postaci kanonicznej funkcji kwadratowej. **Krok \(2\).** Podpunkt a). Podstawiamy wzór funkcji \(f\): \[-2x^2+5\lt3x.\] Przenosimy wszystko na prawą stronę, żeby współczynnik przy \(x^2\) był dodatni (łatwiej wtedy o wykres): \[0\lt2x^2+3x-5,\qquad\text{czyli}\qquad2x^2+3x-5\gt0.\] **Krok \(3\).** Liczymy pierwiastki trójmianu \(2x^2+3x-5\): \[\Delta=3^2-4\cdot2\cdot(-5)=9+40=49,\qquad\sqrt{\Delta}=7,\] \[x_1=\frac{-3-7}{4}=-\frac{10}{4}=-\frac52,\qquad x_2=\frac{-3+7}{4}=1.\] **Krok \(4\).** Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc trójmian przyjmuje wartości dodatnie na zewnątrz przedziału wyznaczonego przez pierwiastki. Nierówność jest ostra, więc pierwiastków nie dołączamy: \[x\in\left(-\infty,-\frac52\right)\cup(1,+\infty).\] **Krok \(5\).** Podpunkt b). Przesuwamy wykres funkcji \(f(x)=-2x^2\) o wektor \([3,8]\). Wierzchołek paraboli, który był w punkcie \((0,0)\), trafia do punktu \((3,8)\), a kształt (w szczególności współczynnik \(-2\)) się nie zmienia. Zatem \[g(x)=-2(x-3)^2+8.\] **Krok \(6\).** Ponieważ \(-2\lt0\), ramiona paraboli są skierowane w dół, więc wierzchołek jest punktem najwyższym i największą wartością funkcji \(g\) jest \(8\). Zbiorem wartości jest \[(-\infty,8\rangle.\] **Krok \(7\).** Podpunkt c). Zamieniamy postać kanoniczną na ogólną: \[g(x)=-2\left(x^2-6x+9\right)+8=-2x^2+12x-18+8=-2x^2+12x-10.\] Porównując ze wzorem \(g(x)=-2x^2+bx+c\), odczytujemy \(b=12\) oraz \(c=-10\). **Uwaga.** Przy przesuwaniu w prawo o \(3\) we wzorze pojawia się \((x-3)\), a nie \((x+3)\) — to jest najczęstsza pomyłka w tym typie zadań. Przy podnoszeniu do kwadratu w kroku \(7\) pamiętaj, że \(-2\) mnoży cały nawias \(x^2-6x+9\), więc wyraz \(-18\) trzeba jeszcze dodać do \(8\). **Odpowiedź.** a) \(x\in\left(-\infty,-\dfrac52\right)\cup(1,+\infty)\). b) Zbiorem wartości funkcji \(g\) jest \((-\infty,8\rangle\). c) \(g(x)=-2(x-3)^{2}+8=-2x^{2}+12x-10\), zatem \(b=12\) i \(c=-10\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Klucz CKE dołączony w tym miejscu przez ekstrakcję pochodzi z arkusza **rozszerzonego** z tej samej sesji i nie dotyczy tego zadania — opisuje inny problem i prowadzi do innego wyniku. Został usunięty, bo klucz od cudzego zadania jest gorszy niż jego brak: uczeń sprawdzający się nim uznałby poprawne rozwiązanie za błędne. Właściwego klucza do tego zadania brak w materiale źródłowym. Odpowiedź i rozwiązanie w panelach powyżej zostały wyznaczone rachunkiem z treści zadania.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 3, arkusz pokazowy 2008, poziom rozszerzony

arkusz pokazowy 2008rozszerzony3 pkt
Dana jest funkcja kwadratowa \[f(x)=\frac12x^2-2.\] a) Narysuj wykres funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-4,3)\). b) Narysuj wykres funkcji \[g(x)=\frac{|f(x)|}{f(x)},\] której dziedziną jest zbiór \[(-5,-2)\cup(-2,2)\cup(2,5).\] c) Zapisz zbiór rozwiązań nierówności \(g(x)<0\).
Odpowiedź
a) fragment paraboli \(y=\frac12x^{2}-2\) o wierzchołku \((0,-2)\) dla \(x\in\langle-4,3)\); b) \(g(x)=-1\) dla \(x\in(-2,2)\) oraz \(g(x)=1\) dla \(x\in(-5,-2)\cup(2,5)\); c) \(x\in(-2,2)\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy sens wzoru \(g(x)=\dfrac{|f(x)|}{f(x)}\). Dla dowolnej liczby \(t\neq0\) zachodzi \[\frac{|t|}{t}=1\quad\text{gdy }t\gt0,\qquad\qquad \frac{|t|}{t}=-1\quad\text{gdy }t\lt0.\] Funkcja \(g\) jest więc po prostu ZNAKIEM funkcji \(f\) i przyjmuje wyłącznie dwie wartości. Aby ją narysować, nie trzeba żadnych rachunków — wystarczy wiedzieć, na jakich przedziałach \(f\) jest dodatnia, a na jakich ujemna. **Krok \(2\).** Badamy \(f(x)=\tfrac12x^2-2\). To parabola o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku \((0,-2)\). Miejsca zerowe: \[\tfrac12x^2-2=0\ \Longrightarrow\ x^2=4\ \Longrightarrow\ x=-2\ \text{lub}\ x=2.\] **Krok \(3\).** Podpunkt a): rysujemy fragment tej paraboli dla \(x\in\langle-4,3)\). Punkty pomocnicze: \(f(-4)=8-2=6\) (kropka pełna, bo \(-4\) należy do przedziału), \(f(-2)=0\), \(f(0)=-2\) (wierzchołek), \(f(2)=0\), \(f(3)=4{,}5-2=2{,}5\) (kółko PUSTE, bo \(3\) do przedziału nie należy). **Krok \(4\).** Odczytujemy znak \(f\): ramiona w górę, miejsca zerowe \(-2\) i \(2\), więc \[f(x)\lt0\ \text{dla}\ x\in(-2,2),\qquad f(x)\gt0\ \text{dla}\ x\lt-2\ \text{lub}\ x\gt2.\] Właśnie dlatego z dziedziny funkcji \(g\) wykluczono punkty \(-2\) i \(2\) — tam \(f(x)=0\) i dzielenie byłoby niewykonalne. **Krok \(5\).** Podpunkt b): łączymy krok \(1\) z krokiem \(4\): \[g(x)=-1\ \text{dla}\ x\in(-2,2),\qquad g(x)=1\ \text{dla}\ x\in(-5,-2)\cup(2,5).\] Wykres to trzy poziome odcinki o końcach otwartych (kółka puste w \(-5,-2,2,5\)): dwa na wysokości \(y=1\) i jeden na wysokości \(y=-1\). **Krok \(6\).** Podpunkt c): \(g\) przyjmuje tylko wartości \(1\) i \(-1\), więc \(g(x)\lt0\) dokładnie tam, gdzie \(g(x)=-1\), czyli dla \(x\in(-2,2)\). **Uwaga.** Częsty błąd to rysowanie wykresu \(g\) jako „paraboli odbitej” — tymczasem \(g\) nie jest ani parabolą, ani funkcją ciągłą: przyjmuje wyłącznie dwie wartości, \(1\) i \(-1\), i nigdy nie przyjmuje wartości \(0\). Trzeba też pilnować dziedziny: punkty \(-2\) i \(2\) są wykłute (tam \(f=0\)), a wykres kończy się przy \(-5\) i \(5\), również bez tych końców. **Odpowiedź.** a) fragment paraboli \(y=\frac12x^{2}-2\) o wierzchołku \((0,-2)\) dla \(x\in\langle-4,3)\); b) \(g(x)=-1\) dla \(x\in(-2,2)\) oraz \(g(x)=1\) dla \(x\in(-5,-2)\cup(2,5)\); c) \(x\in(-2,2)\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **3.1. (1 pkt)** – narysowanie wykresu funkcji \(f(x)=0{,}5x^{2}-2\) w przedziale […] \(-4,3)\). **3.2. (1 pkt)** – narysowanie wykresu funkcji \(g(x)=\frac{f(x)}{f(x)}\) w podanej dziedzinie. **3.3. (1 pkt)** – zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: \(x\in(-2,2)\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 9, arkusz pokazowy 2008, poziom podstawowy

arkusz pokazowy 2008podstawowy5 pkt
Dana jest funkcja \[f(x)=-x^2+6x-5.\] a) Narysuj parabolę, która jest wykresem funkcji \(f\), i zaznacz na rysunku współrzędne jej wierzchołka oraz punktów przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych. b) Odczytaj z wykresu zbiór wartości funkcji \(f\). c) Rozwiąż nierówność \(f(x)\geqslant0\).

To zadanie nie zawiera gotowego rysunku; arkusz przewiduje puste miejsce na wykonanie rysunku przez zdającego. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
a) Wierzchołek \(W=(3,4)\), miejsca zerowe \(1\) i \(5\), punkt przecięcia z osią \(Oy\): \((0,-5)\). b) \(ZW_f=(-\infty,4\rangle\) c) \(f(x)\geqslant0\) dla \(x\in\langle1,5\rangle\)
Rozwiązanie krok po kroku
**a)** Aby narysować parabolę, wyznaczamy jej punkty charakterystyczne. Współczynniki wynoszą \(a=-1\), \(b=6\), \(c=-5\), więc współrzędne wierzchołka to \[p=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{-2}=3,\qquad q=f(3)=-9+18-5=4,\] czyli \(W=(3,4)\). Miejsca zerowe wyznaczamy z równania \(-x^2+6x-5=0\), czyli \(x^2-6x+5=0\): \[\Delta=36-20=16,\qquad \sqrt{\Delta}=4,\qquad x_1=\frac{6-4}{2}=1,\qquad x_2=\frac{6+4}{2}=5.\] Punkt przecięcia z osią \(Oy\) to \((0,f(0))=(0,-5)\). Parabola ma ramiona skierowane w dół (\(a=-1<0\)) i przechodzi przez punkty \((1,0)\), \((5,0)\), \((0,-5)\) oraz wierzchołek \((3,4)\). **b)** Ramiona są skierowane w dół, więc druga współrzędna wierzchołka jest największą wartością funkcji, a funkcja przyjmuje wszystkie wartości od niej mniejsze: \[ZW_f=(-\infty,4\rangle.\] **c)** Nierówność \(f(x)\geqslant0\) spełniają te argumenty, dla których wykres leży nad osią \(Ox\) lub na niej. Dla paraboli o ramionach skierowanych w dół jest to przedział między miejscami zerowymi, wraz z końcami (nierówność jest nieostra): \[x\in\langle1,5\rangle.\] **Odpowiedź.** a) \(W=(3,4)\), miejsca zerowe \(1\) i \(5\), przecięcie z osią \(Oy\) w punkcie \((0,-5)\). b) \(ZW_f=(-\infty,4\rangle\). c) \(x\in\langle1,5\rangle\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **9.1. (1 pkt)** – wyznaczenie wierzchołka paraboli: \(W=(3,4)\). **9.2. (1 pkt)** – naszkicowanie wykresu funkcji \(f\). **9.3. (1 pkt)** – podanie zbioru wartości funkcji: \((-\infty,4\) […] **9.4. (1 pkt)** – wyznaczenie miejsc zerowych funkcji: \(x_{1}=1\), \(x_{2}=5\). **9.5. (1 pkt)** – podanie zbioru rozwiązań nierówności: \(x\in\) […] \(1,5\) […]
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Liczby rzeczywiste

Zadanie 9, maj 2008, poziom podstawowy

maj 2008podstawowy5 pkt
Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \[f(x)=(2x+1)(x-2)\] w przedziale \(\langle-2,2\rangle\).
Odpowiedź
Najmniejsza wartość: \(f\left(\frac34\right)=-\frac{25}{8}\); największa wartość: \(f(-2)=12\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typ zadania: szukamy wartości najmniejszej i największej funkcji kwadratowej w PRZEDZIALE DOMKNIĘTYM. Kandydaci są tylko trzej: wierzchołek paraboli (o ile jego odcięta należy do przedziału) oraz dwa końce przedziału. Zaczynamy od doprowadzenia wzoru do postaci ogólnej, bo z niej odczytamy współczynniki \(a\), \(b\), \(c\). **Krok \(2\).** Wymnażamy nawiasy: \[f(x)=(2x+1)(x-2)=2x^2-4x+x-2=2x^2-3x-2.\] Zatem \(a=2\), \(b=-3\), \(c=-2\). **Krok \(3\).** Ponieważ \(a=2\gt 0\), ramiona paraboli są skierowane w górę. Wierzchołek jest więc punktem, w którym funkcja przyjmuje wartość NAJMNIEJSZĄ, a wartości największych szukamy na końcach przedziału. **Krok \(4\).** Liczymy odciętą wierzchołka: \[x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{3}{4}.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy, czy \(x_w\) należy do przedziału: \(\frac34\in\langle-2,2\rangle\) — tak. Wobec tego minimum funkcji w tym przedziale jest osiągane właśnie w wierzchołku. **Krok \(6\).** Liczymy rzędną wierzchołka. Najpierw \(\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25\), a stąd \[y_w=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-25}{8}.\] (Można też podstawić bezpośrednio: \(f\left(\frac34\right)=2\cdot\frac{9}{16}-3\cdot\frac34-2=\frac98-\frac{18}{8}-\frac{16}{8}=-\frac{25}{8}\).) **Krok \(7\).** Liczymy wartości na końcach przedziału — najwygodniej z postaci iloczynowej: \[f(-2)=(2\cdot(-2)+1)(-2-2)=(-3)\cdot(-4)=12,\qquad f(2)=(2\cdot 2+1)(2-2)=5\cdot 0=0.\] **Krok \(8\).** Porównujemy kandydatów: \(-\frac{25}{8}=-3{,}125\), \(12\) oraz \(0\). Najmniejsza wartość to \(-\frac{25}{8}\) (dla \(x=\frac34\)), największa to \(12\) (dla \(x=-2\)). **Uwaga.** Dwie rzeczy decydują tu o punktach. Po pierwsze, trzeba SPRAWDZIĆ, czy \(x_w\) należy do przedziału — gdyby wypadł poza nim, obie skrajne wartości byłyby na końcach przedziału. Po drugie, przy ramionach skierowanych w górę wierzchołek nigdy nie daje wartości największej — tej trzeba szukać na końcach, i to na obu, bo wierzchołek nie leży w środku przedziału. **Odpowiedź.** Najmniejsza wartość: \(f\left(\frac34\right)=-\frac{25}{8}\); największa wartość: \(f(-2)=12\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Zapisuję wzór funkcji w postaci ogólnej \(f(x)=2x^{2}-3x-2\). Wyznaczam odciętą wierzchołka paraboli: \(x_{w}=\frac{-b}{2a}=\frac{3}{4}\). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli należy do przedziału \(\langle-2,2\rangle\), więc najmniejszą wartością funkcji \(f\) w tym przedziale jest druga współrzędna wierzchołka: \(y_{w}=\frac{-\Delta}{4a}=-\frac{25}{8}\). Obliczam wartości funkcji na końcach przedziału: \(f(-2)=12\), \(f(2)=0\). Największą wartością funkcji \(f\) w podanym przedziale jest \(f(-2)=12\). Odpowiedź: Najmniejszą wartością funkcji w podanym przedziale jest \(y_{w}=-\frac{25}{8}\), a największą \(f(-2)=12\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Liczby rzeczywiste

Zadanie 1, zestaw zadań marzec 2008 nr 2, poziom rozszerzony

zestaw zadań marzec 2008 nr 2rozszerzony5 pkt
Suma trzech liczb rzeczywistych dodatnich jest równa \(13\). Druga liczba jest trzy razy większa od pierwszej. Wyznacz trzy liczby spełniające podane warunki tak, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.
Odpowiedź
Szukane liczby to \(2\), \(6\) i \(5\); najmniejsza suma kwadratów wynosi \(2^{2}+6^{2}+5^{2}=65\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typ zadania: optymalizacja z warunkami. Warunki z treści (suma równa \(13\), druga liczba trzy razy większa od pierwszej) pozwalają wyrazić WSZYSTKIE trzy liczby za pomocą jednej zmiennej. Wtedy suma ich kwadratów staje się funkcją kwadratową jednej zmiennej, a jej najmniejszej wartości szukamy w wierzchołku paraboli. **Krok \(2\).** Oznaczamy przez \(x\) pierwszą liczbę. Wtedy druga to \(3x\), a trzecia — jako dopełnienie do sumy \(13\) — wynosi \[13-x-3x=13-4x.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy dziedzinę. Wszystkie trzy liczby mają być dodatnie: \[x\gt 0,\qquad 3x\gt 0,\qquad 13-4x\gt 0\ \Rightarrow\ x\lt\frac{13}{4},\] czyli \(x\in\left(0,\frac{13}{4}\right)\). **Krok \(4\).** Zapisujemy sumę kwadratów jako funkcję zmiennej \(x\): \[S(x)=x^2+(3x)^2+(13-4x)^2.\] **Krok \(5\).** Rozwijamy i redukujemy. Mamy \((3x)^2=9x^2\) oraz \((13-4x)^2=169-104x+16x^2\), więc \[S(x)=x^2+9x^2+16x^2-104x+169=26x^2-104x+169.\] **Krok \(6\).** Współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(26\gt 0\), więc ramiona paraboli są skierowane w górę i funkcja przyjmuje wartość NAJMNIEJSZĄ w wierzchołku: \[x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{104}{2\cdot 26}=\frac{104}{52}=2.\] **Krok \(7\).** Sprawdzamy dziedzinę: \(2\in\left(0;\,3{,}25\right)\) — wierzchołek leży wewnątrz dopuszczalnego przedziału, więc rzeczywiście daje najmniejszą wartość. **Krok \(8\).** Wyznaczamy szukane liczby: \[x=2,\qquad 3x=6,\qquad 13-4x=13-8=5.\] **Krok \(9\).** Liczymy najmniejszą sumę kwadratów: \[S(2)=2^2+6^2+5^2=4+36+25=65.\] (Kontrola sumy: \(2+6+5=13\ \checkmark\); dla porównania dla \(x=1\) mamy liczby \(1,3,9\) i sumę kwadratów \(91\), a dla \(x=3\) liczby \(3,9,1\) i sumę \(91\).) **Uwaga.** Dwie rzeczy łatwo pominąć. Po pierwsze, warunek DODATNIOŚCI liczb — bez niego zadanie miałoby inną, formalnie „szerszą” dziedzinę; trzeba wyznaczyć przedział \(\left(0,\frac{13}{4}\right)\) i sprawdzić, że \(x_w=2\) do niego należy. Po drugie, pytano o TRZY LICZBY, a nie o samo \(x\) ani o wartość \(S\) — odpowiedzią jest trójka \(2\), \(6\), \(5\). **Odpowiedź.** Szukane liczby to \(2\), \(6\) i \(5\); najmniejsza suma kwadratów wynosi \(2^{2}+6^{2}+5^{2}=65\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **1.1. (1 pkt)** – […] \(4x+y=13\) lub: zapisanie poszukiwanych liczb z użyciem jednej zmiennej: \(x\), \(3x\), \(13-4x\). **1.2. (1 pkt)** – zapisanie sumy kwadratów poszukiwanych liczb: \(S=x^{2}+(3x)^{2}+y^{2}\) lub \(S=x^{2}+(3x)^{2}+(13-4x)^{2}\) **1.3. (1 pkt)** – zapisanie sumy kwadratów szukanych liczb jako funkcji jednej zmiennej: \(S(x)=2x^{2}-8x+13\) gdy \(x\in\left(0,\,\frac{13}{4}\right)\). Zdający nie musi wyznaczyć dziedziny funkcji, o ile przeprowadzi rozwiązanie do końca i otrzyma trzy dodatnie liczby. **1.4. (1 pkt)** – obliczenie argumentu, dla którego funkcja \(S\) przyjmuje wartość najmniejszą: \(x_{w}=2\) i \(x_{w}\in\left(0,\,\frac{13}{4}\right)\) więc funkcja \(S\) osiąga najmniejszą wartość dla \(x=2\). **1.5. (1 pkt)** – podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to: \(2\), \(6\), \(5\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Liczby rzeczywiste

Zadanie 2, zestaw zadań marzec 2008 nr 2, poziom podstawowy

zestaw zadań marzec 2008 nr 2podstawowy5 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=(2-x)^2.\] a) Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle0,5\rangle\). b) Rozwiąż nierówność \(f(x)-(2-x)\geqslant0\).
Odpowiedź
a) Najmniejsza wartość \(f(2)=0\), największa \(f(5)=9\). b) \(x\in(-\infty,1\rangle\cup\langle2,+\infty)\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy funkcję: \(f(x)=(2-x)^2\). Ponieważ \((2-x)^2=(x-2)^2\), jest to funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej z wierzchołkiem \(W=(2,0)\) i ramionami skierowanymi W GÓRĘ. Na przedziale domkniętym wartości ekstremalne szukamy wśród trzech liczb: wartości w wierzchołku (o ile należy on do przedziału) i wartości na obu końcach. **Krok \(2\).** Sprawdzamy, czy wierzchołek należy do przedziału: \(x_w=2\in\langle0,5\rangle\) — tak. Ramiona w górę, więc w wierzchołku jest wartość NAJMNIEJSZA: \[f(2)=(2-2)^2=0.\] **Krok \(3\).** Obliczamy wartości na końcach: \[f(0)=(2-0)^2=4,\qquad f(5)=(2-5)^2=(-3)^2=9.\] **Krok \(4\).** Największą wartością jest większa z tych dwóch, czyli \(f(5)=9\). (Ma to sens: \(5\) leży dalej od wierzchołka \(x=2\) niż \(0\), a przy ramionach w górę im dalej od wierzchołka, tym większa wartość.) **Krok \(5\).** Podpunkt b): zapisujemy nierówność \(f(x)-(2-x)\geqslant0\), czyli \[(2-x)^2-(2-x)\geqslant0.\] Zamiast wymnażać, zauważamy wspólny czynnik \((2-x)\) i wyłączamy go przed nawias: \[(2-x)\left[(2-x)-1\right]\geqslant0\quad\Longrightarrow\quad (2-x)(1-x)\geqslant0.\] **Krok \(6\).** Wygodniej pracuje się z dodatnimi współczynnikami przy \(x\). Mnożymy KAŻDY z dwóch nawiasów przez \(-1\); ponieważ robimy to dwukrotnie, znaki się znoszą i zwrot nierówności pozostaje bez zmian: \[(x-2)(x-1)\geqslant0.\] **Krok \(7\).** Lewa strona to parabola o ramionach w górę i miejscach zerowych \(1\) oraz \(2\). Wartości nieujemne przyjmuje POZA przedziałem między pierwiastkami, wraz z samymi pierwiastkami (nierówność jest nieostra): \[x\in(-\infty,1\rangle\cup\langle2,+\infty).\] **Uwaga.** W kroku \(5\) nie wolno SKRACAĆ obu stron przez \((2-x)\) — dla \(x=2\) dzielilibyśmy przez zero i zgubilibyśmy rozwiązanie \(x=2\), które akurat należy do zbioru rozwiązań. Zawsze wyłączamy wspólny czynnik przed nawias, zamiast dzielić przez wyrażenie z niewiadomą. Ponieważ nierówność jest NIEOSTRA, liczby \(1\) i \(2\) należą do odpowiedzi — nawiasy przy nich są domknięte. **Odpowiedź.** a) Najmniejsza wartość \(f(2)=0\), największa \(f(5)=9\). b) \(x\in(-\infty,1\rangle\cup\langle2,+\infty)\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **2.1. (1 pkt)** – […] funkcji \(f\) jest równa \(2\) i należy do przedziału \(\langle 0,\,5\rangle\). […] zdający zapisze \(x_{w}=2\). **2.2. (1 pkt)** – obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 0,\,5\rangle\): \(f(2)=0\). **2.3. (1 pkt)** – obliczenie największej wartości funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 0,\,5\rangle\): \(f(5)=9\). **2.4. (1 pkt)** – przekształcenie lewej strony nierówności do postaci iloczynowej \((2-x)\cdot(1-x)\geq 0\) i podanie miejsc zerowych: \(x=1\) lub \(x=2\), (albo wyznaczenie pierwiastków trójmianu \(y=x^{2}-3x+2\)). **2.5. (1 pkt)** – zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: \((-\infty,1\rangle\cup\langle 2,\infty)\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Odczytywanie własności z wykresu

Zadanie 7, zestaw zadań marzec 2008 nr 1, poziom podstawowy

zestaw zadań marzec 2008 nr 1podstawowy3 pkt
Z krawędzi dachu podrzucono kamień, który po \(2\) sekundach spadł na ziemię. Wysokość (wyrażoną w metrach), na jakiej znajdował się kamień nad ziemią po upływie \(t\) sekund od chwili jego podrzucenia, opisuje funkcja \[h(t)=-5t^2+5t+10,\qquad t\in\langle0,2\rangle.\] a) Podaj, z jakiej wysokości (od ziemi) kamień został podrzucony. b) Oblicz, po jakim czasie od momentu podrzucenia kamień osiągnął największą wysokość. c) Oblicz największą wysokość (od ziemi), na jaką wzniósł się ten kamień.
Odpowiedź
a) \(h(0)=10\ \mathrm{m}\). b) Po \(t=\dfrac12\ \mathrm{s}\), czyli po pół sekundy. c) \(h_{\max}=h\left(\dfrac12\right)=11{,}25\ \mathrm{m}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy model. Wysokość kamienia opisuje funkcja kwadratowa o ujemnym współczynniku przy \(t^2\), więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół. Wynika stąd od razu plan: „z jakiej wysokości podrzucono” to wartość dla \(t=0\), a „największa wysokość” i „po jakim czasie” to współrzędne WIERZCHOŁKA paraboli. **Krok \(2\).** Podpunkt a). Moment podrzucenia to chwila \(t=0\), więc liczymy \[h(0)=-5\cdot 0^2+5\cdot 0+10=10.\] Kamień podrzucono z wysokości \(10\) m nad ziemią (to poziom krawędzi dachu). **Krok \(3\).** Podpunkt b). Odczytujemy współczynniki: \(a=-5\), \(b=5\), \(c=10\). Ponieważ \(a=-5\lt 0\), ramiona paraboli są skierowane w dół i funkcja przyjmuje wartość NAJWIĘKSZĄ w wierzchołku. **Krok \(4\).** Liczymy pierwszą współrzędną wierzchołka: \[t_w=\frac{-b}{2a}=\frac{-5}{2\cdot(-5)}=\frac{-5}{-10}=\frac12.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy, czy ta chwila należy do rozważanego przedziału: \(\frac12\in\langle0,2\rangle\) — tak. Kamień osiągnął największą wysokość po \(\frac12\) sekundy, czyli po pół sekundy od podrzucenia. **Krok \(6\).** Podpunkt c). Liczymy wysokość w tej chwili: \[h\left(\frac12\right)=-5\cdot\left(\frac12\right)^2+5\cdot\frac12+10=-5\cdot\frac14+\frac52+10=-1{,}25+2{,}5+10=11{,}25.\] **Krok \(7\).** Kontrola sensu wyniku: kamień wzniósł się o \(11{,}25-10=1{,}25\) m ponad krawędź dachu, a po \(2\) sekundach mamy \(h(2)=-20+10+10=0\), czyli spada dokładnie na ziemię — zgadza się z treścią zadania. **Uwaga.** Podpunkt c) pyta o wysokość NAD ZIEMIĄ, a nie o to, o ile kamień wzniósł się ponad dach. Odpowiedzią jest więc \(11{,}25\) m, a nie \(1{,}25\) m. Nie pomyl też podpunktów b) i c): \(t_w=\frac12\) to CZAS (w sekundach), a \(h(t_w)=11{,}25\) to WYSOKOŚĆ (w metrach). **Odpowiedź.** a) \(h(0)=10\ \mathrm{m}\). b) Po \(t=\dfrac12\ \mathrm{s}\), czyli po pół sekundy. c) \(h_{\max}=h\left(\dfrac12\right)=11{,}25\ \mathrm{m}\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **7.1. (1 pkt)** – podanie wysokości z jakiej został rzucony kamień: \(h(0)=10\) m. **7.2. (1 pkt)** – obliczenie odciętej wierzchołka paraboli i zapisanie odpowiedzi: \(t_{w}=\frac{1}{2}\), np. „po upływie pół sekundy”. **7.3. (1 pkt)** – obliczenie największej wysokości na jaką wzniesie się kamień: \(h_{\max}\left(\frac{1}{2}\right)=11{,}25\) m. Zdający może pominąć jednostki.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 1, maj 2007, poziom podstawowy

maj 2007podstawowy5 pkt
Znajdź wzór funkcji kwadratowej \(y=f(x)\), której wykresem jest parabola o wierzchołku \((1,-9)\), przechodząca przez punkt o współrzędnych \((2,-8)\). Otrzymaną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres.
Odpowiedź
\(f(x)=(x-1)^{2}-9\) (postać kanoniczna), czyli \(f(x)=x^{2}-2x-8\); miejsca zerowe: \(x_{1}=-2\), \(x_{2}=4\). Wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku \((1,-9)\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Zadanie \(1\). (\(5\) pkt) **Krok \(2\).** Znajdź wzór funkcji kwadratowej y = \(f\) ( x) , której wykresem jest parabola o wierzchołku **Krok \(3\).** (\(1\),–\(9\)) przechodząca przez punkt o współrzędnych (\(2\),–\(8\)). Otrzymaną funkcję przedstaw **Krok \(4\).** w postaci kanonicznej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres. **Krok \(5\).** Zapisuję funkcję opisującą parabolę, korzystając ze współrzędnych jej **Krok \(6\).** wierzchołka: y = a ( x − \(1\))\(2\) − \(9\) . **Krok \(7\).** Wyznaczam współczynnik a, korzystając z tego, że parabola przechodzi przez **Krok \(8\).** punkt o współrzędnych (\(2\),–\(8\)): **Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 1.** (\(5\) pkt) Znajdź wzór funkcji kwadratowej \(y=f(x)\), której wykresem jest parabola o wierzchołku \((1,-9)\) przechodząca przez punkt o współrzędnych \((2,-8)\). Otrzymaną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres. Zapisuję funkcję opisującą parabolę, korzystając ze współrzędnych jej wierzchołka: \(y=a(x-1)^{2}-9\). Wyznaczam współczynnik \(a\), korzystając z tego, że parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych \((2,-8)\): \(-8=a(2-1)^{2}-9\) stąd \(a=1\). Wzór funkcji w postaci kanonicznej: \(f(x)=(x-1)^{2}-9\). Wyznaczam miejsca zerowe funkcji \(f\): \((x-1)^{2}-9=0\), stąd po zastosowaniu odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia otrzymuję \((x-1-3)\cdot(x-1+3)=0\) i po redukcji \((x-4)\cdot(x+2)=0\). Miejscami zerowymi funkcji są liczby: \(x_{1}=-2\), \(x_{2}=4\). Szkicuję wykres funkcji, biorąc pod uwagę miejsca zerowe oraz współrzędne wierzchołka. (wykres funkcji \(f\))
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Liczby rzeczywiste

Zadanie 11, próbna listopad 2006, poziom podstawowy

próbna listopad 2006podstawowy4 pkt
Funkcja \(f\) przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej \(x\) z przedziału \(\langle-4,-2\rangle\) połowę kwadratu tej liczby pomniejszoną o \(8\). a) Podaj wzór tej funkcji. b) Wyznacz najmniejszą wartość funkcji \(f\) w podanym przedziale.
Odpowiedź
a) \(f(x)=\frac12x^{2}-8\) dla \(x\in\langle-4,-2\rangle\); b) najmniejsza wartość to \(f(-2)=-6\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy dwa zadania w jednym. Najpierw trzeba przetłumaczyć opis słowny na wzór funkcji, a potem znaleźć najmniejszą wartość funkcji kwadratowej na przedziale domkniętym — a to zawsze wymaga sprawdzenia, czy wierzchołek paraboli leży w tym przedziale. **Krok \(2\).** Tłumaczymy opis. Kwadrat liczby \(x\) to \(x^2\), jego połowa to \(\frac12x^2\), a pomniejszenie o \(8\) daje \[f(x)=\frac12x^2-8,\qquad x\in\langle-4,-2\rangle.\] **Krok \(3\).** Rozpoznajemy funkcję kwadratową o współczynnikach \(a=\frac12\), \(b=0\), \(c=-8\). Ramiona paraboli są skierowane do góry, bo \(a\gt0\). **Krok \(4\).** Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka: \[x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{0}{1}=0.\] Sprawdzamy: \(0\notin\langle-4,-2\rangle\), czyli wierzchołek leży poza rozważanym przedziałem. **Krok \(5\).** Skoro w przedziale nie ma wierzchołka, funkcja jest tam monotoniczna. Cały przedział \(\langle-4,-2\rangle\) leży na lewo od \(x_w=0\), a na lewo od wierzchołka parabola o ramionach do góry maleje. Zatem najmniejszą wartość funkcja przyjmuje na prawym końcu przedziału, czyli dla \(x=-2\). **Krok \(6\).** Obliczamy wartości na obu końcach: \[f(-4)=\frac12\cdot(-4)^2-8=\frac12\cdot16-8=8-8=0,\] \[f(-2)=\frac12\cdot(-2)^2-8=\frac12\cdot4-8=2-8=-6.\] **Krok \(7\).** Porównujemy: \(-6\lt0\), więc najmniejszą wartością funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-4,-2\rangle\) jest \(-6\) i jest ona przyjmowana dla \(x=-2\). **Uwaga.** Największa pułapka to odruchowe podanie wartości \(-8\), czyli drugiej współrzędnej wierzchołka. Wierzchołek \((0,-8)\) leży poza przedziałem, więc wartość \(-8\) w ogóle nie jest przez tę funkcję przyjmowana. Zawsze sprawdzaj, czy \(x_w\) należy do przedziału: jeśli tak, to tam jest ekstremum, jeśli nie — najmniejszej i największej wartości szukamy na końcach przedziału. **Odpowiedź.** a) \(f(x)=\frac12x^{2}-8\) dla \(x\in\langle-4,-2\rangle\); b) najmniejsza wartość to \(f(-2)=-6\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **11.1. (1 pkt)** – Zapisanie wzoru funkcji: \(f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-8\). **11.2. (1 pkt)** – Podanie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: \(x_{w}=0\) i \(x_{w}\notin\langle-4,-2\rangle\). **11.3. (1 pkt)** – Obliczenie wartości funkcji na końcach przedziału: \(f(-4)=0\), \(f(-2)=-6\). Zdający może narysować wykres funkcji i na jego podstawie rozwiązać podpunkt b). **11.4. (1 pkt)** – Sformułowanie wniosku dotyczącego wartości najmniejszej. Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Liczby rzeczywiste

Zadanie 8, maj 2006, poziom podstawowy

maj 2006podstawowy5 pkt
Dana jest funkcja \[f(x)=-x^2+6x-5.\] a) Naszkicuj wykres funkcji \(f\) i podaj jej zbiór wartości. b) Podaj rozwiązanie nierówności \(f(x)\geqslant0\).
Odpowiedź
a) Wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół, o wierzchołku \(W=(3,4)\) i miejscach zerowych \(x=1\) oraz \(x=5\); zbiorem wartości jest \((-\infty,4\rangle\). b) \(f(x)\geqslant0\) dla \(x\in\langle1,5\rangle\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Zadanie \(8\). (\(5\) pkt) **Krok \(2\).** Dana jest funkcja \(f\) (x) = −x \(2\) + \(6x\) − \(5\) . **Krok \(3\).** a) Naszkicuj wykres funkcji \(f\) i podaj jej zbiór wartości. **Krok \(4\).** b) Podaj rozwiązanie nierówności \(f\) (x) ≥ \(0\) . **Krok \(5\).** Wyznaczam współrzędne wierzchołka paraboli: **Krok \(6\).** −b −\(6\) **Krok \(7\).** p = ; p = = \(3\) , **Krok \(8\).** \(2a\) −\(2\) **Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 8.** (\(5\) pkt) Dana jest funkcja \(f(x)=-x^{2}+6x-5\). a) Naszkicuj wykres funkcji \(f\) i podaj jej zbiór wartości. b) Podaj rozwiązanie nierówności \(f(x)\ge 0\). Wyznaczam współrzędne wierzchołka paraboli: \(p=\frac{-b}{2a}\); \(p=\frac{-6}{-2}=3\), \(\Delta=16\); \(q=\frac{-\Delta}{4a}\), \(q=\frac{-16}{-4}=4\) stąd \(W=(3,4)\). Wyznaczam miejsca zerowe funkcji: \(x_{1}=1\), \(x_{2}=5\). (wykres funkcji \(f\)) Zbiór wartości funkcji: \((-\infty,\,4\rangle\). Rozwiązaniem nierówności \(f(x)\ge 0\) są wszystkie liczby rzeczywiste z przedziału \(\langle 1,5\rangle\). | Nr czynności | 8.1. | 8.2. | 8.3. | 8.4. | 8.5. | |---|---:|---:|---:|---:|---:| | Maks. liczba pkt | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Nierówności

Zadanie 6, próbna styczeń 2006, poziom podstawowy

próbna styczeń 2006podstawowy6 pkt
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej \(f\). Na podstawie tego wykresu: a) zapisz w postaci sumy przedziałów liczbowych zbiór rozwiązań nierówności \(f(x)\leqslant3\), b) określ i zapisz największą i najmniejszą wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle0,3\rangle\), c) zapisz wzór funkcji \(f\) w postaci iloczynowej.
Wykres funkcji kwadratowej f w układzie współrzędnych z siatką jednostkową, oś Ox od −3 do 4, oś Oy od −4 do 4. Parabola ma ramiona skierowane w dół, wierzchołek w punkcie (1, 4), przecina oś Oy w punkcie (0, 3) i oś Ox w punktach (−1, 0) oraz (3, 0).
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
a) \(x\in(-\infty,0\rangle\cup\langle2,+\infty)\). b) W przedziale \(\langle0,3\rangle\) najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(0\) (dla \(x=3\)), a największa \(4\) (dla \(x=1\)). c) \(f(x)=-(x+1)(x-3)\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy sposób pracy. Wszystkie informacje mamy odczytać z wykresu paraboli. Do podpunktu c) potrzebne będą miejsca zerowe (bo one wchodzą do postaci iloczynowej \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)) oraz jeden dodatkowy punkt wykresu, z którego wyliczymy współczynnik \(a\). **Krok \(2\).** Odczytujemy z wykresu: ramiona skierowane w dół, wierzchołek \(W=(1,4)\), miejsca zerowe \(x_1=-1\) i \(x_2=3\), punkt przecięcia z osią \(Oy\): \((0,3)\). **Krok \(3\).** Podpunkt a). Rysujemy (choćby w wyobraźni) prostą poziomą \(y=3\). Przecina ona parabolę w punkcie \((0,3)\), a ponieważ wykres jest symetryczny względem prostej \(x=1\) (pionowej osi przechodzącej przez wierzchołek), drugim punktem przecięcia jest punkt oddalony od \(x=1\) o tyle samo z drugiej strony, czyli \((2,3)\). **Krok \(4\).** Ramiona są skierowane w dół, więc wykres leży NIE WYŻEJ niż prosta \(y=3\) na zewnątrz przedziału wyznaczonego przez punkty przecięcia: \[f(x)\leqslant 3\iff x\in(-\infty,0\rangle\cup\langle2,+\infty).\] **Krok \(5\).** Podpunkt b). Sprawdzamy, czy wierzchołek leży w przedziale \(\langle0,3\rangle\): tak, \(x_w=1\in\langle0,3\rangle\). Ponieważ ramiona są w dół, wierzchołek daje wartość NAJWIĘKSZĄ, równą \(4\). **Krok \(6\).** Wartość najmniejszą w tym przedziale odczytujemy na jego końcach: \(f(0)=3\) oraz \(f(3)=0\). Mniejsza jest \(0\), więc najmniejsza wartość funkcji \(f\) w \(\langle0,3\rangle\) wynosi \(0\) (dla \(x=3\)). **Krok \(7\).** Podpunkt c). Zapisujemy postać iloczynową z odczytanymi miejscami zerowymi: \[f(x)=a\left(x-(-1)\right)(x-3)=a(x+1)(x-3).\] **Krok \(8\).** Wyznaczamy \(a\), wstawiając punkt \((0,3)\): \[3=a\cdot(0+1)\cdot(0-3)=-3a,\qquad a=-1.\] **Krok \(9\).** Zapisujemy wzór i sprawdzamy go na wierzchołku: \[f(x)=-(x+1)(x-3),\qquad f(1)=-(1+1)(1-3)=-2\cdot(-2)=4\ \checkmark\] Zgadza się z odczytanym wierzchołkiem \((1,4)\); ujemne \(a\) potwierdza też ramiona skierowane w dół. **Uwaga.** W podpunkcie a) nierówność jest NIEOSTRA (\(\leqslant\)), więc końce \(0\) i \(2\) należą do zbioru rozwiązań — zapisujemy nawiasy kwadratowe. Zauważ też, że drugiego punktu przecięcia z prostą \(y=3\) nie trzeba zgadywać z rysunku „na oko” — wynika on z symetrii paraboli względem prostej \(x=1\). W podpunkcie c) współczynnika \(a\) nie wolno pominąć: sam iloczyn \((x+1)(x-3)\) opisywałby parabolę o ramionach skierowanych w górę. **Odpowiedź.** a) \(x\in(-\infty,0\rangle\cup\langle2,+\infty)\). b) W przedziale \(\langle0,3\rangle\) najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(0\) (dla \(x=3\)), a największa \(4\) (dla \(x=1\)). c) \(f(x)=-(x+1)(x-3)\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **6.1. (1 pkt)** – […] \(f(x)\leq 3\): \((-\infty,\,0\rangle\cup\langle 2,\,+\infty)\). **6.2. (2 pkt)** – zapisanie najmniejszej i największej wartości funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 0,\,3\rangle\): najmniejsza wartość jest równa \(0\), a największa jest równa \(4\). **6.3. (1 pkt)** – odczytanie z wykresu miejsc zerowych funkcji \(f\): \(x_{1}=-1\), \(x_{2}=3\) oraz współrzędnych punktu przecięcia wykresu z osią \(OY\). **6.4. (1 pkt)** – wyznaczenie współczynnika \(a\): \(a=-1\). **6.5. (1 pkt)** – zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci iloczynowej: \(f(x)=-(x+1)(x-3)\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Równania i nierówności

Zadanie 11, próbna grudzień 2005, poziom rozszerzony

próbna grudzień 2005rozszerzony6 pkt
Wyznacz wszystkie liczby całkowite \(k\), dla których funkcja \[f(x)=x^2-2^k\cdot x+2^k+\frac54\] przyjmuje wartości dodatnie dla każdego \(x\in\mathbb{R}\).
Odpowiedź
Wszystkie liczby całkowite \(k\le2\), czyli \(k\in\{k\in\mathbb{Z}:k\le2\}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy warunek geometryczny. Zdanie „funkcja kwadratowa przyjmuje wartości dodatnie dla każdego \(x\in\mathbb{R}\)” oznacza, że parabola leży w całości NAD osią \(OX\). Ponieważ współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(1\gt0\) (ramiona w górę), wystarczy zażądać, żeby parabola nie miała punktów wspólnych z osią, czyli \[\Delta\lt0.\] **Krok \(2\).** Odczytujemy współczynniki funkcji \(f(x)=x^2-2^k\cdot x+2^k+\tfrac54\): \[a=1,\qquad b=-2^k,\qquad c=2^k+\tfrac54,\] i obliczamy wyróżnik: \[\Delta=\left(-2^k\right)^2-4\cdot1\cdot\left(2^k+\tfrac54\right)=2^{2k}-4\cdot2^k-5.\] **Krok \(3\).** Zauważamy, że \(2^{2k}=\left(2^k\right)^2\), więc po podstawieniu \(t=2^k\) nierówność \(\Delta\lt0\) staje się nierównością kwadratową: \[t^2-4t-5\lt0.\] Dopisujemy warunek na \(t\): potęga o podstawie \(2\) jest zawsze dodatnia, więc \(t\gt0\). **Krok \(4\).** Rozwiązujemy \(t^2-4t-5\lt0\): \[\Delta_t=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-5)=16+20=36,\qquad\sqrt{\Delta_t}=6,\] \[t_1=\frac{4-6}{2}=-1,\qquad t_2=\frac{4+6}{2}=5.\] Ramiona w górę, więc wartości ujemne są między pierwiastkami: \(t\in(-1,5)\). **Krok \(5\).** Łączymy z warunkiem \(t\gt0\): \[0\lt t\lt5,\qquad\text{czyli}\qquad 0\lt2^k\lt5.\] Lewa nierówność jest spełniona automatycznie, więc naprawdę istotny jest warunek \(2^k\lt5\). **Krok \(6\).** Rozwiązujemy \(2^k\lt5\) w liczbach całkowitych. Funkcja \(k\mapsto2^k\) jest rosnąca, więc wystarczy znaleźć granicę: \[2^2=4\lt5,\qquad 2^3=8\gt5.\] Zatem warunek zachodzi dla \(k\leqslant2\), a nie zachodzi dla \(k\geqslant3\). **Krok \(7\).** Odpowiedź: wszystkie liczby całkowite \(k\leqslant2\), czyli \(\{k\in\mathbb{Z}:k\leqslant2\}\) — zbiór ten jest nieskończony (obejmuje też \(k=0\), \(k=-1\), \(k=-2\) i tak dalej). **Uwaga.** Dwie rzeczy warto podkreślić. Po pierwsze, warunek \(t\gt0\) po podstawieniu \(t=2^k\) jest obowiązkowy, ale w praktyce nic nie odcina — potęga jest dodatnia zawsze, więc pierwiastek \(t=-1\) i tak by odpadł. Po drugie, łatwo zapomnieć o ujemnych \(k\): dla nich \(2^k\) jest małym ułamkiem, więc warunek \(2^k\lt5\) tym bardziej jest spełniony. Odpowiedzią nie jest więc przedział skończony, tylko cała „półprosta całkowita” \(k\leqslant2\). **Odpowiedź.** Wszystkie liczby całkowite \(k\le2\), czyli \(k\in\{k\in\mathbb{Z}:k\le2\}\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **11.1. (1 pkt)** – […] danego trójmianu będzie ujemny. **11.2. (1 pkt)** – Obliczenie wyróżnika trójmianu: \(\Delta=2^{2k}-4\cdot 2^{k}-5\). **11.3. (1 pkt)** – Wprowadzenie pomocniczej niewiadomej, np.: \(t=2^{k}\) i \(t>0\). **11.4. (1 pkt)** – Rozwiązanie nierówności \(t^{2}-4t-5<0\): \(t\in(-1;5)\). **11.5. (1 pkt)** – Zapisanie nierówności \(0<2^{k}<5\). **11.6. (1 pkt)** – Zapisanie zbioru liczb \(k\) spełniających warunki zadania: \(\{k\in C:k\le 2\}\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Równania i nierówności

Zadanie 5, maj 2005, poziom podstawowy

maj 2005podstawowy4 pkt
Sklep sprowadza z hurtowni kurtki, płacąc po \(100\) zł za sztukę, i sprzedaje średnio \(40\) sztuk miesięcznie po \(160\) zł. Zaobserwowano, że każda kolejna obniżka ceny sprzedaży kurtki o \(1\) zł zwiększa sprzedaż miesięczną o \(1\) sztukę. Jaką cenę kurtki powinien ustalić sprzedawca, aby jego miesięczny zysk był największy?
Odpowiedź
Cena \(150\) zł (obniżka o \(10\) zł); miesięczny zysk wynosi wtedy \(2500\) zł.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typ zadania. Mamy do czynienia z optymalizacją: zysk zależy od tego, o ile obniżymy cenę. Wprowadzamy więc jedną zmienną — wielkość obniżki — i zapisujemy zysk jako funkcję tej zmiennej. Ponieważ zarówno zysk z jednej sztuki, jak i liczba sztuk zależą od niej liniowo, ich iloczyn będzie funkcją kwadratową, a największej wartości szukamy w wierzchołku paraboli. **Krok \(2\).** Oznaczamy: niech \(x\) będzie obniżką ceny (w złotych). Nowa cena sprzedaży to \(160-x\) zł. **Krok \(3\).** Zysk ze sprzedaży JEDNEJ kurtki to cena sprzedaży minus cena zakupu: \[(160-x)-100=60-x.\] **Krok \(4\).** Liczba sprzedanych kurtek. Każda złotówka obniżki to jedna sztuka więcej, więc przy obniżce o \(x\) zł sprzedaż wynosi \[40+x\ \text{sztuk}.\] **Krok \(5\).** Miesięczny zysk to iloczyn zysku jednostkowego i liczby sztuk: \[f(x)=(60-x)(40+x)=2400+60x-40x-x^2=-x^2+20x+2400.\] Sensowne wartości to \(x\in\langle 0,60)\) — przy większej obniżce sklep sprzedawałby poniżej ceny zakupu. **Krok \(6\).** Współczynnik przy \(x^2\) jest równy \(-1\lt 0\), więc ramiona paraboli są skierowane w dół i funkcja przyjmuje wartość NAJWIĘKSZĄ w wierzchołku. Liczymy jego pierwszą współrzędną: \[x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{-20}{2\cdot(-1)}=10.\] Liczba \(10\) należy do przedziału \(\langle 0,60)\). **Krok \(7\).** Wracamy do pytania z treści — pytano o CENĘ, a \(x\) to obniżka. Cena wynosi \[160-10=150\ \text{zł}.\] **Krok \(8\).** Dla kontroli liczymy zysk: \(f(10)=(60-10)(40+10)=50\cdot 50=2500\) zł (dla porównania przy cenie \(160\) zł zysk wynosił \(60\cdot 40=2400\) zł). **Uwaga.** Najczęstszy błąd w tym zadaniu to zatrzymanie się na wyniku \(x_w=10\) i wpisanie go jako odpowiedzi. Liczba \(10\) to obniżka, a nie cena — trzeba jeszcze wykonać odejmowanie \(160-10\). **Odpowiedź.** Cena \(150\) zł (obniżka o \(10\) zł); miesięczny zysk wynosi wtedy \(2500\) zł.
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **5.1. (1 pkt)** – […] \((60-x)\) – zysk ze sprzedaży jednej kurtki, \((40+x)\) – liczba sprzedanych kurtek **5.2. (1 pkt)** – określenie funkcji \(f\) opisującej miesięczny zysk: \(f(x)=(60-x)(40+x)\) lub \(f(x)=-x^{2}+20x+2400\) **5.3. (1 pkt)** – wyznaczenie wartości argumentu \(x_{w}\), dla której funkcja przyjmuje największą wartość: \(x_{w}=10\) **5.4. (1 pkt)** – wyznaczenie szukanej ceny: \(150\) zł
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Równania i nierówności

Zadanie 4, próbna styczeń 2005, poziom podstawowy

próbna styczeń 2005podstawowy5 pkt
Funkcja kwadratowa \[f(x)=-\frac12x^2+bx+c\] przyjmuje jednakowe wartości dla argumentów \(1\) i \(5\). Do wykresu tej funkcji należy początek układu współrzędnych. a) Wyznacz wartości współczynników \(b\) i \(c\). b) Dla wyznaczonych wartości współczynników \(b\) i \(c\) naszkicuj wykres funkcji \(f\).
Odpowiedź
a) \(b=3\), \(c=0\). b) \(f(x)=-\frac12x^2+3x\) — parabola o ramionach skierowanych w dół, o miejscach zerowych \(0\) i \(6\) oraz wierzchołku \(\left(3,\frac92\right)\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozszyfrujmy dane. Zdanie do wykresu należy początek układu współrzędnych znaczy po prostu \(f(0)=0\) — stąd natychmiast wyliczymy \(c\). Zdanie funkcja przyjmuje jednakowe wartości dla argumentów \(1\) i \(5\) znaczy \(f(1)=f(5)\) — to daje równanie na \(b\). (Geometrycznie: argumenty o równych wartościach leżą symetrycznie względem osi symetrii paraboli, więc wierzchołek ma odciętą \(x_w=\frac{1+5}{2}=3\), co też prowadzi do \(b\)). **Krok \(2\).** Wyznaczamy \(c\). Podstawiamy \(x=0\): \[f(0)=-\frac12\cdot0^2+b\cdot0+c=c,\] a ponieważ \(f(0)=0\), otrzymujemy \(c=0\). **Krok \(3\).** Obliczamy obie wartości z warunku: \[f(1)=-\frac12\cdot1^2+b\cdot1=-\frac12+b,\] \[f(5)=-\frac12\cdot25+b\cdot5=-\frac{25}{2}+5b.\] **Krok \(4\).** Przyrównujemy je i rozwiązujemy równanie: \[-\frac12+b=-\frac{25}{2}+5b,\] \[-\frac12+\frac{25}{2}=5b-b,\] \[\frac{24}{2}=4b,\qquad 12=4b,\qquad b=3.\] **Krok \(5\).** Sprawdzenie inną drogą: dla \(a=-\frac12\) odcięta wierzchołka wynosi \(x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2\cdot\left(-\frac12\right)}=b\), a z symetrii \(x_w=3\), więc znowu \(b=3\). Wzór funkcji to \[f(x)=-\frac12x^2+3x.\] **Krok \(6\).** Zbieramy dane potrzebne do szkicu. Ramiona paraboli są skierowane w dół, bo \(a=-\frac12\lt0\). Miejsca zerowe: \[-\frac12x^2+3x=0,\qquad -\frac12x\,(x-6)=0,\qquad x=0\ \text{lub}\ x=6.\] **Krok \(7\).** Wierzchołek: \(x_w=3\), a \[f(3)=-\frac12\cdot9+3\cdot3=-\frac92+9=\frac92.\] Wierzchołek ma więc współrzędne \(\left(3,\frac92\right)\). **Krok \(8\).** Szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w dół, przechodzącą przez punkty \((0,0)\) i \((6,0)\), z najwyższym punktem \(\left(3,4{,}5\right)\). Kontrola: \(f(1)=-\frac12+3=\frac52\) i \(f(5)=-\frac{25}{2}+15=\frac52\) — wartości rzeczywiście są równe. **Uwaga.** Warunek \(f(1)=f(5)\) nie oznacza, że \(1\) i \(5\) są miejscami zerowymi funkcji — to zupełnie co innego. Oznacza tylko, że oba te argumenty leżą w równych odległościach od osi symetrii paraboli. **Odpowiedź.** a) \(b=3\), \(c=0\). b) \(f(x)=-\frac12x^2+3x\) — parabola o ramionach skierowanych w dół, o miejscach zerowych \(0\) i \(6\) oraz wierzchołku \(\left(3,\frac92\right)\).
Klucz i zasady oceniania
**1. (2 pkt)** – Obliczenie współczynnika \(b\) (1 punkt przyznajemy za wyznaczenie \(f(1)\) i \(f(5)\), 1 punkt za rozwiązanie równania \(f(1)=f(5)\)): \(b=3\) **2. (1 pkt)** – Obliczenie wielkości koniecznych do naszkicowania wykresu funkcji \(f\) **3. (1 pkt)** – Naszkicowanie wykresu funkcji \(f\)
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Równania i nierówności

Zadanie 16, próbna styczeń 2005, poziom rozszerzony

próbna styczeń 2005rozszerzony3 pkt
Jednokierunkowa droga o szerokości \(8\,\mathrm{m}\) prowadzi przez tunel. Przekrój poprzeczny tunelu, przedstawiony na poniższym rysunku, ma kształt zbliżony do łuku paraboli o równaniu \[y=-\frac38x^2+6.\] Sprawdź, wykonując odpowiednie obliczenia, czy ciężarówka wioząca prostopadłościenny kontener o szerokości \(4{,}8\,\mathrm{m}\) może przejechać tym tunelem, jeżeli najwyższy punkt kontenera znajduje się \(4\,\mathrm{m}\) nad drogą.
Przekrój tunelu: łuk paraboli o ramionach skierowanych w dół, w układzie współrzędnych. Oś Ox opisana od −4 do 4, łuk przecina ją w punktach (−4, 0) i (4, 0); wierzchołek leży na osi Oy. Osi pionowej nie opisano podziałką.
Rysunek z arkusza CKE. Zobacz cały fragment arkusza.
Odpowiedź
Ciężarówka nie przejedzie: dla \(x=2{,}4\) wysokość tunelu wynosi \(f(2{,}4)=3{,}84\ \mathrm{m}\), czyli mniej niż wymagane \(4\ \mathrm{m}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy sytuację geometryczną. Kontener jest PROSTOPADŁOŚCIANEM, więc jego przekrój poprzeczny to prostokąt o szerokości \(4{,}8\ \mathrm{m}\) i górnej krawędzi na wysokości \(4\ \mathrm{m}\). Sklepienie tunelu opada ku bokom, więc najciaśniej jest nie w środku, lecz nad BOCZNYMI krawędziami kontenera. Wystarczy zatem sprawdzić, jak wysoko jest sklepienie dokładnie nad tymi krawędziami i porównać z liczbą \(4\). **Krok \(2\).** Ustalamy współrzędne krawędzi. Kontener jedzie środkiem tunelu, a wierzchołek paraboli leży na osi \(OY\), więc kontener zajmuje pas symetryczny względem \(x=0\). Jego krawędzie boczne mają odcięte \[x=\pm\frac{4{,}8}{2}=\pm2{,}4.\] **Krok \(3\).** Obliczamy wysokość sklepienia dla \(x=2{,}4\) ze wzoru \(y=-\tfrac38x^2+6\). Najpierw kwadrat: \[(2{,}4)^2=5{,}76.\] **Krok \(4\).** Podstawiamy: \[y=-\frac38\cdot5{,}76+6.\] Liczymy \(\dfrac{5{,}76}{8}=0{,}72\), a następnie \(3\cdot0{,}72=2{,}16\). Zatem \[y=6-2{,}16=3{,}84.\] Z symetrii paraboli dla \(x=-2{,}4\) wychodzi tyle samo. **Krok \(5\).** Porównujemy z wysokością kontenera: \[3{,}84\ \mathrm{m}\lt4\ \mathrm{m}.\] Sklepienie nad krawędzią kontenera znajduje się NIŻEJ niż górna krawędź kontenera, a więc kontener zahaczyłby o sklepienie. **Krok \(6\).** Wniosek: ciężarówka nie może przejechać tym tunelem. (Inaczej: sklepienie ma wysokość dokładnie \(4\ \mathrm{m}\) tam, gdzie \(-\tfrac38x^2+6=4\), czyli \(x^2=\tfrac{16}{3}\), \(x=\tfrac{4\sqrt3}{3}\approx2{,}31\). Kontener wymagałby \(x=2{,}4\gt2{,}31\), czyli byłby za szeroki.) **Uwaga.** Najczęstszy błąd to sprawdzenie wysokości tunelu w jego NAJWYŻSZYM punkcie: \(y(0)=6\ \mathrm{m}\), z czego wyszłoby, że kontener swobodnie się mieści. To rozumowanie byłoby poprawne tylko dla ładunku o zerowej szerokości. Ponieważ kontener jest prostopadłościenny, o przejeździe decyduje najniższy punkt sklepienia w obrębie zajmowanego przez niego pasa, czyli wysokość dla \(x=\pm2{,}4\). **Odpowiedź.** Ciężarówka nie przejedzie: dla \(x=2{,}4\) wysokość tunelu wynosi \(f(2{,}4)=3{,}84\ \mathrm{m}\), czyli mniej niż wymagane \(4\ \mathrm{m}\).
Klucz i zasady oceniania
**1. (1 pkt)** – Obliczenie wartości \(f(2{,}4)=3{,}84\) (lub stwierdzenie, że \(4=f\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)=f\left(\frac{-4\sqrt{3}}{3}\right)\)) **2. (1 pkt)** – Porównanie odpowiednich wartości liczbowych i podanie wniosku, że ciężarówka nie zmieści się w tunelu.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Odczytywanie własności z wykresu

Zadanie 2, próbna czerwiec 2004, poziom podstawowy

próbna czerwiec 2004podstawowy3 pkt
Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \[f(x)=(1-x)(x+1)+2x.\] Wyznacz zbiór wartości funkcji \(f\).
Odpowiedź
\(f(x)=-x^{2}+2x+1\), zbiór wartości funkcji \(f\) to \((-\infty,2\rangle\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy pytanie: pytamy o ZBIÓR WARTOŚCI funkcji. Wzór wygląda na iloczyn, ale po wymnożeniu okaże się, że \(f\) jest funkcją kwadratową. A dla funkcji kwadratowej zbiór wartości odczytujemy z rzędnej wierzchołka \(q\): przy ramionach w dół (\(a\lt0\)) jest to \((-\infty,q\rangle\), a przy ramionach w górę \(\langle q,+\infty)\). Plan: doprowadzić wzór do postaci ogólnej i policzyć \(q\). **Krok \(2\).** Wymnażamy. W pierwszym składniku rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \((1-x)(1+x)=1-x^2\): \[f(x)=(1-x)(x+1)+2x=1-x^2+2x.\] Po uporządkowaniu: \[f(x)=-x^2+2x+1.\] **Krok \(3\).** Odczytujemy współczynniki: \(a=-1\), \(b=2\), \(c=1\). Ponieważ \(a=-1\lt0\), ramiona paraboli są skierowane w dół, więc funkcja ma wartość NAJWIĘKSZĄ (w wierzchołku), a wartości najmniejszej nie ma. **Krok \(4\).** Obliczamy odciętą wierzchołka: \[x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1.\] **Krok \(5\).** Obliczamy rzędną wierzchołka, podstawiając \(x=1\) do wzoru: \[q=f(1)=-1^2+2\cdot1+1=-1+2+1=2.\] (Można też ze wzoru \(q=-\frac{\Delta}{4a}\): \(\Delta=2^2-4\cdot(-1)\cdot1=8\), \(q=-\frac{8}{-4}=2\).) **Krok \(6\).** Największą wartością funkcji jest \(2\), a wszystkie wartości mniejsze też są przyjmowane (parabola schodzi w dół do \(-\infty\)). Zatem zbiorem wartości jest \((-\infty,2\rangle\). **Uwaga.** Liczba \(2\) NALEŻY do zbioru wartości — jest przyjmowana dokładnie dla \(x=1\) — więc nawias przy \(2\) musi być domknięty. Częstym błędem jest też podanie \(x_w=1\) jako odpowiedzi: pytamy o WARTOŚCI funkcji, czyli o \(y\), a nie o argumenty. **Odpowiedź.** \(f(x)=-x^{2}+2x+1\), zbiór wartości funkcji \(f\) to \((-\infty,2\rangle\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **(1 pkt)** – zapisanie wzoru funkcji kwadratowej \(f\) w postaci ogólnej: \(f(x)=-x^{2}+2x+1\). **(1 pkt)** – obliczenie rzędnej wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\): \(y_{w}=2\). **(1 pkt)** – wyznaczenie zbioru wartości funkcji \(f\): \((-\infty,\,2]\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Nierówności

Zadanie 3, próbna styczeń 2004, poziom podstawowy

próbna styczeń 2004podstawowy5 pkt
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=ax^2+bx+1\qquad\text{dla }x\in\mathbb{R}.\] a) Wyznacz wzór tej funkcji tak, aby \(f(1)=2\) i \(f(2)=-1\). b) Dla wyznaczonych wartości współczynników \(a\) i \(b\) rozwiąż nierówność \[f(x)>1.\]
Odpowiedź
a) \(a=-2\), \(b=3\), czyli \(f(x)=-2x^{2}+3x+1\); b) \(x\in\left(0,\dfrac32\right)\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W części a) mamy funkcję z dwiema nieznanymi liczbami \(a\) i \(b\) oraz dwa warunki na jej wartości. Każdy warunek po podstawieniu daje jedno równanie liniowe, więc otrzymamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. **Krok \(2\).** Warunek \(f(1)=2\). Podstawiamy \(x=1\) do wzoru \(f(x)=ax^2+bx+1\): \[a\cdot 1^2+b\cdot 1+1=2,\qquad a+b=1.\] **Krok \(3\).** Warunek \(f(2)=-1\). Podstawiamy \(x=2\): \[a\cdot 4+b\cdot 2+1=-1,\qquad 4a+2b=-2,\qquad 2a+b=-1.\] **Krok \(4\).** Rozwiązujemy układ \[\begin{cases}a+b=1\\ 2a+b=-1\end{cases}\] Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego, co eliminuje \(b\): \[a=-2.\] Z pierwszego równania \(b=1-a=1-(-2)=3\). **Krok \(5\).** Zatem \[f(x)=-2x^2+3x+1.\] Sprawdzenie: \(f(1)=-2+3+1=2\) oraz \(f(2)=-8+6+1=-1\). Zgadza się. **Krok \(6\).** Przechodzimy do części b). Zapisujemy nierówność \(f(x)\gt 1\): \[-2x^2+3x+1\gt 1.\] Wyraz wolny \(1\) skraca się z jedynką po prawej stronie: \[-2x^2+3x\gt 0.\] **Krok \(7\).** Nie ma potrzeby liczyć wyróżnika, bo można po prostu wyłączyć \(x\) przed nawias: \[x(-2x+3)\gt 0.\] Miejsca zerowe to \(x=0\) oraz \(-2x+3=0\), czyli \(x=\frac{3}{2}\). **Krok \(8\).** Współczynnik przy \(x^2\) jest równy \(-2\), więc parabola ma ramiona skierowane do dołu, a wartości dodatnie przyjmuje między miejscami zerowymi: \[x\in\left(0,\tfrac{3}{2}\right).\] **Uwaga.** W części b) rozwiązujemy nierówność \(f(x)\gt 1\), a nie \(f(x)\gt 0\), dlatego jedynkę trzeba przenieść na lewą stronę. Nierówność jest ostra, więc końce przedziału do rozwiązania nie należą. **Odpowiedź.** a) \(a=-2\), \(b=3\), czyli \(f(x)=-2x^2+3x+1\). b) \(x\in\left(0,\frac{3}{2}\right)\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **3.1. (1 pkt)** – […] zadania: \(\begin{cases}[…]\\ 4a+2b+1=-1\end{cases}\) **3.2. (2 pkt)** – rozwiązanie układu równań oraz zapisanie wzoru funkcji kwadratowej (w tym \(1\) p. za metodę oraz \(1\) p. za obliczenia): \(a=-2\), \(b=3\), \(f(x)=-2x^{2}+3x+1\). **3.3. (2 pkt)** – rozwiązanie nierówności (w tym \(1\) p. za metodę oraz \(1\) p. za obliczenia): \(x\in\left(0;\frac{3}{2}\right)\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Nierówności

Zadanie 7, próbna styczeń 2003, poziom podstawowy

próbna styczeń 2003podstawowy6 pkt
Funkcja \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) jest określona wzorem: \(f(x)=x^{2}-6x+12\). a) Rozwiąż nierówność \(f(x)-19>0\). b) Uzasadnij, że obrazem wykresu funkcji \(f\), w symetrii względem prostej o równaniu \(x=6\), __nie jest__ parabola, określona równaniem \(y=(x-9)^{2}+6\).

To zadanie nie zawiera rysunku — cała treść jest powyżej. Zobacz oryginalny fragment arkusza.

Odpowiedź
a) \(x\in(-\infty,-1)\cup(7,+\infty)\). b) Wierzchołkiem paraboli \(y=x^{2}-6x+12\) jest \(W=(3,3)\), a jego obrazem w symetrii względem prostej \(x=6\) jest \(W^{\prime}=(9,3)\); parabola \(y=(x-9)^{2}+6\) ma zaś wierzchołek \((9,6)\neq(9,3)\), więc nie jest obrazem wykresu funkcji \(f\) (dowód w rozwiązaniu).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W podpunkcie a) mamy zwykłą nierówność kwadratową — wystarczy przenieść \(19\) na lewą stronę. W podpunkcie b) trzeba pokazać, że pewna parabola nie jest obrazem innej w symetrii osiowej. Najprościej porównać wierzchołki: symetria osiowa przeprowadza wierzchołek paraboli na wierzchołek jej obrazu, więc jeśli te punkty się nie zgadzają, teza jest udowodniona. **Krok \(2\).** a) Zapisujemy nierówność: \[x^2-6x+12-19\gt0\ \Longrightarrow\ x^2-6x-7\gt0.\] **Krok \(3\).** Miejsca zerowe trójmianu: \(\Delta=36+28=64\), \(\sqrt{\Delta}=8\), więc \[x=\frac{6-8}{2}=-1\qquad\text{lub}\qquad x=\frac{6+8}{2}=7.\] **Krok \(4\).** Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc wartości dodatnie trójmian przyjmuje poza przedziałem między pierwiastkami: \[x\in(-\infty,-1)\cup(7,+\infty).\] **Krok \(5\).** b) Ustalmy, jak działa symetria względem prostej pionowej \(x=6\). Punkt \((x,y)\) przechodzi na punkt o tej samej drugiej współrzędnej i o pierwszej odbitej względem \(6\), czyli na \((12-x,\ y)\) — bo \(6\) jest środkiem odcinka o końcach \(x\) i \(12-x\). **Krok \(6\).** Wyznaczamy wierzchołek wykresu \(f\), zapisując wzór w postaci kanonicznej: \[x^2-6x+12=\left(x^2-6x+9\right)+3=(x-3)^2+3,\] więc \(W=(3,3)\). **Krok \(7\).** Obraz wierzchołka w naszej symetrii: \[W^{\prime}=(12-3,\ 3)=(9,3).\] **Krok \(8\).** Obrazem paraboli w symetrii osiowej jest parabola, a obrazem jej wierzchołka — wierzchołek tego obrazu. Parabola o równaniu \(y=(x-9)^2+6\) ma wierzchołek \((9,6)\), a \((9,6)\neq(9,3)\). Zatem nie jest ona obrazem wykresu funkcji \(f\), co należało uzasadnić. **Krok \(9\).** Dla porządku: prawdziwym obrazem jest parabola \(y=(x-9)^2+3\) (wstawiając \(x=12-x^{\prime}\) do \(y=(x-3)^2+3\), dostajemy \(y=(9-x^{\prime})^2+3=(x^{\prime}-9)^2+3\)). **Uwaga.** Obie parabole mają tę samą oś \(x=9\) i identyczny kształt, więc na oko wyglądają podobnie. Dowód musi więc wskazać konkretną różnicę — tutaj jest nią wysokość wierzchołka. **Odpowiedź.** a) \(x\in(-\infty,-1)\cup(7,+\infty)\); b) obrazem wierzchołka \(W=(3,3)\) jest \((9,3)\), a podana parabola ma wierzchołek \((9,6)\), więc nie jest obrazem wykresu funkcji \(f\).
Klucz i zasady oceniania
**27. (1 pkt)** – obliczenie współrzędnych wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\): \(W(3,3)\). **28. (1 pkt)** – wykorzystanie postaci kanonicznej trójmianu \(y=(x-9)^{2}+6\) do odczytania współrzędnych wierzchołka wykresu trójmianu: \(W(9,6)\). **29. (1 pkt)** – zapisanie, że obrazem paraboli o równaniu \(y=x^{2}-6x+12\) nie jest wykres funkcji \(y=(x-9)^{2}+6\), ponieważ: np. obrazem punktu \(W\) w danej symetrii jest punkt \(W'(9,3)\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Równania i nierówności

Zadanie 11, próbna styczeń 2003, poziom rozszerzony

próbna styczeń 2003rozszerzony4 pkt
Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), określonej wzorem \(f(x)=(x-1)\cdot(5-x)\), w przedziale \(\langle 0,7\rangle\).
Odpowiedź
Największa wartość: \(f(3)=4\); najmniejsza wartość: \(f(7)=-12\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy funkcję: \(f(x)=(x-1)(5-x)\) to funkcja kwadratowa zapisana w postaci iloczynowej. Kluczowa własność: funkcja kwadratowa na przedziale DOMKNIĘTYM przyjmuje wartość największą i najmniejszą albo w wierzchołku paraboli, albo na końcach przedziału. Wystarczy więc porównać trzy liczby: \(f\) w wierzchołku (o ile wierzchołek należy do przedziału) oraz \(f\) na obu końcach. **Krok \(2\).** Ustalamy kierunek ramion. Wymnażamy: \[f(x)=(x-1)(5-x)=5x-x^2-5+x=-x^2+6x-5.\] Współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(-1\lt0\), więc ramiona paraboli są skierowane W DÓŁ. To znaczy, że w wierzchołku jest wartość NAJWIĘKSZA, a najmniejsza musi wypaść na końcu przedziału. **Krok \(3\).** Wyznaczamy wierzchołek. Najprościej z postaci iloczynowej: miejsca zerowe to \(1\) i \(5\), a wierzchołek leży dokładnie pośrodku: \[x_w=\frac{1+5}{2}=3\qquad(\text{lub ze wzoru } x_w=-\tfrac{b}{2a}=-\tfrac{6}{-2}=3).\] Wartość: \(f(3)=(3-1)(5-3)=2\cdot2=4\). **Krok \(4\).** Sprawdzamy, czy \(x_w=3\) należy do przedziału \(\langle0,7\rangle\). Tak, należy, więc największą wartością funkcji \(f\) w tym przedziale jest \(f(3)=4\). **Krok \(5\).** Obliczamy wartości na obu końcach: \[f(0)=(0-1)(5-0)=(-1)\cdot5=-5,\] \[f(7)=(7-1)(5-7)=6\cdot(-2)=-12.\] **Krok \(6\).** Porównujemy: \(-12\lt-5\), więc najmniejszą wartością jest \(f(7)=-12\). **Uwaga.** Pułapką jest odruch „skoro ramiona w dół, to najmniejszej wartości nie ma”. Na całej prostej rzeczywiście jej nie ma, ale na przedziale DOMKNIĘTYM już tak — jest przyjmowana na jednym z końców. Trzeba sprawdzić OBA końce, bo przedział \(\langle0,7\rangle\) nie jest symetryczny względem \(x_w=3\): punkt \(7\) leży dalej od wierzchołka niż \(0\), i to on daje mniejszą wartość. **Odpowiedź.** Największa wartość: \(f(3)=4\); najmniejsza wartość: \(f(7)=-12\).
Klucz i zasady oceniania
**2. (1 pkt)** – obliczenie wartości \(f(0)=-5\). **3. (1 pkt)** – obliczenie wartości \(f(7)=-12\). **4. (1 pkt)** – zapisanie odpowiedzi: Funkcja \(f\) w przedziale \(0;7\) osiąga największą wartość równą \(4\), zaś najmniejszą równą \((-12)\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Funkcja kwadratowa

Zadanie 8, maj 2002, poziom podstawowy

maj 2002podstawowy5 pkt
Funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^{2}+bx-3\), gdzie \(b>0\), posiada dwa różne miejsca zerowe, których iloczyn jest równy \(-3\). Wiedząc, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość równą \(-4\), wyznacz: a) współczynniki \(a\) i \(b\), b) miejsca zerowe funkcji \(f\).
Odpowiedź
a) \(a=1\), \(b=2\), czyli \(f(x)=x^{2}+2x-3\); b) \(x_{1}=-3\), \(x_{2}=1\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Ze wzorów Viety iloczyn miejsc zerowych jest równy \(x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{-3}{a}\). Z warunku \(x_{1}x_{2}=-3\) otrzymujemy \(\frac{-3}{a}=-3\), zatem \(a=1\). **Krok \(2\).** Ponieważ \(a=1\gt 0\), parabola ma ramiona skierowane do góry, więc funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą drugiej współrzędnej wierzchołka: \[q=-\frac{\Delta}{4a}=-4\quad\Longrightarrow\quad \Delta=16a=16.\] **Krok \(3\).** Obliczamy wyróżnik: \(\Delta=b^{2}-4a\cdot(-3)=b^{2}+12\). Stąd \(b^{2}+12=16\), czyli \(b^{2}=4\), a wobec warunku \(b\gt 0\) mamy \(b=2\). Ponadto \(\Delta=16\gt 0\), więc funkcja rzeczywiście ma dwa różne miejsca zerowe. **Krok \(4\).** Zatem \(f(x)=x^{2}+2x-3\) oraz \[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2\pm 4}{2},\] czyli \(x_{1}=-3\), \(x_{2}=1\). Sprawdzenie: \(x_{1}x_{2}=-3\), a wartość najmniejsza to \(f(-1)=-4\). **Odpowiedź.** \(a=1\), \(b=2\); miejsca zerowe: \(x_{1}=-3\), \(x_{2}=1\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **8.1. (1 pkt)** – zapisanie warunku pozwalającego wyznaczyć \(a\): \(-\frac{3}{a}=-3\) **8.2. (1 pkt)** – zapisanie warunku pozwalającego wyznaczyć \(b\): \(-\frac{\Delta}{4a}=-4\) **8.3. (1 pkt)** – wyznaczenie \(a\): \(a=1\) **8.4. (1 pkt)** – wyznaczenie \(b\): \(b=2\) **8.5. (1 pkt)** – obliczenie miejsc zerowych funkcji \(f\): \(x_{1}=-3,\; x_{2}=1\)
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Powiązane

Zadania, w których ten temat jest jednym z wątków

Pełna treść i rozwiązanie każdego z nich leżą w temacie, który dla tego zadania jest głównym. Tutaj są, bo ćwicząc funkcja kwadratowa, warto je zrobić.

czerwiec 20261 pkt

Zadanie 13.2, czerwiec 2026, poziom podstawowy

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(-3,7)\). Funkcja kwadratowa \(g\) jest…
maj 20265 pkt

Zadanie 10, maj 2026, poziom rozszerzony

Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru \(m\), gdzie \(m\neq0\), dla których funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \[f(x)=m^{2}x^{2}-2mx-m+1\] ma dwa różne…
maj 20265 pkt

Zadanie 13, maj 2026, poziom rozszerzony

Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru \(m\), gdzie \(m\neq0\), dla których funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \[f(x)=m^{2}x^{2}-2mx-m+1\] ma dwa różne…
czerwiec 20251 pkt

Zadanie 3, czerwiec 2025, poziom rozszerzony

Zbiorem wszystkich wartości \(m\), dla których równanie \(\lvert x^{2}-x\rvert=m\) z niewiadomą \(x\) ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste, jest **A.**…
maj 20256 pkt

Zadanie 11, maj 2025, poziom rozszerzony

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=(2-m)x^{2}-2(2m+1)x+m+8\] dla każdej liczby rzeczywistej \(x\), gdzie \(m\) jest liczbą rzeczywistą różną od \(2\). Wyznacz…
maj 20256 pkt

Zadanie 14, maj 2025, poziom rozszerzony

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=(2-m)x^{2}-2(2m+1)x+m+8\] dla każdej liczby rzeczywistej \(x\), gdzie \(m\) jest liczbą rzeczywistą różną od \(2\). Wyznacz…
sierpień 20251 pkt

Zadanie 12, sierpień 2025, poziom podstawowy

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac12x^{2}+bx+c\), gdzie \(b\) oraz \(c\) są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest…
sierpień 20251 pkt

Zadanie 14.3, sierpień 2025, poziom podstawowy

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac12x^2+bx+c\), gdzie \(b\) oraz \(c\) są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest…
maj 20241 pkt

Zadanie 14.3, maj 2024, poziom podstawowy

**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Dla funkcji \(f\), której wykres przedstawiono na rysunku, prawdziwa jest równość **A.** \(f(-4)=f(6)\)…
maj 20242 pkt

Zadanie 14.4, maj 2024, poziom podstawowy

Funkcje kwadratowe \(g\) oraz \(h\) są określone za pomocą funkcji \(f\) następująco: \[g(x)=f(x+3),\qquad h(x)=f(-x).\] **Uzupełnij tabelę. Każdej z funkcji \(g\) oraz…
sierpień 20241 pkt

Zadanie 13, sierpień 2024, poziom podstawowy

W układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((1,-2)\), a jej…
czerwiec 20221 pkt

Zadanie 8, czerwiec 2022, poziom podstawowy

**Informacja do zadań \(7\). i \(8\).** Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=2x^2+5x.\] **Zadanie \(8\).** Funkcja kwadratowa \(g\) jest określona wzorem…
maj 20216 pkt

Zadanie 14, maj 2021, poziom rozszerzony

Dane są parabola \(y=x^{2}\) oraz punkty \(A=(0{,}2)\) i \(B=(1{,}3)\). Rozpatrujemy trójkąty ABC, których wierzchołek C leży na paraboli, a m jest pierwszą współrzędną…
czerwiec 20176 pkt

Zadanie 13, czerwiec 2017, poziom rozszerzony

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[x^2-3mx+2m^2+1=0\] ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału \(( -\infty,3)\).
czerwiec 20156 pkt

Zadanie 15, czerwiec 2015, poziom rozszerzony

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=\frac{m^2+m-6}{m-5}x^2-(m-2)x+m-5\] dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wyznacz całkowite wartości parametru \(m\), dla…
sierpień 20151 pkt

Zadanie 13, sierpień 2015, poziom podstawowy

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(y=f(x)\) ma współrzędne \((2,2)\). Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(g(x)=f(x+2)\) ma…
sierpień 20104 pkt

Zadanie 5, sierpień 2010, poziom rozszerzony

Narysuj wykres funkcji \(f\) określonej wzorem \[ f(x)=x^2-4|x| \] i na jego podstawie wyznacz liczbę rozwiązań równania \(f(x)=m\) w zależności od wartości parametru…
maj 20095 pkt

Zadanie 4, maj 2009, poziom rozszerzony

W skarbcu królewskim było \(k\) monet. Pierwszego dnia rano skarbnik dorzucił \(25\) monet, a każdego następnego ranka dorzucał o \(2\) monety więcej niż dnia…
maj 20077 pkt

Zadanie 5, maj 2007, poziom rozszerzony

Wierzchołki trójkąta równobocznego \(ABC\) są punktami paraboli \[y=-x^2+6x.\] Punkt \(C\) jest jej wierzchołkiem, a bok \(AB\) jest równoległy do osi \(Ox\). Sporządź…
próbna czerwiec 20043 pkt

Zadanie 6, próbna czerwiec 2004, poziom podstawowy

Funkcja \(f\) przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej iloczyn tej liczby przez liczbę o \(3\) od niej mniejszą. a) Podaj wzór funkcji \(f\). b) Zbadaj, ile rozwiązań…
maj 20034 pkt

Zadanie 2, maj 2003, poziom podstawowy

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\). a) Podaj miejsca zerowe funkcji \(f\). b) Podaj rozwiązania nierówności \[f(x)\leqslant0.\] c) Podaj…

Przefiltruj po typie zadania

Optymalizacja (36)Zadania w kontekście praktycznym (33)Odczyt z wykresu, rysunku lub tabeli (29)Zadania z parametrem (5)Dowody i uzasadnienia (2)

Pozostałe tematy w dziale Funkcje

Własności funkcjiOdczytywanie własności z wykresuFunkcja liniowaFunkcja wymiernaFunkcja wykładnicza i logarytmicznaPrzekształcenia wykresów