Strona główna › Statystyka i prawdopodobieństwo › Schemat Bernoulliego

Schemat Bernoulliego

Q: Czy schemat Bernoulliego jest na maturze podstawowej?

Nie. To materiał zakresu rozszerzonego — w zakresie podstawowym wymagane jest prawdopodobieństwo klasyczne i schematu Bernoulliego tam nie ma. W podstawie nazwisko pada dwa razy: raz jako samo wymaganie (dział XII, zakres rozszerzony, punkt 2) i raz w części „Warunki i sposób realizacji”, gdzie schemat wskazano jako dobrą ilustrację tego, że rachunek prawdopodobieństwa nie ogranicza się do schematu klasycznego.

Q: Jak liczyć zadania z „co najmniej jednym sukcesem”?

Przez zdarzenie przeciwne, czyli ze wzoru 1 - q^n. Zdarzeniem przeciwnym do co najmniej jednego sukcesu są same porażki, a to jeden składnik zamiast sumy wielu — przy dużej liczbie prób oszczędza to całą pracę.

Schemat Bernoulliego odpowiada na jedno konkretne pytanie: jaka jest szansa na dokładnie $k$ sukcesów w $n$ powtórzeniach tego samego doświadczenia. Wzór jest krótki, ale ma warunki stosowania i to one decydują o poprawności rozwiązania — bo tam, gdzie warunki nie są spełnione, wzór daje liczbę, tylko nie tę, o którą pytano. Zaczynamy od nich, a nie od wzoru.

Dział: Statystyka i prawdopodobieństwoPoziom: liceum — zakres rozszerzony

1Trzy warunki, które trzeba sprawdzić przed wzorem

Zanim cokolwiek podstawisz, doświadczenie musi spełniać wszystkie trzy warunki naraz.

Ustalona liczba prób $n$ — z góry wiadomo, ile razy powtarzamy doświadczenie.
Dwa możliwe wyniki w każdej próbie: sukces albo porażka. Nazwy są umowne — „sukcesem” może być wypadnięcie wadliwej sztuki.
Stałe prawdopodobieństwo sukcesu $p$ i niezależność prób — wynik jednej próby nie zmienia szans w kolejnych.

Trzeci warunek jest tym, na którym najczęściej się przewracamy. Klasyczny przykład: losowanie kul z urny ze zwracaniem spełnia go, a bez zwracania — nie, bo po każdym losowaniu skład urny się zmienia.

Szybki test przed użyciem wzoru

Zapytaj: czy druga próba wygląda dokładnie tak samo jak pierwsza?

Jeśli tak — schemat wolno stosować. Jeśli po pierwszej próbie cokolwiek się zmieniło (mniej kul w urnie, zmęczony strzelec, wykorzystana karta) — nie wolno.

Ten test zajmuje sekundę i wyłapuje właściwie wszystkie sytuacje, w których wzór dałby złą odpowiedź.

Oznaczenia są stałe: $p$ to prawdopodobieństwo sukcesu, a $q = 1 - p$ — prawdopodobieństwo porażki. Suma zawsze wynosi $1$ , bo w pojedynczej próbie innych wyników nie ma.

2Wzór i skąd bierze się każdy jego czynnik

Prawdopodobieństwo dokładnie $k$ sukcesów w $n$ próbach wyraża się wzorem:

P_n(k) = \binom{n}{k} p^k q^{\,n-k}, \qquad q = 1 - p

Wzór ma trzy czynniki i każdy odpowiada za co innego:

czynnik	co opisuje
$p^k$	$k$ sukcesów, każdy o prawdopodobieństwie $p$ — mnożymy, bo próby są niezależne
$q^{\,n-k}$	pozostałe $n - k$ prób musi zakończyć się porażką
$\binom{n}{k}$	na ile sposobów te $k$ sukcesów może się rozłożyć w ciągu $n$ prób

Bez symbolu Newtona liczylibyśmy prawdopodobieństwo jednego konkretnego układu wyników — na przykład „sukces, sukces, porażka, porażka”. A pytanie dotyczy wszystkich układów, w których sukcesów jest $k$ , niezależnie od kolejności. Symbol Newtona jest więc licznikiem tych układów i wyjaśnienie działania tego symbolu znajdziesz w kombinatoryce.

Kontrola, która sprawdza cały rachunek naraz

Prawdopodobieństwa dla wszystkich możliwych $k$ — od $0$ do $n$ — muszą sumować się do $1$ .

Przy małych $n$ da się to policzyć w kilkadziesiąt sekund. Uwaga jednak na zasięg tej kontroli: jednej pomyłki nie wykryje — zamiany wykładników miejscami. Suma z $p^{\,n-k} q^{k}$ też daje $1$ , bo to po prostu $(q + p)^n$ . Tę pomyłkę wyłapuje dopiero sens liczbowy, o czym piszę przy trzecim błędzie.

Jeśli suma wychodzi inna niż $1$ , błąd jest w rachunku, a nie w interpretacji zadania.

3Zadania typu „co najmniej” i „co najwyżej”

Wzór podaje prawdopodobieństwo dokładnie $k$ sukcesów. Gdy pytanie brzmi inaczej, trzeba je najpierw rozłożyć na takie właśnie przypadki.

„co najmniej $k$ ” — sumujemy $P_n(k) + P_n(k+1) + \ldots + P_n(n)$ .
„co najwyżej $k$ ” — sumujemy $P_n(0) + P_n(1) + \ldots + P_n(k)$ .
„co najmniej jeden” — prawie zawsze szybciej przez zdarzenie przeciwne: $1 - P_n(0)$ .

Ostatni przypadek warto zapamiętać osobno, bo pojawia się częściej niż wszystkie pozostałe razem. Zdarzeniem przeciwnym do „co najmniej jeden sukces” jest „ani jednego sukcesu”, czyli same porażki — a to jeden składnik zamiast wielu.

P(\text{co najmniej jeden sukces}) = 1 - q^{\,n}

Zasada wyboru drogi jest prosta: licz to, co ma mniej składników. Przy $n = 10$ i pytaniu „co najmniej jeden” różnica to jeden składnik zamiast dziesięciu.

4Co mówi podstawa programowa

Schemat Bernoulliego należy do zakresu rozszerzonego — w podstawowym go nie ma.

Podstawa, dział XII (Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka), zakres rozszerzony, punkt 2

„stosuje schemat Bernoullego” — całe wymaganie brzmi dokładnie tak, w trzech słowach.

W części „Warunki i sposób realizacji” dokument dodaje: „W zakresie rozszerzonym jest ważne uświadomienie uczniom, że rachunek prawdopodobieństwa nie ogranicza się jedynie do schematu klasycznego i używanej tam kombinatoryki. Dobrą ilustracją są przykłady zastosowania schematu Bernoullego dla dużej liczby prób”.

Uwaga na zapis: podstawa pisze Bernoullego, choć w podręcznikach spotyka się też formę Bernoulliego. Chodzi o to samo.

Zdanie o „dużej liczbie prób” jest tu istotną wskazówką. Schemat pokazuje swoją siłę tam, gdzie prawdopodobieństwo klasyczne już nie wystarcza — przy $20$ rzutach wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych jest niewykonalne, a wzór Bernoulliego działa tak samo szybko jak przy trzech.

Praktycznie oznacza to, że w zadaniu maturalnym z tego działu liczby prób bywają duże i nie należy się tym przejmować: rachunek nie robi się od tego trudniejszy, rosną tylko wykładniki.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: dokładnie k sukcesów w postaci dokładnej, wersja z prawdopodobieństwem dziesiętnym, „co najmniej jeden” przez zdarzenie przeciwne i „co najwyżej jeden” przez sumę.

Przykład 1 Dokładnie dwie szóstki

Kostką sześcienną rzucamy $5$ razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że dokładnie dwa razy wypadnie szóstka.

Sprawdzam warunki: liczba prób $n = \textcolor{#16A06A}{5}$ jest ustalona, wyniki dzielą się na sukces (szóstka) i porażkę, a rzuty są niezależne ✓
$p = \textcolor{#16A06A}{\frac16}$ , więc $q = 1 - \frac16 = \frac56$ , oraz $k = \textcolor{#16A06A}{2}$ .
$P_5(2) = \binom{5}{2} \left(\frac16\right)^2 \left(\frac56\right)^3$ .
$\binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ .
$\left(\frac16\right)^2 = \frac{1}{36}$ , $\left(\frac56\right)^3 = \frac{125}{216}$ .
$P_5(2) = 10 \cdot \frac{125}{7776} = \frac{1250}{7776} = \textcolor{#E0453A}{\frac{625}{3888}}$ .
Kontrola wykładników: $2 + 3 = 5$ — tyle, ile jest prób ✓
Kontrola rzędu wielkości: wynik jest mniejszy od $\frac12$ , co zgadza się z tym, że szóstka jest wynikiem rzadkim ✓

Odpowiedź: $P_5(2) = \frac{625}{3888}$

Wynik zostawiam ułamkiem zwykłym — to postać dokładna, a polecenie nie każe zaokrąglać. Zwróć uwagę, że mianownik $7776$ to po prostu $6^5$ , czyli liczba wszystkich możliwych ciągów wyników.

Przykład 2 Trzy trafienia na cztery strzały

Strzelec trafia w tarczę z prawdopodobieństwem $0{,}7$ i oddaje $4$ niezależne strzały. Oblicz prawdopodobieństwo, że trafi dokładnie trzy razy.

$n = \textcolor{#16A06A}{4}$ , $k = \textcolor{#16A06A}{3}$ , $p = \textcolor{#16A06A}{0{,}7}$ , więc $q = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$ .
$P_4(3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3^1$ .
$\binom{4}{3} = 4$ — bo jeden chybiony strzał może być pierwszy, drugi, trzeci albo czwarty.
$0{,}7^3 = 0{,}343$ .
$P_4(3) = 4 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3 = \textcolor{#E0453A}{0{,}4116}$ .
Kontrola wykładników: $3 + 1 = 4$ ✓
Kontrola sensu: to najbardziej prawdopodobna liczba trafień przy $p = 0{,}7$ , a mimo to wypada rzadziej niż raz na dwa razy ✓

Odpowiedź: $P_4(3) = 0{,}4116$

Tutaj symbol Newtona ma szczególnie czytelne znaczenie: liczy, na ile sposobów można wybrać, który strzał był chybiony. Bez niego wynik byłby czterokrotnie za mały.

Przykład 3 Co najmniej jeden sukces

Prawdopodobieństwo, że pojedyncze losowanie zakończy się wygraną, wynosi $0{,}2$ . Losujemy $4$ razy niezależnie. Oblicz prawdopodobieństwo co najmniej jednej wygranej.

„Co najmniej jedna” to suma czterech przypadków — ale zdarzenie przeciwne to jeden przypadek: żadnej wygranej.
$q = 1 - \textcolor{#16A06A}{0{,}2} = 0{,}8$ .
$P_4(0) = \binom{4}{0} \cdot 0{,}2^0 \cdot 0{,}8^4 = 0{,}8^4$ .
$0{,}8^4 = 0{,}4096$ .
$P(\text{co najmniej jedna}) = 1 - 0{,}4096 = \textcolor{#E0453A}{0{,}5904}$ .
Kontrola sensu: cztery próby po $0{,}2$ dają szansę wyraźnie większą niż $\frac12$ , ale zdecydowanie mniejszą niż $4 \cdot 0{,}2 = 0{,}8$ ✓
Kontrola granicy: gdyby prób było znacznie więcej, wynik zbliżałby się do $1$ , ale nigdy go nie osiągnie ✓

Odpowiedź: $P = 0{,}5904$

Porównanie z liczbą $0{,}8$ pokazuje, dlaczego nie wolno mnożyć prawdopodobieństwa przez liczbę prób. Przy dziesięciu próbach taki „wzór” dałby $2$ , czyli liczbę, która prawdopodobieństwem być nie może.

Przykład 4 Co najwyżej jedna sztuka wadliwa

W produkcji $10\%$ sztuk jest wadliwych. Z partii pobrano niezależnie $5$ sztuk. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najwyżej jedna z nich jest wadliwa.

Sukcesem nazywam tu wylosowanie sztuki wadliwej, więc $p = \textcolor{#16A06A}{0{,}1}$ i $q = 0{,}9$ , a $n = \textcolor{#16A06A}{5}$ .
„Co najwyżej jedna” to dwa przypadki: żadnej albo dokładnie jedna. Sumuję je.
$P_5(0) = 0{,}9^5 = 0{,}59049$ .
$P_5(1) = \binom{5}{1} \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^4 = 5 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}6561 = 0{,}32805$ .
Suma: $0{,}59049 + 0{,}32805 = \textcolor{#E0453A}{0{,}91854}$ .
Kontrola: obie liczby są dodatnie i ich suma nie przekracza $1$ ✓
Kontrola drugą drogą: zdarzenie przeciwne to „co najmniej dwie wadliwe”, więc jego prawdopodobieństwo musi wynosić $1 - 0{,}91854 = 0{,}08146$ ✓

Odpowiedź: $P = 0{,}91854$

Zwróć uwagę na sformułowanie „sukcesem nazywam sztukę wadliwą”. Nazwa nie ma nic wspólnego z ocenianiem sytuacji — to po prostu wynik, który zliczamy.

6Najczęstsze błędy

Pierwszy błąd unieważnia całe rozwiązanie, cztery kolejne psują sam rachunek.

Stosowanie schematu przy losowaniu bez zwracania.

Skąd się bierze: Zadanie wygląda identycznie — powtarzane losowania i pytanie o liczbę sukcesów.

Jak zrobić dobrze: Bez zwracania prawdopodobieństwo sukcesu zmienia się po każdym losowaniu, więc warunek stałego $p$ nie jest spełniony. Takie zadanie liczy się klasycznie albo drzewkiem.

Pominięcie symbolu Newtona.

Skąd się bierze: Iloczyn $p^k q^{n-k}$ wygląda na kompletną odpowiedź.

Jak zrobić dobrze: Bez niego liczysz jeden konkretny układ wyników zamiast wszystkich. W drugim przykładzie dałoby to wynik czterokrotnie za mały.

Zamiana wykładników miejscami: $\textcolor{#9b1c14}{p^{\,n-k} q^{k}}$ .

Skąd się bierze: Wzór jest symetryczny wizualnie, a litery $k$ i $n-k$ łatwo pomylić.

Jak zrobić dobrze: Przy $p$ stoi wykładnik $k$ — tyle, ile sukcesów. Kontrola: suma obu wykładników musi dać $n$ , ale to nie odróżnia dobrej kolejności od złej, więc sprawdź sens liczbowy.

Przyjęcie $\textcolor{#9b1c14}{q = p}$ albo obliczenie $q$ z innej liczby niż $1 - p$ .

Skąd się bierze: Pośpiech przy przepisywaniu danych.

Jak zrobić dobrze: Zawsze $q = 1 - p$ . Przy $p = 0{,}7$ mamy $q = 0{,}3$ — i te dwie liczby muszą sumować się do jedności.

Liczenie „co najmniej jednego sukcesu” jako $\textcolor{#9b1c14}{n \cdot p}$ .

Skąd się bierze: Intuicja podpowiada, że szansa rośnie proporcjonalnie do liczby prób.

Jak zrobić dobrze: Poprawnie: $1 - q^n$ . Iloczyn $n \cdot p$ potrafi przekroczyć $1$ — przy dziesięciu próbach po $0{,}2$ dałby $2$ , co jest niemożliwe.

7Pytania i odpowiedzi

Kiedy wolno stosować schemat Bernoulliego?

Gdy liczba prób jest z góry ustalona, każda próba ma dwa wyniki, prawdopodobieństwo sukcesu jest stałe, a próby są niezależne. Wszystkie te warunki muszą być spełnione naraz — najczęściej zawodzi niezależność, bo losowanie bez zwracania zmienia szanse w kolejnych próbach.

Czy schemat Bernoulliego jest na maturze podstawowej?

Nie. To materiał zakresu rozszerzonego — w zakresie podstawowym wymagane jest prawdopodobieństwo klasyczne i schematu Bernoulliego tam nie ma. W podstawie nazwisko pada dwa razy: raz jako samo wymaganie (dział XII, zakres rozszerzony, punkt 2) i raz w części „Warunki i sposób realizacji”, gdzie schemat wskazano jako dobrą ilustrację tego, że rachunek prawdopodobieństwa nie ogranicza się do schematu klasycznego.

Po co we wzorze jest symbol Newtona?

Liczy, na ile sposobów sukcesy mogą się rozłożyć w ciągu prób. Sam iloczyn potęg opisuje jeden konkretny układ wyników, a pytanie dotyczy wszystkich układów o tej samej liczbie sukcesów, niezależnie od kolejności.

Jak liczyć zadania z „co najmniej jednym sukcesem”?

Przez zdarzenie przeciwne, czyli ze wzoru $1 - q^n$ . Zdarzeniem przeciwnym do co najmniej jednego sukcesu są same porażki, a to jeden składnik zamiast sumy wielu — przy dużej liczbie prób oszczędza to całą pracę.

Czy losowanie kul bez zwracania to schemat Bernoulliego?

Nie, bo po każdym losowaniu skład urny się zmienia i prawdopodobieństwo sukcesu w kolejnej próbie jest inne. Schemat wymaga stałego prawdopodobieństwa, czyli losowania ze zwracaniem albo doświadczeń niezależnych z natury.

Czytaj dalej

Prawdopodobieństwo klasyczneModel z zakresu podstawowego, którego schemat Bernoulliego jest rozszerzeniem na wiele powtórzeń.KombinatorykaSymbol Newtona i zliczanie układów — narzędzie, z którego korzysta pierwszy czynnik wzoru.Reguła mnożeniaUzasadnienie, dlaczego prawdopodobieństwa niezależnych prób wolno przez siebie mnożyć.Rachunek prawdopodobieństwaPodstawy działu: zdarzenia, zdarzenie przeciwne i skąd się bierze przedział od zera do jedności.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.