Strona główna › Geometria › Czworokąt opisany na okręgu

Czworokąt opisany na okręgu

Warunek jest zaskakująco prosty i dotyczy tylko długości boków — o kątach nie mówi nic. Czworokąt można opisać na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych boków są równe. Kto to zna, rozstrzyga zadanie jednym dodawaniem; kto nie, szuka konstrukcji, której zwykle nie da się wykonać. Warto od razu zauważyć kontrast: przy czworokącie wpisanym decydują kąty, tutaj boki.

Dział: GeometriaPoziom: liceum — zakres rozszerzony

1Warunek: sumy przeciwległych boków

To jest w podstawie programowej

Podstawa dla liceum, dział VIII. Planimetria, zakres rozszerzony, punkt 1 brzmi dosłownie: „stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu”.

Punkt wymienia więc dwa przypadki. O czworokącie wpisanym — tym, którego wierzchołki leżą na okręgu — piszę osobno. Ta strona zajmuje się drugim.

Nazwa twierdzenie Pitota nie pada w podstawie; używam jej, bo tak to twierdzenie nazywa się w literaturze i warto znać nazwę, gdy trafi się na nią w zbiorze zadań. Podstawa nazywa je opisowo: „Twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu”.

I to jest ważniejsze niż nazwa: podstawa wymaga nie tylko stosowania tego twierdzenia, ale i znajomości jego DOWODU. W części „Warunki i sposób realizacji” stoi zdanie „Uczeń powinien poznać dowody następujących twierdzeń”, a dalej lista dla zakresu rozszerzonego. Nasze twierdzenie jest na niej punktem 9: *„Twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu. W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy $|AB| + |CD| = |AD| + |BC|$ ”*. Punkt 8 tej samej listy to twierdzenie o czworokącie wpisanym — czyli oba tematy mają wymagane dowody.

Dlatego dowód z odcinków stycznych, który podaję niżej, nie jest dodatkiem dla ciekawych — jest tym, czego dokument oczekuje. Zwróć też uwagę na słowo „wypukły”: podstawa zapisuje je wprost w treści twierdzenia i ja też trzymam się tego założenia.

Czworokąt opisany na okręgu to taki, którego wszystkie cztery boki są styczne do jednego okręgu. Okrąg leży w środku i dotyka każdego boku dokładnie raz — mówi się też, że jest w ten czworokąt wpisany.

Uwaga na nazwy — łatwo je odwrócić

Czworokąt opisany na okręgu = okrąg wpisany w czworokąt. Okrąg jest w środku, dotyka boków.

Czworokąt wpisany w okrąg = okrąg opisany na czworokącie. Okrąg jest na zewnątrz, przechodzi przez wierzchołki.

Skrót pamięciowy: opisujemy to, co jest na zewnątrz. Jeśli w zadaniu okrąg dotyka boków — czworokąt jest opisany. Jeśli przechodzi przez wierzchołki — jest wpisany.

Twierdzenie Pitota

W czworokącie wypukłym o kolejnych bokach $a$ , $b$ , $c$ , $d$ okrąg da się wpisać wtedy i tylko wtedy, gdy $a + c = b + d$ .

Po lewej stronie stoi suma jednej pary boków przeciwległych, po prawej — drugiej.

Zwróć uwagę na „wtedy i tylko wtedy”: warunek nie tylko wynika z istnienia okręgu, ale też je gwarantuje. Dlatego wolno go używać w obie strony — do sprawdzania i do wyznaczania brakującego boku.

Skąd to się bierze? Z jednej własności stycznych, którą warto zapamiętać osobno: dwa odcinki stycznych poprowadzone z tego samego punktu do okręgu są równe.

Oznaczmy odcinki styczne wychodzące z czterech wierzchołków przez $x$ , $y$ , $z$ , $w$ . Każdy bok składa się wtedy z dwóch takich odcinków — po jednym z każdego końca:

a = x + y, \quad b = y + z, \quad c = z + w, \quad d = w + x

Wystarczy dodać stronami dwie pary:

a + c = (x+y) + (z+w) = \textcolor{#E0453A}{x+y+z+w}, \qquad b + d = (y+z) + (w+x) = \textcolor{#E0453A}{x+y+z+w}

Obie sumy to te same cztery odcinki, tylko pogrupowane inaczej. Stąd $a+c = b+d$ — i to jest cały dowód w jedną stronę.

2Które czworokąty spełniają warunek zawsze

Skoro warunek dotyczy wyłącznie boków, da się z góry rozstrzygnąć całe rodziny figur. Wystarczy podstawić ich boki do $a+c = b+d$ .

czworokąt	boki po kolei	warunek	czy zawsze
kwadrat	$a,\,a,\,a,\,a$	$2a = 2a$	tak
romb	$a,\,a,\,a,\,a$	$2a = 2a$	tak
deltoid	$a,\,a,\,b,\,b$	$a+b = a+b$	tak
prostokąt	$a,\,b,\,a,\,b$	$2a = 2b$	tylko gdy $a=b$ , czyli kwadrat
równoległobok	$a,\,b,\,a,\,b$	$2a = 2b$	tylko romb
trapez	$a,\,c,\,b,\,d$	$a+b = c+d$	gdy suma podstaw równa sumie ramion

Deltoid jest najciekawszy — mimo że wygląda nieregularnie, warunek spełnia zawsze, bo jego boki tworzą dwie pary sąsiednich równych. Podstawienie $a,a,b,b$ daje po obu stronach to samo, niezależnie od proporcji.

Prostokąt jest odwrotnym zaskoczeniem. Figura bardzo regularna, a jednak okrąg da się w nią wpisać dopiero, gdy jest kwadratem. Widać tu wyraźnie, że o rzecz chodzi w bokach, nie w kątach — bo kąty prostokąta są idealne.

Porównanie z czworokątem wpisanym — warto zestawić

Opisany na okręgu — decydują boki: $a+c = b+d$ . Spełniają zawsze: romb, kwadrat, deltoid.

Wpisany w okrąg — decydują kąty: przeciwległe sumują się do $180°$ . Spełniają zawsze: prostokąt, kwadrat, trapez równoramienny.

Kwadrat jest jedyną figurą z obu list — i to nie przypadek, bo ma naraz wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste.

Zestawienie warto zapamiętać w tej postaci: prostokąt wpisuje się, romb opisuje się, kwadrat robi jedno i drugie.

3Pole i promień — jeden wzór jak w trójkącie

Gdy okrąg wpisany istnieje, pole czworokąta liczy się tym samym wzorem co pole trójkąta z okręgiem wpisanym.

P = r \cdot p, \qquad \text{gdzie } p = \frac{a+b+c+d}{2}

Litera $p$ oznacza połowę obwodu, a $r$ — promień okręgu wpisanego. Wzór odwrócony daje promień: $r = \frac{P}{p}$ .

Uzasadnienie jest tym samym rysunkiem co przy trójkącie. Połącz środek okręgu z czterema wierzchołkami — czworokąt rozpadnie się na cztery trójkąty, a każdy ma za podstawę jeden bok i za wysokość ten sam promień $r$ :

P = \frac{ar}{2} + \frac{br}{2} + \frac{cr}{2} + \frac{dr}{2} = r \cdot \frac{a+b+c+d}{2} = r \cdot \textcolor{#E0453A}{p}

Wysokością każdego z tych trójkątów jest odległość środka od boku — a skoro bok jest styczny, ta odległość równa się dokładnie promieniowi. To ta sama obserwacja, która działa w trójkącie; liczba boków niczego w niej nie zmienia.

Trapez opisany na okręgu — użyteczny wniosek

W trapezie opisanym na okręgu wysokość równa się średnicy, czyli $h = 2r$ .

Powód: okrąg dotyka obu podstaw, które są równoległe, więc odległość między nimi to dwa promienie.

To daje darmową kontrolę w zadaniach: policz $r$ ze wzoru $r = \frac{P}{p}$ , a potem sprawdź, czy $h = 2r$ . Jeśli nie wychodzi, gdzieś jest błąd.

4Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: sprawdzenie warunku, wyznaczenie brakującego boku i pełne zadanie z trapezem.

Przykład 1 Czy da się wpisać okrąg

Rozstrzygnij, w który z czworokątów da się wpisać okrąg: $A$ o bokach kolejno $\textcolor{#16A06A}{5}$ , $\textcolor{#16A06A}{7}$ , $\textcolor{#16A06A}{9}$ , $\textcolor{#16A06A}{3}$ , czy $B$ o bokach $\textcolor{#16A06A}{4}$ , $\textcolor{#16A06A}{6}$ , $\textcolor{#16A06A}{8}$ , $\textcolor{#16A06A}{6}$ .

Czworokąt $A$ . Sumuję boki przeciwległe, czyli pierwszy z trzecim i drugi z czwartym.
$a + c = \textcolor{#16A06A}{5} + \textcolor{#16A06A}{9} = \textcolor{#E0453A}{14}$ , a $b + d = \textcolor{#16A06A}{7} + \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#2F80D8}{10}$ .
Sumy są różne ( $\textcolor{#E0453A}{14} \neq \textcolor{#2F80D8}{10}$ ), więc okręgu wpisać się nie da.
Czworokąt $B$ . $a + c = \textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#16A06A}{8} = \textcolor{#8B5CF6}{12}$ , a $b + d = \textcolor{#16A06A}{6} + \textcolor{#16A06A}{6} = \textcolor{#8B5CF6}{12}$ .
Sumy są równe, więc okrąg wpisać można.
Kontrola niezależna od powyższego rachunku — przez obwód. Obie sumy przeciwległe składają się razem na cały obwód, więc jeśli warunek zachodzi, każda z nich musi być dokładnie połową obwodu. Dla $B$ : obwód $= 4+6+8+6 = 24$ , połowa $= \textcolor{#8B5CF6}{12}$ — i tyle właśnie wyszło obu sumom ✓. Dla $A$ : obwód $= 5+7+9+3 = 24$ , połowa $= 12$ , a sumy wyszły $\textcolor{#E0453A}{14}$ i $\textcolor{#2F80D8}{10}$ — żadna nie trafiła w połowę, co potwierdza odpowiedź przeczącą ✓

Odpowiedź: W czworokąt $A$ nie da się wpisać okręgu; w czworokąt $B$ — da się.

Zwróć uwagę, że o niczym nie decydowały kąty ani rysunek — wystarczyły dwa dodawania. To najkrótszy typ zadania w całej planimetrii i warto rozpoznawać go po samym pytaniu „czy da się wpisać okrąg”.

Przykład 2 Brakujący bok

W czworokąt o kolejnych bokach $\textcolor{#16A06A}{8}$ , $\textcolor{#16A06A}{5}$ , $\textcolor{#16A06A}{6}$ i $d$ da się wpisać okrąg. Oblicz $d$ .

Skoro okrąg istnieje, warunek $a + c = b + d$ musi być spełniony — używam go w drugą stronę, jako równania.
Podstawiam: $\textcolor{#16A06A}{8} + \textcolor{#16A06A}{6} = \textcolor{#16A06A}{5} + d$ .
Lewa strona daje $\textcolor{#E0453A}{14}$ , więc $\textcolor{#E0453A}{14} = \textcolor{#16A06A}{5} + d$ .
Stąd $d = \textcolor{#E0453A}{14} - \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#2F80D8}{9}$ .
Sprawdzenie: $\textcolor{#16A06A}{8} + \textcolor{#16A06A}{6} = 14$ oraz $\textcolor{#16A06A}{5} + \textcolor{#2F80D8}{9} = 14$ ✓
Kontrola sensu: obwód wynosi $8+5+6+9 = \textcolor{#8B5CF6}{28}$ , czyli dwa razy $14$ — i tak być musi, bo obie sumy przeciwległe są równe, a razem dają cały obwód ✓

Odpowiedź: $d = 9$ .

Ostatnia kontrola jest warta zapamiętania jako osobna własność: w czworokącie opisanym obwód równa się podwojonej sumie pary boków przeciwległych. Daje to sprawdzenie w jednym rzucie oka, bez powtarzania rachunku.

Przykład 3 Trapez opisany na okręgu

W trapez równoramienny o podstawach $\textcolor{#16A06A}{10}$ i $\textcolor{#16A06A}{4}$ wpisano okrąg. Oblicz długość ramienia, pole trapezu i promień okręgu.

Ramię. W trapezie boki idą po kolei: podstawa, ramię, podstawa, ramię — więc warunek $a+c = b+d$ znaczy tu suma podstaw = suma ramion.
Ramiona są równe, oznaczam je przez $c$ : $\textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#16A06A}{4} = c + c$ , czyli $2c = \textcolor{#E0453A}{14}$ , stąd $c = \textcolor{#2F80D8}{7}$ .
Wysokość. Rzutuję ramię na dłuższą podstawę. Odcinek wystający ma długość $\frac{\textcolor{#16A06A}{10}-\textcolor{#16A06A}{4}}{2} = \textcolor{#E0453A}{3}$ .
Z twierdzenia Pitagorasa: $h^2 = \textcolor{#2F80D8}{7}^2 - \textcolor{#E0453A}{3}^2 = 49 - 9 = 40$ , więc $h = \textcolor{#8B5CF6}{2\sqrt{10}}$ .
Pole. $P = \frac{\textcolor{#16A06A}{10}+\textcolor{#16A06A}{4}}{2} \cdot \textcolor{#8B5CF6}{2\sqrt{10}} = 7 \cdot 2\sqrt{10} = \textcolor{#E0453A}{14\sqrt{10}}$ .
Promień. Połowa obwodu: $p = \frac{\textcolor{#16A06A}{10}+\textcolor{#2F80D8}{7}+\textcolor{#16A06A}{4}+\textcolor{#2F80D8}{7}}{2} = \frac{28}{2} = \textcolor{#2F80D8}{14}$ .
Zatem $r = \frac{P}{p} = \frac{\textcolor{#E0453A}{14\sqrt{10}}}{\textcolor{#2F80D8}{14}} = \textcolor{#8B5CF6}{\sqrt{10}}$ .
Kontrola niezależna: w trapezie opisanym wysokość równa się średnicy, czyli $h$ powinno wynosić $2r$ . Sprawdzam: $2 \cdot \textcolor{#8B5CF6}{\sqrt{10}} = \textcolor{#8B5CF6}{2\sqrt{10}}$ — dokładnie tyle, ile wyszła wysokość ✓

Odpowiedź: Ramię $7$ , pole $14\sqrt{10}$ , promień $\sqrt{10}$ .

Wyniki zostają w postaci dokładnej, z pierwiastkiem — $14\sqrt{10}$ i $\sqrt{10}$ to pełnoprawne odpowiedzi. Najcenniejsza jest tu ostatnia kontrola: policzyłem $h$ z Pitagorasa, a $r$ ze wzoru na pole, czyli dwiema niezależnymi drogami, i zależność $h = 2r$ je połączyła.

5Najczęstsze błędy

Cztery błędy. Pierwszy bierze się z nazw, pozostałe z przenoszenia własności między dwoma rodzajami czworokątów.

Odwrócenie nazw: „opisany” zamiast „wpisany”

Skąd się bierze: Czworokąt opisany na okręgu ma okrąg w środku, a czworokąt wpisany w okrąg leży wewnątrz okręgu. Nazwy są lustrzane i łatwo je zamienić, a wtedy stosuje się zupełnie inny warunek — o kątach zamiast o bokach — i zadanie rozjeżdża się od pierwszego kroku.

Jak zrobić dobrze: Nie czytaj nazwy, tylko popatrz, czego okrąg dotyka. Dotyka boków — czworokąt jest opisany, warunek dotyczy boków. Przechodzi przez wierzchołki — czworokąt jest wpisany, warunek dotyczy kątów. Rysunek rozstrzyga szybciej niż nazwa.

Dodawanie boków sąsiednich zamiast przeciwległych

Skąd się bierze: Warunek $a+c = b+d$ zestawia bok pierwszy z trzecim i drugi z czwartym. Przy pobieżnym czytaniu dodaje się sąsiednie, czyli $a+b$ i $c+d$ — a to zupełnie inne liczby. Dla boków $4$ , $6$ , $8$ , $6$ poprawnie wychodzi $12 = 12$ , a błędnie $10$ i $14$ , więc poprawna figura zostaje odrzucona.

Jak zrobić dobrze: Wypisz boki po kolei i połącz je łukiem przez jeden: pierwszy z trzecim, drugi z czwartym. Kontrola: obie sumy razem muszą dać cały obwód, więc każda z nich to dokładnie jego połowa.

Przyjęcie, że prostokąt zawsze da się opisać na okręgu

Skąd się bierze: Prostokąt jest bardzo regularny i spełnia warunek dla czworokąta wpisanego (przeciwległe kąty po $90°$ dają $180°$ ). Stąd odruch, że spełnia też ten drugi. Tymczasem jego boki to $a, b, a, b$ , więc warunek $2a = 2b$ zachodzi tylko dla kwadratu.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj podział ról: prostokąt się wpisuje, romb się opisuje, kwadrat robi jedno i drugie. Zawsze podstawiaj boki do warunku, zamiast wnioskować z regularności figury — bo regularność kątów nie mówi nic o bokach.

Liczenie promienia ze wzoru dla trójkąta z niewłaściwym $p$

Skąd się bierze: Wzór $r = \frac{P}{p}$ wygląda tak samo jak przy trójkącie, więc bywa stosowany z połową obwodu trójkąta albo z całym obwodem czworokąta. Wstawienie całego obwodu daje wynik dokładnie dwa razy za mały i nic w rachunku tego nie sygnalizuje.

Jak zrobić dobrze: Zapisz $p = \frac{a+b+c+d}{2}$ jako osobny krok, zanim podstawisz. W trapezie masz dodatkową kontrolę: wysokość musi wyjść równa $2r$ . Jeśli wychodzi równa $r$ albo $4r$ , pomyliłeś się właśnie tutaj.

6Pytania i odpowiedzi

Kiedy w czworokąt można wpisać okrąg?

Dokładnie wtedy, gdy sumy jego przeciwległych boków są równe, czyli gdy pierwszy bok dodany do trzeciego daje tyle samo, co drugi dodany do czwartego. Warunek nazywa się twierdzeniem Pitota i działa w obie strony, więc służy zarówno do sprawdzania, jak i do wyznaczania brakującego boku. O kątach nie mówi nic.

Czym różni się czworokąt opisany od wpisanego?

Czworokąt opisany na okręgu ma okrąg w środku, styczny do wszystkich czterech boków, a czworokąt wpisany w okrąg ma wszystkie wierzchołki na okręgu. W pierwszym przypadku o możliwości decydują długości boków, a w drugim miary kątów. Najprościej rozstrzygnąć to na rysunku, patrząc, czy okrąg dotyka boków, czy przechodzi przez wierzchołki.

Dlaczego sumy przeciwległych boków muszą być równe?

Bo dwa odcinki styczne poprowadzone z jednego punktu do okręgu mają równą długość. Każdy bok czworokąta składa się wtedy z dwóch takich odcinków, po jednym z każdego wierzchołka. Sumując boki przeciwległe, po obu stronach otrzymujemy te same cztery odcinki, tylko inaczej pogrupowane.

W które czworokąty zawsze da się wpisać okrąg?

W każdy romb, każdy kwadrat i każdy deltoid, bo ich boki układają się w pary o równych długościach i warunek spełnia się automatycznie. Prostokąt i równoległobok tylko wtedy, gdy są kwadratem lub rombem. Trapez wtedy, gdy suma jego podstaw równa się sumie ramion.

Jak obliczyć pole czworokąta opisanego na okręgu?

Mnożąc promień okręgu wpisanego przez połowę obwodu czworokąta. Wzór jest identyczny jak dla trójkąta, bo uzasadnia go ten sam rysunek: łącząc środek okręgu z wierzchołkami, dzielimy figurę na trójkąty o wspólnej wysokości równej promieniowi. Z tego samego wzoru wyznacza się promień, dzieląc pole przez połowę obwodu.

Ile wynosi wysokość trapezu opisanego na okręgu?

Dokładnie tyle, ile średnica okręgu, czyli dwa promienie. Wynika to stąd, że okrąg jest styczny do obu podstaw, a podstawy są równoległe, więc odległość między nimi mieści dokładnie jeden okrąg. Zależność ta świetnie nadaje się na kontrolę wyniku w zadaniach.

Czytaj dalej

Czworokąt wpisany w okrągDruga połowa tego samego punktu podstawy — tam decydują kąty Okrąg wpisany w trójkątTen sam wzór na pole i ten sam rysunek uzasadniający TrapezFigura, w której warunek daje najwięcej zadań RombSpełnia warunek zawsze, niezależnie od kątów DeltoidNieregularny, a jednak zawsze da się w niego wpisać okrąg

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.