Strona główna › Wyrażenia algebraiczne › Schemat Hornera

Schemat Hornera

Dzielenie wielomianu przez dwumian $x-a$ da się wykonać w jednym wierszu tabelki, wykonując na każdym kroku jedno mnożenie i jedno dodawanie. Tak działa schemat Hornera. Nie jest to inna metoda — to zapis skrócony tego samego dzielenia, w którym pomija się wszystko, co i tak byłoby przepisywane.

Dział: Wyrażenia algebraicznePoziom: liceum — zakres rozszerzony

1Tabelka zamiast dzielenia pisemnego

⚠️ Wąski zakres — sprawdzone u źródła

Schemat Hornera nie występuje w podstawie programowej wśród wymagań rachunkowych. Pojawia się wyłącznie w sekcji „Twierdzenia, dowody” dla zakresu rozszerzonego, jako przykład rozumowania, a nie technika do opanowania — przy twierdzeniu o dzieleniu z resztą wielomianu przez dwumian $x-a$ „wraz ze wzorami rekurencyjnymi na współczynniki ilorazu i resztę”, z uwagą, że dowód można przeprowadzić w szczególnym przypadku.

Uwaga na nazwę: dokument mówi o algorytmie Hornera, a nie o „schemacie”. W podręcznikach i na lekcjach przyjęła się druga nazwa i to ona jest w tytule tej strony — ale kto szuka w podstawie hasła „schemat Hornera”, nie znajdzie go ani razu.

Samo dzielenie wielomianu przez dwumian $x-a$ jest natomiast wymagane (dział II. Wyrażenia algebraiczne, zakres rozszerzony) — tylko bez wskazywania metody.

Wniosek praktyczny: schemat Hornera jest dozwolonym skrótem, nie obowiązkiem. Kto woli dzielenie pisemne, nie traci punktów. Kto zna schemat, oszczędza czas.

Jak zbudować tabelkę. W górnym wierszu wypisuje się wszystkie współczynniki wielomianu, łącznie z zerami przy brakujących potęgach. Z boku stawia się liczbę $a$ z dzielnika $x-a$ .

Podzielmy $2x^3 - 6x^2 + 2x - 1$ przez $x - 3$ . Współczynniki to $\textcolor{#16A06A}{2}$ , $\textcolor{#16A06A}{-6}$ , $\textcolor{#16A06A}{2}$ , $\textcolor{#16A06A}{-1}$ , a $a = \textcolor{#E0453A}{3}$ .

$a = 3$	$2$	$-6$	$2$	$-1$
wynik	$\textcolor{#16A06A}{2}$	$\textcolor{#E0453A}{0}$	$\textcolor{#E0453A}{2}$	$\textcolor{#2F80D8}{5}$

Reguła wypełniania jest jedna i powtarza się do końca:

Pierwszą liczbę przepisz bez zmian — tu $\textcolor{#16A06A}{2}$ .
Pomnóż ostatni wynik przez $a$ i dodaj następny współczynnik.
Powtarzaj, aż skończą się współczynniki.

Prześledźmy rachunek: $\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{3} + (-6) = \textcolor{#E0453A}{0}$ , potem $\textcolor{#E0453A}{0} \cdot \textcolor{#E0453A}{3} + 2 = \textcolor{#E0453A}{2}$ , wreszcie $\textcolor{#E0453A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{3} + (-1) = \textcolor{#2F80D8}{5}$ .

Odczyt wyniku. Wszystkie liczby oprócz ostatniej to współczynniki ilorazu, a ostatnia to reszta:

\left(2x^3-6x^2+2x-1\right) : (x-3) = 2x^2 + 0x + 2, \quad \text{reszta } \textcolor{#2F80D8}{5}

Iloraz ma stopień o jeden mniejszy od dzielnej — to zawsze prawda przy dzieleniu przez dwumian, więc daje szybką kontrolę liczby współczynników.

Dlaczego ostatnia liczba to reszta

Ostatnie działanie schematu daje dokładnie wartość $W(a)$ — a z twierdzenia o reszcie wiadomo, że reszta z dzielenia przez $x-a$ równa się $W(a)$ .

Sprawdźmy: $W(3) = 2 \cdot 27 - 6 \cdot 9 + 2 \cdot 3 - 1 = 54 - 54 + 6 - 1 = \textcolor{#2F80D8}{5}$ ✓ — ta sama piątka.

Schemat Hornera jest więc jednocześnie metodą dzielenia i najszybszym sposobem liczenia wartości wielomianu.

2Skąd się to bierze

Schemat nie jest sztuczką — to dzielenie pisemne z pominięciem tego, co się powtarza.

Przy dzieleniu pisemnym w każdym cyklu przepisuje się potęgi $x$ , mnoży przez dzielnik i odejmuje. Ale potęgi da się pominąć, bo ich kolejność wynika z pozycji w wierszu — dokładnie tak jak cyfry w dzieleniu pisemnym liczb.

Zostaje sam rachunek na współczynnikach: pomnóż i dodaj.

Drugie wyjaśnienie — przez przekształcenie wzoru. Wielomian można zapisać w postaci zagnieżdżonej:

2x^3-6x^2+2x-1 = \Big(\big((2)x - 6\big)x + 2\Big)x - 1

Wystarczy rozwinąć nawiasy, żeby sprawdzić, że to ten sam wielomian. A licząc od środka na zewnątrz dla $x=a$ , wykonuje się dokładnie kroki schematu Hornera.

Dlatego jest szybki. Zwykłe podstawienie do $2x^3-6x^2+2x-1$ wymaga policzenia potęg $x^3$ i $x^2$ — razem trzech mnożeń tylko na potęgi, plus trzy na współczynniki. Schemat potrzebuje trzech mnożeń i trzech dodawań, bez ani jednej potęgi.

metoda	co trzeba policzyć	liczba mnożeń
podstawienie wprost	potęgi, potem iloczyny	$6$
schemat Hornera	tylko iloczyny pośrednie	$3$

Przy wielomianie stopnia $n$ różnica rośnie: podstawienie wprost wymaga około $\frac{n(n+1)}{2}$ mnożeń, schemat — dokładnie $n$ .

3Do czego się przydaje w zadaniach

Trzy zastosowania, wszystkie sprowadzające się do tej samej tabelki.

Sprawdzenie, czy liczba jest pierwiastkiem — jeśli ostatnia liczba wyjdzie zerem, to tak.
Rozkład wielomianu na czynniki — przy zerowej reszcie od razu masz iloraz, czyli drugi czynnik.
Obliczenie wartości $W(a)$ bez podnoszenia do potęg.

Przykład rozkładu. Weźmy $x^3 - 2x^2 - x + 2$ i sprawdźmy $a = \textcolor{#16A06A}{1}$ :

$a = 1$	$1$	$-2$	$-1$	$2$
wynik	$1$	$\textcolor{#E0453A}{-1}$	$\textcolor{#E0453A}{-2}$	$\textcolor{#2F80D8}{0}$

Reszta wyszła $\textcolor{#2F80D8}{0}$ , więc jedynka jest pierwiastkiem, a iloraz to $x^2 - x - 2$ .

To ten sam wielomian, który przy dzieleniu wielomianów rozłożyłem sposobem pisemnym — i wynik wyszedł identyczny. Porównanie obu dróg na tym samym przykładzie pokazuje, że schemat Hornera nie jest inną metodą, tylko krótszym zapisem tej samej.

x^3-2x^2-x+2 = (x-1)\left(x^2-x-2\right) = (x-1)(x-2)(x+1)

Trójmian rozłożyłem dalej zwykłym sposobem — schemat Hornera obniża stopień o jeden, a resztę roboty zostawia równaniom kwadratowym.

Kandydatów szukaj wśród dzielników wyrazu wolnego

Schemat sprawdza jedną liczbę naraz, więc trzeba wiedzieć, które sprawdzać. Pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych są zawsze dzielnikami wyrazu wolnego.

Dla $x^3-2x^2-x+2$ wyraz wolny to $2$ , więc kandydatami są $\pm1$ i $\pm2$ — cztery tabelki, nie nieskończoność prób.

To znacznie szybsze niż zgadywanie i dlatego oba narzędzia — dzielniki wyrazu wolnego i schemat — stosuje się razem.

4Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: dzielenie z resztą, wartość wielomianu i pełny rozkład.

Przykład 1 Dzielenie z brakującą potęgą

Schematem Hornera podziel $x^3 - 7x + 6$ przez $x - 1$ .

Wypisuję współczynniki, uzupełniając brakujący wyraz z $x^2$ zerem: $1$ , $\textcolor{#16A06A}{0}$ , $-7$ , $6$ .
Dzielnik $x-1$ daje $a = \textcolor{#E0453A}{1}$ .
Przepisuję pierwszą liczbę: $1$ .
$1 \cdot \textcolor{#E0453A}{1} + \textcolor{#16A06A}{0} = \textcolor{#2F80D8}{1}$
$\textcolor{#2F80D8}{1} \cdot \textcolor{#E0453A}{1} + (-7) = \textcolor{#2F80D8}{-6}$
$\textcolor{#2F80D8}{-6} \cdot \textcolor{#E0453A}{1} + 6 = \textcolor{#8B5CF6}{0}$
Reszta wynosi $\textcolor{#8B5CF6}{0}$ , więc dzielenie wychodzi równo. Iloraz: $x^2 + x - 6$ .
Kontrola twierdzeniem o reszcie: $W(1) = 1 - 7 + 6 = \textcolor{#8B5CF6}{0}$ ✓
Kontrola wymnożeniem: $(x-1)(x^2+x-6) = x^3+x^2-6x-x^2-x+6 = x^3-7x+6$ ✓

Odpowiedź: Iloraz to $x^2 + x - 6$ , reszta wynosi $0$ .

Pominięcie zera przy brakującej potędze to najczęstszy błąd w tym schemacie. Tabelka ma wtedy o jedną kolumnę za mało i wszystkie liczby przesuwają się o miejsce, dając wynik, który wygląda sensownie i jest całkowicie błędny.

Przykład 2 Wartość wielomianu bez potęgowania

Oblicz $W(2)$ dla $W(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x - 7$ .

Współczynniki z uzupełnionym zerem przy $x^2$ : $3$ , $-5$ , $\textcolor{#16A06A}{0}$ , $2$ , $-7$ . Podstawiam $a = \textcolor{#E0453A}{2}$ .
Przepisuję: $3$ .
$3 \cdot \textcolor{#E0453A}{2} + (-5) = \textcolor{#2F80D8}{1}$
$\textcolor{#2F80D8}{1} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} + \textcolor{#16A06A}{0} = \textcolor{#2F80D8}{2}$
$\textcolor{#2F80D8}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} + 2 = \textcolor{#2F80D8}{6}$
$\textcolor{#2F80D8}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} + (-7) = \textcolor{#8B5CF6}{5}$
Ostatnia liczba to szukana wartość: $W(2) = \textcolor{#8B5CF6}{5}$ .
Kontrola podstawieniem wprost: $3 \cdot 16 - 5 \cdot 8 + 4 - 7 = 48 - 40 + 4 - 7 = \textcolor{#8B5CF6}{5}$ ✓
Porównanie nakładu: schemat wymagał czterech mnożeń, podstawienie wprost — policzenia $2^4$ , $2^3$ i trzech iloczynów, czyli więcej działań ✓

Odpowiedź: $W(2) = 5$

Przy wielomianach wysokiego stopnia przewaga schematu rośnie. Dla stopnia czwartego to cztery mnożenia zamiast dziesięciu — a przy stopniu dziesiątym różnica sięga już kilkudziesięciu działań.

Przykład 3 Rozkład z dwukrotnym użyciem schematu

Rozłóż na czynniki wielomian $x^3 - 3x^2 - 4x + 12$ .

Wyraz wolny to $\textcolor{#16A06A}{12}$ , więc kandydaci na pierwiastki całkowite to jego dzielniki: $\pm1$ , $\pm2$ , $\pm3$ , $\pm4$ , $\pm6$ , $\pm12$ .
Sprawdzam $a = \textcolor{#E0453A}{2}$ : przepisuję $1$ , potem $1 \cdot 2 + (-3) = -1$ , dalej $-1 \cdot 2 + (-4) = -6$ , wreszcie $-6 \cdot 2 + 12 = \textcolor{#2F80D8}{0}$ .
Reszta zerowa, więc $x = \textcolor{#E0453A}{2}$ jest pierwiastkiem, a iloraz to $x^2 - x - 6$ .
Trójmian rozkładam, szukając liczb o sumie $\textcolor{#16A06A}{1}$ i iloczynie $\textcolor{#16A06A}{-6}$ — to $\textcolor{#16A06A}{3}$ i $\textcolor{#16A06A}{-2}$ .
$x^3-3x^2-4x+12 = (x-2)(x-3)(x+2)$
Kontrola dla $x = 3$ : $27 - 27 - 12 + 12 = 0$ ✓
Kontrola dla $x = -2$ : $-8 - 12 + 8 + 12 = 0$ ✓
Kontrola liczby pierwiastków: trzy, tyle co stopień ✓ — więcej być nie może

Odpowiedź: $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = (x-2)(x-3)(x+2)$

Wystarczyła jedna tabelka, bo po obniżeniu stopnia został trójmian kwadratowy. Gdyby wielomian był stopnia czwartego, schemat trzeba by zastosować dwa razy — za każdym razem obniża stopień dokładnie o jeden.

5Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy przesuwa całą tabelkę.

Pominięcie zera przy brakującej potędze

Skąd się bierze: W wielomianie $x^3-7x+6$ nie ma wyrazu z $x^2$ . Wypisanie trzech współczynników zamiast czterech przesuwa całą tabelkę i daje iloraz złego stopnia — wynik wygląda poprawnie, a jest błędny.

Jak zrobić dobrze: Wypisz współczynniki wszystkich potęg od najwyższej do zerowej, wstawiając zera tam, gdzie wyrazu brak. Kontrola: liczba kolumn musi być o jeden większa od stopnia wielomianu.

Mylenie znaku liczby a

Skąd się bierze: Dzielnik $x+2$ oznacza $a = -2$ , bo $x+2 = x-(-2)$ . Podstawienie dwójki daje inną resztę i inny iloraz, mimo poprawnie wykonanych działań w tabelce.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, czy liczba zeruje dzielnik: dla $x+2$ musi zachodzić $-2+2=0$ . Ta sama zasada obowiązuje przy twierdzeniu o reszcie i przy postaci iloczynowej.

Uznanie ostatniej liczby za współczynnik ilorazu

Skąd się bierze: Ostatnia liczba w wierszu to reszta, a nie kolejny współczynnik. Doliczenie jej do ilorazu podnosi jego stopień o jeden i psuje wynik dzielenia.

Jak zrobić dobrze: Pamiętaj, że iloraz ma stopień o jeden niższy od dzielnej. Jeśli dzielisz wielomian stopnia trzeciego, iloraz jest kwadratowy — czyli ma trzy współczynniki, a czwarta liczba to reszta.

Zatrzymanie się na jednym pierwiastku

Skąd się bierze: Schemat obniża stopień tylko o jeden. Przy wielomianie stopnia trzeciego zostaje trójmian, który zwykle rozkłada się dalej — pominięcie tego kroku gubi dwa pierwiastki.

Jak zrobić dobrze: Po uzyskaniu zerowej reszty zajmij się ilorazem: rozłóż go wyróżnikiem albo ponownym zastosowaniem schematu. Kontrola: liczba pierwiastków powinna sięgać stopnia wielomianu.

6Pytania i odpowiedzi

Co to jest schemat Hornera?

Skrócony zapis dzielenia wielomianu przez dwumian, w którym zamiast dzielenia pisemnego wypełnia się jeden wiersz tabelki. Na każdym kroku wykonuje się jedno mnożenie i jedno dodawanie.

Jak wypełnić tabelkę schematu Hornera?

Pierwszy współczynnik przepisuje się bez zmian, a każdą kolejną liczbę otrzymuje się, mnożąc poprzedni wynik przez liczbę z dzielnika i dodając następny współczynnik.

Co oznacza ostatnia liczba w schemacie Hornera?

Jest to reszta z dzielenia, równa jednocześnie wartości wielomianu w danym punkcie. Gdy wynosi zero, liczba jest pierwiastkiem wielomianu, a dzielenie wychodzi równo.

Czy schemat Hornera obowiązuje na maturze?

Nie jest wymagany. Podstawa wymienia go tylko w sekcji o twierdzeniach i dowodach dla zakresu rozszerzonego. Samo dzielenie przez dwumian jest wymagane, ale bez wskazywania metody.

Co zrobić, gdy w wielomianie brakuje jakiejś potęgi?

Trzeba wpisać w jej miejsce zero. Bez tego tabelka ma za mało kolumn, wszystkie liczby przesuwają się o jedno miejsce, a wynik jest błędny mimo poprawnych działań.

Dlaczego schemat Hornera jest szybszy od podstawiania?

Bo nie wymaga liczenia potęg. Dla wielomianu stopnia czwartego potrzebuje czterech mnożeń zamiast dziesięciu, a przy wyższych stopniach różnica rośnie jeszcze bardziej.

Czytaj dalej

Dzielenie wielomianówMetoda pisemna i twierdzenie o reszcie WielomianyStopień, działania i pierwiastki całkowite Równania kwadratoweCo zrobić z ilorazem po obniżeniu stopnia Dzielenie pisemne liczbTa sama idea pomijania tego, co się powtarza

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.