Pochodne

Q: Czy zerowanie się pochodnej gwarantuje ekstremum?

Nie. To warunek konieczny, ale niewystarczający — funkcja x^3 ma pochodną równą zeru w zerze i mimo to stale rośnie. Ekstremum występuje tam, gdzie pochodna zmienia znak.

Pochodna mierzy tempo zmiany funkcji — mówi, jak szybko rosną wartości, gdy argument rośnie. Geometrycznie jest nachyleniem stycznej do wykresu, fizycznie prędkością chwilową. To jedno pojęcie odpowiada na pytania, na które wcześniej nie było narzędzia: gdzie funkcja rośnie, gdzie ma największą wartość i jak zaprojektować pudełko o możliwie największej objętości.

Dział: FunkcjePoziom: liceum — zakres rozszerzony

1Co to jest pochodna

Weź dwa punkty wykresu i policz iloraz przyrostów — dokładnie tak jak współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez te punkty. Teraz zbliżaj drugi punkt do pierwszego. Ta granica jest pochodną:

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

Iloraz pod granicą nazywa się ilorazem różnicowym. Jest to nachylenie siecznej; w granicy sieczna staje się styczną, a jej nachylenie — pochodną w punkcie.

Dwie interpretacje z podstawy programowej

Dział XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy, zakres rozszerzony, punkt 3: „stosuje definicję pochodnej funkcji, podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej”.

Geometryczna: $f'(x_0)$ to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie o odciętej $x_0$ .

Fizyczna: jeśli $s(t)$ opisuje drogę, to $s'(t)$ jest prędkością chwilową. Pochodna prędkości daje przyspieszenie.

Dział XIII w części dotyczącej rachunku różniczkowego jest w zakresie rozszerzonym — na maturze podstawowej pochodnych nie ma. Sam dział ma jednak także punkt zakresu podstawowego: zadania optymalizacyjne rozwiązywane funkcją kwadratową, bez pochodnej.

Warto zauważyć związek z tym, co już umiesz: współczynnik kierunkowy funkcji liniowej jest jej pochodną. Dla $f(x) = ax + b$ iloraz różnicowy wynosi zawsze $a$ , niezależnie od $h$ , więc $f'(x) = a$ . Pochodna jest więc uogólnieniem nachylenia prostej na wykresy, które nie są proste.

Stąd też bierze się nazwa „funkcja pochodna”: przypisując każdemu argumentowi nachylenie stycznej, dostajemy nową funkcję, a nie pojedynczą liczbę.

2Wzory, które trzeba znać

Podstawa wymienia je w punkcie 4: „oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej”.

\left(x^n\right)' = n x^{\,n-1}

To z niego wynikają wszystkie potęgi — ale sam wzór nie wystarcza: przypadek funkcji stałej ma osobne uzasadnienie, a na cały wielomian potrzeba jeszcze twierdzeń o działaniach, wymienionych niżej. Do samego wielomianu wystarczą dwa pierwsze z czterech (suma i stała przed funkcją); iloczyn i iloraz przydają się dopiero poza wielomianami. Trzy szczególne przypadki warto mieć od ręki:

funkcja	pochodna	skąd
$f(x) = c$	$0$	funkcja stała się nie zmienia
$f(x) = x$	$1$	z wzoru dla $n = 1$
$f(x) = x^2$	$2x$	z wzoru dla $n = 2$

Twierdzenia o działaniach pozwalają rozbić każdy wielomian na kawałki:

suma i różnica: $(f \pm g)' = f' \pm g'$ — pochodną liczy się składnik po składniku;
stała przed funkcją: $(c \cdot f)' = c \cdot f'$ — liczbę przepisuje się bez zmian;
iloczyn: $(fg)' = f'g + fg'$ — nie iloczyn pochodnych;
iloraz: $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ — uwaga na kolejność w liczniku, bo odejmowanie nie jest przemienne.

Trzeci punkt jest najczęściej mylony. Pochodna iloczynu nie równa się iloczynowi pochodnych — najprościej to sprawdzić na $f(x) = x \cdot x$ : prawdziwa pochodna to $2x$ , a iloczyn pochodnych dałby $1 \cdot 1 = 1$ .

3Pochodna a monotoniczność

To najważniejsze zastosowanie i osobny punkt podstawy (XIII rozsz. pkt 5: „stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji”).

znak pochodnej w przedziale	zachowanie funkcji
$f'(x) > 0$	funkcja rosnąca
$f'(x) < 0$	funkcja malejąca
$f'(x) = 0$ w punkcie	kandydat na ekstremum

Sens jest bezpośredni: dodatnie nachylenie stycznej oznacza, że wykres idzie w górę. Badanie monotoniczności sprowadza się więc do rozwiązania nierówności $f'(x) > 0$ — czyli do umiejętności, którą już masz.

Zerowanie pochodnej to za mało

Warunek $f'(x_0) = 0$ jest konieczny, ale nie wystarczający dla ekstremum.

Klasyczny kontrprzykład: $f(x) = x^3$ ma $f'(0) = 0$ , ale w zerze nie ma ani maksimum, ani minimum — funkcja cały czas rośnie.

Ekstremum jest tam, gdzie pochodna zmienia znak. Dlatego po znalezieniu miejsc zerowych pochodnej zawsze bada się jej znak po obu stronach.

Przy funkcji kwadratowej pochodna daje ten sam wynik co postać kanoniczna: dla $f(x) = ax^2 + bx + c$ mamy $f'(x) = 2ax + b$ , a zerowanie daje $x = -\frac{b}{2a}$ — dokładnie odciętą wierzchołka. To dobra kontrola, że metoda działa.

4Zadania optymalizacyjne

Punkt 6 rozszerzenia: „rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej”. Schemat jest zawsze ten sam i warto go znać na pamięć:

Nazwij zmienną i zapisz wielkość do zoptymalizowania jako funkcję jednej zmiennej — jeśli zmiennych jest więcej, użyj warunku z treści, żeby jedną wyrugować.
Ustal dziedzinę wynikającą z sytuacji, a nie ze wzoru: długości są dodatnie, a wymiary ograniczone przez dane.
Policz pochodną, przyrównaj do zera i znajdź kandydatów.
Sprawdź zmianę znaku pochodnej i wybierz ten kandydat, który daje żądane ekstremum.
Wróć do treści i podaj to, o co pytano — wymiary, a nie samą wartość funkcji.

Punkt drugi jest tym, na którym najczęściej traci się punkty. Dziedzina „z sytuacji” bywa węższa niż dziedzina wzoru i to ona decyduje, czy znaleziony kandydat w ogóle wchodzi w grę.

Zauważ, że na poziomie podstawowym te same zadania rozwiązuje się bez pochodnej — o ile funkcja jest kwadratowa, wystarczy wierzchołek paraboli. Pochodna uogólnia tę metodę na funkcje dowolnego stopnia.

Ostatni krok bywa pomijany przy poprawnym rachunku. Jeśli zadanie pyta o wymiary prostopadłościanu, odpowiedzią są trzy liczby, a nie sama objętość.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: pochodna z definicji, wzory i działania, badanie monotoniczności oraz optymalizacja.

Przykład 1 Pochodna z definicji

Korzystając z definicji, oblicz pochodną funkcji $f(x) = x^2$ w punkcie $x_0 = 3$ .

Iloraz różnicowy: $\frac{f(3+h) - f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 9}{h}$ .
Rozwijam licznik: $(3+h)^2 - 9 = 9 + 6h + h^2 - 9 = 6h + h^2$ .
$\frac{6h + h^2}{h} = 6 + h$ dla $h \neq 0$ .
Granica przy $h \to 0$ wynosi $6$ , więc $f'(3) = 6$ .
Kontrola wzorem: $\left(x^2\right)' = 2x$ , a $2 \cdot 3 = 6$ ✓
Kontrola liczbowa: dla $h = 0{,}001$ iloraz wynosi $6{,}001$ , a dla $h = -0{,}001$ — $5{,}999$ ; obie liczby zbliżają się do $6$ ✓

Odpowiedź: $f'(3) = 6$

Skrócenie przez $h$ jest możliwe dopiero po rozwinięciu licznika — i to jest cała technika liczenia pochodnej z definicji. Bez skrócenia zostałby symbol nieoznaczony $\frac{0}{0}$ .

Przykład 2 Pochodna wielomianu i iloczynu

Oblicz pochodne funkcji: (a) $f(x) = 4x^3 - 5x + 7$ ; (b) $g(x) = (2x+1)(x-3)$ .

(a) Liczę składnik po składniku: $\left(4x^3\right)' = 12x^2$ , $\left(-5x\right)' = -5$ , $\left(7\right)' = 0$ .
$f'(x) = 12x^2 - 5$ .
(b) Wzór na pochodną iloczynu: $g'(x) = 2 \cdot (x-3) + (2x+1) \cdot 1$ .
$g'(x) = 2x - 6 + 2x + 1 = 4x - 5$ .
Kontrola przez wymnożenie: $g(x) = 2x^2 - 5x - 3$ , więc $g'(x) = 4x - 5$ ✓ — ten sam wynik
Kontrola pułapki: iloczyn pochodnych dałby $2 \cdot 1 = 2$ , co jest stałą i nie zgadza się z niczym ✓

Odpowiedź: (a) $f'(x) = 12x^2 - 5$ ; (b) $g'(x) = 4x - 5$

Przy prostym iloczynie dwóch dwumianów szybciej jest wymnożyć i różniczkować składnik po składniku. Wzór na pochodną iloczynu staje się niezastąpiony dopiero wtedy, gdy wymnożenie jest niewykonalne.

Przykład 3 Badanie monotoniczności

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x) = x^3 - 12x$ .

$f'(x) = 3x^2 - 12$ .
Miejsca zerowe pochodnej: $3x^2 = 12$ , czyli $x^2 = 4$ , więc $x = -2$ lub $x = 2$ .
Pochodna jest parabolą o ramionach w górę, więc jest dodatnia poza pierwiastkami i ujemna między nimi.
Funkcja rośnie w $(-\infty, -2)$ i w $(2, +\infty)$ , a maleje w $(-2, 2)$ .
Kontrola punktami: $f'(-3) = 15 > 0$ , $f'(0) = -12 < 0$ , $f'(3) = 15 > 0$ ✓
Kontrola ekstremów: w $x = -2$ pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, więc jest tam maksimum, a w $x = 2$ minimum ✓

Odpowiedź: Rośnie w $(-\infty, -2)$ i $(2, +\infty)$ , maleje w $(-2, 2)$ .

Zwróć uwagę, że pochodna funkcji stopnia trzeciego jest funkcją kwadratową — a jej znak umiesz badać od dawna. Cała nowość polega na tym, co się bada, a nie jak.

Przykład 4 Zadanie optymalizacyjne

Z drutu o długości $40$ cm wygięto prostokąt. Jakie wymiary da największe pole?

Oznaczam jeden bok przez $x$ . Obwód wynosi $40$ , więc drugi bok to $20 - x$ .
Pole jako funkcja jednej zmiennej: $P(x) = x(20 - x) = 20x - x^2$ .
Dziedzina z sytuacji: oba boki dodatnie, więc $x \in (0, 20)$ .
$P'(x) = 20 - 2x$ ; przyrównuję do zera: $x = 10$ .
Zmiana znaku: dla $x < 10$ pochodna dodatnia, dla $x > 10$ ujemna, więc w $x = 10$ jest maksimum ✓
Wymiary: $10$ cm na $10$ cm — kwadrat o polu $100$ cm².
Kontrola wierzchołkiem paraboli: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{-2} = 10$ ✓ — ta sama odpowiedź bez pochodnej

Odpowiedź: Kwadrat o boku $10$ cm, pole $100$ cm².

Ostatnia kontrola pokazuje, dlaczego to zadanie jest na poziomie podstawowym rozwiązywalne bez pochodnej: funkcja wyszła kwadratowa. Pochodna staje się konieczna dopiero przy funkcjach wyższych stopni.

6Najczęstsze błędy

Pierwsze dwa błędy dotyczą wzorów, trzeci i czwarty — wniosków z pochodnej, a ostatni — odpowiedzi na pytanie postawione w treści.

Liczenie pochodnej iloczynu jako iloczynu pochodnych.

Skąd się bierze: Suma i różnica zachowują się „po składniku”, więc schemat przenosi się na mnożenie.

Jak zrobić dobrze: Obowiązuje wzór $(fg)' = f'g + fg'$ . Kontrola na $f(x) = x \cdot x$ : prawdziwa pochodna to $2x$ , a iloczyn pochodnych dałby $1$ .

Odwrócona kolejność w liczniku pochodnej ilorazu.

Skąd się bierze: Wzór wygląda symetrycznie, a odejmowanie kusi, żeby zapisać je „jak wygodniej”.

Jak zrobić dobrze: Licznik to $f'g - fg'$ , w tej kolejności. Zamiana daje wynik przeciwny, więc znak monotoniczności wyjdzie odwrotnie.

Uznanie każdego miejsca zerowego pochodnej za ekstremum.

Skąd się bierze: Warunek $f'(x_0) = 0$ jest wymieniany jako pierwszy krok, więc bywa brany za wystarczający.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, czy pochodna zmienia znak. Funkcja $x^3$ ma $f'(0) = 0$ i nie ma tam ekstremum, bo cały czas rośnie.

Pominięcie dziedziny wynikającej z treści zadania.

Skąd się bierze: Wzór funkcji jest określony wszędzie, więc ograniczenia wydają się zbędne.

Jak zrobić dobrze: Długości boków są dodatnie, a wymiary ograniczone danymi. Kandydat spoza takiej dziedziny trzeba odrzucić, nawet jeśli zeruje pochodną.

Podanie wartości funkcji zamiast wymiarów, o które pytano.

Skąd się bierze: Po znalezieniu ekstremum rachunek wydaje się skończony.

Jak zrobić dobrze: Wróć do treści. Jeśli pytanie brzmi „jakie wymiary”, odpowiedzią są długości boków, a nie maksymalne pole.

7Pytania i odpowiedzi

Czy pochodne są na maturze podstawowej?

Nie. Cały dział XIII w części dotyczącej rachunku różniczkowego jest w zakresie rozszerzonym. Poziom podstawowy zawiera z niego wyłącznie zadania optymalizacyjne dające się opisać funkcją kwadratową, rozwiązywane przez wierzchołek paraboli.

Co pochodna mówi o wykresie?

Jej wartość w punkcie to współczynnik kierunkowy stycznej, czyli nachylenie wykresu w tym miejscu. Dodatnia oznacza wzrost, ujemna spadek, a zerowa poziomą styczną — kandydata na ekstremum.

Czym różni się pochodna od ilorazu różnicowego?

Iloraz różnicowy to nachylenie siecznej przechodzącej przez dwa punkty wykresu. Pochodna jest jego granicą przy zbliżaniu tych punktów do siebie, czyli nachyleniem stycznej w jednym punkcie.

Czy zerowanie się pochodnej gwarantuje ekstremum?

Nie. To warunek konieczny, ale niewystarczający — funkcja $x^3$ ma pochodną równą zeru w zerze i mimo to stale rośnie. Ekstremum występuje tam, gdzie pochodna zmienia znak.

Po co uczyć się pochodnych, skoro zadania optymalizacyjne da się rozwiązać wierzchołkiem?

Wierzchołek działa tylko dla funkcji kwadratowej. Pochodna rozwiązuje ten sam typ zadań dla funkcji dowolnego stopnia, a dodatkowo pozwala badać monotoniczność i wyznaczać styczne.

Czytaj dalej

Wykres funkcji liniowejWspółczynnik kierunkowy jako iloraz przyrostów — pojęcie, którego pochodna jest uogólnieniem.Postać kanoniczna funkcji kwadratowejWierzchołek paraboli, czyli optymalizacja bez pochodnej — metoda z poziomu podstawowego.Granica funkcjiGranica, na której opiera się definicja pochodnej — z symbolem nieoznaczonym $\frac{0}{0}$ w ilorazie różnicowym.Monotoniczność i wartości funkcjiCo bada pochodna: przedziały wzrostu, spadku i wartości największe.Elementy analizy matematycznejMapa działu: siedem punktów podstawy programowej z analizy matematycznej i strony, które je realizują.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.