Strona główna › Funkcje › Przekształcenia wykresu funkcji homograficznej

Przekształcenia wykresu funkcji homograficznej

Q: Co to jest funkcja homograficzna?

Funkcja postaci iloraz dwóch wyrażeń liniowych, czyli ax+b/cx+d. Jej wykresem jest przesunięta hiperbola. Nazwa pochodzi z podręczników — w podstawie programowej nie występuje.

Q: Gdzie leżą asymptoty wykresu funkcji a przez x?

Dla wzoru a/x-p + q asymptota pionowa ma równanie x = p, a pozioma y = q. Obie przesuwają się razem z wykresem, więc wystarczy odczytać ze wzoru przesunięcie w poziomie i w pionie — liczby p oraz q mówią wszystko.

Wykres funkcji $y = \frac{a}{x}$ to hiperbola — dwie gałęzie uciekające do osi, ale nigdy ich niedotykające. Gdy do wzoru dołożyć przesunięcia, cały wykres przesuwa się razem z asymptotami. Ta jedna obserwacja wystarcza, żeby naszkicować dowolny iloraz dwóch wyrażeń liniowych, nie licząc ani jednego punktu.

Dział: FunkcjePoziom: liceum — zakres podstawowy

1Dwa punkty podstawy, które trzeba połączyć

To jest w podstawie programowej — w dwóch osobnych punktach

Podstawa dla liceum, dział V. Funkcje, zakres podstawowy, punkt 13 w całości: „posługuje się funkcją $f(x) = \frac{a}{x}$ , w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych”.

Punkt 12, również podstawowy: „na podstawie wykresu funkcji $y = f(x)$ szkicuje wykresy funkcji $y = f(x-a)$ , $y = f(x)+b$ ”.

⚠️ Nazwa „funkcja homograficzna” w podstawie nie występuje — dokument mówi wyłącznie o $f(x) = \frac{a}{x}$ . Sama nazwa jest więc podręcznikowa, ale materiał, którego dotyczy, jest w zakresie podstawowym.

Punkt wyjścia: hiperbola. Wykres $y = \frac{a}{x}$ ma dwie gałęzie i dwie asymptoty — proste, do których wykres się zbliża, nigdy ich nie osiągając.

wzór	asymptota pionowa	asymptota pozioma	gałęzie
$y = \frac{1}{x}$	$x = 0$	$y = 0$	I i III ćwiartka
$y = \frac{-1}{x}$	$x = 0$	$y = 0$	II i IV ćwiartka
$y = \frac{5}{x}$	$x = 0$	$y = 0$	I i III, dalej od osi

Znak $a$ decyduje o ćwiartkach, a jego wartość bezwzględna o tym, jak daleko od osi biegną gałęzie. Sam kształt i dziedzinę opisuję przy proporcjonalności odwrotnej.

Dlaczego asymptoty w ogóle są. Mianownik nie może być zerem, więc $x = 0$ wypada z dziedziny — stąd asymptota pionowa. A ułamek o stałym liczniku nigdy nie osiągnie zera, choćby mianownik był dowolnie duży — stąd pozioma.

Ta druga obserwacja to ta sama zasada, którą stosuję przy równaniach wymiernych: ułamek zeruje się tylko przez licznik.

2Przesunięcia — asymptoty jadą razem z wykresem

Punkt 12 podstawy mówi o dwóch przesunięciach dowolnej funkcji. Zastosowane do hiperboli dają regułę, którą można odczytać wprost ze wzoru.

y = \frac{a}{x - p} + q

element wzoru	co robi z wykresem	gdzie ląduje asymptota
$x - p$ w mianowniku	przesuwa poziomo o $p$	pionowa: $x = p$
$+\,q$ na końcu	przesuwa pionowo o $q$	pozioma: $y = q$

Asymptoty przesuwają się razem z wykresem — i to jest cała trudność tego tematu. Nie trzeba ich liczyć, wystarczy odczytać.

Uwaga na znak przy $p$ . We wzorze stoi $x - p$ , więc zapis $\frac{1}{x+3}$ oznacza $p = \textcolor{#E0453A}{-3}$ , a nie $3$ . To ta sama pułapka co przy postaci kanonicznej — plus w nawiasie daje liczbę ujemną.

wzór	asymptota pionowa	asymptota pozioma
$y = \frac{1}{x-2}$	$x = 2$	$y = 0$
$y = \frac{1}{x} + 3$	$x = 0$	$y = 3$
$y = \frac{1}{x-2} + 3$	$x = 2$	$y = 3$
$y = \frac{1}{x+1} - 4$	$x = -1$	$y = -4$

Kontrola przez dziedzinę i zbiór wartości

Asymptota pionowa stoi dokładnie tam, gdzie wypada dziedzina. Dla $\frac{1}{x-2}$ dziedzina to $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ , więc asymptota jest w $x=2$ — sprawdzenie zajmuje sekundę.

Asymptota pozioma stoi tam, gdzie wypada zbiór wartości. Dla $\frac{1}{x}+3$ ułamek nigdy nie jest zerem, więc wartość $3$ jest nieosiągalna — i to ona jest asymptotą.

Obie kontrole wynikają wprost z dziedziny funkcji i nie wymagają rysunku.

Kolejność przesunięć nie ma znaczenia — przesunięcie poziome i pionowe są niezależne, więc można je wykonać w dowolnej kolejności i wynik będzie ten sam.

3Iloraz dwóch wyrażeń liniowych

Materiał nadprogramowy — ta sekcja wychodzi poza podstawę

Funkcję postaci $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ podręczniki nazywają homograficzną. W podstawie programowej ta nazwa nie pada ani razu — i nie ma tam też punktu o sprowadzaniu takiego ilorazu do przesuniętej hiperboli.

Iloraz dwóch wyrażeń liniowych pojawia się w podstawie jeden raz, w zakresie rozszerzonym, dział V punkt 3, i to przy zupełnie innym zadaniu: „dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem, jak w przykładzie: wykaż, że funkcja $f(x)=\frac{x-1}{x+2}$ jest monotoniczna w przedziale $(-\infty,-2)$ ”.

Dwie poprzednie sekcje tej strony stoją na punktach 12 i 13 zakresu podstawowego. Ta sekcja już nie — korzysta wprawdzie wyłącznie z funkcji $\frac{a}{x}$ i z przesunięć, ale samo przekształcenie algebraiczne jest dodatkiem, którego podstawa nie wymaga.

Wniosek praktyczny: do matury podstawowej nie trzeba znać ani nazwy, ani tego przekształcenia. Technika bardzo się jednak przydaje na rozszerzeniu — choćby w zadaniu z cytatu powyżej.

Problem: wzór $\frac{2x+1}{x-1}$ nie wygląda na przesuniętą hiperbolę. Rozwiązanie: doprowadzić go do niej, wydzielając część całkowitą.

Chwyt polega na rozbiciu licznika tak, żeby pojawił się w nim mianownik:

\frac{2x+1}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3}{x-1} = \frac{2(x-1)}{x-1} + \frac{3}{x-1} = 2 + \frac{3}{x-1}

Środkowy krok jest sednem: $2x+1 = 2(x-1) + \textcolor{#16A06A}{3}$ , bo $2(x-1) = 2x - 2$ , a do $2x+1$ brakuje $\textcolor{#16A06A}{3}$ .

Teraz wszystko widać od razu: $q = \textcolor{#E0453A}{2}$ , $p = \textcolor{#E0453A}{1}$ , więc asymptoty to $x = \textcolor{#E0453A}{1}$ oraz $y = \textcolor{#E0453A}{2}$ .

Skrót do asymptot bez przekształcania

Pionowa — tam, gdzie zeruje się mianownik: dla $\frac{ax+b}{cx+d}$ jest to $x = -\frac{d}{c}$ .

Pozioma — iloraz współczynników przy $x$ : $y = \frac{a}{c}$ . Dla $\frac{2x+1}{x-1}$ daje to $y = \frac{2}{1} = 2$ ✓ — zgodnie z przekształceniem.

Skrót jest szybki, ale przekształcenie daje więcej: pokazuje też licznik $\frac{3}{x-1}$ , czyli jak bardzo wykres jest „rozciągnięty”, i po której stronie asymptot leżą gałęzie.

Kiedy to nie jest hiperbola. Jeśli licznik jest wielokrotnością mianownika, ułamek redukuje się do stałej. Dla $\frac{2x-2}{x-1}$ mamy $\frac{2(x-1)}{x-1} = 2$ — funkcja stała z dziurą w $x=1$ , a nie hiperbola. Warto to sprawdzić przed rysowaniem.

4Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: odczyt asymptot ze wzoru, sprowadzanie ilorazu i przypadek zdegenerowany.

Przykład 1 Odczyt asymptot i szkic

Podaj asymptoty wykresu funkcji $f(x) = \dfrac{2}{x+3} - 1$ oraz jej dziedzinę i zbiór wartości.

Porównuję ze wzorem $\frac{a}{x-p} + q$ . W mianowniku stoi $x+3$ , czyli $x - (\textcolor{#16A06A}{-3})$ , więc $p = \textcolor{#16A06A}{-3}$ .
Na końcu stoi $-1$ , więc $q = \textcolor{#16A06A}{-1}$ .
Asymptota pionowa: $x = \textcolor{#E0453A}{-3}$ . Asymptota pozioma: $y = \textcolor{#E0453A}{-1}$ .
Dziedzina — mianownik różny od zera: $x + 3 \neq 0$ , czyli $D = \mathbb{R} \setminus \{\textcolor{#E0453A}{-3}\}$ .
Zbiór wartości — ułamek $\frac{2}{x+3}$ nigdy nie jest zerem, więc $f(x)$ nigdy nie osiąga $\textcolor{#E0453A}{-1}$ : $ZW = \mathbb{R} \setminus \{\textcolor{#E0453A}{-1}\}$ .
Kontrola punktem: $f(-1) = \frac{2}{2} - 1 = 0$ ✓ — wykres przecina oś poziomą w $x = -1$
Kontrola drugą stroną: $f(-5) = \frac{2}{-2} - 1 = -2$ ✓ — po lewej od asymptoty wartości są poniżej $-1$
Kontrola zgodności: dziedzina wypada w $\textcolor{#E0453A}{-3}$ i tam właśnie stoi asymptota pionowa ✓

Odpowiedź: Asymptoty: $x = -3$ oraz $y = -1$ . $D = \mathbb{R}\setminus\{-3\}$ , $ZW = \mathbb{R}\setminus\{-1\}$ .

Dziedzina i zbiór wartości to te same dwie liczby, co asymptoty. To nie zbieg okoliczności — asymptota pionowa stoi tam, gdzie funkcja nie jest określona, a pozioma tam, gdzie nie przyjmuje wartości.

Przykład 2 Sprowadzenie ilorazu do postaci przesuniętej

Wyznacz asymptoty wykresu funkcji $f(x) = \dfrac{3x-5}{x-2}$ , przekształcając wzór.

Rozbijam licznik tak, żeby pojawił się w nim mianownik: $3x - 5 = 3(x-2) + \textcolor{#16A06A}{1}$ .
Sprawdzam: $3(x-2) = 3x - 6$ , a do $3x-5$ brakuje $\textcolor{#16A06A}{1}$ ✓
$f(x) = \dfrac{3(x-2) + \textcolor{#16A06A}{1}}{x-2} = 3 + \dfrac{\textcolor{#16A06A}{1}}{x-2}$
Odczytuję: $q = \textcolor{#E0453A}{3}$ , $p = \textcolor{#E0453A}{2}$ , licznik $a = \textcolor{#16A06A}{1}$ .
Asymptoty: $x = \textcolor{#E0453A}{2}$ oraz $y = \textcolor{#E0453A}{3}$ .
Kontrola skrótem: mianownik zeruje się dla $x = \textcolor{#E0453A}{2}$ ✓, a iloraz współczynników przy $x$ to $\frac{3}{1} = \textcolor{#E0453A}{3}$ ✓
Kontrola punktem: $f(3) = \frac{9-5}{1} = 4$ , a z postaci przesuniętej $3 + \frac{1}{1} = 4$ ✓
Kontrola drugim punktem: $f(1) = \frac{3-5}{-1} = 2$ , a $3 + \frac{1}{-1} = 2$ ✓

Odpowiedź: Asymptoty: $x = 2$ oraz $y = 3$ . Postać przesunięta: $f(x) = 3 + \dfrac{1}{x-2}$ .

Dwie kontrole punktami sprawdzają całe przekształcenie, nie tylko asymptoty. Warto wybrać punkty po obu stronach asymptoty pionowej — wtedy sprawdzone są obie gałęzie.

Przykład 3 Kiedy to wcale nie jest hiperbola

Naszkicuj wykres funkcji $f(x) = \dfrac{4x-8}{x-2}$ .

Zanim zacznę szkicować, sprawdzam, czy licznik nie jest wielokrotnością mianownika.
$4x - 8 = \textcolor{#16A06A}{4}(x-2)$ — jest.
$f(x) = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}(x-2)}{x-2} = \textcolor{#E0453A}{4}$ dla $x \neq \textcolor{#16A06A}{2}$ .
To nie hiperbola, tylko prosta pozioma $y = \textcolor{#E0453A}{4}$ z dziurą w punkcie $x = \textcolor{#16A06A}{2}$ .
Dziedzina nadal wyklucza dwójkę, więc w miejscu $(\textcolor{#16A06A}{2}, \textcolor{#E0453A}{4})$ rysuje się kółko niezamalowane.
Kontrola skrótem: iloraz współczynników przy $x$ to $\frac{4}{1} = \textcolor{#E0453A}{4}$ — „asymptota pozioma” pokrywa się z całym wykresem ✓
Kontrola punktem: $f(0) = \frac{-8}{-2} = \textcolor{#E0453A}{4}$ ✓
Kontrola drugim: $f(10) = \frac{32}{8} = \textcolor{#E0453A}{4}$ ✓ — wartość ta sama, zgodnie z funkcją stałą

Odpowiedź: Wykresem jest prosta $y = 4$ z wykluczonym punktem $x = 2$ .

Ten przypadek warto sprawdzać przed rysowaniem. Skrót na asymptoty dałby tu „ $x=2$ i $y=4$ ”, co sugeruje hiperbolę — a wykres jest prostą. Dopiero przekształcenie ujawnia, że licznik i mianownik się skracają.

5Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy dotyczy znaku, jak przy każdym przesunięciu.

Mylenie znaku przy przesunięciu poziomym

Skąd się bierze: We wzorze stoi $x - p$ , więc $\frac{1}{x+3}$ oznacza przesunięcie o $-3$ , a asymptota jest w $x = -3$ , nie $3$ . Pomyłka daje wykres odbity względem osi pionowej.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, co zeruje mianownik — ta liczba jest asymptotą pionową. Dla $x+3$ jest to $-3$ , i to rozstrzyga bez pamiętania o znakach we wzorze.

Szukanie miejsca zerowego tam, gdzie jest asymptota

Skąd się bierze: Asymptota pionowa to punkt, w którym funkcja nie istnieje, a nie miejsce zerowe. Wyrażenie $\frac{1}{x-2}$ nie ma miejsc zerowych w ogóle, bo licznik jest stały i różny od zera.

Jak zrobić dobrze: Miejsce zerowe wyznaczaj z licznika, asymptotę z mianownika. Przy funkcji przesuniętej pionowo miejsce zerowe istnieje, ale trzeba rozwiązać równanie $\frac{a}{x-p} + q = 0$ .

Pominięcie sprawdzenia, czy ułamek się nie skraca

Skąd się bierze: Dla $\frac{4x-8}{x-2}$ licznik jest czterokrotnością mianownika, więc funkcja jest stała, a nie homograficzna. Rysowanie hiperboli daje wtedy wykres całkowicie niezgodny z rzeczywistością.

Jak zrobić dobrze: Przed szkicowaniem sprawdź, czy licznik nie jest wielokrotnością mianownika. Jeśli po przekształceniu zostaje sama liczba bez ułamka — to funkcja stała z dziurą.

Rysowanie wykresu dotykającego asymptoty

Skąd się bierze: Asymptota to prosta, do której wykres zbliża się dowolnie blisko, ale nigdy jej nie osiąga. Przecięcie albo dotknięcie asymptoty pionowej oznaczałoby, że funkcja ma tam wartość — a tam nie jest określona.

Jak zrobić dobrze: Rysuj gałęzie tak, żeby przy asymptotach uciekały w nieskończoność, nie stykając się z nimi. Asymptoty zaznaczaj linią przerywaną — nie należą do wykresu.

6Pytania i odpowiedzi

Co to jest funkcja homograficzna?

Funkcja postaci iloraz dwóch wyrażeń liniowych, czyli $\frac{ax+b}{cx+d}$ . Jej wykresem jest przesunięta hiperbola. Nazwa pochodzi z podręczników — w podstawie programowej nie występuje.

Gdzie leżą asymptoty wykresu funkcji a przez x?

Dla wzoru $\frac{a}{x-p} + q$ asymptota pionowa ma równanie $x = p$ , a pozioma $y = q$ . Obie przesuwają się razem z wykresem, więc wystarczy odczytać ze wzoru przesunięcie w poziomie i w pionie — liczby $p$ oraz $q$ mówią wszystko.

Jak sprowadzić iloraz dwóch wyrażeń liniowych do przesuniętej hiperboli?

Trzeba rozbić licznik tak, aby pojawił się w nim mianownik, a następnie podzielić wyrazy. Zostaje wtedy liczba plus ułamek o stałym liczniku, z których wprost odczytuje się przesunięcia.

Czy funkcja homograficzna zawsze ma dwie asymptoty?

Nie zawsze. Jeśli licznik jest wielokrotnością mianownika, ułamek redukuje się do stałej i wykresem jest prosta pozioma z jednym wykluczonym punktem.

Skąd wiadomo, gdzie jest asymptota pozioma bez przekształcania?

Jest to iloraz współczynników stojących przy zmiennej w liczniku i mianowniku. Dla wyrażenia $\frac{2x+1}{x-1}$ wynosi on dwa przez jeden, czyli asymptotą jest prosta o równaniu $y=2$ .

Czy wykres może przeciąć asymptotę?

Asymptoty pionowej nigdy, bo funkcja nie jest tam określona. Przy hiperboli poziomej również nie, ponieważ ułamek o stałym liczniku nie osiąga zera.

Czytaj dalej

Proporcjonalność odwrotnaWyjściowa hiperbola i jej własności Wyrażenia wymierneDziedzina i skracanie ułamków algebraicznych Postać kanonicznaTe same przesunięcia zastosowane do paraboli Dziedzina funkcjiSkąd bierze się asymptota pionowa FunkcjeMapa działu

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.