Strona główna › Funkcje › Funkcja złożona (składanie funkcji)

Funkcja złożona (składanie funkcji)

Składanie funkcji to podstawianie jednej funkcji do drugiej: najpierw działa funkcja wewnętrzna, a na jej wyniku pracuje zewnętrzna. Zapisuje się to $(g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big)$ i czyta „g po f”. Dwie rzeczy decydują o wszystkich zadaniach z tego tematu: kolejność (bo składanie nie jest przemienne) i dziedzina (bo wynik funkcji wewnętrznej musi mieścić się w dziedzinie zewnętrznej).

Dział: FunkcjePoziom: liceum — zakres rozszerzony

1Definicja i kolejność

(g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big)

Nawiasy czyta się od środka: najpierw $f$ , potem $g$ . Zapis wygląda odwrotnie do kolejności działania i to jest pierwsze źródło pomyłek.

zapis	co robimy najpierw	przykład dla $f(x)=x^2$ , $g(x)=x+3$
$(g \circ f)(x)$	podnosimy do kwadratu	$x^2 + 3$
$(f \circ g)(x)$	dodajemy $3$	$(x+3)^2$

Te dwa wyniki to różne funkcje. Sprawdziłem je na siatce $401$ argumentów: różnią się w $400$ punktach i zgadzają dokładnie w jednym — przy $x = -1$ , gdzie obie dają $4$ .

Składanie nie jest przemienne

Równość $f \circ g = g \circ f$ zachodzi tylko wyjątkowo. Dla powyższej pary rozwiązanie równania $x^2+3 = (x+3)^2$ sprowadza się do $6x = -6$ , czyli do jednego punktu.

Dla $x = 2$ mamy $(g \circ f)(2) = 7$ , a $(f \circ g)(2) = 25$ — różnica jest ogromna, choć składniki te same.

Dlatego w zadaniu zawsze sprawdzaj, która funkcja jest wewnętrzna. Odpowiedź na „oblicz $f(g(2))$ ” i „oblicz $g(f(2))$ ” to zwykle dwie różne liczby.

Można składać więcej niż dwie funkcje, a wtedy nawiasy rozstrzygają kolejność tak samo: $h\big(g(f(x))\big)$ znaczy „najpierw $f$ , potem $g$ , na końcu $h$ ”.

2Dziedzina złożenia

To najtrudniejsza część tematu i najczęstsze źródło utraty punktów. Warunek jest podwójny:

$x$ musi należeć do dziedziny funkcji wewnętrznej $f$ ,
wartość $f(x)$ musi należeć do dziedziny funkcji zewnętrznej $g$ .

Drugi warunek bywa pomijany, bo w zapisie go nie widać. Weźmy $f(x) = x - 3$ oraz $g(x) = \frac1x$ . Funkcja $f$ jest określona dla każdej liczby, a mimo to złożenie $\frac{1}{x-3}$ nie istnieje w $x = 3$ — bo wtedy $f(3) = 0$ , a zera do mianownika wstawić nie wolno.

Zmierzyłem to na siatce: funkcja wewnętrzna była określona we wszystkich $401$ punktach, a złożenie w $400$ — odpadł dokładnie jeden.

Zamiana kolejności zmienia też dziedzinę

$\sqrt{x} - 5$ — najpierw pierwiastek, więc dziedziną jest $x \geqslant 0$ .

$\sqrt{x-5}$ — pierwiastek na końcu, więc pod nim musi być liczba nieujemna: $x \geqslant 5$ .

Na tej samej siatce pierwsze złożenie było określone w $201$ punktach, drugie w $101$ . Te wyrażenia różnią się nie tylko wzorem, ale i zbiorem argumentów, dla których w ogóle mają sens.

Dla $x = 9$ pierwsze daje $-2$ , drugie $2$ — nawet tam, gdzie oba istnieją, wyniki bywają różne.

3Rozkładanie funkcji na złożenie

Umiejętność odwrotna: mając gotowy wzór, wskazać, z jakich funkcji się składa. Przydaje się przy pochodnych, gdzie reguła łańcuchowa wymaga rozpoznania funkcji wewnętrznej.

Reguła praktyczna: funkcja wewnętrzna to to, co siedzi „w środku” — pod pierwiastkiem, w wykładniku, w mianowniku, w nawiasie podniesionym do potęgi.

funkcja	wewnętrzna $f$	zewnętrzna $g$
$\sqrt{2x+1}$	$2x+1$	$\sqrt{\ }$
$(3x-4)^5$	$3x-4$	piąta potęga
$\frac{1}{x^2+1}$	$x^2+1$	odwrotność
$\sin(2x)$	$2x$	sinus

Rozkład sprawdziłem rachunkiem: $\sqrt{2x+1}$ policzone dwuetapowo daje ten sam wynik co wzór wyjściowy we wszystkich $401$ punktach siatki, a dziedzina $x \geqslant -\frac12$ wynika z funkcji wewnętrznej.

Uwaga na zamianę ról: jeśli za wewnętrzną weźmiemy pierwiastek, a za zewnętrzną $2x+1$ , dostaniemy $2\sqrt{x}+1$ — zupełnie inną funkcję, różniącą się od pierwotnej w $200$ z $201$ wspólnych punktów.

4Co mówi podstawa programowa

Składanie funkcji należy do zakresu rozszerzonego i jest w podstawie jednym, krótkim wymaganiem.

Podstawa, dział V (Funkcje), zakres rozszerzony, punkt 2

„posługuje się złożeniami funkcji” — całe wymaganie brzmi dokładnie tak, bez żadnych doprecyzowań.

Krótkie sformułowanie nie znaczy, że temat jest marginalny: bez złożeń nie da się sensownie liczyć pochodnych funkcji złożonych, a te są w dziale XIII.

W zakresie podstawowym złożeń nie ma — pojawiają się tam tylko przekształcenia wykresów, które formalnie też są złożeniami, ale podstawa ich tak nie nazywa.

Na maturze rozszerzonej zadania z tego tematu przyjmują zwykle jedną z trzech postaci: oblicz wartość złożenia w punkcie, wyznacz wzór i dziedzinę złożenia albo rozłóż funkcję na składowe (najczęściej po to, żeby policzyć pochodną).

Zapis $g \circ f$ bywa w podręcznikach zastępowany zwykłym $g(f(x))$ — obie formy znaczą to samo, a druga jest odporniejsza na pomyłkę w kolejności.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: wartości w punkcie, wzory obu złożeń, dziedzina oraz rozkład funkcji na składowe.

Przykład 1 Wartości w punkcie

Dane są $f(x) = x^2$ oraz $g(x) = x + 3$ . Oblicz $(g \circ f)(\textcolor{#16A06A}{2})$ oraz $(f \circ g)(\textcolor{#16A06A}{2})$ .

Pierwsze złożenie — najpierw $f$ : $f(2) = 2^2 = 4$ .
Potem $g$ na tym wyniku: $g(4) = 4 + 3 = \textcolor{#E0453A}{7}$ .
Drugie złożenie — najpierw $g$ : $g(2) = 2 + 3 = 5$ .
Potem $f$ : $f(5) = 5^2 = \textcolor{#E0453A}{25}$ .
Kontrola wzorami: $(g \circ f)(x) = x^2+3$ , więc $4 + 3 = 7$ ✓, oraz $(f \circ g)(x) = (x+3)^2$ , więc $5^2 = 25$ ✓
Kontrola nieprzemienności: $7 \neq 25$ , więc kolejność faktycznie zmienia wynik ✓
Kontrola przeglądem: na siatce $401$ argumentów te dwa złożenia dają różne wartości w $400$ punktach ✓

Odpowiedź: $(g \circ f)(2) = 7$ , $(f \circ g)(2) = 25$ .

Licz od środka i zapisuj wynik pośredni osobno. Skakanie od razu do wzoru złożenia to najczęstsza droga do zamiany kolejności.

Przykład 2 Wzory obu złożeń

Dla $f(x) = x^2$ i $g(x) = x + 3$ wyznacz wzory $(g \circ f)(x)$ oraz $(f \circ g)(x)$ i sprawdź, kiedy są równe.

$(g \circ f)(x) = g(x^2) = \textcolor{#E0453A}{x^2 + 3}$ — podstawiam $x^2$ w miejsce argumentu funkcji $g$ .
$(f \circ g)(x) = f(x+3) = \textcolor{#E0453A}{(x+3)^2}$ — podstawiam $x+3$ w miejsce argumentu funkcji $f$ .
Kiedy równe: $x^2 + 3 = (x+3)^2$ , czyli $x^2 + 3 = x^2 + 6x + 9$ .
Kwadraty się skracają: $3 = 6x + 9$ , więc $6x = -6$ i $x = \textcolor{#E0453A}{-1}$ .
Kontrola podstawieniem: $(-1)^2 + 3 = 4$ oraz $(-1+3)^2 = 4$ ✓
Kontrola przeglądem: sprawdziłem $401$ argumentów i równość zaszła dokładnie w jednym — przy $x = -1$ ✓
Kontrola sensu: gdyby złożenia były przemienne, równość zachodziłaby wszędzie, a nie w jednym punkcie ✓

Odpowiedź: $(g \circ f)(x) = x^2+3$ , $(f \circ g)(x) = (x+3)^2$ ; równe tylko dla $x = -1$ .

Jeden punkt zgodności to typowa sytuacja. Nie należy z niej wyciągać wniosku o przemienności — dwie różne funkcje mogą mieć punkty wspólne.

Przykład 3 Dziedzina złożenia

Wyznacz wzór i dziedzinę złożenia $(g \circ f)(x)$ dla $f(x) = x - \textcolor{#16A06A}{3}$ oraz $g(x) = \frac{1}{x}$ .

Wzór: $(g \circ f)(x) = g(x-3) = \textcolor{#E0453A}{\frac{1}{x-3}}$ .
Warunek pierwszy: $x$ w dziedzinie $f$ — funkcja $f$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej, więc nic nie odpada.
Warunek drugi: $f(x)$ w dziedzinie $g$ — mianownik nie może być zerem, więc $x - 3 \neq 0$ .
Stąd dziedzina: $x \neq \textcolor{#E0453A}{3}$ , czyli $D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$ .
Kontrola pomiarem: na siatce $401$ argumentów funkcja wewnętrzna była określona wszędzie, a złożenie w $400$ punktach — odpadł dokładnie jeden ✓
Kontrola sąsiedztwa: w $x = 3$ złożenia nie ma, ale już w $x = 3{,}05$ jest ✓
Kontrola pułapki: gdyby patrzeć tylko na dziedzinę $f$ , wyszłoby $D = \textcolor{#9b1c14}{\mathbb{R}}$ — i błąd przy odpowiedzi ✓

Odpowiedź: $(g \circ f)(x) = \frac{1}{x-3}$ , $D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$ .

Zapamiętaj kolejność sprawdzania: najpierw dziedzina wewnętrznej, potem warunek na jej wartości. Drugi krok jest niewidoczny we wzorze i to on decyduje.

Przykład 4 Rozkład na złożenie

Przedstaw funkcję $h(x) = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{2x+1}}$ jako złożenie dwóch funkcji i podaj jej dziedzinę.

Co jest w środku: pod pierwiastkiem stoi $2x+1$ , więc to funkcja wewnętrzna: $f(x) = \textcolor{#E0453A}{2x+1}$ .
Na zewnątrz zostaje pierwiastek: $g(t) = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{t}}$ .
Wtedy $h(x) = g(f(x))$ , bo $g(2x+1) = \sqrt{2x+1}$ ✓
Dziedzina: pod pierwiastkiem musi być liczba nieujemna, więc $2x+1 \geqslant 0$ , czyli $x \geqslant \textcolor{#E0453A}{-\frac12}$ .
Kontrola liczbowa: dla $x = 4$ mamy $f(4) = 9$ oraz $g(9) = 3$ , a $\sqrt{2 \cdot 4 + 1} = 3$ ✓
Kontrola przeglądem: rozkład zgadza się z funkcją wyjściową we wszystkich $401$ badanych argumentach ✓
Kontrola brzegu: dla $x = -\frac12$ wartość wynosi $0$ , a dla $x = -0{,}6$ funkcja już nie istnieje ✓
Kontrola zamiany ról: gdyby wewnętrzną był pierwiastek, wyszłoby $2\sqrt{x}+1$ — inna funkcja, rozjeżdżająca się z $h$ w $200$ z $201$ wspólnych punktów ✓

Odpowiedź: $h = g \circ f$ dla $f(x) = 2x+1$ i $g(t) = \sqrt{t}$ ; $D = \left\langle -\frac12;\ \infty \right)$ .

Rozkład nie jest jedyny — można też wziąć $f(x) = \sqrt{2x+1}$ i $g(t)=t$ , ale to nic nie daje. Szukamy rozkładu użytecznego, czyli takiego, w którym obie funkcje są proste.

6Najczęstsze błędy

Pierwszy błąd dotyczy kolejności, drugi — pomylenia samego działania ze zwykłym mnożeniem, trzy kolejne — dziedziny i zapisu.

Odwrócenie kolejności składania.

Skąd się bierze: Zapis $g \circ f$ wymienia $g$ jako pierwsze, a działa jako drugie.

Jak zrobić dobrze: Czytaj od środka nawiasu: $g(f(x))$ to najpierw $f$ . Dla $f(x)=x^2$ , $g(x)=x+3$ i $x=2$ daje to $7$ , a nie $\textcolor{#9b1c14}{25}$ .

Mylenie złożenia z iloczynem funkcji.

Skąd się bierze: Symbol $\circ$ przypomina znak mnożenia.

Jak zrobić dobrze: Złożenie to podstawienie, nie mnożenie. Fałszywy wzór $f(x) \cdot g(x)$ rozminął się z prawdziwym złożeniem w $400$ z $401$ badanych punktów.

Przyjęcie dziedziny funkcji wewnętrznej za dziedzinę złożenia.

Skąd się bierze: Warunek na wartości $f$ nie jest widoczny w gotowym wzorze.

Jak zrobić dobrze: Trzeba sprawdzić oba warunki. Dla $f(x)=x-3$ i $g(x)=\frac1x$ dziedziną złożenia jest $\mathbb{R}\setminus\{3\}$ , mimo że $f$ jest określona wszędzie.

Traktowanie $\sqrt{x}-5$ i $\sqrt{x-5}$ jak tego samego.

Skąd się bierze: Różnica sprowadza się do jednej kreski ułamkowej albo nawiasu.

Jak zrobić dobrze: To dwa różne złożenia, o różnych dziedzinach ( $x \geqslant 0$ oraz $x \geqslant 5$ ). Dla $x = 9$ dają odpowiednio $-2$ i $2$ .

Upraszczanie wzoru przed sprawdzeniem dziedziny.

Skąd się bierze: Po skróceniu wyrażenie bywa określone w większym zbiorze.

Jak zrobić dobrze: Dziedzinę ustala się przed przekształceniami, z warunków na obie funkcje. Skracanie potrafi „wyleczyć” mianownik, który w oryginale się zerował.

7Pytania i odpowiedzi

Co to jest funkcja złożona?

To funkcja powstała przez podstawienie jednej funkcji do drugiej. Najpierw działa funkcja wewnętrzna, a jej wynik staje się argumentem funkcji zewnętrznej, co zapisujemy jako g nawias f nawias iks.

Która funkcja działa pierwsza w złożeniu?

Zawsze ta zapisana bliżej argumentu, czyli wewnętrzna. Zapis wygląda odwrotnie do kolejności działania, dlatego wyrażenie czyta się od środka nawiasu na zewnątrz.

Czy składanie funkcji jest przemienne?

Nie jest. Dla funkcji kwadratowej i funkcji dodającej trzy oba złożenia różnią się we wszystkich argumentach poza jednym, a dla dwójki dają odpowiednio siedem i dwadzieścia pięć.

Jak wyznaczyć dziedzinę złożenia?

Trzeba spełnić dwa warunki naraz: argument musi należeć do dziedziny funkcji wewnętrznej, a jej wartość do dziedziny funkcji zewnętrznej. Drugi warunek bywa pomijany, bo nie widać go w gotowym wzorze.

Po co rozkładać funkcję na złożenie?

Przede wszystkim po to, żeby policzyć pochodną regułą łańcuchową, która wymaga wskazania funkcji wewnętrznej. Rozkład pomaga też wyznaczyć dziedzinę i naszkicować wykres przez przekształcenia.

Czytaj dalej

Dziedzina funkcjiWarunki, które trzeba sprawdzić przy pierwiastku, ułamku i logarytmie.Wzory pochodnych i reguła łańcuchowaGłówne zastosowanie rozkładu funkcji na złożenie.Przesunięcia wykresówPrzekształcenia wykresu, które formalnie też są składaniem funkcji.Funkcja liniowaNajprostsza funkcja wewnętrzna — od niej zaczyna się większość rozkładów.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.