Strona główna › Funkcje › Ekstrema lokalne funkcji

Ekstrema lokalne funkcji

Q: Czy funkcja może mieć ekstremum tam, gdzie nie ma pochodnej?

Tak. Funkcja z wartością bezwzględną, na przykład |x-4|+2, ma w punkcie cztery minimum, choć wykres tworzy tam ostry dziób i pochodna nie istnieje. Warunek konieczny dotyczy wyłącznie funkcji różniczkowalnych.

Maksimum lokalne to najwyższy punkt w swojej okolicy, a nie w całej dziedzinie. To jedno słowo — „lokalne” — jest źródłem wszystkich nieporozumień w tym temacie: funkcja może mieć maksimum lokalne o wartości mniejszej niż jej minimum lokalne, może mieć ich kilka, i może osiągać największą wartość zupełnie gdzie indziej. Narzędziem jest pochodna, ale rozstrzyga tu definicja, nie rachunek.

Dział: FunkcjePoziom: liceum — zakres rozszerzony

1Lokalne czy globalne — dwie różne rzeczy

Zestawmy oba pojęcia obok siebie, bo w zadaniach maturalnych mylenie ich jest najczęstszym błędem merytorycznym w tym dziale.

	maksimum lokalne	wartość największa (maksimum globalne)
porównujemy z	wartościami z otoczenia punktu	wszystkimi wartościami funkcji
ile ich może być	dowolnie wiele	jedna wartość (choć w kilku punktach)
gdzie może wypaść	tylko wewnątrz dziedziny	także na krańcu przedziału
czy zawsze istnieje	nie	nie — zależy od funkcji i dziedziny

Trzeci wiersz jest tym, który najczęściej decyduje o punktach. Na krańcu przedziału ekstremum lokalnego nie ma, bo nie da się porównać wartości z otoczeniem z obu stron — a wartość największa jak najbardziej może tam wypaść.

Nazewnictwo, które warto ustalić raz

Ekstremum to wspólna nazwa maksimum i minimum.

Ekstremum lokalne dotyczy otoczenia punktu; sama nazwa „maksimum” bez przymiotnika w podręcznikach zwykle znaczy właśnie lokalne.

Wartość największa i najmniejsza to pojęcia globalne — i tak są nazywane w treściach zadań maturalnych, zwykle z dodatkiem „w przedziale”.

Warto też pamiętać, że ekstremum ma dwie współrzędne: argument, w którym wypada, i wartość, którą funkcja tam przyjmuje. Zdanie „funkcja ma maksimum równe $3$ ” mówi o wartości; „maksimum w punkcie $3$ ” — o argumencie. Zadania korzystają z tej różnicy jako z pułapki.

2Warunek konieczny i warunek wystarczający

Metoda opiera się na dwóch osobnych twierdzeniach, które trzeba trzymać oddzielnie.

Warunek konieczny. Jeśli funkcja różniczkowalna ma w punkcie ekstremum, to jej pochodna w tym punkcie wynosi zero. Stąd bierzemy kandydatów.
Warunek wystarczający. Jeśli pochodna zmienia znak przy przejściu przez punkt, to jest tam ekstremum: z plusa na minus — maksimum, z minusa na plus — minimum.

Odwrotność pierwszego zdania jest fałszywa i to właśnie sprawdzają zadania: zerowanie się pochodnej nie gwarantuje ekstremum, o czym piszę przy pochodnych na przykładzie funkcji o stale rosnącym wykresie.

Jest też druga, rzadziej wspominana strona tego samego medalu:

Ekstremum bez pochodnej

Warunek konieczny mówi o funkcjach różniczkowalnych. Tam, gdzie pochodna nie istnieje, ekstremum może istnieć swobodnie.

Funkcja $f(x) = |x - 4| + 2$ ma w punkcie $4$ minimum o wartości $2$ — wykres tworzy tam ostry dziób, więc pochodnej nie ma.

Wniosek praktyczny: szukając ekstremów, sprawdzaj nie tylko miejsca zerowe pochodnej, ale i punkty, w których pochodna nie istnieje.

3Tabela zmienności

To standardowy sposób zapisu rozwiązania — porządkuje rachunek i pokazuje wszystko naraz.

$x$	$(-\infty;\ -1)$	$-1$	$(-1;\ 3)$	$3$	$(3;\ +\infty)$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	rośnie	maks. lok.	maleje	min. lok.	rośnie

Tak wygląda tabela dla funkcji z pierwszego przykładu. Buduje się ją w czterech ruchach:

Policz pochodną i znajdź jej miejsca zerowe — to one dzielą oś na przedziały.
Ustal znak pochodnej w każdym przedziale, podstawiając jedną wygodną liczbę.
Wpisz zachowanie funkcji: plus oznacza wzrost, minus spadek.
Odczytaj ekstrema z miejsc, w których znak się zmienia — i policz w nich wartości funkcji.

Ostatni krok bywa pomijany, a to on daje odpowiedź. Tabela pokazuje, gdzie są ekstrema; ich wartości trzeba policzyć osobno, podstawiając do wzoru funkcji, a nie do pochodnej.

Uwaga na przedziały, w których pochodna zeruje się bez zmiany znaku — w tabeli widać to jako „ $+$ , $0$ , $+$ ”. Taki punkt nie jest ekstremum, choć w rachunku wygląda tak samo jak kandydat, który nim jest.

4Czego szukać w podstawie programowej

Ciekawostka, którą warto znać, planując naukę: słowo „ekstremum” nie pojawia się w żadnym wymaganiu podstawy programowej z matematyki od 2025 roku. Sprawdziłem oba dokumenty osobno, bo to dwa różne akty: w podstawie dla liceum rdzeń „ekstrem” nie pada ani razu, a w podstawie dla szkoły podstawowej — dokładnie raz, i to nie w wymaganiach, tylko w komentarzu o pracy z wykresami zależności.

Warto przeczytać ten jeden fragment w całości, bo mówi więcej, niż sugeruje sama nieobecność: „operowanie wykresami zależności pozwala na intuicyjne opanowanie trudnych i abstrakcyjnych pojęć takich jak funkcja, monotoniczność, ekstrema, przy użyciu minimalnej wiedzy matematycznej (nie należy wprowadzać tych pojęć w szkole podstawowej). Stanowi to wstęp do wprowadzenia tych pojęć w szkole ponadpodstawowej”. Czyli dokument nie tyle pomija ekstrema, ile odkłada je do liceum — i sam to zapowiada.

Nie znaczy to jednak, że temat jest zbędny — trzeba tu rozdzielić dwa pytania:

Czy pojęcie jest wymienione w wymaganiach? Nie. Podstawa mówi o stosowaniu pochodnej do badania monotoniczności funkcji (dział XIII, zakres rozszerzony, punkt 5) i o rozwiązywaniu zadań optymalizacyjnych z zastosowaniem pochodnej (punkt 6).
Czy jest funkcjonalnie potrzebne? Tak. Obu tych rzeczy nie da się zrobić bez rozpoznawania punktów, w których pochodna zmienia znak — a to jest dokładnie definicja ekstremum lokalnego.

Praktycznie: zadanie maturalne raczej nie poprosi o „wyznaczenie ekstremów lokalnych” tym słowem, ale poprosi o zadanie optymalizacyjne albo o przedziały monotoniczności — czyli o tę samą pracę pod inną nazwą.

W zadaniach o wartość największą i najmniejszą w przedziale domkniętym schemat jest stały: kandydaci to ekstrema lokalne wewnątrz przedziału oraz oba krańce. Porównanie wartości w tych punktach rozstrzyga wszystko.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: pełne badanie wielomianu, punkt bez ekstremum mimo zerowania pochodnej, ekstremum w punkcie bez pochodnej oraz porównanie ekstremów lokalnych z wartościami na krańcach.

Przykład 1 Ekstrema wielomianu trzeciego stopnia

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ .

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$ .
Miejsca zerowe pochodnej: $x = \textcolor{#16A06A}{-1}$ oraz $x = \textcolor{#16A06A}{3}$ — dwaj kandydaci.
Znak pochodnej: dla $x = -2$ mamy $3 \cdot (-5)(-1) = 15 > 0$ ; dla $x = 0$ mamy $3 \cdot (-3)(1) = -9 < 0$ ; dla $x = 4$ mamy $3 \cdot 1 \cdot 5 = 15 > 0$ .
Zmiana z plusa na minus w $-1$ : maksimum lokalne. Zmiana z minusa na plus w $3$ : minimum lokalne ✓
Wartości: $f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = \textcolor{#E0453A}{10}$ oraz $f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = \textcolor{#E0453A}{-22}$ .
Kontrola liczbowa maksimum: $f(-2) = -8 - 12 + 18 + 5 = 3$ oraz $f(0) = 5$ — obie mniejsze od $10$ ✓
Kontrola liczbowa minimum: $f(2) = 8 - 12 - 18 + 5 = -17$ oraz $f(4) = 64 - 48 - 36 + 5 = -15$ — obie większe od $-22$ ✓

Odpowiedź: Maksimum lokalne $10$ w punkcie $-1$ , minimum lokalne $-22$ w punkcie $3$ .

Zwróć uwagę, że maksimum lokalne ( $10$ ) jest większe od minimum lokalnego ( $-22$ ) — ale to cecha tej konkretnej funkcji, nie reguła. Przesunięcie wykresu niczego tu nie zmieni, bo dodaje tę samą liczbę do obu wartości. Wystarczy jednak wziąć inną funkcję: $f(x) = x + \frac{1}{x}$ ma maksimum lokalne równe $-2$ (w punkcie $-1$ ) i minimum lokalne równe $2$ (w punkcie $1$ ) — maksimum leży tu niżej niż minimum, bo oba pojęcia opisują wyłącznie okolicę punktu.

Przykład 2 Pochodna zeruje się, a ekstremum nie ma

Zbadaj, czy funkcja $g(x) = (x - 2)^3 + 1$ ma ekstremum lokalne.

$g'(x) = 3(x - 2)^2$ .
Miejsce zerowe pochodnej: $x = \textcolor{#16A06A}{2}$ — kandydat istnieje.
Znak pochodnej: kwadrat jest nieujemny, więc $g'(x) > 0$ po obu stronach dwójki.
Pochodna nie zmienia znaku, więc warunek wystarczający nie jest spełniony — ekstremum nie ma ✓
Kontrola liczbowa: $g(1) = -1 + 1 = 0$ , $g(2) = 1$ , $g(3) = 1 + 1 = 2$ — wartości cały czas rosną ✓
Kontrola dodatkowa: $g(1{,}9) = (-0{,}1)^3 + 1 = 0{,}999$ , a $g(2{,}1) = 1{,}001$ — nawet w bardzo bliskim otoczeniu funkcja rośnie ✓

Odpowiedź: Funkcja nie ma ekstremum lokalnego; jest rosnąca w całej dziedzinie.

W punkcie $2$ wykres ma poziomą styczną, ale nie zmienia kierunku — matematycznie mówimy o punkcie przegięcia z poziomą styczną. Sam fakt zerowania pochodnej nigdy nie kończy zadania.

Przykład 3 Ekstremum tam, gdzie pochodnej nie ma

Wykaż, że funkcja $h(x) = |x - 4| + 2$ ma minimum lokalne, i podaj jego wartość.

Wartość bezwzględna jest nieujemna, więc $|x - 4| \geqslant 0$ dla każdego $x$ .
Stąd $h(x) \geqslant 2$ , a równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy $x = \textcolor{#16A06A}{4}$ .
W punkcie $4$ funkcja przyjmuje więc wartość $\textcolor{#E0453A}{2}$ , mniejszą niż w każdym innym punkcie — jest tam minimum.
Kontrola z obu stron: $h(3) = 1 + 2 = 3$ oraz $h(5) = 1 + 2 = 3$ — obie większe od $2$ ✓
Kontrola bliżej: $h(3{,}9) = 0{,}1 + 2 = 2{,}1$ oraz $h(4{,}1) = 2{,}1$ ✓
Dlaczego pochodna tu nie pomoże: na lewo od $4$ funkcja maleje ze stałym nachyleniem $-1$ , na prawo rośnie ze stałym nachyleniem $1$ — w samym punkcie $4$ pochodna nie istnieje.

Odpowiedź: Minimum (lokalne i zarazem globalne) o wartości $2$ w punkcie $4$ .

To jedyny przykład na tej stronie, w którym pochodna jest niepotrzebna — i dobrze pokazuje, że definicja ekstremum jest od pochodnej niezależna. Pochodna to narzędzie, a nie definicja.

Przykład 4 Ekstrema lokalne a wartość największa w przedziale

Funkcja $f(x) = x^3 - 3x$ jest określona na przedziale $\langle -3;\ 2 \rangle$ . Wyznacz jej ekstrema lokalne oraz wartość największą i najmniejszą.

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$ , więc kandydaci to $x = \textcolor{#16A06A}{-1}$ i $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ ; oba należą do przedziału.
Znak pochodnej: dodatni przed $-1$ , ujemny między $-1$ a $1$ , dodatni po $1$ .
Ekstrema lokalne: maksimum $f(-1) = -1 + 3 = 2$ oraz minimum $f(1) = 1 - 3 = -2$ .
Wartości na krańcach: $f(-3) = -27 + 9 = -18$ oraz $f(2) = 8 - 6 = 2$ .
Porównuję cztery liczby: $-18$ , $2$ , $-2$ , $2$ .
Wartość najmniejsza to $\textcolor{#E0453A}{-18}$ i wypada na krańcu, gdzie żadnego ekstremum lokalnego nie ma ✓
Wartość największa to $\textcolor{#E0453A}{2}$ i jest osiągana w dwóch punktach: w $-1$ (ekstremum lokalne) oraz w $2$ (kraniec) ✓

Odpowiedź: Maks. lokalne $2$ w $-1$ , min. lokalne $-2$ w $1$ ; wartość największa $2$ , najmniejsza $-18$ .

To zadanie pokazuje obie pułapki naraz: najmniejsza wartość wypada tam, gdzie ekstremum lokalnego nie ma, a największa jest osiągana w dwóch różnych punktach. Dlatego porównuje się wartości, a nie liczy same ekstrema.

6Najczęstsze błędy

Trzy pierwsze błędy dotyczą definicji, dwa ostatnie — rachunku i zapisu odpowiedzi.

Utożsamianie maksimum lokalnego z wartością największą.

Skąd się bierze: Przy prostych wykresach jedno pokrywa się z drugim, więc różnica wydaje się formalna.

Jak zrobić dobrze: Maksimum lokalne porównuje się tylko z otoczeniem punktu. Wartość największa może wypaść na krańcu przedziału, gdzie ekstremum lokalnego z definicji nie ma.

Uznanie każdego miejsca zerowego pochodnej za ekstremum.

Skąd się bierze: Warunek konieczny bywa zapamiętywany jako „warunek”, bez przymiotnika.

Jak zrobić dobrze: Konieczne jest sprawdzenie zmiany znaku. Dla $g(x) = (x-2)^3 + 1$ pochodna zeruje się w dwójce, a ekstremum tam nie ma.

Szukanie ekstremów wyłącznie wśród miejsc zerowych pochodnej.

Skąd się bierze: Warunek konieczny dotyczy funkcji różniczkowalnych, a to zastrzeżenie łatwo pominąć.

Jak zrobić dobrze: Sprawdzaj też punkty, w których pochodna nie istnieje. Funkcja $|x - 4| + 2$ ma minimum właśnie w takim punkcie.

Podanie argumentu zamiast wartości ekstremum.

Skąd się bierze: Miejsce zerowe pochodnej jest ostatnią policzoną liczbą.

Jak zrobić dobrze: Wartość ekstremum to $f(x_0)$ , a nie $x_0$ . W pierwszym przykładzie maksimum wynosi $10$ , a nie $\textcolor{#9b1c14}{-1}$ — minus jeden to argument.

Podstawianie kandydata do pochodnej zamiast do funkcji.

Skąd się bierze: Cały rachunek toczy się na pochodnej, więc odruch prowadzi do niej.

Jak zrobić dobrze: Wartość ekstremum liczy się ze wzoru funkcji. Podstawienie do pochodnej da zawsze zero — bo dokładnie z tego warunku wyznaczono kandydata.

7Pytania i odpowiedzi

Czym różni się ekstremum lokalne od wartości największej?

Ekstremum lokalne porównuje wartość funkcji tylko z jej otoczeniem, a wartość największa — ze wszystkimi wartościami w rozważanym zbiorze. Wartość największa może wypadać na krańcu przedziału, gdzie ekstremum lokalnego nie ma.

Czy zerowanie się pochodnej oznacza ekstremum?

Nie, to tylko warunek konieczny dla funkcji różniczkowalnych. Ekstremum jest tam, gdzie pochodna zmienia znak. Jeśli zeruje się bez zmiany znaku, jak dla sześcianu przesuniętego, ekstremum nie ma.

Czy funkcja może mieć ekstremum tam, gdzie nie ma pochodnej?

Tak. Funkcja z wartością bezwzględną, na przykład $|x-4|+2$ , ma w punkcie cztery minimum, choć wykres tworzy tam ostry dziób i pochodna nie istnieje. Warunek konieczny dotyczy wyłącznie funkcji różniczkowalnych.

Jak zbudować tabelę zmienności?

Wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej, podzielić nimi oś na przedziały, ustalić znak pochodnej w każdym z nich przez podstawienie jednej liczby, a następnie odczytać ekstrema z miejsc zmiany znaku i policzyć w nich wartości funkcji.

Czy ekstrema lokalne są w podstawie programowej?

Samo słowo nie pada w wymaganiach z matematyki. Podstawa wymaga stosowania pochodnej do badania monotoniczności oraz rozwiązywania zadań optymalizacyjnych, a obu tych rzeczy nie da się wykonać bez rozpoznawania punktów zmiany znaku pochodnej.

Czytaj dalej

PochodneZnak pochodnej a monotoniczność oraz to, dlaczego samo zerowanie niczego nie przesądza.Zadania optymalizacyjnePraktyczne zastosowanie ekstremów: największe pole, najmniejszy koszt, najkrótsza odległość.Odczytywanie wartości z wykresuWartość największa i najmniejsza w przedziale domkniętym czytana bez rachunku.Postać kanoniczna funkcji kwadratowejNajprostszy przypadek ekstremum — wierzchołek paraboli widoczny wprost we wzorze.Badanie przebiegu zmienności funkcjiPełny schemat, w którym ekstrema są jednym z kroków

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.