Twierdzenie sinusów

Odpowiedź: A

1. Prawa strona wygląda groźnie, ale wystarczy wyciągnąć trójkę przed nawias i zobaczyć, co zostaje.
2. $\textcolor{#16A06A}{3}\sin^2\alpha + \textcolor{#16A06A}{3}\cos^2\alpha = \textcolor{#16A06A}{3}\left(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha\right) = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{1} = \textcolor{#E0453A}{3}$
3. Cała prawa strona to po prostu liczba $3$ — nie zależy od kąta w ogóle.
4. Zostaje równanie liniowe:
5. $\textcolor{#16A06A}{4}\operatorname{tg}\alpha = \textcolor{#E0453A}{3} \qquad \Longrightarrow \qquad \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{3}{4}$
6. Odpowiedź: $\tfrac34$, czyli A.
7. Sprawdzenie: dla $\operatorname{tg}\alpha = \tfrac34$ mamy trójkąt o przyprostokątnych $3$ i $4$, więc $\sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac35}$ i $\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac45}$.
8. Lewa strona: $4 \cdot \tfrac34 = \textcolor{#E0453A}{3}$. Prawa: $3 \cdot \tfrac{9}{25} + 3 \cdot \tfrac{16}{25} = \tfrac{27}{25} + \tfrac{48}{25} = \tfrac{75}{25} = \textcolor{#E0453A}{3}$ ✓
9. Zwróć uwagę, że informacja „kąt jest ostry” nie była tu potrzebna do rachunku — zapewnia tylko, że taki kąt istnieje i jest jeden.

💡 Wskazówka: Zanim cokolwiek policzysz, przejrzyj obie strony równania i sprawdź, czy któraś nie zwija się do liczby. Wyrażenie $3\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha$ to $3$ razy jedynka trygonometryczna, więc równanie z pozoru trygonometryczne okazuje się zwykłym równaniem liniowym z jedną niewiadomą.

⚠ Odwrócenie ułamka i wybór $\tfrac43$ (odpowiedź B) — z $4\operatorname{tg}\alpha = 3$ dzielimy przez $4$, więc czwórka idzie do mianownika. Drugi błąd: uznanie, że $3\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha$ to $3 + 3 = 6$ albo $9$; jedynka wychodzi z sumy kwadratów, a trójka stoi przed nawiasem tylko raz. Trzeci: wybór $4$ (D) przez zatrzymanie się na współczynniku z lewej strony.

Odpowiedź: A

1. Nie licz cosinusa. Iloczyn $\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha$ upraszcza się sam — wystarczy podstawić definicję tangensa.
2. $\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{\sin\alpha}$
3. Cosinus się skraca i zostaje sam sinus — a jego wartość jest podana w treści:
4. $1 + \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = 1 + \textcolor{#16A06A}{\dfrac13} = \dfrac{4}{3}$
5. Odpowiedź: $\tfrac43$, czyli A.
6. Kontrola drogą dłuższą, dla pewności. Z jedynki: $\cos^2\alpha = 1 - \tfrac19 = \textcolor{#E0453A}{\tfrac89}$, więc $\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{2\sqrt2}{3}}$ (dodatni, bo kąt ostry).
7. $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{1/3}{2\sqrt2/3} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2\sqrt2}}$, a wtedy $\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2\sqrt2}} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2\sqrt2}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac13}$ ✓
8. Ta sama odpowiedź, tylko przez pierwiastki i cztery dodatkowe rachunki. Warto rozpoznać skrócenie, bo oszczędza całej tej pracy — i przy okazji nie daje okazji do pomyłki w niewymiernościach.
9. Zauważ, że tożsamość $\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = \sin\alpha$ działa dla każdego kąta, przy którym cosinus nie jest zerem. Wartość $\tfrac13$ z treści wchodzi więc wprost do wyniku.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj trzy skrócenia, które wracają w tych zadaniach: $\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = \sin\alpha$,  $\tfrac{\sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha} = \cos\alpha$  oraz  $\tfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \tfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Zanim policzysz brakującą funkcję z jedynki, sprawdź, czy wyrażenie nie skraca się do czegoś, co już masz w treści.

⚠ Policzenie cosinusa i tangensa osobno, a potem pomnożenie — droga poprawna, ale przechodzi przez $\tfrac{2\sqrt2}{3}$ i łatwo w niej pomylić się w pierwiastku. Poważniejszy błąd: uznanie, że $\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha$ to $\sin\alpha \cdot \cos^2\alpha$ albo $\tfrac{\sin\alpha}{\cos^2\alpha}$ — cosinus w mianowniku tangensa skraca się z tym mnożonym, a nie dodaje do potęgi. Dystraktory z dziewiątkami w mianowniku ($\tfrac{11}{9}$, $\tfrac{17}{9}$) są ustawione na kogoś, kto policzy $\cos^2\alpha = \tfrac89$ i wstawi ten kwadrat do wyniku.

Odpowiedź: A

1. Krok 1 — cosinus z jedynki.
2. $\cos^2\alpha = 1 - \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac45}\right)^2 = 1 - \dfrac{\textcolor{#E0453A}{16}}{\textcolor{#E0453A}{25}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{9}{25}}$
3. $\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{\dfrac35}$  (dodatni, bo kąt jest ostry)
4. Krok 2 — odejmujemy. Mianowniki są te same, więc odejmujemy liczniki:
5. $\sin\alpha - \cos\alpha = \textcolor{#16A06A}{\dfrac45} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac35} = \dfrac{1}{5}$
6. Odpowiedź: $\tfrac15$, czyli A.
7. Warto rozpoznać trójkę pitagorejską $3, 4, 5$: jeśli sinus wynosi $\tfrac45$, to cosinus wynosi $\tfrac35$ i nie trzeba liczyć jedynki. Ta trójka wraca w zadaniach maturalnych częściej niż jakakolwiek inna.
8. Kontrola liczbowa: $\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{53{,}13^\circ}$, $\sin\alpha = 0{,}8$, $\cos\alpha = 0{,}6$, różnica $= \textcolor{#E0453A}{0{,}2} = \tfrac15$ ✓
9. Skąd dystraktory. Odpowiedź $\tfrac{1}{25}$ (D) to kwadrat poprawnej odpowiedzi — podniesienie różnicy do kwadratu, choć zadanie o to nie prosi. Odpowiedź $\tfrac35$ (B) to sam cosinus, czyli zatrzymanie się po pierwszym kroku. Odpowiedź $\tfrac{17}{25}$ (C) ma mianownik $25$, czyli kwadrat piątki — pojawia się u kogoś, kto operuje kwadratami funkcji zamiast samymi funkcjami.

💡 Wskazówka: Naucz się rozpoznawać trójki pitagorejskie w mianownikach: $\left(3,4,5\right)$, $\left(5,12,13\right)$, $\left(8,15,17\right)$, $\left(7,24,25\right)$. Jeśli sinus ma mianownik $5$, $13$, $17$ albo $25$, drugą funkcję odczytasz z pamięci i oszczędzisz liczenia jedynki. Sprawdzenie jest natychmiastowe: kwadraty liczników muszą sumować się do kwadratu mianownika.

⚠ Odjęcie w odwrotnej kolejności i podanie $-\tfrac15$ — treść pyta o $\sin\alpha - \cos\alpha$, w tej kolejności. Liczby ujemnej nie ma wśród odpowiedzi, więc błąd się ujawnia, ale kosztuje czas. Drugi błąd: zatrzymanie się na cosinusie i wybór $\tfrac35$ (B). Trzeci: podniesienie różnicy do kwadratu i wybór $\tfrac{1}{25}$ (D) — zadanie pyta o samą różnicę, bez kwadratu.

Odpowiedź: A

1. Krok 1 — sinus. Trójka pitagorejska $3,4,5$: skoro $\cos\alpha = \textcolor{#16A06A}{\tfrac35}$, to $\sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac45}$.
2. (z jedynki: $\sin^2\alpha = 1 - \tfrac{9}{25} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{16}{25}}$, więc $\sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac45}$)
3. Krok 2 — tangens.
4. $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{4/5}}{\textcolor{#16A06A}{3/5}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac43}$  (piątki się skracają)
5. Krok 3 — iloczyn.
6. $\sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha = \textcolor{#E0453A}{\dfrac45} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac43} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{16}}{\textcolor{#E0453A}{15}}$
7. Odpowiedź: $\tfrac{16}{15}$, czyli A.
8. Szybsza droga. Skoro $\operatorname{tg}\alpha = \tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, to
9. $\sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{16/25}}{\textcolor{#16A06A}{3/5}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{16}{25}} \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac53} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{16}}{\textcolor{#E0453A}{15}}$
10. — jedno przekształcenie mniej i nie trzeba wyznaczać tangensa osobno.
11. Kontrola rzędu wielkości. Wynik jest większy od $1$ i to warto zauważyć: $\sin\alpha < 1$, ale $\operatorname{tg}\alpha = \tfrac43 > 1$, a iloczyn wychodzi tuż nad jedynką. Odpowiedzi B, C i D są wszystkie mniejsze od $1$, więc odpadają jednym spojrzeniem — o ile pamięta się, że tangens kąta większego od $45^\circ$ przekracza jedynkę.
12. Kontrola liczbowa: $0{,}8 \cdot 1{,}3333 \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}0667}$, a $\tfrac{16}{15} \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}0667}$ ✓

💡 Wskazówka: Zamiast liczyć tangens osobno, zapisz od razu $\sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha = \tfrac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}$ — kwadrat sinusa dostajesz wprost z jedynki, bez pierwiastkowania. Przy okazji porównaj wynik z jedynką: jeśli cosinus jest mniejszy od sinusa, to tangens przekracza $1$ i iloczyn też, co często odrzuca większość odpowiedzi.

⚠ Odwrócenie ułamka i wybór $\tfrac{15}{16}$ (odpowiedź B) — liczby te same, tylko odwrotność. Kontrola rzędu wielkości to wykrywa: wynik musi być większy od jedynki. Drugi błąd: policzenie $\sin\alpha \cdot \cos\alpha = \tfrac{12}{25}$ zamiast $\sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha$, czyli pomylenie tangensa z cosinusem. Trzeci: odpowiedź $\tfrac{6}{20}$ (D) to $\tfrac{3}{5} \cdot \tfrac{2}{4}$, czyli iloczyn liczb wziętych z treści bez żadnej drogi rachunkowej — czysty dystraktor.

Odpowiedź: A

1. Pytanie dotyczy kwadratu cosinusa, więc pierwiastkowanie jest zbędne — jedynka daje kwadrat od razu.
2. $\cos^2\alpha = 1 - \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac34}\right)^2 = 1 - \dfrac{\textcolor{#E0453A}{9}}{\textcolor{#E0453A}{16}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{7}{16}}$
3. Podstawiamy:
4. $2 - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{7}{16}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{32}}{\textcolor{#E0453A}{16}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{7}{16}} = \dfrac{25}{16}$
5. Odpowiedź: $\tfrac{25}{16}$, czyli A.
6. Kontrola liczbowa: $\cos^2\alpha = 0{,}4375$, więc $2 - 0{,}4375 = \textcolor{#E0453A}{1{,}5625}$, a $\tfrac{25}{16} = \textcolor{#E0453A}{1{,}5625}$ ✓
7. Kontrola rzędu wielkości. Kwadrat cosinusa mieści się między $0$ i $1$, więc całe wyrażenie musi być między $1$ i $2$. Odpowiedź $\tfrac{31}{16} \approx 1{,}94$ też się w tym mieści, ale $\tfrac{3}{2} = 1{,}5$ i $\tfrac{17}{16} \approx 1{,}06$ są podejrzanie blisko krańców. Rachunek trzeba więc dokończyć — samo oszacowanie nie rozstrzyga.
8. Skąd dystraktory. Odpowiedź $\tfrac{17}{16}$ (C) to $2 - \tfrac{15}{16}$, czyli policzenie $\cos^2\alpha$ jako $1 - \tfrac{1}{16}$ — pomyłka w kwadracie licznika ($3^2 = 9$, nie $1$). Odpowiedź $\tfrac{31}{16}$ (D) to $2 - \tfrac{1}{16}$, czyli podniesienie do kwadratu tylko mianownika. Odpowiedź $\tfrac32$ (B) to $2 - \tfrac12$ — cosinus przyjęty „na oko” jako $\tfrac{1}{\sqrt2}$.

💡 Wskazówka: Gdy pytanie dotyczy kwadratu funkcji, nie wyciągaj pierwiastka. Jedynka trygonometryczna daje $\cos^2\alpha$ bezpośrednio, a pierwiastkowanie i ponowne podnoszenie do kwadratu to dwie zbędne operacje i dwie okazje do pomyłki. Ta sama uwaga dotyczy zadań o $\sin^2$, $2\cos^2 - 1$ i podobnych.

⚠ Podniesienie do kwadratu tylko licznika albo tylko mianownika: $\left(\tfrac34\right)^2$ to $\tfrac{9}{16}$, a nie $\tfrac{3}{16}$ ani $\tfrac{9}{4}$. Dwa z czterech dystraktorów są ustawione właśnie na tę pomyłkę. Drugi błąd: policzenie $\cos\alpha = \tfrac{\sqrt7}{4}$, a potem podnoszenie tego do kwadratu — droga poprawna, ale okrężna, bo jedynka dała już kwadrat. Trzeci: odjęcie w odwrotną stronę, czyli $\tfrac{7}{16} - 2$, co daje liczbę ujemną, której nie ma wśród odpowiedzi.

Odpowiedź: A

1. $\cos^2\alpha = 1 - \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac{\sqrt3}{2}}\right)^2 = 1 - \dfrac{\textcolor{#E0453A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{4}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac14}$
2. (kwadrat pierwiastka z trójki to po prostu $\textcolor{#E0453A}{3}$ — pierwiastek znika)
3. Podstawiamy:
4. $\textcolor{#E0453A}{\dfrac14} - 2 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac14} - \dfrac{\textcolor{#E0453A}{8}}{\textcolor{#E0453A}{4}} = -\dfrac{7}{4}$
5. Odpowiedź: $-\tfrac74$, czyli A.
6. Kontrola znaku — najważniejsza rzecz tutaj. Kwadrat cosinusa nie przekracza $1$, a odejmujemy $2$, więc wynik musi być ujemny. To odrzuca odpowiedzi C i D bez rachunku.
7. Sinus $\tfrac{\sqrt3}{2}$ rozpoznasz z tabeli: to sinus kąta $\textcolor{#E0453A}{60^\circ}$. Wtedy $\cos 60^\circ = \textcolor{#E0453A}{\tfrac12}$, więc $\cos^2\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac14}$ ✓ — ta sama liczba, tylko szybciej.
8. Kontrola liczbowa: $0{,}25 - 2 = \textcolor{#E0453A}{-1{,}75}$, a $-\tfrac74 = \textcolor{#E0453A}{-1{,}75}$ ✓
9. Odpowiedź $-\tfrac14$ (B) to $\cos^2\alpha$ ze znakiem minus, czyli zapomnienie o odjęciu dwójki. Odpowiedź $\tfrac{\sqrt3}{2}$ (D) to przepisana dana z treści.

💡 Wskazówka: Zacznij od znaku: skoro $0 \leqslant \cos^2\alpha \leqslant 1$, to $\cos^2\alpha - 2$ leży między $-2$ i $-1$. To nie tylko odrzuca dwie odpowiedzi, ale też pozwala sprawdzić wynik na koniec — $-\tfrac74 = -1{,}75$ mieści się w tym przedziale, a gdyby wyszło coś poza nim, gdzieś jest błąd.

⚠ Wybór $-\tfrac14$ (odpowiedź B), czyli podanie samego $-\cos^2\alpha$ i pominięcie odjęcia dwójki. Drugi błąd: potraktowanie $\left(\tfrac{\sqrt3}{2}\right)^2$ jako $\tfrac{\sqrt3}{4}$ — kwadrat pierwiastka z trójki to trójka, pierwiastek znika. Trzeci: wybór $\tfrac12$ (C), czyli podanie cosinusa kąta $60^\circ$; to poprawnie policzona liczba, ale odpowiada na inne pytanie i ma zły znak wobec oszacowania.

Odpowiedź: B

1. Uwaga na daną. To $\tfrac{\sqrt3}{3}$, a nie $\tfrac{\sqrt3}{2}$ — liczby wyglądają podobnie, ale to zupełnie inny kąt. Kwadratujemy uważnie:
2. $\sin^2\alpha = \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac{\sqrt3}{3}}\right)^2 = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{9}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac13}$
3. Cosinus kwadrat z jedynki:
4. $\cos^2\alpha = 1 - \textcolor{#E0453A}{\dfrac13} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac23}$
5. Podstawiamy do wyrażenia:
6. $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{\dfrac23} - 1 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac43} - 1 = \dfrac{1}{3}$
7. Odpowiedź: $\tfrac13$, czyli B.
8. Kontrola liczbowa: $\tfrac{\sqrt3}{3} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}5774}$, więc $\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{35{,}26^\circ}$ i $\cos\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}8165}$.
9. $2 \cdot 0{,}8165^2 - 1 = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{0{,}6667} - 1 = \textcolor{#E0453A}{0{,}3333} = \tfrac13$ ✓
10. Drugi zapis tej samej liczby. Ułamek $\tfrac{\sqrt3}{3}$ to $\tfrac{1}{\sqrt3}$ po usunięciu niewymierności z mianownika — warto to zauważyć, bo wtedy $\sin^2\alpha = \tfrac13$ widać od razu, bez kwadratowania pierwiastka.
11. Odpowiedź $0$ (A) wychodzi, jeśli ktoś przyjmie $\cos^2\alpha = \tfrac12$, czyli pomyli daną z sinusem kąta $45^\circ$. Odpowiedź $\tfrac59$ (C) to $2 \cdot \tfrac79 - 1$, czyli wynik przy błędnym $\cos^2\alpha = \tfrac79$ — a taki wychodzi, gdy ktoś przyjmie $\sin^2\alpha = \tfrac29$ zamiast $\tfrac13$. Mianownik $9$ w obu dystraktorach jest sygnałem, że w rachunku został kwadrat mianownika danej.

💡 Wskazówka: Przy ułamkach z pierwiastkiem sprawdź, czy nie da się ich zapisać prościej. Tu $\tfrac{\sqrt3}{3} = \tfrac{1}{\sqrt3}$, więc kwadrat to $\tfrac13$ — jedno spojrzenie zamiast rachunku. Uważaj też na podobieństwo do $\tfrac{\sqrt3}{2}$: te dwie liczby różnią się mianownikiem i odpowiadają kątom $35^\circ$ i $60^\circ$, więc pomylenie ich psuje całe zadanie.

⚠ Pomylenie danej $\tfrac{\sqrt3}{3}$ z $\tfrac{\sqrt3}{2}$ z tabeli wartości szczególnych. Wtedy $\sin^2\alpha = \tfrac34$, $\cos^2\alpha = \tfrac14$ i wyrażenie daje $-\tfrac12$ — liczby nie ma wśród odpowiedzi, co ratuje, ale kosztuje czas. Drugi błąd: podniesienie do kwadratu tylko mianownika, czyli $\sin^2\alpha = \tfrac{\sqrt3}{9}$; kwadrat dotyczy licznika i mianownika, a $\left(\sqrt3\right)^2 = 3$. Trzeci: pomnożenie przez $2$ przed odjęciem jedynki w odwrotnej kolejności, czyli policzenie $2\left(\cos^2\alpha - 1\right) = -\tfrac23$ — kolejność działań stawia mnożenie przed odejmowaniem.

Odpowiedź: A

1. Po obu stronach równania stoi sinus — po jednej ukryty w tangensie. Wystarczy go skrócić.
2. Podstawiamy definicję tangensa:
3. $\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \textcolor{#16A06A}{2}\sin\alpha$
4. Dzielimy obie strony przez $\sin\alpha$. Wolno, bo dla kąta z przedziału $\textcolor{#16A06A}{(0^\circ, 90^\circ)}$ sinus jest dodatni, więc różny od zera:
5. $\dfrac{1}{\cos\alpha} = \textcolor{#16A06A}{2}$
6. Odwracamy:
7. $\cos\alpha = \dfrac{1}{2}$
8. Odpowiedź: $\tfrac12$, czyli A.
9. Sprawdzenie: $\cos\alpha = \tfrac12$ oznacza $\alpha = \textcolor{#E0453A}{60^\circ}$, więc $\sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt3}{2}}$ i $\operatorname{tg}\alpha = \textcolor{#E0453A}{\sqrt3}$.
10. Lewa strona: $\textcolor{#E0453A}{\sqrt3} \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}732}$. Prawa: $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt3}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt3}$ ✓ Równość zachodzi.
11. Po co warunek na kąt. Gdyby dopuścić $\alpha = 0^\circ$, to $\sin\alpha = 0$ i równanie $\operatorname{tg}\alpha = 2\sin\alpha$ byłoby spełnione trywialnie ($0 = 0$), a dzielenie przez sinus stałoby się niedozwolone. Przedział $(0^\circ, 90^\circ)$ usuwa ten przypadek i to jedyna jego rola.
12. Odpowiedź $1$ (D) to właśnie ten wykluczony przypadek: $\cos\alpha = 1$ znaczy $\alpha = 0^\circ$, kąt poza przedziałem z treści.

💡 Wskazówka: Gdy ta sama funkcja stoi po obu stronach równania, spróbuj ją skrócić — ale napisz, dlaczego wolno. Dzielenie przez $\sin\alpha$ wymaga, żeby sinus nie był zerem, a to gwarantuje dopiero warunek na kąt z treści. W zadaniu otwartym za samo skrócenie bez komentarza można stracić punkt.

⚠ Skrócenie sinusa bez zauważenia, że zostaje $\tfrac{1}{\cos\alpha} = 2$, i zapisanie od razu $\cos\alpha = 2$ — liczba większa od jedynki, więc niemożliwa dla cosinusa. Po skróceniu trzeba jeszcze odwrócić ułamek. Drugi błąd: podniesienie obu stron do kwadratu i wejście w jedynkę trygonometryczną; droga prowadzi do celu, ale przez równanie kwadratowe, którego zadanie nie wymaga. Trzeci: wybór $1$ (D), czyli przypadku $\alpha = 0^\circ$, wykluczonego przez treść.

Odpowiedź: C

1. Ten sam schemat co w poprzednim zadaniu, tylko ze współczynnikiem niewymiernym.
2. $\textcolor{#16A06A}{\sqrt3} \cdot \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \textcolor{#16A06A}{2}\sin\alpha$
3. Dzielimy przez $\sin\alpha$ (dodatni, bo kąt jest ostry):
4. $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{\sqrt3}}{\cos\alpha} = \textcolor{#16A06A}{2}$
5. Wyznaczamy cosinus:
6. $\cos\alpha = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{\sqrt3}}{\textcolor{#16A06A}{2}}$
7. Odpowiedź: $\tfrac{\sqrt3}{2}$, czyli C.
8. Sprawdzenie: $\cos\alpha = \tfrac{\sqrt3}{2}$ oznacza $\alpha = \textcolor{#E0453A}{30^\circ}$, więc $\sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac12}$ i $\operatorname{tg}\alpha = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt3}{3}}$.
9. Lewa strona: $\sqrt3 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt3}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{3}{3}} = \textcolor{#E0453A}{1}$. Prawa: $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac12} = \textcolor{#E0453A}{1}$ ✓
10. Porównaj z poprzednim zadaniem. Tam współczynnik przy tangensie był jedynką i wyszło $\cos\alpha = \tfrac12$; tu jest $\sqrt3$ i wychodzi $\tfrac{\sqrt3}{2}$. Reguła jest ogólna: z $k\operatorname{tg}\alpha = 2\sin\alpha$ wynika $\cos\alpha = \tfrac{k}{2}$ — współczynnik ląduje w liczniku, a dwójka w mianowniku.
11. Odpowiedź $\tfrac{\sqrt3}{3}$ (D) to tangens kąta $30^\circ$, czyli liczba pojawiająca się w sprawdzeniu — poprawnie policzona, ale odpowiadająca na inne pytanie.

💡 Wskazówka: Nie bój się niewymiernego współczynnika — przechodzi przez rachunek jak zwykła liczba. Po skróceniu sinusa zostaje $\tfrac{\sqrt3}{\cos\alpha} = 2$, a stąd cosinus wyznaczasz jednym przekształceniem. Sprawdzenie na kącie $30^\circ$ zajmuje dwie linijki i warto je zrobić, bo w tabeli wartości szczególnych łatwo pomylić $\tfrac{\sqrt3}{2}$ z $\tfrac{\sqrt3}{3}$.

⚠ Przeniesienie $\sqrt3$ do mianownika i wybór $\tfrac{\sqrt3}{3}$ (odpowiedź D) — czyli policzenie $\cos\alpha = \tfrac{2}{\sqrt3}$ i próba uproszczenia. Liczba $\tfrac{2}{\sqrt3} \approx 1{,}15$ jest większa od jedynki, więc nie może być cosinusem — to najszybsza kontrola tego błędu. Drugi błąd: pomylenie ról i wyjście na $\tfrac12$ (A), czyli odpowiedź poprzedniego zadania z tej strony; różnica jest w tym, że tu przy tangensie stoi $\sqrt3$.

Odpowiedź: C

1. Z treści $\operatorname{tg}\alpha = \textcolor{#16A06A}{\tfrac23}$. Najwygodniejsza metoda przy danym tangensie to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych licznikowi i mianownikowi.
2. Przyprostokątne: naprzeciw kąta $\textcolor{#E0453A}{2}$, przy kącie $\textcolor{#E0453A}{3}$. Przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa:
3. $r = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{2}^2 + \textcolor{#E0453A}{3}^2} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{4} + \textcolor{#E0453A}{9}} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{13}}$
4. Stąd obie funkcje:
5. $\sin\alpha = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{2}}{\textcolor{#E0453A}{\sqrt{13}}}, \qquad \cos\alpha = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{\sqrt{13}}}$
6. Dodajemy — mianowniki są te same:
7. $\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{2} + \textcolor{#E0453A}{3}}{\textcolor{#E0453A}{\sqrt{13}}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{5}}{\textcolor{#E0453A}{\sqrt{13}}}$
8. Usuwamy niewymierność z mianownika — mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt{13}$:
9. $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{5}}{\textcolor{#E0453A}{\sqrt{13}}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{5}\sqrt{13}}{\textcolor{#E0453A}{\sqrt{13}} \cdot \textcolor{#E0453A}{\sqrt{13}}} = \dfrac{5\sqrt{13}}{13}$
10. Odpowiedź: $\tfrac{5\sqrt{13}}{13}$, czyli C.
11. Kontrola liczbowa: $\sqrt{13} \approx \textcolor{#E0453A}{3{,}606}$, więc $\sin\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}5547}$, $\cos\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}8321}$, a suma $\approx \textcolor{#E0453A}{1{,}3868}$.
12. Z drugiej strony $\tfrac{5\sqrt{13}}{13} \approx \tfrac{18{,}03}{13} \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}3868}$ ✓
13. Kontrola rzędu wielkości. Dla kąta ostrego suma sinusa i cosinusa jest zawsze większa od $1$ (i nie większa od $\sqrt2 \approx 1{,}41$). To od razu odrzuca odpowiedź $1$ (A), a odpowiedź $\sqrt5 \approx 2{,}24$ jest wyraźnie za duża. Zostają B i C, a $\tfrac{5\sqrt{13}}{26} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}693}$ jest za małe — więc C jeszcze przed rachunkiem.

💡 Wskazówka: Przy danym tangensie $\tfrac{p}{q}$ najszybciej narysować w myślach trójkąt o przyprostokątnych $p$ i $q$ — przeciwprostokątna wychodzi $\sqrt{p^2+q^2}$, a sinus i cosinus czyta się wprost. Uwaga na pułapkę oszacowania: dla kąta ostrego $\sin\alpha + \cos\alpha$ zawsze mieści się między $1$ i $\sqrt2$, więc każda odpowiedź poza tym przedziałem odpada bez liczenia.

⚠ Odpowiedź $\tfrac{5\sqrt{13}}{26}$ (B) to poprawny wynik podzielony przez $2$ — powstaje, gdy przy usuwaniu niewymierności ktoś pomnoży mianownik przez $\sqrt{13}$ dwa razy albo pomyli $\sqrt{13} \cdot \sqrt{13} = 13$ z $26$. Kontrola oszacowaniem to wykrywa: $0{,}69$ jest mniejsze od jedynki, a suma sinusa i cosinusa kąta ostrego mniejsza być nie może. Drugi błąd: wybór $1$ (A) przez pomylenie $\sin\alpha + \cos\alpha$ z $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ — jedynka wychodzi tylko z kwadratów.

Odpowiedź: C

1. Krok 1 — cosinus z tangensa. Trójka pitagorejska $3, 4, 5$: przyprostokątne $\textcolor{#E0453A}{3}$ i $\textcolor{#E0453A}{4}$ dają przeciwprostokątną $\textcolor{#E0453A}{5}$.
2. $\cos\alpha = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{5}}$
3. (przy kącie leży przyprostokątna $4$, bo tangens to „naprzeciw przez przy”, czyli $\tfrac34$)
4. Krok 2 — podstawiamy do ułamka. Licznik i mianownik liczymy osobno:
5. $\text{licznik} = \textcolor{#16A06A}{2} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac45} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{10}}{\textcolor{#E0453A}{5}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac45} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac65}$
6. $\text{mianownik} = \textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac45} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{10}}{\textcolor{#E0453A}{5}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac45} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{14}{5}}$
7. Krok 3 — dzielimy. Piątki się skracają:
8. $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{6/5}}{\textcolor{#E0453A}{14/5}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{6}}{\textcolor{#E0453A}{14}} = \dfrac{3}{7}$
9. Odpowiedź: $\tfrac37$, czyli C.
10. Kontrola liczbowa: $\cos\alpha = 0{,}8$, więc $\tfrac{2 - 0{,}8}{2 + 0{,}8} = \tfrac{\textcolor{#E0453A}{1{,}2}}{\textcolor{#E0453A}{2{,}8}} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}4286}$, a $\tfrac37 \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}4286}$ ✓
11. Kontrola znaku i wielkości. Cosinus kąta ostrego mieści się między $0$ i $1$, więc licznik $2 - \cos\alpha$ jest dodatni i mniejszy od mianownika $2 + \cos\alpha$. Cały ułamek jest więc dodatni i mniejszy od $1$. To odrzuca odpowiedzi A, B (ujemne) i D (większa od $1$) — czyli całe zadanie da się rozstrzygnąć oszacowaniem.

💡 Wskazówka: Przy ułamku z funkcją w liczniku i mianowniku najpierw oszacuj. Cosinus kąta ostrego leży między $0$ i $1$, więc licznik jest z przedziału $(1, 2)$, mianownik z $(2, 3)$, a cały ułamek jest dodatni i mniejszy od $1$. Trzy z czterech odpowiedzi odpadają bez rachunku, a rachunek zostaje tylko na potwierdzenie.

⚠ Pomylenie, która przyprostokątna leży przy kącie: z $\operatorname{tg}\alpha = \tfrac34$ wynika $\cos\alpha = \tfrac45$, a nie $\tfrac35$. Przy $\cos\alpha = \tfrac35$ ułamek dałby $\tfrac{7}{13}$, liczby nie ma wśród odpowiedzi. Drugi błąd: skrócenie dwójek w liczniku i mianowniku — nie wolno, bo to składniki sumy, nie czynniki. Takie „skrócenie” daje $\tfrac{-\cos\alpha}{\cos\alpha} = -1$, czyli dokładnie odpowiedź A, i dlatego ona tam siedzi.

Odpowiedź: B

1. To najciekawsze zadanie na tej stronie, bo nie trzeba liczyć ani sinusa, ani cosinusa. Wystarczy zauważyć, że licznik i mianownik są tego samego stopnia — w obu każdy składnik zawiera dokładnie jedną funkcję trygonometryczną.
2. Podstawienie. Z $\operatorname{tg}\alpha = \textcolor{#16A06A}{\tfrac25}$ wynika, że sinus i cosinus są proporcjonalne do $\textcolor{#E0453A}{2}$ i $\textcolor{#E0453A}{5}$. Zapiszmy więc
3. $\sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{2}k, \qquad \cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{5}k$
4. dla pewnej liczby $k > 0$. (Konkretnie $k = \tfrac{1}{\sqrt{29}}$, ale nie będzie potrzebna.)
5. Podstawiamy do licznika:
6. $\textcolor{#16A06A}{3}\cos\alpha - \textcolor{#16A06A}{2}\sin\alpha = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}k - \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{2}k = \textcolor{#E0453A}{15}k - \textcolor{#E0453A}{4}k = \textcolor{#E0453A}{11}k$
7. I do mianownika:
8. $\sin\alpha - \textcolor{#16A06A}{5}\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{2}k - \textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#E0453A}{5}k = \textcolor{#E0453A}{2}k - \textcolor{#E0453A}{25}k = \textcolor{#E0453A}{-23}k$
9. Dzielimy — litera $k$ się skraca:
10. $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{11}k}{\textcolor{#E0453A}{-23}k} = -\dfrac{11}{23}$
11. Odpowiedź: $-\tfrac{11}{23}$, czyli B.
12. Kontrola liczbowa: $k = \tfrac{1}{\sqrt{29}} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}1857}$, więc $\sin\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}3714}$ i $\cos\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}9285}$.
13. Licznik: $3 \cdot 0{,}9285 - 2 \cdot 0{,}3714 \approx \textcolor{#E0453A}{2{,}0426}$. Mianownik: $0{,}3714 - 5 \cdot 0{,}9285 \approx \textcolor{#E0453A}{-4{,}2712}$.
14. Iloraz: $\tfrac{2{,}0426}{-4{,}2712} \approx \textcolor{#E0453A}{-0{,}4783}$, a $-\tfrac{11}{23} \approx \textcolor{#E0453A}{-0{,}4783}$ ✓
15. Kontrola znaku. Mianownik $\sin\alpha - 5\cos\alpha$ jest ujemny, bo cosinus jest tu ponad dwa razy większy od sinusa, a jeszcze mnożymy go przez $5$. Licznik jest dodatni z tego samego powodu. Iloraz musi więc być ujemny — to odrzuca odpowiedzi C i D bez rachunku.

💡 Wskazówka: Sprawdź, czy licznik i mianownik są tego samego stopnia. Jeśli tak, podstaw $\sin\alpha = pk$ i $\cos\alpha = qk$, gdzie $\tfrac{p}{q}$ to dany tangens — litera $k$ skróci się na końcu i nie trzeba jej wyznaczać. To oszczędza całej roboty z przeciwprostokątną i pierwiastkami. Drugi sposób na to samo: podziel licznik i mianownik przez $\cos\alpha$, a wszystko zamieni się w tangensy.

⚠ Odwrócenie ułamka i wybór $-\tfrac{23}{11}$ (odpowiedź A) — to najczęstszy błąd, bo obie liczby wychodzą w rachunku i łatwo je pomieszać przy zapisywaniu. Warto od razu przypisać $11$ do licznika, a $23$ do mianownika, zgodnie z kolejnością w treści. Drugi błąd: przyjęcie $\sin\alpha = 2$ i $\cos\alpha = 5$ bez litery $k$ — akurat w tym zadaniu daje poprawny wynik, bo $k$ się skraca, ale jest to zapis fałszywy (cosinus nie może być równy $5$) i w zadaniu otwartym byłby zakwestionowany. Trzeci: zgubienie znaku minus w mianowniku i wybór C albo D.

Odpowiedź: A

1. Nie liczymy sinusa ani cosinusa osobno — po rozwinięciu kwadratu pojawi się dokładnie to, co dane w treści.
2. Rozwijamy kwadrat różnicy:
3. $\left(\cos\alpha - \sin\alpha\right)^2 = \textcolor{#E0453A}{\cos^2\alpha} - \textcolor{#E0453A}{2}\sin\alpha\cos\alpha + \textcolor{#E0453A}{\sin^2\alpha}$
4. Grupujemy kwadraty — to jedynka trygonometryczna:
5. $= \underbrace{\textcolor{#E0453A}{\sin^2\alpha} + \textcolor{#E0453A}{\cos^2\alpha}}_{= \textcolor{#E0453A}{1}} - \textcolor{#E0453A}{2}\sin\alpha\cos\alpha = \textcolor{#E0453A}{1} - \textcolor{#E0453A}{2}\sin\alpha\cos\alpha$
6. Podstawiamy daną z treści. Uwaga na dwa minusy:
7. $= \textcolor{#E0453A}{1} - \textcolor{#E0453A}{2} \cdot \left(\textcolor{#16A06A}{-\dfrac38}\right) = \textcolor{#E0453A}{1} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac34} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac74}$
8. Dodajemy dwójkę z treści:
9. $\textcolor{#E0453A}{\dfrac74} + \textcolor{#16A06A}{2} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac74} + \dfrac{\textcolor{#E0453A}{8}}{\textcolor{#E0453A}{4}} = \dfrac{15}{4}$
10. Odpowiedź: $\tfrac{15}{4}$, czyli A.
11. Skąd ujemny iloczyn. Przedział $\textcolor{#16A06A}{(0^\circ, 180^\circ)}$ dopuszcza kąty rozwarte, a dla nich cosinus jest ujemny przy dodatnim sinusie — dlatego iloczyn może być ujemny. Dla kąta ostrego byłby dodatni i zadanie nie miałoby sensu.
12. Kontrola. Szukamy kąta rozwartego z $\sin\alpha\cos\alpha = -0{,}375$: wychodzi $\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{111{,}2^\circ}$, gdzie $\sin\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}9319}$ i $\cos\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{-0{,}4025}$.
13. Iloczyn: $0{,}9319 \cdot (-0{,}4025) \approx \textcolor{#E0453A}{-0{,}375}$ ✓
14. Wyrażenie: $\left(-0{,}4025 - 0{,}9319\right)^2 + 2 = \left(\textcolor{#E0453A}{-1{,}3344}\right)^2 + 2 \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}7806} + 2 = \textcolor{#E0453A}{3{,}7806}$, a $\tfrac{15}{4} = \textcolor{#E0453A}{3{,}75}$ ✓ (drobna różnica to zaokrąglenia kąta)