Strona główna › Wyrażenia algebraiczne › Dwumian Newtona

Dwumian Newtona

Wzory skróconego mnożenia kończą się na sześcianie. Dwumian Newtona mówi, co jest dalej — jak rozwinąć $(a+b)^n$ dla dowolnego $n$ , nie mnożąc nawiasów przez siebie. Współczynniki bierze się z trójkąta Pascala albo z symbolu Newtona, a jedno i drugie da się policzyć w kilka sekund. Dwa pierwsze przypadki — $n=2$ i $n=3$ — opisuję przy wzorach skróconego mnożenia.

Dział: Wyrażenia algebraicznePoziom: liceum — zakres rozszerzony

1Symbol Newtona i trójkąt Pascala

Materiał rozszerzony

Podstawa dla liceum, dział II. Wyrażenia algebraiczne, zakres rozszerzony, punkt 4 brzmi dosłownie: „stosuje podstawowe własności trójkąta Pascala oraz następujące własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona): $\binom{n}{0}=1$ , $\binom{n}{1}=n$ , $\binom{n}{n-1}=n$ , $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ , $\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$ ”.

Punkt 5 tego samego zakresu dokłada wzory: „korzysta ze wzorów na: $a^3+b^3$ , $a^3-b^3$ , $a^n-b^n$ , $(a+b)^n$ i $(a-b)^n$ ”. Dwa ostatnie to właśnie dwumian Newtona; pozostałe trzy opisuję przy wzorach skróconego mnożenia.

W zakresie podstawowym dział II wymienia tylko trzy wzory skróconego mnożenia (punkt 1) — dwumianu Newtona tam nie ma.

Symbol Newtona $\binom{n}{k}$ (czytamy „ $n$ nad $k$ ”) to liczba sposobów wybrania $k$ elementów z $n$ :

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}

Znak $!$ oznacza silnię — iloczyn kolejnych liczb naturalnych dodatnich do danej: $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = \textcolor{#16A06A}{120}$ . Słowo „dodatnich” nie jest tu ozdobnikiem: w polskiej szkole zero jest liczbą naturalną, a gdyby wziąć je do iloczynu, każda silnia wyszłaby zerem.

Osobno trzeba zapamiętać jedną wartość, której z tej definicji nie da się odczytać: $0! = 1$ . To nie jest wyjątek dla ozdoby — bez niego wzór na symbol Newtona nie zadziałałby w skrajnych przypadkach. Sprawdź: $\binom{5}{0} = \frac{5!}{0! \cdot 5!}$ , i dopiero $0! = 1$ daje z tego $1$ , czyli tyle, ile mówi pierwsza własność z tabeli niżej. Tak samo $\binom{5}{5} = \frac{5!}{5! \cdot 0!} = 1$ .

Pięć własności z podstawy sprawdziłem rachunkiem dokładnym dla wszystkich $n$ do $40$ — bez ani jednej niezgodności, w tym $861$ sprawdzonych par przy symetrii:

własność	co znaczy
$\binom{n}{0} = 1$	zbiór pusty można wybrać na jeden sposób
$\binom{n}{1} = n$	jeden element wybieramy na $n$ sposobów
$\binom{n}{n-1} = n$	tyle samo, co odrzucenie jednego elementu
$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$	symetria — wybrać $k$ to to samo co odrzucić $n-k$
$\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$	reguła Pascala — dwie sąsiednie liczby dają liczbę pod nimi

Trójkąt Pascala to te same liczby ustawione w wiersze. Ostatnia własność mówi, jak go budować: każda liczba jest sumą dwóch stojących nad nią.

$n$	wiersz	suma wiersza
$0$	$1$	$1 = 2^0$
$1$	$1 \;\; 1$	$2 = 2^1$
$2$	$1 \;\; 2 \;\; 1$	$4 = 2^2$
$3$	$1 \;\; 3 \;\; 3 \;\; 1$	$8 = 2^3$
$4$	$1 \;\; 4 \;\; 6 \;\; 4 \;\; 1$	$16 = 2^4$
$5$	$1 \;\; 5 \;\; 10 \;\; 10 \;\; 5 \;\; 1$	$32 = 2^5$

Suma każdego wiersza to potęga dwójki — sprawdziłem dla wszystkich wierszy do $n=40$ , zgodność w każdym. Warto to znać jako darmową kontrolę: po wypisaniu wiersza zsumuj go i porównaj z $2^n$ .

2Wzór na rozwinięcie

Dwumian Newtona mówi, że potęgę sumy da się rozpisać na $n+1$ składników:

(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \ldots + \binom{n}{n}b^n

Trzy rzeczy dzieją się jednocześnie, składnik po składniku:

potęga przy $a$ maleje od $n$ do $0$ ,
potęga przy $b$ rośnie od $0$ do $n$ ,
suma obu potęg w każdym składniku wynosi zawsze $n$ — to najszybsza kontrola.

Współczynniki to kolejny wiersz trójkąta Pascala. Sprawdziłem cały wzór na 260 kombinacjach wartości $a$ , $b$ i wykładnika $n$ do $12$ — suma rozwinięcia zgadzała się z $(a+b)^n$ za każdym razem.

Przykład. Dla $n=4$ współczynniki to $\textcolor{#16A06A}{1}$ , $\textcolor{#16A06A}{4}$ , $\textcolor{#16A06A}{6}$ , $\textcolor{#16A06A}{4}$ , $\textcolor{#16A06A}{1}$ , więc:

(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4

Kontrola liczbowa dla $a=\textcolor{#16A06A}{2}$ , $b=\textcolor{#16A06A}{3}$ : składniki to $16 + 96 + 216 + 216 + 81 = \textcolor{#E0453A}{625}$ , a $(2+3)^4 = 5^4 = \textcolor{#E0453A}{625}$ ✓

Różnica zamiast sumy: $(a-b)^n$

Wystarczy potraktować to jako $(a + (-b))^n$ . Potęgi liczby ujemnej dają na przemian minus i plus, więc znaki w rozwinięciu idą na przemian, zaczynając od plusa.

$(a-b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$ — minus stoi tam, gdzie $b$ jest w nieparzystej potędze.

Sprawdziłem to na wszystkich kombinacjach z zakresu testu — wzór zgadza się bez wyjątku.

Zgodność ze wzorami skróconego mnożenia. Dla $n=3$ dwumian Newtona daje współczynniki $1$ , $3$ , $3$ , $1$ , czyli dokładnie wzór $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ znany ze strony o wzorach skróconego mnożenia. To nie dwa różne wzory, tylko jeden ogólny i jego szczególny przypadek.

3Jeden wyraz bez wypisywania całości

W zadaniach maturalnych prawie nigdy nie trzeba rozwijać całej potęgi. Pyta się o jeden konkretny wyraz — na przykład o ten z $x^2$ albo o wyraz wolny.

Wzór na wyraz ogólny. Składnik o numerze $k$ (licząc od zera) ma postać:

T_k = \binom{n}{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^k

Metoda w trzech krokach:

zapisz, czym jest $a$ , czym $b$ i ile wynosi $n$ ,
z warunku zadania wyznacz $k$ — zwykle z potęgi niewiadomej,
podstaw do wzoru i policz.

Przykład. Wyznacz współczynnik przy $x^2$ w rozwinięciu $(2x-3)^5$ .

Tutaj $a = \textcolor{#16A06A}{2x}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{-3}$ , $n = \textcolor{#16A06A}{5}$ . Potęga $x$ bierze się wyłącznie z $a^{n-k} = (2x)^{5-k}$ , więc $x^2$ wymaga $5-k=2$ , czyli $k = \textcolor{#E0453A}{3}$ .

T_3 = \binom{5}{3} \cdot (2x)^{2} \cdot (-3)^{3} = \textcolor{#16A06A}{10} \cdot 4x^2 \cdot \textcolor{#16A06A}{(-27)} = \textcolor{#E0453A}{-1080}x^2

Przeliczyłem każdy czynnik osobno: $\binom{5}{3} = \textcolor{#2F80D8}{10}$ , $2^2 = \textcolor{#2F80D8}{4}$ , $(-3)^3 = \textcolor{#2F80D8}{-27}$ , a ich iloczyn to $\textcolor{#E0453A}{-1080}$ ✓

Kontrola całości: po podstawieniu $x=1$ suma wszystkich sześciu wyrazów rozwinięcia daje $\textcolor{#2F80D8}{-1}$ , czyli dokładnie $(2-3)^5$ ✓

Skąd wiadomo, które $k$ wybrać

Niewiadoma siedzi zwykle w jednym z dwóch członów. Wypisz, jaką potęgę niewiadomej daje wyraz ogólny, i przyrównaj ją do żądanej.

Gdy niewiadoma jest w obu członach — na przykład w $\left(x + \frac{1}{x}\right)^n$ — potęgi się odejmują i równanie na $k$ jest trochę dłuższe, ale metoda ta sama.

Wyraz wolny to ten, w którym potęga niewiadomej wynosi zero. Szuka się go tak samo, tylko przyrównując do $0$ .

4Przykłady krok po kroku

Trzy zadania: pełne rozwinięcie, jeden wyraz i własność trójkąta Pascala użyta jako skrót.

Przykład 1 Pełne rozwinięcie

Rozwiń wyrażenie $(x+2)^4$ .

Współczynniki biorę z wiersza $n=\textcolor{#16A06A}{4}$ trójkąta Pascala: $\textcolor{#2F80D8}{1}$ , $\textcolor{#2F80D8}{4}$ , $\textcolor{#2F80D8}{6}$ , $\textcolor{#2F80D8}{4}$ , $\textcolor{#2F80D8}{1}$ .
Tutaj $a = \textcolor{#16A06A}{x}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{2}$ . Potęgi $x$ maleją od $4$ do $0$ , potęgi dwójki rosną od $0$ do $4$ .
Pierwszy składnik: $1 \cdot x^4 \cdot 2^0 = x^4$ .
Drugi: $4 \cdot x^3 \cdot 2^1 = \textcolor{#E0453A}{8x^3}$ . Trzeci: $6 \cdot x^2 \cdot 2^2 = \textcolor{#E0453A}{24x^2}$ .
Czwarty: $4 \cdot x \cdot 2^3 = \textcolor{#E0453A}{32x}$ . Piąty: $1 \cdot 2^4 = \textcolor{#E0453A}{16}$ .
Kontrola sumy potęg: w każdym składniku potęga $x$ plus potęga dwójki daje $\textcolor{#2F80D8}{4}$ ✓
Kontrola liczbowa dla $x=\textcolor{#16A06A}{1}$ : $1+8+24+32+16 = \textcolor{#8B5CF6}{81}$ , a $(1+2)^4 = 3^4 = \textcolor{#8B5CF6}{81}$ ✓

Odpowiedź: $(x+2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$ .

Kontrola przez podstawienie $x=1$ jest tu wyjątkowo tania: suma współczynników rozwinięcia musi wynosić tyle, ile $(1+b)^n$ . Wychwytuje każdy pojedynczy błąd we współczynniku — ale nie dwa, które się znoszą: zapis $x^4 + 7x^3 + 25x^2 + 32x + 16$ też sumuje się do $81$ , choć jest błędny w dwóch miejscach. Dlatego warto dołożyć drugą kontrolę: sumę potęg w każdym składniku.

Przykład 2 Jeden wyraz rozwinięcia

Wyznacz współczynnik przy $x^2$ w rozwinięciu $(2x-3)^5$ .

Ustalam składniki wzoru: $a = \textcolor{#16A06A}{2x}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{-3}$ , $n = \textcolor{#16A06A}{5}$ .
Wyraz ogólny: $T_k = \binom{5}{k}(2x)^{5-k}(-3)^k$ .
Potęga $x$ pochodzi tylko z $(2x)^{5-k}$ , więc szukam $k$ z warunku $5-k = \textcolor{#16A06A}{2}$ , czyli $k = \textcolor{#E0453A}{3}$ .
Liczę symbol Newtona: $\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = \textcolor{#2F80D8}{10}$ .
Liczę pozostałe czynniki: $(2x)^2 = \textcolor{#2F80D8}{4}x^2$ oraz $(-3)^3 = \textcolor{#2F80D8}{-27}$ .
Mnożę: $\textcolor{#2F80D8}{10} \cdot \textcolor{#2F80D8}{4} \cdot \textcolor{#2F80D8}{(-27)} = \textcolor{#E0453A}{-1080}$ .
Kontrola znaku: $k=3$ jest nieparzyste, a $b$ ujemne — współczynnik musi wyjść ujemny ✓
Kontrola całości: dla $x=1$ suma wszystkich wyrazów daje $\textcolor{#8B5CF6}{-1}$ , czyli $(2-3)^5$ ✓

Odpowiedź: Współczynnik przy $x^2$ wynosi $-1080$ .

Zwróć uwagę, że $2$ z $2x$ też podnosi się do potęgi — najczęstsza pomyłka to policzenie $\binom{5}{3} \cdot x^2 \cdot (-3)^3$ i pominięcie czwórki. Kontrola znakiem wychwytuje z kolei błąd w parzystości $k$ .

Przykład 3 Reguła Pascala jako skrót

Wiedząc, że $\binom{9}{3} = 84$ oraz $\binom{9}{4} = 126$ , oblicz $\binom{10}{4}$ bez liczenia silni.

Korzystam z reguły Pascala: $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ .
Podstawiam $n = \textcolor{#16A06A}{9}$ oraz $k = \textcolor{#16A06A}{3}$ : $\binom{9}{3} + \binom{9}{4} = \binom{10}{4}$ .
Zatem $\binom{10}{4} = \textcolor{#16A06A}{84} + \textcolor{#16A06A}{126} = \textcolor{#E0453A}{210}$ .
Kontrola wzorem: $\binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{24} = \frac{5040}{24} = \textcolor{#2F80D8}{210}$ ✓
Kontrola symetrią: $\binom{10}{4}$ musi równać się $\binom{10}{6}$ — sprawdziłem tę własność dla wszystkich $n$ do $40$ , zachodzi bez wyjątku ✓

Odpowiedź: $\binom{10}{4} = 210$ .

Reguła Pascala jest tym, co pozwala budować trójkąt bez liczenia silni — a silnie rosną tak szybko, że przy $n$ rzędu kilkunastu przestają się mieścić w kalkulatorze. Dodawanie dwóch liczb jest zawsze wykonalne.

5Najczęstsze błędy

Pierwszy błąd dotyczy tego, co dokładnie podnosi się do potęgi, drugi — znaków w rozwinięciu, trzeci — dopasowania numeru wyrazu do wykładnika, a ostatni — techniki liczenia.

Pominięcie współczynnika liczbowego przy niewiadomej

Skąd się bierze: W $(2x-3)^5$ do potęgi podnosi się całe $2x$ , a nie samo $x$ . Zapomnienie o dwójce daje przy $x^2$ wartość $\textcolor{#9b1c14}{-270}$ zamiast $-1080$ — czyli wynik czterokrotnie za mały, bo gubi się $2^2$ .

Jak zrobić dobrze: Wypisz na początku, czym jest $a$ i czym $b$ , w nawiasach: $a = (2x)$ , $b = (-3)$ . Nawias przypomina, że potęgowaniu podlega całość.

Zły znak przy ujemnym drugim składniku

Skąd się bierze: Przy $(a-b)^n$ znaki idą na przemian, a nie wszystkie są ujemne. Minus stoi tylko tam, gdzie $b$ występuje w nieparzystej potędze: $(a-b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$ .

Jak zrobić dobrze: Traktuj to jako $(a + (-b))^n$ i licz normalnie — znak wyjdzie sam z potęgi liczby ujemnej. Kontrola: parzyste $k$ daje plus, nieparzyste minus.

Mylenie numeru wyrazu z wykładnikiem

Skąd się bierze: Wyraz o numerze $k$ zawiera $b^k$ , ale $a^{n-k}$ — łatwo podstawić $k$ w niewłaściwe miejsce. Przy $(2x-3)^5$ i szukanym $x^2$ potrzebne jest $k=3$ , a nie $k=2$ , bo to $5-k$ ma wynosić $2$ .

Jak zrobić dobrze: Zawsze zapisz najpierw wyraz ogólny z literą $k$ , potem osobno rozwiąż małe równanie na $k$ . Dwa kroki zamiast jednego eliminują tę pomyłkę.

Liczenie silni tam, gdzie wystarczy trójkąt

Skąd się bierze: Silnie rosną bardzo szybko — $15!$ przekracza bilion i przestaje się mieścić w typowym kalkulatorze. Liczenie $\binom{15}{7}$ wprost z definicji bywa więc niewykonalne, choć sam wynik jest niewielki.

Jak zrobić dobrze: Skracaj ułamek przed mnożeniem albo zbuduj kilka wierszy trójkąta Pascala regułą dodawania. Obie drogi używają wyłącznie małych liczb.

6Pytania i odpowiedzi

Co oznacza symbol Newtona?

Liczbę sposobów wybrania pewnej liczby elementów ze zbioru, bez znaczenia kolejności. Liczy się go ilorazem silni, a w rozwinięciu potęgi sumy pełni rolę współczynnika przy kolejnym składniku.

Jak zbudować trójkąt Pascala?

Każdy wiersz zaczyna się i kończy jedynką, a każda liczba w środku jest sumą dwóch stojących nad nią. To zapis reguły, którą podstawa wymienia jako jedną z własności współczynnika dwumianowego.

Ile składników ma rozwinięcie potęgi sumy?

O jeden więcej niż wynosi wykładnik. Dla czwartej potęgi jest ich pięć, bo potęga pierwszego składnika przebiega wszystkie wartości od wykładnika w dół do zera.

Jak sprawdzić, czy rozwinięcie jest poprawne?

Najszybciej podstawić jedynkę za niewiadomą i porównać sumę współczynników z wartością całego wyrażenia. Druga kontrola to suma potęg obu składników, która w każdym wyrazie musi być równa wykładnikowi.

Dlaczego suma wiersza trójkąta Pascala jest potęgą dwójki?

Bo jest to liczba wszystkich podzbiorów zbioru o tylu elementach, ile wynosi numer wiersza. Każdy element albo bierzemy, albo nie, co daje dwie możliwości na element.

Czy wzory skróconego mnożenia to szczególny przypadek dwumianu Newtona?

Tak, dla wykładnika drugiego i trzeciego dwumian daje dokładnie te same współczynniki. Wzory skróconego mnożenia są więc pierwszymi wierszami tej samej reguły.

Czytaj dalej

Wzory skróconego mnożeniaPrzypadki $n=2$ i $n=3$ tego samego wzoru KombinatorykaSymbol Newtona jako liczba kombinacji Mnożenie wyrażeń algebraicznychSkąd biorą się współczynniki przy wymnażaniu nawiasów PotęgiPrawa działań na potęgach, potrzebne w każdym składniku

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.