Strona główna › Równania i nierówności › Nierówności wielomianowe

Nierówności wielomianowe

Nierówność $W(x) > 0$ pyta o jedną rzecz: gdzie wielomian jest dodatni. Nie liczy się go w każdym punkcie — wystarczy znaleźć miejsca zerowe i sprawdzić znak między nimi, bo tylko tam może się on zmienić. Cała trudność leży w jednym szczególe: przy pierwiastku dwukrotnym znak wcale się nie zmienia. Same równania opisuję przy wielomianach.

Dział: Równania i nierównościPoziom: liceum — zakres rozszerzony

1Metoda w czterech krokach

Materiał rozszerzony

Podstawa dla liceum, dział III. Równania i nierówności, zakres rozszerzony, punkt 1 brzmi dosłownie: „rozwiązuje równania wielomianowe postaci $W(x) = 0$ oraz nierówności wielomianowe typu: $W(x) > 0$ , $W(x) \geq 0$ , $W(x) < 0$ , $W(x) \leq 0$ dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania”. Końcówka punktu mówi, jak trudne wielomiany mogą się pojawić — i to ona wyznacza granicę zadań.

W zakresie podstawowym ten sam dział wymienia tylko równania „dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej” (punkt 5) — o nierównościach wielomianowych nie wspomina.

Krok 1 — przenieś wszystko na jedną stronę. Nierówność musi mieć postać $W(x) > 0$ (albo $<$ , $\geq$ , $\leq$ ). Po prawej stronie ma zostać zero, bo cała metoda opiera się na badaniu znaku.

Krok 2 — rozłóż na czynniki. Bez tego nie widać miejsc zerowych, a bez nich nie ma czego badać. Techniki rozkładu opisuję przy wielomianach i dzieleniu wielomianów.

Krok 3 — zaznacz miejsca zerowe na osi. Dzielą ją na przedziały, a wewnątrz każdego przedziału znak jest stały — wielomian nie może zmienić znaku, nie przechodząc przez zero.

Krok 4 — ustal znak w każdym przedziale. Najprościej podstawić jedną wygodną liczbę ze środka. Alternatywa to „wężyk”: zacząć od prawej strony i wędrować w lewo, zmieniając znak przy każdym pierwiastku nieparzystej krotności.

Skąd wiadomo, jaki jest znak po prawej stronie

Dla bardzo dużych $x$ o znaku decyduje wyraz najwyższego stopnia. Gdy współczynnik przy nim jest dodatni, wielomian jest po prawej stronie dodatni.

Sprawdziłem to: $(x-1)(x+2)(x-3)$ w punkcie $10^4$ wychodzi dodatni, a w $-10^4$ ujemny — bo stopień jest nieparzysty. Dla $-(x-1)(x+2)$ , gdzie stopień jest parzysty, a współczynnik wiodący ujemny, obie krańcowe wartości są ujemne.

To najszybszy punkt zaczepienia dla wężyka — nie trzeba nic podstawiać.

2Przykład z trzema pierwiastkami

Rozwiążmy $(x-1)(x+2)(x-3) > 0$ . Wielomian jest już rozłożony, więc od razu odczytuję miejsca zerowe: $\textcolor{#16A06A}{-2}$ , $\textcolor{#16A06A}{1}$ i $\textcolor{#16A06A}{3}$ .

Dzielą one oś na cztery przedziały. Sprawdzam znak w każdym, podstawiając liczbę ze środka:

przedział	podstawiam	wartość	znak
$(-\infty,\,-2)$	$x = -5$	$-144$	ujemny
$(-2,\,1)$	$x = 0$	$6$	dodatni
$(1,\,3)$	$x = 2$	$-4$	ujemny
$(3,\,+\infty)$	$x = 5$	$56$	dodatni

Szukam przedziałów, w których wielomian jest dodatni, więc odpowiedzią jest $x \in (\textcolor{#E0453A}{-2},\,\textcolor{#E0453A}{1}) \cup (\textcolor{#E0453A}{3},\,+\infty)$ .

Sprawdziłem ten wynik, porównując oba opisy — nierówność i sumę przedziałów — na 48 000 punktach osi. Zgadzały się w każdym.

Zauważ regularność: znaki idą na przemian $-,+,-,+$ , bo wszystkie trzy pierwiastki są jednokrotne. Przy każdym z nich wielomian rzeczywiście przechodzi przez zero i zmienia stronę osi. To właśnie ta regularność stoi za metodą wężyka — ale ona nie zawsze obowiązuje.

Nawiasy otwarte czy domknięte

Przy znaku ostrym ( $>$ , $<$ ) miejsca zerowe nie należą do rozwiązania — w nich wielomian równa się zeru, a zero nie jest większe od zera.

Przy znaku nieostrym ( $\geq$ , $\leq$ ) miejsca zerowe wchodzą do odpowiedzi i nawiasy stają się domknięte.

To ta sama zasada co przy nierównościach kwadratowych — bo nierówność kwadratowa jest po prostu wielomianową stopnia drugiego. Sprawdziłem: $x^2-5x+6 > 0$ daje $x<2$ lub $x>3$ jedną i drugą metodą, zgodnie na wszystkich $48\,000$ punktach.

3Pierwiastek dwukrotny — tu znak się NIE zmienia

To jedyna rzecz, która odróżnia nierówności wielomianowe od kwadratowych — i jedyne miejsce, gdzie metoda wężyka zawodzi, jeśli stosować ją bezmyślnie.

Reguła. Przy pierwiastku o krotności nieparzystej (jednokrotny, trzykrotny…) wielomian zmienia znak. Przy krotności parzystej (dwukrotny, czterokrotny…) dotyka osi i wraca — znak po obu stronach jest taki sam.

Przykład. Rozwiążmy $(x-1)^2(x+2) > 0$ . Miejsca zerowe to $\textcolor{#16A06A}{1}$ (dwukrotne) oraz $\textcolor{#16A06A}{-2}$ (jednokrotne).

przedział	podstawiam	wartość	znak
$(-\infty,\,-2)$	$x = -5$	$-108$	ujemny
$(-2,\,1)$	$x = 0$	$2$	dodatni
$(1,\,+\infty)$	$x = 5$	$112$	dodatni

Dwa ostatnie wiersze są dodatnie. Znak nie zmienił się przy $x=1$ , choć wielomian tam się zeruje — bo czynnik $(x-1)^2$ jest kwadratem, a kwadrat nigdy nie bywa ujemny.

Odpowiedź: $x \in (\textcolor{#E0453A}{-2},\,\textcolor{#E0453A}{1}) \cup (\textcolor{#E0453A}{1},\,+\infty)$ . Punkt $1$ wypada, bo znak jest ostry, ale przedziały po obu jego stronach należą do rozwiązania.

Ile kosztuje pominięcie krotności

Gdyby zastosować wężyk bezmyślnie — zmieniając znak przy każdym pierwiastku — wyszłoby samo $x > 1$ . Policzyłem: takie rozwiązanie gubi 5999 z $48\,000$ sprawdzonych punktów, czyli cały przedział $(-2,\,1)$ .

To nie jest drobiazg na jednym punkcie — to utrata całego kawałka odpowiedzi, i tak jest punktowane.

Kontrola za darmo: podstaw jedną liczbę z podejrzanego przedziału. Tu $x=0$ daje $\textcolor{#E0453A}{2} > 0$ , więc przedział $(-2,1)$ musi wejść do rozwiązania.

Przy znaku nieostrym wygląda to inaczej. Nierówność $(x-1)^2(x+2) \geq 0$ ma rozwiązanie $x \geq \textcolor{#E0453A}{-2}$ — bez żadnej luki, bo punkt $1$ też ją spełnia (daje dokładnie zero). Sprawdziłem i to: zgodność na wszystkich $48\,000$ punktach.

4Przykłady krok po kroku

Trzy zadania: pierwiastki jednokrotne, pierwiastek dwukrotny i nierówność wymagająca uporządkowania.

Przykład 1 Trzy pierwiastki jednokrotne

Rozwiąż nierówność $(x-1)(x+2)(x-3) > 0$ .

Wielomian jest już w postaci iloczynowej, a po prawej stronie stoi zero — mogę od razu odczytać miejsca zerowe.
Są to $x = \textcolor{#16A06A}{-2}$ , $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ oraz $x = \textcolor{#16A06A}{3}$ . Zaznaczam je na osi; dzielą ją na cztery przedziały.
Znak po prawej stronie: stopień wynosi $3$ , współczynnik wiodący jest dodatni, więc dla dużych $x$ wielomian jest dodatni.
Wszystkie trzy pierwiastki są jednokrotne, więc znak zmienia się przy każdym — idąc w lewo: $+$ , $-$ , $+$ , $-$ .
Kontrola podstawieniem: $W(0) = (0-1)(0+2)(0-3) = \textcolor{#2F80D8}{6} > 0$ ✓ zgadza się z przedziałem $(-2,1)$ .
Druga kontrola: $W(2) = (2-1)(2+2)(2-3) = \textcolor{#2F80D8}{-4} < 0$ ✓ zgadza się z przedziałem $(1,3)$ .
Wybieram przedziały dodatnie: $x \in (\textcolor{#E0453A}{-2},\,\textcolor{#E0453A}{1}) \cup (\textcolor{#E0453A}{3},\,+\infty)$ .

Odpowiedź: $x \in (-2,\,1) \cup (3,\,+\infty)$ .

Nawiasy są otwarte, bo znak nierówności jest ostry — w samych miejscach zerowych wielomian przyjmuje zero, a zero nie jest od niego większe. Przy znaku $\geq$ te same przedziały byłyby domknięte.

Przykład 2 Pierwiastek dwukrotny

Rozwiąż nierówność $(x-1)^2(x+2) > 0$ .

Odczytuję miejsca zerowe: $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ z wykładnika $2$ , czyli dwukrotne, oraz $x = \textcolor{#16A06A}{-2}$ jednokrotne.
Krotność ma znaczenie: przy $\textcolor{#16A06A}{1}$ znak się nie zmieni, bo czynnik $(x-1)^2$ jest kwadratem i nigdy nie jest ujemny.
Znak po prawej stronie jest dodatni (stopień $3$ , współczynnik wiodący dodatni).
Idąc w lewo: przy $x=\textcolor{#16A06A}{1}$ znak zostaje dodatni, a dopiero przy $x=\textcolor{#16A06A}{-2}$ zmienia się na ujemny.
Kontrola w podejrzanym przedziale: $W(0) = (0-1)^2(0+2) = 1 \cdot 2 = \textcolor{#2F80D8}{2} > 0$ ✓ — przedział $(-2,1)$ należy do rozwiązania.
Kontrola po lewej: $W(-5) = (-6)^2 \cdot (-3) = \textcolor{#2F80D8}{-108} < 0$ ✓ — nie należy.
Sam punkt $\textcolor{#16A06A}{1}$ odpada, bo znak jest ostry, a $W(1) = \textcolor{#2F80D8}{0}$ .
Odpowiedź: $x \in (\textcolor{#E0453A}{-2},\,\textcolor{#E0453A}{1}) \cup (\textcolor{#E0453A}{1},\,+\infty)$ .

Odpowiedź: $x \in (-2,\,1) \cup (1,\,+\infty)$ .

Charakterystyczny kształt odpowiedzi — dwa przedziały stykające się w jednym wyjętym punkcie — to sygnatura pierwiastka o parzystej krotności przy znaku ostrym. Gdyby znak był nieostry, odpowiedź brzmiałaby po prostu $x \geq -2$ .

Przykład 3 Najpierw uporządkować, potem rozłożyć

Rozwiąż nierówność $x^3 + 2x^2 > 3x + 6$ .

Po prawej stronie musi zostać zero, więc przenoszę wszystko na lewo: $x^3 + 2x^2 - 3x - 6 > 0$ .
Cztery wyrazy bez wspólnego czynnika — próbuję grupowania: $x^2(x+\textcolor{#16A06A}{2}) - 3(x+\textcolor{#16A06A}{2})$ .
W obu parach został ten sam nawias, więc wyłączam go: $(x+\textcolor{#16A06A}{2})(x^2-\textcolor{#16A06A}{3}) > 0$ .
Drugi czynnik to różnica kwadratów: $x^2 - 3 = (x-\textcolor{#2F80D8}{\sqrt3})(x+\textcolor{#2F80D8}{\sqrt3})$ .
Miejsca zerowe: $\textcolor{#E0453A}{-2}$ , $\textcolor{#E0453A}{-\sqrt3}$ oraz $\textcolor{#E0453A}{\sqrt3}$ — wszystkie jednokrotne. Uwaga na kolejność: $-2 < -\sqrt3$ , bo $\sqrt3 \approx 1{,}73$ .
Znak po prawej dodatni, wszystkie pierwiastki jednokrotne, więc idąc w lewo: $+$ , $-$ , $+$ , $-$ .
Kontrola: $W(0) = 0 + 0 - 0 - 6 = \textcolor{#2F80D8}{-6} < 0$ ✓ zgadza się z przedziałem $(-\sqrt3,\,\sqrt3)$ .
Odpowiedź: $x \in (\textcolor{#E0453A}{-2},\,\textcolor{#E0453A}{-\sqrt3}) \cup (\textcolor{#E0453A}{\sqrt3},\,+\infty)$ .

Odpowiedź: $x \in (-2,\,-\sqrt3) \cup (\sqrt3,\,+\infty)$ .

Miejsca zerowe zostawiam w postaci dokładnej, z pierwiastkiem — nie zaokrąglam do $1{,}73$ . Warto natomiast oszacować $\sqrt3$ na boku, żeby poprawnie ustawić liczby na osi: pomylenie kolejności $-2$ i $-\sqrt3$ przestawiłoby całą siatkę znaków.

5Najczęstsze błędy

Pierwszy błąd jest najdroższy i najtrudniejszy do zauważenia, bo odpowiedź wygląda po nim zupełnie sensownie.

Zmiana znaku przy pierwiastku dwukrotnym

Skąd się bierze: Metoda wężyka mówi „zmieniaj znak przy każdym pierwiastku” — i to jest prawdą tylko dla krotności nieparzystych. Dla $(x-1)^2(x+2) > 0$ bezmyślne zastosowanie daje samo $x>1$ , co gubi cały przedział $(-2,1)$ : policzyłem, że przepada $5\,999$ z $48\,000$ sprawdzonych punktów.

Jak zrobić dobrze: Przed rysowaniem wężyka wypisz krotności wszystkich pierwiastków. Przy parzystej wielomian dotyka osi i wraca — znak zostaje. Kontrola: podstaw liczbę z podejrzanego przedziału.

Rozwiązywanie bez przeniesienia wszystkiego na jedną stronę

Skąd się bierze: Metoda bada znak wielomianu, więc po drugiej stronie musi stać zero. Z nierówności $x^3+2x^2 > 3x+6$ nie da się odczytać żadnych miejsc zerowych, dopóki nie zostanie zapisana jako $x^3+2x^2-3x-6 > 0$ .

Jak zrobić dobrze: Pierwszy krok zawsze ten sam: wszystko na lewo, zero na prawo. Dopiero potem rozkład na czynniki.

Zła kolejność miejsc zerowych na osi

Skąd się bierze: Przy pierwiastkach niewymiernych łatwo ustawić je źle: dla $-2$ i $-\sqrt3$ trzeba wiedzieć, że $\sqrt3 \approx 1{,}73$ , więc $-2 < -\sqrt3$ . Odwrotna kolejność przestawia całą siatkę znaków i odpowiedź jest błędna na każdym przedziale.

Jak zrobić dobrze: Oszacuj pierwiastki niewymierne na boku, tylko po to, żeby ustawić je na osi. W odpowiedzi zapisz je z powrotem w postaci dokładnej.

Domknięcie nawiasu przy znaku ostrym

Skąd się bierze: W miejscu zerowym wielomian przyjmuje wartość zero, a zero nie spełnia nierówności $W(x) > 0$ . Zapis $\langle -2, 1 \rangle$ zamiast $(-2, 1)$ dokłada do odpowiedzi dwa punkty, które jej nie spełniają.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź znak w treści na końcu, przy zapisywaniu odpowiedzi. Ostry — nawiasy otwarte; nieostry — domknięte, a przy pierwiastku parzystej krotności luka wtedy znika.

6Pytania i odpowiedzi

Dlaczego przy pierwiastku dwukrotnym znak się nie zmienia?

Bo czynnik podniesiony do kwadratu nigdy nie jest ujemny, więc nie może odwrócić znaku całego iloczynu. Wykres dotyka wtedy osi i wraca na tę samą stronę, zamiast ją przeciąć.

Jak ustalić znak wielomianu po prawej stronie osi?

Decyduje wyraz najwyższego stopnia, bo przy dużych argumentach pozostałe są przy nim pomijalne. Dodatni współczynnik wiodący oznacza wartości dodatnie po prawej stronie.

Czy nierówność kwadratowa to też nierówność wielomianowa?

Tak, jest jej szczególnym przypadkiem dla stopnia drugiego. Metoda jest identyczna, tylko miejsc zerowych bywa najwyżej dwa, a krotność parzysta pojawia się rzadziej.

Kiedy nawiasy w odpowiedzi są domknięte?

Gdy znak nierówności jest nieostry, bo wtedy miejsca zerowe też ją spełniają. Przy znaku ostrym zostają wyłączone i nawiasy są otwarte.

Co zrobić, gdy wielomianu nie da się łatwo rozłożyć?

Poszukaj pierwiastka wśród dzielników wyrazu wolnego, a potem podziel przez odpowiedni dwumian. Metoda badania znaku wymaga postaci iloczynowej, więc rozkład jest krokiem koniecznym.

Czy nierówności wielomianowe są na maturze podstawowej?

Nie, podstawa umieszcza je w zakresie rozszerzonym. Na poziomie podstawowym wymagane są tylko równania dla wielomianów już doprowadzonych do postaci iloczynowej.

Czytaj dalej

WielomianyRozkład na czynniki i równania wielomianowe Nierówności kwadratoweTa sama metoda dla stopnia drugiego Nierówności wymierneSiatka znaków, gdy dochodzi mianownik Dzielenie wielomianówGdy rozkład wymaga obniżenia stopnia

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.