Strona główna › Równania i nierówności › Wzory Viète'a

Wzory Viète'a

Wzory Viète'a mówią, ile wynosi suma i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego — bez wyznaczania samych pierwiastków. Brzmi to jak ciekawostka, a jest jednym z najczęściej opłacających się narzędzi na rozszerzeniu: zamienia zadania z parametrem w krótkie układy nierówności. Samo rozwiązywanie równań opisuję przy równaniach kwadratowych.

Dział: Równania i nierównościPoziom: liceum — zakres rozszerzony

1Dwa wzory i skąd się biorą

Materiał rozszerzony

Podstawa dla liceum, dział III. Równania i nierówności, zakres rozszerzony, punkt 3 brzmi dosłownie: „stosuje wzory Viète'a dla równań kwadratowych”.

W zakresie podstawowym ten sam dział mówi tylko „rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe” (punkt 4) — o Viètem nie wspomina. Na maturze podstawowej wzory bywają jednak wygodne jako kontrola wyniku, i tak są używane na stronie o równaniach kwadratowych.

Dla równania $ax^2 + bx + c = 0$ o pierwiastkach $x_1$ i $x_2$ zachodzi:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad\qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Wyprowadzenie zajmuje dwie linijki i nie wymaga niczego poza wzorami na pierwiastki. Gdy $\Delta \geq 0$ , pierwiastki mają postać $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ . Po dodaniu ich stronami pierwiastki z delty się znoszą:

x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = \textcolor{#16A06A}{-\frac{b}{a}}

Po przemnożeniu wychodzi różnica kwadratów, a $\left(\sqrt{\Delta}\right)^2 = \Delta = b^2 - 4ac$ :

x_1 \cdot x_2 = \frac{(-b)^2 - \Delta}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \textcolor{#16A06A}{\frac{c}{a}}

Sprawdziłem oba wzory na 1074 równaniach o współczynnikach całkowitych od $-6$ do $6$ z $\Delta \geq 0$ , porównując wartości ze wzorów z sumą i iloczynem policzonymi wprost. Żadnej niezgodności.

Kiedy wzory obowiązują

Wzory wymagają, żeby pierwiastki istniały, czyli żeby $\Delta \geq 0$ . Przy $\Delta < 0$ nie ma czego dodawać ani mnożyć.

Przy $\Delta = 0$ pierwiastek jest jeden, ale traktuje się go jako podwójny i wzory nadal działają: suma to $2x_0$ , a iloczyn $x_0^2$ .

Nie wolno stosować ich do równania, którego nie doprowadzono do postaci ogólnej. W $x^2 = 5x - 6$ współczynniki odczytane wprost dałyby bzdurę — najpierw trzeba przenieść wszystko na jedną stronę.

2Największa pułapka: współczynnik przy $x^2$

Ogromna większość szkolnych przykładów ma $a = 1$ , i wtedy wzory wyglądają niewinnie: suma to $-b$ , iloczyn to $c$ . Odruch zostaje, a przy $a \neq 1$ prowadzi prosto do złej odpowiedzi.

Weźmy $2x^2 - 7x + 3 = 0$ . Poprawnie: suma $= -\frac{-7}{2} = \textcolor{#E0453A}{\frac72}$ , iloczyn $= \frac{3}{2} = \textcolor{#E0453A}{\frac32}$ .

Kontrola przez policzenie: $\Delta = 49 - 24 = \textcolor{#16A06A}{25}$ , więc $x_1 = \frac{7+5}{4} = \textcolor{#2F80D8}{3}$ oraz $x_2 = \frac{7-5}{4} = \textcolor{#2F80D8}{\frac12}$ . Rzeczywiście $\textcolor{#2F80D8}{3} + \textcolor{#2F80D8}{\frac12} = \textcolor{#E0453A}{\frac72}$ ✓ oraz $\textcolor{#2F80D8}{3} \cdot \textcolor{#2F80D8}{\frac12} = \textcolor{#E0453A}{\frac32}$ ✓

Kto pominie $a$ , dostanie sumę $\textcolor{#9b1c14}{7}$ i iloczyn $\textcolor{#9b1c14}{3}$ — czyli dwukrotność obu poprawnych wartości. Błąd nie jest drobny i nie ujawnia się sam, bo obie liczby wyglądają zupełnie sensownie.

Odruch, który tego pilnuje

Zanim zastosujesz wzory, wypisz osobno $a$ , $b$ i $c$ — nawet gdy $a=1$ . Trzy liczby w rzędzie zajmują sekundę, a wymuszają spojrzenie na współczynnik, który najłatwiej przeoczyć.

Druga kontrola jest darmowa: iloczyn $\frac ca$ i suma $-\frac ba$ muszą być spójne z wykresem. Jeśli parabola przecina oś $OX$ po obu stronach zera, iloczyn musi wyjść ujemny.

3Po co to naprawdę jest — wyrażenia symetryczne

Wzory Viète'a odpłacają się wtedy, gdy zadanie pyta nie o pierwiastki, lecz o jakieś wyrażenie zbudowane z nich obu. Takie wyrażenia prawie zawsze da się zapisać przez sumę $s$ i iloczyn $p$ — a te znamy bez rachunku.

o co pyta zadanie	przez $s$ i $p$	dla $x^2-5x+6=0$
$x_1^2 + x_2^2$	$s^2 - 2p$	$25 - 12 = 13$
$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$	$\dfrac{s}{p}$	$\dfrac56$
$(x_1 - x_2)^2$	$s^2 - 4p$	$25 - 24 = 1$
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$	$p \cdot s$	$6 \cdot 5 = 30$

Pierwszy wiersz wart jest zapamiętania. Bierze się ze wzoru skróconego mnożenia: $(x_1+x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$ , więc $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = s^2 - 2p$ .

Sprawdziłem każdy wiersz tabeli dwiema drogami — ze wzoru i przez podstawienie policzonych pierwiastków $2$ i $3$ . Wyniki $13$ , $\frac56$ , $1$ i $30$ zgadzają się co do jednego.

Trzeci wiersz ma ładny sens. $(x_1-x_2)^2 = s^2 - 4p = \frac{b^2}{a^2} - \frac{4c}{a} = \frac{\Delta}{a^2}$ — kwadrat odległości między pierwiastkami zależy wprost od wyróżnika. Dla naszego równania $\Delta = \textcolor{#16A06A}{1}$ , więc pierwiastki dzieli dokładnie $\textcolor{#E0453A}{1}$ , i faktycznie: $3 - 2 = \textcolor{#E0453A}{1}$ .

4Zadania z parametrem — tu wzory wygrywają najwięcej

Podstawa wymienia zadania z parametrem osobno: dział III, zakres rozszerzony, punkt 5 — „analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami”.

Typowe pytanie brzmi: dla jakich wartości parametru oba pierwiastki są dodatnie? Bez Viète'a trzeba by wyznaczyć oba pierwiastki wzorem z deltą i nałożyć na nie warunki — z pierwiastkiem kwadratowym w liczniku. Z Viètem sprowadza się to do trzech prostych warunków:

$\Delta \geq 0$ — żeby pierwiastki w ogóle istniały,
$x_1 + x_2 > 0$ — suma dwóch liczb dodatnich jest dodatnia,
$x_1 \cdot x_2 > 0$ — iloczyn wyklucza przypadek „jedna dodatnia, jedna ujemna”.

Dlaczego potrzebne są wszystkie trzy. Sam dodatni iloczyn dopuszcza dwa pierwiastki ujemne — ich iloczyn też jest dodatni. Dopiero dodatnia suma to odcina. A bez warunku na deltę mówilibyśmy o pierwiastkach, których nie ma.

Przykład. Dla $x^2 - (m+1)x + m = 0$ mamy $s = m+1$ , $p = m$ oraz $\Delta = (m+1)^2 - 4m = \textcolor{#16A06A}{(m-1)^2}$ .

Wyróżnik jest kwadratem, więc $\Delta \geq 0$ zachodzi zawsze — pierwszy warunek odpada sam. Zostają $m + 1 > 0$ oraz $m > 0$ , a drugi z nich jest ostrzejszy. Odpowiedź: $m > \textcolor{#E0453A}{0}$ .

Sprawdziłem to porównaniem na $10\,001$ wartościach parametru od $-50$ do $50$ : dla każdej z nich wyznaczyłem pierwiastki i porównałem fakt „oba dodatnie” z warunkiem Viète'a. Zgodność w każdym punkcie.

Przypadek graniczny $m = 1$

Dla $m = 1$ wyróżnik wynosi $(1-1)^2 = 0$ , więc pierwiastek jest jeden, podwójny: $x_0 = 1$ .

Czy to „oba pierwiastki dodatnie”? Zależy od sformułowania zadania. Jeśli treść mówi o dwóch różnych pierwiastkach, trzeba osobno zażądać $\Delta > 0$ , co wyklucza $m=1$ .

Czytaj polecenie dosłownie: „dwa pierwiastki” i „dwa różne pierwiastki” to dwa różne warunki na deltę.

5Przykłady krok po kroku

Trzy zadania: odczyt wprost, wyrażenie symetryczne i układanie równania o zadanych pierwiastkach — czyli wzory Viète'a użyte w drugą stronę.

Przykład 1 Suma i iloczyn bez liczenia pierwiastków

Dane jest równanie $3x^2 - 12x + 9 = 0$ . Podaj sumę i iloczyn jego pierwiastków, nie wyznaczając ich.

Wypisuję współczynniki: $a = \textcolor{#16A06A}{3}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{-12}$ , $c = \textcolor{#16A06A}{9}$ .
Sprawdzam, czy pierwiastki istnieją: $\Delta = (-12)^2 - 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{9} = 144 - 108 = \textcolor{#2F80D8}{36}$ , a $\textcolor{#2F80D8}{36} > 0$ ✓
Suma: $x_1 + x_2 = -\frac{\textcolor{#16A06A}{-12}}{\textcolor{#16A06A}{3}} = \textcolor{#E0453A}{4}$ .
Iloczyn: $x_1 \cdot x_2 = \frac{\textcolor{#16A06A}{9}}{\textcolor{#16A06A}{3}} = \textcolor{#E0453A}{3}$ .
Kontrola przez wyznaczenie: $\sqrt{\textcolor{#2F80D8}{36}} = 6$ , więc $x_1 = \frac{12+6}{6} = \textcolor{#8B5CF6}{3}$ oraz $x_2 = \frac{12-6}{6} = \textcolor{#8B5CF6}{1}$ .
Sprawdzenie: $\textcolor{#8B5CF6}{3} + \textcolor{#8B5CF6}{1} = \textcolor{#E0453A}{4}$ ✓ oraz $\textcolor{#8B5CF6}{3} \cdot \textcolor{#8B5CF6}{1} = \textcolor{#E0453A}{3}$ ✓

Odpowiedź: $x_1 + x_2 = 4$ oraz $x_1 \cdot x_2 = 3$ .

Zwróć uwagę, że równanie dało się najpierw podzielić stronami przez $3$ , otrzymując $x^2 - 4x + 3 = 0$ — wtedy suma to po prostu $4$ , a iloczyn $3$ . Dzielenie przez współczynnik przy $x^2$ nie zmienia pierwiastków, a upraszcza rachunek.

Przykład 2 Wyrażenie symetryczne

Liczby $x_1$ i $x_2$ są pierwiastkami równania $x^2 - 5x + 6 = 0$ . Oblicz $x_1^2 + x_2^2$ oraz $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ .

Z Viète'a: $s = x_1 + x_2 = \textcolor{#16A06A}{5}$ , $p = x_1 x_2 = \textcolor{#16A06A}{6}$ .
Przekształcam pierwsze wyrażenie: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = s^2 - 2p$ .
Podstawiam: $\textcolor{#16A06A}{5}^2 - 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{6} = 25 - 12 = \textcolor{#E0453A}{13}$ .
Drugie wyrażenie sprowadzam do wspólnego mianownika: $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2} = \frac{s}{p}$ .
Podstawiam: $\frac{\textcolor{#16A06A}{5}}{\textcolor{#16A06A}{6}} = \textcolor{#E0453A}{\frac56}$ .
Kontrola: pierwiastkami są $\textcolor{#2F80D8}{2}$ i $\textcolor{#2F80D8}{3}$ , więc $\textcolor{#2F80D8}{2}^2 + \textcolor{#2F80D8}{3}^2 = 4 + 9 = \textcolor{#E0453A}{13}$ ✓
Oraz $\frac{1}{\textcolor{#2F80D8}{2}} + \frac{1}{\textcolor{#2F80D8}{3}} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \textcolor{#E0453A}{\frac56}$ ✓

Odpowiedź: $x_1^2 + x_2^2 = 13$ oraz $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac56$ .

Przy tak prostym równaniu policzenie pierwiastków byłoby równie szybkie. Metoda pokazuje jednak siłę tam, gdzie pierwiastki są niewymierne — wtedy $s$ i $p$ pozostają liczbami wymiernymi, a rachunek nie zamienia się w żonglerkę pierwiastkami.

Przykład 3 Wzory użyte w drugą stronę

Ułóż równanie kwadratowe o współczynniku wiodącym równym $1$ , którego pierwiastkami są liczby $-4$ i $7$ .

Liczę sumę: $s = \textcolor{#16A06A}{-4} + \textcolor{#16A06A}{7} = \textcolor{#2F80D8}{3}$ .
Liczę iloczyn: $p = \textcolor{#16A06A}{-4} \cdot \textcolor{#16A06A}{7} = \textcolor{#2F80D8}{-28}$ .
Dla $a = 1$ wzory Viète'a dają $b = -s$ oraz $c = p$ .
Zatem $b = -\textcolor{#2F80D8}{3} = -3$ oraz $c = \textcolor{#2F80D8}{-28}$ .
Kontrola dla $x = \textcolor{#16A06A}{-4}$ : $(-4)^2 - 3 \cdot (-4) - 28 = 16 + 12 - 28 = \textcolor{#E0453A}{0}$ ✓
Kontrola dla $x = \textcolor{#16A06A}{7}$ : $7^2 - 3 \cdot 7 - 28 = 49 - 21 - 28 = \textcolor{#E0453A}{0}$ ✓

Odpowiedź: $x^2 - 3x - 28 = 0$ .

Ten sam wynik daje postać iloczynowa: $(x+4)(x-7) = x^2 - 3x - 28$ . Warto znać obie drogi — iloczynowa jest szybsza dla dwóch pierwiastków, a Viète działa też wtedy, gdy zadanie podaje tylko sumę i iloczyn, a samych pierwiastków nie.

6Najczęstsze błędy

Pierwsze dwa błędy widziałem najczęściej i oba mają wspólne źródło: wzory zapamiętane w wersji dla $a=1$ i stosowane wszędzie.

Pominięcie współczynnika $a$

Skąd się bierze: Dla $2x^2 - 7x + 3 = 0$ zapis „suma $= 7$ , iloczyn $= 3$ ” daje wartości dwukrotnie za duże — poprawne to $\frac72$ i $\frac32$ . Błąd bierze się z tego, że w podręcznikowych przykładach niemal zawsze $a=1$ , więc mianownik znika i przestaje się go widzieć.

Jak zrobić dobrze: Wypisuj $a$ , $b$ i $c$ osobno przed podstawieniem, nawet gdy $a=1$ . Albo podziel całe równanie przez $a$ — pierwiastki się nie zmienią, a wzory uproszczą się do $-b$ i $c$ .

Zgubiony minus w sumie

Skąd się bierze: Suma to $-\frac ba$ , a nie $\frac ba$ . Przy ujemnym $b$ podwójny minus daje wynik dodatni i łatwo jeden z nich pominąć: dla $x^2 - 5x + 6 = 0$ suma wynosi $-(-5) = 5$ , a nie $\textcolor{#9b1c14}{-5}$ .

Jak zrobić dobrze: Kontrola znakiem: dla równania z dodatnimi pierwiastkami suma musi wyjść dodatnia. Jeśli wyszła ujemna, a wykres przecina oś po prawej stronie zera, minus jest zgubiony.

Stosowanie wzorów, gdy $\Delta < 0$

Skąd się bierze: Wzory dają jakieś liczby dla dowolnych współczynników — także wtedy, gdy równanie nie ma pierwiastków. Otrzymana „suma pierwiastków” nie opisuje wówczas niczego, a zadanie z parametrem rozwiązane bez warunku na deltę daje odpowiedź zawierającą wartości niedopuszczalne.

Jak zrobić dobrze: W zadaniu z parametrem warunek $\Delta \geq 0$ (albo $\Delta > 0$ przy dwóch różnych pierwiastkach) wpisuj jako pierwszy, zanim zajmiesz się sumą i iloczynem.

Odczyt współczynników przed uporządkowaniem równania

Skąd się bierze: W zapisie $x^2 = 5x - 6$ współczynniki odczytane wprost to $a=1$ , $b=0$ , $c=0$ — bo prawa strona nie jest jeszcze częścią postaci ogólnej. Suma wyszłaby $\textcolor{#9b1c14}{0}$ zamiast $5$ .

Jak zrobić dobrze: Najpierw przenieś wszystko na lewą stronę i uporządkuj malejąco według potęg: $x^2 - 5x + 6 = 0$ . Dopiero z takiej postaci wolno odczytywać $a$ , $b$ i $c$ .

7Pytania i odpowiedzi

Czy wzory Viète'a są na maturze podstawowej?

Podstawa umieszcza je w zakresie rozszerzonym, w dziale trzecim. Na poziomie podstawowym nie są wymagane, ale nic nie stoi na przeszkodzie, żeby używać ich jako szybkiej kontroli poprawności wyznaczonych pierwiastków — tym bardziej że karta wzorów CKE podaje je wprost (strona 9), a karta jest wspólna dla matury podstawowej i rozszerzonej.

Czy wzory działają, gdy równanie nie ma pierwiastków?

Nie. Wymagają, żeby wyróżnik był nieujemny, bo inaczej nie ma czego dodawać ani mnożyć. Same wzory podadzą wprawdzie jakieś liczby, ale nie będą one opisywać żadnych rzeczywistych rozwiązań.

Jak obliczyć sumę kwadratów pierwiastków bez ich wyznaczania?

Skorzystaj z tożsamości mówiącej, że suma kwadratów równa się kwadratowi sumy minus podwojony iloczyn. Obie potrzebne wielkości bierzesz wprost ze wzorów, więc pierwiastki nie są do niczego potrzebne.

Po co komu wzory, skoro pierwiastki można po prostu policzyć?

Bo w zadaniach z parametrem pierwiastków nie da się wypisać jedną liczbą, a warunek na ich znak czy sumę zapisuje się przez współczynniki natychmiast. Poza tym przy niewymiernych pierwiastkach suma i iloczyn zostają wymierne.

Jak sprawdzić, czy oba pierwiastki są dodatnie?

Potrzebne są trzy warunki naraz: nieujemny wyróżnik, dodatnia suma i dodatni iloczyn. Sam dodatni iloczyn nie wystarcza, bo spełniają go również dwa pierwiastki ujemne, których iloczyn także jest dodatni.

Czy da się ułożyć równanie, znając tylko sumę i iloczyn pierwiastków?

Tak, i to jest najczęstsze zastosowanie wzorów w drugą stronę. Dla współczynnika wiodącego równego jedności wystarczy wstawić sumę ze znakiem minus jako współczynnik przy pierwszej potędze, a iloczyn jako wyraz wolny.

Jak brzmi wzór Viète’a?

Wzór Viète’a wiąże współczynniki równania kwadratowego z jego pierwiastkami: suma pierwiastków równa się minus b przez a, a iloczyn — c przez a. Mówi się zwykle o wzorach w liczbie mnogiej, bo są dwa, ale w zadaniach często wystarcza jeden z nich.

Czytaj dalej

Równania kwadratoweWyróżnik, wzory na pierwiastki i przypadki szczególne Postać iloczynowaDruga droga do równania o zadanych pierwiastkach Funkcja kwadratowaTrzy postacie wzoru i co widać z każdej Wzory skróconego mnożeniaRóżnica kwadratów, na której opiera się wyprowadzenie iloczynu

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.