Strona główna › Funkcje › Wzory pochodnych wybranych funkcji

Wzory pochodnych wybranych funkcji

Q: Jak policzyć pochodną pierwiastka?

Zamienić pierwiastek na potęgę: √(x) = x^1/2, a potem zastosować zwykły wzór. Wychodzi 12 x^-1/2, czyli 12√(x) — bez potrzeby pamiętania osobnego wzoru.

Tabela pochodnych wygląda na listę do wykucia, a jest czymś innym: zestawem kilku wzorów podstawowych plus jedną regułą, która pozwala z nich zbudować resztę. Ta strona porządkuje, które wzory wymienia podstawa programowa, które są dodatkiem, i pokazuje, jak reguła łańcuchowa zamienia krótką listę w narzędzie na wszystko. Samo pojęcie pochodnej i jej sens opisuję osobno.

Dział: FunkcjePoziom: liceum — zakres rozszerzony

1Co wymienia podstawa, a co jest dodatkiem

Warto zacząć od rozgraniczenia, bo tabele w zbiorach zadań bywają dużo dłuższe niż wymagania.

Podstawa, dział XIII (Optymalizacja i rachunek różniczkowy), zakres rozszerzony, punkt 4

„oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej”.

Wymieniona jest więc jedna rodzina funkcji — potęgowa $x^a$ — oraz pięć twierdzeń o działaniach, w tym reguła dla funkcji złożonej. Podstawa mówi o obliczaniu pochodnej, a nie o znajomości listy wzorów: kto umie policzyć, ten wzory ma.

Pochodnych sinusa, cosinusa, funkcji wykładniczej i logarytmicznej podstawa nie wymienia z nazwy. Nie znaczy to, że nie warto ich znać — ale w wymaganiach ich nie ma.

Sformułowanie „o wykładniku rzeczywistym” jest tu mocniejsze, niż wygląda: obejmuje nie tylko $x^2$ czy $x^5$ , ale też pierwiastki i odwrotności, bo $\sqrt{x} = x^{1/2}$ , a $\frac{1}{x} = x^{-1}$ . Jeden wzór załatwia więc trzy pozornie różne przypadki.

\left(x^a\right)' = a\,x^{\,a-1}

Reguła jest zawsze ta sama: wykładnik schodzi przed funkcję i zmniejsza się o jeden. Działa dla każdego wykładnika rzeczywistego, także ujemnego i ułamkowego.

2Tabela wzorów

Pierwsze cztery wiersze to bezpośrednie zastosowania wzoru na funkcję potęgową — warto umieć je wyprowadzić, a nie tylko odczytać.

funkcja	pochodna	skąd
$c$ (stała)	$0$	wartość się nie zmienia
$x^n$	$n x^{\,n-1}$	wzór podstawowy
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	z wzoru dla $a = \frac12$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$	z wzoru dla $a = -1$
$\sin x$	$\cos x$	poza wymaganiami podstawy, jest w karcie CKE
$\cos x$	$-\sin x$	poza wymaganiami, jest w karcie; uwaga na minus
$\operatorname{tg} x$	$\frac{1}{(\cos x)^2}$	poza wymaganiami, jest w karcie; dla $\cos x \neq 0$
$e^x$	$e^x$	poza wymaganiami, jest w karcie; równa swojej pochodnej
$\ln x$	$\frac{1}{x}$	poza wymaganiami i poza kartą; dla $x > 0$

Trzeci wiersz wyprowadza się tak: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ , więc pochodna to $\frac12 x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ . Czwarty analogicznie: $x^{-1}$ daje $-1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$ .

Pięć dolnych wierszy to funkcje, których podstawa nie wymienia z nazwy — i tu trzeba zrobić rozróżnienie, o którym łatwo zapomnieć. „Nie ma w wymaganiach” nie znaczy „nie ma w karcie”: karta wzorów CKE zawiera pochodne sinusa, cosinusa, tangensa i $e^x$ (strona 33, tabela „Pochodne wybranych funkcji”). Maturzysta ma je więc przed sobą na egzaminie, nawet jeśli nikt nie wymaga ich znajomości na pamięć. Poza kartą został w tej tabeli tylko $\ln x$ — jego pochodnej nie znajdziesz ani w wymaganiach, ani w karcie.

Praktyczny wniosek: tych czterech wzorów nie musisz kuć, ale warto wiedzieć, gdzie ich szukać i jak wyglądają, bo zadanie może ich użyć bez ostrzeżenia. Karta zawiera zresztą także pochodne, których w tej tabeli nie ma osobno — $ax+b$ oraz $ax^2+bx+c$ — bo wychodzą wprost ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej i twierdzeń o sumie.

Minusy w tabeli są dwa i oba warto rozumieć, a nie zapamiętywać. Przy cosinusie: w okolicy zera cosinus maleje, więc jego pochodna musi tam być ujemna. Przy $\frac1x$ : to po prostu wykładnik $-1$ , który schodzi przed funkcję — i temu minusowi poświęcam osobny punkt w sekcji o błędach, bo gubi się częściej niż tamten. Osobna uwaga do wiersza z $e^x$ : równań $f' = f$ spełnia nieskończenie wiele funkcji — każda postaci $Ce^x$ , łącznie z funkcją stale równą zeru. To $e^x$ jest wśród nich jedyną, która w zerze przyjmuje wartość $1$ .

3Reguła łańcuchowa — to ona robi robotę

Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej jest wymienione w podstawie i jest najważniejszym narzędziem tego działu:

\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Czyta się je jako: pochodna z zewnątrz razy pochodna ze środka. Funkcję wewnętrzną przepisujemy bez zmian do pochodnej zewnętrznej, a na końcu mnożymy przez jej własną pochodną.

Rozpoznaj warstwy. W $(3x+1)^5$ warstwa zewnętrzna to potęga piąta, wewnętrzna to $3x+1$ .
Zróżniczkuj zewnętrzną, zostawiając środek nietknięty: $5(3x+1)^4$ .
Pomnóż przez pochodną środka: $\cdot\, 3$ , co daje $15(3x+1)^4$ .

Pominięcie ostatniego kroku to najczęstszy błąd w całym rachunku różniczkowym — i najtrudniejszy do zauważenia, bo wynik wygląda poprawnie.

Kontrola, która wyłapuje brak mnożenia

Weź najprostszy przypadek złożenia liniowego: $f(x) = (2x)^2 = 4x^2$ .

Pochodna policzona wprost: $8x$ .

Regułą łańcuchową: $2 \cdot (2x) \cdot 2 = 8x$ ✓ — bez ostatniej dwójki wyszłoby $4x$ , czyli połowa.

Ta kontrola działa wtedy, gdy całe złożenie da się wymnożyć do wielomianu — czyli gdy warstwa wewnętrzna jest liniowa, a zewnętrzna jest potęgą o wykładniku naturalnym. Dla $\sqrt{2x}$ czy $\sin(2x)$ warstwa wewnętrzna też jest liniowa, ale wymnażać nie ma czego; tam sprawdza się wynik podstawieniem liczby albo ilorazem różnicowym.

4Jak korzystać z tabeli w zadaniach

Praktyczna kolejność, która działa dla dowolnie zagmatwanego wyrażenia:

Rozbij po sumie i różnicy — to najtańszy ruch, bo pochodną liczy się składnik po składniku.
Wyciągnij stałe przed pochodną; nie zmieniają się.
Zamień pierwiastki i ułamki na potęgi — wtedy działa jeden wzór zamiast trzech.
Dopiero na końcu sięgaj po wzór na iloczyn, iloraz albo funkcję złożoną.

Trzeci punkt oszczędza najwięcej pracy. Wyrażenie $\frac{3}{x^2} + \sqrt[3]{x}$ wygląda groźnie, ale zapisane jako $3x^{-2} + x^{1/3}$ jest zwykłą sumą dwóch funkcji potęgowych.

Warto też pamiętać, że iloraz często da się ominąć. Zamiast różniczkować $\frac{x^3}{5}$ wzorem na pochodną ilorazu, wygodniej potraktować to jako $\frac15 x^3$ i wyciągnąć stałą. Wzór na iloraz jest potrzebny dopiero wtedy, gdy zmienna stoi w mianowniku w sposób, którego nie da się zapisać potęgą.

Po policzeniu pochodnej opłaca się zrobić kontrolę w jednym punkcie: porównać wartość pochodnej z ilorazem różnicowym dla bardzo małego przyrostu. Jeśli obie liczby są bliskie, rachunek jest niemal na pewno dobry — to najszybszy sposób sprawdzenia długiego wyrażenia.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: pierwiastek i odwrotność jako potęgi, reguła łańcuchowa, iloraz oraz kontrola numeryczna.

Przykład 1 Pierwiastek i odwrotność

Oblicz pochodną funkcji $f(x) = \sqrt{x} + \frac{3}{x^2}$ i wyznacz $f'(9)$ .

Zamieniam na potęgi: $f(x) = x^{1/2} + 3x^{-2}$ .
Pierwszy składnik: $\frac12 x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ .
Drugi składnik: $3 \cdot (-2) x^{-3} = -6x^{-3} = -\frac{6}{x^3}$ .
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{6}{x^3}$ .
$f'(9) = \frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{6}{729} = \frac16 - \frac{2}{243}$ .
Wspólny mianownik $486$ : $\frac{81}{486} - \frac{4}{486} = \frac{77}{486}$ .
Kontrola znaku: pierwszy składnik dominuje, więc pochodna jest dodatnia — i funkcja w tym miejscu rośnie ✓

Odpowiedź: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{6}{x^3}$ , $f'(9) = \frac{77}{486}$

Zamiana na potęgi w pierwszym kroku sprowadza dwa różne wyglądy do jednego wzoru. Wynik zostawiam ułamkiem — to postać dokładna, a zaokrąglenie niczego by nie wyjaśniło.

Przykład 2 Reguła łańcuchowa

Oblicz pochodną funkcji $g(x) = (3x + 1)^5$ .

Warstwa zewnętrzna: potęga piąta. Warstwa wewnętrzna: $3x + 1$ .
Różniczkuję zewnętrzną, zostawiając środek: $5(3x+1)^4$ .
Mnożę przez pochodną środka, czyli przez $3$ : $g'(x) = 15(3x+1)^4$ .
Kontrola w punkcie $x = 0$ : $g'(0) = 15 \cdot 1 = 15$ .
Kontrola przez rozwinięcie dla prostszego przypadku $(3x+1)^2 = 9x^2 + 6x + 1$ : pochodna $18x + 6$ , a regułą łańcuchową $2(3x+1) \cdot 3 = 18x + 6$ ✓
Kontrola pułapki: bez mnożenia przez $3$ wyszłoby $5(3x+1)^4$ , czyli trzykrotnie za mało ✓

Odpowiedź: $g'(x) = 15(3x+1)^4$

Kontrola na kwadracie zamiast na piątej potędze jest szybsza i sprawdza dokładnie ten sam mechanizm. Warto wyrobić nawyk testowania reguł na najprostszym możliwym przypadku.

Przykład 3 Pochodna ilorazu

Oblicz pochodną funkcji $h(x) = \frac{2x - 1}{x + 4}$ .

Licznik: $f = 2x - 1$ , więc $f' = 2$ . Mianownik: $g = x + 4$ , więc $g' = 1$ .
Wzór: $h'(x) = \frac{f'g - fg'}{g^2} = \frac{2(x+4) - (2x-1) \cdot 1}{(x+4)^2}$ .
Licznik: $2x + 8 - 2x + 1 = 9$ .
$h'(x) = \frac{9}{(x+4)^2}$ .
Kontrola znaku: licznik jest dodatni, mianownik jako kwadrat też, więc funkcja rośnie w całej dziedzinie ✓
Kontrola dziedziny: wzór wymaga $x \neq -4$ , tak samo jak funkcja wyjściowa ✓
Kontrola kolejności: zamiana wyrazów w liczniku dałaby $-9$ , czyli błędny wniosek o maleniu ✓

Odpowiedź: $h'(x) = \frac{9}{(x+4)^2}$

Zniknięcie zmiennej z licznika nie jest błędem — tak wychodzi dla każdej funkcji homograficznej. Stała w liczniku oznacza, że pochodna nigdzie nie zmienia znaku, więc funkcja jest monotoniczna na każdej gałęzi.

Przykład 4 Kontrola numeryczna wyniku

Sprawdź, czy pochodną funkcji $f(x) = x^3 - 4x$ w punkcie $x = 2$ jest liczba $8$ .

Ze wzorów: $f'(x) = 3x^2 - 4$ , więc $f'(2) = 12 - 4 = 8$ .
Kontrola ilorazem różnicowym dla $h = 0{,}001$ : $\frac{f(2{,}001) - f(2)}{0{,}001}$ .
$f(2) = 8 - 8 = 0$ , a $f(2{,}001) = 8{,}012006001 - 8{,}004 = 0{,}008006001$ .
Iloraz: $\frac{0{,}008006001}{0{,}001} = 8{,}006001$ — bardzo blisko $8$ ✓
Kontrola z drugiej strony: dla $h = -0{,}001$ iloraz wynosi $7{,}994001$ , czyli równie blisko z dołu ✓
Średnia obu ilorazów: $\frac{8{,}006001 + 7{,}994001}{2} = 8{,}000001$ — jeszcze bliżej ✓

Odpowiedź: Tak, $f'(2) = 8$ .

Ta kontrola jest przybliżeniem z definicji — dla funkcji zakrzywionej iloraz różnicowy nie równa się pochodnej dokładnie, choćby przyrost był bardzo mały. Wyjątkiem są funkcje liniowe: tam iloraz wychodzi dokładny przy każdym przyroście, bo wykres nie ma czego zakrzywiać. To jedyne miejsce, w którym liczba dziesiętna jest tu na miejscu, bo sprawdzamy zbieżność, a nie podajemy wynik.

6Najczęstsze błędy

Pięć błędów: dwa pierwsze dotyczą reguły łańcuchowej, trzeci i czwarty — znaku oraz kolejności we wzorach, a piąty zakresu wymagań.

Pominięcie pochodnej funkcji wewnętrznej.

Skąd się bierze: Wynik wygląda poprawnie — ma właściwą potęgę i właściwy nawias.

Jak zrobić dobrze: Zawsze mnóż przez pochodną środka. Kontrola: dla $(2x)^2$ wynik musi wynosić $8x$ , a bez tego kroku wychodzi $4x$ .

Różniczkowanie warstwy wewnętrznej razem z zewnętrzną.

Skąd się bierze: Odruch „różniczkuję wszystko, co widzę”.

Jak zrobić dobrze: W pochodnej zewnętrznej środek zostaje nietknięty: z $(3x+1)^5$ powstaje $5(3x+1)^4$ , a nie $5 \cdot 3^4$ .

Zapominanie o minusie przy pochodnej odwrotności.

Skąd się bierze: Wzór $\left(x^{-1}\right)' = -x^{-2}$ wymaga zejścia wykładnika, który jest ujemny.

Jak zrobić dobrze: Wykładnik $-1$ schodzi przed funkcję jako $-1$ . Kontrola sensu: $\frac1x$ maleje dla $x > 0$ , więc pochodna musi być ujemna.

Odwrócona kolejność w liczniku pochodnej ilorazu.

Skąd się bierze: Wzór wygląda symetrycznie, a odejmowanie zapisuje się „jak wygodniej”.

Jak zrobić dobrze: Licznik to $f'g - fg'$ . Zamiana daje wynik przeciwny, więc wniosek o monotoniczności wyjdzie odwrotny.

Uczenie się całej tabeli jako wymaganej na maturze.

Skąd się bierze: Zbiory zadań podają długie listy bez zaznaczania zakresu.

Jak zrobić dobrze: Podstawa wymienia funkcję potęgową i pięć twierdzeń o działaniach. Pochodne sinusa, cosinusa, $e^x$ i logarytmu warto znać, ale nie są wymagane.

7Pytania i odpowiedzi

Które wzory na pochodne są wymagane na maturze rozszerzonej?

Podstawa wymienia obliczanie pochodnej funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz twierdzenia o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej. Pochodnych funkcji trygonometrycznych, wykładniczej i logarytmicznej nie wymienia z nazwy. Uwaga jednak: pochodne sinusa, cosinusa, tangensa i $e^x$ stoją w karcie wzorów CKE (strona 33), więc na egzaminie masz je pod ręką — nie trzeba ich kuć, ale warto wiedzieć, że tam są.

Jak policzyć pochodną pierwiastka?

Zamienić pierwiastek na potęgę: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ , a potem zastosować zwykły wzór. Wychodzi $\frac12 x^{-1/2}$ , czyli $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ — bez potrzeby pamiętania osobnego wzoru.

Na czym polega reguła łańcuchowa?

Na pomnożeniu pochodnej funkcji zewnętrznej, liczonej przy nietkniętym środku, przez pochodną funkcji wewnętrznej. Pominięcie tego mnożenia jest najczęstszym błędem w rachunku różniczkowym.

Kiedy używać wzoru na pochodną ilorazu?

Dopiero wtedy, gdy zmiennej w mianowniku nie da się zapisać potęgą. Wyrażenie $\frac{x^3}{5}$ wygodniej potraktować jako $\frac15 x^3$ i wyciągnąć stałą przed pochodną.

Jak szybko sprawdzić, czy pochodna została policzona dobrze?

Porównać jej wartość w wybranym punkcie z ilorazem różnicowym dla bardzo małego przyrostu. Jeśli obie liczby są bliskie, rachunek jest niemal na pewno poprawny — to najszybsza kontrola długiego wyrażenia.

Czytaj dalej

PochodneDefinicja, interpretacja geometryczna i fizyczna oraz zastosowania do monotoniczności.Potęgowanie i pierwiastkowanieZamiana pierwiastków i ułamków na potęgi — ruch, który opłaca się wszędzie tam, gdzie zmienna stoi pod pierwiastkiem albo w mianowniku.Granica ciąguPojęcie granicy, na którym opiera się definicja pochodnej i kontrola numeryczna wyniku.Elementy analizy matematycznejMapa działu: siedem punktów podstawy programowej z analizy matematycznej i strony, które je realizują.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-02. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.