Wzory trygonometryczne

Odpowiedź: D

1. Po lewej stronie mamy sinus, po prawej cosinus — trzeba więc sprowadzić obie strony do tej samej funkcji. Robi to wzór redukcyjny.
2. $\cos \textcolor{#16A06A}{47^\circ} = \sin\left(90^\circ - \textcolor{#16A06A}{47^\circ}\right) = \sin \textcolor{#E0453A}{43^\circ}$
3. Podstawiamy do równania z treści:
4. $\sin\alpha = \sin \textcolor{#E0453A}{43^\circ}$
5. Skoro kąt $\alpha$ jest ostry, a sinus dla kątów od $0^\circ$ do $90^\circ$ przyjmuje każdą wartość dokładnie raz, to
6. $\alpha = 43^\circ$
7. Odpowiedź: $43^\circ$, czyli D.
8. Kontrola liczbowa: $\cos 47^\circ \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}6820}$ oraz $\sin 43^\circ \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}6820}$ ✓ Te same wartości.
9. Sprawdzenie sumy kątów: $\textcolor{#16A06A}{47^\circ} + 43^\circ = \textcolor{#E0453A}{90^\circ}$ ✓ — kąty dopełniają się do prostego, dokładnie jak każe wzór.
10. Skąd dystraktory. Odpowiedź $47^\circ$ (C) to przepisanie kąta z treści bez żadnej zamiany — jakby sinus i cosinus tego samego kąta były równe (co zachodzi tylko dla $45^\circ$). Odpowiedź $6^\circ$ (A) to $\textcolor{#E0453A}{53^\circ - 47^\circ}$, czyli odejmowanie od złej liczby, a $33^\circ$ (B) to $\textcolor{#E0453A}{80^\circ - 47^\circ}$ — obie powstają z pomylenia, do ilu kąty mają się dopełniać.

💡 Wskazówka: Gdy w jednym równaniu stoi sinus, a w drugim cosinus, zamień jedną funkcję na drugą wzorem $\cos\beta = \sin\left(90^\circ - \beta\right)$. Potem obie strony mają tę samą funkcję i można porównać same kąty. Kontrola na koniec zajmuje sekundę: dwa kąty muszą się sumować do $90^\circ$.

⚠ Podanie $47^\circ$ (odpowiedź C), czyli przepisanie kąta z treści. Równość $\sin\alpha = \cos\alpha$ zachodzi tylko dla $\alpha = 45^\circ$, więc dla $47^\circ$ być prawdziwa nie może. Drugi błąd: odejmowanie od $180^\circ$ zamiast od $90^\circ$ i wyjście na $133^\circ$ — kąt nie byłby wtedy ostry, co przeczy treści. Wzór z $180^\circ$ dotyczy zamiany $\sin\left(180^\circ - \alpha\right)$ na $\sin\alpha$, czyli tej samej funkcji, a nie przejścia z cosinusa na sinus.

Odpowiedź: A

1. Kąt $\textcolor{#16A06A}{150^\circ}$ jest rozwarty, więc najpierw sprowadzamy go do kąta ostrego wzorem redukcyjnym $\sin\left(180^\circ - \alpha\right) = \sin\alpha$.
2. $\sin \textcolor{#16A06A}{150^\circ} = \sin\left(180^\circ - \textcolor{#E0453A}{30^\circ}\right) = \sin \textcolor{#E0453A}{30^\circ} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac12}$
3. Teraz sprawdzamy każdą odpowiedź — wszystkie cztery kąty są z tabeli wartości szczególnych, więc rachunek jest krótki:
4. A: $\cos 60^\circ = \textcolor{#E0453A}{\dfrac12}$ ✓ — zgadza się.
5. B: $\cos 120^\circ = \cos\left(180^\circ - 60^\circ\right) = -\cos 60^\circ = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac12}$ — ta sama wartość, ale ze znakiem minus, więc nie.
6. C: $\operatorname{tg} 120^\circ = -\operatorname{tg} 60^\circ = \textcolor{#E0453A}{-\sqrt3} \approx \textcolor{#E0453A}{-1{,}73}$ — nie.
7. D: $\operatorname{tg} 60^\circ = \textcolor{#E0453A}{\sqrt3} \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}73}$ — nie.
8. Odpowiedź: $\cos 60^\circ$, czyli A.
9. Krótsza droga, bez tabeli wartości. Zauważ, że $\textcolor{#16A06A}{150^\circ}$ i $60^\circ$ nie sumują się do $90^\circ$ — ale $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ$, a $30^\circ + 60^\circ = \textcolor{#E0453A}{90^\circ}$. Zatem $\sin 30^\circ = \cos 60^\circ$ wprost ze wzoru o kątach dopełniających.
10. Kontrola znaku — najważniejsza rzecz w tym zadaniu. Kąt $150^\circ$ leży w drugiej ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni, a cosinus i tangens ujemne. Skoro $\sin 150^\circ > 0$, to odpowiedzi o wartościach ujemnych (B i C) odpadają bez liczenia. Zostają A i D, a $\sqrt3 > 1$, podczas gdy sinus nigdy nie przekracza $1$ — więc D też odpada.

💡 Wskazówka: Zacznij od znaku. Kąt $150^\circ$ jest w drugiej ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni, więc szukana liczba jest dodatnia — to odrzuca $\cos 120^\circ$ i $\operatorname{tg} 120^\circ$ jednym spojrzeniem. Potem skorzystaj z tego, że sinus nigdy nie wychodzi poza przedział od $-1$ do $1$, co odrzuca $\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt3$. Zostaje jedna odpowiedź i nie trzeba nawet znać wartości.

⚠ Wybór $\cos 120^\circ$ (odpowiedź B) przez mechaniczne odjęcie $30^\circ$ od obu liczb albo przez odruch „$150 - 30 = 120$”. Wartość jest wtedy poprawna co do wielkości, ale ujemna — a $\sin 150^\circ$ jest dodatni. Drugi błąd: wybór $\operatorname{tg} 60^\circ$ (D), czyli $\sqrt3 \approx 1{,}73$; żadna wartość sinusa nie może być większa od $1$, więc ta odpowiedź odpada bez znajomości tabeli. Trzeci błąd: uznanie, że $\sin 150^\circ = \sin\left(150^\circ - 90^\circ\right) = \sin 60^\circ$ — wzór redukcyjny dla sinusa kąta rozwartego odejmuje kąt od $180^\circ$, a nie od $90^\circ$.

Odpowiedź: D

1. Dodajemy kąty z treści — to pierwszy odruch w każdym zadaniu z wzorami redukcyjnymi:
2. $\textcolor{#16A06A}{12^\circ} + \textcolor{#16A06A}{78^\circ} = \textcolor{#E0453A}{90^\circ}$
3. Kąty dopełniają się do prostego, więc funkcje jednego zamieniają się na funkcje drugiego:
4. $\sin \textcolor{#16A06A}{78^\circ} = \sin\left(90^\circ - \textcolor{#16A06A}{12^\circ}\right) = \cos \textcolor{#E0453A}{12^\circ}$
5. $\cos \textcolor{#16A06A}{78^\circ} = \cos\left(90^\circ - \textcolor{#16A06A}{12^\circ}\right) = \sin \textcolor{#E0453A}{12^\circ}$
6. Podstawiamy oba do wyrażenia:
7. $\textcolor{#16A06A}{\cos 12^\circ} \cdot \textcolor{#E0453A}{\cos 12^\circ} + \textcolor{#16A06A}{\sin 12^\circ} \cdot \textcolor{#E0453A}{\sin 12^\circ} = \textcolor{#E0453A}{\cos^2 12^\circ} + \textcolor{#E0453A}{\sin^2 12^\circ}$
8. A to jest jedynka trygonometryczna:
9. $\textcolor{#E0453A}{\sin^2 12^\circ} + \textcolor{#E0453A}{\cos^2 12^\circ} = 1$
10. Odpowiedź: $1$, czyli D.
11. Kontrola liczbowa: $\cos 12^\circ \approx 0{,}9781$, $\sin 78^\circ \approx 0{,}9781$, $\sin 12^\circ \approx 0{,}2079$, $\cos 78^\circ \approx 0{,}2079$.
12. $0{,}9781 \cdot 0{,}9781 + 0{,}2079 \cdot 0{,}2079 \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}9567} + \textcolor{#E0453A}{0{,}0432} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}9999}$ ✓ (drobna różnica to zaokrąglenia)
13. Zwróć uwagę, że liczba $12$ w ogóle nie wchodzi do wyniku. Wyrażenie tej postaci jest równe $1$ dla każdej pary kątów sumujących się do $90^\circ$ — można było wziąć $30^\circ$ i $60^\circ$ albo $1^\circ$ i $89^\circ$.

💡 Wskazówka: Zawsze dodaj kąty, które widzisz w treści. Suma $90^\circ$ jest sygnałem, że zadanie jest o wzorach redukcyjnych, i wtedy zamiana funkcji jednego kąta na funkcje drugiego zwykle prowadzi wprost do jedynki trygonometrycznej. Tutaj wystarczy zamienić dwa czynniki, żeby całe wyrażenie zapadło się do $1$.

⚠ Sięganie po wzór na sinus sumy kątów. On faktycznie daje ten wynik ($\sin\left(12^\circ + 78^\circ\right) = \sin 90^\circ = 1$), ale nie ma go w wymaganiach matury podstawowej i łatwo pomylić go ze wzorem na cosinus sumy. Droga przez wzory redukcyjne i jedynkę korzysta wyłącznie z rzeczy obowiązkowych. Drugi błąd: zamiana tylko jednego czynnika, na przykład $\sin 78^\circ$ na $\cos 12^\circ$, i zatrzymanie się przy $\cos^2 12^\circ + \sin 12^\circ \cos 78^\circ$ — trzeba zamienić oba, żeby powstała suma kwadratów. Trzeci błąd: wybór $\tfrac{\sqrt2}{2}$ (B) przez skojarzenie z kątem $45^\circ$, który tu nie występuje.

Odpowiedź: D

1. Treść mówi o trójkącie prostokątnym, a to od razu daje informację o kątach: dwa kąty ostre w takim trójkącie zawsze sumują się do $90^\circ$. Sprawdźmy:
2. $\textcolor{#16A06A}{27^\circ} + \textcolor{#16A06A}{63^\circ} = \textcolor{#E0453A}{90^\circ}$ ✓
3. Zamieniamy $\sin\beta$ na cosinus kąta $\alpha$:
4. $\sin \textcolor{#16A06A}{63^\circ} = \sin\left(90^\circ - \textcolor{#16A06A}{27^\circ}\right) = \cos \textcolor{#E0453A}{27^\circ}$
5. Podstawiamy do licznika — oba składniki stają się identyczne:
6. $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{\cos 27^\circ} + \textcolor{#E0453A}{\cos 27^\circ}}{\textcolor{#16A06A}{\cos 27^\circ}} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{2}\textcolor{#16A06A}{\cos 27^\circ}}{\textcolor{#16A06A}{\cos 27^\circ}} = 2$
7. Odpowiedź: $2$, czyli D.
8. Kontrola liczbowa: $\cos 27^\circ \approx 0{,}8910$ i $\sin 63^\circ \approx 0{,}8910$ — te same wartości ✓
9. $\dfrac{0{,}8910 + 0{,}8910}{0{,}8910} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{1{,}7820}}{0{,}8910} = 2$ ✓
10. Zauważ, że dopiero po zamianie widać, że można skrócić. Przed zamianą licznik jest sumą dwóch różnych rzeczy i skracać nie wolno — mianownik dotyczy całego licznika, nie jednego składnika.
11. Odpowiedź $1 + \sin 63^\circ$ (A) jest ciekawa: powstaje z poprawnego rozdzielenia ułamka na $\tfrac{\cos 27^\circ}{\cos 27^\circ} + \tfrac{\sin 63^\circ}{\cos 27^\circ} = 1 + \tfrac{\sin 63^\circ}{\cos 27^\circ}$, ale potem ktoś skraca mianownik, którego skrócić nie można. Poprawnie ten drugi ułamek jest równy $1$, więc suma wynosi $2$.

💡 Wskazówka: Informacja „trójkąt prostokątny” to w tych zadaniach nie ozdoba — to gwarancja, że kąty ostre sumują się do $90^\circ$, czyli że wzory redukcyjne wejdą w grę. Tu wystarczy zauważyć, że $\sin 63^\circ$ i $\cos 27^\circ$ to ta sama liczba, i cały ułamek robi się trywialny.

⚠ Skrócenie $\cos\alpha$ z licznika i mianownika przed zamianą funkcji, czyli traktowanie sumy jak iloczynu. Prowadzi to do odpowiedzi $\sin 63^\circ$ (B). Skracać można tylko czynniki, a licznik jest sumą — dopóki nie zamienimy $\sin 63^\circ$ na $\cos 27^\circ$ i nie zapiszemy licznika jako $2\cos 27^\circ$, nie ma co skracać. Drugi błąd: odpowiedź A, czyli zatrzymanie się na $1 + \tfrac{\sin 63^\circ}{\cos 27^\circ}$ i uznanie tego ułamka za $\sin 63^\circ$; on jest równy $1$, bo licznik i mianownik to ta sama liczba.

Odpowiedź: C

1. Wyrażenie $\cos^2\left(90^\circ - \alpha\right)$ znaczy: wartość cosinusa kąta $90^\circ - \alpha$, podniesiona do kwadratu. Zaczynamy więc od zamiany funkcji, a kwadrat zostawiamy na koniec.
2. Wzór redukcyjny:
3. $\cos\left(90^\circ - \alpha\right) = \sin\alpha = \textcolor{#16A06A}{\dfrac23}$
4. Podnosimy do kwadratu:
5. $\cos^2\left(90^\circ - \alpha\right) = \left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac23}\right)^2 = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{4}}{\textcolor{#E0453A}{9}}$
6. Odpowiedź: $\tfrac49$, czyli C.
7. Kontrola liczbowa. Ze $\sin\alpha = \tfrac23$ wynika $\alpha \approx \textcolor{#E0453A}{41{,}81^\circ}$, więc $90^\circ - \alpha \approx \textcolor{#E0453A}{48{,}19^\circ}$.
8. $\cos 48{,}19^\circ \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}6667} = \tfrac23$ ✓, a $0{,}6667^2 \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}4444} = \tfrac49$ ✓
9. Uwaga na to, czego zadanie NIE wymaga. Nie trzeba liczyć $\cos\alpha$ — a to najczęstsza pułapka. Odpowiedź $\tfrac59$ (D) to właśnie $\cos^2\alpha$, bo $1 - \tfrac49 = \tfrac59$. Kto odruchowo sięgnie po jedynkę trygonometryczną, trafi dokładnie w ten dystraktor.
10. Sedno zadania: $\cos\left(90^\circ - \alpha\right)$ to nie $\cos\alpha$. Nawias zmienia wszystko — wzór redukcyjny zamienia cosinus na sinus i wynik jest podany wprost w treści.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na nawias: $\cos^2\left(90^\circ - \alpha\right)$ dotyczy kąta $90^\circ - \alpha$, a nie kąta $\alpha$. Po zastosowaniu wzoru redukcyjnego dostajesz $\sin\alpha$, czyli liczbę podaną w treści — całe zadanie sprowadza się do podniesienia $\tfrac23$ do kwadratu. Jeśli łapiesz się na liczeniu $\cos\alpha$, to znak, że pominąłeś wzór redukcyjny.

⚠ Policzenie $\cos^2\alpha$ zamiast $\cos^2\left(90^\circ - \alpha\right)$: z jedynki trygonometrycznej $\cos^2\alpha = 1 - \tfrac49 = \tfrac59$, czyli odpowiedź D. To dystraktor ustawiony dokładnie na zignorowanie nawiasu. Drugi błąd: podniesienie do kwadratu tylko licznika i wybór $\tfrac29$ (B) — kwadrat ułamka to kwadrat licznika przez kwadrat mianownika. Trzeci: odpowiedź $\tfrac19$ (A), która powstaje z $\left(\tfrac13\right)^2$, czyli z pomylenia $\tfrac23$ z jego dopełnieniem do jedynki.

Odpowiedź: C

1. Dodajemy kąty: $\textcolor{#16A06A}{18^\circ} + \textcolor{#16A06A}{72^\circ} = \textcolor{#E0453A}{90^\circ}$ — czyli wzory redukcyjne wchodzą w grę.
2. Zamieniamy $\sin^2 72^\circ$ na funkcję kąta $18^\circ$:
3. $\sin \textcolor{#16A06A}{72^\circ} = \sin\left(90^\circ - \textcolor{#16A06A}{18^\circ}\right) = \cos \textcolor{#E0453A}{18^\circ} \qquad \Longrightarrow \qquad \sin^2 \textcolor{#16A06A}{72^\circ} = \textcolor{#E0453A}{\cos^2 18^\circ}$
4. Podstawiamy — teraz wszystko dotyczy jednego kąta:
5. $\textcolor{#16A06A}{2}\textcolor{#16A06A}{\sin^2 18^\circ} + \textcolor{#E0453A}{\cos^2 18^\circ} + \textcolor{#16A06A}{\cos^2 18^\circ} = \textcolor{#16A06A}{2}\textcolor{#16A06A}{\sin^2 18^\circ} + \textcolor{#E0453A}{2}\textcolor{#E0453A}{\cos^2 18^\circ}$
6. Wyciągamy dwójkę przed nawias:
7. $= \textcolor{#E0453A}{2}\left(\textcolor{#16A06A}{\sin^2 18^\circ} + \textcolor{#E0453A}{\cos^2 18^\circ}\right) = \textcolor{#E0453A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{1} = 2$
8. Odpowiedź: $2$, czyli C.
9. Kontrola liczbowa: $\sin 18^\circ \approx 0{,}3090$, $\sin 72^\circ \approx 0{,}9511$, $\cos 18^\circ \approx 0{,}9511$.
10. $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{0{,}0955} + \textcolor{#E0453A}{0{,}9045} + \textcolor{#E0453A}{0{,}9045} = \textcolor{#E0453A}{0{,}1910} + \textcolor{#E0453A}{1{,}8090} = 2$ ✓
11. Zwróć uwagę, że $\sin 72^\circ$ i $\cos 18^\circ$ to ta sama liczba ($0{,}9511$) — dlatego drugi i trzeci składnik są identyczne i sumują się do podwojonego $\cos^2 18^\circ$.
12. Dlaczego dwójka z treści nie psuje jedynki. Po zamianie mamy $2\sin^2 + 2\cos^2$, czyli oba kwadraty pomnożone przez dwa — a to jest $2$ razy jedynka. Gdyby przy jednym z nich stała inna liczba, wyrażenie nie zwinęłoby się tak ładnie i zależałoby od kąta.

💡 Wskazówka: Przy trzech składnikach najpierw sprowadź wszystko do jednego kąta — dopiero wtedy widać, co się z czym łączy. Tu zamiana $\sin^2 72^\circ$ na $\cos^2 18^\circ$ sprawia, że dwa składniki stają się identyczne, a współczynniki przy $\sin^2$ i $\cos^2$ wyrównują się na $2$. To wyrównanie jest warunkiem, żeby dała się wyciągnąć jedynka.

⚠ Wybór $1$ (odpowiedź B) przez zignorowanie dwójki przy pierwszym składniku i wyciągnięcie jedynki z $\sin^2 + \cos^2$ bez sprawdzenia współczynników. Trzeba porównać, ile razy występuje każdy kwadrat — tu oba po dwa razy. Drugi błąd: wybór $4$ (D) przez zsumowanie samych współczynników ($2 + 1 + 1$) bez zauważenia, że kwadraty łączą się w jedynkę. Trzeci błąd: zamiana $\sin^2 72^\circ$ na $\sin^2 18^\circ$, czyli odejmowanie kąta bez zmiany funkcji; wtedy wychodzi $3\sin^2 18^\circ + \cos^2 18^\circ$, wyrażenie zależne od kąta, którego wartość ($\approx 1{,}19$) nie występuje wśród odpowiedzi.

Odpowiedź: B

1. Kąty $\textcolor{#16A06A}{38^\circ}$ i $\textcolor{#16A06A}{52^\circ}$ sumują się do $\textcolor{#E0453A}{90^\circ}$, ale tutaj to nie ma znaczenia — i to jest cała sztuczka zadania. W liczniku i mianowniku stoją pełne jedynki trygonometryczne, każda dla swojego kąta.
2. Licznik. Suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest równa $1$, niezależnie od tego, jaki to kąt:
3. $\textcolor{#16A06A}{\sin^2 38^\circ} + \textcolor{#16A06A}{\cos^2 38^\circ} = \textcolor{#E0453A}{1} \qquad \Longrightarrow \qquad \text{licznik} = \textcolor{#E0453A}{1} - \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{0}$
4. Mianownik. Ta sama jedynka, dla kąta $\textcolor{#16A06A}{52^\circ}$:
5. $\textcolor{#16A06A}{\sin^2 52^\circ} + \textcolor{#16A06A}{\cos^2 52^\circ} = \textcolor{#E0453A}{1} \qquad \Longrightarrow \qquad \text{mianownik} = \textcolor{#E0453A}{1} + \textcolor{#16A06A}{1} = \textcolor{#E0453A}{2}$
6. Dzielimy:
7. $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{0}}{\textcolor{#E0453A}{2}} = 0$
8. Odpowiedź: $0$, czyli B.
9. Kontrola liczbowa: $\sin 38^\circ \approx 0{,}6157$, $\cos 38^\circ \approx 0{,}7880$, więc licznik to $0{,}3791 + 0{,}6209 - 1 = \textcolor{#E0453A}{0}$ ✓
10. $\sin 52^\circ \approx 0{,}7880$, $\cos 52^\circ \approx 0{,}6157$, więc mianownik to $0{,}6209 + 0{,}3791 + 1 = \textcolor{#E0453A}{2}$ ✓
11. Dlaczego mianownik jest ważny. Ułamek o zerowym liczniku jest równy zero tylko wtedy, gdy mianownik nie jest zerem. Tu mianownik wynosi $2$, więc wszystko jest w porządku. Warto to zauważyć, bo autor zadania celowo dodał w mianowniku $+1$ zamiast $-1$ — gdyby było $-1$, mianownik byłby zerem i wyrażenie nie miałoby wartości.
12. Zwróć uwagę, że kąty $38^\circ$ i $52^\circ$ są tu kompletnie nieistotne. Można je zamienić na dowolne inne i wynik się nie zmieni. Ich suma równa $90^\circ$ to fałszywy trop — sugeruje wzory redukcyjne, których nie trzeba w ogóle użyć.

💡 Wskazówka: Nie rzucaj się na wzory redukcyjne tylko dlatego, że kąty sumują się do $90^\circ$. Najpierw sprawdź, czy w liczniku i mianowniku nie stoją pełne jedynki trygonometryczne — czyli sumy kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta. Jedynka nie wymaga, żeby kąt był szczególny; działa dla każdego. Tu wystarczy podstawić $1$ w dwóch miejscach i policzyć $\tfrac{0}{2}$.

⚠ Sprowadzanie obu kątów do jednego wzorami redukcyjnymi — droga poprawna, ale zupełnie zbędna, bo jedynka działa dla każdego kąta osobno. Drugi błąd, poważniejszy: wybór $1$ (odpowiedź D) przez skrócenie ułamka „jedynka przez jedynkę” bez uwzględnienia dodanych i odjętych liczb. Trzeba najpierw policzyć licznik ($1 - 1 = 0$) i mianownik ($1 + 1 = 2$) do końca, a dopiero potem dzielić. Trzeci błąd: uznanie, że skoro licznik jest zerem, to wyrażenie jest nieokreślone — zero w liczniku jest zupełnie w porządku, problem byłby z zerem w mianowniku.