Strona główna › Statystyka i prawdopodobieństwo › Wzór Bayesa

Wzór Bayesa

Wzór Bayesa odpowiada na pytanie postawione na odwrót: nie „jaka jest szansa na wynik, skoro znamy przyczynę”, tylko „jaka jest szansa na przyczynę, skoro znamy wynik”. Żeby go zrozumieć, trzeba najpierw dwóch rzeczy: prawdopodobieństwa warunkowego i twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym. Podstawa wymienia wszystkie trzy w jednym punkcie i tak też je tutaj opisuję.

Dział: Statystyka i prawdopodobieństwoPoziom: liceum — zakres rozszerzony

1Prawdopodobieństwo warunkowe

Zapis $P(A|B)$ czyta się: prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ pod warunkiem, że zaszło $B$ .

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \qquad P(B) > 0

Sens jest prosty: zawężamy przestrzeń zdarzeń do tego, co już wiemy. Zamiast pytać o udział $A$ w całości, pytamy o udział części wspólnej w samym $B$ .

Kolejność w warunku nie jest obojętna

$P(A|B)$ i $P(B|A)$ to dwie różne liczby — mylenie ich jest najczęstszym błędem w całym dziale.

Przykład: prawdopodobieństwo, że ktoś ma parasol, skoro pada, jest duże. Prawdopodobieństwo, że pada, skoro ktoś ma parasol — dużo mniejsze.

Licznik $P(A \cap B)$ jest w obu przypadkach ten sam; różni się mianownik. I właśnie po to jest wzór Bayesa: żeby przejść od jednej z tych liczb do drugiej.

Z definicji wynika też praktyczny wzór na iloczyn zdarzeń, używany przy drzewkach:

P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)

Po polsku: prawdopodobieństwo przejścia całą gałęzią to iloczyn prawdopodobieństw na kolejnych odcinkach.

2Prawdopodobieństwo całkowite

Gdy przyczyn jest kilka i wykluczają się nawzajem, prawdopodobieństwo skutku liczy się jako sumę po wszystkich drogach:

P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + \ldots + P(A_n)P(B|A_n)

Warunek jest istotny: zdarzenia $A_1, \ldots, A_n$ muszą się parami wykluczać i pokrywać całą przestrzeń — inaczej część dróg zostanie policzona dwa razy albo pominięta.

Drzewko to najwygodniejszy zapis: pierwsze rozgałęzienie to przyczyny, drugie — skutek.
Mnożymy wzdłuż gałęzi, bo to prawdopodobieństwo warunkowe.
Dodajemy między gałęziami, bo drogi się wykluczają.

Kontrola, która wyłapie brakującą gałąź

Prawdopodobieństwa wychodzące z jednego węzła muszą sumować się do $1$ .

Jeśli w pierwszym rozgałęzieniu wyszło $0{,}3$ i $0{,}5$ , brakuje gałęzi o wadze $0{,}2$ .

Ta kontrola nie sprawdza, czy dobrze zrozumiałeś treść — wyłapuje gałąź pominiętą, jeśli reszta została nietknięta. Nie wyłapie natomiast gałęzi zgubionej wtedy, gdy jej wagę doliczono do sąsiedniej: suma w węźle nadal wynosi $1$ , a wynik jest już inny. Warto więc policzyć gałęzie także z treści zadania, nie tylko z rysunku.

3Wzór Bayesa — odwrócenie warunku

Teraz można zapisać właściwy wzór. Znamy skutek $B$ i pytamy o przyczynę $A_i$ :

P(A_i|B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{P(B)}

Mianownik $P(B)$ liczy się zwykle twierdzeniem o prawdopodobieństwie całkowitym — i dlatego oba tematy prawie zawsze chodzą w parze. Prawie, bo bywa, że zadanie podaje $P(B)$ wprost; wtedy zostaje samo dzielenie.

Wzór ma czytelną interpretację na drzewku: licznik to jedna gałąź, mianownik to suma wszystkich gałęzi kończących się skutkiem $B$ . Pytamy więc, jaką część wszystkich dróg do $B$ stanowi ta konkretna droga.

nazwa	co oznacza	skąd ją bierzemy
$P(A_i)$	prawdopodobieństwo a priori	z treści, przed obserwacją
$P(B\|A_i)$	wiarygodność	z treści, jako warunek
$P(B)$	prawdopodobieństwo skutku	z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym
$P(A_i\|B)$	prawdopodobieństwo a posteriori	wynik — po uwzględnieniu obserwacji

Najciekawsze w tym wzorze jest to, że wynik często kłóci się z intuicją: nawet bardzo dokładny test potrafi dawać niskie prawdopodobieństwo trafienia, gdy szukana cecha jest rzadka. Pokazuję to w czwartym przykładzie.

4Co mówi podstawa programowa

Wszystkie trzy narzędzia są w jednym punkcie zakresu rozszerzonego.

Podstawa, dział XII (Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka), zakres rozszerzony, punkt 1

„oblicza prawdopodobieństwo warunkowe i stosuje wzór Bayesa, stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym”.

Punkt 2 tego samego zakresu to schemat Bernoulliego — i to cały rozszerzony zakres tego działu.

Zakres podstawowy obejmuje wyłącznie prawdopodobieństwo klasyczne oraz średnie, medianę i dominantę.

Skoro dokument wymienia trzy rzeczy w jednym zdaniu, nie ma sensu rozbijać ich na trzy strony — w zadaniach i tak występują razem. Wzór Bayesa bez prawdopodobieństwa całkowitego jest bezużyteczny, bo nie ma czym wypełnić mianownika.

W arkuszach maturalnych zadania z tego punktu prawie zawsze mają postać dwuetapowego doświadczenia: najpierw losujemy urnę, pudełko albo maszynę, potem losujemy z niej element. Rozpoznanie tej struktury jest połową rozwiązania.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: prawdopodobieństwo warunkowe wprost z definicji, prawdopodobieństwo całkowite na drzewku, wzór Bayesa oraz przypadek, w którym wynik zaskakuje.

Przykład 1 Warunkowe wprost z definicji

Rzucamy dwiema kostkami. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wynosi $8$ , pod warunkiem że na pierwszej kostce wypadła szóstka.

Zdarzenie $B$ : na pierwszej kostce szóstka. Jest $6$ takich wyników spośród $36$ , więc $P(B) = \frac{6}{36} = \frac16$ .
Zdarzenie $A \cap B$ : pierwsza szóstka i suma $8$ , czyli druga kostka pokazuje $2$ . To jeden wynik: $P(A \cap B) = \frac{1}{36}$ .
$P(A|B) = \frac{1/36}{6/36} = \textcolor{#E0453A}{\frac16}$ .
Kontrola przez zawężenie: skoro pierwsza kostka pokazała szóstkę, zostaje $6$ jednakowo prawdopodobnych wyników drugiej, a tylko jeden daje sumę $8$ ✓
Kontrola porównawcza: bez warunku $P(\text{suma } 8) = \frac{5}{36}$ , czyli mniej niż $\frac16 = \frac{6}{36}$ — informacja o szóstce zwiększyła szansę ✓
Kontrola odwrotnego warunku: $P(B|A) = \frac{1/36}{5/36} = \frac15$ — inna liczba, zgodnie z ostrzeżeniem z pierwszej sekcji ✓

Odpowiedź: $P(A|B) = \frac16$

Ostatni krok pokazuje na liczbach, że $P(A|B)$ i $P(B|A)$ różnią się. Licznik był ten sam, zmienił się tylko mianownik — i wystarczyło to, żeby wynik był inny.

Przykład 2 Prawdopodobieństwo całkowite

W pierwszej urnie są $3$ kule białe i $7$ czarnych, w drugiej $6$ białych i $4$ czarne. Losujemy urnę (każdą z jednakowym prawdopodobieństwem), a z niej jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej?

Przyczyny: $U_1$ i $U_2$ — wybór urny. $P(U_1) = P(U_2) = \textcolor{#16A06A}{\frac12}$ .
Warunki: $P(B|U_1) = \frac{3}{10}$ oraz $P(B|U_2) = \frac{6}{10}$ .
Kontrola węzła: $\frac12 + \frac12 = 1$ ✓, a w każdej urnie białe i czarne dają razem $10$ kul ✓
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym: $P(B) = \frac12 \cdot \frac{3}{10} + \frac12 \cdot \frac{6}{10}$ .
$P(B) = \frac{3}{20} + \frac{6}{20} = \frac{9}{20} = \textcolor{#E0453A}{0{,}45}$ .
Kontrola sensu: wynik leży między $\frac{3}{10}$ a $\frac{6}{10}$ , bo jest ich średnią ✓
Kontrola zdarzeniem przeciwnym: $P(\text{czarna}) = \frac12 \cdot \frac{7}{10} + \frac12 \cdot \frac{4}{10} = \frac{11}{20}$ , a $\frac{9}{20} + \frac{11}{20} = 1$ ✓

Odpowiedź: $P(B) = \frac{9}{20}$

Gdy przyczyny mają równe prawdopodobieństwa, wynik jest po prostu średnią arytmetyczną warunków. Przy nierównych wagach zamienia się w średnią ważoną — i to jest cała treść tego twierdzenia.

Przykład 3 Wzór Bayesa

W sytuacji z poprzedniego zadania wylosowano kulę białą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z drugiej urny?

Pytanie jest odwrócone: znamy skutek (biała), pytamy o przyczynę (druga urna).
Licznik: $P(U_2) \cdot P(B|U_2) = \frac12 \cdot \frac{6}{10} = \frac{6}{20}$ .
Mianownik to policzone wcześniej $P(B) = \frac{9}{20}$ .
$P(U_2|B) = \frac{6/20}{9/20} = \frac{6}{9} = \textcolor{#E0453A}{\frac23}$ .
Kontrola dopełnieniem: $P(U_1|B) = \frac{3/20}{9/20} = \frac13$ , a $\frac23 + \frac13 = 1$ ✓
Kontrola sensu: druga urna ma dwa razy więcej białych kul, więc po wylosowaniu białej jest dwa razy bardziej prawdopodobna — i rzeczywiście $\frac23$ to dwa razy $\frac13$ ✓
Kontrola punktu wyjścia: przed losowaniem obie urny były równie prawdopodobne ( $\frac12$ ); obserwacja przesunęła te liczby na $\frac13$ i $\frac23$ ✓

Odpowiedź: $P(U_2|B) = \frac23$

To najczystszy obraz działania wzoru Bayesa: obserwacja nie zmienia świata, tylko naszą wiedzę o nim. Prawdopodobieństwo urny drugiej wzrosło z $\frac12$ do $\frac23$ , bo biała kula jest w niej częstsza.

Przykład 4 Gdy wynik kłóci się z intuicją

Choroba występuje u $1\%$ populacji. Test wykrywa ją u $90\%$ chorych, ale daje wynik dodatni także u $9\%$ zdrowych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba z wynikiem dodatnim jest chora?

Przyczyny: $C$ — chory, $Z$ — zdrowy. $P(C) = \textcolor{#16A06A}{0{,}01}$ , $P(Z) = 0{,}99$ .
Warunki: $P(+|C) = \textcolor{#16A06A}{0{,}9}$ oraz $P(+|Z) = \textcolor{#16A06A}{0{,}09}$ .
Prawdopodobieństwo całkowite: $P(+) = 0{,}01 \cdot 0{,}9 + 0{,}99 \cdot 0{,}09$ .
$P(+) = 0{,}009 + 0{,}0891 = 0{,}0981$ .
Wzór Bayesa: $P(C|+) = \frac{0{,}009}{0{,}0981} = \frac{90}{981} = \textcolor{#E0453A}{\frac{10}{109}}$ .
Kontrola dopełnieniem: $P(Z|+) = \frac{0{,}0891}{0{,}0981} = \frac{99}{109}$ , a $\frac{10}{109} + \frac{99}{109} = 1$ ✓
Kontrola liczbowa: $\frac{10}{109}$ to mniej niż $\frac{1}{10}$ , bo $109 > 100$ ✓
Skąd taki wynik: zdrowych jest $99$ razy więcej niż chorych, więc nawet przy dziewięcioprocentowym błędzie dają więcej wyników dodatnich niż wszyscy chorzy razem ✓

Odpowiedź: $P(C|+) = \frac{10}{109}$ , czyli mniej niż $10\%$ .

To najsłynniejszy przykład na tym wzorze i wart zapamiętania: przy rzadkiej chorobie dodatni wynik dokładnego testu wcale nie oznacza choroby. Decydują dwie rzeczy naraz: częstość cechy i odsetek fałszywych alarmów. Przy tej samej chorobie u $1\%$ populacji obniżenie fałszywych alarmów z $9\%$ do $0{,}1\%$ podnosi wynik z około $9\%$ do około $90\%$ . To, co zaskakuje, bierze się z iloczynu obu tych liczb, a nie z jednej z nich.

6Najczęstsze błędy

Pięć błędów: pierwszy dotyczy kierunku warunku, drugi mylenia ilorazu z iloczynem, trzeci i czwarty budowy drzewka, a piąty rachunku.

Mylenie $P(A|B)$ z $P(B|A)$ .

Skąd się bierze: Oba zapisy zawierają te same litery, a w treści zadania warunek bywa ukryty w słowie „wśród” albo „skoro”.

Jak zrobić dobrze: Za kreską stoi to, co już wiemy. W przykładzie z kostkami wyszło $\frac16$ w jedną stronę i $\frac15$ w drugą — to różne liczby.

Traktowanie prawdopodobieństwa warunkowego jako iloczynu.

Skąd się bierze: Wzór na iloczyn zdarzeń wygląda podobnie i występuje w tych samych zadaniach.

Jak zrobić dobrze: $P(A|B)$ to iloraz: $\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ . Iloczynem jest $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$ — to inne pytanie.

Pominięcie jednej z przyczyn w mianowniku.

Skąd się bierze: Uwaga skupia się na gałęzi, o którą pyta zadanie.

Jak zrobić dobrze: Mianownik to suma po wszystkich drogach kończących się danym skutkiem. Kontrola: prawdopodobieństwa wychodzące z każdego węzła muszą dawać $1$ .

Dodawanie wzdłuż gałęzi i mnożenie między gałęziami.

Skąd się bierze: Odwrócenie zapamiętanej reguły — obie operacje występują w jednym rachunku.

Jak zrobić dobrze: Mnożymy wzdłuż jednej drogi, dodajemy między różnymi drogami. Dla gałęzi o wagach $0{,}5$ i $0{,}3$ poprawny wynik to $0{,}5 \cdot 0{,}3 = 0{,}15$ , a odwrócenie reguły daje $\textcolor{#9b1c14}{0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8}$ — liczbę ponad pięć razy większą.

Podanie odpowiedzi większej niż jeden.

Skąd się bierze: Przy kilku gałęziach łatwo dodać to, co należało uśrednić.

Jak zrobić dobrze: Każde prawdopodobieństwo mieści się w przedziale od zera do jedynki. Wynik spoza niego oznacza błąd rachunkowy, a nie ciekawy przypadek.

7Pytania i odpowiedzi

Czym jest prawdopodobieństwo warunkowe?

To prawdopodobieństwo zdarzenia obliczone przy założeniu, że zaszło inne zdarzenie. Liczy się je jako iloraz prawdopodobieństwa części wspólnej przez prawdopodobieństwo warunku, czyli zawęża się przestrzeń do tego, co już wiadomo.

Do czego służy wzór Bayesa?

Do odwrócenia warunku: pozwala przejść od prawdopodobieństwa skutku przy danej przyczynie do prawdopodobieństwa przyczyny przy zaobserwowanym skutku. W praktyce odpowiada na pytanie, z której urny czy maszyny pochodzi wylosowany element.

Kiedy stosować twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym?

Gdy zdarzenie może zajść na kilka wykluczających się sposobów, a znamy prawdopodobieństwo każdego z nich oraz prawdopodobieństwa warunkowe. Sumujemy wtedy iloczyny wzdłuż wszystkich gałęzi drzewka.

Dlaczego dodatni wynik dobrego testu nie oznacza choroby?

Bo przy rzadkiej chorobie zdrowych jest wielokrotnie więcej, więc nawet mały odsetek fałszywych alarmów daje więcej wyników dodatnich niż wszystkie prawdziwe wykrycia. Decyduje częstość cechy, a nie sama dokładność testu.

Czy wzór Bayesa jest na maturze podstawowej?

Nie. Podstawa umieszcza prawdopodobieństwo warunkowe, wzór Bayesa i twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym w zakresie rozszerzonym, w jednym punkcie. Zakres podstawowy obejmuje wyłącznie model klasyczny.

Czytaj dalej

Prawdopodobieństwo klasyczneModel z zakresu podstawowego, na którym opierają się wszystkie te rachunki.Schemat BernoulliegoDrugi i ostatni punkt rozszerzenia w tym dziale — powtórzenia niezależnych prób.Średnia ważonaPrawdopodobieństwo całkowite to średnia ważona warunków — z wagami równymi prawdopodobieństwom przyczyn.Reguła mnożeniaDlaczego wzdłuż gałęzi drzewka prawdopodobieństwa się mnożą.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-02. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.