Strona główna › Równania i nierówności › Nierówności wymierne

Nierówności wymierne

Przy równaniu wymiernym wolno pomnożyć obie strony przez mianownik. Przy nierówności — nie wolno. Powód jest jeden i decyduje o całej metodzie: nie wiemy, czy mianownik jest dodatni, czy ujemny, a mnożenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności. Zamiast mnożyć, bada się znak całego ilorazu.

Dział: Równania i nierównościPoziom: liceum — zakres rozszerzony

1Zakaz, od którego wszystko się zaczyna

⚠️ To jest materiał rozszerzony

Podstawa dla liceum, dział III. Równania i nierówności, zakres rozszerzony, punkt 2: „rozwiązuje równania i nierówności wymierne, które dadzą się sprowadzić do równania lub nierówności liniowej lub kwadratowej”.

Zakres podstawowy obejmuje nierówności liniowe i kwadratowe, ale nie wymierne.

Przy równaniu wolno pomnożyć przez mianownik. Przy nierówności nie.

Weźmy $\frac{1}{x} > 2$ i spróbujmy pomnożyć przez $x$ :

\frac{1}{x} > 2 \quad \Big/ \cdot x \;\Rightarrow\; 1 > 2x \;\Rightarrow\; x < \textcolor{#9b1c14}{\tfrac{1}{2}}

Ten wynik jest fałszywy. Sprawdźmy $x = -1$ , które przecież spełnia $x < \frac{1}{2}$ :

\frac{1}{-1} = -1, \quad \text{a} \quad -1 > 2 \text{ jest } \textcolor{#9b1c14}{\text{fałszem}}

Gdzie popełniono błąd. Mnożąc przez $x$ , milcząco założono, że $x$ jest dodatnie. Dla $x$ ujemnego znak nierówności powinien się odwrócić — a nie odwrócił.

Trzy rzeczy, których przy nierówności wymiernej nie wolno

Mnożyć przez mianownik — nie znasz jego znaku, więc nie wiesz, czy odwracać nierówność.

Mnożyć na krzyż — to to samo mnożenie, tylko zapisane inaczej.

Skracać ułamków po obu stronach — skracanie przez wyrażenie z niewiadomą to też mnożenie przez odwrotność.

Wszystkie trzy zakazy mają jedną przyczynę: mnożenie przez coś, czego znaku nie znamy.

Co wolno. Wolno dodawać i odejmować dowolne wyrażenia — to nie zmienia znaku nierówności. I na tym opiera się właściwa metoda.

2Metoda: znak ilorazu

Skoro nie wolno mnożyć, trzeba zbadać znak wyrażenia. Schemat ma cztery kroki.

Przenieś wszystko na jedną stronę, żeby po drugiej zostało zero.
Sprowadź do jednego ułamka — wspólny mianownik, jak przy wyrażeniach wymiernych.
Znajdź miejsca zerowe licznika i mianownika — to punkty, w których wyrażenie zmienia znak albo przestaje istnieć.
Zbadaj znak w każdym przedziale między nimi i wybierz te, które spełniają nierówność.

Kluczowa obserwacja upraszczająca krok czwarty:

\frac{a}{b} > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad a \cdot b > 0

Iloraz i iloczyn mają zawsze ten sam znak, bo o znaku decyduje wyłącznie to, czy składniki są zgodne, czy przeciwne. Dzielenie i mnożenie rządzą się tą samą regułą znaków.

Dzięki temu nierówność wymierną można zamienić na wielomianową — a tę rozwiązuje się siatką znaków albo szkicem paraboli.

⚠️ Mianownik zawsze z warunkiem ostrym

Zamieniając $\frac{a}{b}$ na $a \cdot b$ , trzeba osobno dopisać $b \neq 0$ .

To ważne przy nierównościach nieostrych. W $\frac{x-1}{x+2} \geq 0$ licznik może być zerem (czyli $x=1$ należy do rozwiązania), ale mianownik nie — więc $x = -2$ jest wykluczone mimo znaku „większe lub równe”.

Praktycznie: przy miejscach zerowych licznika nawias domknięty, przy miejscach zerowych mianownika zawsze otwarty.

Przykład pełnej drogi. Rozwiążmy $\frac{x-1}{x+2} > 0$ .

Miejsca zerowe: licznik zeruje się dla $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ , mianownik dla $x = \textcolor{#16A06A}{-2}$ . Te dwie liczby dzielą oś na trzy przedziały.

przedział	znak licznika	znak mianownika	znak ilorazu
$x < -2$	ujemny	ujemny	dodatni ✓
$-2 < x < 1$	ujemny	dodatni	ujemny
$x > 1$	dodatni	dodatni	dodatni ✓

Rozwiązaniem są dwa skrajne przedziały: $x \in (-\infty, \textcolor{#E0453A}{-2}) \cup (\textcolor{#E0453A}{1}, +\infty)$ .

Kontrola punktami: dla $x = -3$ mamy $\frac{-4}{-1} = 4 > 0$ ✓, dla $x = 0$ wychodzi $\frac{-1}{2} < 0$ ✓, a dla $x = 2$ — $\frac{1}{4} > 0$ ✓. Wszystkie trzy zgadzają się z tabelą.

3Znak zmienia się tylko w punktach szczególnych

Dlaczego wystarczy sprawdzić jeden punkt z każdego przedziału? Bo między miejscami zerowymi znak się nie zmienia.

Uzasadnienie. Żeby wyrażenie zmieniło znak z dodatniego na ujemny, musi po drodze przejść przez zero albo przez punkt, w którym nie istnieje. Innej możliwości nie ma.

przez zero — czyli tam, gdzie zeruje się licznik,
przez lukę — czyli tam, gdzie zeruje się mianownik.

Poza tymi punktami wyrażenie zmienia się płynnie i nie może „przeskoczyć” przez zero niepostrzeżenie.

Praktyczna konsekwencja: wystarczy wypisać wszystkie miejsca zerowe licznika i mianownika, ustawić je na osi i sprawdzić po jednej liczbie z każdego powstałego przedziału.

Wybieraj wygodne punkty próbne

Punkt próbny może być dowolny — byle z wnętrza przedziału. Warto więc wybierać liczby, dla których rachunek jest łatwy: zero, jedynkę, dziesiątkę.

Dla przedziału $(-\infty, -2)$ wygodne jest $-3$ , a dla $(1, +\infty)$ — $2$ albo $10$ .

Nie trzeba liczyć wartości wyrażenia — wystarczy ustalić znak licznika i mianownika osobno, a potem zastosować regułę znaków.

Uwaga na krotność. Jeśli czynnik występuje w parzystej potędze, na przykład $(x-3)^2$ , to w tym punkcie wyrażenie dotyka zera, ale nie zmienia znaku — tak samo jak przy nierównościach kwadratowych z zerowym wyróżnikiem.

4Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: nierówność nieostra, przeniesienie na jedną stronę i porównanie z równaniem.

Przykład 1 Nierówność nieostra — dwa różne nawiasy

Rozwiąż nierówność $\dfrac{x-1}{x+2} \geq 0$ .

Dziedzina: $x + 2 \neq 0$ , czyli $x \neq \textcolor{#16A06A}{-2}$ .
Miejsca zerowe: licznik zeruje się dla $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ , mianownik dla $x = \textcolor{#16A06A}{-2}$ .
Ustawiam je na osi i sprawdzam znak w trzech przedziałach.
Dla $x = -3$ : licznik $-4$ , mianownik $-1$ , iloraz dodatni ✓
Dla $x = 0$ : licznik $-1$ , mianownik $2$ , iloraz ujemny ✗
Dla $x = 2$ : licznik $1$ , mianownik $4$ , iloraz dodatni ✓
Znak nierówności jest nieostry, więc dołączam miejsce zerowe licznika: $x = \textcolor{#E0453A}{1}$ należy do rozwiązania, bo $\frac{0}{3} = 0$ ✓
Ale $x = \textcolor{#16A06A}{-2}$ nie należy — mimo nieostrego znaku, bo tam wyrażenie nie istnieje.
$x \in (-\infty, \textcolor{#16A06A}{-2}) \cup \langle \textcolor{#E0453A}{1}, +\infty)$

Odpowiedź: $x \in (-\infty, -2) \cup \langle 1, +\infty)$

Dwa różne nawiasy przy dwóch punktach to sedno tego zadania. Przy jedynce kwadratowy, bo licznik może się zerować; przy minus dwójce okrągły, bo mianownik nie może. Znak nierówności wpływa tylko na pierwszy z nich.

Przykład 2 Najpierw przenieś, potem badaj

Rozwiąż nierówność $\dfrac{2}{x} < 1$ .

Nie wolno mnożyć przez $x$ — nie znam jego znaku. Przenoszę wszystko na jedną stronę.
$\dfrac{2}{x} - 1 < 0$
Sprowadzam do jednego ułamka: $\dfrac{2 - x}{x} < 0$ .
Dziedzina: $x \neq \textcolor{#16A06A}{0}$ .
Miejsca zerowe: licznik zeruje się dla $x = \textcolor{#16A06A}{2}$ , mianownik dla $x = \textcolor{#16A06A}{0}$ .
Dla $x = -1$ : licznik $3$ , mianownik $-1$ , iloraz ujemny ✓ — spełnia
Dla $x = 1$ : licznik $1$ , mianownik $1$ , iloraz dodatni ✗
Dla $x = 3$ : licznik $-1$ , mianownik $3$ , iloraz ujemny ✓ — spełnia
$x \in (-\infty, \textcolor{#E0453A}{0}) \cup (\textcolor{#E0453A}{2}, +\infty)$
Kontrola dla $x = -1$ : $\frac{2}{-1} = -2$ , a $-2 < 1$ ✓
Kontrola dla $x = 3$ : $\frac{2}{3} < 1$ ✓
Kontrola pułapki: mnożenie przez $x$ dałoby $2 < x$ , czyli $x > 2$ — z pominięciem całej ujemnej półosi ✗

Odpowiedź: $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$

Ostatnia kontrola pokazuje skalę błędu. Mnożenie przez $x$ gubi nieskończenie wiele rozwiązań — wszystkie ujemne. A wynik $x>2$ wygląda przy tym całkiem sensownie.

Przykład 3 To samo wyrażenie, równanie kontra nierówność

Porównaj rozwiązania: $\dfrac{x-1}{x+2} = 0$ oraz $\dfrac{x-1}{x+2} > 0$ .

Równanie. Ułamek jest zerem, gdy zeruje się licznik: $x - 1 = 0$ , czyli $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ .
Sprawdzam mianownik: $\textcolor{#16A06A}{1} + 2 = 3 \neq 0$ ✓ — rozwiązanie zostaje.
Równanie ma jedno rozwiązanie: $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ .
Nierówność. Tu nie wystarczy licznik — trzeba znaku całego ilorazu.
Z tabeli znaków: $x \in (-\infty, \textcolor{#E0453A}{-2}) \cup (\textcolor{#E0453A}{1}, +\infty)$ — dwa przedziały, czyli nieskończenie wiele rozwiązań.
Zwróć uwagę, że $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ nie należy do rozwiązania nierówności ostrej — tam wyrażenie równa się zeru, a zero nie jest większe od zera.
Kontrola: dla $x = \textcolor{#16A06A}{1}$ ułamek daje $\frac{0}{3} = 0$ ✓ — spełnia równanie, nie spełnia nierówności ostrej

Odpowiedź: Równanie: $x = 1$ . Nierówność: $x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$ .

Zestawienie pokazuje, dlaczego metody są różne. Przy równaniu wystarczy licznik, bo pytamy o jeden punkt. Przy nierówności trzeba całego ilorazu, bo pytamy o obszar — a mianownik decyduje o jego znaku tak samo jak licznik.

5Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy jest istotą całego tematu.

Pomnożenie obu stron przez mianownik

Skąd się bierze: Nie znamy znaku mianownika, a mnożenie przez liczbę ujemną odwraca nierówność. W $\frac{2}{x} < 1$ mnożenie przez $x$ daje $x > 2$ i gubi wszystkie rozwiązania ujemne — czyli nieskończenie wiele.

Jak zrobić dobrze: Przenieś wszystko na jedną stronę, sprowadź do jednego ułamka i zbadaj znak. Mnożyć wolno dopiero wtedy, gdy znak mianownika jest znany na pewno.

Ten sam nawias przy liczniku i mianowniku

Skąd się bierze: Przy nierówności nieostrej miejsce zerowe licznika należy do rozwiązania, a miejsce zerowe mianownika nigdy. Domknięcie obu daje odpowiedź zawierającą punkt, w którym wyrażenie nie istnieje.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj: licznik może być zerem, mianownik nie. Przy miejscach zerowych licznika nawias domknięty (jeśli znak nieostry), przy mianowniku zawsze otwarty.

Badanie znaku samego licznika

Skąd się bierze: Znak ilorazu zależy od obu części. Wyrażenie $\frac{x-1}{x+2}$ jest dodatnie także wtedy, gdy licznik i mianownik są oba ujemne — a patrząc tylko na licznik, ten przedział się pomija.

Jak zrobić dobrze: Wypisz miejsca zerowe licznika i mianownika, a potem sprawdź znak obu w każdym przedziale. Iloraz jest dodatni, gdy znaki są zgodne.

Pominięcie przedziału przy sprawdzaniu punktów

Skąd się bierze: Dwa punkty szczególne dzielą oś na trzy przedziały, nie dwa. Sprawdzenie tylko skrajnych albo tylko środkowego zostawia część odpowiedzi niezbadaną.

Jak zrobić dobrze: Policz przedziały: przy $n$ punktach szczególnych jest ich $n+1$ . Weź po jednej liczbie z każdego, wybierając te, dla których rachunek jest najprostszy.

6Pytania i odpowiedzi

Dlaczego nie wolno mnożyć nierówności przez mianownik?

Ponieważ nie znamy jego znaku, a mnożenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności. Bez tej wiedzy przekształcenie nie jest równoważne i gubi część rozwiązań.

Jak rozwiązać nierówność wymierną?

Przenieść wszystko na jedną stronę, sprowadzić do jednego ułamka, wyznaczyć miejsca zerowe licznika i mianownika, a następnie zbadać znak wyrażenia w każdym powstałym przedziale.

Dlaczego iloraz można zamienić na iloczyn?

Bo dzielenie i mnożenie rządzą się tą samą regułą znaków — wynik jest dodatni, gdy oba składniki mają zgodne znaki. Trzeba tylko osobno dopisać warunek, że mianownik nie jest zerem.

Czy miejsce zerowe mianownika należy do rozwiązania?

Nigdy, nawet przy nierówności nieostrej. W tym punkcie wyrażenie w ogóle nie istnieje, więc nawias jest zawsze otwarty, w odróżnieniu od miejsc zerowych licznika.

Ile punktów trzeba sprawdzić przy badaniu znaku?

Po jednym z każdego przedziału wyznaczonego przez miejsca zerowe. Przy dwóch takich punktach przedziałów jest trzy, więc wystarczą trzy sprawdzenia.

Czy nierówności wymierne są na maturze podstawowej?

Nie. Podstawa umieszcza je w zakresie rozszerzonym. Zakres podstawowy obejmuje tylko nierówności liniowe i kwadratowe.

Czytaj dalej

Równania wymierneTam mnożyć wolno — i dlaczego Wyrażenia wymierneDziedzina, skracanie i wspólny mianownik Nierówności linioweReguła odwracania znaku przy liczbie ujemnej Nierówności kwadratoweBadanie znaku i krotność miejsc zerowych Równania i nierównościMapa działu i rozpoznawanie typu

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.