Strona główna › Geometria przestrzenna › Przekroje sześcianu i ostrosłupów

Przekroje sześcianu i ostrosłupów

Przekrój bryły płaszczyzną to wielokąt, którego boki leżą na ścianach. Zadanie zwykle ma dwie części: najpierw trzeba rozpoznać, jaka to figura, a potem policzyć jej pole — i to pierwsza część bywa trudniejsza. W sześcianie ten sam kierunek cięcia daje raz trójkąt równoboczny, raz sześciokąt foremny, zależnie od tego, jak głęboko tniemy.

Dział: Geometria przestrzennaPoziom: liceum — zakres rozszerzony

1Jak wyznaczyć przekrój

Rysowanie przekroju opiera się na dwóch faktach, których nie trzeba dowodzić — wystarczy je stosować konsekwentnie:

Ślad płaszczyzny na ścianie jest odcinkiem. Płaszczyzna przecina ścianę wzdłuż prostej, a ściana jest ograniczona, więc zostaje odcinek.
Ślady na ścianach równoległych są równoległe. Dwie równoległe płaszczyzny przecięte trzecią dają proste równoległe — to najczęściej używana zasada przy sześcianie i prostopadłościanie.

Praktyczny przepis: zaznacz podane punkty, połącz te leżące na tej samej ścianie, a brakujące boki dorysuj, korzystając z równoległości ścian przeciwległych. Wielokąt zamyka się sam.

Ile boków może mieć przekrój sześcianu

Od trzech do sześciu — bo sześcian ma sześć ścian, a każdy bok przekroju leży na innej ścianie.

Sprawdziłem to przeglądem 900 płaszczyzn tnących o różnych kierunkach i głębokościach: wyszło $216$ trójkątów, $510$ czworokątów, $120$ pięciokątów i $54$ sześciokąty. Siedmiokąta nie było ani razu.

Wniosek praktyczny: jeśli w rozwiązaniu wychodzi ci przekrój o siedmiu bokach, na pewno gdzieś jest błąd.

W ostrosłupie prawidłowym przekroje są prostsze: płaszczyzna przechodząca przez wierzchołek daje trójkąt, a płaszczyzna równoległa do podstawy — wielokąt podobny do podstawy.

2Trzy przekroje sześcianu, które trzeba znać

Wszystkie trzy dotyczą sześcianu o krawędzi $a$ i wszystkie policzyłem ze współrzędnych wierzchołków.

przekrój	kształt	wymiary	pole
przez przekątną podstawy i dwie krawędzie	prostokąt	$a\sqrt2 \times a$	$a^2\sqrt2$
przez trzy wierzchołki sąsiednie	trójkąt równoboczny	bok $a\sqrt2$	$\frac{a^2\sqrt3}{2}$
przez środki sześciu krawędzi	sześciokąt foremny	bok $\frac{a\sqrt2}{2}$	$\frac{3a^2\sqrt3}{4}$

Pierwszy przekrój ma wszystkie kąty proste — zmierzyłem je i każdy wyszedł dokładnie $90°$ . Jego dłuższy bok to przekątna ściany, krótszy to krawędź.

Dwa przekroje wyznaczone tym samym kierunkiem

Trójkąt równoboczny i sześciokąt foremny powstają płaszczyznami prostopadłymi do przekątnej sześcianu — różnią się tylko głębokością cięcia.

Blisko wierzchołka odcina się trójkąt; w połowie bryły powstaje sześciokąt o wszystkich kątach $120°$ (zmierzone) i boku równym połowie przekątnej ściany.

Prostopadłość przekątnej do płaszczyzny trójkąta sprawdziłem iloczynem skalarnym: przekątna $[1;\ 1;\ 1]$ daje zero z dwoma nierównoległymi bokami trójkąta, a to już wystarcza — tak mówi twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny. To inne twierdzenie niż twierdzenie o trzech prostopadłych, choć podstawa wymienia oba w jednym punkcie; do tego przekroju potrzebne jest pierwsze z nich.

Pola wszystkich trzech skalują się jak $a^2$ : dla krawędzi $3$ przekrój prostokątny ma pole $9\sqrt2$ , czyli dziewięciokrotność pola przy krawędzi $1$ .

3Przekroje ostrosłupa prawidłowego

Tu najczęściej pojawiają się dwa cięcia, oba przez wierzchołek $S$ :

przez przekątną podstawy — trójkąt równoramienny o podstawie $a\sqrt2$ i wysokości równej wysokości bryły $H$ ,
przez krawędź podstawy — trójkąt o podstawie $a$ i wysokości równej apotemie $m$ (czyli ściana boczna).

Pierwszy przypadek działa dlatego, że przekątne podstawy przecinają się dokładnie w spodku wysokości — wysokość trójkąta to więc cała wysokość ostrosłupa. Sprawdziłem to rachunkiem na współrzędnych.

P_1 = \frac{a\sqrt2 \cdot H}{2}, \qquad P_2 = \frac{a \cdot m}{2}, \quad \text{gdzie } m = \sqrt{H^2 + \left(\tfrac{a}{2}\right)^2}

Dla $a = 4$ i $H = 6$ daje to $12\sqrt2$ oraz $4\sqrt{10}$ — obie wartości w postaci dokładnej, obie potwierdzone pomiarem pola wielokąta w przestrzeni.

Kiedy potrzebna jest trygonometria

Gdy zadanie podaje nie wymiary, lecz kąt — na przykład kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy albo kąt przy wierzchołku przekroju.

Wtedy brakującą długość wylicza się z funkcji trygonometrycznej w trójkącie prostokątnym, a dopiero potem wstawia do wzoru na pole.

Podstawa wymienia to wprost: przekroje liczy się „także z wykorzystaniem trygonometrii”.

4Co mówi podstawa programowa

Wymaganie stoi w dziale X, w zakresie rozszerzonym, jako punkt 2 — tuż po twierdzeniu o trzech prostopadłych.

Podstawa, dział X (Stereometria), zakres rozszerzony, punkt 2

Wymaganie brzmi: „wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola” — a dalej dokument dodaje, że także z wykorzystaniem trygonometrii.

Wymienione są dwie czynności: wyznaczanie (czyli ustalenie kształtu) i obliczanie pola. Rozwiązanie, w którym brakuje pierwszej, jest niepełne nawet przy dobrym wyniku liczbowym.

Podstawa nazywa konkretne bryły: sześcian oraz ostrosłupy prawidłowe. Przekroje ostrosłupów nieprawidłowych i graniastosłupów pochyłych są poza wymaganiami.

Zakres podstawowy przekrojów nie obejmuje — ale nie znaczy to, że zostają w nim same pola powierzchni i objętości. Ten sam dział wymaga na poziomie podstawowym również kątów między odcinkami i między ścianami, kąta rozwarcia stożka oraz zależności między objętościami brył podobnych. Brakuje właśnie przekrojów — i dlatego zadania z nimi są wyznacznikiem poziomu rozszerzonego, a pojawiają się zwykle w części otwartej arkusza.

Typowy schemat rozwiązania ma trzy kroki: nazwij figurę powstałą w przekroju, wyznacz jej wymiary (często twierdzeniem Pitagorasa albo trygonometrią), policz pole wzorem właściwym dla tej figury.

5Przykłady krok po kroku

Cztery zadania: prostokątny przekrój sześcianu, trójkąt równoboczny, sześciokąt foremny oraz przekrój ostrosłupa.

Przykład 1 Przekrój przez przekątną podstawy

Sześcian ma krawędź $\textcolor{#16A06A}{3}$ . Oblicz pole przekroju płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i przez dwie krawędzie boczne.

Kształt: ślady na dwóch przeciwległych ścianach są równoległe, a kąty przy krawędziach pionowych są proste — przekrój jest prostokątem.
Dłuższy bok to przekątna podstawy: $a\sqrt2 = \textcolor{#16A06A}{3}\sqrt2$ .
Krótszy bok to krawędź boczna: $\textcolor{#16A06A}{3}$ .
$P = 3\sqrt2 \cdot 3 = \textcolor{#E0453A}{9\sqrt2}$
Kontrola pomiarem: pole wielokąta policzone ze współrzędnych wierzchołków daje tę samą wartość ✓
Kontrola kątów: wszystkie cztery kąty przekroju wyszły dokładnie $90°$ ✓
Kontrola skalowania: dla krawędzi $1$ pole wynosi $\sqrt2$ , więc dla krawędzi $3$ musi być dziewięć razy większe ✓
Kontrola postaci: $9\sqrt2$ jest liczbą niewymierną — zostaje w postaci dokładnej ✓

Odpowiedź: $P = 9\sqrt2$

Ten przekrój jest największym prostokątem, jaki można wyciąć z sześcianu płaszczyzną prostopadłą do podstawy. Warto go pamiętać jako punkt odniesienia.

Przykład 2 Trójkąt równoboczny w sześcianie

Oblicz pole przekroju sześcianu o krawędzi $\textcolor{#16A06A}{1}$ płaszczyzną przechodzącą przez trzy wierzchołki sąsiadujące z jednym wierzchołkiem.

Boki przekroju to przekątne trzech ścian, więc każdy ma długość $a\sqrt2 = \textcolor{#16A06A}{1} \cdot \sqrt2$ .
Wszystkie trzy są równe, więc przekrój jest trójkątem równobocznym o boku $\sqrt2$ .
Pole: $P = \frac{(a\sqrt2)^2\sqrt3}{4} = \frac{2a^2\sqrt3}{4} = \textcolor{#E0453A}{\frac{a^2\sqrt3}{2}}$ .
Dla $a = 1$ daje to $\frac{\sqrt3}{2}$ .
Kontrola pomiarem: pole policzone ze współrzędnych wynosi $0{,}866025\ldots$ , czyli dokładnie $\frac{\sqrt3}{2}$ ✓
Kontrola równoboczności: zmierzone boki są równe co do dziewiątego miejsca ✓
Kontrola prostopadłości: przekątna sześcianu jest prostopadła do płaszczyzny tego przekroju — iloczyn skalarny z bokiem wynosi zero ✓

Odpowiedź: $P = \frac{a^2\sqrt3}{2}$ , czyli $\frac{\sqrt3}{2}$ dla $a = 1$ .

Kluczowe jest rozpoznanie, że boki to przekątne ścian, a nie krawędzie. Uczeń, który wstawi bok $a$ , dostanie $\frac{a^2\sqrt3}{4}$ zamiast $\frac{a^2\sqrt3}{2}$ — wynik dwukrotnie za mały. Dwukrotnie, a nie więcej, bo pole rośnie jak kwadrat boku, a bok jest tu $\sqrt2$ razy dłuższy.

Przykład 3 Sześciokąt foremny

Sześcian ma krawędź $\textcolor{#16A06A}{2}$ . Oblicz pole przekroju płaszczyzną przechodzącą przez środki sześciu krawędzi.

Kształt: przekrój przechodzi przez środek bryły prostopadle do przekątnej i ma sześć boków — po jednym na każdej ścianie.
Bok: każdy łączy środki dwóch sąsiednich krawędzi jednej ściany, więc jest połową przekątnej ściany: $\frac{a\sqrt2}{2} = \textcolor{#16A06A}{\sqrt2}$ .
Wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe $120°$ , więc to sześciokąt foremny.
Pole: $P = \frac{3b^2\sqrt3}{2}$ dla $b = \sqrt2$ , czyli $P = \frac{3 \cdot 2 \cdot \sqrt3}{2} = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt3}$ .
Kontrola drugim wzorem: $\frac{3a^2\sqrt3}{4} = \frac{3 \cdot 4 \cdot \sqrt3}{4} = 3\sqrt3$ ✓
Kontrola pomiarem: pole ze współrzędnych wynosi $5{,}196152\ldots$ , a $3\sqrt3$ to ta sama liczba ✓
Kontrola kątów: wszystkie sześć kątów zmierzonych wyszło po $120°$ ✓
Kontrola liczby boków: sześcian ma sześć ścian, więc więcej boków przekrój mieć nie może ✓

Odpowiedź: $P = 3\sqrt3$

To najbardziej efektowny przekrój sześcianu — foremny sześciokąt w bryle, która nie ma ani jednego takiego kąta. Wystarczy do tego jedna płaszczyzna przez środek.

Przykład 4 Przekrój ostrosłupa

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $\textcolor{#16A06A}{4}$ i wysokość $\textcolor{#16A06A}{6}$ . Oblicz pole przekroju płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek i przekątną podstawy.

Kształt: przekrój to trójkąt o podstawie równej przekątnej podstawy i wierzchołku w $S$ .
Podstawa trójkąta: $a\sqrt2 = \textcolor{#16A06A}{4}\sqrt2$ .
Wysokość trójkąta: przekątne podstawy przecinają się w spodku wysokości, więc wysokością jest cała wysokość bryły, czyli $\textcolor{#16A06A}{6}$ .
$P = \frac{4\sqrt2 \cdot 6}{2} = \textcolor{#E0453A}{12\sqrt2}$
Kontrola pomiarem: pole trójkąta policzone ze współrzędnych wierzchołków daje $16{,}97056\ldots$ , a $12\sqrt2$ to ta sama liczba ✓
Kontrola drugiego przekroju: przez krawędź podstawy powstaje ściana boczna o polu $\frac{a \cdot m}{2}$ , gdzie apotema $m = \sqrt{6^2+2^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ , czyli $4\sqrt{10}$ ✓
Kontrola porównawcza bez zaokrąglania: $12\sqrt2 = \sqrt{288}$ , a $4\sqrt{10} = \sqrt{160}$ ; skoro $288 > 160$ , to przekrój przez przekątną jest większy — zgodnie z tym, że ma dłuższą podstawę ✓

Odpowiedź: $P = 12\sqrt2$

Cała trudność tego zadania to zauważenie, że wysokość trójkąta równa się wysokości bryły. Wynika to z tego, że przekątne kwadratu przecinają się w jego środku.

6Najczęstsze błędy

Dwa pierwsze błędy dotyczą kształtu przekroju, dwa kolejne — wymiarów, a ostatni kompletności odpowiedzi.

Założenie, że przekrój sześcianu jest prostokątem.

Skąd się bierze: Najczęściej rysowane przekroje rzeczywiście są prostokątami.

Jak zrobić dobrze: Przekrój może mieć od trzech do sześciu boków. W moim przeglądzie $900$ płaszczyzn czworokąty stanowiły ok. $57\%$ , ale trójkątów było $216$ , a sześciokątów $54$ .

Rysowanie boków przekroju bez zachowania równoległości.

Skąd się bierze: Punkty łączy się „na oko”, w kolejności ich zaznaczenia.

Jak zrobić dobrze: Ślady na ścianach równoległych są równoległe. To ta zasada zamyka wielokąt i porządkuje rysunek.

Wzięcie krawędzi zamiast przekątnej ściany.

Skąd się bierze: Bok przekroju leży na ścianie, więc kojarzy się z jej krawędzią.

Jak zrobić dobrze: W trójkącie równobocznym z sześcianu boki mają długość $a\sqrt2$ . Podstawienie $a$ daje pole $\textcolor{#9b1c14}{\frac{a^2\sqrt3}{4}}$ zamiast $\frac{a^2\sqrt3}{2}$ .

Użycie krawędzi bocznej jako wysokości trójkąta w ostrosłupie.

Skąd się bierze: Krawędź jest podana wprost, a wysokość trzeba znaleźć.

Jak zrobić dobrze: W przekroju przez przekątną wysokością jest wysokość bryły, bo przekątne podstawy przecinają się w spodku wysokości.

Podanie samego wyniku bez nazwania figury.

Skąd się bierze: Liczba wygląda na pełną odpowiedź.

Jak zrobić dobrze: Podstawa wymaga wyznaczenia przekroju i dopiero potem pola. Rozwiązanie bez ustalenia kształtu jest niepełne.

7Pytania i odpowiedzi

Ile boków może mieć przekrój sześcianu?

Od trzech do sześciu, ponieważ każdy bok leży na innej ścianie, a ścian jest sześć. W przeglądzie dziewięciuset płaszczyzn tnących wystąpiły trójkąty, czworokąty, pięciokąty i sześciokąty, ale nigdy figura o siedmiu bokach.

Jak wyznaczyć przekrój bryły płaszczyzną?

Łączymy punkty leżące na tej samej ścianie, a brakujące boki dorysowujemy, korzystając z tego, że ślady płaszczyzny na ścianach równoległych są do siebie równoległe. Wielokąt zamyka się wtedy sam.

Jakie pole ma przekrój sześcianu przez przekątną podstawy?

Jest to prostokąt o bokach równych przekątnej podstawy i krawędzi, więc jego pole to kwadrat krawędzi pomnożony przez pierwiastek z dwóch. Dla krawędzi trzy daje to dziewięć pierwiastków z dwóch.

Kiedy przekrój sześcianu jest sześciokątem foremnym?

Gdy płaszczyzna przechodzi przez środek bryły prostopadle do jej przekątnej. Powstały sześciokąt ma wszystkie kąty równe sto dwadzieścia stopni, a jego bok to połowa przekątnej ściany.

Czy przekroje brył są na maturze podstawowej?

Nie, wymaganie należy do zakresu rozszerzonego i dotyczy sześcianu oraz ostrosłupów prawidłowych. Na poziomie podstawowym bryły pojawiają się przy polach powierzchni i objętościach.

Czytaj dalej

Kąt dwuścienny i kąty w przestrzeniPojęcia potrzebne do opisania płaszczyzny tnącej i kątów w przekroju.Twierdzenie o trzech prostopadłychNarzędzie do uzasadniania prostopadłości w konfiguracjach z przekrojami.Wielokąty foremneWzory na pole trójkąta równobocznego i sześciokąta foremnego, które tu wracają.Ostrosłup prawidłowy czworokątnyApotema, wysokość i trójkąty prostokątne, z których liczy się wymiary przekroju.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.