Strona główna › Trygonometria › Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych

Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych

Zadanie „wykaż, że” różni się od „rozwiąż” jedną rzeczą, ale zasadniczą: nie wolno traktować tezy jak równania. Nie przenosi się wyrazów na drugą stronę, nie mnoży stronami — przekształca się jedną stronę, aż stanie się drugą, albo obie, ale osobno, w dwóch niezależnych rachunkach. Same wzory opisuję przy jedynce trygonometrycznej; tutaj chodzi o to, jak zapisać dowód, żeby był dowodem.

Dział: TrygonometriaPoziom: liceum — zakres podstawowy

1Czym tożsamość różni się od równania

Czego dokładnie wymaga podstawa

Podstawa nie ma osobnego punktu o dowodzeniu tożsamości trygonometrycznych — to umiejętność złożona z dwóch innych. Narzędzia daje dział VII. Trygonometria, zakres podstawowy, punkt 2: „korzysta z wzorów $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ , $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ”.

Trudniejsze tożsamości korzystają z zakresu rozszerzonego, punkt 5: „korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych”.

Sam sposób zapisania dowodu nie jest osobnym wymaganiem podstawy, ale jest tym, co punktuje się na maturze w zadaniach „wykaż, że”.

Równanie to pytanie: dla których kątów to zachodzi? Tożsamość to twierdzenie: zachodzi dla wszystkich kątów z dziedziny. Różnica nie jest kosmetyczna — decyduje o tym, co wolno zrobić z zapisem.

	równanie	tożsamość
pytanie	dla których $\alpha$ ?	czy dla każdego $\alpha$ ?
wolno przenosić wyrazy	tak — szukamy rozwiązań	nie — teza nie jest założeniem
wolno mnożyć stronami	tak, z kontrolą znaku	nie
co jest odpowiedzią	zbiór kątów	zdanie „lewa $=$ prawa”

Przykład różnicy. Zapis $\sin\alpha + \cos\alpha = 1$ jest równaniem: w pełnym obrocie spełniają go dokładnie dwa kąty, $0°$ i $90°$ — i tylko one. Już dla $45°$ lewa strona wynosi $\sqrt2 \approx 1{,}414$ , więc równość nie zachodzi. Zapis $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ jest tożsamością: spełnia go każdy kąt bez wyjątku — sprawdziłem to na $719$ kątach co pół stopnia, zgodność w każdym.

Dlaczego liczby rozwiązań nie wolno ustalać siatką

Tych dwóch rozwiązań nie da się zobaczyć, sprawdzając kąty po kolei — bo rozwiązanie potrafi wypaść między węzłami siatki albo tuż za jej krańcem.

Sam się na to nadziałem przy pisaniu tej strony: siatka $719$ kątów co pół stopnia biegnie od $0{,}5°$ do $359{,}5°$ , więc $0°$ w ogóle się na niej nie znajduje — a to jest rozwiązanie, bo $\sin 0° + \cos 0° = 0 + 1 = 1$ .

Rozstrzyga rachunek, nie skan: $\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt2\sin(\alpha + 45°)$ , więc równanie sprowadza się do $\sin(\alpha+45°) = \frac{\sqrt2}{2}$ , a to daje $\alpha + 45° = 45°$ albo $\alpha + 45° = 135°$ — czyli $\alpha = 0°$ lub $\alpha = 90°$ .

Praktyczny wniosek na całe zadania typu „ile rozwiązań ma…”: siatka nadaje się do obalania, nie do liczenia. Jeden kąt, dla którego równość nie zachodzi, obala tożsamość ostatecznie. Żadna liczba sprawdzonych kątów nie dowodzi, że innych rozwiązań nie ma.

Dlaczego nie wolno przekształcać obu stron naraz

Bo z fałszywej równości można wtedy dojść do prawdziwej. Weźmy fałszywą tezę $\sin\alpha = \cos\alpha$ i pomnóżmy obie strony przez zero: zostaje $0 = 0$ , zdanie bezspornie prawdziwe.

A teza jest fałszywa: dla $30°$ mamy $\sin 30° = \textcolor{#16A06A}{0{,}5}$ oraz $\cos 30° \approx \textcolor{#16A06A}{0{,}866}$ . Na $719$ sprawdzonych kątów równość zachodzi tylko w dwóch ( $45°$ i $225°$ ).

Wniosek: dojście do zdania prawdziwego niczego nie dowodzi, jeśli po drodze operowało się na tezie. Dlatego dowód prowadzi się jednostronnie.

2Schemat, który zawsze wygląda tak samo

Krok 1 — wybierz stronę „gorszą”. Przekształcaj tę, która jest bardziej rozbudowana: ma ułamki, nawiasy albo więcej różnych funkcji. Dążenie od skomplikowanego do prostego jest łatwiejsze niż odwrotnie.

Krok 2 — sprowadź wszystko do sinusa i cosinusa. Tangens i cotangens zamień na ilorazy. Po tym kroku zwykle widać, co się skróci.

Krok 3 — użyj jedynki albo wzoru skróconego mnożenia. To dwa narzędzia, które wykonują większość roboty:

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \qquad\Rightarrow\qquad 1 - \sin^2\alpha = \textcolor{#16A06A}{\cos^2\alpha}, \quad 1 - \cos^2\alpha = \textcolor{#16A06A}{\sin^2\alpha}

Krok 4 — zapisz wniosek. Ostatnia linijka ma brzmieć „a to jest prawa strona”, nie „wychodzi to samo”. Dowód kończy się zdaniem, nie znakiem.

Zapis, który nie budzi wątpliwości

Zacznij od „L $=$ …” i prowadź rachunek w jednej kolumnie, aż dojdziesz do wyrażenia z prawej strony. Wtedy napisz „ $=$ P”.

Jeśli obie strony są równie skomplikowane, wolno przekształcać każdą osobno do wspólnej postaci — ale wtedy prowadzi się dwa niezależne rachunki, a nie jeden na obu stronach naraz. Na końcu zdanie brzmi: „obie strony sprowadziłem do tego samego wyrażenia, więc są równe”.

Cztery tożsamości, które warto rozpoznawać z marszu — wszystkie sprawdziłem na $717$ – $719$ kątach co pół stopnia, z pominięciem punktów spoza dziedziny:

tożsamość	skąd się bierze
$(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha) = \sin^2\alpha$	różnica kwadratów, potem jedynka
$\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha$	różnica kwadratów; drugi czynnik to jedynka
$(\sin\alpha+\cos\alpha)^2 = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha$	kwadrat sumy, potem jedynka
$\dfrac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \operatorname{tg}^2\alpha$	jedynka podzielona stronami przez $\cos^2\alpha$

3Dziedzina — część dowodu, nie ozdobnik

Tożsamość obowiązuje „dla wszystkich kątów”, ale nie dosłownie wszystkich: te, przy których któreś wyrażenie traci sens, trzeba wykluczyć. Pominięcie tego kosztuje punkt na maturze.

Trzy sytuacje wyczerpują niemal wszystkie przypadki szkolne:

co w wyrażeniu	kiedy traci sens	wykluczyć
$\operatorname{tg}\alpha$ albo $\frac{1}{\cos\alpha}$	gdy $\cos\alpha = 0$	$\alpha = 90°$ , $270°$ (i co $180°$ dalej)
$\operatorname{ctg}\alpha$ albo $\frac{1}{\sin\alpha}$	gdy $\sin\alpha = 0$	$\alpha = 0°$ , $180°$ , $360°$
$\frac{1}{1+\cos\alpha}$	gdy $\cos\alpha = -1$	$\alpha = 180°$

Sprawdziłem każdy z tych warunków liczbowo: $\cos 90°$ i $\cos 270°$ dają zero, $\sin 0°$ i $\sin 180°$ dają zero, a $1 + \cos 180° = \textcolor{#16A06A}{0}$ . Wykluczenia w tabeli trafiają dokładnie tam, gdzie mianowniki się zerują.

Jak to zapisać. Wystarczy jedno zdanie przed rachunkiem: „zakładam, że $\cos\alpha \neq 0$ ”. Nie trzeba wypisywać wszystkich kątów — wystarczy warunek na wyrażenie.

Skąd wiadomo, że dziedzinę trzeba w ogóle rozważać

Spójrz na mianowniki — swoje i te, które pojawią się w trakcie rachunku. Jeśli w tezie nie ma ułamków, ale zamierzasz zamienić tangens na $\frac{\sin}{\cos}$ , mianownik pojawi się przez ciebie i też wymaga założenia.

To ta sama zasada co przy równaniach wymiernych: dziedzinę ustala się przed przekształceniami, a nie po nich.

4Sprawdzenie liczbowe nie jest dowodem — ale bardzo się przydaje

Podstawienie jednego kąta nie dowodzi tożsamości. Pokazuje to przykład z poprzedniej sekcji: fałszywe zdanie $\sin\alpha + \cos\alpha = 1$ jest prawdziwe dla $0°$ i dla $90°$ — czyli akurat dla tych dwóch kątów, które przy sprawdzaniu podstawia się pierwsze, bo wartości funkcji są tam najprostsze. Uczeń kontrolujący tezę „na szybko” trafiłby więc na potwierdzenie nieprawdy, i to za pierwszym podejściem.

Podstawienie ma jednak dwa uczciwe zastosowania i warto z nich korzystać:

Do obalenia. Jeden kąt, dla którego równość nie zachodzi, wystarczy, żeby zdanie odrzucić — kontrprzykład jest pełnoprawnym dowodem fałszywości. Dla $\sin\alpha+\cos\alpha=1$ takim kontrprzykładem jest $45°$ , gdzie lewa strona wynosi $\sqrt2$ .
Do kontroli własnego rachunku. Zanim zaczniesz dowód, podstaw wygodny kąt (np. $30°$ albo $60°$ ) do obu stron. Jeśli wyjdą różne liczby, teza jest źle przepisana i nie ma sensu jej dowodzić.

Druga uwaga jest praktyczna. Sporo straconego czasu na sprawdzianach bierze się z prób udowodnienia czegoś, co zostało błędnie przepisane z treści. Kontrola jednym kątem zajmuje kilkanaście sekund i wychwytuje to natychmiast.

Warto pamiętać, że kontrola przez podstawienie działa niesymetrycznie: zgodność na jednym kącie niczego nie gwarantuje, ale niezgodność na jednym kącie rozstrzyga ostatecznie.

5Przykłady krok po kroku

Trzy dowody w kolejności rosnącej trudności: jedno przekształcenie, ułamek z dziedziną i tożsamość wymagająca wspólnego mianownika.

Przykład 1 Jeden ruch wystarczy

Wykaż, że dla każdego kąta $\alpha$ zachodzi $(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha) = \sin^2\alpha$ .

Strona lewa jest bardziej rozbudowana — ją przekształcam. Kontrola wstępna dla $\alpha = 60°$ : lewa $= (1-\textcolor{#16A06A}{0{,}5})(1+\textcolor{#16A06A}{0{,}5}) = 0{,}75$ , prawa $= \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 = 0{,}75$ ✓ teza przepisana dobrze.
$L = (1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)$ — to iloczyn różnicy przez sumę, czyli różnica kwadratów.
$L = 1^2 - \cos^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$ .
Z jedynki trygonometrycznej $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ wynika $1 - \cos^2\alpha = \textcolor{#E0453A}{\sin^2\alpha}$ .
Zatem $L = \textcolor{#E0453A}{\sin^2\alpha} = P$ , co kończy dowód.
Dziedzina: w wyrażeniu nie ma mianowników ani tangensa, więc tożsamość zachodzi dla każdego kąta — bez wykluczeń.

Odpowiedź: $L = P$ dla każdego kąta $\alpha$ .

Cały dowód to jedno rozpoznanie wzoru i jedno podstawienie. Warto zwrócić uwagę na ostatnią linijkę: napisanie „ $L = P$ ” zamiast „wychodzi tak samo” jest tym, co odróżnia dowód od rachunku.

Przykład 2 Z ułamkiem i z dziedziną

Wykaż, że $\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = \sin\alpha$ dla wszystkich kątów, dla których wyrażenie ma sens.

Najpierw dziedzina. Występuje $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ , więc zakładam $\cos\alpha \neq \textcolor{#16A06A}{0}$ , czyli wykluczam $\alpha = 90°$ i $\alpha = 270°$ .
Kontrola wstępna dla $\alpha = 45°$ : $\operatorname{tg}45° = \textcolor{#16A06A}{1}$ , więc lewa $= 1 \cdot \frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2}{2}$ , a prawa $= \sin 45° = \frac{\sqrt2}{2}$ ✓
Przekształcam lewą stronę, zamieniając tangens na iloraz: $L = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos\alpha$ .
Skracam $\cos\alpha$ — wolno, bo z założenia jest różny od zera: $L = \textcolor{#E0453A}{\sin\alpha}$ .
Zatem $L = \textcolor{#E0453A}{\sin\alpha} = P$ dla każdego $\alpha$ spełniającego założenie.
Sprawdziłem tę tożsamość na $717$ kątach co pół stopnia z pominięciem tych, gdzie $\cos\alpha$ się zeruje — zgodność w każdym z nich.

Odpowiedź: $L = P$ dla $\cos\alpha \neq 0$ , czyli dla $\alpha \neq 90° + k \cdot 180°$ .

Zwróć uwagę, że założenie było potrzebne dwa razy: raz, żeby tangens w ogóle istniał, i drugi raz, żeby wolno było skrócić cosinus. To typowe — dziedzina zwykle zabezpiecza także krok rachunkowy.

Przykład 3 Wspólny mianownik

Wykaż, że $\frac{1}{1+\cos\alpha} + \frac{1}{1-\cos\alpha} = \frac{2}{\sin^2\alpha}$ dla kątów, dla których obie strony mają sens.

Dziedzina. Mianowniki po lewej wymagają $\cos\alpha \neq \textcolor{#16A06A}{1}$ oraz $\cos\alpha \neq \textcolor{#16A06A}{-1}$ ; po prawej $\sin\alpha \neq \textcolor{#16A06A}{0}$ . Wszystkie trzy warunki sprowadzają się do jednego: $\alpha \neq k \cdot 180°$ .
Sprowadzam lewą stronę do wspólnego mianownika $(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)$ :
$L = \frac{(1-\cos\alpha) + (1+\cos\alpha)}{(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)}$ .
Licznik: $1-\cos\alpha+1+\cos\alpha = \textcolor{#2F80D8}{2}$ — cosinusy się znoszą.
Mianownik to różnica kwadratów: $1 - \cos^2\alpha = \textcolor{#2F80D8}{\sin^2\alpha}$ na mocy jedynki.
Zatem $L = \frac{\textcolor{#2F80D8}{2}}{\textcolor{#2F80D8}{\sin^2\alpha}} = P$ , co kończy dowód.
Kontrola liczbowa dla $\alpha = 30°$ : lewa $= \frac{1}{1+\frac{\sqrt3}{2}} + \frac{1}{1-\frac{\sqrt3}{2}}$ , prawa $= \frac{2}{0{,}25} = \textcolor{#E0453A}{8}$ . Sprawdzenie na $718$ kątach z dziedziny potwierdziło zgodność w każdym punkcie.

Odpowiedź: $L = P$ dla $\sin\alpha \neq 0$ , czyli dla $\alpha \neq k \cdot 180°$ .

Sprowadzenie do wspólnego mianownika jest tu jedynym pomysłem, jakiego trzeba — reszta dzieje się sama, bo cosinusy w liczniku się znoszą, a mianownik zwija się jedynką. Ten schemat powtarza się w większości tożsamości z dwoma ułamkami.

6Najczęstsze błędy

Pierwszy i trzeci błąd nie są usterkami rachunkowymi — każdy z nich unieważnia cały dowód, nawet gdy pojedyncze kroki są poprawne. Drugi i czwarty biorą się z pominiętego założenia i kosztują punkty za dziedzinę.

Przekształcanie obu stron naraz

Skąd się bierze: Zapis w stylu „przenoszę wszystko na lewą stronę i sprawdzam, czy wyjdzie zero” traktuje tezę jak założenie. Tak można dojść do zdania prawdziwego, wychodząc od fałszywego: pomnożenie obu stron fałszywej równości $\sin\alpha = \cos\alpha$ przez zero daje $0 = 0$ , choć równość zachodzi tylko dla dwóch kątów na $719$ sprawdzonych.

Jak zrobić dobrze: Prowadź rachunek w jednej kolumnie, zaczynając od jednej strony i kończąc na drugiej. Jeśli musisz ruszyć obie, przekształcaj je osobno, w dwóch niezależnych rachunkach, i dopiero na końcu stwierdź, że doszły do tego samego wyrażenia.

Pominięcie dziedziny

Skąd się bierze: Tożsamość z tangensem albo z ułamkiem nie zachodzi dla wszystkich kątów, bo dla części z nich wyrażenie w ogóle nie istnieje. Zdanie „dla każdego $\alpha$ zachodzi $\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = \sin\alpha$ ” jest nieprawdziwe w tej formie: dla $\alpha = 90°$ lewa strona nie ma wartości.

Jak zrobić dobrze: Zanim zaczniesz, spójrz na mianowniki — także te, które sam wprowadzisz, zamieniając tangens na iloraz. Jedno zdanie „zakładam $\cos\alpha \neq 0$ ” załatwia sprawę.

Uznanie sprawdzenia liczbowego za dowód

Skąd się bierze: Podstawienie jednego czy nawet pięciu kątów niczego nie dowodzi, bo tożsamość ma zachodzić dla nieskończenie wielu. Fałszywe zdanie $\sin\alpha+\cos\alpha=1$ jest prawdziwe dla $0°$ i dla $90°$ — czyli dla obu kątów, które sprawdza się odruchowo jako pierwsze. Dwa trafienia z rzędu potwierdziłyby nieprawdę.

Jak zrobić dobrze: Podstawienia używaj do kontroli, nie do dowodu: przed rachunkiem, żeby sprawdzić, czy teza jest dobrze przepisana. Do obalenia natomiast jeden kąt wystarcza w zupełności — kontrprzykład jest pełnoprawnym argumentem.

Skracanie przez wyrażenie mogące być zerem

Skąd się bierze: Skrócenie $\cos\alpha$ w liczniku i mianowniku jest poprawne tylko wtedy, gdy $\cos\alpha \neq 0$ — a bez zapisanego założenia krok jest nieuzasadniony. To ten sam błąd, który przy równaniach wymiernych prowadzi do gubienia albo dokładania rozwiązań.

Jak zrobić dobrze: Skracaj dopiero po zapisaniu warunku, który to umożliwia. Jeśli warunek nie wynika z dziedziny, trzeba rozważyć przypadek osobno.

7Pytania i odpowiedzi

Czym różni się tożsamość trygonometryczna od równania trygonometrycznego?

Tożsamość zachodzi dla wszystkich kątów z dziedziny i jest twierdzeniem do udowodnienia. Równanie zachodzi tylko dla niektórych kątów i jest pytaniem, dla których dokładnie. Od tego zależy, co wolno zrobić z zapisem.

Dlaczego nie wolno przenosić wyrazów na drugą stronę w dowodzie?

Bo przenoszenie traktuje tezę tak, jakby już była prawdziwa. Wychodząc od zdania fałszywego i wykonując poprawne operacje na obu stronach, można dojść do zdania prawdziwego, co niczego nie dowodzi.

Od której strony zacząć przekształcanie?

Zwykle od tej bardziej rozbudowanej, czyli mającej ułamki, nawiasy albo więcej różnych funkcji. Upraszczanie jest łatwiejsze niż komplikowanie, bo w każdym kroku wiadomo, do czego się dąży.

Czy trzeba podawać dziedzinę przy każdej tożsamości?

Tylko wtedy, gdy w wyrażeniu występują mianowniki, tangens albo cotangens. Jeśli teza zawiera wyłącznie sinusy i cosinusy bez ułamków, żadnych wykluczeń nie ma i nic dopisywać nie trzeba.

Czy sprawdzenie kilku kątów wystarczy jako dowód?

Nie, bo kątów do sprawdzenia byłoby nieskończenie wiele. Podstawienie przydaje się natomiast do obalenia zdania fałszywego oraz do upewnienia się, że teza została poprawnie przepisana z treści zadania.

Jakie wzory wystarczą do większości szkolnych tożsamości?

Przede wszystkim jedynka trygonometryczna oraz zależność między tangensem a ilorazem sinusa i cosinusa. Do tego wzory skróconego mnożenia, głównie różnica kwadratów i kwadrat sumy, które odpowiadają za większość przekształceń.

Czytaj dalej

Jedynka trygonometrycznaGłówne narzędzie dowodów i trzy chwyty upraszczające Wzory trygonometryczneSumy, różnice i kąty podwojone — do trudniejszych tożsamości Wzory skróconego mnożeniaRóżnica kwadratów i kwadrat sumy w wersji z funkcjami TrygonometriaMapa działu i definicje wszystkich funkcji

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.