Równania i nierówności z wartością bezwzględną — przypadki i interpretacja na osi liczbowej

\[x\in(-\infty,-5)\cup(-1,3)\cup(3,+\infty).\]

**Krok \(1\).** Metoda: zamiast rozpatrywać przypadki, korzystamy z własności \(|uv|=|u|\cdot|v|\) i wzoru na różnicę kwadratów, żeby wyłączyć wspólny czynnik. **Krok \(2\).** Przekształcamy oba składniki: \[|2x-6|=2|x-3|,\qquad \left|x^{2}-9\right|=|x-3|\cdot|x+3|.\] **Krok \(3\).** Nierówność przyjmuje postać \[2|x-3|-|x-3|\cdot|x+3|\lt 0,\qquad |x-3|\bigl(2-|x+3|\bigr)\lt 0.\] **Krok \(4\).** Czynnik \(|x-3|\) jest nieujemny, więc iloczyn może być ujemny tylko wtedy, gdy jednocześnie \(|x-3|\gt 0\) oraz \(2-|x+3|\lt 0\). **Krok \(5\).** Pierwszy warunek daje \(x\neq 3\). Drugi to \(|x+3|\gt 2\), czyli \[x+3\lt -2\quad\text{lub}\quad x+3\gt 2,\qquad x\lt -5\quad\text{lub}\quad x\gt -1.\] **Krok \(6\).** Łączymy oba warunki, wykluczając \(x=3\) ze zbioru \(x\gt -1\). **Uwaga.** Punkt \(x=3\) jest tu prawdziwą pułapką: obie wartości bezwzględne zerują się w nim jednocześnie, więc lewa strona jest równa \(0\), a nierówność jest ostra i nie jest spełniona. Metoda przez trzy przedziały \((-\infty,-3)\), \([-3,3)\), \([3,+\infty)\) prowadzi do tego samego wyniku, ale wymaga trzykrotnego brania części wspólnej. **Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,-5)\cup(-1,3)\cup(3,+\infty)\).

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x\in(-\infty,-5)\cup(-1,3)\cup(3,+\infty)\). **3 pkt** – zapisanie trzech przedziałów: \((-\infty,-3)\) i \([-3,3)\) i \([3,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przedziałów oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych przedziałów – tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności z rozpatrywanymi przedziałami ALBO – rozwiązanie nierówności \(2-\lvert x+3\rvert<0\), ALBO – zapisanie koniunkcji nierówności \(2-\lvert x+3\rvert<0\) i \(x\neq 3\), ALBO – przekształcenie nierówności do postaci \((x-3)^{2}(x+1)(x+5)>0\), ALBO – wyznaczenie wszystkich pierwiastków wielomianu \(x^{4}-22x^{2}+24x+45\) i określenie krotności tych pierwiastków, ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: \(2x-6<\lvert x^{2}-9\rvert\) i \(2x-6>-\lvert x^{2}-9\rvert\), a następnie w postaci równoważnej koniunkcji alternatyw nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej: \(\left(x^{2}-9>2x-6\right.\) lub \(\left.x^{2}-9<-2x+6\right)\) i \(\left(x^{2}-9>-2x+6\right.\) lub \(\left.x^{2}-9<2x-6\right)\), ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej alternatywy dwóch nierówności: \(x^{2}-9>\lvert 2x-6\rvert\) lub \(x^{2}-9<-\lvert 2x-6\rvert\), a następnie w postaci równoważnej alternatywy koniunkcji nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej: \(\left(2x-6<x^{2}-9\right.\) i \(\left.2x-6<-x^{2}+9\right)\) lub \(\left(2x-6<-x^{2}+9\right.\) i \(\left.2x-6>x^{2}-9\right)\), ALBO – zapisanie czterech przypadków: \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9<0\), \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9\geq 0\), \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9<0\), \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród trzech następujących przypadków: \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9<0\), \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9\geq 0\), \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9\geq 0\) – tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności, ALBO – zapisanie, że przypadek \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9<0\) jest sprzeczny oraz zapisanie trzech przypadków: \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9<0\), \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9\geq 0\), \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych trzech przypadków – tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności, ALBO – odczytanie z wykresów funkcji \(f(x)=\lvert 2x-6\rvert\) oraz \(g(x)=\lvert x^{2}-9\rvert\) pierwszych współrzędnych punktów ich przecięcia: \(x=-5\) oraz \(x=-1\) oraz \(x=3\) i sprawdzenie rachunkiem poprawności odczytanych współrzędnych. **2 pkt** – zapisanie trzech przedziałów: \((-\infty,-3)\) i \([-3,3)\) i \([3,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przedziałów ALBO – zapisanie nierówności \(\lvert x-3\rvert\cdot\left(2-\lvert x+3\rvert\right)<0\), ALBO – zapisanie jednej z nierówności: \[1<\frac{\lvert x+3\rvert}{2}\ \text{(bez zapisania założenia } x\neq 3),\] \[1<\frac{\lvert x^{2}-9\rvert}{2\cdot\lvert x-3\rvert}\ \text{z zapisaniem założenia } x\neq 3,\] \[1<\frac{\lvert x-3\rvert\cdot\lvert x+3\rvert}{\lvert 2x-6\rvert}\ \text{z zapisaniem założenia } x\neq 3,\] \[1<\left\lvert\frac{(x-3)(x+3)}{2x-6}\right\rvert\ \text{z zapisaniem założenia } x\neq 3,\] \[(x-3)^{2}\cdot\left[4-(x+3)^{2}\right]<0,\] ALBO – przekształcenie nierówności do postaci \(x^{4}-22x^{2}+24x+45>0\) i wyznaczenie dwóch pierwiastków wielomianu \(x^{4}-22x^{2}+24x+45\) (lub zapisanie, że \(3\) jest dwukrotnym pierwiastkiem tego wielomianu), ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: \(2x-6<\lvert x^{2}-9\rvert\) i \(2x-6>-\lvert x^{2}-9\rvert\), ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej alternatywy dwóch nierówności: \(x^{2}-9>\lvert 2x-6\rvert\) lub \(x^{2}-9<-\lvert 2x-6\rvert\), ALBO – zapisanie czterech przypadków: \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9<0\), \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9\geq 0\), \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9<0\), \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków, ALBO – zapisanie trzech przypadków: \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9<0\), \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9\geq 0\), \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz zapisanie, że przypadek \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9<0\) jest sprzeczny, ALBO – narysowanie wykresów funkcji \(f(x)=\lvert 2x-6\rvert\) oraz \(g(x)=\lvert x^{2}-9\rvert\). **1 pkt** – zapisanie trzech przedziałów: \((-\infty,-3)\) i \([-3,3)\) i \([3,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przedziałów bez użycia symbolu wartości bezwzględnej ALBO – zapisanie jednego z przedziałów: \((-\infty,-3)\), \([-3,3)\), \([3,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przedziale – tj. wyznaczenie części wspólnej zbioru rozwiązań zapisanej nierówności z rozpatrywanym przedziałem, ALBO – zastosowanie własności wartości bezwzględnej i zapisanie nierówności: \(2\cdot\lvert x-3\rvert-\lvert (x-3)(x+3)\rvert<0\), ALBO – zastosowanie własności wartości bezwzględnej i zapisanie nierówności w jednej z następujących postaci: \[1<\frac{\lvert x^{2}-9\rvert}{2\cdot\lvert x-3\rvert}\ \text{(bez zapisania założenia } x\neq 3),\] \[1<\frac{\lvert x-3\rvert\cdot\lvert x+3\rvert}{\lvert 2x-6\rvert}\ \text{(bez zapisania założenia } x\neq 3),\] \[1<\left\lvert\frac{(x-3)(x+3)}{2x-6}\right\rvert\ \text{(bez zapisania założenia } x\neq 3),\] \[(2x-6)^{2}<\left(x^{2}-9\right)^{2},\] ALBO – zapisanie czterech przypadków: \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9<0\), \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9\geq 0\), \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9<0\), \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przypadków bez użycia wartości bezwzględnej, ALBO – zapisanie jednego z trzech przypadków: \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9<0\), \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9\geq 0\), \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przypadku – tj. wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności. **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający, zapisując nierówność bez użycia wartości bezwzględnej, popełni błąd, który nie jest rachunkowy, tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków/przedziałów i rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 2. Jeżeli zdający nie rozpatruje przedziałów, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i w których nierówność ma różne postacie (lub rozpatruje przypadki wyznaczone jedynie przez nierówności ostre, które nie wyczerpują zbioru \(\mathbb{R}\)), to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań \((-\infty,-5)\cup(-1,3)\cup(3,+\infty)\), ale nie sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych punktów przecięcia wykresów funkcji \(f(x)=\lvert 2x-6\rvert\) i \(g(x)=\lvert x^{2}-9\rvert\), to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie. 4. Jeżeli zdający, podając zbiór rozwiązań nierówności, nie uwzględni warunku \(x\neq 3\), to może uzyskać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.R4) Zdający rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną.

**B.** \(20\)

Równanie z wartością bezwzględną rozbijamy na dwa przypadki: \[x-6=4\quad\text{lub}\quad x-6=-4,\] skąd \(x_1=10\) oraz \(x_2=2\). Iloczyn rozwiązań wynosi \[x_1\cdot x_2=10\cdot2=20.\] **Odpowiedź.** **B.** \(20\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: I.7) Stosuje interpretację wartości bezwzględnej i rozwiązuje równania typu |x+4|=5.

Liczby \(-3\) i \(2\) dzielą oś na trzy przedziały, w których opuszczamy wartości bezwzględne. Otrzymujemy kolejno \(x\lt -10\), \(x\gt -\frac{2}{3}\) oraz nierówność spełnioną tożsamościowo, czyli \(x\in(-\infty,-10)\cup\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)\).

**Krok \(1\).** Metoda: korzystamy z definicji wartości bezwzględnej. Miejsca zerowe wyrażeń \(x-2\) i \(x+3\) dzielą oś liczbową na przedziały, w których każdy moduł opuszczamy w jednoznaczny sposób. **Krok \(2\).** Wyrażenie \(x+3\) zmienia znak w punkcie \(-3\), a \(x-2\) w punkcie \(2\). Rozpatrzymy więc trzy przedziały: \((-\infty,-3)\), \(\langle -3,2)\) oraz \(\langle 2,+\infty)\). Ich suma to cały zbiór \(\mathbb{R}\). **Krok \(3\).** Przypadek \(x\lt -3\). Wtedy \(x-2\lt 0\) i \(x+3\lt 0\), więc nierówność przyjmuje postać \[-(x-2)-2\cdot\left[-(x+3)\right]\lt -2,\qquad -x+2+2x+6\lt -2,\qquad x\lt -10.\] Część wspólna z założeniem: \(x\in(-\infty,-10)\). **Krok \(4\).** Przypadek \(-3\leqslant x\lt 2\). Wtedy \(x-2\lt 0\) i \(x+3\geqslant 0\), więc \[-(x-2)-2(x+3)\lt -2,\qquad -3x-4\lt -2,\qquad -3x\lt 2,\qquad x\gt -\frac{2}{3}.\] Część wspólna z założeniem: \(x\in\left(-\frac{2}{3},\ 2\right)\). **Krok \(5\).** Przypadek \(x\geqslant 2\). Wtedy oba wyrażenia są nieujemne, więc \[(x-2)-2(x+3)\lt -2,\qquad -x-8\lt -2,\qquad x\gt -6.\] Nierówność jest spełniona przez wszystkie rozważane \(x\), więc do rozwiązania należy cały przedział \(\langle 2,+\infty)\). **Krok \(6\).** Sumujemy wyniki z kroków \(3\)–\(5\): \[(-\infty,-10)\cup\left(-\frac{2}{3},2\right)\cup\langle 2,+\infty)=(-\infty,-10)\cup\left(-\frac{2}{3},\ +\infty\right).\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie kontrolne. Dla \(x=0\): \(\lvert -2\rvert-2\lvert 3\rvert=2-6=-4\lt -2\) — należy do rozwiązania, zgadza się. Dla \(x=-5\): \(7-2\cdot 2=3\), a \(3\lt -2\) jest fałszem — nie należy, i rzeczywiście \(-5\) leży poza wyznaczonym zbiorem. **Uwaga.** Przypadki muszą pokrywać cały zbiór \(\mathbb{R}\), a wynik z każdego z nich trzeba przeciąć z założeniem tego przypadku — inaczej można dopisać liczby, które modułów wcale tak nie opuszczają. **Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,-10)\cup\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)\).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zapisanie trzech przedziałów: \((-\infty,-3)\) i \([-3,2)\) i \([2,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przedziałów bez użycia symbolu wartości bezwzględnej ALBO zapisanie jednego z przedziałów: \((-\infty,-3)\), \([-3,2)\), \([2,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przedziale – tj. wyznaczenie części wspólnej zbioru rozwiązań zapisanej nierówności z rozpatrywanym przedziałem, ALBO zapisanie czterech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3<0\) i \(x-2\geq 0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przypadków bez użycia wartości bezwzględnej, ALBO zapisanie jednego z trzech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przypadku – tj. wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności. **2 pkt** – zapisanie trzech przedziałów: \((-\infty,-3)\) i \([-3,2)\) i \([2,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przedziałów ALBO zapisanie czterech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3<0\) i \(x-2\geq 0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków, ALBO zapisanie trzech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz zapisanie, że przypadek \(x+3<0\) i \(x-2\geq 0\) jest sprzeczny, ALBO zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: \(x-2<-2+2\cdot\lvert x+3\rvert\) i \(x-2>-(-2+2\cdot\lvert x+3\rvert)\), ALBO narysowanie wykresów funkcji \(f(x)=\lvert x-2\rvert\) oraz \(g(x)=2\cdot\lvert x+3\rvert-2\). **3 pkt** – zapisanie trzech przedziałów: \((-\infty,-3)\) i \([-3,2)\) i \([2,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przedziałów oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych przedziałów – tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności z rozpatrywanymi przedziałami, ALBO zapisanie czterech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3<0\) i \(x-2\geq 0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród trzech następujących przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2\geq 0\) – tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności, ALBO zapisanie, że przypadek \(x+3<0\) i \(x-2\geq 0\) jest sprzeczny oraz zapisanie trzech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq 0\) i \(x-2\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych trzech przypadków – tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności, ALBO zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: \(x-2<-2+2\cdot\lvert x+3\rvert\) i \(x-2>-(-2+2\cdot\lvert x+3\rvert)\), a następnie w postaci równoważnej koniunkcji alternatyw nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej: (\(x+3>\frac{1}{2}x\) lub \(x+3<-\frac{1}{2}x\)) i (\(x+3>\frac{4-x}{2}\) lub \(x+3<-\frac{4-x}{2}\)), ALBO odczytanie z wykresów funkcji \(f\) oraz \(g\) pierwszych współrzędnych punktów ich przecięcia: \(x=-\frac{2}{3}\) oraz \(x=-10\) i sprawdzenie rachunkiem poprawności odczytanych współrzędnych. **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x\in(-\infty,-10)\cup\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający, zapisując nierówność bez użycia wartości bezwzględnej, popełni błąd, który nie jest rachunkowy, tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków/przedziałów i rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 2. Jeżeli zdający nie rozpatruje przedziałów, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i w których nierówność ma różne postaci (lub rozpatruje przypadki wyznaczone jedynie przez nierówności ostre, które nie wyczerpują zbioru \(\mathbb{R}\)), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań \((-\infty,-10)\cup\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)\), ale nie sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych punktów przecięcia wykresów funkcji \(f\) i \(g\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.R4) Zdający rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną.

Punkty \(-3\) i \(2\) wyznaczają przedziały analizy wartości bezwzględnych. Po ich rozpatrzeniu otrzymujemy \(x<-10\) albo \(x>-\frac{2}{3}\). Zatem \[x\in(-\infty,-10)\cup\left(-\frac{2}{3},+\infty\right).\]

**Krok \(1\).** Metoda: dzielimy oś liczbową punktami, w których wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi zmieniają znak, czyli \(x=-3\) i \(x=2\), i w każdym z trzech przedziałów opuszczamy moduły. **Krok \(2\).** Przypadek \(x\in(-\infty,-3)\): wtedy \(x-2\lt 0\) i \(x+3\lt 0\), więc \(|x-2|=2-x\), \(|x+3|=-x-3\). Nierówność przyjmuje postać \[2-x+2(x+3)\lt -2,\qquad x+8\lt -2,\qquad x\lt -10.\] Część wspólna z rozważanym przedziałem: \((-\infty,-10)\). **Krok \(3\).** Przypadek \(x\in[-3,2)\): wtedy \(|x-2|=2-x\), \(|x+3|=x+3\), więc \[2-x-2(x+3)\lt -2,\qquad -3x-4\lt -2,\qquad x\gt -\frac{2}{3}.\] Część wspólna: \(\left(-\frac{2}{3},2\right)\). **Krok \(4\).** Przypadek \(x\in[2,+\infty)\): wtedy \(|x-2|=x-2\), \(|x+3|=x+3\), więc \[x-2-2(x+3)\lt -2,\qquad -x-8\lt -2,\qquad x\gt -6.\] Warunek jest spełniony przez cały rozważany przedział, więc część wspólna to \([2,+\infty)\). **Krok \(5\).** Zbiór rozwiązań całej nierówności to suma trzech otrzymanych zbiorów. Przedziały \(\left(-\frac{2}{3},2\right)\) i \([2,+\infty)\) sklejają się w \(\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)\). **Uwaga.** W każdym przypadku obowiązkowe jest wzięcie części wspólnej otrzymanego zbioru z rozważanym przedziałem — bez tego z pierwszego przypadku wpadłyby liczby, dla których użyta postać modułu nie obowiązuje. **Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,-10)\cup\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)\).

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x\in(-\infty,-10)\cup\left(-\tfrac{2}{3},+\infty\right)\). **3 pkt** – zapisanie trzech przedziałów: \((-\infty,-3)\) i \([-3,2)\) i \([2,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przedziałów oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych przedziałów - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności z rozpatrywanymi przedziałami, ALBO – zapisanie czterech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3<0\) i \(x-2\geq0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2\geq0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród trzech następujących przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2\geq0\) - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności, ALBO – zapisanie, że przypadek \(x+3<0\) i \(x-2\geq0\) jest sprzeczny oraz zapisanie trzech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2\geq0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych trzech przypadków - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności, ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: \(x-2<-2+2\cdot\lvert x+3\rvert\) i \(x-2>-(-2+2\cdot\lvert x+3\rvert)\), a następnie w postaci równoważnej koniunkcji alternatyw nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej: \(\left(x+3>\tfrac{1}{2}x\ \text{lub}\ x+3<-\tfrac{1}{2}x\right)\) i \(\left(x+3>\tfrac{4-x}{2}\ \text{lub}\ x+3<-\tfrac{4-x}{2}\right)\), ALBO – odczytanie z wykresów funkcji \(f\) oraz \(g\) pierwszych współrzędnych punktów ich przecięcia: \(x=-\tfrac{2}{3}\) oraz \(x=-10\) i sprawdzenie rachunkiem poprawności odczytanych współrzędnych. **2 pkt** – zapisanie trzech przedziałów: \((-\infty,-3)\) i \([-3,2)\) i \([2,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przedziałów ALBO – zapisanie czterech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3<0\) i \(x-2\geq0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2\geq0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków, ALBO – zapisanie trzech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2\geq0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz zapisanie, że przypadek \(x+3<0\) i \(x-2\geq0\) jest sprzeczny, ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: \(x-2<-2+2\cdot\lvert x+3\rvert\) i \(x-2>-(-2+2\cdot\lvert x+3\rvert)\), ALBO – narysowanie wykresów funkcji \(f(x)=\lvert x-2\rvert\) oraz \(g(x)=2\cdot\lvert x+3\rvert-2\). **1 pkt** – zapisanie trzech przedziałów: \((-\infty,-3)\) i \([-3,2)\) i \([2,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przedziałów bez użycia symbolu wartości bezwzględnej ALBO – zapisanie jednego z przedziałów: \((-\infty,-3)\), \([-3,2)\), \([2,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przedziale - tj. wyznaczenie części wspólnej zbioru rozwiązań zapisanej nierówności z rozpatrywanym przedziałem, ALBO – zapisanie czterech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3<0\) i \(x-2\geq0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2\geq0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przypadków bez użycia wartości bezwzględnej, ALBO – zapisanie jednego z trzech przypadków: \(x+3<0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2<0\), \(x+3\geq0\) i \(x-2\geq0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przypadku - tj. wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności. **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający, zapisując nierówność bez użycia wartości bezwzględnej, popełni błąd, który nie jest rachunkowy, tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków/przedziałów i rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 2. Jeżeli zdający nie rozpatruje przedziałów, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i w których nierówność ma różne postaci (lub rozpatruje przypadki wyznaczone jedynie przez nierówności ostre, które nie wyczerpują zbioru \(\mathbb{R}\)), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań \((-\infty,-10)\cup\left(-\tfrac{2}{3},+\infty\right)\), ale nie sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych punktów przecięcia wykresów funkcji \(f\) i \(g\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.9R) Zdający rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną [...].

**B.** \(-8\)

Z równania \(|x+4|=7\) otrzymujemy \[x+4=7\quad\text{lub}\quad x+4=-7.\] Stąd \[x_1=3,\qquad x_2=-11.\] Zatem \[x_1+x_2=3+(-11)=-8.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.7) Zdający stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu \(|x+4|=5\).

\[x\in\left\{\frac25,\frac{14}{3}\right\}.\]

Ponieważ \(|4x-8|=4|x-2|\) oraz \(|2-x|=|x-2|\), dane równanie jest równoważne równaniu \[4|x-2|=|x+2|+4.\] Rozważamy trzy przedziały wyznaczone przez punkty \(-2\) i \(2\). Dla \(x<-2\): \[-4x+8=-x-2+4,\] skąd \(x=2\), ale \(2\notin(-\infty,-2)\), więc w tym przedziale nie ma rozwiązań. Dla \(-2\leq x<2\): \[-4x+8=x+2+4,\] \[-5x=-2,\qquad x=\frac25.\] Liczba \(\frac25\) należy do tego przedziału. Dla \(x\geq2\): \[4x-8=x+2+4,\] \[3x=14,\qquad x=\frac{14}{3}.\] Liczba \(\frac{14}{3}\) należy do tego przedziału. Zatem \[x\in\left\{\frac25,\frac{14}{3}\right\}.\]

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\frac25\) oraz \(\frac{14}{3}\) **3 pkt** – rozwiązanie równania w dwóch spośród rozważanych przedziałów lub przypadków, które łącznie wyczerpują \(\mathbb R\); równoważnie: rozwiązanie jednego z dwóch równań otrzymanych po usunięciu zewnętrznej wartości bezwzględnej w sposobie alternatywnym **2 pkt** – zastosowanie definicji wartości bezwzględnej i zapisanie równania w trzech przedziałach \(( -\infty,-2)\), \([-2,2)\), \([2,+\infty)\); albo zapisanie równoważnej alternatywy dwóch równań **1 pkt** – przekształcenie równania do postaci \(4|x-2|=|x+2|+4\) albo \(|4x-8|=|x+2|+4\); albo poprawne rozpoczęcie analizy w jednym z właściwych przedziałów **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.R4) Zdający rozwiązuje równania z wartością bezwzględną.

**B.** \(( -\infty,-2]\cup[4,+\infty)\).

Nierówność \(|x-1|\geq3\) oznacza, że odległość liczby \(x\) od liczby \(1\) jest nie mniejsza niż \(3\). Zatem \[x-1\leq-3\quad\text{lub}\quad x-1\geq3,\] czyli \[x\leq-2\quad\text{lub}\quad x\geq4.\] Na osi liczbowej ten zbiór przedstawiono na rysunku **B**.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście oraz w formie wykresów. **Wymagania szczegółowe:** I.7) Zdający stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej oraz rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną.

**B.** Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Rozpatrujemy dwa przypadki. Dla \(x\geq2\) równanie ma postać \[2x-4=3x+1,\] co daje \(x=-5\), ale ta liczba nie spełnia założenia \(x\geq2\). Dla \(x<2\) mamy \[-2x+4=3x+1,\] stąd \[x=\frac35.\] Ta liczba spełnia założenie, więc równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.8 R) Zdający rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną.

**C.** \(5\)

Rozwiązujemy nierówność: \[|x+1|<3\iff -3<x+1<3.\] Po odjęciu \(1\) otrzymujemy \[-4<x<2.\] Liczby całkowite w tym przedziale to \(-3,-2,-1,0,1\), czyli jest ich \(5\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.7) Zdający rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, w tym nierówności typu \(|x-2|<3\).

**A.** \(x\in[-3,1]\)

Nierówność z wartością bezwzględną przekształcamy do postaci \[|x+1|\leq2\iff -2\leq x+1\leq2.\] Po odjęciu \(1\) otrzymujemy \[-3\leq x\leq1,\] czyli \(x\in[-3,1]\). Taki przedział przedstawia rysunek **A**.

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** I.6 i I.7 posługiwanie się pojęciem przedziału liczbowego oraz algebraiczna i geometryczna interpretacja wartości bezwzględnej.

**A.** \(9\)

Nierówność \(|x+5|<15\) jest równoważna układowi \[-15<x+5<15,\] czyli \[-20<x<10.\] Dodatnimi liczbami całkowitymi w tym przedziale są \(1,2,\ldots,9\), więc jest ich \(9\).

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** I.7 zdający stosuje geometryczną i algebraiczną interpretację wartości bezwzględnej oraz rozwiązuje nierówności z wartością bezwzględną.

**A.** \(|x-2|<5\)

Zaznaczony przedział ma środek \(2\) i promień \(5\): \[-3<x<7\iff -5<x-2<5\iff |x-2|<5.\]

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; dobieranie i tworzenie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.7 stosowanie geometrycznej i algebraicznej interpretacji wartości bezwzględnej oraz rozwiązywanie równań i nierówności z wartością bezwzględną.

**A.** \(( -\infty,-2]\cup[8,+\infty)\)

Nierówność \(|x-3|\ge5\) oznacza, że odległość liczby \(x\) od \(3\) jest nie mniejsza niż \(5\). Zatem \(x\le-2\) lub \(x\ge8\), czyli \[x\in(-\infty,-2]\cup[8,+\infty).\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I i II.1 sprawność rachunkowa oraz interpretowanie informacji przedstawionych graficznie. **Wymagania szczegółowe:** I.6-I.7 posługiwanie się przedziałami liczbowymi i rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną.

**B.** \(|x-1{,}5|\geq3{,}5\)

Nierówność \(|x-1{,}5|\geq3{,}5\) oznacza, że odległość liczby \(x\) od \(1{,}5\) jest nie mniejsza niż \(3{,}5\). Zatem \(x\leq-2\) lub \(x\geq5\), czyli \(x\in(-\infty,-2]\cup[5,+\infty)\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.7 zdający stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej oraz rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną.

\[x\in\left(-\frac{11}{3},\frac{14}{3}\right).\]

Korzystamy ze wskazówki: \[\sqrt{x^2+4x+4}=|x+2|,\qquad \sqrt{x^2-6x+9}=|x-3|.\] Nierówność przyjmuje postać \[|x+2|<\frac{25}{3}-|x-3|.\] Rozpatrujemy przedziały wyznaczone przez punkty \(-2\) i \(3\). Dla \(x<-2\): \[-x-2<\frac{25}{3}+x-3,\] \[x>-\frac{11}{3},\] czyli \(x\in\left(-\frac{11}{3},-2\right)\). Dla \(-2\leq x<3\): \[x+2<\frac{25}{3}+x-3,\] \[5<\frac{25}{3},\] co jest prawdziwe dla każdego \(x\in[-2,3)\). Dla \(x\geq3\): \[x+2<\frac{25}{3}-x+3,\] \[x<\frac{14}{3},\] czyli \(x\in\left[3,\frac{14}{3}\right)\). Suma otrzymanych przedziałów to \[x\in\left(-\frac{11}{3},\frac{14}{3}\right).\]

**4 pkt** – poprawne rozwiązanie nierówności i zapisanie zbioru \(\left(-\frac{11}{3},\frac{14}{3}\right)\) **3 pkt** – poprawne rozwiązanie nierówności w dwóch spośród trzech rozpatrywanych przedziałów **2 pkt** – zapisanie trzech przypadków wynikających z definicji wartości bezwzględnej albo równoważnego układu warunków **1 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci \(|x+2|<\frac{25}{3}-|x-3|\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** II.1) Zdający stosuje wzory skróconego mnożenia na \((a+b)^2\), \((a-b)^2\) oraz \(a^2-b^2\). III.R4) Zdający rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną.

\(x\in\left(-\frac{11}{3},\frac{14}{3}\right)\). Po zapisaniu \(\sqrt{(x+2)^{2}}=\lvert x+2\rvert\) oraz \(\sqrt{(x-3)^{2}}=\lvert x-3\rvert\) rozwiązujemy nierówność \(\lvert x+2\rvert+\lvert x-3\rvert\lt\frac{25}{3}\), rozpatrując przedziały wyznaczone przez liczby \(-2\) i \(3\).

**Krok \(1\).** Metoda: korzystamy ze wskazówki \(\sqrt{a^{2}}=\lvert a\rvert\). Najpierw zwijamy oba trójmiany do kwadratów dwumianów, a potem opuszczamy wartości bezwzględne w przedziałach wyznaczonych przez ich miejsca zerowe. **Krok \(2\).** Zwijamy trójmiany: \[x^{2}+4x+4=(x+2)^{2},\qquad x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}.\] Zatem \[\sqrt{x^{2}+4x+4}=\lvert x+2\rvert,\qquad \sqrt{x^{2}-6x+9}=\lvert x-3\rvert.\] **Krok \(3\).** Nierówność przyjmuje równoważną postać \[\lvert x+2\rvert\lt\frac{25}{3}-\lvert x-3\rvert,\qquad\text{czyli}\qquad \lvert x+2\rvert+\lvert x-3\rvert\lt\frac{25}{3}.\] **Krok \(4\).** Miejsca zerowe wyrażeń pod modułami to \(-2\) i \(3\). Dzielą one oś liczbową na trzy przedziały: \((-\infty,-2)\), \(\langle -2,3)\) oraz \(\langle 3,+\infty)\). Rozpatrujemy je kolejno. **Krok \(5\).** Przypadek \(x\lt -2\). Wtedy \(x+2\lt 0\) i \(x-3\lt 0\), więc \[-(x+2)-(x-3)\lt\frac{25}{3},\qquad -2x+1\lt\frac{25}{3},\qquad x\gt -\frac{11}{3}.\] Uwzględniając założenie tego przypadku, otrzymujemy \(x\in\left(-\frac{11}{3},-2\right)\). **Krok \(6\).** Przypadek \(-2\leqslant x\lt 3\). Wtedy \(x+2\geqslant 0\) i \(x-3\lt 0\), więc \[(x+2)-(x-3)=5\lt\frac{25}{3}.\] Nierówność jest prawdziwa niezależnie od \(x\), więc cały przedział \(\langle -2,3)\) należy do rozwiązania. **Krok \(7\).** Przypadek \(x\geqslant 3\). Wtedy oba wyrażenia są nieujemne, więc \[(x+2)+(x-3)\lt\frac{25}{3},\qquad 2x-1\lt\frac{25}{3},\qquad x\lt\frac{14}{3}.\] Stąd \(x\in\left\langle 3,\frac{14}{3}\right)\). **Krok \(8\).** Sumujemy zbiory z kroków \(5\)–\(7\): \[\left(-\frac{11}{3},-2\right)\cup\left\langle -2,3\right)\cup\left\langle 3,\frac{14}{3}\right)=\left(-\frac{11}{3},\ \frac{14}{3}\right).\] **Uwaga.** Wyrażenie \(\lvert x+2\rvert+\lvert x-3\rvert\) to suma odległości punktu \(x\) od \(-2\) i od \(3\). Dla \(x\) między nimi suma ta jest stale równa \(5\) — dlatego środkowy przypadek daje nierówność bez niewiadomej. **Odpowiedź.** \(x\in\left(-\frac{11}{3},\ \frac{14}{3}\right)\).

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x\in\left(-\frac{11}{3},\,\frac{14}{3}\right)\). **3 pkt** – rozwiązanie nierówności w dwóch spośród rozważanych przedziałów/przypadków (o ile rozpatruje nierówność w przedziałach/przypadkach, których suma jest równa \(\mathbb{R}\)/wyczerpujących zbiór \(\mathbb{R}\)) ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: \(x+2<\frac{25}{3}-\lvert x-3\rvert\) i \(x+2>-\left(\frac{25}{3}-\lvert x-3\rvert\right)\), a następnie w postaci równoważnej koniunkcji nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej: \(x-3<\frac{19}{3}-x\) i \(x-3>-\left(\frac{19}{3}-x\right)\) i \(x-3<x+\frac{31}{3}\) i \(x-3>-\left(x+\frac{31}{3}\right)\), ALBO – odczytanie z wykresów funkcji \(f\) oraz \(g\) pierwszych współrzędnych punktów ich przecięcia: \(x=-\frac{11}{3}\) oraz \(x=\frac{14}{3}\) i sprawdzenie rachunkiem poprawności odczytanych współrzędnych. **2 pkt** – zastosowanie definicji wartości bezwzględnej lub własności wartości bezwzględnej i zapisanie danej nierówności odpowiednio w trzech przedziałach: \((-\infty,\,-2)\), \(\langle-2,\,3)\), \(\langle 3,\,+\infty)\), lub w czterech przypadkach: \(x+2<0\) i \(x-3<0\), \(x+2<0\) i \(x-3\ge 0\), \(x+2\ge 0\) i \(x-3<0\), \(x+2\ge 0\) i \(x-3\ge 0\) (z dokładnością do domknięcia) ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: \(x+2<\frac{25}{3}-\lvert x-3\rvert\) i \(x+2>-\left(\frac{25}{3}-\lvert x-3\rvert\right)\), ALBO – narysowanie wykresów funkcji \(f(x)=\lvert x+2\rvert\) oraz \(g(x)=\frac{25}{3}-\lvert x-3\rvert\). **1 pkt** – przekształcenie danej nierówności do postaci \(\lvert x+2\rvert<\frac{25}{3}-\lvert x-3\rvert\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeśli w rozwiązaniu algebraicznym zdający popełni błąd przy zapisie nierówności tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków, ale konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeśli w rozwiązaniu graficznym zdający popełni jeden błąd przy rysowaniu wykresu funkcji \(f(x)=\lvert x+2\rvert\) albo \(g(x)=\frac{25}{3}-\lvert x-3\rvert\), ale otrzyma dwa punkty przecięcia i dalej konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie wyrażeń w postaci \(\lvert x+2\rvert\) oraz \(\lvert x-3\rvert\) oraz konsekwentną interpretację zbioru rozwiązań). 3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań \(x\in\left(-\frac{11}{3},\,\frac{14}{3}\right)\), ale nie sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych punktów przecięcia wykresów funkcji \(f\) i \(g\), to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R3.8) Zdający rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o poziomie trudności nie wyższym niż: \(||x+1|-2|=3\), \(|x+3|+|x-5|>12\).

**D.** \(x\in(3,7)\)

Korzystamy z własności wartości bezwzględnej: \[|x-5|<2\iff -2<x-5<2.\] Po dodaniu \(5\) do wszystkich stron otrzymujemy \[3<x<7,\] czyli \(x\in(3,7)\). Taki przedział przedstawia rysunek **D**.

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste - nierówność z wartością bezwzględną i zaznaczanie przedziału na osi.

\[x=-\frac83.\]

Rozpatrujemy dwa przypadki. Dla \(x<3\) mamy \(|x-3|=3-x\), więc \[3-x=2x+11,\qquad x=-\frac83.\] Otrzymana liczba spełnia warunek \(x<3\). Dla \(x\geq3\) mamy \(|x-3|=x-3\), zatem \[x-3=2x+11,\qquad x=-14,\] co nie spełnia założenia \(x\geq3\). Jedynym rozwiązaniem jest więc \(x=-\frac83\).

**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(x=-\frac83\) **2 pkt** – poprawne rozwiązanie obu równań liniowych wraz z odpowiednimi założeniami, lecz bez końcowej weryfikacji jednego kandydata **1 pkt** – poprawne zapisanie równania w jednym z przedziałów albo równoważnej alternatywy z warunkiem \(2x+11\geq0\) **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R3.8 rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną.

**C.** \(|x+2|\geq2\)

Zaznaczony zbiór jest równy \[(-\infty,-4]\cup[0,\infty).\] Jego końce są równo odległe od liczby \(-2\). Nierówność \[|x-a|\geq r\] jest równoważna warunkowi \(x\leq a-r\) lub \(x\geq a+r\). Dla \(a=-2\) i \(r=2\) otrzymujemy \[|x+2|\geq2.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** I.6 i I.7 posługiwanie się pojęciem przedziału liczbowego, zaznaczanie przedziałów na osi oraz stosowanie geometrycznej i algebraicznej interpretacji wartości bezwzględnej.

**B.** \(1\)

Dla \(x<4\) mamy \(|x-4|=4-x\), więc \[3x+4-x=0,\qquad 2x+4=0,\qquad x=-2,\] i warunek \(x<4\) jest spełniony. Dla \(x\geq4\) otrzymujemy \[3x+x-4=0,\qquad x=1,\] ale \(1\notin[4,\infty)\). Równanie ma zatem dokładnie jeden pierwiastek.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R3.8 rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną.

**B.** \(\left|\frac43x+5\right|<2\)

Dla odpowiedzi B otrzymujemy \[-2<\frac43x+5<2,\] \[-7<\frac43x<-3,\] \[-\frac{21}{4}<x<-\frac94.\] W tym przedziale leżą dokładnie trzy liczby całkowite: \(-5,-4,-3\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje wyłącznie odpowiedzi. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności - nierówność z wartością bezwzględną oraz całkowite punkty przedziału.

**B.** Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=0\).

Podstawmy \(t=|x|\), gdzie \(t\geq0\). Otrzymujemy \[|t-2|=t+2.\] Dla \(0\leq t<2\) mamy \(2-t=t+2\), więc \(t=0\). Dla \(t\geq2\) równanie \(t-2=t+2\) jest sprzeczne. Warunek \(|x|=0\) daje tylko \(x=0\).

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** R1.1 zdający wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną. **Alternatywnie R3.9:** zdający rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną.

**D.** Równanie ma trzy rozwiązania rzeczywiste.

Z równania \(\bigl||x-4|-2\bigr|=2\) otrzymujemy \[|x-4|-2=2\quad\text{lub}\quad |x-4|-2=-2.\] Stąd \(|x-4|=4\) lub \(|x-4|=0\), czyli \(x\in\{0,4,8\}\).

**1 pkt** – odpowiedź D **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** równania i nierówności - równanie z dwukrotnie występującą wartością bezwzględną.

\[x\in(-\infty,1]\cup[3,+\infty).\]

Rozkładamy trójmian: \[|x^2-3x+2|=|(x-1)(x-2)|=|x-1|\,|x-2|.\] Nierówność ma więc postać \[|x-1|\bigl(|x-2|-1\bigr)\geq0.\] Dla \(x=1\) jest spełniona. Dla \(x\neq1\) czynnik \(|x-1|\) jest dodatni, więc wystarczy rozwiązać \[|x-2|\geq1.\] Stąd \(x\leq1\) lub \(x\geq3\), czyli \(x\in(-\infty,1]\cup[3,+\infty)\).

**4 pkt** – poprawne podanie zbioru rozwiązań \(( -\infty,1]\cup[3,+\infty)\) **3 pkt** – poprawne rozwiązanie nierówności w rozpatrywanych przedziałach lub doprowadzenie do \(|x-2|\geq1\) z uwzględnieniem przypadku \(x=1\), bez poprawnego zapisu końcowego **2 pkt** – zapisanie nierówności \(|x-1|(|x-2|-1)\geq0\) albo poprawnych nierówności na wszystkich właściwych przedziałach **1 pkt** – poprawny rozkład \(|x^2-3x+2|=|x-1|\,|x-2|\) i istotne rozpoczęcie analizy znaków **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Klasyfikacja CKE:** nierówności z wartością bezwzględną - rozkład wielomianu, analiza znaku i zapis zbioru rozwiązań.

Należy zakodować cyfry \(1,5,3\).

Równanie jest równoważne alternatywie \[2(x+57)=x-39\qquad\text{lub}\qquad2(x+57)=-(x-39).\] W pierwszym przypadku \(x=-153\), w drugim \(x=-25\). Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą równanie jest więc \(n=-153\), a zatem \[|n|=153.\]

**2 pkt** – poprawne zakodowanie cyfr \(1,5,3\) **1 pkt** – wyznaczenie obu rozwiązań \(-153\) i \(-25\) albo poprawne wskazanie \(n=-153\), lecz błędne kodowanie **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.9 R - rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną.

Największą liczbą całkowitą jest \(512\); należy wpisać cyfry \(5\), \(1\), \(2\).

Obie strony nierówności są nieujemne, więc możemy je podnieść do kwadratu: \[x^2<(x-1025)^2=x^2-2050x+1025^2.\] Stąd \(2050x<1025^2\), czyli \(x<512{,}5\). Największą liczbą całkowitą spełniającą ten warunek jest \(512\).

**2 pkt** – zapisanie cyfr \(5\), \(1\), \(2\) **1 pkt** – doprowadzenie do warunku \(x<512{,}5\), bez poprawnego wskazania liczby **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** nierówności z wartością bezwzględną.

**C.** Funkcja ma dokładnie dwa miejsca zerowe: \(x=-1\) i \(x=7\).

Warunek \(f(x)=0\) ma postać \[|x-3|-4=0,\qquad |x-3|=4.\] Stąd \(x-3=4\) lub \(x-3=-4\), czyli \(x=7\) lub \(x=-1\).

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi. **Wymagania szczegółowe:** 3.9. R. Zdający rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o poziomie trudności nie wyższym niż \(|x+1|-2=3\), \(|x+3|+|x-5|>12\).

\[n=107.\]

Dla liczby naturalnej \(n\) mamy \(3n+1>0\). Upraszczamy wyrażenie pod wartością bezwzględną: \[\left|\frac{2n-10}{3n+1}-\frac23\right|=\left|\frac{3(2n-10)-2(3n+1)}{3(3n+1)}\right|=\frac{32}{3(3n+1)}.\] Nierówność jest więc równoważna kolejno \[\frac{32}{3(3n+1)}<\frac1{30},\qquad 3n+1>320,\qquad n>106\frac13.\] Najmniejszą liczbą naturalną spełniającą warunek jest \(107\).

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawny wynik \(n=107\) z uzasadnieniem **1 pkt** – poprawne uproszczenie lewej strony do \(\frac{32}{3(3n+1)}\) albo otrzymanie warunku \(3n+1>320\) **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi. **Wymagania szczegółowe:** 2.6. R. Zdający dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne; rozszerza i (w łatwych przykładach) skraca wyrażenia wymierne. 3.8. R. Zdający rozwiązuje proste nierówności wymierne.

**D.** \(k=9\).

Nierówność z wartością bezwzględną jest równoważna nierówności podwójnej: \[-10\leq 2x-8\leq 10.\] Po dodaniu \(8\) i podzieleniu stronami przez \(2\) otrzymujemy \[-1\leq x\leq 9.\] Zatem przedstawiony przedział to \([-1,9]\), więc \(k=9\).

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1. Liczby rzeczywiste - wartość bezwzględna, jej interpretacja geometryczna oraz zaznaczanie na osi zbiorów opisanych nierównościami (R1.1).

**A.** Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Dla \(x\leq0\) równanie ma postać \(x-2=1\), skąd \(x=3\), ale liczba ta nie należy do rozważanej części dziedziny. Dla \(x>0\) mamy \(|x+3|=x+3\), więc \[\left|\,|x+3|-4\,\right|=|x-1|.\] Równanie \(|x-1|=1\) daje \(x=0\) lub \(x=2\). Warunek \(x>0\) spełnia tylko \(x=2\).

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3. Równania i nierówności - rozwiązywanie równań i nierówności z wartością bezwzględną (R3.9).

\[x\in\left\langle-11,-1\right\rangle\cup\left\langle\frac{17}{3},+\infty\right).\]

Punkty \(-6\) i \(4\) dzielą oś liczbową na przedziały, w których usuwamy wartości bezwzględne. Dla \(x<-6\) otrzymujemy \[-x-6-2(-x+4)\leq2x-3,\] czyli \(x\geq-11\), zatem \(x\in\langle-11,-6)\). Dla \(-6\leq x<4\) mamy \[x+6-2(-x+4)\leq2x-3,\] czyli \(x\leq-1\), zatem \(x\in\langle-6,-1\rangle\). Dla \(x\geq4\) mamy \[x+6-2(x-4)\leq2x-3,\] czyli \(x\geq\frac{17}{3}\). Po połączeniu przedziałów otrzymujemy \[x\in\left\langle-11,-1\right\rangle\cup\left\langle\frac{17}{3},+\infty\right).\]

**4 pkt** – poprawny zbiór rozwiązań \(\left\langle-11,-1\right\rangle\cup\left\langle\frac{17}{3},+\infty\right)\) **3 pkt** – poprawne rozwiązanie dwóch z trzech przypadków i konsekwentne dokończenie zadania albo pojedynczy błąd rachunkowy nieprzekreślający metody **2 pkt** – poprawne zapisanie nierówności po usunięciu wartości bezwzględnych w rozpatrywanych przedziałach **1 pkt** – poprawne wyróżnienie przedziałów wyznaczonych przez punkty \(-6\) i \(4\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** Zdający rozwiązuje nierówności z wartością bezwzględną, rozpatrując przedziały wyznaczone przez miejsca zerowe wyrażeń pod modułami.

**A.** \(|x-7|\lt15\), czyli przedział \((-8,\ 22)\)

**Krok \(1\).** Na osi liczbowej zaznaczono przedział o końcach \(-8\) i \(22\), a dodatkowo opisano na niej punkt \(7\) — to sygnał, że chodzi o nierówność z wartością bezwzględną. Zapis \(|x-a|\lt r\) opisuje bowiem zbiór liczb odległych od punktu \(a\) o mniej niż \(r\), czyli przedział o środku \(a\) i promieniu \(r\). Naszym zadaniem jest odczytać z rysunku \(a\) i \(r\). **Krok \(2\).** Środek przedziału to średnia arytmetyczna jego końców: \[a=\frac{-8+22}{2}=\frac{14}{2}=7.\] Właśnie dlatego na osi zaznaczono liczbę \(7\). **Krok \(3\).** Promień to połowa długości przedziału: \[r=\frac{22-(-8)}{2}=\frac{30}{2}=15.\] **Krok \(4\).** Szukana nierówność ma więc postać \[|x-7|\lt15.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy, rozwiązując ją: \(|x-7|\lt15\) oznacza \(-15\lt x-7\lt15\), a po dodaniu \(7\) do każdej części otrzymujemy \(-8\lt x\lt22\) — dokładnie zaznaczony przedział. **Krok \(6\).** Odrzucamy pozostałe możliwości. Nierówność \(|x-7|\gt15\) opisuje to, co leży **na zewnątrz** przedziału. Nierówność \(|x-15|\lt7\) daje przedział o środku \(15\) i promieniu \(7\), czyli \(8\lt x\lt22\) — inny początek. Nierówność \(|x-15|\gt7\) opisuje zbiór \(x\lt8\) lub \(x\gt22\). **Uwaga.** Trzeba pilnować, co jest środkiem, a co promieniem: liczba odejmowana od \(x\) wewnątrz wartości bezwzględnej to środek przedziału, a liczba po prawej stronie nierówności to promień. Zamiana ich rolami prowadzi wprost do błędnej odpowiedzi **C**. **Odpowiedź.** A: \(|x-7|\lt15\), czyli \(-8\lt x\lt22\).

Zadanie 1. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

x≤−\(5\) lub x≥\(6\). Wyrażenia pod pierwiastkami są kwadratami, więc nierówność ma postać |x+\(2\)|+|x−\(3\)|≥\(11\). Punkty −\(2\) i \(3\) dzielą oś na przedziały; rozwiązanie przypadków daje (−∞,−\(5\)]∪[\(6\),∞).

**Krok \(1\).** Zanim zaczniemy cokolwiek przekształcać, przyglądamy się wyrażeniom pod pierwiastkami. \(x^2+4x+4\) oraz \(x^2-6x+9\) to kwadraty zupełne. To znaczy, że pierwiastki znikną — ale trzeba pamiętać, że \(\sqrt{t^2}=|t|\), a nie \(t\). Zadanie sprowadzi się więc do nierówności z wartościami bezwzględnymi. **Krok \(2\).** Ze wzorów skróconego mnożenia: \(x^2+4x+4=(x+2)^2\) oraz \(x^2-6x+9=(x-3)^2\). Zatem \[\sqrt{(x+2)^2}\geqslant11-\sqrt{(x-3)^2},\qquad |x+2|\geqslant11-|x-3|.\] **Krok \(3\).** Przenosimy moduł na lewą stronę: \[|x+2|+|x-3|\geqslant11.\] Zauważmy, że dziedziną jest cały zbiór \(\mathbb{R}\) — wyrażenia pod pierwiastkami są kwadratami, więc nigdy nie są ujemne. **Krok \(4\).** Dzielimy oś liczbową punktami zerowania wyrażeń pod modułami: \(x=-2\) i \(x=3\). Rozpatrujemy trzy przedziały. **Krok \(5\).** Przypadek \(x\lt-2\). Oba wyrażenia są ujemne: \[(-x-2)+(3-x)\geqslant11,\qquad 1-2x\geqslant11,\qquad -2x\geqslant10,\qquad x\leqslant-5.\] Część wspólna z przedziałem \((-\infty,-2)\) to \((-\infty,-5\rangle\). **Krok \(6\).** Przypadek \(-2\leqslant x\lt3\). Wtedy \(|x+2|=x+2\), \(|x-3|=3-x\): \[(x+2)+(3-x)=5\geqslant11,\] co jest fałszem niezależnie od \(x\). W tym przedziale nie ma rozwiązań. **Krok \(7\).** Przypadek \(x\geqslant3\). Oba wyrażenia są nieujemne: \[(x+2)+(x-3)\geqslant11,\qquad 2x-1\geqslant11,\qquad x\geqslant6.\] Część wspólna z przedziałem \(\langle3,+\infty)\) to \(\langle6,+\infty)\). **Krok \(8\).** Łączymy wyniki: \(x\in(-\infty,-5\rangle\cup\langle6,+\infty)\). **Krok \(9\).** Sprawdzenie krańców: dla \(x=-5\) mamy \(|-3|+|-8|=3+8=11\), a dla \(x=6\) mamy \(|8|+|3|=11\) — oba spełniają nierówność nieostrą, więc końce są domknięte. **Uwaga.** Najgroźniejsza pułapka to zapis \(\sqrt{(x+2)^2}=x+2\). Pierwiastek arytmetyczny jest zawsze nieujemny, więc poprawnie \(\sqrt{(x+2)^2}=|x+2|\); pominięcie modułu zmienia całe zadanie i prowadzi do złej odpowiedzi. **Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,-5\rangle\cup\langle6,+\infty)\).

**1 pkt** – zapisanie nierówności w postaci \(\lvert x+2\rvert+\lvert x-3\rvert\ge 11\). **2 pkt** – zapisanie odpowiednich nierówności w danych przedziałach albo zapisanie czterech przypadków. **3 pkt** – rozwiązanie wszystkich nierówności z uwzględnieniem danych przedziałów albo rozpatrzenie wszystkich czterech przypadków. **4 pkt** – poprawne rozwiązanie wszystkich trzech nierówności i wyznaczenie części wspólnych otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, popełnienie błędu w trzecim przypadku i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca; albo poprawne rozwiązanie nierówności tylko w dwóch przedziałach i wyznaczenie części wspólnych otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca; albo rozpatrzenie czterech przypadków, poprawne rozwiązanie nierówności i wyznaczenie części wspólnych otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, stwierdzenie, że czwarty jest niemożliwy, popełnienie błędu w trzecim przypadku i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca. **5 pkt** – zapisanie rozwiązania nierówności: \(x\in\left(-\infty,-5\right\rangle\cup\left\langle 6,+\infty\right)\). Jeżeli zdający zapisze nierówność w postaci \(x+2+x-3\ge 11\) i ją rozwiąże, to za rozwiązanie całego zadania otrzymuje \(1\) punkt. Jeżeli zdający rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami, to otrzymuje \(2\) punkty. Jeżeli zdający rozpatrzy cztery przypadki, rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach, stwierdzi, że czwarty przypadek jest niemożliwy, i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami, to otrzymuje \(2\) punkty. Jeżeli zdający błędnie podzieli zbiór liczb rzeczywistych na przedziały i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje maksymalnie \(3\) punkty. Jeżeli zdający wykorzysta interpretację geometryczną wartości bezwzględnej i graficznie wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności, to za rozwiązanie całego zadania otrzymuje \(5\) punktów.

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: nierówność pierwiastkowa sprowadzana do nierówności z wartościami bezwzględnymi.

**C.** \(|x-1|\leq2\)

Nierówność \(|x-a|\leq r\) opisuje przedział domknięty \(\langle a-r,a+r\rangle\) o środku \(a\) i promieniu \(r\). Dla przedziału \(\langle-1,3\rangle\) środkiem jest \[a=\frac{-1+3}{2}=1,\] a promieniem połowa długości: \[r=\frac{3-(-1)}{2}=2.\] **Odpowiedź.** \(|x-1|\leq2\), czyli odpowiedź **C**.

Zadanie 3. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

\[x\in(-\infty,-7]\cup\left[-1,\frac{11}{3}\right].\]

Wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi zmieniają znak w punktach \(x=-4\) oraz \(x=\frac52\). Te dwie liczby dzielą oś na trzy przedziały i w każdym z nich nierówność rozwiązujemy osobno. **Przypadek \(x<-4\).** Wtedy \(|2x-5|=5-2x\) oraz \(|x+4|=-x-4\), więc \[(5-2x)-(-x-4)\leq2-2x,\qquad 9-x\leq2-2x,\qquad x\leq-7.\] Częścią wspólną z rozpatrywanym przedziałem jest \((-\infty,-7]\). **Przypadek \(-4\leq x<\frac52\).** Wtedy \(|2x-5|=5-2x\) oraz \(|x+4|=x+4\), więc \[(5-2x)-(x+4)\leq2-2x,\qquad 1-3x\leq2-2x,\qquad x\geq-1.\] Częścią wspólną jest \(\left[-1,\frac52\right)\). **Przypadek \(x\geq\frac52\).** Wtedy \(|2x-5|=2x-5\) oraz \(|x+4|=x+4\), więc \[(2x-5)-(x+4)\leq2-2x,\qquad x-9\leq2-2x,\qquad 3x\leq11,\qquad x\leq\frac{11}{3}.\] Częścią wspólną jest \(\left[\frac52,\frac{11}{3}\right]\). Sumujemy rozwiązania z trzech przedziałów; dwa ostatnie sklejają się w jeden: \[(-\infty,-7]\cup\left[-1,\frac{11}{3}\right].\] **Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,-7]\cup\left[-1,\frac{11}{3}\right]\).

**1 pkt** – zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały \(\left(-\infty,-4\right)\), \(\left\langle-4,\tfrac{5}{2}\right)\), \(\left\langle\tfrac{5}{2},+\infty\right)\) albo zapisze cztery przypadki. Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, to przyznajemy \(0\) punktów; podobnie \(0\) punktów otrzymuje zdający, który błędnie zapisał cztery przypadki. **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zdający zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach albo zapisze nierówności w poszczególnych przypadkach. **3 pkt** – zdający poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko dla dwóch przedziałów, popełni błąd w trzecim i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca; albo zdający rozpatrzy cztery przypadki, poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, popełni błąd w trzecim przypadku oraz stwierdzi, że przypadek II. jest niemożliwy, i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca. **4 pkt** – zdający zapisze odpowiedź: \(x\le -7\) lub \(-1\le x\le\tfrac{11}{3}\). We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności nieostre (przedziały obustronnie domknięte). Jeżeli natomiast rozważy wszystkie nierówności ostre (przedziały otwarte), to przyznajemy za całe zadanie \(1\) punkt mniej, niż gdyby wyróżnił wszystkie przedziały poprawnie.

IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną. (IV.3.e.R)

A. x ∈ (−\(9\), \(1\))

Nierówność \(|x-a|<r\) opisuje zbiór liczb odległych od \(a\) o mniej niż \(r\), czyli przedział otwarty \((a-r,a+r)\). Tu \(|x+4|=|x-(-4)|<5\), więc \(a=-4\) i \(r=5\): \[-5<x+4<5,\qquad -9<x<1.\] Na osi jest to odcinek o końcach \(-9\) i \(1\) zaznaczonych kółkami pustymi. **Odpowiedź.** \(x\in(-9,1)\), czyli odpowiedź **A**.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wykorzystanie pojęcia wartości bezwzględnej i jej interpretacji geometrycznej do wskazania zbioru rozwiązań nierówności typu |x − a| < b (II.1.f).

x≤\(2\). Punkty −\(1\) i \(2\) dzielą oś na przedziały, w których usuwamy wartości bezwzględne. Po rozwiązaniu powstałych nierówności i przecięciu wyników z odpowiednimi przedziałami otrzymujemy (−∞,\(2\)].

**Krok \(1\).** Po lewej stronie są dwie wartości bezwzględne, po prawej zwykłe wyrażenie liniowe. Metoda jest standardowa: dzielimy oś liczbową punktami zerowania się wyrażeń spod modułów i w każdym z powstałych przedziałów rozwiązujemy nierówność bez modułów, a wynik przecinamy z tym przedziałem. **Krok \(2\).** Wyrażenie \(x-2\) zeruje się dla \(x=2\), a \(x+1\) dla \(x=-1\). Rozpatrujemy więc przedziały \((-\infty,-1)\), \(\langle-1,2)\) oraz \(\langle2,+\infty)\). **Krok \(3\).** Przypadek \(x\lt-1\). Oba wyrażenia są ujemne, więc \(|x-2|=2-x\) i \(|x+1|=-x-1\): \[(2-x)+(-x-1)\geqslant3x-3,\qquad 1-2x\geqslant3x-3,\qquad 4\geqslant5x,\qquad x\leqslant\tfrac45.\] Warunek \(x\leqslant\frac45\) jest spełniony przez każdą liczbę z przedziału \((-\infty,-1)\), więc cały ten przedział należy do rozwiązania. **Krok \(4\).** Przypadek \(-1\leqslant x\lt2\). Teraz \(|x-2|=2-x\), ale \(|x+1|=x+1\): \[(2-x)+(x+1)\geqslant3x-3,\qquad 3\geqslant3x-3,\qquad 6\geqslant3x,\qquad x\leqslant2.\] Cały przedział \(\langle-1,2)\) spełnia ten warunek. **Krok \(5\).** Przypadek \(x\geqslant2\). Oba wyrażenia są nieujemne: \[(x-2)+(x+1)\geqslant3x-3,\qquad 2x-1\geqslant3x-3,\qquad 2\geqslant x.\] Część wspólna warunku \(x\leqslant2\) z przedziałem \(\langle2,+\infty)\) to jeden punkt \(x=2\). **Krok \(6\).** Sumujemy wyniki trzech przypadków: \[(-\infty,-1)\cup\langle-1,2)\cup\{2\}=(-\infty,2\rangle.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie. Dla \(x=2\): lewa strona \(0+3=3\), prawa \(6-3=3\), więc \(3\geqslant3\) — spełnia. Dla \(x=3\): lewa \(1+4=5\), prawa \(9-3=6\), więc \(5\geqslant6\) jest fałszem — poza zbiorem, zgodnie z wynikiem. **Uwaga.** Kuszące jest podniesienie obu stron do kwadratu, ale prawa strona \(3x-3\) bywa ujemna, więc taka operacja nie jest równoważna. Metoda przedziałowa jest tu jedyną bezpieczną drogą. Pamiętaj też, by w każdym przypadku wziąć część wspólną z rozpatrywanym przedziałem. **Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,2\rangle\), czyli \(x\leqslant2\).

*Schemat oceniania I (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów)* **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały \([\ldots]\), \((-1,2)\), \((2,\infty)\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zdający zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach, np. \(-x+2-x-1\ge 3x-3\). **Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania** – zdający poprawnie rozwiąże wszystkie trzy nierówności i poprawnie wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, a w trzecim przypadku popełni błąd i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca; albo poprawnie rozwiąże nierówności tylko w dwóch przedziałach i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca. **4 pkt** – zdający zapisze odpowiedź: \(x\le 2\). *Schemat oceniania II (zapisanie czterech przypadków)* **1 pkt** – zdający zapisze cztery przypadki: \(\begin{cases}x-2\ge 0\\ x+1\ge 0\end{cases}\), \(\begin{cases}x-2\ge 0\\ x+1<0\end{cases}\), \(\begin{cases}x-2<0\\ x+1\ge 0\end{cases}\), \(\begin{cases}x-2<0\\ x+1<0\end{cases}\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zdający zapisze cztery układy nierówności: \(x-2+x+1\ge 3x-3\), \(x-2-x-1\ge 3x-3\), \(-x+2+x+1\ge 3x-3\), \(-x+2-x-1\ge 3x-3\). **Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania** – zdający poprawnie rozwiąże co najmniej trzy układy nierówności. **4 pkt** – zdający zapisze odpowiedź: \(x\le 2\). *Schemat oceniania III (graficznie)* **1 pkt** – zdający wyróżni przedziały: \((-1,2)\), \((2,\infty)\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zdający poprawnie zapisze wzór funkcji \(f\) w poszczególnych przedziałach, np. \(f(x)=-2x+1\) dla \(x<-1\), \(f(x)=3\) dla \(x\in(-1,2)\), \(f(x)=2x-1\) dla \(x\in(2,\infty)\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zdający narysuje wykres funkcji \(f\) i prostą o równaniu \(y=3x-3\). **4 pkt** – zdający zapisze przedział: \(x\le 2\). *Schemat oceniania IV* **1 pkt** – zdający wyróżni przedziały: \((-1,2)\), \((2,\infty)\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zdający zapisze wzór funkcji \(f\) w poszczególnych przedziałach, np. \(f(x)=-5x+4\) dla \(x<-1\), \(f(x)=-3x+6\) dla \(x\in(-1,2)\), \(f(x)=[\ldots]\) dla \(x\ge 2\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zdający narysuje wykres funkcji \(f\). **4 pkt** – zdający zapisze przedział: \(x\le 2\). Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, to za całe rozwiązanie otrzymuje \(0\) punktów. Jeżeli zdający rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami, to za całe rozwiązanie otrzymuje \(2\) punkty. We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności nieostre. Jeżeli natomiast rozważy wszystkie nierówności ostre, to otrzymuje za całe zadanie o \(1\) punkt mniej, niż gdyby zapisał wszystkie nierówności poprawnie.

III. Modelowanie matematyczne. Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną (III.3.e.R).

**A.** \(1\) i \(-4\)

Równanie \(|w|=5\) jest równoważne alternatywie \(w=5\) lub \(w=-5\), zatem \[2x+3=5\qquad\text{lub}\qquad 2x+3=-5.\] Z pierwszego równania \(2x=2\), czyli \(x=1\); z drugiego \(2x=-8\), czyli \(x=-4\). Sprawdzenie: \(|2\cdot1+3|=5\) oraz \(|2\cdot(-4)+3|=|-5|=5\). **Odpowiedź.** Liczby \(1\) i \(-4\), czyli odpowiedź **A**.

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** Zdający wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej do sprawdzenia, czy dane liczby są rozwiązaniami równania typu \(|x-a|=b\) (I.\(1\).f).

B. x = \(1\)

Wartość bezwzględna jest nieujemna, więc konieczne jest \(4x\ge0\), czyli \(x\ge0\). To od razu odrzuca liczby ujemne. Sprawdzamy pozostałe podane liczby: dla \(x=1\): \(|3\cdot1+1|=4=4\cdot1\) — równość zachodzi; dla \(x=2\): \(|3\cdot2+1|=7\), a \(4\cdot2=8\) — równość nie zachodzi. **Odpowiedź.** \(x=1\), czyli odpowiedź **B**.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wykorzystanie pojęcia wartości bezwzględnej do rozwiązania równania typu |x − a| = b (II.1.f).

**A.** \(\langle-11,3\rangle\)

Nierówność \(|x-a|\leq r\) opisuje przedział domknięty \(\langle a-r,a+r\rangle\). Tu \(|x+4|=|x-(-4)|\leq7\), więc \[-7\leq x+4\leq7,\qquad -11\leq x\leq3.\] Nierówność jest nieostra, więc oba końce należą do zbioru — na osi zaznaczamy je kropkami pełnymi. **Odpowiedź.** \(\langle-11,3\rangle\), czyli odpowiedź **A**.

**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** Zdający wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną; zaznacza na osi liczbowej zbiory opisane nierównością.

x≤−\(1\) lub x≥\(7\). Punkty \(2\) i \(5\) dzielą oś na przedziały, w których usuwamy wartości bezwzględne. Po rozwiązaniu trzech nierówności i przecięciu wyników z odpowiednimi przedziałami otrzymujemy (−∞,−\(1\)]∪[\(7\),∞).

**Krok \(1\).** W nierówności są dwie wartości bezwzględne z różnymi miejscami zerowymi, więc nie da się ich zdjąć jednym wzorem. Standardowa metoda: wyznaczamy miejsca zerowe wyrażeń pod modułami, dzielimy nimi oś liczbową na przedziały i w każdym przedziale opuszczamy moduły zgodnie ze znakiem. **Krok \(2\).** Miejsca zerowe: \(2x-4=0\) dla \(x=2\) oraz \(x-5=0\) dla \(x=5\). Dzielą one oś na trzy przedziały: \((-\infty,2)\), \(\langle2,5)\) i \(\langle5,+\infty)\). Korzystamy z definicji \(|u|=u\) dla \(u\geqslant0\) oraz \(|u|=-u\) dla \(u\lt0\). **Krok \(3\).** Przedział \(x\lt2\). Wtedy \(2x-4\lt0\) i \(x-5\lt0\), więc oba moduły zmieniają znak: \[(4-2x)+(5-x)\geqslant12,\qquad 9-3x\geqslant12,\qquad -3x\geqslant3,\qquad x\leqslant-1.\] Część wspólna z \((-\infty,2)\) to \(x\leqslant-1\). **Krok \(4\).** Przedział \(2\leqslant x\lt5\). Wtedy \(2x-4\geqslant0\), a \(x-5\lt0\): \[(2x-4)+(5-x)\geqslant12,\qquad x+1\geqslant12,\qquad x\geqslant11.\] Część wspólna z \(\langle2,5)\) jest pusta — w tym przedziale nie ma rozwiązań. **Krok \(5\).** Przedział \(x\geqslant5\). Oba wyrażenia są nieujemne: \[(2x-4)+(x-5)\geqslant12,\qquad 3x-9\geqslant12,\qquad 3x\geqslant21,\qquad x\geqslant7.\] Część wspólna z \(\langle5,+\infty)\) to \(x\geqslant7\). **Krok \(6\).** Zbiorem rozwiązań całej nierówności jest suma wyników z trzech przedziałów: \[x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle7,+\infty).\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie krańców: dla \(x=-1\) mamy \(|-6|+|-6|=12\), dla \(x=7\) mamy \(|10|+|2|=12\) — oba spełniają nierówność nieostrą. **Uwaga.** W kroku \(3\) dzielimy przez liczbę ujemną \(-3\), co odwraca zwrot nierówności. W każdym przedziale trzeba jeszcze wziąć część wspólną z tym przedziałem — bez tego w drugim przypadku niepoprawnie dopisalibyśmy \(x\geqslant11\). **Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle7,+\infty)\).

*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.* **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały \((-\infty,2)\), \((2,5)\), \((5,\infty)\) albo zapisze cztery przypadki: \(\begin{cases}2x-4\ge 0\\ x-5\ge 0\end{cases}\), \(\begin{cases}2x-4\ge 0\\ x-5<0\end{cases}\), \(\begin{cases}2x-4<0\\ x-5\ge 0\end{cases}\), \(\begin{cases}2x-4<0\\ x-5<0\end{cases}\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zdający zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach, np.: \(-2x+4-x+5\ge 12\), \(2x-4-x+5\ge 12\), \(2x-4+x-5\ge 12\). **Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)** – zdający poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, popełni błąd w trzecim przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca; albo zdający rozpatrzy cztery przypadki, poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, stwierdzi, że czwarty jest niemożliwy, popełni błąd w trzecim przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca. **Rozwiązanie pełne** – zdający zapisze odpowiedź: \(x\le -1\) lub \(x\ge 7\). Uwagi: jeżeli zdający rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami i kontynuuje rozwiązanie, to otrzymuje \(2\) punkty. Jeżeli zdający rozpatrzy cztery przypadki, rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach, stwierdzi, że czwarty przypadek jest niemożliwy i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami i kontynuuje rozwiązanie, to otrzymuje \(2\) punkty.

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: rozwiązanie nierówności z dwiema wartościami bezwzględnymi.

**B.** \(x=1\)

Wartość bezwzględna jest nieujemna, więc musi być \(x\ge0\); liczby ujemne odpadają od razu. Sprawdzamy pozostałe podane liczby: dla \(x=1\): \(|4\cdot1-5|=|-1|=1=x\) — równość zachodzi; dla \(x=2\): \(|4\cdot2-5|=3\), a \(x=2\) — równość nie zachodzi. **Odpowiedź.** \(x=1\), czyli odpowiedź **B**.

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje równanie z wartością bezwzględną.

C. |x + \(\frac{2}{3}\)| ≤ \(4\)

Przyjmujemy \(\pi\approx3{,}14\) i sprawdzamy kolejne nierówności. \(|\pi+1|\approx4{,}14\), a więc nie jest większe od \(5\). \(|\pi-1|\approx2{,}14\), a więc nie jest mniejsze od \(2\). \(\left|\pi+\tfrac23\right|\approx3{,}81\leq4\) — warunek spełniony. \(\left|\pi-\tfrac13\right|\approx2{,}81\), a więc nie jest nie mniejsze od \(3\). **Odpowiedź.** \(\left|x+\tfrac23\right|\leq4\), czyli odpowiedź **C**.

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wykorzystanie pojęcia wartości bezwzględnej.

**A.** \(|x+2|\leqslant3\)

Z rysunku odczytujemy, że zaznaczony przedział ma końce \(-5\) i \(1\), a oba końce są zaznaczone pełnymi kropkami, czyli należą do przedziału. Jest to więc zbiór \(\langle-5,1\rangle\). Nierówność \(|x-c|\leq r\) opisuje przedział \(\langle c-r,\,c+r\rangle\) o środku \(c\) i promieniu \(r\). Odczytujemy \[c=\frac{-5+1}{2}=-2,\qquad r=\frac{1-(-5)}{2}=3,\] zatem szukana nierówność to \(|x-(-2)|\leq3\), czyli \(|x+2|\leq3\). **Odpowiedź.** A. \(|x+2|\leqslant3\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** opisywanie przedziału liczbowego nierównością z wartością bezwzględną, z odczytem końców z osi liczbowej Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

A

Nierówność z wartością bezwzględną \(|x-a|\geq r\) opisuje zbiór punktów osi liczbowej odległych od \(a\) o co najmniej \(r\), czyli sumę dwóch półprostych domkniętych. Tutaj \(a=3\) i \(r=1\), więc \[|x-3|\geq1\iff x-3\leq-1\ \text{ lub }\ x-3\geq1,\] czyli \[x\leq2\quad\text{lub}\quad x\geq4.\] Zbiorem rozwiązań jest \((-\infty,2\rangle\cup\langle4,+\infty)\). Na rysunku odczytujemy cztery propozycje. Zaznaczeniu dwóch półprostych: w lewo od punktu \(2\) i w prawo od punktu \(4\), z zamalowanymi końcami \(2\) i \(4\), odpowiada wyłącznie rysunek A. Rysunek B przedstawia przedział \(\langle2,4\rangle\) (dopełnienie szukanego zbioru), rysunek C ma zły lewy koniec \(-4\), a rysunek D pomija półprostą w lewo. **Odpowiedź.** A.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną i rozpoznawanie zbioru rozwiązań przedstawionego na osi liczbowej Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

B. Zbiorem rozwiązań jest \((-\infty,-1]\cup[5,+\infty)\).

**Krok \(1\).** W nierówności niewiadoma siedzi pod wartością bezwzględną. Najwygodniej czytać ją geometrycznie: \(|x-2|\) to odległość liczby \(x\) od liczby \(2\) na osi liczbowej. Warunek \(|x-2|\geqslant3\) znaczy więc: liczba \(x\) jest oddalona od \(2\) o co najmniej \(3\) jednostki. **Krok \(2\).** Odmierzamy od punktu \(2\) po \(3\) jednostki w obie strony: \[2-3=-1,\qquad 2+3=5.\] Liczby \(-1\) i \(5\) są dokładnie w odległości \(3\) od \(2\). **Krok \(3\).** Liczby leżące pomiędzy \(-1\) a \(5\) są od \(2\) oddalone o mniej niż \(3\), więc nierówności nie spełniają. Spełniają ją liczby leżące na zewnątrz, a także same końce \(-1\) i \(5\), bo nierówność jest nieostra. **Krok \(4\).** Ten sam wynik rachunkiem, przez rozbicie na dwa przypadki: \[|x-2|\geqslant3\iff x-2\geqslant3\ \ \text{lub}\ \ x-2\leqslant-3,\] czyli \(x\geqslant5\) lub \(x\leqslant-1\). **Krok \(5\).** Zbiór rozwiązań to suma dwóch półprostych: \[x\in(-\infty,-1]\cup[5,+\infty).\] **Krok \(6\).** Szukamy więc rysunku, na którym zaznaczono dwie półproste: jedną biegnącą w lewo od \(-1\), drugą w prawo od \(5\), z zamalowanymi (należącymi do zbioru) końcami w \(-1\) i \(5\). Tak wygląda rysunek **B**. **Uwaga.** Znak \(\geqslant\) jest nieostry, więc końce należą do zbioru — kółka na rysunku muszą być zamalowane. Częsty błąd to pomylenie tego zbioru z rozwiązaniem nierówności \(|x-2|\leqslant3\), czyli z odcinkiem \([-1,5]\) — to zbiór dokładnie odwrotny. **Odpowiedź.** B — zbiorem rozwiązań jest \((-\infty,-1]\cup[5,+\infty)\).

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – interpretuje rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną na osi liczbowej.

C

Nierówność z wartością bezwzględną \(|2-x|\leqslant3\) zapisujemy jako nierówność podwójną: \[-3\leqslant2-x\leqslant3.\] Od każdej ze stron odejmujemy \(2\): \[-5\leqslant-x\leqslant1,\] a po pomnożeniu przez \(-1\), co odwraca zwroty nierówności: \[-1\leqslant x\leqslant5.\] Ten sam wynik daje interpretacja geometryczna: \(|2-x|=|x-2|\) jest odległością liczby \(x\) od liczby \(2\) na osi liczbowej, a warunek „odległość nie większa niż \(3\)” opisuje przedział o środku \(2\) i promieniu \(3\). Zbiorem rozwiązań jest więc przedział domknięty \(\langle-1,5\rangle\); na rysunku zaznaczono go — wraz z zamalowanymi końcami — w wierszu **C**. **Odpowiedź.** C

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: C.

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Funkcje.

Zbiorem rozwiązań jest przedział [−\(3\),\(1\)]. Punkty −\(2\) i \(1\) dzielą oś na przedziały, w których usuwamy wartości bezwzględne. Otrzymujemy kolejno warunki x≥−\(3\), x≤\(1\) oraz x≤\(1\); po przecięciu z odpowiednimi przedziałami i połączeniu wyników dostajemy [−\(3\),\(1\)].

**Krok \(1\).** W nierówności występują dwie wartości bezwzględne. Nie da się ich zdjąć jednym ruchem — standardowa metoda to podzielenie osi liczbowej na przedziały punktami, w których wyrażenia pod modułami zmieniają znak, i rozpatrzenie każdego przedziału osobno. **Krok \(2\).** Wyznaczamy te punkty: \(2x+4=0\) dla \(x=-2\), a \(x-1=0\) dla \(x=1\). Oś dzieli się więc na trzy przedziały: \((-\infty,-2)\), \(\langle-2,1)\) oraz \(\langle1,+\infty)\). **Krok \(3\).** Przypadek \(x\lt-2\). Wtedy \(2x+4\lt0\) i \(x-1\lt0\), więc oba moduły zdejmujemy ze zmianą znaku: \[-(2x+4)-(x-1)\leqslant6,\qquad -2x-4-x+1\leqslant6,\qquad -3x\leqslant9,\qquad x\geqslant-3.\] Bierzemy część wspólną z rozpatrywanym przedziałem: \(x\in\langle-3,-2)\). **Krok \(4\).** Przypadek \(-2\leqslant x\lt1\). Teraz \(2x+4\geqslant0\), ale \(x-1\lt0\): \[(2x+4)-(x-1)\leqslant6,\qquad x+5\leqslant6,\qquad x\leqslant1.\] Część wspólna z przedziałem: \(x\in\langle-2,1)\) — cały przedział. **Krok \(5\).** Przypadek \(x\geqslant1\). Oba wyrażenia są nieujemne: \[(2x+4)+(x-1)\leqslant6,\qquad 3x+3\leqslant6,\qquad x\leqslant1.\] Część wspólna z przedziałem \(\langle1,+\infty)\) to jeden punkt: \(x=1\). **Krok \(6\).** Łączymy wyniki z trzech przypadków (bierzemy sumę zbiorów): \[\langle-3,-2)\cup\langle-2,1)\cup\{1\}=\langle-3,1\rangle.\] **Krok \(7\).** Kontrola na krańcach i wewnątrz. Dla \(x=-3\): \(|-2|+|-4|=2+4=6\leqslant6\) — spełnia. Dla \(x=1\): \(|6|+|0|=6\leqslant6\) — spełnia. Dla \(x=2\): \(|8|+|1|=9\) — nie spełnia, więc przedział na pewno kończy się w \(1\). **Uwaga.** Najczęstszy błąd to rozwiązanie trzech nierówności i podanie sumy ich zbiorów rozwiązań bez przecięcia z odpowiednim przedziałem. W trzecim przypadku warunek \(x\leqslant1\) sam w sobie obejmowałby całą półprostą, a przecież rozważaliśmy tam tylko \(x\geqslant1\) — dlatego zostaje wyłącznie \(x=1\). **Odpowiedź.** \(x\in\langle-3,1\rangle\).

Schemat oceniania (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów, zapisanie czterech przypadków) **1 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały […] albo zapisze cztery przypadki […]. **2 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach, np. […]. **3 pkt** – rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe): zdający poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, popełni błąd w trzecim przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca, albo zdający poprawnie rozwiąże nierówności tylko w dwóch przedziałach i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca, albo zdający rozpatrzy cztery przypadki, poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, stwierdzi, że jeden jest niemożliwy, popełni błąd w trzecim przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca. **4 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający zapisze odpowiedź \(x\in(-3,1)\). Schemat oceniania (graficznie) **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający wyróżni przedziały […]. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający zapisze wzór funkcji \(f\) w poszczególnych przedziałach, np. […]. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający narysuje wykres funkcji \(f\) i prostą o równaniu \(y=6\). **4 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający zapisze odpowiedź \(x\in(-3,1)\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną.

**C.** \(x\in(-\infty,-12)\cup(-2,+\infty)\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy nierówność z wartością bezwzględną w postaci \(|x-a|\gt r\). Taka nierówność mówi, że odległość liczby \(x\) od liczby \(a\) jest większa niż \(r\). Tutaj \(|x+7|=|x-(-7)|\), więc chodzi o liczby oddalone od \(-7\) o więcej niż \(5\). **Krok \(2\).** Zapisujemy to bez wartości bezwzględnej. Warunek \(|x+7|\gt5\) jest spełniony w dwóch przypadkach: \[x+7\gt5\qquad\text{lub}\qquad x+7\lt-5.\] **Krok \(3\).** Rozwiązujemy każdy z nich osobno: \[x+7\gt5\iff x\gt-2,\qquad x+7\lt-5\iff x\lt-12.\] **Krok \(4\).** Zbiorem rozwiązań jest suma tych dwóch zbiorów: \[x\in(-\infty,-12)\cup(-2,+\infty).\] Na rysunku odpowiada temu para półprostych oddalonych od punktu \(-7\), a końce \(-12\) i \(-2\) zaznaczamy kółkami pustymi, bo nierówność jest ostra. **Krok \(5\).** Sprawdzamy dwiema liczbami: dla \(x=0\) mamy \(|0+7|=7\gt5\), więc \(0\) należy do zbioru; dla \(x=-7\) mamy \(|-7+7|=0\), a warunek \(0\gt5\) nie zachodzi, więc \(-7\) do zbioru nie należy. Zgadza się z otrzymanym wynikiem. **Uwaga.** Znak \(\gt\) daje sumę dwóch rozłącznych przedziałów, czyli liczby leżące na zewnątrz odcinka, a nie jeden przedział. Gdyby w zadaniu był znak \(\lt\), rozwiązaniem byłby jeden przedział \((-12,-2)\). **Odpowiedź.** C, czyli \(x\in(-\infty,-12)\cup(-2,+\infty)\).

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wykorzystanie interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej do wskazania zbioru rozwiązań nierówności typu |x − a| ≥ b.

x∈(−∞,−\(\frac{5}{3}\))∪(\(1\),∞). Punkty −\(1\) i \(2\) dzielą oś na przedziały, w których usuwamy wartości bezwzględne. Po rozwiązaniu powstałych nierówności i przecięciu wyników z odpowiednimi przedziałami dostajemy podany zbiór.

Miejsca zerowe wyrażeń pod wartością bezwzględną to \(x=-1\) i \(x=2\). Dzielą one oś liczbową na trzy przedziały; w każdym z nich opuszczamy wartości bezwzględne zgodnie ze znakiem. Dla \(x<-1\): \(-(2x+2)-(x-2)>5\), czyli \(-3x>5\), stąd \(x<-\tfrac53\). Częścią wspólną z przedziałem jest \(\left(-\infty,-\tfrac53\right)\). Dla \(-1\leq x<2\): \((2x+2)-(x-2)>5\), czyli \(x+4>5\), stąd \(x>1\). Częścią wspólną jest \((1,2)\). Dla \(x\geq2\): \((2x+2)+(x-2)>5\), czyli \(3x>5\), stąd \(x>\tfrac53\). Częścią wspólną jest \([2,+\infty)\). Sumujemy otrzymane zbiory. **Odpowiedź.** \(x\in\left(-\infty,-\tfrac53\right)\cup(1,+\infty)\).

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: rozwiązanie nierówności z dwiema wartościami bezwzględnymi.

\[x\in\left(-\frac{17}{5},\,-\frac73\right).\]

Zauważmy najpierw, że \(|3x+9|=3|x+3|\), więc lewa strona upraszcza się: \[|x+3|+3|x+3|=4|x+3|.\] Nierówność przyjmuje postać \[4|x+3|<|x+5|.\] Obie strony są nieujemne, więc wolno je podnieść do kwadratu: \[16(x+3)^2<(x+5)^2,\] \[16x^2+96x+144<x^2+10x+25,\qquad 15x^2+86x+119<0.\] Wyróżnik wynosi \(\Delta=7396-7140=256=16^2\), więc \[x=\frac{-86-16}{30}=-\frac{17}{5}\qquad\text{oraz}\qquad x=\frac{-86+16}{30}=-\frac73.\] Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc trójmian jest ujemny między pierwiastkami: \[x\in\left(-\frac{17}{5},-\frac73\right).\] **Odpowiedź.** \(x\in\left(-\frac{17}{5},-\frac73\right)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **2.1. (1 pkt)** – […]: \(-4x-12<x+5\) dla \(x\in\langle-5,-3)\), \(4x+12<x+5\) dla \(x\in\langle-3,\infty)\). **2.2. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności liniowych bez uwzględniania ograniczeń: \(x>-\frac{7}{3}\), \(x>-\frac{17}{5}\), \(x<-\frac{7}{3}\). **2.3. (1 pkt)** – uwzględnienie ograniczeń, tzn. zapisanie zbiorów rozwiązań poszczególnych nierówności: zbiór pusty, \(\left(-\frac{17}{5},-3\right)\), \(\left\langle-3,-\frac{7}{3}\right)\). **2.4. (1 pkt)** – wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności z wartością bezwzględną: \(\left(-\frac{17}{5},-\frac{7}{3}\right)\). **II sposób rozwiązania:** **2.1. (1 pkt)** – zapisanie danej nierówności w postaci: \(4\lvert x+3\rvert<x+5\). **2.2. (1 pkt)** – podniesienie obu stron nierówności do drugiej potęgi: \(4^{2}\cdot(x+3)^{2}<(x+5)^{2}\). **2.3. (1 pkt)** – doprowadzenie nierówności do postaci iloczynowej: \((3x+7)\cdot(5x+17)<0\) lub \(15\left(x+\frac{17}{5}\right)\left(x+\frac{7}{3}\right)<0\). Punkt przyznajemy, gdy zdający zapisze nierówność w postaci ogólnej i obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego. **2.4. (1 pkt)** – zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: \(x\in\left(-\frac{17}{5},-\frac{7}{3}\right)\). **Metoda graficzna.** **2.1. (1 pkt)** – zapisanie danej nierówności w postaci: \(4\lvert x+3\rvert<x+5\). **2.2. (1 pkt)** – sporządzenie wykresów funkcji \(f(x)=4\lvert x+3\rvert\) i \(g(x)=x+5\). **2.3. (1 pkt)** – wyznaczenie odciętych punktów wspólnych wykresów funkcji \(f\) i \(g\). **2.4. (1 pkt)** – zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: \(\left(-\frac{17}{5},-\frac{7}{3}\right)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(x\in\left(\frac{8}{5},\frac{8}{3}\right)\).

**Krok \(1\).** Nierówność \(|x-2|+|3x-6|\lt|x|\) wygląda na trzy niezależne wartości bezwzględne, ale pierwsze dwie są ze sobą związane. Zauważmy, że \(3x-6=3(x-2)\), więc \[|3x-6|=|3|\cdot|x-2|=3|x-2|.\] **Krok \(2\).** Lewa strona redukuje się do jednego wyrażenia: \[|x-2|+3|x-2|=4|x-2|,\] więc nierówność przyjmuje prostą postać \[4|x-2|\lt |x|.\] **Krok \(3\).** Obie strony są nieujemne (wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna), a dla liczb nieujemnych nierówność zachowuje się przy podnoszeniu do kwadratu. Możemy więc obie strony podnieść do kwadratu i pozbyć się modułów, bo \(|a|^2=a^2\): \[16(x-2)^2\lt x^2.\] **Krok \(4\).** Przenosimy wszystko na lewą stronę i rozkładamy różnicę kwadratów \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), gdzie \(a=4(x-2)\), \(b=x\): \[\bigl(4(x-2)\bigr)^2-x^2\lt 0,\] \[\bigl(4x-8-x\bigr)\bigl(4x-8+x\bigr)\lt 0,\] \[(3x-8)(5x-8)\lt 0.\] **Krok \(5\).** Mamy iloczyn dwóch wyrażeń liniowych. Jego miejsca zerowe to \[3x-8=0\Rightarrow x=\frac{8}{3},\qquad 5x-8=0\Rightarrow x=\frac{8}{5}.\] Po wymnożeniu współczynnik przy \(x^2\) byłby równy \(15\gt 0\), więc wykres to parabola ramionami do góry, a wartości ujemne przyjmuje ona między pierwiastkami. **Krok \(6\).** Ponieważ \(\frac{8}{5}=1{,}6\) oraz \(\frac{8}{3}\approx 2{,}67\), rozwiązaniem jest \[x\in\left(\frac{8}{5},\frac{8}{3}\right).\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie na liczbie z wnętrza przedziału, na przykład \(x=2\): lewa strona \(|2-2|+|6-6|=0\), prawa \(|2|=2\), a \(0\lt 2\). Zgadza się. **Uwaga.** Podnoszenie nierówności do kwadratu jest tu dozwolone tylko dlatego, że obie strony są nieujemne. Gdyby po jednej stronie mogła stać liczba ujemna, trzeba by rozważyć przypadki \(x\lt 0\), \(0\le x\lt 2\) i \(x\ge 2\). Nierówność jest ostra, więc końce przedziału do rozwiązania nie należą. **Odpowiedź.** \(x\in\left(\frac{8}{5},\frac{8}{3}\right)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* \(\lvert 3x-6\rvert=3\cdot\lvert x-2\rvert\), więc nierówność przyjmuje postać: \(4\lvert x-2\rvert<\lvert x\rvert\). Rozwiązanie nierówności: \[\begin{cases}-4(x-2)<-x & \text{gdy}\ x\in(-\infty,0)\\ -4(x-2)<x & \text{gdy}\ x\in\langle 0,2)\\ 4(x-2)<x & \text{gdy}\ x\in\langle 2,\infty)\end{cases}\] \[\begin{cases}x>\frac{8}{3} & \text{gdy}\ x\in(-\infty,0)\\ x>\frac{8}{5} & \text{gdy}\ x\in\langle 0,2)\\ x<\frac{8}{3} & \text{gdy}\ x\in\langle 2,\infty)\end{cases}\] W przedziale \((-\infty,0)\) nierówność nie ma rozwiązania. Rozwiązaniem nierówności w przedziale \(\langle 0,2)\) są liczby rzeczywiste należące do przedziału \(\left(\frac{8}{5},2\right)\), natomiast rozwiązaniem nierówności w przedziale \(\langle 2,\infty)\) są liczby rzeczywiste należące do przedziału \(\left\langle 2,\frac{8}{3}\right)\). Rozwiązaniem nierówności \(\lvert x-2\rvert+\lvert 3x-6\rvert<\lvert x\rvert\) jest więc przedział \(\left(\frac{8}{5},\frac{8}{3}\right)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Dla \(x\in(-\infty,-2)\) jest \(f(x)=3\), więc zbiorem wartości jest \(\{3\}\). b) Wykresem jest łamana: \(f(x)=3\) dla \(x\lt-2\), \(f(x)=-2x-1\) dla \(-2\leqslant x\lt1\), \(f(x)=-3\) dla \(x\geqslant1\). c) Jedyne miejsce zerowe: \(x=-\dfrac12\). d) Równanie \(f(x)=m\) nie ma rozwiązania dla \(m\in(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)\).

**Krok \(1\).** We wzorze są dwie wartości bezwzględne. Standardowa metoda: znajdujemy miejsca, w których wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi zerują się, czyli \(x=1\) oraz \(x=-2\), i dzielimy oś liczbową na trzy przedziały. W każdym z nich opuszczamy wartości bezwzględne i dostajemy zwykły wzór liniowy. **Krok \(2\).** Przedział \(x\lt-2\). Wtedy \(x-1\lt0\), więc \(|x-1|=-(x-1)\), oraz \(x+2\lt0\), więc \(|x+2|=-(x+2)\). Stąd \[f(x)=-(x-1)+(x+2)=-x+1+x+2=3.\] **Krok \(3\).** a) Na całej półprostej \((-\infty,-2)\) funkcja jest stała i równa \(3\), więc jej zbiorem wartości na tym przedziale jest zbiór jednoelementowy \(\{3\}\). **Krok \(4\).** Przedział \(-2\leqslant x\lt1\). Teraz \(x-1\lt0\), więc \(|x-1|=1-x\), natomiast \(x+2\geqslant0\), więc \(|x+2|=x+2\). Stąd \[f(x)=(1-x)-(x+2)=-2x-1.\] **Krok \(5\).** Przedział \(x\geqslant1\). Oba wyrażenia są nieujemne, więc \[f(x)=(x-1)-(x+2)=-3.\] Zbieramy wszystko w jeden wzór: \[f(x)=\begin{cases}3\quad\text{dla } x\lt-2,\\ -2x-1\quad\text{dla } -2\leqslant x\lt1,\\ -3\quad\text{dla } x\geqslant1.\end{cases}\] **Krok \(6\).** b) Wykres składa się z trzech kawałków: poziomej półprostej \(y=3\) biegnącej w lewo od punktu \((-2,3)\), odcinka łączącego \((-2,3)\) z \((1,-3)\) (bo \(f(-2)=3\) i \(f(1)=-3\) z wzoru \(-2x-1\)) oraz poziomej półprostej \(y=-3\) biegnącej w prawo od punktu \((1,-3)\). Jest to łamana schodząca z poziomu \(3\) na poziom \(-3\). **Krok \(7\).** c) Miejsca zerowe. Na skrajnych kawałkach funkcja przyjmuje wartości \(3\) i \(-3\), więc tam zera nie ma. Zostaje środkowy kawałek: \[-2x-1=0\ \Longrightarrow\ x=-\tfrac12,\] a liczba \(-\tfrac12\) rzeczywiście należy do przedziału \(\langle-2,1)\). Jedyne miejsce zerowe to \(x=-\tfrac12\). **Krok \(8\).** d) Z wykresu widać, że funkcja przyjmuje wszystkie wartości od \(-3\) do \(3\) włącznie i żadnych innych, czyli jej zbiorem wartości jest \(\langle-3,3\rangle\). Równanie \(f(x)=m\) (graficznie: przecięcie wykresu z poziomą prostą \(y=m\)) ma rozwiązanie dokładnie wtedy, gdy \(m\) należy do zbioru wartości. Nie ma rozwiązania, gdy \[m\lt-3\quad\text{lub}\quad m\gt3.\] **Uwaga.** Wartości \(-3\) i \(3\) są przyjmowane (na półprostych), więc do odpowiedzi w podpunkcie d) ich nie wliczamy. Nierówności muszą tu być ostre. **Odpowiedź.** a) \(\{3\}\); b) wykres to łamana: \(y=3\) dla \(x\lt-2\), \(y=-2x-1\) dla \(-2\leqslant x\lt1\), \(y=-3\) dla \(x\geqslant1\); c) \(x=-\dfrac12\); d) \(m\in(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* a) Niech \(x\in(-\infty,-2)\), wtedy: \(x-1<0\), czyli \(\lvert x-1\rvert=-(x-1)\) oraz \(x+2<0\), czyli \(\lvert x+2\rvert=-(x+2)\). Zatem dla \(x\in(-\infty,-2)\) otrzymuję: \(f(x)=-(x-1)-\left(-(x+2)\right)=-x+1+x+2=3\). Funkcja \(f\) dla \(x\in(-\infty,-2)\) jest funkcją stałą, a jej zbiorem wartości jest zbiór \(\{3\}\). b) Po zastosowaniu definicji wartości bezwzględnej funkcję \(f\) zapisuję w następującej postaci: \[f(x)=\begin{cases}3 & \text{dla}\ x\in(-\infty,-2)\\ -2x-1 & \text{dla}\ x\in\langle-2,1)\\ -3 & \text{dla}\ x\in\langle 1,\infty)\end{cases}\] Szkicuję wykres funkcji \(f\). […] Funkcja ma jedno miejsce zerowe w przedziale \((-2,1)\) (co widać na sporządzonym wykresie). Miejsce zerowe funkcji \(f\) wyznaczam, korzystając z jej wzoru w tym przedziale: \(-2x-1=0\), stąd \(x_{0}=-\frac{1}{2}\). c) Równanie \(f(x)=m\) nie ma rozwiązań, gdy prosta o równaniu \(y=m\) nie przecina wykresu funkcji \(f\), czyli dla \(m<-3\) lub \(m>3\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.