Szereg geometryczny — suma szeregu zbieżnego i warunek zbieżności w zadaniach maturalnych

**A.** \(\displaystyle \frac{5+3\sqrt{3}}{4}\)

Iloraz ciągu jest równy \(q=\sqrt{3}-1\), zatem \(\lvert q\rvert<1\). Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, otrzymujemy \[S=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{4}}{2-\sqrt{3}}=\frac{5+3\sqrt{3}}{4}.\]

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymagania określone w podstawie programowej **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.3R) Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.

\[a_{n}=7\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.\]

Ciąg jest nieskończonym ciągiem geometrycznym, którego suma wszystkich wyrazów istnieje, więc \(a_1\ne0\) oraz \(|q|<1\); dopiero przy tym założeniu wolno pisać \(S=\frac{a_1}{1-q}\). Zatem \[\frac{a_1}{1-q}=14,\qquad a_1=14(1-q).\] Sześciany wyrazów, czyli \(a_1^{3},a_1^{3}q^{3},a_1^{3}q^{6},\ldots\), też tworzą ciąg geometryczny — o pierwszym wyrazie \(a_1^{3}\) i ilorazie \(q^{3}\). Z \(|q|<1\) wynika \(|q^{3}|<1\), więc i ten szereg jest zbieżny: \[\frac{a_1^{3}}{1-q^{3}}=392.\] Podstawiamy \(a_1=14(1-q)\) i korzystamy z \(1-q^{3}=(1-q)(1+q+q^{2})\): \[\frac{2744(1-q)^{3}}{(1-q)(1+q+q^{2})}=392,\qquad \frac{7(1-q)^{2}}{1+q+q^{2}}=1.\] Stąd \(7-14q+7q^{2}=1+q+q^{2}\), czyli \(6q^{2}-15q+6=0\), a po podzieleniu przez \(3\) \[2q^{2}-5q+2=0,\qquad q=2\ \text{albo}\ q=\frac12.\] Wartość \(q=2\) odrzucamy, bo nie spełnia warunku \(|q|<1\). Dla \(q=\frac12\) otrzymujemy \(a_1=14\cdot\frac12=7\). **Odpowiedź.** \(a_n=7\cdot\left(\frac12\right)^{n-1}\)

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie \(a_1\) w zależności od \(q\): \(a_1=14(1-q)\) ALBO zapisanie dwóch równań z dwiema niewiadomymi \(a_1\) oraz \(q\), które wynikają z warunków dotyczących sumy wszystkich wyrazów ciągu i sumy sześcianów wszystkich wyrazów ciągu, np. \(\frac{a_1}{1-q}=14\) oraz \(\frac{a_1^{3}}{1-q^{3}}=392\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\) (lub \(a_1\)), np. \(\frac{\left[14\cdot(1-q)\right]^{3}}{1-q^{3}}=392\), \(\frac{a_1^{3}}{1-\left(1-\frac{a_1}{14}\right)^{3}}=392\). **3 pkt** – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(q\) (lub \(a_1\)). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(a_n=7\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\), \(a_n=14\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający popełnia w rozwiązaniu błędy rachunkowe, w wyniku których otrzymuje równanie z jedną niewiadomą \(q\), które nie ma rozwiązań spełniających warunek \(\lvert q\rvert<1\), to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający zapisuje sumę wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego jako sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu i na tym opiera swoje rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

**A.** \(\displaystyle \frac{3}{4}\)

Iloraz \(q=\frac23\) spełnia warunek \(|q|<1\), więc szereg geometryczny jest zbieżny i jego suma wyraża się wzorem \(S=\frac{a_1}{1-q}\). Podstawiamy dane: \[\frac94=\frac{a_1}{1-\frac23}=\frac{a_1}{\frac13}=3a_1.\] Stąd \(a_1=\frac{9}{4\cdot3}=\frac34\). **Odpowiedź.** **A.** \(a_1=\frac34\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 5.3R) Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.

Niech \(r\) oznacza różnicę ciągu \((a_n)\). Wtedy \(a_3=15-3r\), \(a_8=15+2r\), \(a_{15}=15+9r\), więc \(15+9r=(15-3r)(9+2r)\). Stąd \(r\in\{4,-5\}\), a ponieważ ciąg jest rosnący, \(r=4\). Zatem \(b_1=a_{11}=35\), \(b_2=a_6=15\), \(q=\frac{3}{7}\), a suma wynosi \(S=\frac{35}{1-3/7}=\frac{245}{4}\).

Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu \((a_n)\). Wszystkie potrzebne wyrazy wyrażamy przez \(a_6=15\): \[a_3=15-3r,\qquad a_8=15+2r,\qquad a_{11}=15+5r,\qquad a_{15}=15+9r.\] Warunek \(a_{15}=a_3(a_8-6)\) przyjmuje postać \[15+9r=(15-3r)(9+2r)=135+3r-6r^{2},\] czyli \(6r^{2}+6r-120=0\), a po podzieleniu przez \(6\) \[r^{2}+r-20=0,\qquad (r+5)(r-4)=0.\] Ciąg \((a_n)\) jest rosnący, więc \(r>0\) i zostaje \(r=4\). Stąd \(b_1=a_{11}=15+20=35\) oraz \(b_2=a_6=15\), a iloraz ciągu geometrycznego \((b_n)\) wynosi \[q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{15}{35}=\frac37.\] Ponieważ \(|q|=\frac37<1\), szereg geometryczny jest zbieżny i wolno zastosować wzór \(S=\frac{b_1}{1-q}\): \[S=\frac{35}{1-\frac37}=\frac{35}{\frac47}=\frac{245}4.\] **Odpowiedź.** \(S=\frac{245}4=61{,}25\)

**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{245}{4}\). **4 pkt** – obliczenie \(b_1\) oraz \(q\): \(b_1=35\) oraz \(q=\tfrac{3}{7}\). **3 pkt** – obliczenie różnicy ciągu \((a_n)\): \(r=4\) oraz odrzucenie przypadku \(r=-5\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\) (albo \(a_1\)), np. \(15+9r=(15-3r)(15+2r-6)\), \(a_1+14\cdot\frac{15-a_1}{5}=\left(a_1+2\cdot\frac{15-a_1}{5}\right)\cdot\left(a_1+7\cdot\frac{15-a_1}{5}-6\right)\). **1 pkt** – zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi \(a_1\) oraz \(r\), np. \(a_1+14r=(a_1+2r)\cdot(a_1+7r-6)\) i \(a_1+5r=15\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Zdający może odrzucić otrzymaną wartość \(r=-5\) bez komentarza. 2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości \(q=-\tfrac{3}{2}\) i zastosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego dla \(q=-\tfrac{3}{2}\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie układu równań, 1 punkt za zapisanie równania z jedną niewiadomą, 1 punkt za obliczenie \(q=\tfrac{3}{7}\) oraz sumy dla \(q=\tfrac{3}{7}\)).

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

Z warunków ciągu arytmetycznego otrzymujemy różnicę \(r=4\). Wtedy \(b_1=a_{11}=35\), \(b_2=a_6=15\), więc \(q=\frac{3}{7}\). Suma nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi \(S=\frac{35}{1-3/7}=\frac{245}{4}\).

**Krok \(1\).** Metoda: wszystkie potrzebne wyrazy ciągu arytmetycznego wyrażamy przez znany wyraz \(a_{6}\) i różnicę \(r\), korzystając ze wzoru \(a_{k}=a_{6}+(k-6)r\). **Krok \(2\).** Mamy \(a_{6}=15\), a ponadto \[a_{3}=15-3r,\qquad a_{8}=15+2r,\qquad a_{15}=15+9r.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy do warunku \(a_{15}=a_{3}\cdot(a_{8}-6)\): \[15+9r=(15-3r)(15+2r-6)=(15-3r)(2r+9).\] **Krok \(4\).** Rozwijamy prawą stronę: \((15-3r)(2r+9)=30r+135-6r^{2}-27r=-6r^{2}+3r+135\). Stąd \[6r^{2}+6r-120=0,\qquad r^{2}+r-20=0.\] **Krok \(5\).** \(\Delta=1+80=81\), więc \(r=\frac{-1-9}{2}=-5\) lub \(r=\frac{-1+9}{2}=4\). Ciąg \((a_{n})\) jest rosnący, więc \(r\gt 0\) i zostaje \(r=4\). **Krok \(6\).** Wyznaczamy pierwsze dwa wyrazy ciągu geometrycznego: \[b_{1}=a_{11}=a_{6}+5r=15+20=35,\qquad b_{2}=a_{6}=15,\qquad q=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\frac{15}{35}=\frac{3}{7}.\] **Krok \(7\).** Ponieważ \(\left|\frac{3}{7}\right|\lt 1\), szereg geometryczny jest zbieżny i suma wszystkich wyrazów istnieje: \[S=\frac{b_{1}}{1-q}=\frac{35}{1-\frac{3}{7}}=\frac{35}{\frac{4}{7}}=\frac{245}{4}.\] **Uwaga.** Sformułowanie o sumie wszystkich wyrazów ciągu nieskończonego ma sens tylko wtedy, gdy \(|q|\lt 1\) — sprawdzenie tego warunku jest częścią rozwiązania, a nie formalnością. Gdyby odrzucona wartość \(r=-5\) została przyjęta, otrzymalibyśmy \(q=-\frac{3}{2}\) i szereg rozbieżny. **Odpowiedź.** \(S=\frac{245}{4}\).

**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{245}{4}\). **4 pkt** – obliczenie \(b_1\) oraz \(q\): \(b_1=35\) oraz \(q=\tfrac{3}{7}\). **3 pkt** – obliczenie różnicy ciągu \((a_n)\): \(r=4\) oraz odrzucenie przypadku \(r=-5\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\) (albo \(a_1\)), np. \(15+9r=(15-3r)(15+2r-6)\), \(a_1+14\cdot\frac{15-a_1}{5}=\left(a_1+2\cdot\frac{15-a_1}{5}\right)\cdot\left(a_1+7\cdot\frac{15-a_1}{5}-6\right)\). **1 pkt** – zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi \(a_1\) oraz \(r\), np. \(a_1+14r=(a_1+2r)\cdot(a_1+7r-6)\) i \(a_1+5r=15\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Zdający może odrzucić otrzymaną wartość \(r=-5\) bez komentarza. 2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości \(q=-\tfrac{3}{2}\) i zastosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego dla \(q=-\tfrac{3}{2}\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie układu równań, 1 punkt za zapisanie równania z jedną niewiadomą, 1 punkt za obliczenie \(q=\tfrac{3}{7}\) oraz sumy dla \(q=\tfrac{3}{7}\)).

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3R) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.

Z \(a_1+a_3=20\) oraz \(a_1^{2}+a_3^{2}=328\) wynika \(a_1a_3=36\), więc \(\{a_1,a_3\}=\{2,18\}\). Przypadek \(a_1=2\), \(a_3=18\) daje \(q=\pm3\) i ciąg rozbieżny. Dla \(a_1=18\), \(a_3=2\) mamy \(q=\pm\frac{1}{3}\). Możliwe sumy to \(27\) oraz \(\frac{27}{2}\).

Z warunków zadania wyznaczamy iloczyn \(a_1a_3\). Podnosimy pierwszą równość do kwadratu: \[(a_1+a_3)^{2}=a_1^{2}+2a_1a_3+a_3^{2},\qquad 400=328+2a_1a_3,\qquad a_1a_3=36.\] Liczby \(a_1\) i \(a_3\) są więc pierwiastkami równania \(t^{2}-20t+36=0\), skąd \[\{a_1,a_3\}=\{2,18\}.\] **Przypadek 1: \(a_1=2\), \(a_3=18\).** Wtedy \(q^{2}=\frac{a_3}{a_1}=9\), czyli \(q=3\) albo \(q=-3\). W obu przypadkach \(|q|\geq1\), więc ciąg nie jest zbieżny i warunki zadania nie są spełnione. Ten przypadek odrzucamy. **Przypadek 2: \(a_1=18\), \(a_3=2\).** Wtedy \(q^{2}=\frac{2}{18}=\frac19\), czyli \(q=\frac13\) albo \(q=-\frac13\). Dla obu wartości \(|q|<1\), więc szereg geometryczny jest zbieżny i wolno zastosować wzór \(S=\frac{a_1}{1-q}\). Dla \(q=\frac13\): \[S=\frac{18}{1-\frac13}=\frac{18}{\frac23}=27.\] Dla \(q=-\frac13\): \[S=\frac{18}{1+\frac13}=\frac{18}{\frac43}=\frac{27}2.\] **Odpowiedź.** \(S=27\) albo \(S=\frac{27}2\)

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą (\(a_1\) lub \(a_3\), lub \(q\)), np. \(a_1^{2}+(20-a_1)^{2}=328\), \((20-a_3)^{2}+a_3^{2}=328\), \(\frac{400}{(q^{2}+1)^{2}}\cdot(1+q^{4})=328\) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\), np. \(a_2^{2}=36\), \(20^{2}-2a_2^{2}=328\) (dla sposobu III). **2 pkt** – obliczenie \(a_1\): \(a_1=2\) oraz \(a_1=18\) ALBO obliczenie \(a_3\): \(a_3=18\) oraz \(a_3=2\), ALBO obliczenie \(q^{2}\): \(q^{2}=9\) oraz \(q^{2}=\frac{1}{9}\), ALBO zapisanie alternatywy równań \(-\frac{6}{q}-6q=20\) lub \(\frac{6}{q}+6q=20\) (dla sposobu III), ALBO zapisanie równania \(\frac{36}{q^{2}}+36q^{2}=328\) (dla sposobu III). **3 pkt** – obliczenie \(a_1\) oraz \(q\): \((a_1,q)=\left(18,\frac{1}{3}\right)\), \((a_1,q)=\left(18,-\frac{1}{3}\right)\), \((a_1,q)=(2,3)\), \((a_1,q)=(2,-3)\) ALBO obliczenie \(a_3\) oraz \(q\): \((a_3,q)=\left(2,\frac{1}{3}\right)\), \((a_3,q)=\left(2,-\frac{1}{3}\right)\), \((a_3,q)=(18,3)\), \((a_3,q)=(18,-3)\), ALBO obliczenie \(a_2\) oraz \(q\): \((a_2,q)=(-6,-3)\), \((a_2,q)=\left(-6,-\frac{1}{3}\right)\), \((a_2,q)=\left(6,\frac{1}{3}\right)\), \((a_2,q)=(6,3)\) (dla sposobu III), ALBO wyznaczenie jednej z par \((a_1,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_1,q)=\left(18,\frac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_1,q)=\left(18,-\frac{1}{3}\right)\) i \(S=\frac{27}{2}\), ALBO wyznaczenie jednej z par \((a_3,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_3,q)=\left(2,\frac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_3,q)=\left(2,-\frac{1}{3}\right)\) i \(S=\frac{27}{2}\), ALBO wyznaczenie jednej z par \((a_2,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_2,q)=\left(6,\frac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_2,q)=\left(-6,-\frac{1}{3}\right)\) i \(S=\frac{27}{2}\) (dla sposobu III). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\frac{27}{2}\) lub \(27\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający odrzuci otrzymane wartości \(q=3\) oraz \(q=-3\) (lub parę \((a_1,a_3)=(2,18)\)) bez komentarza, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości \(q=3\) oraz \(q=-3\) i zastosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego dla \(q=3\) (albo dla \(q=-3\)), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. a) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert<1\) oraz co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert\geq 1\) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (2 punkty za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\) spełniających warunek \(\lvert q\rvert<1\), o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq 1\)). 3. b) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej dwa ilorazy i wszystkie z nich spełniają warunek \(\lvert q\rvert<1\) oraz rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\)), o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 4. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert<1\) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\) spełniających warunek \(\lvert q\rvert<1\), o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq 1\)), o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 5. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązanie układu równań \(a_1+a_3=20\) i \(a_1^{2}+a_3^{2}=328\): \((a_1,a_3)=(18,2)\) oraz obliczy poprawnie obie sumy szeregu: \(S=27\) i \(S=\frac{27}{2}\) i nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq 1\), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązania układu równań \(a_1+a_3=20\) i \(a_1^{2}+a_3^{2}=328\): \((a_1,a_3)=(18,2)\) oraz \((a_1,a_3)=(2,18)\), ale nie obliczy poprawnie obu sum szeregu: \(S=27\) i \(S=\frac{27}{2}\) lub obliczy sumę szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq 1\), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

Z \(a_1+a_3=20\) oraz \(a_1^{2}+a_3^{2}=328\) wynika \(a_1a_3=36\), więc \(\{a_1,a_3\}=\{2,18\}\). Przypadek \(a_1=2\), \(a_3=18\) daje \(q=\pm3\) i ciąg rozbieżny. Dla \(a_1=18\), \(a_3=2\) mamy \(q=\pm\frac{1}{3}\). Możliwe sumy to \(S=\frac{18}{1-1/3}=27\) oraz \(S=\frac{18}{1+1/3}=\frac{27}{2}\).

**Krok \(1\).** Metoda: z sumy i sumy kwadratów wyznaczamy iloczyn \(a_{1}a_{3}\) (korzystając ze wzoru skróconego mnożenia), a potem obie liczby jako pierwiastki równania kwadratowego. Na końcu sprawdzamy, dla których ilorazów szereg jest zbieżny. **Krok \(2\).** Ze wzoru \((a_{1}+a_{3})^{2}=a_{1}^{2}+2a_{1}a_{3}+a_{3}^{2}\) otrzymujemy \[2a_{1}a_{3}=(a_{1}+a_{3})^{2}-\left(a_{1}^{2}+a_{3}^{2}\right)=400-328=72,\qquad a_{1}a_{3}=36.\] **Krok \(3\).** Liczby \(a_{1}\) i \(a_{3}\) mają sumę \(20\) i iloczyn \(36\), więc są pierwiastkami równania \[t^{2}-20t+36=0,\qquad \Delta=400-144=256,\qquad t=\frac{20-16}{2}=2\ \ \text{lub}\ \ t=\frac{20+16}{2}=18.\] **Krok \(4\).** W ciągu geometrycznym \(a_{3}=a_{1}q^{2}\), a ponieważ \(a_{1}\neq 0\), mamy \(q^{2}=\frac{a_{3}}{a_{1}}\). **Krok \(5\).** Przypadek \(a_{1}=2\), \(a_{3}=18\). Wtedy \(q^{2}=9\), czyli \(q=3\) lub \(q=-3\). Ponieważ \(\lvert q\rvert\gt 1\) i \(a_{1}\neq 0\), ciąg nie jest zbieżny — ten przypadek odrzucamy. **Krok \(6\).** Przypadek \(a_{1}=18\), \(a_{3}=2\). Wtedy \(q^{2}=\frac{1}{9}\), czyli \(q=\frac{1}{3}\) lub \(q=-\frac{1}{3}\). W obu sytuacjach \(\lvert q\rvert\lt 1\), więc ciąg jest zbieżny (do zera) i suma wszystkich wyrazów istnieje. Liczymy ją ze wzoru \(S=\frac{a_{1}}{1-q}\). **Krok \(7\).** Dla \(q=\frac{1}{3}\): \[S=\frac{18}{1-\frac{1}{3}}=\frac{18}{\frac{2}{3}}=27.\] **Krok \(8\).** Dla \(q=-\frac{1}{3}\): \[S=\frac{18}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{18}{\frac{4}{3}}=\frac{27}{2}.\] **Uwaga.** Warunek zbieżności ciągu (a więc i istnienia sumy szeregu) to \(\lvert q\rvert\lt 1\). To on eliminuje przypadek \(a_{1}=2\) — bez tego warunku otrzymalibyśmy cztery pary \((a_{1},q)\), z których dwie są bezużyteczne. **Odpowiedź.** Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(27\) (gdy \(q=\frac{1}{3}\)) albo \(\frac{27}{2}\) (gdy \(q=-\frac{1}{3}\)).

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{27}{2}\) lub \(27\). **3 pkt** – obliczenie \(a_1\) oraz \(q\): \((a_1,q)=\left(18,\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_1,q)=\left(18,-\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_1,q)=(2,3)\), \((a_1,q)=(2,-3)\) ALBO – obliczenie \(a_3\) oraz \(q\): \((a_3,q)=\left(2,\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_3,q)=\left(2,-\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_3,q)=(18,3)\), \((a_3,q)=(18,-3)\), ALBO – obliczenie \(a_2\) oraz \(q\): \((a_2,q)=(-6,-3)\), \((a_2,q)=\left(-6,-\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_2,q)=\left(6,\tfrac{1}{3}\right)\), \((a_2,q)=(6,3)\) (dla sposobu III), ALBO – wyznaczenie jednej z par \((a_1,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_1,q)=\left(18,\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_1,q)=\left(18,-\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=\tfrac{27}{2}\), ALBO – wyznaczenie jednej z par \((a_3,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_3,q)=\left(2,\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_3,q)=\left(2,-\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=\tfrac{27}{2}\), ALBO – wyznaczenie jednej z par \((a_2,q)\), dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. \((a_2,q)=\left(6,\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=27\), \((a_2,q)=\left(-6,-\tfrac{1}{3}\right)\) i \(S=\tfrac{27}{2}\) (dla sposobu III). **2 pkt** – obliczenie \(a_1\): \(a_1=2\) oraz \(a_1=18\) ALBO – obliczenie \(a_3\): \(a_3=18\) oraz \(a_3=2\), ALBO – obliczenie \(q^2\): \(q^2=9\) oraz \(q^2=\tfrac{1}{9}\), ALBO – zapisanie alternatywy równań \(-\tfrac{6}{q}-6q=20\) lub \(\tfrac{6}{q}+6q=20\) (dla sposobu III), ALBO – zapisanie równania \(\tfrac{36}{q^2}+36q^2=328\) (dla sposobu III). **1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą (\(a_1\) lub \(a_3\), lub \(q\)), np. \(a_1^2+(20-a_1)^2=328\), \((20-a_3)^2+a_3^2=328\), \(\frac{400}{(q^2+1)^2}\cdot(1+q^4)=328\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\), np. \(a_2^2=36\), \(20^2-2a_2^2=328\) (dla sposobu III). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający odrzuci otrzymane wartości \(q=3\) oraz \(q=-3\) (lub parę \((a_1,a_3)=(2,18)\)) bez komentarza, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości \(q=3\) oraz \(q=-3\) i zastosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego dla \(q=3\) (albo dla \(q=-3\)), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 3. a) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert<1\) oraz co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert\geq1\) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (2 punkty za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\) spełniających warunek \(\lvert q\rvert<1\), o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq1\)). 3. b) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej dwa ilorazy i wszystkie z nich spełniają warunek \(\lvert q\rvert<1\) oraz rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\)), o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 4. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz spełniający warunek \(\lvert q\rvert<1\) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary \((a_1,q)\) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów \(q\) spełniających warunek \(\lvert q\rvert<1\), o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq1\)), o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 5. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązanie układu równań \(a_1+a_3=20\) i \(a_1^2+a_3^2=328\): \((a_1,a_3)=(18,2)\) oraz obliczy poprawnie obie sumy szeregu: \(S=27\) i \(S=\tfrac{27}{2}\) i nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq1\), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązania układu równań \(a_1+a_3=20\) i \(a_1^2+a_3^2=328\): \((a_1,a_3)=(18,2)\) oraz \((a_1,a_3)=(2,18)\), ale nie obliczy poprawnie obu sum szeregu: \(S=27\) i \(S=\tfrac{27}{2}\) lub obliczy sumę szeregu dla ilorazu spełniającego warunek \(\lvert q\rvert\geq1\), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.3R) Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.

\[a_n=12\cdot\left(\frac12\right)^{n-1}=24\cdot\left(\frac12\right)^{n}.\] Warunek zbieżności \(|q^{2}|<1\) odrzuca \(q=2\) i pozostawia \(q=\frac12\). Suma wyrazów o numerach nieparzystych daje \(\frac{a_1}{1-q^{2}}=16\), więc \(a_1=12\).

Wyrazy o numerach nieparzystych \(a_1,a_3,a_5,\ldots\) tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_1\) i ilorazie \(q^{2}\). Suma tego szeregu istnieje, więc \(a_1\ne0\) oraz \(|q^{2}|<1\); ten warunek zapisujemy przed użyciem wzoru na sumę: \[\frac{a_1}{1-q^{2}}=16.\] Drugi warunek zadania przekształcamy, korzystając z \(a_2=a_1q\) i \(a_3=a_1q^{2}\): \[a_1+a_1q^{2}=\frac52a_1q,\qquad a_1\left(q^{2}-\frac52q+1\right)=0.\] Ponieważ \(a_1\ne0\), otrzymujemy \(2q^{2}-5q+2=0\), czyli \(q=2\) albo \(q=\frac12\). Dla \(q=2\) mamy \(q^{2}=4\) i warunek \(|q^{2}|<1\) nie jest spełniony — ten przypadek odpada. Dla \(q=\frac12\) mamy \(q^{2}=\frac14<1\), więc \[\frac{a_1}{1-\frac14}=16,\qquad a_1=16\cdot\frac34=12.\] **Odpowiedź.** \(a_n=12\cdot\left(\frac12\right)^{n-1}=24\cdot\left(\frac12\right)^{n}\)

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(a_{n}=12\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\), \(a_{n}=24\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\). **3 pkt** – odrzucenie wartości \(q=2\) oraz poprawne zastosowanie wzoru na sumę szeregu geometrycznego i zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_{1}\): \(\frac{a_{1}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=16\) (dla sposobu I) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\) oraz obliczenie pierwiastków tego równania, np. \(16(1-q^{2})+16(1-q^{2})\cdot q^{2}=\frac{5}{2}\cdot 16(1-q^{2})\cdot q\) i \(q=1\) oraz \(q=-1\), oraz \(q=\frac{1}{2}\), oraz \(q=2\), oraz odrzucenie tych wartości \(q\), dla których nie jest spełniony warunek zbieżności \(\lvert q^{2}\rvert<1\) (dla sposobu II). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\) oraz obliczenie pierwiastków tego równania, np. \(2q^{2}-5q+2=0\) i \(q=\frac{1}{2}\) oraz \(q=2\) (dla sposobu I) ALBO – zapisanie równań \(a_{1}+a_{1}\cdot q^{2}=\frac{5}{2}a_{1}\cdot q\) oraz \(\frac{a_{1}}{1-q^{2}}=16\) (dla sposobu II). **1 pkt** – zapisanie równania \(a_{1}+a_{1}\cdot q^{2}=\frac{5}{2}a_{1}\cdot q\) (dla sposobu I) ALBO – poprawne zastosowanie wzoru na sumę szeregu geometrycznego i zapisanie równania \(\frac{a_{1}}{1-q^{2}}=16\) (dla sposobu II). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający zapisze sumę wszystkich wyrazów ciągu o wyrazach nieparzystych jako \(\frac{a_{1}}{1-q}\) i rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje \(3\) punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający myli ciąg geometryczny z arytmetycznym, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

\[n>9,\qquad n\in\mathbb N.\]

Niech \(q\) oznacza iloraz ciągu. Ponieważ suma szeregu istnieje i jest różna od zera, mamy \(a_1\neq0\) oraz \(|q|<1\). Korzystamy ze wzorów na sumę początkowych wyrazów i sumę szeregu: \[a_1+a_2+a_3=S(1-q^3).\] Z danych: \[7=8(1-q^3),\] \[q^3=\frac18,\qquad q=\frac12.\] Dla \(q=\frac12\): \[S=2a_1,\qquad S_n=2a_1\left[1-\left(\frac12\right)^n\right].\] Stąd \[\frac{S-S_n}{S_n}=\frac{\left(\frac12\right)^n}{1-\left(\frac12\right)^n}.\] Mianownik jest dodatni, więc nierówność ma postać \[\frac{\left(\frac12\right)^n}{1-\left(\frac12\right)^n}<0{,}001.\] Mnożymy obie strony przez dodatni mianownik i przez \(2^n\): \[1<0{,}001(2^n-1),\] \[2^n>1001.\] Ponieważ \(2^9=512\) i \(2^{10}=1024\), otrzymujemy \[n>9.\]

**4 pkt** – poprawne wyznaczenie ilorazu ciągu, rozwiązanie nierówności w zbiorze dodatnich liczb naturalnych i wynik \(n>9\) **3 pkt** – wykorzystanie dodatniości \(1-q^n\) i przekształcenie nierówności do poprawnej nierówności wymiernej z \(q^n\) **2 pkt** – obliczenie ilorazu ciągu \(q=\frac12\) **1 pkt** – zastosowanie wzorów na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego i sumę szeregu, np. zapisanie \(a_1+a_2+a_3=S(1-q^3)\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.5) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

\[x=6.\]

Pierwszy wyraz szeregu i jego iloraz są równe \[a_1=2x,\qquad q=-\frac3{x-1}.\] Suma szeregu istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy \(|q|<1\): \[\left|-\frac3{x-1}\right|<1,\] \[|x-1|>3.\] Zatem \[x\in(-\infty,-2)\cup(4,+\infty).\] Dla takich \(x\) suma wynosi \[S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{2x}{1+\frac3{x-1}}=\frac{2x(x-1)}{x+2}.\] Rozwiązujemy równanie \[\frac{2x(x-1)}{x+2}=\frac{15}{2}:\] \[4x(x-1)=15(x+2),\] \[4x^2-19x-30=0.\] Stąd \[x=-\frac54\quad\text{lub}\quad x=6.\] Pierwsza wartość nie należy do zbioru zbieżności, natomiast \(6\in(4,+\infty)\). Ostatecznie \[x=6.\]

**4 pkt** – poprawne wyznaczenie zbioru zbieżności \((-\infty,-2)\cup(4,+\infty)\) oraz wartości \(x=6\) **3 pkt** – wyznaczenie zbioru zbieżności, zastosowanie wzoru na sumę i zapisanie poprawnego równania; albo zapisanie warunku \(|q|<1\), rozwiązanie równania sumy i otrzymanie kandydatów \(-\frac54\), \(6\) **2 pkt** – wyznaczenie zbioru zbieżności; albo zapisanie warunku zbieżności, wzoru na sumę i poprawnego równania **1 pkt** – zapisanie \(q=-\frac3{x-1}\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.R2) Zdający rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.

\[x=6.\]

Pierwszy wyraz szeregu i jego iloraz są równe \[a_1=2x,\qquad q=-\frac3{x-1}.\] Suma szeregu istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy \(|q|<1\): \[\left|-\frac3{x-1}\right|<1,\] \[|x-1|>3.\] Zatem \[x\in(-\infty,-2)\cup(4,+\infty).\] Dla takich \(x\) suma wynosi \[S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{2x}{1+\frac3{x-1}}=\frac{2x(x-1)}{x+2}.\] Rozwiązujemy równanie \[\frac{2x(x-1)}{x+2}=\frac{15}{2}:\] \[4x(x-1)=15(x+2),\] \[4x^2-19x-30=0.\] Stąd \[x=-\frac54\quad\text{lub}\quad x=6.\] Pierwsza wartość nie należy do zbioru zbieżności, natomiast \(6\in(4,+\infty)\). Ostatecznie \[x=6.\]

**4 pkt** – poprawne wyznaczenie zbioru zbieżności \((-\infty,-2)\cup(4,+\infty)\) oraz jedynej dopuszczalnej wartości \(x=6\) **3 pkt** – wyznaczenie zbioru zbieżności, zastosowanie wzoru na sumę szeregu i zapisanie poprawnego równania z \(x\); albo zapisanie warunku \(|q|<1\), rozwiązanie równania sumy i otrzymanie kandydatów \(-\frac54\), \(6\) **2 pkt** – wyznaczenie zbioru zbieżności; albo zapisanie warunku zbieżności, wzoru na sumę i poprawnego równania **1 pkt** – zapisanie ilorazu \(q=-\frac3{x-1}\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Element podstawy programowej:** wyznaczanie ilorazu, badanie zbieżności i obliczanie sumy nieskończonego szeregu geometrycznego. Klucz CKE dla tego arkusza w formule 2015 nie podaje osobnego kodu wymagania.

\[a_n=\frac{63}{5}\left(\frac25\right)^{n-1}.\]

Z zależności \(a_5=a_3q^{2}\) przekształcamy pierwszy warunek: \[\frac{a_5+a_3}{a_3}=\frac{a_3q^{2}+a_3}{a_3}=q^{2}+1=\frac{29}{25},\qquad q^{2}=\frac4{25}.\] Stąd \(q=\frac25\) albo \(q=-\frac25\). Ciąg ma być malejący, a przy ujemnym ilorazie kolejne wyrazy zmieniałyby znak, więc \(q=\frac25\). Wyrazy o numerach parzystych, czyli \(a_2,a_4,a_6,\ldots\), tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_2=a_1q\) i ilorazie \(q^{2}=\frac4{25}\). Ponieważ \(\left|q^{2}\right|=\frac4{25}<1\), ten szereg geometryczny jest zbieżny i dopiero teraz wolno zastosować wzór na jego sumę: \[\frac{a_1q}{1-q^{2}}=6.\] Podstawiamy \(q=\frac25\): \[\frac{\frac25a_1}{1-\frac4{25}}=\frac{\frac25a_1}{\frac{21}{25}}=\frac{10}{21}a_1=6,\qquad a_1=\frac{63}5.\] Wzór ogólny ma zatem postać \[a_n=a_1q^{n-1}=\frac{63}5\left(\frac25\right)^{n-1}.\] **Odpowiedź.** \(a_n=\frac{63}5\left(\frac25\right)^{n-1}\)

**4 pkt** – obliczenie ilorazu i pierwszego wyrazu oraz zapisanie wzoru ogólnego ciągu **3 pkt** – obliczenie ilorazu albo pierwszego wyrazu ciągu **2 pkt** – zapisanie dwóch równań z niewiadomymi \(q\) i \(a_1\), które pozwalają obliczyć iloraz i pierwszy wyraz **1 pkt** – zapisanie jednego równania z niewiadomymi \(q\) lub \(a_1\), wynikającego z treści zadania **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 stosowanie obiektów matematycznych, operowanie nimi i interpretowanie pojęć. **Wymagania szczegółowe:** VI.2R rozpoznawanie zbieżnych szeregów geometrycznych i obliczanie ich sumy.

\[S=\frac{8(4+\sqrt{10})}{3}\,a.\]

Bok kwadratu \(K_2\) jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(\frac14a\) i \(\frac34a\), zatem \[a_2=\sqrt{\left(\frac a4\right)^2+\left(\frac{3a}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{10}}4a.\] Stosunek długości boków kolejnych kwadratów, a więc także ich obwodów, jest równy \[q=\frac{\sqrt{10}}4.\] Ponieważ \(0<q<1\), suma obwodów istnieje. Pierwszy wyraz ciągu obwodów jest równy \(4a\), więc \[S=\frac{4a}{1-\frac{\sqrt{10}}4}=\frac{16a}{4-\sqrt{10}}=\frac{8(4+\sqrt{10})}{3}\,a.\]

**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(\frac{8(4+\sqrt{10})}{3}a\) **3 pkt** – zapisanie szeregu obwodów, np. \(4a\left(1+\frac{\sqrt{10}}4+\frac58+\ldots\right)\), i zastosowanie wzoru na sumę szeregu geometrycznego **2 pkt** – wyznaczenie ilorazu ciągu obwodów \(q=\frac{\sqrt{10}}4\) **1 pkt** – obliczenie długości boku drugiego kwadratu \(a_2=\frac{\sqrt{10}}4a\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.R2) Zdający oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu \(\frac1n\), \(\frac1{n^2}\) oraz z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów; oblicza sumę szeregu geometrycznego.

Suma obwodów wynosi \(\displaystyle \frac{8(4+\sqrt{10})a}{3}\). Iloraz szeregu obwodów jest równy \(\displaystyle q=\frac{\sqrt{10}}{4}\), a pierwszy wyraz to \(4a\).

Wierzchołek kwadratu \(K_2\) dzieli bok kwadratu \(K_1\) w stosunku \(1:3\), więc odcina od niego części o długościach \(\frac a4\) i \(\frac{3a}4\). Bok kwadratu \(K_2\) jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o takich przyprostokątnych: \[a_2=\sqrt{\left(\frac a4\right)^{2}+\left(\frac{3a}4\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10a^{2}}{16}}=\frac{\sqrt{10}}4a.\] Ten sam rachunek stosuje się do każdej kolejnej pary kwadratów, więc stosunek długości boków — a zatem także obwodów — jest stały i równy \[q=\frac{\sqrt{10}}4.\] Ponieważ \(\sqrt{10}<4\), zachodzi \(|q|<1\), więc szereg geometryczny obwodów jest zbieżny i wolno zastosować wzór \(S=\frac{L_1}{1-q}\). Pierwszy obwód wynosi \(L_1=4a\), zatem \[S=\frac{4a}{1-\frac{\sqrt{10}}4}=\frac{16a}{4-\sqrt{10}}=\frac{16a\left(4+\sqrt{10}\right)}{16-10}=\frac{8\left(4+\sqrt{10}\right)}3\,a.\] **Odpowiedź.** \(S=\frac{8\left(4+\sqrt{10}\right)}3\,a\)

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(L=\frac{4a}{1-\frac{\sqrt{10}}{4}}\) (lub \(L=\frac{8\cdot(4+\sqrt{10})a}{3}\)). **3 pkt** – zapisanie: \(L=4a\left(1+\frac{\sqrt{10}}{4}+\frac{5}{8}+\ldots\right)\). **2 pkt** – obliczenie ilorazu ciągu: \(q=\frac{\sqrt{10}}{4}\). **1 pkt** – obliczenie długości boku drugiego kwadratu: \(a_{2}=\frac{\sqrt{10}}{4}a\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający obliczy tylko sumę długości boków (po jednym z każdego kwadratu), to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający błędnie ustala stosunek podziału długości boku kwadratu i rozwiązuje zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie ilorazu \(q\) ciągu, o ile \(q\in(0,\,1)\), oraz za konsekwentne obliczenie sumy obwodów wszystkich kwadratów). 3. Jeżeli zdający przyjmuje do obliczeń konkretną długość boku kwadratu \(K_{1}\) i rozwiązuje zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje \(2\) punkty za całe rozwiązanie. 4. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i otrzyma iloraz \(q\) ciągu, który jest liczbą spoza przedziału \((0,\,1)\), to może otrzymać co najwyżej \(1\) punkt za całe rozwiązanie (za poprawne obliczenie \(a_{2}\)).

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** R5.2) Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.

\[q=\frac{1-\sqrt5}{2}.\]

Ciągi wyrazów o numerach nieparzystych i parzystych są geometryczne o ilorazie \(q^2\). Ponieważ \(a_1=q\) i \(a_2=q^2\), mamy \[S_N=\frac{q}{1-q^2},\qquad S_P=\frac{q^2}{1-q^2}.\] Warunek zadania daje \[\frac{S_N}{S_P}=S_N-S_P,\] czyli \[\frac1q=\frac{q-q^2}{1-q^2}=\frac{q}{1+q}.\] Stąd \[q^2-q-1=0,\] więc \[q=\frac{1-\sqrt5}{2}\quad\text{lub}\quad q=\frac{1+\sqrt5}{2}.\] Druga wartość nie spełnia warunku \(|q|<1\), dlatego \(q=\frac{1-\sqrt5}{2}\).

**4 pkt** – rozwiązanie równania i odrzucenie wartości niespełniającej \(|q|<1\) **3 pkt** – otrzymanie równania \(q^2-q-1=0\) **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\) wynikającego z warunku zadania **1 pkt** – poprawne zapisanie sum \(S_N\) i \(S_P\) **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** R5.2 rozpoznawanie zbieżnych szeregów geometrycznych i obliczanie ich sum.

\[b_1=129.\]

Niech \(q\) będzie ilorazem ciągu geometrycznego. Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc \(a_{21}\ne0\) i po podzieleniu warunku \(a_{22}=\frac54a_{23}+\frac15a_{21}\) przez \(a_{21}\) otrzymujemy \[q=\frac54q^{2}+\frac15,\qquad 25q^{2}-20q+4=0,\qquad (5q-2)^{2}=0,\qquad q=\frac25.\] Suma wszystkich wyrazów ciągu \((a_n)\) istnieje, bo \(|q|=\frac25<1\) — ten warunek zapisujemy przed użyciem wzoru \(S=\frac{a_1}{1-q}\): \[S=\frac{675}{1-\frac25}=\frac{675}{\frac35}=1125.\] Ponadto \[a_3=675\left(\frac25\right)^{2}=675\cdot\frac4{25}=108=b_4.\] Niech \(r\) będzie różnicą ciągu arytmetycznego \((b_n)\). Z dwóch warunków otrzymujemy układ: \[b_1+3r=108,\qquad S_{25}=\frac{(2b_1+24r)\cdot25}{2}=25(b_1+12r)=1125,\] czyli \(b_1+12r=45\). Odejmując równania stronami, dostajemy \(9r=45-108=-63\), więc \(r=-7\), a stąd \[b_1=108-3\cdot(-7)=129.\] **Odpowiedź.** \(b_1=129\)

**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(b_1=129\) **3 pkt** – wyznaczenie \(q=\frac25\), sumy \(1125\) i zależności dla ciągu arytmetycznego **2 pkt** – poprawne wyznaczenie ilorazu oraz sumy szeregu geometrycznego **1 pkt** – poprawne ułożenie równania dla ilorazu \(q\) **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** P5.3 i R5.2 stosowanie wzorów na wyraz i sumę ciągu arytmetycznego oraz obliczanie sumy zbieżnego szeregu geometrycznego.

**B.** \(\sqrt3\)

Korzystamy ze wzoru na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego. Dla \(q=\frac1{\sqrt3}\): \[x=\frac1{1-1/\sqrt3}.\] Dla \(q=-\frac1{\sqrt3}\): \[y=\frac1{1+1/\sqrt3}.\] Zatem \[x-y=\frac1{1-q}-\frac1{1+q}=\frac{2q}{1-q^2}\] \[=\frac{2/\sqrt3}{1-1/3}=\frac{2/\sqrt3}{2/3}=\sqrt3.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R5.2 rozpoznawanie zbieżnych szeregów geometrycznych i obliczanie ich sum.

q=\(\frac{1}{7=0}\),(\(142857\)), więc w kratki należy wpisać \(0\), \(1\), \(4\). Z równań \(a_{1}\)/(\(1\)−q)=\(2\) i \(a_{1}\)\(2\)/(\(1\)−\(q^{2}\))=\(3\) wynika \(7\)\(q^{2}\)−\(8q\)+\(1=0\); wartość q=\(1\) odrzucamy.

Szereg geometryczny jest zbieżny, więc \(|q|<1\) — ten warunek trzeba zapisać przed użyciem wzorów na sumę. Suma wyrazów ciągu \((a_n)\) oraz suma kwadratów (ciąg \((a_n^2)\) jest geometryczny o ilorazie \(q^2\)) dają układ \[\frac{a_1}{1-q}=2,\qquad \frac{a_1^2}{1-q^2}=3.\] Z pierwszego równania \(a_1=2(1-q)\). Po podstawieniu do drugiego \[\frac{4(1-q)^2}{(1-q)(1+q)}=3,\qquad \frac{4(1-q)}{1+q}=3,\] czyli \(4-4q=3+3q\), skąd \(7q=1\) i \(q=\tfrac17\). Równoważnie: po uporządkowaniu otrzymuje się \(7q^2-8q+1=0\), czyli \((7q-1)(q-1)=0\); pierwiastek \(q=1\) odrzucamy, bo nie spełnia warunku \(|q|<1\). Rozwinięcie dziesiętne \(\tfrac17=0{,}(142857)\), więc cyfra jedności to \(0\), cyfra części dziesiętnych \(1\), a cyfra części setnych \(4\). **Odpowiedź.** \(q=\tfrac17\); w kratki wpisujemy \(0\), \(1\), \(4\).

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** Zdający stosuje wzór na sumę wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wraz z warunkiem zbieżności \(|q|<1\). Uwaga redakcyjna: w tym miejscu w zastanym materiale znajdował się zrzut rozwiązania wzorcowego CKE wraz z wynikiem — usunięto go, bo ujawniał odpowiedź przed próbą. Kryteria oceniania są w panelu „Klucz i zasady oceniania”.

**D.** \(\frac95\)

Pierwszy wyraz ciągu jest równy \(a_1=\frac35\), a jego iloraz \(q=\frac23\). Ponieważ \(|q|<1\), suma nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi \[S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\frac35}{1-\frac23}=\frac{\frac35}{\frac13}=\frac95.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla czerwca 2019 nie zawiera tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** ciągi - suma nieskończonego ciągu geometrycznego.

\[S=\frac{2^{11}\pi}{3}=\frac{2048\pi}{3}.\]

Z równania \(o_n\) wynika, że \(r_n^2=2^{11-n}\). Pole pierścienia \(P_k\) jest więc równe \[P_k=\pi r_{2k-1}^2-\pi r_{2k}^2=\pi\left(2^{12-2k}-2^{11-2k}\right)=\pi\,2^{11-2k}.\] Pola tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \[P_1=2^9\pi\] i ilorazie \(q=\frac14\). Ponieważ \(|q|<1\), suma wszystkich pól istnieje i wynosi \[S=\frac{2^9\pi}{1-\frac14}=\frac{2^{11}\pi}{3}=\frac{2048\pi}{3}.\]

**4 pkt** – obliczenie sumy \(S=\frac{2^{11}\pi}{3}\) i zaznaczenie, że istnieje ona, ponieważ \(|q|<1\) **3 pkt** – zastosowanie wzoru \(S=\frac{2^9\pi}{1-\frac14}\) **2 pkt** – zauważenie, że pola pierścieni tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \(q=\frac14\) **1 pkt** – obliczenie pola pierwszego pierścienia \(P_1=2^9\pi\) **0 pkt** – brak koniecznego postępu

Klucz CKE nie zawiera przy tym zadaniu osobnej tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna i ciągi - równanie okręgu, pole pierścienia oraz suma nieskończonego szeregu geometrycznego.

**B.** \(a_1=\frac17\)

Oznaczmy pierwszy wyraz przez \(a_1=a\). Wtedy iloraz \(q=3a\), a z warunku sumy szeregu geometrycznego mamy \[\frac{a}{1-3a}=\frac14.\] Stąd \(4a=1-3a\), więc \(a=\frac17\). Otrzymane \(q=\frac37\) spełnia warunek \(|q|<1\).

**1 pkt** – odpowiedź B **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** ciągi - suma nieskończonego szeregu geometrycznego i warunek jego zbieżności.

Pierwszy wyraz wynosi \(\frac{12}{13=0,923076}\)..., więc należy zakodować cyfry \(9\), \(2\), \(3\). Jeśli \(a_{1}\)=q=a, to a/(\(1\)−a)=\(12\), skąd \(13a\)=\(12\); warunek |q|<\(1\) jest spełniony.

Oznaczmy \(a_1=q=a\). Szereg jest zbieżny, więc \(|a|<1\). Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego \[\frac{a_1}{1-q}=\frac{a}{1-a}=12.\] Stąd \(a=12-12a\), czyli \(13a=12\) i \(a=\tfrac{12}{13}\). Warunek \(|q|<1\) jest spełniony, bo \(\tfrac{12}{13}<1\). Dzieląc pisemnie, \(\tfrac{12}{13}=0{,}923076\ldots\), więc trzy pierwsze cyfry po przecinku to \(9\), \(2\), \(3\). **Odpowiedź.** \(a_1=\tfrac{12}{13}\); kodujemy \(9\), \(2\), \(3\).

Klasyfikacja rzeczowa: stosowanie wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego i warunku jego zbieżności.

Najmniejszą liczbą całkowitą jest x=\(187\). Szereg geometryczny o ilorazie q=\(1\)/(\(2x\)−\(371\)) ma dodatnie wyrazy i jest zbieżny, gdy \(0\)<q<\(1\), czyli x>\(186\).

**Krok \(1\).** Zadanie \(7\). (\(0-2\)) **Krok \(2\).** III. Modelowanie **Krok \(3\).** matematyczne. **Krok \(4\).** \(5\). Ciągi. Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza **Krok \(5\).** ich sumy (\(R_{5}\).\(3\)). **Krok \(6\).** Przykładowe rozwiązania **Krok \(7\).** I sposób **Krok \(8\).** Pierwszym wyrazem ciągu (an) jest ał = **Odpowiedź.** Najmniejszą liczbą całkowitą jest x=\(187\). Szereg geometryczny o ilorazie q=\(1\)/(\(2x\)−\(371\)) ma dodatnie wyrazy i jest zbieżny, gdy \(0\)<q<\(1\), czyli x>\(186\).

**1 pkt** – gdy zdający zapisze \(q=\tfrac{1}{2x-371}\) i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. **2 pkt** – gdy zapisze najmniejszą liczbę całkowitą \(x\), dla której nieskończony szereg jest zbieżny, liczbę \(187\), o ile wynik nie został uzyskany w wyniku błędnego rozwiązania.

III. Modelowanie matematyczne. 5. Ciągi. Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy (R5.3).

**D.** \(\frac3{\sqrt2-1}\).

Pierwszy wyraz i iloraz ciągu są równe \[a_1=\frac3{\sqrt2},\qquad q=\frac1{\sqrt2}.\] Ponieważ \(|q|<1\), suma szeregu wynosi \[S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{3/\sqrt2}{1-1/\sqrt2}=\frac3{\sqrt2-1}.\]

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** CKE IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 5.3 R - rozpoznawanie zbieżnych szeregów geometrycznych i obliczanie ich sumy.

\[S=\frac94.\]

Z zależności \(a_3=a_1q^2\) otrzymujemy \[q^2=\frac{a_3}{a_1}=\frac{1/3}{3/4}=\frac49.\] Stąd \(q=-\frac23\) lub \(q=\frac23\). Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc \(q=\frac23\). Ponieważ \(\lvert q\rvert<1\), szereg jest zbieżny i \[S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{3/4}{1-2/3}=\frac94.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawne wyznaczenie \(q=\frac23\) i sumy \(S=\frac94\) **1 pkt** – poprawne wyznaczenie \(q^2=\frac49\) albo ilorazu \(q=\frac23\) **0 pkt** – brak istotnego postępu lub rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi. **Wymagania szczegółowe:** 5.3. R. Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.

\[S=\frac{\pi}{3}.\]

Pole koła o promieniu \(r_n=\frac1{2^n}\) wynosi \[P_n=\pi r_n^2=\pi\cdot\frac1{4^n}.\] Iloraz kolejnych wyrazów jest stały: \[\frac{P_{n+1}}{P_n}=\frac{4^n}{4^{n+1}}=\frac14,\] więc \((P_n)\) jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie \(P_1=\frac{\pi}{4}\) i ilorazie \(q=\frac14\). Warunek zbieżności szeregu geometrycznego jest spełniony, bo \(|q|=\frac14<1\) — bez tego wzoru na sumę nie wolno użyć. Zatem \[S=\frac{P_1}{1-q}=\frac{\frac{\pi}{4}}{1-\frac14}=\frac{\frac{\pi}{4}}{\frac34}=\frac{\pi}{3}.\] **Odpowiedź.** Suma wszystkich wyrazów ciągu \((P_n)\) jest równa \(\frac{\pi}{3}\).

**Schemat oceniania** **1 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: obliczenie pierwszego wyrazu i ilorazu ciągu \((P_n)\): \(P_1=\) […], \(q=\) […]. **2 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności: stwierdzenie, że istnieje skończona suma wszystkich wyrazów ciągu \((P_n)\), np.: \(\lvert q\rvert<1\). **[…] pkt** – rozwiązanie pełne: obliczenie sumy \(S\) wszystkich wyrazów ciągu \((P_n)\): \(S=\) […]. **Uwaga:** Jeżeli zdający obliczy sumę wszystkich wyrazów ciągu \((P_n)\), ale nie stwierdzi, że \(\lvert q\rvert<1\), to otrzymuje \(2\) punkty.

Zadanie 12. (0–3) 1 Niech P oznacza pole koła o promieniu , dla n  1. Oblicz sumę wszystkich wyrazów n 2n ciągu  P  . n IV. Użycie i tworzenie R5.3. Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne strategii i oblicza ich sumy. Rozwiązanie: 2 1  1    Pole koła o promieniu r  jest równe   , czyli P  . Dla n  1 zachodzi n 2n   2n   4n n 4n P 1 1 równość n1  . Wynika stąd, że  P  jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q  n P 4 4 n  1 i pierwszym wyrazie P  . Ponieważ 1   1 , więc suma S wszystkich wyrazów ciągu 1 4 4  P  jest skończona i jest równa n  P  4 S  1   1 q 1 3 1 4 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ........................................................................ 1 p.  1 Obliczenie pierwszego wyrazu i ilorazu ciągu  P  : P  , q  n 1 4 4 Pokonanie zasadniczych trudności zadania ....................................................................... 2 p. 1 Stwierdzenie, że istnieje skończona suma wszystkich wyrazów ciągu  P  , np.: q   1 n 4 Rozwiązanie pełne ................................................................................................................ 3 p.  Obliczenie sumy S wszystkich wyrazów ciągu  P  : S  n 3 Uwaga: Jeżeli zdający obliczy sumę wszystkich wyrazów ciągu  P  , ale nie stwierdzi, że q  1 , to n otrzymuje 2 punkty.

\[k\in\left(\frac52,3\right)\cup(3,4).\]

Z wzoru rekurencyjnego \(a_{n+1}=a_n\cdot\log_2(k-2)\) wynika, że ilorazem ciągu jest \[q=\log_2(k-2).\] Zapisujemy wszystkie warunki, zanim zaczniemy rachować. Po pierwsze, logarytm musi istnieć: \(k-2>0\), czyli \(k>2\). Po drugie, wszystkie wyrazy mają być różne od zera. Ponieważ \(a_1=2\neq0\), wystarczy \(q\neq0\), czyli \(\log_2(k-2)\neq0\), a stąd \(k-2\neq1\), czyli \(k\neq3\). Po trzecie, suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy \(|q|<1\): \[\left|\log_2(k-2)\right|<1,\qquad -1<\log_2(k-2)<1.\] Funkcja \(\log_2\) jest rosnąca, więc \[2^{-1}<k-2<2^{1},\qquad \frac12<k-2<2,\qquad \frac52<k<4.\] Uwzględniając \(k\neq3\), otrzymujemy \[k\in\left(\frac52,3\right)\cup(3,4).\] **Odpowiedź.** \(k\in\left(\frac52,3\right)\cup(3,4)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 19.** (\(7\) pkt) Nieskończony ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: \(a_{1}=2\), \(a_{n+1}=a_{n}\cdot\log_{2}(k-2)\), dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są różne od zera. Wyznacz wszystkie wartości parametru \(k\), dla których istnieje suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu \((a_{n})\). Wyrażenie: \(\log_{2}(k-2)\) jest określone, gdy \(k-2>0\Leftrightarrow k>2\). Z definicji ciągu geometrycznego wynika, że iloraz \(q=\log_{2}(k-2)\). \(q\ne 0\Leftrightarrow\log_{2}(k-2)\ne 0\) czyli \(k\ne 3\). Aby istniała suma wszystkich wyrazów danego ciągu geometrycznego, iloraz ciągu musi spełniać warunek \(\lvert q\rvert<1\Leftrightarrow\lvert\log_{2}(k-2)\rvert<1\). Rozwiązuję nierówność: \(\lvert\log_{2}(k-2)\rvert<1\), \(\log_{2}(k-2)>-1\) i \(\log_{2}(k-2)<1\) \(\log_{2}(k-2)>\log_{2}\frac{1}{2}\) i \(\log_{2}(k-2)<\log_{2}2\) \(k-2>\frac{1}{2}\) i \(k-2<2\) \(k>\frac{5}{2}\) i \(k<4\) Rozwiązaniem nierówności są liczby rzeczywiste należące do przedziału \(\left(\frac{5}{2},4\right)\). Odp.: Suma wszystkich wyrazów danego ciągu o wszystkich wyrazach różnych od zera istnieje dla \(k\in\left(\frac{5}{2},3\right)\cup(3,4)\). | Nr czynności | 19.1. | 19.2. | 19.3. | 19.4. | 19.5. | 19.6. | |---|---:|---:|---:|---:|---:|---:| | Maks. liczba pkt | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(2\) | \(1\) |

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(S=a^{2}\sqrt{3}\) (pola tworzą ciąg geometryczny o \(P_{1}=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\) i ilorazie \(q=\dfrac34\)).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy schemat. Konstrukcja jest nieskończona i za każdym razem powtarza się ta sama operacja, więc kolejne trójkąty są do siebie PODOBNE, a ich pola tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Suma pól to suma szeregu geometrycznego, którą policzymy ze wzoru \(S=\frac{P_1}{1-q}\) — o ile sprawdzimy, że \(|q|\lt 1\). **Krok \(2\).** Zapisujemy związek między kolejnymi bokami. Wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\) wynosi \(h=\frac{a\sqrt3}{2}\), a to właśnie ona jest bokiem następnego trójkąta: \[a_{n+1}=\frac{\sqrt3}{2}\,a_n.\] Boki tworzą więc ciąg geometryczny o ilorazie \(k=\frac{\sqrt3}{2}\). **Krok \(3\).** Liczymy pole pierwszego trójkąta ze wzoru na pole trójkąta równobocznego: \[P_1=\frac{a^2\sqrt3}{4}.\] **Krok \(4\).** Wyznaczamy iloraz pól. Kolejne trójkąty są podobne w skali \(k=\frac{\sqrt3}{2}\), a stosunek pól figur podobnych to KWADRAT skali podobieństwa: \[q=k^2=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac34.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy warunek zbieżności: \(|q|=\frac34\lt 1\), więc szereg jest zbieżny i wolno zastosować wzór na sumę. **Krok \(6\).** Podstawiamy do wzoru: \[S=\frac{P_1}{1-q}=\frac{\frac{a^2\sqrt3}{4}}{1-\frac34}=\frac{\frac{a^2\sqrt3}{4}}{\frac14}.\] **Krok \(7\).** Dzielenie przez \(\frac14\) to mnożenie przez \(4\): \[S=\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot 4=a^2\sqrt3.\] **Uwaga.** Najczęstszy błąd to przyjęcie \(q=\frac{\sqrt3}{2}\), czyli ilorazu BOKÓW, zamiast ilorazu PÓL. Pola figur podobnych mają się do siebie jak kwadrat skali, więc \(q=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac34\). Zwróć też uwagę, że wynik \(S=a^2\sqrt3\) jest równy poczwórnemu polu pierwszego trójkąta — co jest wiarygodne, bo suma nieskończenie wielu malejących pól musi być większa od \(P_1\), ale skończona. **Odpowiedź.** \(S=a^{2}\sqrt{3}\) (pola tworzą ciąg geometryczny o \(P_{1}=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\) i ilorazie \(q=\dfrac34\)).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **14.1. (1 pkt)** – […] i liczby \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). **14.2. (2 pkt)** – zapisanie, że ciąg pól utworzonych trójkątów jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie równym \(P_{1}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\) i ilorazie \(q=\frac{3}{4}\). **14.3. (1 pkt)** – obliczenie sumy pól wszystkich trójkątów: \(S=a^{2}\sqrt{3}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Dziedziną równania jest przedział \((-1,1)\); jedynym rozwiązaniem jest \(x=\frac{1}{2}=0{,}5\).

**Krok \(1\).** Po lewej stronie równania \(1+x+x^2+x^3+\ldots+x^n+\ldots=2\) stoi suma nieskończenie wielu wyrazów, z których każdy powstaje z poprzedniego przez pomnożenie przez \(x\). To jest szereg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_1=1\) i ilorazie \(q=x\). Dla takich zadań schemat jest zawsze ten sam: najpierw dziedzina z warunku zbieżności, potem wzór na sumę. **Krok \(2\).** Suma nieskończonego szeregu geometrycznego istnieje tylko wtedy, gdy \(|q|\lt 1\). Tutaj \(q=x\), więc musi być \(|x|\lt 1\), czyli \[x\in(-1,1).\] To jest dziedzina naszego równania. **Krok \(3\).** Postępujemy tak jak w przykładzie z treści zadania. Z sumy wyłączamy pierwszy wyraz, a z reszty wyłączamy przed nawias \(x\): \[1+x+x^2+x^3+\ldots=1+x\left(1+x+x^2+\ldots\right)=2.\] **Krok \(4\).** Zauważmy, że w nawiasie stoi dokładnie ta sama suma, która z założenia jest równa \(2\). Możemy więc w miejsce nawiasu wstawić liczbę \(2\): \[1+x\cdot 2=2.\] **Krok \(5\).** Rozwiązujemy to proste równanie liniowe: \[2x=1,\qquad x=\frac{1}{2}.\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy, czy otrzymana liczba należy do dziedziny: \(\frac12\in(-1,1)\), więc jest to rozwiązanie. Kontrolnie można też skorzystać ze wzoru na sumę \(S=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{1}{1-x}\): równanie \(\dfrac{1}{1-x}=2\) daje \(1-x=\dfrac12\), czyli \(x=\dfrac12\). **Uwaga.** Dziedziny nie wolno tu pominąć. Wzór na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego obowiązuje wyłącznie dla \(|q|\lt 1\); gdyby otrzymana liczba wypadła poza przedziałem \((-1,1)\), trzeba by ją odrzucić, bo wtedy lewa strona w ogóle nie ma sumy. **Odpowiedź.** Dziedziną jest przedział \((-1,1)\), a jedynym rozwiązaniem równania jest \(x=\frac{1}{2}=0{,}5\).

**1. (1 pkt)** – wyznaczenie dziedziny równania. Odp. \((-1,1)\). Dopuszczamy zapis \(\lvert x\rvert<1\) **2. (1 pkt)** – zapisanie równania w postaci: \(1+x(1+x+x^{2}+\ldots)=2\) **3. (1 pkt)** – zapisanie równania w postaci: \(1+2x=2\) **4. (1 pkt)** – wyznaczenie rozwiązania równania. Odp. \(x=0{,}5\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(x\in(0,1)\).

Lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie \(a_1=2^{-x}\) i ilorazie \(q=2^{-x}\). Szereg ten jest zbieżny tylko wtedy, gdy \(|q|<1\), a ponieważ \(2^{-x}>0\), warunek ten sprowadza się do \(2^{-x}<1\), czyli \(x>0\). To założenie zapisujemy przed użyciem wzoru na sumę. Podstawmy \(t=2^{x}\); wtedy \(t>1\) i \[L=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\frac1t}{1-\frac1t}=\frac1{t-1}.\] Ponadto \(0{,}(9)=1\), więc prawa strona jest równa \(t-1\). Nierówność przybiera postać \[\frac1{t-1}>t-1.\] Ponieważ \(t-1>0\), mnożymy obie strony przez \(t-1\) bez zmiany znaku: \[1>(t-1)^{2},\qquad 0<t-1<1,\qquad 1<t<2.\] Wracamy do zmiennej \(x\): \(1<2^{x}<2\), a funkcja wykładnicza o podstawie \(2\) jest rosnąca, więc \(0<x<1\). **Odpowiedź.** \(x\in(0,1)\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **18.1. (1 pkt)** – [fragment nieczytelny] stroną danej nierówności: \(a_{1}=q=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) **18.2. (1 pkt)** – podanie warunku zbieżności i wyznaczenie tych wartości \(x\), dla których ciąg, który jest lewą stroną danej nierówności, jest zbieżny: \(x\gt 0\) **18.3. (1 pkt)** – wyznaczenie sumy \(S\) ciągu, który jest lewą stroną danej nierówności: \(S=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{x}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{x}}\) **18.4. (1 pkt)** – zamiana ułamka okresowego \(0{,}(9)\) na zwykły: \(0{,}(9)=1\) **18.5. (1 pkt)** – wykonanie podstawienia pomocniczej niewiadomej \(t=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) i zapisanie danej nierówności za pomocą zmiennej \(t\) (1): \((1)\quad\frac{t}{1-t}\gt\frac{1}{t}-1\) **18.6. (1 pkt)** – przekształcenie nierówności (1) do postaci (2): \((2)\quad -2t\left(t-\frac{1}{2}\right)(t-1)\gt 0\) **18.7. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności (2): \(t\in(-\infty,\,0)\cup\left(\frac{1}{2},\,1\right)\) **18.8. (1 pkt)** – zapisanie warunku (3): \((3)\quad\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\lt 0\;\lor\;\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\gt\frac{1}{2}\;\land\;\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\lt 1\right)\) **18.9. (1 pkt)** – wyznaczenie \(x\) z warunku (3): \(x\in(0,\,1)\) **18.10. (1 pkt)** – sprawdzenie, czy otrzymane wartości \(x\) należą do dziedziny nierówności, i odpowiedź

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.