Rozkładanie wielomianu na czynniki w zadaniach z matury

**D.** \(t=3\,\mathrm{s}\), ponieważ \(h(t)=t(-4{,}9t+14{,}7)\) ma dodatnie miejsce zerowe \(t=3\).

Piłeczka uderza w ziemię, gdy jej wysokość jest równa zeru, czyli gdy \(h(t)=0\) dla \(t>0\). Rozkładamy prawą stronę na czynniki: \[h(t)=-4{,}9t^2+14{,}7t=t\left(-4{,}9t+14{,}7\right).\] Iloczyn jest równy zeru, gdy \(t=0\) albo \(-4{,}9t+14{,}7=0\). Drugie równanie daje \[t=\frac{14{,}7}{4{,}9}=3.\] Chwila \(t=0\) to moment wyrzutu, więc pierwsze uderzenie o ziemię następuje po \(3\) sekundach. **Odpowiedź.** D: \(t=3\,\mathrm{s}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.11) Zdający wykorzystuje własności funkcji […] kwadratowej do interpretacji zagadnień […] fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym.

\[3x^{2}-2x-8\geq0,\qquad (3x+4)(x-2)\geq0.\] Zatem \(x\in(-\infty,-\frac{4}{3}]\cup[2,+\infty)\).

**Krok \(1\).** rozwiązań zadań **Krok \(2\).** \(2\). Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci a + b√c, gdzie a, b, c są **Krok \(3\).** liczbami wymiernymi. **Odpowiedź.** \[3x^{2}-2x-8\geq0,\qquad (3x+4)(x-2)\geq0.\] Zatem \(x\in(-\infty,-\frac{4}{3}]\cup[2,+\infty)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* […] 2. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci \(a+b\sqrt{c}\), gdzie \(a\), \(b\), \(c\) są liczbami wymiernymi.

1 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego \(3x^2-2x-8\), tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego i obliczenie tych pierwiastków, ALBO – konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze dyskalkulicznym ujemnego lub równego zero wyróżnika) narysowanie paraboli, ALBO – poprawne rozwiązanie nierówności \(3x^2+4x\geq 0\) (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych zasad oceniania), ALBO – konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz do rozpatrywanego trójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności. Uwagi: 1. Nie stosuje się uwag 3., 4. i 5. z zasad oceniania arkusza standardowego.

Liczba \(7n^{2}+21n\) jest podzielna przez \(14\) dla każdej liczby całkowitej \(n\).

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias: \[7n^{2}+21n=7n(n+3).\] Wystarczy wykazać, że iloczyn \(n(n+3)\) jest podzielny przez \(2\) — wtedy cała liczba dzieli się przez \(7\cdot2=14\). Liczby \(n\) i \(n+3\) różnią się o \(3\), czyli o liczbę nieparzystą, więc mają różną parzystość: dokładnie jedna z nich jest parzysta. Jeżeli \(n=2k\), to \[7n(n+3)=7\cdot2k\,(2k+3)=14k(2k+3).\] Jeżeli \(n=2k+1\), to \(n+3=2k+4=2(k+2)\), więc \[7n(n+3)=7(2k+1)\cdot2(k+2)=14(2k+1)(k+2).\] W obu przypadkach otrzymujemy liczbę postaci \(14m\), gdzie \(m\) jest całkowite. **Odpowiedź.** Dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \(7n^{2}+21n\) jest podzielna przez \(14\), co należało wykazać.

**2 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania, to znaczy uzasadnienie, że liczba \(7n^{2}+21n\) jest podzielna przez \(7\) i przez \(2\), albo rozpatrzenie obu przypadków \(n=2k\) oraz \(n=2k+1\) i wykazanie w każdym z nich podzielności przez \(14\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania **Uwaga CKE:** samo zapisanie \(7n^{2}+21n=7n(n+3)\) nie wystarcza jako uzasadnienie podzielności przez \(7\) i przez \(2\).

**Wymaganie ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymaganie szczegółowe:** I.2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.

A. x(x − \(1\))\(2\)

Wyłączamy \(x\) przed nawias, a następnie stosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy: \[x^{3}-2x^{2}+x=x\left(x^{2}-2x+1\right)=x(x-1)^{2}.\] **Odpowiedź.** A. \(x(x-1)^{2}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** G6.6) Zdający wyłącza wspólny czynnik z wyrazów sumy algebraicznej poza nawias. 2.1) Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^2\) oraz \(a^2-b^2\).

Liczba \(3n^{2}+2n+7\) jest podzielna przez \(4\) dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\).

Liczba \(n\) jest nieparzysta, więc można ją zapisać w postaci \[n=2k+1,\qquad\text{gdzie }k\text{ jest liczbą całkowitą nieujemną}.\] Podstawiamy do badanego wyrażenia: \[3n^{2}+2n+7=3(2k+1)^{2}+2(2k+1)+7.\] Rozwijamy kwadrat i porządkujemy: \[3\left(4k^{2}+4k+1\right)+4k+2+7=12k^{2}+12k+3+4k+9=12k^{2}+16k+12.\] Wyłączamy \(4\) przed nawias: \[12k^{2}+16k+12=4\left(3k^{2}+4k+3\right).\] Liczba \(3k^{2}+4k+3\) jest całkowita, więc otrzymana liczba jest wielokrotnością \(4\). **Odpowiedź.** Dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) liczba \(3n^{2}+2n+7\) jest podzielna przez \(4\), co należało wykazać.

**2 pkt** – zapisanie, że \(n=2k+1\), oraz przekształcenie wyrażenia \(3n^{2}+2n+7\) do postaci \(4\left(3k^{2}+4k+3\right)\) ALBO – przekształcenie wyrażenia do postaci sumy algebraicznej liczb podzielnych przez \(4\) wraz z uzasadnieniem, że każdy składnik tej sumy jest podzielny przez \(4\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania **Uwaga CKE:** sprawdzenie tezy dla kilku konkretnych wartości \(n\) jest przykładem, a nie dowodem, i nie daje punktów.

**Wymaganie ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymaganie szczegółowe:** I.2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.

**B.** Wyłączamy \(5^{12}\) przed nawias: \[\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}=1+5+25=31.\]

**Krok \(1\).** W liczniku jest suma trzech potęg o tej samej podstawie \(5\). Sumy potęg nie wolno skracać z mianownikiem wyraz po wyrazie ani dodawać wykładników. Właściwy ruch to wyłączenie przed nawias najmniejszej z potęg, czyli \(5^{12}\). **Krok \(2\).** Zapisujemy dwie większe potęgi przy pomocy \(5^{12}\), korzystając z tego, że przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki się dodają: \[5^{13}=5^{12}\cdot5,\qquad 5^{14}=5^{12}\cdot5^2.\] **Krok \(3\).** Wyłączamy \(5^{12}\) przed nawias: \[5^{12}+5^{13}+5^{14}=5^{12}\left(1+5+5^2\right).\] **Krok \(4\).** Wstawiamy to do ułamka i skracamy \(5^{12}\) (jest różne od zera): \[\frac{5^{12}\left(1+5+5^2\right)}{5^{12}}=1+5+5^2.\] **Krok \(5\).** Liczymy wartość nawiasu: \[1+5+25=31.\] **Uwaga.** Pierwszy składnik po wyłączeniu daje \(1\), a nie \(0\) — bo \(5^{12}=5^{12}\cdot1\). Pominięcie tej jedynki daje \(5+25=30\), czyli odpowiedź A. To najczęstszy błąd w tym zadaniu. **Odpowiedź.** B: \(31\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa - wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.4) Zdający stosuje […] prawa działań na potęgach […].

**C.** \(\operatorname{tg}25^\circ\)

W liczniku wyłączamy \(\sin 25^\circ\) przed nawias i korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\sin^{3}25^\circ+\sin 25^\circ\cos^{2}25^\circ=\sin 25^\circ\left(\sin^{2}25^\circ+\cos^{2}25^\circ\right)=\sin 25^\circ.\] Ponieważ \(\cos 25^\circ\neq0\), dzielenie jest wykonalne i \[\frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ}=\operatorname{tg}25^\circ.\] **Odpowiedź.** C

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: V. Rozumowanie i argumentacja. Wymaganie szczegółowe: 6.4) Stosuje tożsamość sin²α+cos²α=1 i definicję tangensa.

**C.** \(\operatorname{tg}25^\circ\)

W liczniku wyłączamy \(\sin 25^\circ\) przed nawias i korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\sin^{3}25^\circ+\sin 25^\circ\cos^{2}25^\circ=\sin 25^\circ\left(\sin^{2}25^\circ+\cos^{2}25^\circ\right)=\sin 25^\circ.\] Ponieważ \(\cos 25^\circ\neq0\), dzielenie jest wykonalne i \[\frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ}=\operatorname{tg}25^\circ.\] **Odpowiedź.** C

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: IV. Rozumowanie i argumentacja. Wymaganie szczegółowe: VII.2) Korzysta z tożsamości sin²α+cos²α=1 i definicji tangensa.

**C.** Dla \(x\neq-2\) i \(x\neq0\): \[\frac{x^{2}+x}{x^{2}+4x+4}\cdot\frac{x+2}{x}=\frac{x(x+1)}{(x+2)^{2}}\cdot\frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+2}.\]

**Krok \(1\).** Mnożymy przez siebie dwa wyrażenia wymierne. Nie wymnażamy nawiasów - przeciwnie, rozkładamy liczniki i mianowniki na czynniki, żeby móc skracać. **Krok \(2\).** Licznik pierwszego ułamka: wyłączamy \(x\) przed nawias: \[x^{2}+x=x(x+1).\] **Krok \(3\).** Mianownik pierwszego ułamka to kwadrat sumy (wzór skróconego mnożenia): \[x^{2}+4x+4=x^{2}+2\cdot2\cdot x+2^{2}=(x+2)^{2}.\] **Krok \(4\).** Zapisujemy cały iloczyn w postaci jednego ułamka: \[\frac{x(x+1)}{(x+2)^{2}}\cdot\frac{x+2}{x}=\frac{x(x+1)(x+2)}{(x+2)^{2}\cdot x}.\] **Krok \(5\).** Skracamy \(x\) oraz jeden czynnik \((x+2)\): \[\frac{x(x+1)(x+2)}{(x+2)^{2}\cdot x}=\frac{x+1}{x+2}.\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy liczbowo dla \(x=1\): wyrażenie wyjściowe daje \(\frac{1+1}{1+4+4}\cdot\frac{3}{1}=\frac{2}{9}\cdot3=\frac23\), a otrzymany wynik \(\frac{1+1}{1+2}=\frac23\). Zgadza się. **Uwaga.** Skracanie jest dozwolone właśnie dzięki założeniom z treści: \(x\neq0\) i \(x\neq-2\). Bez nich dzielilibyśmy przez zero. **Odpowiedź.** C, czyli \(\frac{x+1}{x+2}\).

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** II.4) Zdający mnoży […] wyrażenia wymierne.

\[\frac ab=-1.\]

Rozwijamy prawą stronę równania: \[(a+b)(a^2+3ab+b^2)=a^3+4a^2b+4ab^2+b^3.\] Po skróceniu \(a^3+b^3\) otrzymujemy \[4a^2b+4ab^2=0,\qquad 4ab(a+b)=0.\] Warunki \(a\neq0\) i \(b\neq0\) wykluczają dwa pierwsze czynniki, więc \(a+b=0\), czyli \(a=-b\). Stąd \[\frac ab=\frac{-b}{b}=-1.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(\frac ab=-1\) **2 pkt** – otrzymanie \(4ab(a+b)=0\) i rozwiązań \(a=0\), \(b=0\), \(a=-b\), bez uwzględnienia warunków zadania **1 pkt** – przekształcenie do postaci \(4ab(a+b)=0\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** II.2) Zdający dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany wielu zmiennych. II.3) Wyłącza jednomian przed nawias. III.1) Przekształca równania równoważnie. III.5) Rozwiązuje równania wielomianowe doprowadzone do postaci iloczynowej.

Liczba \(2^{100}+4^{49}+16^{24}\) jest podzielna przez \(21\).

Korzystamy z praw działań na potęgach: \[2^{100}+4^{49}+16^{24}=2^{100}+(2^2)^{49}+(2^4)^{24}\] \[=2^{100}+2^{98}+2^{96}.\] Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias: \[2^{100}+2^{98}+2^{96}=2^{96}(2^4+2^2+1)=2^{96}(16+4+1)=2^{96}\cdot21.\] Ponieważ \(2^{96}\) jest liczbą naturalną, dana liczba jest podzielna przez \(21\).

**2 pkt** – przekształcenie wyrażenia do postaci \(21\cdot n\), gdzie \(n\) jest liczbą naturalną, na przykład \(2^{96}\cdot21\) **1 pkt** – przekształcenie wyrażenia do postaci \(2^{100}+2^{98}+2^{96}\); albo do równoważnej postaci \(4^{50}+4^{49}+4^{48}\); albo \(16^{25}+4\cdot16^{24}+16^{24}\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** I.2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych. I.4) Zdający stosuje prawa działań na potęgach.

\(x^2+3xy-10y^2=(x-2y)(x+5y)>0\)

Rozkładamy wyrażenie na czynniki: \[x^2+3xy-10y^2=x^2+5xy-2xy-10y^2=(x-2y)(x+5y).\] Z założenia \(x>2y\), więc \(x-2y>0\). Ponieważ \(x\) i \(y\) są dodatnie, również \(x+5y>0\). Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni, zatem \[x^2+3xy-10y^2>0.\]

**2 pkt** – pełne rozumowanie: zapis \((x-2y)(x+5y)>0\) oraz wykorzystanie założeń do uzasadnienia dodatniości obu czynników **1 pkt** – rozkład \(x^2+3xy-10y^2=(x-2y)(x+5y)\) albo równoważny istotny postęp wskazany w kluczu **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania. Samo sprawdzenie nierówności dla wybranych wartości \(x\) i \(y\) nie stanowi dowodu

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** wyrażenia algebraiczne - rozkład na czynniki i przeprowadzenie dowodu nierówności.

B. Dwa rozwiązania

**Krok \(1\).** Lewa strona jest zapisana jako iloczyn dwóch nawiasów. Nie wymnażamy ich - korzystamy z reguły: iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy **co najmniej jeden** z czynników jest równy zeru. Rozbijamy więc zadanie na dwa prostsze równania. **Krok \(2\).** Pierwszy czynnik: \[x^2-3x=0.\] Wyłączamy \(x\) przed nawias: \(x(x-3)=0\), skąd \(x=0\) lub \(x=3\). Mamy dwa rozwiązania. **Krok \(3\).** Drugi czynnik: \[x^2+1=0,\qquad x^2=-1.\] Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, więc \(x^2+1\geq 1\gt 0\) - to równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. **Krok \(4\).** Zbieramy wszystkie rozwiązania: \(x=0\) i \(x=3\), czyli dokładnie dwa. **Uwaga.** Nie sugeruj się tym, że po wymnożeniu powstałby wielomian stopnia czwartego. Stopień mówi tylko, ile **najwyżej** może być pierwiastków - tu czynnik \(x^2+1\) nie daje żadnego. **Odpowiedź.** B: dwa rozwiązania

Zadanie 8. Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

\(x\in\left\{-1,\frac23,1\right\}\)

Grupujemy wyrazy: \[3x^3-2x^2-3x+2=x^2(3x-2)-(3x-2)=(3x-2)(x^2-1).\] Korzystając z różnicy kwadratów, otrzymujemy \[(3x-2)(x-1)(x+1)=0.\] Stąd \[x=\frac23\quad\text{lub}\quad x=1\quad\text{lub}\quad x=-1.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i komplet rozwiązań \(x=-1\), \(x=\frac23\), \(x=1\) **2 pkt** – poprawny rozkład i rozwiązanie części równań albo wskazanie dwóch poprawnych pierwiastków **1 pkt** – rozkład na czynniki stopnia najwyżej drugiego albo wskazanie jednego pierwiastka **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności - rozwiązywanie równania wielomianowego przez rozkład na czynniki.

\[x_0=2,\qquad y=17x-16.\]

Ponieważ punkt \(P=(x_0,18)\) należy do wykresu funkcji \(f\), mamy \[2x_0^3-4x_0^2+9x_0=18.\] Przenosimy wszystko na jedną stronę i rozkładamy na czynniki: \[2x_0^3-4x_0^2+9x_0-18=0,\] \[(2x_0^2+9)(x_0-2)=0.\] Dla liczb rzeczywistych \(2x_0^2+9>0\), zatem \[x_0=2.\] Wyznaczamy pochodną: \[f'(x)=6x^2-8x+9.\] Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy \[a=f'(2)=24-16+9=17.\] Styczna przechodzi przez punkt \((2,18)\), więc \[y-18=17(x-2),\] czyli \[y=17x-16.\]

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x_0=2\) oraz \(y=17x-16\) **2 pkt** – obliczenie \(x_0=2\) i wyznaczenie pochodnej \(f'(x)=6x^2-8x+9\) **1 pkt** – obliczenie \(x_0=2\); albo wyznaczenie pochodnej \(f'(x)=6x^2-8x+9\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Element podstawy programowej:** wyznaczanie pochodnej wielomianu i równania stycznej do wykresu funkcji w punkcie. Klucz CKE dla tego arkusza w formule 2015 nie podaje osobnego kodu wymagania.

**A.** \(\cos^3\alpha\)

Wyłączamy \(\cos\alpha\) przed nawias i korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\cos\alpha-\cos\alpha\sin^2\alpha=\cos\alpha(1-\sin^2\alpha)=\cos\alpha\cos^2\alpha=\cos^3\alpha.\]

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Element podstawy programowej:** trygonometria; zdający stosuje tożsamość \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) do przekształcania wyrażeń.

**A.** \(\cos^3\alpha\)

Wyłączamy \(\cos\alpha\) przed nawias i korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\cos\alpha-\cos\alpha\sin^2\alpha=\cos\alpha(1-\sin^2\alpha)=\cos\alpha\cos^2\alpha=\cos^3\alpha.\]

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja oraz tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** VII.2 zdający korzysta z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

**A.** \(\sin^2\alpha\)

Wyłączamy \(\sin^2\alpha\) przed nawias i korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\sin^4\alpha+\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\sin^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=\sin^2\alpha.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja; przeprowadzanie rozumowań i uzasadnianie ich poprawności. **Wymagania szczegółowe:** VII.2 zdający korzysta ze wzoru \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

Po pomnożeniu przez \(a\gt 0\) nierówność jest równoważna \(a^{3}-12a+16\geq 0\), czyli \((a-2)^{2}(a+4)\geq 0\). Oba czynniki są nieujemne dla \(a\gt 0\), a równość zachodzi tylko dla \(a=2\).

**Krok \(1\).** Metoda: przekształcamy nierówność równoważnie, mnożąc przez dodatnią liczbę \(a\), i rozkładamy powstały wielomian na czynniki o oczywistym znaku. **Krok \(2\).** Z założenia \(a\gt 0\), więc mnożenie obu stron przez \(a\) nie zmienia kierunku nierówności: \[a^{2}+\frac{16}{a}\geq 12\quad\Longleftrightarrow\quad a^{3}+16\geq 12a\quad\Longleftrightarrow\quad a^{3}-12a+16\geq 0.\] **Krok \(3\).** Rozważmy wielomian \(W(a)=a^{3}-12a+16\). Sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego: \(W(2)=8-24+16=0\), więc \(a-2\) jest dzielnikiem \(W\). **Krok \(4\).** Dzielimy: \(W(a)=(a-2)\left(a^{2}+2a-8\right)\). Trójmian \(a^{2}+2a-8\) ma pierwiastki \(2\) i \(-4\), więc \[W(a)=(a-2)(a-2)(a+4)=(a-2)^{2}(a+4).\] **Krok \(5\).** Dla każdego \(a\gt 0\) mamy \((a-2)^{2}\geq 0\) oraz \(a+4\gt 0\), więc iloczyn \((a-2)^{2}(a+4)\) jest nieujemny. Zatem \(a^{3}-12a+16\geq 0\). **Krok \(6\).** Dzieląc tę nierówność stronami przez \(a\gt 0\), wracamy do postaci wyjściowej \(a^{2}+\frac{16}{a}\geq 12\). To należało wykazać. **Uwaga.** Kluczowe jest założenie \(a\gt 0\): tylko dzięki niemu mnożenie i dzielenie przez \(a\) zachowuje kierunek nierówności. Dla \(a\lt 0\) lewa strona jest ujemna albo mniejsza od \(12\), więc teza po prostu nie zachodzi. Zauważmy też, że równość ma miejsce dokładnie dla \(a=2\), bo tylko wtedy \((a-2)^{2}=0\). **Odpowiedź.** Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(a\) zachodzi \(a^{2}+\frac{16}{a}\geq 12\), przy czym równość zachodzi tylko dla \(a=2\).

**3 pkt** – spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty i uzasadnienie prawdziwości nierówności \(\frac{(a-2)^{2}(a+4)}{a}\ge 0\) lub \((a-2)^{2}(a+4)\ge 0\), lub \(a(a-2)^{2}(a+4)\ge 0\) z powołaniem się na założenie (dla sposobu I) ALBO – spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty i przekształcenie nierówności \(\frac{a^{2}+\frac{8}{a}+\frac{8}{a}}{3}\ge\sqrt[3]{a^{2}\cdot\frac{8}{a}\cdot\frac{8}{a}}\) do postaci tezy (dla sposobu II), ALBO – spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty oraz obliczenie \(f(2)\): \(f(2)=12\) (dla sposobu III). **2 pkt** – przekształcenie nierówności \(a^{2}+\frac{16}{a}\ge 12\) do postaci \(\frac{(a-2)^{2}(a+4)}{a}\ge 0\) lub \((a-2)^{2}(a+4)\ge 0\), lub \(a(a-2)^{2}(a+4)\ge 0\) (dla sposobu I) ALBO – spełnienie kryterium oceniania za 1 punkt oraz zapisanie wielomianu \(a^{3}-12a+16\) w postaci \((a-2)^{2}(a+4)\) (dla sposobu I), ALBO – zapisanie, że dla każdego \(a>0\) liczby \(a^{2}\), \(\frac{8}{a}\), \(\frac{8}{a}\) są dodatnie oraz zapisanie nierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną liczb dodatnich \(a^{2}\), \(\frac{8}{a}\), \(\frac{8}{a}\): \(\frac{a^{2}+\frac{8}{a}+\frac{8}{a}}{3}\ge\sqrt[3]{a^{2}\cdot\frac{8}{a}\cdot\frac{8}{a}}\) (dla sposobu II), ALBO – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(f\) oraz wyznaczenie w przedziale \((0,\,+\infty)\) argumentu, dla którego funkcja osiąga w tym przedziale wartość najmniejszą (wraz z uzasadnieniem): \(a=2\) (dla sposobu III). **1 pkt** – przekształcenie nierówności \(a^{2}+\frac{16}{a}\ge 12\) do postaci \(\frac{a^{3}-12a+16}{a}\ge 0\) lub \(a^{3}-12a+16\ge 0\), lub \(a(a^{3}-12a+16)\ge 0\) (dla sposobu I) ALBO – zapisanie, że dla każdego \(a>0\) liczby \(a^{2}\), \(\frac{8}{a}\), \(\frac{8}{a}\) są dodatnie (dla sposobu II), ALBO – obliczenie pochodnej funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(a)=a^{2}+\frac{16}{a}\) dla \(a>0\) (lub w szerszym zakresie), np. \(f'(a)=2a-\frac{16}{a^{2}}\) (dla sposobu III). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania. **Uwaga:** Jeśli zdający opiera swoje rozwiązanie na nierówności między średnimi (sposób III) i stosuje nierówność między średnimi liczb \(a^{2}\), \(\frac{8}{a}\), \(\frac{8}{a}\) bez zapisania, że liczby te są dodatnie, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** II.R1) Zdający znajduje pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych. III.R1) Zdający rozwiązuje nierówności wielomianowe typu: \(W(x)>0\), \(W(x)\ge 0\), \(W(x)<0\), \(W(x)\le 0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania.

\[\frac ab=-1.\]

Rozwijamy sześcian sumy i porządkujemy równanie: \[a^3+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\] \[3ab(a+b)=0.\] Ponieważ \(a\ne0\) i \(b\ne0\), musi zachodzić \(a+b=0\), czyli \(a=-b\). Stąd \(\frac ab=-1\).

**3 pkt** – poprawna metoda obliczenia ilorazu i wynik \(\frac ab=-1\) **2 pkt** – uzyskanie \(3ab(a+b)=0\) i rozwiązań \(a=0\), \(b=0\), \(a=-b\), bez uwzględnienia warunków **1 pkt** – przekształcenie równania do postaci \(3ab(a+b)=0\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** II.1, II.3, III.1 i III.6 wzory skróconego mnożenia, wyłączanie jednomianu przed nawias, równoważne przekształcanie równań i rozwiązywanie równań wielomianowych w postaci iloczynowej.

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(x,y\in\mathbb R\) spełniających \(2x>y\).

Przenosimy prawą stronę na lewą i rozkładamy wyrażenie na czynniki: \[7x^3+4x^2y-y^3-2xy^2+x^3\] \[=8x^3+4x^2y-2xy^2-y^3=(2x-y)(2x+y)^2.\] Z założenia \(2x-y>0\), a dla wszystkich liczb rzeczywistych \((2x+y)^2\geq0\). Zatem \[(2x-y)(2x+y)^2\geq0,\] co kończy dowód.

**3 pkt** – pełne rozumowanie: rozkład na czynniki i uzasadnienie znaków obu czynników **2 pkt** – sprowadzenie nierówności do \((2x-y)(2x+y)^2\geq0\) **1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru skróconego mnożenia albo równoważny istotny krok prowadzący do rozkładu **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** V. rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** R2.1 stosowanie wzorów skróconego mnożenia dla sześcianu sumy i różnicy oraz sumy i różnicy sześcianów.

**B.** \(W(x)=(x-2)(x^2-3)\)

**Krok \(1\).** Wielomian ma cztery wyrazy i nie da się wyłączyć wspólnego czynnika ze wszystkich naraz. W takiej sytuacji standardową metodą jest **grupowanie**: łączymy wyrazy w pary i z każdej pary wyłączamy wspólny czynnik tak, aby w obu nawiasach powstało to samo. **Krok \(2\).** Grupujemy dwa pierwsze i dwa ostatnie wyrazy: \[W(x)=(x^3-2x^2)+(-3x+6).\] **Krok \(3\).** Z pierwszej pary wyłączamy \(x^2\): \[x^3-2x^2=x^2(x-2).\] **Krok \(4\).** Z drugiej pary wyłączamy \(-3\) (celowo z minusem, żeby w nawiasie powstało \(x-2\)): \[-3x+6=-3(x-2).\] **Krok \(5\).** Teraz oba składniki mają wspólny czynnik \((x-2)\), więc wyłączamy go przed nawias: \[W(x)=x^2(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x^2-3).\] **Krok \(6\).** Sprawdzenie: skoro w rozkładzie występuje \((x-2)\), to \(W(2)\) powinno być zerem: \[W(2)=8-8-6+6=0.\] Zgadza się. Dla porównania \(W(-2)=-8-8+6+6=-4\neq 0\), więc czynnik \((x+2)\) nie może występować - to eliminuje odpowiedzi A i C. **Uwaga.** Uwaga na znaki przy wyłączaniu: z \(-3x+6\) po wyłączeniu \(-3\) zostaje \(x-2\), a nie \(x+2\). Gdyby wyszły dwa różne nawiasy, to znak grupowania trzeba poprawić. **Odpowiedź.** B: \(W(x)=(x-2)(x^2-3)\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** II.4 rozkładanie wielomianów na czynniki przez wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias oraz grupowanie wyrazów.

**D.** \(-1\)

**Krok \(1\).** Zanim zaczniemy wymnażać, przyglądamy się wyrażeniu: w obu składnikach powtarza się ten sam nawias \((\sqrt2-\sqrt3)\). To znak, żeby wyłączyć go przed nawias — rachunek zrobi się wtedy błyskawiczny. **Krok \(2\).** Wyłączamy wspólny czynnik: \[\sqrt2(\sqrt2-\sqrt3)+\sqrt3(\sqrt2-\sqrt3)=(\sqrt2-\sqrt3)(\sqrt2+\sqrt3).\] **Krok \(3\).** Powstał iloczyn sumy i różnicy tych samych liczb, czyli prawa strona wzoru na różnicę kwadratów: \[(u-v)(u+v)=u^2-v^2,\qquad u=\sqrt2,\ v=\sqrt3.\] **Krok \(4\).** Podstawiamy i korzystamy z tego, że kwadrat pierwiastka z liczby nieujemnej to ta liczba: \[(\sqrt2)^2-(\sqrt3)^2=2-3=-1.\] **Krok \(5\).** Sprawdzenie przez zwykłe wymnożenie nawiasów: \[\sqrt2\cdot\sqrt2-\sqrt2\cdot\sqrt3+\sqrt3\cdot\sqrt2-\sqrt3\cdot\sqrt3=2-\sqrt6+\sqrt6-3=-1.\] Środkowe wyrazy się znoszą, wynik ten sam. **Uwaga.** Odpowiedzi A i C zawierają \(2\sqrt6\) — powstają, gdy ktoś potraktuje wyrażenie jak kwadrat sumy albo różnicy i nie zauważy, że składniki z \(\sqrt6\) się skracają. **Odpowiedź.** D: \(-1\)

Zadanie 1. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.

**A.** \(10(2+\sqrt3)\)

**Krok \(1\).** To zwykłe równanie liniowe, tyle że przy niewiadomej stoi liczba niewymierna \(\sqrt3\). Postępujemy jak zawsze: wyrazy z \(x\) przenosimy na jedną stronę, liczby na drugą, a potem wyłączamy \(x\) przed nawias. **Krok \(2\).** Przenosimy \(2x\) na lewo, a \(2\) na prawo: \[x\sqrt3-2x=-8-2,\qquad\text{czyli}\qquad x\sqrt3-2x=-10.\] **Krok \(3\).** Wyłączamy \(x\) przed nawias: \[x\left(\sqrt3-2\right)=-10.\] **Krok \(4\).** Dzielimy obie strony przez \(\sqrt3-2\). Wolno tak zrobić, bo \(\sqrt3\approx1{,}73\), więc \(\sqrt3-2\neq0\): \[x=\frac{-10}{\sqrt3-2}=\frac{10}{2-\sqrt3}.\] W ostatnim przejściu zmieniliśmy znaki licznika i mianownika jednocześnie, więc wartość ułamka się nie zmieniła. **Krok \(5\).** Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez \(2+\sqrt3\): \[x=\frac{10\left(2+\sqrt3\right)}{\left(2-\sqrt3\right)\left(2+\sqrt3\right)}=\frac{10\left(2+\sqrt3\right)}{2^{2}-\left(\sqrt3\right)^{2}}=\frac{10\left(2+\sqrt3\right)}{4-3}=10\left(2+\sqrt3\right).\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy przybliżeniem: \(x\approx10\cdot3{,}73=37{,}3\). Lewa strona równania to \(37{,}3\cdot1{,}73+2\approx66{,}6\), prawa \(2\cdot37{,}3-8\approx66{,}6\). Zgadza się. **Uwaga.** Łatwo pomylić się przy znaku: \(\frac{-10}{\sqrt3-2}\) to \(\frac{10}{2-\sqrt3}\), a nie \(\frac{10}{\sqrt3-2}\). Ten drugi zapis prowadzi do błędnego wariantu z liczbą ujemną, bo \(\sqrt3-2\lt0\). **Odpowiedź.** A, czyli \(10\left(2+\sqrt3\right)\).

Zadanie 7. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

Rozkład na czynniki daje \(n^{5}-3n^{4}-n+3=(n-3)(n-1)(n+1)\left(n^{2}+1\right)\). Dla nieparzystego \(n=2k+1\) każdy z czterech czynników jest parzysty, więc iloczyn równa się \(16\,(k-1)k(k+1)\left(2k^{2}+2k+1\right)\) i jest podzielny przez \(16\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie na podzielność. Mamy wykazać podzielność przez \(16=2^{4}\), więc najlepszą strategią jest **rozłożenie wyrażenia na czynniki** i pokazanie, że dla nieparzystego \(n\) co najmniej cztery z tych czynników są parzyste. Wtedy w iloczynie da się wyłączyć \(2\cdot2\cdot2\cdot2=16\). **Krok \(2\).** Grupujemy wyrazy parami: \[n^{5}-3n^{4}-n+3=\left(n^{5}-3n^{4}\right)+\left(-n+3\right).\] Z pierwszej pary wyłączamy \(n^{4}\), z drugiej \(-1\): \[n^{4}(n-3)-(n-3).\] **Krok \(3\).** Wyłączamy wspólny czynnik \((n-3)\): \[n^{5}-3n^{4}-n+3=(n-3)\left(n^{4}-1\right).\] **Krok \(4\).** Drugi czynnik rozkładamy dwukrotnie wzorem na różnicę kwadratów: \[n^{4}-1=\left(n^{2}\right)^{2}-1^{2}=\left(n^{2}-1\right)\left(n^{2}+1\right)=(n-1)(n+1)\left(n^{2}+1\right).\] **Krok \(5\).** Otrzymujemy pełny rozkład: \[n^{5}-3n^{4}-n+3=(n-3)(n-1)(n+1)\left(n^{2}+1\right).\] **Krok \(6\).** Korzystamy z założenia: \(n\) jest nieparzysta, więc \(n=2k+1\) dla pewnej liczby całkowitej \(k\). Podstawiamy do każdego czynnika: \[n-3=2k-2=2(k-1),\qquad n-1=2k,\qquad n+1=2k+2=2(k+1),\] \[n^{2}+1=(2k+1)^{2}+1=4k^{2}+4k+2=2\left(2k^{2}+2k+1\right).\] Każdy z czterech czynników jest więc parzysty. **Krok \(7\).** Mnożymy i wyciągamy dwójki przed nawias: \[2(k-1)\cdot2k\cdot2(k+1)\cdot2\left(2k^{2}+2k+1\right)=16\cdot(k-1)\,k\,(k+1)\left(2k^{2}+2k+1\right).\] **Krok \(8\).** Wyrażenie \((k-1)k(k+1)\left(2k^{2}+2k+1\right)\) jest liczbą całkowitą, bo powstaje z liczby całkowitej \(k\) przez dodawanie i mnożenie. Zatem badane wyrażenie jest iloczynem liczby \(16\) i liczby całkowitej, czyli jest podzielne przez \(16\). To kończy dowód. **Uwaga.** Założenie o nieparzystości \(n\) jest naprawdę potrzebne — to ono sprawia, że wszystkie cztery czynniki są parzyste **jednocześnie**. Dla \(n\) parzystego teza nie zachodzi: dla \(n=2\) mamy \(32-48-2+3=-15\), a \(-15\) nie dzieli się przez \(16\). **Odpowiedź.** Dla \(n=2k+1\) zachodzi \(n^{5}-3n^{4}-n+3=16\,(k-1)k(k+1)\left(2k^{2}+2k+1\right)\), więc dla każdej liczby nieparzystej \(n\) wyrażenie jest podzielne przez \(16\).

**Schemat oceniania II sposobu rozwiązania** **1 pkt** – gdy zapisze wraz z odpowiednimi założeniami wyrażenie \((2k+1)^{5}-3(2k+1)^{4}-(2k+1)+19\) i przekształci poprawnie przynajmniej jedno z wyrażeń: \((2k+1)^{5}=32n^{5}+80n^{4}+80n^{3}+40n^{2}+10n+1\) lub \((2k+1)^{4}=16n^{4}+32n^{3}+24n^{2}+8n+1\). **2 pkt** – gdy doprowadzi wyrażenie do postaci \(32n^{5}+32n^{4}-16n^{3}-32n^{2}-16n+16\) i nie uzasadni, że to wyrażenie jest podzielne przez \(16\). **3 pkt** – gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.

Zadanie 8. (0–3) Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej n wyrażenie n5 − 3n4 − n + 3 jest podzielne przez 16. Rozwiązanie (I sposób) Przekształcamy wyrażenie n5 − 3n4 − n + 3 równoważnie w następujący sposób n4 ⋅ ( n − 3 ) − ( n − 3 ) ( n4 −1 ) ⋅ ( n − 3 ) ( n2 −1 ) ⋅ ( n2 + 1 ) ⋅ ( n − 3 ) ( n −1 ) ⋅ ( n + 1 ) ⋅ ( n2 + 1 ) ⋅ ( n − 3 ) ( ) Liczba n jest nieparzysta więc liczby ( n − 1 ) , ( n + 1 ) , n2 + 1 , ( n − 3 ) są parzyste zatem ich iloczyn jest podzielny przez 24.Wyrażenie jest sumą dwóch składników podzielnych przez 16 więc jest podzielne przez 16. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje .............................................................................................................. 1 p. ( ) gdy zapisze wyrażenie w postaci: n4 −1 ⋅ ( n − 3 ) + 16 . Zdający otrzymuje .............................................................................................................. 2 p. ( ) gdy zapisze nierówność w postaci: ( n −1 ) ⋅ ( n +1 ) ⋅ n2 +1 ⋅ ( n − 3 ) +16 i nie uzasadni podzielności przez 16. Zdający otrzymuje .............................................................................................................. 3 p. gdy przeprowadzi pełne rozumowanie. Rozwiązanie (II sposób) Ponieważ liczba n jest nieparzysta możemy zapisać ją w postaci 2k+1, gdzie k jest liczbą całkowitą. Wyrażenie n5 − 3n4 − n + 3 przyjmuje postać:

C. \(2^{30}\cdot 3^{20}\)

Podstawę mianownika rozkładamy na czynniki pierwsze: \(36=2^2\cdot3^2\), więc \[36^{10}=\left(2^2\cdot3^2\right)^{10}=2^{20}\cdot3^{20}.\] Korzystamy z prawa dzielenia potęg o tych samych podstawach: \[\frac{2^{50}\cdot3^{40}}{2^{20}\cdot3^{20}}=2^{50-20}\cdot3^{40-20}=2^{30}\cdot3^{20}.\] **Odpowiedź.** **C.** \(2^{30}\cdot3^{20}\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Poprawna odpowiedź: \(\mathrm{C}\)

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** 1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych (1.4).

\(x\in\left(-\infty,-\frac{2}{7}\right)\cup(1,+\infty)\)

**Krok \(1\).** Po obu stronach nierówności występuje ten sam nawias \(7x+2\). To podpowiedź: przenosimy wszystko na jedną stronę i wyłączamy wspólny czynnik przed nawias, żeby otrzymać postać iloczynową. **Krok \(2\).** Przenosimy prawą stronę na lewo: \[x(7x+2)-(7x+2)\gt0.\] **Krok \(3\).** Wyłączamy \((7x+2)\) przed nawias. Drugi składnik to \(1\cdot(7x+2)\), więc w drugim nawiasie zostaje \(x-1\): \[(7x+2)(x-1)\gt0.\] **Krok \(4\).** Znajdujemy miejsca zerowe, przyrównując czynniki do zera: \[7x+2=0\ \Rightarrow\ x=-\frac27,\qquad x-1=0\ \Rightarrow\ x=1.\] **Krok \(5\).** Ustalamy kształt paraboli. Po wymnożeniu przy \(x^2\) stoi \(7\cdot1=7\), czyli liczba dodatnia — ramiona skierowane do góry, więc wartości dodatnie są na zewnątrz miejsc zerowych. **Krok \(6\).** Nierówność jest ostra (\(\gt\)), więc same miejsca zerowe nie należą do zbioru rozwiązań — nawiasy zostają otwarte: \[x\in\left(-\infty,-\frac27\right)\cup(1,+\infty).\] **Uwaga.** Kusi, żeby obie strony podzielić przez \(7x+2\) i dostać po prostu \(x\gt1\). Tak nie wolno — nie wiemy, czy \(7x+2\) jest dodatnie, a przy dzieleniu przez liczbę ujemną trzeba odwrócić znak nierówności. Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias jest zawsze bezpieczne. **Odpowiedź.** \(x\in\left(-\infty,-\frac27\right)\cup(1,+\infty)\)

1 pkt: pierwiastki −2/7 i 1. 2 pkt: poprawny zbiór rozwiązań.

Zadanie 26. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

Mamy \(n^{5}\)−\(3\)\(n^{4}\)−n+\(19\)=(n−\(1\))(n+\(1\))(\(n^{2}\)+\(1\))(n−\(3\))+\(16\). Dla nieparzystego n każdy z czterech czynników w iloczynie jest parzysty, więc iloczyn jest podzielny przez \(16\); drugi składnik także jest podzielny przez \(16\).

**Krok \(1\).** Mamy dowieść podzielności przez \(16=2^4\), a założenie mówi o liczbie nieparzystej. Dla nieparzystego \(n\) parzyste są wyrażenia typu \(n-1\), \(n+1\), \(n-3\), \(n^2+1\). Pomysł: rozłożyć wyrażenie na iloczyn czterech takich czynników plus stała podzielna przez \(16\). **Krok \(2\).** Odejmujemy i dodajemy \(16\), aby wyodrębnić wygodną resztę: \[n^5-3n^4-n+19=\left(n^5-3n^4-n+3\right)+16.\] **Krok \(3\).** Nawias grupujemy parami i wyłączamy wspólne czynniki: \[n^5-3n^4-n+3=n^4(n-3)-(n-3)=(n-3)\left(n^4-1\right).\] **Krok \(4\).** Rozkładamy \(n^4-1\) dwukrotnie wzorem na różnicę kwadratów: \[n^4-1=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=(n-1)(n+1)\left(n^2+1\right).\] **Krok \(5\).** Otrzymujemy zatem \[n^5-3n^4-n+19=(n-3)(n-1)(n+1)\left(n^2+1\right)+16.\] **Krok \(6\).** Niech \(n\) będzie nieparzyste. Wtedy \(n-3\), \(n-1\), \(n+1\) są parzyste (liczba nieparzysta minus lub plus liczba nieparzysta daje parzystą), a \(n^2\) jest nieparzysty, więc \(n^2+1\) też jest parzysty. **Krok \(7\).** Iloczyn czterech liczb parzystych zawiera czynnik \(2^4=16\), więc pierwszy składnik jest podzielny przez \(16\). **Krok \(8\).** Drugi składnik to \(16\), również podzielny przez \(16\). Suma dwóch liczb podzielnych przez \(16\) jest podzielna przez \(16\), co kończy dowód. **Uwaga.** Rozkład warto sprawdzić rachunkiem: \((n-3)\left(n^4-1\right)=n^5-3n^4-n+3\), a po dodaniu \(16\) rzeczywiście wychodzi \(n^5-3n^4-n+19\). Kontrola liczbowa: dla \(n=1\) wyrażenie równa się \(16\), dla \(n=3\) też \(16\), a dla \(n=5\) daje \(1264=16\cdot79\). **Odpowiedź.** Ponieważ \(n^5-3n^4-n+19=(n-3)(n-1)(n+1)\left(n^2+1\right)+16\), a dla nieparzystego \(n\) wszystkie cztery czynniki iloczynu są parzyste, całe wyrażenie jest podzielne przez \(16\).

Schemat oceniania I sposobu rozwiązania. **[…] pkt** – gdy zdający zapisze wyrażenie w postaci: \((n-1)(n+1)(n^{2}+1)(n-3)+16\). **2 pkt** – gdy zdający zapisze wyrażenie w postaci \((n-1)(n+1)(n^{2}+1)(n-3)+16\) i nie uzasadni podzielności przez \(16\). **[…] pkt** – gdy zdający przeprowadzi pełne rozumowanie. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania. **[…] pkt** – gdy zdający zapisze wraz z odpowiednimi założeniami wyrażenie \((2k+1)\) […] i przekształci poprawnie przynajmniej jedno z wyrażeń. **[…] pkt** – gdy zdający doprowadzi wyrażenie do postaci \(32k^{5}+32k^{4}-16k^{3}-32k^{2}-16k+16\) i nie uzasadni, że to wyrażenie jest podzielne przez \(16\). **3 pkt** – gdy zdający przeprowadzi pełne rozumowanie.

Klasyfikacja rzeczowa: dowodzenie podzielności wyrażenia algebraicznego przez rozkład na czynniki i wykorzystanie parzystości.

\[x\in\{-1,2,5\}.\]

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru: \[x^3-8=0\qquad\text{lub}\qquad x^2-4x-5=0.\] Pierwsze równanie daje \(x=2\). Drugi trójmian rozkładamy na czynniki: \[x^2-4x-5=(x-5)(x+1),\] więc \(x=5\) lub \(x=-1\). Wszystkie rozwiązania to \(-1\), \(2\) i \(5\).

**2 pkt** – wyznaczenie wszystkich rozwiązań: \(x=-1\), \(x=2\), \(x=5\) **1 pkt** – zapisanie równań \(x^3-8=0\) i \(x^2-4x-5=0\) albo poprawne rozwiązanie jednego z nich **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.7 korzystanie z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań wielomianowych.

**C.** \(1\)

Dziedzina równania wymaga \(x\neq1\). Licznik rozkładamy na czynniki: \[(x^2-2x-3)(x^2-9)=(x-3)^2(x+1)(x+3).\] Równanie spełniają więc liczby \(-3\), \(-1\) i \(3\). Liczba \(1\) nie jest rozwiązaniem.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje odpowiedzi, bez osobnej tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania wymierne, dziedzina wyrażenia i rozkład wielomianu na czynniki.

Jedynym rozwiązaniem jest \[x=-2.\]

Równanie ma sens dla \(x\neq3\). Licznik rozkładamy na czynniki: \[3x^2-8x-3=(3x+1)(x-3).\] Dla \(x\neq3\) możemy skrócić czynnik \(x-3\), więc równanie jest równoważne równaniu \[3x+1=x-3.\] Stąd \(2x=-4\), czyli \(x=-2\). Liczba ta spełnia założenie dziedziny.

**2 pkt** – zapisanie, że jedynym rozwiązaniem równania jest \(x=-2\) **1 pkt** – obliczenie pierwiastków równania kwadratowego powstałego po pomnożeniu przez \(x-3\), tj. \(x=-2\) i \(x=3\), albo poprawne skrócenie wyrażenia po rozkładzie \(3x^2-8x-3=(3x+1)(x-3)\), bez poprawnego zakończenia **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

Klucz CKE nie zawiera przy tym zadaniu osobnej tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania wymierne - dziedzina, rozkład trójmianu na czynniki i odrzucenie wartości niedopuszczalnej.

Mamy \(k^{3}\)m−k\(m^{3}\)=km(k−\(1\))(k+\(1\))−km(m−\(1\))(m+\(1\)). W każdym składniku występuje iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, a więc liczba podzielna przez \(2\) i przez \(3\), czyli przez \(6\). Różnica tych składników również jest podzielna przez \(6\).

**Krok \(1\).** Trzeba wykazać podzielność przez \(6\). Ponieważ \(6=2\cdot3\), a \(2\) i \(3\) są względnie pierwsze, wystarczy pokazać, że liczba dzieli się przez \(2\) i przez \(3\). Najprościej jednak dojść do iloczynu trzech kolejnych liczb całkowitych — taki iloczyn zawsze dzieli się przez \(6\), więc cała praca sprowadza się do sprytnego rozkładu wyrażenia. **Krok \(2\).** Zauważmy, że dla dowolnych \(k\) i \(m\) \[k^3m-km^3=km\left(k^2-1\right)-km\left(m^2-1\right),\] bo po rozwinięciu prawej strony otrzymujemy \(k^3m-km-km^3+km=k^3m-km^3\). **Krok \(3\).** Każdy z dwóch składników rozkładamy dalej, korzystając ze wzoru \(k^2-1=(k-1)(k+1)\): \[km\left(k^2-1\right)=m\cdot(k-1)k(k+1),\qquad km\left(m^2-1\right)=k\cdot(m-1)m(m+1).\] **Krok \(4\).** W obu wyrażeniach pojawił się iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych: \((k-1)k(k+1)\) oraz \((m-1)m(m+1)\). **Krok \(5\).** Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych co najmniej jedna jest parzysta (bo parzyste i nieparzyste występują na przemian) i dokładnie jedna dzieli się przez \(3\) (bo reszty z dzielenia przez \(3\) powtarzają się co trzy liczby). Iloczyn takich trzech liczb jest więc podzielny przez \(2\) i przez \(3\), a zatem przez \(6\). **Krok \(6\).** Skoro \((k-1)k(k+1)\) jest wielokrotnością \(6\), to po pomnożeniu przez liczbę całkowitą \(m\) nadal jest wielokrotnością \(6\). Tak samo \(k\cdot(m-1)m(m+1)\) jest wielokrotnością \(6\). **Krok \(7\).** Różnica dwóch liczb podzielnych przez \(6\) jest podzielna przez \(6\): jeśli \(6p\) i \(6r\) są całkowite, to \(6p-6r=6(p-r)\). **Krok \(8\).** Zatem \(k^3m-km^3\) jest podzielne przez \(6\) dla dowolnych liczb całkowitych \(k\) i \(m\), co kończy dowód. **Uwaga.** Rozumowanie nie zakłada, że \(k\) i \(m\) są dodatnie — własność „wśród trzech kolejnych liczb całkowitych jest liczba parzysta i liczba podzielna przez \(3\)” działa też dla liczb ujemnych i dla zera. Sprawdzenie na przykładzie (np. \(k=2\), \(m=5\): \(8\cdot5-2\cdot125=40-250=-210=6\cdot(-35)\)) nie jest dowodem, ale dobrze potwierdza rachunki. **Odpowiedź.** Liczba \(k^3m-km^3=m(k-1)k(k+1)-k(m-1)m(m+1)\) jest różnicą dwóch liczb podzielnych przez \(6\), więc sama jest podzielna przez \(6\) dla wszystkich całkowitych \(k\) i \(m\).

**1 pkt** – jeśli zdający uzasadni podzielność przez \(2\), albo uzasadni podzielność przez \(3\) w dwóch przypadkach spośród A, B, C, D, albo uzasadni podzielność przez \(3\) w przypadku F. **2 pkt** – jeśli zdający uzasadni podzielność przez \(2\) i uzasadni podzielność przez \(3\) w dwóch przypadkach spośród A, B, C, D, albo uzasadni podzielność przez \(2\) i uzasadni podzielność przez \(3\) w przypadku F, albo uzasadni podzielność przez \(3\), albo zapisze liczbę \(k^3m-km^3\) w postaci […]. **3 pkt** – jeśli zdający przeprowadzi pełne rozumowanie uzasadniające podzielność przez \(6\).

V. Rozumowanie i argumentacja. 2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający rozkłada wielomian na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia lub wyłączając wspólny czynnik przed nawias (R2.3). SP 2. Działania na liczbach naturalnych. Zdający rozpoznaje liczby naturalne podzielne przez 2 i przez 3 (SP2.3).

D. Równanie ma jedno rozwiązanie: \(x=0\).

**Krok \(1\).** To równanie wymierne — niewiadoma stoi także w mianowniku. Obowiązuje żelazna zasada: ułamek jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera. Zaczynamy więc od dziedziny. **Krok \(2\).** Dziedzina: musi być \(x^2-4\neq0\). Rozkładamy: \[x^2-4=(x-2)(x+2),\] więc \(x\neq2\) oraz \(x\neq-2\). **Krok \(3\).** Przyrównujemy licznik do zera i wyłączamy \(x\) przed nawias: \[x^2+2x=0,\qquad x(x+2)=0,\] skąd \(x=0\) lub \(x=-2\). **Krok \(4\).** Konfrontujemy z dziedziną: liczba \(-2\) jest wykluczona (zeruje mianownik), więc odpada. Zostaje jedno rozwiązanie: \[x=0.\] **Krok \(5\).** Sprawdzenie: dla \(x=0\) mamy \(\frac{0+0}{0-4}=\frac{0}{-4}=0\). Równanie jest spełnione. **Krok \(6\).** Zatem równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie. **Uwaga.** Kusi skrócenie ułamka: \(\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x}{x-2}\). Wolno to zrobić dopiero po wypisaniu dziedziny — samo skrócenie „gubi” informację, że \(x=-2\) jest zabronione, i prowadzi wprost do błędnej odpowiedzi B. **Odpowiedź.** D: równanie ma jedno rozwiązanie \(x=0\)

Zadanie 7. (0−1) 3. Równania i nierówności. Zdający Wersja Wersja I. Wykorzystanie rozwiązuje proste równania wymierne, I II i tworzenie informacji prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych (3.8). D B

\(m\in(-\infty,-3)\cup\left(\frac35,\frac34\right)\). Warunek dwóch różnych pierwiastków daje \(\Delta=5m^2+2m-3\gt0\), czyli \(m\lt-1\) lub \(m\gt\frac35\). Ze wzorów Viète’a nierówność \(x_1^3+x_2^3\gt-7x_1x_2\) sprowadza się do \((m+3)(m+1)(4m-3)\lt0\), czyli \(m\in(-\infty,-3)\cup\left(-1,\frac34\right)\). Część wspólna obu warunków daje wynik.

**Krok \(1\).** Warunek z treści dotyczy wyrażenia symetrycznego względem pierwiastków, więc nie liczymy pierwiastków — używamy wzorów Viète’a i wzoru na sumę sześcianów. Do tego dochodzi warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków, czyli \(\Delta\gt0\). Na koniec bierzemy część wspólną. **Krok \(2\).** Wyróżnik równania \(x^2+(m+1)x-m^2+1=0\): \[\Delta=(m+1)^2-4\left(-m^2+1\right)=m^2+2m+1+4m^2-4=5m^2+2m-3.\] **Krok \(3\).** Rozwiązujemy \(5m^2+2m-3\gt0\): \[\Delta_m=2^2-4\cdot5\cdot(-3)=64,\qquad m=\frac{-2\pm8}{10},\] czyli miejsca zerowe to \(-1\) i \(\frac35\), a nierówność zachodzi dla \(m\in(-\infty,-1)\cup\left(\frac35,+\infty\right)\). **Krok \(4\).** Wzory Viète’a (tu \(a=1\)): \[x_1+x_2=-(m+1),\qquad x_1x_2=-m^2+1=1-m^2.\] **Krok \(5\).** Sumę sześcianów zapisujemy przez sumę i iloczyn: \[x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right).\] **Krok \(6\).** Nierówność \(x_1^3+x_2^3\gt-7x_1x_2\) przenosimy na jedną stronę: \[\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+7x_1x_2\gt0.\] **Krok \(7\).** Podstawiamy wzory Viète’a: \[-(m+1)^3-3\left(1-m^2\right)\cdot\left(-(m+1)\right)+7\left(1-m^2\right)\gt0,\] \[-(m+1)^3+3(m+1)\left(1-m^2\right)+7\left(1-m^2\right)\gt0.\] **Krok \(8\).** Korzystamy z \(1-m^2=-(m+1)(m-1)\) i wyłączamy \((m+1)\) przed nawias: \[(m+1)\left[-(m+1)^2-3(m+1)(m-1)-7(m-1)\right]\gt0,\] a po uporządkowaniu nawiasu: \[-(m^2+2m+1)-3(m^2-1)-7m+7=-4m^2-9m+9,\] więc nierówność ma postać \((m+1)\left(-4m^2-9m+9\right)\gt0\), czyli \((m+1)\left(4m^2+9m-9\right)\lt0\). **Krok \(9\).** Rozkładamy trójmian: \(\Delta=81+144=225\), pierwiastki \(\frac{-9\pm15}{8}\), czyli \(-3\) i \(\frac34\). Zatem \(4m^2+9m-9=(m+3)(4m-3)\) i nierówność przyjmuje postać \[(m+3)(m+1)(4m-3)\lt0.\] **Krok \(10\).** Wielomian stopnia trzeciego o dodatnim współczynniku wiodącym i pierwiastkach \(-3\lt-1\lt\frac34\) jest ujemny na \((-\infty,-3)\) oraz na \(\left(-1,\frac34\right)\). **Krok \(11\).** Bierzemy część wspólną z warunkiem \(\Delta\gt0\): \[\left[(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac35,+\infty\right)\right]\cap\left[(-\infty,-3)\cup\left(-1,\tfrac34\right)\right]=(-\infty,-3)\cup\left(\tfrac35,\tfrac34\right).\] **Uwaga.** Ponieważ \(\frac35=0{,}6\) i \(\frac34=0{,}75\), drugi przedział jest niepusty — warto porównać te ułamki dziesiętnie, żeby go nie odrzucić. Pamiętaj też, że mnożąc nierówność przez \(-1\) odwracamy jej zwrot. **Odpowiedź.** \(m\in(-\infty,-3)\cup\left(\dfrac35,\dfrac34\right)\).

Zadanie 12. (0-6) III. Modelowanie matematyczne. Przykładowe rozwiązanie —1)u 3. Równania i nierówności. Zdający stosuje wzory Viëte'a (R3.1). Równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywłste, gdy jego wyróżnik jest dodatni, czyli A = (m +1)2 +1) > O 5m2 +2m —3 > O Stąd me ( Warunek XI + x23 > —7XlX2 możemy zapisać w postaci równoważnej (XI —x1x2 + x/ ) > —7x1x2, (XI +X2)2 —3XIX2 > —7XlX2 Ze wzorów Vičte'a na sumę i iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego możemy tę nierówność zapisać w postaci: (4 —(m+1)3 +3(m +1) (—m2 +1) + 7 (—1712+1) > O —2m —1 — 3m2 +3+7— 7m) > O (m +1) (—4m2 —9m+9) > O mł = —3 lub a lub — 4) Wyznaczamy część wspólną zbiorów —00, Odpowiedź m e (—00, Schemat punktowania Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności A > 0 • Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. Uwaga -3)u Jeżeli zdający zapisze A 0 , to za tę część otrzymuje O punktów. Drugi etap polega na rozwiązaniu nierówności XI +x2 > —7 XIX2 Za tę część rozwiązama zdający otrzymuje 4 punkty. Podział punktów za drugi etap rozwiązania: 1 punkt zdający otrzymuje za zapisanie nierówności w postaci: (XI +X2)2 —3XIX2 > —7XlX2 lub równoważnej. 2 punkty zdający otrzymuje za doprowadzenie do nierówności ze zmienną m, np. -( 3 punkty zdający otrzymuje za wyznaczenie miejsc zerowych wielomłanu -( czyli wielomianu —4m3 —13m2 +9 4 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie powyższej nierówności. Trzeci etap polega na wyznaczeniu szukanej wartości parametru m z uwzględnieniem wszystkich warunków. Uwagi l. W przypadku otrzymania na jednym z etapów (I lub II) zbioru pustego lub zbioru R jako zbioru rozwiązań nierówności przyznajemy O punktów za III etap. 2. W przypadku otrzymania w II etapie zbioru rozwiązań, będącego podzbiorem zbioru rozwiązań z I etapu lub otrzymania w I etapie zbioru rozwiązań, będącego podzbiorem zbioru rozwiązań z II etapu, przyznajemy O punktów za III etap. 3. O ile nie zachodzą przypadki z uwag l. i 2. i zdający poprawnie wykona etap I oraz popełnia błędy w rozwiązaniu nierówności z etapu II, albo gdy popełma błędy w etapie I i otrzyma co najmniej I punkt za etap II, to za III etap może otrzymać 1 punkt. 4. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązama stosuje nieistniejącą zależność: ąsuma sześcianów = sześcian sumy”, prowadzącą do uproszczenia badanego problemu, lub zdający stosuje Inny błędny wzór, prowadzący do uproszczenia badanego problemu, ale otrzyma nierówność wielomianową stopnia trzeciego, uzyska trzy miejsca zerowe i poprawnie rozwiązuje otrzymaną nierówność, to za II etap otrzymuje 1 punkt (za rozwiązanie nierówności). 5. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania otrzyma poprawną nierówność wielomianową stopnia 3. i popełnia błędy rachunkowe w jej rozwiązaniu, to może otrzymać 3 punkty za II etap, o ile wyznaczy 3 różne miejsca zerowe wielomłanu z tej nierówności i konsekwentnie rozwiąże nierówność do końca, zaś w każdym Innym przypadku otrzymuje 2 punkty za ten etap. 6. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania rozważa nierówność wielomianową stopnia większego niż 3. lub niepoprawną nierówność stopnia 3. i wyznacza miejsca zerowe w liczbie właściwej dla stopnia wielomianu i otrzymuje przynajmniej 3 miejsca zerowe, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za II etap, o ile konsekwentme rozwiąże nierówność. Jeżeli wieloman w tej nierówności nie ma trzech różnych miejsc zerowych, to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za ten etap. 7. Jeżeli zdający przy rozwiązywaniu otrzymanej w II etapie nierówności stopnia co najmnłej 3. popełnia błąd, polegający na niepoprawnym grupowaniu wyrazów, np. z nierówności —4m3 —13m2 +9>0 uzyska —9) > 0, to nie otrzymuje punktów za części 11.3 i 11.4.

III. Modelowanie matematyczne. 3. Równania i nierówności. Zdający stosuje wzory Viète’a (R3.1).

**A.** \(\log_2\frac9{25}\)

**Krok \(1\).** W odpowiedziach stoi jeden logarytm, a w zadaniu mamy różnicę dwóch. Trzeba więc scalić wyrażenie, korzystając z dwóch własności: \(n\log_{a}b=\log_{a}b^{n}\) oraz \(\log_{a}b-\log_{a}c=\log_{a}\frac{b}{c}\). **Krok \(2\).** Współczynnik \(2\) przy pierwszym logarytmie wciągamy jako wykładnik: \[2\log_{2}3=\log_{2}3^{2}=\log_{2}9.\] **Krok \(3\).** Tak samo postępujemy z drugim składnikiem: \[2\log_{2}5=\log_{2}5^{2}=\log_{2}25.\] **Krok \(4\).** Teraz odejmujemy logarytmy o tej samej podstawie, co odpowiada dzieleniu liczb logarytmowanych: \[\log_{2}9-\log_{2}25=\log_{2}\frac{9}{25}.\] **Krok \(5\).** Drugi sposób prowadzi do tego samego wyniku: najpierw wyłączamy \(2\) przed nawias, potem wciągamy je jako wykładnik: \[2\log_{2}3-2\log_{2}5=2\left(\log_{2}3-\log_{2}5\right)=2\log_{2}\frac{3}{5}=\log_{2}\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\log_{2}\frac{9}{25}.\] **Uwaga.** Pułapką jest odpowiedź \(\log_{2}\frac{3}{5}\) — powstaje wtedy, gdy ktoś odejmie logarytmy, ale zgubi mnożnik \(2\). Mnożnik przed logarytmem nie znika: zawsze staje się wykładnikiem liczby logarytmowanej. **Odpowiedź.** A. \(\log_{2}\frac{9}{25}\)

**1 pkt** – odpowiedź A **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** logarytmy - działania na logarytmach i logarytm ilorazu.

x ∈ (−\(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{2}\))

**Krok \(1\).** Rozwiązujemy nierówność \[\left(x-\tfrac12\right)x\gt3\left(x-\tfrac12\right)\left(x+\tfrac13\right).\] Po obu stronach występuje ten sam czynnik \(\left(x-\frac12\right)\). Nie wolno przez niego dzielić, bo nie wiemy, czy jest dodatni, czy ujemny (a nawet czy nie jest zerem). Zamiast tego przenosimy wszystko na jedną stronę i wyłączamy go przed nawias — dostaniemy nierówność iloczynową. **Krok \(2\).** Przenosimy prawą stronę na lewo: \[\left(x-\tfrac12\right)x-3\left(x-\tfrac12\right)\left(x+\tfrac13\right)\gt0.\] **Krok \(3\).** Wyłączamy wspólny czynnik \(\left(x-\frac12\right)\): \[\left(x-\tfrac12\right)\left[x-3\left(x+\tfrac13\right)\right]\gt0.\] **Krok \(4\).** Upraszczamy nawias kwadratowy: \[x-3x-1=-2x-1,\] więc nierówność przyjmuje postać \[\left(x-\tfrac12\right)(-2x-1)\gt0.\] **Krok \(5\).** Mnożymy obie strony przez \(-1\), pamiętając o zmianie zwrotu nierówności: \[\left(x-\tfrac12\right)(2x+1)\lt0.\] **Krok \(6\).** Miejsca zerowe lewej strony to \(x=\frac12\) oraz \(x=-\frac12\). Po wymnożeniu otrzymalibyśmy funkcję kwadratową ze współczynnikiem \(2\) przy \(x^2\), więc ramiona odpowiedniej paraboli są skierowane w górę. **Krok \(7\).** Parabola o ramionach w górę przyjmuje wartości ujemne dokładnie między swoimi miejscami zerowymi, więc \[x\in\left(-\tfrac12,\tfrac12\right).\] **Krok \(8\).** Sprawdzenie dla \(x=0\): lewa strona wyjściowej nierówności to \(\left(-\frac12\right)\cdot0=0\), a prawa \(3\cdot\left(-\frac12\right)\cdot\frac13=-\frac12\). Rzeczywiście \(0\gt-\frac12\), więc \(x=0\) należy do zbioru rozwiązań. **Uwaga.** Skrócenie obu stron przez \(\left(x-\frac12\right)\) jest błędem, który zwykle prowadzi do odpowiedzi w postaci jednej półprostej — traci się informację o zmianie zwrotu nierówności przy ujemnym czynniku oraz o punkcie \(x=\frac12\). Nierówność jest ostra, więc końce przedziału do rozwiązania nie należą. **Odpowiedź.** \(x\in\left(-\frac12,\frac12\right)\).

1 pkt: wyznaczenie pierwiastków −1/2 i 1/2. 2 pkt: poprawny otwarty przedział rozwiązań.

II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą (3.5).

\(4^{2017}\) + \(4^{2018}\) + \(4^{2019}\) + \(4^{2020}\) = \(4^{2017}\)(\(1 + 4\) + \(4^{2}\) + \(4^{3}\)) = \(4^{2017}\cdot 85\) = \(4^{2017}\)·\(5\cdot 17\). Liczba ma więc czynnik \(17\).

**Krok \(1\).** Zadanie \(27\). (\(0-2\)) **Krok \(2\).** V. Rozumowanie **Krok \(3\).** i argumentacja. **Krok \(4\).** l. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje podstawowe **Krok \(5\).** własności potęg (l. \(5\)). **Krok \(6\).** Przykładowe rozwiązanie **Krok \(7\).** Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias \(42017\) (\(1 + 4+ 42 +43\)) . Doprowadzamy liczbę do **Krok \(8\).** \(2017\) **Odpowiedź.** \(4^{2017}\) + \(4^{2018}\) + \(4^{2019}\) + \(4^{2020}\) = \(4^{2017}\)(\(1 + 4\) + \(4^{2}\) + \(4^{3}\)) = \(4^{2017}\cdot 85\) = \(4^{2017}\)·\(5\cdot 17\). Liczba ma więc czynnik \(17\).

**1 pkt** – gdy zdający zapisze liczbę \(4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}\) w postaci iloczynu, w którym jeden z czynników jest potęgą \(4^k\), gdzie \(1985\le k\le 2017\), np. \(4^{2017}(1+4+4^2+4^3)\), i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. **2 pkt** – gdy przeprowadzi poprawny dowód.

V. Rozumowanie i argumentacja. 1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje podstawowe własności potęg (1.5).

\[4^{12}+4^{13}+4^{14}=42\cdot2\cdot4^{11}.\]

Wyłączamy \(4^{12}\) przed nawias: \[4^{12}+4^{13}+4^{14}=4^{12}(1+4+16)=21\cdot4^{12}.\] Ponieważ \(4^{12}=2\cdot(2\cdot4^{11})\), mamy \[21\cdot4^{12}=42\cdot(2\cdot4^{11}).\] Drugi czynnik jest liczbą całkowitą, więc dana liczba jest podzielna przez \(42\).

**2 pkt** – pełne uzasadnienie podzielności przez \(42\) **1 pkt** – poprawne wyłączenie \(4^{12}\) i otrzymanie \(21\cdot4^{12}\) **0 pkt** – rozumowanie błędne albo brak rozumowania

Klucz CKE publikuje rozwiązanie i punktację. **Klasyfikacja rzeczowa:** potęgi i podzielność liczb całkowitych.

**C.** \(3(a-2b)^2\).

Wyłączamy \(3\) przed nawias i stosujemy wzór skróconego mnożenia: \[3a^2-12ab+12b^2=3(a^2-4ab+4b^2)=3(a-2b)^2.\]

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** wyrażenia algebraiczne i wzory skróconego mnożenia.

**B.** \(m\in(-2,2)\)

Funkcja liniowa jest malejąca dokładnie wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest ujemny. Tutaj współczynnikiem kierunkowym jest \(m^2-4\), więc rozwiązujemy nierówność \[m^2-4<0.\] Lewą stronę rozkładamy na czynniki: \[(m-2)(m+2)<0.\] Jest to nierówność kwadratowa o miejscach zerowych \(-2\) i \(2\), a współczynnik przy \(m^2\) jest dodatni, więc wartości ujemne wyrażenie przyjmuje **między** miejscami zerowymi: \[m\in(-2,2).\] Dla \(m=-2\) i \(m=2\) współczynnik kierunkowy jest równy zeru i funkcja jest stała, a nie malejąca — dlatego wariant A odpada, a końce przedziału są wyłączone. **Odpowiedź.** B: \(m\in(-2,2)\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wykorzystanie interpretacji współczynników we wzorze funkcji liniowej (II.4.g).

\[x\in\left\{-2,-\frac23,\frac23\right\}.\]

Grupujemy wyrazy: \[9x^3+18x^2-4x-8=9x^2(x+2)-4(x+2).\] Wyłączamy wspólny czynnik: \[(x+2)(9x^2-4)=0.\] Korzystając z różnicy kwadratów, otrzymujemy \[(x+2)(3x-2)(3x+2)=0.\] Zatem \[x=-2\quad\text{lub}\quad x=-\frac23\quad\text{lub}\quad x=\frac23.\]

**2 pkt** – wyznaczenie wszystkich rozwiązań: \(-2,-\frac23,\frac23\) **1 pkt** – poprawny rozkład lewej strony na czynniki, np. \((x+2)(9x^2-4)\), bez pełnego poprawnego wyniku **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** Rozwiązywanie równań wielomianowych metodą rozkładu na czynniki (I.3.d).

\(x\in\{-\sqrt{11},\ \sqrt{11},\ 6\}\)

**Krok \(1\).** Mamy równanie wielomianowe stopnia trzeciego. Na poziomie podstawowym rozwiązuje się je przez rozkład na czynniki, a najczęściej działa metoda grupowania: łączymy wyrazy w pary tak, aby z każdej pary wyszedł ten sam nawias. Podpowiedzią jest to, że \(66=6\cdot 11\), a przy \(x^{2}\) stoi \(-6\). **Krok \(2\).** Grupujemy pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy: \[x^{3}-6x^{2}-11x+66=\left(x^{3}-6x^{2}\right)+\left(-11x+66\right).\] **Krok \(3\).** Z pierwszej pary wyłączamy \(x^{2}\), z drugiej \(-11\): \[x^{2}(x-6)-11(x-6).\] Pojawił się wspólny nawias \((x-6)\) — to znak, że grupowanie wykonaliśmy dobrze. **Krok \(4\).** Wyłączamy \((x-6)\) przed nawias i zapisujemy równanie w postaci iloczynowej: \[(x-6)\left(x^{2}-11\right)=0.\] **Krok \(5\).** Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy któryś z czynników jest zerem: \[x-6=0\qquad\text{lub}\qquad x^{2}-11=0.\] **Krok \(6\).** Z pierwszego równania \(x=6\). Drugie zapisujemy jako \(x^{2}=11\), skąd \[x=\sqrt{11}\qquad\text{lub}\qquad x=-\sqrt{11}.\] **Krok \(7\).** Zbieramy wszystkie rozwiązania: \(-\sqrt{11}\), \(\sqrt{11}\) oraz \(6\). **Uwaga.** Z równania \(x^{2}=11\) wychodzą dwa rozwiązania — najczęstszy błąd polega na zapisaniu tylko \(x=\sqrt{11}\) i zgubieniu liczby przeciwnej. Liczba \(\sqrt{11}\) nie upraszcza się i tak zostaje w odpowiedzi (dla orientacji \(\sqrt{11}\approx 3{,}32\)). **Odpowiedź.** \(x\in\{-\sqrt{11},\ \sqrt{11},\ 6\}\)

1 pkt: rozkład (x−6)(x²−11)=0. 2 pkt: wszystkie trzy rozwiązania.

Zadanie 27. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

\[a^3b+ab^3=210.\] Kodujemy kolejno cyfry: \(2\), \(1\), \(0\).

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias: \[a^3b+ab^3=ab\left(a^{2}+b^{2}\right).\] Iloczyn \(ab\) jest dany, brakuje sumy kwadratów. Wyznaczamy ją ze wzoru skróconego mnożenia \[(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2},\qquad\text{czyli}\qquad a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2}+2ab.\] Podstawiamy dane \(a-b=4\) oraz \(ab=7\): \[a^{2}+b^{2}=4^{2}+2\cdot7=16+14=30.\] Stąd \[a^3b+ab^3=7\cdot30=210.\] W pola odpowiedzi wpisujemy kolejno cyfrę setek, dziesiątek i jedności liczby \(210\). **Odpowiedź.** \(210\); kodujemy \(2\), \(1\), \(0\).

**2 pkt** – odpowiedź całkowicie poprawna: \(210\) **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** G6.6, 2.1) Zdający wyłącza wspólny czynnik z wyrazów sumy algebraicznej poza nawias oraz używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^{2}\) i \(a^{2}-b^{2}\).

Nierówność została uzasadniona przy założeniu \(2a+b\ge0\).

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: \[2a^{3}-3a^{2}b+b^{3}\ge0.\] Rozkładamy lewą stronę na czynniki. Zauważamy, że dla \(a=b\) wyrażenie się zeruje, więc \(a-b\) jest jego dzielnikiem: \[2a^{3}-3a^{2}b+b^{3}=2a^{2}(a-b)-a^{2}b+b^{3}=2a^{2}(a-b)-b\left(a^{2}-b^{2}\right),\] \[=2a^{2}(a-b)-b(a-b)(a+b)=(a-b)\left(2a^{2}-ab-b^{2}\right).\] Drugi czynnik rozkładamy dalej: \[2a^{2}-ab-b^{2}=2a^{2}-2ab+ab-b^{2}=2a(a-b)+b(a-b)=(a-b)(2a+b).\] Zatem \[2a^{3}-3a^{2}b+b^{3}=(a-b)^{2}(2a+b).\] Pierwszy czynnik jest nieujemny jako kwadrat liczby rzeczywistej, a drugi jest nieujemny z założenia. Iloczyn liczb nieujemnych jest nieujemny, co kończy dowód. **Odpowiedź.** Jeżeli \(2a+b\ge0\), to \(2a^{3}+b^{3}\ge3a^{2}b\), co należało uzasadnić.

Zadanie 5. (3 pkt) Uzasadnij, że jeżeli 2a+bžO, to 2a3 +113 3a2b . Rozwiązanie Przekształcamy nierówność w sposób równoważny: 2a3 -3a2b+b3 žo, 2a3 —2a2b—a2b+b3 O, 2a2 —122) O, 2a2 (a —b) O , (a —b) (2a2 — ab—b2) , (a — b) (2a2 —2ab + ab —b2) O , (2a+b) O . Ostatnia nierówność jest prawdziwa, gdyż jej lewa strona jest iloczynem dwóch liczb nieujemnych: nierówność 0 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b, a z założenia 2a+b O. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp . 1 pkt Zapisanie lewej strony nierówności 2a3 —3a2b+b3 > O w postaci iloczynu, np. Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt Zapisanie lewej strony nierówności w postaci iloczynowej, Rozwiązanie pełne Przeprowadzenie pełnego dowodu. 3pkt

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: dowód nierówności algebraicznej przez rozkład na czynniki.

\(x\in[0,3]\)

**Krok \(1\).** To nierówność kwadratowa (najwyższa potęga to \(x^2\)). Schemat postępowania jest zawsze ten sam: przenieść wszystko na jedną stronę, znaleźć miejsca zerowe trójmianu, naszkicować parabolę i odczytać z rysunku te \(x\), dla których wykres leży po właściwej stronie osi. **Krok \(2\).** Wszystko jest już po lewej stronie: \(3x-x^2\geq0\). Zamiast liczyć wyróżnik, wyłączamy \(x\) przed nawias: \[3x-x^2=x(3-x).\] **Krok \(3\).** Miejsca zerowe: iloczyn jest zerem, gdy \(x=0\) lub \(3-x=0\), czyli \[x=0\qquad\text{oraz}\qquad x=3.\] **Krok \(4\).** Sprawdzamy, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli. Współczynnik przy \(x^2\) w wyrażeniu \(-x^2+3x\) wynosi \(-1\), a więc jest ujemny — ramiona są skierowane **w dół**. **Krok \(5\).** Parabola o ramionach w dół leży **nad** osią (wartości dodatnie) pomiędzy swoimi miejscami zerowymi, a pod osią na zewnątrz nich. Szukamy wartości nieujemnych, więc bierzemy fragment między \(0\) a \(3\). **Krok \(6\).** Nierówność jest nieostra (\(\geq\)), więc miejsca zerowe też ją spełniają — końce przedziału dołączamy: \[x\in[0,3].\] **Krok \(7\).** Kontrola: dla \(x=1\) mamy \(3-1=2\geq0\) (należy), dla \(x=4\) mamy \(12-16=-4\), czyli mniej niż \(0\) (nie należy). **Uwaga.** Przy ujemnym współczynniku przy \(x^2\) rozwiązaniem nierówności \(\geq 0\) jest **odcinek**, a nie suma dwóch półprostych. Odruchowe pisanie \(x\in(-\infty,0]\cup[3,+\infty)\) to najczęstszy błąd w tym zadaniu. **Odpowiedź.** \(x\in[0,3]\)

1 pkt: miejsca zerowe 0 i 3. 2 pkt: poprawny domknięty przedział [0,3].

Zadanie 26. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

Liczba \(\left(1+2013^{2}\right)\left(1+2013^{4}\right)\) jest dzielnikiem podanej sumy.

Oznaczmy \(x=2013\). Rozważana suma to \[1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{7}.\] Grupujemy wyrazy parami i wyłączamy wspólne czynniki: \[(1+x)+x^{2}(1+x)+x^{4}(1+x)+x^{6}(1+x)=(1+x)\left(1+x^{2}+x^{4}+x^{6}\right).\] Drugi nawias grupujemy tak samo: \[1+x^{2}+x^{4}+x^{6}=\left(1+x^{2}\right)+x^{4}\left(1+x^{2}\right)=\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right).\] Zatem \[1+x+\ldots+x^{7}=(1+x)\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right).\] Iloczyn \(\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)\) jest więc dzielnikiem tej liczby, a ilorazem jest liczba całkowita \(1+x=2014\). **Odpowiedź.** \(\left(1+2013^{2}\right)\left(1+2013^{4}\right)\) jest dzielnikiem liczby \(1+2013+\ldots+2013^{7}\), co należało wykazać.

1 pkt: częściowy poprawny rozkład na czynniki. 2 pkt: pełny dowód podzielności.

Zadanie 30. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.

Liczba jest podzielna przez \(17\).

Wyłączamy przed nawias najniższą występującą potęgę, czyli \(6^{98}\): \[6^{100}-2\cdot6^{99}+10\cdot6^{98}=6^{98}\left(6^{2}-2\cdot6+10\right).\] Obliczamy wartość nawiasu: \[36-12+10=34=2\cdot17.\] Zatem \[6^{100}-2\cdot6^{99}+10\cdot6^{98}=17\cdot\left(2\cdot6^{98}\right),\] a liczba \(2\cdot6^{98}\) jest całkowita, więc cała liczba jest podzielna przez \(17\). **Odpowiedź.** Liczba \(6^{100}-2\cdot6^{99}+10\cdot6^{98}\) jest podzielna przez \(17\), co należało wykazać.

1 pkt: zapisanie liczby w postaci iloczynu z czynnikiem 6ᵏ dla 80 ≤ k ≤ 98, np. 6⁹⁸(6² − 2·6 + 10). 2 pkt: zapisanie postaci, z której wynika podzielność przez 17, albo inne pełne uzasadnienie.

Rozumowanie i argumentacja. Przeprowadzenie dowodu algebraicznego (V.1.g).

Oznaczmy lewą stronę przez x i podnieśmy równość do trzeciej potęgi. Ponieważ (\(9\)+√\(80\))(\(9\)−√\(80\))=\(1\), otrzymujemy \(x^{3}\)=\(18\)+\(3x\), czyli (x−\(3\))(\(x^{2}\)+\(3x\)+\(6\))=\(0\). Trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc x=\(3\).

**Krok \(1\).** Pojedynczych pierwiastków sześciennych \(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\) i \(\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\) nie da się wprost uprościć. Standardowy chwyt w takich dowodach: oznaczamy całą lewą stronę jedną literą i podnosimy równość do trzeciej potęgi, bo wtedy pierwiastki sześcienne znikną. **Krok \(2\).** Niech \[x=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}.\] Oznaczmy dla wygody \(p=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\) oraz \(q=\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\), czyli \(x=p+q\). **Krok \(3\).** Korzystamy ze wzoru na sześcian sumy w postaci \[(p+q)^3=p^3+q^3+3pq(p+q).\] Ta postać jest tu kluczowa, bo pozwoli nam wykorzystać to, że \(p+q\) to właśnie \(x\). **Krok \(4\).** Liczymy \(p^3+q^3\). Sześcian znosi pierwiastek sześcienny, więc \[p^3+q^3=\left(9+\sqrt{80}\right)+\left(9-\sqrt{80}\right)=18.\] **Krok \(5\).** Liczymy \(pq\). Iloczyn pierwiastków tego samego stopnia to pierwiastek z iloczynu, a pod pierwiastkiem mamy różnicę kwadratów: \[pq=\sqrt[3]{\left(9+\sqrt{80}\right)\left(9-\sqrt{80}\right)}=\sqrt[3]{81-80}=\sqrt[3]{1}=1.\] **Krok \(6\).** Wstawiamy obie wartości do wzoru z kroku \(3\): \[x^3=18+3\cdot 1\cdot x,\qquad\text{czyli}\qquad x^3-3x-18=0.\] **Krok \(7\).** Sprawdzamy, że \(x=3\) jest pierwiastkiem: \(27-9-18=0\). Dzielimy wielomian przez \(x-3\) i otrzymujemy rozkład \[x^3-3x-18=(x-3)\left(x^2+3x+6\right).\] **Krok \(8\).** Trójmian \(x^2+3x+6\) ma wyróżnik \[\Delta=9-24=-15\lt 0,\] więc nie ma pierwiastków rzeczywistych. Zatem jedyną liczbą rzeczywistą spełniającą równanie \(x^3-3x-18=0\) jest \(x=3\). **Krok \(9\).** Liczba \(x\) z kroku \(2\) jest oczywiście rzeczywista (to suma dwóch pierwiastków sześciennych z liczb rzeczywistych), a spełnia to równanie, więc musi być równa \(3\). To kończy dowód. **Uwaga.** Samo pokazanie, że \(x=3\) spełnia równanie \(x^3-3x-18=0\), to za mało. Trzeba jeszcze uzasadnić, że innych rozwiązań rzeczywistych nie ma, bo inaczej nie wiadomo, które z nich jest naszą sumą. Właśnie temu służy rozkład na czynniki i ujemny wyróżnik w kroku \(8\). **Odpowiedź.** \(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3\).

**1 pkt** – zdający zapisze równanie z niewiadomą \(x\): \(\sqrt[3]{9+[…]}+\sqrt[3]{9-[…]}=x\), podniesie obie strony równania do potęgi trzeciej i zapisze równanie w postaci, np.: […], lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – zdający wykorzysta wzory skróconego mnożenia i przekształci równanie do postaci, np.: […], i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – zdający zapisze równanie z niewiadomą \(x\) w postaci: \(x^{3}-3x-18=0\). **4 pkt** – zdający rozwiąże równanie i wyciągnie wnioski. Jeżeli zdający wyznaczy liczbę \(x=3\) i nie sprawdzi, że jest ona jedynym rozwiązaniem równania \(x^{3}-3x-18=0\), to otrzymuje \(3\) punkty.

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: przekształcanie wyrażeń z pierwiastkami sześciennymi i dowód równości.

\(x\in\left\{\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{4},\frac{5\pi}{3}\right\}\). Dziedzinę ogranicza warunek \(\cos x\neq 0\). Równanie zapisujemy w postaci iloczynowej \(\left(2\cos x-1\right)\left(\operatorname{tg}x-1\right)=0\), więc rozwiązujemy \(\cos x=\frac{1}{2}\) lub \(\operatorname{tg}x=1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\).

**Krok \(1\).** Metoda: przenosimy wszystko na jedną stronę i grupujemy wyrazy tak, by otrzymać postać iloczynową. Wtedy iloczyn jest zerem dokładnie wtedy, gdy zeruje się jeden z czynników. **Krok \(2\).** Ustalamy dziedzinę. Funkcja \(\operatorname{tg}x\) jest określona dla \(\cos x\neq 0\), więc w przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\) musimy wykluczyć \[x=\frac{\pi}{2}\qquad\text{oraz}\qquad x=\frac{3\pi}{2}.\] **Krok \(3\).** Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: \[2\operatorname{tg}x\cdot\cos x+1-2\cos x-\operatorname{tg}x=0.\] **Krok \(4\).** Grupujemy: pierwszy wyraz z trzecim, a czwarty z drugim: \[\operatorname{tg}x\left(2\cos x-1\right)-\left(2\cos x-1\right)=0,\] \[\left(2\cos x-1\right)\left(\operatorname{tg}x-1\right)=0.\] **Krok \(5\).** Iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się któryś z czynników: \[\cos x=\frac{1}{2}\qquad\text{lub}\qquad \operatorname{tg}x=1.\] **Krok \(6\).** Rozwiązujemy pierwsze równanie w przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\). Wartość \(\frac{1}{2}\) cosinus przyjmuje dla \[x=\frac{\pi}{3}\qquad\text{oraz}\qquad x=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}.\] **Krok \(7\).** Rozwiązujemy drugie równanie. Rozwiązaniami \(\operatorname{tg}x=1\) są liczby \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\); w przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\) są to \[x=\frac{\pi}{4}\qquad\text{oraz}\qquad x=\frac{5\pi}{4}.\] **Krok \(8\).** Wszystkie cztery liczby należą do dziedziny (żadna nie jest równa \(\frac{\pi}{2}\) ani \(\frac{3\pi}{2}\)), więc wszystkie są rozwiązaniami. **Uwaga.** Nie wolno skracać obu stron przez \(2\cos x-1\), bo dla \(\cos x=\frac{1}{2}\) dzielilibyśmy przez zero i stracilibyśmy połowę rozwiązań. Dlatego zamiast dzielić, wyłączamy wspólny czynnik przed nawias. **Odpowiedź.** \(x\in\left\{\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{5\pi}{3}\right\}\).

**1 pkt** – zdający zapisze równanie w postaci iloczynowej: \((2\cos x-1)(\operatorname{tg}x-1)=0\). **2 pkt** – zdający zapisze alternatywę dwóch równań, np.: \(\cos x=\tfrac{1}{2}\) lub \(\operatorname{tg}x=1\). **3 pkt** – zdający rozwiąże jedno z równań w przedziale \((0,2\pi)\): \(\cos x=\tfrac{1}{2}\) dla \(x=\tfrac{\pi}{3}\) lub \(x=\tfrac{5\pi}{3}\) (\(x=60^\circ\), \(x=300^\circ\)), albo \(\operatorname{tg}x=1\) dla \(x=\tfrac{\pi}{4}\) lub \(x=\tfrac{5\pi}{4}\) (\(x=45^\circ\), \(x=225^\circ\)). **4 pkt** – zdający wyznaczy wszystkie rozwiązania danego równania w przedziale \((0,2\pi)\): \(x=\tfrac{\pi}{3}\) lub \(x=\tfrac{\pi}{4}\) lub \(x=\tfrac{5\pi}{4}\) lub \(x=\tfrac{5\pi}{3}\); albo \(x=60^\circ\) lub \(x=45^\circ\) lub \(x=225^\circ\) lub \(x=300^\circ\).

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: rozwiązanie równania trygonometrycznego w zadanym przedziale.

Rozwiązania w przedziale [\(0\),\(2\pi \)] to x=π/\(2\), \(2\pi \)/\(3\), \(4\pi \)/\(3\) oraz \(3\pi \)/\(2\). Korzystamy z cos \(2x\)=\(2co\)\(s^{2}\)x−\(1\) i otrzymujemy cos x(\(2cos\) x+\(1\))=\(0\), więc cos x=\(0\) lub cos x=−\(\frac{1}{2}\).

**Krok \(1\).** W równaniu występują funkcje dwóch różnych argumentów: \(2x\) oraz \(x\). Zanim cokolwiek policzymy, musimy sprowadzić je do jednego argumentu — służy do tego wzór na cosinus podwojonego kąta. **Krok \(2\).** Spośród trzech wersji tego wzoru wybieramy tę zapisaną przez cosinus, bo w równaniu jest już \(\cos x\): \[\cos2x=2\cos^2x-1.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy i porządkujemy: \[2\cos^2x-1+\cos x+1=0,\] \[2\cos^2x+\cos x=0.\] **Krok \(4\).** Wyrazy mają wspólny czynnik \(\cos x\), więc wyłączamy go przed nawias: \[\cos x\left(2\cos x+1\right)=0.\] **Krok \(5\).** Iloczyn jest zerem, gdy przynajmniej jeden z czynników jest zerem: \[\cos x=0\qquad\text{lub}\qquad \cos x=-\frac12.\] **Krok \(6\).** W przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) cosinus zeruje się dla \[x=\frac{\pi}{2}\qquad\text{oraz}\qquad x=\frac{3\pi}{2}.\] **Krok \(7\).** Cosinus jest równy \(-\frac12\) dla kątów drugiej i trzeciej ćwiartki o kącie podstawowym \(\frac{\pi}{3}\): \[x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\qquad\text{oraz}\qquad x=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}.\] **Uwaga.** Po dojściu do \(2\cos^2x+\cos x=0\) nie wolno skrócić obu stron przez \(\cos x\) — stracilibyśmy dwa rozwiązania, dla których \(\cos x=0\). Zawsze wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i rozpatrujemy alternatywę. **Odpowiedź.** \(x=\dfrac{\pi}{2}\), \(x=\dfrac{2\pi}{3}\), \(x=\dfrac{4\pi}{3}\) lub \(x=\dfrac{3\pi}{2}\).

**1 pkt** – zdający zapisze równanie w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej tego samego argumentu, np. \(2\cos^{2}x+\cos x=0\), i na tym zakończy. **2 pkt** – zdający zapisze alternatywę \(\cos x=0\) lub \(\cos x=-\tfrac{1}{2}\), albo wprowadzi pomocniczą niewiadomą, np. \(t=\cos x\), i zapisze, że \(t=0\) lub \(t=-\tfrac{1}{2}\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – zdający rozwiąże równanie \(\cos x=0\) w przedziale \((0,2\pi)\): \(x=\tfrac{\pi}{2}\) lub \(x=\tfrac{3\pi}{2}\), albo rozwiąże równanie \(\cos x=-\tfrac{1}{2}\) w przedziale \((0,2\pi)\): \(x=\tfrac{2\pi}{3}\) lub \(x=\tfrac{4\pi}{3}\). **4 pkt** – zdający zapisze rozwiązania obu równań w przedziale \((0,2\pi)\): \(\cos x=0\) dla \(x=\tfrac{\pi}{2}\) lub \(x=\tfrac{3\pi}{2}\) (albo \(x=90^\circ\) lub \(x=270^\circ\)), \(\cos x=-\tfrac{1}{2}\) dla \(x=\tfrac{2\pi}{3}\) lub \(x=\tfrac{4\pi}{3}\) (albo \(x=120^\circ\) lub \(x=240^\circ\)). Nie wymagamy, aby zdający zapisał warunek np. \(t\in\langle-1,1\rangle\), o ile z rozwiązania wynika, że zdający uwzględnia ten warunek. Jeżeli zdający podaje ogólne rozwiązanie równania trygonometrycznego, to otrzymuje \(3\) punkty. Jeżeli zdający dzieli stronami równanie \(2\cos^{2}x+\cos x=0\) przez \(\cos x\) bez rozpatrzenia dwóch przypadków i poprawnie rozwiąże równanie \(2\cos x+1=0\), to otrzymuje za całe rozwiązanie \(2\) punkty.

IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie równania trygonometrycznego. (IV.6.e.R)

\(x=-1\), \(x=1\) lub \(x=\frac{4}{3}\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typ równania: to równanie wielomianowe stopnia trzeciego zapisane jako suma czterech jednomianów. Nie ma tu wzoru na pierwiastki takiego równania, więc stosujemy standardową metodę dla czterech składników — **grupowanie wyrazów parami** i wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias. **Krok \(2\).** Grupujemy pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy: \[3x^{3}-4x^{2}-3x+4=\left(3x^{3}-4x^{2}\right)+\left(-3x+4\right).\] **Krok \(3\).** Z pierwszej pary wyłączamy \(x^{2}\): \[3x^{3}-4x^{2}=x^{2}(3x-4).\] **Krok \(4\).** Z drugiej pary chcemy dostać ten sam nawias \((3x-4)\), więc wyłączamy \(-1\): \[-3x+4=-(3x-4).\] **Krok \(5\).** Teraz wspólnym czynnikiem jest \((3x-4)\): \[x^{2}(3x-4)-(3x-4)=(3x-4)\left(x^{2}-1\right).\] **Krok \(6\).** Drugi nawias rozkładamy wzorem na różnicę kwadratów \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\): \[x^{2}-1=(x-1)(x+1).\] Równanie przyjmuje postać \[(3x-4)(x-1)(x+1)=0.\] **Krok \(7\).** Iloczyn jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem: \[3x-4=0\quad\text{lub}\quad x-1=0\quad\text{lub}\quad x+1=0.\] **Krok \(8\).** Rozwiązujemy każde z tych równań: \(3x=4\), czyli \(x=\frac43\); dalej \(x=1\) oraz \(x=-1\). **Uwaga.** Nie wolno tu skracać ani dzielić przez \(x\) czy przez \((3x-4)\) — dzieląc przez wyrażenie z niewiadomą, gubi się część rozwiązań. Rozkład na czynniki i przyrównanie każdego z nich do zera daje komplet pierwiastków. **Odpowiedź.** \(x=-1\), \(x=1\) lub \(x=\frac43\)

1 pkt: rozkład (3x−4)(x²−1)=0. 2 pkt: wszystkie trzy rozwiązania.

Zadanie 27. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

\(x^{3}\) + \(2\)\(x^{2}\) − \(8x\) − \(16\) = \(x^{2}\)(x + \(2\)) − \(8\)(x + \(2\)) = (x + \(2\))(\(x^{2}\) − \(8\)). Stąd x = −\(2\) lub \(x^{2}\) = \(8\), czyli x ∈ {−\(2\), −\(2\sqrt{2}\), \(2\sqrt{2}\)}.

**Krok \(1\).** pkt: poprawne zapisanie lewej strony w postaci iloczynu, np. (x + \(2\))(\(x^{2}\) − \(8\)), lub poprawne podzielenie wielomianu przez x + \(2\). **Krok \(2\).** pkt: bezbłędne wyznaczenie wszystkich rozwiązań: −\(2\), −\(2\sqrt{2}\), \(2\sqrt{2}\). **Odpowiedź.** \(x^{3}\) + \(2\)\(x^{2}\) − \(8x\) − \(16\) = \(x^{2}\)(x + \(2\)) − \(8\)(x + \(2\)) = (x + \(2\))(\(x^{2}\) − \(8\)). Stąd x = −\(2\) lub \(x^{2}\) = \(8\), czyli x ∈ {−\(2\), −\(2\sqrt{2}\), \(2\sqrt{2}\)}.

1 pkt: poprawne zapisanie lewej strony w postaci iloczynu, np. (x + 2)(x² − 8), lub poprawne podzielenie wielomianu przez x + 2. 2 pkt: bezbłędne wyznaczenie wszystkich rozwiązań: −2, −2√2, 2√2.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Rozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkładu na czynniki (II.3.d).

\(x=-2\sqrt3\), \(x=2\sqrt3\) lub \(x=6\)

**Krok \(1\).** Mamy równanie stopnia trzeciego z czterema wyrazami. Na poziomie podstawowym nie ma gotowego wzoru na pierwiastki takiego równania, więc rozkładamy lewą stronę na czynniki. Cztery wyrazy to sygnał, żeby spróbować metody grupowania. **Krok \(2\).** Grupujemy wyrazy parami — dwa pierwsze i dwa ostatnie: \[(x^3-6x^2)+(-12x+72)=0.\] **Krok \(3\).** Z pierwszej pary wyłączamy przed nawias \(x^2\): \[x^3-6x^2=x^2(x-6).\] **Krok \(4\).** Z drugiej pary wyłączamy \(-12\) — tak dobieramy czynnik, aby w nawiasie powstało to samo, co poprzednio: \[-12x+72=-12(x-6).\] **Krok \(5\).** Teraz oba składniki mają wspólny nawias \((x-6)\), więc wyłączamy go przed nawias: \[x^2(x-6)-12(x-6)=(x-6)(x^2-12)=0.\] **Krok \(6\).** Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się któryś z czynników: \[x-6=0\quad\text{lub}\quad x^2-12=0.\] **Krok \(7\).** Z pierwszego równania \(x=6\). Z drugiego \(x^2=12\), czyli \(x=\sqrt{12}\) lub \(x=-\sqrt{12}\). **Krok \(8\).** Upraszczamy pierwiastek, wyłączając kwadrat spod znaku: \[\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=\sqrt4\cdot\sqrt3=2\sqrt3.\] Zatem \(x=2\sqrt3\) lub \(x=-2\sqrt3\). **Uwaga.** Równanie \(x^2=12\) ma dwa rozwiązania — nie wolno zapomnieć o ujemnym. Pominięcie \(-2\sqrt3\) oznacza utratę punktu, mimo że rozkład na czynniki był poprawny. **Odpowiedź.** \(x=-2\sqrt3\), \(x=2\sqrt3\) lub \(x=6\)

1 pkt: rozkład (x−6)(x²−12)=0. 2 pkt: wszystkie trzy rozwiązania.

Zadanie 27. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

**C.** \(1\)

Grupujemy dwa ostatnie składniki i wyłączamy \(\cos^{2}\alpha\) przed nawias: \[\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha+\cos^{4}\alpha=\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha\left(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha\right).\] Z jedynki trygonometrycznej nawias jest równy \(1\), więc wyrażenie sprowadza się do \[\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1.\] **Odpowiedź.** C

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Zadanie 6. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Trygonometria.

\[2+\sin^{3}\alpha+\sin\alpha\cos^{2}\alpha=\frac{11}{4}.\]

W dwóch ostatnich składnikach wyłączamy \(\sin\alpha\) przed nawias i korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\sin^{3}\alpha+\sin\alpha\cos^{2}\alpha=\sin\alpha\left(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha\right)=\sin\alpha.\] Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\sin\alpha>0\) i \[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\frac34.\] Zatem całe wyrażenie jest równe \(2+\tfrac34=\tfrac{11}{4}\). **Odpowiedź.** \(\dfrac{11}{4}\).

1 pkt: sprowadzenie wyrażenia do 2+sin α albo obliczenie sin α=3/4. 2 pkt: wynik 11/4.

Zadanie 28. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Trygonometria.

**C.** \((a-1)(b+1)\)

**Krok \(1\).** Wszystkie odpowiedzi są iloczynami dwóch nawiasów, więc wyrażenie \(a-b+ab-1\) trzeba rozłożyć na czynniki. Metoda, która tu działa, to grupowanie wyrazów: łączymy je w pary tak, aby w każdej parze dało się wyłączyć wspólny czynnik. **Krok \(2\).** Przestawiamy wyrazy tak, by w parach pojawiły się wspólne czynniki: \[a-b+ab-1=(a-1)+(ab-b).\] **Krok \(3\).** Z drugiej pary wyłączamy \(b\) przed nawias: \[ab-b=b(a-1).\] **Krok \(4\).** Teraz obie części mają ten sam nawias \((a-1)\), więc wyłączamy go: \[(a-1)+b(a-1)=(a-1)(1+b)=(a-1)(b+1).\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy na konkretnych liczbach, na przykład \(a=2\) i \(b=3\). Wyrażenie wyjściowe daje \(2-3+2\cdot3-1=4\), a otrzymany iloczyn \((2-1)(3+1)=4\). Wyniki są zgodne. **Uwaga.** Tym samym podstawieniem odrzucamy pozostałe warianty: A daje \(3\cdot2=6\), B daje \((-2)\cdot3=-6\), D daje \(5\cdot3=15\), a żadna z tych liczb nie jest równa \(4\). **Odpowiedź.** C, czyli \((a-1)(b+1)\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Zadanie 8. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.

Najmniejsza wartość \(|PQ|^2\) to \(511{,}25\), a największa \(651{,}25\). Mamy \(|PQ|^2=\left(25-\frac m2\right)^2+m^2=\frac54\left(m^2-20m+500\right)\); wierzchołek paraboli wypada dla \(m=10\), czyli poza przedziałem \(\langle-1,7\rangle\), więc wartości skrajne przyjmowane są na jego końcach.

**Krok \(1\).** Punkt \(P\) zależy od jednego parametru \(m\), więc \(|PQ|^2\) będzie funkcją zmiennej \(m\) — i to funkcją kwadratową. Szukamy jej wartości najmniejszej i największej, ale nie na całej prostej, tylko na przedziale domkniętym \(\langle-1,7\rangle\); dlatego po wyznaczeniu wierzchołka trzeba sprawdzić, czy w ogóle do tego przedziału należy. **Krok \(2\).** Ze wzoru na kwadrat długości odcinka, dla \(P=\left(\tfrac12m+\tfrac52,\ m\right)\) i \(Q=\left(\tfrac{55}{2},0\right)\): \[|PQ|^2=\left(\frac{55}{2}-\frac12m-\frac52\right)^2+(0-m)^2.\] **Krok \(3\).** Upraszczamy pierwszy nawias: \(\frac{55}{2}-\frac52=\frac{50}{2}=25\), więc \[|PQ|^2=\left(25-\frac{m}{2}\right)^2+m^2.\] **Krok \(4\).** Rozwijamy kwadrat: \[\left(25-\frac{m}{2}\right)^2=625-25m+\frac{m^2}{4},\] zatem \[f(m)=625-25m+\frac{m^2}{4}+m^2=\frac54m^2-25m+625.\] **Krok \(5\).** Wygodnie wyłączyć \(\frac54\) przed nawias: \[f(m)=\frac54\left(m^2-20m+500\right),\qquad m\in\langle-1,7\rangle.\] **Krok \(6\).** Współczynnik przy \(m^2\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona w górę. Pierwsza współrzędna wierzchołka: \[m_w=\frac{20}{2}=10.\] **Krok \(7\).** Liczba \(10\) nie należy do przedziału \(\langle-1,7\rangle\) — cały przedział leży na lewo od wierzchołka, a tam parabola o ramionach skierowanych w górę maleje. Wartości skrajne funkcja przyjmuje więc na końcach przedziału: największą w \(m=-1\), najmniejszą w \(m=7\). **Krok \(8\).** Liczymy obie wartości: \[f(-1)=\frac54\big(1+20+500\big)=\frac54\cdot521=651{,}25,\] \[f(7)=\frac54\big(49-140+500\big)=\frac54\cdot409=511{,}25.\] **Uwaga.** Gdyby bezmyślnie wstawić \(m_w=10\), otrzymalibyśmy wartość \(f(10)=125\), która w tym zadaniu w ogóle nie występuje, bo dla \(m=10\) punkt \(P\) nie istnieje. Za każdym razem, gdy szukamy wartości ekstremalnych na przedziale, najpierw sprawdzamy położenie wierzchołka względem tego przedziału. **Odpowiedź.** Najmniejsza wartość \(|PQ|^2\) wynosi \(511{,}25\) (dla \(m=7\)), a największa \(651{,}25\) (dla \(m=-1\)).

**1 pkt** – wyznaczenie odległości między punktami \(P\) i \(Q\): \(\lvert PQ\rvert=[…]\) lub \(\lvert PQ\rvert^{2}=[…]\). **2 pkt** – zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci, np.: \(f(m)=\tfrac{5}{4}\left(m^{2}-20m+500\right)\) lub \(f(m)=\tfrac{5}{4}m^{2}-25m+625\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\), i stwierdzenie, że współrzędna ta nie należy do przedziału \((-1,7)\): \(m_{w}=10\) i \(10\notin(-1,7)\); albo obliczenie \(f(-1)\) i \(f(7)\), zapisanie bez uzasadnienia, że \(f(-1)\) jest wartością największą, a \(f(7)\) wartością najmniejszą. **Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)**. **Rozwiązanie pełne** – podanie najmniejszej i największej wartości \(\lvert PQ\rvert^{2}\), odpowiednio \(511{,}25\) oraz \(651{,}25\), z uzasadnieniem, np. powołanie się na monotoniczność lub stwierdzenie, że […] współrzędna wierzchołka nie należy do podanego przedziału. Dalszej ocenie podlega badanie tylko takich funkcji kwadratowych, które przyjmują wartości nieujemne w całym zbiorze liczb rzeczywistych. Jeśli zdający obliczy \(f(10)=500\), \(f(-1)=651{,}25\) i \(f(7)=511{,}25\) i stąd wywnioskuje, że najmniejszą wartością funkcji \(f\) jest \(500\), a największą \(651{,}25\), to za całe rozwiązanie otrzymuje \(4\) punkty.

III. Modelowanie matematyczne. Znalezienie związków miarowych na płaszczyźnie, wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji. (III.8.e; 4.k)

\[x\in(-\infty,0\rangle\cup\langle1,+\infty).\]

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę: \[x^{4}+x^{2}-2x\ge0.\] Wyłączamy \(x\) przed nawias: \[x\left(x^{3}+x-2\right)\ge0.\] Liczba \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu \(x^{3}+x-2\), bo \(1+1-2=0\), więc \[x^{3}+x-2=(x-1)\left(x^{2}+x+2\right).\] Trójmian \(x^{2}+x+2\) ma wyróżnik \(\Delta=1-8=-7<0\) i dodatni współczynnik przy \(x^{2}\), więc jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej. Dzielenie przez niego nie zmienia znaku nierówności, która sprowadza się do \[x(x-1)\ge0.\] Parabola \(y=x(x-1)\) ma miejsca zerowe \(0\) i \(1\) oraz ramiona skierowane do góry, więc przyjmuje wartości nieujemne poza przedziałem między nimi. **Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,0\rangle\cup\langle1,+\infty)\).

*Schemat oceniania I sposobu rozwiązania* **1 pkt** – zapisanie wielomianu \(x^{4}+x^{2}-2x\) w postaci iloczynu, w którym jednym z czynników jest \(x\) lub \([\ldots]\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zapisanie nierówności w postaci iloczynu czynników stopnia co najwyżej drugiego, np. \(x(x-1)\left(x^{2}+x+2\right)\ge 0\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zauważenie, że rozwiązanie nierówności \(x^{4}+x^{2}\ge 2x\) jest jednocześnie rozwiązaniem nierówności kwadratowej \(x(x-1)\ge 0\); albo narysowanie i uzupełnienie tabeli znaków lub sporządzenie szkicu wykresu wielomianu z uwzględnieniem jego miejsc zerowych. **Rozwiązanie pełne** – zapisanie zbioru rozwiązań nierówności \(x^{4}+x^{2}\ge 2x\): \(x\in\left(-\infty,0\right\rangle\cup\left\langle 1,+\infty\right)\). Uwaga: jeśli zdający podzieli nierówność przez \(x\) lub \(x-1\), bez rozpatrzenia odpowiednich przypadków, to za całe rozwiązanie otrzymuje \(0\) punktów. *Schemat oceniania II sposobu rozwiązania* Zdający otrzymuje po \(1\) punkcie za rozwiązanie nierówności w każdym z trzech przedziałów. Czwarty punkt zdający otrzymuje za podanie odpowiedzi końcowej.

IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie nierówności wielomianowej. (IV.3.c.R)

W(x) = \(x^{3}\) + \(4\)\(x^{2}\) − \(9x\) − \(36\) = \(x^{2}\)(x + \(4\)) − \(9\)(x + \(4\)) = (x + \(4\))(\(x^{2}\) − \(9\)) = (x + \(4\))(x − \(3\))(x + \(3\)). Trzecim pierwiastkiem jest x = −\(3\).

**Krok \(1\).** pkt: poprawne zapisanie wielomianu w postaci iloczynu z podanymi pierwiastkami albo wykonanie poprawnego dzielenia; sama poprawna odpowiedź bez obliczeń także \(1\) pkt. **Krok \(2\).** pkt: bezbłędne obliczenie trzeciego pierwiastka x = −\(3\). **Odpowiedź.** W(x) = \(x^{3}\) + \(4\)\(x^{2}\) − \(9x\) − \(36\) = \(x^{2}\)(x + \(4\)) − \(9\)(x + \(4\)) = (x + \(4\))(\(x^{2}\) − \(9\)) = (x + \(4\))(x − \(3\))(x + \(3\)). Trzecim pierwiastkiem jest x = −\(3\).

1 pkt: poprawne zapisanie wielomianu w postaci iloczynu z podanymi pierwiastkami albo wykonanie poprawnego dzielenia; sama poprawna odpowiedź bez obliczeń także 1 pkt. 2 pkt: bezbłędne obliczenie trzeciego pierwiastka x = −3.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Rozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkładu na czynniki (II.3.d).

\(x\in\{-3,\ 3,\ 6\}\)

**Krok \(1\).** To równanie wielomianowe trzeciego stopnia — nie ma na nie gotowego wzoru w tablicach. Standardowa metoda w takiej sytuacji to rozkład lewej strony na czynniki przez grupowanie wyrazów. **Krok \(2\).** Grupujemy wyrazy dwójkami: \[\left(x^3-6x^2\right)+\left(-9x+54\right)=0.\] **Krok \(3\).** Z pierwszej pary wyłączamy \(x^2\), z drugiej \(-9\): \[x^2(x-6)-9(x-6)=0.\] Zwróć uwagę, że z drugiej pary wyłączamy \(-9\), a nie \(9\) — tylko wtedy w nawiasie zostanie \(x-6\), czyli to samo co w pierwszej parze. **Krok \(4\).** Teraz wspólnym czynnikiem jest \(x-6\), więc wyłączamy go przed nawias: \[(x-6)\left(x^2-9\right)=0.\] **Krok \(5\).** Drugi nawias to różnica kwadratów: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Otrzymujemy \[(x-6)(x-3)(x+3)=0.\] **Krok \(6\).** Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem: \[x-6=0\qquad\text{lub}\qquad x-3=0\qquad\text{lub}\qquad x+3=0,\] czyli \(x=6\) lub \(x=3\) lub \(x=-3\). **Krok \(7\).** Sprawdzenie dla \(x=-3\): \[(-3)^3-6\cdot(-3)^2-9\cdot(-3)+54=-27-54+27+54=0.\] **Uwaga.** Z rozkładu \(x^2-9\) wychodzą **dwa** rozwiązania: \(3\) i \(-3\). Zatrzymanie się na \(x^2=9\) i zapisanie tylko \(x=3\) gubi jedno rozwiązanie. **Odpowiedź.** \(x=-3\) lub \(x=3\) lub \(x=6\).

1 pkt: rozkład (x−3)(x+3)(x−6)=0. 2 pkt: wszystkie trzy rozwiązania.

Zadanie 27. (0–2) Rozwiąż równanie x3  6x2  9x  54  0 . Wykorzystanie Rozwiązuje równanie wielomianowe. i interpretowanie reprezentacji Schemat oceniania Zdający otrzymuje ..............................................................................................................1 pkt gdy:  przedstawi lewą stronę równania w postaci iloczynu  x2  9   x  6 lub  x  3  x  3  x  6 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy albo  sprawdzi, że liczba 3 jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian x3  6x2  9x  54 przez dwumian  x  3 i otrzyma  x2  9x  18  i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo  sprawdzi, że liczba 3 jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian x3  6x2  9x  54 przez dwumian  x  3 i otrzyma  x2  3x 18  i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo  sprawdzi, że liczba 6 jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian x3  6x2  9x  54 przez dwumian  x  6 i otrzyma  x2  9  i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje ..............................................................................................................2 pkt gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x  3, x  3, x  6 .

Wyrażenie \(k^{6}-2k^{4}+k^{2}\) jest równe \(\bigl[(k-1)k(k+1)\bigr]^{2}\). Iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez \(2\) i przez \(3\), czyli przez \(6\), a zatem jego kwadrat dzieli się przez \(36\).

**Krok \(1\).** Mamy wykazać podzielność wyrażenia przez \(36\). Przy takich dowodach prawie zawsze rozkładamy wyrażenie na czynniki i szukamy w nim struktury, o której coś wiemy. Pomocna jest obserwacja, że \(36=6^2\), więc wystarczy wskazać w wyrażeniu kwadrat liczby podzielnej przez \(6\). **Krok \(2\).** Wyłączamy \(k^2\) przed nawias: \[k^6-2k^4+k^2=k^2\left(k^4-2k^2+1\right).\] **Krok \(3\).** Nawias jest kwadratem różnicy, bo \(k^4-2k^2+1=(k^2)^2-2\cdot k^2\cdot 1+1^2\): \[k^4-2k^2+1=\left(k^2-1\right)^2.\] **Krok \(4\).** Wstawiamy to z powrotem i wciągamy \(k^2\) pod kwadrat, korzystając z \(k^2=(k)^2\): \[k^2\left(k^2-1\right)^2=\left[k\left(k^2-1\right)\right]^2=\bigl[(k-1)k(k+1)\bigr]^2,\] bo \(k^2-1=(k-1)(k+1)\). **Krok \(5\).** W nawiasie kwadratowym stoi iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych: \(k-1\), \(k\), \(k+1\). Wystarczy pokazać, że ten iloczyn dzieli się przez \(6\), bo wtedy jego kwadrat dzieli się przez \(6^2=36\). **Krok \(6\).** Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych co najmniej jedna jest parzysta (liczby parzyste i nieparzyste występują na przemian), więc iloczyn dzieli się przez \(2\). Ponadto dokładnie jedna z trzech kolejnych liczb jest podzielna przez \(3\) (reszty z dzielenia przez \(3\) powtarzają się cyklicznie \(0,1,2\)), więc iloczyn dzieli się przez \(3\). **Krok \(7\).** Liczby \(2\) i \(3\) są względnie pierwsze, więc z podzielności przez \(2\) i przez \(3\) wynika podzielność przez \(6\). Istnieje zatem liczba całkowita \(m\) taka, że \[(k-1)k(k+1)=6m.\] **Krok \(8\).** Podnosimy do kwadratu: \[k^6-2k^4+k^2=(6m)^2=36m^2,\] a \(m^2\) jest liczbą całkowitą. To kończy dowód. **Uwaga.** Rozumowanie działa dla każdej liczby całkowitej \(k\), także dla \(k=0\) i dla \(k\) ujemnych: trzy kolejne liczby całkowite to trzy kolejne liczby całkowite niezależnie od znaku, a dla \(k=0\) iloczyn jest równy \(0\), które też dzieli się przez \(36\). **Odpowiedź.** \(k^6-2k^4+k^2=\bigl[(k-1)k(k+1)\bigr]^2\), a iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez \(6\), więc jego kwadrat dzieli się przez \(36\).

**Rozwiązanie, w którym jest postęp** – zapisanie liczby \(n^{2}=k^{6}-2k^{4}+k^{2}\) w jednej z następujących postaci iloczynowych: \(\left(k^{3}-k\right)^{2}\), \([\ldots]\) **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – wykazanie podzielności liczby \(n\) przez \(2\) albo przez \(3\). **3 pkt** – wykazanie podzielności liczby \(n\) przez \(2\) i przez \(3\) albo stwierdzenie, że iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez \(6\). **Rozwiązanie pełne** – wyciągnięcie wniosku o podzielności liczby \(n^{2}\) przez \(36\). Uwaga: zdający może zauważyć, że \([\ldots]\); przyznajemy wtedy \(3\) punkty.

IV. Użycie i tworzenie strategii. Wykorzystanie cech podzielności liczb całkowitych.

\(16!\) jest podzielne przez \(2^{15}\) — w rozkładzie tej liczby na czynniki pierwsze występuje dokładnie \(15\) dwójek.

**Krok \(1\).** Mamy wykazać podzielność przez potęgę liczby pierwszej. Liczba jest podzielna przez \(2^{15}\) dokładnie wtedy, gdy w jej rozkładzie na czynniki pierwsze dwójka występuje co najmniej \(15\) razy. Nie musimy więc obliczać iloczynu \(1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot16\) — wystarczy policzyć dwójki. **Krok \(2\).** Czynniki nieparzyste, czyli \(1,3,5,7,9,11,13,15\), nie zawierają w swoim rozkładzie ani jednej dwójki. Odkładamy je na bok i zajmujemy się tylko czynnikami parzystymi. **Krok \(3\).** Rozkładamy każdy czynnik parzysty na czynniki pierwsze: \[2=2^1,\qquad 4=2^2,\qquad 6=2^1\cdot3,\qquad 8=2^3,\] \[10=2^1\cdot5,\qquad 12=2^2\cdot3,\qquad 14=2^1\cdot7,\qquad 16=2^4.\] **Krok \(4\).** Mnożymy je wszystkie. Potęgi o podstawie \(2\) mnożymy, dodając wykładniki: \[1+2+1+3+1+2+1+4=15,\] a pozostałe czynniki dają \(3\cdot5\cdot3\cdot7=315\). Zatem \[2\cdot4\cdot6\cdot8\cdot10\cdot12\cdot14\cdot16=2^{15}\cdot315.\] **Krok \(5\).** Wracamy do całego iloczynu i dopisujemy odłożone czynniki nieparzyste: \[1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot16=2^{15}\cdot315\cdot\left(1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot11\cdot13\cdot15\right).\] **Krok \(6\).** Liczba stojąca obok \(2^{15}\) jest iloczynem liczb naturalnych, więc sama jest liczbą naturalną. Oznaczmy ją przez \(k\); otrzymujemy \[1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot16=2^{15}\cdot k,\qquad k\in\mathbb{N}.\] **Krok \(7\).** To dokładnie oznacza, że iloczyn \(1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot16\) jest podzielny przez \(2^{15}\), co należało wykazać. **Uwaga.** Sam fakt, że wśród czynników jest \(8\) liczb parzystych, daje dopiero \(8\) dwójek — to za mało. Kluczowe jest to, że liczby \(4\), \(8\), \(12\) i \(16\) wnoszą po kilka dwójek naraz. **Odpowiedź.** Iloczyn \(1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot16=16!\) zawiera w rozkładzie na czynniki pierwsze dokładnie \(15\) dwójek, więc jest podzielny przez \(2^{15}\).

1 pkt: poprawne rozłożenie i zliczanie czynników 2. 2 pkt: pełny dowód występowania co najmniej 15 czynników 2.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Liczby rzeczywiste – dowodzi podzielności silni przez potęgę liczby pierwszej.

B. \(5a\)(a − \(2b\) + \(3\))

Wszystkie trzy składniki mają wspólny czynnik \(5a\), który wyłączamy przed nawias: \[5a^{2}-10ab+15a=5a\cdot a-5a\cdot2b+5a\cdot3=5a\left(a-2b+3\right).\] **Odpowiedź.** B. \(5a(a-2b+3)\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi *Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Rozłożenie wielomianu na czynniki przez wyłączenie wspólnego czynnika poza nawias.

**D.** \(( -\infty,0)\cup(4,+\infty)\)

Przenosimy wszystko na jedną stronę i wyłączamy wspólny czynnik: \[x^2>4x,\qquad x^2-4x>0,\qquad x(x-4)>0.\] Iloczyn dwóch czynników jest dodatni poza przedziałem między jego miejscami zerowymi \(0\) i \(4\) (ramiona paraboli skierowane w górę). Zatem \[x\in(-\infty,0)\cup(4,+\infty).\] Zwróćmy uwagę, że dzielenie nierówności przez \(x\) byłoby błędem — znak \(x\) nie jest znany. **Odpowiedź.** D. \((-\infty,0)\cup(4,+\infty)\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** rozwiązywanie nierówności kwadratowej przez rozkład na czynniki Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

\[x=-\sqrt3,\qquad x=\sqrt3,\qquad x=4.\]

Grupujemy wyrazy wielomianu i wyłączamy wspólne czynniki: \[x^3-4x^2-3x+12=x^{2}(x-4)-3(x-4)=(x-4)\left(x^{2}-3\right).\] Drugi czynnik rozkładamy jako różnicę kwadratów: \[x^{2}-3=\left(x-\sqrt3\right)\left(x+\sqrt3\right).\] Zatem \[(x-4)\left(x-\sqrt3\right)\left(x+\sqrt3\right)=0.\] Iloczyn jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy zeruje się jeden z czynników, więc \[x=4\quad\text{lub}\quad x=\sqrt3\quad\text{lub}\quad x=-\sqrt3.\] **Odpowiedź.** \(x=-\sqrt3\), \(x=\sqrt3\), \(x=4\)

**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i podanie wszystkich trzech rozwiązań: \(-\sqrt3\), \(\sqrt3\), \(4\) **Uwaga:** Centralna Komisja Egzaminacyjna nie opublikowała dla tego arkusza pokazowego schematu oceniania z progami cząstkowymi. Podana punktacja całkowita pochodzi z arkusza.

**Sprawdzana umiejętność:** rozwiązywanie równania wielomianowego przez grupowanie wyrazów i rozkład na czynniki, w tym z wykorzystaniem wzoru na różnicę kwadratów.

x ∈ {−\(2\), −√\(5\), √\(5\)}

Wyjaśnienie: Krok \(1\). Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej. \[x^3+2x^2-5x-10=0 \\ x^2(x+2)-5(x-2)=0 \\ (x+2)(x^2-5)=0\] Krok \(2\). Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej. Korzystając z postaci iloczynowej szukamy rozwiązań tej równości, przyrównując wartości w nawiasach do zera. Pamiętaj, że z równanie \(x^2-5=0\) będzie mieć dwa rozwiązania - jedno dodatnie, a drugie ujemne. \[x+2=0 \quad\lor\quad x^2-5=0 \\ x=-2 \quad\lor\quad x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5}\]

Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie: 0 pkt • Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania. 1 pkt • Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.). 2 pkt • Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje równanie wielomianowe przez rozkład na czynniki.

\[x\in\{-2,2,7\}.\]

Grupujemy wyrazy parami i wyłączamy wspólne czynniki: \[x^{3}-7x^{2}-4x+28=x^{2}(x-7)-4(x-7)=(x-7)\left(x^{2}-4\right).\] Do drugiego czynnika stosujemy wzór na różnicę kwadratów: \[(x-7)(x-2)(x+2)=0.\] Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się jeden z czynników, więc \[x=7\quad\text{lub}\quad x=2\quad\text{lub}\quad x=-2.\] **Odpowiedź.** \(x\in\{-2,2,7\}\).

1 pkt: pogrupowanie wyrazów do postaci prowadzącej do rozkładu na czynniki albo poprawne podzielenie wielomianu przez jeden z dwumianów x − 2, x + 2 lub x − 7. 2 pkt: wyznaczenie wszystkich rozwiązań: −2, 2 i 7.

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Rozwiązanie równania wielomianowego.

x = \(3\)

**Krok \(1\).** Mamy równanie wielomianowe stopnia trzeciego. Nie ma wzoru na pierwiastki takiego równania, więc jedyna droga to rozłożyć lewą stronę na czynniki. Cztery wyrazy o parami wspólnych czynnikach to sygnał, że zadziała metoda grupowania wyrazów. **Krok \(2\).** Grupujemy wyrazy dwójkami — pierwszy z drugim, trzeci z czwartym: \[(x^3-3x^2)+(2x-6)=0.\] **Krok \(3\).** Z każdej pary wyłączamy wspólny czynnik: \[x^2(x-3)+2(x-3)=0.\] W obu składnikach pojawił się ten sam nawias \((x-3)\) — to znak, że grupowanie było dobrane trafnie. **Krok \(4\).** Wyłączamy \((x-3)\) przed nawias: \[(x-3)\left(x^2+2\right)=0.\] **Krok \(5\).** Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy któryś z czynników jest zerem: \[x-3=0\qquad\text{lub}\qquad x^2+2=0.\] **Krok \(6\).** Pierwsze równanie daje \(x=3\). Drugie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, bo \(x^2\geqslant0\) dla każdego \(x\), więc \(x^2+2\geqslant2\gt0\) — to wyrażenie nigdy nie jest zerem. **Krok \(7\).** Sprawdzamy otrzymany pierwiastek: \(3^3-3\cdot3^2+2\cdot3-6=27-27+6-6=0\). Zgadza się. **Uwaga.** Czynnik \(x^2+2\) trzeba wyraźnie skomentować, a nie po cichu pominąć — dopiero stwierdzenie, że nie ma on pierwiastków rzeczywistych, uzasadnia, że \(x=3\) jest jedynym rozwiązaniem. **Odpowiedź.** \(x=3\).

1 pkt: rozkład (x²+2)(x−3)=0. 2 pkt: jedyne rzeczywiste rozwiązanie x=3.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje równanie wielomianowe przez grupowanie.

\[a=1,\qquad b=1.\]

Rozkładamy wielomian \(V\) na czynniki: wyłączamy \(x\) przed nawias i stosujemy wzór na kwadrat sumy: \[V(x)=x^{3}+2x^{2}+x=x\left(x^{2}+2x+1\right)=x(x+1)^{2}.\] Wielomiany \(W\) i \(V\) są równe, gdy mają identyczną postać: \[ax(x+b)^{2}=x(x+1)^{2}.\] Porównanie współczynnika przy najwyższej potędze daje \(a=1\), a porównanie miejsc zerowych (podwójny pierwiastek \(-b\) musi być równy \(-1\)) daje \(b=1\). Sprawdzenie: \(1\cdot x(x+1)^{2}=x^{3}+2x^{2}+x=V(x)\). **Odpowiedź.** \(a=1\), \(b=1\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(a=1\), \(b=1\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.

a) Tak, punkt \(P\) należy do wykresu, bo \(f(2009)=2008\cdot2009+2009=2009\cdot2009=2009^{2}\). b) Zbiór \(A\) to równoległobok (wraz z brzegiem) o wierzchołkach \((-1;1{,}5)\), \((3;-0{,}5)\), \((3;-3{,}5)\), \((-1;-1{,}5)\), czyli część pasa między prostymi \(y=-\tfrac12x+1\) i \(y=-\tfrac12x-2\) odpowiadająca \(x\in\langle-1,3\rangle\).

**Krok \(1\).** W punkcie a) pytamy, czy punkt leży na wykresie funkcji. Punkt należy do wykresu wtedy i tylko wtedy, gdy jego druga współrzędna jest wartością funkcji dla pierwszej współrzędnej. Wystarczy więc podstawić \(x=2009\) do wzoru i porównać wynik z \(2009^{2}\). **Krok \(2\).** Podstawiamy dane \(a=2008\) i \(b=2009\) do wzoru \(f(x)=ax+b\): \[f(x)=2008x+2009.\] **Krok \(3\).** Obliczamy wartość dla \(x=2009\). Nie mnożymy tych liczb w słupku — wyłączamy \(2009\) przed nawias: \[f(2009)=2008\cdot 2009+2009=2009\cdot(2008+1)=2009\cdot 2009=2009^{2}.\] **Krok \(4\).** Otrzymana wartość jest dokładnie drugą współrzędną punktu \(P\), więc \(P\) leży na wykresie funkcji \(f\). **Krok \(5\).** W punkcie b) czytamy opis zbioru jak przepis. Dla ustalonego \(b\) warunek \(y=-\tfrac12x+b\) opisuje prostą o współczynniku kierunkowym \(-\tfrac12\). Skoro \(b\) przebiega cały przedział \(\langle-2,1\rangle\), dostajemy całą rodzinę prostych równoległych, a nie jedną prostą. **Krok \(6\).** Te proste wypełniają pas między dwiema skrajnymi prostymi: dolną dla \(b=-2\), czyli \(y=-\tfrac12x-2\), i górną dla \(b=1\), czyli \(y=-\tfrac12x+1\). Trzeci warunek, \(x\in\langle-1,3\rangle\), obcina ten pas dwiema prostymi pionowymi \(x=-1\) oraz \(x=3\). **Krok \(7\).** Wyznaczamy wierzchołki powstałej figury, podstawiając skrajne \(x\) do skrajnych prostych: \[x=-1:\quad y=\tfrac12-2=-1{,}5\quad\text{oraz}\quad y=\tfrac12+1=1{,}5,\] \[x=3:\quad y=-\tfrac32-2=-3{,}5\quad\text{oraz}\quad y=-\tfrac32+1=-0{,}5.\] **Krok \(8\).** Rysujemy w układzie współrzędnych czworokąt o wierzchołkach \((-1;-1{,}5)\), \((-1;1{,}5)\), \((3;-0{,}5)\), \((3;-3{,}5)\) i zamalowujemy jego wnętrze. Dwa boki leżą na prostych równoległych o współczynniku \(-\tfrac12\), dwa pozostałe są pionowe, więc figura jest równoległobokiem. **Uwaga.** Oba przedziały w opisie zbioru są domknięte, więc brzeg równoległoboku należy do zbioru \(A\) — rysujemy go linią ciągłą, a nie przerywaną. **Odpowiedź.** a) Tak, punkt \(P\) należy do wykresu, bo \(f(2009)=2009^{2}\). b) Zbiorem \(A\) jest równoległobok (wraz z brzegiem) o wierzchołkach \((-1;-1{,}5)\), \((-1;1{,}5)\), \((3;-0{,}5)\), \((3;-3{,}5)\).

a) **1 pkt** – jeśli obliczy wartość funkcji \(f\) dla \(x=2009\). Poprawna odpowiedź: \(f(2009)=2008\cdot 2009+2009=2009^{2}\) **1 pkt** – jeśli zapisze wniosek. Poprawna odpowiedź: Punkt \(P\) należy do wykresu funkcji \(f\). b) **2 pkt** – jeśli narysuje bezbłędnie zbiór opisany w zadaniu. Poprawna odpowiedź: […] **1 pkt** – jeśli narysuje proste o równaniach \(y=-\frac{1}{2}x+1\), \(y=-\frac{1}{2}x-2\) i na tym zakończy lub popełni błędy w zaznaczaniu opisanego zbioru.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Dla kąta ostrego \(\alpha\) zachodzi \(\sin\alpha<\operatorname{tg}\alpha\), czyli \(\sin\alpha-\operatorname{tg}\alpha<0\). b) \(\cos^3\alpha+\cos\alpha\cdot\sin^2\alpha=\frac13\).

**a)** Kąt \(\alpha\) jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym, więc \(\sin\alpha>0\) oraz \(0<\cos\alpha<1\). Z definicji tangensa \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.\] Zatem \[\sin\alpha-\operatorname{tg}\alpha=\sin\alpha-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\sin\alpha\cdot\frac{\cos\alpha-1}{\cos\alpha}.\] Czynnik \(\sin\alpha\) jest dodatni, mianownik \(\cos\alpha\) jest dodatni, a licznik \(\cos\alpha-1\) jest ujemny, bo \(\cos\alpha<1\). Iloczyn jest więc ujemny, co kończy uzasadnienie. **b)** Wyłączamy \(\cos\alpha\) przed nawias i korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\cos^3\alpha+\cos\alpha\sin^2\alpha=\cos\alpha\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)=\cos\alpha.\] Dla \(\sin\alpha=\frac{2\sqrt2}{3}\) oraz \(\alpha\) ostrego mamy \(\cos\alpha>0\), więc \[\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac89}=\sqrt{\frac19}=\frac13.\] **Odpowiedź.** a) Nierówność zachodzi dla każdego kąta ostrego. b) Wartość wyrażenia jest równa \(\frac13\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Model odpowiedzi CKE dla arkusza podstawowego maj 2009 nie jest dostępny w tym wydaniu bazy, dlatego progów punktowych nie podajemy.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(x=7\).

Lewą stronę rozkładamy na czynniki metodą grupowania: \[x^{3}-7x^{2}+2x-14=x^{2}(x-7)+2(x-7)=(x^{2}+2)(x-7).\] Iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się jeden z czynników. Czynnik \(x^{2}+2\) jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej, więc pozostaje \(x-7=0\). **Odpowiedź.** \(x=7\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Stosuję metodę grupowania, by przedstawić lewą stronę równania w postaci iloczynowej: \[x^{3}-7x^{2}+2x-14=x^{2}(x-7)+2(x-7)=\left(x^{2}+2\right)(x-7).\] Z równania \(\left(x^{2}+2\right)(x-7)=0\) otrzymujemy, że \(x^{2}+2=0\) lub \(x-7=0\). Równanie \(x^{2}+2=0\) nie ma rozwiązań. Rozwiązaniem równania \(x-7=0\) jest liczba \(7\). Odpowiedź: Jedynym rozwiązaniem jest \(x=7\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(a=-3\), \(b=-1\), \(c=0\). b) \(W(x)=x(x+4)(x-1)\).

**a)** Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współczynniki przy odpowiadających sobie potęgach zmiennej. Porównujemy współczynniki wielomianów \[W(x)=x^3+ax^2-4x+b,\qquad P(x)=x^3+(2a+3)x^2+(a+b+c)x-1.\] Przy \(x^2\): \(a=2a+3\), więc \(a=-3\). Przy wyrazie wolnym: \(b=-1\). Przy \(x\): \(-4=a+b+c=-3-1+c\), zatem \(c=0\). **b)** Dla \(a=3\) i \(b=0\) mamy \(W(x)=x^3+3x^2-4x\). Wyłączamy \(x\) przed nawias i rozkładamy trójmian: \[W(x)=x\left(x^2+3x-4\right)=x(x+4)(x-1).\] Sprawdzenie: \(x(x+4)(x-1)=x(x^2+3x-4)=x^3+3x^2-4x\). **Odpowiedź.** a) \(a=-3\), \(b=-1\), \(c=0\). b) \(W(x)=x(x+4)(x-1)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Model odpowiedzi CKE dla arkusza podstawowego maj 2009 nie jest dostępny w tym wydaniu bazy, dlatego progów punktowych nie podajemy.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Najmniejsza wartość \(f(2)=0\), największa \(f(5)=9\). b) \(x\in(-\infty,1\rangle\cup\langle2,+\infty)\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy funkcję: \(f(x)=(2-x)^2\). Ponieważ \((2-x)^2=(x-2)^2\), jest to funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej z wierzchołkiem \(W=(2,0)\) i ramionami skierowanymi W GÓRĘ. Na przedziale domkniętym wartości ekstremalne szukamy wśród trzech liczb: wartości w wierzchołku (o ile należy on do przedziału) i wartości na obu końcach. **Krok \(2\).** Sprawdzamy, czy wierzchołek należy do przedziału: \(x_w=2\in\langle0,5\rangle\) — tak. Ramiona w górę, więc w wierzchołku jest wartość NAJMNIEJSZA: \[f(2)=(2-2)^2=0.\] **Krok \(3\).** Obliczamy wartości na końcach: \[f(0)=(2-0)^2=4,\qquad f(5)=(2-5)^2=(-3)^2=9.\] **Krok \(4\).** Największą wartością jest większa z tych dwóch, czyli \(f(5)=9\). (Ma to sens: \(5\) leży dalej od wierzchołka \(x=2\) niż \(0\), a przy ramionach w górę im dalej od wierzchołka, tym większa wartość.) **Krok \(5\).** Podpunkt b): zapisujemy nierówność \(f(x)-(2-x)\geqslant0\), czyli \[(2-x)^2-(2-x)\geqslant0.\] Zamiast wymnażać, zauważamy wspólny czynnik \((2-x)\) i wyłączamy go przed nawias: \[(2-x)\left[(2-x)-1\right]\geqslant0\quad\Longrightarrow\quad (2-x)(1-x)\geqslant0.\] **Krok \(6\).** Wygodniej pracuje się z dodatnimi współczynnikami przy \(x\). Mnożymy KAŻDY z dwóch nawiasów przez \(-1\); ponieważ robimy to dwukrotnie, znaki się znoszą i zwrot nierówności pozostaje bez zmian: \[(x-2)(x-1)\geqslant0.\] **Krok \(7\).** Lewa strona to parabola o ramionach w górę i miejscach zerowych \(1\) oraz \(2\). Wartości nieujemne przyjmuje POZA przedziałem między pierwiastkami, wraz z samymi pierwiastkami (nierówność jest nieostra): \[x\in(-\infty,1\rangle\cup\langle2,+\infty).\] **Uwaga.** W kroku \(5\) nie wolno SKRACAĆ obu stron przez \((2-x)\) — dla \(x=2\) dzielilibyśmy przez zero i zgubilibyśmy rozwiązanie \(x=2\), które akurat należy do zbioru rozwiązań. Zawsze wyłączamy wspólny czynnik przed nawias, zamiast dzielić przez wyrażenie z niewiadomą. Ponieważ nierówność jest NIEOSTRA, liczby \(1\) i \(2\) należą do odpowiedzi — nawiasy przy nich są domknięte. **Odpowiedź.** a) Najmniejsza wartość \(f(2)=0\), największa \(f(5)=9\). b) \(x\in(-\infty,1\rangle\cup\langle2,+\infty)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **2.1. (1 pkt)** – […] funkcji \(f\) jest równa \(2\) i należy do przedziału \(\langle 0,\,5\rangle\). […] zdający zapisze \(x_{w}=2\). **2.2. (1 pkt)** – obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 0,\,5\rangle\): \(f(2)=0\). **2.3. (1 pkt)** – obliczenie największej wartości funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 0,\,5\rangle\): \(f(5)=9\). **2.4. (1 pkt)** – przekształcenie lewej strony nierówności do postaci iloczynowej \((2-x)\cdot(1-x)\geq 0\) i podanie miejsc zerowych: \(x=1\) lub \(x=2\), (albo wyznaczenie pierwiastków trójmianu \(y=x^{2}-3x+2\)). **2.5. (1 pkt)** – zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: \((-\infty,1\rangle\cup\langle 2,\infty)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(x=8=2^{3}\), czyli \(k=3\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, że wszystkie liczby w równaniu (\(4\), \(32\), \(16\)) są potęgami dwójki, a niewiadoma \(x\) stoi jako zwykły mnożnik. To wskazówka: zapiszmy każdą liczbę w postaci potęgi o podstawie \(2\), a równanie stanie się liniowe. **Krok \(2\).** Zamieniamy podstawy po lewej stronie, korzystając ze wzoru \((a^m)^n=a^{mn}\): \[4^{23}=(2^2)^{23}=2^{46},\qquad 32^{9}=(2^5)^{9}=2^{45}.\] **Krok \(3\).** Zamieniamy podstawy po prawej stronie: \[16^4=(2^4)^4=2^{16},\qquad (4^4)^4=4^{16}=(2^2)^{16}=2^{32},\] więc prawa strona to \(2^{16}\cdot2^{32}=2^{16+32}=2^{48}\). **Krok \(4\).** Równanie przyjmuje postać \[2^{46}x-2^{45}x=2^{48}.\] Po lewej stronie wyłączamy przed nawias niższą potęgę, czyli \(2^{45}x\): \[2^{45}x\,(2-1)=2^{45}x.\] **Krok \(5\).** Zostaje \(2^{45}x=2^{48}\). Dzielimy obie strony przez \(2^{45}\) (liczbę dodatnią): \[x=\frac{2^{48}}{2^{45}}=2^{48-45}=2^{3}=8.\] **Krok \(6\).** Zapisujemy wynik w żądanej postaci \(2^k\): \(x=2^3\), czyli \(k=3\). **Uwaga.** Najczęstszy błąd polega na potraktowaniu \(x\) jak części wykładnika i pisaniu \(4^{23x}\). W treści \(x\) jest czynnikiem stojącym obok potęgi, więc równanie jest liniowe względem \(x\) — całą pracę wykonuje sprowadzenie liczb do wspólnej podstawy i wyłączenie \(2^{45}\) przed nawias. **Odpowiedź.** \(x=8=2^{3}\), czyli \(k=3\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Wszystkie liczby występujące w równaniu zapisuję w postaci potęgi o podstawie \(2\): \(2^{46}x-2^{45}x=2^{16}\cdot 2^{32}\) Po lewej stronie równania wyłączam wspólny czynnik przed nawias, a po prawej stronie wykonuję mnożenie: \[2^{45}x(2-1)=2^{48}\] \[2^{45}x=2^{48}\] dzielę obie strony równania przez \(2^{45}\) i otrzymuję: \(x=2^{48}:2^{45}=2^{3}\) Rozwiązaniem równania jest liczba \(2^{3}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(m=0\).

**Krok \(1\).** Słowo *jedynym* dzieli zadanie na dwa etapy. Najpierw z warunku, że \(1\) jest rozwiązaniem, wyznaczamy kandydatów na \(m\) (podstawiamy \(x=1\)). Potem dla każdego kandydata sprawdzamy, czy równanie nie ma innych rozwiązań rzeczywistych — bez tego etapu zadanie nie jest rozwiązane. **Krok \(2\).** Podstawiamy \(x=1\) do równania \(x^3+m^3x^2-m^2x-1=0\): \[1+m^3-m^2-1=0,\qquad m^3-m^2=0.\] **Krok \(3\).** Wyłączamy \(m^2\) przed nawias: \[m^2(m-1)=0,\qquad\text{czyli}\qquad m=0\quad\text{lub}\quad m=1.\] **Krok \(4\).** Sprawdzamy \(m=0\). Równanie przyjmuje postać \(x^3-1=0\), a korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów: \[x^3-1=(x-1)\left(x^2+x+1\right)=0.\] **Krok \(5\).** Trójmian \(x^2+x+1\) ma wyróżnik \(\Delta=1-4=-3\lt0\), więc nie ma pierwiastków rzeczywistych. Jedynym rozwiązaniem jest zatem \(x=1\) — wartość \(m=0\) spełnia warunki zadania. **Krok \(6\).** Sprawdzamy \(m=1\). Równanie przyjmuje postać \(x^3+x^2-x-1=0\). Grupujemy wyrazy: \[x^2(x+1)-(x+1)=(x+1)\left(x^2-1\right)=(x+1)^2(x-1)=0.\] **Krok \(7\).** Rozwiązaniami są \(x=1\) oraz \(x=-1\), więc rozwiązanie nie jest jedyne — wartość \(m=1\) odrzucamy. **Uwaga.** Samo podstawienie \(x=1\) daje tylko warunek konieczny. Gdyby na tym poprzestać, w odpowiedzi znalazłoby się także \(m=1\), przy którym równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste. **Odpowiedź.** \(m=0\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **3.1. (1 pkt)** – […] wielomianu i zapisanie równania z niewiadomą \(m\): \(1^{3}+m^{3}\cdot 1^{2}-m^{2}\cdot 1-1=0\). **3.2. (1 pkt)** – obliczenie wszystkich wartości \(m\), dla których liczba \(1\) jest rozwiązaniem równania (pierwiastkiem wielomianu): \(m=0\) lub \(m=1\). **3.3. (1 pkt)** – uzasadnienie, że dla \(m=0\) równanie ma tylko jedno rozwiązanie \(x=1\) (wielomian ma tylko jeden pierwiastek), np. dla \(m=0\) równanie ma postać \(x^{3}-1=(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)=0\), a trójmian \(x^{2}+x+1\) nie ma pierwiastków. **3.4. (1 pkt)** – uzasadnienie, że dla \(m=1\) równanie ma więcej niż jedno rozwiązanie (wielomian ma więcej niż jeden pierwiastek), np. dla \(m=1\) równanie ma postać \((x+1)^{2}(x-1)=0\), co oznacza, że liczba \((-1)\) też jest jego rozwiązaniem. **II sposób rozwiązania: czynność 3.1, 3.2** **3.1. (1 pkt)** – zapisanie równania w postaci iloczynu, np. \((x-1)\left(x^{2}+bx+c\right)=0\) i wykonanie mnożenia \(x^{3}+(b-1)x^{2}+(c-b)x-c=0\). **3.2. (1 pkt)** – zastosowanie twierdzenia o równości wielomianów do zapisania układu warunków: \(c=1\), \(b=m^{2}+1\) i \(b=m^{3}+1\) oraz rozwiązanie równania \(m^{3}+1=m^{2}+1\): \(m=0\) lub \(m=1\). **III sposób rozwiązania: czynność 3.1, 3.2** **3.1. (1 pkt)** – wykorzystanie twierdzenia o pierwiastkach wielomianu i wykonanie dzielenia wielomianu \(W\) przez dwumian \((x-1)\): \(W(x)=(x-1)\left(x^{2}+\left(m^{3}+1\right)x+m^{3}-m^{2}+1\right)+\left(m^{3}-m^{2}\right)\), **3.2. (1 pkt)** – skorzystanie z twierdzenia o reszcie i obliczenie \(m\): \(m^{3}-m^{2}=0\) stąd \(m=0\) lub \(m=1\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Punkt \(A=(1,30)\) nie należy do wykresu, bo \(W(1)=32\ne30\). b) \(W(x)=(x+3)(x-3)(x-5)\)

**a)** Punkt należy do wykresu wielomianu wtedy, gdy jego współrzędne spełniają wzór. Obliczamy wartość wielomianu dla \(x=1\): \[W(1)=1^3-5\cdot1^2-9\cdot1+45=1-5-9+45=32.\] Ponieważ \(32\ne30\), punkt \(A=(1,30)\) nie należy do wykresu wielomianu \(W\). **b)** Wielomian rozkładamy na czynniki metodą grupowania wyrazów: \[W(x)=x^3-5x^2-9x+45=x^2(x-5)-9(x-5)=(x-5)(x^2-9).\] Drugi czynnik jest różnicą kwadratów: \[x^2-9=(x-3)(x+3).\] Otrzymujemy zatem iloczyn trzech wielomianów stopnia pierwszego: \[W(x)=(x+3)(x-3)(x-5).\] **Odpowiedź.** a) Punkt \(A\) nie należy do wykresu wielomianu \(W\). b) \(W(x)=(x+3)(x-3)(x-5)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* a) Obliczam \(W(1)\): \[W(1)=1^{3}-5\cdot 1^{2}-9\cdot 1+45=32\] \[W(1)\neq 30\] Otrzymany wynik oznacza, że punkt \(A\) nie należy do wykresu wielomianu \(W\). b) Rozkładam wielomian na czynniki: \[W(x)=x^{3}-5x^{2}-9x+45=\] \[=x^{3}-9x-5x^{2}+45=\] \[=x\left(x^{2}-9\right)-5\left(x^{2}-9\right)=\] \[=\left(x^{2}-9\right)(x-5)=\] \[=(x+3)(x-3)(x-5).\] Odpowiedź: \(W(x)=(x+3)(x-3)(x-5)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(x=-3\), \(x=-2\), \(x=3\). b) Tak, wielomiany są równe, bo \(P(x)=(x+2)(x^2-9)=W(x)\). c) Teza wynika z rozkładu \(W(x)=(x+2)(x+3)(x-3)\): dla \(x>\sqrt{10}>3\) każdy z czynników jest dodatni, więc \(W(x)>0\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Wielomian \(W(x)=x^3+2x^2-9x-18\) ma cztery wyrazy, a współczynniki podpowiadają grupowanie: z pierwszych dwóch da się wyłączyć \(x^2\), z ostatnich dwóch liczbę \(9\), i w obu przypadkach zostanie ten sam nawias. To najszybsza droga do pierwiastków. **Krok \(2\).** Grupujemy i wyłączamy wspólne czynniki: \[W(x)=x^2(x+2)-9(x+2)=(x+2)\left(x^2-9\right).\] **Krok \(3\).** Nawias \(x^2-9\) to różnica kwadratów, więc \[W(x)=(x+2)(x-3)(x+3).\] Iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się któryś z czynników, więc pierwiastkami są \[x=-2,\qquad x=3,\qquad x=-3.\] **Krok \(4\).** Przechodzimy do części b). Nie warto rozwijać całego \(P(x)\). W obu składnikach występuje ten sam czynnik \(x+2\), więc wyłączamy go przed nawias: \[P(x)=(x+2)\left[\left(x^2-2x+4\right)+(2x-13)\right].\] **Krok \(5\).** Redukujemy wyrazy w nawiasie kwadratowym: \(-2x\) i \(+2x\) się znoszą, a \(4-13=-9\): \[P(x)=(x+2)\left(x^2-9\right).\] **Krok \(6\).** Porównujemy z krokiem \(2\): otrzymaliśmy dokładnie ten sam iloczyn, więc \(P(x)=W(x)\) dla każdego \(x\). Wielomiany są równe. **Krok \(7\).** Przechodzimy do części c). Korzystamy z rozkładu \(W(x)=(x+2)(x+3)(x-3)\). Najpierw oszacujmy \(\sqrt{10}\): ponieważ \(10\gt 9\), mamy \(\sqrt{10}\gt\sqrt9=3\). **Krok \(8\).** Niech \(x\gt\sqrt{10}\). Wtedy tym bardziej \(x\gt 3\), a stąd \[x-3\gt 0,\qquad x+3\gt 6\gt 0,\qquad x+2\gt 5\gt 0.\] **Krok \(9\).** Iloczyn trzech liczb dodatnich jest dodatni, więc \[x^3+2x^2-9x-18=(x+2)(x+3)(x-3)\gt 0,\] co należało uzasadnić. **Uwaga.** W części c) wystarczy oszacowanie \(\sqrt{10}\gt 3\) i nie ma potrzeby sięgać po przybliżenie dziesiętne \(\sqrt{10}\approx 3{,}16\). Cała trudność polega na tym, żeby najpierw rozłożyć wielomian na czynniki, a dopiero potem badać znak; bez rozkładu znak sumy czterech wyrazów jest nieczytelny. **Odpowiedź.** a) Pierwiastkami są \(x=-3\), \(x=-2\), \(x=3\). b) Tak, wielomiany są równe, bo \(P(x)=(x+2)\left(x^2-9\right)=W(x)\). c) Dla \(x\gt\sqrt{10}\gt 3\) wszystkie trzy czynniki rozkładu \(W(x)=(x+2)(x+3)(x-3)\) są dodatnie, więc \(W(x)\gt 0\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **2.1. (1 pkt)** – […] występuje ten sam czynnik, np: \(W(x)=x^{2}(x+2)-9(x+2)\). **2.2. (1 pkt)** – zapisanie wielomianu w postaci \(W(x)=(x-3)(x+3)(x+2)\) i podanie wszystkich jego pierwiastków: \(x=-3\), \(x=-2\), \(x=3\). **2.3. (1 pkt)** – zapisanie wielomianu \(P(x)\) w postaci rozwiniętej: \(P(x)=x^{3}+2x^{2}-9x-18\). **2.4. (1 pkt)** – wyciągnięcie wniosku dotyczącego równości wielomianów: Wielomiany \(W(x)\) i \(P(x)\) są równe. Punkt przyznajemy za wniosek konsekwentny do uzyskanej postaci wielomianu \(P(x)\). **2.5. (1 pkt)** – podanie metody pozwalającej ustalić znak wielomianu \(W(x)\) dla \(x>10\), np. poprzez analizę znaków czynników występujących w rozkładzie wielomianu. Akceptujemy uzasadnienie poprzez rozwiązanie nierówności. **2.6. (1 pkt)** – wykazanie nierówności, np. \(x^{3}+2x^{2}-9x-18>0\), \(x\in(-3,-2)\cup(3,\infty)\) i zapisanie, że \(10>3\). **II sposób rozwiązania (czynność 2.1, 2.2):** **2.1. (1 pkt)** – znalezienie jednego z pierwiastków i wykonanie dzielenia, np. \(\left(x^{3}+2x^{2}-9x-18\right):(x-3)=x^{2}+5x+6\). **2.2. (1 pkt)** – wyznaczenie pozostałych pierwiastków: \(x=-3\), \(x=-2\). Wyznaczanie pierwiastków wielomianu może się odbywać dowolną, znaną zdającemu metodą, np. zastosowanie twierdzenia Bezouta, schematu Hornera.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\[x\in(1,2)\cup(4,5).\]

Najpierw dziedzina — wszystkie trzy argumenty muszą być dodatnie: \[x^2-1>0,\qquad 5-x>0,\qquad 3(x+1)>0.\] Stąd kolejno \(x<-1\) lub \(x>1\); \(x<5\); \(x>-1\). Częścią wspólną jest \[D=(1,5).\] Lewą stronę zapisujemy jednym logarytmem (wzór na logarytm iloczynu): \[\log_{\frac13}\left[(x^2-1)(5-x)\right]>\log_{\frac13}\bigl(3(x+1)\bigr).\] Podstawa \(\frac13\) jest mniejsza od \(1\), więc funkcja logarytmiczna jest malejąca i przy opuszczaniu logarytmów **zwrot nierówności się odwraca**: \[(x^2-1)(5-x)<3(x+1).\] Przenosimy wszystko na lewą stronę i rozkładamy na czynniki: \[(x-1)(x+1)(5-x)-3(x+1)<0,\] \[(x+1)\left[(x-1)(5-x)-3\right]<0,\] \[(x+1)(-x^2+6x-8)<0,\qquad -(x+1)(x-2)(x-4)<0,\] czyli \((x+1)(x-2)(x-4)>0\). Wielomian ten jest dodatni dla \(x\in(-1,2)\cup(4,+\infty)\). Zbiorem rozwiązań nierówności logarytmicznej jest część wspólna tego zbioru z dziedziną: \[\bigl((-1,2)\cup(4,+\infty)\bigr)\cap(1,5)=(1,2)\cup(4,5).\] **Odpowiedź.** \(x\in(1,2)\cup(4,5)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Wyznaczam dziedzinę nierówności logarytmicznej: \(x^{2}-1>0\ \land\ 5-x>0\ \land\ x+1>0\). Rozwiązania tych nierówności zaznaczam na osi liczbowej. […] Dziedziną danej nierówności jest przedział \((1,5)\). Korzystam ze wzoru na sumę logarytmów i otrzymuję nierówność równoważną: \(\log_{\frac{1}{3}}\left[(x^{2}-1)(5-x)\right]>\log_{\frac{1}{3}}\left(3(x+1)\right)\). Funkcja logarytmiczna przy podstawie \(\frac{1}{3}\) jest malejąca, więc po opuszczeniu logarytmów i zmianie zwrotu nierówności otrzymuję nierówność równoważną: \((x^{2}-1)(5-x)<3(x+1)\). Przedstawiam ją w postaci iloczynowej: \[(x-1)(x+1)(5-x)<3(x+1)\] \[(x-1)(x+1)(5-x)-3(x+1)<0\] \[(x+1)\left[(x-1)(5-x)-3\right]<0\] \[(x+1)\left(-x^{2}+6x-8\right)<0\] \[-(x+1)(x-2)(x-4)<0\] Rozwiązaniem nierówności jest suma przedziałów \((-1,2)\cup(4,\infty)\). Rozwiązaniem nierówności logarytmicznej jest część wspólna otrzymanego zbioru i dziedziny: \((1,2)\cup(4,5)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(x=-\sqrt7\), \(x=0\), \(x=\sqrt7\). b) \(a=0\), \(b=12\), czyli \(W(x)=2x^3-14x+12\).

**Krok \(1\).** Zadanie składa się z dwóch niezależnych części. W a) mamy równanie trzeciego stopnia bez wyrazu wolnego — wtedy zawsze wyłączamy \(x\) przed nawias i korzystamy z tego, że iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem. W b) korzystamy z twierdzenia o podzielności wielomianu przez dwumian: \(W(x)\) dzieli się przez \(x-r\) dokładnie wtedy, gdy \(W(r)=0\). **Krok \(2\).** Część a). Wyłączamy wspólny czynnik: \[2x^3-14x=2x\left(x^2-7\right)=0.\] **Krok \(3\).** Czynnik \(x^2-7\) rozkładamy według wzoru na różnicę kwadratów, bo \(7=\left(\sqrt7\right)^2\): \[2x\left(x-\sqrt7\right)\left(x+\sqrt7\right)=0.\] **Krok \(4\).** Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z czynników, więc \(x=0\) lub \(x=\sqrt7\), lub \(x=-\sqrt7\). **Krok \(5\).** Część b). Podzielność przez \(x-2\) daje warunek \(W(2)=0\), a podzielność przez \(x+3=x-(-3)\) daje warunek \(W(-3)=0\). Mamy więc dwa równania z niewiadomymi \(a\) i \(b\). **Krok \(6\).** Liczymy \(W(2)\) dla \(W(x)=2x^3+ax^2-14x+b\): \[2\cdot8+a\cdot4-14\cdot2+b=16+4a-28+b=0,\qquad\text{czyli}\qquad 4a+b=12.\] **Krok \(7\).** Liczymy \(W(-3)\): \[2\cdot(-27)+a\cdot9-14\cdot(-3)+b=-54+9a+42+b=0,\qquad\text{czyli}\qquad 9a+b=12.\] **Krok \(8\).** Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego: \(5a=0\), więc \(a=0\), a stąd \(b=12\). Sprawdzenie dla \(W(x)=2x^3-14x+12\): \(W(2)=16-28+12=0\) oraz \(W(-3)=-54+42+12=0\). **Uwaga.** W punkcie b) do dwumianu \(x+3\) podstawiamy \(x=-3\) (bo \(x+3=x-(-3)\)), a nie \(x=3\). W punkcie a) nie wolno skracać równania przez \(x\), bo stracilibyśmy pierwiastek \(x=0\). **Odpowiedź.** a) \(x=-\sqrt7\), \(x=0\), \(x=\sqrt7\). b) \(a=0\) i \(b=12\), czyli \(W(x)=2x^3-14x+12\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 6.** (\(4\) pkt) Dany jest wielomian \(W(x)=2x^{3}+ax^{2}-14x+b\). a) Dla \(a=0\) i \(b=0\) otrzymamy wielomian \(W(x)=2x^{3}-14x\). Rozwiąż równanie \(2x^{3}-14x=0\). b) Dobierz wartości \(a\) i \(b\) tak, aby wielomian \(W(x)\) był podzielny jednocześnie przez \(x-2\) oraz przez \(x+3\). a) Rozwiązuję równanie: \(2x^{3}-14x=0\) \(2x\left(x^{2}-7\right)=0\) \(2x\left(x-\sqrt{7}\right)\left(x+\sqrt{7}\right)=0\) z zapisanej postaci iloczynowej odczytuję rozwiązania równania: \(x_{1}=0\), \(x_{2}=\sqrt{7}\), \(x_{3}=-\sqrt{7}\). b) Aby znaleźć wartość współczynników \(a\) i \(b\) korzystam z twierdzenia o podzielności wielomianu przez dwumian, z którego wynika, że: \(W(2)=0\) oraz \(W(-3)=0\). Otrzymuję układ równań: \(\begin{cases}16+4a-28+b=0\\ -54+9a+42+b=0\end{cases}\), z którego wyznaczam \(a\) i \(b\). \(\begin{cases}4a+b=12\\ 9a+b=12\end{cases}\) Rozwiązanie układu równań są liczby: \(a=0\), \(b=12\). Wielomian przyjmuje postać: \(W(x)=2x^{3}-14x+12\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(a=4\). b) \(a=\sqrt3\). c) \(a=0\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, że mamy trzy niezależne pytania o tę samą funkcję \(f(x)=ax+4\), której wykresem jest prosta. Każde pytanie odwołuje się do innej własności: a) miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi \(0\); b) współczynnik kierunkowy \(a\) jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi \(OX\); c) równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy po uporządkowaniu staje się tożsamością. **Krok \(2\).** Podpunkt a): miejscem zerowym ma być \(-1\), więc \(f(-1)=0\): \[a\cdot(-1)+4=0\quad\Longrightarrow\quad -a=-4\quad\Longrightarrow\quad a=4.\] (Sprawdzenie: \(f(x)=4x+4=4(x+1)\), istotnie zeruje się dla \(x=-1\).) **Krok \(3\).** Podpunkt b): korzystamy z zależności \(a=\operatorname{tg}\alpha\), gdzie \(\alpha\) to kąt nachylenia prostej do osi \(OX\). Dla \(\alpha=60^\circ\): \[a=\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3.\] **Krok \(4\).** Podpunkt c): porządkujemy równanie \(ax+4=2a+4\). Odejmujemy \(4\) od obu stron: \[ax=2a,\] a następnie przenosimy wszystko na lewo i wyłączamy \(a\) przed nawias: \[ax-2a=0\quad\Longrightarrow\quad a(x-2)=0.\] **Krok \(5\).** Analizujemy dwa przypadki. Jeśli \(a\neq0\), to możemy podzielić obie strony przez \(a\) i dostajemy \(x-2=0\), czyli DOKŁADNIE JEDNO rozwiązanie \(x=2\). Jeśli natomiast \(a=0\), równanie przyjmuje postać \(0\cdot(x-2)=0\), czyli \(0=0\) — zdanie prawdziwe dla KAŻDEJ liczby \(x\). **Krok \(6\).** Zatem nieskończenie wiele rozwiązań mamy dokładnie dla \(a=0\). **Uwaga.** W podpunkcie c) łatwo pomylić „nieskończenie wiele rozwiązań” z „brakiem rozwiązań”. Tutaj po obu stronach wyraz wolny jest ten sam (\(+4\)), więc się skraca i przypadek sprzeczny (\(0=\text{liczba}\neq0\)) w ogóle nie występuje — pozostaje tylko tożsamość dla \(a=0\). Warto też zauważyć, że dla \(a=0\) funkcja \(f\) jest stała (\(f(x)=4\)), ale treść zadania podaje tylko wzór \(ax+4\) i nie wyklucza \(a=0\). **Odpowiedź.** a) \(a=4\). b) \(a=\sqrt3\). c) \(a=0\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **3.1. (1 pkt)** – […] \(f\) jest liczba \(-1\): \(a=4\). **3.2. (1 pkt)** – wyznaczenie wartości \(a\), dla której prosta będąca wykresem funkcji \(f\) jest nachylona do osi \(OX\) pod kątem \(60^{\circ}\): \(a=\sqrt{3}\). **3.3. (1 pkt)** – wyznaczenie takiej wartości \(a\), dla której równanie \(ax+4=2a+4\) ma nieskończenie wiele rozwiązań: \(a=0\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(x\in\left\{\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2},\ \dfrac{5\pi}{3}\right\}\).

**Krok \(1\).** Po obu stronach równania występuje cosinus tego samego kąta, przy czym po jednej stronie w kwadracie. Naturalny odruch, czyli podzielenie obu stron przez \(\cos x\), jest tu błędem, bo \(\cos x\) może być zerem. Zamiast tego przenosimy wszystko na jedną stronę i wyłączamy wspólny czynnik przed nawias. **Krok \(2\).** Przekształcamy: \[2\cos^2x-\cos x=0\ \Longrightarrow\ \cos x\left(2\cos x-1\right)=0.\] **Krok \(3\).** Iloczyn jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem: \[\cos x=0\qquad\text{lub}\qquad \cos x=\tfrac12.\] **Krok \(4\).** Rozwiązania równania \(\cos x=0\) w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\). Cosinus zeruje się w punktach, w których ramię kąta jest pionowe: \[x=\frac{\pi}{2},\qquad x=\frac{3\pi}{2}.\] **Krok \(5\).** Rozwiązania równania \(\cos x=\tfrac12\). Kątem podstawowym jest \(\dfrac{\pi}{3}\), bo \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12\). Cosinus jest dodatni w pierwszej i czwartej ćwiartce, więc drugie rozwiązanie to \[x=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}.\] **Krok \(6\).** Wszystkie cztery liczby \(\dfrac{\pi}{3}\), \(\dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{3\pi}{2}\), \(\dfrac{5\pi}{3}\) należą do przedziału \(\langle0,2\pi\rangle\), więc wszystkie są rozwiązaniami. **Uwaga.** Gdyby na starcie podzielić równanie przez \(\cos x\), zostałoby tylko \(2\cos x=1\) i zgubilibyśmy rozwiązania \(\dfrac{\pi}{2}\) oraz \(\dfrac{3\pi}{2}\). Dzielenie przez wyrażenie, które może być zerem, zawsze grozi utratą rozwiązań. **Odpowiedź.** \(x=\dfrac{\pi}{3}\), \(x=\dfrac{\pi}{2}\), \(x=\dfrac{3\pi}{2}\), \(x=\dfrac{5\pi}{3}\).

7.1 Wyznaczenie cos x z danego równania: cos x = 0 lub cos x = . 1 2 przez cos x , bez komentarza dostaje 0 pkt. Wybranie i zapisanie rozwiązań należących do przedziału 0, 2π : Jeśli zdający w 7.1 podzielił równanie przez cos x ale poprawnie rozwiązał otrzymane w ten 7.2 π π 3 5 2 x = , x = , x = π, x = π . sposób równanie otrzymuje 1 pkt. 1 3 2 2 3 2 4 3 Zdający może podać odpowiedź w stopniach. II sposób rozwiązania. 7. 7.1 π 3π 1 Rozwiązanie równania gdy cos x = 0 : x = lub x = . 2 2 Rozwiązanie równania gdy cos x ≠ 0 : 1 pkt - za doprowadzenie równania do najprostszej postaci 1 7.2 cos x = . 2 2 π 5π 1 pkt – za rozwiązanie: x = lub x = . 3 3

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(\operatorname{tg}\alpha=\frac34\). b) Ponieważ \(\sin\alpha<0\) i \(\operatorname{tg}\alpha>0\), kąt \(\alpha\) leży w III ćwiartce; na jego ramieniu końcowym leży np. punkt \((-4,-3)\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, co jest ukryte w równaniu. Po prawej stronie stoi \(3\sin^2\alpha+3\cos^2\alpha\) — wyłączając \(3\) przed nawias dostajemy \(3(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)\), a w nawiasie mamy jedynkę trygonometryczną. To jest cała idea podpunktu a): prawa strona wcale nie zależy od \(\alpha\). **Krok \(2\).** Wykonujemy to przekształcenie: \[4\operatorname{tg}\alpha=3\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)=3\cdot 1=3.\] **Krok \(3\).** Stąd natychmiast \[\operatorname{tg}\alpha=\frac34.\] **Krok \(4\).** Podpunkt b). Ustalamy ćwiartkę. Z warunku \(\sin\alpha\lt 0\) wynika, że kąt kończy się w III albo IV ćwiartce (tam rzędna jest ujemna). Z obliczonej wartości \(\operatorname{tg}\alpha=\frac34\gt 0\) wynika, że kąt jest w I albo III ćwiartce (tam odcięta i rzędna mają ten sam znak). Oba warunki spełnia jednocześnie tylko III ćwiartka. **Krok \(5\).** Szukamy punktu na ramieniu końcowym. Dla punktu \(P=(x,y)\) na ramieniu końcowym mamy \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{y}{x}=\frac34\), przy czym w III ćwiartce \(x\lt 0\) i \(y\lt 0\). Wystarczy wziąć \(x=-4\), \(y=-3\), bo \(\frac{-3}{-4}=\frac34\). **Krok \(6\).** Sprawdzamy warunki zadania dla \(P=(-4,-3)\): \(r=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=5\), więc \(\sin\alpha=\frac{-3}{5}\lt 0\) — zgodnie z założeniem, oraz \(\operatorname{tg}\alpha=\frac34\) — zgodnie z podpunktem a). Kąt \(\alpha\) rysujemy więc tak, że jego ramię początkowe leży na dodatniej półosi \(Ox\), a ramię końcowe przechodzi przez punkt \((-4,-3)\). **Uwaga.** Pułapka jest w podpunkcie b): warunek \(\operatorname{tg}\alpha=\frac34\) spełnia także punkt \((4,3)\), ale dla niego \(\sin\alpha=\frac35\gt 0\), co przeczy założeniu. Dodatkowy warunek \(\sin\alpha\lt 0\) jest w zadaniu po to, by wybrać jedną z dwóch możliwych ćwiartek — nie wolno go zignorować. **Odpowiedź.** a) \(\operatorname{tg}\alpha=\frac34\). b) Ponieważ \(\sin\alpha\lt 0\) i \(\operatorname{tg}\alpha\gt 0\), kąt \(\alpha\) leży w III ćwiartce; na jego ramieniu końcowym leży np. punkt \((-4,-3)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 5.** (\(3\) pkt) Wiedząc, że \(0^\circ\le\alpha\le 360^\circ\), \(\sin\alpha<0\) oraz \(4\operatorname{tg}\alpha=3\sin^{2}\alpha+3\cos^{2}\alpha\) a) oblicz \(\operatorname{tg}\alpha\), b) zaznacz w układzie współrzędnych kąt \(\alpha\) i podaj współrzędne dowolnego punktu, różnego od początku układu współrzędnych, który leży na końcowym ramieniu tego kąta. Obliczam tangens kąta \(\alpha\) z podanego równania: \(4\operatorname{tg}\alpha=3\sin^{2}\alpha+3\cos^{2}\alpha\), \(4\operatorname{tg}\alpha=3\left(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha\right)\). Korzystam z tożsamości \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\) i otrzymuję: \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4}\). Zaznaczam w układzie współrzędnych kąt \(\alpha\). […] Punkt \((-4,-3)\) leży na końcowym ramieniu szukanego kąta. | Nr czynności | 5.1. | 5.2. | 5.3. | |---|---:|---:|---:| | Maks. liczba pkt | \(1\) | \(1\) | \(1\) |

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(x=-\sqrt3\), \(x=-\frac12\), \(x=\sqrt3\), \(x=3\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy strategię. Znamy już jeden dzielnik wielomianu, czyli \((2x+1)\), a to od razu daje jeden pierwiastek: \(2x+1=0\), czyli \(x=-\tfrac12\). Pozostałych pierwiastków szukamy w ILORAZIE z dzielenia \(W(x)\) przez \(2x+1\) — będzie to wielomian stopnia trzeciego, który rozłożymy na czynniki. **Krok \(2\).** Wykonujemy dzielenie pisemne \((-2x^4+5x^3+9x^2-15x-9):(2x+1)\): \[-2x^4:2x=-x^3,\qquad -x^3(2x+1)=-2x^4-x^3,\qquad\text{reszta: } 6x^3+9x^2-15x-9,\] \[6x^3:2x=3x^2,\qquad 3x^2(2x+1)=6x^3+3x^2,\qquad\text{reszta: } 6x^2-15x-9,\] \[6x^2:2x=3x,\qquad 3x(2x+1)=6x^2+3x,\qquad\text{reszta: } -18x-9,\] \[-18x:2x=-9,\qquad -9(2x+1)=-18x-9,\qquad\text{reszta: } 0.\] Iloraz to \(-x^3+3x^2+3x-9\), a reszta wynosi \(0\) — potwierdza to podzielność podaną w treści. **Krok \(3\).** Rozkładamy iloraz metodą grupowania (cztery wyrazy, więc grupujemy po dwa): \[-x^3+3x^2+3x-9=-x^2(x-3)+3(x-3)=(x-3)\left(-x^2+3\right)=(x-3)(3-x^2).\] **Krok \(4\).** Zbieramy cały rozkład: \[W(x)=(2x+1)(x-3)(3-x^2).\] **Krok \(5\).** Przyrównujemy każdy czynnik do zera: \[2x+1=0\ \Rightarrow\ x=-\tfrac12,\qquad x-3=0\ \Rightarrow\ x=3,\] \[3-x^2=0\ \Rightarrow\ x^2=3\ \Rightarrow\ x=-\sqrt3\ \text{lub}\ x=\sqrt3.\] **Krok \(6\).** Wielomian ma zatem cztery pierwiastki: \(-\sqrt3\), \(-\tfrac12\), \(\sqrt3\) i \(3\) — tyle, ile maksymalnie może mieć wielomian stopnia czwartego. **Uwaga.** Dwie łatwe do przeoczenia rzeczy. Po pierwsze, pierwiastek \(x=-\tfrac12\) pochodzi z podanego w treści dzielnika i nie pojawi się już w ilorazie — trzeba go dopisać samodzielnie. Po drugie, równanie \(x^2=3\) ma DWA rozwiązania, \(\sqrt3\) i \(-\sqrt3\); są one niewymierne, więc zostawiamy je w postaci pierwiastków, nie zaokrąglając. **Odpowiedź.** \(x=-\sqrt3\), \(x=-\frac12\), \(x=\sqrt3\), \(x=3\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **4.1. (1 pkt)** – […] Zdający może wyłączyć \((-1)\) przed nawias i też otrzyma inny wynik częściowy: \(-\left(2x^{4}-5x^{3}-9x^{2}+15x+9\right):(2x+1)=-\left(x^{3}-3x^{2}-3x+9\right)\). **4.2. (1 pkt)** – Rozłożenie wielomianu \(W(x)\) na czynniki: \(-x^{3}+3x^{2}+3x-9=(x-3)\cdot\left(3-x^{2}\right)\). **4.3. (1 pkt)** – Podanie pierwiastków wielomianu: \(-\sqrt{3}\), \(-\frac{1}{2}\), \(\sqrt{3}\), \(3\). **II sposób rozwiązania.** **4.2. (1 pkt)** – Znalezienie drugiego pierwiastka \(x=3\) i wykonanie dzielenia: \(\left(-x^{3}+3x^{2}+3x-9\right):(x-3)=\left(3-x^{2}\right)\). **4.3. (1 pkt)** – Rozwiązanie równania \(3-x^{2}=0\) i podanie pierwiastków: \(-\sqrt{3}\), \(-\frac{1}{2}\), \(\sqrt{3}\), \(3\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Teza wynika z równości \(\bigl(1-P(A)\bigr)\bigl(1-P(B)\bigr)=0\), otrzymanej z warunku \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B)=1\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie na dowód, w którym mamy do dyspozycji dokładnie dwa fakty. Pierwszy to wzór na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\). Drugi to definicja niezależności: \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\). Teza mówi o alternatywie (jedno albo drugie prawdopodobieństwo równe \(1\)), a to zwykle sygnał, że gdzieś pojawi się iloczyn równy zeru. **Krok \(2\).** Zapisujemy wzór na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń: \[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).\] **Krok \(3\).** Korzystamy z niezależności zdarzeń \(A\) i \(B\), zastępując \(P(A\cap B)\) iloczynem: \[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B).\] **Krok \(4\).** Wstawiamy założenie \(P(A\cup B)=1\): \[P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B)=1.\] **Krok \(5\).** Przenosimy wszystko na jedną stronę tak, aby po drugiej zostało zero: \[1-P(A)-P(B)+P(A)\cdot P(B)=0.\] **Krok \(6\).** Grupujemy wyrazy i wyłączamy wspólny czynnik przed nawias: \[\bigl(1-P(A)\bigr)-P(B)\bigl(1-P(A)\bigr)=0,\qquad \bigl(1-P(A)\bigr)\bigl(1-P(B)\bigr)=0.\] **Krok \(7\).** Iloczyn dwóch liczb rzeczywistych jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem. Zatem \(1-P(A)=0\) lub \(1-P(B)=0\), czyli \(P(A)=1\) lub \(P(B)=1\). To kończy dowód. **Uwaga.** Najtrudniejszym momentem jest krok \(6\) — trzeba wpaść na pomysł zwinięcia wyrażenia \(1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)\) do iloczynu. Podpowiedzią jest sama teza: skoro mamy udowodnić alternatywę, naturalnym narzędziem jest własność iloczynu równego zeru. Zwróć też uwagę, że słowo lub nie wyklucza sytuacji, w której oba prawdopodobieństwa są równe \(1\) — teza mówi o co najmniej jednym zdarzeniu pewnym. **Odpowiedź.** Teza wynika z równości \(\bigl(1-P(A)\bigr)\bigl(1-P(B)\bigr)=0\), otrzymanej z warunku \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B)=1\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **16.1. (1 pkt)** – […] zdarzeń. **16.2. (2 pkt)** – wykorzystanie niezależności zdarzeń i otrzymanie równania \(\left(1-P(A)\right)\left(1-P(B)\right)=0\). **16.3. (1 pkt)** – wywnioskowanie, że przynajmniej jedno ze zdarzeń \(A\) lub \(B\) jest zdarzeniem pewnym.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Teza wynika z tego, że dla \(a=\sqrt[3]{5\sqrt2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt2-7}\) zachodzi \(a^{3}=14-3a\), a równanie \(a^{3}+3a-14=(a-2)(a^{2}+2a+7)=0\) ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty \(a=2\); zatem badane wyrażenie jest równe \(2\), czyli jest liczbą całkowitą (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Metoda: oznaczamy badane wyrażenie jedną literą i podnosimy je do sześcianu. Wynika to z tożsamości \((u-v)^{3}=u^{3}-v^{3}-3uv(u-v)\), która pozwoli zastąpić uciążliwe pierwiastki sześcienne prostym równaniem. **Krok \(2\).** Wprowadzamy oznaczenia \[u=\sqrt[3]{5\sqrt2+7},\qquad v=\sqrt[3]{5\sqrt2-7},\qquad a=u-v.\] Liczby \(u\) i \(v\) są rzeczywiste (pierwiastek sześcienny istnieje dla każdej liczby rzeczywistej), więc \(a\) jest liczbą rzeczywistą. **Krok \(3\).** Obliczamy różnicę sześcianów: \[u^{3}-v^{3}=\left(5\sqrt2+7\right)-\left(5\sqrt2-7\right)=14.\] **Krok \(4\).** Obliczamy iloczyn \(uv\), korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów: \[uv=\sqrt[3]{\left(5\sqrt2+7\right)\left(5\sqrt2-7\right)}=\sqrt[3]{50-49}=\sqrt[3]{1}=1.\] To jest sedno zadania: pod pierwiastkiem zostaje liczba \(1\). **Krok \(5\).** Podstawiamy oba wyniki do tożsamości z kroku \(1\): \[a^{3}=u^{3}-v^{3}-3uv(u-v)=14-3\cdot 1\cdot a,\] czyli \(a\) spełnia równanie \[a^{3}+3a-14=0.\] **Krok \(6\).** Zauważamy, że \(a=2\) spełnia to równanie, bo \(8+6-14=0\). Dzielimy więc wielomian przez dwumian \(a-2\): \[a^{3}+3a-14=(a-2)\left(a^{2}+2a+7\right).\] **Krok \(7\).** Badamy drugi czynnik. Dla trójmianu \(a^{2}+2a+7\) mamy \[\Delta=2^{2}-4\cdot 1\cdot 7=4-28=-24\lt 0,\] więc \(a^{2}+2a+7\) nie ma pierwiastków rzeczywistych i dla każdego rzeczywistego \(a\) jest dodatni. **Krok \(8\).** Zatem równanie \(a^{3}+3a-14=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie jeden pierwiastek: \(a=2\). Ponieważ nasza liczba \(a\) jest rzeczywista i spełnia to równanie, musi być równa \(2\). **Uwaga.** Samo sprawdzenie, że liczba \(2\) spełnia równanie \(a^{3}=14-3a\), jeszcze nie kończy dowodu: trzeba wykazać, że innych pierwiastków rzeczywistych nie ma. Właśnie temu służy rozkład na czynniki i ujemny wyróżnik. **Odpowiedź.** \(\sqrt[3]{5\sqrt2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt2-7}=2\), a więc badane wyrażenie jest liczbą całkowitą.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **17.1. (1 pkt)** – […] lub \(a=\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\) i \(a^{3}=\left(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\right)^{3}\) **17.2. (1 pkt)** – skorzystanie z tożsamości: \((x-y)^{3}=x^{3}-y^{3}-3xy(x-y)\) **17.3. (2 pkt)** – wykorzystanie tożsamości i oznaczeń do uzyskania równania z niewiadomą \(a\) (w tym 1 p. za metodę oraz 1 p. za obliczenia): \(a^{3}=14-3a\) (*) **17.4. (1 pkt)** – wyznaczenie całkowitego pierwiastka równania (*): \(a=2\) **17.5. (1 pkt)** – zapisanie równania (*) w postaci iloczynowej: \((a-2)(a^{2}+2a+7)=0\) lub stwierdzenie, że równanie (*) ma jeden pierwiastek **17.6. (1 pkt)** – wykazanie, że \(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\) jest liczbą całkowitą – sprawdzenie warunku \(\Delta<0\) i uzasadnienie, że \(a=2\) jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem równania (*)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(f(x)=2\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\); równanie \(f(x)=1\) ma rozwiązania \(x=2k\pi\) lub \(x=-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).

**Krok \(1\).** Wyrażenie \(\cos x-\sqrt3\sin x\) to suma sinusa i cosinusa tego samego argumentu ze stałymi współczynnikami. Takie wyrażenie zawsze da się zapisać w postaci jednej funkcji trygonometrycznej: \(A\cos(x+\varphi)\). To jest cała idea zadania — po takim zapisie wykres rysuje się jak zwykłą cosinusoidę, a równanie robi się elementarne. **Krok \(2\).** Amplitudę \(A\) obliczamy jako \(A=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{1+3}=2\). Wyłączamy \(2\) przed nawias: \[f(x)=2\left(\tfrac12\cos x-\tfrac{\sqrt3}{2}\sin x\right).\] **Krok \(3\).** Rozpoznajemy liczby w nawiasie: \(\frac12=\cos\frac{\pi}{3}\) oraz \(\frac{\sqrt3}{2}=\sin\frac{\pi}{3}\). Nawias ma więc postać \(\cos x\cos\frac{\pi}{3}-\sin x\sin\frac{\pi}{3}\), a to jest lewa strona wzoru na cosinus sumy. Stąd \[f(x)=2\cos\left(x+\tfrac{\pi}{3}\right).\] **Krok \(4\).** Podpunkt a). Rysujemy wykres funkcji \(y=2\cos x\) (cosinusoida o amplitudzie \(2\), okresie \(2\pi\)) i przesuwamy go o \(\frac{\pi}{3}\) w lewo wzdłuż osi \(Ox\). Pomocne punkty: maksimum \(2\) dla \(x=-\frac{\pi}{3}\), miejsce zerowe dla \(x=\frac{\pi}{6}\), minimum \(-2\) dla \(x=\frac{2\pi}{3}\), kolejne miejsce zerowe dla \(x=\frac{7\pi}{6}\). **Krok \(5\).** Podpunkt b). Korzystamy z postaci z kroku \(3\) i zapisujemy równanie: \[2\cos\left(x+\tfrac{\pi}{3}\right)=1,\qquad\text{czyli}\qquad\cos\left(x+\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac12.\] **Krok \(6\).** Podstawiamy \(t=x+\frac{\pi}{3}\). Równanie \(\cos t=\frac12\) ma dwie serie rozwiązań, bo cosinus przyjmuje tę samą wartość dla argumentów przeciwnych: \[t=\tfrac{\pi}{3}+2k\pi\qquad\text{lub}\qquad t=-\tfrac{\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.\] **Krok \(7\).** Wracamy do \(x\), odejmując \(\frac{\pi}{3}\): \[x=\tfrac{\pi}{3}-\tfrac{\pi}{3}+2k\pi=2k\pi\qquad\text{lub}\qquad x=-\tfrac{\pi}{3}-\tfrac{\pi}{3}+2k\pi=-\tfrac{2\pi}{3}+2k\pi.\] **Krok \(8\).** Sprawdzamy jedno rozwiązanie z drugiej serii: dla \(x=-\frac{2\pi}{3}\) mamy \(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac12\) oraz \(\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\), więc \(f(x)=-\frac12-\sqrt3\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac12+\frac32=1\). Zgadza się. **Uwaga.** Równanie \(\cos t=\frac12\) daje dwie serie rozwiązań, nie jedną. Pominięcie serii z \(-\frac{\pi}{3}\) to najczęstszy błąd w tym typie zadań. Ponieważ dziedziną jest cały zbiór \(\mathbb{R}\), w odpowiedzi musi wystąpić parametr \(k\in\mathbb{Z}\). **Odpowiedź.** \(f(x)=2\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\), a rozwiązaniami równania \(f(x)=1\) są \(x=2k\pi\) lub \(x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **12.1. (1 pkt)** – […] \(f(x)=2\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\) **12.2. (1 pkt)** – naszkicowanie wykresu funkcji **12.3. (2 pkt)** – rozwiązanie równania (po 1 pkt za metodę i rozwiązanie): \(x=2k\pi\lor x=-\frac{2}{3}\pi+2k\pi\), gdzie \(k\in C\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Suma wynosi \(155\pi\) (równanie sprowadza się do \(\sin 3x=0\), a w przedziale \(\langle0,10\pi\rangle\) ma ono \(31\) rozwiązań postaci \(x=\dfrac{k\pi}{3}\) dla \(k=0,1,\dots,30\)).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy trzy oddzielne zadania w jednym. Po prawej stronie równania stoi liczba (a nie wyrażenie z \(x\)), więc najpierw ją obliczamy. Potem rozwiązujemy proste równanie trygonometryczne, następnie z nierówności z wartością bezwzględną odczytujemy przedział, a na koniec sumujemy wybrane rozwiązania — a te tworzą ciąg arytmetyczny. **Krok \(2\).** Obliczamy \(\operatorname{ctg}\frac{25\pi}{2}\). Rozkładamy kąt: \[\frac{25\pi}{2}=\frac{24\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=12\pi+\frac{\pi}{2}.\] Funkcja \(\operatorname{ctg}\) ma okres \(\pi\), a \(12\pi\) to jego wielokrotność, więc \[\operatorname{ctg}\frac{25\pi}{2}=\operatorname{ctg}\frac{\pi}{2}=\frac{\cos\frac{\pi}{2}}{\sin\frac{\pi}{2}}=\frac{0}{1}=0.\] **Krok \(3\).** Równanie sprowadza się zatem do \(\sin3x=0\). Sinus zeruje się dla wielokrotności \(\pi\), więc \[3x=k\pi,\qquad x=\frac{k\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.\] **Krok \(4\).** Rozwiązujemy nierówność \(|x-5\pi|\leqslant5\pi\). Warunek \(|t|\leqslant a\) oznacza \(-a\leqslant t\leqslant a\), więc \[-5\pi\leqslant x-5\pi\leqslant5\pi,\qquad 0\leqslant x\leqslant10\pi.\] **Krok \(5\).** Wybieramy te rozwiązania, które leżą w przedziale \(\langle0,10\pi\rangle\): \[0\leqslant\frac{k\pi}{3}\leqslant10\pi\quad\Big/\cdot\frac{3}{\pi},\qquad 0\leqslant k\leqslant30.\] Liczb całkowitych \(k\) jest więc \(30-0+1=31\). **Krok \(6\).** Sumujemy te rozwiązania. Tworzą one ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(0\) i różnicy \(\frac{\pi}{3}\), a sumę można policzyć, wyłączając \(\frac{\pi}{3}\) przed nawias: \[S=\sum_{k=0}^{30}\frac{k\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\bigl(0+1+2+\dots+30\bigr)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{30\cdot31}{2}=\frac{\pi}{3}\cdot465=155\pi.\] **Uwaga.** Dwie rzeczy łatwo tu przeoczyć. Po pierwsze, \(\operatorname{ctg}\frac{25\pi}{2}\) to stała liczba, a nie funkcja zmiennej \(x\) — kto potraktuje ją jako coś zależnego od \(x\), utknie. Po drugie, nierówność jest nieostra, więc oba końce przedziału należą do zbioru, a zarówno \(x=0\) (dla \(k=0\)), jak i \(x=10\pi\) (dla \(k=30\)) są rozwiązaniami równania. Rozwiązań jest więc \(31\), a nie \(30\) — pominięcie któregoś z końców zmieniłoby wynik. **Odpowiedź.** Suma wynosi \(155\pi\) (równanie sprowadza się do \(\sin 3x=0\), a w przedziale \(\langle0,10\pi\rangle\) ma ono \(31\) rozwiązań postaci \(x=\dfrac{k\pi}{3}\) dla \(k=0,1,\dots,30\)).

**1. (1 pkt)** – Zauważenie, że kolejne rozwiązania równania trygonometrycznego, są wyrazami ciągu arytmetycznego, w którym \(a_{1}=0\land r=\frac{\pi}{3}\) **2. (1 pkt)** – Ustalenie liczby rozwiązań należących do zbioru \(\langle 0;10\pi\rangle\): \(n=31\) **3. (1 pkt)** – Obliczenie sumy rozwiązań równania należących do zbioru \(\langle 0,10\pi\rangle\): \(S_{31}=155\pi\) (lub sumy \(30\) początkowych wyrazów ciągu, gdy zdający przyjmie, że \(a_{1}=\frac{\pi}{3}\)).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(P=0{,}9^{19}\cdot2{,}9\approx0{,}406\) przy przybliżeniu \(0{,}9^{19}\approx0{,}14\). b) \(P=\frac{90}{210}=\frac37\).

**a)** Żarówki działają niezależnie od siebie, a dla każdej prawdopodobieństwo przepalenia się w ciągu \(300\) godzin wynosi \(q=1-0{,}9=0{,}1\). Mamy więc \(20\) prób Bernoulliego o prawdopodobieństwie sukcesu (przepalenia) równym \(q\). Zdarzenie „przepali się co najwyżej jedna żarówka" to suma rozłącznych zdarzeń: nie przepali się żadna albo przepali się dokładnie jedna. Zatem \[P=\binom{20}{0}\cdot q^{0}\cdot0{,}9^{20}+\binom{20}{1}\cdot q^{1}\cdot0{,}9^{19}=0{,}9^{20}+20\cdot0{,}1\cdot0{,}9^{19}.\] Wyłączamy \(0{,}9^{19}\) przed nawias: \[P=0{,}9^{19}\cdot\left(0{,}9+2\right)=0{,}9^{19}\cdot2{,}9.\] Korzystając z podanego przybliżenia \(0{,}9^{19}\approx0{,}14\), otrzymujemy \[P\approx0{,}14\cdot2{,}9=0{,}406.\] **b)** Wybieramy cztery łańcuchy spośród dziesięciu, a kolejność nie ma znaczenia, więc \[|\Omega|=\binom{10}{4}=210.\] Dwa łańcuchy krótkie spośród sześciu wybieramy na \(\binom{6}{2}=15\) sposobów, a dwa długie spośród czterech na \(\binom{4}{2}=6\) sposobów, zatem \[|A|=15\cdot6=90,\qquad P(A)=\frac{90}{210}=\frac37.\] **Odpowiedź.** a) \(P\approx0{,}406\); b) \(P(A)=\frac37\)

**1. (1 pkt)** – Wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych: \(\Omega=\binom{10}{4}\) **2. (1 pkt)** – Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających wyborowi dwóch łańcuchów krótkich i dwóch łańcuchów długich: \(A=\binom{4}{2}\binom{6}{2}\) **3. (1 pkt)** – Obliczenie prawdopodobieństwa: \(P(A)=\frac{3}{7}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Dowód poniżej: \(|CD|=\dfrac{ab}{a+b}\sqrt2\).

Dwusieczna kąta prostego dzieli go na dwa kąty po \(45^\circ\), więc \(|\angle ACD|=|\angle BCD|=45^\circ\). Oznaczmy \(d=|CD|\). Trójkąt \(ABC\) dzieli się odcinkiem \(CD\) na trójkąty \(ACD\) i \(BCD\), zatem \[P_{ABC}=P_{ACD}+P_{BCD}.\] Korzystając ze wzoru na pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi: \[\frac12ab=\frac12\,b\,d\sin45^\circ+\frac12\,a\,d\sin45^\circ =\frac12\,d\,\frac{\sqrt2}{2}\,(a+b).\] Stąd \[ab=\frac{\sqrt2}{2}\,d\,(a+b),\qquad d=\frac{2ab}{\sqrt2\,(a+b)}=\frac{ab}{a+b}\sqrt2,\] co należało wykazać. Pomocniczy rysunek: trójkąt prostokątny o wierzchołku kąta prostego \(C\), przyprostokątnych \(|BC|=a\) i \(|CA|=b\), z odcinkiem \(CD\) do przeciwprostokątnej \(AB\) i zaznaczonymi kątami \(45^\circ\) po obu jego stronach. **Odpowiedź.** \(|CD|=\dfrac{ab}{a+b}\sqrt2\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **17.1. (1 pkt)** – […] zadania. **17.2. (1 pkt)** – Zapisanie równości pola danego trójkąta i sumy pól trójkątów powstałych z podziału tego trójkąta odcinkiem \(CD\), którego długość \(CD=d\): \(\frac{1}{2}a\cdot d\cdot\sin 45^\circ+\frac{1}{2}b\cdot d\cdot\sin 45^\circ=\frac{1}{2}a\cdot b\). **17.3. (1 pkt)** – Podstawienie do powyższego równania \(\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\) oraz wyłączenie niewiadomej \(d\) przed nawias. **17.4. (1 pkt)** – Zapisanie rozwiązania powyższego równania w postaci opisanej w tezie twierdzenia. **Inna metoda** • 1 punkt, za sporządzenie rysunku uwzględniającego oznaczenia podane w treści zadania, • 1 punkt, za zauważenie i zapisanie, że szukany odcinek \(CD\), o długości, np.: \(CD=d\), jest przekątną kwadratu o boku długości np.: \(c\), wpisanego w dany trójkąt \(\left(d=c\sqrt{2}\right)\), • 1 punkt, za wykorzystanie podobieństwa odpowiednich trójkątów (lub wykorzystanie tw. Talesa) i zapisanie równania z niewiadomą \(c\), np.: \(\frac{b-c}{c}=\frac{b}{a}\), • 1 punkt, za rozwiązanie równania \(c=\frac{ab}{a+b}\): \(d=\frac{ab}{a+b}\cdot\sqrt{2}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(k=3\); b) \(W(x)=(x-1)(x+2)^{2}\), pierwiastki: \(x=1\) oraz \(x=-2\) (pierwiastek podwójny).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy sytuację: mowa o podzielności wielomianu przez dwumian. Kluczem jest twierdzenie Bézouta — wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-p\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(W(p)=0\). Nasz dwumian to \(x+2=x-(-2)\), więc \(p=-2\) i warunek zadania brzmi po prostu \(W(-2)=0\). To daje jedno równanie z jedną niewiadomą \(k\). **Krok \(2\).** Podstawiamy \(x=-2\) do wzoru \(W(x)=x^3+kx^2-4\): \[W(-2)=(-2)^3+k\cdot(-2)^2-4=-8+4k-4=4k-12.\] **Krok \(3\).** Przyrównujemy do zera: \[4k-12=0\quad\Longrightarrow\quad k=3.\] Zatem \(W(x)=x^3+3x^2-4\). **Krok \(4\).** Podpunkt b): skoro \(W(x)\) dzieli się przez \(x+2\), wykonujemy to dzielenie. Dopisujemy brakującą potęgę: \(x^3+3x^2+0\cdot x-4\). \[x^3:x=x^2,\qquad x^2(x+2)=x^3+2x^2,\qquad \text{reszta: } x^2+0\cdot x-4,\] \[x^2:x=x,\qquad x(x+2)=x^2+2x,\qquad \text{reszta: } -2x-4,\] \[-2x:x=-2,\qquad -2(x+2)=-2x-4,\qquad \text{reszta: } 0.\] Iloraz to \(x^2+x-2\), czyli \(W(x)=(x+2)(x^2+x-2)\). **Krok \(5\).** Rozkładamy jeszcze trójmian \(x^2+x-2\). Wyróżnik: \(\Delta=1^2-4\cdot1\cdot(-2)=9\), \(\sqrt{\Delta}=3\), więc \[x_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{-1+3}{2}=1,\] czyli \(x^2+x-2=(x+2)(x-1)\). **Krok \(6\).** Łączymy oba rozkłady: \[W(x)=(x+2)\cdot(x+2)(x-1)=(x-1)(x+2)^2.\] Iloczyn jest równy zeru, gdy któryś czynnik jest zerem, więc pierwiastkami są \(x=1\) oraz \(x=-2\). **Uwaga.** Wielomian jest stopnia trzeciego, ale ma tylko dwa RÓŻNE pierwiastki: liczba \(-2\) jest pierwiastkiem podwójnym (czynnik \((x+2)\) występuje w kwadracie). W praktyce oznacza to, że wykres w punkcie \(x=-2\) tylko dotyka osi \(OX\), zamiast ją przecinać. **Odpowiedź.** a) \(k=3\); b) \(W(x)=(x-1)(x+2)^{2}\), pierwiastki: \(x=1\) oraz \(x=-2\) (pierwiastek podwójny).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **3.1. (1 pkt)** – […] np. \(W(-2)=0\) lub podzielenie wielomianu \(W(x)\) przez dwumian \(x+2\) **3.2. (1 pkt)** – wyznaczenie \(k\): \(k=3\) **3.3. (1 pkt)** – rozłożenie wielomianu na czynniki: \(W(x)=(x-1)(x+2)^{2}\) **3.4. (1 pkt)** – podanie pierwiastków wielomianu: \(x_{1}=x_{2}=-2,\; x_{3}=1\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(a=-2\), \(b=3\), czyli \(f(x)=-2x^{2}+3x+1\); b) \(x\in\left(0,\dfrac32\right)\).

**Krok \(1\).** W części a) mamy funkcję z dwiema nieznanymi liczbami \(a\) i \(b\) oraz dwa warunki na jej wartości. Każdy warunek po podstawieniu daje jedno równanie liniowe, więc otrzymamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. **Krok \(2\).** Warunek \(f(1)=2\). Podstawiamy \(x=1\) do wzoru \(f(x)=ax^2+bx+1\): \[a\cdot 1^2+b\cdot 1+1=2,\qquad a+b=1.\] **Krok \(3\).** Warunek \(f(2)=-1\). Podstawiamy \(x=2\): \[a\cdot 4+b\cdot 2+1=-1,\qquad 4a+2b=-2,\qquad 2a+b=-1.\] **Krok \(4\).** Rozwiązujemy układ \[\begin{cases}a+b=1\\ 2a+b=-1\end{cases}\] Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego, co eliminuje \(b\): \[a=-2.\] Z pierwszego równania \(b=1-a=1-(-2)=3\). **Krok \(5\).** Zatem \[f(x)=-2x^2+3x+1.\] Sprawdzenie: \(f(1)=-2+3+1=2\) oraz \(f(2)=-8+6+1=-1\). Zgadza się. **Krok \(6\).** Przechodzimy do części b). Zapisujemy nierówność \(f(x)\gt 1\): \[-2x^2+3x+1\gt 1.\] Wyraz wolny \(1\) skraca się z jedynką po prawej stronie: \[-2x^2+3x\gt 0.\] **Krok \(7\).** Nie ma potrzeby liczyć wyróżnika, bo można po prostu wyłączyć \(x\) przed nawias: \[x(-2x+3)\gt 0.\] Miejsca zerowe to \(x=0\) oraz \(-2x+3=0\), czyli \(x=\frac{3}{2}\). **Krok \(8\).** Współczynnik przy \(x^2\) jest równy \(-2\), więc parabola ma ramiona skierowane do dołu, a wartości dodatnie przyjmuje między miejscami zerowymi: \[x\in\left(0,\tfrac{3}{2}\right).\] **Uwaga.** W części b) rozwiązujemy nierówność \(f(x)\gt 1\), a nie \(f(x)\gt 0\), dlatego jedynkę trzeba przenieść na lewą stronę. Nierówność jest ostra, więc końce przedziału do rozwiązania nie należą. **Odpowiedź.** a) \(a=-2\), \(b=3\), czyli \(f(x)=-2x^2+3x+1\). b) \(x\in\left(0,\frac{3}{2}\right)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **3.1. (1 pkt)** – […] zadania: \(\begin{cases}[…]\\ 4a+2b+1=-1\end{cases}\) **3.2. (2 pkt)** – rozwiązanie układu równań oraz zapisanie wzoru funkcji kwadratowej (w tym \(1\) p. za metodę oraz \(1\) p. za obliczenia): \(a=-2\), \(b=3\), \(f(x)=-2x^{2}+3x+1\). **3.3. (2 pkt)** – rozwiązanie nierówności (w tym \(1\) p. za metodę oraz \(1\) p. za obliczenia): \(x\in\left(0;\frac{3}{2}\right)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Teza wynika z tego, że \(f(x)=3x^{2}-2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)\) jest funkcją kwadratową, której wyróżnik \(\Delta=2\left[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right]\ge0\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, co trzeba wykazać: że funkcja \(f\) ma co najmniej jedno miejsce zerowe. Po rozwinięciu nawiasów okaże się, że \(f\) jest funkcją kwadratową, a dla funkcji kwadratowej istnienie miejsca zerowego jest równoważne warunkowi \(\Delta\geqslant0\). Cały dowód sprowadza się więc do wyznaczenia wyróżnika i pokazania, że dla dowolnych \(a,b,c\) jest on nieujemny. **Krok \(2\).** Rozwijamy każdy iloczyn: \[(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab,\] \[(x-b)(x-c)=x^2-(b+c)x+bc,\] \[(x-c)(x-a)=x^2-(c+a)x+ca.\] Dodając stronami: \[f(x)=3x^2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ca).\] **Krok \(3\).** Zauważamy rzecz istotną: współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(3\), a więc jest RÓŻNY od zera niezależnie od wartości \(a,b,c\). Funkcja \(f\) zawsze jest zatem funkcją kwadratową (nie może się „zdegenerować” do liniowej) i możemy mówić o jej wyróżniku. **Krok \(4\).** Obliczamy wyróżnik dla \(A=3\), \(B=-2(a+b+c)\), \(C=ab+bc+ca\): \[\Delta=B^2-4AC=4(a+b+c)^2-12(ab+bc+ca).\] **Krok \(5\).** Rozwijamy kwadrat sumy trzech składników: \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\). Wtedy \[\Delta=4a^2+4b^2+4c^2+8(ab+bc+ca)-12(ab+bc+ca)=4(a^2+b^2+c^2)-4(ab+bc+ca).\] **Krok \(6\).** Grupujemy tak, aby powstały pełne kwadraty. Wyłączamy \(2\) przed nawias: \[\Delta=2\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\right).\] Rozdzielamy podwojone kwadraty po jednym do każdej pary: \[2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2),\] czyli \[\Delta=2\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right].\] **Krok \(7\).** Każdy z trzech składników w nawiasie kwadratowym jest kwadratem liczby rzeczywistej, a więc jest nieujemny. Suma liczb nieujemnych jest nieujemna, a po pomnożeniu przez \(2\) nadal jest nieujemna. Zatem \(\Delta\geqslant0\) dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a,b,c\), co oznacza, że funkcja kwadratowa \(f\) ma co najmniej jedno miejsce zerowe. To kończy dowód. **Uwaga.** Teza mówi „CO NAJMNIEJ jedno” miejsce zerowe, więc przypadek \(\Delta=0\) jest dopuszczalny i nie trzeba (ani nie da się) wykazać \(\Delta\gt0\). Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(a=b=c\) — wówczas \(f(x)=3(x-a)^2\) i miejsce zerowe jest jedno, podwójne. Ważne jest też stwierdzenie z kroku \(3\): gdyby współczynnik przy \(x^2\) mógł być zerem, rozumowanie z wyróżnikiem nie miałoby zastosowania. **Odpowiedź.** Teza wynika z tego, że \(f(x)=3x^{2}-2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)\) jest funkcją kwadratową, której wyróżnik \(\Delta=2\left[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right]\ge0\) (dowód w rozwiązaniu).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **12.1. (1 pkt)** – […] postaci ogólnej funkcji kwadratowej: \(f(x)=3x^{2}-2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)\). **12.2. (2 pkt)** – wyznaczenie wyróżnika funkcji kwadratowej (w tym \(1\) p. za metodę oraz \(1\) p. za przekształcenia): \(\Delta=2\left[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right]\). **12.3. (1 pkt)** – uzasadnienie, że wyróżnik jest nieujemny: \(\Delta\ge 0\) dla dowolnych rzeczywistych \(a,b,c\), stąd funkcja \(f\) ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Po przekształceniu \(f(x)=\sqrt3\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\), zatem wartość najmniejsza to \(m=-\sqrt3\), a największa \(M=\sqrt3\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy strukturę wzoru. Oba składniki są funkcjami trygonometrycznymi tego samego argumentu \(2x\) (drugi tylko przesuniętego o \(\frac{\pi}{6}\)). Standardowa metoda: rozwinąć drugi składnik wzorem na cosinus różnicy, sprowadzić wszystko do postaci \(A\sin 2x+B\cos 2x\), a następnie zwinąć to do jednej funkcji \(R\sin(2x+\varphi)\), której zbiór wartości znamy od ręki. **Krok \(2\).** Rozwijamy wzorem na cosinus różnicy \(\cos(\beta-\gamma)=\cos\beta\cos\gamma+\sin\beta\sin\gamma\): \[\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=\cos\frac{\pi}{6}\cos 2x+\sin\frac{\pi}{6}\sin 2x=\frac{\sqrt3}{2}\cos 2x+\frac12\sin 2x.\] **Krok \(3\).** Wstawiamy do wzoru funkcji i redukujemy wyrazy podobne: \[f(x)=\sin 2x+\frac12\sin 2x+\frac{\sqrt3}{2}\cos 2x=\frac32\sin 2x+\frac{\sqrt3}{2}\cos 2x.\] **Krok \(4\).** Liczymy „amplitudę”, czyli liczbę \(R=\sqrt{A^2+B^2}\) dla \(A=\frac32\), \(B=\frac{\sqrt3}{2}\): \[R=\sqrt{\frac94+\frac34}=\sqrt{\frac{12}{4}}=\sqrt3.\] **Krok \(5\).** Wyłączamy \(\sqrt3\) przed nawias: \[f(x)=\sqrt3\left(\frac{3}{2\sqrt3}\sin 2x+\frac{\sqrt3}{2\sqrt3}\cos 2x\right)=\sqrt3\left(\frac{\sqrt3}{2}\sin 2x+\frac12\cos 2x\right).\] **Krok \(6\).** Zauważamy, że \(\frac{\sqrt3}{2}=\cos\frac{\pi}{6}\) i \(\frac12=\sin\frac{\pi}{6}\), więc nawias jest rozwinięciem sinusa sumy: \[f(x)=\sqrt3\left(\sin 2x\cos\frac{\pi}{6}+\cos 2x\sin\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right).\] **Krok \(7\).** Uzasadniamy wartości skrajne. Dla dowolnego argumentu \(\sin\) przyjmuje wartości z przedziału \(\langle-1,1\rangle\), a wyrażenie \(2x+\frac{\pi}{6}\) przebiega cały zbiór liczb rzeczywistych, gdy \(x\) przebiega \(\mathbb{R}\). Zatem \[-\sqrt3\leqslant f(x)\leqslant\sqrt3\] i obie skrajne wartości są osiągane. **Krok \(8\).** Wskazujemy konkretne argumenty. Największą wartość dostajemy, gdy \(2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\), czyli dla \(x=\frac{\pi}{6}\): \(f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\). Najmniejszą, gdy \(2x+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}\), czyli dla \(x=-\frac{\pi}{3}\): \(f\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt3\). (Ten sam wzór można zapisać przy pomocy cosinusa: ze wzoru redukcyjnego \(\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\), więc \(f(x)=\sqrt3\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\) — obie postacie są równoważne.) **Uwaga.** Polecenie brzmi „odpowiedź uzasadnij” — samo podanie liczb \(\pm\sqrt3\) nie wystarczy. Trzeba pokazać przekształcenie do jednej funkcji trygonometrycznej i zaznaczyć, że wartości skrajne są rzeczywiście OSIĄGANE (najlepiej podając przykładowe \(x\)). Uwaga też na częsty błąd: amplituda sumy \(A\sin t+B\cos t\) to \(\sqrt{A^2+B^2}\), a nie \(A+B\) — tutaj \(\frac32+\frac{\sqrt3}{2}\approx 2{,}37\), a poprawna wartość to \(\sqrt3\approx 1{,}73\). **Odpowiedź.** Po przekształceniu \(f(x)=\sqrt3\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\), zatem wartość najmniejsza to \(m=-\sqrt3\), a największa \(M=\sqrt3\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **15.1. (1 pkt)** – […] zastosowaniu wzorów redukcyjnych: \(f(x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)\). **15.2. (1 pkt)** – przekształcenie wzoru funkcji po zastosowaniu wzoru na sumę sinusów lub kosinusów: \(f(x)=\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)\) lub \(f(x)=\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)\). **15.3. (2 pkt)** – wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji (w tym \(1\) p. za podanie wartości oraz \(1\) p. za uzasadnienie): Najmniejsza wartość: \(m=-\sqrt{3}\). Największa wartość: \(M=\sqrt{3}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(Q(2)=6\neq 0\), więc liczba \(2\) nie jest pierwiastkiem wielomianu \(Q\); b) \(P(x)=x^{3}-3x^{2}-2x+6=(x-3)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)\).

**Krok \(1\).** Punkt a) sprawdzamy wprost z definicji pierwiastka wielomianu: liczba \(c\) jest pierwiastkiem wielomianu \(Q\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(Q(c)=0\). Wystarczy więc podstawić i policzyć. Punkt b) to dodanie wielomianów, a następnie rozkład na czynniki liniowe — w takiej sytuacji najpierw szukamy wspólnego czynnika przez grupowanie wyrazów. **Krok \(2\).** a) Podstawiamy \(x=2\) do wzoru \(Q(x)=x^3-x^2+2\): \[Q(2)=2^3-2^2+2=8-4+2=6.\] **Krok \(3\).** Ponieważ \(Q(2)=6\ne0\), liczba \(2\) nie jest pierwiastkiem wielomianu \(Q\). **Krok \(4\).** b) Dodajemy wielomiany, łącząc wyrazy tego samego stopnia: \[P(x)=\left(x^3-x^2+2\right)+\left(-2x^2-2x+4\right)=x^3+(-1-2)x^2-2x+(2+4)=x^3-3x^2-2x+6.\] **Krok \(5\).** Rozkładamy przez grupowanie: w pierwszych dwóch wyrazach wspólnym czynnikiem jest \(x^2\), w dwóch ostatnich \(-2\): \[P(x)=x^2(x-3)-2(x-3)=(x-3)\left(x^2-2\right).\] **Krok \(6\).** Czynnik \(x^2-2\) rozkładamy wzorem na różnicę kwadratów, bo \(2=\left(\sqrt2\right)^2\): \[x^2-2=\left(x-\sqrt2\right)\left(x+\sqrt2\right).\] **Krok \(7\).** Ostatecznie \[P(x)=(x-3)\left(x-\sqrt2\right)\left(x+\sqrt2\right).\] Sprawdzenie wyrazu wolnego: iloczyn wyrazów wolnych czynników to \((-3)\cdot\left(-\sqrt2\right)\cdot\sqrt2=(-3)\cdot(-2)=6\), a taki właśnie wyraz wolny ma \(P(x)\). Zgadza się. **Uwaga.** Polecenie mówi o czynnikach liniowych, więc nie wolno poprzestać na zapisie \((x-3)\left(x^2-2\right)\) — trójmian \(x^2-2\) ma pierwiastki niewymierne \(\pm\sqrt2\) i trzeba go rozłożyć do końca. Zwróć też uwagę, że rachunek w punkcie a) dotyczy wielomianu \(Q\), a nie \(P\). **Odpowiedź.** a) \(Q(2)=6\neq 0\), więc liczba \(2\) nie jest pierwiastkiem wielomianu \(Q\); b) \(P(x)=x^{3}-3x^{2}-2x+6=(x-3)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **(1 pkt)** – obliczenie \(Q(2)=6\). **(1 pkt)** – sformułowanie odpowiedzi: liczba \(2\) nie jest pierwiastkiem wielomianu \(Q\). **(1 pkt)** – wykonanie dodawania wielomianów: \(P(x)=x^{3}-3x^{2}-2x+6\). **(1 pkt)** – zapisanie \(P(x)=(x-3)\left(x^{2}-2\right)\). **(1 pkt)** – zapisanie \(P(x)=(x-3)\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)\).

Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Dla \(a=1\) równanie nie ma rozwiązań; dla \(a=-1\) ma nieskończenie wiele rozwiązań (spełnia je każda liczba rzeczywista); dla \(a\ne1\) i \(a\ne-1\) ma dokładnie jedno rozwiązanie \(x=\dfrac{1}{a-1}\).

**Krok \(1\).** Niewiadomą jest \(x\), a litera \(a\) to parametr, czyli ustalona, choć nieznana liczba. Po uporządkowaniu \(x\) będzie występował tylko w pierwszej potędze, więc jest to równanie liniowe z parametrem. Takie równania zawsze sprowadzamy do postaci \(Ax=B\) i badamy, czy współczynnik \(A\) jest zerem, bo od tego zależy liczba rozwiązań. **Krok \(2\).** Przenosimy wyrazy z \(x\) na lewą stronę, a resztę na prawą: \[a^2x-1=x+a,\qquad a^2x-x=a+1.\] **Krok \(3\).** Wyłączamy \(x\) przed nawias: \[\left(a^2-1\right)x=a+1.\] Rozkładamy jeszcze współczynnik przy \(x\) na czynniki: \[(a-1)(a+1)x=a+1.\] **Krok \(4\).** Współczynnik \((a-1)(a+1)\) zeruje się dokładnie dla \(a=1\) i dla \(a=-1\). To są przypadki szczególne, które trzeba rozpatrzyć osobno. Dla pozostałych \(a\) wolno podzielić obie strony przez ten współczynnik. **Krok \(5\).** Przypadek \(a\ne 1\) i \(a\ne -1\). Dzielimy i skracamy czynnik \(a+1\): \[x=\frac{a+1}{(a-1)(a+1)}=\frac{1}{a-1}.\] Równanie ma wtedy dokładnie jedno rozwiązanie. **Krok \(6\).** Przypadek \(a=1\). Wtedy \(a^2-1=0\) oraz \(a+1=2\), czyli równanie przyjmuje postać \[0\cdot x=2.\] Żadna liczba pomnożona przez zero nie daje \(2\), więc równanie nie ma rozwiązań. **Krok \(7\).** Przypadek \(a=-1\). Wtedy \(a^2-1=0\) oraz \(a+1=0\), czyli równanie przyjmuje postać \[0\cdot x=0.\] Ta równość jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \(x\), więc równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. **Uwaga.** Najczęstszy błąd w tym zadaniu to podzielenie obu stron przez \(a^2-1\) bez sprawdzenia, czy ta liczba jest różna od zera. Wtedy gubi się oba przypadki szczególne, a to one są sednem zadania. **Odpowiedź.** Dla \(a=1\) równanie nie ma rozwiązań; dla \(a=-1\) ma nieskończenie wiele rozwiązań (spełnia je każda liczba rzeczywista); dla \(a\ne 1\) i \(a\ne -1\) ma dokładnie jedno rozwiązanie \(x=\frac{1}{a-1}\).

**6. (1 pkt)** – zapisanie, że dla \(a=1\) dane równanie nie ma żadnego rozwiązania. **7. (1 pkt)** – zapisanie, że dla \(a=-1\) dane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. **8. (1 pkt)** – zapisanie, że dla \(a\neq 1\) i \(a\neq -1\) dane równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Dziedziną równania jest przedział \((-1,1)\); jedynym rozwiązaniem jest \(x=\frac{1}{2}=0{,}5\).

**Krok \(1\).** Po lewej stronie równania \(1+x+x^2+x^3+\ldots+x^n+\ldots=2\) stoi suma nieskończenie wielu wyrazów, z których każdy powstaje z poprzedniego przez pomnożenie przez \(x\). To jest szereg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_1=1\) i ilorazie \(q=x\). Dla takich zadań schemat jest zawsze ten sam: najpierw dziedzina z warunku zbieżności, potem wzór na sumę. **Krok \(2\).** Suma nieskończonego szeregu geometrycznego istnieje tylko wtedy, gdy \(|q|\lt 1\). Tutaj \(q=x\), więc musi być \(|x|\lt 1\), czyli \[x\in(-1,1).\] To jest dziedzina naszego równania. **Krok \(3\).** Postępujemy tak jak w przykładzie z treści zadania. Z sumy wyłączamy pierwszy wyraz, a z reszty wyłączamy przed nawias \(x\): \[1+x+x^2+x^3+\ldots=1+x\left(1+x+x^2+\ldots\right)=2.\] **Krok \(4\).** Zauważmy, że w nawiasie stoi dokładnie ta sama suma, która z założenia jest równa \(2\). Możemy więc w miejsce nawiasu wstawić liczbę \(2\): \[1+x\cdot 2=2.\] **Krok \(5\).** Rozwiązujemy to proste równanie liniowe: \[2x=1,\qquad x=\frac{1}{2}.\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy, czy otrzymana liczba należy do dziedziny: \(\frac12\in(-1,1)\), więc jest to rozwiązanie. Kontrolnie można też skorzystać ze wzoru na sumę \(S=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{1}{1-x}\): równanie \(\dfrac{1}{1-x}=2\) daje \(1-x=\dfrac12\), czyli \(x=\dfrac12\). **Uwaga.** Dziedziny nie wolno tu pominąć. Wzór na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego obowiązuje wyłącznie dla \(|q|\lt 1\); gdyby otrzymana liczba wypadła poza przedziałem \((-1,1)\), trzeba by ją odrzucić, bo wtedy lewa strona w ogóle nie ma sumy. **Odpowiedź.** Dziedziną jest przedział \((-1,1)\), a jedynym rozwiązaniem równania jest \(x=\frac{1}{2}=0{,}5\).

**1. (1 pkt)** – wyznaczenie dziedziny równania. Odp. \((-1,1)\). Dopuszczamy zapis \(\lvert x\rvert<1\) **2. (1 pkt)** – zapisanie równania w postaci: \(1+x(1+x+x^{2}+\ldots)=2\) **3. (1 pkt)** – zapisanie równania w postaci: \(1+2x=2\) **4. (1 pkt)** – wyznaczenie rozwiązania równania. Odp. \(x=0{,}5\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.