Równania wykładnicze i logarytmiczne — niewiadoma w wykładniku i pod logarytmem

Znalezisko ma około \(22\,800\) lat.

Dla masy izotopu obowiązuje model \[m(t)=m_0\left(\frac12\right)^{t/T}.\] Z warunku zadania \[\frac1{16}=\left(\frac12\right)^{t/T}=\left(\frac12\right)^4,\] więc \(t/T=4\). Dla \(T\approx5700\) lat otrzymujemy \[t=4T\approx4\cdot5700=22\,800\text{ lat}.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(22\,800\) lat **2 pkt** – zapisanie \(\frac1{16}=(\frac12)^{t/T}\) i wyznaczenie \(t/T=4\) **1 pkt** – poprawne zapisanie modelu masy izotopu lub pierwszego etapu kolejnych połowień **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - tworzenie modeli praktycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.1) Zdający wykonuje działania na potęgach. V.14) Stosuje funkcję wykładniczą do opisu zagadnień praktycznych.

\[A=10^{2{,}2}\,\text{cm}>100\,\text{cm}.\]

Podstawiamy dane do wzoru: \[6{,}2=\log\frac{A}{10^{-4}}.\] Z definicji logarytmu \[10^{6{,}2}=\frac{A}{10^{-4}},\qquad A=10^{6{,}2}\cdot10^{-4}=10^{2{,}2}\,\text{cm}.\] Ponieważ \(10^{2{,}2}>10^2=100\), amplituda jest większa od \(100\,\text{cm}\).

**2 pkt** – wyznaczenie \(A=10^{2{,}2}\,\text{cm}\) i poprawne porównanie z \(100\,\text{cm}\) **1 pkt** – poprawne zastosowanie definicji logarytmu lub uzasadnienie porównania bez pełnego wyniku **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 1.6 i 1.5 definicja logarytmu oraz własności potęg.

**C.** \(x=\log_3 6\).

Warunek \(f(x)=6\) oznacza \(3^x=6\). Z definicji logarytmu rozwiązaniem tego równania jest \(x=\log_3 6\).

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE podaje tylko odpowiedź. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje wykładnicze i logarytmy, definicja logarytmu.

**D.** \(2\log_4 3\)

Równanie \(4^x=9\) ma dokładnie jedno rozwiązanie, bo funkcja wykładnicza o podstawie \(4\) jest różnowartościowa, a \(9>0\). Z definicji logarytmu \[x=\log_4 9.\] Ponieważ \(9=3^2\), z własności logarytmu potęgi otrzymujemy \[\log_4 9=\log_4 3^2=2\log_4 3.\] **Odpowiedź.** D. \(2\log_4 3\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** rozwiązywanie równania wykładniczego \(a^x=b\) przez zastosowanie definicji logarytmu i własności logarytmu potęgi Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

\[x\in(1,2)\cup(4,5).\]

Najpierw dziedzina — wszystkie trzy argumenty muszą być dodatnie: \[x^2-1>0,\qquad 5-x>0,\qquad 3(x+1)>0.\] Stąd kolejno \(x<-1\) lub \(x>1\); \(x<5\); \(x>-1\). Częścią wspólną jest \[D=(1,5).\] Lewą stronę zapisujemy jednym logarytmem (wzór na logarytm iloczynu): \[\log_{\frac13}\left[(x^2-1)(5-x)\right]>\log_{\frac13}\bigl(3(x+1)\bigr).\] Podstawa \(\frac13\) jest mniejsza od \(1\), więc funkcja logarytmiczna jest malejąca i przy opuszczaniu logarytmów **zwrot nierówności się odwraca**: \[(x^2-1)(5-x)<3(x+1).\] Przenosimy wszystko na lewą stronę i rozkładamy na czynniki: \[(x-1)(x+1)(5-x)-3(x+1)<0,\] \[(x+1)\left[(x-1)(5-x)-3\right]<0,\] \[(x+1)(-x^2+6x-8)<0,\qquad -(x+1)(x-2)(x-4)<0,\] czyli \((x+1)(x-2)(x-4)>0\). Wielomian ten jest dodatni dla \(x\in(-1,2)\cup(4,+\infty)\). Zbiorem rozwiązań nierówności logarytmicznej jest część wspólna tego zbioru z dziedziną: \[\bigl((-1,2)\cup(4,+\infty)\bigr)\cap(1,5)=(1,2)\cup(4,5).\] **Odpowiedź.** \(x\in(1,2)\cup(4,5)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Wyznaczam dziedzinę nierówności logarytmicznej: \(x^{2}-1>0\ \land\ 5-x>0\ \land\ x+1>0\). Rozwiązania tych nierówności zaznaczam na osi liczbowej. […] Dziedziną danej nierówności jest przedział \((1,5)\). Korzystam ze wzoru na sumę logarytmów i otrzymuję nierówność równoważną: \(\log_{\frac{1}{3}}\left[(x^{2}-1)(5-x)\right]>\log_{\frac{1}{3}}\left(3(x+1)\right)\). Funkcja logarytmiczna przy podstawie \(\frac{1}{3}\) jest malejąca, więc po opuszczeniu logarytmów i zmianie zwrotu nierówności otrzymuję nierówność równoważną: \((x^{2}-1)(5-x)<3(x+1)\). Przedstawiam ją w postaci iloczynowej: \[(x-1)(x+1)(5-x)<3(x+1)\] \[(x-1)(x+1)(5-x)-3(x+1)<0\] \[(x+1)\left[(x-1)(5-x)-3\right]<0\] \[(x+1)\left(-x^{2}+6x-8\right)<0\] \[-(x+1)(x-2)(x-4)<0\] Rozwiązaniem nierówności jest suma przedziałów \((-1,2)\cup(4,\infty)\). Rozwiązaniem nierówności logarytmicznej jest część wspólna otrzymanego zbioru i dziedziny: \((1,2)\cup(4,5)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(x\in\left(-4,\frac13\right)\).

**Krok \(1\).** Mamy porównać wartości dwóch funkcji wykładniczych, czyli rozwiązać nierówność \(f(x)\gt g(x)\). Ponieważ obie strony są potęgami, plan jest standardowy: sprowadzamy je do tej samej podstawy, a potem korzystamy z monotoniczności funkcji wykładniczej, żeby porównać same wykładniki. Zostanie nierówność kwadratowa. **Krok \(2\).** Zapisujemy warunek zadania: \[3^{x^2-5x}\gt\left(\frac19\right)^{-2x^2-3x+2}.\] **Krok \(3\).** Sprowadzamy prawą stronę do podstawy \(3\). Ponieważ \(\frac19=3^{-2}\), to \[\left(\frac19\right)^{-2x^2-3x+2}=\left(3^{-2}\right)^{-2x^2-3x+2}=3^{-2\left(-2x^2-3x+2\right)}=3^{4x^2+6x-4}.\] **Krok \(4\).** Nierówność przyjmuje postać \[3^{x^2-5x}\gt3^{4x^2+6x-4}.\] Podstawa \(3\) jest większa od \(1\), więc funkcja wykładnicza jest rosnąca — większej potędze odpowiada większy wykładnik. Nierówność jest zatem równoważna nierówności między wykładnikami (ze znakiem bez zmian): \[x^2-5x\gt4x^2+6x-4.\] **Krok \(5\).** Przenosimy wszystko na jedną stronę: \[x^2-5x-4x^2-6x+4\gt0,\] \[-3x^2-11x+4\gt0.\] Mnożymy przez \(-1\) i zmieniamy zwrot nierówności: \[3x^2+11x-4\lt0.\] **Krok \(6\).** Liczymy pierwiastki trójmianu \(3x^2+11x-4\): \[\Delta=11^2-4\cdot3\cdot(-4)=121+48=169,\qquad\sqrt{\Delta}=13,\] \[x_1=\frac{-11-13}{6}=\frac{-24}{6}=-4,\qquad x_2=\frac{-11+13}{6}=\frac{2}{6}=\frac13.\] **Krok \(7\).** Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę i wartości ujemne przyjmuje między pierwiastkami. Nierówność jest ostra, więc końce nie należą do rozwiązania: \[x\in\left(-4,\frac13\right).\] **Uwaga.** Najczęstszy błąd to potknięcie na znakach w kroku \(3\): mnożymy wykładnik \(-2x^2-3x+2\) przez \(-2\), więc każdy wyraz zmienia znak i dostajemy \(4x^2+6x-4\), a nie \(-4x^2-6x+4\). Drugie miejsce ryzyka to mnożenie nierówności przez \(-1\) w kroku \(5\) — wtedy obowiązkowo odwracamy jej zwrot. **Odpowiedź.** \(x\in\left(-4,\frac13\right)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 20.** (\(4\) pkt) Dane są funkcje \(f(x)=3^{x^{2}-5x}\) i \(g(x)=\left(\frac{1}{9}\right)^{-2x^{2}-3x+2}\). Oblicz, dla których argumentów \(x\) wartości funkcji \(f\) są większe od wartości funkcji \(g\). Warunki zadania są równoważne nierówności: \(3^{x^{2}-5x}>3^{4x^{2}+6x-4}\). Rozwiązuję nierówność: \(3^{x^{2}-5x}>\left(\frac{1}{9}\right)^{-2x^{2}-3x+2}\) \(3^{x^{2}-5x}>\left(3^{-2}\right)^{-2x^{2}-3x+2}\) \(3^{x^{2}-5x}>3^{4x^{2}+6x-4}\) Korzystając z monotoniczności funkcji wykładniczej otrzymuję nierówność równoważną: \(x^{2}-5x>4x^{2}+6x-4\) \(-3x^{2}-11x+4>0\) \(\Delta=169\), \(x_{1}=\frac{11-13}{-6}=\frac{1}{3}\), \(x_{2}=\frac{11+13}{-6}=-4\). Odp.: Rozwiązaniem nierówności jest przedział: \(\left(-4,\frac{1}{3}\right)\). | Nr czynności | 20.1. | 20.2. | 20.3. | 20.4. | |---|---:|---:|---:|---:| | Maks. liczba pkt | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\[D=(0,1)\cup(1,2)\cup(3,+\infty).\]

Zapisujemy wszystkie warunki istnienia logarytmu \(\log_x\bigl(4^x-12\cdot2^x+32\bigr)\): podstawa dodatnia i różna od jedynki oraz argument dodatni: \[x>0,\qquad x\neq1,\qquad 4^x-12\cdot2^x+32>0.\] Trzecią nierówność sprowadzamy do kwadratowej podstawieniem \(t=2^x\), przy czym \(t>0\) dla każdego \(x\). Ponieważ \(4^x=\left(2^2\right)^x=\left(2^x\right)^2=t^2\): \[t^2-12t+32>0,\qquad (t-4)(t-8)>0,\] skąd \(t<4\) lub \(t>8\). Wracamy do zmiennej \(x\); funkcja \(2^x\) jest rosnąca, więc \[2^x<2^2\iff x<2,\qquad 2^x>2^3\iff x>3.\] Częścią wspólną warunków \(x>0\), \(x\neq1\) oraz \((x<2\) lub \(x>3)\) jest \[D=(0,1)\cup(1,2)\cup(3,+\infty).\] **Odpowiedź.** \(D=(0,1)\cup(1,2)\cup(3,+\infty)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **13.1. (1 pkt)** – zapisanie założeń: \(x>0\) i \(x\neq 1\) i \(4^{x}-12\cdot 2^{x}+32>0\). **13.2. (1 pkt)** – doprowadzenie nierówności \(4^{x}-12\cdot 2^{x}+32>0\) do postaci, na przykład \(t^{2}-12t+32>0\), gdzie \(t=2^{x}\) i \(t>0\). **13.3. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności ze zmienną \(t\): \(t<4\) lub \(t>8\). **13.4. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności: \(2^{x}<4\) lub \(2^{x}>8\): \(x<2\) lub \(x>3\). **13.5. (1 pkt)** – wyznaczenie dziedziny funkcji \(f\): \(D=(0,\,1)\cup(1,\,2)\cup(3,\,\infty)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\[m\in\left(\frac{\sqrt2}{2},1\right)\cup(1,2).\]

Warunki istnienia logarytmu \(\log_m(x-1)\): podstawa \(m>0\) i \(m\neq1\), argument \(x-1>0\), czyli \(x>1\). Podstawiamy \(u=\log_m(x-1)\) i rozwiązujemy równanie kwadratowe: \[u^2+u-2=0,\qquad (u+2)(u-1)=0,\] skąd \(u=1\) lub \(u=-2\). Wracamy do zmiennej \(x\): \[\log_m(x-1)=1\Rightarrow x-1=m\Rightarrow x=m+1,\] \[\log_m(x-1)=-2\Rightarrow x-1=m^{-2}\Rightarrow x=1+\frac1{m^2}.\] Oba pierwiastki są większe od \(1\), więc należą do dziedziny. Żądamy, aby **każdy** z nich był mniejszy od \(3\): \[m+1<3\iff m<2,\] \[1+\frac1{m^2}<3\iff\frac1{m^2}<2\iff m^2>\frac12\iff m>\frac{\sqrt2}{2}\] (ostatnia równoważność korzysta z założenia \(m>0\)). Łącząc to z \(m\neq1\), otrzymujemy \[m\in\left(\frac{\sqrt2}{2},1\right)\cup(1,2).\] **Odpowiedź.** \(m\in\left(\frac{\sqrt2}{2},1\right)\cup(1,2)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **13.1. (1 pkt)** – […] spełnione, aby wyrażenie \(\log_{m}(x-1)\) miało sens: \(x\in(1;+\infty)\) i \(m\in(0;1)\cup(1;+\infty)\). **13.2. (1 pkt)** – zapisanie alternatywy równań logarytmicznych równoważnej danemu równaniu: \(\log_{m}(x-1)=1\) lub \(\log_{m}(x-1)=-2\). **13.3. (1 pkt)** – rozwiązanie alternatywy równań logarytmicznych w zależności od parametru \(m\): \(x=m+1\) lub \(x=1+\frac{1}{m^{2}}\). **13.4. (1 pkt)** – zapisanie warunków, dla których każda liczba spełniająca równanie jest mniejsza od \(3\): \(1<m+1<3\) i \(1<1+\frac{1}{m^{2}}<3\). **13.5. (2 pkt)** – wyznaczenie wszystkich wartości parametru \(m\) spełniających warunki zadania (w tym \(1\) p. za metodę oraz \(1\) p. za obliczenia): \(m\in\left(\frac{\sqrt{2}}{2};1\right)\cup(1;2)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(x\in\{-1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6\}\): wykładnik zeruje się dla \(x=-1,\ 2,\ 3\), dla \(x=4\) podstawa jest równa \(1\), a dla \(x=6\) podstawa jest równa \(-1\) przy parzystym wykładniku \(84\).

**Krok \(1\).** Pytamy, kiedy potęga jest równa \(1\). Są dokładnie trzy takie sytuacje i trzeba rozpatrzyć wszystkie: wykładnik jest zerem (przy podstawie różnej od zera), podstawa jest równa \(1\), albo podstawa jest równa \(-1\), a wykładnik jest liczbą parzystą. **Krok \(2\).** Przypadek pierwszy: wykładnik równy zeru, czyli \[x^3-4x^2+x+6=0,\qquad\text{przy}\qquad 5-x\neq0.\] **Krok \(3\).** Pierwiastków całkowitych szukamy wśród dzielników wyrazu wolnego \(6\). Sprawdzamy \(x=-1\): \[(-1)^3-4\cdot(-1)^2+(-1)+6=-1-4-1+6=0,\] więc \(x=-1\) jest pierwiastkiem i wielomian dzieli się przez \(x+1\). **Krok \(4\).** Wykonujemy dzielenie (albo grupowanie) i otrzymujemy \[x^3-4x^2+x+6=(x+1)\left(x^2-5x+6\right).\] **Krok \(5\).** Rozwiązujemy \(x^2-5x+6=0\): \(\Delta=25-24=1\), więc \(x=2\) lub \(x=3\). Żadna z liczb \(-1,2,3\) nie jest równa \(5\), więc podstawa jest w nich różna od zera i wszystkie trzy spełniają równanie. **Krok \(6\).** Przypadek drugi: podstawa równa \(1\), czyli \(5-x=1\), skąd \(x=4\). Wtedy lewa strona to \(1\) podniesione do jakiejkolwiek potęgi, czyli \(1\) — liczba \(4\) spełnia równanie. **Krok \(7\).** Przypadek trzeci: podstawa równa \(-1\), czyli \(5-x=-1\), skąd \(x=6\). Musimy jeszcze sprawdzić parzystość wykładnika: \[6^3-4\cdot6^2+6+6=216-144+12=84,\] a \(84\) jest liczbą parzystą, więc \((-1)^{84}=1\) i liczba \(6\) też spełnia równanie. **Krok \(8\).** Zbieramy wszystkie znalezione liczby z trzech przypadków. **Uwaga.** Najczęstszy błąd to poprzestanie na przypadku pierwszym i podanie tylko trzech liczb. Warto też pamiętać, dlaczego przy zerowym wykładniku dopisujemy warunek na podstawę: wyrażenie \(0^0\) nie jest określone. **Odpowiedź.** \(x\in\{-1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6\}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **21.1. (1 pkt)** – […] kładniku równym zero: \(x^{3}-4x^{2}+x+6=0\) dla \(x\ne 5\) (*). **21.2. (2 pkt)** – rozwiązanie równania (*) (w tym \(1\) p. za metodę oraz \(1\) p. za obliczenia): \(x_{1}=-1\), \(x_{2}=2\), \(x_{3}=3\). **21.3. (1 pkt)** – analiza równania dla \(x=4\): Liczba spełniająca równanie: \(x_{4}=4\). **21.4. (1 pkt)** – analiza równania dla \(x=6\): Liczba spełniająca równanie: \(x_{5}=6\). Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\[x=81.\]

Zaczynamy od dziedziny. Muszą być spełnione warunki \[x>0,\qquad \log_9 x>0,\qquad \log_3 x>0,\] a dwa ostatnie oznaczają \(x>1\). Zatem dziedziną równania jest \((1,+\infty)\). Oznaczmy \(t=\log_3 x\); wtedy ze wzoru na zamianę podstawy \(\log_9 x=\frac{\log_3 x}{\log_3 9}=\frac t2\), a w dziedzinie \(t>0\). Prawą stronę też sprowadzamy do podstawy \(3\): \[\log_9(\log_3 x)=\frac{\log_3 t}{\log_3 9}=\frac12\log_3 t.\] Równanie przyjmuje postać \[\log_3\frac t2=\frac12\log_3 t.\] Mnożymy obie strony przez \(2\) i korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi: \[\log_3\frac{t^2}{4}=\log_3 t,\qquad \frac{t^2}{4}=t,\qquad t^2-4t=0,\] skąd \(t=0\) lub \(t=4\). Wartość \(t=0\) odpada, bo w dziedzinie \(t>0\) (dla \(t=0\) byłoby \(x=1\), a wtedy \(\log_3(\log_9 1)=\log_3 0\) nie istnieje). Zostaje \[\log_3 x=4,\qquad x=3^4=81.\] Sprawdzenie: \(\log_9 81=2\), więc lewa strona wynosi \(\log_3 2\); \(\log_3 81=4\), więc prawa strona wynosi \(\log_9 4=\frac{\log_3 4}{2}=\frac{2\log_3 2}{2}=\log_3 2\). Obie strony są równe. **Odpowiedź.** \(x=81\).

**1. (1 pkt)** – zapisanie warunku jaki musi spełniać niewiadoma \(x\). Odp. \(\begin{cases}x>0\\ \log_{3}x>0\\ \log_{9}x>0\end{cases}\) **2. (1 pkt)** – wyznaczenie dziedziny równania. Odp. \(x\in(1,\,+\infty)\) **3. (2 pkt)** – zapisanie równania w postaci \(\log_{9}(\log_{9}x)^{2}=\log_{9}(\log_{3}x)\). Za zastosowanie twierdzenia o zamianie podstaw – \(1\) punkt. **4. (1 pkt)** – zapisanie równania w postaci \((\log_{9}x)^{2}-\log_{3}x=0\) **5. (1 pkt)** – zapisanie równania w postaci \((\log_{9}x)^{2}-2\log_{9}x=0\) **6. (3 pkt)** – wyznaczenie rozwiązań równania \((\log_{9}x)^{2}-2\log_{9}x=0\). Odp. \(x=1\) lub \(x=81\). Zapisanie w postaci \((\log_{9}x-2)\log_{9}x=0\) – \(1\) punkt. Zapisanie alternatywy: \(\log_{9}x=0\) lub \(\log_{9}x=2\) – \(1\) punkt. Wyznaczenie rozwiązań równania – \(1\) punkt. **7. (1 pkt)** – wyznaczenie rozwiązań równania \(\log_{3}(\log_{9}x)=\log_{9}(\log_{3}x)\). Odp. \(x=81\) Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną od przedstawionej w schemacie punktowania metodą zgodną z poleceniem przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(k\in\left(10+2\sqrt{21},\,+\infty\right)\)

**Krok \(1\).** \(20\). \(37\). Wyznaczenie warunków określających dziedzinę równania **Krok \(2\).** (\(10\) pkt) \(h\)(x) − log k = \(0\) : x > \(5\) i k > \(0\) . **Krok \(3\).** \(x^{2}\) − \(4\) **Krok \(4\).** \(38\). Przekształcenie równania \(h\)(x) − log k = \(0\) do postaci: = k **Krok \(5\).** x − \(5\) **Krok \(6\).** \(39\). Przekształcenie równania do postaci: x \(2\) − kx + \(5k\) − \(4 = 0\) . **Krok \(7\).** ∆ > \(0\) **Krok \(8\).** \(40\). Zapisanie układu warunków x > \(5\) , gdzie x oznacza odciętą **Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.

**37. (2 pkt)** – wyznaczenie warunków określających dziedzinę równania \(h(x)-\log_{2}k=0\): \(x>5\) i \(k>0\). **38. (1 pkt)** – przekształcenie równania \(h(x)-\log_{2}k=0\) do postaci: \(\frac{x^{2}-4}{x-5}=k\). **39. (1 pkt)** – przekształcenie równania do postaci: \(x^{2}-kx+5k-4=0\). **40. (1 pkt)** – zapisanie układu warunków \(\begin{cases}\Delta>0\\ x_{w}>5\\ f(5)>0\end{cases}\), gdzie \(x_{w}\) oznacza odciętą wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f=x^{2}-kx+5k-4\), przy pewnej wartości \(k\). **41. (1 pkt)** – obliczenie wyróżnika trójmianu: \(\Delta=k^{2}-20k+16\). **42. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności \(\Delta>0\): \(\Delta>0\Leftrightarrow k\in\left(-\infty;10-2\sqrt{21}\right)\cup\left(10+2\sqrt{21};\infty\right)\). **43. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności \(x_{w}>5\): \(k\in(10;\infty)\). **44. (1 pkt)** – sprawdzenie, że warunek \(f(5)>0\) zachodzi dla każdej rzeczywistej wartości parametru \(k\). **44. (1 pkt)** – zapisanie odpowiedzi, uwzględniającej zbiór rozwiązań układu nierówności z p. 40 oraz warunku \(k>0\): Dla wszystkich \(k\in\left(10+2\sqrt{21};\infty\right)\) równanie \(h(x)-\log_{2}k=0\) ma dwa różne pierwiastki.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(x\in[-5,-1)\cup(1,5]\), \(y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Osie symetrii figury: \(x=0\) oraz \(y=0\).

Zbiór \(F\) opisują dwa warunki. Zaczynamy od pierwszego z nich; logarytm istnieje, gdy jego argument jest dodatni: \[|x|-1>0,\qquad\text{czyli}\qquad |x|>1.\] Podstawa \(\frac12\) jest mniejsza od \(1\), więc funkcja logarytmiczna jest malejąca i przy opuszczaniu logarytmu zwrot nierówności się odwraca: \[\log_{\frac12}(|x|-1)\geq-2\iff |x|-1\leq\left(\tfrac12\right)^{-2}=4.\] Stąd \(|x|\leq5\). Łącząc z warunkiem dziedziny \(|x|>1\), otrzymujemy \(1<|x|\leq5\), czyli \[x\in[-5,-1)\cup(1,5].\] Zwróćmy uwagę na końce: przy \(|x|=1\) przedział jest otwarty (argument logarytmu byłby zerem), przy \(|x|=5\) domknięty (nierówność jest nieostra). Drugi warunek \(|y|>0\) oznacza po prostu \(y\neq0\). Figura \(F\) to więc dwa pionowe pasy \(-5\leq x<-1\) oraz \(1<x\leq5\) z usuniętą osią \(Ox\). Opis jest symetryczny względem zamiany \(x\to-x\) i \(y\to-y\), więc osiami symetrii są obie osie układu. **Odpowiedź.** \(x\in[-5,-1)\cup(1,5]\), \(y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\); osie symetrii figury \(F\) to \(x=0\) oraz \(y=0\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **14.1. (1 pkt)** – zapisanie warunków dla nierówności logarytmicznej, w tym dziedziny \(\lvert x\rvert-1>0\), czyli \(x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\) **14.2. (1 pkt)** – wykorzystanie monotoniczności funkcji logarytmicznej do rozwiązania nierówności i doprowadzenie jej do postaci \(\lvert x\rvert-1\leq4\) **14.3. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności \(\lvert x\rvert-1\leq4\) z uwzględnieniem dziedziny: \(x\in[-5,-1)\cup(1,5]\) **14.4. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności \(\lvert y\rvert>0\): \(y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\) **14.5. (1 pkt)** – naszkicowanie figury \(F\) **14.6. (1 pkt)** – napisanie równań osi symetrii figury \(F\): \(x=0\), \(y=0\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.