Równanie x(x − 2) = (x − 2)² w zbiorze liczb rzeczywistych

ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 2.

ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 0.

ma dwa różne rozwiązania: x = 1 i x = 2.

Równanie 2x² + 11x + 3 = 0

ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste.

ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

ma dwa dodatnie rozwiązania rzeczywiste.

Strona główna › Równania i nierówności › Równania kwadratowe — wzór na deltę

Równania kwadratowe — wzór na deltę

Q: Jak brzmi wzór na deltę?

Δ = b² − 4ac, gdzie a, b, c to współczynniki równania zapisanego w postaci ogólnej ax² + bx + c = 0. Znak delty rozstrzyga, ile rozwiązań ma równanie, jeszcze zanim policzy się pierwiastki.

Q: Ile rozwiązań ma równanie kwadratowe?

Zależy od znaku delty: dodatnia daje dwa różne pierwiastki, zerowa jeden pierwiastek podwójny, a ujemna oznacza brak rozwiązań rzeczywistych. Wszystkie trzy przypadki wynikają z tego, że pierwiastka z liczby ujemnej nie ma.

Q: Jakie są wzory na pierwiastki równania kwadratowego?

x₁ = (−b − √Δ)/(2a) oraz x₂ = (−b + √Δ)/(2a). Przy delcie równej zeru oba dają tę samą liczbę, więc zapisuje się je krócej jako x₀ = −b/(2a).

Q: Co zrobić, gdy delta wyjdzie ujemna?

Zapisać, że równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych — to jest pełna i poprawna odpowiedź. Oznacza to, że parabola odpowiadającej funkcji nie przecina osi OX ani jej nie dotyka.

Q: Czy zawsze trzeba liczyć deltę?

Nie. Gdy brakuje wyrazu wolnego, wystarczy wyłączyć x przed nawias, a gdy brakuje wyrazu liniowego — przenieść liczbę i spierwiastkować obie strony. Oba sposoby są znacznie szybsze od delty.

Q: Dlaczego nie wolno dzielić równania przez x?

Bo dzielić wolno tylko przez liczbę różną od zera, a x = 0 bywa jednym z rozwiązań. W równaniu x² − 5x = 0 dzielenie przez x gubi rozwiązanie zerowe i zostawia tylko x = 5.

Q: Jak obliczyć deltę?

Zapisz równanie w postaci ogólnej, odczytaj współczynniki a, b, c i podstaw je do Δ = b² − 4ac. Na przykład w 2x² − 7x + 3 = 0 mamy a = 2, b = −7, c = 3, więc Δ = (−7)² − 4 · 2 · 3 = 49 − 24 = 25, a √Δ = 5.

Delta to jedna liczba, która rozstrzyga los całego równania, zanim policzysz choćby jeden pierwiastek. Jej znak mówi, czy rozwiązania będą dwa, jedno, czy żadne — i dopiero potem wchodzą wzory. Warto jednak wiedzieć coś jeszcze: są dwa typy równań kwadratowych, w których liczenie delty jest stratą czasu, bo wynik widać od razu. Zaczynam od delty, kończę na tym, kiedy jej nie używać.

Dział: Równania i nierównościPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 12

Krótko: Równanie kwadratowe to równanie postaci ax² + bx + c = 0, w którym a ≠ 0. Liczymy deltę Δ = b² − 4ac: gdy Δ > 0, są dwa rozwiązania, gdy Δ = 0 — jedno, a gdy Δ < 0 — równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Przejdź od razu do zadań (12) ↓

1Postać ogólna i po co jej pilnować

Karta pracy do wydruku

Delta i pierwiastki — 34 zadania, PDF na 3 strony

Osiemnaście równań na samo obliczenie delty i szesnaście na pełne rozwiązanie, w tym przypadki z $\Delta{} = 0$ i $\Delta{} < 0$ . Trzecia strona to klucz odpowiedzi.

Równanie kwadratowe to równanie, które da się zapisać w postaci ogólnej:

ax^2 + bx + c = 0, \qquad \text{gdzie } a \neq 0

Warunek $a \neq 0$ nie jest formalnością. Gdyby $a$ było zerem, zniknąłby wyraz z $x^2$ i zostałoby równanie liniowe — inny typ, inna metoda.

Litery $a$ , $b$ , $c$ nazywa się współczynnikami. Odczytanie ich to pierwszy krok każdego zadania i zarazem miejsce, gdzie najczęściej wkrada się błąd — bo równanie rzadko jest podane od razu w postaci ogólnej.

równanie	po uporządkowaniu	$a$	$b$	$c$
$x^2 - 5x + 6 = 0$	już uporządkowane	$1$	$-5$	$6$
$3x^2 = 2x + 8$	$3x^2 - 2x - 8 = 0$	$3$	$-2$	$-8$
$x^2 = 9$	$x^2 - 9 = 0$	$1$	$0$	$-9$
$5x - x^2 = 0$	$-x^2 + 5x = 0$	$-1$	$5$	$0$

Dwie rzeczy warto zapamiętać z tej tabeli. Znak należy do współczynnika — w $x^2 - 5x + 6$ mamy $b = -5$ , a nie $5$ . I brakujący wyraz znaczy zero, a nie „nie ma go”: w $x^2 - 9 = 0$ współczynnik $b$ wynosi $0$ .

To jest w podstawie programowej

Podstawa dla liceum, dział III. Równania i nierówności, zakres podstawowy: „rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe”.

W zakresie rozszerzonym tego samego działu stoją dopiero wzory Viète’a, równania i nierówności z parametrem oraz te z wartością bezwzględną — z jednym zastrzeżeniem: najprostsze równania z modułem, typu $|x+4| = 5$ , podstawa wymienia już w zakresie podstawowym, w dziale I o liczbach rzeczywistych. Na tej stronie Viète pojawia się wyłącznie jako kontrola wyniku, wyraźnie oznaczona.

Delta wraca potem przy nierównościach kwadratowych i w zadaniach z parametrem — równania i nierówności w liceum pokazują, ile tematów się na niej opiera.

Odczytywanie współczynników a, b, c w równaniu kwadratowym: x² − 5x + 6 = 0 ma a = 1, b = −5, c = 6; 3x² = 2x + 8 po uporządkowaniu daje a = 3, b = −2, c = −8; x² = 9 daje a = 1, b = 0, c = −9; 5x − x² = 0 daje a = −1, b = 5, c = 0 — Współczynniki a, b, c — najpierw uporządkuj równanie

2Delta rozstrzyga, zanim policzysz

Wyróżnik, oznaczany grecką literą $\Delta$ , liczy się z samych współczynników:

\Delta = b^2 - 4ac

Nazwa „wyróżnik” jest tu trafniejsza od „delty”, bo mówi, co ta liczba robi: wyróżnia trzy możliwe sytuacje.

znak $\Delta$	ile rozwiązań	dlaczego
$\Delta > 0$	dwa różne	$\sqrt{\Delta}$ istnieje i jest dodatni, więc $\pm$ daje dwie różne liczby
$\Delta = 0$	jedno (podwójne)	$\sqrt{0} = 0$ , więc oba wzory dają to samo
$\Delta < 0$	brak w liczbach rzeczywistych	pierwiastek z liczby ujemnej nie istnieje

Kolumna „dlaczego” jest ważniejsza od samej tabeli. Wszystkie trzy przypadki wynikają z jednego faktu: z liczby ujemnej nie da się wyciągnąć pierwiastka kwadratowego. Nie ma tu trzech reguł do zapamiętania, jest jedna.

Gdy $\Delta \geq 0$ , pierwiastki liczy się wzorami:

x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}

Dla $\Delta = 0$ oba wzory dają tę samą liczbę, więc zapisuje się je krócej:

x_0 = \frac{-b}{2a}

Trzy miejsca, w których giną punkty

Minus przed $b$ we wzorze na pierwiastki. Dla $b = -5$ w liczniku stoi $-(-5) = +5$ .

Mianownik to $2a$ , nie $2$ . Przy $a = 1$ różnicy nie widać, więc błąd ujawnia się dopiero przy $a \neq 1$ .

Kwadrat obejmuje znak $b$ . W $\Delta = b^2 - 4ac$ mamy $(-5)^2 = 25$ , nie $-25$ — potęgowanie wykonuje się przed odejmowaniem.

Równanie kwadratowe — wzory: postać ogólna ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), delta Δ = b² − 4ac, pierwiastki x₁ = (−b − √Δ)/2a oraz x₂ = (−b + √Δ)/2a, dla Δ = 0 jedno rozwiązanie x₀ = −b/2a; przykład 2x² − 7x + 3 = 0 daje Δ = 25, x₁ = 0,5 i x₂ = 3 — Wzór na deltę i pierwiastki równania kwadratowego z przykładem

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Funkcja kwadratowa” (liceum, klasa 2), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Funkcja kwadratowa — cały dział, liceum, klasa 2 (8 pakietów)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Funkcja kwadratowa”8 arkuszy w jednym pliku14,90 zł~~31,20 zł~~−16,30 zł Liceum, klasa 2, na cały rok28 arkuszy, 1,60 zł za arkusz44,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 14,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Dwa równania, których nie warto liczyć deltą

Delta działa zawsze, ale w dwóch przypadkach jest najdłuższą z możliwych dróg. Warto je rozpoznawać, bo pojawiają się często.

Przypadek pierwszy: brak wyrazu wolnego ( $c = 0$ ). Wtedy wystarczy wyłączyć $x$ przed nawias:

x^2 - 5x = 0 \quad \Rightarrow \quad \textcolor{#16A06A}{x}(x - 5) = 0

Iloczyn równa się zeru, gdy choć jeden czynnik jest zerem — stąd od razu $x = \textcolor{#E0453A}{0}$ albo $x = \textcolor{#E0453A}{5}$ . Bez delty, bez pierwiastka, w jednej linijce.

Przypadek drugi: brak wyrazu liniowego ( $b = 0$ ). Wtedy wystarczy przenieść i spierwiastkować:

x^2 - 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \textcolor{#16A06A}{9} \quad \Rightarrow \quad x = \textcolor{#E0453A}{3} \ \text{ lub } \ x = \textcolor{#E0453A}{-3}

Albo, co wychodzi na to samo, rozłożyć przez różnicę kwadratów: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ .

Uwaga na znikające rozwiązanie

W pierwszym przypadku kusi, żeby podzielić obie strony przez $x$ — i wtedy $x^2 - 5x = 0$ „upraszcza się” do $x = 5$ . Rozwiązanie $x = 0$ przepada.

Dzielić przez $x$ wolno tylko wtedy, gdy wiadomo, że $x \neq 0$ — a tu właśnie zero jest jednym z rozwiązań. Zawsze wyłączaj przed nawias, nigdy nie dziel.

W drugim przypadku analogiczna pułapka to zapisanie samego $x = 3$ i pominięcie $-3$ . Pierwiastek kwadratowy z liczby dodatniej daje dwa rozwiązania równania, choć symbol $\sqrt{9}$ oznacza tylko liczbę dodatnią.

Oba skróty działają dlatego, że równanie daje się rozłożyć na czynniki. To zresztą ogólniejsza metoda niż delta — tylko rzadko równie łatwa.

Kiedy nie liczyć delty: gdy c = 0, wyłącz x przed nawias (x² − 5x = 0 daje x = 0 lub x = 5); gdy b = 0, przenieś i spierwiastkuj (x² − 9 = 0 daje x = 3 lub x = −3) — Dwa skróty bez delty — wyłączanie przed nawias i pierwiastkowanie

4Jak sprawdzić wynik

Równania kwadratowe mają tę zaletę, że wynik zawsze da się sprawdzić — i to szybciej, niż się go liczyło.

Metoda podstawowa: wstaw pierwiastek z powrotem do równania. Jeśli lewa strona wyjdzie zerem, rozwiązanie jest poprawne. To działa zawsze i nie wymaga niczego ponad program.

Dla $x^2 - 5x + 6 = 0$ i $x = \textcolor{#16A06A}{3}$ : $\textcolor{#16A06A}{3}^2 - 5 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} + 6 = 9 - 15 + 6 = \textcolor{#E0453A}{0}$ ✓

Materiał rozszerzony: kontrola wzorami Viète’a

Podstawa umieszcza wzory Viète’a w zakresie rozszerzonym, więc na maturze podstawowej nie są wymagane. Warto jednak wiedzieć, że stoją w karcie wzorów CKE (strona 9, tuż pod postacią iloczynową) — a karta jest ta sama dla obu poziomów matury, więc masz je pod ręką również na poziomie podstawowym. Jako kontrola są wyjątkowo szybkie.

Suma pierwiastków wynosi $-\frac{b}{a}$ , a ich iloczyn $\frac{c}{a}$ .

Dla $x^2 - 5x + 6 = 0$ : suma ma być $5$ , iloczyn $6$ . Pierwiastki $2$ i $3$ dają $2+3=5$ ✓ oraz $2 \cdot 3 = 6$ ✓ — sprawdzone w pamięci, bez liczenia.

Kontrola sensu liczby rozwiązań jest jeszcze tańsza. Zanim zapiszesz odpowiedź, porównaj ją ze znakiem delty: ujemna delta i dwa pierwiastki w odpowiedzi to sprzeczność, którą widać bez sprawdzania rachunku.

Warto też pamiętać, że pierwiastki równania to miejsca zerowe odpowiadającej mu funkcji kwadratowej — czyli pierwsze współrzędne punktów wspólnych paraboli z osią $OX$ . Delta ujemna oznacza, że parabola tej osi w ogóle nie dotyka.

Znak delty a parabola: Δ > 0 — parabola przecina oś w dwóch punktach (dwa rozwiązania), Δ = 0 — dotyka osi w jednym punkcie (jedno rozwiązanie), Δ < 0 — omija oś (brak rozwiązań rzeczywistych) — Znak delty a liczba rozwiązań — parabola i miejsca zerowe

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady — po jednym na każdy znak delty.

Przykład $1$ Delta dodatnia — dwa pierwiastki

Rozwiąż równanie $2x^2 - 7x + 3 = 0$ .

Odczytuję współczynniki: $a = \textcolor{#16A06A}{2}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{-7}$ , $c = \textcolor{#16A06A}{3}$ .
Liczę deltę: $\Delta = \textcolor{#16A06A}{(-7)}^2 - 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = 49 - 24 = \textcolor{#E0453A}{25}$
Delta dodatnia, więc będą dwa rozwiązania. Pierwiastkuję: $\sqrt{\textcolor{#E0453A}{25}} = \textcolor{#2F80D8}{5}$ .
$x_1 = \frac{-\textcolor{#16A06A}{(-7)} - \textcolor{#2F80D8}{5}}{2 \cdot \textcolor{#16A06A}{2}} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \textcolor{#8B5CF6}{0{,}5}$
$x_2 = \frac{-\textcolor{#16A06A}{(-7)} + \textcolor{#2F80D8}{5}}{2 \cdot \textcolor{#16A06A}{2}} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = \textcolor{#8B5CF6}{3}$
Kontrola podstawieniem $x = \textcolor{#8B5CF6}{3}$ : $2 \cdot 9 - 7 \cdot 3 + 3 = 18 - 21 + 3 = 0$ ✓
Kontrola podstawieniem $x = \textcolor{#8B5CF6}{0{,}5}$ : $2 \cdot 0{,}25 - 7 \cdot 0{,}5 + 3 = 0{,}5 - 3{,}5 + 3 = 0$ ✓
Kontrola sensu: delta dodatnia, więc dwa różne pierwiastki — zgadza się ✓

Odpowiedź: $x_1 = 0{,}5$ , $x_2 = 3$ .

Zwróć uwagę na dwa miejsca: $-b$ dało $+7$ , bo $b$ było ujemne, a mianownik wyniósł $4$ , bo $a = 2$ . Przy $a = 1$ obie te rzeczy są niewidoczne — dlatego warto ćwiczyć na równaniach z $a \neq 1$ .

Przykład $2$ Delta zerowa — jedno rozwiązanie

Rozwiąż równanie $x^2 - 6x + 9 = 0$ .

Współczynniki: $a = \textcolor{#16A06A}{1}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{-6}$ , $c = \textcolor{#16A06A}{9}$ .
$\Delta = \textcolor{#16A06A}{(-6)}^2 - 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{1} \cdot \textcolor{#16A06A}{9} = 36 - 36 = \textcolor{#E0453A}{0}$
Delta równa zeru, więc jest dokładnie jedno rozwiązanie — nazywa się je pierwiastkiem podwójnym.
$x_0 = \frac{-\textcolor{#16A06A}{(-6)}}{2 \cdot \textcolor{#16A06A}{1}} = \frac{6}{2} = \textcolor{#2F80D8}{3}$
Kontrola podstawieniem: $\textcolor{#2F80D8}{3}^2 - 6 \cdot \textcolor{#2F80D8}{3} + 9 = 9 - 18 + 9 = 0$ ✓
Kontrola inną drogą: lewa strona to kwadrat różnicy, $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$ , a kwadrat równa się zeru tylko dla $x = \textcolor{#2F80D8}{3}$ ✓

Odpowiedź: $x = 3$ (pierwiastek podwójny).

Delta zerowa oznacza, że lewa strona jest kwadratem — tutaj wprost, bo $a = 1$ : $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$ . Przy innym $a$ kwadrat pojawia się dopiero po wyłączeniu współczynnika przed nawias, np. $2x^2 - 4x + 2 = 2(x-1)^2$ (delta też zerowa). Rozpoznanie kwadratu pozwala rozwiązać takie równanie bez delty, samym wzorem skróconego mnożenia.

Przykład $3$ Delta ujemna — brak rozwiązań

Rozwiąż równanie $x^2 + 2x + 5 = 0$ .

Współczynniki: $a = \textcolor{#16A06A}{1}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{2}$ , $c = \textcolor{#16A06A}{5}$ .
$\Delta = \textcolor{#16A06A}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{1} \cdot \textcolor{#16A06A}{5} = 4 - 20 = \textcolor{#E0453A}{-16}$
Delta jest ujemna, a pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej w liczbach rzeczywistych nie ma.
Równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych — i to jest pełna odpowiedź, nie brak odpowiedzi.
Kontrola inną drogą: przekształcam lewą stronę do postaci $x^2 + 2x + 1 + 4 = (x+1)^2 + 4$ .
Kwadrat jest zawsze nieujemny, więc $(x+1)^2 + 4 \geq \textcolor{#2F80D8}{4}$ — wyrażenie nigdy nie osiąga zera ✓
Kontrola sensu: najmniejsza wartość lewej strony to $4$ , czyli parabola leży w całości nad osią $OX$ ✓

Odpowiedź: Brak rozwiązań rzeczywistych.

„Brak rozwiązań” to poprawna i pełna odpowiedź — nie oznacza, że zadanie zostało niedokończone. Drugi sposób pokazuje, dlaczego tak jest: lewa strona nigdy nie schodzi poniżej czwórki.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — trzy pierwsze dotyczą samego wzoru.

Gubienie znaku przy $-b$

Skąd się bierze: Gdy $b$ jest ujemne, $-b$ staje się dodatnie. Dla $b = -7$ w liczniku ma stać $+7$ , a uczeń często zapisuje $-7$ i otrzymuje pierwiastki o przeciwnych znakach.

Jak zrobić dobrze: Wstawiaj wartość $b$ w nawiasie, razem ze znakiem: $-(-7)$ . Kontrola: podstawienie wyniku do równania natychmiast wykryje pomyłkę znaku.

Dzielenie przez $2$ zamiast przez $2a$

Skąd się bierze: Przy $a = 1$ oba mianowniki są takie same, więc błąd długo pozostaje niewidoczny — i ujawnia się dopiero przy równaniu z $a = 2$ albo $a = 3$ , dając wynik dwa lub trzy razy za duży.

Jak zrobić dobrze: Zapisuj mianownik jako $2 \cdot a$ z podstawioną liczbą, a nie jako gotowe $2$ . Kontrola sensu: podstaw otrzymany pierwiastek do równania wyjściowego i sprawdź, czy lewa strona daje zero. Wielkości pierwiastków nie da się przewidzieć z samego $a$ .

Liczenie $b^2$ jako liczby ujemnej

Skąd się bierze: Dla $b = -6$ zapis $b^2$ znaczy $(-6)^2 = 36$ , a nie $-36$ . Pomyłka daje ujemną deltę tam, gdzie jest dodatnia, i prowadzi do wniosku „brak rozwiązań” przy równaniu, które je ma.

Jak zrobić dobrze: Zawsze zapisuj $(-6)^2$ w nawiasie. Kontrola sensu: $b^2$ jest zawsze nieujemne, więc ujemny wynik w tym miejscu to na pewno błąd.

Dzielenie równania przez $x$ przy braku wyrazu wolnego

Skąd się bierze: W równaniu $x^2 - 5x = 0$ podzielenie przez $x$ daje $x = 5$ i gubi rozwiązanie $x = 0$ . Dzielić wolno tylko przez liczbę różną od zera, a tu zero jest właśnie rozwiązaniem.

Jak zrobić dobrze: Wyłącz $x$ przed nawias: $x(x-5) = 0$ . Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem — stąd oba rozwiązania naraz.

Zadania maturalne — równania kwadratowe, delta i pierwiastki

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Trzy narzędzia wystarczają na wszystkie te zadania. Delta:

\Delta = b^2 - 4ac

, a pierwiastki to

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

— o liczbie rozwiązań decyduje znak

\Delta

. Postać iloczynowa: gdy równanie jest już zapisane jako iloczyn, pierwiastki czyta się wprost z nawiasów, bez delty. Wzory Viète'a:

x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}

oraz

x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}

— pozwalają odpowiedzieć na pytania o sumę, iloczyn i znaki pierwiastków, nie licząc ich samych.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 7 zadań, więc dostaniesz je wszystkie w losowej kolejności.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (informator CKE)1 pktłatwe

Mniejszą z dwóch liczb spełniających równanie

x^2 + 5x + 6 = 0

jest

A. $(-6)$
B. $(-3)$
C. $(-2)$
D. $(-1)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Odczytujemy współczynniki: $a = \textcolor{#16A06A}{1}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{5}$ , $c = \textcolor{#16A06A}{6}$ .
Delta:
$\Delta = b^2 - 4ac = \textcolor{#16A06A}{5}^2 - 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{1} \cdot \textcolor{#16A06A}{6} = \textcolor{#E0453A}{25} - \textcolor{#E0453A}{24} = \textcolor{#E0453A}{1}$
Delta jest dodatnia, więc równanie ma dwa pierwiastki. Pierwiastek z delty jest tu wyjątkowo przyjemny: $\sqrt{\textcolor{#E0453A}{1}} = \textcolor{#E0453A}{1}$ .
$x = \dfrac{-\textcolor{#16A06A}{5} \pm \textcolor{#E0453A}{1}}{2 \cdot \textcolor{#16A06A}{1}} \qquad \Longrightarrow \qquad x_1 = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{-6}}{2} = \textcolor{#E0453A}{-3}, \qquad x_2 = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{-4}}{2} = \textcolor{#E0453A}{-2}$
Zadanie pyta o mniejszą z tych liczb. Na liczbach ujemnych mniejsza jest ta bardziej odległa od zera:
$\textcolor{#E0453A}{-3} < \textcolor{#E0453A}{-2}$
Odpowiedź: B.
Kontrola przez wzory Viète'a: suma pierwiastków powinna wynosić $-\tfrac{b}{a} = -5$ , i faktycznie $-3 + (-2) = -5$ ✓ Iloczyn powinien być $\tfrac{c}{a} = 6$ , i faktycznie $(-3) \cdot (-2) = 6$ ✓

💡 Wskazówka: To równanie da się rozwiązać bez delty, samym rozkładem: szukamy dwóch liczb, których suma to $-5$ , a iloczyn $6$ . Para $-2$ i $-3$ pasuje od razu, więc $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$ . Przy małych współczynnikach ta droga jest szybsza i mniej podatna na błąd rachunkowy niż liczenie delty.

⚠ Podanie $-2$ zamiast $-3$ , czyli pomylenie tego, która liczba ujemna jest mniejsza. Na osi liczbowej $-3$ leży na lewo od $-2$ , więc jest mniejsza — mimo że „trójka jest większa od dwójki”. Drugi błąd: przepisanie współczynników $5$ i $6$ jako pierwiastków ze zmienionym znakiem, czyli odpowiedź $-6$ ; liczby $-5$ i $6$ to suma i iloczyn pierwiastków, a nie same pierwiastki.

Zadanie 2 (listopad 2010)1 pktśrednie

Liczby

x_1

x_2

są pierwiastkami równania

x^2 + 10x - 24 = 0

x_1 < x_2

. Oblicz

2x_1 + x_2

A. $(-22)$
B. $(-17)$
C. $8$
D. $13$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Współczynniki: $a = \textcolor{#16A06A}{1}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{10}$ , $c = \textcolor{#16A06A}{-24}$ . Uwaga na znak przy $c$ — we wzorze na deltę odejmujemy $4ac$ , więc odejmowanie liczby ujemnej da dodawanie.
$\Delta = \textcolor{#16A06A}{10}^2 - 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{1} \cdot (\textcolor{#16A06A}{-24}) = \textcolor{#E0453A}{100} + \textcolor{#E0453A}{96} = \textcolor{#E0453A}{196}$
$\sqrt{\textcolor{#E0453A}{196}} = \textcolor{#E0453A}{14}$
$x = \dfrac{-\textcolor{#16A06A}{10} \pm \textcolor{#E0453A}{14}}{2} \qquad \Longrightarrow \qquad \dfrac{\textcolor{#E0453A}{4}}{2} = \textcolor{#E0453A}{2} \quad \text{oraz} \quad \dfrac{\textcolor{#E0453A}{-24}}{2} = \textcolor{#E0453A}{-12}$
Teraz kluczowy krok: przypisanie oznaczeń. Treść mówi $x_1 < x_2$ , więc
$x_1 = \textcolor{#E0453A}{-12}, \qquad x_2 = \textcolor{#E0453A}{2}$
$2x_1 + x_2 = 2 \cdot (\textcolor{#E0453A}{-12}) + \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#E0453A}{-24} + \textcolor{#E0453A}{2} = -22$
Odpowiedź: A.
Kontrola przez Viète'a: suma pierwiastków ma być $-10$ , i jest: $-12 + 2 = -10$ ✓ Iloczyn ma być $-24$ : $(-12) \cdot 2 = -24$ ✓

💡 Wskazówka: Wyrażenie $2x_1 + x_2$ nie jest symetryczne — zamiana pierwiastków miejscami zmienia wynik. Dlatego warunek $x_1 < x_2$ z treści jest tu równie ważny jak sama delta i trzeba go użyć świadomie, a nie przypisać oznaczenia w kolejności, w jakiej wypadły ze wzoru.

⚠ Przypisanie $x_1 = 2$ i $x_2 = -12$ — czyli w kolejności, w jakiej pierwiastki wychodzą ze wzoru, bo $\dfrac{-b + \sqrt\Delta}{2a}$ liczy się zwykle jako pierwsze. Wtedy $2 \cdot 2 + (-12) = -8$ — liczba, której nie ma wśród odpowiedzi, więc ten błąd sam się ujawnia i wystarczy wrócić do warunku $x_1 < x_2$ . Drugi błąd jest rachunkowy i łatwiej go przeoczyć, bo daje „ładne”, całkowite pierwiastki: podzielenie przez $2a$ tylko pierwiastka z delty, czyli zapis $x = -10 \pm 7$ zamiast $\tfrac{-10 \pm 14}{2}$ . Kontrola jest prosta — oba pierwiastki trzeba podstawić do równania wyjściowego; $-3$ i $-17$ go nie spełniają, a $2$ i $-12$ tak.

Zadanie 3 (maj 2020)1 pkttrudniejsze

Równanie

x(x - 2) = (x - 2)^2

w zbiorze liczb rzeczywistych

A. nie ma rozwiązań.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x = 2$ .
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x = 0$ .
D. ma dwa różne rozwiązania: $x = 1$ i $x = 2$ .

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Po obu stronach występuje ten sam czynnik $\textcolor{#16A06A}{x - 2}$ , więc nie rozwijamy nawiasów — przenosimy wszystko na jedną stronę i wyłączamy go przed nawias.
$\textcolor{#16A06A}{x}(\textcolor{#16A06A}{x - 2}) - (\textcolor{#16A06A}{x - 2})^2 = 0$
$(\textcolor{#16A06A}{x - 2}) \cdot \left[\textcolor{#16A06A}{x} - (\textcolor{#16A06A}{x - 2})\right] = 0$
Upraszczamy nawias kwadratowy — i tu następuje niespodzianka:
$\textcolor{#16A06A}{x} - \textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#E0453A}{2}$
$(\textcolor{#16A06A}{x - 2}) \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = 0$
Drugi czynnik jest stałą różną od zera, więc nie może wyzerować iloczynu. Zostaje tylko jeden warunek:
$\textcolor{#16A06A}{x - 2} = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x = \textcolor{#E0453A}{2}$
Odpowiedź: B — dokładnie jedno rozwiązanie, $x = 2$ .
Dla porównania droga „na siłę”, przez rozwinięcie: $x^2 - 2x = x^2 - 4x + 4$ . Składniki $x^2$ się skracają i zostaje $2x = 4$ , czyli $x = 2$ — ten sam wynik i ta sama obserwacja: równanie wygląda na kwadratowe, a jest liniowe.
Kontrola: dla $x = 2$ lewa strona daje $2 \cdot 0 = 0$ , prawa $0^2 = 0$ ✓ Dla $x = 0$ : lewa $0 \cdot (-2) = 0$ , prawa $(-2)^2 = 4$ , a $0 \neq 4$ — czyli zero nie jest rozwiązaniem.

💡 Wskazówka: Gdy ten sam nawias występuje po obu stronach, prawie zawsze warto go wyłączyć, a nie rozwijać. Tutaj po wyłączeniu drugi czynnik redukuje się do stałej $2$ — i to natychmiast pokazuje, że rozwiązanie jest tylko jedno. Rozwijanie też prowadzi do celu, ale wymaga zauważenia, że $x^2$ się skraca.

⚠ Skrócenie obu stron przez $(x-2)$ bez zastrzeżenia: z $x(x-2) = (x-2)^2$ „wynika” $x = x - 2$ , czyli sprzeczność, i stąd odpowiedź A („nie ma rozwiązań”). Błąd polega na dzieleniu przez wyrażenie, które może być zerem — a właśnie jego zerowanie daje jedyne rozwiązanie tego równania. Drugi błąd: odpowiedź C, czyli uznanie, że $x = 0$ zeruje lewą stronę, więc jest rozwiązaniem; lewa strona owszem się zeruje, ale prawa wynosi wtedy $4$ i równość nie zachodzi.

Zadanie 4 (maj 2014)1 pktśrednie

Pierwiastki

x_1

x_2

równania

2(x + 2)(x - 2) = 0

spełniają warunek

A. $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{1}{4}$
C. $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = -1$
D. $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = 0$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Równanie jest już w postaci iloczynowej, więc pierwiastki czyta się wprost z nawiasów — delta nie jest do niczego potrzebna. Czynnik $\textcolor{#16A06A}{2}$ na początku nie ma wpływu na rozwiązania, bo liczba różna od zera nigdy nie wyzeruje iloczynu.
$\textcolor{#16A06A}{x + 2} = 0 \ \Longrightarrow \ x = \textcolor{#E0453A}{-2} \qquad$ oraz $\qquad \textcolor{#16A06A}{x - 2} = 0 \ \Longrightarrow \ x = \textcolor{#E0453A}{2}$
Podstawiamy do wyrażenia z zadania:
$\dfrac{1}{\textcolor{#E0453A}{-2}} + \dfrac{1}{\textcolor{#E0453A}{2}} = -\textcolor{#E0453A}{\dfrac12} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac12} = 0$
Odpowiedź: D.
Można też zupełnie bez pierwiastków, wzorami Viète'a. Sumę odwrotności zapisuje się jako:
$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}$
Po rozwinięciu równania mamy $2x^2 - 8 = 0$ , czyli $a = 2$ , $b = 0$ , $c = -8$ . Zatem suma pierwiastków to $-\tfrac{b}{a} = \textcolor{#E0453A}{0}$ , a iloczyn $\tfrac{c}{a} = \textcolor{#E0453A}{-4}$ . Stąd wyrażenie wynosi $\tfrac{0}{-4} = 0$ .
Ta druga droga pokazuje, skąd bierze się zero: licznik jest sumą pierwiastków, a ta jest zerowa, bo pierwiastki są liczbami przeciwnymi.

💡 Wskazówka: Sumę odwrotności prawie nigdy nie liczy się przez podstawianie — wygodniej jest znać tożsamość $\tfrac{1}{x_1} + \tfrac{1}{x_2} = \tfrac{x_1+x_2}{x_1 x_2}$ . Wtedy wystarczą dwie liczby z wzorów Viète'a i nie trzeba w ogóle rozwiązywać równania. Przy pierwiastkach niewymiernych to jedyna sensowna droga.

⚠ Zapisanie sumy odwrotności jako $\tfrac{1}{x_1 + x_2}$ — to zupełnie inna liczba. Tutaj taki błąd prowadziłby do dzielenia przez zero, co samo powinno zapalić lampkę. Drugi błąd: uznanie, że czynnik $2$ przed nawiasami wpływa na pierwiastki. Nie wpływa — a nawet przy błędnych pierwiastkach przeciwnych, np. $\pm 1$ albo $\pm 4$ , suma odwrotności i tak wynosi $0$ .

Zadanie 5 (marzec 2012)1 pktśrednie

Liczby

x_1

x_2

są rozwiązaniami równania

4(x + 2)(x - 6) = 0

. Suma

x_1^2 + x_2^2

jest równa

A. $16$
B. $32$
C. $40$
D. $48$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Postać iloczynowa, więc pierwiastki czytamy z nawiasów — pamiętając, że znak w nawiasie i znak pierwiastka są przeciwne:
$\textcolor{#16A06A}{x + 2} = 0 \ \Longrightarrow \ x = \textcolor{#E0453A}{-2} \qquad$ oraz $\qquad \textcolor{#16A06A}{x - 6} = 0 \ \Longrightarrow \ x = \textcolor{#E0453A}{6}$
$x_1^2 + x_2^2 = (\textcolor{#E0453A}{-2})^2 + \textcolor{#E0453A}{6}^2 = \textcolor{#E0453A}{4} + \textcolor{#E0453A}{36} = 40$
Odpowiedź: C.
Droga alternatywna, bez znajomości pierwiastków — przez wzory Viète'a i jedną tożsamość:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
Po rozwinięciu równania: $4(x^2 - 4x - 12) = 0$ , czyli $a = 4$ , $b = -16$ , $c = -48$ . Suma pierwiastków to $-\tfrac{b}{a} = \textcolor{#E0453A}{4}$ , iloczyn $\tfrac{c}{a} = \textcolor{#E0453A}{-12}$ .
$x_1^2 + x_2^2 = \textcolor{#E0453A}{4}^2 - 2 \cdot (\textcolor{#E0453A}{-12}) = \textcolor{#E0453A}{16} + \textcolor{#E0453A}{24} = 40$ ✓
Ta tożsamość jest w zadaniach maturalnych używana stale — warto ją znać na pamięć, bo pozwala policzyć sumę kwadratów także wtedy, gdy pierwiastki są niewymierne.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj wzór $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$ . Przy pierwiastkach całkowitych szybciej jest podstawić, ale gdy delta nie jest kwadratem liczby całkowitej, tożsamość ratuje całe zadanie — sumę i iloczyn pierwiastków zawsze da się odczytać ze współczynników.

⚠ Odpowiedź $16$ to $(x_1 + x_2)^2 = 4^2$ , czyli kwadrat sumy zamiast sumy kwadratów — najczęstsza pomyłka w tym zadaniu, bo oba wyrażenia wyglądają podobnie, a różnią się o $2x_1x_2$ . Odpowiedź $32$ to $6^2 - (-2)^2 = 36 - 4$ , czyli różnica kwadratów zamiast sumy. Warto przy okazji zauważyć rzecz pożyteczną: suma kwadratów jest odporna na pomyłkę w znakach pierwiastków — czy weźmiemy $-2$ i $6$ , czy $2$ i $-6$ , wynik zawsze wyjdzie $40$ . Skoro więc znak nie może tu zaszkodzić, wszystkie dystraktory muszą pochodzić z pomylenia samego wzoru, i tam trzeba szukać własnego błędu.

Zadanie 6 (czerwiec 2015)1 pkttrudniejsze

Równanie

2x^2 + 11x + 3 = 0

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dwa dodatnie rozwiązania rzeczywiste.
D. ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

To zadanie da się rozwiązać bez wyliczania pierwiastków — i tak trzeba, bo delta nie jest tu kwadratem liczby całkowitej.
Krok $\boldsymbol{1}$ — ile jest rozwiązań. Współczynniki: $a = \textcolor{#16A06A}{2}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{11}$ , $c = \textcolor{#16A06A}{3}$ .
$\Delta = \textcolor{#16A06A}{11}^2 - 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{121} - \textcolor{#E0453A}{24} = \textcolor{#E0453A}{97}$
Delta jest dodatnia, więc rozwiązań jest dwa. To wyklucza odpowiedzi A i B.
Krok $\boldsymbol{2}$ — jakie mają znaki. Tu wystarczają wzory Viète'a; pierwiastek z $97$ nie jest do niczego potrzebny.
$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}}{\textcolor{#16A06A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{1{,}5} > 0$
Iloczyn jest dodatni, więc oba pierwiastki mają ten sam znak — albo oba dodatnie, albo oba ujemne. Rozstrzyga suma:
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{\textcolor{#16A06A}{11}}{\textcolor{#16A06A}{2}} = \textcolor{#E0453A}{-5{,}5} < 0$
Suma jest ujemna, a skoro oba pierwiastki mają ten sam znak, to oba są ujemne.
Odpowiedź: D.
Sprawdzenie przybliżeniem: $\sqrt{97} \approx 9{,}85$ , więc pierwiastki to $\tfrac{-11 \pm 9{,}85}{4}$ , czyli około $-0{,}29$ i $-5{,}21$ — faktycznie oba ujemne ✓

💡 Wskazówka: Znaki pierwiastków czyta się z dwóch liczb i to zawsze w tej kolejności: najpierw iloczyn (dodatni — ten sam znak, ujemny — różne znaki), potem suma (rozstrzyga, który to znak). Gdy już wiadomo, że pierwiastki istnieją $(\Delta{} \geq 0)$ , ta para pytań wystarcza na każde zadanie o znaki i nie wymaga liczenia $\sqrt\Delta$ — co jest tu kluczowe, bo $\sqrt{97}$ jest liczbą niewymierną.

⚠ Uznanie, że skoro wszystkie współczynniki równania są dodatnie, to pierwiastki też są dodatnie — stąd odpowiedź C. Jest dokładnie odwrotnie: przy dodatnich $a$ , $b$ , $c$ suma pierwiastków $-\tfrac{b}{a}$ jest ujemna, a iloczyn dodatni, więc oba pierwiastki muszą być ujemne. Drugi błąd: próba policzenia $\sqrt{97}$ , stwierdzenie, że „nie wychodzi”, i wybór odpowiedzi A. Niewymierna delta nie znaczy brak rozwiązań — o tym decyduje wyłącznie jej znak.

Zadanie 7 (sierpień 2023)1 pkttrudniejsze

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f(x) = (x - 13)^2 - 256

. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba

(-3)

. Drugim miejscem zerowym funkcji

f

jest liczba

A. $(-29)$
B. $(-23)$
C. $23$
D. $29$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Wzór jest podany w postaci kanonicznej $f(x) = (x - p)^2 + q$ , więc od razu wiemy, że wierzchołek paraboli ma pierwszą współrzędną $p = \textcolor{#16A06A}{13}$ . To znaczy, że prosta $x = \textcolor{#16A06A}{13}$ jest osią symetrii wykresu.
Droga najkrótsza — symetria. Oba miejsca zerowe leżą symetrycznie względem osi $x = \textcolor{#16A06A}{13}$ , czyli są od niej jednakowo odległe. Znane miejsce zerowe $\textcolor{#16A06A}{-3}$ jest oddalone od trzynastki o
$\textcolor{#16A06A}{13} - (\textcolor{#16A06A}{-3}) = \textcolor{#E0453A}{16}$
Drugie miejsce zerowe leży o tyle samo, ale z drugiej strony:
$\textcolor{#16A06A}{13} + \textcolor{#E0453A}{16} = 29$
Odpowiedź: D.
Droga rachunkowa — dla sprawdzenia. Przyrównujemy wzór do zera:
$(x - \textcolor{#16A06A}{13})^2 - \textcolor{#16A06A}{256} = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad (x - \textcolor{#16A06A}{13})^2 = \textcolor{#16A06A}{256}$
$x - \textcolor{#16A06A}{13} = \textcolor{#E0453A}{16} \quad \text{lub} \quad x - \textcolor{#16A06A}{13} = \textcolor{#E0453A}{-16}$
$x = \textcolor{#E0453A}{29} \quad \text{lub} \quad x = \textcolor{#E0453A}{-3}$ ✓ — drugie z nich to właśnie miejsce zerowe podane w treści, co potwierdza rachunek.
Kontrola: $f(29) = (29-13)^2 - 256 = 16^2 - 256 = 0$ ✓

💡 Wskazówka: Przy postaci kanonicznej nie ruszaj nawiasu. Liczba $p$ we wzorze $(x-p)^2 + q$ od razu wyznacza oś symetrii — prostą $x = p$ , a miejsca zerowe leżą po jej obu stronach na równych odległościach. Jeśli jedno z nich jest podane, drugie liczy się jednym dodawaniem: odbij znane miejsce zerowe względem $p$ , czyli $x_2 = 2p - x_1$ . Tutaj $2 \cdot 13 - (-3) = 29$ .

⚠ Rozwiązywanie równania $(x-13)^2 = 256$ tylko dla jednego znaku pierwiastka — z $x - 13 = 16$ wychodzi $29$ , ale ktoś, kto weźmie wyłącznie $x - 13 = -16$ , dostanie $-3$ , czyli liczbę już podaną w treści, i uzna, że coś się nie zgadza. Pierwiastkowanie obu stron zawsze daje dwa przypadki. Drugi błąd: odjęcie $16$ od $-3$ i odpowiedź $-19$ albo dodanie $-16$ do $-13$ i odpowiedź $-29$ — czyli odbijanie względem złej liczby. Oś symetrii to $13$ , a nie $-3$ ani $0$ .

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B	2. A	3. B	4. D	5. C	6. D
7. D

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Zadania maturalne — miejsca zerowe funkcji kwadratowej i punkty wspólne z prostą

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co z tego wynika. Warto zobaczyć te zadania jako jedno: miejsce zerowe to punkt wspólny wykresu z prostą $y = 0$ . Pytanie „ile jest miejsc zerowych” to więc szczególny przypadek pytania „ile punktów wspólnych ma parabola z prostą poziomą

y = a

”. Odpowiedź czyta się z położenia wierzchołka względem tej prostej: przy ramionach w górę i drugiej współrzędnej wierzchołka

q

prosta

y = a

ma z parabolą dwa punkty wspólne, gdy

a > q

, jeden, gdy

a = q

, i żadnego, gdy

a < q

— czyli gdy prosta biegnie poniżej wierzchołka. Przy ramionach w dół obie nierówności się odwracają, a przy

a = q

nadal jest jeden punkt wspólny.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2023)1 pktłatwe

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej

f

jest liczba

(-5)

. Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji

f

, jest równa

3

. Drugim miejscem zerowym funkcji

f

jest liczba

A. $11$
B. $1$
C. $(-1)$
D. $(-13)$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Miejsca zerowe paraboli leżą symetrycznie względem osi symetrii, a ta przechodzi przez wierzchołek. Wystarczy więc odbić znane miejsce zerowe względem liczby $\textcolor{#16A06A}{3}$ .
Odległość znanego miejsca zerowego od osi:
$\textcolor{#16A06A}{3} - (\textcolor{#16A06A}{-5}) = \textcolor{#E0453A}{8}$
Drugie miejsce zerowe leży o tyle samo, ale z drugiej strony osi:
$\textcolor{#16A06A}{3} + \textcolor{#E0453A}{8} = 11$
Odpowiedź: A.
Tym samym rachunkiem, zapisanym wzorem: $x_2 = 2p - x_1 = 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} - (\textcolor{#16A06A}{-5}) = \textcolor{#E0453A}{11}$ .
Kontrola: średnia miejsc zerowych musi dać oś symetrii. $\dfrac{-5 + 11}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$ ✓

💡 Wskazówka: Zauważ, że oś symetrii ( $3$ ) leży na prawo od znanego miejsca zerowego ( $-5$ ), więc drugie miejsce zerowe musi leżeć jeszcze bardziej na prawo — czyli być większe od $\boldsymbol{3}$ . Sama ta obserwacja zostawia jedną odpowiedź, bo tylko $11$ spełnia ten warunek. Sprawdzenie przez średnią zajmuje kolejne pięć sekund.

⚠ Dodanie albo odjęcie trójki od miejsca zerowego: $-5 + 3 = -2$ czy $-5 - 3 = -8$ nie ma tu sensu, a wersje z liczbami $1$ i $-1$ w odpowiedziach powstają z podobnych działań na $5$ i $3$ . Trzeba pamiętać, że odbijamy względem osi, a nie dodajemy jej wartość. Odpowiedź $-13$ to odbicie w złą stronę: $3 - 8 - 8$ , czyli przesunięcie od $-5$ o osiem dalej od osi zamiast przez nią.

Zadanie 2 (informator CKE)1 pkttrudniejsze

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f(x) = 3x^2 + bx - 5

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Współczynnik

b

jest liczbą rzeczywistą mniejszą od zera.

Dokończ zdanie — wybierz odpowiedź

A

B

albo

C

oraz jej uzasadnienie

1

2

albo

3

.
Funkcja

f

………, ponieważ ……… .

A. ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe
B. ma jedno rzeczywiste miejsce zerowe
C. nie ma rzeczywistych miejsc zerowych
1. $b^2 + 60 > 0$
2. $b^2 + 60 = 0$
3. $b^2 + 60 < 0$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, $1$

Uzasadnienia podpowiadają, czego szukać: wszystkie trzy dotyczą wyrażenia $b^2 + 60$ , czyli delty. Policzmy ją.
$\Delta = b^2 - 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} \cdot (\textcolor{#16A06A}{-5}) = b^2 \textcolor{#E0453A}{+ 60}$
Odejmowanie liczby ujemnej zamieniło się w dodawanie — i to jest sedno zadania.
Jaki znak ma $b^2 + 60$ ? Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, czyli $b^2 \geqslant 0$ . Po dodaniu $60$ dostajemy liczbę co najmniej $60$ , więc na pewno dodatnią:
$b^2 + \textcolor{#E0453A}{60} \textcolor{#E0453A}{> 0}$ — dla każdego $b$ .
Dodatnia delta znaczy dwa miejsca zerowe.
Odpowiedź: A oraz $1$ .
Zwróć uwagę, że warunek „ $b$ jest mniejsze od zera” z treści nie ma tu żadnego znaczenia — delta zależy od $b^2$ , a kwadrat liczby ujemnej jest dodatni tak samo jak kwadrat dodatniej. Ten warunek jest w zadaniu, żeby sprawdzić, czy uczeń to zauważy.
Kontrola na przykładzie: dla $b = -1$ mamy $f(x) = 3x^2 - x - 5$ i $\Delta = 1 + 60 = 61 > 0$ — dwa miejsca zerowe ✓ Dla $b = -100$ : $\Delta = 10000 + 60$ — nadal dwa ✓

💡 Wskazówka: Gdy uzasadnienia w zadaniu są wypisane, przeczytaj je przed rachunkiem — mówią wprost, jaką wielkość trzeba policzyć. Tutaj wszystkie trzy zawierają $b^2 + 60$ , więc wiadomo, że chodzi o deltę i że wyjdzie właśnie tyle. Zostaje jedynie ustalić jej znak, a to nie wymaga żadnej wartości $b$ .

⚠ Uznanie, że skoro $b < 0$ , to i delta może być ujemna — stąd wybór uzasadnienia $3$ . Delta zależy od $b^2$ , a nie od $b$ , więc znak $b$ nie ma na nią wpływu. Drugi błąd: policzenie delty jako $b^2 - 60$ (zgubione podwójne odjęcie minusa). Wtedy dla małych $|b|$ delta wychodzi ujemna i odpowiedź zmienia się na C — dlatego warto rozpisać $-4 \cdot 3 \cdot (-5)$ osobno i zobaczyć, że daje $+60$ .

Zadanie 3 (informator CKE)1 pktśrednie

Wykres funkcji kwadratowej

f(x) = (x - 3)^2 - 2

nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu

A. $y = -3$
B. $y = -1$
C. $y = 1$
D. $y = 3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Prosta $y = a$ jest pozioma, więc pytanie brzmi: na jakich wysokościach pojawia się wykres funkcji? To jest pytanie o zbiór wartości.
Wzór jest w postaci kanonicznej, więc czytamy wprost: $a_{\text{kw}} = \textcolor{#16A06A}{1} > 0$ (ramiona w górę), wierzchołek $(\textcolor{#16A06A}{3},\, \textcolor{#16A06A}{-2})$ .
Funkcja przyjmuje więc wartość najmniejszą $\textcolor{#16A06A}{-2}$ , a jej zbiór wartości to
$\text{ZW} = \langle \textcolor{#E0453A}{-2},\, +\infty)$
Punktów wspólnych nie ma dokładnie wtedy, gdy wysokość prostej nie należy do zbioru wartości, czyli gdy jest mniejsza od $-2$ .
Sprawdzamy odpowiedzi: $\textcolor{#E0453A}{-3} < -2$ ✓, natomiast $-1$ , $1$ i $3$ są większe od $-2$ , więc te proste przecinają wykres w dwóch punktach każda.
Odpowiedź: A.
Kontrola rachunkiem: $(x-3)^2 - 2 = -3$ daje $(x-3)^2 = -1$ — równanie sprzeczne, bo kwadrat nie jest ujemny ✓ Dla porównania $(x-3)^2 - 2 = -1$ daje $(x-3)^2 = 1$ , czyli $x = 2$ lub $x = 4$ — dwa punkty wspólne.

💡 Wskazówka: Wyobraź sobie poziomą linijkę przesuwaną w górę i w dół. Poniżej wierzchołka nie dotknie paraboli o ramionach w górę, na wysokości wierzchołka dotknie ją raz, a powyżej — dwa razy. Cała odpowiedź sprowadza się więc do porównania liczby z odpowiedzi z drugą współrzędną wierzchołka.

⚠ Porównywanie z pierwszą współrzędną wierzchołka ( $3$ ) zamiast z drugą ( $-2$ ) — trójka jest w zadaniu wyeksponowana, bo stoi w nawiasie. Odpowiada ona jednak za położenie w poziomie i nie mówi nic o wysokościach. Drugi błąd: szukanie prostej, która ma jeden punkt wspólny (to byłoby $y = -2$ , i takiej odpowiedzi tu nie ma) — zadanie pyta o brak punktów wspólnych, czyli o wysokość ściśle poniżej wierzchołka.

Zadanie 4 (informator CKE)1 pktśrednie

Wykres funkcji kwadratowej

f(x) = 3(x + 1)^2 - 4

nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu

A. $y = 1$
B. $y = -1$
C. $y = -3$
D. $y = -5$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Ten sam schemat co w poprzednim zadaniu, ale tym razem odpowiedzi są stopniowane i trzeba porównać dokładnie.
Postać kanoniczna: $a_{\text{kw}} = \textcolor{#16A06A}{3} > 0$ , wierzchołek $(\textcolor{#16A06A}{-1},\, \textcolor{#16A06A}{-4})$ .
Ramiona w górę, więc wartość najmniejsza to $\textcolor{#16A06A}{-4}$ , a zbiór wartości:
$\text{ZW} = \langle \textcolor{#E0453A}{-4},\, +\infty)$
Prosta $y = a$ nie ma punktów wspólnych z wykresem, gdy $a \textcolor{#E0453A}{< -4}$ .
Sprawdzamy po kolei: $1 > -4$ , $-1 > -4$ , $-3 > -4$ — te trzy proste przecinają wykres. Jedynie $\textcolor{#E0453A}{-5} < \textcolor{#E0453A}{-4}$ .
Odpowiedź: D.
Kontrola dla granicznego przypadku $-3$ , bo to najbliższy dystraktor: $3(x+1)^2 - 4 = -3$ daje $3(x+1)^2 = 1$ , czyli $(x+1)^2 = \tfrac13$ — równanie ma rozwiązania, więc punkty wspólne istnieją ✓ Dla $-5$ : $3(x+1)^2 = -1$ — sprzeczność ✓

💡 Wskazówka: Współczynnik $3$ przed nawiasem nie ma tu żadnego znaczenia — wpływa na to, jak wąska jest parabola, ale nie na to, gdzie leży jej wierzchołek. Liczy się wyłącznie znak $a$ (dodatni, więc ramiona w górę) i liczba za nawiasem ( $-4$ ).

⚠ Porównywanie z liczbą $-1$ z nawiasu zamiast z $-4$ za nawiasem. Przy tej pomyłce za „brak punktów wspólnych” uznałoby się każdą prostą poniżej $-1$ — pasowałyby wtedy i C, i D. Drugi błąd: zatrzymanie się na $-3$ jako „liczbie ujemnej, więc chyba tej”. Trzeba porównać wartości, a nie znaki: $-3$ leży powyżej $-4$ , więc prosta $y = -3$ jeszcze przecina parabolę.

Zadanie 5 (informator CKE)1 pkttrudniejsze

Prosta o równaniu

y = a

ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej

f(x) = -x^2 + 6x - 10

. Wynika stąd, że

A. $a = 3$
B. $a = 0$
C. $a = -1$
D. $a = -3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Dokładnie jeden punkt wspólny z prostą poziomą ma parabola tylko w jednym miejscu — na wysokości swojego wierzchołka. Prosta $y = a$ jest wtedy do niej styczna.
Szukamy więc drugiej współrzędnej wierzchołka. Wzór jest w postaci ogólnej: $a_{\text{kw}} = \textcolor{#16A06A}{-1}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{6}$ , $c = \textcolor{#16A06A}{-10}$ .
$p = -\dfrac{\textcolor{#16A06A}{6}}{2 \cdot (\textcolor{#16A06A}{-1})} = \textcolor{#E0453A}{3}$
$q = f(\textcolor{#E0453A}{3}) = -\textcolor{#E0453A}{9} + \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{3} - \textcolor{#16A06A}{10} = -\textcolor{#E0453A}{9} + \textcolor{#E0453A}{18} - \textcolor{#16A06A}{10} = \textcolor{#E0453A}{-1}$
Wierzchołek to $(\textcolor{#E0453A}{3},\, \textcolor{#E0453A}{-1})$ , więc styczna pozioma ma równanie $y = \textcolor{#E0453A}{-1}$ .
Odpowiedź: C.
Kontrola rachunkiem: przyrównujemy $-x^2 + 6x - 10 = -1$ , czyli $x^2 - 6x + 9 = 0$ , a to $(x-3)^2 = 0$ — dokładnie jedno rozwiązanie, $x = 3$ ✓ Delta tego równania jest równa zero, co jest drugim sposobem zapisania warunku „jeden punkt wspólny”.

💡 Wskazówka: Odpowiedź A podaje $3$ , czyli pierwszą współrzędną wierzchołka — poprawnie policzoną, ale nie tę, o którą pytano. Prosta jest pozioma, więc jej równanie zawiera wysokość, a wysokość wierzchołka to $q$ . Warto po policzeniu $p$ dopisać sobie „to jeszcze nie odpowiedź” i policzyć $f(p)$ .

⚠ Podanie $p$ zamiast $q$ , czyli odpowiedzi $3$ — najczęstsza pomyłka w tym zadaniu i dlatego trójka jest podstawiona jako pierwsza odpowiedź. Drugi błąd: pomyłka znaku przy liczeniu $q$ . Warto zwrócić uwagę, że $-3^2$ to $-9$ , a nie $9$ : podstawiamy $x = 3$ do $-x^2$ , więc najpierw podnosimy do kwadratu, a potem bierzemy minus. Błąd w tym miejscu daje $q = 17$ i żadnej z podanych odpowiedzi.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A

2. A, 1

3. A

4. D

5. C

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Równania kwadratowe — kartkówka, liceum klasa 2

Wyróżnik, liczba rozwiązań, równania niepełne, zadanie tekstowe.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Karty pracy · sklep

Równania i nierówności kwadratowe, matura — 10 kart pracy z kluczem

10 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: delta i liczba rozwiązań, równania niezupełne, postać iloczynowa, nierówności kwadratowe…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

7Pytania i odpowiedzi

Jak brzmi wzór na deltę?

$\Delta = b^2 - 4ac$ , gdzie $a$ , $b$ , $c$ to współczynniki równania zapisanego w postaci ogólnej $ax^2+bx+c=0$ . Znak delty rozstrzyga, ile rozwiązań ma równanie, jeszcze zanim policzy się pierwiastki.

Ile rozwiązań ma równanie kwadratowe?

Zależy od znaku delty: dodatnia daje dwa różne pierwiastki, zerowa jeden pierwiastek podwójny, a ujemna oznacza brak rozwiązań rzeczywistych. Wszystkie trzy przypadki wynikają z tego, że pierwiastka z liczby ujemnej nie ma.

Jakie są wzory na pierwiastki równania kwadratowego?

$x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ oraz $x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ . Przy delcie równej zeru oba dają tę samą liczbę, więc zapisuje się je krócej jako $x_0 = \frac{-b}{2a}$ .

Co zrobić, gdy delta wyjdzie ujemna?

Zapisać, że równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych — to jest pełna i poprawna odpowiedź. Oznacza to, że parabola odpowiadającej funkcji nie przecina osi $OX$ ani jej nie dotyka.

Czy zawsze trzeba liczyć deltę?

Nie. Gdy brakuje wyrazu wolnego, wystarczy wyłączyć $x$ przed nawias, a gdy brakuje wyrazu liniowego — przenieść liczbę i spierwiastkować obie strony. Oba sposoby są znacznie szybsze od delty.

Dlaczego nie wolno dzielić równania przez

x

Bo dzielić wolno tylko przez liczbę różną od zera, a $x = 0$ bywa jednym z rozwiązań. W równaniu $x^2-5x=0$ dzielenie przez $x$ gubi rozwiązanie zerowe i zostawia tylko $x=5$ .

Jak obliczyć deltę?

Zapisz równanie w postaci ogólnej, odczytaj współczynniki $a$ , $b$ , $c$ i podstaw je do $\Delta = b^2 - 4ac$ . Na przykład w $2x^2 - 7x + 3 = 0$ mamy $a = 2$ , $b = -7$ , $c = 3$ , więc $\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$ , a $\sqrt{\Delta} = 5$ .

Czytaj dalej

Wzory skróconego mnożeniaRozkład na czynniki — szybsza droga przy delcie zerowej PierwiastkowanieDlaczego z liczby ujemnej pierwiastka nie ma Wyrażenia algebraicznePorządkowanie równania do postaci ogólnej Układ współrzędnychPierwiastki jako punkty przecięcia paraboli z osią OX Przekształcanie wzorówPorządkowanie równania i kontrola przez podstawienie Liczba przekątnych a liczba boków wielokąta wypukłegoWzór na liczbę przekątnych wielokąta wypukłego, trzy sposoby jego…Delta — wzór na deltęJak liczyć deltę i co oznacza jej znak.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Równania kwadratowe — wzór na deltę

1Postać ogólna i po co jej pilnować

2Delta rozstrzyga, zanim policzysz

3Dwa równania, których nie warto liczyć deltą

4Jak sprawdzić wynik

5Przykłady krok po kroku

6Najczęstsze błędy

Zadania maturalne — równania kwadratowe, delta i pierwiastki

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (informator CKE)1 pktłatwe

Zadanie 2 (listopad 2010)1 pktśrednie

Zadanie 3 (maj 2020)1 pkttrudniejsze

Zadanie 4 (maj 2014)1 pktśrednie

Zadanie 5 (marzec 2012)1 pktśrednie

Zadanie 6 (czerwiec 2015)1 pkttrudniejsze

Zadanie 7 (sierpień 2023)1 pkttrudniejsze

Odpowiedzi

Zadania maturalne — miejsca zerowe funkcji kwadratowej i punkty wspólne z prostą

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2023)1 pktłatwe

Zadanie 2 (informator CKE)1 pkttrudniejsze

Zadanie 3 (informator CKE)1 pktśrednie

Zadanie 4 (informator CKE)1 pktśrednie

Zadanie 5 (informator CKE)1 pkttrudniejsze

Odpowiedzi

Sprawdź się na kartce

Równania kwadratowe — kartkówka, liceum klasa 2

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Równania i nierówności kwadratowe, matura — 10 kart pracy z kluczem

7Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku

Równania kwadratowe — wzór na deltę

1Postać ogólna i po co jej pilnować

2Delta rozstrzyga, zanim policzysz

3Dwa równania, których nie warto liczyć deltą

4Jak sprawdzić wynik

5Przykłady krok po kroku

6Najczęstsze błędy

Zadania maturalne — równania kwadratowe, delta i pierwiastki

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (informator CKE)1 pktłatwe

Zadanie 2 (listopad 2010)1 pktśrednie

Zadanie 3 (maj 2020)1 pkttrudniejsze

Zadanie 4 (maj 2014)1 pktśrednie

Zadanie 5 (marzec 2012)1 pktśrednie

Zadanie 6 (czerwiec 2015)1 pkttrudniejsze

Zadanie 7 (sierpień 2023)1 pkttrudniejsze

Odpowiedzi

Zadania maturalne — miejsca zerowe funkcji kwadratowej i punkty wspólne z prostą

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2023)1 pktłatwe

Zadanie 2 (informator CKE)1 pkttrudniejsze

Zadanie 3 (informator CKE)1 pktśrednie

Zadanie 4 (informator CKE)1 pktśrednie

Zadanie 5 (informator CKE)1 pkttrudniejsze

Odpowiedzi

Sprawdź się na kartce

Równania kwadratowe — kartkówka, liceum klasa 2

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Równania i nierówności kwadratowe, matura — 10 kart pracy z kluczem

7Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Nowe karty pracy prosto na maila