Nierówności kwadratowe — jak rozwiązywać nierówności drugiego stopnia

B. (−\(3\), \(2\))

Dzielimy obie strony przez \(-2\); dzielenie przez liczbę **ujemną** odwraca znak nierówności: \[(x+3)(x-2)<0.\] Odpowiadająca parabola ma miejsca zerowe \(-3\) i \(2\) oraz ramiona skierowane w górę, więc przyjmuje wartości ujemne **między** miejscami zerowymi. Nierówność jest ostra, zatem końce przedziału do niego nie należą. **Odpowiedź.** \((-3,2)\), czyli odpowiedź **B**.

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.5) Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą.

\[3x^{2}-2x-8\geq0,\qquad (3x+4)(x-2)\geq0.\] Zatem \(x\in(-\infty,-\frac{4}{3}]\cup[2,+\infty)\).

**Krok \(1\).** rozwiązań zadań **Krok \(2\).** \(2\). Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci a + b√c, gdzie a, b, c są **Krok \(3\).** liczbami wymiernymi. **Odpowiedź.** \[3x^{2}-2x-8\geq0,\qquad (3x+4)(x-2)\geq0.\] Zatem \(x\in(-\infty,-\frac{4}{3}]\cup[2,+\infty)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* […] 2. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci \(a+b\sqrt{c}\), gdzie \(a\), \(b\), \(c\) są liczbami wymiernymi.

1 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego \(3x^2-2x-8\), tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego i obliczenie tych pierwiastków, ALBO – konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze dyskalkulicznym ujemnego lub równego zero wyróżnika) narysowanie paraboli, ALBO – poprawne rozwiązanie nierówności \(3x^2+4x\geq 0\) (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych zasad oceniania), ALBO – konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz do rozpatrywanego trójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności. Uwagi: 1. Nie stosuje się uwag 3., 4. i 5. z zasad oceniania arkusza standardowego.

\[x\in(-\infty,-6)\cup(4,+\infty).\]

Przekształcamy nierówność: \[(x-3)(x+5)>9\iff x^2+2x-24>0.\] Miejsca zerowe trójmianu to \[x_1=-6,\qquad x_2=4.\] Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc trójmian przyjmuje wartości dodatnie poza przedziałem między miejscami zerowymi: \[x\in(-\infty,-6)\cup(4,+\infty).\]

**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \[(-\infty,-6)\cup(4,+\infty).\] **1 pkt** – poprawne wyznaczenie miejsc zerowych \(x_1=-6\), \(x_2=4\) **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** III.4) Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe.

Przekształcamy nierówność: \[x(x+4)<x-2\iff x^{2}+3x+2<0\iff(x+1)(x+2)<0.\] Iloczyn jest ujemny pomiędzy jego miejscami zerowymi, zatem \[x\in(-2,-1).\]

**Krok \(1\).** pkt: obliczenie miejsc zerowych −\(2\) i −\(1\). **Krok \(2\).** pkt: poprawna metoda i zbiór rozwiązań (−\(2\), −\(1\)). **Odpowiedź.** Przekształcamy nierówność: \[x(x+4)<x-2\iff x^{2}+3x+2<0\iff(x+1)(x+2)<0.\] Iloczyn jest ujemny pomiędzy jego miejscami zerowymi, zatem \[x\in(-2,-1).\]

1 pkt: obliczenie miejsc zerowych −2 i −1. 2 pkt: poprawna metoda i zbiór rozwiązań (−2, −1).

Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: 3.5) Rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą.

\[x\in\left(\frac23,2\right).\]

Przekształcamy nierówność: \[(3x-4)(x-1)<x,\] \[3x^2-8x+4<0.\] Wyróżnik trójmianu wynosi \(\Delta=16\), a jego pierwiastki to \[x_1=\frac{8-4}{6}=\frac23,\qquad x_2=\frac{8+4}{6}=2.\] Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc trójmian jest ujemny między pierwiastkami. Zatem \(x\in(\frac23,2)\).

**2 pkt** – obliczenie obu pierwiastków i podanie \(x\in(\frac23,2)\) **1 pkt** – obliczenie pierwiastków \(\frac23\) oraz \(2\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** III.4) Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe.

**D.** Mianownik \(x^{2}+9\) jest dodatni dla każdego \(x\in\mathbb{R}\), a licznik \(x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3)\) jest dodatni poza przedziałem między jego miejscami zerowymi. Zatem \(x\in(-\infty,-3)\cup(-2,+\infty)\).

Rozwiązanie D \(1\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.8R) Zdający rozwiązuje proste nierówności wymierne […].

Przekształcamy nierówność: \[6x^{2}-11x+3<0.\] Miejsca zerowe trójmianu to \[x_1=\frac{11-7}{12}=\frac13,\qquad x_2=\frac{11+7}{12}=\frac32.\] Ponieważ współczynnik przy \(x^{2}\) jest dodatni, rozwiązaniem jest \(x\in\left(\frac13,\frac32\right)\).

rozwiązanie. \(2\). Nie stosuje się uwag \(2\). i \(3\). z zasad oceniania arkusza standardowego. \(3\). Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci a + b√c, gdzie a, b, c są liczbami wymiernymi. **Odpowiedź.** Przekształcamy nierówność: \[6x^{2}-11x+3<0.\] Miejsca zerowe trójmianu to \[x_1=\frac{11-7}{12}=\frac13,\qquad x_2=\frac{11+7}{12}=\frac32.\] Ponieważ współczynnik przy \(x^{2}\) jest dodatni, rozwiązaniem jest \(x\in\left(\frac13,\frac32\right)\).

*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.* **[…] pkt** – […] – konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego trójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności. Uwagi: 1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci \(\left(\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{3}\right)\), to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie. 2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego. 3. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci \(a+b\sqrt{c}\), gdzie \(a\), \(b\), \(c\) są liczbami wymiernymi.

1 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego \(6x^2-11x+3\), tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego i obliczenie tych pierwiastków ALBO – konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze dyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli, ALBO – poprawne rozwiązanie nierówności \(3(2x^2+1)<0\) (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych zasad oceniania), ALBO

Dzieląc nierówność przez \(-3\) i zmieniając jej zwrot, otrzymujemy \[x^2+2x-3<0.\] Miejsca zerowe to \(-3\) i \(1\). Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc \(x\in(-3,1)\).

**Krok \(1\).** pkt: obliczenie miejsc zerowych −\(3\) i \(1\). **Krok \(2\).** pkt: poprawny zbiór rozwiązań (−\(3\), \(1\)). **Odpowiedź.** Dzieląc nierówność przez \(-3\) i zmieniając jej zwrot, otrzymujemy \[x^2+2x-3<0.\] Miejsca zerowe to \(-3\) i \(1\). Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc \(x\in(-3,1)\).

1 pkt: obliczenie miejsc zerowych −3 i 1. 2 pkt: poprawny zbiór rozwiązań (−3, 1).

1 pkt – zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego \(-3x^2-6x+9\), tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego i obliczenie tych pierwiastków ALBO – konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze dyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli, ALBO – poprawne rozwiązanie nierówności \(-3x^2-6x>0\) (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych zasad oceniania), ALBO – konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego trójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności. Uwagi: 1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci (1, −3), to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie. 2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego. 3. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci \(a+b\sqrt{c}\), gdzie \(a\), \(b\), \(c\) są liczbami wymiernymi.

\[x\in\left(\frac23,2\right).\]

Przekształcamy nierówność: \[x(3x-1)+4<7x,\] \[3x^2-8x+4<0.\] Dla trójmianu \(3x^2-8x+4\) mamy \[\Delta=(-8)^2-4\cdot3\cdot4=16,\] więc jego pierwiastki są równe \[x_1=\frac{8-4}{6}=\frac23,\qquad x_2=\frac{8+4}{6}=2.\] Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, dlatego trójmian przyjmuje wartości ujemne między pierwiastkami. Zatem \[x\in\left(\frac23,2\right).\]

**2 pkt** – wyznaczenie pierwiastków \(x_1=\frac23\), \(x_2=2\) oraz poprawne zapisanie zbioru rozwiązań \(x\in\left(\frac23,2\right)\) **1 pkt** – obliczenie lub podanie obu pierwiastków trójmianu \(3x^2-8x+4\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.5) Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą.

\[x\in[-1,7].\]

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: \[x(x-6)\leq7,\] \[x^2-6x-7\leq0.\] Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu \(x^2-6x-7\): \[\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot(-7)=64,\] \[x_1=\frac{6-8}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{6+8}{2}=7.\] Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc trójmian przyjmuje wartości niedodatnie pomiędzy miejscami zerowymi, wraz z końcami. Zatem \[x\in[-1,7].\]

**2 pkt** – obliczenie pierwiastków \(x_1=-1\), \(x_2=7\) oraz zapisanie zbioru rozwiązań \(x\in[-1,7]\) **1 pkt** – obliczenie lub podanie pierwiastków trójmianu \(x^2-6x-7\): \(-1\) oraz \(7\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.4) Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe.

\(x^{2}\)+\(2x\)−\(3\leq 0\), czyli (x+\(3\))(x−\(1\))≤\(0\). Zatem x∈[−\(3\),\(1\)].

**Krok \(1\).** pkt: obliczenie pierwiastków trójmianu \(x^{2}\)+\(2x\)−\(3\): \(x_{1}\)=−\(3\) oraz \(x_{2}\)=\(1\). **Krok \(2\).** pkt: poprawna metoda i zbiór rozwiązań x∈[−\(3\),\(1\)]. **Odpowiedź.** \(x^{2}\)+\(2x\)−\(3\leq 0\), czyli (x+\(3\))(x−\(1\))≤\(0\). Zatem x∈[−\(3\),\(1\)].

1 pkt: obliczenie pierwiastków trójmianu x²+2x−3: x₁=−3 oraz x₂=1. 2 pkt: poprawna metoda i zbiór rozwiązań x∈[−3,1].

Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: 3.5) rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą.

\(x\in\left(0,\frac32\right)\)

Przekształcamy nierówność: \[x(2x-1)<2x,\] \[2x^2-3x<0,\] \[x(2x-3)<0.\] Miejsca zerowe to \(0\) oraz \(\frac32\). Trójmian ma wartości ujemne pomiędzy nimi, więc \[x\in\left(0,\frac32\right).\]

**2 pkt** – wyznaczenie miejsc zerowych \(0\) i \(\frac32\) oraz zapisanie przedziału \(\left(0,\frac32\right)\) **1 pkt** – obliczenie obu miejsc zerowych trójmianu \(2x^2-3x\) albo równoważny istotny postęp z zasad CKE **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** III.4 zdający rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe.

\(x\in\left(0,\frac32\right)\)

Przekształcamy nierówność równoważnie: \[x(2x-1)<2x,\] \[2x^2-3x<0,\] \[x(2x-3)<0.\] Miejscami zerowymi lewej strony są \(x_1=0\) oraz \(x_2=\frac32\). Ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, iloczyn jest ujemny pomiędzy miejscami zerowymi. Zatem \[x\in\left(0,\frac32\right).\]

**2 pkt** – wyznaczenie miejsc zerowych \(0\) i \(\frac32\) oraz zapisanie zbioru rozwiązań \(\left(0,\frac32\right)\) **1 pkt** – obliczenie lub podanie obu miejsc zerowych trójmianu \(2x^2-3x\), albo równoważny istotny postęp wskazany w zasadach CKE **0 pkt** – rozwiązanie z niepoprawną metodą albo brak rozwiązania

**Element podstawy programowej:** równania i nierówności; zdający rozwiązuje nierówność kwadratową i zapisuje jej zbiór rozwiązań.

\(x\in(-4,1)\)

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: \[5-x^2>3x+1\iff -x^2-3x+4>0.\] Trójmian ma miejsca zerowe \(x_1=-4\) oraz \(x_2=1\). Ponieważ jego współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny, trójmian przyjmuje wartości dodatnie między miejscami zerowymi. Zatem \[x\in(-4,1).\]

**2 pkt** – wyznaczenie pierwiastków trójmianu \(-x^2-3x+4\) oraz zapisanie zbioru rozwiązań \((-4,1)\), także poprawnie na osi liczbowej **1 pkt** – obliczenie lub podanie miejsc zerowych \(x_1=-4\) i \(x_2=1\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności - rozwiązywanie nierówności kwadratowej.

\[x\in\left\langle-4,\frac23\right\rangle.\]

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: \[-3x^2-10x+8\geq0.\] Wyróżnik trójmianu jest równy \[\Delta=(-10)^2-4\cdot(-3)\cdot8=196,\] a jego pierwiastki to \[x_1=\frac{10-14}{-6}=\frac23,\qquad x_2=\frac{10+14}{-6}=-4.\] Współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny, więc trójmian jest nieujemny między pierwiastkami wraz z końcami. Zatem \[x\in\left\langle-4,\frac23\right\rangle.\]

**2 pkt** – wyznaczenie pierwiastków \(-4\) i \(\frac23\) oraz poprawny zbiór rozwiązań \(\left\langle-4,\frac23\right\rangle\) **1 pkt** – poprawne wyznaczenie obu pierwiastków trójmianu \(-3x^2-10x+8\) **0 pkt** – brak realizacji pierwszego etapu **Uwagi CKE:** przy błędzie rachunkowym dającym dwa różne pierwiastki i konsekwentnym wyznaczeniu przedziału można przyznać \(1\) pkt; błędne przyjęcie \(\Delta<0\) albo rozwiązywanie innej nierówności oznacza \(0\) pkt.

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.5 rozwiązywanie nierówności kwadratowych z jedną niewiadomą.

**B.** \(k=2\)

Miejscami zerowymi lewej strony nierówności są \(x=3\) oraz \(x=-k\). Ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, iloczyn jest ujemny między miejscami zerowymi. Z podanego zbioru rozwiązań \((-2,3)\) wynika \[-k=-2,\] czyli \(k=2\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** V.8 i III.4 interpretowanie współczynników funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej oraz rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych.

\[x\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac83,+\infty\right).\]

Przenosimy \(7\) na lewą stronę: \[3x^2-2x-16\geq0.\] Wyróżnik jest równy \(\Delta=196\), a pierwiastki trójmianu to \[x_1=-2,\qquad x_2=\frac83.\] Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc trójmian jest nieujemny poza przedziałem między pierwiastkami. Zatem \[x\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac83,+\infty\right).\]

**2 pkt** – poprawna metoda, pierwiastki \(-2\) i \(\frac83\) oraz zbiór rozwiązań \((-\infty,-2]\cup[\frac83,+\infty)\) **1 pkt** – poprawna metoda wyznaczania pierwiastków albo konsekwentne wyznaczenie zbioru dla otrzymanych dwóch pierwiastków **0 pkt** – brak poprawnego postępu **Uwaga CKE:** zapis obu przedziałów jako otwartych ogranicza wynik do najwyżej \(1\) pkt.

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.5 rozwiązywanie nierówności kwadratowych z jedną niewiadomą.

\[x\in\left(-\infty,-\frac13\right]\cup[3,+\infty).\]

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: \[3x^2-8x-3\geq0.\] Wyróżnik trójmianu jest równy \[\Delta=(-8)^2-4\cdot3\cdot(-3)=100,\] a jego miejsca zerowe to \[x_1=\frac{8-10}{6}=-\frac13,\qquad x_2=\frac{8+10}{6}=3.\] Ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, trójmian przyjmuje wartości nieujemne poza przedziałem między miejscami zerowymi. Zatem \[x\in\left(-\infty,-\frac13\right]\cup[3,+\infty).\]

**2 pkt** – poprawne wyznaczenie obu miejsc zerowych i zbioru rozwiązań \(\left(-\infty,-\frac13\right]\cup[3,+\infty)\) **1 pkt** – poprawna metoda obliczenia miejsc zerowych albo konsekwentne wyznaczenie przedziałów znaków dla otrzymanych pierwiastków **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.4 i IV.8 rozwiązywanie nierówności kwadratowych oraz wykorzystywanie własności funkcji kwadratowej.

x∈(\(1\),\(3\))

**Krok \(1\).** pkt: wyznaczenie pierwiastków \(1\) i \(3\). **Krok \(2\).** pkt: poprawna metoda i x∈(\(1\),\(3\)). **Odpowiedź.** x∈(\(1\),\(3\))

1 pkt: wyznaczenie pierwiastków 1 i 3. 2 pkt: poprawna metoda i x∈(1,3).

Zadanie 29. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

D. \(8\)

Wyraz jest niedodatni, gdy \(b_n\leq0\). Zapisujemy wzór w postaci iloczynowej: \[b_n=3n^{2}-25n=n(3n-25).\] Dla \(n\geq1\) czynnik \(n\) jest dodatni, więc nierówność \(n(3n-25)\leq0\) sprowadza się do \(3n-25\leq0\), czyli \(n\leq\frac{25}3=8\tfrac13\). Warunek spełniają liczby naturalne \(n=1,2,\ldots,8\), czyli osiem wyrazów. **Odpowiedź.** **D.** \(8\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zasady oceniania rozwiązań zadań

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.1) Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

\[x\in[-2,7].\]

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: \[x^2-5x-14\leq0.\] Rozkładamy trójmian na czynniki: \[x^2-5x-14=(x+2)(x-7).\] Jego miejsca zerowe to \(x_1=-2\) oraz \(x_2=7\). Ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, trójmian przyjmuje wartości niedodatnie między miejscami zerowymi, wraz z końcami. Zatem \[x\in[-2,7].\]

**2 pkt** – wyznaczenie miejsc zerowych \(x_1=-2\), \(x_2=7\) oraz podanie zbioru rozwiązań \([-2,7]\) **1 pkt** – wyznaczenie obu miejsc zerowych trójmianu \(x^2-5x-14\) albo poprawne odczytanie ich z wykresu **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.5 rozwiązywanie nierówności kwadratowych z jedną niewiadomą.

\[x\in(-\infty,-4)\cup(3,+\infty).\]

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i porządkujemy nierówność: \[3x^2+3x>x^2+x+24,\] \[2x^2+2x-24>0.\] Rozkładamy trójmian na czynniki: \[2(x^2+x-12)>0,\qquad 2(x+4)(x-3)>0.\] Miejscami zerowymi są \(-4\) i \(3\). Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, dlatego trójmian jest dodatni poza przedziałem między miejscami zerowymi. Zatem \[x\in(-\infty,-4)\cup(3,+\infty).\]

**2 pkt** – podanie pełnego zbioru rozwiązań \((-\infty,-4)\cup(3,+\infty)\) **1 pkt** – wyznaczenie miejsc zerowych \(-4\) i \(3\) trójmianu \(2x^2+2x-24\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.5 rozwiązywanie nierówności kwadratowych z jedną niewiadomą.

\[x\in(-\infty,-1]\cup[5,+\infty).\]

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: \[x^2-4x-5\geq0.\] Rozkładamy trójmian na czynniki: \[x^2-4x-5=(x+1)(x-5).\] Miejsca zerowe to \(x_1=-1\) oraz \(x_2=5\). Ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, trójmian przyjmuje wartości nieujemne poza przedziałem między miejscami zerowymi, wraz z jego końcami. Zatem \[x\in(-\infty,-1]\cup[5,+\infty).\]

**2 pkt** – wyznaczenie miejsc zerowych \(x_1=-1\), \(x_2=5\) i podanie zbioru rozwiązań \(( -\infty,-1]\cup[5,+\infty)\) **1 pkt** – wyznaczenie obu miejsc zerowych trójmianu \(x^2-4x-5\) albo poprawne odczytanie ich z wykresu **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.5 rozwiązywanie nierówności kwadratowych z jedną niewiadomą.

x ∈ (−∞, −\(\frac{5}{2}\)) ∪ (\(1\), +∞). Po przekształceniu otrzymujemy \(2\)\(x^{2}\) + \(3x\) − \(5 > 0\), czyli (\(2x\) + \(5\))(x − \(1\)) > \(0\). Iloczyn jest dodatni poza przedziałem między pierwiastkami −\(\frac{5}{2}\) i \(1\).

**Krok \(1\).** Po obu stronach nierówności występuje ten sam czynnik \(x-1\). Kusi, żeby przez niego podzielić — ale nie wolno, bo nie wiemy, czy jest dodatni, czy ujemny (a przy dzieleniu przez liczbę ujemną zwrot nierówności się odwraca). Zamiast tego przenosimy wszystko na jedną stronę. **Krok \(2\).** Przenosimy prawą stronę na lewo: \[2(x-1)(x+3)-(x-1)\gt 0.\] **Krok \(3\).** Wyłączamy wspólny czynnik \(x-1\) przed nawias: \[(x-1)\big(2(x+3)-1\big)\gt 0,\] czyli \[(x-1)(2x+5)\gt 0.\] **Krok \(4\).** Lewa strona jest iloczynem dwóch czynników liniowych, czyli funkcją kwadratową (po wymnożeniu \(2x^2+3x-5\)). Jej miejsca zerowe odczytujemy wprost z czynników: \[x=1\qquad\text{oraz}\qquad 2x+5=0,\ \text{czyli}\ x=-\frac52.\] **Krok \(5\).** Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni (po wymnożeniu wynosi \(2\)), więc parabola ma ramiona skierowane w górę. Rysujemy ją schematycznie: przecina oś w punktach \(-\frac52\) i \(1\), pod osią jest między nimi, nad osią — poza nimi. **Krok \(6\).** Interesują nas wartości dodatnie, czyli fragmenty wykresu nad osią \(OX\): \[x\lt -\frac52\qquad\text{lub}\qquad x\gt 1.\] **Krok \(7\).** Zapisujemy odpowiedź w postaci sumy przedziałów. Nierówność jest ostra, więc końce nie należą do zbioru rozwiązań. **Uwaga.** Skrócenie obu stron przez \(x-1\) daje błędny wynik \(x\gt -\frac52\) i jest tu najpoważniejszym błędem. Gdyby ktoś wolał liczyć wyróżnik, dostanie to samo: dla \(2x^2+3x-5\) mamy \(\Delta=9+40=49\), \(\sqrt{\Delta}=7\), \(x_1=\frac{-3-7}{4}=-\frac52\), \(x_2=\frac{-3+7}{4}=1\). **Odpowiedź.** \(x\in\left(-\infty,-\frac52\right)\cup\left(1,+\infty\right)\).

**1 pkt** – gdy zdający zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub zapisze błędny zbiór rozwiązań nierówności, np. obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego \(x_1=-\frac{5}{2}\) oraz \(x_2=1\), albo zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(x)=2x^{2}+3x-5\), albo rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. \(2\left(x+\frac{5}{2}\right)(x-1)\); albo gdy realizując pierwszy etap rozwiązania zadania popełnia błędy (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do tego zapisze zbiór rozwiązań nierówności, w tym gdy popełnia błędy rachunkowe przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego, błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète'a albo wyznaczy odcięte punktów wspólnych wykresów funkcji określonych wzorami […] oraz \(y=x-1\) i zapisze błędny zbiór rozwiązań nierówności. **2 pkt** – gdy zdający poda zbiór rozwiązań nierówności: \(x<-\frac{5}{2}\) lub \(x>1\), albo sporządzi ilustrację graficzną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci \(x<-\frac{5}{2}\) […], albo poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów.

II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą (3.5).

\[x\in\left(-\infty,-\frac52\right]\cup\left[\frac13,+\infty\right).\]

Miejsca zerowe czynników są równe \[2x+5=0\iff x=-\frac52,\qquad 3x-1=0\iff x=\frac13.\] Iloczyn dwóch czynników liniowych jest nieujemny poza przedziałem między miejscami zerowymi. Ponieważ nierówność jest nieostra, oba końce należą do zbioru rozwiązań. Zatem \[x\in\left(-\infty,-\frac52\right]\cup\left[\frac13,+\infty\right).\]

**2 pkt** – podanie pełnego zbioru rozwiązań \((-\infty,-\frac52]\cup[\frac13,+\infty)\) **1 pkt** – wyznaczenie obu miejsc zerowych: \(-\frac52\) i \(\frac13\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.5 rozwiązywanie nierówności kwadratowych z jedną niewiadomą.

\[x\in\left(-\infty,-\frac12\right]\cup[3,+\infty).\]

Obliczamy wyróżnik trójmianu: \[\Delta=5^2-4\cdot(-2)\cdot3=49.\] Jego pierwiastki są równe \[x_1=\frac{-5+7}{-4}=-\frac12,\qquad x_2=\frac{-5-7}{-4}=3.\] Współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny, więc trójmian przyjmuje wartości niedodatnie na zewnątrz przedziału między pierwiastkami. Ponieważ nierówność jest nieostra, końce należą do zbioru rozwiązań: \[x\in\left(-\infty,-\frac12\right]\cup[3,+\infty).\]

**2 pkt** – podanie pełnego zbioru rozwiązań \((-\infty,-\frac12]\cup[3,+\infty)\) **1 pkt** – wyznaczenie pierwiastków \(x_1=-\frac12\) i \(x_2=3\) albo konsekwentne rozwiązanie nierówności po drobnym błędzie rachunkowym dającym dwa różne pierwiastki **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcja kwadratowa - rozwiązywanie nierówności kwadratowych.

\(x\in\left(-\infty,-\frac{2}{7}\right)\cup(1,+\infty)\)

**Krok \(1\).** Po obu stronach nierówności występuje ten sam nawias \(7x+2\). To podpowiedź: przenosimy wszystko na jedną stronę i wyłączamy wspólny czynnik przed nawias, żeby otrzymać postać iloczynową. **Krok \(2\).** Przenosimy prawą stronę na lewo: \[x(7x+2)-(7x+2)\gt0.\] **Krok \(3\).** Wyłączamy \((7x+2)\) przed nawias. Drugi składnik to \(1\cdot(7x+2)\), więc w drugim nawiasie zostaje \(x-1\): \[(7x+2)(x-1)\gt0.\] **Krok \(4\).** Znajdujemy miejsca zerowe, przyrównując czynniki do zera: \[7x+2=0\ \Rightarrow\ x=-\frac27,\qquad x-1=0\ \Rightarrow\ x=1.\] **Krok \(5\).** Ustalamy kształt paraboli. Po wymnożeniu przy \(x^2\) stoi \(7\cdot1=7\), czyli liczba dodatnia — ramiona skierowane do góry, więc wartości dodatnie są na zewnątrz miejsc zerowych. **Krok \(6\).** Nierówność jest ostra (\(\gt\)), więc same miejsca zerowe nie należą do zbioru rozwiązań — nawiasy zostają otwarte: \[x\in\left(-\infty,-\frac27\right)\cup(1,+\infty).\] **Uwaga.** Kusi, żeby obie strony podzielić przez \(7x+2\) i dostać po prostu \(x\gt1\). Tak nie wolno — nie wiemy, czy \(7x+2\) jest dodatnie, a przy dzieleniu przez liczbę ujemną trzeba odwrócić znak nierówności. Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias jest zawsze bezpieczne. **Odpowiedź.** \(x\in\left(-\infty,-\frac27\right)\cup(1,+\infty)\)

1 pkt: pierwiastki −2/7 i 1. 2 pkt: poprawny zbiór rozwiązań.

Zadanie 26. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

\[x\in\left(-\infty,\frac43\right)\cup(4,+\infty).\]

Obliczamy wyróżnik trójmianu: \[\Delta=(-16)^2-4\cdot3\cdot16=64.\] Pierwiastki są równe \[x_1=\frac{16-8}{6}=\frac43,\qquad x_2=\frac{16+8}{6}=4.\] Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc trójmian jest dodatni poza przedziałem między pierwiastkami. Ponieważ nierówność jest ostra, końce nie należą do zbioru rozwiązań: \[x\in\left(-\infty,\frac43\right)\cup(4,+\infty).\]

**2 pkt** – podanie pełnego zbioru rozwiązań \(( -\infty,\frac43)\cup(4,+\infty)\) **1 pkt** – obliczenie miejsc zerowych \(x_1=\frac43\) i \(x_2=4\) albo konsekwentne rozwiązanie nierówności po błędzie rachunkowym prowadzącym do dwóch różnych pierwiastków **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.5 rozwiązywanie nierówności kwadratowych z jedną niewiadomą.

\[x\in\left[1,\frac32\right].\]

Obliczamy wyróżnik trójmianu: \[\Delta=(-5)^2-4\cdot2\cdot3=1.\] Pierwiastki są równe \[x_1=\frac{5-1}{4}=1,\qquad x_2=\frac{5+1}{4}=\frac32.\] Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc trójmian przyjmuje wartości niedodatnie między pierwiastkami. Nierówność jest nieostra, zatem \[x\in\left[1,\frac32\right].\]

**2 pkt** – podanie zbioru rozwiązań \([1,\frac32]\) **1 pkt** – obliczenie miejsc zerowych \(x_1=1\) i \(x_2=\frac32\) albo konsekwentne rozwiązanie nierówności po błędzie rachunkowym prowadzącym do dwóch różnych pierwiastków **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

Klucz CKE nie zawiera przy tym zadaniu osobnej tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności - rozwiązywanie nierówności kwadratowej z jedną niewiadomą.

\[x\in\left(-\infty,-\frac12\right)\cup(1,+\infty).\]

Wyłączamy wspólny czynnik: \[2x(1-x)+1-x=(1-x)(2x+1).\] Miejsca zerowe to \(x=1\) i \(x=-\frac12\). Iloczyn jest ujemny poza przedziałem między miejscami zerowymi, więc \[x< -\frac12\qquad\text{lub}\qquad x>1.\]

**2 pkt** – zapisanie zbioru rozwiązań \(( -\infty,-\frac12)\cup(1,+\infty)\) **1 pkt** – wyznaczenie miejsc zerowych \(x=1\) i \(x=-\frac12\), zapisanie odpowiednich układów nierówności albo konsekwentne rozwiązanie po pojedynczym błędzie prowadzącym do dwóch różnych pierwiastków **0 pkt** – brak realizacji pierwszego etapu

Klucz CKE nie zawiera przy tym zadaniu osobnej tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności - postać iloczynowa trójmianu i rozwiązywanie nierówności kwadratowej.

\[x\in(-\infty,-1)\cup\left(\frac52,+\infty\right).\]

Przenosimy \(5\) na lewą stronę: \[2x^2-3x-5>0.\] Wyróżnik \(\Delta=49\), więc pierwiastki to \(x_1=-1\) i \(x_2=\frac52\). Ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, trójmian jest dodatni poza przedziałem między pierwiastkami.

**2 pkt** – podanie zbioru \(( -\infty,-1)\cup(\frac52,+\infty)\) **1 pkt** – wyznaczenie pierwiastków \(-1\) i \(\frac52\) albo konsekwentne rozwiązanie po błędzie prowadzącym do dwóch różnych pierwiastków **0 pkt** – brak realizacji pierwszego etapu

**Wymaganie ogólne II.** **3.5:** zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą.

\[x\in(-8,2).\]

Wyróżnik trójmianu wynosi \(\Delta=6^2-4\cdot1\cdot(-16)=100\). Pierwiastki to \[x_1=\frac{-6-10}{2}=-8,\qquad x_2=\frac{-6+10}{2}=2.\] Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc trójmian jest ujemny między pierwiastkami.

**2 pkt** – podanie zbioru \((-8,2)\) **1 pkt** – wyznaczenie pierwiastków \(-8\) i \(2\) albo konsekwentne rozwiązanie po błędzie prowadzącym do dwóch różnych pierwiastków **0 pkt** – brak realizacji pierwszego etapu

**Klasyfikacja CKE:** równania i nierówności - rozwiązywanie nierówności kwadratowej.

x ∈ (−\(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{2}\))

**Krok \(1\).** Rozwiązujemy nierówność \[\left(x-\tfrac12\right)x\gt3\left(x-\tfrac12\right)\left(x+\tfrac13\right).\] Po obu stronach występuje ten sam czynnik \(\left(x-\frac12\right)\). Nie wolno przez niego dzielić, bo nie wiemy, czy jest dodatni, czy ujemny (a nawet czy nie jest zerem). Zamiast tego przenosimy wszystko na jedną stronę i wyłączamy go przed nawias — dostaniemy nierówność iloczynową. **Krok \(2\).** Przenosimy prawą stronę na lewo: \[\left(x-\tfrac12\right)x-3\left(x-\tfrac12\right)\left(x+\tfrac13\right)\gt0.\] **Krok \(3\).** Wyłączamy wspólny czynnik \(\left(x-\frac12\right)\): \[\left(x-\tfrac12\right)\left[x-3\left(x+\tfrac13\right)\right]\gt0.\] **Krok \(4\).** Upraszczamy nawias kwadratowy: \[x-3x-1=-2x-1,\] więc nierówność przyjmuje postać \[\left(x-\tfrac12\right)(-2x-1)\gt0.\] **Krok \(5\).** Mnożymy obie strony przez \(-1\), pamiętając o zmianie zwrotu nierówności: \[\left(x-\tfrac12\right)(2x+1)\lt0.\] **Krok \(6\).** Miejsca zerowe lewej strony to \(x=\frac12\) oraz \(x=-\frac12\). Po wymnożeniu otrzymalibyśmy funkcję kwadratową ze współczynnikiem \(2\) przy \(x^2\), więc ramiona odpowiedniej paraboli są skierowane w górę. **Krok \(7\).** Parabola o ramionach w górę przyjmuje wartości ujemne dokładnie między swoimi miejscami zerowymi, więc \[x\in\left(-\tfrac12,\tfrac12\right).\] **Krok \(8\).** Sprawdzenie dla \(x=0\): lewa strona wyjściowej nierówności to \(\left(-\frac12\right)\cdot0=0\), a prawa \(3\cdot\left(-\frac12\right)\cdot\frac13=-\frac12\). Rzeczywiście \(0\gt-\frac12\), więc \(x=0\) należy do zbioru rozwiązań. **Uwaga.** Skrócenie obu stron przez \(\left(x-\frac12\right)\) jest błędem, który zwykle prowadzi do odpowiedzi w postaci jednej półprostej — traci się informację o zmianie zwrotu nierówności przy ujemnym czynniku oraz o punkcie \(x=\frac12\). Nierówność jest ostra, więc końce przedziału do rozwiązania nie należą. **Odpowiedź.** \(x\in\left(-\frac12,\frac12\right)\).

1 pkt: wyznaczenie pierwiastków −1/2 i 1/2. 2 pkt: poprawny otwarty przedział rozwiązań.

II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą (3.5).

\[x\in[0,9].\]

Rozkładamy lewą stronę na czynniki: \[8x^2-72x=8x(x-9).\] Iloczyn jest niedodatni pomiędzy miejscami zerowymi, z uwzględnieniem końców. Zatem \(x\in[0,9]\).

**2 pkt** – poprawne rozwiązanie \(x\in[0,9]\) wraz z uwzględnieniem obu końców przedziału **1 pkt** – wyznaczenie miejsc zerowych \(0\) i \(9\) albo konsekwentne rozwiązanie nierówności po błędzie rachunkowym prowadzącym do dwóch różnych miejsc zerowych **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** rozwiązywanie nierówności kwadratowych.

\[x\in\left[-2,\frac32\right].\]

Obliczamy wyróżnik trójmianu \(2x^2+x-6\): \[\Delta=1^2-4\cdot2\cdot(-6)=49.\] Miejsca zerowe są równe \[x_1=\frac{-1-7}{4}=-2,\qquad x_2=\frac{-1+7}{4}=\frac32.\] Ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, trójmian przyjmuje wartości niedodatnie między miejscami zerowymi. Zatem \[x\in\left[-2,\frac32\right].\]

**2 pkt** – podanie zbioru rozwiązań \(x\in[-2,\frac32]\) albo jego poprawne przedstawienie graficzne z domkniętymi końcami **1 pkt** – wyznaczenie miejsc zerowych \(x_1=-2\), \(x_2=\frac32\) i zakończenie rozwiązania albo błędne zapisanie przedziału; również konsekwentne rozwiązanie po błędzie rachunkowym prowadzącym do dwóch różnych pierwiastków **0 pkt** – brak koniecznego postępu, w szczególności podanie pierwiastków bez związku z trójmianem z zadania albo wyznaczenie ujemnego wyróżnika

**Klasyfikacja CKE:** nierówności kwadratowe - wyróżnik, miejsca zerowe i znak trójmianu kwadratowego.

\[x\in(0,2).\]

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę: \[-x^2+2x>0,\qquad x(2-x)>0.\] Iloczyn jest dodatni między jego miejscami zerowymi \(0\) i \(2\), zatem \(x\in(0,2)\).

**2 pkt** – poprawny zbiór rozwiązań \((0,2)\) **1 pkt** – wyznaczenie miejsc zerowych \(0\), \(2\) i istotne rozpoczęcie analizy znaku **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.5 nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą.

\[x\in(-\infty,-4]\cup[2,+\infty).\]

Przenosimy wszystko na lewą stronę i rozkładamy trójmian na czynniki: \[3x^2-6x-(x-2)(x-8)=2x^2+4x-16=2(x+4)(x-2).\] Iloczyn jest nieujemny poza przedziałem między jego miejscami zerowymi, zatem \(x\leq-4\) lub \(x\geq2\).

**2 pkt** – poprawny zbiór rozwiązań \(( -\infty,-4]\cup[2,+\infty)\) **1 pkt** – poprawne sprowadzenie nierówności do postaci \(2(x+4)(x-2)\geq0\) albo wyznaczenie obu miejsc zerowych **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą.

\[x\in\left[\frac13,3\right].\]

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: \[3x^2-10x+3\leq0.\] Pierwiastki trójmianu są równe \[x_1=\frac{10-8}{6}=\frac13,\qquad x_2=\frac{10+8}{6}=3.\] Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc trójmian jest niedodatni między pierwiastkami, wraz z końcami przedziału.

**1 pkt** – wyznaczenie obu pierwiastków \(\frac13\) i \(3\) **2 pkt** – podanie poprawnego zbioru rozwiązań \(x\in[\frac13,3]\) **0 pkt** – rozwiązanie bez poprawnego postępu

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności, nierówność kwadratowa.

**B.** \(\left(-\infty,-\sqrt5\right\rangle\cup\left\langle\sqrt5,+\infty\right)\).

Nierówność \(x^2\geq5\) jest równoważna warunkowi \[|x|\geq\sqrt5.\] Zatem \(x\leq-\sqrt5\) lub \(x\geq\sqrt5\), czyli \[x\in\left(-\infty,-\sqrt5\right\rangle\cup\left\langle\sqrt5,+\infty\right).\]

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **B** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 3.5. Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą.

\[x\in\langle-7,1\rangle.\]

Rozkładamy trójmian na czynniki: \[x^2+6x-7=(x+7)(x-1).\] Jego miejsca zerowe to \(x_1=-7\) i \(x_2=1\). Ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, trójmian przyjmuje wartości niedodatnie między miejscami zerowymi, wraz z końcami. Zatem \[x\in\langle-7,1\rangle.\]

**2 pkt** – poprawny zbiór rozwiązań \(\langle-7,1\rangle\) **1 pkt** – poprawne wyznaczenie obu miejsc zerowych \(-7\) i \(1\), lecz niepoprawny lub niepodany zbiór rozwiązań **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 3.5. Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą.

\[x\in[-7,1].\]

Rozkładamy trójmian na czynniki: \[x^2+6x-7=(x+7)(x-1).\] Miejscami zerowymi są \(x_1=-7\) i \(x_2=1\). Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc trójmian przyjmuje wartości niedodatnie między miejscami zerowymi, łącznie z nimi. Zatem \[x\in[-7,1].\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawny przedział \([-7,1]\) z uzasadnieniem **1 pkt** – poprawne wyznaczenie miejsc zerowych \(-7\) i \(1\) **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 3.5. Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą.

\[x\in(-\infty,2)\cup(3,\infty).\]

Rozwijamy prawą stronę i przenosimy wszystko na lewą: \[2x^2-4x>x^2+x-6\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-5x+6>0.\] Po rozłożeniu na czynniki \[(x-2)(x-3)>0.\] Iloczyn jest dodatni poza przedziałem między pierwiastkami, zatem \(x<2\) lub \(x>3\).

**1 pkt** – doprowadzenie do nierówności \((x-2)(x-3)>0\) albo poprawne wyznaczenie pierwiastków \(2\) i \(3\) **2 pkt** – podanie \(x\in(-\infty,2)\cup(3,\infty)\) **0 pkt** – rozwiązanie bez poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 3.5 zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą.

\[x\in[2,3].\]

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę: \[4x^2-20x+24\leq0.\] Dzielimy przez \(4\) i rozkładamy trójmian: \[(x-2)(x-3)\leq0.\] Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc nierówność jest spełniona między miejscami zerowymi wraz z końcami: \(x\in[2,3]\).

**2 pkt** – poprawny przedział \([2,3]\) **1 pkt** – wyznaczenie miejsc zerowych \(2\) i \(3\) lub równoważny istotny postęp **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności, nierówność kwadratowa.

\[x\in\left\langle\frac32,3\right\rangle.\]

Miejscami zerowymi czynników są \[2x-3=0\iff x=\frac32,\qquad 3-x=0\iff x=3.\] Iloczyn \((2x-3)(3-x)\) jest nieujemny pomiędzy tymi miejscami zerowymi, wraz z końcami przedziału. Zatem \[x\in\left\langle\frac32,3\right\rangle.\]

**2 pkt** – poprawny zbiór rozwiązań \(\left\langle\frac32,3\right\rangle\) **1 pkt** – poprawne wyznaczenie obu miejsc zerowych i rozpoczęcie analizy znaku iloczynu **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** Zdający rozwiązuje nierówność iloczynową i zapisuje jej zbiór rozwiązań w postaci przedziału.

\(x\in(-\infty,-7)\cup(3,+\infty)\).

**Krok \(1\).** Mamy nierówność kwadratową. Schemat postępowania jest zawsze taki sam: obliczyć miejsca zerowe trójmianu, naszkicować parabolę i odczytać z rysunku te \(x\), dla których wykres leży po właściwej stronie osi. Ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny, wygodnie najpierw pomnożyć nierówność przez \(-1\). **Krok \(2\).** Mnożymy obie strony przez \(-1\) i zmieniamy zwrot nierówności: \[-x^2-4x+21\lt0\qquad\Longleftrightarrow\qquad x^2+4x-21\gt0.\] **Krok \(3\).** Obliczamy wyróżnik trójmianu \(x^2+4x-21\): \[\Delta=4^2-4\cdot1\cdot(-21)=16+84=100,\qquad\sqrt{\Delta}=10.\] **Krok \(4\).** Wyznaczamy miejsca zerowe: \[x_1=\frac{-4-10}{2}=-7,\qquad x_2=\frac{-4+10}{2}=3.\] (Można też od razu rozłożyć: \(x^2+4x-21=(x+7)(x-3)\).) **Krok \(5\).** Szkicujemy parabolę \(y=x^2+4x-21\). Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc ramiona są skierowane w górę, a wykres przecina oś \(Ox\) w punktach \(-7\) i \(3\). **Krok \(6\).** Interesują nas wartości dodatnie, czyli fragmenty wykresu nad osią \(Ox\). Parabola o ramionach w górę jest nad osią na zewnątrz miejsc zerowych: \[x\in(-\infty,-7)\cup(3,+\infty).\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie: dla \(x=0\) (punkt między pierwiastkami) wyjściowa nierówność daje \(21\lt0\) — fałsz, zgodnie z wynikiem. Dla \(x=4\) mamy \(-16-16+21=-11\lt0\) — prawda, więc \(4\) należy do zbioru rozwiązań. **Uwaga.** Nierówność jest ostra, więc pierwiastki \(-7\) i \(3\) do rozwiązania nie należą — przedziały muszą być otwarte. Można też pracować bez mnożenia przez \(-1\): wtedy parabola \(y=-x^2-4x+21\) ma ramiona w dół i szukamy jej fragmentów pod osią, co również daje przedziały zewnętrzne. **Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,-7)\cup(3,+\infty)\).

**Schemat oceniania** **1 pkt** – jeżeli prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego \(x_1=3\) oraz \(x_2=-7\) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy, albo rozłoży trójmian kwadratowy \(-x^2-4x+21\) na czynniki liniowe i zapisze nierówność […] \(<0\) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy, albo popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, np. \(x_1=\) […] oraz \(x_2=\) […]. **2 pkt** – jeżeli poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci: […], albo poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. **Uwaga:** Akceptujemy zapis: \(x<-7\), \(x>3\).

Zadanie 25. (0–2) Rozwiąż nierówność:  x 2  4x  21  0 . II. Wykorzystanie 3.5. Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną i interpretowanie niewiadomą. reprezentacji. Rozwiązanie Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej f  x  x 2  4x  21.   42  4  1  21  16  84  100   10 4 10 4 10 x   3 oraz x   7 1 2 2 2 lub zapisujemy nierówność w postaci   x  3 x  7  0 . Szkicujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej f i na jego podstawie odczytujemy rozwiązanie nierówności y 21 x -7 0 3 Odpowiedź: x ,  7  3,   . Schemat oceniania Zdający otrzymuje 1 pkt jeżeli:  prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego x  3 oraz x  7 1 2 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy albo 2  rozłoży trójmian kwadratowy x  4x  21 na czynniki liniowe i zapisze nierówność   x  3 x  7  0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy albo  popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność 4  2 17 4  2 17 np. x   2  17 oraz x   2  17 , czyli 1 2 2 2     x  ,  2  17  2  17,   . Zdający otrzymuje 2 pkt jeżeli:  poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci: ,  7  3,   lub x ,  7  3,   lub x  7  x  3 albo  poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów: Uwaga: Akceptujemy zapis: x  7, x  3 .

x ∈ (−∞, −\(7\)) ∪ (\(2\), ∞)

**Krok \(1\).** To nierówność kwadratowa, ale współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny. Najwygodniej pomnożyć obie strony przez \(-1\), pamiętając o zmianie zwrotu nierówności, i dalej pracować ze zwykłą parabolą o ramionach do góry. **Krok \(2\).** Mnożymy \(-x^2-5x+14\lt 0\) przez \(-1\): \[x^2+5x-14\gt 0.\] **Krok \(3\).** Liczymy wyróżnik dla \(a=1\), \(b=5\), \(c=-14\): \[\Delta=5^2-4\cdot 1\cdot(-14)=25+56=81,\qquad \sqrt{\Delta}=9.\] **Krok \(4\).** Wyznaczamy miejsca zerowe: \[x_1=\frac{-5-9}{2}=-7,\qquad x_2=\frac{-5+9}{2}=2.\] **Krok \(5\).** Ramiona paraboli \(y=x^2+5x-14\) są skierowane do góry, więc wartości dodatnie przyjmuje ona poza przedziałem wyznaczonym przez pierwiastki. Stąd \[x\in(-\infty,-7)\cup(2,\infty).\] **Uwaga.** Przy mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną trzeba odwrócić jej zwrot. Można też w ogóle nie mnożyć: parabola \(y=-x^2-5x+14\) ma ramiona do dołu i te same miejsca zerowe \(-7\) i \(2\), a wartości ujemne przyjmuje na zewnątrz przedziału \((-7,2)\), czyli wynik jest identyczny. **Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,-7)\cup(2,\infty)\).

1 pkt: wyznaczenie miejsc zerowych −7 i 2. 2 pkt: poprawna suma otwartych przedziałów.

Zadanie 26. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

Miejsca zerowe trójmianu \(2\)\(x^{2}\) − \(7x\) + \(5\) to \(x_{1}\) = \(1\) i \(x_{2}\) = \(\frac{5}{2}\). Współczynnik przy \(x^{2}\) jest dodatni, więc \(2\)\(x^{2}\) − \(7x\) + \(5 \geq 0\) dla x ∈ (−∞, \(1\)] ∪ [\(\frac{5}{2}\), +∞).

**Krok \(1\).** pkt: poprawne wyznaczenie miejsc zerowych \(1\) i \(\frac{5}{2}\) albo równoważne zrealizowanie pierwszego etapu. **Krok \(2\).** pkt: poprawny zbiór rozwiązań (−∞, \(1\)] ∪ [\(\frac{5}{2}\), +∞). **Odpowiedź.** Miejsca zerowe trójmianu \(2\)\(x^{2}\) − \(7x\) + \(5\) to \(x_{1}\) = \(1\) i \(x_{2}\) = \(\frac{5}{2}\). Współczynnik przy \(x^{2}\) jest dodatni, więc \(2\)\(x^{2}\) − \(7x\) + \(5 \geq 0\) dla x ∈ (−∞, \(1\)] ∪ [\(\frac{5}{2}\), +∞).

1 pkt: poprawne wyznaczenie miejsc zerowych 1 i 5/2 albo równoważne zrealizowanie pierwszego etapu. 2 pkt: poprawny zbiór rozwiązań (−∞, 1] ∪ [5/2, +∞).

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Rozwiązanie nierówności kwadratowej (II.3.a).

\(x\in[0,3]\)

**Krok \(1\).** To nierówność kwadratowa (najwyższa potęga to \(x^2\)). Schemat postępowania jest zawsze ten sam: przenieść wszystko na jedną stronę, znaleźć miejsca zerowe trójmianu, naszkicować parabolę i odczytać z rysunku te \(x\), dla których wykres leży po właściwej stronie osi. **Krok \(2\).** Wszystko jest już po lewej stronie: \(3x-x^2\geq0\). Zamiast liczyć wyróżnik, wyłączamy \(x\) przed nawias: \[3x-x^2=x(3-x).\] **Krok \(3\).** Miejsca zerowe: iloczyn jest zerem, gdy \(x=0\) lub \(3-x=0\), czyli \[x=0\qquad\text{oraz}\qquad x=3.\] **Krok \(4\).** Sprawdzamy, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli. Współczynnik przy \(x^2\) w wyrażeniu \(-x^2+3x\) wynosi \(-1\), a więc jest ujemny — ramiona są skierowane **w dół**. **Krok \(5\).** Parabola o ramionach w dół leży **nad** osią (wartości dodatnie) pomiędzy swoimi miejscami zerowymi, a pod osią na zewnątrz nich. Szukamy wartości nieujemnych, więc bierzemy fragment między \(0\) a \(3\). **Krok \(6\).** Nierówność jest nieostra (\(\geq\)), więc miejsca zerowe też ją spełniają — końce przedziału dołączamy: \[x\in[0,3].\] **Krok \(7\).** Kontrola: dla \(x=1\) mamy \(3-1=2\geq0\) (należy), dla \(x=4\) mamy \(12-16=-4\), czyli mniej niż \(0\) (nie należy). **Uwaga.** Przy ujemnym współczynniku przy \(x^2\) rozwiązaniem nierówności \(\geq 0\) jest **odcinek**, a nie suma dwóch półprostych. Odruchowe pisanie \(x\in(-\infty,0]\cup[3,+\infty)\) to najczęstszy błąd w tym zadaniu. **Odpowiedź.** \(x\in[0,3]\)

1 pkt: miejsca zerowe 0 i 3. 2 pkt: poprawny domknięty przedział [0,3].

Zadanie 26. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

\(x\in(-2,\ 5)\)

**Krok \(1\).** Po lewej stronie stoi trójmian kwadratowy, więc mamy nierówność kwadratową. Schemat jest zawsze ten sam: przyrównujemy trójmian do zera, znajdujemy miejsca zerowe, szkicujemy parabolę i z rysunku odczytujemy, gdzie wartości są ujemne. **Krok \(2\).** Rozwiązujemy równanie \(x^2-3x-10=0\). Tu \(a=1\), \(b=-3\), \(c=-10\), więc \[\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-10)=9+40=49,\qquad \sqrt{\Delta}=7.\] **Krok \(3\).** Miejsca zerowe: \[x_1=\frac{3-7}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{3+7}{2}=5.\] **Krok \(4\).** Ponieważ \(a=1\gt 0\), parabola ma ramiona skierowane w górę. Taka parabola leży **poniżej** osi \(OX\) dokładnie między swoimi miejscami zerowymi. **Krok \(5\).** Nierówność \(x^2-3x-10\lt 0\) pyta właśnie o te \(x\), dla których wartość jest ujemna, czyli \[x\in(-2,\ 5).\] **Uwaga.** Nierówność jest ostra (\(\lt\), a nie \(\le\)), więc końce przedziału do niego **nie należą** - piszemy nawiasy okrągłe. Dla \(x=-2\) i \(x=5\) trójmian jest równy zeru, a zero nie jest mniejsze od zera. **Odpowiedź.** \(x\in(-2,\ 5)\)

1 pkt: miejsca zerowe −2 i 5 albo rozkład (x+2)(x−5)<0. 2 pkt: poprawny otwarty przedział.

Zadanie 25. (0–2) Wykorzystanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej (II.3.a) i interpretowanie reprezentacji Zdający otrzymuje ........................................................................................................... 1 pkt gdy:  prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego x  2, x  5 i na tym 1 2 poprzestanie lub dalej popełni błędy, albo  rozłoży trójmian kwadratowy x2  3x 10 na czynniki liniowe i zapisze nierówność  x  2  x  5  0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy, albo  popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, np., x  2, x  5 , 1 2 stąd x  5, 2 , albo 3 7  doprowadzi nierówność do postaci x   (na przykład z postaci 2 2 2 2  3  49  3  49 3 7 x    0 otrzymuje x   , a następnie x   )      2  4  2  4 2 2 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ........................................................................................................... 2 pkt gdy:  poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci: 2  x  5 lub  2, 5 lub x  2, 5 albo  sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x  2 , x  5 albo  poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów: x -2 5 Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki 1. Jeśli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x  2 , x  5 i zapisze np.: x   2, 5 , popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty. 6 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy

\(x^{2}\) + \(8x\) + \(15\) = (x + \(5\))(x + \(3\)). Miejsca zerowe to −\(5\) i −\(3\), a parabola ma ramiona skierowane w górę. Zatem x ∈ (−∞, −\(5\)) ∪ (−\(3\), +∞).

**Krok \(1\).** pkt: poprawne wyznaczenie miejsc zerowych −\(5\) i −\(3\) albo rozkład (x + \(5\))(x + \(3\)) i zapisanie nierówności iloczynowej. **Krok \(2\).** pkt: poprawny zbiór rozwiązań (−∞, −\(5\)) ∪ (−\(3\), +∞). **Odpowiedź.** \(x^{2}\) + \(8x\) + \(15\) = (x + \(5\))(x + \(3\)). Miejsca zerowe to −\(5\) i −\(3\), a parabola ma ramiona skierowane w górę. Zatem x ∈ (−∞, −\(5\)) ∪ (−\(3\), +∞).

1 pkt: poprawne wyznaczenie miejsc zerowych −5 i −3 albo rozkład (x + 5)(x + 3) i zapisanie nierówności iloczynowej. 2 pkt: poprawny zbiór rozwiązań (−∞, −5) ∪ (−3, +∞).

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Rozwiązanie nierówności kwadratowej (II.3.a).

\[x\in[-3,4].\]

Obliczamy wyróżnik trójmianu \(-3x^2+3x+36\): \[\Delta=3^2-4\cdot(-3)\cdot36=9+432=441,\qquad\sqrt{\Delta}=21.\] Miejsca zerowe: \[x_1=\frac{-3-21}{-6}=4,\qquad x_2=\frac{-3+21}{-6}=-3.\] Współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane w dół, a trójmian przyjmuje wartości nieujemne **między** miejscami zerowymi — włącznie z nimi, bo nierówność jest nieostra: \[x\in[-3,4].\] **Odpowiedź.** \(x\in[-3,4]\).

**Schemat oceniania** **1 pkt** – gdy zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np. obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego \(x=4\), \(x=-3\) i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, albo zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji \(f(x)=-3x^2+3x+36\) i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, albo rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. […], i na tym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność; albo gdy realizując pierwszy etap, popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np. popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, albo błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viëte'a: \([…]+x_2=[…]\) i \(x_1\cdot x_2=-12\) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność. **[…] pkt** – gdy poda zbiór rozwiązań nierówności \(\langle-3,4\rangle\) lub \(x\in\langle-3,4\rangle\) lub \(-3\leq x\leq 4\), albo sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci \(x\) […] \(-3\), \(x\) […] \(4\), albo poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów: \(-3\), \(4\). **Uwagi** 1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu \(x_1=-3\) i \(x_2=4\) i zapisze \(x\in(3,4)\), popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje \(2\) punkty. 2. Jeżeli błąd zdającego w obliczeniu pierwiastków trójmianu nie wynika z wykonywanych przez niego czynności (zdający rozwiązuje „swoje zadanie”), to otrzymuje \(0\) punktów za całe zadanie.

Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.

**A.** \((-6,0)\)

Wyrażenie \(x(x+6)\) jest iloczynem o miejscach zerowych \(0\) i \(-6\). Odpowiadająca parabola ma ramiona skierowane w górę (współczynnik przy \(x^{2}\) jest równy \(1>0\)), więc przyjmuje wartości ujemne **między** miejscami zerowymi. Nierówność jest ostra, więc końce do zbioru nie należą. **Odpowiedź.** \((-6,0)\), czyli odpowiedź **A**.

Zadanie 9. (0–1) Wykorzystanie i tworzenie Rozwiązuje nierówności kwadratowe; informacji zapisuje rozwiązanie w postaci A przedziałów liczbowych.

\(x\in(-\infty,1]\cup[7,+\infty)\)

**Krok \(1\).** To nierówność kwadratowa w postaci ogólnej. Schemat postępowania jest zawsze ten sam: znajdujemy miejsca zerowe trójmianu \(x^2-8x+7\), ustalamy, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli, i z wykresu odczytujemy, gdzie wartości są nieujemne. **Krok \(2\).** Wypisujemy współczynniki: \(a=1\), \(b=-8\), \(c=7\), i liczymy wyróżnik: \[\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot7=64-28=36.\] **Krok \(3\).** Ponieważ \(\Delta\gt0\), są dwa miejsca zerowe. Mamy \(\sqrt{\Delta}=6\), więc \[x_1=\frac{8-6}{2}=1,\qquad x_2=\frac{8+6}{2}=7.\] **Krok \(4\).** Współczynnik \(a=1\gt0\), więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Taka parabola przyjmuje wartości ujemne tylko między miejscami zerowymi, a nieujemne — poza nimi i w samych miejscach zerowych. **Krok \(5\).** Interesuje nas warunek \(\geqslant0\), czyli \[x\leqslant1\quad\text{lub}\quad x\geqslant7.\] **Krok \(6\).** Zapisujemy odpowiedź przedziałami. Nierówność jest nieostra, więc przedziały są domknięte w \(1\) i w \(7\): \[x\in(-\infty,1]\cup[7,+\infty).\] **Krok \(7\).** Kontrola: dla \(x=0\) mamy \(0-0+7=7\geqslant0\) — zgadza się; dla \(x=4\) mamy \(16-32+7=-9\), czyli wartość ujemna, a \(4\) rzeczywiście leży poza naszym zbiorem. **Uwaga.** Dwa typowe potknięcia: pisanie przedziałów otwartych (znak \(\geqslant\) jest nieostry, więc \(1\) i \(7\) należą do rozwiązania) oraz łączenie przedziałów znakiem części wspólnej — to ma być suma, bo wystarczy, by \(x\) spełniał jeden z dwóch warunków. **Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,1]\cup[7,+\infty)\)

1 pkt: miejsca zerowe 1 i 7. 2 pkt: poprawna suma domkniętych przedziałów.

Zadanie 26. (0–2) Rozwiąż nierówność x2  8x  7  0 . Wykorzystanie Rozwiązuje nierówność kwadratową. i interpretowanie reprezentacji Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt gdy:  prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego x  1 , x  7 i na tym 1 2 poprzestanie lub dalej popełni błędy albo  rozłoży trójmian kwadratowy x2  8x  7 na czynniki liniowe i zapisze nierówność  x 1  x  7  0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy albo  popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność albo  doprowadzi nierówność do postaci x  4  3 (na przykład z postaci  x  42  9  0 otrzymuje  x  42  9 , a następnie x  4  3 ) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt gdy poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci:   ,1  7,   albo  x  1 lub x  7 albo  x  1, x  7 albo  w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. Uwaga: W związku z rozbieżnością w rozumieniu i używaniu spójników w języku potocznym i formalnym języku matematyki akceptujemy zapis, np. x   ,1 i x  7,   . Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki 1. Jeśli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x  7 , x  1 i zapisze np. x   , 1  7,  , popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty. 2. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci  , 7  1,   , to przyznajemy 2 punkty. Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy

**B.** \(1\)

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia: \[9-x^{2}>9-6x+x^{2}.\] Porządkujemy: \[0>2x^{2}-6x,\qquad 2x(x-3)<0.\] Parabola \(2x(x-3)\) ma miejsca zerowe \(0\) i \(3\) oraz ramiona skierowane w górę, więc jest ujemna między nimi: \(x\in(0,3)\). Najmniejszą liczbą całkowitą w tym przedziale jest \(1\) — liczba \(0\) do niego nie należy, bo nierówność jest ostra. **Odpowiedź.** \(1\), czyli odpowiedź **B**.

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje nierówność algebraiczną.

\(x\in[-3,4]\)

**Krok \(1\).** Metoda: rozwiązujemy nierówność kwadratową — najpierw wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu, a potem odczytujemy zbiór rozwiązań z kierunku ramion paraboli. **Krok \(2\).** W trójmianie \(-2x^{2}+2x+24\) mamy \(a=-2\lt 0\), więc ramiona paraboli są skierowane w dół. **Krok \(3\).** Obliczamy wyróżnik: \[\Delta=2^{2}-4\cdot(-2)\cdot 24=4+192=196,\qquad \sqrt{\Delta}=14.\] **Krok \(4\).** Wyznaczamy miejsca zerowe: \[x_{1}=\frac{-2-14}{2\cdot(-2)}=\frac{-16}{-4}=4,\qquad x_{2}=\frac{-2+14}{2\cdot(-2)}=\frac{12}{-4}=-3.\] **Krok \(5\).** Zapisujemy postać iloczynową: \(-2(x-4)(x+3)\geq 0\). Ponieważ ramiona są skierowane w dół, wartości nieujemne trójmian przyjmuje pomiędzy miejscami zerowymi, a nierówność jest nieostra, więc końce należą do zbioru rozwiązań. **Uwaga.** Ujemny współczynnik przy \(x^{2}\) odwraca sytuację: przy \(a\gt 0\) zbiorem rozwiązań nierówności \(\geq 0\) byłaby suma dwóch przedziałów zewnętrznych, a przy \(a\lt 0\) — jeden przedział pomiędzy pierwiastkami. **Odpowiedź.** \(x\in[-3,4]\).

1 pkt: wyznaczenie miejsc zerowych −3 i 4. 2 pkt: poprawny domknięty przedział [−3,4].

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje nierówność kwadratową.

C. (\(1\), \(5\)]

Rozwiązujemy każdą nierówność osobno, a potem bierzemy część wspólną. Nierówność \(3(x-1)(x-5)\leq0\) jest równoważna \((x-1)(x-5)\leq0\) (dzielimy przez \(3>0\)). Parabola o miejscach zerowych \(1\) i \(5\) ma ramiona skierowane w górę, więc przyjmuje wartości niedodatnie między nimi: \[x\in\langle1,5\rangle.\] Druga nierówność daje \(x>1\), czyli usuwa lewy koniec. Częścią wspólną jest zbiór, w którym \(1\) jest zaznaczone kółkiem pustym, a \(5\) kropką pełną. **Odpowiedź.** \((1,5\rangle\), czyli odpowiedź **C**.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zinterpretowanie rozwiązania nierówności kwadratowej i liniowej na osi liczbowej.

Miejsca zerowe trójmianu \(3\)\(x^{2}\) − \(10x\) + \(3\) to \(x_{1}\) = \(\frac{1}{3}\) i \(x_{2}\) = \(3\). Ponieważ współczynnik przy \(x^{2}\) jest dodatni, nierówność \(3\)\(x^{2}\) − \(10x\) + \(3 \leq 0\) jest spełniona dla x ∈ [\(\frac{1}{3}\), \(3\)].

**Krok \(1\).** pkt: poprawne wyznaczenie miejsc zerowych \(\frac{1}{3}\) i \(3\) albo równoważne wykonanie pierwszego etapu. **Krok \(2\).** pkt: poprawny zbiór rozwiązań [\(\frac{1}{3}\), \(3\)]. **Odpowiedź.** Miejsca zerowe trójmianu \(3\)\(x^{2}\) − \(10x\) + \(3\) to \(x_{1}\) = \(\frac{1}{3}\) i \(x_{2}\) = \(3\). Ponieważ współczynnik przy \(x^{2}\) jest dodatni, nierówność \(3\)\(x^{2}\) − \(10x\) + \(3 \leq 0\) jest spełniona dla x ∈ [\(\frac{1}{3}\), \(3\)].

1 pkt: poprawne wyznaczenie miejsc zerowych 1/3 i 3 albo równoważne wykonanie pierwszego etapu. 2 pkt: poprawny zbiór rozwiązań [1/3, 3].

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Rozwiązanie nierówności kwadratowej.

x ∈ (\(1\), \(2\))

**Krok \(1\).** To nierówność kwadratowa \(x^2-3x+2\lt 0\). Postępujemy według stałego schematu: wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu, rysujemy parabolę i odczytujemy, gdzie wykres leży pod osią \(Ox\). **Krok \(2\).** Liczymy wyróżnik dla \(a=1\), \(b=-3\), \(c=2\): \[\Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1,\qquad \sqrt{\Delta}=1.\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy pierwiastki: \[x_1=\frac{3-1}{2}=1,\qquad x_2=\frac{3+1}{2}=2.\] Można też zauważyć od razu, że \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\). **Krok \(4\).** Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Wartości ujemne taka parabola przyjmuje wyłącznie między swoimi miejscami zerowymi. **Krok \(5\).** Szukamy wartości ujemnych, czyli części wykresu pod osią \(Ox\), więc \[x\in(1,2).\] **Uwaga.** Nierówność jest ostra, więc końce przedziału odpadają: dla \(x=1\) i \(x=2\) trójmian jest równy \(0\), a zero nie jest mniejsze od zera. **Odpowiedź.** \(x\in(1,2)\).

1 pkt: miejsca zerowe 1 i 2 albo postać (x−1)(x−2)<0. 2 pkt: przedział (1,2).

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje nierówność kwadratową.

**A.** \(( -\infty,-3\rangle\cup\langle3,+\infty)\)

Nierówność \(x^2\geq9\) zapisujemy w postaci \(|x|\geq3\), bo \(\sqrt{x^2}=|x|\). Warunek ten oznacza, że \(x\leq-3\) albo \(x\geq3\). Równoważnie: \(x^2-9\geq0\), czyli \((x-3)(x+3)\geq0\) — parabola o ramionach w górę przyjmuje wartości nieujemne poza przedziałem między pierwiastkami, wraz z samymi pierwiastkami. **Odpowiedź.** A. \((-\infty,-3\rangle\cup\langle3,+\infty)\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** rozwiązywanie nierówności kwadratowej typu \(x^2\geq a\) Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**D.** \(( -\infty,0)\cup(4,+\infty)\)

Przenosimy wszystko na jedną stronę i wyłączamy wspólny czynnik: \[x^2>4x,\qquad x^2-4x>0,\qquad x(x-4)>0.\] Iloczyn dwóch czynników jest dodatni poza przedziałem między jego miejscami zerowymi \(0\) i \(4\) (ramiona paraboli skierowane w górę). Zatem \[x\in(-\infty,0)\cup(4,+\infty).\] Zwróćmy uwagę, że dzielenie nierówności przez \(x\) byłoby błędem — znak \(x\) nie jest znany. **Odpowiedź.** D. \((-\infty,0)\cup(4,+\infty)\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** rozwiązywanie nierówności kwadratowej przez rozkład na czynniki Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**C.** \(( -\infty,-3\rangle\cup\langle2,+\infty)\)

**Krok \(1\).** Po lewej stronie stoi iloczyn dwóch wyrażeń liniowych, a po prawej zero. To jest nierówność kwadratowa zapisana od razu w postaci iloczynowej — nie trzeba nic wymnażać, bo z takiej postaci miejsca zerowe odczytuje się wprost. **Krok \(2\).** Znajdujemy miejsca zerowe, czyli te \(x\), dla których iloczyn jest równy zeru. Iloczyn zeruje się wtedy, gdy zeruje się któryś czynnik: \[x-2=0\quad\text{lub}\quad x+3=0,\] czyli \(x=2\) lub \(x=-3\). **Krok \(3\).** Sprawdzamy, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli. Po wymnożeniu przy \(x^2\) stałby współczynnik \(1\cdot1=1\), a więc dodatni — ramiona idą do góry. **Krok \(4\).** Rysujemy na kartce parabolę przecinającą oś \(OX\) w punktach \(-3\) i \(2\), z ramionami do góry. Nad osią, czyli tam gdzie wartości są dodatnie, leżą dwa zewnętrzne kawałki wykresu: na lewo od \(-3\) i na prawo od \(2\). **Krok \(5\).** Nierówność jest nieostra (\(\geqslant\)), więc do zbioru rozwiązań dołączamy także same miejsca zerowe \(-3\) i \(2\) — w tych punktach iloczyn jest równy \(0\), a zero spełnia warunek \(\geqslant0\). Nawiasy przy tych liczbach muszą być domknięte. **Krok \(6\).** Zapisujemy zbiór rozwiązań: \[x\in(-\infty,-3\rangle\cup\langle2,+\infty).\] **Uwaga.** Łatwo pomylić znaki miejsc zerowych. Z czynnika \(x+3\) wychodzi \(x=-3\) (a nie \(3\)), a z czynnika \(x-2\) wychodzi \(x=2\) (a nie \(-2\)). Odpowiedź D ma dokładnie te znaki zamienione — to typowa pułapka w tym zadaniu. **Odpowiedź.** C: \((-\infty,-3\rangle\cup\langle2,+\infty)\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje nierówność kwadratową w postaci iloczynowej.

x ∈ [−\(6\), −\(5\)]

Wyjaśnienie: Krok \(1\). Obliczenie miejsc zerowych wielomianu. Współczynniki: \(a=1,\;b=11,\;c=30\) \[Δ=b^2-4ac=11^2-4\cdot1\cdot30=121-120=1 \\ \sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1\] \[x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11-1}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6 \\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11+1}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5\] Krok \(2\). Szkicowanie wykresu paraboli. Parabola ma ramiona skierowane ku górze, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Wykres będzie miał więc następującą postać: Punkty \(x=-6\) oraz \(x=-5\) muszą mieć koniecznie zamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\). Krok \(3\). Odczytanie rozwiązania nierówności. Interesuje nas zbiór argumentów, dla których wartość funkcji kwadratowej jest mniejsza lub równa zero (czyli w których miejscach wykres funkcji jest pod osią \(Ox\) lub dokładnie na osi). Tym zbiorem jest oczywiście: \(x\in\langle-6;-5\rangle\).

Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie: 0 pkt • Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania. 1 pkt • Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.). ALBO • Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny. 2 pkt • Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje nierówność kwadratową.

**B.** \(( -\infty,-\sqrt5\rangle\cup\langle\sqrt5,+\infty)\)

Nierówność \(x^2\geqslant5\) zapisujemy z wartością bezwzględną: \[|x|\geqslant\sqrt5.\] Oznacza to, że odległość liczby \(x\) od zera jest nie mniejsza niż \(\sqrt5\), czyli \[x\leqslant-\sqrt5\quad\text{albo}\quad x\geqslant\sqrt5.\] Nierówność jest nieostra, więc oba końce należą do zbioru rozwiązań (istotnie \(\left(\pm\sqrt5\right)^2=5\geqslant5\)) — to odróżnia odpowiedź B od A. Ponadto rozwiązania tworzą dwa przedziały, a nie jeden, co wyklucza C i D. \[x\in(-\infty,-\sqrt5\rangle\cup\langle\sqrt5,+\infty).\] **Odpowiedź.** B

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: B.

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Funkcje.

\(x\in[-7,1]\)

**Krok \(1\).** To nierówność kwadratowa. Standardowa droga: wszystkie wyrazy po jednej stronie (tu już tak jest), obliczenie miejsc zerowych trójmianu \(x^{2}+6x-7\), szkic paraboli i odczytanie z niego tych \(x\), dla których wykres leży poniżej osi lub na niej. **Krok \(2\).** Współczynniki: \(a=1\), \(b=6\), \(c=-7\). Liczymy wyróżnik: \[\Delta=6^{2}-4\cdot1\cdot(-7)=36+28=64.\] Ponieważ \(\Delta \gt 0\), trójmian ma dwa miejsca zerowe, a \(\sqrt{\Delta}=8\). **Krok \(3\).** Miejsca zerowe: \[x_1=\frac{-6-8}{2}=\frac{-14}{2}=-7,\qquad x_2=\frac{-6+8}{2}=\frac{2}{2}=1.\] (Można je też odgadnąć z rozkładu \(x^{2}+6x-7=(x+7)(x-1)\).) **Krok \(4\).** Współczynnik przy \(x^{2}\) jest równy \(1\), czyli dodatni — ramiona paraboli są skierowane **w górę**. **Krok \(5\).** Parabola o ramionach w górę przyjmuje wartości ujemne **między** miejscami zerowymi, a dodatnie na zewnątrz. Szukamy wartości niedodatnich, więc bierzemy fragment od \(-7\) do \(1\). **Krok \(6\).** Nierówność jest nieostra (\(\leqslant\)), więc miejsca zerowe również ją spełniają i przedział jest domknięty: \[x\in[-7,1].\] **Krok \(7\).** Kontrola: dla \(x=0\) mamy \(0+0-7=-7\), a więc wartość niedodatnia (należy); dla \(x=2\) mamy \(4+12-7=9\), wartość dodatnia (nie należy). **Uwaga.** Kolejność liczb w przedziale: mniejsza z lewej, czyli \([-7,1]\), a nie \([1,-7]\). Znak \(\leqslant\) oznacza „mniejsze lub równe”, więc nawiasy muszą być kwadratowe. **Odpowiedź.** \(x\in[-7,1]\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(x\in[-7,1]\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Równania i nierówności.

\(x\in\langle-6,-5\rangle\).

**Krok \(1\).** To nierówność kwadratowa, więc postępujemy schematycznie: liczymy miejsca zerowe trójmianu, szkicujemy parabolę i odczytujemy z rysunku, gdzie przyjmuje ona żądane wartości. Tu współczynnik przy \(x^2\) jest równy \(1\gt0\), więc ramiona paraboli są skierowane w górę i wartości niedodatnie są między miejscami zerowymi. **Krok \(2\).** Liczymy wyróżnik trójmianu \(x^2+11x+30\): \[\Delta=11^2-4\cdot1\cdot30=121-120=1,\qquad\sqrt\Delta=1.\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy miejsca zerowe: \[x_1=\frac{-11-1}{2}=-6,\qquad x_2=\frac{-11+1}{2}=-5.\] **Krok \(4\).** Możemy więc zapisać nierówność w postaci iloczynowej: \[(x+6)(x+5)\leqslant0.\] **Krok \(5\).** Szkicujemy parabolę o ramionach w górę przecinającą oś \(Ox\) w punktach \(-6\) i \(-5\). Leży ona poniżej osi (lub na niej) dokładnie dla argumentów między miejscami zerowymi. **Krok \(6\).** Nierówność jest nieostra, więc końce przedziału też należą do rozwiązania: \[x\in\langle-6,-5\rangle.\] **Uwaga.** Uważaj na kolejność liczb ujemnych: \(-6\lt-5\), więc lewym końcem przedziału jest \(-6\). Gdyby nierówność była ostra, przedział byłby otwarty. **Odpowiedź.** \(x\in\langle-6,-5\rangle\).

*Schemat oceniania I sposobu rozwiązania* **1 pkt** – gdy poda poprawnie pierwiastki trójmianu kwadratowego lub zapisze trójmian w postaci iloczynowej i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – gdy: • poda zbiór rozwiązań nierówności: \(\langle-6,-5\rangle\) lub \(x\in\) […] lub \(\left(x\ge-6\ \text{i}\ x\le-5\right)\) albo • zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci \(x\ge-6\), \(x\le-5\), o ile towarzyszy temu ilustracja geometryczna (oś liczbowa, wykres) albo • poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. *Schemat oceniania II sposobu rozwiązania* **1 pkt** – gdy doprowadzi nierówność do postaci \(\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}\) […] i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – gdy: • poda zbiór rozwiązań nierówności: \(\langle-6,-5\rangle\) lub \(x\in\) […] lub \(\left(x\ge-6\ \text{i}\ x\le-5\right)\) albo • zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci \(x\ge-6\), \(x\le-5\), o ile towarzyszy temu ilustracja geometryczna (oś liczbowa, wykres) albo • poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów.

Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.

D. \(1\)

**Krok \(1\).** Po lewej stronie stoi iloczyn dwóch wyrażeń liniowych, a po prawej zero — to nierówność kwadratowa zapisana w postaci iloczynowej. Standardowy sposób: odczytujemy miejsca zerowe, szkicujemy parabolę i odczytujemy z rysunku, gdzie przyjmuje ona wartości ujemne. **Krok \(2\).** Miejsca zerowe to liczby, dla których któryś czynnik się zeruje: \[x-2=0\ \Rightarrow\ x=2,\qquad x+3=0\ \Rightarrow\ x=-3.\] **Krok \(3\).** Po wymnożeniu nawiasów przy \(x^{2}\) stałby współczynnik \(1\), czyli liczba dodatnia. Parabola ma więc ramiona skierowane do góry: nad osią leży na zewnątrz miejsc zerowych, a pod osią — między nimi. **Krok \(4\).** Szukamy wartości ujemnych, więc zbiorem rozwiązań jest przedział między miejscami zerowymi: \[x\in(-3,2).\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy podane liczby: \(9\), \(7\) i \(4\) są większe od \(2\), więc do tego przedziału nie należą. Należy tylko \(1\), bo \(-3\lt 1\lt 2\). **Krok \(6\).** Kontrola przez podstawienie \(x=1\) do nierówności: \[(1-2)(1+3)=(-1)\cdot 4=-4\lt 0,\] czyli warunek jest spełniony. **Uwaga.** Nierówność jest ostra, więc końce przedziału, liczby \(-3\) i \(2\), do zbioru rozwiązań nie należą — dla nich iloczyn jest równy \(0\), a nie mniejszy od \(0\). **Odpowiedź.** D. \(1\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Sprawdzenie, czy dana liczba należy do zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej.

\(x^{2}\) − x − \(2\) = (x + \(1\))(x − \(2\)). Miejsca zerowe to −\(1\) i \(2\), a współczynnik przy \(x^{2}\) jest dodatni, zatem x ∈ [−\(1\), \(2\)].

**Krok \(1\).** pkt: wyznaczenie miejsc zerowych −\(1\) i \(2\) albo zapisanie trójmianu w postaci (x + \(1\))(x − \(2\)). **Krok \(2\).** pkt: poprawny zbiór rozwiązań [−\(1\), \(2\)]. **Odpowiedź.** \(x^{2}\) − x − \(2\) = (x + \(1\))(x − \(2\)). Miejsca zerowe to −\(1\) i \(2\), a współczynnik przy \(x^{2}\) jest dodatni, zatem x ∈ [−\(1\), \(2\)].

1 pkt: wyznaczenie miejsc zerowych −1 i 2 albo zapisanie trójmianu w postaci (x + 1)(x − 2). 2 pkt: poprawny zbiór rozwiązań [−1, 2].

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Rozwiązywanie nierówności kwadratowej.

**B.** \(( -\infty,-5)\cup(0,+\infty)\)

**Krok \(1\).** Po lewej stronie stoi iloczyn dwóch czynników liniowych, a po prawej zero. To gotowa postać iloczynowa nierówności kwadratowej — nie wolno mnożyć nawiasów, tylko odczytujemy z nich miejsca zerowe i korzystamy z kształtu paraboli. **Krok \(2\).** Miejsca zerowe lewej strony: iloczyn \(x(x+5)\) zeruje się, gdy \(x=0\) albo \(x+5=0\), czyli \[x_1=-5,\qquad x_2=0.\] **Krok \(3\).** Sprawdzamy kierunek ramion. Po wymnożeniu byłoby \(x^2+5x\), więc współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(a=1\gt0\) — ramiona paraboli skierowane są w górę. **Krok \(4\).** Parabola o ramionach w górę leży ponad osią \(OX\) na zewnątrz swoich miejsc zerowych, a poniżej — pomiędzy nimi. Interesuje nas część dodatnia, więc \[x\lt-5\quad\text{lub}\quad x\gt0.\] **Krok \(5\).** Nierówność jest ostra (\(\gt\)), więc same miejsca zerowe \(-5\) i \(0\) odrzucamy — przedziały są otwarte: \[x\in(-\infty,-5)\cup(0,+\infty).\] **Krok \(6\).** Kontrola trzema liczbami, po jednej z każdego obszaru: dla \(x=-6\) mamy \((-6)\cdot(-1)=6\gt0\) (jest dobrze), dla \(x=-1\) mamy \((-1)\cdot4=-4\), czyli nie spełnia, dla \(x=1\) mamy \(1\cdot6=6\gt0\) (jest dobrze). **Uwaga.** Miejsca zerowe czytamy z nawiasów ze zmienionym znakiem: z \(x+5\) wychodzi \(x=-5\), a nie \(x=5\). Odpowiedź C bierze się właśnie z tej pomyłki. **Odpowiedź.** B: \((-\infty,-5)\cup(0,+\infty)\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje nierówność kwadratową w postaci iloczynowej.

x ∈ (−∞, \(2\)) ∪ (\(12\), ∞)

**Krok \(1\).** Mamy nierówność kwadratową \(x^2-14x+24\gt 0\). Schemat jest zawsze taki sam: znajdujemy miejsca zerowe trójmianu, szkicujemy parabolę i z rysunku odczytujemy, dla jakich \(x\) wykres leży po żądanej stronie osi \(Ox\). **Krok \(2\).** Liczymy wyróżnik trójmianu \(x^2-14x+24\), w którym \(a=1\), \(b=-14\), \(c=24\): \[\Delta=(-14)^2-4\cdot 1\cdot 24=196-96=100,\qquad \sqrt{\Delta}=10.\] **Krok \(3\).** Obliczamy miejsca zerowe: \[x_1=\frac{14-10}{2}=2,\qquad x_2=\frac{14+10}{2}=12.\] **Krok \(4\).** Współczynnik przy \(x^2\) jest równy \(1\), czyli jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane do góry. Taka parabola leży nad osią \(Ox\) na zewnątrz przedziału wyznaczonego przez pierwiastki, a pod osią między nimi. **Krok \(5\).** Szukamy wartości dodatnich, czyli części wykresu nad osią. To daje \[x\in(-\infty,2)\cup(12,\infty).\] **Uwaga.** Nierówność jest ostra (\(\gt\), a nie \(\ge\)), więc liczby \(2\) i \(12\) nie należą do rozwiązania i przedziały są otwarte. Gdyby w nierówności był znak \(\ge\), do odpowiedzi trzeba by dopisać oba pierwiastki. **Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,2)\cup(12,\infty)\).

1 pkt: miejsca zerowe 2 i 12. 2 pkt: poprawna suma otwartych przedziałów.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje nierówność kwadratową.

**C.** \((-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\)

Wyrażenie \((x+1)(x-3)\) jest iloczynem o miejscach zerowych \(-1\) i \(3\). Odpowiadająca mu parabola ma ramiona skierowane w górę (współczynnik przy \(x^2\) jest równy \(1>0\)), więc przyjmuje wartości dodatnie **poza** przedziałem wyznaczonym przez miejsca zerowe. Zbiorem rozwiązań jest zatem suma dwóch przedziałów otwartych, a nie ich część wspólna. **Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\), czyli odpowiedź **C**.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: \(\mathrm{C}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(x\in\langle1,2\rangle\)

**Krok \(1\).** Mamy nierówność kwadratową \(x^2-3x+2\le 0\). Postępujemy standardowo: wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu, szkicujemy parabolę i odczytujemy z wykresu, dla jakich argumentów wartości są niedodatnie. **Krok \(2\).** Liczymy wyróżnik dla \(a=1\), \(b=-3\), \(c=2\): \[\Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1,\qquad \sqrt{\Delta}=1.\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy miejsca zerowe: \[x_1=\frac{3-1}{2}=1,\qquad x_2=\frac{3+1}{2}=2.\] Można też od razu zapisać \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\) i odczytać pierwiastki stamtąd. **Krok \(4\).** Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane do góry. Wartości ujemne przyjmuje ona między pierwiastkami, a wartość \(0\) dokładnie w pierwiastkach. **Krok \(5\).** Szukamy wartości niedodatnich, czyli ujemnych razem z zerami. Do przedziału między pierwiastkami trzeba więc dołączyć jego końce: \[x\in\langle 1,2\rangle.\] **Uwaga.** Znak \(\le\) zamiast \(\lt\) zmienia odpowiedź: przedział jest domknięty, bo liczby \(1\) i \(2\) też spełniają nierówność (dają wartość \(0\), a zero jest niedodatnie). Przy nierówności ostrej odpowiedzią byłby przedział otwarty \((1,2)\). **Odpowiedź.** \(x\in\langle 1,2\rangle\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Obliczam miejsca zerowe funkcji kwadratowej \(f(x)=x^{2}-3x+2\): \[\Delta=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1,\qquad \sqrt{\Delta}=1,\] \[x_{1}=\frac{3-1}{2}=1,\qquad x_{2}=\frac{3+1}{2}=2.\] Rysuję fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) i na jego podstawie odczytuję rozwiązanie nierówności: […] Odpowiedź: \(x\in\langle 1,\,2\rangle\). Uwaga: Można przedstawić funkcję \(f\) w postaci \(f(x)=(x-1)(x-2)\) i odczytać rozwiązanie nierówności.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\[x\in\left(6\tfrac12,\,20\right);\qquad \text{liczby całkowite: }7,8,\ldots,19.\]

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: \[2x^{2}-53x+260<0.\] Obliczamy wyróżnik trójmianu: \[\Delta=53^{2}-4\cdot2\cdot260=2809-2080=729,\qquad \sqrt{\Delta}=27.\] Miejsca zerowe to \[x=\frac{53-27}{4}=\frac{26}{4}=6\tfrac12,\qquad x=\frac{53+27}{4}=20.\] Współczynnik przy \(x^{2}\) jest dodatni, więc trójmian przyjmuje wartości ujemne między miejscami zerowymi: \[x\in\left(6\tfrac12,\,20\right).\] Liczbami całkowitymi z tego przedziału są \(7,8,9,\ldots,19\) — jest ich \(13\). **Odpowiedź.** \(x\in\left(6\tfrac12,20\right)\); liczby całkowite spełniające nierówność to \(7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **1.1. (1 pkt)** – […] \(y=2x^{2}-53x+260\): \(\Delta=729\), \(x_{1}=6\tfrac{1}{2}\), \(x_{2}=20\). **1.2. (1 pkt)** – zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: \(x\in\left(6\tfrac{1}{2},\,20\right)\). Zbiór rozwiązań nierówności może być zaznaczony na wykresie. **1.3. (1 pkt)** – wypisanie wszystkich liczb całkowitych, które spełniają nierówność: \(7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16,\ 17,\ 18,\ 19\). Zdający może ustalić liczby całkowite, które spełniają nierówność na podstawie sporządzonego wykresu. Przyznajemy punkt, gdy zdający zapisze, np. \(7,\ 8,\ 9,\ \ldots,\ 19\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(f(n)=2n-1\) dla \(n\in\mathbb{N}\), \(n\gt 1\) (zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział \((n,2n)\)).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy nierówność kwadratową z niewiadomą \(x\), w której \(n\) pełni rolę parametru. Plan: rozwiązać nierówność zwyczajnie (wyróżnik, pierwiastki, znak trójmianu), a dopiero na otrzymanym przedziale wskazać największą liczbę całkowitą. **Krok \(2\).** Liczymy wyróżnik trójmianu \(x^2-3nx+2n^2\) traktowanego jako trójmian zmiennej \(x\): \[\Delta=(-3n)^2-4\cdot1\cdot2n^2=9n^2-8n^2=n^2.\] Ponieważ \(n\gt1\), mamy \(n\gt0\), więc \(\Delta\gt0\) oraz \(\sqrt{\Delta}=|n|=n\). **Krok \(3\).** Wyznaczamy pierwiastki: \[x_1=\frac{3n-n}{2}=n,\qquad x_2=\frac{3n+n}{2}=2n.\] Ponieważ \(n\gt1\gt0\), zachodzi \(n\lt2n\). **Krok \(4\).** Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona do góry i przyjmuje wartości ujemne między pierwiastkami. Zbiorem rozwiązań nierówności jest zatem przedział otwarty \[x\in(n,2n).\] **Krok \(5\).** Szukamy największej liczby całkowitej w tym przedziale. Liczba \(2n\) jest całkowita (bo \(n\) jest naturalne), ale do przedziału nie należy, bo nierówność jest ostra. Kolejną liczbą całkowitą w dół jest \(2n-1\). **Krok \(6\).** Sprawdzamy, że \(2n-1\) rzeczywiście należy do \((n,2n)\): oczywiście \(2n-1\lt2n\), a ponadto \[2n-1-n=n-1\gt0\quad\text{dla }n\gt1,\] czyli \(2n-1\gt n\). Zatem \(f(n)=2n-1\). **Uwaga.** Dwa miejsca wymagają ostrożności. Po pierwsze, końce przedziału są wyłączone (nierówność jest ostra), więc odpowiedzią nie jest \(2n\), tylko \(2n-1\). Po drugie, założenie \(n\gt1\) z treści nie jest ozdobne: to ono gwarantuje, że \(2n-1\) leży wewnątrz przedziału. Dla \(n=1\) przedział \((1,2)\) nie zawierałby żadnej liczby całkowitej i wzór by się załamał. **Odpowiedź.** \(f(n)=2n-1\) dla \(n\in\mathbb{N}\), \(n\gt 1\) (zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział \((n,2n)\)).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **11.1. (1 pkt)** – Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego: \(n\), \(2n\). **11.2. (1 pkt)** – Wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności \(x^{2}-3nx+2n^{2}<0\): \((n,2n)\). **11.3. (1 pkt)** – Wyznaczenie największej liczby całkowitej spełniającej nierówność i zapisanie wzoru funkcji \(f\): \(2n-1\), \(f(n)=2n-1\), dla \(n>1\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.