Równania i nierówności trygonometryczne — zadania maturalne z rozwiązaniami

\[x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\quad x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Podstawmy \(t=\sin x-\cos x\). Wtedy \[t^{2}=1-2\sin x\cos x=1-\sin(2x),\qquad \sin(2x)=1-t^{2}.\] Ponieważ \(t=\sqrt2\sin\!\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\), zmienna \(t\) przebiega przedział \(\left[-\sqrt2,\sqrt2\right]\). Równanie przyjmuje postać \[t+1-t^{2}=\tfrac12,\qquad t^{2}-t-\tfrac12=0,\qquad t=\frac{1\pm\sqrt3}{2}.\] Obie wartości należą do \(\left[-\sqrt2,\sqrt2\right]\), bo \(\tfrac{1+\sqrt3}{2}\approx1{,}37\) i \(\tfrac{1-\sqrt3}{2}\approx-0{,}37\). Wracamy do zmiennej \(x\): \[\sin\!\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{1+\sqrt3}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}=\sin\tfrac{5\pi}{12},\] skąd \(x-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{5\pi}{12}+2k\pi\) lub \(x-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{7\pi}{12}+2k\pi\), czyli \(x=\tfrac{2\pi}{3}+2k\pi\) lub \(x=\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi\). Analogicznie \[\sin\!\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{1-\sqrt3}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}=-\sin\tfrac{\pi}{12},\] skąd \(x-\tfrac{\pi}{4}=-\tfrac{\pi}{12}+2k\pi\) lub \(x-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{13\pi}{12}+2k\pi\), czyli \(x=\tfrac{\pi}{6}+2k\pi\) lub \(x=\tfrac{4\pi}{3}+2k\pi\). **Odpowiedź.** \(x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\), \(x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\), \(x=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\) lub \(x=\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zastosowanie wzoru na sinus podwojonego argumentu i zapisanie równania w postaci \(\sin x+2\sin x\cos x-\cos x=\frac{1}{2}\). **2 pkt** – przekształcenie równania do postaci alternatywy dwóch elementarnych równań trygonometrycznych: \(\sin x=\frac{1}{2}\) lub \(\cos x=-\frac{1}{2}\). **3 pkt** – rozwiązanie równania \(\sin x=\frac{1}{2}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\), np. \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) oraz \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) ALBO rozwiązanie równania \(\cos x=-\frac{1}{2}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\), np. \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\) oraz \(x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\frac{\pi}{6}+2\pi k\) oraz \(\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), oraz \(\frac{2\pi}{3}+2\pi k\), oraz \(-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VII.R6) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne.

\[x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\quad x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Po zastosowaniu wzoru \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) lewa strona równania daje rozkład \[\left(\sin x-\frac{1}{2}\right)(2\cos x+1)=0.\] Rozwiązujemy więc równania \(\sin x=\frac{1}{2}\) oraz \(\cos x=-\frac{1}{2}\), otrzymując cztery rodziny rozwiązań podane w odpowiedzi.

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zastosowanie wzoru na sinus podwojonego argumentu i zapisanie równania w postaci \(\sin x+2\sin x\cos x-\cos x=\frac{1}{2}\). **2 pkt** – przekształcenie równania do postaci alternatywy dwóch elementarnych równań trygonometrycznych: \(\sin x=\frac{1}{2}\) lub \(\cos x=-\frac{1}{2}\). **3 pkt** – rozwiązanie równania \(\sin x=\frac{1}{2}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\), np. \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) oraz \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) ALBO rozwiązanie równania \(\cos x=-\frac{1}{2}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\), np. \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\) oraz \(x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\frac{\pi}{6}+2\pi k\) oraz \(\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), oraz \(\frac{2\pi}{3}+2\pi k\), oraz \(-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 6.6R) Zdający rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne […].

\[x=\frac{k\pi}{2}\quad\text{lub}\quad x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\quad\text{lub}\quad x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Korzystamy ze wzoru na sinus potrojonego argumentu \(\sin 3t=3\sin t-4\sin^{3}t\) dla \(t=2x\): \[\sin(6x)-2\sin(2x)=3\sin(2x)-4\sin^{3}(2x)-2\sin(2x)=\sin(2x)\left(1-4\sin^{2}(2x)\right).\] Równanie jest więc równoważne alternatywie \[\sin(2x)=0\qquad\text{lub}\qquad \sin^{2}(2x)=\tfrac14.\] Z pierwszego równania \(2x=k\pi\), czyli \(x=\dfrac{k\pi}{2}\). Z drugiego \(\sin(2x)=\tfrac12\) lub \(\sin(2x)=-\tfrac12\), skąd \[2x=\tfrac{\pi}{6}+2k\pi\ \lor\ 2x=\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi\ \lor\ 2x=-\tfrac{\pi}{6}+2k\pi\ \lor\ 2x=-\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi.\] Po podzieleniu przez \(2\) obie serie z dodatnim znakiem łączą się w \(x=\tfrac{\pi}{12}+\tfrac{k\pi}{2}\), a obie z ujemnym w \(x=-\tfrac{\pi}{12}+\tfrac{k\pi}{2}\). **Odpowiedź.** \(x=\dfrac{k\pi}{2}\) lub \(x=-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2}\), lub \(x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik, np.: \(\frac{\pi k}{2}\) oraz \(-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}\) oraz \(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\). **3 pkt** – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych i rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy, np.: - \(\left(\sin(2x)=0\ \text{lub}\ \cos^{2}(2x)=\tfrac{3}{4}\right)\) oraz \(x=\frac{\pi k}{2}\) (rozwiązania równania \(\sin(2x)=0\)) - \(\left(\sin(2x)=0\ \text{lub}\ \cos(2x)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ \text{lub}\ \cos(2x)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) oraz \(x=-\frac{5\pi}{12}+\pi k\) oraz \(x=\frac{5\pi}{12}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\cos(2x)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)) - \(\left(\sin(2x)=0\ \text{lub}\ \cos(4x)=\tfrac{1}{2}\right)\) oraz \(x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}\) oraz \(x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}\) (rozwiązania równania \(\cos(4x)=\tfrac{1}{2}\)) - \(\left(\sin(2x)=0\ \text{lub}\ \sin(2x)=-\tfrac{1}{2}\ \text{lub}\ \sin(2x)=\tfrac{1}{2}\right)\) oraz \(x=-\frac{\pi}{12}+\pi k\) oraz \(x=-\frac{5\pi}{12}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\sin(2x)=-\tfrac{1}{2}\)), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\). **2 pkt** – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych, np.: \[\sin(2x)=0\ \text{lub}\ \cos^{2}(2x)=\tfrac{3}{4},\] \[\sin(2x)=0\ \text{lub}\ \cos(2x)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ \text{lub}\ \cos(2x)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},\] \[\sin(2x)=0\ \text{lub}\ 2\cos(4x)-1=0,\] \[\sin(2x)=0\ \text{lub}\ 4\sin^{2}(2x)-1=0.\] **1 pkt** – zastosowanie wzoru na sinus sumy i przekształcenie równania do postaci \(\sin(4x)\cos(2x)+\cos(4x)\sin(2x)-2\sin(2x)=0\) (dla sposobu I) ALBO – zastosowanie wzoru na różnicę sinusów i przekształcenie równania do postaci \(2\cos(4x)\sin(2x)-\sin(2x)=0\) (dla sposobu II), ALBO – zastosowanie wzoru na sinus potrojonego kąta i przekształcenie równania do postaci \(-4\sin^{3}(2x)+3\sin(2x)-2\sin(2x)=0\) (dla sposobu III). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. a) Jeżeli zdający popełni błędy, które nie są rachunkowe, nie zrealizuje wymagań z kryterium za 1 punkt, przekształci równanie do postaci \(\sin(2x)\cdot f(x)=0\), to może otrzymać co najwyżej \(1\) punkt za całe rozwiązanie (za rozwiązanie równania \(\sin(2x)=0\)). b) Jeżeli zdający zrealizuje wymagania z kryterium za 1 punkt, a następnie popełni błędy, które nie są rachunkowe, przekształci równanie do postaci \(\sin(2x)\cdot f(x)=0\) i rozwiąże równanie \(\sin(2x)=0\), to otrzymuje \(2\) punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający popełni tylko błędy rachunkowe i przekształci równanie do postaci \(\sin(2x)\cdot f(x)=0\), gdzie funkcja trygonometryczna \(f\) nie ma miejsc zerowych lub równanie trygonometryczne \(f(x)=0\) ma jedną serię rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, oraz rozwiąże równanie \(\sin(2x)=0\), otrzymując \(x=\frac{\pi k}{2}\), to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył praw do innej punktacji. 3. Jeżeli zdający przyjmie \(u=2x\) i rozwiąże równanie \(\sin(3u)-2\sin u=0\) (lub równanie \(-4\sin^{3}u+3\sin u-2\sin u=0\)) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, to otrzymuje \(3\) punkty.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VII.R6) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne.

\[x=\frac{k\pi}{2}\quad\text{lub}\quad x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\quad\text{lub}\quad x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.\]

**Krok \(1\).** Metoda: rozbijamy \(2\sin(2x)\) na \(\sin(2x)+\sin(2x)\), żeby móc zastosować wzór na różnicę sinusów i wyłączyć wspólny czynnik. **Krok \(2\).** Zapisujemy \[\sin(6x)-2\sin(2x)=\bigl[\sin(6x)-\sin(2x)\bigr]-\sin(2x).\] **Krok \(3\).** Ze wzoru \(\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\) dla \(\alpha=6x\), \(\beta=2x\): \[\sin(6x)-\sin(2x)=2\cos(4x)\sin(2x).\] **Krok \(4\).** Równanie przyjmuje postać \[2\cos(4x)\sin(2x)-\sin(2x)=0,\qquad \sin(2x)\bigl(2\cos(4x)-1\bigr)=0,\] więc \(\sin(2x)=0\) lub \(\cos(4x)=\frac{1}{2}\). **Krok \(5\).** Rozwiązujemy \(\sin(2x)=0\): \[2x=k\pi,\qquad x=\frac{k\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.\] **Krok \(6\).** Rozwiązujemy \(\cos(4x)=\frac{1}{2}\): \[4x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\text{lub}\quad 4x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi,\] \[x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\quad\text{lub}\quad x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.\] **Krok \(7\).** Zbieramy wszystkie trzy rodziny rozwiązań — żadna nie zawiera się w pozostałych. **Uwaga.** Zapis \(2\sin(2x)\) to podwojona wartość sinusa, a nie \(\sin(4x)\) — mylenie tych dwóch rzeczy jest tu najczęstszym błędem. Do tego samego wyniku prowadzi wzór na sinus potrojonego kąta: \(\sin(3\cdot 2x)=3\sin(2x)-4\sin^{3}(2x)\), po którym równanie przyjmuje postać \(\sin(2x)\bigl(1-4\sin^{2}(2x)\bigr)=0\). **Odpowiedź.** \(x=\frac{k\pi}{2}\) lub \(x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\), lub \(x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zastosowanie wzoru na sinus sumy i przekształcenie równania do postaci \(\sin(4x)\cos(2x)+\cos(4x)\sin(2x)-2\sin(2x)=0\) (dla sposobu I) ALBO zastosowanie wzoru na różnicę sinusów i przekształcenie równania do postaci \(2\cos(4x)\sin(2x)-\sin(2x)=0\) (dla sposobu II), ALBO zastosowanie wzoru na sinus potrojonego kąta i przekształcenie równania do postaci \(-4\sin^{3}(2x)+3\sin(2x)-2\sin(2x)=0\) (dla sposobu III). **2 pkt** – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych, np.: \(\sin(2x)=0\) lub \(\cos^{2}(2x)=\frac{3}{4}\), \(\sin(2x)=0\) lub \(\cos(2x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) lub \(\cos(2x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin(2x)=0\) lub \(2\cos(4x)-1=0\), \(\sin(2x)=0\) lub \(4\sin^{2}(2x)-1=0\). **3 pkt** – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych i rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy, np.: • (\(\sin(2x)=0\) lub \(\cos^{2}(2x)=\frac{3}{4}\)) oraz \(x=\frac{\pi k}{2}\) (rozwiązania równania \(\sin(2x)=0\)); • (\(\sin(2x)=0\) lub \(\cos(2x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) lub \(\cos(2x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)) oraz \(x=-\frac{5\pi}{12}+\pi k\) oraz \(x=\frac{5\pi}{12}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\cos(2x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)); • (\(\sin(2x)=0\) lub \(\cos(4x)=\frac{1}{2}\)) oraz \(x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}\) oraz \(x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}\) (rozwiązania równania \(\cos(4x)=\frac{1}{2}\)); • (\(\sin(2x)=0\) lub \(\sin(2x)=-\frac{1}{2}\) lub \(\sin(2x)=\frac{1}{2}\)) oraz \(x=-\frac{\pi}{12}+\pi k\) oraz \(x=-\frac{5\pi}{12}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\sin(2x)=-\frac{1}{2}\)), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik, np.: \(\frac{\pi k}{2}\) oraz \(-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}\) oraz \(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\). Uwagi: 1. a) Jeżeli zdający popełni błędy, które nie są rachunkowe, nie zrealizuje wymagań z kryterium za 1 punkt, przekształci równanie do postaci \(\sin(2x)\cdot f(x)=0\), to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za rozwiązanie równania \(\sin(2x)=0\)). 1. b) Jeżeli zdający zrealizuje wymagania z kryterium za 1 punkt, a następnie popełni błędy, które nie są rachunkowe, przekształci równanie do postaci \(\sin(2x)\cdot f(x)=0\) i rozwiąże równanie \(\sin(2x)=0\), to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający popełni tylko błędy rachunkowe i przekształci równanie do postaci \(\sin(2x)\cdot f(x)=0\), gdzie funkcja trygonometryczna \(f\) nie ma miejsc zerowych lub równanie trygonometryczne \(f(x)=0\) ma jedną serię rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, oraz rozwiąże równanie \(\sin(2x)=0\), otrzymując \(x=\frac{\pi k}{2}\), to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył praw do innej punktacji. 3. Jeżeli zdający przyjmie \(u=2x\) i rozwiąże równanie \(\sin(3u)-2\sin u=0\) (lub równanie \(-4\sin^{3}u+3\sin u-2\sin u=0\)) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, to otrzymuje 3 punkty.

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 6.6R) Zdający rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne […].

\[x\in\left\{\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{6}\right\}.\]

Sumę skrajnych cosinusów zwijamy wzorem na sumę cosinusów, a środkowy składnik zapisujemy wzorem na cosinus podwojonego argumentu: \[\cos(2x)+\cos(4x)=2\cos(3x)\cos x,\qquad 2\cos^{2}(3x)=1+\cos(6x).\] Jednak wygodniej jest od razu użyć \(2\cos^{2}(3x)=2\cos(3x)\cdot\cos(3x)\). Wtedy \[\cos(2x)+2\cos^{2}(3x)+\cos(4x)=2\cos(3x)\cos x+2\cos^{2}(3x)=2\cos(3x)\left(\cos x+\cos(3x)\right).\] Ponownie stosując wzór na sumę cosinusów, \(\cos x+\cos(3x)=2\cos(2x)\cos x\), otrzymujemy postać iloczynową \[4\cos(3x)\cos(2x)\cos x=0.\] Równanie sprowadza się więc do alternatywy \(\cos(3x)=0\) lub \(\cos(2x)=0\), lub \(\cos x=0\): \[x=\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{k\pi}{3},\qquad x=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{k\pi}{2},\qquad x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi.\] W przedziale \([0,\pi]\) pierwsza seria daje \(\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{5\pi}{6}\), druga \(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4}\), a trzecia \(\tfrac{\pi}{2}\) (już wypisane). **Odpowiedź.** \(x\in\left\{\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{5\pi}{6}\right\}\).

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{\pi}{6}\), \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{\pi}{2}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), \(\tfrac{5\pi}{6}\). **3 pkt** – rozwiązanie równania \(\cos(2x)+2\cos^2(3x)+\cos(4x)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\), np.: \(x=\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{\pi}{3}\cdot k\) lub \(x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\) lub \(x=-\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{2}\cdot k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(\cos(3x)=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{6}\), \(\tfrac{\pi}{2}\), \(\tfrac{5\pi}{6}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(\cos x+\cos(3x)=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{\pi}{2}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(\cos(2x)=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(4\cos^2x-2=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(2-4\sin^2x=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\). **2 pkt** – przekształcenie równoważne równania \(\cos(2x)+2\cos^2(3x)+\cos(4x)=0\) do postaci alternatywy dwóch równań trygonometrycznych, z których jednym jest \(\cos(3x)=0\), np.: \(\cos(3x)=0\) lub \(2\cos(2x)\cos x=0\), \(\cos(3x)=0\) lub \(\cos x+\cos(3x)=0\), \(\cos(3x)=0\) lub \((4\cos^2x-2)\cos x=0\), ALBO – przekształcenie równoważne równania \(\cos(2x)+2\cos^2(3x)+\cos(4x)=0\) do postaci alternatywy \(\cos(3x)=0\) lub \(\cos(2x)=0\) lub \(\cos x=0\). **1 pkt** – przekształcenie równoważne równania do postaci \(2\cos(3x)\cos x+2\cos^2(3x)=0\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VII.R6) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne.

Równanie sprowadza się do \(2\cos(3x)(\cos x+\cos(3x))=0\). W przedziale \([0,\pi]\) otrzymujemy \(x\in\{\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{6}\}\).

**Krok \(1\).** Metoda: w sumie \(\cos(2x)+\cos(4x)\) rozpoznajemy wzór na sumę cosinusów \[\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},\] który pozwoli wyłączyć wspólny czynnik. **Krok \(2\).** Dla \(\alpha=2x\), \(\beta=4x\) otrzymujemy \[\cos(2x)+\cos(4x)=2\cos(3x)\cos(-x)=2\cos(3x)\cos x,\] bo cosinus jest funkcją parzystą. **Krok \(3\).** Równanie przyjmuje postać \[2\cos(3x)\cos x+2\cos^{2}(3x)=0,\qquad 2\cos(3x)\bigl(\cos x+\cos(3x)\bigr)=0.\] Iloczyn jest zerem, gdy \(\cos(3x)=0\) lub \(\cos x+\cos(3x)=0\). **Krok \(4\).** Rozwiązujemy \(\cos(3x)=0\): \[3x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.\] W przedziale \([0,\pi]\) daje to \(x=\frac{\pi}{6}\), \(x=\frac{\pi}{2}\), \(x=\frac{5\pi}{6}\). **Krok \(5\).** Do drugiego równania stosujemy ten sam wzór na sumę cosinusów: \[\cos x+\cos(3x)=2\cos(2x)\cos x=0.\] **Krok \(6\).** Stąd \(\cos(2x)=0\), czyli \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\), co w \([0,\pi]\) daje \(x=\frac{\pi}{4}\) i \(x=\frac{3\pi}{4}\), albo \(\cos x=0\), czyli \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\), co w \([0,\pi]\) daje \(x=\frac{\pi}{2}\). **Krok \(7\).** Zbieramy wszystkie znalezione liczby z przedziału \([0,\pi]\), pamiętając, że \(\frac{\pi}{2}\) pojawiło się dwukrotnie. **Uwaga.** Rozwiązania trzeba najpierw wypisać w zbiorze liczb rzeczywistych, a dopiero potem wybrać te, które leżą w \([0,\pi]\) — samo podstawienie \(k=0\) pomija na przykład \(\frac{5\pi}{6}\). **Odpowiedź.** \(x\in\left\{\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{6}\right\}\).

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{\pi}{6}\), \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{\pi}{2}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), \(\tfrac{5\pi}{6}\). **3 pkt** – rozwiązanie równania \(\cos(2x)+2\cos^2(3x)+\cos(4x)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\), np.: \(x=\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{\pi}{3}\cdot k\) lub \(x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\) lub \(x=-\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{2}\cdot k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(\cos(3x)=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{6}\), \(\tfrac{\pi}{2}\), \(\tfrac{5\pi}{6}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(\cos x+\cos(3x)=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{\pi}{2}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(\cos(2x)=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(4\cos^2x-2=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\), ALBO – spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz rozwiązanie równania \(2-4\sin^2x=0\) w przedziale \([0,\pi]\): \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\tfrac{3\pi}{4}\). **2 pkt** – przekształcenie równoważne równania \(\cos(2x)+2\cos^2(3x)+\cos(4x)=0\) do postaci alternatywy dwóch równań trygonometrycznych, z których jednym jest \(\cos(3x)=0\), np.: \(\cos(3x)=0\) lub \(2\cos(2x)\cos x=0\), \(\cos(3x)=0\) lub \(\cos x+\cos(3x)=0\), \(\cos(3x)=0\) lub \((4\cos^2x-2)\cos x=0\), ALBO – przekształcenie równoważne równania \(\cos(2x)+2\cos^2(3x)+\cos(4x)=0\) do postaci alternatywy \(\cos(3x)=0\) lub \(\cos(2x)=0\) lub \(\cos x=0\). **1 pkt** – przekształcenie równoważne równania do postaci \(2\cos(3x)\cos x+2\cos^2(3x)=0\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 6.6R) Zdający rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne […].

\[x=\frac{2\pi}{3}.\]

Korzystamy z tożsamości \(\cos x=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\). Prawa strona równania jest równa \(-8\cos x+12\), zatem \[9-12\cos x+4\cos^2x=-8\cos x+12,\] \[4\cos^2x-4\cos x-3=0.\] Stąd \(\cos x=-\frac12\) lub \(\cos x=\frac32\). Druga wartość jest niemożliwa. W przedziale \((0,\pi)\) równanie \(\cos x=-\frac12\) ma rozwiązanie \[x=\frac{2\pi}{3}.\]

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik **2 pkt** – rozwiązanie równania \(4\cos^2x-4\cos x-3=0\) **1 pkt** – zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. IV. Rozumowanie i argumentacja - dostrzeganie regularności i formułowanie wniosków. **Wymagania szczegółowe:** VII.6 R) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne.

\[x\in\left\{-\tfrac{2\pi}{3},\,-\tfrac{\pi}{6},\,\tfrac{\pi}{3},\,\tfrac{5\pi}{6}\right\}.\]

Korzystamy ze wzorów \(\cos^{2}x-\sin^{2}x=\cos(2x)\) oraz \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\): \[3\cos^{2}x-3\sin^{2}x+\sqrt3\sin(2x)=3\cos(2x)+\sqrt3\sin(2x)=0.\] Gdyby \(\cos(2x)=0\), to z równania wynikałoby \(\sin(2x)=0\), co jest niemożliwe wobec jedynki trygonometrycznej. Zatem \(\cos(2x)\neq0\) i można podzielić obie strony przez \(\sqrt3\cos(2x)\): \[\operatorname{tg}(2x)=-\frac{3}{\sqrt3}=-\sqrt3.\] Stąd \[2x=-\tfrac{\pi}{3}+k\pi,\qquad x=-\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.\] Ograniczamy rozwiązania do przedziału \([-\pi,\pi]\): \[k=-1:\ x=-\tfrac{2\pi}{3};\quad k=0:\ x=-\tfrac{\pi}{6};\quad k=1:\ x=\tfrac{\pi}{3};\quad k=2:\ x=\tfrac{5\pi}{6}.\] Dla \(k=-2\) i \(k=3\) wartości \(-\tfrac{7\pi}{6}\) i \(\tfrac{4\pi}{3}\) leżą poza przedziałem. **Odpowiedź.** \(x\in\left\{-\dfrac{2\pi}{3},\,-\dfrac{\pi}{6},\,\dfrac{\pi}{3},\,\dfrac{5\pi}{6}\right\}\).

**Zasady oceniania (dla sposobów I–III)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – przekształcenie równania do postaci \(-3\operatorname{tg}^{2}x+2\sqrt{3}\operatorname{tg}x+3=0\) (dla sposobu I) ALBO zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równania \(3\cos(2x)+\sqrt{3}\sin(2x)=0\) (dla sposobu II), ALBO zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta oraz wzorów skróconego mnożenia i przekształcenie równania do postaci \((\sqrt{3}\cos x+\sin x-2\sin x)(\sqrt{3}\cos x+\sin x+2\sin x)=0\) (dla sposobu III), ALBO uzasadnienie, że liczby postaci \(\frac{\pi}{2}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^{2}x=0\) (dla sposobów I oraz III). **2 pkt** – przekształcenie równania do alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\) (dla sposobów I oraz III) ALBO przekształcenie równania do postaci \(-3\operatorname{tg}^{2}x+2\sqrt{3}\operatorname{tg}x+3=0\) oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\frac{\pi}{2}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^{2}x=0\) (dla sposobu I), ALBO przekształcenie równania do postaci \(\operatorname{tg}(2x)=-\sqrt{3}\) (dla sposobu II). **3 pkt** – zapisanie założenia \(\cos x\neq 0\) oraz rozwiązanie alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=\frac{\pi}{3}+\pi k\) oraz \(x=-\frac{\pi}{6}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobów I oraz III) ALBO przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\) oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale \([-\pi,\pi]\), np. \(\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\) i \(\frac{\pi}{3}\) (rozwiązania równania \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), \(\left(-\frac{\pi}{6}\right)\) i \(\frac{5\pi}{6}\) (rozwiązania równania \(\operatorname{tg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), (dla sposobów I oraz III), ALBO przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\) oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\frac{\pi}{2}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^{2}x=0\) (dla sposobów I oraz III) ALBO zapisanie założenia \(\cos(2x)\neq 0\) oraz rozwiązanie równania \(\operatorname{tg}(2x)=-\sqrt{3}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu II), ALBO przekształcenie równania do postaci \(\operatorname{tg}(2x)=-\sqrt{3}\) oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos(2x)+\sqrt{3}\sin(2x)=0\) (dla sposobu II). **4 pkt** – zapisanie założenia \(\cos x\neq 0\) oraz rozwiązanie alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\): \(\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\), \(\left(-\frac{\pi}{6}\right)\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{5\pi}{6}\) (dla sposobów I oraz III) ALBO rozwiązanie jednego z równań alternatywy \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\), gdzie \(x\neq\frac{\pi}{2}+\pi k\) i \(k\in\mathbb{Z}\), w przedziale \([-\pi,\pi]\), np. \(\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\) i \(\frac{\pi}{3}\) (rozwiązania równania \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), \(\left(-\frac{\pi}{6}\right)\) oraz \(\frac{5\pi}{6}\) (rozwiązania równania \(\operatorname{tg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\frac{\pi}{2}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^{2}x=0\) (dla sposobów I oraz III), ALBO rozwiązanie alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=\frac{\pi}{3}+\pi k\) oraz \(x=-\frac{\pi}{6}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\frac{\pi}{2}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^{2}x=0\) (dla sposobów I oraz III), ALBO zapisanie założenia \(\cos(2x)\neq 0\) oraz rozwiązanie równania \(\operatorname{tg}(2x)=-\sqrt{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\): \(\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\), \(\left(-\frac{\pi}{6}\right)\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{5\pi}{6}\) (dla sposobu II), ALBO rozwiązanie równania \(\operatorname{tg}(2x)=-\sqrt{3}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos(2x)+\sqrt{3}\sin(2x)=0\) (dla sposobu II). **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\), \(\left(-\frac{\pi}{6}\right)\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{5\pi}{6}\). **Zasady oceniania (dla sposobów IV–V)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równania \(3\cos(2x)+\sqrt{3}\sin(2x)=0\) (dla sposobu IV) ALBO zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta oraz wzorów skróconego mnożenia i przekształcenie równania do postaci \((\sqrt{3}\cos x+\sin x-2\sin x)(\sqrt{3}\cos x+\sin x+2\sin x)=0\) (dla sposobu V), ALBO zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta i obliczenie wyróżnika \(\Delta\) trójmianu kwadratowego \(3\cos^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^{2}x\) zmiennej np. \(\cos x\): \(\Delta=\left(4\sqrt{3}\sin x\right)^{2}\). **2 pkt** – przekształcenie równania do postaci \(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2x)+\frac{1}{2}\sin(2x)=0\) (dla sposobu IV) ALBO przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\cos\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) lub \(\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0\) (dla sposobu V), ALBO przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\sqrt{3}\cos x-\sin x=0\) lub \(\sin\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) (dla sposobu V). **3 pkt** – przekształcenie równania do postaci \(\sin\left(\frac{\pi}{3}+2x\right)=0\) (dla sposobu IV) ALBO przekształcenie równania do postaci \(\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=0\) (dla sposobu IV), ALBO przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\cos\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) lub \(\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0\) oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze \(\mathbb{R}\), np. \(x=\frac{\pi}{3}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\cos\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\)), \(x=-\frac{\pi}{6}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\)), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu V), – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\sqrt{3}\cos x-\sin x=0\) lub \(\sin\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze \(\mathbb{R}\), np. \(x=\frac{\pi}{3}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\sqrt{3}\cos x-\sin x=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\)), \(x=-\frac{\pi}{6}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\sin\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\)), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu V). **4 pkt** – rozwiązanie równania \(\sin\left(\frac{\pi}{3}+2x\right)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu IV), ALBO rozwiązanie równania \(\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu IV), ALBO rozwiązanie obydwu równań alternatywy \(\cos\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) lub \(\sin\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=\frac{\pi}{3}+\pi k\) oraz \(x=-\frac{\pi}{6}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu V), ALBO przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\cos\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) lub \(\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0\) oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale \([-\pi,\pi]\), np. \(\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\) i \(\frac{\pi}{3}\) (rozwiązania równania \(\cos\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), \(\left(-\frac{\pi}{6}\right)\) oraz \(\frac{5\pi}{6}\) (rozwiązania równania \(\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), (dla sposobu V), ALBO przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\sqrt{3}\cos x-\sin x=0\) lub \(\sin\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale \([-\pi,\pi]\), np. \(\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\) i \(\frac{\pi}{3}\) (rozwiązania równania \(\sqrt{3}\cos x-\sin x=0\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), \(\left(-\frac{\pi}{6}\right)\) oraz \(\frac{5\pi}{6}\) (rozwiązania równania \(\sin\left(\frac{\pi}{6}+x\right)=0\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), (dla sposobu V). **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\), \(\left(-\frac{\pi}{6}\right)\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{5\pi}{6}\). Uwagi: 1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest: a) niepoprawne zastosowanie wzoru na sumę/różnicę cosinusów/sinusów, b) niepoprawne zastosowanie wzoru na iloczyn cosinusów/sinusów, c) błędne zastosowanie nieparzystości/parzystości funkcji trygonometrycznej, ale zdający otrzyma elementarne równania trygonometryczne postaci \(\sin(ax+b)=c\), \(\cos(ax+b)=c\), gdzie \(a\neq 0\), \(a^{2}\neq 1\), \(b\neq 0\), \(c\in[-1,1]\), i rozwiązanie doprowadzi konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 2. Jeżeli zdający błędnie stosuje metodę analizy starożytnych, np. podnosi obie strony równania \(3\cos(2x)=-\sqrt{3}\sin(2x)\) do kwadratu i nie sprawdza rachunkiem, czy wszystkie otrzymane liczby są rozwiązaniami, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 3 punkty; natomiast jeżeli odrzuci co najmniej jedno rozwiązanie „obce” (ale nie odrzuci wszystkich rozwiązań „obcych”), to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający dzieli obie strony równania przez wyrażenie \(a(x)\) zawierające niewiadomą \(x\) i nie zapisze założenia \(a(x)\neq 0\), ani też nie rozważa przypadku \(a(x)=0\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VII.R6) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne.

Dla \(\cos x\neq0\), po podzieleniu równania przez \(\cos^{2}x\), otrzymujemy \(3+2\sqrt{3}\tan x-3\tan^{2}x=0\), więc \(\tan x\in\{\sqrt{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}\}\). Wartości z \([-\pi,\pi]\) to \[x\in\left\{-\frac{2\pi}{3},-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{6}\right\}.\] Wartości z \(\cos x=0\) nie spełniają równania.

**Krok \(1\).** Metoda: całe wyrażenie sprowadzamy do funkcji kąta \(2x\), korzystając ze wzoru na cosinus podwojonego kąta \(\cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x\). Otrzymamy proste równanie z tangensem. **Krok \(2\).** Grupujemy pierwszy i trzeci składnik: \[3\cos^{2}x-3\sin^{2}x=3\left(\cos^{2}x-\sin^{2}x\right)=3\cos(2x).\] Zatem równanie przyjmuje postać \[3\cos(2x)+\sqrt3\sin(2x)=0.\] **Krok \(3\).** Sprawdzamy, czy rozwiązaniem mogą być liczby, dla których \(\cos(2x)=0\). Wtedy \(\sin(2x)=1\) albo \(\sin(2x)=-1\), więc lewa strona byłaby równa \(\pm\sqrt3\neq 0\). Takich rozwiązań nie ma, a zatem możemy podzielić obie strony przez \(\cos(2x)\neq 0\). **Krok \(4\).** Po podzieleniu otrzymujemy \[3+\sqrt3\,\operatorname{tg}(2x)=0,\qquad \operatorname{tg}(2x)=-\frac{3}{\sqrt3}=-\sqrt3.\] **Krok \(5\).** Rozwiązujemy równanie z tangensem: \[2x=-\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad\text{czyli}\qquad x=-\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.\] **Krok \(6\).** Wybieramy te rozwiązania, które należą do przedziału \([-\pi,\pi]\): \[k=-1\colon\ x=-\frac{2\pi}{3},\qquad k=0\colon\ x=-\frac{\pi}{6},\qquad k=1\colon\ x=\frac{\pi}{3},\qquad k=2\colon\ x=\frac{5\pi}{6}.\] Dla \(k=-2\) mamy \(x=-\frac{7\pi}{6}\lt -\pi\), a dla \(k=3\) mamy \(x=\frac{4\pi}{3}\gt\pi\) — te odpadają. **Krok \(7\).** Sprawdzenie dla \(x=\frac{\pi}{3}\): \(2x=\frac{2\pi}{3}\), \(3\cos\frac{2\pi}{3}+\sqrt3\sin\frac{2\pi}{3}=3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=0\) — zgadza się. **Uwaga.** Dzieląc równanie przez funkcję trygonometryczną, trzeba osobno sprawdzić przypadek, w którym ta funkcja się zeruje. Tutaj nic nie tracimy, ale sam ten sprawdzian jest częścią pełnego rozwiązania. **Odpowiedź.** \(x\in\left\{-\frac{2\pi}{3},\ -\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{6}\right\}\).

**(dla sposobów I–III)** **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\left(-\tfrac{2\pi}{3}\right)\), \(\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)\), \(\tfrac{\pi}{3}\), \(\tfrac{5\pi}{6}\). **4 pkt** – zapisanie założenia \(\cos x\neq0\) oraz rozwiązanie alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\): \(\left(-\tfrac{2\pi}{3}\right)\), \(\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)\), \(\tfrac{\pi}{3}\), \(\tfrac{5\pi}{6}\) (dla sposobów I oraz III) ALBO – rozwiązanie jednego z równań alternatywy \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\), gdzie \(x\neq\tfrac{\pi}{2}+\pi k\) i \(k\in\mathbb{Z}\), w przedziale \([-\pi,\pi]\), np. \(\left(-\tfrac{2\pi}{3}\right)\) i \(\tfrac{\pi}{3}\) (rozwiązania równania \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), \(\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)\) oraz \(\tfrac{5\pi}{6}\) (rozwiązania równania \(\operatorname{tg}x=-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\tfrac{\pi}{2}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^2x=0\) (dla sposobów I oraz III), ALBO – rozwiązanie alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=\tfrac{\pi}{3}+\pi k\) oraz \(x=-\tfrac{\pi}{6}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\tfrac{\pi}{2}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^2x=0\) (dla sposobów I oraz III), ALBO – zapisanie założenia \(\cos(2x)\neq0\) oraz rozwiązanie równania \(\operatorname{tg}(2x)=-\sqrt{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\): \(\left(-\tfrac{2\pi}{3}\right)\), \(\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)\), \(\tfrac{\pi}{3}\), \(\tfrac{5\pi}{6}\) (dla sposobu II), ALBO – rozwiązanie równania \(\operatorname{tg}(2x)=-\sqrt{3}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=-\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos(2x)+\sqrt{3}\sin(2x)=0\) (dla sposobu II). **3 pkt** – zapisanie założenia \(\cos x\neq0\) oraz rozwiązanie alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=\tfrac{\pi}{3}+\pi k\) oraz \(x=-\tfrac{\pi}{6}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobów I oraz III) ALBO – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\) oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale \([-\pi,\pi]\), np. \(\left(-\tfrac{2\pi}{3}\right)\) i \(\tfrac{\pi}{3}\) (rozwiązania równania \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), \(\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)\) i \(\tfrac{5\pi}{6}\) (rozwiązania równania \(\operatorname{tg}x=-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), (dla sposobów I oraz III), ALBO – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\) oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\tfrac{\pi}{2}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^2x=0\) (dla sposobów I oraz III) ALBO – zapisanie założenia \(\cos(2x)\neq0\) oraz rozwiązanie równania \(\operatorname{tg}(2x)=-\sqrt{3}\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=-\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu II), ALBO – przekształcenie równania do postaci \(\operatorname{tg}(2x)=-\sqrt{3}\) oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos(2x)+\sqrt{3}\sin(2x)=0\) (dla sposobu II). **2 pkt** – przekształcenie równania do alternatywy równań \(\operatorname{tg}x=\sqrt{3}\) lub \(\operatorname{tg}x=-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\) (dla sposobów I oraz III) ALBO – przekształcenie równania do postaci \(-3\operatorname{tg}^2x+2\sqrt{3}\operatorname{tg}x+3=0\) oraz uzasadnienie, że liczby postaci \(\tfrac{\pi}{2}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^2x=0\) (dla sposobu I), ALBO – przekształcenie równania do postaci \(\operatorname{tg}(2x)=-\sqrt{3}\) (dla sposobu II). **1 pkt** – przekształcenie równania do postaci \(-3\operatorname{tg}^2x+2\sqrt{3}\operatorname{tg}x+3=0\) (dla sposobu I) ALBO – zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równania \(3\cos(2x)+\sqrt{3}\sin(2x)=0\) (dla sposobu II), ALBO – zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta oraz wzorów skróconego mnożenia i przekształcenie równania do postaci \((\sqrt{3}\cos x+\sin x-2\sin x)(\sqrt{3}\cos x+\sin x+2\sin x)=0\) (dla sposobu III), ALBO – uzasadnienie, że liczby postaci \(\tfrac{\pi}{2}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\), nie spełniają równania \(3\cos^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^2x=0\) (dla sposobów I oraz III). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Zasady oceniania (dla sposobów IV–V)** **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\left(-\tfrac{2\pi}{3}\right)\), \(\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)\), \(\tfrac{\pi}{3}\), \(\tfrac{5\pi}{6}\). **4 pkt** – rozwiązanie równania \(\sin\left(\tfrac{\pi}{3}+2x\right)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=-\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu IV), ALBO – rozwiązanie równania \(\cos\left(\tfrac{\pi}{6}-2x\right)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=-\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\pi k}{2}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu IV), ALBO – rozwiązanie obydwu równań alternatywy \(\cos\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) lub \(\sin\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\): \(x=\tfrac{\pi}{3}+\pi k\) oraz \(x=-\tfrac{\pi}{6}+\pi k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu V), ALBO – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\cos\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) lub \(\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0\) oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale \([-\pi,\pi]\), np. \(\left(-\tfrac{2\pi}{3}\right)\) i \(\tfrac{\pi}{3}\) (rozwiązania równania \(\cos\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), \(\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)\) oraz \(\tfrac{5\pi}{6}\) (rozwiązania równania \(\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), (dla sposobu V), ALBO – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\sqrt{3}\cos x-\sin x=0\) lub \(\sin\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale \([-\pi,\pi]\), np. \(\left(-\tfrac{2\pi}{3}\right)\) i \(\tfrac{\pi}{3}\) (rozwiązania równania \(\sqrt{3}\cos x-\sin x=0\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), \(\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)\) oraz \(\tfrac{5\pi}{6}\) (rozwiązania równania \(\sin\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) w przedziale \([-\pi,\pi]\)), (dla sposobu V). **3 pkt** – przekształcenie równania do postaci \(\sin\left(\tfrac{\pi}{3}+2x\right)=0\) (dla sposobu IV) ALBO – przekształcenie równania do postaci \(\cos\left(\tfrac{\pi}{6}-2x\right)=0\) (dla sposobu IV), ALBO – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\cos\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) lub \(\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0\) oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze \(\mathbb{R}\), np. \(x=\tfrac{\pi}{3}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\cos\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\)), \(x=-\tfrac{\pi}{6}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\)), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu V), – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\sqrt{3}\cos x-\sin x=0\) lub \(\sin\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze \(\mathbb{R}\), np. \(x=\tfrac{\pi}{3}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\sqrt{3}\cos x-\sin x=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\)), \(x=-\tfrac{\pi}{6}+\pi k\) (rozwiązania równania \(\sin\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) w zbiorze \(\mathbb{R}\)), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\) (dla sposobu V). **2 pkt** – przekształcenie równania do postaci \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cos(2x)+\tfrac{1}{2}\sin(2x)=0\) (dla sposobu IV) ALBO – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\cos\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) lub \(\sqrt{3}\cos x+3\sin x=0\) (dla sposobu V), ALBO – przekształcenie równania do postaci alternatywy równań \(\sqrt{3}\cos x-\sin x=0\) lub \(\sin\left(\tfrac{\pi}{6}+x\right)=0\) (dla sposobu V). **1 pkt** – zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równania \(3\cos(2x)+\sqrt{3}\sin(2x)=0\) (dla sposobu IV) ALBO – zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta oraz wzorów skróconego mnożenia i przekształcenie równania do postaci \((\sqrt{3}\cos x+\sin x-2\sin x)(\sqrt{3}\cos x+\sin x+2\sin x)=0\) (dla sposobu V), ALBO – zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta i obliczenie wyróżnika \(\Delta\) trójmianu kwadratowego \(3\cos^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sin^2x\) zmiennej np. \(\cos x\): \(\Delta=\left(4\sqrt{3}\sin x\right)^2\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest: a) niepoprawne zastosowanie wzoru na sumę/różnicę cosinusów/sinusów, b) niepoprawne zastosowanie wzoru na iloczyn cosinusów/sinusów, c) błędne zastosowanie nieparzystości/parzystości funkcji trygonometrycznej, ale zdający otrzyma elementarne równania trygonometryczne postaci \(\sin(ax+b)=c\), \(\cos(ax+b)=c\), gdzie \(a\neq0\), \(a^2\neq1\), \(b\neq0\), \(c\in[-1,1]\), i rozwiązanie doprowadzi konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 2. Jeżeli zdający błędnie stosuje metodę analizy starożytnych, np. podnosi obie strony równania \(3\cos(2x)=-\sqrt{3}\sin(2x)\) do kwadratu i nie sprawdza rachunkiem, czy wszystkie otrzymane liczby są rozwiązaniami, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 3 punkty; natomiast jeżeli odrzuci co najmniej jedno rozwiązanie „obce” (ale nie odrzuci wszystkich rozwiązań „obcych”), to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający dzieli obie strony równania przez wyrażenie \(a(x)\) zawierające niewiadomą \(x\) i nie zapisze założenia \(a(x)\neq0\), ani też nie rozważa przypadku \(a(x)=0\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 6.5R) Zdający stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów; 6.6R) Zdający rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne […].

\[x=\frac{k\pi}{5}\quad\text{lub}\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\]

Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów: \[\sin6x+\sin4x=2\sin5x\cos x.\] Równanie przyjmuje postać \[\sin5x(2\cos x+\sqrt3)=0.\] Zatem \[\sin5x=0\quad\text{lub}\quad\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}.\] Pierwsze równanie daje \(5x=k\pi\), czyli \(x=\frac{k\pi}{5}\). Drugie daje \[x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\]

**4 pkt** – poprawna metoda i pełny zbiór rozwiązań **3 pkt** – poprawne rozwiązanie jednego z równań \(\sin5x=0\) lub \(\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}\) **2 pkt** – przekształcenie równania do alternatywy \(\sin5x=0\) lub \(\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}\) **1 pkt** – poprawne zastosowanie wzorów na sinus sumy i różnicy albo wzoru na sumę sinusów **0 pkt** – rozwiązanie z niepoprawną metodą albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 6. R6) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne.

\[x\in\left\{-\frac{3\pi}{4},\frac\pi4,\frac{5\pi}{4}\right\}.\]

Przekształcamy równanie: \[\sin^4x+\cos^4x=\sin x\cos x.\] Korzystamy z tożsamości \[\sin^4x+\cos^4x=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x\] i z \(\sin^2x+\cos^2x=1\): \[1-2(\sin x\cos x)^2=\sin x\cos x.\] Ponieważ \(\sin2x=2\sin x\cos x\), otrzymujemy \[1-\frac12\sin^2(2x)=\frac12\sin(2x),\] \[\sin^2(2x)+\sin(2x)-2=0.\] Stąd \[\sin(2x)=1\quad\text{lub}\quad\sin(2x)=-2.\] Drugie równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych. Z pierwszego: \[2x=\frac\pi2+2\pi k,\qquad x=\frac\pi4+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\] Po ograniczeniu do \([-\pi,2\pi]\) otrzymujemy \[x\in\left\{-\frac{3\pi}{4},\frac\pi4,\frac{5\pi}{4}\right\}.\]

**4 pkt** – zapisanie, że równanie \(\sin(2x)=-2\) nie ma rozwiązań, oraz rozwiązanie równania \(\sin(2x)=1\) w zbiorze \([-\pi,2\pi]\): \(-\frac{3\pi}{4}\), \(\frac\pi4\), \(\frac{5\pi}{4}\) **3 pkt** – rozwiązanie równania \(\sin(2x)=1\) w \(\mathbb R\): \(x=\frac\pi4+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); albo wyznaczenie jego trzech rozwiązań w podanym przedziale **2 pkt** – przekształcenie równania do alternatywy \(\sin(2x)=-2\) lub \(\sin(2x)=1\) **1 pkt** – zastosowanie tożsamości \(\sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x\cos^2x\) albo równoważnego przekształcenia **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VII.R6) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne.

\[x\in\left\{\frac\pi6,\frac\pi4,\frac{5\pi}6,\frac{7\pi}6,\frac{5\pi}4,\frac{11\pi}6\right\}.\]

Korzystamy ze wzorów na sinus i cosinus podwojonego kąta: \[\sin(4x)-\sin(2x)=\sin(2x)(2\cos(2x)-1),\] a także \[4\cos^2x-3=2\cos(2x)-1.\] Równanie jest więc równoważne \[(\sin(2x)-1)(2\cos(2x)-1)=0.\] Zatem \[\sin(2x)=1\qquad\text{lub}\qquad\cos(2x)=\frac12.\] W zbiorze \([0,2\pi]\) pierwsze równanie daje \(x=\frac\pi4,\frac{5\pi}4\), a drugie \[x=\frac\pi6,\frac{5\pi}6,\frac{7\pi}6,\frac{11\pi}6.\] Łącznie otrzymujemy sześć wartości podanych w odpowiedzi.

**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny zbiór sześciu rozwiązań **4 pkt** – zapisanie alternatywy \(\sin(2x)=1\) lub \(\cos(2x)=\frac12\) i poprawne rozwiązanie jednego równania oraz częściowe rozwiązanie drugiego **3 pkt** – przekształcenie równania do postaci \((\sin(2x)-1)(2\cos(2x)-1)=0\) **2 pkt** – poprawne istotne przekształcenia prowadzące do iloczynu dwóch czynników **1 pkt** – zastosowanie wzoru na sinus lub cosinus podwojonego kąta albo równoważny istotny krok **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VII.R6) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne o stopniu trudności nie większym niż przykładowe \(4\cos2x\cos5x=2\cos7x+1\).

\[x\in\left\{\frac\pi4,\frac{7\pi}6,\frac{5\pi}4,\frac{11\pi}6\right\}.\]

Korzystamy ze wzorów na sinus i cosinus podwojonego kąta: \[2\sin x\cos x+\cos^2x-\sin^2x=1+\sin x-\cos x.\] Po przekształceniu i rozłożeniu na czynniki otrzymujemy \[0=(\sin x-\cos x)(2\sin x+1).\] Zatem \[\sin x=\cos x\qquad\text{lub}\qquad\sin x=-\frac12.\] W zbiorze \((0,2\pi)\) pierwsze równanie ma rozwiązania \[x=\frac\pi4,\qquad x=\frac{5\pi}4,\] a drugie \[x=\frac{7\pi}6,\qquad x=\frac{11\pi}6.\] Ostatecznie \[x\in\left\{\frac\pi4,\frac{7\pi}6,\frac{5\pi}4,\frac{11\pi}6\right\}.\]

**4 pkt** – poprawna metoda rozwiązania równania i poprawny zbiór rozwiązań **3 pkt** – poprawne rozwiązanie równań \(\sin x=\cos x\) oraz \(\sin x=-\frac12\) albo rozwiązanie jednego z nich w zbiorze \((0,2\pi)\) i otrzymanie dwóch właściwych wartości **2 pkt** – przekształcenie równania do postaci \((\sin x-\cos x)(2\sin x+1)=0\) **1 pkt** – zastosowanie wzorów na sinus oraz cosinus podwojonego kąta **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 6.5 R) Zdający stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów. 6.6 R) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne typu \(\sin2x=\frac12\), \(\sin2x+\cos x=1\), \(\sin x+\cos x=1\).

\[x\in\left\{0,\frac\pi6,\frac{5\pi}{6},\pi\right\}.\]

Korzystamy z tożsamości \[\sin(3x)=3\sin x-4\sin^3x.\] Równanie przyjmuje postać \[3\sin x-4\sin^3x=2\sin x,\] \[\sin x\left(1-4\sin^2x\right)=0.\] Stąd \[\sin x=0\quad\text{lub}\quad \sin x=\frac12\quad\text{lub}\quad\sin x=-\frac12.\] W przedziale \([0,\pi]\) równanie \(\sin x=-\frac12\) nie ma rozwiązań. Pozostałe równania dają \[x=0,\quad x=\pi,\quad x=\frac\pi6,\quad x=\frac{5\pi}{6}.\] Zatem \[x\in\left\{0,\frac\pi6,\frac{5\pi}{6},\pi\right\}.\]

**4 pkt** – poprawne rozwiązanie równania w zbiorze \([0,\pi]\) **3 pkt** – sprowadzenie do alternatywy \(\sin x=\frac12\), \(\sin x=-\frac12\), \(\sin x=0\), odrzucenie równania bez rozwiązań w zadanym przedziale i poprawne rozwiązanie pozostałych **2 pkt** – równoważne przekształcenie do alternatywy \(1-4\sin^2x=0\) lub \(\sin x=0\) **1 pkt** – przekształcenie równania do postaci zawierającej tylko jedną funkcję trygonometryczną zmiennej \(x\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VII.R5) Zdający korzysta ze wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów oraz na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych. VII.R6) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne.

\[x\in\left\{-\frac{5\pi}{12},-\frac\pi8,-\frac\pi{12},\frac\pi4,\frac{3\pi}{8}\right\}.\]

Zapisujemy \[\cos x=\sin\left(\frac\pi2-x\right).\] Równanie przyjmuje postać \[\sin(5x)+\sin\left(\frac\pi2-x\right)=0.\] Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów: \[2\sin\left(2x+\frac\pi4\right)\cos\left(3x-\frac\pi4\right)=0.\] Stąd \[\sin\left(2x+\frac\pi4\right)=0\quad\text{lub}\quad\cos\left(3x-\frac\pi4\right)=0.\] Pierwsze równanie daje \[x=-\frac\pi8+\frac{k\pi}{2},\] a drugie \[x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{3}.\] Po ograniczeniu do \(\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]\) otrzymujemy \[x\in\left\{-\frac{5\pi}{12},-\frac\pi8,-\frac\pi{12},\frac\pi4,\frac{3\pi}{8}\right\}.\]

**4 pkt** – poprawna metoda i wszystkie rozwiązania w podanym przedziale **3 pkt** – rozwiązanie otrzymanych rodzin równań w \(\mathbb R\), albo rozwiązanie jednej gałęzi w podanym przedziale, albo rozwiązanie wszystkich gałęzi w \(\mathbb R\) **2 pkt** – równoważne przekształcenie do równości sinusów lub cosinusów albo do alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych **1 pkt** – zastosowanie wzoru redukcyjnego i zapisanie równania z jedną funkcją trygonometryczną **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji; 2. Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych. IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** 2 x\cos 5 x=2\cos 7 x+1\).

\[x\in\left\{-\frac{5\pi}{12},-\frac\pi8,-\frac\pi{12},\frac\pi4,\frac{3\pi}{8}\right\}.\]

Zapisujemy cosinus jako sinus: \[\cos x=\sin\left(\frac\pi2-x\right).\] Równanie przyjmuje postać \[\sin(5x)+\sin\left(\frac\pi2-x\right)=0.\] Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów: \[2\sin\left(2x+\frac\pi4\right)\cos\left(3x-\frac\pi4\right)=0.\] Stąd \[\sin\left(2x+\frac\pi4\right)=0\quad\text{lub}\quad\cos\left(3x-\frac\pi4\right)=0.\] Pierwsze równanie daje \[2x+\frac\pi4=k\pi,\qquad x=-\frac\pi8+\frac{k\pi}{2}.\] Drugie równanie daje \[3x-\frac\pi4=\frac\pi2+k\pi,\qquad x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{3}.\] Po ograniczeniu do \(\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]\) otrzymujemy \[x\in\left\{-\frac{5\pi}{12},-\frac\pi8,-\frac\pi{12},\frac\pi4,\frac{3\pi}{8}\right\}.\]

**4 pkt** – poprawna metoda i wszystkie rozwiązania w podanym przedziale: \(-\frac\pi8\), \(\frac{3\pi}{8}\), \(-\frac{5\pi}{12}\), \(-\frac\pi{12}\), \(\frac\pi4\) **3 pkt** – rozwiązanie otrzymanych rodzin równań w \(\mathbb R\); albo rozwiązanie jednej gałęzi w podanym przedziale; albo rozwiązanie wszystkich gałęzi w \(\mathbb R\) **2 pkt** – równoważne przekształcenie do równości sinusów lub cosinusów; albo do alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych **1 pkt** – zastosowanie wzoru redukcyjnego i zapisanie równania z jedną funkcją trygonometryczną, na przykład \(\sin(5x)+\sin(\frac\pi2-x)=0\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Element podstawy programowej:** stosowanie wzorów redukcyjnych i wzoru na sumę sinusów oraz rozwiązywanie równań trygonometrycznych w zadanym przedziale. Klucz CKE dla tego arkusza w formule 2015 nie podaje osobnego kodu wymagania.

\[x\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right].\]

Korzystamy ze wzoru \(\cos x=\cos^2\frac x2-\sin^2\frac x2\). Po rozwinięciu lewej strony i uproszczeniu nierówności otrzymujemy \[\cos^2x\le\frac34,\] czyli \[|\cos x|\le\frac{\sqrt3}{2}.\] Warunek ten jest równoważny koniunkcji \[\cos x\le\frac{\sqrt3}{2}\qquad\text{oraz}\qquad\cos x\ge-\frac{\sqrt3}{2}.\] W przedziale \((0,\pi)\) pierwsza nierówność daje \(x\in[\frac\pi6,\pi)\), a druga \(x\in(0,\frac{5\pi}{6}]\). Ich częścią wspólną jest \[x\in\left[\frac\pi6,\frac{5\pi}{6}\right].\]

**4 pkt** – poprawne rozwiązanie nierówności w zbiorze \((0,\pi)\) **3 pkt** – poprawne rozwiązanie jednej z nierówności \(\cos x\le\frac{\sqrt3}{2}\) lub \(\cos x\ge-\frac{\sqrt3}{2}\) **2 pkt** – zapisanie nierówności \(\cos^2x\le\frac34\) jako koniunkcji dwóch nierówności **1 pkt** – przekształcenie nierówności do postaci zawierającej jedną funkcję trygonometryczną zmiennej \(x\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 i IV.2 operowanie obiektami matematycznymi oraz dostrzeganie regularności i formułowanie uzasadnionych wniosków. **Wymagania szczegółowe:** VII.6R rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych.

\[x=\frac{7\pi}{12}+k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{11\pi}{12}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\]

Korzystamy ze wzoru na iloczyn sinusa i cosinusa: \[2\sin(4x)\cos(6x)=\sin(10x)-\sin(2x).\] Zatem \[4\sin(4x)\cos(6x)=2\sin(10x)-2\sin(2x).\] Równanie przyjmuje postać \[2\sin(10x)-2\sin(2x)=2\sin(10x)+1,\] \[-2\sin(2x)=1,\] \[\sin(2x)=-\frac12.\] Stąd \[2x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi\quad\text{lub}\quad2x=\frac{11\pi}{6}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\] Po podzieleniu przez \(2\): \[x=\frac{7\pi}{12}+k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{11\pi}{12}+k\pi.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i obie rodziny rozwiązań **2 pkt** – przekształcenie do \(\sin(2x)=-\frac12\) albo \(\sin(-2x)=\frac12\) **1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru na sinus sumy/różnicy albo na sumę/różnicę sinusów prowadzące do uproszczenia równania **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VII.R6) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne o stopniu trudności nie większym niż w przykładzie \(4\cos2x\cos5x=2\cos7x+1\).

\[x\in\left\{\pi,\tfrac{7\pi}{6},\tfrac{11\pi}{6},2\pi\right\}.\]

Korzystamy ze wzoru \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\): \[3\sin^{2}x-4\sin^{2}x\cos^{2}x=\sin^{2}x\left(3-4\cos^{2}x\right)=0.\] Równanie sprowadza się do alternatywy \[\sin x=0\qquad\text{lub}\qquad \cos^{2}x=\tfrac34,\ \text{czyli}\ \cos x=\pm\tfrac{\sqrt3}{2}.\] W przedziale \(\langle\pi,2\pi\rangle\): - \(\sin x=0\) daje \(x=\pi\) oraz \(x=2\pi\), - \(\cos x=-\tfrac{\sqrt3}{2}\) daje \(x=\tfrac{7\pi}{6}\) (wartość \(\tfrac{5\pi}{6}\) leży poza przedziałem), - \(\cos x=\tfrac{\sqrt3}{2}\) daje \(x=\tfrac{11\pi}{6}\) (wartość \(\tfrac{\pi}{6}\) leży poza przedziałem). **Odpowiedź.** \(x\in\left\{\pi,\dfrac{7\pi}{6},\dfrac{11\pi}{6},2\pi\right\}\).

**4 pkt** – poprawna metoda rozwiązania równania i poprawny wynik: \(\pi\), \(\frac{7\pi}{6}\), \(\frac{11\pi}{6}\), \(2\pi\). **3 pkt** – przekształcenie równania \(3\sin^{2}x-\sin^{2}2x=0\) do alternatywy równań trygonometrycznych i rozwiązanie dwóch z otrzymanych równań w zbiorze \(\mathbb{R}\) lub jednego z nich w przedziale \(\langle\pi,\,2\pi\rangle\). **2 pkt** – zapisanie alternatywy równań: \(\sin^{2}x=0\) lub \(3-4\cos^{2}x=0\) ALBO – zapisanie alternatywy równań: \(\sin^{2}x=0\) lub \(4\sin^{2}x-1=0\), ALBO – zapisanie alternatywy równań: \(\sqrt{3}\sin x-2\sin x\cos x=0\) lub \(\sqrt{3}\sin x+2\sin x\cos x=0\), ALBO – zapisanie i rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą \(t=\cos^{2}x\) (np. \(4t^{2}-7t+3=0\) i \(t=1\) oraz \(t=\frac{3}{4}\)), ALBO – zapisanie i rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą \(t=\sin^{2}x\) (np. \(4t^{2}-t=0\) i \(t=0\) oraz \(t=\frac{1}{4}\)), ALBO – zapisanie alternatywy równań: \(\lvert\sin x\rvert=0\) lub \(\sqrt{3}-2\lvert\cos x\rvert=0\). **1 pkt** – przekształcenie równania \(3\sin^{2}x-\sin^{2}2x=0\) do jednej z poniższych postaci: \(\sin^{2}x\,(3-4\cos^{2}x)=0\) lub \(\sin^{2}x\,(4\sin^{2}x-1)=0\), lub \(4\cos^{4}x-7\cos^{2}x+3=0\), lub \(4\sin^{4}x-\sin^{2}x=0\), lub \((\sqrt{3}\sin x-\sin 2x)(\sqrt{3}\sin x+\sin 2x)=0\), lub \(\lvert\sqrt{3}\sin x\rvert=\lvert\sin 2x\rvert\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest: – podzielenie obu stron równania przez \(\sin x\) (bez stosownego założenia) – zastosowania niepoprawnej zależności \(\sqrt{a^{2}}=a\) – zastosowania niepoprawnej zależności \(\sqrt{a^{2}-b^{2}}=a-b\) i zdający konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (o ile nie nabył praw do innej punktacji). 2. Jeżeli zdający, przekształcając lewą stronę równania, zapisze ją w postaci \(\sin x\cdot(3-4\cos^{2}x)\) lub \(\sin x\cdot(\sqrt{3}-2\cos x)(\sqrt{3}+2\cos x)\), to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R6.5) Zdający stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów; R6.6) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne typu \(\sin 2x=\frac{1}{2}\), \(\sin 2x+\cos x=1\), \(\sin x+\cos x=1\).

\[x\in\left\{\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{9},\pi\right\}.\]

Dzielimy równanie przez \(2\) i stosujemy wzór na sinus sumy: \[\frac12\cos(3x)+\frac{\sqrt3}{2}\sin(3x)=-\frac12,\] \[\sin\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12.\] Stąd \[x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}k\quad\text{lub}\quad x=-\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}k,\qquad k\in\mathbb Z.\] Po ograniczeniu rozwiązań do przedziału \(\left\langle0,\pi\right\rangle\) otrzymujemy \[x=\frac{\pi}{3},\qquad x=\frac{5\pi}{9},\qquad x=\pi.\]

**4 pkt** – poprawna metoda i wszystkie trzy rozwiązania z podanego przedziału **3 pkt** – poprawne wyznaczenie obu rodzin rozwiązań w \(\mathbb R\) albo co najmniej jednego poprawnego rozwiązania w zadanym przedziale **2 pkt** – sprowadzenie do równania \(\sin(3x+\frac{\pi}{6})=-\frac12\) albo równoważnego **1 pkt** – poprawne rozpoczęcie przekształcenia trygonometrycznego **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R6.6 rozwiązywanie równań trygonometrycznych.

\[x=-\frac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\]

Dziedzinę określa warunek \(x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb Z\). Korzystając z \(\sin x=\tan x\cos x\), grupujemy wyrazy: \[6\tan x\cos x+2\sqrt3\cos x+3\tan x+\sqrt3=0,\] \[(3\tan x+\sqrt3)(2\cos x+1)=0.\] Otrzymujemy alternatywę \[\tan x=-\frac{\sqrt3}{3}\quad\text{lub}\quad\cos x=-\frac12.\] Stąd \[x=-\frac{\pi}{6}+k\pi\] lub \[x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\] gdzie \(k\in\mathbb Z\). Żadna z tych liczb nie jest wyłączona z dziedziny.

**4 pkt** – poprawna metoda i pełny zbiór rozwiązań **3 pkt** – rozwiązanie jednego z równań elementarnych \(\tan x=-\frac{\sqrt3}{3}\) albo \(\cos x=-\frac12\) **2 pkt** – sprowadzenie do alternatywy \(3\tan x+\sqrt3=0\) lub \(2\cos x+1=0\) **1 pkt** – podanie dziedziny i zapis iloczynowy \((3\tan x+\sqrt3)(2\cos x+1)=0\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. stosowanie i tworzenie strategii w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VII.R6 rozwiązywanie równań trygonometrycznych.

\[x\in\left\{0,\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\pi\right\}.\]

Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów: \[\sin x+\sin3x=2\sin2x\cos x.\] Równanie przyjmuje postać \[2\sin2x\cos x+\sin2x=0,\] \[\sin2x(2\cos x+1)=0.\] Dla \(x\in\left\langle0,\pi\right\rangle\) pierwsze równanie daje \(x=0,\frac{\pi}{2},\pi\), a drugie \(\cos x=-\frac12\), czyli \(x=\frac{2\pi}{3}\).

**4 pkt** – poprawna metoda i wszystkie cztery rozwiązania w zadanym przedziale **3 pkt** – poprawna alternatywa równań i większość rozwiązań **2 pkt** – sprowadzenie do \(\sin2x(2\cos x+1)=0\) **1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru \(\sin x+\sin3x=2\sin2x\cos x\) **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R6.5 i R6.6 stosowanie wzorów na sumę sinusów oraz rozwiązywanie równań trygonometrycznych.

\[x\in\left\{\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{3},\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{5\pi}{3}\right\}.\]

Korzystamy ze wzoru \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) i przenosimy wszystko na lewą stronę: \[2\cos^{2}x-\cos x-2\sin x\cos x+\sin x=0.\] Grupujemy wyrazy i wyłączamy wspólne czynniki: \[\cos x\left(2\cos x-1\right)-\sin x\left(2\cos x-1\right)=\left(2\cos x-1\right)\left(\cos x-\sin x\right)=0.\] Zatem \(\cos x=\tfrac12\) lub \(\sin x=\cos x\). W przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\): - \(\cos x=\tfrac12\) daje \(x=\tfrac{\pi}{3}\) oraz \(x=\tfrac{5\pi}{3}\), - \(\sin x=\cos x\) zachodzi tylko dla \(\cos x\neq0\) i jest równoważne \(\operatorname{tg}x=1\), skąd \(x=\tfrac{\pi}{4}\) oraz \(x=\tfrac{5\pi}{4}\). **Odpowiedź.** \(x\in\left\{\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{3},\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{5\pi}{3}\right\}\).

**1 pkt** – gdy zapisze równanie w postaci, w której występują funkcje trygonometryczne tego samego kąta, np.: \(2\cos^{2}x-\cos x=2\sin x\cos x-\sin x\). **2 pkt** – gdy zapisze alternatywę równań \(\cos x-\sin x=0\) lub \(2\cos x-1=0\). **3 pkt** – gdy wyznaczy rozwiązania jednego z równań \(\cos x=\frac{1}{2}\) lub \(\cos x=\sin x\) w przedziale \(\langle 0,\,2\pi\rangle\) lub w \(R\). **4 pkt** – gdy wyznaczy rozwiązania obu równań \(\cos x=\frac{1}{2}\) oraz \(\cos x=\sin x\) w przedziale \(\langle 0,\,2\pi\rangle\): \(x=\frac{1}{3}\pi\) lub \(x=\frac{5}{3}\pi\) lub \(x=\frac{1}{4}\pi\) lub \(x=\frac{5}{4}\pi\). **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający podzieli równanie przez \((\cos x-\sin x)\) albo przez \((2\cos x-1)\) bez stosownych założeń i nie rozważy przypadków, gdy to wyrażenie jest równe zero, to otrzymuje co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający przed uzyskaniem trygonometrycznych równań elementarnych popełni błędy rachunkowe i otrzyma równania elementarne, z których co najmniej jedno ma dwie serie rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, to otrzymuje co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie.

Klasyfikacja rzeczowa: przekształcanie i rozwiązywanie równań trygonometrycznych z użyciem wzorów na podwojony kąt.

\[x\in\left\{\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{12}\right\}.\]

Prawą stronę zapisujemy jako cosinus sumy: \[\frac{\sqrt2}{2}\left(\cos x-\sin x\right)=\cos x\cos\tfrac{\pi}{4}-\sin x\sin\tfrac{\pi}{4}=\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right).\] Równanie przyjmuje więc postać \(\cos(2x)=\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\), co jest równoważne alternatywie \[2x=x+\tfrac{\pi}{4}+2k\pi\qquad\text{lub}\qquad 2x=-\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)+2k\pi.\] Z pierwszej serii \(x=\tfrac{\pi}{4}+2k\pi\), z drugiej \(3x=-\tfrac{\pi}{4}+2k\pi\), czyli \(x=-\tfrac{\pi}{12}+\tfrac{2k\pi}{3}\). W przedziale \(\langle0,\pi\rangle\) pierwsza seria daje \(x=\tfrac{\pi}{4}\), a druga (dla \(k=1\)) \(x=-\tfrac{\pi}{12}+\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{7\pi}{12}\). Pozostałe wartości leżą poza przedziałem. **Odpowiedź.** \(x\in\left\{\dfrac{\pi}{4},\dfrac{7\pi}{12}\right\}\).

**1 pkt** – gdy: • zapisze alternatywę równań \(\cos x-\sin x=0\) lub \(\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) ALBO • zastosuje wzór na cosinus podwojonego argumentu i zapisze równanie \(\cos 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)\) w postaci \((\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)\) ALBO • zapisze równanie \(\cos 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)\) w postaci \(\cos 2x=\cos x\cdot\cos\frac{\pi}{4}-\sin x\cdot\sin\frac{\pi}{4}\) lub \(\cos 2x=\cos x\cdot\sin\frac{\pi}{4}-\sin x\cdot\cos\frac{\pi}{4}\) **2 pkt** – gdy: • zapisze alternatywę równań \(\cos x-\sin x=0\) lub \(\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) i spełni jeden z poniższych warunków: 1) rozwiąże równanie \(\cos x-\sin x=0\): \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą, lub \(x=\frac{\pi}{4}\), 2) przekształci równanie \(\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) do postaci \(\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{1}{2}\), 3) skorzysta z „jedynki trygonometrycznej”, zapisze układ równań \(\begin{cases}\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin^{2}x+\cos^{2}x=1\end{cases}\) i przekształci go do równania, w którym występuje jedna funkcja trygonometryczna zmiennej \(x\): \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\cos x\right)^{2}+\cos^{2}x=1\) lub \(\sin^{2}x+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\sin x\right)^{2}=1\) lub \(2\cos^{2}x-\sqrt{2}\cos x-\frac{1}{2}=0\) lub \(2\sin^{2}x-\sqrt{2}\sin x-\frac{1}{2}=0\) ALBO • przekształci równanie \(\cos 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)\) do postaci \(\cos 2x=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\) **3 pkt** – gdy: • rozwiąże równanie \(\cos x-\sin x=0\): \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą, lub \(x=\frac{\pi}{4}\) oraz spełni jeden z poniższych warunków: 1) przekształci równanie \(\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) do postaci \(\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{1}{2}\) 2) skorzysta z „jedynki trygonometrycznej”, zapisze układ równań \(\begin{cases}\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin^{2}x+\cos^{2}x=1\end{cases}\) i przekształci go do równania, w którym występuje jedna funkcja trygonometryczna zmiennej \(x\): \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\cos x\right)^{2}+\cos^{2}x=1\) lub \(\sin^{2}x+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\sin x\right)^{2}=1\) lub \(2\cos^{2}x-\sqrt{2}\cos x-\frac{1}{2}=0\) lub \(2\sin^{2}x-\sqrt{2}\sin x-\frac{1}{2}=0\) ALBO • zapisze alternatywę równań \(\cos x-\sin x=0\) lub \(\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) oraz zapisze poprawnie jedną serię rozwiązań równania \(\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\): \(\frac{\pi}{4}-x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\) lub \(\frac{\pi}{4}-x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą ALBO • zapisze poprawnie jedną serię rozwiązań równania \(\cos 2x=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\): \(2x=x+\frac{\pi}{4}+2k\pi\) lub \(2x=-\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą (bez wyznaczenia rozwiązań z danego przedziału), albo zapisze poprawnie jedno rozwiązanie w przedziale \(\langle 0,\,\pi\rangle\): \(\frac{\pi}{4}\) lub \(\frac{7\pi}{12}\) ALBO • zastosuje wzór na różnicę cosinusów i przekształci równanie \(\cos 2x=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\) do postaci: \(-2\sin\left(\frac{2x+x+\frac{\pi}{4}}{2}\right)\cdot\sin\left(\frac{2x-x-\frac{\pi}{4}}{2}\right)=0\) **4 pkt** – gdy: • rozwiąże równanie \(\cos x-\sin x=0\) w przedziale \(\langle 0,\,\pi\rangle\): \(\frac{\pi}{4}\) i spełni jeden z poniższych warunków: 1) rozwiąże równanie \(\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{1}{2}\) i poda dwie serie rozwiązań: \(\frac{\pi}{4}-x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\) oraz \(\frac{\pi}{4}-x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą (bez wyznaczenia rozwiązań z danego przedziału) 2) przekształci równanie \(2\sin^{2}x-\sqrt{2}\sin x-\frac{1}{2}=0\) do alternatywy: \(\sin x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\) lub \(\sin x=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\) ALBO przekształci równanie \(2\cos^{2}x-\sqrt{2}\cos x-\frac{1}{2}=0\) do alternatywy: \(\cos x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\) lub \(\cos x=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\) ALBO • zapisze poprawnie dwie serie rozwiązań równania \(\cos 2x=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\): \(2x=x+\frac{\pi}{4}+2k\pi\) oraz \(2x=-\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą (bez wyznaczenia rozwiązań z danego przedziału) ALBO • rozwiąże równanie \(\sin\left(\frac{3}{2}x+\frac{\pi}{8}\right)=0\) w przedziale \(\langle 0,\,\pi\rangle\): \(\frac{7\pi}{12}\) ALBO • rozwiąże równanie \(\sin\left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{8}\right)=0\) w przedziale \(\langle 0,\,\pi\rangle\): \(\frac{\pi}{4}\) ALBO • zapisze poprawnie dwie serie rozwiązań równań \(\sin\left(\frac{3}{2}x+\frac{\pi}{8}\right)=0\) i \(\sin\left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{8}\right)=0\): \(x=-\frac{\pi}{12}+\frac{2}{3}k\pi\) oraz \(x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą **5 pkt** – gdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania równania \(\cos 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)\) i poda prawidłowe rozwiązania w przedziale \(\langle 0,\,\pi\rangle\): \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{7\pi}{12}\). **Uwagi:** 1. Jeśli zdający zapisze równanie \((\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)\) i podzieli obie strony równania przez \(\cos x-\sin x\) (bez rozstrzygania sytuacji, gdy \(\cos x=\sin x\)), otrzyma równanie \(\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) i doprowadzi rozwiązanie do końca, to traktujemy to jako błąd merytoryczny, nie przekreślający całości rozwiązania i zdający może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest błąd przy przepisywaniu wzoru trygonometrycznego, np. zapisuje sinus sumy argumentów zamiast sinusa ich różnicy, i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca, to zdający może otrzymać \(3\) punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający, rozwiązując jedno z otrzymanych równań, stosuje metodę analizy starożytnych, np. podnosi obie strony równania \(\cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) do kwadratu i nie odrzuci rozwiązań obcych, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty.

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R6.6) Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne […].

\[x=-\frac{\pi}{8}+k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{\pi}{8}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\]

Mnożymy równanie przez \(2\) i korzystamy ze wzoru \(2\sin u\cos u=\sin2u\): \[\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.\] Ponieważ \(\sin(2x+\frac{\pi}{2})=\cos2x\), otrzymujemy \[\cos2x=\frac{\sqrt2}{2}.\] Stąd \[2x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi\quad\text{lub}\quad2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\] Po podzieleniu przez \(2\): \[x=-\frac{\pi}{8}+k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{\pi}{8}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\]

**4 pkt** – podanie pełnego zbioru rozwiązań: \(x=-\frac{\pi}{8}+k\pi\) lub \(x=\frac{\pi}{8}+k\pi\), \(k\in\mathbb Z\) **3 pkt** – zapisanie \(2x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi\) lub \(2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\) **2 pkt** – sprowadzenie równania do postaci \(\sin(2x+\frac{\pi}{2})=\frac{\sqrt2}{2}\) albo \(\cos2x=\frac{\sqrt2}{2}\) **1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta albo wzorów na sinus i cosinus sumy kątów **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R6.5 i R6.6 stosowanie wzorów trygonometrycznych oraz rozwiązywanie równań trygonometrycznych.

\[x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right\}.\]

Korzystamy z tożsamości \(\cos(2x)=1-2\sin^2x\) oraz \(\cos^2x=1-\sin^2x\): \[3(1-2\sin^2x)+10(1-\sin^2x)=24\sin x-3.\] Po uporządkowaniu otrzymujemy \[16\sin^2x+24\sin x-16=0,\] \[2\sin^2x+3\sin x-2=0.\] Niech \(t=\sin x\). Wtedy \[2t^2+3t-2=(2t-1)(t+2)=0,\] czyli \(t=\frac12\) lub \(t=-2\). Równanie \(\sin x=-2\) nie ma rozwiązań. W przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) równanie \(\sin x=\frac12\) ma rozwiązania \[x=\frac{\pi}{6}\quad\text{lub}\quad x=\frac{5\pi}{6}.\]

**4 pkt** – wyznaczenie obu rozwiązań: \(x=\frac{\pi}{6}\) i \(x=\frac{5\pi}{6}\) **3 pkt** – odrzucenie równania \(\sin x=-2\) i podanie co najmniej jednej serii rozwiązań równania \(\sin x=\frac12\) albo jednego rozwiązania z zadanego przedziału **2 pkt** – rozwiązanie równania kwadratowego \(2t^2+3t-2=0\) i otrzymanie \(t=-2\) oraz \(t=\frac12\) **1 pkt** – sprowadzenie równania do postaci zawierającej tylko jedną funkcję trygonometryczną tego samego kąta **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R6.6 rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych.

Dla \(k\in\mathbb Z\): \[x=k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac\pi4+k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac\pi6+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi.\]

Korzystamy z tożsamości \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) i przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę. Po wyłączeniu wspólnych czynników otrzymujemy \[2\sin x(\sin x-\cos x)(2\sin x-1)=0.\] Stąd mamy trzy równania: \[\sin x=0,\qquad \sin x=\cos x,\qquad \sin x=\frac12.\] Ich rozwiązania są następujące: \[\sin x=0\iff x=k\pi,\] \[\sin x=\cos x\iff x=\frac\pi4+k\pi,\] \[\sin x=\frac12\iff x=\frac\pi6+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\] gdzie \(k\in\mathbb Z\).

**4 pkt** – zapisanie wszystkich czterech serii rozwiązań **3 pkt** – poprawne rozwiązanie dwóch spośród trzech równań elementarnych **2 pkt** – sprowadzenie równania do postaci \(2\sin x(\sin x-\cos x)(2\sin x-1)=0\) **1 pkt** – zapisanie równania w częściowo rozłożonej postaci iloczynowej **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R6.6 rozwiązywanie równań trygonometrycznych.

\[x\in\left\{\frac{7\pi}{30},\frac{11\pi}{30},\frac{19\pi}{30},\frac{23\pi}{30}\right\}.\]

Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów: \[2\sin7x\cos2x=\sin9x+\sin5x.\] Po podzieleniu równania przez \(2\) otrzymujemy \[2\sin7x\cos2x=\sin9x-\frac12,\] a zatem \[\sin9x+\sin5x=\sin9x-\frac12,\] \[\sin5x=-\frac12.\] Stąd \[5x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi\quad\text{lub}\quad5x=\frac{11\pi}{6}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\] Po wybraniu wartości należących do \((0,\pi)\) dostajemy \[x\in\left\{\frac{7\pi}{30},\frac{11\pi}{30},\frac{19\pi}{30},\frac{23\pi}{30}\right\}.\]

**4 pkt** – podanie wszystkich czterech rozwiązań w przedziale \((0,\pi)\) **3 pkt** – zapisanie obu rodzin rozwiązań równania \(\sin5x=-\frac12\) w zbiorze liczb rzeczywistych **2 pkt** – sprowadzenie równania do postaci \(\sin5x=-\frac12\) **1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru \(\sin9x+\sin5x=2\sin7x\cos2x\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

Klucz CKE dla czerwca 2019 nie zawiera tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** trygonometria - wzory przekształcające i równania trygonometryczne.

\[x=k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac\pi3+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=-\frac\pi3+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\]

Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów: \[\sin\left(x-\frac\pi3\right)+\sin\left(x+\frac\pi3\right)=2\sin x\cos\frac\pi3=\sin x.\] Równanie przyjmuje więc postać \[\sin x\cos x=\frac12\sin x,\] czyli \[\sin x\left(\cos x-\frac12\right)=0.\] Z pierwszego czynnika otrzymujemy \(x=k\pi\). Z drugiego: \(\cos x=\frac12\), a więc \(x=\frac\pi3+2k\pi\) lub \(x=-\frac\pi3+2k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb Z\).

**4 pkt** – podanie wszystkich trzech rodzin rozwiązań **3 pkt** – poprawne rozwiązanie jednego z dwóch równań \(\sin x=0\), \(\cos x=\frac12\) i częściowe rozwiązanie drugiego **2 pkt** – sprowadzenie równania do postaci \(\sin x(\cos x-\frac12)=0\) **1 pkt** – poprawne przekształcenie sumy sinusów do \(\sin x\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R6.5 stosowanie wzorów na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów oraz na sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów.

\[x\in\left\{0,\frac{7\pi}{18},\frac{11\pi}{18},\frac{2\pi}{3}\right\}.\]

Korzystamy ze wzoru \(\sin6x=2\sin3x\cos3x\): \[2\sin3x\cos3x+\cos3x=2\sin3x+1,\] \[(2\sin3x+1)(\cos3x-1)=0.\] Stąd \[\sin3x=-\frac12\qquad\text{lub}\qquad\cos3x=1.\] Dla \(x\in[0,\pi]\) mamy \(3x\in[0,3\pi]\). Pierwsze równanie daje \(3x=\frac{7\pi}{6}\) lub \(3x=\frac{11\pi}{6}\), a drugie \(3x=0\) lub \(3x=2\pi\). Zatem \[x\in\left\{0,\frac{7\pi}{18},\frac{11\pi}{18},\frac{2\pi}{3}\right\}.\]

**4 pkt** – podanie wszystkich czterech rozwiązań w przedziale \([0,\pi]\) **3 pkt** – zapisanie pełnych serii rozwiązań równań \(\sin3x=-\frac12\) i \(\cos3x=1\) albo poprawne rozwiązanie jednego z nich w zadanym przedziale **2 pkt** – otrzymanie dwóch równań \(\sin3x=-\frac12\) oraz \(\cos3x=1\) **1 pkt** – zastosowanie wzoru na sinus kąta podwojonego i zapisanie \(2\sin3x\cos3x+\cos3x=2\sin3x+1\) **0 pkt** – brak istotnego postępu

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R6.5 zdający stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów oraz sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów. R6.6 zdający rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne.

\[x\in\left\{\frac{5\pi}{12},\frac{13\pi}{12}\right\}.\]

Korzystamy ze wzoru \(\cos\alpha=\sin(\frac\pi2-\alpha)\): \[\cos\left(x+\frac\pi4\right)=\sin\left(\frac\pi4-x\right)=-\sin\left(x-\frac\pi4\right).\] Równanie jest więc równoważne \[2\sin\left(x-\frac\pi4\right)=1,\qquad \sin\left(x-\frac\pi4\right)=\frac12.\] Stąd \[x=\frac{5\pi}{12}+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{13\pi}{12}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\] W przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) otrzymujemy \(x=\frac{5\pi}{12}\) lub \(x=\frac{13\pi}{12}\).

**4 pkt** – podanie obu rozwiązań z przedziału: \(\frac{5\pi}{12}\) i \(\frac{13\pi}{12}\) **3 pkt** – rozwiązanie równania w zbiorze liczb rzeczywistych: \(x=\frac{5\pi}{12}+2k\pi\) lub \(x=\frac{13\pi}{12}+2k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb Z\) **2 pkt** – doprowadzenie do \(\sin(x-\frac\pi4)=\frac12\) **1 pkt** – poprawne użycie wzoru redukcyjnego, prowadzące do równania \(3\sin(x-\frac\pi4)+\sin(\frac\pi2-(x+\frac\pi4))=1\) **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Klasyfikacja CKE:** trygonometria - wzory redukcyjne i rozwiązywanie równań trygonometrycznych w przedziale.

\[x\in\left\{\tfrac{2\pi}{3},\pi,\tfrac{4\pi}{3}\right\}.\]

Sprowadzamy równanie do jednej funkcji trygonometrycznej tego samego argumentu, korzystając ze wzoru \(\cos(2x)=2\cos^{2}x-1\): \[2\cos^{2}x-1+3\cos x=-2,\qquad 2\cos^{2}x+3\cos x+1=0.\] Podstawiamy \(t=\cos x\), przy czym \(t\in\langle-1,1\rangle\): \[2t^{2}+3t+1=0,\qquad (2t+1)(t+1)=0,\] skąd \(t=-\tfrac12\) lub \(t=-1\); obie wartości należą do przedziału \(\langle-1,1\rangle\). Wracamy do zmiennej \(x\) i ograniczamy się do przedziału \([0,2\pi]\): - \(\cos x=-\tfrac12\) daje \(x=\tfrac{2\pi}{3}\) oraz \(x=\tfrac{4\pi}{3}\), - \(\cos x=-1\) daje \(x=\pi\). **Odpowiedź.** \(x\in\left\{\dfrac{2\pi}{3},\pi,\dfrac{4\pi}{3}\right\}\).

**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający zapisze podane równanie w postaci, w której występuje tylko jedna funkcja trygonometryczna tego samego argumentu, np. \(2\cos^2x-1+3\cos x=-2\), i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest istotny: zdający zapisze, że równanie \(2\cos^2x+3\cos x+1=0\) ma dwa rozwiązania \(\cos x=-1\) lub \(\cos x=-\tfrac{1}{2}\), i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający albo rozwiąże jedno z równań \(\cos x=-1\) lub \(\cos x=-\tfrac{1}{2}\) w przedziale \((0,2\pi)\), albo wyznaczy wszystkie rozwiązania równań \(\cos x=-1\) i \(\cos x=-\tfrac{1}{2}\) w zbiorze \(R\), i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. **4 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający wyznaczy wszystkie rozwiązania równania w podanym przedziale: […].

IV. Użycie i tworzenie strategii. 6. Trygonometria. Zdający rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne oraz posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych (R6.6, R6.4).

\[x\in\left(\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right).\]

Dla każdego \(x\in\mathbb R\) mamy \(2\sin x-3<0\), ponieważ \(\sin x\leq1\). Iloczyn jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy również drugi czynnik jest ujemny: \[2\sin x+1<0,\qquad \sin x<-\frac12.\] W przedziale \((0,2\pi)\) nierówność ta jest spełniona dla \[x\in\left(\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right).\]

**3 pkt** – zauważenie, że \(2\sin x-3<0\) dla każdego \(x\in\mathbb R\), i poprawne rozwiązanie \(\sin x<-\frac12\): \(x\in(\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6})\) **2 pkt** – zauważenie sprzeczności warunku \(\sin x>\frac32\) albo poprawne rozwiązanie nierówności \(\sin x<-\frac12\), a następnie zakończenie lub dalszy błąd **1 pkt** – sprowadzenie iloczynu do alternatywy \(\sin x<-\frac12\) lub \(\sin x>\frac32\) **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Klasyfikacja CKE:** trygonometria - nierówności trygonometryczne i zbiór wartości funkcji sinus.

x∈(π/\(6\),π/\(2\))∪(π/\(2\),\(3\pi \)/\(2\))∪(\(3\pi \)/\(2\),\(11\pi \)/\(6\)). Ponieważ co\(s^{2}\)x>\(0\) w dziedzinie wyrażenia, nierówność jest równoważna \(2cosx\)−√\(3<0\), czyli cosx<√\(\frac{3}{2}\), z wyłączeniem miejsc zerowych mianownika.

**Krok \(1\).** Mamy nierówność z ułamkiem. Zamiast cokolwiek mnożyć, przyjrzyjmy się mianownikowi: \(\cos^2x\) jako kwadrat nigdy nie jest ujemny, a tam gdzie wyrażenie jest określone, jest wręcz dodatni. Znak całego ułamka zależy więc wyłącznie od licznika. **Krok \(2\).** Ustalamy dziedzinę: mianownik nie może być zerem, czyli \(\cos x\neq0\). W przedziale \((0,2\pi)\) wyklucza to \[x\neq\frac{\pi}{2}\qquad\text{oraz}\qquad x\neq\frac{3\pi}{2}.\] **Krok \(3\).** Dla pozostałych \(x\) mamy \(\cos^2x\gt 0\), więc nierówność jest równoważna warunkowi na licznik: \[2\cos x-\sqrt3\lt 0,\qquad\text{czyli}\qquad \cos x\lt \frac{\sqrt3}{2}.\] **Krok \(4\).** Znajdujemy kąty, dla których cosinus jest równy \(\frac{\sqrt3}{2}\). W pierwszej ćwiartce jest to \(x=\frac{\pi}{6}\), a drugi taki kąt w przedziale \((0,2\pi)\) to \(x=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}\). **Krok \(5\).** Z wykresu cosinusa (albo z koła trygonometrycznego) odczytujemy, że w przedziale \((0,2\pi)\) wartości mniejsze od \(\frac{\sqrt3}{2}\) cosinus przyjmuje dokładnie między tymi dwoma kątami: \[x\in\left(\frac{\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}\right).\] **Krok \(6\).** Z tego przedziału musimy jeszcze usunąć liczby wykluczone w kroku \(2\), czyli \(\frac{\pi}{2}\) i \(\frac{3\pi}{2}\) — obie do niego należą, więc rozcinają go na trzy części. **Krok \(7\).** Otrzymujemy zbiór rozwiązań \[x\in\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2},\frac{11\pi}{6}\right).\] **Uwaga.** Punkty \(\frac{\pi}{2}\) i \(\frac{3\pi}{2}\) spełniają nierówność \(\cos x\lt \frac{\sqrt3}{2}\), ale wyrażenie z zadania nie jest w nich w ogóle określone — dlatego trzeba je wyciąć. Nierówność jest ostra, więc końce \(\frac{\pi}{6}\) i \(\frac{11\pi}{6}\) też nie należą do rozwiązania. **Odpowiedź.** \(x\in\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2},\frac{11\pi}{6}\right)\).

**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: zdający zapisze, że nierówność […] jest równoważna koniunkcji \(\cos^2x\) […] i \(2\cos x-\sqrt3<0\), i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający albo zapisze, że \(\cos^2x\) […] dla […], gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą, albo zapisze, że \(\cos x\) […], albo rozwiąże nierówność \(\cos x<\tfrac{\sqrt3}{2}\) w zbiorze liczb rzeczywistych, albo rozwiąże nierówność \(\cos x<\tfrac{\sqrt3}{2}\) w przedziale \((0,2\pi)\), i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający zapisze, że \(\cos^2x\) […] dla \(x\) […], gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą, oraz rozwiąże nierówność \(\cos x<\tfrac{\sqrt3}{2}\) w zbiorze liczb rzeczywistych, i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. **4 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający rozwiąże nierówność […] w przedziale \((0,2\pi)\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. 6. Trygonometria. Zdający rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne oraz posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych (R6.6, R6.4).

\[x\in\left\{-\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6}\right\}.\]

Korzystamy z \(\cos^2x=1-\sin^2x\) i przekształcamy równanie: \[(4\sin^2x-1)(\sin x+1)=0,\] \[(2\sin x-1)(2\sin x+1)(\sin x+1)=0.\] W przedziale \((-\pi,0)\) sinus jest ujemny, więc warunek \(\sin x=\frac12\) odrzucamy. Z \(\sin x=-\frac12\) otrzymujemy \(x=-\frac{5\pi}{6}\) lub \(x=-\frac{\pi}{6}\), a z \(\sin x=-1\) otrzymujemy \(x=-\frac{\pi}{2}\).

**4 pkt** – podanie wszystkich trzech rozwiązań w wymaganym przedziale **3 pkt** – poprawne rozwiązanie co najmniej jednego z trzech równań składowych w przedziale **2 pkt** – zapisanie alternatywy \(\sin x=\frac12\), \(\sin x=-\frac12\) lub \(\sin x=-1\) **1 pkt** – sprowadzenie prawej strony do \(1-4\sin^2x\) **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** równania trygonometryczne i tożsamość \(\sin^2x+\cos^2x=1\).

**C.** Równanie ma dokładnie \(3\) rozwiązania.

Równanie przekształcamy do postaci \[\sin x(\sin x-1)=0.\] Zatem \(\sin x=0\) lub \(\sin x=1\). W przedziale \([0,\pi]\) otrzymujemy odpowiednio \(x=0\), \(x=\pi\) oraz \(x=\frac\pi2\). Są więc dokładnie trzy rozwiązania.

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **C** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi. **Wymagania szczegółowe:** 6.6. R. Zdający rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne, w tym równania typu \(\sin^2x=\frac12\), \(\sin^2x+\cos x=1\), \(\sin x+\cos x=1\).

Dla \(k\in\mathbb Z\): \[x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}\quad\text{lub}\quad x=\frac\pi{18}+\frac{2k\pi}{3}\quad\text{lub}\quad x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}.\]

Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów: \[\sin5x+\sin x=2\sin3x\cos2x.\] Równanie przyjmuje więc postać \[2\sin3x\cos2x-\cos2x=0,\] \[\cos2x(2\sin3x-1)=0.\] Stąd \(\cos2x=0\) lub \(\sin3x=\frac12\). Pierwsze równanie daje \[x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}.\] Z drugiego otrzymujemy \[3x=\frac\pi6+2k\pi\quad\text{lub}\quad3x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\] a zatem \[x=\frac\pi{18}+\frac{2k\pi}{3}\quad\text{lub}\quad x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – podanie wszystkich trzech rodzin rozwiązań **3 pkt** – poprawne rozłożenie na czynniki i rozwiązanie obu równań z drobną usterką zapisu **2 pkt** – doprowadzenie do \(\cos2x(2\sin3x-1)=0\) **1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru na sumę sinusów **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający tworzy strategię rozwiązania problemu. **Wymagania szczegółowe:** 6.5. R. Zdający stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów oraz na sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów. 6.6. R. Zdający rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne.

\[x\in\left(-\frac{13\pi}{15},-\frac{11\pi}{15}\right)\cup\left(-\frac{7\pi}{15},-\frac{5\pi}{15}\right)\cup\left(-\frac\pi{15},\frac\pi{15}\right)\cup\left(\frac{5\pi}{15},\frac{7\pi}{15}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{15},\frac{13\pi}{15}\right).\]

Nierówność \(\cos5x>\frac12\) jest równoważna układowi przedziałów \[-\frac\pi3+2k\pi<5x<\frac\pi3+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.\] Po podzieleniu przez \(5\) otrzymujemy \[-\frac\pi{15}+\frac{2k\pi}{5}<x<\frac\pi{15}+\frac{2k\pi}{5}.\] Przecinając te przedziały z \([-\pi,\pi]\), dostajemy \[\left(-\frac{13\pi}{15},-\frac{11\pi}{15}\right)\cup\left(-\frac{7\pi}{15},-\frac{5\pi}{15}\right)\cup\left(-\frac\pi{15},\frac\pi{15}\right)\cup\left(\frac{5\pi}{15},\frac{7\pi}{15}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{15},\frac{13\pi}{15}\right).\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawna suma pięciu przedziałów w zakresie \([-\pi,\pi]\) **1 pkt** – poprawna rodzina przedziałów \(-\frac\pi{15}+\frac{2k\pi}{5}<x<\frac\pi{15}+\frac{2k\pi}{5}\) **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi. **Wymagania szczegółowe:** 6.4. R. Zdający posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych, między innymi przy rozwiązywaniu nierówności typu \(\sin x>a\), \(\cos x\leq a\), \(\tan x>a\).

**A.** Równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) zachodzi oszacowanie \[|2\sin x+3\cos x|\leq\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}<6.\] Lewa strona nie może więc przyjąć wartości \(6\), także w przedziale \((0,2\pi)\).

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 6. Trygonometria - rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych (R6.6).

\[x\in\left\langle\frac{7\pi}{18},\frac{11\pi}{18}\right\rangle\cup\left\langle\frac{19\pi}{18},\frac{23\pi}{18}\right\rangle\cup\left\langle\frac{31\pi}{18},\frac{35\pi}{18}\right\rangle.\]

Dzieląc nierówność przez \(-2\), zmieniamy zwrot znaku: \[\sin(3x)\leq-\frac12.\] Dla liczby całkowitej \(k\) mamy \[3x\in\left\langle\frac{7\pi}{6}+2k\pi,\frac{11\pi}{6}+2k\pi\right\rangle.\] Po podzieleniu przez \(3\): \[x\in\left\langle\frac{7\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3},\frac{11\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}\right\rangle.\] W przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) odpowiada to wartościom \(k=0,1,2\), stąd \[x\in\left\langle\frac{7\pi}{18},\frac{11\pi}{18}\right\rangle\cup\left\langle\frac{19\pi}{18},\frac{23\pi}{18}\right\rangle\cup\left\langle\frac{31\pi}{18},\frac{35\pi}{18}\right\rangle.\]

**4 pkt** – poprawny zbiór rozwiązań w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) **3 pkt** – poprawne ogólne rozwiązanie dla \(x\), lecz niepełne lub częściowo błędne ograniczenie do zadanego przedziału **2 pkt** – poprawne ogólne rozwiązanie nierówności dla argumentu \(3x\) **1 pkt** – poprawne sprowadzenie do nierówności \(\sin(3x)\leq-\frac12\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający interpretuje pojęcia matematyczne i operuje obiektami matematycznymi. **Wymagania szczegółowe:** Zdający rozwiązuje nierówności trygonometryczne i ogranicza ich rozwiązania do zadanego przedziału.

\[x=\frac{k\pi}{2}\quad\text{lub}\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Stosujemy wzór na różnicę sinusów \[\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\,\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\] dla \(\alpha=5x\) i \(\beta=x\): \[\sin5x-\sin x=2\cos3x\,\sin2x=0.\] Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się jeden z czynników: \[\sin2x=0\quad\text{lub}\quad\cos3x=0.\] Z pierwszego równania \(2x=k\pi\), czyli \[x=\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.\] Z drugiego \(3x=\frac{\pi}{2}+k\pi\), czyli \[x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.\] **Odpowiedź.** \(x=\frac{k\pi}{2}\) lub \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą.

**Schemat oceniania I sposobu rozwiązania** **1 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zapisanie równania w postaci iloczynowej, np. \(\sin 2x\cos 3x=0\). **2 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zapisanie rozwiązań równania \(\sin 2x=0\): \(x=\frac{k\pi}{2}\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą, albo \(\cos 3x=0\): \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. **3 pkt** – rozwiązanie pełne: zapisanie wszystkich rozwiązań równania \(\sin 5x-\sin x=0\): \(x=\frac{k\pi}{2}\) lub \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. **Schemat oceniania II sposobu rozwiązania** **1 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zapisanie jednej z zależności: \(5x=x+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą, lub \(5x=\pi-x+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. **2 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zapisanie obu zależności: \(5x=x+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą, oraz \(5x=\pi-x+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. **3 pkt** – rozwiązanie pełne: zapisanie wszystkich rozwiązań równania \(\sin 5x-\sin x=0\): \(x=\frac{k\pi}{2}\) lub \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. **Uwagi** 1. Jeżeli zdający zapisze jedynie \(5x=x\), to otrzymuje \(0\) punktów. 2. Jeżeli zdający zapisze \(5x=x\) oraz \(5x=\) […], to otrzymuje \(1\) punkt. 3. Jeżeli zdający zapisze tylko jedną z zależności \(5x=x+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą, lub \(5x=\pi-x+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą, i w rezultacie uzyska tylko jedną serię rozwiązań: \(x=\) […] albo \(x=\) […], gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą, to otrzymuje \(2\) punkty.

Zadanie 11. (0–3) Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, spełniające równanie sin 5x  sin x  0 . IV. Użycie i tworzenie R6.5. Zdający stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy strategii kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów. Rozwiązanie (I sposób): Korzystamy ze wzoru na różnicę sinusów i zapisujemy równanie w postaci 2sin 2x cos 3x  0 zatem sin 2x  0 lub cos 3x  0 stąd otrzymujemy kolejno: k sin 2x  0 , gdy 2x  k czyli x  , gdzie k jest liczbą całkowitą, 2   k cos 3x  0 , gdy 3x   k czyli x   , gdzie k jest liczbą całkowitą. 2 6 3 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp – 1 p. Zapisanie równania w postaci iloczynowej np. sin 2x cos 3x  0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania – 2 p. Zapisanie rozwiązań równania k  sin 2x  0 : x  , gdzie k jest liczbą całkowitą 2 albo  k  cos 3x  0 : x   , gdzie k jest liczbą całkowitą. 6 3 Rozwiązanie pełne – 3 p. k  k Zapisanie wszystkich rozwiązań równania sin 5x  sin x  0 : x  lub x   , gdzie k 2 6 3 jest liczbą całkowitą. Rozwiązanie (II sposób): Zapisujemy równanie w postaci sin 5x  sin x . Z własności funkcji sinus wynika, że 5x  x  2k, gdzie k jest liczbą całkowitą lub 5x  x  2k, gdzie k jest liczbą całkowitą, zatem k 4x  2k, czyli x  , gdzie k jest liczbą całkowitą 2 lub  k 6x  2k, czyli x   , gdzie k jest liczbą całkowitą. 6 3 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp – 1 p. Zapisanie jednej z zależności: 5x  x  2k, gdzie k jest liczbą całkowitą lub 5x  x  2k, gdzie k jest liczbą całkowitą. Pokonanie zasadniczych trudności zadania – 2 p. Zapisanie obu zależności: 5x  x  2k, gdzie k jest liczbą całkowitą oraz 5x  x  2k, gdzie k jest liczbą całkowitą. Rozwiązanie pełne – 3 p. k  k Zapisanie wszystkich rozwiązań równania sin 5x  sin x  0 : x  lub x   , gdzie k 2 6 3 jest liczbą całkowitą. Uwagi 1. Jeżeli zdający zapisze jedynie 5x  x , to otrzymuje 0 punktów. 2. Jeżeli zdający zapisze 5x  x oraz 5x  x , to otrzymuje 1 punkt. 3. Jeżeli zdający zapisze tylko jedną z zależności 5x  x  2k, gdzie k jest liczbą całkowitą lub 5x  x  2k, gdzie k jest liczbą całkowitą i w rezultacie uzyska tylko jedną serię k  k rozwiązań: x  albo x   , gdzie k jest liczbą całkowitą, to otrzymuje 2 punkty. 2 6 3

\[x=\frac{\pi}{6}\quad\text{lub}\quad x=\frac{3\pi}{2}.\]

Przenosimy \(\sin x\) na prawą stronę i korzystamy ze wzoru redukcyjnego: \[\sqrt3\cos x-\sin x=1,\] \[2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1.\] Zatem \[\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac12.\] Stąd \[x+\frac{\pi}{6}=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z.\] Po ograniczeniu do przedziału \(\langle0,2\pi\rangle\) otrzymujemy dokładnie dwa rozwiązania: \[x=\frac{\pi}{6},\qquad x=\frac{3\pi}{2}.\]

**4 pkt** – podanie obu rozwiązań i uzasadnienie, że są wszystkimi rozwiązaniami w zadanym przedziale **3 pkt** – podanie obu poprawnych rozwiązań bez pełnego uzasadnienia kompletności albo jedno rozwiązanie z poprawnym sprawdzeniem **2 pkt** – poprawne sprowadzenie równania do równania jednej funkcji trygonometrycznej i zapis rozwiązania ogólnego **1 pkt** – poprawne przekształcenie do postaci \(\sqrt3\cos x-\sin x=1\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** Zdający rozwiązuje równania trygonometryczne oraz ogranicza rozwiązania do wskazanego przedziału.

\(x\in\left\{\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{4},\frac{5\pi}{3}\right\}\). Dziedzinę ogranicza warunek \(\cos x\neq 0\). Równanie zapisujemy w postaci iloczynowej \(\left(2\cos x-1\right)\left(\operatorname{tg}x-1\right)=0\), więc rozwiązujemy \(\cos x=\frac{1}{2}\) lub \(\operatorname{tg}x=1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\).

**Krok \(1\).** Metoda: przenosimy wszystko na jedną stronę i grupujemy wyrazy tak, by otrzymać postać iloczynową. Wtedy iloczyn jest zerem dokładnie wtedy, gdy zeruje się jeden z czynników. **Krok \(2\).** Ustalamy dziedzinę. Funkcja \(\operatorname{tg}x\) jest określona dla \(\cos x\neq 0\), więc w przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\) musimy wykluczyć \[x=\frac{\pi}{2}\qquad\text{oraz}\qquad x=\frac{3\pi}{2}.\] **Krok \(3\).** Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: \[2\operatorname{tg}x\cdot\cos x+1-2\cos x-\operatorname{tg}x=0.\] **Krok \(4\).** Grupujemy: pierwszy wyraz z trzecim, a czwarty z drugim: \[\operatorname{tg}x\left(2\cos x-1\right)-\left(2\cos x-1\right)=0,\] \[\left(2\cos x-1\right)\left(\operatorname{tg}x-1\right)=0.\] **Krok \(5\).** Iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się któryś z czynników: \[\cos x=\frac{1}{2}\qquad\text{lub}\qquad \operatorname{tg}x=1.\] **Krok \(6\).** Rozwiązujemy pierwsze równanie w przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\). Wartość \(\frac{1}{2}\) cosinus przyjmuje dla \[x=\frac{\pi}{3}\qquad\text{oraz}\qquad x=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}.\] **Krok \(7\).** Rozwiązujemy drugie równanie. Rozwiązaniami \(\operatorname{tg}x=1\) są liczby \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\); w przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\) są to \[x=\frac{\pi}{4}\qquad\text{oraz}\qquad x=\frac{5\pi}{4}.\] **Krok \(8\).** Wszystkie cztery liczby należą do dziedziny (żadna nie jest równa \(\frac{\pi}{2}\) ani \(\frac{3\pi}{2}\)), więc wszystkie są rozwiązaniami. **Uwaga.** Nie wolno skracać obu stron przez \(2\cos x-1\), bo dla \(\cos x=\frac{1}{2}\) dzielilibyśmy przez zero i stracilibyśmy połowę rozwiązań. Dlatego zamiast dzielić, wyłączamy wspólny czynnik przed nawias. **Odpowiedź.** \(x\in\left\{\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{5\pi}{3}\right\}\).

**1 pkt** – zdający zapisze równanie w postaci iloczynowej: \((2\cos x-1)(\operatorname{tg}x-1)=0\). **2 pkt** – zdający zapisze alternatywę dwóch równań, np.: \(\cos x=\tfrac{1}{2}\) lub \(\operatorname{tg}x=1\). **3 pkt** – zdający rozwiąże jedno z równań w przedziale \((0,2\pi)\): \(\cos x=\tfrac{1}{2}\) dla \(x=\tfrac{\pi}{3}\) lub \(x=\tfrac{5\pi}{3}\) (\(x=60^\circ\), \(x=300^\circ\)), albo \(\operatorname{tg}x=1\) dla \(x=\tfrac{\pi}{4}\) lub \(x=\tfrac{5\pi}{4}\) (\(x=45^\circ\), \(x=225^\circ\)). **4 pkt** – zdający wyznaczy wszystkie rozwiązania danego równania w przedziale \((0,2\pi)\): \(x=\tfrac{\pi}{3}\) lub \(x=\tfrac{\pi}{4}\) lub \(x=\tfrac{5\pi}{4}\) lub \(x=\tfrac{5\pi}{3}\); albo \(x=60^\circ\) lub \(x=45^\circ\) lub \(x=225^\circ\) lub \(x=300^\circ\).

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: rozwiązanie równania trygonometrycznego w zadanym przedziale.

Rozwiązania w przedziale [\(0\),\(2\pi \)] to x=π/\(2\), \(2\pi \)/\(3\), \(4\pi \)/\(3\) oraz \(3\pi \)/\(2\). Korzystamy z cos \(2x\)=\(2co\)\(s^{2}\)x−\(1\) i otrzymujemy cos x(\(2cos\) x+\(1\))=\(0\), więc cos x=\(0\) lub cos x=−\(\frac{1}{2}\).

**Krok \(1\).** W równaniu występują funkcje dwóch różnych argumentów: \(2x\) oraz \(x\). Zanim cokolwiek policzymy, musimy sprowadzić je do jednego argumentu — służy do tego wzór na cosinus podwojonego kąta. **Krok \(2\).** Spośród trzech wersji tego wzoru wybieramy tę zapisaną przez cosinus, bo w równaniu jest już \(\cos x\): \[\cos2x=2\cos^2x-1.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy i porządkujemy: \[2\cos^2x-1+\cos x+1=0,\] \[2\cos^2x+\cos x=0.\] **Krok \(4\).** Wyrazy mają wspólny czynnik \(\cos x\), więc wyłączamy go przed nawias: \[\cos x\left(2\cos x+1\right)=0.\] **Krok \(5\).** Iloczyn jest zerem, gdy przynajmniej jeden z czynników jest zerem: \[\cos x=0\qquad\text{lub}\qquad \cos x=-\frac12.\] **Krok \(6\).** W przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) cosinus zeruje się dla \[x=\frac{\pi}{2}\qquad\text{oraz}\qquad x=\frac{3\pi}{2}.\] **Krok \(7\).** Cosinus jest równy \(-\frac12\) dla kątów drugiej i trzeciej ćwiartki o kącie podstawowym \(\frac{\pi}{3}\): \[x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\qquad\text{oraz}\qquad x=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}.\] **Uwaga.** Po dojściu do \(2\cos^2x+\cos x=0\) nie wolno skrócić obu stron przez \(\cos x\) — stracilibyśmy dwa rozwiązania, dla których \(\cos x=0\). Zawsze wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i rozpatrujemy alternatywę. **Odpowiedź.** \(x=\dfrac{\pi}{2}\), \(x=\dfrac{2\pi}{3}\), \(x=\dfrac{4\pi}{3}\) lub \(x=\dfrac{3\pi}{2}\).

**1 pkt** – zdający zapisze równanie w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej tego samego argumentu, np. \(2\cos^{2}x+\cos x=0\), i na tym zakończy. **2 pkt** – zdający zapisze alternatywę \(\cos x=0\) lub \(\cos x=-\tfrac{1}{2}\), albo wprowadzi pomocniczą niewiadomą, np. \(t=\cos x\), i zapisze, że \(t=0\) lub \(t=-\tfrac{1}{2}\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – zdający rozwiąże równanie \(\cos x=0\) w przedziale \((0,2\pi)\): \(x=\tfrac{\pi}{2}\) lub \(x=\tfrac{3\pi}{2}\), albo rozwiąże równanie \(\cos x=-\tfrac{1}{2}\) w przedziale \((0,2\pi)\): \(x=\tfrac{2\pi}{3}\) lub \(x=\tfrac{4\pi}{3}\). **4 pkt** – zdający zapisze rozwiązania obu równań w przedziale \((0,2\pi)\): \(\cos x=0\) dla \(x=\tfrac{\pi}{2}\) lub \(x=\tfrac{3\pi}{2}\) (albo \(x=90^\circ\) lub \(x=270^\circ\)), \(\cos x=-\tfrac{1}{2}\) dla \(x=\tfrac{2\pi}{3}\) lub \(x=\tfrac{4\pi}{3}\) (albo \(x=120^\circ\) lub \(x=240^\circ\)). Nie wymagamy, aby zdający zapisał warunek np. \(t\in\langle-1,1\rangle\), o ile z rozwiązania wynika, że zdający uwzględnia ten warunek. Jeżeli zdający podaje ogólne rozwiązanie równania trygonometrycznego, to otrzymuje \(3\) punkty. Jeżeli zdający dzieli stronami równanie \(2\cos^{2}x+\cos x=0\) przez \(\cos x\) bez rozpatrzenia dwóch przypadków i poprawnie rozwiąże równanie \(2\cos x+1=0\), to otrzymuje za całe rozwiązanie \(2\) punkty.

IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie równania trygonometrycznego. (IV.6.e.R)

x=\(2k\pi \) lub x=π/\(3\)+\(2k\pi \), lub x=−π/\(3\)+\(2k\pi \), gdzie k∈Z. Ze wzoru cos \(2x\)=\(2co\)\(s^{2}\)x−\(1\) otrzymujemy \(2co\)\(s^{2}\)x−\(3cos\) x+\(1=0\), czyli cos x=\(1\) lub cos x=\(\frac{1}{2}\).

**Krok \(1\).** W równaniu \(\cos 2x+2=3\cos x\) występują dwa różne argumenty: \(2x\) i \(x\). Dopóki argumenty są różne, nie da się nic zrobić. Sprowadzamy więc wszystko do argumentu \(x\) za pomocą wzoru na cosinus podwojonego kąta. **Krok \(2\).** Ze wzoru \(\cos 2x=2\cos^2x-1\) otrzymujemy \[2\cos^2x-1+2=3\cos x.\] **Krok \(3\).** Przenosimy wszystko na lewą stronę i porządkujemy: \[2\cos^2x-3\cos x+1=0.\] **Krok \(4\).** Podstawiamy \(t=\cos x\), pamiętając, że cosinus przyjmuje wartości tylko z przedziału \(\langle -1,1\rangle\), więc \(t\in\langle -1,1\rangle\). Mamy równanie kwadratowe \[2t^2-3t+1=0.\] **Krok \(5\).** Liczymy wyróżnik i pierwiastki: \[\Delta=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1,\qquad \sqrt{\Delta}=1,\] \[t_1=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2},\qquad t_2=\frac{3+1}{4}=1.\] Obie wartości mieszczą się w przedziale \(\langle -1,1\rangle\), więc żadnej nie odrzucamy. **Krok \(6\).** Rozwiązujemy \(\cos x=1\). Cosinus przyjmuje wartość \(1\) tylko dla kąta \(0\) i jego pełnych obrotów: \[x=2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.\] **Krok \(7\).** Rozwiązujemy \(\cos x=\frac{1}{2}\). Podstawowy kąt to \(\frac{\pi}{3}\), a ponieważ cosinus jest funkcją parzystą, tę samą wartość ma także kąt \(-\frac{\pi}{3}\). Doliczając pełne obroty: \[x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\qquad\text{lub}\qquad x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.\] **Uwaga.** Równanie \(\cos x=\frac12\) daje dwie serie rozwiązań, a nie jedną: kąt w pierwszej i w czwartej ćwiartce. Można je zapisać skrótowo jako \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi\). Warto też sprawdzić, że oba pierwiastki równania kwadratowego mieszczą się w przedziale wartości cosinusa; gdyby któryś wypadł poza \(\langle -1,1\rangle\), należałoby go odrzucić. **Odpowiedź.** \(x=2k\pi\) lub \(x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\), lub \(x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).

**1 pkt** – zapisanie równania w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej argumentu \(x\), np.: \(2\cos^{2}x-3\cos x+1=0\). **2 pkt** – rozwiązanie równania \(2\cos^{2}x-3\cos x+1=0\) z niewiadomą \(\cos x\): \(\cos x=1\) lub \(\cos x=\tfrac{1}{2}\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – rozwiązanie jednego z równań \(\cos x=1\) lub \(\cos x=\tfrac{1}{2}\). **4 pkt** – rozwiązanie równania: \(x=2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą, lub \(x=\tfrac{\pi}{3}+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą, lub \(x=-\tfrac{\pi}{3}+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą; albo \(x=n\cdot 360^\circ\), gdzie \(n\) jest liczbą całkowitą, lub \(x=60^\circ+n\cdot 360^\circ\), gdzie \(n\) jest liczbą całkowitą, lub \(x=-60^\circ+n\cdot 360^\circ\), gdzie \(n\) jest liczbą całkowitą. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy w rozwiązaniu równania kwadratowego i otrzyma dwa rozwiązania, z których co najmniej jedno należy do przedziału […], i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca, to otrzymuje \(3\) punkty.

IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie równania trygonometrycznego. (IV.6.e.R)

\(x=\frac{2\pi}{3}\) lub \(x=\frac{4\pi}{3}\). Po podstawieniu \(\sin^2x=1-\cos^2x\) równanie przyjmuje postać \(6\cos^2x-7\cos x-5=0\), skąd \(\cos x=-\frac12\) (wartość \(\frac53\) odrzucamy).

**Krok \(1\).** W równaniu występują dwie różne funkcje trygonometryczne tego samego argumentu: \(\sin x\) i \(\cos x\). Standardowy pierwszy ruch to sprowadzenie wszystkiego do jednej z nich za pomocą jedynki trygonometrycznej. Ponieważ sinus występuje w kwadracie, wygodnie jest zostawić cosinus. **Krok \(2\).** Z tożsamości \(\sin^2x+\cos^2x=1\) mamy \(\sin^2x=1-\cos^2x\). Podstawiamy: \[6(1-\cos^2x)+7\cos x-1=0.\] **Krok \(3\).** Porządkujemy: \[6-6\cos^2x+7\cos x-1=0,\] \[-6\cos^2x+7\cos x+5=0,\] a po pomnożeniu przez \(-1\): \[6\cos^2x-7\cos x-5=0.\] **Krok \(4\).** Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą \(t=\cos x\), pamiętając, że cosinus przyjmuje tylko wartości z przedziału \(\langle-1,1\rangle\). Otrzymujemy zwykłe równanie kwadratowe \[6t^2-7t-5=0.\] **Krok \(5\).** Liczymy wyróżnik: \(\Delta=(-7)^2-4\cdot6\cdot(-5)=49+120=169\), \(\sqrt{\Delta}=13\), więc \[t_1=\frac{7-13}{12}=-\frac12,\qquad t_2=\frac{7+13}{12}=\frac{20}{12}=\frac53.\] **Krok \(6\).** Wartość \(t_2=\frac53\) jest większa od \(1\), a cosinus nigdy takiej wartości nie przyjmuje — odrzucamy ją. Zostaje \(\cos x=-\frac12\). **Krok \(7\).** Szukamy w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) kątów o cosinusie \(-\frac12\). Kąt podstawowy to \(\frac{\pi}{3}\) (bo \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\)), a cosinus jest ujemny w drugiej i trzeciej ćwiartce, więc \[x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\qquad\text{lub}\qquad x=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}.\] **Uwaga.** Dwie rzeczy trzeba sprawdzić na końcu: czy otrzymana wartość \(t\) mieści się w \(\langle-1,1\rangle\) (to eliminuje \(\frac53\)) oraz czy podane kąty należą do przedziału z treści zadania — poza nim rozwiązań jest nieskończenie wiele, ale ich nie wypisujemy. **Odpowiedź.** \(x=\dfrac{2\pi}{3}\) lub \(x=\dfrac{4\pi}{3}\).

*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.* **Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania** – zapisanie równania w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej, np. \(-6\cos^{2}x+7\cos x+5=0\) lub \(6\cos^{2}x-7\cos x-5=0\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – wprowadzenie pomocniczej niewiadomej, np. \(t=\cos x\), i zapisanie równania w postaci \(-6t^{2}+7t+5=0\) lub \(6t^{2}-7t-5=0\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – rozwiązanie równania kwadratowego \(\left(t=-\frac{1}{2}\right.\) lub \(\left.t=\frac{5}{3}\right)\) i odrzucenie rozwiązania \(t=\frac{5}{3}\). **Rozwiązanie pełne** – rozwiązanie równania w podanym przedziale: \(x=\frac{2}{3}\pi\) lub \(x=\frac{4}{3}\pi\), albo \(x=120^\circ\) lub \(x=240^\circ\). Uwagi: nie wymagamy, aby zdający zapisał warunek np. \(t\in(-1,1)\), o ile z dalszego ciągu rozwiązania wynika, że zdający uwzględnia go. Jeżeli zdający rozwiąże poprawnie równanie kwadratowe i na tym zakończy, nie odrzucając rozwiązania \(t=\frac{5}{3}\), to otrzymuje \(2\) punkty. Jeżeli zdający podaje ogólne rozwiązanie równania trygonometrycznego \(x=\frac{2}{3}\pi+2k\pi\), \(x=\frac{4}{3}\pi+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą, to otrzymuje \(4\) punkty.

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: rozwiązanie równania trygonometrycznego przez sprowadzenie do równania kwadratowego.

Rozwiązania w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\): \(x=0\), \(x=\frac{\pi}{4}\), \(x=\frac{3\pi}{4}\), \(x=\frac{5\pi}{4}\), \(x=\frac{7\pi}{4}\), \(x=2\pi\). Równanie sprowadzamy do postaci iloczynowej \((1-\cos x)(2\sin^2x-1)=0\), skąd \(\cos x=1\) lub \(\sin^2x=\frac12\).

**Krok \(1\).** Po obu stronach równania widać ten sam nawias: po lewej \(2\sin^2x-2\sin^2x\cos x=2\sin^2x(1-\cos x)\), po prawej \(1-\cos x\). To podpowiada metodę: przenieść wszystko na jedną stronę i doprowadzić do postaci iloczynowej. Nie wolno dzielić przez \(1-\cos x\), bo dla niektórych \(x\) to wyrażenie jest zerem. **Krok \(2\).** Wyłączamy wspólny czynnik po lewej stronie: \[2\sin^2x(1-\cos x)=1-\cos x.\] **Krok \(3\).** Przenosimy prawą stronę na lewo i wyłączamy \((1-\cos x)\): \[2\sin^2x(1-\cos x)-(1-\cos x)=0,\qquad (1-\cos x)\left(2\sin^2x-1\right)=0.\] **Krok \(4\).** Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z czynników: \[\cos x=1\qquad\text{lub}\qquad \sin^2x=\tfrac12.\] **Krok \(5\).** Pierwsze równanie w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\): cosinus przyjmuje wartość \(1\) dla \(x=0\) oraz dla \(x=2\pi\). Oba końce przedziału do niego należą, więc oba są rozwiązaniami. **Krok \(6\).** Drugie równanie: \(\sin^2x=\frac12\) oznacza \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\) lub \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\). **Krok \(7\).** Dla \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\) w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) mamy \(x=\frac{\pi}{4}\) oraz \(x=\frac{3\pi}{4}\) (pierwsza i druga ćwiartka). Dla \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\) mamy \(x=\frac{5\pi}{4}\) oraz \(x=\frac{7\pi}{4}\) (trzecia i czwarta ćwiartka). **Krok \(8\).** Zbieramy wszystkie znalezione argumenty: \[x\in\left\{0,\ \tfrac{\pi}{4},\ \tfrac{3\pi}{4},\ \tfrac{5\pi}{4},\ \tfrac{7\pi}{4},\ 2\pi\right\}.\] **Krok \(9\).** Kontrola dla \(x=\frac{\pi}{4}\): \(\sin^2x=\frac12\), więc lewa strona to \(2\cdot\frac12-2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}=1-\frac{\sqrt2}{2}\), a prawa \(1-\frac{\sqrt2}{2}\). Zgadza się. **Uwaga.** Podzielenie obu stron przez \(1-\cos x\) gubi rozwiązania \(x=0\) i \(x=2\pi\) — to najczęstszy błąd w tym zadaniu. Trzeba też pamiętać, że przedział \(\langle0,2\pi\rangle\) jest domknięty, więc oba jego końce mogą być rozwiązaniami. **Odpowiedź.** \(x=0\), \(x=\frac{\pi}{4}\), \(x=\frac{3\pi}{4}\), \(x=\frac{5\pi}{4}\), \(x=\frac{7\pi}{4}\) lub \(x=2\pi\).

*Schemat oceniania I* **Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania** – zapisanie równania w postaci, np. \(2\sin^{2}x\left(1-\cos x\right)=1-\cos x\) lub \(\left(2\sin^{2}x-1\right)\left(1-\cos x\right)=0\), lub \(\left(2\sin^{2}x-1\right)-\cos x\left(2\sin^{2}x-1\right)=0\). **2 pkt** – zapisanie równania w postaci alternatywy, np. \(\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) lub \(\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) lub \(\cos x=1\); albo \(\cos 2x=0\) lub \(\cos x=1\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – rozwiązanie jednego z otrzymanych równań. **Rozwiązanie pełne** – zapisanie wszystkich rozwiązań równania w podanym przedziale: \(x=0\), \(x=\frac{1}{4}\pi\), \(x=\frac{3}{4}\pi\), \(x=\frac{5}{4}\pi\), \(x=\frac{7}{4}\pi\), \(x=2\pi\); albo \(x=0^\circ\), \(x=45^\circ\), \(x=135^\circ\), \(x=225^\circ\), \(x=315^\circ\), \(x=360^\circ\). *Schemat oceniania II* **1 pkt** – zapisanie równania w postaci iloczynowej, np. \(\left(2\cos^{2}x-1\right)\left(\cos x-1\right)=0\). **2 pkt** – zapisanie równania w postaci alternatywy: \(\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) lub \(\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) lub \(\cos x=1\). **3 pkt** – rozwiązanie jednego z otrzymanych równań. **4 pkt** – zapisanie wszystkich rozwiązań równania w podanym przedziale: \(x=0\), \(x=\frac{1}{4}\pi\), \(x=\frac{3}{4}\pi\), \(x=\frac{5}{4}\pi\), \(x=\frac{7}{4}\pi\), \(x=2\pi\); albo \(x=0^\circ\), \(x=45^\circ\), \(x=135^\circ\), \(x=225^\circ\), \(x=315^\circ\), \(x=360^\circ\). Jeżeli zdający podaje ogólne rozwiązania równania bez uwzględnienia przedziału \((0,2\pi)\), to otrzymuje \(3\) punkty. Jeżeli zdający zapisze równanie w postaci \(2\cos^{2}x\left(\cos x-1\right)=\cos x-1\), a następnie podzieli obie strony równania przez \(\cos x-1\) \([\ldots]\) i rozwiąże tylko równanie \(2\cos^{2}x-1=0\), to za całe zadanie otrzymuje \(1\) punkt. Jeżeli zdający zapisze równanie w postaci \(2\cos^{2}x\left(\cos x-1\right)=\cos x-1\), a następnie podzieli obie strony równania przez \(\cos x-1\) \([\ldots]\), rozwiąże tylko równanie \(2\cos^{2}x-1=0\) i nie rozpatrzy równania \(\cos x=1\), to za całe zadanie otrzymuje \(2\) punkty.

IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie równania trygonometrycznego.

\(x=\dfrac{7\pi}{6}\) lub \(x=\dfrac{11\pi}{6}\). Po podstawieniu \(\cos^2x=1-\sin^2x\) równanie przyjmuje postać \(2\sin^2x+5\sin x+2=0\), skąd \(\sin x=-\dfrac12\) (drugi pierwiastek \(\sin x=-2\) jest niemożliwy).

**Krok \(1\).** W równaniu występują dwie różne funkcje trygonometryczne: \(\cos^2x\) oraz \(\sin x\). Standardowa strategia to sprowadzenie wszystkiego do jednej funkcji za pomocą jedynki trygonometrycznej \(\sin^2x+\cos^2x=1\), a potem podstawienie pomocniczej niewiadomej i rozwiązanie równania kwadratowego. **Krok \(2\).** Podstawiamy \(\cos^2x=1-\sin^2x\): \[2\left(1-\sin^2x\right)-5\sin x-4=0.\] **Krok \(3\).** Porządkujemy i mnożymy stronami przez \(-1\), żeby współczynnik przy kwadracie był dodatni: \[2-2\sin^2x-5\sin x-4=0,\qquad -2\sin^2x-5\sin x-2=0,\qquad 2\sin^2x+5\sin x+2=0.\] **Krok \(4\).** Wprowadzamy niewiadomą pomocniczą \(t=\sin x\). Kluczowe jest zapisanie ograniczenia \(t\in\langle-1,1\rangle\), bo sinus nie przyjmuje innych wartości. Otrzymujemy \(2t^2+5t+2=0\). **Krok \(5\).** Liczymy wyróżnik i pierwiastki: \[\Delta=5^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9,\qquad \sqrt\Delta=3,\] \[t_1=\frac{-5-3}{4}=-2,\qquad t_2=\frac{-5+3}{4}=-\frac12.\] **Krok \(6\).** Wartość \(t_1=-2\) odrzucamy, bo \(-2\notin\langle-1,1\rangle\) — równanie \(\sin x=-2\) nie ma rozwiązań. Zostaje \(\sin x=-\frac12\). **Krok \(7\).** Sinus jest ujemny w trzeciej i czwartej ćwiartce, a kąt odniesienia dla wartości \(\frac12\) to \(\frac{\pi}{6}\). W przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) daje to \[x=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}\qquad\text{oraz}\qquad x=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}.\] **Uwaga.** Zadanie ogranicza rozwiązania do przedziału \(\langle0,2\pi\rangle\), więc nie dopisujemy ogólnego wzoru z okresem \(2k\pi\) ani rozwiązań ujemnych, np. \(-\frac{\pi}{6}\). Odrzucenie pierwiastka \(t=-2\) trzeba wyraźnie uzasadnić. **Odpowiedź.** \(x=\dfrac{7\pi}{6}\) lub \(x=\dfrac{11\pi}{6}\).

**Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – zapisanie równania w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej, np. \(-2\sin^{2}x-5\sin x-2=0\) lub \(2\sin^{2}x+5\sin x+2=0\). **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: wprowadzenie pomocniczej niewiadomej, np. \(t=\sin x\), zapisanie równania w postaci […]. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: rozwiązanie równania kwadratowego \(\left(t=-2\right.\) lub \(\left.t=-\frac{1}{2}\right)\) i odrzucenie rozwiązania \(t=-2\). Uwaga: zdający może od razu rozwiązywać równanie kwadratowe (w którym niewiadomą jest \(\sin x\)) i zapisać rozwiązanie w postaci \(\sin x=-\frac{1}{2}\) lub \(\sin x=-2\) oraz zapisać, że równanie \(\sin x=-2\) jest sprzeczne. **4 pkt** – rozwiązanie pełne: rozwiązanie równania w podanym przedziale \(x=\frac{7\pi}{6}\) lub \(x=\frac{11\pi}{6}\), albo \(x=210^\circ\) lub \(x=330^\circ\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie równania trygonometrycznego.

\(x=\dfrac{2\pi}{3}\) lub \(x=\dfrac{4\pi}{3}\). Po podstawieniu \(\sin^2x=1-\cos^2x\) równanie przyjmuje postać \(2\cos^2x+7\cos x+3=0\), skąd \(\cos x=-\dfrac12\) (drugi pierwiastek \(\cos x=-3\) jest niemożliwy).

**Krok \(1\).** W równaniu mieszają się dwie funkcje trygonometryczne: \(\sin^2x\) i \(\cos x\). Sprowadzamy je do jednej za pomocą jedynki trygonometrycznej \(\sin^2x=1-\cos^2x\), a następnie rozwiązujemy równanie kwadratowe z niewiadomą pomocniczą. **Krok \(2\).** Podstawiamy: \[2\left(1-\cos^2x\right)-7\cos x-5=0.\] **Krok \(3\).** Porządkujemy i mnożymy przez \(-1\): \[2-2\cos^2x-7\cos x-5=0,\qquad -2\cos^2x-7\cos x-3=0,\qquad 2\cos^2x+7\cos x+3=0.\] **Krok \(4\).** Podstawiamy \(t=\cos x\), przy czym \(t\in\langle-1,1\rangle\), bo cosinus nie przyjmuje innych wartości. Otrzymujemy \(2t^2+7t+3=0\). **Krok \(5\).** Liczymy wyróżnik i pierwiastki: \[\Delta=7^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25,\qquad\sqrt\Delta=5,\] \[t_1=\frac{-7-5}{4}=-3,\qquad t_2=\frac{-7+5}{4}=-\frac12.\] **Krok \(6\).** Pierwiastek \(t_1=-3\) odrzucamy, bo \(-3\notin\langle-1,1\rangle\); równanie \(\cos x=-3\) jest sprzeczne. Zostaje \(\cos x=-\frac12\). **Krok \(7\).** Cosinus jest ujemny w drugiej i trzeciej ćwiartce, a kąt odniesienia dla wartości \(\frac12\) to \(\frac{\pi}{3}\). W przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) mamy więc \[x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\qquad\text{oraz}\qquad x=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}.\] **Uwaga.** Warunek \(t\in\langle-1,1\rangle\) jest tu istotny: bez niego uczeń próbuje rozwiązywać sprzeczne równanie \(\cos x=-3\). Rozwiązania podajemy wyłącznie z przedziału \(\langle0,2\pi\rangle\). **Odpowiedź.** \(x=\dfrac{2\pi}{3}\) lub \(x=\dfrac{4\pi}{3}\).

Schemat oceniania **Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania** – zapisanie równania w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej, np. \(-2\cos^{2}x-7\cos x-3=0\) lub \(2\cos^{2}x+7\cos x+3=0\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – wprowadzenie pomocniczej niewiadomej, np. \(t=\cos x\), zapisanie równania w postaci \(-2t^{2}-7t-3=0\) lub \(2t^{2}+7t+3=0\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – rozwiązanie równania kwadratowego \(\left(t=-\frac{1}{2}\right.\) lub \(\left.t=-3\right)\) i odrzucenie rozwiązania \(t=-3\). Uwaga: zdający może od razu rozwiązywać równanie kwadratowe (w którym niewiadomą jest \(\cos x\)) i zapisać rozwiązanie w postaci \(\cos x=-\frac{1}{2}\) lub \(\cos x=-3\) oraz zapisać, że równanie \(\cos x=-3\) jest sprzeczne. **Rozwiązanie pełne** – rozwiązanie równania w podanym przedziale \(x=\frac{2\pi}{3}\) lub \(x=\frac{4\pi}{3}\), albo \(x=120^\circ\) lub \(x=240^\circ\). Uwagi: **0 pkt** – jeżeli zdający podstawia \(\cos x=\sqrt{1-\sin^{2}x}\) bez żadnych założeń. **0 pkt** – jeżeli zdający podniesie obie strony równania \(2\cos^{2}x+3=-7\cos x\) do kwadratu i potem nie sprawdza rozwiązań. Nie wymagamy, aby zdający zapisał warunek np. \(t\in(-1,1)\), o ile z dalszego ciągu rozwiązania wynika, że zdający uwzględnia go. **2 pkt** – jeżeli zdający rozwiąże poprawnie równanie kwadratowe i na tym zakończy, nie odrzucając rozwiązania \(t=-3\). **3 pkt** – jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy w rozwiązaniu równania kwadratowego i otrzyma dwa rozwiązania, z których co najmniej jedno należy do przedziału […], i konsekwentnie rozwiąże oba równania w podanym przedziale. **4 pkt** – jeżeli zdający podaje ogólne rozwiązanie równania trygonometrycznego \(x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\), \(x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą.

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: rozwiązanie równania trygonometrycznego przez sprowadzenie do równania kwadratowego.

\(x=\dfrac{\pi}{6}\) lub \(x=\dfrac{5\pi}{6}\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy budowę równania: występuje w nim \(\cos^2x\) oraz \(\sin x\), czyli dwie różne funkcje trygonometryczne. Kluczowa obserwacja: dzięki jedynce trygonometrycznej \(\sin^2x+\cos^2x=1\) możemy zamienić \(\cos^2x\) na \(1-\sin^2x\) i wtedy w równaniu zostanie już TYLKO \(\sin x\). Całość zamienia się w równanie kwadratowe względem \(\sin x\), które rozwiązujemy przez podstawienie. **Krok \(2\).** Podstawiamy \(\cos^2x=1-\sin^2x\): \[4(1-\sin^2x)=4\sin x+1,\] \[4-4\sin^2x=4\sin x+1,\] \[4\sin^2x+4\sin x-3=0.\] **Krok \(3\).** Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą \(t=\sin x\). Bardzo ważne: sinus przyjmuje wartości tylko z przedziału \(\langle-1,1\rangle\), więc dopisujemy warunek \(t\in\langle-1,1\rangle\). Równanie przyjmuje postać \[4t^2+4t-3=0.\] **Krok \(4\).** Rozwiązujemy je: \[\Delta=4^2-4\cdot4\cdot(-3)=16+48=64,\qquad \sqrt{\Delta}=8,\] \[t_1=\frac{-4-8}{8}=-\frac32,\qquad t_2=\frac{-4+8}{8}=\frac12.\] **Krok \(5\).** Odrzucamy \(t_1=-\dfrac32\), bo \(-\dfrac32\notin\langle-1,1\rangle\) — sinus nigdy nie przyjmuje takiej wartości. Zostaje \[\sin x=\frac12.\] **Krok \(6\).** Rozwiązujemy \(\sin x=\dfrac12\) w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\). Sinus jest dodatni w pierwszej i drugiej ćwiartce. Kąt podstawowy to \(\dfrac{\pi}{6}\), a drugie rozwiązanie leży symetrycznie względem \(\dfrac{\pi}{2}\): \[x=\frac{\pi}{6}\qquad\text{lub}\qquad x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}.\] Oba należą do \(\langle0,2\pi\rangle\), innych w tym przedziale nie ma. **Uwaga.** Dwie pułapki. Pierwsza: po podstawieniu \(t=\sin x\) trzeba pamiętać o ograniczeniu \(t\in\langle-1,1\rangle\) i ODRZUCIĆ pierwiastek \(-\frac32\) — bez tego zapisalibyśmy równanie \(\sin x=-\frac32\), które nie ma rozwiązań. Druga: równanie \(\sin x=\frac12\) ma w podanym przedziale DWA rozwiązania; zatrzymanie się na \(\frac{\pi}{6}\) to typowy błąd. **Odpowiedź.** \(x=\dfrac{\pi}{6}\) lub \(x=\dfrac{5\pi}{6}\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Przekształcam równanie: \(4\left(1-\sin^{2}x\right)=4\sin x+1\), \(4\sin^{2}x+4\sin x-3=0\). Wprowadzam pomocniczą niewiadomą \(\sin x=t\) i \(t\in\langle-1,1\rangle\), i zapisuję równanie \(4t^{2}+4t-3=0\). Rozwiązaniem tego równania są liczby: \(t_{1}=\frac{1}{2}\) lub \(t_{2}=-\frac{3}{2}\), \(t_{2}\notin\langle-1,1\rangle\). Powracam do podstawienia i otrzymuję: \(\sin x=\frac{1}{2}\). Rozwiązuję równanie \(\sin x=\frac{1}{2}\) w przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\): \(x=\frac{\pi}{6}\) lub \(x=\frac{5\pi}{6}\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(x\in\left\{0,\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi\right\}\). b) Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(\frac54\).

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i zapisujemy \(f\) wyłącznie przez \(\cos x\): \[f(x)=\sin^2x+\cos x=1-\cos^2x+\cos x.\] **a)** Równanie \(f(x)=1\) przyjmuje postać \[1-\cos^2x+\cos x=1,\qquad -\cos^2x+\cos x=0,\qquad \cos x\,(1-\cos x)=0.\] Stąd \(\cos x=0\) lub \(\cos x=1\). W przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) otrzymujemy \[x=\frac{\pi}{2},\quad x=\frac{3\pi}{2}\qquad\text{oraz}\qquad x=0,\quad x=2\pi.\] **b)** Podstawiamy \(t=\cos x\); zbiorem wartości cosinusa jest przedział \([-1,1]\), więc szukamy największej wartości funkcji kwadratowej \[g(t)=-t^2+t+1\qquad\text{dla }t\in[-1,1].\] Współczynnik przy \(t^2\) jest ujemny, a pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \[t_0=-\frac{1}{2\cdot(-1)}=\frac12\in[-1,1],\] więc wartość największa jest przyjmowana w wierzchołku: \[g\!\left(\tfrac12\right)=-\tfrac14+\tfrac12+1=\tfrac54.\] **Odpowiedź.** a) \(x\in\left\{0,\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi\right\}\). b) Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(\frac54\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **7.1. (1 pkt)** – zapisanie równania \(f(x)=1\) w postaci: \(-\cos^{2}x+\cos x=0\). **7.2. (1 pkt)** – zapisanie równań: \(\cos x=0\) lub \(\cos x=1\). **7.3. (1 pkt)** – zapisanie rozwiązań równania \(f(x)=1\) należących do przedziału \(\langle 0,\,2\pi\rangle\): \(x=0\vee x=\frac{\pi}{2}\vee x=\frac{3\pi}{2}\vee x=2\pi\). **7.4. (1 pkt)** – przedstawienie metody rozwiązania zadania, np. wprowadzenie pomocniczej niewiadomej \(t=\cos x\) i \(t\in\langle -1,\,1\rangle\) i zapisanie funkcji \(f(t)=-t^{2}+t+1\) dla \(t\in\langle -1,\,1\rangle\). Punkt otrzymuje też zdający, który pominął dziedzinę funkcji \(f\). **7.5. (1 pkt)** – obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, będącej wykresem trójmianu kwadratowego \(f(t)=-t^{2}+t+1\): \(t_{w}=\frac{1}{2}\). Wystarczy, że zdający zapisze trójmian w postaci kanonicznej: \(f(t)=-\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{5}{4}\). **7.6. (1 pkt)** – uwzględnienie faktu, że \(\frac{1}{2}\in\langle -1,\,1\rangle\) i współczynnik przy \(t^{2}\) jest ujemny, i obliczenie największej wartości funkcji \(f\): \(f_{\max}=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{4}\). Zdający nie musi analizować znaku współczynnika przy \(t^{2}\), o ile oblicza \(f(-1)\), \(f(1)\), \(f\left(\frac{1}{2}\right)\) i wybiera największą z nich.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(x\in\left\{\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2},\ \dfrac{5\pi}{3}\right\}\).

**Krok \(1\).** Po obu stronach równania występuje cosinus tego samego kąta, przy czym po jednej stronie w kwadracie. Naturalny odruch, czyli podzielenie obu stron przez \(\cos x\), jest tu błędem, bo \(\cos x\) może być zerem. Zamiast tego przenosimy wszystko na jedną stronę i wyłączamy wspólny czynnik przed nawias. **Krok \(2\).** Przekształcamy: \[2\cos^2x-\cos x=0\ \Longrightarrow\ \cos x\left(2\cos x-1\right)=0.\] **Krok \(3\).** Iloczyn jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem: \[\cos x=0\qquad\text{lub}\qquad \cos x=\tfrac12.\] **Krok \(4\).** Rozwiązania równania \(\cos x=0\) w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\). Cosinus zeruje się w punktach, w których ramię kąta jest pionowe: \[x=\frac{\pi}{2},\qquad x=\frac{3\pi}{2}.\] **Krok \(5\).** Rozwiązania równania \(\cos x=\tfrac12\). Kątem podstawowym jest \(\dfrac{\pi}{3}\), bo \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12\). Cosinus jest dodatni w pierwszej i czwartej ćwiartce, więc drugie rozwiązanie to \[x=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}.\] **Krok \(6\).** Wszystkie cztery liczby \(\dfrac{\pi}{3}\), \(\dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{3\pi}{2}\), \(\dfrac{5\pi}{3}\) należą do przedziału \(\langle0,2\pi\rangle\), więc wszystkie są rozwiązaniami. **Uwaga.** Gdyby na starcie podzielić równanie przez \(\cos x\), zostałoby tylko \(2\cos x=1\) i zgubilibyśmy rozwiązania \(\dfrac{\pi}{2}\) oraz \(\dfrac{3\pi}{2}\). Dzielenie przez wyrażenie, które może być zerem, zawsze grozi utratą rozwiązań. **Odpowiedź.** \(x=\dfrac{\pi}{3}\), \(x=\dfrac{\pi}{2}\), \(x=\dfrac{3\pi}{2}\), \(x=\dfrac{5\pi}{3}\).

7.1 Wyznaczenie cos x z danego równania: cos x = 0 lub cos x = . 1 2 przez cos x , bez komentarza dostaje 0 pkt. Wybranie i zapisanie rozwiązań należących do przedziału 0, 2π : Jeśli zdający w 7.1 podzielił równanie przez cos x ale poprawnie rozwiązał otrzymane w ten 7.2 π π 3 5 2 x = , x = , x = π, x = π . sposób równanie otrzymuje 1 pkt. 1 3 2 2 3 2 4 3 Zdający może podać odpowiedź w stopniach. II sposób rozwiązania. 7. 7.1 π 3π 1 Rozwiązanie równania gdy cos x = 0 : x = lub x = . 2 2 Rozwiązanie równania gdy cos x ≠ 0 : 1 pkt - za doprowadzenie równania do najprostszej postaci 1 7.2 cos x = . 2 2 π 5π 1 pkt – za rozwiązanie: x = lub x = . 3 3

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Funkcja przyjmuje wartość \(1\) tam, gdzie \(\sin 2x\gt0\), oraz \(-1\) tam, gdzie \(\sin 2x\lt0\) (nie jest określona dla \(x=\tfrac{k\pi}{2}\)). Nierówność jest spełniona dla \(x\in\left(-\dfrac{3\pi}{2},-\pi\right)\cup\left(-\dfrac{\pi}{2},0\right)\cup\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\cup\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)\).

**Krok \(1\).** W części a) mamy naszkicować \(y=\sin 2x\) — to sinusoida dwukrotnie „ściśnięta” w poziomie. W części b) w liczniku stoi wartość bezwzględna tej samej funkcji, a w mianowniku ona sama. Iloraz postaci \(\frac{|t|}{t}\) przyjmuje tylko dwie wartości: \(1\) albo \(-1\), zależnie od znaku \(t\). Całe zadanie sprowadza się więc do ustalenia, gdzie \(\sin2x\) jest dodatni, a gdzie ujemny. **Krok \(2\).** Wykres \(y=\sin2x\) powstaje z wykresu \(y=\sin x\) przez powinowactwo prostokątne o skali \(\frac12\) względem osi \(Oy\). Okres wynosi \(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\), więc na przedziale \(\langle-2\pi,2\pi\rangle\) o długości \(4\pi\) mieszczą się dokładnie cztery pełne okresy. Miejsca zerowe: \(\sin2x=0\iff2x=k\pi\iff x=\frac{k\pi}{2}\), czyli \[-2\pi,\ -\frac{3\pi}{2},\ -\pi,\ -\frac{\pi}{2},\ 0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi.\] Między kolejnymi miejscami zerowymi wykres tworzy na przemian „garby” sięgające \(1\) i \(-1\). **Krok \(3\).** Przechodzimy do b). Najpierw dziedzina: mianownik nie może być zerem, więc \(\sin2x\ne0\), czyli \[x\ne\frac{k\pi}{2}\qquad(k\ \text{całkowite}).\] Z przedziału \(\langle-2\pi,2\pi\rangle\) wypadają zatem wszystkie liczby wypisane w kroku \(2\). **Krok \(4\).** Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej: \(|t|=t\) dla \(t\gt0\) oraz \(|t|=-t\) dla \(t\lt0\). Stąd \[\frac{|\sin2x|}{\sin2x}=1\quad\text{dla }\sin2x\gt0,\qquad\qquad \frac{|\sin2x|}{\sin2x}=-1\quad\text{dla }\sin2x\lt0.\] Wykres składa się więc z poziomych odcinków na wysokości \(1\) i \(-1\), z pustymi kółkami w punktach \(x=\frac{k\pi}{2}\). **Krok \(5\).** Ustalamy, gdzie \(\sin2x\lt0\). Sinus jest ujemny, gdy jego argument należy do \((\pi+2k\pi,\ 2\pi+2k\pi)\), więc \[\pi+2k\pi\lt 2x\lt 2\pi+2k\pi\quad\Big/:2\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{\pi}{2}+k\pi\lt x\lt \pi+k\pi.\] **Krok \(6\).** Wypisujemy te przedziały, które leżą w \(\langle-2\pi,2\pi\rangle\), podstawiając kolejno \(k=-2,-1,0,1\): \[\left(-\frac{3\pi}{2},-\pi\right),\qquad\left(-\frac{\pi}{2},0\right),\qquad\left(\frac{\pi}{2},\pi\right),\qquad\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right).\] Na pozostałych przedziałach, czyli \(\left(-2\pi,-\frac{3\pi}{2}\right)\), \(\left(-\pi,-\frac{\pi}{2}\right)\), \(\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\) i \(\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)\), mamy \(\sin2x\gt0\), więc wykres leży tam na wysokości \(1\). **Krok \(7\).** Nierówność \(\frac{|\sin2x|}{\sin2x}\lt0\) jest spełniona dokładnie tam, gdzie funkcja przyjmuje wartość \(-1\), czyli na przedziałach wypisanych w kroku \(6\). **Uwaga.** Wszystkie przedziały odpowiedzi są otwarte — w punktach \(x=\frac{k\pi}{2}\) funkcja w ogóle nie jest określona, więc nie mogą one należeć do zbioru rozwiązań. Zauważ też, że funkcja nigdy nie przyjmuje wartości \(0\), więc warunek „mniejsza od zera” znaczy tu po prostu „równa \(-1\)”. **Odpowiedź.** Funkcja przyjmuje wartość \(1\) tam, gdzie \(\sin 2x\gt0\), oraz \(-1\) tam, gdzie \(\sin 2x\lt0\) (nie jest określona dla \(x=\tfrac{k\pi}{2}\)). Nierówność jest spełniona dla \(x\in\left(-\dfrac{3\pi}{2},-\pi\right)\cup\left(-\dfrac{\pi}{2},0\right)\cup\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\cup\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 14.** (\(4\) pkt) a) Naszkicuj wykres funkcji \(y=\sin 2x\) w przedziale \(\langle-2\pi,2\pi\rangle\). b) Naszkicuj wykres funkcji \(y=\frac{\sin 2x}{\lvert\sin 2x\rvert}\) w przedziale \(\langle-2\pi,2\pi\rangle\) i zapisz, dla których liczb z tego przedziału spełniona jest nierówność \(\frac{\sin 2x}{\lvert\sin 2x\rvert}<0\). a) (wykres funkcji \(y=\sin 2x\)) b) Wyznaczam dziedzinę funkcji \(y=\frac{\sin 2x}{\lvert\sin 2x\rvert}\): \(\sin 2x\ne 0\) dla \(x\ne\frac{k\pi}{2}\). Przekształcam wzór funkcji: \(y=\frac{\sin 2x}{\lvert\sin 2x\rvert}=\begin{cases}1 & \text{dla }\sin 2x>0\\ -1 & \text{dla }\sin 2x<0\end{cases}\) \(y=\begin{cases}1 & \text{dla } x\in\left(-2\pi,-\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left(-\pi,-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)\\ -1 & \text{dla } x\in\left(-\frac{3\pi}{2},-\pi\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2},0\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)\end{cases}\) (wykres funkcji \(y=\frac{\sin 2x}{\lvert\sin 2x\rvert}\)) Odp.: Rozwiązaniem nierówności \(\frac{\sin 2x}{\lvert\sin 2x\rvert}<0\) jest zbiór: \(\left(-\frac{3\pi}{2},-\pi\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2},0\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)\). | Nr czynności | 14.1. | 14.2. | 14.3. | 14.4. | |---|---:|---:|---:|---:| | Maks. liczba pkt | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).

**Krok \(1\).** \(15\).\(1\). Zapisanie założenia: sin x ≠ \(0\) . \(1\) **Krok \(2\).** Zastosowanie wzoru redukcyjnego i zapisanie równania **Krok \(3\).** \(15\).\(2\). \(1\) cos x \(1\) **Krok \(4\).** w postaci: + − sin x = \(0\) . **Krok \(5\).** \(15\). sin x sin x **Krok \(6\).** \(15\).\(3\). Przekształcenie równania do postaci: cos x cos x + \(1 = 0\) . \(1\) **Krok \(7\).** \(15\).\(4\). Zapisanie rozwiązań równania: x = + kπ, k ∈ C . \(1\) **Krok \(8\).** Zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo sumy **Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **15.1. (1 pkt)** – zapisanie założenia: \(\sin x\neq 0\). **15.2. (1 pkt)** – zastosowanie wzoru redukcyjnego i zapisanie równania w postaci: \(\frac{1}{\sin x}+\frac{\cos x}{\sin x}-\sin x=0\). **15.3. (1 pkt)** – przekształcenie równania do postaci: \(\cos x\left(\cos x+1\right)=0\). **15.4. (1 pkt)** – zapisanie rozwiązań równania: \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\), \(k\in C\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(x\in\left\{0,\ \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2}\right\}\). b) \(p\in(-2,0\rangle\).

**Krok \(1\).** Po lewej stronie jest iloczyn dwóch czynników równy zeru, a taki iloczyn zeruje się dokładnie wtedy, gdy zeruje się któryś z czynników. Zadanie rozpada się więc na dwa proste równania z cosinusem: \[\cos x=1\qquad\text{lub}\qquad\cos x=-p-1.\] **Krok \(2\).** a) Dla \(p=-1\) drugi czynnik to \(\cos x+(-1)+1=\cos x\), więc równanie przyjmuje postać \((\cos x-1)\cos x=0\), czyli \(\cos x=1\) lub \(\cos x=0\). **Krok \(3\).** Szukamy rozwiązań w przedziale \(\langle0,5\rangle\). Z \(\cos x=1\) mamy \(x=0\) oraz \(x=2\pi\approx6{,}28\), ale \(2\pi\gt5\), więc zostaje tylko \(x=0\). **Krok \(4\).** Z \(\cos x=0\) mamy \(x=\dfrac{\pi}{2}\approx1{,}57\) oraz \(x=\dfrac{3\pi}{2}\approx4{,}71\); obie liczby należą do \(\langle0,5\rangle\). Kolejne rozwiązanie \(\dfrac{5\pi}{2}\approx7{,}85\) już nie. **Krok \(5\).** b) Teraz przedział to \(\langle-\pi,\pi\rangle\). Równanie \(\cos x=1\) ma w nim dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=0\). Aby rozwiązań całego równania było trzy, drugie równanie musi dać dokładnie dwa rozwiązania różne od \(0\). **Krok \(6\).** Oznaczmy \(t=-p-1\) i policzmy, ile rozwiązań ma \(\cos x=t\) w \(\langle-\pi,\pi\rangle\). Gdy \(|t|\gt1\) — brak rozwiązań. Gdy \(t=1\) — jedno rozwiązanie \(x=0\), ale ono już było policzone, więc razem byłoby tylko jedno. Gdy \(-1\leqslant t\lt1\) — dokładnie dwa rozwiązania \(x=\pm\arccos t\), przy czym dla \(t=-1\) są to \(x=-\pi\) i \(x=\pi\), czyli oba końce przedziału (należą do niego, bo przedział jest domknięty). **Krok \(7\).** Warunek na trzy rozwiązania to zatem \[-1\leqslant -p-1\lt1.\] **Krok \(8\).** Dodajemy \(1\) do każdej części: \[0\leqslant -p\lt2.\] Mnożymy przez \(-1\), pamiętając o odwróceniu zwrotów nierówności: \[0\geqslant p\gt-2,\qquad\text{czyli}\qquad -2\lt p\leqslant0.\] **Uwaga.** Dwa miejsca decydują o poprawnej odpowiedzi. Po pierwsze, przedział \(\langle-\pi,\pi\rangle\) jest domknięty, więc dla \(t=-1\) dostajemy dwa rozwiązania (\(-\pi\) i \(\pi\)), a nie jedno. Po drugie, dla \(t=1\) rozwiązanie \(x=0\) powtarza to z pierwszego czynnika, więc nie dokłada nowego. **Odpowiedź.** a) \(x=0\), \(x=\dfrac{\pi}{2}\), \(x=\dfrac{3\pi}{2}\); b) \(p\in\left(-2,0\right\rangle\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **16.1. (1 pkt)** – […] i zapisanie alternatywy: \(\cos x=0\) lub \(\cos x=1\). **16.2. (1 pkt)** – Wypisanie rozwiązań powyższych równań elementarnych należących do przedziału \(\langle 0;5\rangle\): \(x\in\left\{0,\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3}{2}\pi\right\}\). Uwaga: Jeżeli zdający rozwiąże równania \(\cos x=0\) oraz \(\cos x=1\) w zbiorze liczb rzeczywistych, to otrzymuje 1 punkt. **16.3. (1 pkt)** – Zapisanie alternatywy: \(\cos x=1\) lub \(\cos x=-p-1\). **16.4. (1 pkt)** – Zapisanie, że \(x=0\) jest jednym z szukanych rozwiązań (niezależnie od wartości parametru \(p\)). **16.5. (1 pkt)** – Zapisanie układu równań nierówności \(-1\le -p-1<1\). **16.6. (2 pkt)** – Rozwiązanie powyższego układu nierówności: \(p\in(-2;0\rangle\) i stwierdzenie, że każda wartość \(p\in(-2;0\rangle\) spełnia warunek określony w zadaniu.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(f(x)=2\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\); równanie \(f(x)=1\) ma rozwiązania \(x=2k\pi\) lub \(x=-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).

**Krok \(1\).** Wyrażenie \(\cos x-\sqrt3\sin x\) to suma sinusa i cosinusa tego samego argumentu ze stałymi współczynnikami. Takie wyrażenie zawsze da się zapisać w postaci jednej funkcji trygonometrycznej: \(A\cos(x+\varphi)\). To jest cała idea zadania — po takim zapisie wykres rysuje się jak zwykłą cosinusoidę, a równanie robi się elementarne. **Krok \(2\).** Amplitudę \(A\) obliczamy jako \(A=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{1+3}=2\). Wyłączamy \(2\) przed nawias: \[f(x)=2\left(\tfrac12\cos x-\tfrac{\sqrt3}{2}\sin x\right).\] **Krok \(3\).** Rozpoznajemy liczby w nawiasie: \(\frac12=\cos\frac{\pi}{3}\) oraz \(\frac{\sqrt3}{2}=\sin\frac{\pi}{3}\). Nawias ma więc postać \(\cos x\cos\frac{\pi}{3}-\sin x\sin\frac{\pi}{3}\), a to jest lewa strona wzoru na cosinus sumy. Stąd \[f(x)=2\cos\left(x+\tfrac{\pi}{3}\right).\] **Krok \(4\).** Podpunkt a). Rysujemy wykres funkcji \(y=2\cos x\) (cosinusoida o amplitudzie \(2\), okresie \(2\pi\)) i przesuwamy go o \(\frac{\pi}{3}\) w lewo wzdłuż osi \(Ox\). Pomocne punkty: maksimum \(2\) dla \(x=-\frac{\pi}{3}\), miejsce zerowe dla \(x=\frac{\pi}{6}\), minimum \(-2\) dla \(x=\frac{2\pi}{3}\), kolejne miejsce zerowe dla \(x=\frac{7\pi}{6}\). **Krok \(5\).** Podpunkt b). Korzystamy z postaci z kroku \(3\) i zapisujemy równanie: \[2\cos\left(x+\tfrac{\pi}{3}\right)=1,\qquad\text{czyli}\qquad\cos\left(x+\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac12.\] **Krok \(6\).** Podstawiamy \(t=x+\frac{\pi}{3}\). Równanie \(\cos t=\frac12\) ma dwie serie rozwiązań, bo cosinus przyjmuje tę samą wartość dla argumentów przeciwnych: \[t=\tfrac{\pi}{3}+2k\pi\qquad\text{lub}\qquad t=-\tfrac{\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.\] **Krok \(7\).** Wracamy do \(x\), odejmując \(\frac{\pi}{3}\): \[x=\tfrac{\pi}{3}-\tfrac{\pi}{3}+2k\pi=2k\pi\qquad\text{lub}\qquad x=-\tfrac{\pi}{3}-\tfrac{\pi}{3}+2k\pi=-\tfrac{2\pi}{3}+2k\pi.\] **Krok \(8\).** Sprawdzamy jedno rozwiązanie z drugiej serii: dla \(x=-\frac{2\pi}{3}\) mamy \(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac12\) oraz \(\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\), więc \(f(x)=-\frac12-\sqrt3\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac12+\frac32=1\). Zgadza się. **Uwaga.** Równanie \(\cos t=\frac12\) daje dwie serie rozwiązań, nie jedną. Pominięcie serii z \(-\frac{\pi}{3}\) to najczęstszy błąd w tym typie zadań. Ponieważ dziedziną jest cały zbiór \(\mathbb{R}\), w odpowiedzi musi wystąpić parametr \(k\in\mathbb{Z}\). **Odpowiedź.** \(f(x)=2\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\), a rozwiązaniami równania \(f(x)=1\) są \(x=2k\pi\) lub \(x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **12.1. (1 pkt)** – […] \(f(x)=2\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\) **12.2. (1 pkt)** – naszkicowanie wykresu funkcji **12.3. (2 pkt)** – rozwiązanie równania (po 1 pkt za metodę i rozwiązanie): \(x=2k\pi\lor x=-\frac{2}{3}\pi+2k\pi\), gdzie \(k\in C\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Suma wynosi \(155\pi\) (równanie sprowadza się do \(\sin 3x=0\), a w przedziale \(\langle0,10\pi\rangle\) ma ono \(31\) rozwiązań postaci \(x=\dfrac{k\pi}{3}\) dla \(k=0,1,\dots,30\)).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy trzy oddzielne zadania w jednym. Po prawej stronie równania stoi liczba (a nie wyrażenie z \(x\)), więc najpierw ją obliczamy. Potem rozwiązujemy proste równanie trygonometryczne, następnie z nierówności z wartością bezwzględną odczytujemy przedział, a na koniec sumujemy wybrane rozwiązania — a te tworzą ciąg arytmetyczny. **Krok \(2\).** Obliczamy \(\operatorname{ctg}\frac{25\pi}{2}\). Rozkładamy kąt: \[\frac{25\pi}{2}=\frac{24\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=12\pi+\frac{\pi}{2}.\] Funkcja \(\operatorname{ctg}\) ma okres \(\pi\), a \(12\pi\) to jego wielokrotność, więc \[\operatorname{ctg}\frac{25\pi}{2}=\operatorname{ctg}\frac{\pi}{2}=\frac{\cos\frac{\pi}{2}}{\sin\frac{\pi}{2}}=\frac{0}{1}=0.\] **Krok \(3\).** Równanie sprowadza się zatem do \(\sin3x=0\). Sinus zeruje się dla wielokrotności \(\pi\), więc \[3x=k\pi,\qquad x=\frac{k\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.\] **Krok \(4\).** Rozwiązujemy nierówność \(|x-5\pi|\leqslant5\pi\). Warunek \(|t|\leqslant a\) oznacza \(-a\leqslant t\leqslant a\), więc \[-5\pi\leqslant x-5\pi\leqslant5\pi,\qquad 0\leqslant x\leqslant10\pi.\] **Krok \(5\).** Wybieramy te rozwiązania, które leżą w przedziale \(\langle0,10\pi\rangle\): \[0\leqslant\frac{k\pi}{3}\leqslant10\pi\quad\Big/\cdot\frac{3}{\pi},\qquad 0\leqslant k\leqslant30.\] Liczb całkowitych \(k\) jest więc \(30-0+1=31\). **Krok \(6\).** Sumujemy te rozwiązania. Tworzą one ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(0\) i różnicy \(\frac{\pi}{3}\), a sumę można policzyć, wyłączając \(\frac{\pi}{3}\) przed nawias: \[S=\sum_{k=0}^{30}\frac{k\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\bigl(0+1+2+\dots+30\bigr)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{30\cdot31}{2}=\frac{\pi}{3}\cdot465=155\pi.\] **Uwaga.** Dwie rzeczy łatwo tu przeoczyć. Po pierwsze, \(\operatorname{ctg}\frac{25\pi}{2}\) to stała liczba, a nie funkcja zmiennej \(x\) — kto potraktuje ją jako coś zależnego od \(x\), utknie. Po drugie, nierówność jest nieostra, więc oba końce przedziału należą do zbioru, a zarówno \(x=0\) (dla \(k=0\)), jak i \(x=10\pi\) (dla \(k=30\)) są rozwiązaniami równania. Rozwiązań jest więc \(31\), a nie \(30\) — pominięcie któregoś z końców zmieniłoby wynik. **Odpowiedź.** Suma wynosi \(155\pi\) (równanie sprowadza się do \(\sin 3x=0\), a w przedziale \(\langle0,10\pi\rangle\) ma ono \(31\) rozwiązań postaci \(x=\dfrac{k\pi}{3}\) dla \(k=0,1,\dots,30\)).

**1. (1 pkt)** – Zauważenie, że kolejne rozwiązania równania trygonometrycznego, są wyrazami ciągu arytmetycznego, w którym \(a_{1}=0\land r=\frac{\pi}{3}\) **2. (1 pkt)** – Ustalenie liczby rozwiązań należących do zbioru \(\langle 0;10\pi\rangle\): \(n=31\) **3. (1 pkt)** – Obliczenie sumy rozwiązań równania należących do zbioru \(\langle 0,10\pi\rangle\): \(S_{31}=155\pi\) (lub sumy \(30\) początkowych wyrazów ciągu, gdy zdający przyjmie, że \(a_{1}=\frac{\pi}{3}\)).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\) lub \(x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).

**Krok \(1\).** W równaniu \(2\cos^2x+5\sin x-4=0\) występują dwie różne funkcje trygonometryczne tego samego argumentu. Standardowy chwyt: sprowadzamy wszystko do jednej funkcji. Ponieważ cosinus jest w kwadracie, użyjemy jedynki trygonometrycznej \(\sin^2x+\cos^2x=1\), z której \(\cos^2x=1-\sin^2x\). **Krok \(2\).** Podstawiamy: \[2\left(1-\sin^2x\right)+5\sin x-4=0.\] **Krok \(3\).** Rozwijamy nawias i porządkujemy: \[2-2\sin^2x+5\sin x-4=0,\qquad -2\sin^2x+5\sin x-2=0.\] Mnożymy obie strony przez \(-1\): \[2\sin^2x-5\sin x+2=0.\] **Krok \(4\).** Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą \(t=\sin x\). Uwaga: sinus przyjmuje tylko wartości z przedziału \(\langle -1,1\rangle\), więc \(t\in\langle -1,1\rangle\). Otrzymujemy zwykłe równanie kwadratowe \[2t^2-5t+2=0.\] **Krok \(5\).** Liczymy wyróżnik i pierwiastki: \[\Delta=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9,\qquad \sqrt{\Delta}=3,\] \[t_1=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2},\qquad t_2=\frac{5+3}{4}=2.\] **Krok \(6\).** Wartość \(t_2=2\) odrzucamy, bo sinus nigdy nie jest równy \(2\). Zostaje więc jedno równanie do rozwiązania: \[\sin x=\frac{1}{2}.\] **Krok \(7\).** Sinus jest równy \(\frac12\) dla kąta \(\frac{\pi}{6}\) (pierwsza ćwiartka) oraz dla kąta \(\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\) (druga ćwiartka, bo tam sinus też jest dodatni i ma tę samą wartość). Sinus ma okres \(2\pi\), więc do każdego z tych kątów dokładamy pełne obroty: \[x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\qquad\text{lub}\qquad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.\] **Uwaga.** Dwie pułapki. Po pierwsze, trzeba jawnie napisać, że \(\sin x=2\) nie ma rozwiązań, a nie tylko po cichu tę wartość pominąć. Po drugie, okresem jest tutaj \(2\pi\), a nie \(\pi\): kąty \(\frac{\pi}{6}\) i \(\frac{7\pi}{6}\) mają różne sinusy. **Odpowiedź.** \(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\) lub \(x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\).

**1. (1 pkt)** – zapisanie równania w postaci \(2\sin^{2}x-5\sin x+2=0\) **2. (1 pkt)** – zapisanie równania z niewiadomą \(t=\sin x\). Odp. \(2t^{2}-5t+2=0\) **3. (1 pkt)** – wyznaczenie rozwiązań równania \(2t^{2}-5t+2=0\). Odp. \(t=2\), \(t=\frac{1}{2}\) **4. (1 pkt)** – zapisanie, że równanie \(\sin x=2\) nie ma rozwiązań. **5. (1 pkt)** – zapisanie rozwiązań równania \(2\cos^{2}x+5\sin x-4=0\). Odp. \(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\), \(k\in C\) lub \(x=\frac{5}{6}\pi+2k\pi\), \(k\in C\). (Uznajemy też wynik zapisany w postaci \(x=30^\circ+k\cdot 360^\circ\), gdzie \(k\in C\) lub \(x=150^\circ+k\cdot 360^\circ\), gdzie \(k\in C\)).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Zbiór rozwiązań: \(\left\{\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right\}\). Szukane prawdopodobieństwo jest równe \(\frac{5}{6}\).

Dziedzina: \(\sin x\neq0\), więc \(x\in[0,2\pi]\setminus\{0,\pi,2\pi\}\). Zapisujemy \(\sin2x=2\sin x\cos x\) i \(\operatorname{ctg}x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\), a następnie mnożymy obie strony przez \(\sin x\neq0\) (mnożenie przez liczbę różną od zera jest przekształceniem równoważnym): \[4\sin^2x\cos x+\cos x=4\sin x\cos x.\] Przenosimy wszystko na jedną stronę i wyłączamy \(\cos x\): \[\cos x\left(4\sin^2x-4\sin x+1\right)=0,\qquad \cos x\,(2\sin x-1)^2=0.\] Stąd \(\cos x=0\), czyli \(x=\tfrac{\pi}{2}\) lub \(x=\tfrac{3\pi}{2}\), albo \(\sin x=\tfrac12\), czyli \(x=\tfrac{\pi}{6}\) lub \(x=\tfrac{5\pi}{6}\). Wszystkie cztery liczby należą do dziedziny. Zbiór rozwiązań ma więc \(4\) elementy, z których \(2\) są wielokrotnościami \(\tfrac{\pi}{2}\) (są to \(\tfrac{\pi}{2}\) i \(\tfrac{3\pi}{2}\)). Losujemy bez zwracania dwie liczby, więc \(|\Omega|=\binom42=6\). Zdarzeniem przeciwnym do „co najmniej jedna wielokrotność \(\tfrac{\pi}{2}\)” jest wylosowanie obu liczb spośród pozostałych dwóch, co można zrobić na \(\binom22=1\) sposób. Zatem \[P=1-\frac16=\frac56.\] **Odpowiedź.** Zbiór rozwiązań to \(\left\{\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{5\pi}{6},\tfrac{3\pi}{2}\right\}\), a szukane prawdopodobieństwo jest równe \(\tfrac56\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **17.1. (1 pkt)** – wyznaczenie dziedziny danego równania: \(x\in(0,\,2\pi)\setminus\{\pi\}\) **17.2. (1 pkt)** – przekształcenie danego równania do postaci (1): \((1)\quad 4\sin x\cos x+\frac{\cos x}{\sin x}=4\cos x\) **17.3. (1 pkt)** – przekształcenie równania z postaci (1) do postaci (2): \((2)\quad\cos x\left(4\sin^{2}x+1-4\sin x\right)=0\) **17.4. (1 pkt)** – rozwiązanie równania \(\cos x=0\) w wyznaczonej dziedzinie: \(x=\frac{\pi}{2}\lor x=\frac{3\pi}{2}\) **17.5. (1 pkt)** – rozwiązanie równania \(4\sin^{2}x-4\sin x+1=0\) w wyznaczonej dziedzinie: \(x=\frac{\pi}{6}\lor x=\frac{5\pi}{6}\) **17.6. (1 pkt)** – obliczenie mocy zbioru zdarzeń elementarnych: \(\lvert\Omega\rvert=6\) **17.7. (1 pkt)** – obliczenie mocy zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że co najmniej jedno z wylosowanych rozwiązań jest wielokrotnością liczby \(\frac{\pi}{2}\): \(\lvert A\rvert=5\) **17.8. (1 pkt)** – obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia \(A\): \(P(A)=\frac{5}{6}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.