Zadania z postacią iloczynową i miejscami zerowymi

\[a=-4,\qquad b=24,\qquad c=64.\]

Zbiorem argumentów, dla których \(f\) przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział ograniczony \((-2,8)\). Oznacza to, że parabola przecina oś \(Ox\) w punktach \(-2\) i \(8\), a jej ramiona są skierowane w dół, czyli \(a<0\) (dla \(a>0\) zbiorem tym byłaby suma dwóch półprostych). Zapisujemy funkcję w postaci iloczynowej: \[f(x)=a(x+2)(x-8).\] Największa wartość jest przyjmowana w wierzchołku, którego pierwsza współrzędna leży w połowie odległości między miejscami zerowymi: \[p=\frac{-2+8}{2}=3.\] Z warunku \(f(3)=100\): \[a\cdot(3+2)\cdot(3-8)=100,\qquad a\cdot5\cdot(-5)=100,\qquad -25a=100,\qquad a=-4.\] Warunek \(a<0\) jest spełniony. Doprowadzamy wzór do postaci ogólnej: \[f(x)=-4(x+2)(x-8)=-4\left(x^{2}-6x-16\right)=-4x^{2}+24x+64.\] **Odpowiedź.** \(a=-4\), \(b=24\), \(c=64\).

**5 pkt** – poprawna metoda i wszystkie współczynniki: \(a=-4\), \(b=24\), \(c=64\) **4 pkt** – spełnienie progu na \(3\) pkt oraz obliczenie jednej z liczb \(a=-4\), \(b=24\), \(c=64\) **3 pkt** – zapisanie postaci iloczynowej i współrzędnych wierzchołka albo zapisanie postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-3)^{2}+100\) **2 pkt** – zapisanie \(f(x)=a(x+2)(x-8)\) albo obliczenie współrzędnych wierzchołka \((3,100)\) **1 pkt** – wskazanie miejsc zerowych \(-2\) i \(8\), albo współrzędnej \(q=100\), albo osi symetrii \(x=3\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie miejsc zerowych i wartości największej; przejście między postacią iloczynową, kanoniczną i ogólną. Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**C.** Rozwiązaniami są \(-3\), \(m\) i \(-2\), więc \(-3+m-2=0\), stąd \(m=5\).

**Krok \(1\).** Lewa strona równania jest iloczynem czynników, więc rozwiązania odczytujemy, przyrównując do zera każdy czynnik z osobna. Parametr \(m\) siedzi w jednym z nich, więc jedno z rozwiązań będzie od niego zależeć — a warunek o sumie rozwiązań pozwoli \(m\) wyznaczyć. **Krok \(2\).** Czynnik \(3\) jest stałą różną od zera, więc nie daje żadnego rozwiązania — można go pominąć. **Krok \(3\).** Pozostałe czynniki przyrównujemy do zera: \[x+3=0\ \Rightarrow\ x=-3,\qquad x-m=0\ \Rightarrow\ x=m,\qquad 2x+4=0\ \Rightarrow\ x=-2.\] **Krok \(4\).** Sumujemy wszystkie rozwiązania: \[-3+m+(-2)=m-5.\] **Krok \(5\).** Z treści wiemy, że suma rozwiązań jest równa \(0\), więc \[m-5=0,\qquad m=5.\] **Krok \(6\).** Sprawdzenie. Dla \(m=5\) równanie przyjmuje postać \(3(x+3)(x-5)(2x+4)=0\), a jego rozwiązaniami są \(-3\), \(-2\) oraz \(5\). Ich suma to \(-3-2+5=0\) — warunek jest spełniony, a rozwiązania są trzema różnymi liczbami. **Uwaga.** Rozwiązaniem czynnika \(2x+4=0\) jest \(x=-2\), a nie \(x=-4\) — trzeba jeszcze podzielić przez \(2\). Podobnie z czynnika \(x-m\) wychodzi \(x=m\), a nie \(x=-m\); pomyłka w którymkolwiek z tych miejsc prowadzi wprost do jednego z pozostałych dystraktorów. **Odpowiedź.** C: \(m=5\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.5) Zdający rozwiązuje równania wielomianowe postaci \(W(x)=0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

**C.** Trzy rozwiązania.

Równanie ma postać iloczynową. Czynnik \(x^2+2x+3\) nie ma rzeczywistych miejsc zerowych, ponieważ jego wyróżnik jest równy \(-8\). Pozostałe czynniki dają \(x=0\) oraz \(x=\pm\sqrt3\), czyli łącznie trzy rozwiązania. Poprawna jest odpowiedź **C**.

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** III.5) Zdający rozwiązuje równania wielomianowe doprowadzone do postaci iloczynowej.

Drugie miejsce zerowe, symetryczne do \(1\) względem osi \(x=-1\), jest równe \(-3\). Zatem \(f(x)=a(x-1)(x+3)\). Ponieważ \(f(2)=15\), mamy \(5a=15\), czyli \(a=3\). Stąd \[f(x)=3(x+1)^{2}-12.\]

Osią symetrii wykresu jest prosta \(x=-1\), więc miejsca zerowe funkcji leżą symetrycznie względem liczby \(-1\). Jedno z nich jest równe \(1\), a jego odległość od osi symetrii wynosi \(1-(-1)=2\); drugie leży o \(2\) na lewo: \[x_2=-1-2=-3.\] Zapisujemy funkcję w postaci iloczynowej: \[f(x)=a(x-1)(x+3),\] a współczynnik \(a\) wyznaczamy z warunku \(f(2)=15\): \[a(2-1)(2+3)=15,\qquad 5a=15,\qquad a=3.\] Przechodzimy do postaci kanonicznej: pierwszą współrzędną wierzchołka jest \(p=-1\), a drugą \[q=f(-1)=3\cdot(-1-1)(-1+3)=3\cdot(-2)\cdot2=-12.\] Zatem \[f(x)=3(x+1)^2-12.\] Sprawdzenie: \(f(2)=3\cdot9-12=15\) oraz \(f(1)=3\cdot4-12=0\). **Odpowiedź.** \(f(x)=3(x+1)^2-12\)

1 pkt: zapisanie f(x)=a(x+1)²+q, f(x)=a(x−1)(x+3) albo równoważnego układu równań. 2 pkt: obliczenie a=3 albo q=−12. 3 pkt: poprawna metoda i f(x)=3(x+1)²−12.

Wymaganie ogólne: IV. Rozumowanie i argumentacja. Wymaganie szczegółowe: V.9) Wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o funkcji lub wykresie.

\(f(x)=3(x+1)^2-12\), a zbiorem wartości jest \(\langle-12,+\infty)\).

Osią symetrii wykresu jest prosta \(x=-1\), więc miejsca zerowe funkcji leżą symetrycznie względem liczby \(-1\). Jedno z nich jest równe \(1\), a jego odległość od osi symetrii wynosi \(1-(-1)=2\); drugie leży o \(2\) na lewo: \[x_2=-1-2=-3.\] Zapisujemy funkcję w postaci iloczynowej: \[f(x)=a(x-1)(x+3).\] Współczynnik \(a\) wyznaczamy z warunku \(f(2)=15\): \[a(2-1)(2+3)=15,\qquad 5a=15,\qquad a=3.\] Przechodzimy do postaci kanonicznej. Pierwsza współrzędna wierzchołka to \(p=-1\), a druga \[q=f(-1)=3\cdot(-1-1)(-1+3)=3\cdot(-2)\cdot2=-12,\] zatem \[f(x)=3(x+1)^2-12.\] Ponieważ \(a=3>0\), ramiona paraboli są skierowane w górę i \(-12\) jest najmniejszą wartością funkcji, osiąganą w wierzchołku. Zbiorem wartości jest więc \[ZW_f=\langle-12,+\infty).\] **Odpowiedź.** \(f(x)=3(x+1)^2-12\), \(ZW_f=\langle-12,+\infty)\).

1 pkt: zapisanie f(x)=a(x+1)²+q, f(x)=a(x−1)(x+3) albo równoważnego układu. 2 pkt: obliczenie a=3 albo q=−12. 3 pkt: zapisanie f(x)=3(x+1)²−12 albo obliczenie q=−12 i podanie zbioru wartości. 4 pkt: poprawny wzór i zbiór wartości [−12,+∞).

Wymaganie ogólne: IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymaganie szczegółowe: 4.9) Wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o funkcji lub wykresie.

\[g(x)=2(x-1)(x-5).\]

Oś symetrii leży w połowie między miejscami zerowymi, więc \[3=\frac{1+x_2}{2},\qquad x_2=5.\] Zatem \(g(x)=a(x-1)(x-5)\). Ponieważ punkt \((2,-6)\) należy do wykresu, \[-6=a(2-1)(2-5)=-3a,\] czyli \(a=2\). Ostatecznie \[g(x)=2(x-1)(x-5).\]

**2 pkt** – poprawna metoda i wzór \(g(x)=2(x-1)(x-5)\) **1 pkt** – zapisanie \(g(x)=a(x-1)(x-5)\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** V.8) Zdający interpretuje współczynniki funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej. V.9) Wyznacza wzór funkcji kwadratowej z informacji o jej wykresie.

**B.** Równanie ma trzy różne rozwiązania: \(x=1\), \(x=-5\) oraz \(x=5\).

**Krok \(1\).** Równanie jest już zapisane w postaci iloczynowej, a po prawej stronie stoi zero. Korzystamy więc z zasady: iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Rozpatrujemy każdy czynnik osobno. **Krok \(2\).** Czynnik \(4\) jest stałą różną od zera, więc nie daje żadnego rozwiązania. Możemy przez niego podzielić obie strony: \[(x-1)^{2}\left(x^{2}-25\right)=0.\] **Krok \(3\).** Pierwszy czynnik: \[(x-1)^{2}=0\ \Longleftrightarrow\ x-1=0\ \Longleftrightarrow\ x=1.\] **Krok \(4\).** Drugi czynnik rozkładamy wzorem na różnicę kwadratów: \[x^{2}-25=(x-5)(x+5)=0\ \Longleftrightarrow\ x=5\ \text{ lub }\ x=-5.\] **Krok \(5\).** Zbieramy wszystkie znalezione liczby: \(-5\), \(1\), \(5\). Są one parami różne, więc równanie ma trzy różne rozwiązania. **Uwaga.** Kwadrat przy nawiasie \((x-1)^{2}\) nie zwiększa liczby rozwiązań — mówimy wtedy o pierwiastku podwójnym, ale to wciąż jedna liczba \(x=1\). Zadanie pyta, ile jest rozwiązań, a nie ile wynosi suma ich krotności. **Odpowiedź.** B. Równanie ma dokładnie trzy rozwiązania: \(x=-5\), \(x=1\), \(x=5\).

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: 3.7) Korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań.

**B.** Równanie ma trzy różne rozwiązania: \(x=1\), \(x=-5\) oraz \(x=5\).

**Krok \(1\).** Równanie jest już zapisane w postaci iloczynowej, więc nie ma po co niczego wymnażać. Iloczyn jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy zeruje się któryś z czynników. Czynnik liczbowy \(4\) nigdy nie jest zerem, więc go pomijamy. **Krok \(2\).** Rozbijamy równanie na dwa prostsze: \[(x-1)^2=0\qquad\text{lub}\qquad x^2-25=0.\] **Krok \(3\).** Pierwsze: kwadrat jest zerem tylko wtedy, gdy zerowana jest podstawa, więc \[x-1=0\ \Rightarrow\ x=1.\] **Krok \(4\).** Drugie: \(x^2=25\), a stąd \[x=5\qquad\text{lub}\qquad x=-5.\] **Krok \(5\).** Zbieramy wszystkie znalezione liczby: \(1\), \(5\), \(-5\). Sprawdzamy, czy któraś się nie powtarza — nie, są trzy różne liczby. **Krok \(6\).** Równanie ma zatem dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. **Uwaga.** Czynnik \((x-1)^2\) daje pierwiastek podwójny, ale pytanie dotyczy liczby rozwiązań, a nie krotności. Liczba \(1\) jest jednym rozwiązaniem, więc nie wolno liczyć jej dwa razy — stąd trzy, a nie cztery (odpowiedź C to właśnie ta pomyłka). **Odpowiedź.** B: równanie ma dokładnie trzy rozwiązania: \(x=-5\), \(x=1\), \(x=5\).

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: III.5) Rozwiązuje równania wielomianowe w postaci iloczynowej; II.1) stosuje różnicę kwadratów.

**A.** Czynnik \(x^{2}+25\) jest dodatni dla każdego \(x\in\mathbb{R}\). Zatem \(2x(x+3)(x^{2}+25)=0\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(x=0\) lub \(x=-3\).

**Krok \(1\).** Lewa strona równania jest już rozłożona na czynniki: \(2x\), \(x+3\) oraz \(x^2+25\). Korzystamy z zasady, że iloczyn jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest zerem — i badamy każdy czynnik osobno. **Krok \(2\).** Pierwszy czynnik: \(2x=0\), czyli \(x=0\). **Krok \(3\).** Drugi czynnik: \(x+3=0\), czyli \(x=-3\). **Krok \(4\).** Trzeci czynnik: \(x^2+25=0\), czyli \(x^2=-25\). Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, więc to równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Co więcej, dla każdego \(x\) mamy \(x^2\geq0\), a zatem \(x^2+25\geq25\gt0\) — ten czynnik jest zawsze dodatni i nigdy nie zeruje iloczynu. **Krok \(5\).** Zostają dokładnie dwa rozwiązania: \(-3\) oraz \(0\). **Uwaga.** Wyrażenia \(x^2+25\) nie wolno rozkładać jak różnicy kwadratów — wzór \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) dotyczy **różnicy**, a nie sumy. Właśnie z takiego błędnego rozkładu na \((x-5)(x+5)\) biorą się dystraktory z liczbami \(-5\) i \(5\). **Odpowiedź.** A: dwa rozwiązania: \(-3\) oraz \(0\).

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.5) Zdający rozwiązuje równania wielomianowe postaci \(W(x)=0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

**C.** Rozwiązaniami są \(x=4\), \(x=-2\) oraz \(x=3\). Ich suma wynosi \(4-2+3=5\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy postać równania: lewa strona jest iloczynem trzech czynników, a prawa jest zerem. Iloczyn równa się zeru dokładnie wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem, więc rozbijamy zadanie na trzy proste równania liniowe. **Krok \(2\).** Pierwszy czynnik: \[3x-12=0\ \Longrightarrow\ 3x=12\ \Longrightarrow\ x=4.\] **Krok \(3\).** Drugi czynnik: \[10+5x=0\ \Longrightarrow\ 5x=-10\ \Longrightarrow\ x=-2.\] **Krok \(4\).** Trzeci czynnik: \[x-3=0\ \Longrightarrow\ x=3.\] **Krok \(5\).** Zbieramy rozwiązania: \(x=4\), \(x=-2\), \(x=3\). Są trzy różne, więc każde liczymy raz. **Krok \(6\).** Sumujemy je: \[4+(-2)+3=5.\] **Uwaga.** Sumujemy **rozwiązania**, a nie liczby stojące w nawiasach — dodanie \(12\), \(10\) i \(3\) prowadzi na manowce. Uważaj też na znak przy drugim czynniku: z \(10+5x=0\) wychodzi \(x=-2\), a nie \(x=2\). **Odpowiedź.** C: \(5\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.5) Zdający rozwiązuje równania wielomianowe postaci \(W(x)=0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

\[\frac ab=-1.\]

Rozwijamy prawą stronę równania: \[(a+b)(a^2+3ab+b^2)=a^3+4a^2b+4ab^2+b^3.\] Po skróceniu \(a^3+b^3\) otrzymujemy \[4a^2b+4ab^2=0,\qquad 4ab(a+b)=0.\] Warunki \(a\neq0\) i \(b\neq0\) wykluczają dwa pierwsze czynniki, więc \(a+b=0\), czyli \(a=-b\). Stąd \[\frac ab=\frac{-b}{b}=-1.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(\frac ab=-1\) **2 pkt** – otrzymanie \(4ab(a+b)=0\) i rozwiązań \(a=0\), \(b=0\), \(a=-b\), bez uwzględnienia warunków zadania **1 pkt** – przekształcenie do postaci \(4ab(a+b)=0\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** I. Sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** II.2) Zdający dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany wielu zmiennych. II.3) Wyłącza jednomian przed nawias. III.1) Przekształca równania równoważnie. III.5) Rozwiązuje równania wielomianowe doprowadzone do postaci iloczynowej.

\[x\in\left\{-\frac12,\frac12,3\right\}.\]

Grupujemy wyrazy: \[4x^3-12x^2-x+3=4x^2(x-3)-(x-3).\] Wyłączamy wspólny czynnik i stosujemy wzór na różnicę kwadratów: \[(x-3)(4x^2-1)=0,\] \[(x-3)(2x-1)(2x+1)=0.\] Stąd \[x=3\quad\text{lub}\quad x=\frac12\quad\text{lub}\quad x=-\frac12.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wyznaczenie wszystkich rozwiązań: \(x\in\left\{-\frac12,\frac12,3\right\}\) **2 pkt** – sprowadzenie równania do postaci iloczynowej wielomianów stopnia co najwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z powstałych równań albo wykonanie równoważnej części rozwiązania **1 pkt** – przekształcenie wielomianu do postaci \(4x^2(x-3)-(x-3)\), \(x(4x^2-1)-3(4x^2-1)\), zapisanie jednego rozwiązania albo wykonanie równoważnego istotnego kroku **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** III.5) Zdający rozwiązuje równania wielomianowe postaci \(W(x)=0\) dla wielomianów zapisanych w postaci iloczynowej lub takich, które dają się sprowadzić do postaci iloczynowej metodą grupowania.

\[x\in\{-\sqrt3,\sqrt3,2\}.\]

Grupujemy wyrazy: \[x^3-2x^2-3x+6=x^2(x-2)-3(x-2).\] Wyłączamy wspólny czynnik: \[(x-2)(x^2-3)=0.\] Stąd \[x-2=0\quad\text{lub}\quad x^2-3=0,\] czyli \[x=2\quad\text{lub}\quad x=\sqrt3\quad\text{lub}\quad x=-\sqrt3.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wyznaczenie wszystkich rozwiązań: \(-\sqrt3,\sqrt3,2\) **2 pkt** – sprowadzenie równania do postaci iloczynowej wielomianów stopnia co najwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań albo wykonanie równoważnej części rozwiązania **1 pkt** – zapisanie postaci \(x^2(x-2)-3(x-2)\), wyznaczenie jednego rozwiązania albo wykonanie równoważnego istotnego kroku **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** III.5) Zdający rozwiązuje równania wielomianowe postaci \(W(x)=0\), które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą grupowania.

\[x\in\{-5,-\sqrt2,\sqrt2\}.\]

Grupujemy wyrazy: \[x^3+5x^2-2x-10=x^2(x+5)-2(x+5).\] Wyłączamy wspólny czynnik: \[(x+5)(x^2-2)=0.\] Stąd \[x+5=0\quad\text{lub}\quad x^2-2=0,\] czyli \[x=-5\quad\text{lub}\quad x=-\sqrt2\quad\text{lub}\quad x=\sqrt2.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i obliczenie wszystkich rozwiązań: \(-5,-\sqrt2,\sqrt2\) **2 pkt** – sprowadzenie lewej strony do postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego i rozwiązanie jednego z równań albo równoważny zaawansowany etap **1 pkt** – zapisanie postaci \(x^2(x+5)-2(x+5)\), wyznaczenie jednego rozwiązania albo wykonanie równoważnego istotnego kroku **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** III.5) Zdający rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się sprowadzić do postaci iloczynowej.

**B.** Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=-1\).

Wyrażenie wymierne jest równe zero, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera. Mamy \[x+1=0,\] więc \(x=-1\). Dla tej wartości \[(x+2)(x-3)=1\cdot(-4)\neq0.\] Liczby \(-2\) i \(3\) są wykluczone z dziedziny, nie są rozwiązaniami.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.6) Zdający rozwiązuje równania wymierne postaci \(\frac{V(x)}{W(x)}=0\), gdy wielomiany \(V(x)\) i \(W(x)\) są zapisane w postaci iloczynowej.

C. −\(5\), \(0\), \(2\)

Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest równy zeru, a mianownik od zera różny. Dziedzinę wyznacza warunek \(2x+4\neq0\), czyli \(x\neq-2\). Licznik zeruje się dla \[x=0\quad\text{lub}\quad x+5=0\quad\text{lub}\quad 2-x=0,\] czyli dla \(x=0\), \(x=-5\), \(x=2\). Żadna z tych liczb nie jest równa \(-2\), więc wszystkie należą do dziedziny. **Odpowiedź.** Trzy rozwiązania: \(-5\), \(0\), \(2\), czyli odpowiedź **C**.

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.6) Zdający rozwiązuje równania wymierne postaci \(\frac{V(x)}{W(x)}=0\), gdzie wielomiany \(V(x)\) i \(W(x)\) są zapisane w postaci iloczynowej.

**P, F.**

Wyłączamy wspólny czynnik: \[W(x)=3x^3+6x^2+9x=3x(x^2+2x+3)=F(x)G(x).\] Pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe. Sprawdzamy drugie stwierdzenie: \[W(-1)=3(-1)^3+6(-1)^2+9(-1)=-3+6-9=-6\neq0.\] Liczba \(-1\) nie jest rozwiązaniem równania \(W(x)=0\), więc drugie stwierdzenie jest fałszywe.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **PF** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** II.2) Zdający mnoży wielomiany. III.5) Zdający rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej przez wyłączenie wspólnego czynnika.

\[y=g(x)=2(x-1)(x-5).\]

Oś symetrii leży w połowie między miejscami zerowymi, więc \[3=\frac{1+x_2}{2},\qquad x_2=5.\] Zapisujemy \(g(x)=a(x-1)(x-5)\). Ponieważ \(P=(2,-6)\) należy do wykresu, \[-6=a(2-1)(2-5)=-3a,\] stąd \(a=2\).

**2 pkt** – poprawna metoda i wzór \(y=g(x)=2(x-1)(x-5)\) **1 pkt** – zapisanie \(y=g(x)=a(x-1)(x-5)\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 operowanie reprezentacjami funkcji. **Wymagania szczegółowe:** V.8-V.9 interpretacja postaci iloczynowej i wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej.

**D.** największą równą \(4\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy postać wzoru: \(f(x)=-(x-1)(x-5)\) to funkcja kwadratowa w postaci iloczynowej. Najpierw rozstrzygamy, czy ma wartość największą, czy najmniejszą — decyduje o tym znak współczynnika przy \(x^{2}\). **Krok \(2\).** Po wymnożeniu wyraz z \(x^{2}\) powstaje jako \(-x\cdot x=-x^{2}\), więc \(a=-1\lt0\). Ramiona paraboli są skierowane w dół, zatem funkcja przyjmuje wartość **największą** (w wierzchołku), a wartości najmniejszej nie ma. To już eliminuje odpowiedzi A i B. **Krok \(3\).** Z postaci iloczynowej odczytujemy miejsca zerowe: \(x_{1}=1\) i \(x_{2}=5\) (to dla nich któryś nawias się zeruje). **Krok \(4\).** Parabola jest symetryczna względem prostej przechodzącej przez wierzchołek, więc pierwsza współrzędna wierzchołka leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi: \[p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{1+5}{2}=3.\] **Krok \(5\).** Wartość największa to \(f(p)\): \[f(3)=-(3-1)(3-5)=-\,2\cdot(-2)=4.\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy dwiema wartościami kontrolnymi: \(f(0)=-(0-1)(0-5)=-5\) oraz \(f(2)=-(2-1)(2-5)=3\). Obie są mniejsze od \(4\), co potwierdza, że \(4\) jest wartością największą. **Uwaga.** Znak minus przed iloczynem odwraca całą sytuację. Gdyby wzór brzmiał \(f(x)=(x-1)(x-5)\), funkcja miałaby wartość **najmniejszą** równą \(-4\). Zwróć też uwagę, że pytamy o wartość funkcji (drugą współrzędną wierzchołka), a nie o argument \(x=3\), przy którym jest ona osiągana — stąd pułapka w odpowiedzi C. **Odpowiedź.** D: największą równą \(4\)

Zadanie 14. Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

\(x\in\left\{-\sqrt5,-\frac32,\sqrt5\right\}\)

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i grupujemy: \[2x^3+3x^2-10x-15=0,\] \[x^2(2x+3)-5(2x+3)=0,\] \[(2x+3)(x^2-5)=0.\] Stąd \[2x+3=0\quad\text{lub}\quad x^2-5=0,\] czyli \[x=-\frac32\quad\text{lub}\quad x=-\sqrt5\quad\text{lub}\quad x=\sqrt5.\]

**3 pkt** – poprawne przekształcenie równania i wyznaczenie wszystkich rozwiązań: \(-\sqrt5\), \(-\frac32\), \(\sqrt5\) **2 pkt** – doprowadzenie do postaci \((2x+3)(x^2-5)=0\) i rozwiązanie co najmniej jednego z równań wynikających z tego rozkładu albo równoważny etap wskazany w kluczu CKE **1 pkt** – poprawne doprowadzenie do postaci iloczynowej \((2x+3)(x^2-5)=0\) albo równoważny postęp wskazany w kluczu CKE **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja; stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań. **Wymagania szczegółowe:** III.1 i III.5 równoważne przekształcanie równań oraz rozwiązywanie równań wielomianowych metodą grupowania i sprowadzania do postaci iloczynowej.

**D.** \(\sqrt2\)

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy zeru. Z czynnika \(x^2-2=0\) otrzymujemy \(x=\pm\sqrt2\), więc jednym z rozwiązań jest \(\sqrt2\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.5 zdający rozwiązuje równania wielomianowe postaci \(W(x)=0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

\(x\in\left\{-2,\frac23,2\right\}\)

Grupujemy wyrazy: \[3x^3-2x^2-12x+8=x^2(3x-2)-4(3x-2)=(3x-2)(x^2-4).\] Następnie \[(3x-2)(x-2)(x+2)=0,\] więc \[x=\frac23\quad\text{lub}\quad x=2\quad\text{lub}\quad x=-2.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wyznaczenie wszystkich rozwiązań: \(-2\), \(\frac23\), \(2\) **2 pkt** – rozkład do postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego i rozwiązanie co najmniej jednego z otrzymanych równań albo wyznaczenie jednego pierwiastka i poprawne podzielenie wielomianu przez odpowiedni dwumian **1 pkt** – rozkład \((3x-2)(x^2-4)=0\), zapisanie jednego poprawnego rozwiązania albo poprawnej alternatywy równań **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja; stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** III.5 zdający rozwiązuje równania wielomianowe postaci \(W(x)=0\), które można doprowadzić do postaci iloczynowej metodą grupowania.

**A.** dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=2\)

Dziedzinę ograniczają zera mianownika: \[x\neq0,\qquad x\neq1{,}5,\qquad x\neq-6.\] Licznik jest równy zeru dla \(x=1{,}5\) lub \(x=2\). Wartość \(x=1{,}5\) nie należy do dziedziny, natomiast \(x=2\) należy. Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.6 rozwiązywanie równań wymiernych \(\frac{V(x)}{W(x)}=0\), gdy wielomiany są zapisane w postaci iloczynowej.

**B.** dwa rozwiązania

Dziedzina równania wyklucza \(x=-2\) i \(x=2\). Licznik jest równy zeru, gdy \[(x^2-3x)(x+2)=x(x-3)(x+2)=0,\] czyli dla \(x=0\), \(x=3\) lub \(x=-2\). Ostatnia wartość nie należy do dziedziny. Równanie ma więc dokładnie dwa rozwiązania: \(0\) i \(3\).

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** III.6 zdający rozwiązuje równania wymierne postaci \(\frac{V(x)}{W(x)}=0\), gdzie wielomiany są zapisane w postaci iloczynowej.

\[x=-\frac14.\]

Dziedzina równania spełnia \((2x-10)(x+3)\ne0\), więc \(x\ne5\) i \(x\ne-3\). Licznik jest równy zero dla \(x=-\frac14\) lub \(x=5\). Drugą wartość wyklucza dziedzina, zatem jedynym rozwiązaniem jest \(x=-\frac14\).

**2 pkt** – poprawna metoda rozwiązania, uwzględnienie dziedziny i wynik \(x=-\frac14\) **1 pkt** – rozwiązanie równania licznika albo poprawne wyznaczenie dziedziny \(x\ne5\), \(x\ne-3\) **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.7 rozwiązywanie równań wymiernych zapisanych w postaci iloczynowej.

**A.** Równanie nie ma rozwiązania.

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru i mianownik jest różny od zera. Licznik zeruje się dla \(x=-1\) lub \(x=1\), lecz obie liczby są wykluczone z dziedziny przez mianownik \((x-1)(x+1)^2\). Równanie nie ma więc rozwiązań.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.6 zdający rozwiązuje równania wymierne postaci \(\frac{V(x)}{W(x)}=0\), gdy wielomiany są zapisane w postaci iloczynowej.

Po pomnożeniu przez \(a\gt 0\) nierówność jest równoważna \(a^{3}-12a+16\geq 0\), czyli \((a-2)^{2}(a+4)\geq 0\). Oba czynniki są nieujemne dla \(a\gt 0\), a równość zachodzi tylko dla \(a=2\).

**Krok \(1\).** Metoda: przekształcamy nierówność równoważnie, mnożąc przez dodatnią liczbę \(a\), i rozkładamy powstały wielomian na czynniki o oczywistym znaku. **Krok \(2\).** Z założenia \(a\gt 0\), więc mnożenie obu stron przez \(a\) nie zmienia kierunku nierówności: \[a^{2}+\frac{16}{a}\geq 12\quad\Longleftrightarrow\quad a^{3}+16\geq 12a\quad\Longleftrightarrow\quad a^{3}-12a+16\geq 0.\] **Krok \(3\).** Rozważmy wielomian \(W(a)=a^{3}-12a+16\). Sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego: \(W(2)=8-24+16=0\), więc \(a-2\) jest dzielnikiem \(W\). **Krok \(4\).** Dzielimy: \(W(a)=(a-2)\left(a^{2}+2a-8\right)\). Trójmian \(a^{2}+2a-8\) ma pierwiastki \(2\) i \(-4\), więc \[W(a)=(a-2)(a-2)(a+4)=(a-2)^{2}(a+4).\] **Krok \(5\).** Dla każdego \(a\gt 0\) mamy \((a-2)^{2}\geq 0\) oraz \(a+4\gt 0\), więc iloczyn \((a-2)^{2}(a+4)\) jest nieujemny. Zatem \(a^{3}-12a+16\geq 0\). **Krok \(6\).** Dzieląc tę nierówność stronami przez \(a\gt 0\), wracamy do postaci wyjściowej \(a^{2}+\frac{16}{a}\geq 12\). To należało wykazać. **Uwaga.** Kluczowe jest założenie \(a\gt 0\): tylko dzięki niemu mnożenie i dzielenie przez \(a\) zachowuje kierunek nierówności. Dla \(a\lt 0\) lewa strona jest ujemna albo mniejsza od \(12\), więc teza po prostu nie zachodzi. Zauważmy też, że równość ma miejsce dokładnie dla \(a=2\), bo tylko wtedy \((a-2)^{2}=0\). **Odpowiedź.** Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(a\) zachodzi \(a^{2}+\frac{16}{a}\geq 12\), przy czym równość zachodzi tylko dla \(a=2\).

**3 pkt** – spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty i uzasadnienie prawdziwości nierówności \(\frac{(a-2)^{2}(a+4)}{a}\ge 0\) lub \((a-2)^{2}(a+4)\ge 0\), lub \(a(a-2)^{2}(a+4)\ge 0\) z powołaniem się na założenie (dla sposobu I) ALBO – spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty i przekształcenie nierówności \(\frac{a^{2}+\frac{8}{a}+\frac{8}{a}}{3}\ge\sqrt[3]{a^{2}\cdot\frac{8}{a}\cdot\frac{8}{a}}\) do postaci tezy (dla sposobu II), ALBO – spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty oraz obliczenie \(f(2)\): \(f(2)=12\) (dla sposobu III). **2 pkt** – przekształcenie nierówności \(a^{2}+\frac{16}{a}\ge 12\) do postaci \(\frac{(a-2)^{2}(a+4)}{a}\ge 0\) lub \((a-2)^{2}(a+4)\ge 0\), lub \(a(a-2)^{2}(a+4)\ge 0\) (dla sposobu I) ALBO – spełnienie kryterium oceniania za 1 punkt oraz zapisanie wielomianu \(a^{3}-12a+16\) w postaci \((a-2)^{2}(a+4)\) (dla sposobu I), ALBO – zapisanie, że dla każdego \(a>0\) liczby \(a^{2}\), \(\frac{8}{a}\), \(\frac{8}{a}\) są dodatnie oraz zapisanie nierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną liczb dodatnich \(a^{2}\), \(\frac{8}{a}\), \(\frac{8}{a}\): \(\frac{a^{2}+\frac{8}{a}+\frac{8}{a}}{3}\ge\sqrt[3]{a^{2}\cdot\frac{8}{a}\cdot\frac{8}{a}}\) (dla sposobu II), ALBO – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(f\) oraz wyznaczenie w przedziale \((0,\,+\infty)\) argumentu, dla którego funkcja osiąga w tym przedziale wartość najmniejszą (wraz z uzasadnieniem): \(a=2\) (dla sposobu III). **1 pkt** – przekształcenie nierówności \(a^{2}+\frac{16}{a}\ge 12\) do postaci \(\frac{a^{3}-12a+16}{a}\ge 0\) lub \(a^{3}-12a+16\ge 0\), lub \(a(a^{3}-12a+16)\ge 0\) (dla sposobu I) ALBO – zapisanie, że dla każdego \(a>0\) liczby \(a^{2}\), \(\frac{8}{a}\), \(\frac{8}{a}\) są dodatnie (dla sposobu II), ALBO – obliczenie pochodnej funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(a)=a^{2}+\frac{16}{a}\) dla \(a>0\) (lub w szerszym zakresie), np. \(f'(a)=2a-\frac{16}{a^{2}}\) (dla sposobu III). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania. **Uwaga:** Jeśli zdający opiera swoje rozwiązanie na nierówności między średnimi (sposób III) i stosuje nierówność między średnimi liczb \(a^{2}\), \(\frac{8}{a}\), \(\frac{8}{a}\) bez zapisania, że liczby te są dodatnie, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** II.R1) Zdający znajduje pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych. III.R1) Zdający rozwiązuje nierówności wielomianowe typu: \(W(x)>0\), \(W(x)\ge 0\), \(W(x)<0\), \(W(x)\le 0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania.

**D.** \(k=3\)

Skoro \(W(x)\) ma czynnik \(x+1\), to \(-1\) jest jego pierwiastkiem. Zatem \[W(-1)=-3(-1)^3-(-1)^2+k(-1)+1=3-k.\] Warunek \(W(-1)=0\) daje \(3-k=0\), więc \(k=3\).

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.5 i V.2 rozwiązywanie równań wielomianowych doprowadzonych do postaci iloczynowej oraz obliczanie wartości funkcji zadanej wzorem algebraicznym.

\[Q(x)=3x^2+2x-1,\qquad x\in\left\{-2,-1,\frac13\right\}.\]

Ponieważ \(x+2\) jest czynnikiem \(W(x)\), mamy \(W(-2)=0\): \[3(-2)^3+m(-2)^2+3(-2)-2=0,\] \[-32+4m=0,\qquad m=8.\] Dzieląc \(3x^3+8x^2+3x-2\) przez \(x+2\), otrzymujemy \[Q(x)=3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1).\] Stąd \[W(x)=(x+2)(3x-1)(x+1),\] a jego pierwiastki to \(x=-2\), \(x=-1\) i \(x=\frac13\).

**3 pkt** – poprawna metoda wyznaczenia \(Q(x)\), postać \(Q(x)=3x^2+2x-1\) i wszystkie pierwiastki \(W\): \(-2,-1,\frac13\) **2 pkt** – poprawna metoda i prawidłowa postać \(Q(x)\), albo konsekwentna metoda wyznaczenia pierwiastków po błędzie rachunkowym w \(Q\) **1 pkt** – zapisanie \(W(-2)=0\) i obliczenie \(m=8\), albo rozpoczęcie porównywania współczynników w tożsamości \(3x^3+mx^2+3x-2=(x+2)(ax^2+bx+c)\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 i I operowanie wielomianami i sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** II.6 i III.6 dzielenie wielomianu przez dwumian \(x-a\) oraz rozwiązywanie równań wielomianowych w postaci iloczynowej.

\[\frac ab=-1.\]

Rozwijamy sześcian sumy i porządkujemy równanie: \[a^3+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\] \[3ab(a+b)=0.\] Ponieważ \(a\ne0\) i \(b\ne0\), musi zachodzić \(a+b=0\), czyli \(a=-b\). Stąd \(\frac ab=-1\).

**3 pkt** – poprawna metoda obliczenia ilorazu i wynik \(\frac ab=-1\) **2 pkt** – uzyskanie \(3ab(a+b)=0\) i rozwiązań \(a=0\), \(b=0\), \(a=-b\), bez uwzględnienia warunków **1 pkt** – przekształcenie równania do postaci \(3ab(a+b)=0\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** II.1, II.3, III.1 i III.6 wzory skróconego mnożenia, wyłączanie jednomianu przed nawias, równoważne przekształcanie równań i rozwiązywanie równań wielomianowych w postaci iloczynowej.

\[a=-\frac38,\qquad b=-\frac34,\qquad c=\frac{45}{8}.\]

Miejsca zerowe \(-5\) i \(3\) dają postać iloczynową \[f(x)=a(x+5)(x-3).\] Oś symetrii paraboli ma równanie \[x=\frac{-5+3}{2}=-1.\] Prosta \(y=6\) ma z wykresem dokładnie jeden punkt wspólny, więc jest styczna w wierzchołku i \(f(-1)=6\). Zatem \[a(-1+5)(-1-3)=6,\] \[-16a=6,\qquad a=-\frac38.\] Po rozwinięciu \[f(x)=-\frac38(x^2+2x-15)=-\frac38x^2-\frac34x+\frac{45}{8}.\] Stąd \(a=-\frac38\), \(b=-\frac34\), \(c=\frac{45}{8}\).

**5 pkt** – poprawna metoda i wszystkie współczynniki: \(a=-\frac38\), \(b=-\frac34\), \(c=\frac{45}{8}\) **4 pkt** – poprawne wyznaczenie \(a\) z warunku styczności i drobny błąd przy rozwinięciu postaci iloczynowej **3 pkt** – zapisanie \(f(x)=a(x+5)(x-3)\), wyznaczenie osi \(x=-1\) i równania \(f(-1)=6\) **2 pkt** – poprawna postać iloczynowa oraz wykorzystanie jednego z warunków dotyczących wierzchołka lub styczności **1 pkt** – zapisanie \(f(x)=a(x+5)(x-3)\) albo równoważnego układu wynikającego z danych **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 4.9 wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie informacji o funkcji i jej wykresie.

**B.** \(k=2\)

Miejscami zerowymi lewej strony nierówności są \(x=3\) oraz \(x=-k\). Ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, iloczyn jest ujemny między miejscami zerowymi. Z podanego zbioru rozwiązań \((-2,3)\) wynika \[-k=-2,\] czyli \(k=2\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** V.8 i III.4 interpretowanie współczynników funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej oraz rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych.

**B.** \(-1\)

Wyłączamy wspólny czynnik: \[5(x+1)-x^2(x+1)=(x+1)(5-x^2).\] Stąd jednym z rozwiązań jest \(x=-1\).

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.3 rozwiązywanie równań wielomianowych zapisanych w postaci iloczynowej.

**B.** \(-\frac12\)

Z postaci iloczynowej otrzymujemy rozwiązania \(x=\frac12\), \(x=1\) oraz \(x=-2\). Ich suma jest równa \[\frac12+1-2=-\frac12.\]

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.3 rozwiązywanie równań wielomianowych zapisanych w postaci iloczynowej.

\[x\in\{-3,2,3\}.\]

Grupujemy wyrazy i wyłączamy wspólne czynniki: \[3x^3-6x^2-27x+54=0,\] \[3x^2(x-2)-27(x-2)=0,\] \[(x-2)(3x^2-27)=0,\] \[3(x-2)(x^2-9)=0,\] \[3(x-2)(x-3)(x+3)=0.\] Stąd \[x=2\quad\text{lub}\quad x=3\quad\text{lub}\quad x=-3.\]

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i podanie wszystkich rozwiązań: \(x=-3\), \(x=2\), \(x=3\) **2 pkt** – rozwiązanie jednego z równań \(x^2-9=0\) albo \(x-2=0\) **1 pkt** – przekształcenie lewej strony równania do iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych, operowanie nimi i interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.5 rozwiązywanie równań wielomianowych \(W(x)=0\) dla wielomianów w postaci iloczynowej lub sprowadzalnych do niej przez wyłączanie wspólnego czynnika albo grupowanie.

**A.** Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Licznik jest równy zeru dla \(x=4\) albo \(x=\frac32\). Mianownik zeruje się dla \(x=\frac53\) albo \(x=\frac32\), więc \(x=\frac32\) nie należy do dziedziny. Jedynym rozwiązaniem równania jest zatem \[x=4.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.6 rozwiązywanie równań wymiernych postaci \(\frac{V(x)}{W(x)}=0\), gdy wielomiany \(V(x)\) i \(W(x)\) są zapisane w postaci iloczynowej.

**B.** Równanie ma dwa rozwiązania: \(x=-3\) oraz \(x=0\).

Dziedziną równania jest \[D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}.\] Licznik jest równy zeru, gdy \[x(x+1)(x+3)(x-1)=0,\] czyli dla \(x\in\{0,-1,-3,1\}\). Po odrzuceniu wartości wyłączonych z dziedziny pozostają \[x=-3\quad\text{lub}\quad x=0.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** III.6 rozwiązywanie równań wymiernych postaci \(\frac{V(x)}{W(x)}=0\), gdy wielomiany \(V(x)\) i \(W(x)\) są zapisane w postaci iloczynowej.

\[m\in\left(\frac{20}{7},4\right).\]

Równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, gdy jego wyróżnik jest dodatni: \[\Delta=(m-4)^2-4(m^2-7m+12)=-3m^2+20m-32>0.\] Ponieważ \[-3m^2+20m-32=-3(m-4)\left(m-\frac83\right),\] otrzymujemy \(m\in(\frac83,4)\). Z warunku zadania: \[x_1^3+x_2^3<5x_1x_2(x_1+x_2).\] Korzystamy z tożsamości \(x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2]\) oraz ze wzorów Viète'a: \[x_1+x_2=m-4,\qquad x_1x_2=m^2-7m+12.\] Dostajemy \[(m-4)[(m-4)^2-3(m^2-7m+12)]<5(m^2-7m+12)(m-4),\] \[-7(m-4)^2\left(m-\frac{20}{7}\right)<0.\] Stąd \(m\in(\frac{20}{7},4)\cup(4,+\infty)\). Część wspólna z warunkiem \(\Delta>0\) jest równa \[m\in\left(\frac{20}{7},4\right).\]

**5 pkt** – poprawna metoda i wynik \(m\in(\frac{20}{7},4)\) **4 pkt** – rozwiązanie warunku \(\Delta>0\) oraz otrzymanie końcowej nierówności z parametrem lub osobne rozwiązanie warunku wynikającego z nierówności pierwiastków **3 pkt** – rozwiązanie \(\Delta>0\) i zapisanie nierówności po zastosowaniu wzorów Viète'a albo poprawne sprowadzenie jej do postaci iloczynowej **2 pkt** – rozwiązanie \(\Delta>0\) oraz przekształcenie warunku do postaci umożliwiającej użycie wzorów Viète'a **1 pkt** – poprawne rozwiązanie \(\Delta>0\) albo właściwe przekształcenie sumy sześcianów **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. dobieranie i tworzenie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.R3 i III.R5 stosowanie wzorów Viète'a oraz analiza równań kwadratowych z parametrem i własnościami rozwiązań.

**B.** \(p<0\) i \(q>0\)

Miejsca zerowe mają wartości \(-4\) i \(2\), więc oś symetrii ma równanie \[x=\frac{-4+2}{2}=-1.\] Zatem \(p=-1<0\). Ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny, parabola ma ramiona skierowane w dół, a jej wierzchołek leży ponad osią \(Ox\), więc \(q>0\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** odczytywanie własności funkcji kwadratowej z postaci iloczynowej i wyznaczanie osi symetrii paraboli.

**C.** \(1\)

Miejsca zerowe funkcji to \(x_1=-3\) oraz \(x_2=5\). Oś symetrii paraboli, a więc pierwsza współrzędna jej wierzchołka, jest równa \[x_W=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-3+5}{2}=1.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3 odczytywanie własności funkcji kwadratowej z jej postaci iloczynowej.

D. \(8\)

Wyraz jest niedodatni, gdy \(b_n\leq0\). Zapisujemy wzór w postaci iloczynowej: \[b_n=3n^{2}-25n=n(3n-25).\] Dla \(n\geq1\) czynnik \(n\) jest dodatni, więc nierówność \(n(3n-25)\leq0\) sprowadza się do \(3n-25\leq0\), czyli \(n\leq\frac{25}3=8\tfrac13\). Warunek spełniają liczby naturalne \(n=1,2,\ldots,8\), czyli osiem wyrazów. **Odpowiedź.** **D.** \(8\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zasady oceniania rozwiązań zadań

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 5.1) Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.

\[x\in\left(-\infty,-\frac14\right]\cup\left(0,\frac23\right]\cup(1,+\infty).\]

Dziedzina wyrażenia wymaga \(x\neq0\) i \(x\neq1\). Przenosimy wszystko na lewą stronę: \[\frac{2x-1}{1-x}-\frac{2+2x}{5x}\leq0,\] \[\frac{5x(2x-1)-(2+2x)(1-x)}{5x(1-x)}\leq0,\] \[\frac{12x^2-5x-2}{5x(1-x)}\leq0.\] Licznik rozkłada się na czynniki: \[12x^2-5x-2=12\left(x-\frac23\right)\left(x+\frac14\right).\] Punkty krytyczne to \(-\frac14\), \(0\), \(\frac23\), \(1\). Analiza znaków daje \[x\in\left(-\infty,-\frac14\right]\cup\left(0,\frac23\right]\cup(1,+\infty).\]

**3 pkt** – poprawna metoda i pełny zbiór rozwiązań **2 pkt** – doprowadzenie nierówności do postaci iloczynowej i poprawne wyznaczenie punktów krytycznych albo poprawne rozwiązanie odpowiednich przypadków **1 pkt** – sprowadzenie do nierówności \(\frac{12x^2-5x-2}{5x(1-x)}\leq0\) lub równoważnego zapisu **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo nieuprawnione mnożenie przez mianowniki bez analizy ich znaku

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R3.7 rozwiązywanie nierówności wymiernych z uwzględnieniem dziedziny i znaków czynników.

**D.** \(a=-1\)

Wierzchołek \(W=(2,1)\) należy do wykresu funkcji, więc \(f(2)=1\). Podstawiamy \(x=2\): \[a(2-1)(2-3)=1,\] \[-a=1,\qquad a=-1.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.10 interpretowanie współczynników we wzorze funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej.

Dla \(k\in\mathbb Z\): \[x=k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac\pi4+k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac\pi6+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi.\]

Korzystamy z tożsamości \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) i przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę. Po wyłączeniu wspólnych czynników otrzymujemy \[2\sin x(\sin x-\cos x)(2\sin x-1)=0.\] Stąd mamy trzy równania: \[\sin x=0,\qquad \sin x=\cos x,\qquad \sin x=\frac12.\] Ich rozwiązania są następujące: \[\sin x=0\iff x=k\pi,\] \[\sin x=\cos x\iff x=\frac\pi4+k\pi,\] \[\sin x=\frac12\iff x=\frac\pi6+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\] gdzie \(k\in\mathbb Z\).

**4 pkt** – zapisanie wszystkich czterech serii rozwiązań **3 pkt** – poprawne rozwiązanie dwóch spośród trzech równań elementarnych **2 pkt** – sprowadzenie równania do postaci \(2\sin x(\sin x-\cos x)(2\sin x-1)=0\) **1 pkt** – zapisanie równania w częściowo rozłożonej postaci iloczynowej **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R6.6 rozwiązywanie równań trygonometrycznych.

**C.** \(x_1+x_2=2\)

Z postaci iloczynowej odczytujemy miejsca zerowe: \(x_1=-3\) i \(x_2=5\). Zatem \(x_1+x_2=2\).

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne I.** **4.10:** zdający interpretuje współczynniki i informacje zawarte w postaci iloczynowej funkcji kwadratowej.

**A.** \(x_1+x_2=11\)

Z postaci iloczynowej odczytujemy \(x_1=2\) i \(x_2=9\), więc \(x_1+x_2=11\).

**1 pkt** – odpowiedź A **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** funkcja kwadratowa - interpretacja postaci iloczynowej i miejsc zerowych.

**C.** \(c=3\)

Współczynnik \(c\) we wzorze \(f(x)=ax^2+bx+c\) jest wartością funkcji dla argumentu \(0\), bo \(f(0)=c\). Geometrycznie jest to rzędna punktu przecięcia wykresu z osią \(Oy\). Z rysunku odczytujemy, że wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,3)\), zatem \(c=3\). Wynik można potwierdzić rachunkiem. Z miejsc zerowych \(-3\) i \(1\) zapisujemy postać iloczynową \(f(x)=a(x+3)(x-1)\). Z rysunku wierzchołkiem jest \(W=(-1,4)\), więc \[f(-1)=a\cdot2\cdot(-2)=-4a=4,\qquad a=-1.\] Stąd \(f(x)=-(x+3)(x-1)\) oraz \(c=f(0)=-3\cdot(-1)=3\). **Odpowiedź.** C: \(c=3\)

Zadanie 10. (0−1) **Wymaganie ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** 4. Funkcje. Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje) (4.10).

Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(-\frac{16}{3}\).

Skoro funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe \(x_1=-2\) i \(x_2=6\), to można ją zapisać w postaci iloczynowej: \[f(x)=a(x+2)(x-6).\] Współczynnik \(a\) wyznaczamy z warunku \(f(1)=-5\): \[a(1+2)(1-6)=-5,\qquad -15a=-5,\qquad a=\frac13.\] Ponieważ \(a>0\), ramiona paraboli są skierowane w górę, a więc funkcja przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku. Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie odległości między miejscami zerowymi: \[p=\frac{-2+6}{2}=2.\] Najmniejsza wartość to \[q=f(2)=\frac13(2+2)(2-6)=\frac13\cdot4\cdot(-4)=-\frac{16}{3}.\] **Odpowiedź.** Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(-\frac{16}{3}\).

**1–3 pkt** – postać iloczynowa, współczynnik \(a=\tfrac{1}{3}\) i argument wierzchołka \(x=2\). **4 pkt** – wartość najmniejsza \(-\tfrac{16}{3}\).

Zadanie 32. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

\[x\in\left\{-\frac12,1\right\}.\]

Uwzględniamy założenia \(x\neq-1\) i \(x\neq0\). Po pomnożeniu równania przez \(2x(x+1)\) otrzymujemy \[(2x+1)(x+1)=2x(2x+1),\] \[(2x+1)(1-x)=0.\] Stąd \(2x+1=0\) lub \(1-x=0\), czyli \(x=-\frac12\) lub \(x=1\). Obie liczby spełniają założenia.

**2 pkt** – wyznaczenie obu rozwiązań: \(x=-\frac12\) i \(x=1\) **1 pkt** – doprowadzenie równania do postaci \((2x+1)(1-x)=0\) lub wyznaczenie jednego z dwóch rozwiązań **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Klasyfikacja CKE:** równania wymierne - założenia, usuwanie mianowników i równanie w postaci iloczynowej.

**C.** \(x=2\).

Dla funkcji kwadratowej \(y=ax^2+bx+c\) oś symetrii ma równanie \(x=-\frac{b}{2a}\). Tutaj \(a=-1\) i \(b=4\), więc \[x=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2.\]

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **C** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 4.10. Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje).

**C.** \(a=-1\).

Sprowadzamy wzór funkcji do postaci kanonicznej: \[f(x)=-x^2+6x-10=-(x-3)^2-1.\] Największa wartość funkcji wynosi \(-1\). Prosta pozioma \(y=a\) ma z parabolą dokładnie jeden punkt wspólny wtedy, gdy przechodzi przez jej wierzchołek. Zatem \(a=-1\).

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **C** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 4.10. Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje).

\[\frac{f(6)}{f(12)}=\frac7{39}.\]

Ponieważ miejscami zerowymi funkcji kwadratowej są \(-1\) i \(3\), jej postać iloczynowa ma postać \[f(x)=a(x+1)(x-3),\qquad a\neq0.\] Stąd \[\frac{f(6)}{f(12)}=\frac{a(6+1)(6-3)}{a(12+1)(12-3)}=\frac{7\cdot3}{13\cdot9}=\frac7{39}.\]

**2 pkt** – wynik \(\frac7{39}\) **1 pkt** – poprawne wykorzystanie postaci iloczynowej i zapisanie \(f(6)=a\cdot7\cdot3\) lub \(f(12)=a\cdot13\cdot9\) **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4. Funkcje - interpretowanie współczynników funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej (4.10).

\[a=-\frac14,\qquad b=3,\qquad c=0.\]

Skoro zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x)>0\) jest \((0,12)\), miejscami zerowymi są \(0\) i \(12\), a ramiona paraboli są skierowane w dół. Zatem \[f(x)=a x(x-12),\qquad a<0.\] Oś symetrii ma równanie \(x=6\), a największa wartość wynosi \(f(6)=9\). Stąd \[-36a=9,\qquad a=-\frac14.\] Po rozwinięciu: \[f(x)=-\frac14x(x-12)=-\frac14x^2+3x.\] Otrzymujemy \(a=-\frac14\), \(b=3\), \(c=0\).

**5 pkt** – poprawne współczynniki \(a=-\frac14\), \(b=3\), \(c=0\) **4 pkt** – wyznaczenie \(a=-\frac14\) i poprawnej postaci iloczynowej, lecz błąd w rozwinięciu **3 pkt** – wykorzystanie wierzchołka \((6,9)\) do wyznaczenia współczynnika \(a\) **2 pkt** – zapis \(f(x)=ax(x-12)\) i rozpoznanie osi \(x=6\) **1 pkt** – rozpoznanie miejsc zerowych \(0\) i \(12\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje, miejsca zerowe, postać iloczynowa i wierzchołek funkcji kwadratowej.

\[x^3+y^3-x^2y-xy^2=(x-y)^2(x+y)\geq0.\]

Przenosimy prawą stronę na lewą i wyłączamy wspólne czynniki: \[x^3+y^3-x^2y-xy^2=x^2(x-y)-y^2(x-y)=(x-y)(x^2-y^2)=(x-y)^2(x+y).\] Dla \(x,y\geq0\) mamy \((x-y)^2\geq0\) oraz \(x+y\geq0\), więc ich iloczyn jest nieujemny. To dowodzi nierówności.

**2 pkt** – pełny dowód z uzasadnieniem nieujemności \((x-y)^2(x+y)\) **1 pkt** – poprawne sprowadzenie różnicy stron do postaci iloczynowej **0 pkt** – rozumowanie błędne albo brak rozumowania

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** wyrażenia algebraiczne i nierówności, rozkład wielomianu na czynniki.

C

Równanie \(y=(x+2)(x-4)\) jest zapisane w postaci iloczynowej, więc miejsca zerowe to \(x_1=-2\) i \(x_2=4\). Parabola jest symetryczna względem prostej przechodzącej przez wierzchołek, a miejsca zerowe leżą symetrycznie po jej obu stronach. Pierwsza współrzędna wierzchołka jest zatem średnią arytmetyczną miejsc zerowych: \[p=\frac{-2+4}{2}=1.\] **Odpowiedź.** C: \(1\)

Zadanie 10. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

**D.** \(f(x)=-\frac12(x-3)(x+1)\)

Z rysunku odczytujemy dwie własności wykresu. Po pierwsze, ramiona paraboli są skierowane w dół, więc współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny — odpada A i B. Po drugie, wykres przecina oś \(Ox\) w punktach o odciętych \(-1\) i \(3\), więc w postaci iloczynowej muszą wystąpić czynniki \((x+1)\) i \((x-3)\) — odpada C, w której miejscami zerowymi są \(-3\) i \(1\). Pozostaje wzór \(f(x)=-\frac12(x-3)(x+1)\). Sprawdzamy go w wierzchołku odczytanym z rysunku, czyli w punkcie \((1,2)\): \[f(1)=-\frac12(1-3)(1+1)=-\frac12\cdot(-2)\cdot2=2.\] Zgadza się. **Odpowiedź.** D: \(f(x)=-\frac12(x-3)(x+1)\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Rozwiązywanie zadań prowadzących do badania funkcji kwadratowej (II.4.l).

D

Wzór \(f(x)=(x-2)(x+4)\) jest zapisany w postaci iloczynowej, więc odczytujemy z niego miejsca zerowe: \(x=2\) oraz \(x=-4\). Po wymnożeniu \(f(x)=x^2+2x-8\), a więc współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni i ramiona paraboli są skierowane w górę. Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie odległości między miejscami zerowymi: \[p=\frac{-4+2}{2}=-1,\qquad q=f(-1)=(-1-2)(-1+4)=-9,\] czyli \(W=(-1,-9)\). Z rysunków odczytujemy: na A i B ramiona są skierowane w dół, na C miejsca zerowe to \(-2\) i \(4\). Wszystkie trzy warunki — ramiona w górę, miejsca zerowe \(-4\) i \(2\), wierzchołek \((-1,-9)\) — spełnia tylko rysunek D. **Odpowiedź.** D

Zadanie 10. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

**B.** \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=0\)

Równanie \(2(x+2)(x-2)=0\) jest zapisane w postaci iloczynowej, więc jego pierwiastkami są \[x_1=-2,\qquad x_2=2.\] Oba są różne od zera, więc odwrotności istnieją. Obliczamy sumę odwrotności: \[\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{-2}+\frac{1}{2}=0.\] **Odpowiedź.** B: \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=0\)

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wyznaczanie miejsca zerowego funkcji kwadratowej (I.4.j).

\[x=\frac{k\pi}{2}\quad\text{lub}\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Stosujemy wzór na różnicę sinusów \[\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\,\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\] dla \(\alpha=5x\) i \(\beta=x\): \[\sin5x-\sin x=2\cos3x\,\sin2x=0.\] Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się jeden z czynników: \[\sin2x=0\quad\text{lub}\quad\cos3x=0.\] Z pierwszego równania \(2x=k\pi\), czyli \[x=\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.\] Z drugiego \(3x=\frac{\pi}{2}+k\pi\), czyli \[x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.\] **Odpowiedź.** \(x=\frac{k\pi}{2}\) lub \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą.

**Schemat oceniania I sposobu rozwiązania** **1 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zapisanie równania w postaci iloczynowej, np. \(\sin 2x\cos 3x=0\). **2 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zapisanie rozwiązań równania \(\sin 2x=0\): \(x=\frac{k\pi}{2}\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą, albo \(\cos 3x=0\): \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. **3 pkt** – rozwiązanie pełne: zapisanie wszystkich rozwiązań równania \(\sin 5x-\sin x=0\): \(x=\frac{k\pi}{2}\) lub \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. **Schemat oceniania II sposobu rozwiązania** **1 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zapisanie jednej z zależności: \(5x=x+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą, lub \(5x=\pi-x+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. **2 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zapisanie obu zależności: \(5x=x+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą, oraz \(5x=\pi-x+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. **3 pkt** – rozwiązanie pełne: zapisanie wszystkich rozwiązań równania \(\sin 5x-\sin x=0\): \(x=\frac{k\pi}{2}\) lub \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. **Uwagi** 1. Jeżeli zdający zapisze jedynie \(5x=x\), to otrzymuje \(0\) punktów. 2. Jeżeli zdający zapisze \(5x=x\) oraz \(5x=\) […], to otrzymuje \(1\) punkt. 3. Jeżeli zdający zapisze tylko jedną z zależności \(5x=x+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą, lub \(5x=\pi-x+2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą, i w rezultacie uzyska tylko jedną serię rozwiązań: \(x=\) […] albo \(x=\) […], gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą, to otrzymuje \(2\) punkty.

Zadanie 11. (0–3) Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, spełniające równanie sin 5x  sin x  0 . IV. Użycie i tworzenie R6.5. Zdający stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy strategii kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów. Rozwiązanie (I sposób): Korzystamy ze wzoru na różnicę sinusów i zapisujemy równanie w postaci 2sin 2x cos 3x  0 zatem sin 2x  0 lub cos 3x  0 stąd otrzymujemy kolejno: k sin 2x  0 , gdy 2x  k czyli x  , gdzie k jest liczbą całkowitą, 2   k cos 3x  0 , gdy 3x   k czyli x   , gdzie k jest liczbą całkowitą. 2 6 3 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp – 1 p. Zapisanie równania w postaci iloczynowej np. sin 2x cos 3x  0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania – 2 p. Zapisanie rozwiązań równania k  sin 2x  0 : x  , gdzie k jest liczbą całkowitą 2 albo  k  cos 3x  0 : x   , gdzie k jest liczbą całkowitą. 6 3 Rozwiązanie pełne – 3 p. k  k Zapisanie wszystkich rozwiązań równania sin 5x  sin x  0 : x  lub x   , gdzie k 2 6 3 jest liczbą całkowitą. Rozwiązanie (II sposób): Zapisujemy równanie w postaci sin 5x  sin x . Z własności funkcji sinus wynika, że 5x  x  2k, gdzie k jest liczbą całkowitą lub 5x  x  2k, gdzie k jest liczbą całkowitą, zatem k 4x  2k, czyli x  , gdzie k jest liczbą całkowitą 2 lub  k 6x  2k, czyli x   , gdzie k jest liczbą całkowitą. 6 3 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp – 1 p. Zapisanie jednej z zależności: 5x  x  2k, gdzie k jest liczbą całkowitą lub 5x  x  2k, gdzie k jest liczbą całkowitą. Pokonanie zasadniczych trudności zadania – 2 p. Zapisanie obu zależności: 5x  x  2k, gdzie k jest liczbą całkowitą oraz 5x  x  2k, gdzie k jest liczbą całkowitą. Rozwiązanie pełne – 3 p. k  k Zapisanie wszystkich rozwiązań równania sin 5x  sin x  0 : x  lub x   , gdzie k 2 6 3 jest liczbą całkowitą. Uwagi 1. Jeżeli zdający zapisze jedynie 5x  x , to otrzymuje 0 punktów. 2. Jeżeli zdający zapisze 5x  x oraz 5x  x , to otrzymuje 1 punkt. 3. Jeżeli zdający zapisze tylko jedną z zależności 5x  x  2k, gdzie k jest liczbą całkowitą lub 5x  x  2k, gdzie k jest liczbą całkowitą i w rezultacie uzyska tylko jedną serię k  k rozwiązań: x  albo x   , gdzie k jest liczbą całkowitą, to otrzymuje 2 punkty. 2 6 3

\(x\in\{-\sqrt{11},\ \sqrt{11},\ 6\}\)

**Krok \(1\).** Mamy równanie wielomianowe stopnia trzeciego. Na poziomie podstawowym rozwiązuje się je przez rozkład na czynniki, a najczęściej działa metoda grupowania: łączymy wyrazy w pary tak, aby z każdej pary wyszedł ten sam nawias. Podpowiedzią jest to, że \(66=6\cdot 11\), a przy \(x^{2}\) stoi \(-6\). **Krok \(2\).** Grupujemy pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy: \[x^{3}-6x^{2}-11x+66=\left(x^{3}-6x^{2}\right)+\left(-11x+66\right).\] **Krok \(3\).** Z pierwszej pary wyłączamy \(x^{2}\), z drugiej \(-11\): \[x^{2}(x-6)-11(x-6).\] Pojawił się wspólny nawias \((x-6)\) — to znak, że grupowanie wykonaliśmy dobrze. **Krok \(4\).** Wyłączamy \((x-6)\) przed nawias i zapisujemy równanie w postaci iloczynowej: \[(x-6)\left(x^{2}-11\right)=0.\] **Krok \(5\).** Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy któryś z czynników jest zerem: \[x-6=0\qquad\text{lub}\qquad x^{2}-11=0.\] **Krok \(6\).** Z pierwszego równania \(x=6\). Drugie zapisujemy jako \(x^{2}=11\), skąd \[x=\sqrt{11}\qquad\text{lub}\qquad x=-\sqrt{11}.\] **Krok \(7\).** Zbieramy wszystkie rozwiązania: \(-\sqrt{11}\), \(\sqrt{11}\) oraz \(6\). **Uwaga.** Z równania \(x^{2}=11\) wychodzą dwa rozwiązania — najczęstszy błąd polega na zapisaniu tylko \(x=\sqrt{11}\) i zgubieniu liczby przeciwnej. Liczba \(\sqrt{11}\) nie upraszcza się i tak zostaje w odpowiedzi (dla orientacji \(\sqrt{11}\approx 3{,}32\)). **Odpowiedź.** \(x\in\{-\sqrt{11},\ \sqrt{11},\ 6\}\)

1 pkt: rozkład (x−6)(x²−11)=0. 2 pkt: wszystkie trzy rozwiązania.

Zadanie 27. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

C. \(5\)

**Krok \(1\).** Szukamy liczby, która jest rozwiązaniem obu równań naraz. Najprościej rozwiązać każde z nich osobno, a potem wybrać liczbę wspólną dla obu zbiorów rozwiązań. **Krok \(2\).** Pierwsze równanie jest już w postaci iloczynowej, więc przyrównujemy do zera kolejne czynniki: \[x^2-1=0\quad\text{lub}\quad x-10=0\quad\text{lub}\quad x-5=0.\] **Krok \(3\).** Z \(x^2-1=0\) mamy \(x^2=1\), czyli \(x=-1\) lub \(x=1\). Z pozostałych: \(x=10\) oraz \(x=5\). Pierwsze równanie ma więc rozwiązania \(-1,\ 1,\ 5,\ 10\) — a to są dokładnie wszystkie cztery liczby z odpowiedzi, więc samo pierwsze równanie niczego nie rozstrzyga. **Krok \(4\).** Przechodzimy do drugiego równania. Jest ono wymierne, więc zaczynamy od dziedziny: mianownik nie może być zerem, czyli \[x-1\neq0,\qquad\text{a więc}\qquad x\neq1.\] **Krok \(5\).** Ułamek jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy jego licznik jest równy zeru, a mianownik nie: \[2x-10=0\ \Rightarrow\ 2x=10\ \Rightarrow\ x=5.\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy, czy \(x=5\) należy do dziedziny: \(5\neq1\), więc tak. Drugie równanie ma zatem dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=5\). **Krok \(7\).** Porównujemy zbiory rozwiązań: \(\{-1,1,5,10\}\) oraz \(\{5\}\). Wspólnym pierwiastkiem obu równań jest \(5\). **Uwaga.** Liczba \(1\) jest pierwiastkiem pierwszego równania, ale drugie wyrażenie nie ma w tym punkcie żadnej wartości — mianownik się zeruje. Dlatego odpowiedź B jest błędna. W zadaniach z ułamkiem zawsze wypisz dziedzinę, zanim przyrównasz licznik do zera. **Odpowiedź.** C: \(5\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Rozwiązywanie prostych równań wymiernych (II.3.e).

Nierówność została uzasadniona przy założeniu \(2a+b\ge0\).

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: \[2a^{3}-3a^{2}b+b^{3}\ge0.\] Rozkładamy lewą stronę na czynniki. Zauważamy, że dla \(a=b\) wyrażenie się zeruje, więc \(a-b\) jest jego dzielnikiem: \[2a^{3}-3a^{2}b+b^{3}=2a^{2}(a-b)-a^{2}b+b^{3}=2a^{2}(a-b)-b\left(a^{2}-b^{2}\right),\] \[=2a^{2}(a-b)-b(a-b)(a+b)=(a-b)\left(2a^{2}-ab-b^{2}\right).\] Drugi czynnik rozkładamy dalej: \[2a^{2}-ab-b^{2}=2a^{2}-2ab+ab-b^{2}=2a(a-b)+b(a-b)=(a-b)(2a+b).\] Zatem \[2a^{3}-3a^{2}b+b^{3}=(a-b)^{2}(2a+b).\] Pierwszy czynnik jest nieujemny jako kwadrat liczby rzeczywistej, a drugi jest nieujemny z założenia. Iloczyn liczb nieujemnych jest nieujemny, co kończy dowód. **Odpowiedź.** Jeżeli \(2a+b\ge0\), to \(2a^{3}+b^{3}\ge3a^{2}b\), co należało uzasadnić.

Zadanie 5. (3 pkt) Uzasadnij, że jeżeli 2a+bžO, to 2a3 +113 3a2b . Rozwiązanie Przekształcamy nierówność w sposób równoważny: 2a3 -3a2b+b3 žo, 2a3 —2a2b—a2b+b3 O, 2a2 —122) O, 2a2 (a —b) O , (a —b) (2a2 — ab—b2) , (a — b) (2a2 —2ab + ab —b2) O , (2a+b) O . Ostatnia nierówność jest prawdziwa, gdyż jej lewa strona jest iloczynem dwóch liczb nieujemnych: nierówność 0 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b, a z założenia 2a+b O. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp . 1 pkt Zapisanie lewej strony nierówności 2a3 —3a2b+b3 > O w postaci iloczynu, np. Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt Zapisanie lewej strony nierówności w postaci iloczynowej, Rozwiązanie pełne Przeprowadzenie pełnego dowodu. 3pkt

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: dowód nierówności algebraicznej przez rozkład na czynniki.

W(x)=\(\frac{1}{2}\)·(x−\(1\))(x−\(3\))(x−\(5\)). Dla nieparzystego x=\(2n\)+\(1\) mamy W(\(2n\)+\(1\))=\(4n\)(n−\(1\))(n−\(2\)). Iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez \(2\) i \(3\), więc całość jest podzielna przez \(4\cdot 2\cdot 3=24\).

**Krok \(1\).** Znamy wszystkie trzy pierwiastki wielomianu i współczynnik przy najwyższej potędze — to od razu daje postać iloczynową, znacznie wygodniejszą do badania podzielności niż postać ogólna. Drugi pomysł: liczbę nieparzystą zapisujemy jako \(2n+1\), bo wtedy w każdym nawiasie pojawi się czynnik \(2\). **Krok \(2\).** Wielomian o pierwiastkach \(1\), \(3\), \(5\) i współczynniku wiodącym \(\frac12\) ma postać \[W(x)=\frac12(x-1)(x-3)(x-5).\] **Krok \(3\).** Niech \(x=2n+1\), gdzie \(n\) jest dowolną liczbą całkowitą — w ten sposób opisujemy wszystkie liczby nieparzyste. **Krok \(4\).** Obliczamy kolejne nawiasy: \[x-1=2n,\qquad x-3=2n-2=2(n-1),\qquad x-5=2n-4=2(n-2).\] **Krok \(5\).** Podstawiamy do wzoru i wyciągamy dwójki przed nawias: \[W(2n+1)=\frac12\cdot2n\cdot2(n-1)\cdot2(n-2)=\frac{8}{2}\,n(n-1)(n-2)=4n(n-1)(n-2).\] **Krok \(6\).** Liczby \(n-2\), \(n-1\), \(n\) to trzy kolejne liczby całkowite. Wśród trzech kolejnych liczb co najmniej jedna jest parzysta i dokładnie jedna dzieli się przez \(3\), więc ich iloczyn dzieli się przez \(2\cdot3=6\). **Krok \(7\).** Zapisujemy \(n(n-1)(n-2)=6k\) dla pewnej liczby całkowitej \(k\). Wtedy \[W(2n+1)=4\cdot6k=24k,\] czyli wartość wielomianu dla każdej liczby nieparzystej jest podzielna przez \(24\). **Uwaga.** Sam czynnik \(4\) nie wystarcza — istotą dowodu jest wykazanie, że iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez \(6\). Zauważ też, że dla \(x\) nieparzystego wszystkie trzy nawiasy są parzyste, co jest możliwe tylko dlatego, że \(1\), \(3\), \(5\) są nieparzyste. **Odpowiedź.** Dla \(x=2n+1\) mamy \(W(2n+1)=4n(n-1)(n-2)\), a iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez \(6\), więc wartość wielomianu dzieli się przez \(4\cdot6=24\).

**1 pkt** – zdający zapisze wielomian w postaci iloczynowej: \(W(x)=\tfrac{1}{2}[…]\); albo zapisze wielomian w postaci ogólnej, wykorzysta informację o pierwiastkach wielomianu i zapisze układ równań pozwalający obliczyć współczynniki tego wielomianu, np. \(W(x)=\tfrac{1}{2}x^{3}+ax^{2}+bx+c\) i […]. **2 pkt** – zdający zapisze wartość wielomianu dla liczby całkowitej nieparzystej, np. \(W(2n+1)=[…]\); albo obliczy współczynniki wielomianu i zapisze wartość wielomianu dla liczby całkowitej nieparzystej, np.: \(W(2n+1)=[…]\). **3 pkt** – zdający zapisze wartość wielomianu dla liczby całkowitej nieparzystej w postaci […]. **4 pkt** – zdający uzasadni, że wartość wielomianu dla liczby całkowitej nieparzystej jest podzielna przez \(24\).

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: postać iloczynowa wielomianu i podzielność iloczynu kolejnych liczb całkowitych.

\(x\in\left\{\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{4},\frac{5\pi}{3}\right\}\). Dziedzinę ogranicza warunek \(\cos x\neq 0\). Równanie zapisujemy w postaci iloczynowej \(\left(2\cos x-1\right)\left(\operatorname{tg}x-1\right)=0\), więc rozwiązujemy \(\cos x=\frac{1}{2}\) lub \(\operatorname{tg}x=1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\).

**Krok \(1\).** Metoda: przenosimy wszystko na jedną stronę i grupujemy wyrazy tak, by otrzymać postać iloczynową. Wtedy iloczyn jest zerem dokładnie wtedy, gdy zeruje się jeden z czynników. **Krok \(2\).** Ustalamy dziedzinę. Funkcja \(\operatorname{tg}x\) jest określona dla \(\cos x\neq 0\), więc w przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\) musimy wykluczyć \[x=\frac{\pi}{2}\qquad\text{oraz}\qquad x=\frac{3\pi}{2}.\] **Krok \(3\).** Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: \[2\operatorname{tg}x\cdot\cos x+1-2\cos x-\operatorname{tg}x=0.\] **Krok \(4\).** Grupujemy: pierwszy wyraz z trzecim, a czwarty z drugim: \[\operatorname{tg}x\left(2\cos x-1\right)-\left(2\cos x-1\right)=0,\] \[\left(2\cos x-1\right)\left(\operatorname{tg}x-1\right)=0.\] **Krok \(5\).** Iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się któryś z czynników: \[\cos x=\frac{1}{2}\qquad\text{lub}\qquad \operatorname{tg}x=1.\] **Krok \(6\).** Rozwiązujemy pierwsze równanie w przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\). Wartość \(\frac{1}{2}\) cosinus przyjmuje dla \[x=\frac{\pi}{3}\qquad\text{oraz}\qquad x=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}.\] **Krok \(7\).** Rozwiązujemy drugie równanie. Rozwiązaniami \(\operatorname{tg}x=1\) są liczby \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\); w przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\) są to \[x=\frac{\pi}{4}\qquad\text{oraz}\qquad x=\frac{5\pi}{4}.\] **Krok \(8\).** Wszystkie cztery liczby należą do dziedziny (żadna nie jest równa \(\frac{\pi}{2}\) ani \(\frac{3\pi}{2}\)), więc wszystkie są rozwiązaniami. **Uwaga.** Nie wolno skracać obu stron przez \(2\cos x-1\), bo dla \(\cos x=\frac{1}{2}\) dzielilibyśmy przez zero i stracilibyśmy połowę rozwiązań. Dlatego zamiast dzielić, wyłączamy wspólny czynnik przed nawias. **Odpowiedź.** \(x\in\left\{\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{5\pi}{3}\right\}\).

**1 pkt** – zdający zapisze równanie w postaci iloczynowej: \((2\cos x-1)(\operatorname{tg}x-1)=0\). **2 pkt** – zdający zapisze alternatywę dwóch równań, np.: \(\cos x=\tfrac{1}{2}\) lub \(\operatorname{tg}x=1\). **3 pkt** – zdający rozwiąże jedno z równań w przedziale \((0,2\pi)\): \(\cos x=\tfrac{1}{2}\) dla \(x=\tfrac{\pi}{3}\) lub \(x=\tfrac{5\pi}{3}\) (\(x=60^\circ\), \(x=300^\circ\)), albo \(\operatorname{tg}x=1\) dla \(x=\tfrac{\pi}{4}\) lub \(x=\tfrac{5\pi}{4}\) (\(x=45^\circ\), \(x=225^\circ\)). **4 pkt** – zdający wyznaczy wszystkie rozwiązania danego równania w przedziale \((0,2\pi)\): \(x=\tfrac{\pi}{3}\) lub \(x=\tfrac{\pi}{4}\) lub \(x=\tfrac{5\pi}{4}\) lub \(x=\tfrac{5\pi}{3}\); albo \(x=60^\circ\) lub \(x=45^\circ\) lub \(x=225^\circ\) lub \(x=300^\circ\).

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: rozwiązanie równania trygonometrycznego w zadanym przedziale.

\[m=6,\qquad x\in\left\{-2,\tfrac14,3\right\}.\]

Z twierdzenia o reszcie reszta z dzielenia \(W\) przez \(x+1\) jest równa \(W(-1)\): \[W(-1)=4(-1)^{3}-5(-1)^{2}-23(-1)+m=-4-5+23+m=14+m.\] Z warunku \(14+m=20\) otrzymujemy \(m=6\). Zatem \(W(x)=4x^{3}-5x^{2}-23x+6\). Zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach wymiernych szukamy ich wśród ułamków \(\tfrac pq\), gdzie \(p\) dzieli \(6\), a \(q\) dzieli \(4\). Sprawdzamy \(x=3\): \[W(3)=108-45-69+6=0,\] więc \(x-3\) jest dzielnikiem wielomianu. Po podzieleniu \[W(x)=(x-3)\left(4x^{2}+7x-2\right).\] Trójmian \(4x^{2}+7x-2\) ma wyróżnik \(\Delta=49+32=81\), więc jego pierwiastki to \[x=\frac{-7\pm9}{8},\qquad x=\tfrac14\ \lor\ x=-2.\] **Odpowiedź.** \(m=6\); pierwiastkami wielomianu są \(-2\), \(\tfrac14\) oraz \(3\).

**1 pkt** – zdający zapisze równanie z niewiadomą \(m\), np. […]. **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zdający obliczy wartość współczynnika \(m\): \(m=6\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zdający poda jeden z pierwiastków wielomianu, np. \(3\), podzieli wielomian przez dwumian \((x-3)\) i otrzyma iloraz \(4x^{2}+7x-2\), lub poda pierwiastek \(-2\), podzieli wielomian przez dwumian \((x+2)\) i otrzyma iloraz \(4x^{2}-13x+3\); albo zapisze wielomian \(W\) w postaci iloczynowej, np.: \(W(x)=4(x+[…])\). **Rozwiązanie pełne** – zdający wyznaczy wszystkie pierwiastki wielomianu \(W\): \(-2\), \(\tfrac{1}{4}\), \(3\).

II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zastosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x−a i twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu. (II.2.b.c.R)

**A.** \(x_1=7\), \(x_2=-2\)

Wzór \(y=-3(x-7)(x+2)\) jest zapisany w postaci iloczynowej. Iloczyn jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy zeruje się jeden z czynników (czynnik \(-3\) jest stały i różny od zera): \[x-7=0\ \Rightarrow\ x_1=7,\qquad x+2=0\ \Rightarrow\ x_2=-2.\] Typowy błąd polega na przepisaniu liczb z nawiasów bez zmiany znaku — stąd warianty B, C i D. **Odpowiedź.** A: \(x_1=7\), \(x_2=-2\)

Wykorzystanie i interpretowanie informacji. Odczytanie z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej jej miejsc zerowych (I.4.j).

Nierówność została udowodniona przy założeniu \(a+b\ge0\).

Przenosimy prawą stronę na lewą: \[a^{3}+b^{3}-a^{2}b-ab^{2}\ge0.\] Grupujemy wyrazy i wyłączamy wspólne czynniki: \[a^{2}(a-b)-b^{2}(a-b)=(a-b)\left(a^{2}-b^{2}\right)=(a-b)^{2}(a+b).\] Czynnik \((a-b)^{2}\) jest nieujemny jako kwadrat liczby rzeczywistej, a czynnik \(a+b\) jest nieujemny z założenia. Iloczyn liczb nieujemnych jest nieujemny, więc \[(a-b)^{2}(a+b)\ge0,\] co jest równoważne dowodzonej nierówności. Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(a=b\) albo \(a+b=0\). **Odpowiedź.** Jeżeli \(a+b\ge0\), to \(a^{3}+b^{3}\ge a^{2}b+ab^{2}\), co należało udowodnić.

**2 pkt** – zapisanie nierówności w postaci iloczynowej \((a-b)\left(a^{2}-b^{2}\right)\ge 0\) lub \((a-b)^{2}(a+b)\ge 0\), lub […]. **3 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu. W przypadku gdy zdający podzieli nierówność przez \(a+b>0\) i nie rozpatrzy przypadku \(a+b=0\), to przyznajemy \(2\) punkty.

V. Rozumowanie i argumentacja. Przeprowadzenie dowodu algebraicznego. (V.2.b)

**C.** \(40\)

Iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się jeden z czynników, zatem \[x_1=-2,\qquad x_2=6\] (czynnik \(4\) jest różny od zera). Stąd \[x_1^2+x_2^2=(-2)^2+6^2=4+36=40.\] **Odpowiedź.** C. \(40\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie pierwiastków równania zapisanego w postaci iloczynowej i obliczanie wyrażenia symetrycznego \(x_1^2+x_2^2\) Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**A.** dwa rozwiązania: \(x=-5\), \(x=3\).

Iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się co najmniej jeden czynnik. Z \(x+5=0\) otrzymujemy \(x=-5\), z \(x-3=0\) otrzymujemy \(x=3\). Czynnik \(x^{2}+1\) jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej, więc nie daje żadnego rozwiązania. **Odpowiedź.** Dwa rozwiązania: \(x=-5\) i \(x=3\), czyli odpowiedź **A**.

Zadanie 3. (0–1) Wykorzystanie Odczytanie z postaci iloczynowej i interpretowanie informacji równania wielomianowego jego A rozwiązań (I.3.d)

\(m=-\dfrac52\) lub \(m=\dfrac72\). Wyróżnik równania to \(\Delta=(2m-1)^2\), więc dwa różne pierwiastki istnieją dla \(m\neq\tfrac12\), a warunek \(|x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}=\dfrac{|2m-1|}{2}=3\) prowadzi do \(|2m-1|=6\).

**Krok \(1\).** Mamy równanie kwadratowe z parametrem i warunek na odległość pierwiastków. Dwa fakty załatwiają całe zadanie: równanie ma dwa różne pierwiastki dokładnie wtedy, gdy \(\Delta\gt0\), a różnica pierwiastków wyraża się wzorem \(|x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\) (wynika on z tego, że \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\), więc po odjęciu zostaje \(\dfrac{2\sqrt{\Delta}}{2|a|}\)). **Krok \(2\).** Tu \(a=2\), \(b=3-2m\), \(c=-m+1\). Liczymy wyróżnik: \[\Delta=(3-2m)^2-4\cdot2\cdot(-m+1)=9-12m+4m^2+8m-8.\] **Krok \(3\).** Porządkujemy: \[\Delta=4m^2-4m+1=(2m-1)^2.\] **Krok \(4\).** Warunek dwóch różnych pierwiastków: \((2m-1)^2\gt0\), a kwadrat jest dodatni dokładnie wtedy, gdy podstawa nie jest zerem: \[2m-1\neq0\ \Longleftrightarrow\ m\neq\tfrac12.\] **Krok \(5\).** Różnica pierwiastków: \[|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}=\frac{\sqrt{(2m-1)^2}}{2}=\frac{|2m-1|}{2}.\] **Krok \(6\).** Warunek z treści \(|x_1-x_2|=3\) daje \[\frac{|2m-1|}{2}=3\ \Longrightarrow\ |2m-1|=6.\] **Krok \(7\).** Równanie z wartością bezwzględną rozbijamy na dwa przypadki: \[2m-1=6\ \Longrightarrow\ m=\frac72,\qquad 2m-1=-6\ \Longrightarrow\ m=-\frac52.\] Obie liczby są różne od \(\tfrac12\), więc warunek z kroku \(4\) jest spełniony. **Krok \(8\).** Sprawdzenie dla \(m=\tfrac72\): równanie przyjmuje postać \(2x^2-4x-\tfrac52=0\), czyli \(4x^2-8x-5=0\), a jego pierwiastkami są \(x=\tfrac52\) i \(x=-\tfrac12\) — różnią się dokładnie o \(3\). **Uwaga.** Wartość bezwzględna zawsze daje dwa przypadki i oba trzeba rozpatrzyć. Uwaga też na to, że \(\sqrt{(2m-1)^2}=|2m-1|\), a nie \(2m-1\) — bez wartości bezwzględnej zgubilibyśmy jedno rozwiązanie. **Odpowiedź.** \(m=-\dfrac52\) lub \(m=\dfrac72\).

*Schemat oceniania I i II* Rozwiązanie zadania składa się z trzech części. **1 pkt** – część a): rozwiązanie nierówności \(\Delta>0\). **3 pkt** – część b): rozwiązanie równania \(\lvert x_{1}-x_{2}\rvert=3\): \(m=-\frac{5}{2}\) lub \(m=\frac{7}{2}\). **1 pkt** – część c): wyznaczeniu części wspólnej rozwiązania nierówności z a) i rozwiązania równania z b). Rozwiązanie części b) – następujące etapy: **1 pkt** – zapisanie równania \(\lvert x_{1}-x_{2}\rvert=3\) w postaci równoważnej \(\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}=9\); albo zapisanie równości \(\lvert x_{1}-x_{2}\rvert=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}}\); albo obliczenie \(x_{1}\) i \(x_{2}\); albo zapisanie równania \(\lvert x_{1}-x_{2}\rvert=3\) w postaci alternatywy \(x_{1}-x_{2}=3\) lub \(x_{1}-x_{2}=-3\). **2 pkt** – doprowadzenie równania \(\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}=9\) do postaci \(4m^{2}-4m-35=0\); albo zapisanie równania \(\lvert x_{1}-x_{2}\rvert=3\) w postaci \(\frac{\lvert 2m-1\rvert}{2}=3\); albo doprowadzenie równań \(x_{1}-x_{2}=3\) i \(x_{1}-x_{2}=-3\) do postaci \(\frac{\lvert 2m-1\rvert}{2}=[\ldots]\). **Rozwiązanie pełne części b)** – rozwiązanie równania \(4m^{2}-4m-35=0\): \(m=-\frac{5}{2}\) lub \(m=\frac{7}{2}\). *Schemat oceniania III* **1 pkt** – zapisanie równania w postaci, z której łatwo można przejść do postaci iloczynowej, np. \(2x^{2}+x+2x+1-2mx-m=0\). **2 pkt** – zapisanie równania w postaci iloczynowej: \(\left(2x+1\right)\left(x+1-m\right)=0\). **3 pkt** – obliczenie \(x_{1}\) i \(x_{2}\): \(x_{1}=-\frac{1}{2}\), \(x_{2}=m-1\). **5 pkt** – rozwiązanie równania \(\lvert x_{1}-x_{2}\rvert=3\): \(m=3\frac{1}{2}\) lub \(m=-2\frac{1}{2}\). Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i konsekwentnie do tych błędów rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje \(4\) punkty.

IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem, przeprowadzenie dyskusji i wyciągnięcie wniosków (IV.3.b.R).

**A.**

Iloczyn dwóch funkcji liniowych jest funkcją kwadratową: \[h(x)=f(x)\cdot g(x)=(x-2)(x+4).\] Wzór jest już zapisany w postaci iloczynowej, więc odczytujemy z niego miejsca zerowe: \(x=2\) oraz \(x=-4\). Po wymnożeniu \(h(x)=x^2+2x-8\), czyli współczynnik przy \(x^2\) jest równy \(1>0\) i ramiona paraboli są skierowane w górę. Szukamy więc wykresu paraboli o ramionach skierowanych w górę, przecinającej oś \(Ox\) w punktach \((-4,0)\) i \((2,0)\). Na rysunkach B i D ramiona są skierowane w dół, a na rysunkach C i D miejsca zerowe to \(-2\) i \(4\). Oba warunki spełnia tylko rysunek A. **Odpowiedź.** A

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Określenie funkcji za pomocą wzoru i interpretowanie wykresów funkcji kwadratowych.

Wyrażenie \(k^{6}-2k^{4}+k^{2}\) jest równe \(\bigl[(k-1)k(k+1)\bigr]^{2}\). Iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez \(2\) i przez \(3\), czyli przez \(6\), a zatem jego kwadrat dzieli się przez \(36\).

**Krok \(1\).** Mamy wykazać podzielność wyrażenia przez \(36\). Przy takich dowodach prawie zawsze rozkładamy wyrażenie na czynniki i szukamy w nim struktury, o której coś wiemy. Pomocna jest obserwacja, że \(36=6^2\), więc wystarczy wskazać w wyrażeniu kwadrat liczby podzielnej przez \(6\). **Krok \(2\).** Wyłączamy \(k^2\) przed nawias: \[k^6-2k^4+k^2=k^2\left(k^4-2k^2+1\right).\] **Krok \(3\).** Nawias jest kwadratem różnicy, bo \(k^4-2k^2+1=(k^2)^2-2\cdot k^2\cdot 1+1^2\): \[k^4-2k^2+1=\left(k^2-1\right)^2.\] **Krok \(4\).** Wstawiamy to z powrotem i wciągamy \(k^2\) pod kwadrat, korzystając z \(k^2=(k)^2\): \[k^2\left(k^2-1\right)^2=\left[k\left(k^2-1\right)\right]^2=\bigl[(k-1)k(k+1)\bigr]^2,\] bo \(k^2-1=(k-1)(k+1)\). **Krok \(5\).** W nawiasie kwadratowym stoi iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych: \(k-1\), \(k\), \(k+1\). Wystarczy pokazać, że ten iloczyn dzieli się przez \(6\), bo wtedy jego kwadrat dzieli się przez \(6^2=36\). **Krok \(6\).** Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych co najmniej jedna jest parzysta (liczby parzyste i nieparzyste występują na przemian), więc iloczyn dzieli się przez \(2\). Ponadto dokładnie jedna z trzech kolejnych liczb jest podzielna przez \(3\) (reszty z dzielenia przez \(3\) powtarzają się cyklicznie \(0,1,2\)), więc iloczyn dzieli się przez \(3\). **Krok \(7\).** Liczby \(2\) i \(3\) są względnie pierwsze, więc z podzielności przez \(2\) i przez \(3\) wynika podzielność przez \(6\). Istnieje zatem liczba całkowita \(m\) taka, że \[(k-1)k(k+1)=6m.\] **Krok \(8\).** Podnosimy do kwadratu: \[k^6-2k^4+k^2=(6m)^2=36m^2,\] a \(m^2\) jest liczbą całkowitą. To kończy dowód. **Uwaga.** Rozumowanie działa dla każdej liczby całkowitej \(k\), także dla \(k=0\) i dla \(k\) ujemnych: trzy kolejne liczby całkowite to trzy kolejne liczby całkowite niezależnie od znaku, a dla \(k=0\) iloczyn jest równy \(0\), które też dzieli się przez \(36\). **Odpowiedź.** \(k^6-2k^4+k^2=\bigl[(k-1)k(k+1)\bigr]^2\), a iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez \(6\), więc jego kwadrat dzieli się przez \(36\).

**Rozwiązanie, w którym jest postęp** – zapisanie liczby \(n^{2}=k^{6}-2k^{4}+k^{2}\) w jednej z następujących postaci iloczynowych: \(\left(k^{3}-k\right)^{2}\), \([\ldots]\) **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – wykazanie podzielności liczby \(n\) przez \(2\) albo przez \(3\). **3 pkt** – wykazanie podzielności liczby \(n\) przez \(2\) i przez \(3\) albo stwierdzenie, że iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez \(6\). **Rozwiązanie pełne** – wyciągnięcie wniosku o podzielności liczby \(n^{2}\) przez \(36\). Uwaga: zdający może zauważyć, że \([\ldots]\); przyznajemy wtedy \(3\) punkty.

IV. Użycie i tworzenie strategii. Wykorzystanie cech podzielności liczb całkowitych.

Rozwiązania w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\): \(x=0\), \(x=\frac{\pi}{4}\), \(x=\frac{3\pi}{4}\), \(x=\frac{5\pi}{4}\), \(x=\frac{7\pi}{4}\), \(x=2\pi\). Równanie sprowadzamy do postaci iloczynowej \((1-\cos x)(2\sin^2x-1)=0\), skąd \(\cos x=1\) lub \(\sin^2x=\frac12\).

**Krok \(1\).** Po obu stronach równania widać ten sam nawias: po lewej \(2\sin^2x-2\sin^2x\cos x=2\sin^2x(1-\cos x)\), po prawej \(1-\cos x\). To podpowiada metodę: przenieść wszystko na jedną stronę i doprowadzić do postaci iloczynowej. Nie wolno dzielić przez \(1-\cos x\), bo dla niektórych \(x\) to wyrażenie jest zerem. **Krok \(2\).** Wyłączamy wspólny czynnik po lewej stronie: \[2\sin^2x(1-\cos x)=1-\cos x.\] **Krok \(3\).** Przenosimy prawą stronę na lewo i wyłączamy \((1-\cos x)\): \[2\sin^2x(1-\cos x)-(1-\cos x)=0,\qquad (1-\cos x)\left(2\sin^2x-1\right)=0.\] **Krok \(4\).** Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z czynników: \[\cos x=1\qquad\text{lub}\qquad \sin^2x=\tfrac12.\] **Krok \(5\).** Pierwsze równanie w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\): cosinus przyjmuje wartość \(1\) dla \(x=0\) oraz dla \(x=2\pi\). Oba końce przedziału do niego należą, więc oba są rozwiązaniami. **Krok \(6\).** Drugie równanie: \(\sin^2x=\frac12\) oznacza \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\) lub \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\). **Krok \(7\).** Dla \(\sin x=\frac{\sqrt2}{2}\) w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) mamy \(x=\frac{\pi}{4}\) oraz \(x=\frac{3\pi}{4}\) (pierwsza i druga ćwiartka). Dla \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\) mamy \(x=\frac{5\pi}{4}\) oraz \(x=\frac{7\pi}{4}\) (trzecia i czwarta ćwiartka). **Krok \(8\).** Zbieramy wszystkie znalezione argumenty: \[x\in\left\{0,\ \tfrac{\pi}{4},\ \tfrac{3\pi}{4},\ \tfrac{5\pi}{4},\ \tfrac{7\pi}{4},\ 2\pi\right\}.\] **Krok \(9\).** Kontrola dla \(x=\frac{\pi}{4}\): \(\sin^2x=\frac12\), więc lewa strona to \(2\cdot\frac12-2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}=1-\frac{\sqrt2}{2}\), a prawa \(1-\frac{\sqrt2}{2}\). Zgadza się. **Uwaga.** Podzielenie obu stron przez \(1-\cos x\) gubi rozwiązania \(x=0\) i \(x=2\pi\) — to najczęstszy błąd w tym zadaniu. Trzeba też pamiętać, że przedział \(\langle0,2\pi\rangle\) jest domknięty, więc oba jego końce mogą być rozwiązaniami. **Odpowiedź.** \(x=0\), \(x=\frac{\pi}{4}\), \(x=\frac{3\pi}{4}\), \(x=\frac{5\pi}{4}\), \(x=\frac{7\pi}{4}\) lub \(x=2\pi\).

*Schemat oceniania I* **Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania** – zapisanie równania w postaci, np. \(2\sin^{2}x\left(1-\cos x\right)=1-\cos x\) lub \(\left(2\sin^{2}x-1\right)\left(1-\cos x\right)=0\), lub \(\left(2\sin^{2}x-1\right)-\cos x\left(2\sin^{2}x-1\right)=0\). **2 pkt** – zapisanie równania w postaci alternatywy, np. \(\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) lub \(\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) lub \(\cos x=1\); albo \(\cos 2x=0\) lub \(\cos x=1\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – rozwiązanie jednego z otrzymanych równań. **Rozwiązanie pełne** – zapisanie wszystkich rozwiązań równania w podanym przedziale: \(x=0\), \(x=\frac{1}{4}\pi\), \(x=\frac{3}{4}\pi\), \(x=\frac{5}{4}\pi\), \(x=\frac{7}{4}\pi\), \(x=2\pi\); albo \(x=0^\circ\), \(x=45^\circ\), \(x=135^\circ\), \(x=225^\circ\), \(x=315^\circ\), \(x=360^\circ\). *Schemat oceniania II* **1 pkt** – zapisanie równania w postaci iloczynowej, np. \(\left(2\cos^{2}x-1\right)\left(\cos x-1\right)=0\). **2 pkt** – zapisanie równania w postaci alternatywy: \(\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) lub \(\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) lub \(\cos x=1\). **3 pkt** – rozwiązanie jednego z otrzymanych równań. **4 pkt** – zapisanie wszystkich rozwiązań równania w podanym przedziale: \(x=0\), \(x=\frac{1}{4}\pi\), \(x=\frac{3}{4}\pi\), \(x=\frac{5}{4}\pi\), \(x=\frac{7}{4}\pi\), \(x=2\pi\); albo \(x=0^\circ\), \(x=45^\circ\), \(x=135^\circ\), \(x=225^\circ\), \(x=315^\circ\), \(x=360^\circ\). Jeżeli zdający podaje ogólne rozwiązania równania bez uwzględnienia przedziału \((0,2\pi)\), to otrzymuje \(3\) punkty. Jeżeli zdający zapisze równanie w postaci \(2\cos^{2}x\left(\cos x-1\right)=\cos x-1\), a następnie podzieli obie strony równania przez \(\cos x-1\) \([\ldots]\) i rozwiąże tylko równanie \(2\cos^{2}x-1=0\), to za całe zadanie otrzymuje \(1\) punkt. Jeżeli zdający zapisze równanie w postaci \(2\cos^{2}x\left(\cos x-1\right)=\cos x-1\), a następnie podzieli obie strony równania przez \(\cos x-1\) \([\ldots]\), rozwiąże tylko równanie \(2\cos^{2}x-1=0\) i nie rozpatrzy równania \(\cos x=1\), to za całe zadanie otrzymuje \(2\) punkty.

IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie równania trygonometrycznego.

\(5\) wyrazów

Wyraz jest ujemny, gdy \(a_n<0\). Zapisujemy wzór w postaci iloczynowej: \[n^{2}-2n-24=(n-6)(n+4)<0.\] Dla \(n\geq1\) czynnik \(n+4\) jest dodatni, więc nierówność sprowadza się do \(n-6<0\), czyli \(n<6\). Warunek spełniają liczby naturalne \(n=1,2,3,4,5\), czyli pięć wyrazów. **Odpowiedź.** Ciąg ma \(5\) wyrazów ujemnych.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(5\) wyrazów

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Ciągi.

**C.** \(( -\infty,-3\rangle\cup\langle2,+\infty)\)

**Krok \(1\).** Po lewej stronie stoi iloczyn dwóch wyrażeń liniowych, a po prawej zero. To jest nierówność kwadratowa zapisana od razu w postaci iloczynowej — nie trzeba nic wymnażać, bo z takiej postaci miejsca zerowe odczytuje się wprost. **Krok \(2\).** Znajdujemy miejsca zerowe, czyli te \(x\), dla których iloczyn jest równy zeru. Iloczyn zeruje się wtedy, gdy zeruje się któryś czynnik: \[x-2=0\quad\text{lub}\quad x+3=0,\] czyli \(x=2\) lub \(x=-3\). **Krok \(3\).** Sprawdzamy, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli. Po wymnożeniu przy \(x^2\) stałby współczynnik \(1\cdot1=1\), a więc dodatni — ramiona idą do góry. **Krok \(4\).** Rysujemy na kartce parabolę przecinającą oś \(OX\) w punktach \(-3\) i \(2\), z ramionami do góry. Nad osią, czyli tam gdzie wartości są dodatnie, leżą dwa zewnętrzne kawałki wykresu: na lewo od \(-3\) i na prawo od \(2\). **Krok \(5\).** Nierówność jest nieostra (\(\geqslant\)), więc do zbioru rozwiązań dołączamy także same miejsca zerowe \(-3\) i \(2\) — w tych punktach iloczyn jest równy \(0\), a zero spełnia warunek \(\geqslant0\). Nawiasy przy tych liczbach muszą być domknięte. **Krok \(6\).** Zapisujemy zbiór rozwiązań: \[x\in(-\infty,-3\rangle\cup\langle2,+\infty).\] **Uwaga.** Łatwo pomylić znaki miejsc zerowych. Z czynnika \(x+3\) wychodzi \(x=-3\) (a nie \(3\)), a z czynnika \(x-2\) wychodzi \(x=2\) (a nie \(-2\)). Odpowiedź D ma dokładnie te znaki zamienione — to typowa pułapka w tym zadaniu. **Odpowiedź.** C: \((-\infty,-3\rangle\cup\langle2,+\infty)\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje nierówność kwadratową w postaci iloczynowej.

\(x\in\langle-6,-5\rangle\).

**Krok \(1\).** To nierówność kwadratowa, więc postępujemy schematycznie: liczymy miejsca zerowe trójmianu, szkicujemy parabolę i odczytujemy z rysunku, gdzie przyjmuje ona żądane wartości. Tu współczynnik przy \(x^2\) jest równy \(1\gt0\), więc ramiona paraboli są skierowane w górę i wartości niedodatnie są między miejscami zerowymi. **Krok \(2\).** Liczymy wyróżnik trójmianu \(x^2+11x+30\): \[\Delta=11^2-4\cdot1\cdot30=121-120=1,\qquad\sqrt\Delta=1.\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy miejsca zerowe: \[x_1=\frac{-11-1}{2}=-6,\qquad x_2=\frac{-11+1}{2}=-5.\] **Krok \(4\).** Możemy więc zapisać nierówność w postaci iloczynowej: \[(x+6)(x+5)\leqslant0.\] **Krok \(5\).** Szkicujemy parabolę o ramionach w górę przecinającą oś \(Ox\) w punktach \(-6\) i \(-5\). Leży ona poniżej osi (lub na niej) dokładnie dla argumentów między miejscami zerowymi. **Krok \(6\).** Nierówność jest nieostra, więc końce przedziału też należą do rozwiązania: \[x\in\langle-6,-5\rangle.\] **Uwaga.** Uważaj na kolejność liczb ujemnych: \(-6\lt-5\), więc lewym końcem przedziału jest \(-6\). Gdyby nierówność była ostra, przedział byłby otwarty. **Odpowiedź.** \(x\in\langle-6,-5\rangle\).

*Schemat oceniania I sposobu rozwiązania* **1 pkt** – gdy poda poprawnie pierwiastki trójmianu kwadratowego lub zapisze trójmian w postaci iloczynowej i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – gdy: • poda zbiór rozwiązań nierówności: \(\langle-6,-5\rangle\) lub \(x\in\) […] lub \(\left(x\ge-6\ \text{i}\ x\le-5\right)\) albo • zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci \(x\ge-6\), \(x\le-5\), o ile towarzyszy temu ilustracja geometryczna (oś liczbowa, wykres) albo • poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. *Schemat oceniania II sposobu rozwiązania* **1 pkt** – gdy doprowadzi nierówność do postaci \(\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}\) […] i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – gdy: • poda zbiór rozwiązań nierówności: \(\langle-6,-5\rangle\) lub \(x\in\) […] lub \(\left(x\ge-6\ \text{i}\ x\le-5\right)\) albo • zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci \(x\ge-6\), \(x\le-5\), o ile towarzyszy temu ilustracja geometryczna (oś liczbowa, wykres) albo • poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów.

Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.

D. \(1\)

**Krok \(1\).** Po lewej stronie stoi iloczyn dwóch wyrażeń liniowych, a po prawej zero — to nierówność kwadratowa zapisana w postaci iloczynowej. Standardowy sposób: odczytujemy miejsca zerowe, szkicujemy parabolę i odczytujemy z rysunku, gdzie przyjmuje ona wartości ujemne. **Krok \(2\).** Miejsca zerowe to liczby, dla których któryś czynnik się zeruje: \[x-2=0\ \Rightarrow\ x=2,\qquad x+3=0\ \Rightarrow\ x=-3.\] **Krok \(3\).** Po wymnożeniu nawiasów przy \(x^{2}\) stałby współczynnik \(1\), czyli liczba dodatnia. Parabola ma więc ramiona skierowane do góry: nad osią leży na zewnątrz miejsc zerowych, a pod osią — między nimi. **Krok \(4\).** Szukamy wartości ujemnych, więc zbiorem rozwiązań jest przedział między miejscami zerowymi: \[x\in(-3,2).\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy podane liczby: \(9\), \(7\) i \(4\) są większe od \(2\), więc do tego przedziału nie należą. Należy tylko \(1\), bo \(-3\lt 1\lt 2\). **Krok \(6\).** Kontrola przez podstawienie \(x=1\) do nierówności: \[(1-2)(1+3)=(-1)\cdot 4=-4\lt 0,\] czyli warunek jest spełniony. **Uwaga.** Nierówność jest ostra, więc końce przedziału, liczby \(-3\) i \(2\), do zbioru rozwiązań nie należą — dla nich iloczyn jest równy \(0\), a nie mniejszy od \(0\). **Odpowiedź.** D. \(1\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Sprawdzenie, czy dana liczba należy do zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej.

**B.** \(( -\infty,-5)\cup(0,+\infty)\)

**Krok \(1\).** Po lewej stronie stoi iloczyn dwóch czynników liniowych, a po prawej zero. To gotowa postać iloczynowa nierówności kwadratowej — nie wolno mnożyć nawiasów, tylko odczytujemy z nich miejsca zerowe i korzystamy z kształtu paraboli. **Krok \(2\).** Miejsca zerowe lewej strony: iloczyn \(x(x+5)\) zeruje się, gdy \(x=0\) albo \(x+5=0\), czyli \[x_1=-5,\qquad x_2=0.\] **Krok \(3\).** Sprawdzamy kierunek ramion. Po wymnożeniu byłoby \(x^2+5x\), więc współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(a=1\gt0\) — ramiona paraboli skierowane są w górę. **Krok \(4\).** Parabola o ramionach w górę leży ponad osią \(OX\) na zewnątrz swoich miejsc zerowych, a poniżej — pomiędzy nimi. Interesuje nas część dodatnia, więc \[x\lt-5\quad\text{lub}\quad x\gt0.\] **Krok \(5\).** Nierówność jest ostra (\(\gt\)), więc same miejsca zerowe \(-5\) i \(0\) odrzucamy — przedziały są otwarte: \[x\in(-\infty,-5)\cup(0,+\infty).\] **Krok \(6\).** Kontrola trzema liczbami, po jednej z każdego obszaru: dla \(x=-6\) mamy \((-6)\cdot(-1)=6\gt0\) (jest dobrze), dla \(x=-1\) mamy \((-1)\cdot4=-4\), czyli nie spełnia, dla \(x=1\) mamy \(1\cdot6=6\gt0\) (jest dobrze). **Uwaga.** Miejsca zerowe czytamy z nawiasów ze zmienionym znakiem: z \(x+5\) wychodzi \(x=-5\), a nie \(x=5\). Odpowiedź C bierze się właśnie z tej pomyłki. **Odpowiedź.** B: \((-\infty,-5)\cup(0,+\infty)\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje nierówność kwadratową w postaci iloczynowej.

x ∈ {−\(2\), −√\(5\), √\(5\)}

Wyjaśnienie: Krok \(1\). Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej. \[x^3+2x^2-5x-10=0 \\ x^2(x+2)-5(x-2)=0 \\ (x+2)(x^2-5)=0\] Krok \(2\). Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej. Korzystając z postaci iloczynowej szukamy rozwiązań tej równości, przyrównując wartości w nawiasach do zera. Pamiętaj, że z równanie \(x^2-5=0\) będzie mieć dwa rozwiązania - jedno dodatnie, a drugie ujemne. \[x+2=0 \quad\lor\quad x^2-5=0 \\ x=-2 \quad\lor\quad x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5}\]

Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie: 0 pkt • Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania. 1 pkt • Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.). 2 pkt • Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje równanie wielomianowe przez rozkład na czynniki.

\(x=-2\) lub \(x=-\sqrt5\), lub \(x=\sqrt5\).

**Krok \(1\).** Mamy równanie z wielomianem trzeciego stopnia. Nie ma tu prostego wzoru na pierwiastki, więc trzeba rozłożyć lewą stronę na czynniki. Wskazówką jest układ współczynników: \(1\) i \(2\) w pierwszej parze wyrazów oraz \(-5\) i \(-10\) w drugiej są w tej samej proporcji, co zapowiada skuteczne grupowanie wyrazów. **Krok \(2\).** Grupujemy pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy: \[x^3+2x^2-5x-10=\left(x^3+2x^2\right)-\left(5x+10\right).\] **Krok \(3\).** Z każdej grupy wyłączamy wspólny czynnik: \[x^2(x+2)-5(x+2).\] **Krok \(4\).** Teraz wspólnym czynnikiem jest \((x+2)\): \[(x+2)\left(x^2-5\right)=0.\] **Krok \(5\).** Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem: \[x+2=0\qquad\text{lub}\qquad x^2-5=0.\] **Krok \(6\).** Z pierwszego równania \(x=-2\). Z drugiego \(x^2=5\), czyli \[x=\sqrt5\qquad\text{lub}\qquad x=-\sqrt5.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie dla \(x=-2\): \((-2)^3+2\cdot(-2)^2-5\cdot(-2)-10=-8+8+10-10=0\). Zgadza się. **Uwaga.** Równanie \(x^2=5\) ma dwa rozwiązania, a nie jedno — łatwo zapomnieć o \(-\sqrt5\). Warto też zauważyć, że \(-\sqrt5\approx-2{,}24\), więc wszystkie trzy pierwiastki są różne. **Odpowiedź.** \(x=-\sqrt5\), \(x=-2\) lub \(x=\sqrt5\).

Zadanie 27. (2 pkt) Rozwiąż równanie x 3 + 212 —51—10 = O I sposób rozwiązania (metoda grupowania) Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynowej stosując metodę grupowania wyrazów Stąd x = —2 lub x = —43 lub x Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt gdy: • poda poprawną postać iloczynową wielomianu po lewej stronie równania (x + —5) = O lub = O i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo • zapisze postać iloczynową z błędem (o ile otrzymany wielomian jest stopnia trzeciego i ma trzy różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu poda rozwiązania równania. Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania: —4Š —2, «./Š II sposób rozwiązania (metoda dzielenia) Stwierdzamy, że liczba —2 jest pierwiastkiem wielomianu. Dzielimy wielomian + 2x2 —51 10 przez dwumłan x +2 i otrzymujemy x2 —5. Zapisujemy równanie w postaci Stąd x = —2 lub x lub x =N/Š Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje gdy ...1 pkt • podzieli wielomian + 2x2 —51 10 przez dwumian x +2 otrzymując x2 —5 ina tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo • podzieli wielomian z błędem (o ile otrzymany iloraz jest stopnia drugiego i ma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu poda rozwiązanie równama. Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania: —43 —2 Uwaga: l. Jeżeli zdający zapisze x(x2 —5) 2(x2 (brak znaku przed liczbą 2) lub x2 (x+ 2) (brak znaku przed liczbą 5) i na tym zakończy, to otrzymuje O punktów. Jeżeli natomiast kontynuuje rozwiązanie i zapisze (x — 5) = 0, to oceniamy to rozwiązanie tak, jakby ten błąd nie wystąpił. 2. Jeśli zdający wykonał dzielenie przez dwumian x — p nie zapisując, że p jest jednym z rozwiązań równania x3 + 2x2 —51—10 = O i w końcowej odpowiedzi pominie pierwiastek p podając tylko pierwiastki trójmianu kwadratowego, to przyznajemy 2 punkty.

Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.

\(x=7\).

Lewą stronę rozkładamy na czynniki metodą grupowania: \[x^{3}-7x^{2}+2x-14=x^{2}(x-7)+2(x-7)=(x^{2}+2)(x-7).\] Iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się jeden z czynników. Czynnik \(x^{2}+2\) jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej, więc pozostaje \(x-7=0\). **Odpowiedź.** \(x=7\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Stosuję metodę grupowania, by przedstawić lewą stronę równania w postaci iloczynowej: \[x^{3}-7x^{2}+2x-14=x^{2}(x-7)+2(x-7)=\left(x^{2}+2\right)(x-7).\] Z równania \(\left(x^{2}+2\right)(x-7)=0\) otrzymujemy, że \(x^{2}+2=0\) lub \(x-7=0\). Równanie \(x^{2}+2=0\) nie ma rozwiązań. Rozwiązaniem równania \(x-7=0\) jest liczba \(7\). Odpowiedź: Jedynym rozwiązaniem jest \(x=7\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Zbiór rozwiązań nierówności: \(x\in(0,4)\). Jedynym pierwiastkiem równania należącym do tego zbioru jest \(x=2\).

Nierówność przekształcamy do postaci iloczynowej: \[(x-2)^2-4<0,\qquad x^2-4x<0,\qquad x(x-4)<0.\] Ramiona odpowiadającej paraboli są skierowane w górę, a miejsca zerowe to \(0\) i \(4\), więc wartości ujemne przyjmuje ona **między** nimi: \[x\in(0,4).\] Przedział jest otwarty, bo nierówność jest ostra. Równanie rozkładamy przez grupowanie: \[x^3+6x^2-4x-24=x^2(x+6)-4(x+6)=(x+6)\left(x^2-4\right)=(x+6)(x-2)(x+2)=0,\] skąd \(x=-6\), \(x=-2\) lub \(x=2\). Do przedziału \((0,4)\) należy tylko \(x=2\). **Odpowiedź.** Zbiorem rozwiązań nierówności jest \((0,4)\); jedynym pierwiastkiem równania należącym do tego zbioru jest \(x=2\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **5.1. (1 pkt)** – przekształcenie nierówności do postaci: \(x(x-4)<0\). […] nierówności w postaci: \(\lvert x-2\rvert<2\) lub narysowanie wykresu funkcji \(y=(x-2)^{2}-4\), itp. **5.2. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności: \(x\in(0,4)\). Dopuszczamy przedstawienie zbioru rozwiązań na osi liczbowej, o ile zdający wyraźnie zaznaczy przedział otwarty. **5.3. (1 pkt)** – przedstawienie równania w postaci, np. \(x^{2}(x+6)-4(x+6)=0\). Lewa strona równania musi mieć postać sumy iloczynów, w których występuje ten sam czynnik. **5.4. (1 pkt)** – przedstawienie równania w postaci iloczynu czynników liniowych, np. \((x+6)(x+2)(x-2)=0\). **5.5. (1 pkt)** – wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania: \(x=-6\), \(x=-2\), \(x=2\). Przyznajemy punkty w czynności 5.3, 5.4 i 5.5, gdy zdający podaje wszystkie pierwiastki wielomianu \(W(x)=x^{3}+6x^{2}-4x-24\) bez jakichkolwiek obliczeń (np. przez zastosowanie tw. o pierwiastkach wymiernych wielomianu). **5.6. (1 pkt)** – podanie odpowiedzi: \(x=2\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\[x\in\left(-\frac{17}{5},\,-\frac73\right).\]

Zauważmy najpierw, że \(|3x+9|=3|x+3|\), więc lewa strona upraszcza się: \[|x+3|+3|x+3|=4|x+3|.\] Nierówność przyjmuje postać \[4|x+3|<|x+5|.\] Obie strony są nieujemne, więc wolno je podnieść do kwadratu: \[16(x+3)^2<(x+5)^2,\] \[16x^2+96x+144<x^2+10x+25,\qquad 15x^2+86x+119<0.\] Wyróżnik wynosi \(\Delta=7396-7140=256=16^2\), więc \[x=\frac{-86-16}{30}=-\frac{17}{5}\qquad\text{oraz}\qquad x=\frac{-86+16}{30}=-\frac73.\] Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc trójmian jest ujemny między pierwiastkami: \[x\in\left(-\frac{17}{5},-\frac73\right).\] **Odpowiedź.** \(x\in\left(-\frac{17}{5},-\frac73\right)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **2.1. (1 pkt)** – […]: \(-4x-12<x+5\) dla \(x\in\langle-5,-3)\), \(4x+12<x+5\) dla \(x\in\langle-3,\infty)\). **2.2. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności liniowych bez uwzględniania ograniczeń: \(x>-\frac{7}{3}\), \(x>-\frac{17}{5}\), \(x<-\frac{7}{3}\). **2.3. (1 pkt)** – uwzględnienie ograniczeń, tzn. zapisanie zbiorów rozwiązań poszczególnych nierówności: zbiór pusty, \(\left(-\frac{17}{5},-3\right)\), \(\left\langle-3,-\frac{7}{3}\right)\). **2.4. (1 pkt)** – wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności z wartością bezwzględną: \(\left(-\frac{17}{5},-\frac{7}{3}\right)\). **II sposób rozwiązania:** **2.1. (1 pkt)** – zapisanie danej nierówności w postaci: \(4\lvert x+3\rvert<x+5\). **2.2. (1 pkt)** – podniesienie obu stron nierówności do drugiej potęgi: \(4^{2}\cdot(x+3)^{2}<(x+5)^{2}\). **2.3. (1 pkt)** – doprowadzenie nierówności do postaci iloczynowej: \((3x+7)\cdot(5x+17)<0\) lub \(15\left(x+\frac{17}{5}\right)\left(x+\frac{7}{3}\right)<0\). Punkt przyznajemy, gdy zdający zapisze nierówność w postaci ogólnej i obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego. **2.4. (1 pkt)** – zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: \(x\in\left(-\frac{17}{5},-\frac{7}{3}\right)\). **Metoda graficzna.** **2.1. (1 pkt)** – zapisanie danej nierówności w postaci: \(4\lvert x+3\rvert<x+5\). **2.2. (1 pkt)** – sporządzenie wykresów funkcji \(f(x)=4\lvert x+3\rvert\) i \(g(x)=x+5\). **2.3. (1 pkt)** – wyznaczenie odciętych punktów wspólnych wykresów funkcji \(f\) i \(g\). **2.4. (1 pkt)** – zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: \(\left(-\frac{17}{5},-\frac{7}{3}\right)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Najmniejsza wartość: \(f\left(\frac34\right)=-\frac{25}{8}\); największa wartość: \(f(-2)=12\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typ zadania: szukamy wartości najmniejszej i największej funkcji kwadratowej w PRZEDZIALE DOMKNIĘTYM. Kandydaci są tylko trzej: wierzchołek paraboli (o ile jego odcięta należy do przedziału) oraz dwa końce przedziału. Zaczynamy od doprowadzenia wzoru do postaci ogólnej, bo z niej odczytamy współczynniki \(a\), \(b\), \(c\). **Krok \(2\).** Wymnażamy nawiasy: \[f(x)=(2x+1)(x-2)=2x^2-4x+x-2=2x^2-3x-2.\] Zatem \(a=2\), \(b=-3\), \(c=-2\). **Krok \(3\).** Ponieważ \(a=2\gt 0\), ramiona paraboli są skierowane w górę. Wierzchołek jest więc punktem, w którym funkcja przyjmuje wartość NAJMNIEJSZĄ, a wartości największych szukamy na końcach przedziału. **Krok \(4\).** Liczymy odciętą wierzchołka: \[x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{3}{4}.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy, czy \(x_w\) należy do przedziału: \(\frac34\in\langle-2,2\rangle\) — tak. Wobec tego minimum funkcji w tym przedziale jest osiągane właśnie w wierzchołku. **Krok \(6\).** Liczymy rzędną wierzchołka. Najpierw \(\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25\), a stąd \[y_w=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-25}{8}.\] (Można też podstawić bezpośrednio: \(f\left(\frac34\right)=2\cdot\frac{9}{16}-3\cdot\frac34-2=\frac98-\frac{18}{8}-\frac{16}{8}=-\frac{25}{8}\).) **Krok \(7\).** Liczymy wartości na końcach przedziału — najwygodniej z postaci iloczynowej: \[f(-2)=(2\cdot(-2)+1)(-2-2)=(-3)\cdot(-4)=12,\qquad f(2)=(2\cdot 2+1)(2-2)=5\cdot 0=0.\] **Krok \(8\).** Porównujemy kandydatów: \(-\frac{25}{8}=-3{,}125\), \(12\) oraz \(0\). Najmniejsza wartość to \(-\frac{25}{8}\) (dla \(x=\frac34\)), największa to \(12\) (dla \(x=-2\)). **Uwaga.** Dwie rzeczy decydują tu o punktach. Po pierwsze, trzeba SPRAWDZIĆ, czy \(x_w\) należy do przedziału — gdyby wypadł poza nim, obie skrajne wartości byłyby na końcach przedziału. Po drugie, przy ramionach skierowanych w górę wierzchołek nigdy nie daje wartości największej — tej trzeba szukać na końcach, i to na obu, bo wierzchołek nie leży w środku przedziału. **Odpowiedź.** Najmniejsza wartość: \(f\left(\frac34\right)=-\frac{25}{8}\); największa wartość: \(f(-2)=12\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Zapisuję wzór funkcji w postaci ogólnej \(f(x)=2x^{2}-3x-2\). Wyznaczam odciętą wierzchołka paraboli: \(x_{w}=\frac{-b}{2a}=\frac{3}{4}\). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli należy do przedziału \(\langle-2,2\rangle\), więc najmniejszą wartością funkcji \(f\) w tym przedziale jest druga współrzędna wierzchołka: \(y_{w}=\frac{-\Delta}{4a}=-\frac{25}{8}\). Obliczam wartości funkcji na końcach przedziału: \(f(-2)=12\), \(f(2)=0\). Największą wartością funkcji \(f\) w podanym przedziale jest \(f(-2)=12\). Odpowiedź: Najmniejszą wartością funkcji w podanym przedziale jest \(y_{w}=-\frac{25}{8}\), a największą \(f(-2)=12\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Najmniejsza wartość \(f(2)=0\), największa \(f(5)=9\). b) \(x\in(-\infty,1\rangle\cup\langle2,+\infty)\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy funkcję: \(f(x)=(2-x)^2\). Ponieważ \((2-x)^2=(x-2)^2\), jest to funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej z wierzchołkiem \(W=(2,0)\) i ramionami skierowanymi W GÓRĘ. Na przedziale domkniętym wartości ekstremalne szukamy wśród trzech liczb: wartości w wierzchołku (o ile należy on do przedziału) i wartości na obu końcach. **Krok \(2\).** Sprawdzamy, czy wierzchołek należy do przedziału: \(x_w=2\in\langle0,5\rangle\) — tak. Ramiona w górę, więc w wierzchołku jest wartość NAJMNIEJSZA: \[f(2)=(2-2)^2=0.\] **Krok \(3\).** Obliczamy wartości na końcach: \[f(0)=(2-0)^2=4,\qquad f(5)=(2-5)^2=(-3)^2=9.\] **Krok \(4\).** Największą wartością jest większa z tych dwóch, czyli \(f(5)=9\). (Ma to sens: \(5\) leży dalej od wierzchołka \(x=2\) niż \(0\), a przy ramionach w górę im dalej od wierzchołka, tym większa wartość.) **Krok \(5\).** Podpunkt b): zapisujemy nierówność \(f(x)-(2-x)\geqslant0\), czyli \[(2-x)^2-(2-x)\geqslant0.\] Zamiast wymnażać, zauważamy wspólny czynnik \((2-x)\) i wyłączamy go przed nawias: \[(2-x)\left[(2-x)-1\right]\geqslant0\quad\Longrightarrow\quad (2-x)(1-x)\geqslant0.\] **Krok \(6\).** Wygodniej pracuje się z dodatnimi współczynnikami przy \(x\). Mnożymy KAŻDY z dwóch nawiasów przez \(-1\); ponieważ robimy to dwukrotnie, znaki się znoszą i zwrot nierówności pozostaje bez zmian: \[(x-2)(x-1)\geqslant0.\] **Krok \(7\).** Lewa strona to parabola o ramionach w górę i miejscach zerowych \(1\) oraz \(2\). Wartości nieujemne przyjmuje POZA przedziałem między pierwiastkami, wraz z samymi pierwiastkami (nierówność jest nieostra): \[x\in(-\infty,1\rangle\cup\langle2,+\infty).\] **Uwaga.** W kroku \(5\) nie wolno SKRACAĆ obu stron przez \((2-x)\) — dla \(x=2\) dzielilibyśmy przez zero i zgubilibyśmy rozwiązanie \(x=2\), które akurat należy do zbioru rozwiązań. Zawsze wyłączamy wspólny czynnik przed nawias, zamiast dzielić przez wyrażenie z niewiadomą. Ponieważ nierówność jest NIEOSTRA, liczby \(1\) i \(2\) należą do odpowiedzi — nawiasy przy nich są domknięte. **Odpowiedź.** a) Najmniejsza wartość \(f(2)=0\), największa \(f(5)=9\). b) \(x\in(-\infty,1\rangle\cup\langle2,+\infty)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **2.1. (1 pkt)** – […] funkcji \(f\) jest równa \(2\) i należy do przedziału \(\langle 0,\,5\rangle\). […] zdający zapisze \(x_{w}=2\). **2.2. (1 pkt)** – obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 0,\,5\rangle\): \(f(2)=0\). **2.3. (1 pkt)** – obliczenie największej wartości funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 0,\,5\rangle\): \(f(5)=9\). **2.4. (1 pkt)** – przekształcenie lewej strony nierówności do postaci iloczynowej \((2-x)\cdot(1-x)\geq 0\) i podanie miejsc zerowych: \(x=1\) lub \(x=2\), (albo wyznaczenie pierwiastków trójmianu \(y=x^{2}-3x+2\)). **2.5. (1 pkt)** – zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: \((-\infty,1\rangle\cup\langle 2,\infty)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(p=3\) i \(q=-1\) albo \(p=-1\) i \(q=3\).

**Krok \(1\).** Dane są oba pierwiastki równania kwadratowego, a szukamy liczb ukrytych w jego współczynnikach. W takiej sytuacji naturalnym narzędziem są wzory Viete'a: znając \(x_1\) i \(x_2\), znamy sumę i iloczyn pierwiastków, a te wyrażają się przez współczynniki równania. Porównanie da nam układ dwóch równań z niewiadomymi \(p\) i \(q\). **Krok \(2\).** Liczymy sumę pierwiastków — składniki z pierwiastkiem kwadratowym się redukują: \[x_1+x_2=\left(5+\sqrt{23}\right)+\left(5-\sqrt{23}\right)=10.\] **Krok \(3\).** Liczymy iloczyn, korzystając ze wzoru \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\): \[x_1x_2=\left(5+\sqrt{23}\right)\left(5-\sqrt{23}\right)=25-23=2.\] **Krok \(4\).** W równaniu \(x^2-\left(p^2+q^2\right)x+(p+q)=0\) mamy \(a=1\), \(b=-\left(p^2+q^2\right)\) oraz \(c=p+q\). Wzory Viete'a dają \[x_1+x_2=-\frac ba=p^2+q^2,\qquad x_1x_2=\frac ca=p+q.\] Porównując z krokami \(2\) i \(3\), otrzymujemy układ \[\begin{cases}p^2+q^2=10\\ p+q=2.\end{cases}\] **Krok \(5\).** Rozwiązujemy układ metodą podstawiania: z drugiego równania \(q=2-p\), więc \[p^2+(2-p)^2=10,\qquad p^2+4-4p+p^2=10,\qquad 2p^2-4p-6=0,\qquad p^2-2p-3=0.\] **Krok \(6\).** Liczymy wyróżnik: \(\Delta=4+12=16\), \(\sqrt{\Delta}=4\), więc \[p_1=\frac{2-4}{2}=-1,\qquad p_2=\frac{2+4}{2}=3.\] **Krok \(7\).** Wyznaczamy odpowiadające im wartości \(q=2-p\): dla \(p=3\) mamy \(q=-1\), a dla \(p=-1\) mamy \(q=3\). **Krok \(8\).** Sprawdzenie: \(3^2+(-1)^2=9+1=10\) oraz \(3+(-1)=2\). Zgadza się (druga para daje te same liczby). **Uwaga.** Wartości \(p\) i \(q\) są ze sobą powiązane, więc trzeba podać całe pary, a nie same rozwiązania równania kwadratowego. Nie wolno też mieszać par, np. brać \(p=3\) razem z \(q=3\) — taka para nie spełnia warunku \(p+q=2\). **Odpowiedź.** \(p=3\) i \(q=-1\) albo \(p=-1\) i \(q=3\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Zapisuję równanie kwadratowe w postaci iloczynowej: \(\left(x-5-\sqrt{23}\right)\cdot\left(x-5+\sqrt{23}\right)=0\) przekształcam je do postaci ogólnej \[(x-5)^{2}-23=0\] \[x^{2}-10x+2=0\] Porównuję odpowiednie współczynniki obu postaci równania i stwierdzam, że muszą być spełnione równocześnie dwa warunki: \(p^{2}+q^{2}=10\) i \(p+q=2\). Rozwiązuję układ równań \(\begin{cases}p^{2}+q^{2}=10\\ p+q=2\end{cases}\) Dokonuję podstawienia: \(q=2-p\) i otrzymuję równanie kwadratowe z jedną niewiadomą: \(p^{2}-2p-3=0\). Rozwiązaniem tego równania kwadratowego są liczby: \(p_{1}=3\) lub \(p_{2}=-1\). Obliczam wartości \(q\) w zależności od \(p\): dla \(p_{1}=3\), \(q_{1}=-1\), natomiast dla \(p_{2}=-1\), \(q_{2}=3\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Z wykresu \(f(x)=(x+6)(x+5)(x+3)=x^3+14x^2+63x+90\), skąd \(-f(-x)=x^3-14x^2+63x-90=g(x)\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).

Z rysunku odczytujemy, że wykres wielomianu \(f\) przecina oś \(Ox\) w punktach o odciętych \(-6\), \(-5\) i \(-3\), przy każdym z nich zmieniając znak. Wielomian stopnia trzeciego o takich miejscach zerowych ma postać iloczynową \[f(x)=a(x+6)(x+5)(x+3).\] Współczynnik \(a\) wyznaczamy z podanego warunku \(f(0)=90\): \[a\cdot(0+6)(0+5)(0+3)=90,\qquad 90a=90,\qquad a=1.\] Zatem \[f(x)=(x+6)(x+5)(x+3)=x^3+14x^2+63x+90.\] Obliczamy teraz \(f(-x)\), a następnie \(-f(-x)\): \[f(-x)=(-x)^3+14(-x)^2+63(-x)+90=-x^3+14x^2-63x+90,\] \[-f(-x)=-\left(-x^3+14x^2-63x+90\right)=x^3-14x^2+63x-90.\] Otrzymane wyrażenie jest dokładnie wzorem wielomianu \(g\). Przekształcenia były wykonane dla dowolnej liczby rzeczywistej \(x\), zatem \[g(x)=-f(-x)\quad\text{dla każdego }x\in\mathbb{R},\] co należało wykazać. **Odpowiedź.** Równość \(g(x)=-f(-x)\) zachodzi dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Z rysunku odczytuję miejsca zerowe funkcji \(f\) i zapisuję jej wzór w postaci iloczynowej \(f(x)=a(x+6)(x+5)(x+3)\). Funkcja spełnia warunek \(f(0)=90\), czyli \(a(0+6)(0+5)(0+3)=90\). Obliczam współczynnik \(a\): \(a=1\) i zapisuję wzór funkcji \(f\): \(f(x)=(x+6)(x+5)(x+3)\). Wzór funkcji \(f\) zapisuję w postaci: \(f(x)=x^{3}+14x^{2}+63x+90\). \[-f(-x)=-\left[(-x)^{3}+14(-x)^{2}+63(-x)+90\right]=\] \[=-\left[-x^{3}+14x^{2}-63x+90\right]=\] \[=x^{3}-14x^{2}+63x-90=g(x)\] Zatem \(-f(-x)=g(x)\) dla \(x\in R\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\[x\in(1,2)\cup(4,5).\]

Najpierw dziedzina — wszystkie trzy argumenty muszą być dodatnie: \[x^2-1>0,\qquad 5-x>0,\qquad 3(x+1)>0.\] Stąd kolejno \(x<-1\) lub \(x>1\); \(x<5\); \(x>-1\). Częścią wspólną jest \[D=(1,5).\] Lewą stronę zapisujemy jednym logarytmem (wzór na logarytm iloczynu): \[\log_{\frac13}\left[(x^2-1)(5-x)\right]>\log_{\frac13}\bigl(3(x+1)\bigr).\] Podstawa \(\frac13\) jest mniejsza od \(1\), więc funkcja logarytmiczna jest malejąca i przy opuszczaniu logarytmów **zwrot nierówności się odwraca**: \[(x^2-1)(5-x)<3(x+1).\] Przenosimy wszystko na lewą stronę i rozkładamy na czynniki: \[(x-1)(x+1)(5-x)-3(x+1)<0,\] \[(x+1)\left[(x-1)(5-x)-3\right]<0,\] \[(x+1)(-x^2+6x-8)<0,\qquad -(x+1)(x-2)(x-4)<0,\] czyli \((x+1)(x-2)(x-4)>0\). Wielomian ten jest dodatni dla \(x\in(-1,2)\cup(4,+\infty)\). Zbiorem rozwiązań nierówności logarytmicznej jest część wspólna tego zbioru z dziedziną: \[\bigl((-1,2)\cup(4,+\infty)\bigr)\cap(1,5)=(1,2)\cup(4,5).\] **Odpowiedź.** \(x\in(1,2)\cup(4,5)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Wyznaczam dziedzinę nierówności logarytmicznej: \(x^{2}-1>0\ \land\ 5-x>0\ \land\ x+1>0\). Rozwiązania tych nierówności zaznaczam na osi liczbowej. […] Dziedziną danej nierówności jest przedział \((1,5)\). Korzystam ze wzoru na sumę logarytmów i otrzymuję nierówność równoważną: \(\log_{\frac{1}{3}}\left[(x^{2}-1)(5-x)\right]>\log_{\frac{1}{3}}\left(3(x+1)\right)\). Funkcja logarytmiczna przy podstawie \(\frac{1}{3}\) jest malejąca, więc po opuszczeniu logarytmów i zmianie zwrotu nierówności otrzymuję nierówność równoważną: \((x^{2}-1)(5-x)<3(x+1)\). Przedstawiam ją w postaci iloczynowej: \[(x-1)(x+1)(5-x)<3(x+1)\] \[(x-1)(x+1)(5-x)-3(x+1)<0\] \[(x+1)\left[(x-1)(5-x)-3\right]<0\] \[(x+1)\left(-x^{2}+6x-8\right)<0\] \[-(x+1)(x-2)(x-4)<0\] Rozwiązaniem nierówności jest suma przedziałów \((-1,2)\cup(4,\infty)\). Rozwiązaniem nierówności logarytmicznej jest część wspólna otrzymanego zbioru i dziedziny: \((1,2)\cup(4,5)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(x=-\sqrt7\), \(x=0\), \(x=\sqrt7\). b) \(a=0\), \(b=12\), czyli \(W(x)=2x^3-14x+12\).

**Krok \(1\).** Zadanie składa się z dwóch niezależnych części. W a) mamy równanie trzeciego stopnia bez wyrazu wolnego — wtedy zawsze wyłączamy \(x\) przed nawias i korzystamy z tego, że iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem. W b) korzystamy z twierdzenia o podzielności wielomianu przez dwumian: \(W(x)\) dzieli się przez \(x-r\) dokładnie wtedy, gdy \(W(r)=0\). **Krok \(2\).** Część a). Wyłączamy wspólny czynnik: \[2x^3-14x=2x\left(x^2-7\right)=0.\] **Krok \(3\).** Czynnik \(x^2-7\) rozkładamy według wzoru na różnicę kwadratów, bo \(7=\left(\sqrt7\right)^2\): \[2x\left(x-\sqrt7\right)\left(x+\sqrt7\right)=0.\] **Krok \(4\).** Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z czynników, więc \(x=0\) lub \(x=\sqrt7\), lub \(x=-\sqrt7\). **Krok \(5\).** Część b). Podzielność przez \(x-2\) daje warunek \(W(2)=0\), a podzielność przez \(x+3=x-(-3)\) daje warunek \(W(-3)=0\). Mamy więc dwa równania z niewiadomymi \(a\) i \(b\). **Krok \(6\).** Liczymy \(W(2)\) dla \(W(x)=2x^3+ax^2-14x+b\): \[2\cdot8+a\cdot4-14\cdot2+b=16+4a-28+b=0,\qquad\text{czyli}\qquad 4a+b=12.\] **Krok \(7\).** Liczymy \(W(-3)\): \[2\cdot(-27)+a\cdot9-14\cdot(-3)+b=-54+9a+42+b=0,\qquad\text{czyli}\qquad 9a+b=12.\] **Krok \(8\).** Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego: \(5a=0\), więc \(a=0\), a stąd \(b=12\). Sprawdzenie dla \(W(x)=2x^3-14x+12\): \(W(2)=16-28+12=0\) oraz \(W(-3)=-54+42+12=0\). **Uwaga.** W punkcie b) do dwumianu \(x+3\) podstawiamy \(x=-3\) (bo \(x+3=x-(-3)\)), a nie \(x=3\). W punkcie a) nie wolno skracać równania przez \(x\), bo stracilibyśmy pierwiastek \(x=0\). **Odpowiedź.** a) \(x=-\sqrt7\), \(x=0\), \(x=\sqrt7\). b) \(a=0\) i \(b=12\), czyli \(W(x)=2x^3-14x+12\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 6.** (\(4\) pkt) Dany jest wielomian \(W(x)=2x^{3}+ax^{2}-14x+b\). a) Dla \(a=0\) i \(b=0\) otrzymamy wielomian \(W(x)=2x^{3}-14x\). Rozwiąż równanie \(2x^{3}-14x=0\). b) Dobierz wartości \(a\) i \(b\) tak, aby wielomian \(W(x)\) był podzielny jednocześnie przez \(x-2\) oraz przez \(x+3\). a) Rozwiązuję równanie: \(2x^{3}-14x=0\) \(2x\left(x^{2}-7\right)=0\) \(2x\left(x-\sqrt{7}\right)\left(x+\sqrt{7}\right)=0\) z zapisanej postaci iloczynowej odczytuję rozwiązania równania: \(x_{1}=0\), \(x_{2}=\sqrt{7}\), \(x_{3}=-\sqrt{7}\). b) Aby znaleźć wartość współczynników \(a\) i \(b\) korzystam z twierdzenia o podzielności wielomianu przez dwumian, z którego wynika, że: \(W(2)=0\) oraz \(W(-3)=0\). Otrzymuję układ równań: \(\begin{cases}16+4a-28+b=0\\ -54+9a+42+b=0\end{cases}\), z którego wyznaczam \(a\) i \(b\). \(\begin{cases}4a+b=12\\ 9a+b=12\end{cases}\) Rozwiązanie układu równań są liczby: \(a=0\), \(b=12\). Wielomian przyjmuje postać: \(W(x)=2x^{3}-14x+12\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(x\in(-\infty,0\rangle\cup\langle2,+\infty)\). b) W przedziale \(\langle0,3\rangle\) najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(0\) (dla \(x=3\)), a największa \(4\) (dla \(x=1\)). c) \(f(x)=-(x+1)(x-3)\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy sposób pracy. Wszystkie informacje mamy odczytać z wykresu paraboli. Do podpunktu c) potrzebne będą miejsca zerowe (bo one wchodzą do postaci iloczynowej \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)) oraz jeden dodatkowy punkt wykresu, z którego wyliczymy współczynnik \(a\). **Krok \(2\).** Odczytujemy z wykresu: ramiona skierowane w dół, wierzchołek \(W=(1,4)\), miejsca zerowe \(x_1=-1\) i \(x_2=3\), punkt przecięcia z osią \(Oy\): \((0,3)\). **Krok \(3\).** Podpunkt a). Rysujemy (choćby w wyobraźni) prostą poziomą \(y=3\). Przecina ona parabolę w punkcie \((0,3)\), a ponieważ wykres jest symetryczny względem prostej \(x=1\) (pionowej osi przechodzącej przez wierzchołek), drugim punktem przecięcia jest punkt oddalony od \(x=1\) o tyle samo z drugiej strony, czyli \((2,3)\). **Krok \(4\).** Ramiona są skierowane w dół, więc wykres leży NIE WYŻEJ niż prosta \(y=3\) na zewnątrz przedziału wyznaczonego przez punkty przecięcia: \[f(x)\leqslant 3\iff x\in(-\infty,0\rangle\cup\langle2,+\infty).\] **Krok \(5\).** Podpunkt b). Sprawdzamy, czy wierzchołek leży w przedziale \(\langle0,3\rangle\): tak, \(x_w=1\in\langle0,3\rangle\). Ponieważ ramiona są w dół, wierzchołek daje wartość NAJWIĘKSZĄ, równą \(4\). **Krok \(6\).** Wartość najmniejszą w tym przedziale odczytujemy na jego końcach: \(f(0)=3\) oraz \(f(3)=0\). Mniejsza jest \(0\), więc najmniejsza wartość funkcji \(f\) w \(\langle0,3\rangle\) wynosi \(0\) (dla \(x=3\)). **Krok \(7\).** Podpunkt c). Zapisujemy postać iloczynową z odczytanymi miejscami zerowymi: \[f(x)=a\left(x-(-1)\right)(x-3)=a(x+1)(x-3).\] **Krok \(8\).** Wyznaczamy \(a\), wstawiając punkt \((0,3)\): \[3=a\cdot(0+1)\cdot(0-3)=-3a,\qquad a=-1.\] **Krok \(9\).** Zapisujemy wzór i sprawdzamy go na wierzchołku: \[f(x)=-(x+1)(x-3),\qquad f(1)=-(1+1)(1-3)=-2\cdot(-2)=4\ \checkmark\] Zgadza się z odczytanym wierzchołkiem \((1,4)\); ujemne \(a\) potwierdza też ramiona skierowane w dół. **Uwaga.** W podpunkcie a) nierówność jest NIEOSTRA (\(\leqslant\)), więc końce \(0\) i \(2\) należą do zbioru rozwiązań — zapisujemy nawiasy kwadratowe. Zauważ też, że drugiego punktu przecięcia z prostą \(y=3\) nie trzeba zgadywać z rysunku „na oko” — wynika on z symetrii paraboli względem prostej \(x=1\). W podpunkcie c) współczynnika \(a\) nie wolno pominąć: sam iloczyn \((x+1)(x-3)\) opisywałby parabolę o ramionach skierowanych w górę. **Odpowiedź.** a) \(x\in(-\infty,0\rangle\cup\langle2,+\infty)\). b) W przedziale \(\langle0,3\rangle\) najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(0\) (dla \(x=3\)), a największa \(4\) (dla \(x=1\)). c) \(f(x)=-(x+1)(x-3)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **6.1. (1 pkt)** – […] \(f(x)\leq 3\): \((-\infty,\,0\rangle\cup\langle 2,\,+\infty)\). **6.2. (2 pkt)** – zapisanie najmniejszej i największej wartości funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 0,\,3\rangle\): najmniejsza wartość jest równa \(0\), a największa jest równa \(4\). **6.3. (1 pkt)** – odczytanie z wykresu miejsc zerowych funkcji \(f\): \(x_{1}=-1\), \(x_{2}=3\) oraz współrzędnych punktu przecięcia wykresu z osią \(OY\). **6.4. (1 pkt)** – wyznaczenie współczynnika \(a\): \(a=-1\). **6.5. (1 pkt)** – zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci iloczynowej: \(f(x)=-(x+1)(x-3)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(f(x)=1+\dfrac{-2}{x-1}\), czyli \(k=1\) oraz \(m=-2\). b) \(p\in(-\infty,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},+\infty)\).

**Krok \(1\).** Obie części zadania opierają się na jednym pomyśle: funkcję homograficzną zapisujemy w postaci *stała plus ułamek*, czyli wykonujemy dzielenie licznika przez mianownik. Dopiero z takiej postaci widać, jak funkcja się zachowuje, bo o monotoniczności decyduje znak licznika tego ułamka. **Krok \(2\).** Podpunkt a). Dla \(p=1\) mamy \(f(x)=\frac{x-3}{x-1}\). W liczniku wyodrębniamy mianownik: \[x-3=(x-1)-2.\] **Krok \(3\).** Zatem \[f(x)=\frac{(x-1)-2}{x-1}=1+\frac{-2}{x-1},\] czyli \(k=1\) oraz \(m=-2\). **Krok \(4\).** Podpunkt b). Ten sam zabieg wykonujemy dla dowolnego \(p\). Chcemy w liczniku zobaczyć \(x-p\): \[px-3=p(x-p)+p^2-3,\] bo \(p(x-p)=px-p^2\), a \(-p^2+p^2-3=-3\). **Krok \(5\).** Stąd dla \(x\neq p\) \[f(x)=\frac{p(x-p)+p^2-3}{x-p}=p+\frac{p^2-3}{x-p}.\] **Krok \(6\).** Badamy monotoniczność na przedziale \((p,+\infty)\). Weźmy \(p\lt x_1\lt x_2\); wtedy \(0\lt x_1-p\lt x_2-p\) i \[f(x_2)-f(x_1)=\left(p^2-3\right)\left(\frac1{x_2-p}-\frac1{x_1-p}\right).\] **Krok \(7\).** Nawias jest ujemny, bo z dwóch dodatnich mianowników większy daje mniejszy ułamek. Zatem różnica \(f(x_2)-f(x_1)\) jest ujemna (czyli funkcja maleje) dokładnie wtedy, gdy \[p^2-3\gt0.\] **Krok \(8\).** Rozwiązujemy: \(p^2\gt3\), czyli \(\lvert p\rvert\gt\sqrt3\), a więc \[p\in\left(-\infty,-\sqrt3\right)\cup\left(\sqrt3,+\infty\right).\] **Uwaga.** Warunek dotyczy tylko przedziału \((p,+\infty)\), czyli jednej gałęzi hiperboli — na całej dziedzinie funkcja homograficzna nigdy nie jest monotoniczna. Przypadek \(p^2-3=0\) (funkcja stała) jest wykluczony założeniem \(\lvert p\rvert\neq\sqrt3\). **Odpowiedź.** a) \(f(x)=1+\dfrac{-2}{x-1}\), czyli \(k=1\) i \(m=-2\); b) \(p\in\left(-\infty,-\sqrt3\right)\cup\left(\sqrt3,+\infty\right)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **1.1. (1 pkt)** – […] \(f(x)=1+\frac{-2}{x-1}\) lub \(f(x)=1-\frac{2}{x-1}\). **I sposób rozwiązania podpunktu b).** **1.2. (2 pkt)** – Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy \(f(x)=p+\frac{p^{2}-3}{x-p}\). 1 pkt za wykonanie dzielenia \((px-3):(x-p)=p(x-p)+p^{2}-3\) lub wykorzystanie innej metody, która doprowadzi do zapisania wyrażenia w postaci sumy, np. \(f(x)=\frac{p(x-p)+p^{2}-3}{x-p}\). 1 pkt za zapisanie funkcji w postaci homograficznej: \(f(x)=p+\frac{p^{2}-3}{x-p}\). **1.3. (1 pkt)** – Zapisanie nierówności \(p^{2}-3>0\). **1.4. (1 pkt)** – Rozwiązanie powyższej nierówności: \(p\in\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)\cup\left(\sqrt{3},\infty\right)\). **II sposób rozwiązania podpunktu b)** **1.2. (2 pkt)** – Obliczenie pochodnej funkcji \(f(x)\): \(f'(x)=\frac{3-p^{2}}{(x-p)^{2}}\), \(x\neq p\) i zapisanie nierówności \(\frac{3-p^{2}}{(x-p)^{2}}<0\) pozwalającej wyznaczyć szukany zbiór wartości parametru \(p\). 1 pkt przyznajemy za obliczenie pochodnej, 1 pkt za zapisanie nierówności. **1.3. (1 pkt)** – Stwierdzenie, że \((x-p)^{2}>0\) i zapisanie nierówności \(3-p^{2}<0\). **1.4. (1 pkt)** – Rozwiązanie nierówności \(3-p^{2}<0\): \(p\in\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)\cup\left(\sqrt{3},\infty\right)\). **III sposób rozwiązania podpunktu b) z zastosowaniem definicji funkcji malejącej.** **1.2. (2 pkt)** – Dla dowolnych \(x_{1},x_{2}\in(p,\infty)\) takich, że \(x_{1}<x_{2}\) funkcja \(f\) jest malejąca gdy \(f(x_{2})-f(x_{1})<0\). Obliczenie różnicy \(f(x_{2})-f(x_{1})\): \(f(x_{2})-f(x_{1})=\frac{p^{2}(x_{1}-x_{2})-3(x_{1}-x_{2})}{(x_{2}-p)(x_{1}-p)}=\frac{(x_{1}-x_{2})\left(p^{2}-3\right)}{(x_{2}-p)(x_{1}-p)}\). 1 pkt – zapisanie założeń. 1 pkt – doprowadzenie różnicy \(f(x_{2})-f(x_{1})\) do postaci iloczynowej. **1.3. (1 pkt)** – Analiza znaku ułamka: \((x_{2}-p)>0\), \((x_{1}-p)>0\) i \((x_{1}-x_{2})<0\) dla każdego \(x_{1},x_{2}\in(p,\infty)\). Zauważenie, że wyrażenie \(f(x_{2})-f(x_{1})\) przyjmuje wartość ujemną gdy \(p^{2}-3>0\). Zapisanie nierówności \(p^{2}-3>0\). **1.4. (1 pkt)** – Rozwiązanie nierówności \(p^{2}-3>0\): \(p\in\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)\cup\left(\sqrt{3},\infty\right)\). **IV sposób rozwiązania podpunktu b)** **1.2. (2 pkt)** – Zapisanie warunku wystarczającego na to, żeby funkcja \(f\) była malejąca w przedziale \((p,+\infty)\): \(f(p+1)>p\). **1.3. (1 pkt)** – Zapisanie warunku \(f(p+1)>p\) w postaci: \(\frac{p(p+1)-3}{(p+1)-p}>p\). **1.4. (1 pkt)** – Rozwiązanie nierówności \(p^{2}-3>0\): \(p\in\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)\cup\left(\sqrt{3},\infty\right)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Dziedzina: \(m\in(-\infty,-6)\cup(-2,0)\cup(0,+\infty)\); \(f(m)=\frac{3m+2}{m+2}=3-\frac{4}{m+2}\), więc wykresem są łuki hiperboli o asymptotach \(m=-2\) i \(y=3\), ograniczone do tej dziedziny.

**Krok \(1\).** Kluczowe jest zrozumienie, czym jest dziedzina funkcji \(f\): to zbiór tych \(m\), dla których równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, czyli \(\Delta\gt0\) (warunek \(m\neq-2\) gwarantuje, że równanie jest kwadratowe). Samego iloczynu pierwiastków nie liczymy z pierwiastków — dają go wzory Viète’a. **Krok \(2\).** Dla równania \((m+2)x^2-(m+2)^2x+3m+2=0\) mamy \(a=m+2\), \(b=-(m+2)^2\), \(c=3m+2\), więc \[\Delta=(m+2)^4-4(m+2)(3m+2).\] **Krok \(3\).** Wyłączamy wspólny czynnik \((m+2)\): \[\Delta=(m+2)\left[(m+2)^3-4(3m+2)\right].\] **Krok \(4\).** Rozwijamy sześcian: \((m+2)^3=m^3+6m^2+12m+8\), zatem \[(m+2)^3-12m-8=m^3+6m^2=m^2(m+6),\] czyli \[\Delta=m^2(m+2)(m+6).\] **Krok \(5\).** Warunek \(\Delta\gt0\): czynnik \(m^2\) jest dodatni dla \(m\neq0\) i zerowy dla \(m=0\), więc musi być \(m\neq0\) oraz \((m+2)(m+6)\gt0\), czyli \(m\lt-6\) lub \(m\gt-2\). **Krok \(6\).** Dziedzina funkcji \(f\): \[m\in(-\infty,-6)\cup(-2,0)\cup(0,+\infty).\] **Krok \(7\).** Ze wzoru Viète’a na iloczyn pierwiastków: \[f(m)=x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3m+2}{m+2}.\] **Krok \(8\).** Aby narysować wykres, zapisujemy ten ułamek w postaci przesuniętej hiperboli: \[\frac{3m+2}{m+2}=\frac{3(m+2)-4}{m+2}=3-\frac{4}{m+2}.\] **Krok \(9\).** Wykresem jest więc hiperbola \(y=-\frac4{x}\) przesunięta o wektor \([-2,3]\), o asymptotach \(m=-2\) oraz \(y=3\). **Krok \(10\).** Rysujemy tylko te fragmenty, które odpowiadają dziedzinie: gałąź dla \(m\lt-6\) (przy czym punkt \((-6,4)\) jest wyłączony, bo \(f(-6)=4\)), pomijamy przedział \(\langle-6,-2\rangle\), a na prawej gałęzi wykluczamy punkt \((0,1)\), bo \(f(0)=1\), a \(m=0\) nie należy do dziedziny. **Uwaga.** Dziedziną nie jest zbiór wszystkich \(m\neq-2\). Najłatwiej tu przeoczyć wykluczenie \(m=0\): wtedy \(\Delta=0\) i równanie ma jeden (podwójny) pierwiastek, a treść wymaga dwóch różnych. **Odpowiedź.** Dziedzina: \(m\in(-\infty,-6)\cup(-2,0)\cup(0,+\infty)\); \(f(m)=\dfrac{3m+2}{m+2}=3-\dfrac{4}{m+2}\), więc wykres to fragmenty hiperboli o asymptotach \(m=-2\) i \(y=3\), z wyłączonym punktem \((0,1)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **11.1. (2 pkt)** – […] \(m_{1}=0\), \(m_{2}=-6\), \(m_{3}=-2\), lub zapisanie wyróżnika w postaci iloczynowej: \(\Delta=m^{2}(m+2)\cdot(m+6)\). **11.2. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności \(\Delta>0\) i zapisanie dziedziny: \(m\in\left(-\infty,\,-6\right)\cup\left(-2,\,0\right)\cup\left(0,\,\infty\right)\). **11.3. (1 pkt)** – zapisanie wzoru funkcji: \(f(m)=\frac{3m+2}{m+2}\). **11.4. (2 pkt)** – naszkicowanie wykresu funkcji \(f\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Teza wynika z tego, że dla \(a=\sqrt[3]{5\sqrt2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt2-7}\) zachodzi \(a^{3}=14-3a\), a równanie \(a^{3}+3a-14=(a-2)(a^{2}+2a+7)=0\) ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty \(a=2\); zatem badane wyrażenie jest równe \(2\), czyli jest liczbą całkowitą (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Metoda: oznaczamy badane wyrażenie jedną literą i podnosimy je do sześcianu. Wynika to z tożsamości \((u-v)^{3}=u^{3}-v^{3}-3uv(u-v)\), która pozwoli zastąpić uciążliwe pierwiastki sześcienne prostym równaniem. **Krok \(2\).** Wprowadzamy oznaczenia \[u=\sqrt[3]{5\sqrt2+7},\qquad v=\sqrt[3]{5\sqrt2-7},\qquad a=u-v.\] Liczby \(u\) i \(v\) są rzeczywiste (pierwiastek sześcienny istnieje dla każdej liczby rzeczywistej), więc \(a\) jest liczbą rzeczywistą. **Krok \(3\).** Obliczamy różnicę sześcianów: \[u^{3}-v^{3}=\left(5\sqrt2+7\right)-\left(5\sqrt2-7\right)=14.\] **Krok \(4\).** Obliczamy iloczyn \(uv\), korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów: \[uv=\sqrt[3]{\left(5\sqrt2+7\right)\left(5\sqrt2-7\right)}=\sqrt[3]{50-49}=\sqrt[3]{1}=1.\] To jest sedno zadania: pod pierwiastkiem zostaje liczba \(1\). **Krok \(5\).** Podstawiamy oba wyniki do tożsamości z kroku \(1\): \[a^{3}=u^{3}-v^{3}-3uv(u-v)=14-3\cdot 1\cdot a,\] czyli \(a\) spełnia równanie \[a^{3}+3a-14=0.\] **Krok \(6\).** Zauważamy, że \(a=2\) spełnia to równanie, bo \(8+6-14=0\). Dzielimy więc wielomian przez dwumian \(a-2\): \[a^{3}+3a-14=(a-2)\left(a^{2}+2a+7\right).\] **Krok \(7\).** Badamy drugi czynnik. Dla trójmianu \(a^{2}+2a+7\) mamy \[\Delta=2^{2}-4\cdot 1\cdot 7=4-28=-24\lt 0,\] więc \(a^{2}+2a+7\) nie ma pierwiastków rzeczywistych i dla każdego rzeczywistego \(a\) jest dodatni. **Krok \(8\).** Zatem równanie \(a^{3}+3a-14=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie jeden pierwiastek: \(a=2\). Ponieważ nasza liczba \(a\) jest rzeczywista i spełnia to równanie, musi być równa \(2\). **Uwaga.** Samo sprawdzenie, że liczba \(2\) spełnia równanie \(a^{3}=14-3a\), jeszcze nie kończy dowodu: trzeba wykazać, że innych pierwiastków rzeczywistych nie ma. Właśnie temu służy rozkład na czynniki i ujemny wyróżnik. **Odpowiedź.** \(\sqrt[3]{5\sqrt2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt2-7}=2\), a więc badane wyrażenie jest liczbą całkowitą.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **17.1. (1 pkt)** – […] lub \(a=\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\) i \(a^{3}=\left(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\right)^{3}\) **17.2. (1 pkt)** – skorzystanie z tożsamości: \((x-y)^{3}=x^{3}-y^{3}-3xy(x-y)\) **17.3. (2 pkt)** – wykorzystanie tożsamości i oznaczeń do uzyskania równania z niewiadomą \(a\) (w tym 1 p. za metodę oraz 1 p. za obliczenia): \(a^{3}=14-3a\) (*) **17.4. (1 pkt)** – wyznaczenie całkowitego pierwiastka równania (*): \(a=2\) **17.5. (1 pkt)** – zapisanie równania (*) w postaci iloczynowej: \((a-2)(a^{2}+2a+7)=0\) lub stwierdzenie, że równanie (*) ma jeden pierwiastek **17.6. (1 pkt)** – wykazanie, że \(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\) jest liczbą całkowitą – sprawdzenie warunku \(\Delta<0\) i uzasadnienie, że \(a=2\) jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem równania (*)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Pozostałe wyrazy równe zero to \(a_3=0\) i \(a_5=0\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie. „Wyrazy równe zero” to nic innego jak rozwiązania równania \(a_n=0\), czyli równania wielomianowego trzeciego stopnia. Sama treść podpowiada metodę: skoro znamy jeden pierwiastek (\(n=2\)), to z twierdzenia Bézouta wielomian dzieli się bez reszty przez dwumian \((n-2)\), a po podzieleniu zostanie trójmian kwadratowy, z którym już sobie poradzimy. **Krok \(2\).** Zapisujemy równanie: \[n^3-10n^2+31n-30=0.\] **Krok \(3\).** Sprawdzamy podany pierwiastek: \(2^3-10\cdot 2^2+31\cdot 2-30=8-40+62-30=0\) — istotnie \(a_2=0\). **Krok \(4\).** Dzielimy wielomian przez \((n-2)\): \[\left(n^3-10n^2+31n-30\right):(n-2)=n^2-8n+15.\] (Kontrola przez wymnożenie: \((n-2)(n^2-8n+15)=n^3-8n^2+15n-2n^2+16n-30=n^3-10n^2+31n-30\).) **Krok \(5\).** Zapisujemy równanie w postaci iloczynowej: \[(n-2)\left(n^2-8n+15\right)=0.\] Iloczyn jest zerem, gdy \(n=2\) (to znamy) albo gdy \(n^2-8n+15=0\). **Krok \(6\).** Rozwiązujemy trójmian kwadratowy: \[\Delta=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=64-60=4,\qquad \sqrt{\Delta}=2,\] \[n_1=\frac{8-2}{2}=3,\qquad n_2=\frac{8+2}{2}=5.\] **Krok \(7\).** Sprawdzamy, czy otrzymane liczby mogą być numerami wyrazów: \(3\) i \(5\) są liczbami naturalnymi dodatnimi, więc odpowiadają im istniejące wyrazy ciągu. Zatem \(a_3=0\) i \(a_5=0\). (Sprawdzenie: \(a_3=27-90+93-30=0\), \(a_5=125-250+155-30=0\).) **Uwaga.** Zwróć uwagę na dwie rzeczy. Po pierwsze, pytano o POZOSTAŁE wyrazy równe zero, więc w odpowiedzi nie powtarzamy \(a_2\). Po drugie, \(n\) jest numerem wyrazu, więc pierwiastki, które nie są liczbami naturalnymi dodatnimi, trzeba by odrzucić — tutaj oba się nadają, ale sprawdzenie jest obowiązkowe. Odpowiadamy wartościami \(a_3=0\) i \(a_5=0\), a nie samymi liczbami \(3\) i \(5\). **Odpowiedź.** Pozostałe wyrazy równe zero to \(a_3=0\) i \(a_5=0\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **6.1. (1 pkt)** – ułożenie równania z niewiadomą \(n\): \(n^{3}-10n^{2}+31n-30=0\). **6.2. (1 pkt)** – wykorzystanie twierdzenia Bézouta do rozkładu lewej strony równania na czynniki: \((n-2)\left(n^{2}-8n+15\right)=0\). **6.3. (1 pkt)** – wyznaczenie pozostałych pierwiastków równania: \(n_{1}=3\), \(n_{2}=5\). **6.4. (1 pkt)** – wyznaczenie pozostałych wyrazów ciągu równych zero: \(a_{3}=0\), \(a_{5}=0\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Największa wartość: \(f(3)=4\); najmniejsza wartość: \(f(7)=-12\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy funkcję: \(f(x)=(x-1)(5-x)\) to funkcja kwadratowa zapisana w postaci iloczynowej. Kluczowa własność: funkcja kwadratowa na przedziale DOMKNIĘTYM przyjmuje wartość największą i najmniejszą albo w wierzchołku paraboli, albo na końcach przedziału. Wystarczy więc porównać trzy liczby: \(f\) w wierzchołku (o ile wierzchołek należy do przedziału) oraz \(f\) na obu końcach. **Krok \(2\).** Ustalamy kierunek ramion. Wymnażamy: \[f(x)=(x-1)(5-x)=5x-x^2-5+x=-x^2+6x-5.\] Współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(-1\lt0\), więc ramiona paraboli są skierowane W DÓŁ. To znaczy, że w wierzchołku jest wartość NAJWIĘKSZA, a najmniejsza musi wypaść na końcu przedziału. **Krok \(3\).** Wyznaczamy wierzchołek. Najprościej z postaci iloczynowej: miejsca zerowe to \(1\) i \(5\), a wierzchołek leży dokładnie pośrodku: \[x_w=\frac{1+5}{2}=3\qquad(\text{lub ze wzoru } x_w=-\tfrac{b}{2a}=-\tfrac{6}{-2}=3).\] Wartość: \(f(3)=(3-1)(5-3)=2\cdot2=4\). **Krok \(4\).** Sprawdzamy, czy \(x_w=3\) należy do przedziału \(\langle0,7\rangle\). Tak, należy, więc największą wartością funkcji \(f\) w tym przedziale jest \(f(3)=4\). **Krok \(5\).** Obliczamy wartości na obu końcach: \[f(0)=(0-1)(5-0)=(-1)\cdot5=-5,\] \[f(7)=(7-1)(5-7)=6\cdot(-2)=-12.\] **Krok \(6\).** Porównujemy: \(-12\lt-5\), więc najmniejszą wartością jest \(f(7)=-12\). **Uwaga.** Pułapką jest odruch „skoro ramiona w dół, to najmniejszej wartości nie ma”. Na całej prostej rzeczywiście jej nie ma, ale na przedziale DOMKNIĘTYM już tak — jest przyjmowana na jednym z końców. Trzeba sprawdzić OBA końce, bo przedział \(\langle0,7\rangle\) nie jest symetryczny względem \(x_w=3\): punkt \(7\) leży dalej od wierzchołka niż \(0\), i to on daje mniejszą wartość. **Odpowiedź.** Największa wartość: \(f(3)=4\); najmniejsza wartość: \(f(7)=-12\).

**2. (1 pkt)** – obliczenie wartości \(f(0)=-5\). **3. (1 pkt)** – obliczenie wartości \(f(7)=-12\). **4. (1 pkt)** – zapisanie odpowiedzi: Funkcja \(f\) w przedziale \(0;7\) osiąga największą wartość równą \(4\), zaś najmniejszą równą \((-12)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(a=\frac{1}{2}\).

Wielomian trzeciego stopnia o miejscach zerowych \(-2\), \(1\), \(2\) zapisujemy w postaci iloczynowej \[W(x)=a(x+2)(x-1)(x-2).\] Wykorzystujemy warunek \(W(-1)=3\): \[3=a(-1+2)(-1-1)(-1-2)=a\cdot1\cdot(-2)\cdot(-3)=6a.\] Stąd \[a=\frac36=\frac12.\] **Odpowiedź.** \(a=\dfrac12\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **6.1. (1 pkt)** – […] iloczynowej **6.2. (1 pkt)** – wykorzystanie warunku \(W(-1)=3\) do ułożenia równania (2) **6.3. (1 pkt)** – rozwiązanie równania (2): \(a=\frac{1}{2}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.