Współrzędne wierzchołka paraboli w zadaniach maturalnych

Ponieważ \(g(0)=f(1)=0\), liczba \(1\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\). Zatem \(f(x)=a(x-3)^{2}-2\) i \(0=4a-2\), więc \(a=\frac{1}{2}\). Ostatecznie \(f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-3x+\frac{5}{2}\).

Z definicji funkcji \(g\) wynika, że \(g(0)=f(0+1)=f(1)\). Skoro \(0\) jest miejscem zerowym funkcji \(g\), to \(f(1)=0\), czyli miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba \(1\). Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem \(f\) jest \(W=(3,-2)\), więc w postaci kanonicznej \[f(x)=a(x-3)^2-2.\] Warunek \(f(1)=0\) daje \[a(1-3)^2-2=0,\qquad 4a=2,\qquad a=\tfrac12.\] Po rozwinięciu kwadratu \[f(x)=\tfrac12(x-3)^2-2=\tfrac12x^2-3x+\tfrac92-2=\tfrac12x^2-3x+\tfrac52.\] Sprawdzenie: \(f(1)=\tfrac12-3+\tfrac52=0\), a wierzchołek ma odciętą \(-\frac{-3}{2\cdot\frac12}=3\). **Odpowiedź.** \(f(x)=\tfrac12x^2-3x+\tfrac52\).

2 pkt – zapisanie miejsc zerowych funkcji \(f\): \(x_1=1\), \(x_2=5\), ALBO – zapisanie wzoru funkcji \(g\) w postaci \(g(x)=a(x-2)^2-2\), ALBO – zapisanie wzoru funkcji \(g\) w postaci \(g(x)=ax(x-4)\), ALBO – zapisanie, że wierzchołkiem wykresu funkcji \(g\) jest punkt o współrzędnych \((2,-2)\), oraz zapisanie, że drugim miejscem zerowym funkcji \(g\) jest liczba 4. 1 pkt – zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci \(f(x)=a(x-p)^2+q\) oraz zapisanie \(p=3\) oraz \(q=-2\) ALBO – zapisanie jednego z równań: • \(\frac{-b}{2a}=3\) • \(\frac{-\Delta}{4a}=-2\) • \(a\cdot 3^2+b\cdot 3+c=-2\) • \(a+b+c=0\)

**A.** Wierzchołek paraboli jest osiągany dla \(t=-\frac{14{,}7}{2\cdot(-4{,}9)}=1{,}5\,\mathrm{s}\).

Funkcja \(h(t)=-4{,}9t^2+14{,}7t\) jest funkcją kwadratową o współczynniku \(a=-4{,}9<0\), więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół. Największą wartość przyjmuje ona w wierzchołku. Pierwszą współrzędną wierzchołka obliczamy ze wzoru \(t_w=-\frac{b}{2a}\), gdzie \(b=14{,}7\): \[t_w=-\frac{14{,}7}{2\cdot(-4{,}9)}=\frac{14{,}7}{9{,}8}=1{,}5.\] Ten sam wynik daje symetria: miejsca zerowe funkcji \(h\) to \(0\) i \(3\), a wierzchołek leży dokładnie pośrodku między nimi, czyli dla \(t=1{,}5\). **Odpowiedź.** A: \(t=1{,}5\,\mathrm{s}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymagania szczegółowe:** XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

\[P_{ABC}=54.\]

Miejsca zerowe funkcji \(f(x)=-16x^2+40x+11\) wyznaczamy z \(\Delta=2304\): \[x_1=-\frac14,\qquad x_2=\frac{11}{4}.\] Zatem \(|AB|=3\). Rzędna wierzchołka paraboli wynosi \[q=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{2304}{4\cdot(-16)}=36.\] Pole trójkąta: \[P_{ABC}=\frac12\cdot3\cdot36=54.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(P_{ABC}=54\) **2 pkt** – obliczenie rzędnej wierzchołka \(q=36\) oraz miejsc zerowych \(x_1=-\frac14\), \(x_2=\frac{11}{4}\) **1 pkt** – poprawne obliczenie rzędnej wierzchołka albo obu miejsc zerowych **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** V.7) Zdający szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem. V.11) Zdający wykorzystuje własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych.

**D.** Wierzchołek ma współrzędne \((2,7)\).

Wykres funkcji \(g(x)=f(x-5)\) powstaje z wykresu funkcji \(f\) przez przesunięcie o wektor \([5,0]\), czyli o pięć jednostek w prawo. Rzędne punktów nie ulegają zmianie, a każda odcięta rośnie o \(5\). Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) to \(W=(-3,7)\), więc wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(g\) ma współrzędne \[(-3+5,\;7)=(2,7).\] Warianty B i C odpowiadałyby przesunięciu pionowemu, a wariant A — przesunięciu w lewo. **Odpowiedź.** D: \((2,7)\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. V.12) Zdający na podstawie wykresu y = f(x) szkicuje wykres y = f(x − a).

**B.** \(f(x)=-(x+5)^2+6\)

Z wykresu odczytujemy wierzchołek paraboli \((-5,6)\) oraz ramiona skierowane w dół. Spośród podanych wzorów te warunki spełnia \[f(x)=-(x+5)^2+6.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie wykresu. **Wymagania szczegółowe:** V.9) Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o jej wykresie.

\[h_{\max}\approx4{,}93\,\mathrm{m}.\]

Maksymalna wysokość jest rzędną wierzchołka paraboli. Dla \(a=-0{,}174\), \(b=1{,}3\), \(c=2{,}5\) mamy \[h_{\max}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{1{,}3^2-4\cdot(-0{,}174)\cdot2{,}5}{4\cdot(-0{,}174)}\approx4{,}93\,\mathrm{m}.\]

**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(4{,}93\,\mathrm{m}\) **1 pkt** – zastosowanie wzoru na wierzchołek paraboli i prawidłowe podstawienie danych albo zapisanie funkcji w postaci kanonicznej oraz rozpoznanie rzędnej wierzchołka jako maksymalnej wysokości **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.10) Zdający wyznacza największą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym. V.11) Wykorzystuje własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień fizycznych i praktycznych.

\[h_{\max}\approx4{,}93\,\mathrm{m}.\]

Maksymalna wysokość jest rzędną wierzchołka paraboli. Dla \(a=-0{,}174\), \(b=1{,}3\), \(c=2{,}5\): \[h_{\max}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{1{,}3^2-4\cdot(-0{,}174)\cdot2{,}5}{4\cdot(-0{,}174)}\approx4{,}93\,\mathrm{m}.\]

**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(4{,}93\,\mathrm{m}\) **1 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru na wierzchołek albo zapis funkcji w postaci kanonicznej i rozpoznanie rzędnej wierzchołka **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** V.10) Zdający wyznacza największą wartość funkcji kwadratowej. V.11) Interpretuje funkcję kwadratową w zagadnieniu praktycznym.

Postać kanoniczna ma postać \(f(x)=a(x-3)^{2}+6\). Ponieważ punkt \((0,3)\) należy do wykresu, \[3=a(0-3)^{2}+6,\qquad 9a=-3,\qquad a=-\frac13.\] Zatem \(f(x)=-\frac13(x-3)^{2}+6\).

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \((p,q)\) są współrzędnymi wierzchołka paraboli. Z treści zadania i z rysunku odczytujemy wierzchołek \((3,6)\), więc \[f(x)=a(x-3)^2+6.\] Współczynnik \(a\) wyznaczamy z warunku, że parabola przechodzi przez punkt \((0,3)\): \[3=a(0-3)^2+6,\qquad 9a=-3,\qquad a=-\frac13.\] Znak ujemny zgadza się z rysunkiem — ramiona paraboli są skierowane w dół. Zatem \[f(x)=-\frac13(x-3)^2+6.\] Sprawdzenie: \(f(0)=-\frac13\cdot9+6=-3+6=3\) oraz \(f(3)=6\). **Odpowiedź.** \(f(x)=-\frac13(x-3)^2+6\)

**2 pkt** – poprawna metoda i zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci kanonicznej: \(f(x)=\) […]. **1 pkt** – zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci \(f(x)=a(x-\) […] \()+6\) ALBO – zapisanie równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia \(a\), np.: […] ALBO – obliczenie (lub podanie wraz z uzasadnieniem) współczynnika \(a\): \(a=\) […]. **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający zapisze \(f(x)=\) […] \((x-\) […] \()+6\) i nie obliczy (ani nie uzasadni), że […], to otrzymuje 1 punkt. 2. Jeżeli zdający zapisze wzór funkcji \(f\) w postaci \(f(x)=a(x-\) […] \()+6\) oraz poprawnie obliczy współczynnik \(a\), to otrzymuje 2 punkty.

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymaganie szczegółowe:** V.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.

Cena za dobę powinna wynosić \(260\) zł.

Rozwijamy podany wzór przychodu: \[P(x)=(80-x)(120+5x)=9600+400x-120x-5x^{2}=-5x^{2}+280x+9600.\] Jest to funkcja kwadratowa o współczynniku \(a=-5<0\), więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół i największą wartość przyjmuje ona w wierzchołku. Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \[x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{280}{2\cdot(-5)}=28.\] Liczba \(28\) jest całkowita i spełnia warunki \(0\leq x\leq80\), należy więc do dziedziny — maksimum jest osiągane wewnątrz rozważanego zbioru, a nie na jego krańcu. Zmienna \(x\) oznacza liczbę podwyżek po \(5\) zł, zatem szukana cena to \[120+5\cdot28=120+140=260\ \text{zł}.\] **Odpowiedź.** Cena wynajęcia pokoju za dobę powinna wynosić \(260\) zł (przychód wynosi wtedy \(P(28)=52\cdot260=13\,520\) zł).

**2 pkt** – poprawna metoda i poprawny wynik: cena \(260\) zł **1 pkt** – obliczenie liczby podwyżek \(x=28\) albo równoważne wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Sprawdzana umiejętność:** rozwiązywanie zadania optymalizacyjnego opisanego funkcją kwadratową — wyznaczenie wierzchołka paraboli, sprawdzenie przynależności argumentu do dziedziny modelu i zinterpretowanie wyniku w kontekście zadania. Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

\[f(x)=2(x-3)^2=2x^2-12x+18.\]

Punkt \(N=(3,0)\) jest jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji \(f\) i osi \(Ox\), więc jest wierzchołkiem paraboli. Zapisujemy \[f(x)=a(x-3)^2,\qquad a\neq0.\] Punkt \(M=(0,18)\) leży na wykresie, zatem \[f(0)=18,\] \[a(0-3)^2=18,\] \[9a=18,\qquad a=2.\] Ostatecznie \[f(x)=2(x-3)^2=2x^2-12x+18.\]

**2 pkt** – poprawna metoda i zapisanie wzoru funkcji \(f\) z poprawnymi wartościami współczynników, np. \(f(x)=2(x-3)^2\) lub \(f(x)=2x^2-12x+18\) **1 pkt** – zapisanie \(f(x)=a(x-3)^2\), uwzględnienie wyrazu wolnego \(c=18\), zapisanie warunku \(\Delta=0\) albo równoważnego warunku \(-\frac{b}{2a}=3\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania. **Wymagania szczegółowe:** V.9) Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.

**D.** \([3,+\infty)\)

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((3,0)\), a punkt \((0,-9)\) leży poniżej wierzchołka. Ramiona paraboli są więc skierowane w dół. Funkcja rośnie do argumentu \(3\), a następnie maleje. Zatem jest malejąca w przedziale \[[3,+\infty).\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 3. Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu. **Wymagania szczegółowe:** V.4) Zdający odczytuje przedziały monotoniczności funkcji.

**B.** \(f(x)=-(x-1)^2+9\)

Z wykresu odczytujemy wierzchołek paraboli \((1,9)\), więc wzór w postaci kanonicznej ma postać \[f(x)=a(x-1)^2+9.\] Ramiona paraboli są skierowane w dół, zatem \(a<0\). Spośród podanych odpowiedzi warunki te spełnia \[f(x)=-(x-1)^2+9.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych. **Wymagania szczegółowe:** V.9) Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.

**A.** \(x=1\)

Oś symetrii paraboli jest pionową prostą przechodzącą przez jej wierzchołek. Wierzchołek ma pierwszą współrzędną równą \(1\), więc oś symetrii ma równanie \[x=1.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** G10.16) Zdający wskazuje oś symetrii figury. 8.1) Zdający wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.

**C.** \(f(x)=\frac{(x-1)^2}{2}-2\)

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((1,-2)\), więc wzór w postaci kanonicznej ma postać \[f(x)=a(x-1)^2-2.\] Z wykresu odczytujemy miejsce zerowe \(x=3\). Zatem \[0=a(3-1)^2-2=4a-2,\] więc \(a=\frac12\). Otrzymujemy \[f(x)=\frac{(x-1)^2}{2}-2.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.9) Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.

**C.** \(f(x)=\frac12(x-1)^2-2\).

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((1,-2)\), więc jej wzór w postaci kanonicznej ma postać \[f(x)=a(x-1)^2-2.\] Z wykresu odczytujemy miejsce zerowe \(x=3\). Zatem \[0=a(3-1)^2-2=4a-2,\] skąd \(a=\frac12\). Otrzymujemy \[f(x)=\frac12(x-1)^2-2.\] Poprawna jest odpowiedź **C**.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 2. Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych. **Wymagania szczegółowe:** V.9) Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji [...] o jej wykresie.

**D.** \([-2,+\infty)\)

Najmniejsza wartość funkcji jest równa drugiej współrzędnej wierzchołka, czyli \(-2\). Ponieważ ramiona paraboli są skierowane w górę, funkcja przyjmuje wszystkie wartości nie mniejsze niż \(-2\). Zatem jej zbiorem wartości jest \[[-2,+\infty).\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3) Zdający odczytuje z wykresu własności funkcji, w tym jej zbiór wartości.

\(f(x)=-2(x-1)^2+8\)

Z wykresu odczytujemy wierzchołek paraboli \((1,8)\), więc \[f(x)=a(x-1)^2+8.\] Jednym z miejsc zerowych jest \(x=-1\). Podstawiamy \(f(-1)=0\): \[0=a(-1-1)^2+8=4a+8,\] stąd \(a=-2\). Ostatecznie \[f(x)=-2(x-1)^2+8.\]

**3 pkt** – poprawny wzór \(f(x)=-2(x-1)^2+8\) **2 pkt** – poprawne odczytanie punktu przecięcia paraboli z osią i podstawienie go do \(f(x)=a(x-1)^2+8\), np. \(0=a(-1-1)^2+8\) **1 pkt** – odczytanie wierzchołka \((1,8)\) i zapisanie \(f(x)=a(x-1)^2+8\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** V.8 i V.9 interpretowanie współczynników postaci kanonicznej oraz wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej z informacji o wykresie.

\(f(x)=-\frac34x^2+3\)

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \(A=(0,3)\), więc zapisujemy wzór w postaci kanonicznej: \[f(x)=a(x-0)^2+3=ax^2+3.\] Punkt \(B=(2,0)\) leży na wykresie, zatem \[0=4a+3,\] \[a=-\frac34.\] Ostatecznie \[f(x)=-\frac34x^2+3.\]

**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i otrzymanie \(f(x)=-\frac34x^2+3\) albo równoważnej postaci **1 pkt** – zapisanie \(f(x)=ax^2+3\), albo innego równoważnego istotnego kroku wskazanego w zasadach CKE **0 pkt** – rozwiązanie z niepoprawną metodą albo brak rozwiązania

**Element podstawy programowej:** funkcja kwadratowa; zdający korzysta z postaci kanonicznej i wyznacza wzór funkcji na podstawie wierzchołka oraz punktu wykresu.

**B.** \(3{,}06\,\mathrm m\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy sens wzoru. Zależność \(y=-0{,}174x^{2}+1{,}3x+2{,}5\) opisuje wysokość \(y\) środka piłki nad podłożem przy poziomej odległości \(x\) od miejsca rzutu. Skoro środek obręczy ma współrzędną poziomą \(x_k=7{,}01\), a piłka przez środek obręczy przechodzi, to wysokość obręczy jest po prostu wartością tej funkcji dla \(x=7{,}01\). Nie trzeba więc szukać wierzchołka paraboli ani rozwiązywać równania — wystarczy podstawić liczbę. **Krok \(2\).** Podstawiamy: \[y(7{,}01)=-0{,}174\cdot(7{,}01)^{2}+1{,}3\cdot7{,}01+2{,}5.\] **Krok \(3\).** Liczymy kwadrat: \[(7{,}01)^{2}=7{,}01\cdot7{,}01=49{,}1401.\] **Krok \(4\).** Pierwszy składnik: \[-0{,}174\cdot49{,}1401=-8{,}5503774.\] **Krok \(5\).** Drugi składnik: \[1{,}3\cdot7{,}01=9{,}113.\] **Krok \(6\).** Dodajemy wszystko: \[-8{,}5503774+9{,}113+2{,}5=3{,}0626226.\] **Krok \(7\).** Zaokrąglamy do \(0{,}01\,\mathrm m\), czyli do dwóch miejsc po przecinku. Trzecia cyfra po przecinku to \(2\), więc zaokrąglamy w dół: \[y(7{,}01)\approx3{,}06\,\mathrm m.\] **Uwaga.** Nie zaokrąglaj wyników pośrednich zbyt wcześnie. Odpowiedzi A i B różnią się o \(0{,}02\,\mathrm m\), więc rachunek trzeba prowadzić z zapasem cyfr — przybliżenie \((7{,}01)^{2}\approx49\) daje już \(3{,}087\), a to prowadziłoby do złego zaokrąglenia. **Odpowiedź.** B: \(3{,}06\,\mathrm m\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III.2 i II.1 modelowanie oraz interpretowanie informacji tekstowej i graficznej. **Wymagania szczegółowe:** V.11 wykorzystanie funkcji kwadratowej w kontekście praktycznym.

\[h_{\max}\approx4{,}93\,\mathrm m.\]

Maksymalna wysokość jest współrzędną \(y\) wierzchołka paraboli. Dla \(a=-0{,}174\), \(b=1{,}3\), \(c=2{,}5\) otrzymujemy \[y_w=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{1{,}3^2+4\cdot0{,}174\cdot2{,}5}{4\cdot(-0{,}174)}\approx4{,}93.\]

**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(4{,}93\,\mathrm m\) **1 pkt** – prawidłowe podstawienie danych do wzoru na wierzchołek albo zapis postaci kanonicznej i rozpoznanie \(q\) jako wysokości maksymalnej **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.2 i II.1 modelowanie i interpretowanie informacji. **Wymagania szczegółowe:** V.10-V.11 wyznaczanie największej wartości funkcji kwadratowej i zastosowanie jej w kontekście praktycznym.

Maksymalna wysokość środka piłki wynosi \(4{,}93\,\mathrm m\).

Maksymalna wysokość jest rzędną wierzchołka paraboli. Dla \(a=-0{,}174\), \(b=1{,}3\), \(c=2{,}5\) mamy \[y_w=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{1{,}3^2+4\cdot0{,}174\cdot2{,}5}{4\cdot(-0{,}174)}\approx4{,}92816.\] Po zaokrągleniu otrzymujemy \(4{,}93\,\mathrm m\).

**2 pkt** – poprawna metoda rozwiązania oraz wynik \(4{,}93\,\mathrm m\) **1 pkt** – zastosowanie wzoru na wierzchołek paraboli z prawidłowym podstawieniem danych albo zapisanie funkcji w postaci \(y=-0{,}174(x-p)^2+q\) i rozpoznanie \(q\) jako wysokości maksymalnej **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II.1 i III.2 interpretowanie informacji oraz dobieranie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.10-V.11 wyznaczanie największej wartości funkcji kwadratowej oraz stosowanie jej własności w kontekście fizycznym.

**A.** \(11\)

Oś symetrii paraboli przechodzi przez środek między miejscami zerowymi. Jeśli drugie miejsce zerowe oznaczymy przez \(x_2\), to \[\frac{-5+x_2}{2}=3.\] Stąd \(-5+x_2=6\), więc \(x_2=11\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji; interpretowanie informacji przedstawionych w tekście i w formie wykresu. **Wymagania szczegółowe:** V.11 zdający wykorzystuje własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych.

Jedenastego dnia; \(400\) klientów.

Przekształcamy wzór do postaci kanonicznej: \[L(n)=-n^2+22n+279=-(n-11)^2+400.\] Parabola ma ramiona skierowane w dół, a \(11\in\{1,2,\ldots,30\}\). Funkcja przyjmuje więc największą wartość dla \(n=11\), a wartość ta wynosi \[L(11)=400.\] Największą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia i było to \(400\) osób.

**2 pkt** – poprawna metoda oraz poprawne wyniki: \(11\) i \(400\) **1 pkt** – wyznaczenie postaci kanonicznej \(L(n)=-(n-11)^2+400\), obliczenie dnia maksimum lub największej liczby klientów albo wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych. **Wymagania szczegółowe:** XIII zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

**D.**

Zależność \(g(x)=f(x-2)\) przesuwa wykres funkcji \(f\) o \(2\) jednostki w prawo, bez zmiany jego kształtu ani zwrotu ramion paraboli. Takie przesunięcie przedstawia rysunek **D**.

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II i III wykorzystanie i tworzenie informacji oraz wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** V.12 szkicowanie wykresów funkcji \(y=f(x-a)\) i \(y=f(x)+b\) na podstawie wykresu \(y=f(x)\).

Układ ma rozwiązanie \(a,b\ge4\) dokładnie dla \(c\in[4,\frac{28}{3}]\).

Po podzieleniu równań odpowiednio przez \(4\) i \(2\) mamy \[a+b+c=20,\qquad ab+bc+ca=128.\] Eliminujemy \(b=20-a-c\). Otrzymujemy równanie \[a^2+(c-20)a+c^2-20c+128=0.\] Jeżeli układ ma rozwiązanie rzeczywiste, to wyróżnik tego równania musi być nieujemny: \[\Delta_a=(c-20)^2-4(c^2-20c+128)=-3c^2+40c-112=-3(c-4)\left(c-\frac{28}{3}\right)\ge0.\] Ponieważ krawędź \(c\ge4\), koniecznie \(c\in[4,\frac{28}{3}]\). Odwrotnie, niech \(c\in[4,\frac{28}{3}]\). Wtedy \(\Delta_a\ge0\), więc równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki \(a\) i \(b\). Ich średnia, czyli odcięta wierzchołka paraboli, wynosi \[p=\frac{20-c}{2}\in\left[\frac{16}{3},8\right],\] a wartość trójmianu dla \(a=4\) jest równa \[4^2+4(c-20)+c^2-20c+128=(c-8)^2\ge0.\] Ponieważ parabola jest skierowana ramionami w górę, jej wierzchołek leży na prawo od \(4\), a wartość w punkcie \(4\) jest nieujemna, oba jej pierwiastki są nie mniejsze od \(4\). Są to długości \(a\) i \(b\), co kończy dowód równoważności.

**4 pkt** – wykorzystanie odpowiednich własności funkcji kwadratowej i pełne wykazanie, że układ ma rozwiązanie \(a,b\ge4\) dla całego wskazanego przedziału wartości \(c\) **3 pkt** – przyjęcie \(c\in[4,\frac{28}{3}]\) i zbudowanie funkcji \(f(a)=a^2+(c-20)a+c^2-20c+128\) **2 pkt** – obliczenie wyróżnika i argumentacja prowadząca do \(c\in[4,\frac{28}{3}]\) **1 pkt** – przyjęcie istnienia rozwiązania układu i zapisanie prawidłowego równania kwadratowego z niewiadomą \(a\) lub \(b\) oraz parametrem \(c\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1, III.3 i IV.3 operowanie obiektami matematycznymi, tworzenie obiektów pomocniczych i budowanie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania. **Wymagania szczegółowe:** III.5R analizowanie równań i nierówności kwadratowych z parametrami oraz warunków dotyczących ich rozwiązań.

\(( -\infty,-1]\cup[3,+\infty)\)

Z wykresu odczytujemy miejsca zerowe \(x=-1\) oraz \(x=3\). Parabola ma ramiona skierowane w dół, więc wartości niedodatnie przyjmuje na zewnątrz przedziału między miejscami zerowymi. Zatem \[f(x)\leq0\iff x\in(-\infty,-1]\cup[3,+\infty).\]

**1 pkt** – poprawny zbiór \(( -\infty,-1]\cup[3,+\infty)\) **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji; interpretowanie informacji przedstawionych na wykresie. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie z wykresu miejsc zerowych i przedziałów, w których funkcja przyjmuje wartości nie większe od danej liczby.

Zbiorem wartości funkcji \(g\) w przedziale \([9,11]\) jest \([0,\frac94]\).

Niech \(f(x)=-\frac14x^2+3x-5\), wtedy \(g(x)=|f(x)|\). Miejsca zerowe funkcji \(f\) to \(2\) i \(10\), a pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \[p=-\frac3{2(-1/4)}=6.\] Ponieważ \(6\notin[9,11]\), funkcja \(g\) maleje na \([9,10]\) i rośnie na \([10,11]\). Obliczamy wartości na końcach i w miejscu zerowym: \[g(9)=\left|-\frac{81}{4}+27-5\right|=\frac74,\qquad g(10)=0,\] \[g(11)=\left|-\frac{121}{4}+33-5\right|=\frac94.\] Zatem najmniejszą wartością jest \(0\), a największą \(\frac94\), więc szukany zbiór to \([0,\frac94]\).

**2 pkt** – obliczenie \(g(11)=\frac94\) i zapisanie zbioru wartości \([0,\frac94]\) **1 pkt** – obliczenie miejsc zerowych \(2\) i \(10\) oraz współrzędnej \(p=6\) wierzchołka paraboli **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystywanie i tworzenie informacji przedstawionych w tekście i na wykresie. **Wymagania szczegółowe:** V.R1 tworzenie i interpretowanie wykresu funkcji \(y=|f(x)|\) na podstawie wykresu \(y=f(x)\).

\[[-3,+\infty).\]

Najmniejszą wartością funkcji jest druga współrzędna wierzchołka paraboli, czyli \(-3\). Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc funkcja przyjmuje wszystkie wartości nie mniejsze niż \(-3\). Zatem jej zbiorem wartości jest \[[-3,+\infty).\]

**1 pkt** – rozwiązanie poprawne **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie z wykresu funkcji jej zbioru wartości.

\[f(x)=3(x-5)^2-3.\]

Z wierzchołka \((5,-3)\) otrzymujemy postać kanoniczną \[f(x)=a(x-5)^2-3,\qquad a\neq0.\] Wykres przechodzi przez punkt \((4,0)\), więc \[0=a(4-5)^2-3=a-3.\] Stąd \(a=3\), a zatem \[f(x)=3(x-5)^2-3.\]

**2 pkt** – poprawna metoda wyznaczenia postaci kanonicznej funkcji \(f\) oraz zapisanie wzoru \(f(x)=3(x-5)^2-3\) **1 pkt** – zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-5)^2-3\), iloczynowej \(f(x)=a(x-4)(x-6)\) albo ogólnej \(f(x)=3x^2-30x+72\) **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** V.8 i V.9 interpretowanie współczynników funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej oraz wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie informacji o funkcji lub jej wykresie.

**A.** \((1,2)\)

Funkcja jest zapisana w postaci kanonicznej \[f(x)=a(x-p)^2+q.\] Ze wzoru \(f(x)=-(x-1)^2+2\) odczytujemy \(p=1\) oraz \(q=2\). Wierzchołek paraboli ma więc współrzędne \[W=(1,2).\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** V.8 interpretowanie współczynników występujących we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej.

**C.** \(1\)

Miejsca zerowe funkcji to \(x_1=-3\) oraz \(x_2=5\). Oś symetrii paraboli, a więc pierwsza współrzędna jej wierzchołka, jest równa \[x_W=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-3+5}{2}=1.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3 odczytywanie własności funkcji kwadratowej z jej postaci iloczynowej.

**C.** \(1\)

Parabola ma ramiona skierowane w dół, a jej wierzchołek \(W=(2,1)\) należy do rozpatrywanego przedziału \([1,4]\). Największą wartością funkcji w tym przedziale jest więc druga współrzędna wierzchołka: \[\max_{x\in[1,4]}f(x)=f(2)=1.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.11 wyznaczanie wartości największej funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

**B.** \(x=2\)

Oś symetrii paraboli przechodzi przez jej wierzchołek i jest równoległa do osi \(Oy\). Ponieważ wierzchołek ma współrzędne \(W=(2,1)\), równaniem osi symetrii jest \[x=2.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.12 wykorzystywanie własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych.

**B.** \(a<0\) i \(b>0\)

Ramiona paraboli są skierowane w dół, zatem \[a<0.\] Wierzchołek paraboli leży na prawo od osi \(Oy\), więc jego pierwsza współrzędna spełnia \[-\frac{b}{2a}>0.\] Ponieważ \(2a<0\), powyższa nierówność jest możliwa tylko dla \(b>0\). Zatem \(a<0\) i \(b>0\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.10 interpretowanie współczynników funkcji kwadratowej na podstawie jej wykresu.

B

Wzór \(y=-(x-2)^2+4\) jest zapisany w postaci kanonicznej, więc wierzchołkiem paraboli jest punkt \((2,4)\), a ramiona są skierowane w dół (\(a=-1<0\)). Funkcja jest zatem malejąca dla \(x\geqslant2\). Cały przedział \(\langle3,5\rangle\) leży na prawo od wierzchołka, więc na tym przedziale funkcja maleje i największą wartość przyjmuje w lewym końcu: \[y(3)=-(3-2)^2+4=-1+4=3.\] Wartość \(4\) z wariantu A jest największą wartością funkcji w całej dziedzinie, ale osiąganą dla \(x=2\), czyli poza rozważanym przedziałem. **Odpowiedź.** B: \(3\)

Zadanie 10. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

C. (\(3\), −\(12\))

Współrzędne wierzchołka paraboli \(y=ax^2+bx+c\) obliczamy ze wzorów \(p=-\frac{b}{2a}\) oraz \(q=f(p)\). We wzorze \(f(x)=x^2-6x-3\) mamy \(a=1\), \(b=-6\), \(c=-3\), zatem \[p=-\frac{-6}{2\cdot1}=3,\qquad q=f(3)=3^2-6\cdot3-3=9-18-3=-12.\] Wierzchołkiem jest więc punkt \(W=(3,-12)\). **Odpowiedź.** C: \((3,-12)\)

Zadanie 9. (0−1) **Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** 4. Funkcje. Zdający szkicuje wykres funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru (4.8).

D

Pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) obliczamy ze wzoru \(p=-\frac{b}{2a}\). Tutaj \(a=1\), \(b=-2\), \(c=-11\), więc \[p=-\frac{-2}{2\cdot1}=1.\] Drugą współrzędną otrzymujemy, podstawiając \(p\) do wzoru funkcji: \[q=f(1)=1-2-11=-12.\] **Odpowiedź.** **D.** \((1,-12)\)

Zadanie 10. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

D

Funkcja \(y=-(x-2)^{2}+4\) jest zapisana w postaci kanonicznej: jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku \((2,4)\). Na prawo od wierzchołka funkcja maleje, a przedział \(\langle3,5\rangle\) leży w całości na prawo od \(x=2\). Największą wartość funkcja przyjmuje więc na lewym końcu przedziału: \[y(3)=-(3-2)^{2}+4=-1+4=3.\] **Odpowiedź.** **D.** \(3\)

Zadanie 12. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

\(P=\left(\frac{1}{6},\ \frac{\sqrt{3}-36}{36}\right)\). Współczynnik kierunkowy stycznej wynosi \(\mathrm{tg}\,30^{\circ}=\frac{\sqrt3}{3}\), a ponieważ \(f^{\prime}(x)=2\sqrt3\,x\), z równania \(2\sqrt3\,x_0=\frac{\sqrt3}{3}\) otrzymujemy \(x_0=\frac16\) oraz \(y_0=\sqrt3\left(\frac16\right)^{2}-1=\frac{\sqrt3-36}{36}\).

**Krok \(1\).** Mowa o paraboli \(y=\sqrt{3}\,x^2-1\) i o jej stycznej. Kluczowa jest tu geometryczna interpretacja pochodnej: współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie o odciętej \(x_0\) jest równy \(f^{\prime}(x_0)\). Drugi element to związek nachylenia prostej z kątem: jeśli prosta jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem \(\alpha\), to jej współczynnik kierunkowy wynosi \(\mathrm{tg}\,\alpha\). **Krok \(2\).** Z tablic \(\mathrm{tg}\,30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}\), więc współczynnik kierunkowy szukanej stycznej to \[a=\frac{\sqrt{3}}{3}.\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy pochodną funkcji \(f(x)=\sqrt{3}\,x^2-1\). Liczba \(\sqrt3\) jest tylko stałym czynnikiem, a pochodna \(x^2\) to \(2x\): \[f^{\prime}(x)=2\sqrt{3}\,x.\] **Krok \(4\).** Przyrównujemy pochodną w punkcie styczności do współczynnika kierunkowego: \[2\sqrt{3}\,x_0=\frac{\sqrt{3}}{3}.\] **Krok \(5\).** Dzielimy obie strony przez \(\sqrt{3}\) (liczba dodatnia, więc wolno): \[2x_0=\frac{1}{3},\qquad x_0=\frac{1}{6}.\] **Krok \(6\).** Obliczamy drugą współrzędną punktu \(P\), wstawiając \(x_0\) do wzoru funkcji: \[y_0=\sqrt{3}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{2}-1=\frac{\sqrt{3}}{36}-1=\frac{\sqrt{3}-36}{36}.\] **Krok \(7\).** Zatem \(P=\left(\frac{1}{6},\ \frac{\sqrt{3}-36}{36}\right)\). Dla orientacji: \(\frac{\sqrt{3}-36}{36}\approx -0{,}95\), więc punkt leży tuż nad wierzchołkiem paraboli \((0,-1)\), co jest zgodne z rysunkiem. **Uwaga.** Nachylenie \(30^{\circ}\) nie oznacza, że współczynnik kierunkowy wynosi \(30\) ani \(\frac{1}{30}\), tylko \(\mathrm{tg}\,30^{\circ}\). Poza tym samo \(x_0\) to jeszcze nie odpowiedź: zadanie pyta o współrzędne punktu, więc trzeba doliczyć \(y_0\) ze wzoru funkcji, a nie ze wzoru stycznej. **Odpowiedź.** \(P=\left(\frac{1}{6},\ \frac{\sqrt{3}-36}{36}\right)\).

**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania: zdający zapisze, że współczynnik kierunkowy stycznej jest równy \(\operatorname{tg}30^\circ\), lub zapisze równanie stycznej, albo wyznaczy pochodną funkcji \(f\): \(f'(x)=2\sqrt{3}\,x\). **2 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający zapisze równanie […] albo zapisze równanie […] i stwierdzi, że ma ono dokładnie jedno rozwiązanie, np. zapisze \(\Delta=0\). **3 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający wyznaczy współrzędne punktu \(P\): \(x_0=\) […], \(y_0=\) […].

II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 11. Rachunek różniczkowy. Zdający korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej (R11.3).

**D.** \(y=4\)

Miejsca zerowe funkcji to \(3\) i \(7\), więc odcięta wierzchołka jest równa \(5\). Wtedy \(f(5)=(5-3)(7-5)=4\).

**1 pkt** – odpowiedź D **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** funkcja kwadratowa - postać iloczynowa i współrzędne wierzchołka.

**A.** \(( -\infty,3]\)

Miejsca zerowe funkcji to \(-5\) i \(11\), więc pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli wynosi \[x_w=\frac{-5+11}{2}=3.\] Współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny, zatem funkcja jest rosnąca w maksymalnym przedziale \(( -\infty,3]\).

**1 pkt** – odpowiedź A **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** funkcja kwadratowa - postać iloczynowa, wierzchołek paraboli i monotoniczność.

\[\min_{x\in[-6,6]}f(x)=-\frac{121}{4}.\]

Wierzchołek paraboli ma pierwszą współrzędną \[x_w=-\frac{b}{2a}=\frac{11}{2}.\] Ponieważ \(\frac{11}{2}\in[-6,6]\) i ramiona paraboli są skierowane w górę, najmniejsza wartość w tym przedziale wynosi \[f\left(\frac{11}{2}\right)=\left(\frac{11}{2}\right)^2-11\cdot\frac{11}{2}=-\frac{121}{4}.\]

**2 pkt** – poprawna najmniejsza wartość \(-\frac{121}{4}\) **1 pkt** – poprawne wyznaczenie \(x_w=\frac{11}{2}\) lub równoważnej postaci kanonicznej funkcji **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** funkcja kwadratowa - wyznaczanie najmniejszej wartości w przedziale domkniętym.

\[f(x)=-\frac14(x+3)^2+4.\]

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((-3,4)\), więc zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej \[f(x)=a(x+3)^2+4.\] Punkt \(A=(-1,3)\) należy do wykresu, zatem \[3=a(-1+3)^2+4=4a+4,\] skąd \(a=-\frac14\).

**1 pkt** – zapisanie postaci \(f(x)=a(x+3)^2+4\) i wykorzystanie punktu \(A\) **2 pkt** – podanie poprawnego wzoru \(f(x)=-\frac14(x+3)^2+4\) **0 pkt** – rozwiązanie bez poprawnego postępu

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje, postać kanoniczna funkcji kwadratowej.

**C.** \(-3\).

Mamy \[f(x)=x^2+4x-3=(x+2)^2-7.\] Wierzchołek paraboli ma pierwszą współrzędną \(-2\), więc na przedziale \(\langle0,3\rangle\) funkcja jest rosnąca. Najmniejszą wartość przyjmuje dla \(x=0\): \[f(0)=-3.\]

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **C** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 4.11. Zdający wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

Najmniejsza wartość funkcji jest równa \(-4\).

Wierzchołek paraboli \(y=x^2-6x+1\) ma pierwszą współrzędną \[x_w=-\frac{-6}{2\cdot1}=3.\] Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc funkcja maleje na przedziale \(( -\infty,3\rangle\), a zatem również na \(\langle0,1\rangle\). Najmniejszą wartość przyjmuje w prawym końcu przedziału: \[f(1)=1^2-6\cdot1+1=-4.\]

**2 pkt** – poprawne wyznaczenie najmniejszej wartości \(-4\) wraz z uzasadnieniem wyboru argumentu \(x=1\) **1 pkt** – poprawne ustalenie monotoniczności na \(\langle0,1\rangle\) lub poprawne obliczenie \(f(1)=-4\), lecz bez pełnego uzasadnienia odpowiedzi **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 4.11. Zdający wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

Najmniejsza wartość funkcji w przedziale \([0,1]\) jest równa \(-4\).

Wierzchołek paraboli \(y=x^2-6x+1\) ma pierwszą współrzędną \[x_w=-\frac{b}{2a}=3.\] Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc funkcja maleje na \(( -\infty,3]\). Cały przedział \([0,1]\) leży w tym zakresie, dlatego najmniejsza wartość jest przyjmowana w prawym końcu, dla \(x=1\). Mamy \[f(1)=1^2-6\cdot1+1=-4.\]

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawna najmniejsza wartość \(-4\) z uzasadnieniem monotoniczności **1 pkt** – poprawne wyznaczenie wierzchołka lub ustalenie, że funkcja maleje na \([0,1]\) **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 4.11. Zdający wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

Wartość najmniejsza: \(-6\). Wartość największa: \(3\).

Wierzchołek paraboli ma pierwszą współrzędną \[x_w=-\frac{-6}{2}=3,\] która należy do \([0,4]\). Zatem wartość najmniejsza wynosi \(f(3)=9-18+3=-6\). Na końcach przedziału mamy \(f(0)=3\) i \(f(4)=16-24+3=-5\), więc wartość największa to \(3\).

**1 pkt** – poprawne wyznaczenie wierzchołka i wartości najmniejszej \(-6\) **2 pkt** – dodatkowe sprawdzenie końców przedziału i podanie wartości największej \(3\) **0 pkt** – rozwiązanie bez poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.11 zdający wyznacza wartość najmniejszą i największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

\[a=-\frac14,\qquad b=3,\qquad c=0.\]

Skoro zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x)>0\) jest \((0,12)\), miejscami zerowymi są \(0\) i \(12\), a ramiona paraboli są skierowane w dół. Zatem \[f(x)=a x(x-12),\qquad a<0.\] Oś symetrii ma równanie \(x=6\), a największa wartość wynosi \(f(6)=9\). Stąd \[-36a=9,\qquad a=-\frac14.\] Po rozwinięciu: \[f(x)=-\frac14x(x-12)=-\frac14x^2+3x.\] Otrzymujemy \(a=-\frac14\), \(b=3\), \(c=0\).

**5 pkt** – poprawne współczynniki \(a=-\frac14\), \(b=3\), \(c=0\) **4 pkt** – wyznaczenie \(a=-\frac14\) i poprawnej postaci iloczynowej, lecz błąd w rozwinięciu **3 pkt** – wykorzystanie wierzchołka \((6,9)\) do wyznaczenia współczynnika \(a\) **2 pkt** – zapis \(f(x)=ax(x-12)\) i rozpoznanie osi \(x=6\) **1 pkt** – rozpoznanie miejsc zerowych \(0\) i \(12\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje, miejsca zerowe, postać iloczynowa i wierzchołek funkcji kwadratowej.

**B.** \((0,2)\).

Zastąpienie argumentu \(x\) przez \(x+2\) przesuwa wykres funkcji \(f\) o \(2\) jednostki w lewo. Wierzchołek \((2,2)\) przechodzi więc na \((0,2)\).

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje, przesunięcia wykresów funkcji.

C

Równanie \(y=(x+2)(x-4)\) jest zapisane w postaci iloczynowej, więc miejsca zerowe to \(x_1=-2\) i \(x_2=4\). Parabola jest symetryczna względem prostej przechodzącej przez wierzchołek, a miejsca zerowe leżą symetrycznie po jej obu stronach. Pierwsza współrzędna wierzchołka jest zatem średnią arytmetyczną miejsc zerowych: \[p=\frac{-2+4}{2}=1.\] **Odpowiedź.** C: \(1\)

Zadanie 10. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

\[b=-16,\qquad c=32.\]

Ponieważ wierzchołkiem paraboli jest punkt \(W=(4,0)\), funkcję można zapisać w postaci kanonicznej \[f(x)=2(x-4)^2.\] Po rozwinięciu otrzymujemy \[f(x)=2(x^2-8x+16)=2x^2-16x+32.\] Porównanie z \(f(x)=2x^2+bx+c\) daje \[b=-16,\qquad c=32.\]

**2 pkt** – poprawne wyznaczenie obu współczynników: \(b=-16\) i \(c=32\) **1 pkt** – zapisanie \(f(x)=2(x-4)^2\), wyznaczenie \(b=-16\) albo ułożenie poprawnego układu równań dla \(b\) i \(c\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (IV.4.i).

Najmniejsza wartość wynosi \(20\). Niech a+b=\(4\), a kąt między tymi bokami ma \(120\)°. Z twierdzenia cosinusów \(c^{2}\)=\(a^{2}\)+\(b^{2}\)+ab. Suma S=\(a^{2}\)+\(b^{2}\)+\(c^{2}\) po podstawieniu b=\(4\)−a ma postać S(a)=\(3\)\(a^{2}\)−\(12a\)+\(32\) i osiąga minimum dla a=\(2\).

**Krok \(1\).** Dane są dwa boki (a właściwie ich suma) i kąt między nimi — to wprost sytuacja z twierdzenia cosinusów, które pozwoli wyrazić trzeci bok przez dwa pierwsze. Warunek \(a+b=4\) pozwoli potem zejść do jednej zmiennej, a szukanie najmniejszej wartości sprowadzi się do wierzchołka paraboli. **Krok \(2\).** Oznaczmy przez \(a\) i \(b\) długości boków tworzących kąt \(120^\circ\), a przez \(c\) długość trzeciego boku. Z treści \(a+b=4\). **Krok \(3\).** Twierdzenie cosinusów dla kąta \(120^\circ\), przy czym \(\cos120^\circ=-\frac12\): \[c^2=a^2+b^2-2ab\cos120^\circ=a^2+b^2-2ab\cdot\left(-\frac12\right)=a^2+b^2+ab.\] **Krok \(4\).** Suma kwadratów wszystkich boków wynosi więc \[S=a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+(a^2+b^2+ab)=2(a^2+b^2)+ab.\] **Krok \(5\).** Podstawiamy \(b=4-a\). Liczymy osobno oba składniki: \[a^2+b^2=a^2+(4-a)^2=a^2+16-8a+a^2=2a^2-8a+16,\] \[ab=a(4-a)=4a-a^2.\] **Krok \(6\).** Wstawiamy do wzoru na \(S\): \[S(a)=2\big(2a^2-8a+16\big)+4a-a^2=4a^2-16a+32+4a-a^2=3a^2-12a+32.\] **Krok \(7\).** Dziedziną są te \(a\), dla których trójkąt istnieje: \(a\gt 0\) oraz \(b=4-a\gt 0\), czyli \(a\in(0,4)\). **Krok \(8\).** Współczynnik przy \(a^2\) jest dodatni, więc najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku: \[a_w=\frac{12}{2\cdot3}=2,\] a liczba \(2\) należy do przedziału \((0,4)\). **Krok \(9\).** Obliczamy wartość najmniejszą: \[S(2)=3\cdot4-12\cdot2+32=12-24+32=20.\] (Wtedy \(a=b=2\), \(c^2=4+4+4=12\), czyli \(c=2\sqrt3\) — taki trójkąt rzeczywiście istnieje.) **Uwaga.** Kąt \(120^\circ\) jest rozwarty, więc jego cosinus jest ujemny i po podstawieniu do twierdzenia cosinusów minus zamienia się w plus: \(c^2=a^2+b^2+ab\). Trzeba też sprawdzić, czy wierzchołek paraboli mieści się w dziedzinie — tu mieści się, więc odpowiedź jest po prostu wartością w wierzchołku. **Odpowiedź.** Najmniejsza wartość sumy kwadratów długości boków wynosi \(20\).

**1 pkt** – zdający wyznaczy kwadrat długości trzeciego boku tego trójkąta i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – zdający zapisze sumę kwadratów długości boków tego trójkąta jako funkcję jednej zmiennej: \(S(a)=3a^{2}-12a+32\) lub \(S(b)=3b^{2}-12b+32\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **4 pkt** – zdający obliczy i zapisze, że najmniejsza wartość sumy kwadratów długości boków tego trójkąta jest równa \(20\). Jeżeli zdający zapisze sumę kwadratów długości boków tego trójkąta jako funkcję jednej zmiennej z błędem rachunkowym i na tym zakończy, to otrzymuje \(2\) punkty.

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: twierdzenie cosinusów i minimum funkcji kwadratowej.

**D.** \((2,4)\)

Równanie \(y=-3(x-2)^2+4\) jest zapisane w postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\), z której współrzędne wierzchołka odczytujemy bezpośrednio: \[p=2,\qquad q=4,\] czyli wierzchołkiem jest punkt \((2,4)\). Uwaga na znak: w nawiasie stoi \(x-2\), więc \(p=2\), a nie \(-2\) — to źródło wariantów A i B. **Odpowiedź.** D: \((2,4)\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Odczytanie ze wzoru funkcji kwadratowej współrzędnych wierzchołka paraboli (II.4.b).

**C.** \(c=3\)

Równanie \(y=(x-1)^2+2c\) jest zapisane w postaci kanonicznej, więc wierzchołkiem paraboli jest punkt \((1,2c)\). Wierzchołek leży na prostej \(y=6\), czyli jego druga współrzędna jest równa \(6\): \[2c=6,\qquad c=3.\] **Odpowiedź.** C: \(c=3\)

Zadanie 9. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

**D.** \((2,0)\)

Trójmian \(x^2-4x+4\) jest kwadratem sumy, więc od razu otrzymujemy postać kanoniczną: \[f(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2.\] Stąd wierzchołkiem paraboli jest punkt \(W=(2,0)\). Można też skorzystać ze wzorów: \(a=1\), \(b=-4\), \(c=4\), więc \[p=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2,\qquad q=f(2)=4-8+4=0.\] **Odpowiedź.** D: \((2,0)\)

Zadanie 6. (0–1) Wykorzystanie Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka i interpretowanie reprezentacji paraboli będącej wykresem funkcji D kwadratowej (II.4.b)

\(P=(-1,2)\). Punkt prostej ma postać \(P=(x,8x+10)\), a suma \(|AP|^2+|BP|^2\) jest funkcją \(f(x)=130x^2+260x+310\), która najmniejszą wartość osiąga dla \(x=-1\).

**Krok \(1\).** Szukany punkt ma leżeć na danej prostej, więc opiszmy go jedną zmienną. Wtedy suma \(|AP|^2+|BP|^2\) stanie się funkcją tej zmiennej, a że w odległościach występują kwadraty, będzie to funkcja kwadratowa — a najmniejszą wartość funkcji kwadratowej o dodatnim współczynniku przy \(x^2\) znajdujemy w wierzchołku paraboli. **Krok \(2\).** Punkt prostej \(y=8x+10\) ma postać \[P=(x,\ 8x+10).\] **Krok \(3\).** Liczymy pierwszy składnik, korzystając ze wzoru na kwadrat długości odcinka, dla \(A=(3,-2)\): \[|AP|^2=(x-3)^2+\big(8x+10-(-2)\big)^2=(x-3)^2+(8x+12)^2.\] **Krok \(4\).** Podobnie dla \(B=(11,4)\): \[|BP|^2=(x-11)^2+(8x+10-4)^2=(x-11)^2+(8x+6)^2.\] **Krok \(5\).** Rozwijamy wszystkie kwadraty: \[(x-3)^2=x^2-6x+9,\qquad (8x+12)^2=64x^2+192x+144,\] \[(x-11)^2=x^2-22x+121,\qquad (8x+6)^2=64x^2+96x+36.\] **Krok \(6\).** Dodajemy stronami i redukujemy wyrazy podobne: \[f(x)=130x^2+(-6+192-22+96)x+(9+144+121+36)=130x^2+260x+310.\] **Krok \(7\).** Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni (\(130\gt 0\)), więc parabola ma ramiona skierowane w górę i w wierzchołku przyjmuje wartość najmniejszą. Pierwsza współrzędna wierzchołka: \[x_w=\frac{-260}{2\cdot130}=-1.\] **Krok \(8\).** Wracamy do równania prostej: \(y=8\cdot(-1)+10=2\), więc \(P=(-1,2)\). **Uwaga.** Nie liczymy tu miejsc zerowych funkcji \(f\) (parabola leży w całości nad osią \(OX\)) ani nie szukamy pierwiastków — interesuje nas wyłącznie wierzchołek. Warto też sprawdzić, że otrzymany punkt faktycznie leży na prostej, bo drugą współrzędną wyznaczamy właśnie z jej równania. **Odpowiedź.** \(P=(-1,2)\); najmniejsza wartość sumy wynosi \(f(-1)=130-260+310=180\).

**Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania** – zapisanie za pomocą niewiadomej \(x\) współrzędnych punktu \(P\): \(P=(x,8x+10)\). **2 pkt** – wyznaczenie wzoru funkcji \(f\): \(f(x)=130x^{2}+260x+310\). **3 pkt** – obliczenie \(x\), dla którego funkcja \(f(x)=130x^{2}+260x+310\) przyjmuje wartość najmniejszą. **Rozwiązanie pełne** – podanie współrzędnych punktu \(P\), dla którego suma \(\lvert AP\rvert^{2}+\lvert BP\rvert^{2}\) przyjmuje najmniejszą wartość: \(P=(-1,2)\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. Znalezienie związków miarowych na płaszczyźnie, wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji (IV.8.e, 4.k).

Najmniejsza wartość \(|PQ|^2\) to \(511{,}25\), a największa \(651{,}25\). Mamy \(|PQ|^2=\left(25-\frac m2\right)^2+m^2=\frac54\left(m^2-20m+500\right)\); wierzchołek paraboli wypada dla \(m=10\), czyli poza przedziałem \(\langle-1,7\rangle\), więc wartości skrajne przyjmowane są na jego końcach.

**Krok \(1\).** Punkt \(P\) zależy od jednego parametru \(m\), więc \(|PQ|^2\) będzie funkcją zmiennej \(m\) — i to funkcją kwadratową. Szukamy jej wartości najmniejszej i największej, ale nie na całej prostej, tylko na przedziale domkniętym \(\langle-1,7\rangle\); dlatego po wyznaczeniu wierzchołka trzeba sprawdzić, czy w ogóle do tego przedziału należy. **Krok \(2\).** Ze wzoru na kwadrat długości odcinka, dla \(P=\left(\tfrac12m+\tfrac52,\ m\right)\) i \(Q=\left(\tfrac{55}{2},0\right)\): \[|PQ|^2=\left(\frac{55}{2}-\frac12m-\frac52\right)^2+(0-m)^2.\] **Krok \(3\).** Upraszczamy pierwszy nawias: \(\frac{55}{2}-\frac52=\frac{50}{2}=25\), więc \[|PQ|^2=\left(25-\frac{m}{2}\right)^2+m^2.\] **Krok \(4\).** Rozwijamy kwadrat: \[\left(25-\frac{m}{2}\right)^2=625-25m+\frac{m^2}{4},\] zatem \[f(m)=625-25m+\frac{m^2}{4}+m^2=\frac54m^2-25m+625.\] **Krok \(5\).** Wygodnie wyłączyć \(\frac54\) przed nawias: \[f(m)=\frac54\left(m^2-20m+500\right),\qquad m\in\langle-1,7\rangle.\] **Krok \(6\).** Współczynnik przy \(m^2\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona w górę. Pierwsza współrzędna wierzchołka: \[m_w=\frac{20}{2}=10.\] **Krok \(7\).** Liczba \(10\) nie należy do przedziału \(\langle-1,7\rangle\) — cały przedział leży na lewo od wierzchołka, a tam parabola o ramionach skierowanych w górę maleje. Wartości skrajne funkcja przyjmuje więc na końcach przedziału: największą w \(m=-1\), najmniejszą w \(m=7\). **Krok \(8\).** Liczymy obie wartości: \[f(-1)=\frac54\big(1+20+500\big)=\frac54\cdot521=651{,}25,\] \[f(7)=\frac54\big(49-140+500\big)=\frac54\cdot409=511{,}25.\] **Uwaga.** Gdyby bezmyślnie wstawić \(m_w=10\), otrzymalibyśmy wartość \(f(10)=125\), która w tym zadaniu w ogóle nie występuje, bo dla \(m=10\) punkt \(P\) nie istnieje. Za każdym razem, gdy szukamy wartości ekstremalnych na przedziale, najpierw sprawdzamy położenie wierzchołka względem tego przedziału. **Odpowiedź.** Najmniejsza wartość \(|PQ|^2\) wynosi \(511{,}25\) (dla \(m=7\)), a największa \(651{,}25\) (dla \(m=-1\)).

**1 pkt** – wyznaczenie odległości między punktami \(P\) i \(Q\): \(\lvert PQ\rvert=[…]\) lub \(\lvert PQ\rvert^{2}=[…]\). **2 pkt** – zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci, np.: \(f(m)=\tfrac{5}{4}\left(m^{2}-20m+500\right)\) lub \(f(m)=\tfrac{5}{4}m^{2}-25m+625\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\), i stwierdzenie, że współrzędna ta nie należy do przedziału \((-1,7)\): \(m_{w}=10\) i \(10\notin(-1,7)\); albo obliczenie \(f(-1)\) i \(f(7)\), zapisanie bez uzasadnienia, że \(f(-1)\) jest wartością największą, a \(f(7)\) wartością najmniejszą. **Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)**. **Rozwiązanie pełne** – podanie najmniejszej i największej wartości \(\lvert PQ\rvert^{2}\), odpowiednio \(511{,}25\) oraz \(651{,}25\), z uzasadnieniem, np. powołanie się na monotoniczność lub stwierdzenie, że […] współrzędna wierzchołka nie należy do podanego przedziału. Dalszej ocenie podlega badanie tylko takich funkcji kwadratowych, które przyjmują wartości nieujemne w całym zbiorze liczb rzeczywistych. Jeśli zdający obliczy \(f(10)=500\), \(f(-1)=651{,}25\) i \(f(7)=511{,}25\) i stąd wywnioskuje, że najmniejszą wartością funkcji \(f\) jest \(500\), a największą \(651{,}25\), to za całe rozwiązanie otrzymuje \(4\) punkty.

III. Modelowanie matematyczne. Znalezienie związków miarowych na płaszczyźnie, wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji. (III.8.e; 4.k)

**B.** \(x=-4\)

Pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli \(y=ax^2+bx+c\) wyznaczamy ze wzoru \(p=-\frac{b}{2a}\). Dla równania \(y=x^2+8x-14\) mamy \(a=1\) i \(b=8\), więc \[p=-\frac{8}{2\cdot1}=-4.\] **Odpowiedź.** B: \(x=-4\)

Zadanie 7. (0–1) **Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** Wyznacza pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.

**C.** \(-\dfrac{3}{2}\)

**Krok \(1\).** Pytanie dotyczy wyłącznie **sumy** pierwiastków, a nie każdego z osobna. Do tego służą wzory Viète'a: dla równania \(ax^2+bx+c=0\) o dwóch rozwiązaniach zachodzi \[x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.\] Dzięki nim nie musimy w ogóle wyciągać pierwiastka z wyróżnika. **Krok \(2\).** Odczytujemy współczynniki równania \(2x^2+3x-7=0\): \[a=2,\qquad b=3,\qquad c=-7.\] **Krok \(3\).** Upewniamy się, że pierwiastki rzeczywiście istnieją i są różne (o czym zresztą mówi treść): \[\Delta=3^2-4\cdot2\cdot(-7)=9+56=65 \gt 0.\] **Krok \(4\).** Korzystamy ze wzoru na sumę: \[x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}.\] **Krok \(5\).** Kontrola drogą dłuższą: \(x=\frac{-3\pm\sqrt{65}}{4}\), więc \[x_1+x_2=\frac{-3-\sqrt{65}}{4}+\frac{-3+\sqrt{65}}{4}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}.\] Pierwiastki się skróciły — wynik ten sam. **Uwaga.** Łatwo pomylić trzy podobne wyrażenia: \(-\frac{b}{a}=-\frac32\) to suma pierwiastków, \(\frac{c}{a}=-\frac72\) to ich iloczyn (odpowiedź A jest właśnie taką pułapką), a \(-\frac{b}{2a}=-\frac34\) to pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli (pułapka D). **Odpowiedź.** C: \(-\dfrac{3}{2}\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Obliczenie sumy rozwiązań równania kwadratowego (II.3.a).

\(x=1\), a najmniejsze pole trójkąta \(AEF\) wynosi \(\dfrac32\). Odejmując od pola kwadratu pola trójkątów \(ADF\), \(ABE\) i \(CEF\), otrzymujemy \(P(x)=\dfrac{x^2}{2}-x+2\) dla \(x\in(0,2)\); wierzchołek tej paraboli ma odciętą \(x=1\), a \(P(1)=\dfrac32\).

**Krok \(1\).** Trójkąt \(AEF\) ma wierzchołki na trzech różnych bokach kwadratu, więc jego pola nie policzymy jednym prostym wzorem. Odejmiemy od pola kwadratu pola trzech trójkątów prostokątnych przylegających do jego wierzchołków: \(ADF\), \(ABE\) i \(CEF\). Otrzymamy funkcję kwadratową zmiennej \(x\) i znajdziemy jej wierzchołek. **Krok \(2\).** Oznaczenia. Bok kwadratu ma długość \(2\), a \(|CE|=|DF|=x\), więc \[|CF|=|CD|-|DF|=2-x,\qquad |BE|=|BC|-|CE|=2-x.\] Ponieważ punkty \(E\) i \(F\) są różne od wierzchołków, mamy \(x\in(0,2)\). **Krok \(3\).** Pola trzech trójkątów prostokątnych: \[P_{ADF}=\tfrac12\cdot|AD|\cdot|DF|=\tfrac12\cdot2\cdot x=x,\] \[P_{ABE}=\tfrac12\cdot|AB|\cdot|BE|=\tfrac12\cdot2\cdot(2-x)=2-x,\] \[P_{CEF}=\tfrac12\cdot|CE|\cdot|CF|=\tfrac12\,x(2-x)=x-\tfrac{x^2}{2}.\] **Krok \(4\).** Pole kwadratu wynosi \(2^2=4\), więc \[P(x)=4-x-(2-x)-\left(x-\frac{x^2}{2}\right).\] **Krok \(5\).** Porządkujemy: \[P(x)=4-x-2+x-x+\frac{x^2}{2}=\frac{x^2}{2}-x+2.\] **Krok \(6\).** Współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(\tfrac12\gt0\), więc ramiona paraboli są skierowane w górę i najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku: \[x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2\cdot\tfrac12}=1.\] Liczba \(1\) należy do przedziału \((0,2)\), więc jest dopuszczalna. **Krok \(7\).** Obliczamy najmniejsze pole: \[P(1)=\frac{1}{2}-1+2=\frac32.\] **Uwaga.** Zadanie prosi o dwie rzeczy: o wartość \(x\) oraz o samo pole. Podanie tylko \(x=1\) nie jest pełną odpowiedzią. **Odpowiedź.** \(x=1\), a najmniejsze pole trójkąta \(AEF\) jest równe \(\dfrac32\).

*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.* **Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – zapisanie, że \(P_{AEF}=P_{ABCD}-\left(P_{ADF}+P_{CEF}+P_{ABE}\right)\) lub \(P_{AEF}=P_{ABCD}-P_{ADF}-P_{CEF}-P_{ABE}\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zapisanie pól trójkątów \(ADF\), \(CEF\) i \(ABE\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zapisanie \(P_{AEF}\) jako funkcji \(x\): \(P(x)=\frac{1}{2}x^{2}-x+2\). **Rozwiązanie pełne** – wyznaczenie \(x\), dla którego funkcja przyjmuje minimum: \(x=1\); obliczenie pola trójkąta \(AEF\): \(P=1\frac{1}{2}\). Uwagi: jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczeniu sumy pól trójkątów \(ADF\), \(ABE\) i \(CEF\) i rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje \(4\) punkty. Jeżeli zdający popełni błąd w obliczeniu odciętej wierzchołka paraboli i konsekwentnie do tego błędu obliczy pole trójkąta \(AEF\), to otrzymuje \(4\) punkty. Nie wymagamy uzasadnienia, że dla znalezionej wartości \(x=1\) funkcja przyjmuje minimum. Jeżeli zdający wyznaczy wartość \(x\), dla której pole trójkąta \(AEF\) jest najmniejsze i nie obliczy pola tego trójkąta, to otrzymuje \(4\) punkty.

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: opisanie pola figury funkcją kwadratową i wyznaczenie minimum.

Krawędź podstawy ma długość \(1\). Jeśli a oznacza krawędź podstawy, a \(h\) krawędź boczną, to \(12a\)+\(6h\)=\(24\), czyli \(h\)=\(4\)−\(2a\). Pole powierzchni bocznej jest równe P(a)=\(6ah\)=−\(12\)\(a^{2}\)+\(24a\) dla a∈(\(0\),\(2\)). Funkcja osiąga maksimum w wierzchołku paraboli, dla a=\(1\).

**Krok \(1\).** To zadanie optymalizacyjne: mamy dwie zmienne (krawędź podstawy i krawędź boczna) związane jednym warunkiem, a szukamy największej wartości pola. Schemat jest stały: oznaczyć zmienne, z warunku wyznaczyć jedną przez drugą, zapisać pole jako funkcję jednej zmiennej i znaleźć jej maksimum. Tu funkcja okaże się kwadratowa, więc wystarczy wierzchołek paraboli. **Krok \(2\).** Oznaczmy przez \(a\) długość krawędzi podstawy, a przez \(h\) długość krawędzi bocznej. Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma dwie podstawy będące sześciokątami foremnymi (razem \(12\) krawędzi długości \(a\)) oraz \(6\) krawędzi bocznych długości \(h\). **Krok \(3\).** Warunek na sumę długości wszystkich krawędzi: \[12a+6h=24,\qquad\text{czyli}\qquad 2a+h=4,\qquad h=4-2a.\] **Krok \(4\).** Ustalamy dziedzinę. Musi być \(a\gt0\) oraz \(h\gt0\), czyli \(4-2a\gt0\), a stąd \(a\lt2\). Zatem \(a\in(0,2)\). **Krok \(5\).** Powierzchnia boczna składa się z sześciu prostokątów o wymiarach \(a\times h\), więc \[P=6ah.\] **Krok \(6\).** Podstawiamy \(h=4-2a\), aby otrzymać funkcję jednej zmiennej: \[P(a)=6a(4-2a)=24a-12a^2.\] **Krok \(7\).** To funkcja kwadratowa o współczynniku \(-12\lt0\), więc jej wykresem jest parabola ramionami w dół i największą wartość przyjmuje w wierzchołku: \[a=-\frac{24}{2\cdot(-12)}=1.\] **Krok \(8\).** Sprawdzamy, że \(a=1\) należy do dziedziny \((0,2)\) — należy. Wtedy \(h=4-2\cdot1=2\), a największe pole boczne wynosi \(P=6\cdot1\cdot2=12\). **Uwaga.** Pytanie dotyczy długości krawędzi podstawy, a nie największego pola ani krawędzi bocznej — odpowiedzią jest liczba \(1\). Pamiętaj też, że podstawy są dwie, więc krawędzi podstawy jest \(12\), a nie \(6\). **Odpowiedź.** Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość \(a=1\).

**1 pkt** – wprowadzenie oznaczeń i zapisanie, że \(12a+6h=24\). **2 pkt** – zapisanie pola \(P\) powierzchni bocznej graniastosłupa oraz wyznaczenie \(a\) lub \(h\) w zależności od jednej zmiennej, np. \(P=6ah\) oraz \(a=2-\frac{h}{2}\) lub \(h=4-2a\). **3 pkt** – zapisanie pola powierzchni bocznej w zależności od jednej zmiennej. **4 pkt** – obliczenie długości krawędzi podstawy graniastosłupa, którego pole powierzchni bocznej jest największe: \(a=1\). Uwaga: jeżeli zdający wyznaczy tylko wartość \(h=2\), dla której pole powierzchni bocznej jest największe, to otrzymuje \(3\) punkty.

III. Modelowanie matematyczne. Znalezienie związków miarowych w graniastosłupie, wyznaczenie największej wartości funkcji.

**A.** \(\langle-4,+\infty)\)

Wzór \(f(x)=x^2-4\) jest zapisany w postaci kanonicznej \(f(x)=(x-0)^2+(-4)\), więc wierzchołkiem paraboli jest punkt \((0,-4)\). Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę, a druga współrzędna wierzchołka jest najmniejszą wartością funkcji. Funkcja przyjmuje wszystkie wartości nie mniejsze od \(-4\): \[ZW_f=\langle-4,+\infty).\] **Odpowiedź.** A: \(\langle-4,+\infty)\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Funkcje – wyznacza zbiór wartości funkcji kwadratowej.

**D.** \(y=-5\)

Wzór \(f(x)=3(x+1)^2-4\) jest zapisany w postaci kanonicznej, więc bezpośrednio odczytujemy wierzchołek paraboli: \(W=(-1,-4)\). Współczynnik przy kwadracie jest dodatni (\(a=3>0\)), zatem ramiona paraboli są skierowane w górę, a najmniejszą wartością funkcji jest \(-4\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest więc \[ZW_f=\langle-4,+\infty).\] Prosta pozioma o równaniu \(y=c\) ma punkt wspólny z wykresem dokładnie wtedy, gdy liczba \(c\) należy do zbioru wartości, czyli gdy \(c\geqslant-4\). Warunek ten spełniają liczby \(1\), \(-1\) i \(-3\). Natomiast \(-5<-4\), więc prosta \(y=-5\) przebiega w całości poniżej wierzchołka paraboli i punktów wspólnych z wykresem nie ma. **Odpowiedź.** D: \(y=-5\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: D.

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Funkcje.

\(x=\dfrac14\). Pole trójkąta \(AEF\) jako funkcja \(x\) wynosi \(P(x)=x^2-\dfrac{x}{2}+\dfrac12\) dla \(x\in\left\langle0,\tfrac12\right\rangle\); parabola ma ramiona skierowane w górę, więc minimum jest w wierzchołku \(x=\dfrac14\), a najmniejsze pole to \(\dfrac{7}{16}\).

**Krok \(1\).** Pole trójkąta \(AEF\) trudno policzyć wprost, bo żaden jego bok nie leży na boku kwadratu. Standardowy chwyt: od pola całego kwadratu odejmujemy pola trzech trójkątów prostokątnych, które zostają w rogach, czyli \(ADF\), \(ABE\) i \(CEF\). Otrzymamy wzór na pole jako funkcję zmiennej \(x\), a jej najmniejszej wartości poszukamy jak dla funkcji kwadratowej. **Krok \(2\).** Oznaczenia i odcinki. Skoro \(|DF|=x\) oraz \(|CE|=2|DF|=2x\), to \[|CF|=|CD|-|DF|=1-x,\qquad |BE|=|BC|-|CE|=1-2x.\] **Krok \(3\).** Dziedzina. Punkt \(F\) leży na boku \(CD\), więc \(x\geqslant0\) i \(x\leqslant1\); punkt \(E\) leży na boku \(BC\), więc \(2x\leqslant1\). Mocniejszy jest drugi warunek, zatem \[x\in\left\langle0,\tfrac12\right\rangle.\] **Krok \(4\).** Pola trzech trójkątów prostokątnych (każdy ma kąt prosty w wierzchołku kwadratu): \[P_{ADF}=\tfrac12\cdot|AD|\cdot|DF|=\tfrac12\cdot1\cdot x=\tfrac{x}{2},\] \[P_{ABE}=\tfrac12\cdot|AB|\cdot|BE|=\tfrac12(1-2x),\] \[P_{CEF}=\tfrac12\cdot|CE|\cdot|CF|=\tfrac12\cdot2x(1-x)=x-x^2.\] **Krok \(5\).** Pole kwadratu wynosi \(1\), więc \[P(x)=1-\frac{x}{2}-\frac{1-2x}{2}-\left(x-x^2\right).\] **Krok \(6\).** Porządkujemy: \[P(x)=1-\frac{x}{2}-\frac12+x-x+x^2=x^2-\frac{x}{2}+\frac12.\] **Krok \(7\).** To funkcja kwadratowa o współczynniku \(a=1\gt0\), więc jej ramiona są skierowane w górę i najmniejszą wartość przyjmuje w wierzchołku: \[x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-\tfrac12}{2}=\frac14.\] **Krok \(8\).** Sprawdzamy, że \(\tfrac14\) należy do dziedziny \(\left\langle0,\tfrac12\right\rangle\) — tak. Dla porządku obliczmy jeszcze to najmniejsze pole: \[P\!\left(\tfrac14\right)=\frac1{16}-\frac18+\frac12=\frac{1-2+8}{16}=\frac{7}{16}.\] **Uwaga.** Dziedzina bierze się z warunku \(2x\leqslant1\), a nie z \(x\leqslant1\) — to punkt \(E\), a nie \(F\), pierwszy dobiega do wierzchołka kwadratu. Gdyby wierzchołek paraboli wypadł poza dziedziną, najmniejszej wartości trzeba by szukać na jej końcu. **Odpowiedź.** \(x=\dfrac14\) (najmniejsze pole trójkąta \(AEF\) wynosi wtedy \(\dfrac{7}{16}\)).

Schemat oceniania **1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania: zapisanie, że \(P_{AEF}=P_{ABCD}-P_{ADF}-P_{CEF}-P_{ABE}\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zapisanie pól trójkątów \(ADF\), \(ABE\) i \(CEF\): […]. **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zapisanie \(P_{AEF}\) w postaci trójmianu kwadratowego zmiennej \(x\): […]. **Rozwiązanie pełne** – wyznaczenie \(x\), dla którego funkcja przyjmuje minimum: \(x=\frac{1}{4}\). Schemat oceniania – II sposób rozwiązania (geometria analityczna) **Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – wyznaczenie współrzędnych punktów na płaszczyźnie: […]. **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – wyznaczenie pola trójkąta \(AFE\): […]. **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zapisanie \(P_{AEF}\) w postaci trójmianu kwadratowego zmiennej \(x\): […]. **Rozwiązanie pełne** – wyznaczenie \(x\), dla którego funkcja przyjmuje minimum: \(x=\frac{1}{4}\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście praktycznym, prowadzącego do badania funkcji kwadratowej.

B. (\(0\), \(3\))

Wzór \(f(x)=-3x^2+3\) można zapisać w postaci kanonicznej jako \(f(x)=-3(x-0)^2+3\), więc wierzchołkiem paraboli jest punkt \(W=(0,3)\). Ten sam wynik daje rachunek ze wzorów. We wzorze ogólnym mamy \(a=-3\), \(b=0\), \(c=3\), zatem \[p=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{-6}=0,\qquad q=f(0)=-3\cdot0^2+3=3.\] **Odpowiedź.** B: \((0,3)\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Odczytanie współrzędnych wierzchołka paraboli z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej.

\(C=(4,5)\). Punkt \(C\) ma postać \((x,x+1)\), a suma kwadratów odległości wynosi \(f(x)=(x-1)^{2}+(x-4)^{2}+(x-9)^{2}+(x-2)^{2}=4x^{2}-32x+102\); jej najmniejsza wartość przypada dla \(x=4\), skąd \(y=5\).

**Krok \(1\).** Punkt \(C\) nie jest dowolny: leży na prostej \(k\), więc ma tylko jeden stopień swobody. Jeśli oznaczymy jego pierwszą współrzędną przez \(x\), to druga jest już wyznaczona. Wtedy suma \(|AC|^2+|BC|^2\) stanie się funkcją jednej zmiennej, i to funkcją kwadratową, a najmniejszej wartości funkcji kwadratowej szukamy w wierzchołku paraboli. **Krok \(2\).** Skoro \(C\) leży na prostej \(y=x+1\), to \[C=(x,\;x+1).\] **Krok \(3\).** Liczymy kwadrat odległości od \(A=(1,5)\) ze wzoru \(|AC|^2=(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2\): \[|AC|^2=(x-1)^2+(x+1-5)^2=(x-1)^2+(x-4)^2.\] **Krok \(4\).** Tak samo dla \(B=(9,3)\): \[|BC|^2=(x-9)^2+(x+1-3)^2=(x-9)^2+(x-2)^2.\] **Krok \(5\).** Dodajemy i rozwijamy wszystkie kwadraty: \[f(x)=(x^2-2x+1)+(x^2-8x+16)+(x^2-18x+81)+(x^2-4x+4).\] Po redukcji wyrazów podobnych \[f(x)=4x^2-32x+102.\] **Krok \(6\).** To parabola o współczynniku \(a=4\gt 0\), więc ramiona są skierowane do góry i w wierzchołku funkcja przyjmuje wartość najmniejszą. Pierwsza współrzędna wierzchołka: \[x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{32}{2\cdot 4}=4.\] **Krok \(7\).** Wracamy do prostej i obliczamy drugą współrzędną punktu \(C\): \[y=x+1=4+1=5,\qquad C=(4,5).\] **Krok \(8\).** Kontrolnie: \(f(4)=4\cdot 16-32\cdot 4+102=64-128+102=38\), więc najmniejsza możliwa suma kwadratów odległości wynosi \(38\). **Uwaga.** Zadanie pyta o współrzędne punktu, a nie o najmniejszą wartość sumy, więc samo \(x_w=4\) to jeszcze nie koniec. Trzeba dopisać drugą współrzędną, korzystając z równania prostej. **Odpowiedź.** \(C=(4,5)\).

Schemat oceniania **Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – zapisanie współrzędnych punktu \(C\) leżącego na prostej \(k\): \(C=(x,x+1)\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zapisanie zależności z jedną niewiadomą określającej kwadraty odległości punktu \(A\) od \(C\) lub odległości punktu \(B\) od \(C\) (lub odległości): \(\lvert AC\rvert^{2}\) lub \(\lvert BC\rvert^{2}\) […]. **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – określenie wzoru funkcji jednej zmiennej będącej sumą kwadratów odległości punktu \(C\) od punktów \(A\) i \(B\): \(f(x)=4x^{2}-32x+102\). Uwagi: **2 pkt** – jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczeniu jednej z odległości \(\lvert AC\rvert\) lub \(\lvert BC\rvert\) i na tym poprzestanie. **Rozwiązanie pełne** – wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\): \(C=(4,5)\). **4 pkt** – jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczeniu jednej z odległości \(\lvert AC\rvert\) lub \(\lvert BC\rvert\) i rozwiązanie doprowadzi do końca. **4 pkt** – jeżeli zdający obliczy odciętą wierzchołka paraboli o równaniu \(y=4x^{2}-32x+102\) […] pierwszą współrzędną punktu \(C\) i na tym zakończy lub błędnie obliczy jego […] współrzędną.

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: opisanie odległości w układzie współrzędnych funkcją kwadratową i wyznaczenie jej minimum.

**A.** \(x=-2\)

Wierzchołek paraboli \(y=ax^2+bx+c\) leży na prostej pionowej \(x=p\), gdzie \(p=-\frac{b}{2a}\). Dla \(y=x^2+4x-13\) mamy \(a=1\) i \(b=4\), więc \[p=-\frac{4}{2\cdot1}=-2.\] Wierzchołek leży zatem na prostej o równaniu \(x=-2\). **Odpowiedź.** A: \(x=-2\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Funkcje – wyznacza oś symetrii paraboli.

Wzór zapisujemy jako \(f(x)=x^2+4x\) dla \(x\lt0\) oraz \(f(x)=x^2-4x\) dla \(x\geqslant0\); wykres jest symetryczny względem osi \(Oy\), ma miejsca zerowe \(-4,0,4\), wierzchołki \((-2,-4)\) i \((2,-4)\). Liczba rozwiązań równania \(f(x)=m\): \(0\) dla \(m\lt-4\); \(2\) dla \(m=-4\) oraz dla \(m\gt0\); \(3\) dla \(m=0\); \(4\) dla \(-4\lt m\lt0\).

**Krok \(1\).** Wzór zawiera \(|x|\), więc najpierw rozbijamy go na dwa przypadki i dopiero wtedy rysujemy wykres. Druga część zadania — liczba rozwiązań równania \(f(x)=m\) — to pytanie graficzne: ile punktów wspólnych ma wykres funkcji \(f\) z poziomą prostą \(y=m\). **Krok \(2\).** Dla \(x\geqslant0\) mamy \(|x|=x\), więc \(f(x)=x^2-4x\). Dla \(x\lt0\) mamy \(|x|=-x\), więc \(f(x)=x^2+4x\). Zapisujemy \[f(x)=x^2-4x\quad\text{dla }x\geqslant0,\qquad f(x)=x^2+4x\quad\text{dla }x\lt0.\] **Krok \(3\).** Prawa gałąź: parabola \(y=x^2-4x=x(x-4)\) ma miejsca zerowe \(0\) i \(4\) oraz wierzchołek \((2,-4)\). Lewa gałąź: parabola \(y=x^2+4x=x(x+4)\) ma miejsca zerowe \(-4\) i \(0\) oraz wierzchołek \((-2,-4)\). **Krok \(4\).** Zauważmy, że \(f(-x)=(-x)^2-4|-x|=x^2-4|x|=f(x)\), więc funkcja jest parzysta i cały wykres jest symetryczny względem osi \(Oy\). Rysujemy więc krzywą przypominającą literę \(W\): przecina oś \(Ox\) w punktach \(-4\), \(0\), \(4\), ma dwa najniższe punkty \((-2,-4)\) i \((2,-4)\) oraz lokalne maksimum w \((0,0)\). **Krok \(5\).** Teraz przesuwamy poziomą prostą \(y=m\) od dołu do góry i za każdym razem liczymy punkty wspólne z wykresem. **Krok \(6\).** Gdy \(m\lt-4\), prosta biegnie poniżej obu wierzchołków i nie dotyka wykresu — brak rozwiązań, czyli \(0\) rozwiązań. **Krok \(7\).** Gdy \(m=-4\), prosta przechodzi dokładnie przez oba wierzchołki \((-2,-4)\) i \((2,-4)\) — są \(2\) rozwiązania. **Krok \(8\).** Gdy \(-4\lt m\lt0\), prosta przecina każde z czterech ramion (dwa ramiona lewej paraboli i dwa prawej) — są \(4\) rozwiązania. **Krok \(9\).** Gdy \(m=0\), prosta pokrywa się z osią \(Ox\) i przechodzi przez trzy punkty wykresu: \((-4,0)\), \((0,0)\), \((4,0)\) — są \(3\) rozwiązania. **Krok \(10\).** Gdy \(m\gt0\), prosta jest już powyżej lokalnego maksimum \((0,0)\) i trafia tylko w dwa zewnętrzne ramiona — są \(2\) rozwiązania. **Uwaga.** Najłatwiej zgubić przypadki graniczne \(m=-4\) i \(m=0\), bo to właśnie w nich liczba rozwiązań się zmienia. Warto je wypisać osobno, a nie doklejać do sąsiednich przedziałów. **Odpowiedź.** Równanie \(f(x)=m\) ma: \(0\) rozwiązań dla \(m\lt-4\); \(2\) rozwiązania dla \(m=-4\) oraz dla \(m\gt0\); \(3\) rozwiązania dla \(m=0\); \(4\) rozwiązania dla \(-4\lt m\lt0\).

*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.* Schemat oceniania **Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – zapisanie funkcji \(f\) na przykład w postaci \(f(x)=x^{2}+4x\) dla \(x<0\), \(f(x)=x^{2}-4x\) dla \(x>0\), albo stwierdzenie, że wykres funkcji \(f\) jest symetryczny względem osi \(Oy\) lub stwierdzenie równoważne. **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – narysowanie wykresu funkcji \(f\). **Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania** – zdający popełni jeden błąd w ustalaniu liczby rozwiązań równania \(f(x)=m\), albo zdający błędnie wyznaczy miejsca zerowe lub współrzędne wierzchołka paraboli, ale wykres funkcji ma trzy punkty wspólne z osią \(Ox\) i jest symetryczny względem osi \(Oy\) i konsekwentnie do popełnionego błędu poda liczbę rozwiązań równania. **Rozwiązanie bezbłędne** – podanie liczby rozwiązań na przykład w postaci: \(0\) dla \(m\in(-\infty,-4)\), \(2\) dla \(m\in\{-4\}\cup(0,+\infty)\), \(3\) dla \(m=0\), \(4\) dla \(m\in(-4,0)\).

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: szkicowanie wykresu funkcji z wartością bezwzględną i badanie liczby rozwiązań równania z parametrem.

**A.** \((-1,0)\)

Wzór \(y=-3(x+1)^2\) jest postacią kanoniczną \(y=a(x-p)^2+q\) z \(a=-3\), \(p=-1\) i \(q=0\). Wierzchołkiem paraboli jest punkt \((p,q)\). **Odpowiedź.** \((-1,0)\), czyli odpowiedź **A**.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: A.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(x\in\left(-\infty,-\dfrac52\right)\cup(1,+\infty)\). b) Zbiorem wartości funkcji \(g\) jest \((-\infty,8\rangle\). c) \(g(x)=-2(x-3)^{2}+8=-2x^{2}+12x-10\), zatem \(b=12\) i \(c=-10\).

**Krok \(1\).** Zadanie składa się z trzech niezależnych części. W podpunkcie a) mamy zwykłą nierówność kwadratową — przenosimy wszystko na jedną stronę i badamy znak trójmianu. Podpunkty b) i c) opierają się na przesunięciu wykresu: przesunięcie o \(3\) jednostki w prawo i \(8\) w górę oznacza przejście od \(f(x)=-2x^2\) do \(g(x)=-2(x-3)^2+8\), czyli do postaci kanonicznej funkcji kwadratowej. **Krok \(2\).** Podpunkt a). Podstawiamy wzór funkcji \(f\): \[-2x^2+5\lt3x.\] Przenosimy wszystko na prawą stronę, żeby współczynnik przy \(x^2\) był dodatni (łatwiej wtedy o wykres): \[0\lt2x^2+3x-5,\qquad\text{czyli}\qquad2x^2+3x-5\gt0.\] **Krok \(3\).** Liczymy pierwiastki trójmianu \(2x^2+3x-5\): \[\Delta=3^2-4\cdot2\cdot(-5)=9+40=49,\qquad\sqrt{\Delta}=7,\] \[x_1=\frac{-3-7}{4}=-\frac{10}{4}=-\frac52,\qquad x_2=\frac{-3+7}{4}=1.\] **Krok \(4\).** Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc trójmian przyjmuje wartości dodatnie na zewnątrz przedziału wyznaczonego przez pierwiastki. Nierówność jest ostra, więc pierwiastków nie dołączamy: \[x\in\left(-\infty,-\frac52\right)\cup(1,+\infty).\] **Krok \(5\).** Podpunkt b). Przesuwamy wykres funkcji \(f(x)=-2x^2\) o wektor \([3,8]\). Wierzchołek paraboli, który był w punkcie \((0,0)\), trafia do punktu \((3,8)\), a kształt (w szczególności współczynnik \(-2\)) się nie zmienia. Zatem \[g(x)=-2(x-3)^2+8.\] **Krok \(6\).** Ponieważ \(-2\lt0\), ramiona paraboli są skierowane w dół, więc wierzchołek jest punktem najwyższym i największą wartością funkcji \(g\) jest \(8\). Zbiorem wartości jest \[(-\infty,8\rangle.\] **Krok \(7\).** Podpunkt c). Zamieniamy postać kanoniczną na ogólną: \[g(x)=-2\left(x^2-6x+9\right)+8=-2x^2+12x-18+8=-2x^2+12x-10.\] Porównując ze wzorem \(g(x)=-2x^2+bx+c\), odczytujemy \(b=12\) oraz \(c=-10\). **Uwaga.** Przy przesuwaniu w prawo o \(3\) we wzorze pojawia się \((x-3)\), a nie \((x+3)\) — to jest najczęstsza pomyłka w tym typie zadań. Przy podnoszeniu do kwadratu w kroku \(7\) pamiętaj, że \(-2\) mnoży cały nawias \(x^2-6x+9\), więc wyraz \(-18\) trzeba jeszcze dodać do \(8\). **Odpowiedź.** a) \(x\in\left(-\infty,-\dfrac52\right)\cup(1,+\infty)\). b) Zbiorem wartości funkcji \(g\) jest \((-\infty,8\rangle\). c) \(g(x)=-2(x-3)^{2}+8=-2x^{2}+12x-10\), zatem \(b=12\) i \(c=-10\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Klucz CKE dołączony w tym miejscu przez ekstrakcję pochodzi z arkusza **rozszerzonego** z tej samej sesji i nie dotyczy tego zadania — opisuje inny problem i prowadzi do innego wyniku. Został usunięty, bo klucz od cudzego zadania jest gorszy niż jego brak: uczeń sprawdzający się nim uznałby poprawne rozwiązanie za błędne. Właściwego klucza do tego zadania brak w materiale źródłowym. Odpowiedź i rozwiązanie w panelach powyżej zostały wyznaczone rachunkiem z treści zadania.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Wierzchołek \(W=(3,4)\), miejsca zerowe \(1\) i \(5\), punkt przecięcia z osią \(Oy\): \((0,-5)\). b) \(ZW_f=(-\infty,4\rangle\) c) \(f(x)\geqslant0\) dla \(x\in\langle1,5\rangle\)

**a)** Aby narysować parabolę, wyznaczamy jej punkty charakterystyczne. Współczynniki wynoszą \(a=-1\), \(b=6\), \(c=-5\), więc współrzędne wierzchołka to \[p=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{-2}=3,\qquad q=f(3)=-9+18-5=4,\] czyli \(W=(3,4)\). Miejsca zerowe wyznaczamy z równania \(-x^2+6x-5=0\), czyli \(x^2-6x+5=0\): \[\Delta=36-20=16,\qquad \sqrt{\Delta}=4,\qquad x_1=\frac{6-4}{2}=1,\qquad x_2=\frac{6+4}{2}=5.\] Punkt przecięcia z osią \(Oy\) to \((0,f(0))=(0,-5)\). Parabola ma ramiona skierowane w dół (\(a=-1<0\)) i przechodzi przez punkty \((1,0)\), \((5,0)\), \((0,-5)\) oraz wierzchołek \((3,4)\). **b)** Ramiona są skierowane w dół, więc druga współrzędna wierzchołka jest największą wartością funkcji, a funkcja przyjmuje wszystkie wartości od niej mniejsze: \[ZW_f=(-\infty,4\rangle.\] **c)** Nierówność \(f(x)\geqslant0\) spełniają te argumenty, dla których wykres leży nad osią \(Ox\) lub na niej. Dla paraboli o ramionach skierowanych w dół jest to przedział między miejscami zerowymi, wraz z końcami (nierówność jest nieostra): \[x\in\langle1,5\rangle.\] **Odpowiedź.** a) \(W=(3,4)\), miejsca zerowe \(1\) i \(5\), przecięcie z osią \(Oy\) w punkcie \((0,-5)\). b) \(ZW_f=(-\infty,4\rangle\). c) \(x\in\langle1,5\rangle\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **9.1. (1 pkt)** – wyznaczenie wierzchołka paraboli: \(W=(3,4)\). **9.2. (1 pkt)** – naszkicowanie wykresu funkcji \(f\). **9.3. (1 pkt)** – podanie zbioru wartości funkcji: \((-\infty,4\) […] **9.4. (1 pkt)** – wyznaczenie miejsc zerowych funkcji: \(x_{1}=1\), \(x_{2}=5\). **9.5. (1 pkt)** – podanie zbioru rozwiązań nierówności: \(x\in\) […] \(1,5\) […]

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Najmniejsza wartość: \(f\left(\frac34\right)=-\frac{25}{8}\); największa wartość: \(f(-2)=12\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typ zadania: szukamy wartości najmniejszej i największej funkcji kwadratowej w PRZEDZIALE DOMKNIĘTYM. Kandydaci są tylko trzej: wierzchołek paraboli (o ile jego odcięta należy do przedziału) oraz dwa końce przedziału. Zaczynamy od doprowadzenia wzoru do postaci ogólnej, bo z niej odczytamy współczynniki \(a\), \(b\), \(c\). **Krok \(2\).** Wymnażamy nawiasy: \[f(x)=(2x+1)(x-2)=2x^2-4x+x-2=2x^2-3x-2.\] Zatem \(a=2\), \(b=-3\), \(c=-2\). **Krok \(3\).** Ponieważ \(a=2\gt 0\), ramiona paraboli są skierowane w górę. Wierzchołek jest więc punktem, w którym funkcja przyjmuje wartość NAJMNIEJSZĄ, a wartości największych szukamy na końcach przedziału. **Krok \(4\).** Liczymy odciętą wierzchołka: \[x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{3}{4}.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy, czy \(x_w\) należy do przedziału: \(\frac34\in\langle-2,2\rangle\) — tak. Wobec tego minimum funkcji w tym przedziale jest osiągane właśnie w wierzchołku. **Krok \(6\).** Liczymy rzędną wierzchołka. Najpierw \(\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25\), a stąd \[y_w=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-25}{8}.\] (Można też podstawić bezpośrednio: \(f\left(\frac34\right)=2\cdot\frac{9}{16}-3\cdot\frac34-2=\frac98-\frac{18}{8}-\frac{16}{8}=-\frac{25}{8}\).) **Krok \(7\).** Liczymy wartości na końcach przedziału — najwygodniej z postaci iloczynowej: \[f(-2)=(2\cdot(-2)+1)(-2-2)=(-3)\cdot(-4)=12,\qquad f(2)=(2\cdot 2+1)(2-2)=5\cdot 0=0.\] **Krok \(8\).** Porównujemy kandydatów: \(-\frac{25}{8}=-3{,}125\), \(12\) oraz \(0\). Najmniejsza wartość to \(-\frac{25}{8}\) (dla \(x=\frac34\)), największa to \(12\) (dla \(x=-2\)). **Uwaga.** Dwie rzeczy decydują tu o punktach. Po pierwsze, trzeba SPRAWDZIĆ, czy \(x_w\) należy do przedziału — gdyby wypadł poza nim, obie skrajne wartości byłyby na końcach przedziału. Po drugie, przy ramionach skierowanych w górę wierzchołek nigdy nie daje wartości największej — tej trzeba szukać na końcach, i to na obu, bo wierzchołek nie leży w środku przedziału. **Odpowiedź.** Najmniejsza wartość: \(f\left(\frac34\right)=-\frac{25}{8}\); największa wartość: \(f(-2)=12\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Zapisuję wzór funkcji w postaci ogólnej \(f(x)=2x^{2}-3x-2\). Wyznaczam odciętą wierzchołka paraboli: \(x_{w}=\frac{-b}{2a}=\frac{3}{4}\). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli należy do przedziału \(\langle-2,2\rangle\), więc najmniejszą wartością funkcji \(f\) w tym przedziale jest druga współrzędna wierzchołka: \(y_{w}=\frac{-\Delta}{4a}=-\frac{25}{8}\). Obliczam wartości funkcji na końcach przedziału: \(f(-2)=12\), \(f(2)=0\). Największą wartością funkcji \(f\) w podanym przedziale jest \(f(-2)=12\). Odpowiedź: Najmniejszą wartością funkcji w podanym przedziale jest \(y_{w}=-\frac{25}{8}\), a największą \(f(-2)=12\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Szukane liczby to \(2\), \(6\) i \(5\); najmniejsza suma kwadratów wynosi \(2^{2}+6^{2}+5^{2}=65\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typ zadania: optymalizacja z warunkami. Warunki z treści (suma równa \(13\), druga liczba trzy razy większa od pierwszej) pozwalają wyrazić WSZYSTKIE trzy liczby za pomocą jednej zmiennej. Wtedy suma ich kwadratów staje się funkcją kwadratową jednej zmiennej, a jej najmniejszej wartości szukamy w wierzchołku paraboli. **Krok \(2\).** Oznaczamy przez \(x\) pierwszą liczbę. Wtedy druga to \(3x\), a trzecia — jako dopełnienie do sumy \(13\) — wynosi \[13-x-3x=13-4x.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy dziedzinę. Wszystkie trzy liczby mają być dodatnie: \[x\gt 0,\qquad 3x\gt 0,\qquad 13-4x\gt 0\ \Rightarrow\ x\lt\frac{13}{4},\] czyli \(x\in\left(0,\frac{13}{4}\right)\). **Krok \(4\).** Zapisujemy sumę kwadratów jako funkcję zmiennej \(x\): \[S(x)=x^2+(3x)^2+(13-4x)^2.\] **Krok \(5\).** Rozwijamy i redukujemy. Mamy \((3x)^2=9x^2\) oraz \((13-4x)^2=169-104x+16x^2\), więc \[S(x)=x^2+9x^2+16x^2-104x+169=26x^2-104x+169.\] **Krok \(6\).** Współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(26\gt 0\), więc ramiona paraboli są skierowane w górę i funkcja przyjmuje wartość NAJMNIEJSZĄ w wierzchołku: \[x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{104}{2\cdot 26}=\frac{104}{52}=2.\] **Krok \(7\).** Sprawdzamy dziedzinę: \(2\in\left(0;\,3{,}25\right)\) — wierzchołek leży wewnątrz dopuszczalnego przedziału, więc rzeczywiście daje najmniejszą wartość. **Krok \(8\).** Wyznaczamy szukane liczby: \[x=2,\qquad 3x=6,\qquad 13-4x=13-8=5.\] **Krok \(9\).** Liczymy najmniejszą sumę kwadratów: \[S(2)=2^2+6^2+5^2=4+36+25=65.\] (Kontrola sumy: \(2+6+5=13\ \checkmark\); dla porównania dla \(x=1\) mamy liczby \(1,3,9\) i sumę kwadratów \(91\), a dla \(x=3\) liczby \(3,9,1\) i sumę \(91\).) **Uwaga.** Dwie rzeczy łatwo pominąć. Po pierwsze, warunek DODATNIOŚCI liczb — bez niego zadanie miałoby inną, formalnie „szerszą” dziedzinę; trzeba wyznaczyć przedział \(\left(0,\frac{13}{4}\right)\) i sprawdzić, że \(x_w=2\) do niego należy. Po drugie, pytano o TRZY LICZBY, a nie o samo \(x\) ani o wartość \(S\) — odpowiedzią jest trójka \(2\), \(6\), \(5\). **Odpowiedź.** Szukane liczby to \(2\), \(6\) i \(5\); najmniejsza suma kwadratów wynosi \(2^{2}+6^{2}+5^{2}=65\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **1.1. (1 pkt)** – […] \(4x+y=13\) lub: zapisanie poszukiwanych liczb z użyciem jednej zmiennej: \(x\), \(3x\), \(13-4x\). **1.2. (1 pkt)** – zapisanie sumy kwadratów poszukiwanych liczb: \(S=x^{2}+(3x)^{2}+y^{2}\) lub \(S=x^{2}+(3x)^{2}+(13-4x)^{2}\) **1.3. (1 pkt)** – zapisanie sumy kwadratów szukanych liczb jako funkcji jednej zmiennej: \(S(x)=2x^{2}-8x+13\) gdy \(x\in\left(0,\,\frac{13}{4}\right)\). Zdający nie musi wyznaczyć dziedziny funkcji, o ile przeprowadzi rozwiązanie do końca i otrzyma trzy dodatnie liczby. **1.4. (1 pkt)** – obliczenie argumentu, dla którego funkcja \(S\) przyjmuje wartość najmniejszą: \(x_{w}=2\) i \(x_{w}\in\left(0,\,\frac{13}{4}\right)\) więc funkcja \(S\) osiąga najmniejszą wartość dla \(x=2\). **1.5. (1 pkt)** – podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to: \(2\), \(6\), \(5\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(h(0)=10\ \mathrm{m}\). b) Po \(t=\dfrac12\ \mathrm{s}\), czyli po pół sekundy. c) \(h_{\max}=h\left(\dfrac12\right)=11{,}25\ \mathrm{m}\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy model. Wysokość kamienia opisuje funkcja kwadratowa o ujemnym współczynniku przy \(t^2\), więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół. Wynika stąd od razu plan: „z jakiej wysokości podrzucono” to wartość dla \(t=0\), a „największa wysokość” i „po jakim czasie” to współrzędne WIERZCHOŁKA paraboli. **Krok \(2\).** Podpunkt a). Moment podrzucenia to chwila \(t=0\), więc liczymy \[h(0)=-5\cdot 0^2+5\cdot 0+10=10.\] Kamień podrzucono z wysokości \(10\) m nad ziemią (to poziom krawędzi dachu). **Krok \(3\).** Podpunkt b). Odczytujemy współczynniki: \(a=-5\), \(b=5\), \(c=10\). Ponieważ \(a=-5\lt 0\), ramiona paraboli są skierowane w dół i funkcja przyjmuje wartość NAJWIĘKSZĄ w wierzchołku. **Krok \(4\).** Liczymy pierwszą współrzędną wierzchołka: \[t_w=\frac{-b}{2a}=\frac{-5}{2\cdot(-5)}=\frac{-5}{-10}=\frac12.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy, czy ta chwila należy do rozważanego przedziału: \(\frac12\in\langle0,2\rangle\) — tak. Kamień osiągnął największą wysokość po \(\frac12\) sekundy, czyli po pół sekundy od podrzucenia. **Krok \(6\).** Podpunkt c). Liczymy wysokość w tej chwili: \[h\left(\frac12\right)=-5\cdot\left(\frac12\right)^2+5\cdot\frac12+10=-5\cdot\frac14+\frac52+10=-1{,}25+2{,}5+10=11{,}25.\] **Krok \(7\).** Kontrola sensu wyniku: kamień wzniósł się o \(11{,}25-10=1{,}25\) m ponad krawędź dachu, a po \(2\) sekundach mamy \(h(2)=-20+10+10=0\), czyli spada dokładnie na ziemię — zgadza się z treścią zadania. **Uwaga.** Podpunkt c) pyta o wysokość NAD ZIEMIĄ, a nie o to, o ile kamień wzniósł się ponad dach. Odpowiedzią jest więc \(11{,}25\) m, a nie \(1{,}25\) m. Nie pomyl też podpunktów b) i c): \(t_w=\frac12\) to CZAS (w sekundach), a \(h(t_w)=11{,}25\) to WYSOKOŚĆ (w metrach). **Odpowiedź.** a) \(h(0)=10\ \mathrm{m}\). b) Po \(t=\dfrac12\ \mathrm{s}\), czyli po pół sekundy. c) \(h_{\max}=h\left(\dfrac12\right)=11{,}25\ \mathrm{m}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **7.1. (1 pkt)** – podanie wysokości z jakiej został rzucony kamień: \(h(0)=10\) m. **7.2. (1 pkt)** – obliczenie odciętej wierzchołka paraboli i zapisanie odpowiedzi: \(t_{w}=\frac{1}{2}\), np. „po upływie pół sekundy”. **7.3. (1 pkt)** – obliczenie największej wysokości na jaką wzniesie się kamień: \(h_{\max}\left(\frac{1}{2}\right)=11{,}25\) m. Zdający może pominąć jednostki.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(x\in\left\{0,\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi\right\}\). b) Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(\frac54\).

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i zapisujemy \(f\) wyłącznie przez \(\cos x\): \[f(x)=\sin^2x+\cos x=1-\cos^2x+\cos x.\] **a)** Równanie \(f(x)=1\) przyjmuje postać \[1-\cos^2x+\cos x=1,\qquad -\cos^2x+\cos x=0,\qquad \cos x\,(1-\cos x)=0.\] Stąd \(\cos x=0\) lub \(\cos x=1\). W przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) otrzymujemy \[x=\frac{\pi}{2},\quad x=\frac{3\pi}{2}\qquad\text{oraz}\qquad x=0,\quad x=2\pi.\] **b)** Podstawiamy \(t=\cos x\); zbiorem wartości cosinusa jest przedział \([-1,1]\), więc szukamy największej wartości funkcji kwadratowej \[g(t)=-t^2+t+1\qquad\text{dla }t\in[-1,1].\] Współczynnik przy \(t^2\) jest ujemny, a pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \[t_0=-\frac{1}{2\cdot(-1)}=\frac12\in[-1,1],\] więc wartość największa jest przyjmowana w wierzchołku: \[g\!\left(\tfrac12\right)=-\tfrac14+\tfrac12+1=\tfrac54.\] **Odpowiedź.** a) \(x\in\left\{0,\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi\right\}\). b) Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(\frac54\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **7.1. (1 pkt)** – zapisanie równania \(f(x)=1\) w postaci: \(-\cos^{2}x+\cos x=0\). **7.2. (1 pkt)** – zapisanie równań: \(\cos x=0\) lub \(\cos x=1\). **7.3. (1 pkt)** – zapisanie rozwiązań równania \(f(x)=1\) należących do przedziału \(\langle 0,\,2\pi\rangle\): \(x=0\vee x=\frac{\pi}{2}\vee x=\frac{3\pi}{2}\vee x=2\pi\). **7.4. (1 pkt)** – przedstawienie metody rozwiązania zadania, np. wprowadzenie pomocniczej niewiadomej \(t=\cos x\) i \(t\in\langle -1,\,1\rangle\) i zapisanie funkcji \(f(t)=-t^{2}+t+1\) dla \(t\in\langle -1,\,1\rangle\). Punkt otrzymuje też zdający, który pominął dziedzinę funkcji \(f\). **7.5. (1 pkt)** – obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, będącej wykresem trójmianu kwadratowego \(f(t)=-t^{2}+t+1\): \(t_{w}=\frac{1}{2}\). Wystarczy, że zdający zapisze trójmian w postaci kanonicznej: \(f(t)=-\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{5}{4}\). **7.6. (1 pkt)** – uwzględnienie faktu, że \(\frac{1}{2}\in\langle -1,\,1\rangle\) i współczynnik przy \(t^{2}\) jest ujemny, i obliczenie największej wartości funkcji \(f\): \(f_{\max}=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{4}\). Zdający nie musi analizować znaku współczynnika przy \(t^{2}\), o ile oblicza \(f(-1)\), \(f(1)\), \(f\left(\frac{1}{2}\right)\) i wybiera największą z nich.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(A=(3-\sqrt3,6)\), \(B=(3+\sqrt3,6)\), \(C=(3,9)\).

Parabola \(y=-x^2+6x=-(x-3)^2+9\) ma wierzchołek \(C=(3,9)\) i oś symetrii \(x=3\). Bok \(AB\) jest równoległy do osi \(Ox\), a trójkąt jest równoboczny, więc \(A\) i \(B\) leżą symetrycznie względem prostej \(x=3\). Przyjmijmy \[A=(3-t,\,y_0),\qquad B=(3+t,\,y_0),\qquad t>0.\] Punkty te leżą na paraboli, zatem \(y_0=-t^2+9\). Bok \(|AB|=2t\), a wysokość trójkąta to odległość \(C\) od prostej \(AB\): \[h=9-(9-t^2)=t^2.\] W trójkącie równobocznym \(h=\dfrac{\sqrt3}{2}\,|AB|\), więc \[t^2=\frac{\sqrt3}{2}\cdot2t=\sqrt3\,t,\qquad t=\sqrt3.\] Stąd \(y_0=9-3=6\). **Odpowiedź.** \(A=(3-\sqrt3,6)\), \(B=(3+\sqrt3,6)\), \(C=(3,9)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Aby sporządzić rysunek wyznaczam współrzędne wierzchołka danej paraboli: \(y=-x^{2}+6x=-(x-3)^{2}+9\), więc wierzchołek paraboli ma współrzędne \((3,9)\). Wykonuję rysunek ilustrujący treść zadania. […] Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny, więc kąt \(BAC\) ma miarę \(60^\circ\). Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(C\) jest więc równy \(\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt{3}\). Wyznaczam równanie prostej \(AC\): prosta \(y=\sqrt{3}x+b\) przechodzi przez punkt \(C=(3,9)\), więc współczynnik \(b\) jest równy \(b=-3\sqrt{3}+9\). Prosta \(AC\) ma równanie: \(y=\sqrt{3}x-3\sqrt{3}+9\). Aby wyznaczyć współrzędne punktu \(A\) rozwiązuję układ równań: \[\begin{cases}y=\sqrt{3}x-3\sqrt{3}+9\\ y=-x^{2}+6x\end{cases}\] Po dokonaniu podstawienia \(y=-x^{2}+6x\) otrzymuję równanie \(\sqrt{3}x-3\sqrt{3}+9=-x^{2}+6x\), które po uporządkowaniu przyjmuje postać: \(x^{2}+x\left(\sqrt{3}-6\right)+9-3\sqrt{3}=0\). Rozwiązaniem równania są liczby: \(x_{1}=3\), \(x_{2}=3-\sqrt{3}\). Współrzędne punktów przecięcia prostej \(AC\) z parabolą \(y=-x^{2}+6x\) są więc następujące: \(\left(3-\sqrt{3},\,6\right)\) oraz \((3,9)\). Punkt \((3,9)\) jest wierzchołkiem paraboli, więc punkt \(A\) ma współrzędne \(\left(3-\sqrt{3},\,6\right)\). Współrzędne punktu \(B\) wyznaczam wykorzystując fakt, iż osią symetrii paraboli \(y=-x^{2}+6x\) jest prosta \(x=3\). Punkt \(B\) jest więc obrazem punktu \(A\) w symetrii względem tej prostej, czyli \(B=\left(3+\sqrt{3},\,6\right)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(f(x)=\frac12x^{2}-8\) dla \(x\in\langle-4,-2\rangle\); b) najmniejsza wartość to \(f(-2)=-6\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy dwa zadania w jednym. Najpierw trzeba przetłumaczyć opis słowny na wzór funkcji, a potem znaleźć najmniejszą wartość funkcji kwadratowej na przedziale domkniętym — a to zawsze wymaga sprawdzenia, czy wierzchołek paraboli leży w tym przedziale. **Krok \(2\).** Tłumaczymy opis. Kwadrat liczby \(x\) to \(x^2\), jego połowa to \(\frac12x^2\), a pomniejszenie o \(8\) daje \[f(x)=\frac12x^2-8,\qquad x\in\langle-4,-2\rangle.\] **Krok \(3\).** Rozpoznajemy funkcję kwadratową o współczynnikach \(a=\frac12\), \(b=0\), \(c=-8\). Ramiona paraboli są skierowane do góry, bo \(a\gt0\). **Krok \(4\).** Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka: \[x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{0}{1}=0.\] Sprawdzamy: \(0\notin\langle-4,-2\rangle\), czyli wierzchołek leży poza rozważanym przedziałem. **Krok \(5\).** Skoro w przedziale nie ma wierzchołka, funkcja jest tam monotoniczna. Cały przedział \(\langle-4,-2\rangle\) leży na lewo od \(x_w=0\), a na lewo od wierzchołka parabola o ramionach do góry maleje. Zatem najmniejszą wartość funkcja przyjmuje na prawym końcu przedziału, czyli dla \(x=-2\). **Krok \(6\).** Obliczamy wartości na obu końcach: \[f(-4)=\frac12\cdot(-4)^2-8=\frac12\cdot16-8=8-8=0,\] \[f(-2)=\frac12\cdot(-2)^2-8=\frac12\cdot4-8=2-8=-6.\] **Krok \(7\).** Porównujemy: \(-6\lt0\), więc najmniejszą wartością funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-4,-2\rangle\) jest \(-6\) i jest ona przyjmowana dla \(x=-2\). **Uwaga.** Największa pułapka to odruchowe podanie wartości \(-8\), czyli drugiej współrzędnej wierzchołka. Wierzchołek \((0,-8)\) leży poza przedziałem, więc wartość \(-8\) w ogóle nie jest przez tę funkcję przyjmowana. Zawsze sprawdzaj, czy \(x_w\) należy do przedziału: jeśli tak, to tam jest ekstremum, jeśli nie — najmniejszej i największej wartości szukamy na końcach przedziału. **Odpowiedź.** a) \(f(x)=\frac12x^{2}-8\) dla \(x\in\langle-4,-2\rangle\); b) najmniejsza wartość to \(f(-2)=-6\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **11.1. (1 pkt)** – Zapisanie wzoru funkcji: \(f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-8\). **11.2. (1 pkt)** – Podanie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: \(x_{w}=0\) i \(x_{w}\notin\langle-4,-2\rangle\). **11.3. (1 pkt)** – Obliczenie wartości funkcji na końcach przedziału: \(f(-4)=0\), \(f(-2)=-6\). Zdający może narysować wykres funkcji i na jego podstawie rozwiązać podpunkt b). **11.4. (1 pkt)** – Sformułowanie wniosku dotyczącego wartości najmniejszej. Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół, o wierzchołku \(W=(3,4)\) i miejscach zerowych \(x=1\) oraz \(x=5\); zbiorem wartości jest \((-\infty,4\rangle\). b) \(f(x)\geqslant0\) dla \(x\in\langle1,5\rangle\).

**Krok \(1\).** Zadanie \(8\). (\(5\) pkt) **Krok \(2\).** Dana jest funkcja \(f\) (x) = −x \(2\) + \(6x\) − \(5\) . **Krok \(3\).** a) Naszkicuj wykres funkcji \(f\) i podaj jej zbiór wartości. **Krok \(4\).** b) Podaj rozwiązanie nierówności \(f\) (x) ≥ \(0\) . **Krok \(5\).** Wyznaczam współrzędne wierzchołka paraboli: **Krok \(6\).** −b −\(6\) **Krok \(7\).** p = ; p = = \(3\) , **Krok \(8\).** \(2a\) −\(2\) **Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 8.** (\(5\) pkt) Dana jest funkcja \(f(x)=-x^{2}+6x-5\). a) Naszkicuj wykres funkcji \(f\) i podaj jej zbiór wartości. b) Podaj rozwiązanie nierówności \(f(x)\ge 0\). Wyznaczam współrzędne wierzchołka paraboli: \(p=\frac{-b}{2a}\); \(p=\frac{-6}{-2}=3\), \(\Delta=16\); \(q=\frac{-\Delta}{4a}\), \(q=\frac{-16}{-4}=4\) stąd \(W=(3,4)\). Wyznaczam miejsca zerowe funkcji: \(x_{1}=1\), \(x_{2}=5\). (wykres funkcji \(f\)) Zbiór wartości funkcji: \((-\infty,\,4\rangle\). Rozwiązaniem nierówności \(f(x)\ge 0\) są wszystkie liczby rzeczywiste z przedziału \(\langle 1,5\rangle\). | Nr czynności | 8.1. | 8.2. | 8.3. | 8.4. | 8.5. | |---|---:|---:|---:|---:|---:| | Maks. liczba pkt | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) | \(1\) |

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Cena \(150\) zł (obniżka o \(10\) zł); miesięczny zysk wynosi wtedy \(2500\) zł.

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typ zadania. Mamy do czynienia z optymalizacją: zysk zależy od tego, o ile obniżymy cenę. Wprowadzamy więc jedną zmienną — wielkość obniżki — i zapisujemy zysk jako funkcję tej zmiennej. Ponieważ zarówno zysk z jednej sztuki, jak i liczba sztuk zależą od niej liniowo, ich iloczyn będzie funkcją kwadratową, a największej wartości szukamy w wierzchołku paraboli. **Krok \(2\).** Oznaczamy: niech \(x\) będzie obniżką ceny (w złotych). Nowa cena sprzedaży to \(160-x\) zł. **Krok \(3\).** Zysk ze sprzedaży JEDNEJ kurtki to cena sprzedaży minus cena zakupu: \[(160-x)-100=60-x.\] **Krok \(4\).** Liczba sprzedanych kurtek. Każda złotówka obniżki to jedna sztuka więcej, więc przy obniżce o \(x\) zł sprzedaż wynosi \[40+x\ \text{sztuk}.\] **Krok \(5\).** Miesięczny zysk to iloczyn zysku jednostkowego i liczby sztuk: \[f(x)=(60-x)(40+x)=2400+60x-40x-x^2=-x^2+20x+2400.\] Sensowne wartości to \(x\in\langle 0,60)\) — przy większej obniżce sklep sprzedawałby poniżej ceny zakupu. **Krok \(6\).** Współczynnik przy \(x^2\) jest równy \(-1\lt 0\), więc ramiona paraboli są skierowane w dół i funkcja przyjmuje wartość NAJWIĘKSZĄ w wierzchołku. Liczymy jego pierwszą współrzędną: \[x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{-20}{2\cdot(-1)}=10.\] Liczba \(10\) należy do przedziału \(\langle 0,60)\). **Krok \(7\).** Wracamy do pytania z treści — pytano o CENĘ, a \(x\) to obniżka. Cena wynosi \[160-10=150\ \text{zł}.\] **Krok \(8\).** Dla kontroli liczymy zysk: \(f(10)=(60-10)(40+10)=50\cdot 50=2500\) zł (dla porównania przy cenie \(160\) zł zysk wynosił \(60\cdot 40=2400\) zł). **Uwaga.** Najczęstszy błąd w tym zadaniu to zatrzymanie się na wyniku \(x_w=10\) i wpisanie go jako odpowiedzi. Liczba \(10\) to obniżka, a nie cena — trzeba jeszcze wykonać odejmowanie \(160-10\). **Odpowiedź.** Cena \(150\) zł (obniżka o \(10\) zł); miesięczny zysk wynosi wtedy \(2500\) zł.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **5.1. (1 pkt)** – […] \((60-x)\) – zysk ze sprzedaży jednej kurtki, \((40+x)\) – liczba sprzedanych kurtek **5.2. (1 pkt)** – określenie funkcji \(f\) opisującej miesięczny zysk: \(f(x)=(60-x)(40+x)\) lub \(f(x)=-x^{2}+20x+2400\) **5.3. (1 pkt)** – wyznaczenie wartości argumentu \(x_{w}\), dla której funkcja przyjmuje największą wartość: \(x_{w}=10\) **5.4. (1 pkt)** – wyznaczenie szukanej ceny: \(150\) zł

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Ciężarówka nie przejedzie: dla \(x=2{,}4\) wysokość tunelu wynosi \(f(2{,}4)=3{,}84\ \mathrm{m}\), czyli mniej niż wymagane \(4\ \mathrm{m}\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy sytuację geometryczną. Kontener jest PROSTOPADŁOŚCIANEM, więc jego przekrój poprzeczny to prostokąt o szerokości \(4{,}8\ \mathrm{m}\) i górnej krawędzi na wysokości \(4\ \mathrm{m}\). Sklepienie tunelu opada ku bokom, więc najciaśniej jest nie w środku, lecz nad BOCZNYMI krawędziami kontenera. Wystarczy zatem sprawdzić, jak wysoko jest sklepienie dokładnie nad tymi krawędziami i porównać z liczbą \(4\). **Krok \(2\).** Ustalamy współrzędne krawędzi. Kontener jedzie środkiem tunelu, a wierzchołek paraboli leży na osi \(OY\), więc kontener zajmuje pas symetryczny względem \(x=0\). Jego krawędzie boczne mają odcięte \[x=\pm\frac{4{,}8}{2}=\pm2{,}4.\] **Krok \(3\).** Obliczamy wysokość sklepienia dla \(x=2{,}4\) ze wzoru \(y=-\tfrac38x^2+6\). Najpierw kwadrat: \[(2{,}4)^2=5{,}76.\] **Krok \(4\).** Podstawiamy: \[y=-\frac38\cdot5{,}76+6.\] Liczymy \(\dfrac{5{,}76}{8}=0{,}72\), a następnie \(3\cdot0{,}72=2{,}16\). Zatem \[y=6-2{,}16=3{,}84.\] Z symetrii paraboli dla \(x=-2{,}4\) wychodzi tyle samo. **Krok \(5\).** Porównujemy z wysokością kontenera: \[3{,}84\ \mathrm{m}\lt4\ \mathrm{m}.\] Sklepienie nad krawędzią kontenera znajduje się NIŻEJ niż górna krawędź kontenera, a więc kontener zahaczyłby o sklepienie. **Krok \(6\).** Wniosek: ciężarówka nie może przejechać tym tunelem. (Inaczej: sklepienie ma wysokość dokładnie \(4\ \mathrm{m}\) tam, gdzie \(-\tfrac38x^2+6=4\), czyli \(x^2=\tfrac{16}{3}\), \(x=\tfrac{4\sqrt3}{3}\approx2{,}31\). Kontener wymagałby \(x=2{,}4\gt2{,}31\), czyli byłby za szeroki.) **Uwaga.** Najczęstszy błąd to sprawdzenie wysokości tunelu w jego NAJWYŻSZYM punkcie: \(y(0)=6\ \mathrm{m}\), z czego wyszłoby, że kontener swobodnie się mieści. To rozumowanie byłoby poprawne tylko dla ładunku o zerowej szerokości. Ponieważ kontener jest prostopadłościenny, o przejeździe decyduje najniższy punkt sklepienia w obrębie zajmowanego przez niego pasa, czyli wysokość dla \(x=\pm2{,}4\). **Odpowiedź.** Ciężarówka nie przejedzie: dla \(x=2{,}4\) wysokość tunelu wynosi \(f(2{,}4)=3{,}84\ \mathrm{m}\), czyli mniej niż wymagane \(4\ \mathrm{m}\).

**1. (1 pkt)** – Obliczenie wartości \(f(2{,}4)=3{,}84\) (lub stwierdzenie, że \(4=f\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)=f\left(\frac{-4\sqrt{3}}{3}\right)\)) **2. (1 pkt)** – Porównanie odpowiednich wartości liczbowych i podanie wniosku, że ciężarówka nie zmieści się w tunelu.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(f(x)=-x^{2}+2x+1\), zbiór wartości funkcji \(f\) to \((-\infty,2\rangle\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy pytanie: pytamy o ZBIÓR WARTOŚCI funkcji. Wzór wygląda na iloczyn, ale po wymnożeniu okaże się, że \(f\) jest funkcją kwadratową. A dla funkcji kwadratowej zbiór wartości odczytujemy z rzędnej wierzchołka \(q\): przy ramionach w dół (\(a\lt0\)) jest to \((-\infty,q\rangle\), a przy ramionach w górę \(\langle q,+\infty)\). Plan: doprowadzić wzór do postaci ogólnej i policzyć \(q\). **Krok \(2\).** Wymnażamy. W pierwszym składniku rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \((1-x)(1+x)=1-x^2\): \[f(x)=(1-x)(x+1)+2x=1-x^2+2x.\] Po uporządkowaniu: \[f(x)=-x^2+2x+1.\] **Krok \(3\).** Odczytujemy współczynniki: \(a=-1\), \(b=2\), \(c=1\). Ponieważ \(a=-1\lt0\), ramiona paraboli są skierowane w dół, więc funkcja ma wartość NAJWIĘKSZĄ (w wierzchołku), a wartości najmniejszej nie ma. **Krok \(4\).** Obliczamy odciętą wierzchołka: \[x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1.\] **Krok \(5\).** Obliczamy rzędną wierzchołka, podstawiając \(x=1\) do wzoru: \[q=f(1)=-1^2+2\cdot1+1=-1+2+1=2.\] (Można też ze wzoru \(q=-\frac{\Delta}{4a}\): \(\Delta=2^2-4\cdot(-1)\cdot1=8\), \(q=-\frac{8}{-4}=2\).) **Krok \(6\).** Największą wartością funkcji jest \(2\), a wszystkie wartości mniejsze też są przyjmowane (parabola schodzi w dół do \(-\infty\)). Zatem zbiorem wartości jest \((-\infty,2\rangle\). **Uwaga.** Liczba \(2\) NALEŻY do zbioru wartości — jest przyjmowana dokładnie dla \(x=1\) — więc nawias przy \(2\) musi być domknięty. Częstym błędem jest też podanie \(x_w=1\) jako odpowiedzi: pytamy o WARTOŚCI funkcji, czyli o \(y\), a nie o argumenty. **Odpowiedź.** \(f(x)=-x^{2}+2x+1\), zbiór wartości funkcji \(f\) to \((-\infty,2\rangle\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **(1 pkt)** – zapisanie wzoru funkcji kwadratowej \(f\) w postaci ogólnej: \(f(x)=-x^{2}+2x+1\). **(1 pkt)** – obliczenie rzędnej wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\): \(y_{w}=2\). **(1 pkt)** – wyznaczenie zbioru wartości funkcji \(f\): \((-\infty,\,2]\).

Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(x\in(-\infty,-1)\cup(7,+\infty)\). b) Wierzchołkiem paraboli \(y=x^{2}-6x+12\) jest \(W=(3,3)\), a jego obrazem w symetrii względem prostej \(x=6\) jest \(W^{\prime}=(9,3)\); parabola \(y=(x-9)^{2}+6\) ma zaś wierzchołek \((9,6)\neq(9,3)\), więc nie jest obrazem wykresu funkcji \(f\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** W podpunkcie a) mamy zwykłą nierówność kwadratową — wystarczy przenieść \(19\) na lewą stronę. W podpunkcie b) trzeba pokazać, że pewna parabola nie jest obrazem innej w symetrii osiowej. Najprościej porównać wierzchołki: symetria osiowa przeprowadza wierzchołek paraboli na wierzchołek jej obrazu, więc jeśli te punkty się nie zgadzają, teza jest udowodniona. **Krok \(2\).** a) Zapisujemy nierówność: \[x^2-6x+12-19\gt0\ \Longrightarrow\ x^2-6x-7\gt0.\] **Krok \(3\).** Miejsca zerowe trójmianu: \(\Delta=36+28=64\), \(\sqrt{\Delta}=8\), więc \[x=\frac{6-8}{2}=-1\qquad\text{lub}\qquad x=\frac{6+8}{2}=7.\] **Krok \(4\).** Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc wartości dodatnie trójmian przyjmuje poza przedziałem między pierwiastkami: \[x\in(-\infty,-1)\cup(7,+\infty).\] **Krok \(5\).** b) Ustalmy, jak działa symetria względem prostej pionowej \(x=6\). Punkt \((x,y)\) przechodzi na punkt o tej samej drugiej współrzędnej i o pierwszej odbitej względem \(6\), czyli na \((12-x,\ y)\) — bo \(6\) jest środkiem odcinka o końcach \(x\) i \(12-x\). **Krok \(6\).** Wyznaczamy wierzchołek wykresu \(f\), zapisując wzór w postaci kanonicznej: \[x^2-6x+12=\left(x^2-6x+9\right)+3=(x-3)^2+3,\] więc \(W=(3,3)\). **Krok \(7\).** Obraz wierzchołka w naszej symetrii: \[W^{\prime}=(12-3,\ 3)=(9,3).\] **Krok \(8\).** Obrazem paraboli w symetrii osiowej jest parabola, a obrazem jej wierzchołka — wierzchołek tego obrazu. Parabola o równaniu \(y=(x-9)^2+6\) ma wierzchołek \((9,6)\), a \((9,6)\neq(9,3)\). Zatem nie jest ona obrazem wykresu funkcji \(f\), co należało uzasadnić. **Krok \(9\).** Dla porządku: prawdziwym obrazem jest parabola \(y=(x-9)^2+3\) (wstawiając \(x=12-x^{\prime}\) do \(y=(x-3)^2+3\), dostajemy \(y=(9-x^{\prime})^2+3=(x^{\prime}-9)^2+3\)). **Uwaga.** Obie parabole mają tę samą oś \(x=9\) i identyczny kształt, więc na oko wyglądają podobnie. Dowód musi więc wskazać konkretną różnicę — tutaj jest nią wysokość wierzchołka. **Odpowiedź.** a) \(x\in(-\infty,-1)\cup(7,+\infty)\); b) obrazem wierzchołka \(W=(3,3)\) jest \((9,3)\), a podana parabola ma wierzchołek \((9,6)\), więc nie jest obrazem wykresu funkcji \(f\).

**27. (1 pkt)** – obliczenie współrzędnych wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\): \(W(3,3)\). **28. (1 pkt)** – wykorzystanie postaci kanonicznej trójmianu \(y=(x-9)^{2}+6\) do odczytania współrzędnych wierzchołka wykresu trójmianu: \(W(9,6)\). **29. (1 pkt)** – zapisanie, że obrazem paraboli o równaniu \(y=x^{2}-6x+12\) nie jest wykres funkcji \(y=(x-9)^{2}+6\), ponieważ: np. obrazem punktu \(W\) w danej symetrii jest punkt \(W'(9,3)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Największa wartość: \(f(3)=4\); najmniejsza wartość: \(f(7)=-12\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy funkcję: \(f(x)=(x-1)(5-x)\) to funkcja kwadratowa zapisana w postaci iloczynowej. Kluczowa własność: funkcja kwadratowa na przedziale DOMKNIĘTYM przyjmuje wartość największą i najmniejszą albo w wierzchołku paraboli, albo na końcach przedziału. Wystarczy więc porównać trzy liczby: \(f\) w wierzchołku (o ile wierzchołek należy do przedziału) oraz \(f\) na obu końcach. **Krok \(2\).** Ustalamy kierunek ramion. Wymnażamy: \[f(x)=(x-1)(5-x)=5x-x^2-5+x=-x^2+6x-5.\] Współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(-1\lt0\), więc ramiona paraboli są skierowane W DÓŁ. To znaczy, że w wierzchołku jest wartość NAJWIĘKSZA, a najmniejsza musi wypaść na końcu przedziału. **Krok \(3\).** Wyznaczamy wierzchołek. Najprościej z postaci iloczynowej: miejsca zerowe to \(1\) i \(5\), a wierzchołek leży dokładnie pośrodku: \[x_w=\frac{1+5}{2}=3\qquad(\text{lub ze wzoru } x_w=-\tfrac{b}{2a}=-\tfrac{6}{-2}=3).\] Wartość: \(f(3)=(3-1)(5-3)=2\cdot2=4\). **Krok \(4\).** Sprawdzamy, czy \(x_w=3\) należy do przedziału \(\langle0,7\rangle\). Tak, należy, więc największą wartością funkcji \(f\) w tym przedziale jest \(f(3)=4\). **Krok \(5\).** Obliczamy wartości na obu końcach: \[f(0)=(0-1)(5-0)=(-1)\cdot5=-5,\] \[f(7)=(7-1)(5-7)=6\cdot(-2)=-12.\] **Krok \(6\).** Porównujemy: \(-12\lt-5\), więc najmniejszą wartością jest \(f(7)=-12\). **Uwaga.** Pułapką jest odruch „skoro ramiona w dół, to najmniejszej wartości nie ma”. Na całej prostej rzeczywiście jej nie ma, ale na przedziale DOMKNIĘTYM już tak — jest przyjmowana na jednym z końców. Trzeba sprawdzić OBA końce, bo przedział \(\langle0,7\rangle\) nie jest symetryczny względem \(x_w=3\): punkt \(7\) leży dalej od wierzchołka niż \(0\), i to on daje mniejszą wartość. **Odpowiedź.** Największa wartość: \(f(3)=4\); najmniejsza wartość: \(f(7)=-12\).

**2. (1 pkt)** – obliczenie wartości \(f(0)=-5\). **3. (1 pkt)** – obliczenie wartości \(f(7)=-12\). **4. (1 pkt)** – zapisanie odpowiedzi: Funkcja \(f\) w przedziale \(0;7\) osiąga największą wartość równą \(4\), zaś najmniejszą równą \((-12)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(k\in\left(10+2\sqrt{21},\,+\infty\right)\)

**Krok \(1\).** \(20\). \(37\). Wyznaczenie warunków określających dziedzinę równania **Krok \(2\).** (\(10\) pkt) \(h\)(x) − log k = \(0\) : x > \(5\) i k > \(0\) . **Krok \(3\).** \(x^{2}\) − \(4\) **Krok \(4\).** \(38\). Przekształcenie równania \(h\)(x) − log k = \(0\) do postaci: = k **Krok \(5\).** x − \(5\) **Krok \(6\).** \(39\). Przekształcenie równania do postaci: x \(2\) − kx + \(5k\) − \(4 = 0\) . **Krok \(7\).** ∆ > \(0\) **Krok \(8\).** \(40\). Zapisanie układu warunków x > \(5\) , gdzie x oznacza odciętą **Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.

**37. (2 pkt)** – wyznaczenie warunków określających dziedzinę równania \(h(x)-\log_{2}k=0\): \(x>5\) i \(k>0\). **38. (1 pkt)** – przekształcenie równania \(h(x)-\log_{2}k=0\) do postaci: \(\frac{x^{2}-4}{x-5}=k\). **39. (1 pkt)** – przekształcenie równania do postaci: \(x^{2}-kx+5k-4=0\). **40. (1 pkt)** – zapisanie układu warunków \(\begin{cases}\Delta>0\\ x_{w}>5\\ f(5)>0\end{cases}\), gdzie \(x_{w}\) oznacza odciętą wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji \(f=x^{2}-kx+5k-4\), przy pewnej wartości \(k\). **41. (1 pkt)** – obliczenie wyróżnika trójmianu: \(\Delta=k^{2}-20k+16\). **42. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności \(\Delta>0\): \(\Delta>0\Leftrightarrow k\in\left(-\infty;10-2\sqrt{21}\right)\cup\left(10+2\sqrt{21};\infty\right)\). **43. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności \(x_{w}>5\): \(k\in(10;\infty)\). **44. (1 pkt)** – sprawdzenie, że warunek \(f(5)>0\) zachodzi dla każdej rzeczywistej wartości parametru \(k\). **44. (1 pkt)** – zapisanie odpowiedzi, uwzględniającej zbiór rozwiązań układu nierówności z p. 40 oraz warunku \(k>0\): Dla wszystkich \(k\in\left(10+2\sqrt{21};\infty\right)\) równanie \(h(x)-\log_{2}k=0\) ma dwa różne pierwiastki.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.