Zadania o pierwiastkach funkcji kwadratowej

\[a=-4,\qquad b=24,\qquad c=64.\]

Zbiorem argumentów, dla których \(f\) przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział ograniczony \((-2,8)\). Oznacza to, że parabola przecina oś \(Ox\) w punktach \(-2\) i \(8\), a jej ramiona są skierowane w dół, czyli \(a<0\) (dla \(a>0\) zbiorem tym byłaby suma dwóch półprostych). Zapisujemy funkcję w postaci iloczynowej: \[f(x)=a(x+2)(x-8).\] Największa wartość jest przyjmowana w wierzchołku, którego pierwsza współrzędna leży w połowie odległości między miejscami zerowymi: \[p=\frac{-2+8}{2}=3.\] Z warunku \(f(3)=100\): \[a\cdot(3+2)\cdot(3-8)=100,\qquad a\cdot5\cdot(-5)=100,\qquad -25a=100,\qquad a=-4.\] Warunek \(a<0\) jest spełniony. Doprowadzamy wzór do postaci ogólnej: \[f(x)=-4(x+2)(x-8)=-4\left(x^{2}-6x-16\right)=-4x^{2}+24x+64.\] **Odpowiedź.** \(a=-4\), \(b=24\), \(c=64\).

**5 pkt** – poprawna metoda i wszystkie współczynniki: \(a=-4\), \(b=24\), \(c=64\) **4 pkt** – spełnienie progu na \(3\) pkt oraz obliczenie jednej z liczb \(a=-4\), \(b=24\), \(c=64\) **3 pkt** – zapisanie postaci iloczynowej i współrzędnych wierzchołka albo zapisanie postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-3)^{2}+100\) **2 pkt** – zapisanie \(f(x)=a(x+2)(x-8)\) albo obliczenie współrzędnych wierzchołka \((3,100)\) **1 pkt** – wskazanie miejsc zerowych \(-2\) i \(8\), albo współrzędnej \(q=100\), albo osi symetrii \(x=3\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie miejsc zerowych i wartości największej; przejście między postacią iloczynową, kanoniczną i ogólną. Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

Ponieważ \(g(0)=f(1)=0\), liczba \(1\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\). Zatem \(f(x)=a(x-3)^{2}-2\) i \(0=4a-2\), więc \(a=\frac{1}{2}\). Ostatecznie \(f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-3x+\frac{5}{2}\).

Z definicji funkcji \(g\) wynika, że \(g(0)=f(0+1)=f(1)\). Skoro \(0\) jest miejscem zerowym funkcji \(g\), to \(f(1)=0\), czyli miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba \(1\). Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem \(f\) jest \(W=(3,-2)\), więc w postaci kanonicznej \[f(x)=a(x-3)^2-2.\] Warunek \(f(1)=0\) daje \[a(1-3)^2-2=0,\qquad 4a=2,\qquad a=\tfrac12.\] Po rozwinięciu kwadratu \[f(x)=\tfrac12(x-3)^2-2=\tfrac12x^2-3x+\tfrac92-2=\tfrac12x^2-3x+\tfrac52.\] Sprawdzenie: \(f(1)=\tfrac12-3+\tfrac52=0\), a wierzchołek ma odciętą \(-\frac{-3}{2\cdot\frac12}=3\). **Odpowiedź.** \(f(x)=\tfrac12x^2-3x+\tfrac52\).

2 pkt – zapisanie miejsc zerowych funkcji \(f\): \(x_1=1\), \(x_2=5\), ALBO – zapisanie wzoru funkcji \(g\) w postaci \(g(x)=a(x-2)^2-2\), ALBO – zapisanie wzoru funkcji \(g\) w postaci \(g(x)=ax(x-4)\), ALBO – zapisanie, że wierzchołkiem wykresu funkcji \(g\) jest punkt o współrzędnych \((2,-2)\), oraz zapisanie, że drugim miejscem zerowym funkcji \(g\) jest liczba 4. 1 pkt – zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci \(f(x)=a(x-p)^2+q\) oraz zapisanie \(p=3\) oraz \(q=-2\) ALBO – zapisanie jednego z równań: • \(\frac{-b}{2a}=3\) • \(\frac{-\Delta}{4a}=-2\) • \(a\cdot 3^2+b\cdot 3+c=-2\) • \(a+b+c=0\)

\[m\in(1,+\infty).\]

**Krok \(1\).** Metoda: korzystamy z interpretacji geometrycznej. Ponieważ współczynnik przy \(x^{2}\) jest równy \(m^{2}\gt 0\), parabola ma ramiona skierowane do góry. Ma ona wtedy dwa różne miejsca zerowe w przedziale \((-2,2)\) dokładnie wtedy, gdy jednocześnie: \(\Delta\gt 0\), pierwsza współrzędna wierzchołka \(p\) leży w \((-2,2)\) oraz \(f(-2)\gt 0\) i \(f(2)\gt 0\). **Krok \(2\).** Obliczamy wyróżnik: \[\Delta=(-2m)^{2}-4\cdot m^{2}\cdot(-m+1)=4m^{2}+4m^{3}-4m^{2}=4m^{3}.\] **Krok \(3\).** Rozwiązujemy warunek \(\Delta\gt 0\): \[4m^{3}\gt 0\iff m\gt 0.\] **Krok \(4\).** Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka: \[p=\frac{2m}{2m^{2}}=\frac{1}{m}.\] **Krok \(5\).** Rozwiązujemy warunek \(-2\lt p\lt 2\) przy \(m\gt 0\). Wtedy \(\frac{1}{m}\gt 0\gt -2\), więc lewa nierówność jest spełniona; z prawej mamy \[\frac{1}{m}\lt 2\iff m\gt\frac{1}{2}.\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy warunek \(f(-2)\gt 0\): \[f(-2)=4m^{2}+4m-m+1=4m^{2}+3m+1,\qquad \Delta=9-16=-7\lt 0,\] a ponieważ współczynnik przy \(m^{2}\) jest dodatni, \(f(-2)\gt 0\) dla każdego \(m\in\mathbb{R}\). Ten warunek niczego nie odrzuca. **Krok \(7\).** Sprawdzamy warunek \(f(2)\gt 0\): \[f(2)=4m^{2}-4m-m+1=4m^{2}-5m+1=(4m-1)(m-1)\gt 0\iff m\lt\frac{1}{4}\ \text{lub}\ m\gt 1.\] **Krok \(8\).** Wyznaczamy część wspólną wszystkich warunków (przy \(m\neq 0\)): \[m\gt 0\ \text{ i }\ m\gt\frac{1}{2}\ \text{ i }\ \left(m\lt\frac{1}{4}\ \text{lub}\ m\gt 1\right)\iff m\gt 1.\] **Uwaga.** Sam warunek \(\Delta\gt 0\) daje \(m\gt 0\), ale to stanowczo za mało: dla \(m=\frac{3}{4}\) miejsca zerowe istnieją, lecz jedno z nich wypada poza przedziałem \((-2,2)\). Dlatego konieczne są warunki na położenie wierzchołka i na znaki \(f(-2)\), \(f(2)\). **Odpowiedź.** \(m\in(1,+\infty)\).

**Zasady oceniania (dla sposobu I)** **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((1,+\infty)\). **4 pkt** – rozwiązanie pięciu warunków 1) – 5) określonych w kryterium za 1 punkt. **3 pkt** – rozwiązanie czterech spośród warunków 1) – 5) określonych w kryterium za 1 punkt. **2 pkt** – rozwiązanie trzech spośród warunków 1) – 5) określonych w kryterium za 1 punkt. **1 pkt** – zapisanie wszystkich warunków 1) – 5): 1) \(f(p)<0\) (lub \(q<0\), lub \(\Delta>0\)), 2) \(p>-2\), 3) \(p<2\), 4) \(f(-2)>0\), 5) \(f(2)>0\), ALBO – rozwiązanie jednego z warunków 1) – 5): 1) \(f(p)<0\) (lub \(q<0\), lub \(\Delta>0\)): \(m\in(0,+\infty)\), 2) \(p>-2\): \(m\in\left(-\infty,-\tfrac{1}{2}\right)\cup(0,+\infty)\), 3) \(p<2\): \(m\in(-\infty,0)\cup\left(\tfrac{1}{2},+\infty\right)\), 4) \(f(-2)>0\): \(m\in\mathbb{R}\), 5) \(f(2)>0\): \(m\in\left(-\infty,\tfrac{1}{4}\right)\cup(1,+\infty)\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek \(\Delta\geq 0\), to za tę część rozwiązania otrzymuje \(0\) punktów. 2. Jeżeli zdający: a) nie rozwiąże wszystkich warunków 1) – 5) określonych w kryterium za 1 punkt albo b) podczas rozwiązywania warunków 1) – 5) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo c) popełni błąd, który nie jest rachunkowy, to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie. **Zasady oceniania (dla sposobu II)** **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((1,+\infty)\). **4 pkt** – rozwiązanie pięciu warunków I) – V) określonych w kryterium za 2 punkty ALBO – spełnienie warunków I) oraz III), oraz IV), oraz zapisanie \(x_1<x_2\). **3 pkt** – spełnienie czterech spośród warunków I) – V) określonych w kryterium za 2 punkty ALBO – spełnienie warunków I) oraz III), oraz zapisanie \(x_1<x_2\), ALBO – spełnienie warunków I) oraz IV), oraz zapisanie \(x_1<x_2\), ALBO – spełnienie warunków III) oraz IV), oraz zapisanie \(x_1<x_2\). **2 pkt** – spełnienie warunku I) i jednego z warunków II) – V): I) wyznaczenie wszystkich wartości parametru \(m\), dla których funkcja \(f\) ma dokładnie dwa miejsca zerowe oraz wyznaczenie miejsc zerowych \(x_1\) oraz \(x_2\) funkcji \(f\) w zależności od \(m\): \(m\in(0,+\infty)\) i \(x_1=\frac{1-\sqrt{m}}{m}\) oraz \(x_2=\frac{1+\sqrt{m}}{m}\), II) rozwiązanie nierówności \(x_1<2\): \(m\in\left(\tfrac{1}{4},+\infty\right)\), III) rozwiązanie nierówności \(-2<x_1\): \(m\in(0,+\infty)\), IV) rozwiązanie nierówności \(x_2<2\): \(m\in(1,+\infty)\), V) rozwiązanie nierówności \(-2<x_2\): \(m\in(0,+\infty)\), ALBO – spełnienie trzech spośród warunków II) – V). **1 pkt** – wyznaczenie wszystkich wartości parametru \(m\), dla których funkcja \(f\) ma dokładnie dwa miejsca zerowe: \(m\in(0,+\infty)\) ALBO – wyznaczenie miejsc zerowych funkcji \(f\) w zależności od \(m\): \(x_1=\frac{1-\sqrt{m}}{m}\) oraz \(x_2=\frac{1+\sqrt{m}}{m}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek \(\Delta\geq 0\), to za tę część rozwiązania otrzymuje \(0\) punktów. 2. Jeżeli zdający: a) nie rozwiąże wszystkich warunków I) – V) określonych w kryterium za 1 punkt albo b) podczas rozwiązywania warunków I) – V) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo c) popełni błąd, który nie jest rachunkowy, to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie. **Zasady oceniania (dla sposobu III)** **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((1,+\infty)\). **4 pkt** – rozwiązanie pięciu warunków A) – E) określonych w kryterium za 1 punkt. **3 pkt** – rozwiązanie czterech warunków spośród warunków A) – E) określonych w kryterium za 1 punkt. **2 pkt** – rozwiązanie trzech warunków spośród warunków A) – E) określonych w kryterium za 1 punkt. **1 pkt** – zapisanie warunków A) – E): A) \(\Delta>0\), B) \(x_1+2+x_2+2>0\), C) \(x_1\cdot x_2+2(x_1+x_2)+4>0\), D) \(2-x_1+2-x_2>0\), E) \(x_1\cdot x_2-2(x_1+x_2)+4>0\), ALBO – rozwiązanie jednego z warunków A) – E): A) \(\Delta>0\): \(m\in(0,+\infty)\), B) \(x_1+2+x_2+2>0\): \(m\in\left(-\infty,-\tfrac{1}{2}\right)\cup(0,+\infty)\), C) \(x_1\cdot x_2+2(x_1+x_2)+4>0\): \(m\neq 0\), D) \(2-x_1+2-x_2>0\): \(m\in(-\infty,0)\cup\left(\tfrac{1}{2},+\infty\right)\), E) \(x_1\cdot x_2-2(x_1+x_2)+4>0\): \(m\in(-\infty,0)\cup\left(0,\tfrac{1}{4}\right)\cup(1,+\infty)\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek \(\Delta\geq 0\), to za tę część rozwiązania otrzymuje \(0\) punktów. 2. Jeżeli zdający: a) nie rozwiąże wszystkich warunków A) – E) określonych w kryterium za 1 punkt albo b) podczas rozwiązywania warunków A) – E) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo c) popełni błąd, który nie jest rachunkowy, to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych; tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu. **Wymagania szczegółowe:** III.R5) Zdający analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami […].

\[m\in(1,+\infty).\]

**Krok \(1\).** Metoda: korzystamy z interpretacji geometrycznej. Parabola o ramionach skierowanych w górę ma dwa różne miejsca zerowe w przedziale \((-2,2)\) dokładnie wtedy, gdy jednocześnie \(\Delta\gt 0\), odcięta wierzchołka leży w tym przedziale oraz \(f(-2)\gt 0\) i \(f(2)\gt 0\). **Krok \(2\).** Z założenia \(m\neq 0\), więc współczynnik przy \(x^{2}\) jest równy \(m^{2}\gt 0\) — ramiona są skierowane w górę i funkcja jest kwadratowa. **Krok \(3\).** Wyróżnik: \[\Delta=(-2m)^{2}-4m^{2}(-m+1)=4m^{2}\bigl[1-(1-m)\bigr]=4m^{3}.\] Warunek \(\Delta\gt 0\) jest równoważny \(m\gt 0\). **Krok \(4\).** Odcięta wierzchołka: \(p=\frac{2m}{2m^{2}}=\frac{1}{m}\). Przy \(m\gt 0\) nierówność \(\frac{1}{m}\gt -2\) jest spełniona automatycznie, a \(\frac{1}{m}\lt 2\) daje \(m\gt\frac{1}{2}\). **Krok \(5\).** Obliczamy \(f(-2)\): \[f(-2)=4m^{2}+4m-m+1=4m^{2}+3m+1.\] Wyróżnik tego trójmianu wynosi \(9-16=-7\lt 0\), a współczynnik wiodący jest dodatni, więc \(f(-2)\gt 0\) dla każdego \(m\) — ten warunek niczego nie ogranicza. **Krok \(6\).** Obliczamy \(f(2)\): \[f(2)=4m^{2}-4m-m+1=4m^{2}-5m+1=(4m-1)(m-1)\gt 0,\] skąd \(m\lt\frac{1}{4}\) lub \(m\gt 1\). **Krok \(7\).** Zestawiamy warunki: \(m\gt 0\), \(m\gt\frac{1}{2}\) oraz \(\left(m\lt\frac{1}{4}\ \text{lub}\ m\gt 1\right)\). Przedział \(m\lt\frac{1}{4}\) nie ma części wspólnej z \(m\gt\frac{1}{2}\), więc zostaje \(m\gt 1\). **Uwaga.** Wszystkie pięć warunków jest potrzebnych i żaden z nich nie wynika z pozostałych: znak wartości na końcach przedziału gwarantuje, że pierwiastki nie wypadną poza \((-2,2)\), a położenie wierzchołka — że nie wypadną oba po tej samej stronie przedziału. Nierówność \(\Delta\gt 0\) musi być ostra, bo miejsca zerowe mają być różne. **Odpowiedź.** \(m\in(1,+\infty)\).

**Zasady oceniania (dla sposobu I)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zapisanie wszystkich warunków 1) – 5): 1) \(f(p)<0\) (lub \(q<0\), lub \(\Delta>0\)), 2) \(p>-2\), 3) \(p<2\), 4) \(f(-2)>0\), 5) \(f(2)>0\), ALBO rozwiązanie jednego z warunków 1) – 5): 1) \(f(p)<0\) (lub \(q<0\), lub \(\Delta>0\)): \(m\in(0,+\infty)\), 2) \(p>-2\): \(m\in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)\cup(0,+\infty)\), 3) \(p<2\): \(m\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{1}{2},+\infty\right)\), 4) \(f(-2)>0\): \(m\in\mathbb{R}\), 5) \(f(2)>0\): \(m\in\left(-\infty,\frac{1}{4}\right)\cup(1,+\infty)\). **2 pkt** – rozwiązanie trzech spośród warunków 1) – 5) określonych w kryterium za 1 punkt. **3 pkt** – rozwiązanie czterech spośród warunków 1) – 5) określonych w kryterium za 1 punkt. **4 pkt** – rozwiązanie pięciu warunków 1) – 5) określonych w kryterium za 1 punkt. **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((1,+\infty)\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek \(\Delta\geq 0\), to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów. 2. Jeżeli zdający: a) nie rozwiąże wszystkich warunków 1) – 5) określonych w kryterium za 1 punkt albo b) podczas rozwiązywania warunków 1) – 5) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo c) popełni błąd, który nie jest rachunkowy, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. **Zasady oceniania (dla sposobu II)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie wszystkich wartości parametru \(m\), dla których funkcja \(f\) ma dokładnie dwa miejsca zerowe: \(m\in(0,+\infty)\) ALBO wyznaczenie miejsc zerowych funkcji \(f\) w zależności od \(m\): \(x_1=\frac{1-\sqrt{m}}{m}\) oraz \(x_2=\frac{1+\sqrt{m}}{m}\). **2 pkt** – spełnienie warunku I) i jednego z warunków II) – V): I) wyznaczenie wszystkich wartości parametru \(m\), dla których funkcja \(f\) ma dokładnie dwa miejsca zerowe oraz wyznaczenie miejsc zerowych \(x_1\) oraz \(x_2\) funkcji \(f\) w zależności od \(m\): \(m\in(0,+\infty)\) i \(x_1=\frac{1-\sqrt{m}}{m}\) oraz \(x_2=\frac{1+\sqrt{m}}{m}\), II) rozwiązanie nierówności \(x_1<2\): \(m\in\left(\frac{1}{4},+\infty\right)\), III) rozwiązanie nierówności \(-2<x_1\): \(m\in(0,+\infty)\), IV) rozwiązanie nierówności \(x_2<2\): \(m\in(1,+\infty)\), V) rozwiązanie nierówności \(-2<x_2\): \(m\in(0,+\infty)\), ALBO spełnienie trzech spośród warunków II) – V). **3 pkt** – spełnienie czterech spośród warunków I) – V) określonych w kryterium za 2 punkty ALBO spełnienie warunków I) oraz III), oraz zapisanie \(x_1<x_2\), ALBO spełnienie warunków I) oraz IV), oraz zapisanie \(x_1<x_2\), ALBO spełnienie warunków III) oraz IV), oraz zapisanie \(x_1<x_2\). **4 pkt** – rozwiązanie pięciu warunków I) – V) określonych w kryterium za 2 punkty ALBO spełnienie warunków I) oraz III), oraz IV), oraz zapisanie \(x_1<x_2\). **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((1,+\infty)\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek \(\Delta\geq 0\), to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów. 2. Jeżeli zdający: a) nie rozwiąże wszystkich warunków I) – V) określonych w kryterium za 1 punkt albo b) podczas rozwiązywania warunków I) – V) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo c) popełni błąd, który nie jest rachunkowy, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. **Zasady oceniania (dla sposobu III)** **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – zapisanie warunków A) – E): A) \(\Delta>0\), B) \(x_1+2+x_2+2>0\), C) \(x_1\cdot x_2+2(x_1+x_2)+4>0\), D) \(2-x_1+2-x_2>0\), E) \(x_1\cdot x_2-2(x_1+x_2)+4>0\), ALBO rozwiązanie jednego z warunków A) – E): A) \(\Delta>0\): \(m\in(0,+\infty)\), B) \(x_1+2+x_2+2>0\): \(m\in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)\cup(0,+\infty)\), C) \(x_1\cdot x_2+2(x_1+x_2)+4>0\): \(m\neq 0\), D) \(2-x_1+2-x_2>0\): \(m\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{1}{2},+\infty\right)\), E) \(x_1\cdot x_2-2(x_1+x_2)+4>0\): \(m\in(-\infty,0)\cup\left(0,\frac{1}{4}\right)\cup(1,+\infty)\). **2 pkt** – rozwiązanie trzech warunków spośród warunków A) – E) określonych w kryterium za 1 punkt. **3 pkt** – rozwiązanie czterech warunków spośród warunków A) – E) określonych w kryterium za 1 punkt. **4 pkt** – rozwiązanie pięciu warunków A) – E) określonych w kryterium za 1 punkt. **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((1,+\infty)\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek \(\Delta\geq 0\), to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów. 2. Jeżeli zdający: a) nie rozwiąże wszystkich warunków A) – E) określonych w kryterium za 1 punkt albo b) podczas rozwiązywania warunków A) – E) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo c) popełni błąd, który nie jest rachunkowy, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 3.2R) Zdający rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem. 4.12) Zdający wykorzystuje własności funkcji kwadratowej liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych […].

\[x_1+x_2=6.\]

Miejsca zerowe funkcji \(g\) spełniają równanie \[g(x)=0\iff f(x)-3=0\iff f(x)=3.\] Z rysunku odczytujemy, że parabola przechodzi przez punkt \((0,3)\), więc \(f(0)=3\) i liczba \(x_1=0\) jest jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\). Wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny względem prostej pionowej przechodzącej przez wierzchołek. Wierzchołek ma współrzędne \((3,6)\), więc osią symetrii jest prosta \(x=3\). Drugi argument o tej samej wartości funkcji jest obrazem \(x_1\) w symetrii względem tej prostej: \[x_2=2\cdot3-0=6.\] Ponieważ \(x_1\ne x_2\), są to dwa różne miejsca zerowe. Stąd \[x_1+x_2=0+6=6.\] **Odpowiedź.** \(x_1+x_2=6\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: \(6\) **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.12) Zdający na podstawie wykresu funkcji \(y=f(x)\) szkicuje wykres funkcji \(y=f(x)+b\); V.4) Zdający odczytuje z wykresu funkcji miejsca zerowe.

**C.** Jedno miejsce zerowe wynosi \(6\), a z symetrii względem \(x=1\) drugie wynosi \(-4\). Przy współczynniku \(\frac12\) mamy \(f(x)=\frac12(x+4)(x-6)\).

Wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny względem prostej \(x=1\), więc jej miejsca zerowe leżą symetrycznie po obu stronach liczby \(1\), w równych od niej odległościach. Jedno miejsce zerowe to \(6\), a jego odległość od osi symetrii wynosi \(6-1=5\). Drugie miejsce zerowe leży o \(5\) na lewo od osi: \[x_2=1-5=-4.\] Postać iloczynowa funkcji kwadratowej o miejscach zerowych \(-4\) i \(6\) oraz współczynniku \(a=\frac12\) (odczytanym ze wzoru ogólnego) to \[f(x)=\frac12\bigl(x-(-4)\bigr)(x-6)=\frac12(x+4)(x-6).\] Sprawdzenie: po wymnożeniu \(f(x)=\frac12(x^2-2x-24)=\frac12x^2-x-12\), czyli \(b=-1\), co zgadza się z osią symetrii \(x=-b=1\). **Odpowiedź.** C: \(f(x)=\frac12(x+4)(x-6)\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wymaganie szczegółowe: 4.9) Wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o funkcji lub wykresie.

**C.** Drugie miejsce zerowe, symetryczne do \(6\) względem \(x=1\), wynosi \(-4\). Zatem \(f(x)=\frac12(x+4)(x-6)\).

Wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny względem prostej \(x=1\), więc oba miejsca zerowe leżą w równych odległościach od liczby \(1\), po jej przeciwnych stronach. Jedno z nich to \(6\), a jego odległość od osi symetrii wynosi \(6-1=5\). Drugie leży o \(5\) na lewo: \[x_2=1-5=-4.\] Współczynnik przy \(x^2\) odczytujemy ze wzoru ogólnego: \(a=\frac12\). Postać iloczynowa jest więc równa \[f(x)=\frac12(x+4)(x-6).\] Sprawdzenie: \(f(6)=0\) oraz \(f(-4)=0\), a po wymnożeniu \(f(x)=\frac12x^2-x-12\), czyli oś symetrii \(x=-\frac{-1}{2\cdot\frac12}=1\). **Odpowiedź.** C: \(f(x)=\frac12(x+4)(x-6)\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.9) Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.

\(p=\frac14\) lub \(p=\frac12\).

Ponieważ \(f\) jest funkcją kwadratową, \(p\neq0\). Liczba \(x_1=1\) jest miejscem zerowym, bo \(f(1)=0\). Ze wzorów Viète'a \[x_1x_2=\frac{1-2p}{p},\qquad x_2=\frac{1-2p}{p}.\] Warunek różnicy miejsc zerowych daje \[\left|1-\frac{1-2p}{p}\right|=1\iff\left|\frac{3p-1}{p}\right|=1.\] Stąd \(3p-1=p\) lub \(3p-1=-p\), czyli \(p=\frac12\) lub \(p=\frac14\). Dla obu wartości funkcja ma dwa różne rzeczywiste miejsca zerowe.

**4 pkt** – poprawna metoda i poprawny wynik. **3 pkt** – rozwiązanie równania \(\left|1-\frac{1-2p}{p}\right|=1\). **2 pkt** – sprowadzenie warunku \(|x_1-x_2|=1\) do równania z niewiadomą \(p\). **1 pkt** – wykazanie, że \(x_1=1\), i wyznaczenie \(x_2=\frac{1-2p}{p}\). **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania […]. **Wymagania szczegółowe:** III. Równania i nierówności. 3R) Zdający stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych; 5R) Zdający analizuje […] równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów […] i wyznacza

**C.** \(f(x)=\frac{(x-1)^2}{2}-2\)

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((1,-2)\), więc wzór w postaci kanonicznej ma postać \[f(x)=a(x-1)^2-2.\] Z wykresu odczytujemy miejsce zerowe \(x=3\). Zatem \[0=a(3-1)^2-2=4a-2,\] więc \(a=\frac12\). Otrzymujemy \[f(x)=\frac{(x-1)^2}{2}-2.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.9) Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.

\[[-2,4].\]

Parabola ma ramiona skierowane w dół i przecina oś \(Ox\) dla \(x=-2\) oraz \(x=4\). Wartości funkcji są nieujemne między miejscami zerowymi, łącznie z nimi. Zatem \[f(x)\geq0\iff x\in[-2,4].\]

**1 pkt** – wpisanie przedziału \([-2,4]\) **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi **Kryterium uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki:** jeżeli zdający pomyli porządek liczb na osi i zapisze \([4,-2]\), otrzymuje 1 punkt.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów i tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.4) Zdający odczytuje z wykresu funkcji przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe lub równe albo mniejsze lub równe od danej liczby.

**C.** \([-2,+\infty)\)

Parabola ma ramiona skierowane w górę, a jej wierzchołek ma drugą współrzędną równą \(-2\). Jest to najmniejsza wartość funkcji, zatem zbiorem wartości jest \([-2,+\infty)\).

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji; interpretowanie informacji przedstawionych na wykresie. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie z wykresu funkcji jej zbioru wartości.

\((2,6)\)

Wykres leży poniżej osi \(Ox\) między miejscami zerowymi \(x=2\) i \(x=6\). Ponieważ szukamy wartości ujemnych, końce przedziału nie należą do rozwiązania. Zatem \(f(x)<0\) dla \(x\in(2,6)\).

**1 pkt** – poprawny przedział \((2,6)\) **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji; interpretowanie informacji przedstawionych na wykresie. **Wymagania szczegółowe:** V.4 odczytywanie z wykresu przedziałów, w których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od danej liczby.

**A i B**

Miejsca zerowe \(2\) i \(6\) dają postać iloczynową \(f(x)=a(x-2)(x-6)\). Z wykresu odczytujemy \(f(0)=6\), więc \[6=a(-2)(-6)=12a,\] stąd \(a=\frac12\). Otrzymujemy odpowiedź **A**. Wierzchołek ma współrzędne \((4,-2)\), więc postać kanoniczna to \[f(x)=\frac12(x-4)^2-2,\] czyli odpowiedź **B**.

**2 pkt** – dwie poprawne odpowiedzi: **A** i **B** **1 pkt** – jedna poprawna odpowiedź **0 pkt** – odpowiedź całkowicie niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji; interpretowanie informacji przedstawionych na wykresie. **Wymagania szczegółowe:** V.9 wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie informacji o funkcji lub jej wykresie.

\[x=100\,\mathrm m,\qquad y=75\,\mathrm m.\]

Długość płotu spełnia \[3x+4y-2\cdot10=580,\] więc \(y=150-\frac34x\). Całkowite pole dwóch działek jest równe \[P(x)=2xy=2x\left(150-\frac34x\right).\] Jest to funkcja kwadratowa skierowana ramionami w dół, o miejscach zerowych \(0\) i \(200\). Współrzędna wierzchołka wynosi zatem \(x=100\). Wtedy \[y=150-\frac34\cdot100=75.\]

**4 pkt** – poprawna metoda i wymiary \(x=100\,\mathrm m\), \(y=75\,\mathrm m\) **3 pkt** – poprawny wzór pola jednej zmiennej i wyznaczenie \(x=100\,\mathrm m\) **2 pkt** – zapisanie \(P(x)=2x(150-\frac34x)\) z właściwą dziedziną **1 pkt** – zapisanie \(P=2xy\) albo \(3x+4y-20=580\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.2 i IV.4 modelowanie oraz tworzenie strategii rozwiązania. **Wymagania szczegółowe:** XIII rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych opisywanych funkcją kwadratową.

Każda działka powinna mieć wymiary \(x=100\,\mathrm m\) i \(y=75\,\mathrm m\).

Z warunków ogrodzenia wynika \[3x+4y-2\cdot10=580,\qquad y=150-\frac34x.\] Pole obu działek jest równe \[P(x)=2xy=2x\left(150-\frac34x\right),\qquad x\in\left(0,\frac{560}{3}\right).\] Miejsca zerowe tej funkcji kwadratowej to \(0\) i \(200\), więc pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \(x=100\). Wówczas \[y=150-\frac34\cdot100=75.\]

**4 pkt** – poprawna metoda obliczenia obu wymiarów i wyniki \(x=100\,\mathrm m\), \(y=75\,\mathrm m\) **3 pkt** – poprawny wzór na pole jako funkcję jednej zmiennej i obliczenie \(x=100\,\mathrm m\) **2 pkt** – zapisanie \(P(x)=2x(150-\frac34x)\) dla \(x\in(0,\frac{560}{3})\) **1 pkt** – zapisanie \(P=2xy\) albo związku \(3x+4y-20=580\) **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.2 i IV.4 tworzenie modeli matematycznych oraz strategii rozwiązywania zadań. **Wymagania szczegółowe:** XIII rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych opisywanych funkcją kwadratową.

**A.** \(11\)

Oś symetrii paraboli przechodzi przez środek między miejscami zerowymi. Jeśli drugie miejsce zerowe oznaczymy przez \(x_2\), to \[\frac{-5+x_2}{2}=3.\] Stąd \(-5+x_2=6\), więc \(x_2=11\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji; interpretowanie informacji przedstawionych w tekście i w formie wykresu. **Wymagania szczegółowe:** V.11 zdający wykorzystuje własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych.

**D.** \(29\)

Rozwiązujemy równanie \[(x-13)^2-256=0\iff(x-13)^2=16^2.\] Stąd \(x-13=-16\) lub \(x-13=16\), czyli \(x=-3\) lub \(x=29\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje - wyznaczanie miejsc zerowych funkcji kwadratowej.

**D.** \(29\)

Warunek \(f(x)=0\) prowadzi do równania \[(x-13)^2=256=16^2.\] Zatem \(x-13=-16\) albo \(x-13=16\), czyli \(x=-3\) albo \(x=29\). Drugim miejscem zerowym jest \(29\).

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje - miejsca zerowe funkcji kwadratowej zapisanej w postaci kanonicznej.

**B.** Rysunek B.

Zależność \(g(x)=f(x+1)\) oznacza przesunięcie wykresu funkcji \(f\) o \(1\) jednostkę w lewo. Wierzchołek \((4,-2)\) przechodzi w punkt \((3,-2)\), a miejsca zerowe \(2\) i \(6\) przechodzą odpowiednio w \(1\) i \(5\). Taką parabolę przedstawia rysunek **B**.

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji; interpretowanie informacji przedstawionych na wykresie. **Wymagania szczegółowe:** V.12 szkicowanie wykresu funkcji \(y=f(x-a)\) na podstawie wykresu \(y=f(x)\).

\(p\in\left\{\frac14,\frac12\right\}\)

Ponieważ \(f\) ma być funkcją kwadratową z dwoma różnymi miejscami zerowymi, wymagamy \(p\ne0\) i \(\Delta>0\). Mamy \[\Delta=(p-1)^2-4p(1-2p)=(3p-1)^2,\] więc \(p\ne\frac13\). Warunek różnicy miejsc zerowych zapisujemy za pomocą wzorów Viète'a: \[(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=1.\] Ponieważ \[x_1+x_2=-\frac{p-1}{p},\qquad x_1x_2=\frac{1-2p}{p},\] otrzymujemy \[\left(-\frac{p-1}{p}\right)^2-4\frac{1-2p}{p}=1,\] czyli \[8p^2-6p+1=0.\] Stąd \(p=\frac14\) lub \(p=\frac12\). Obie wartości spełniają pozostałe warunki.

**4 pkt** – wyznaczenie pełnego zbioru \(p\in\{\frac14,\frac12\}\) **3 pkt** – poprawne rozwiązanie warunków \(\Delta>0\) oraz \(|x_1-x_2|=1\) w zależności od \(p\) **2 pkt** – poprawne rozwiązanie jednego z tych dwóch warunków **1 pkt** – zapisanie koniecznych i dostatecznych warunków: \(p\ne0\), \(\Delta>0\), \(|x_1-x_2|=1\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja; prowadzenie rozumowań kilkuetapowych i uzasadnianie ich poprawności. **Wymagania szczegółowe:** III.3R i III.5R stosowanie wzorów Viète'a oraz analizowanie równań i nierówności kwadratowych z parametrem, w tym warunków dotyczących liczby i własności rozwiązań.

\[f(x)=2(x-2)^2=2x^2-8x+8.\]

Jedno miejsce zerowe równe \(2\) oznacza, że funkcję można zapisać w postaci \[f(x)=a(x-2)^2,\qquad a\ne0.\] Z warunku \(f(0)=8\) otrzymujemy \[8=a(0-2)^2=4a,\] więc \(a=2\). Stąd \[f(x)=2(x-2)^2=2x^2-8x+8.\]

**2 pkt** – poprawna metoda i wzór \(f(x)=2(x-2)^2\) lub \(f(x)=2x^2-8x+8\) **1 pkt** – zapisanie \(f(x)=a(x-2)^2\), wykorzystanie \(f(0)=8\) do ustalenia wyrazu wolnego albo poprawny warunek \(\Delta=0\) lub \(-\frac{b}{2a}=2\) **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 4.9 wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie informacji o funkcji lub jej wykresie.

**D.** \(-6\)

Oś symetrii paraboli leży w połowie między miejscami zerowymi. Jeśli drugie miejsce zerowe oznaczymy przez \(x_2\), to \[\frac{2+x_2}{2}=-2.\] Stąd \(2+x_2=-4\), czyli \(x_2=-6\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** korzystanie z symetrii wykresu funkcji kwadratowej względem osi przechodzącej przez wierzchołek.

\[1+c>b.\]

Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, a funkcja kwadratowa \(f\) nie ma miejsc zerowych. Jej wykres leży więc w całości nad osią \(Ox\), czyli \(f(x)>0\) dla każdego \(x\in\mathbb R\). W szczególności dla \(x=-1\) mamy \[f(-1)=(-1)^2-b+c=1-b+c>0.\] Po przeniesieniu \(b\) na prawą stronę otrzymujemy \[1+c>b,\] co należało wykazać.

**2 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu nierówności \(1+c>b\) **1 pkt** – stwierdzenie, że \(f(x)>0\) dla każdego \(x\in\mathbb R\), i rozważenie wartości \(f(-1)\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** V. rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** 4.10 interpretowanie współczynników występujących we wzorze funkcji kwadratowej.

x ∈ (−∞, −\(\frac{5}{2}\)) ∪ (\(1\), +∞). Po przekształceniu otrzymujemy \(2\)\(x^{2}\) + \(3x\) − \(5 > 0\), czyli (\(2x\) + \(5\))(x − \(1\)) > \(0\). Iloczyn jest dodatni poza przedziałem między pierwiastkami −\(\frac{5}{2}\) i \(1\).

**Krok \(1\).** Po obu stronach nierówności występuje ten sam czynnik \(x-1\). Kusi, żeby przez niego podzielić — ale nie wolno, bo nie wiemy, czy jest dodatni, czy ujemny (a przy dzieleniu przez liczbę ujemną zwrot nierówności się odwraca). Zamiast tego przenosimy wszystko na jedną stronę. **Krok \(2\).** Przenosimy prawą stronę na lewo: \[2(x-1)(x+3)-(x-1)\gt 0.\] **Krok \(3\).** Wyłączamy wspólny czynnik \(x-1\) przed nawias: \[(x-1)\big(2(x+3)-1\big)\gt 0,\] czyli \[(x-1)(2x+5)\gt 0.\] **Krok \(4\).** Lewa strona jest iloczynem dwóch czynników liniowych, czyli funkcją kwadratową (po wymnożeniu \(2x^2+3x-5\)). Jej miejsca zerowe odczytujemy wprost z czynników: \[x=1\qquad\text{oraz}\qquad 2x+5=0,\ \text{czyli}\ x=-\frac52.\] **Krok \(5\).** Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni (po wymnożeniu wynosi \(2\)), więc parabola ma ramiona skierowane w górę. Rysujemy ją schematycznie: przecina oś w punktach \(-\frac52\) i \(1\), pod osią jest między nimi, nad osią — poza nimi. **Krok \(6\).** Interesują nas wartości dodatnie, czyli fragmenty wykresu nad osią \(OX\): \[x\lt -\frac52\qquad\text{lub}\qquad x\gt 1.\] **Krok \(7\).** Zapisujemy odpowiedź w postaci sumy przedziałów. Nierówność jest ostra, więc końce nie należą do zbioru rozwiązań. **Uwaga.** Skrócenie obu stron przez \(x-1\) daje błędny wynik \(x\gt -\frac52\) i jest tu najpoważniejszym błędem. Gdyby ktoś wolał liczyć wyróżnik, dostanie to samo: dla \(2x^2+3x-5\) mamy \(\Delta=9+40=49\), \(\sqrt{\Delta}=7\), \(x_1=\frac{-3-7}{4}=-\frac52\), \(x_2=\frac{-3+7}{4}=1\). **Odpowiedź.** \(x\in\left(-\infty,-\frac52\right)\cup\left(1,+\infty\right)\).

**1 pkt** – gdy zdający zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub zapisze błędny zbiór rozwiązań nierówności, np. obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego \(x_1=-\frac{5}{2}\) oraz \(x_2=1\), albo zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(x)=2x^{2}+3x-5\), albo rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. \(2\left(x+\frac{5}{2}\right)(x-1)\); albo gdy realizując pierwszy etap rozwiązania zadania popełnia błędy (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do tego zapisze zbiór rozwiązań nierówności, w tym gdy popełnia błędy rachunkowe przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego, błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète'a albo wyznaczy odcięte punktów wspólnych wykresów funkcji określonych wzorami […] oraz \(y=x-1\) i zapisze błędny zbiór rozwiązań nierówności. **2 pkt** – gdy zdający poda zbiór rozwiązań nierówności: \(x<-\frac{5}{2}\) lub \(x>1\), albo sporządzi ilustrację graficzną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci \(x<-\frac{5}{2}\) […], albo poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów.

II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą (3.5).

**C.** \([-4,+\infty)\)

Parabola jest skierowana ramionami w górę, a jej wierzchołek \(W=(2,-4)\) wyznacza najmniejszą wartość funkcji równą \(-4\). Zatem zbiorem wartości jest \[\left[-4,+\infty\right).\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3 odczytywanie z wykresu własności funkcji, w tym zbioru wartości.

**D.** \(0\)

W przedziale \([1,4]\) parabola osiąga najmniejszą wartość \(-4\) w wierzchołku dla \(x=2\), a następnie rośnie do miejsca zerowego \(x=4\). Największą wartością na tym przedziale jest więc \[f(4)=0.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.3 odczytywanie z wykresu wartości największej lub najmniejszej funkcji w podanym przedziale.

**D.** \(x=2\)

Oś symetrii paraboli przechodzi przez jej wierzchołek \(W=(2,-4)\) i jest pionowa. Ma zatem równanie \[x=2.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.12 wykorzystywanie własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych i praktycznych.

D

Miejsca zerowe wyznaczamy z równania \(f(x)=0\): \[9-(3-x)^2=0,\qquad (3-x)^2=9.\] Stąd \[3-x=3\quad\text{albo}\quad 3-x=-3,\] czyli \(x=0\) albo \(x=6\). Ten sam wynik daje wzór na różnicę kwadratów: \[9-(3-x)^2=\bigl(3-(3-x)\bigr)\bigl(3+(3-x)\bigr)=x(6-x).\] **Odpowiedź.** D: \(0\) oraz \(6\)

Zadanie 7. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

**C.** \(x_1+x_2=2\)

Z postaci iloczynowej odczytujemy miejsca zerowe: \(x_1=-3\) i \(x_2=5\). Zatem \(x_1+x_2=2\).

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne I.** **4.10:** zdający interpretuje współczynniki i informacje zawarte w postaci iloczynowej funkcji kwadratowej.

**A.** \(x_1+x_2=11\)

Z postaci iloczynowej odczytujemy \(x_1=2\) i \(x_2=9\), więc \(x_1+x_2=11\).

**1 pkt** – odpowiedź A **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** funkcja kwadratowa - interpretacja postaci iloczynowej i miejsc zerowych.

Największa wartość funkcji jest równa \(42{,}25\); kod: \(2\), \(2\), \(5\).

**Krok \(1\).** Skoro \(a=-1\), a miejscami zerowymi są \(x_{1}=-1\) i \(x_{2}=12\), to \[f(x)=-(x+1)(x-12).\] **Krok \(2\).** Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie odległości między miejscami zerowymi: \[x_{w}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{-1+12}{2}=5{,}5.\] **Krok \(3\).** Ramiona paraboli są skierowane w dół (\(a=-1\lt 0\)), więc funkcja przyjmuje w wierzchołku wartość największą: \[f(5{,}5)=-(5{,}5+1)(5{,}5-12)=-6{,}5\cdot(-6{,}5)=42{,}25.\] **Krok \(4\).** Kodujemy cyfrę jedności wyniku oraz dwie pierwsze cyfry po przecinku: \(42{,}25\) daje cyfry \(2\), \(2\), \(5\). **Odpowiedź.** Największa wartość funkcji wynosi \(42{,}25\), a kod to \(225\).

Klasyfikacja rzeczowa: odtwarzanie wzoru funkcji kwadratowej z miejsc zerowych i wyznaczanie jej największej wartości.

**C.** \(c=3\)

Współczynnik \(c\) we wzorze \(f(x)=ax^2+bx+c\) jest wartością funkcji dla argumentu \(0\), bo \(f(0)=c\). Geometrycznie jest to rzędna punktu przecięcia wykresu z osią \(Oy\). Z rysunku odczytujemy, że wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,3)\), zatem \(c=3\). Wynik można potwierdzić rachunkiem. Z miejsc zerowych \(-3\) i \(1\) zapisujemy postać iloczynową \(f(x)=a(x+3)(x-1)\). Z rysunku wierzchołkiem jest \(W=(-1,4)\), więc \[f(-1)=a\cdot2\cdot(-2)=-4a=4,\qquad a=-1.\] Stąd \(f(x)=-(x+3)(x-1)\) oraz \(c=f(0)=-3\cdot(-1)=3\). **Odpowiedź.** C: \(c=3\)

Zadanie 10. (0−1) **Wymaganie ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** 4. Funkcje. Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje) (4.10).

Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(-\frac{16}{3}\).

Skoro funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe \(x_1=-2\) i \(x_2=6\), to można ją zapisać w postaci iloczynowej: \[f(x)=a(x+2)(x-6).\] Współczynnik \(a\) wyznaczamy z warunku \(f(1)=-5\): \[a(1+2)(1-6)=-5,\qquad -15a=-5,\qquad a=\frac13.\] Ponieważ \(a>0\), ramiona paraboli są skierowane w górę, a więc funkcja przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku. Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie odległości między miejscami zerowymi: \[p=\frac{-2+6}{2}=2.\] Najmniejsza wartość to \[q=f(2)=\frac13(2+2)(2-6)=\frac13\cdot4\cdot(-4)=-\frac{16}{3}.\] **Odpowiedź.** Najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa \(-\frac{16}{3}\).

**1–3 pkt** – postać iloczynowa, współczynnik \(a=\tfrac{1}{3}\) i argument wierzchołka \(x=2\). **4 pkt** – wartość najmniejsza \(-\tfrac{16}{3}\).

Zadanie 32. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

\[x\in\left[-2,\frac32\right].\]

Obliczamy wyróżnik trójmianu \(2x^2+x-6\): \[\Delta=1^2-4\cdot2\cdot(-6)=49.\] Miejsca zerowe są równe \[x_1=\frac{-1-7}{4}=-2,\qquad x_2=\frac{-1+7}{4}=\frac32.\] Ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, trójmian przyjmuje wartości niedodatnie między miejscami zerowymi. Zatem \[x\in\left[-2,\frac32\right].\]

**2 pkt** – podanie zbioru rozwiązań \(x\in[-2,\frac32]\) albo jego poprawne przedstawienie graficzne z domkniętymi końcami **1 pkt** – wyznaczenie miejsc zerowych \(x_1=-2\), \(x_2=\frac32\) i zakończenie rozwiązania albo błędne zapisanie przedziału; również konsekwentne rozwiązanie po błędzie rachunkowym prowadzącym do dwóch różnych pierwiastków **0 pkt** – brak koniecznego postępu, w szczególności podanie pierwiastków bez związku z trójmianem z zadania albo wyznaczenie ujemnego wyróżnika

**Klasyfikacja CKE:** nierówności kwadratowe - wyróżnik, miejsca zerowe i znak trójmianu kwadratowego.

**D.** \(( -\infty,9]\)

Parabola ma ramiona skierowane w dół, a jej wierzchołek \(W=(1,9)\) wyznacza największą wartość funkcji równą \(9\). Zatem zbiorem wartości jest \(( -\infty,9]\).

**1 pkt** – odpowiedź D **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** funkcja kwadratowa - odczytywanie zbioru wartości z wykresu paraboli.

**B.** \(5\)

Z miejsc zerowych i wierzchołka wynika \(f(x)=-(x+2)(x-4)\). W przedziale \([-1,2]\) największa wartość jest w wierzchołku, a najmniejszą porównujemy na końcach: \[f(-1)=5,\qquad f(2)=8.\] Najmniejsza wartość jest równa \(5\).

**1 pkt** – odpowiedź B **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** funkcja kwadratowa - odczytywanie wartości i ekstremum funkcji w przedziale.

D

Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych dokładnie wtedy, gdy jej wyróżnik jest ujemny. Dla \(f(x)=x^2+2x+3a\) mamy \(A=1\), \(B=2\), \(C=3a\), więc \[\Delta=2^2-4\cdot1\cdot3a=4-12a.\] Warunek \(\Delta<0\) daje \[4-12a<0,\qquad 12a>4,\qquad a>\frac13.\] **Odpowiedź.** D: \(a>\frac13\)

Zadanie 10. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

\[\frac{f(6)}{f(12)}=\frac7{39}.\]

Ponieważ miejscami zerowymi funkcji kwadratowej są \(-1\) i \(3\), jej postać iloczynowa ma postać \[f(x)=a(x+1)(x-3),\qquad a\neq0.\] Stąd \[\frac{f(6)}{f(12)}=\frac{a(6+1)(6-3)}{a(12+1)(12-3)}=\frac{7\cdot3}{13\cdot9}=\frac7{39}.\]

**2 pkt** – wynik \(\frac7{39}\) **1 pkt** – poprawne wykorzystanie postaci iloczynowej i zapisanie \(f(6)=a\cdot7\cdot3\) lub \(f(12)=a\cdot13\cdot9\) **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4. Funkcje - interpretowanie współczynników funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej (4.10).

\[a=-\frac14,\qquad b=3,\qquad c=0.\]

Skoro zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x)>0\) jest \((0,12)\), miejscami zerowymi są \(0\) i \(12\), a ramiona paraboli są skierowane w dół. Zatem \[f(x)=a x(x-12),\qquad a<0.\] Oś symetrii ma równanie \(x=6\), a największa wartość wynosi \(f(6)=9\). Stąd \[-36a=9,\qquad a=-\frac14.\] Po rozwinięciu: \[f(x)=-\frac14x(x-12)=-\frac14x^2+3x.\] Otrzymujemy \(a=-\frac14\), \(b=3\), \(c=0\).

**5 pkt** – poprawne współczynniki \(a=-\frac14\), \(b=3\), \(c=0\) **4 pkt** – wyznaczenie \(a=-\frac14\) i poprawnej postaci iloczynowej, lecz błąd w rozwinięciu **3 pkt** – wykorzystanie wierzchołka \((6,9)\) do wyznaczenia współczynnika \(a\) **2 pkt** – zapis \(f(x)=ax(x-12)\) i rozpoznanie osi \(x=6\) **1 pkt** – rozpoznanie miejsc zerowych \(0\) i \(12\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje, miejsca zerowe, postać iloczynowa i wierzchołek funkcji kwadratowej.

**A.** \(0\)

Miejsce zerowe spełnia równanie \(f(x)=0\). Podstawiamy \(x=-\frac73\): \[3\cdot\left(-\frac73\right)^2+7\cdot\left(-\frac73\right)+c=0.\] Obliczamy kolejne składniki: \[3\cdot\frac{49}{9}=\frac{49}{3},\qquad 7\cdot\left(-\frac73\right)=-\frac{49}{3},\] więc \[\frac{49}{3}-\frac{49}{3}+c=0,\qquad c=0.\] Sprawdzenie: dla \(c=0\) mamy \(f(x)=3x^2+7x=x(3x+7)\), a jednym z miejsc zerowych jest istotnie \(-\frac73\). **Odpowiedź.** A: \(c=0\)

Zadanie 7. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

\(x\in(-\infty,-7)\cup(3,+\infty)\).

**Krok \(1\).** Mamy nierówność kwadratową. Schemat postępowania jest zawsze taki sam: obliczyć miejsca zerowe trójmianu, naszkicować parabolę i odczytać z rysunku te \(x\), dla których wykres leży po właściwej stronie osi. Ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny, wygodnie najpierw pomnożyć nierówność przez \(-1\). **Krok \(2\).** Mnożymy obie strony przez \(-1\) i zmieniamy zwrot nierówności: \[-x^2-4x+21\lt0\qquad\Longleftrightarrow\qquad x^2+4x-21\gt0.\] **Krok \(3\).** Obliczamy wyróżnik trójmianu \(x^2+4x-21\): \[\Delta=4^2-4\cdot1\cdot(-21)=16+84=100,\qquad\sqrt{\Delta}=10.\] **Krok \(4\).** Wyznaczamy miejsca zerowe: \[x_1=\frac{-4-10}{2}=-7,\qquad x_2=\frac{-4+10}{2}=3.\] (Można też od razu rozłożyć: \(x^2+4x-21=(x+7)(x-3)\).) **Krok \(5\).** Szkicujemy parabolę \(y=x^2+4x-21\). Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc ramiona są skierowane w górę, a wykres przecina oś \(Ox\) w punktach \(-7\) i \(3\). **Krok \(6\).** Interesują nas wartości dodatnie, czyli fragmenty wykresu nad osią \(Ox\). Parabola o ramionach w górę jest nad osią na zewnątrz miejsc zerowych: \[x\in(-\infty,-7)\cup(3,+\infty).\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie: dla \(x=0\) (punkt między pierwiastkami) wyjściowa nierówność daje \(21\lt0\) — fałsz, zgodnie z wynikiem. Dla \(x=4\) mamy \(-16-16+21=-11\lt0\) — prawda, więc \(4\) należy do zbioru rozwiązań. **Uwaga.** Nierówność jest ostra, więc pierwiastki \(-7\) i \(3\) do rozwiązania nie należą — przedziały muszą być otwarte. Można też pracować bez mnożenia przez \(-1\): wtedy parabola \(y=-x^2-4x+21\) ma ramiona w dół i szukamy jej fragmentów pod osią, co również daje przedziały zewnętrzne. **Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,-7)\cup(3,+\infty)\).

**Schemat oceniania** **1 pkt** – jeżeli prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego \(x_1=3\) oraz \(x_2=-7\) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy, albo rozłoży trójmian kwadratowy \(-x^2-4x+21\) na czynniki liniowe i zapisze nierówność […] \(<0\) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy, albo popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, np. \(x_1=\) […] oraz \(x_2=\) […]. **2 pkt** – jeżeli poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci: […], albo poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. **Uwaga:** Akceptujemy zapis: \(x<-7\), \(x>3\).

Zadanie 25. (0–2) Rozwiąż nierówność:  x 2  4x  21  0 . II. Wykorzystanie 3.5. Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną i interpretowanie niewiadomą. reprezentacji. Rozwiązanie Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej f  x  x 2  4x  21.   42  4  1  21  16  84  100   10 4 10 4 10 x   3 oraz x   7 1 2 2 2 lub zapisujemy nierówność w postaci   x  3 x  7  0 . Szkicujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej f i na jego podstawie odczytujemy rozwiązanie nierówności y 21 x -7 0 3 Odpowiedź: x ,  7  3,   . Schemat oceniania Zdający otrzymuje 1 pkt jeżeli:  prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego x  3 oraz x  7 1 2 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy albo 2  rozłoży trójmian kwadratowy x  4x  21 na czynniki liniowe i zapisze nierówność   x  3 x  7  0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy albo  popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność 4  2 17 4  2 17 np. x   2  17 oraz x   2  17 , czyli 1 2 2 2     x  ,  2  17  2  17,   . Zdający otrzymuje 2 pkt jeżeli:  poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci: ,  7  3,   lub x ,  7  3,   lub x  7  x  3 albo  poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów: Uwaga: Akceptujemy zapis: x  7, x  3 .

**B.** \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=0\)

Równanie \(2(x+2)(x-2)=0\) jest zapisane w postaci iloczynowej, więc jego pierwiastkami są \[x_1=-2,\qquad x_2=2.\] Oba są różne od zera, więc odwrotności istnieją. Obliczamy sumę odwrotności: \[\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{-2}+\frac{1}{2}=0.\] **Odpowiedź.** B: \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=0\)

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wyznaczanie miejsca zerowego funkcji kwadratowej (I.4.j).

Równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych.

Zaczynamy od założenia: mianownik nie może być zerem, więc \(x\neq2\). Mnożymy obie strony przez \(x-2\): \[2x+4=(2x+1)(x-2)=2x^2-3x-2,\] skąd \[2x^2-5x-6=0.\] Wyróżnik tego trójmianu wynosi \[\Delta=25+48=73.\] Liczba \(73\) nie jest kwadratem liczby całkowitej, więc \(\sqrt{73}\) jest niewymierny, a pierwiastki \[x=\frac{5\pm\sqrt{73}}{4}\] są liczbami niewymiernymi. Żadna z nich nie jest więc liczbą całkowitą. Można to uzasadnić także bez liczenia pierwiastków: gdyby całkowite \(x\) spełniało \(2x^2-5x-6=0\), to \(x\) dzieliłoby wyraz wolny \(6\), a żadna z liczb \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\) równania nie spełnia. **Odpowiedź.** Żadna liczba całkowita nie spełnia tego równania.

**Schemat oceniania** **1 pkt** – jeżeli doprowadzi równanie do postaci \(ax^2+bx+c=0\), np. \(2x^2-5x-6\) […], i obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego \(ax^2+bx+c\), np. \(\Delta=73\). **2 pkt** – jeżeli poprawnie uzasadni, że równanie \(\frac{2x+4}{[…]}=2x+1\) nie ma rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych, np. przez wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania i zauważenie, że żadne z rozwiązań nie jest liczbą całkowitą.

Zadanie 26. (0–2) 2x  4 Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania  2x 1. x  2 3.8. Zdający rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące x 1 IV. Użycie i tworzenie do równań liniowych lub kwadratowych, np.  2 , x  3 strategii. x 1  2x . x I sposób rozwiązania: Zauważamy, że x  2 . Mnożymy obie strony równania przez x  2 i przekształcamy równanie do postaci równania 2 kwadratowego, np. 2x  5x  6  0 . Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego, znajdującego się po lewej stronie równania.   25  48  73 Zauważamy, że   73 jest liczbą niewymierną. Stwierdzamy, że jeżeli z jednej strony równania występuje trójmian kwadratowy o współczynnikach całkowitych, a z drugiej strony równania liczba zero i  tego trójmianu kwadratowego jest liczbą niewymierną, to równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych. II sposób rozwiązania: Zauważamy, że x  2 . Przenosimy wyrażenie z prawej strony równania na lewą i przekształcamy lewą stronę równania do postaci ilorazu. 2x2  5x  6 Otrzymujemy  0 x  2 2 Mnożymy obie strony równania przez x  2 i otrzymujemy 2x  5x  6  0 . Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej f  x  2x 2  5x  6 .   5 2  4  2  6  25  48  73   73 5  73 5  73 5  73 5  73 x   oraz x   1 2 4 4 4 4 Zauważamy, że rozwiązania są liczbami niewymiernymi. Stwierdzamy, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania. Schemat oceniania Zdający otrzymuje 1 pkt 2 2 jeżeli doprowadzi równanie do postaci ax  bx  c  0 , np. 2x  5x  6  0 , i obliczy 2 wyróżnik trójmianu kwadratowego ax  bx  c , np.   73 Zdający otrzymuje 2 pkt 2x  4 jeżeli poprawnie uzasadni, że równanie  2x 1 nie ma rozwiązań w zbiorze liczb x  2 całkowitych, np. przez wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania i zauważenie, że żadne z rozwiązań nie jest liczbą całkowitą.

**A.** \(x_1=7\), \(x_2=-2\)

Wzór \(y=-3(x-7)(x+2)\) jest zapisany w postaci iloczynowej. Iloczyn jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy zeruje się jeden z czynników (czynnik \(-3\) jest stały i różny od zera): \[x-7=0\ \Rightarrow\ x_1=7,\qquad x+2=0\ \Rightarrow\ x_2=-2.\] Typowy błąd polega na przepisaniu liczb z nawiasów bez zmiany znaku — stąd warianty B, C i D. **Odpowiedź.** A: \(x_1=7\), \(x_2=-2\)

Wykorzystanie i interpretowanie informacji. Odczytanie z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej jej miejsc zerowych (I.4.j).

\[B=\left(\frac{34}5,\frac{17}5\right).\]

Punkt \(B\) leży na prostej \(y=\frac12x\), więc ma postać \(B=\left(t,\frac t2\right)\). Z warunku \(|AC|=|BC|\), gdzie \(A=(2,1)\) i \(C=(1,9)\): \[|AC|^{2}=(2-1)^{2}+(1-9)^{2}=65,\]\[|BC|^{2}=(t-1)^{2}+\left(\frac t2-9\right)^{2}=\frac54t^{2}-11t+82.\] Przyrównując, otrzymujemy \(\frac54t^{2}-11t+17=0\), czyli \(5t^{2}-44t+68=0\). Wyróżnik \(\Delta=576\), więc \[t=\frac{44\pm24}{10}\in\left\{2,\ \frac{34}5\right\}.\] Wartość \(t=2\) daje \(B=A\), co odrzucamy. Zatem \[B=\left(\frac{34}5,\frac{17}5\right).\] **Odpowiedź.** \(B=\left(\frac{34}5,\frac{17}5\right)\)

**1–3 pkt** – równanie wynikające z \(AC=BC\) albo symetralna \(AC\). **4 pkt** – \(B=\left(\tfrac{34}{5},\,\tfrac{17}{5}\right)\).

Zadanie 32. (0–4) Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym AC  BC oraz A   2,1 i C  1, 9 . 1 Podstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej y  x . Oblicz współrzędne wierzchołka B. 2 Użycie i tworzenie strategii Oblicza odległość między punktami, wyznacza środek odcinka, interpretuje współczynniki funkcji liniowej, wyznacza miejsca zerowe funkcji kwadratowej. I sposób rozwiązania: (odległość) 1 Punkt B leży na prostej o równaniu y  x , więc jego współrzędne można zapisać w postaci 2  1  B  x, x . Obliczamy odległość punktu C od punktu A: AC  65 oraz odległość    2  2  x  punktu C od punktu B: BC   x 12   9 . Ponieważ AC  BC , więc możemy    2  2  x  zapisać równanie z jedną niewiadomą  x 12   9  65 , skąd otrzymujemy    2  5 równanie kwadratowe x2 11x 17  0 lub 5x2  44x  68  0 . Równanie to ma dwa 4 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy 34 rozwiązania x  lub x  2 . Ponieważ drugie rozwiązanie tego równania prowadzi 5 do punktu o współrzędnych  2,1 , co oznacza, że otrzymujemy podany w treści zadania  34 17  punkt A, zatem szukany punkt B  , .    5 5  Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania...........................................................................................................1 pkt Obliczenie odległości AC: AC  65 . Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp......................................................................2 pkt 2 2  x   x   zapisanie równania  x 12   9  65 lub  x 12   9  65 lub      2   2   2 y 12   y  92  65 albo  1  1 y  x y  x    zapisanie układu równań:  2 lub  2   x 12   y  92  65  x 12   y  92  65   Pokonanie zasadniczych trudności zadania.....................................................................3 pkt 5 Doprowadzenie do równania kwadratowego, np. x2 11x 17  0 lub 5x2  44x  68  0 4 lub 5 y2  22 y 17  0 . Rozwiązanie pełne ..............................................................................................................4 pkt  34 17  Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka B  , .    5 5  II sposób rozwiązania: (środek odcinka) Niech punkt D będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka C. Wyznaczamy  22 11  równanie prostej CD: y  2x  11 . Obliczamy współrzędne punktu D  , .    5 5  Wyznaczamy współrzędne punktu B:  x  2 22    2 5  wykorzystując na przykład wzór na współrzędne środka odcinka:  y 1 11    2 5 albo  x  2 22    2 5  wykorzystując wzór na współrzędne środka odcinka i równanie prostej:  1  y  x  2 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy albo  porównując długości odcinków AD i DB:  2 2 2 2  22   11   22   11     2    1   x     y     5   5   5   5    1 y  x   2  34 17  Otrzymujemy B  , .    5 5  Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania .......................................................................................................... 1 pkt Wyznaczenie równania prostej CD, np. w postaci y  2x  11 Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt  22 11  Obliczenie współrzędnych punktu D: D  , .    5 5  Uwaga:  y  2x 11  Jeżeli zdający zapisze układ równań:  1 lub analogiczny i popełni błąd y  x   2 rachunkowy w jego rozwiązaniu, to otrzymuje 2 punkty. Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt  34 17  Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka B  , .    5 5  III sposób rozwiązania: (kąt między prostymi) Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AC: a  8 . Zapisujemy równanie: 1 1 1  8  a 2 2 2  , korzystając ze wzoru na tangens kąta między prostymi AC i BC, 1 4 1 1 a 2 2 28 gdzie a jest współczynnikiem kierunkowym prostej BC. Obliczamy a : a   (drugie 2 2 2 29 rozwiązanie tego równania a  8 to współczynnik kierunkowy prostej AC). Zapisujemy 2 28 równanie prostej BC: y    x 1  9 , a następnie wyznaczamy punkt wspólny tej prostej 29 1 i prostej AB o równaniu y  x . Rozwiązujemy układ równań: 2 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy  28   y   x  1  9   29  1  y  x   2  34 17  Otrzymujemy współrzędne szukanego punktu: B  , .    5 5  Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp......................................................................2 pkt Zapisanie równania z niewiadomym współczynnikiem kierunkowym prostej BC: 1 1  8  a 2 2 2  1  4 1 1  a 2 2 Pokonanie zasadniczych trudności zadania.....................................................................3 pkt 28 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej BC: a   . 2 29 Rozwiązanie pełne ..............................................................................................................4 pkt  34 17  Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka B  , jako punktu wspólnego prostych    5 5  1 28 o równaniach y  x oraz y    x 1  9 . 2 29 Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeśli zdający przepisze z błędem współrzędne punktów lub zamieni miejscami liczby będące współrzędnymi danych punktów i rozwiąże konsekwentnie zadanie do końca, to za takie rozwiązanie otrzymuje 4 punkty. Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy

Dla \(c\lt0\) zachodzi \(\Delta=b^{2}-4c\gt0\), więc trójmian ma dwa różne miejsca zerowe.

**Krok \(1\).** Pytanie o liczbę miejsc zerowych trójmianu kwadratowego rozstrzyga znak wyróżnika: dwa różne miejsca zerowe istnieją dokładnie wtedy, gdy \(\Delta\gt0\). Naszym zadaniem jest więc wykazać, że przy założeniu \(c\lt0\) wyróżnik jest dodatni. **Krok \(2\).** Odczytujemy współczynniki trójmianu \(y=x^{2}+bx+c\): przy \(x^{2}\) stoi \(1\), przy \(x\) stoi \(b\), wyrazem wolnym jest \(c\). Wyróżnik wynosi \[\Delta=b^{2}-4\cdot1\cdot c=b^{2}-4c.\] **Krok \(3\).** Pierwszy składnik szacujemy z dołu: kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc \(b^{2}\geq0\). **Krok \(4\).** Drugi składnik szacujemy, korzystając z założenia. Skoro \(c\lt0\), to po pomnożeniu obu stron przez liczbę ujemną \(-4\) znak nierówności się odwraca: \[-4c\gt0.\] **Krok \(5\).** Łączymy oba oszacowania: \[\Delta=b^{2}+(-4c)\geq0+(-4c)=-4c\gt0.\] Zatem \(\Delta\gt0\) dla każdej liczby rzeczywistej \(b\), o ile tylko \(c\lt0\). **Krok \(6\).** Dodatni wyróżnik oznacza, że trójmian ma dwa różne pierwiastki \[x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2},\qquad x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2},\] a to właśnie mieliśmy wykazać. **Uwaga.** Nie wystarczy napisać, że \(b^{2}-4c\gt0\), skoro \(c\lt0\). Trzeba połączyć dwa fakty: nieujemność kwadratu \(b^{2}\geq0\) oraz odwrócenie znaku przy mnożeniu przez liczbę ujemną, czyli \(-4c\gt0\). O współczynniku \(b\) niczego nie zakładamy i zakładać nie trzeba. **Odpowiedź.** Dla \(c\lt0\) zachodzi \(\Delta=b^{2}-4c\geq-4c\gt0\), więc trójmian \(y=x^{2}+bx+c\) ma dwa różne miejsca zerowe.

2 pkt: pełne uzasadnienie, że wyróżnik jest dodatni i trójmian ma dwa różne miejsca zerowe.

Zadanie 31. (0–2) Wykaż, że jeżeli c  0 , to trójmian kwadratowy y  x2  bx  c ma dwa różne miejsca zerowe. Rozumowanie i argumentacja Bada funkcję kwadratową. Rozwiązanie Zapisujemy wyróżnik danego trójmianu kwadratowego:   b2  4c . Ponieważ c  0 to 4c  0 . Stąd  jest sumą dwóch wyrażeń: nieujemnego i dodatniego, czyli jest dodatnia. A zatem trójmian y  x2  bx  c ma dwa różne miejsca zerowe. Schemat oceniania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy uzasadni, że trójmian ma dwa różne miejsca zerowe. Uwaga: Jeżeli zdający podstawi konkretną wartość w miejsce c, to otrzymuje 0 punktów.

\(x\in\langle1,2\rangle\)

**Krok \(1\).** Mamy nierówność kwadratową \(x^2-3x+2\le 0\). Postępujemy standardowo: wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu, szkicujemy parabolę i odczytujemy z wykresu, dla jakich argumentów wartości są niedodatnie. **Krok \(2\).** Liczymy wyróżnik dla \(a=1\), \(b=-3\), \(c=2\): \[\Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1,\qquad \sqrt{\Delta}=1.\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy miejsca zerowe: \[x_1=\frac{3-1}{2}=1,\qquad x_2=\frac{3+1}{2}=2.\] Można też od razu zapisać \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\) i odczytać pierwiastki stamtąd. **Krok \(4\).** Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane do góry. Wartości ujemne przyjmuje ona między pierwiastkami, a wartość \(0\) dokładnie w pierwiastkach. **Krok \(5\).** Szukamy wartości niedodatnich, czyli ujemnych razem z zerami. Do przedziału między pierwiastkami trzeba więc dołączyć jego końce: \[x\in\langle 1,2\rangle.\] **Uwaga.** Znak \(\le\) zamiast \(\lt\) zmienia odpowiedź: przedział jest domknięty, bo liczby \(1\) i \(2\) też spełniają nierówność (dają wartość \(0\), a zero jest niedodatnie). Przy nierówności ostrej odpowiedzią byłby przedział otwarty \((1,2)\). **Odpowiedź.** \(x\in\langle 1,2\rangle\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Obliczam miejsca zerowe funkcji kwadratowej \(f(x)=x^{2}-3x+2\): \[\Delta=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1,\qquad \sqrt{\Delta}=1,\] \[x_{1}=\frac{3-1}{2}=1,\qquad x_{2}=\frac{3+1}{2}=2.\] Rysuję fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) i na jego podstawie odczytuję rozwiązanie nierówności: […] Odpowiedź: \(x\in\langle 1,\,2\rangle\). Uwaga: Można przedstawić funkcję \(f\) w postaci \(f(x)=(x-1)(x-2)\) i odczytać rozwiązanie nierówności.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(A=(-\infty,0)\cup\langle3,+\infty)\), \(B=(-4,2)\). b) \(A\cup B=(-\infty,2)\cup\langle3,+\infty)\) oraz \(A\setminus B=(-\infty,-4\rangle\cup\langle3,+\infty)\).

**Krok \(1\).** Trzeba wyznaczyć dwa zbiory opisane nierównościami, a potem wykonać na nich działania. Zbiór \(A\) dany jest nierównością wymierną — obowiązuje tu żelazna zasada: nie wolno mnożyć obu stron przez \(x\), bo nie znamy jego znaku; zamiast tego przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika. Zbiór \(B\) opisany jest wartością bezwzględną — najprościej odczytać go z interpretacji geometrycznej: \(|x+1|\) to odległość liczby \(x\) od \(-1\). **Krok \(2\).** Zbiór \(A\): najpierw założenie \(x\ne0\). Przekształcamy nierówność: \[\frac3x\leqslant1\iff\frac3x-1\leqslant0\iff\frac{3-x}{x}\leqslant0.\] **Krok \(3\).** Nierówność \(\frac{3-x}{x}\leqslant0\) ma te same rozwiązania co \((3-x)\cdot x\leqslant0\) przy \(x\ne0\) (mnożymy obie strony przez \(x^2\gt0\)). Lewa strona to funkcja kwadratowa o miejscach zerowych \(0\) i \(3\) oraz ramionach skierowanych w dół, więc jest niedodatnia poza przedziałem \(\langle0,3\rangle\): \[x\leqslant0\ \text{ lub }\ x\geqslant3.\] Po uwzględnieniu założenia \(x\ne0\) otrzymujemy \[A=(-\infty,0)\cup\langle3,+\infty).\] **Krok \(4\).** Zbiór \(B\): nierówność \(|x+1|\lt3\) czytamy jako „odległość liczby \(x\) od \(-1\) jest mniejsza niż \(3\)”, czyli \[-3\lt x+1\lt3\iff-4\lt x\lt2.\] Zatem \(B=(-4,2)\). **Krok \(5\).** a) Zaznaczamy oba zbiory na osi liczbowej: \(A\) to cała półprosta na lewo od \(0\) (z punktem \(0\) wykluczonym, kółko puste) oraz półprosta od \(3\) w prawo (z punktem \(3\) włączonym, kółko pełne); \(B\) to odcinek od \(-4\) do \(2\) z obydwoma końcami wykluczonymi. **Krok \(6\).** b) Suma \(A\cup B\): bierzemy wszystko, co należy do któregokolwiek ze zbiorów. Przedziały \((-\infty,0)\) i \((-4,2)\) zachodzą na siebie i sklejają się w \((-\infty,2)\), a przedział \(\langle3,+\infty)\) pozostaje osobno, bo między \(2\) a \(3\) nie ma punktów żadnego z tych zbiorów: \[A\cup B=(-\infty,2)\cup\langle3,+\infty).\] **Krok \(7\).** Różnica \(A\setminus B\): ze zbioru \(A\) usuwamy wszystkie punkty należące do \(B=(-4,2)\). Z części \((-\infty,0)\) zostaje \((-\infty,-4\rangle\) — liczba \(-4\) zostaje, bo nie należy do \(B\) (przedział jest otwarty). Część \(\langle3,+\infty)\) jest rozłączna z \(B\), więc zostaje w całości: \[A\setminus B=(-\infty,-4\rangle\cup\langle3,+\infty).\] **Uwaga.** Najczęstszy błąd to pomnożenie \(\frac3x\leqslant1\) obustronnie przez \(x\): dla \(x\lt0\) trzeba by wtedy odwrócić znak nierówności, a bez rozpatrzenia przypadków wychodzi tylko \(x\geqslant3\) i gubi się całą półprostą ujemną. Pilnuj też domknięć: \(3\) należy do \(A\) (nierówność nieostra), \(0\) nie należy (założenie dziedziny), a \(-4\) należy do \(A\setminus B\), bo \(B\) jest przedziałem otwartym. **Odpowiedź.** a) \(A=(-\infty,0)\cup\langle3,+\infty)\), \(B=(-4,2)\). b) \(A\cup B=(-\infty,2)\cup\langle3,+\infty)\) oraz \(A\setminus B=(-\infty,-4\rangle\cup\langle3,+\infty)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **9.1. (1 pkt)** – zapisanie założenia: \(R\setminus\{0\}\). **9.2. (1 pkt)** – doprowadzenie nierówności wymiernej do postaci \(x(3-x)\leq 0\) lub \(\frac{3-x}{x}\leq 0\), gdzie \(x\neq 0\). **9.3. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności wymiernej: \(x\in(-\infty,\,0)\cup\langle 3,\,\infty)\). **9.4. (1 pkt)** – zaznaczenie zbioru \(A\) na osi liczbowej. **9.5. (1 pkt)** – wykorzystanie geometrycznej interpretacji wartości bezwzględnej do wyznaczenia zbioru \(B\): \(B=(-4,\,2)\). **9.6. (1 pkt)** – zaznaczenie zbioru \(B\) na osi liczbowej. **9.7. (1 pkt)** – wyznaczenie sumy: \(A\cup B=(-\infty,\,2)\cup\langle 3,\,+\infty)\). **9.8. (1 pkt)** – wyznaczenie różnicy: \(A\setminus B=(-\infty,\,-4\rangle\cup\langle 3,\,\infty)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Teza wynika z tego, że \(f(x)=3x^{2}-2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)\) jest funkcją kwadratową, której wyróżnik \(\Delta=2\left[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right]\ge0\) (dowód w rozwiązaniu).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, co trzeba wykazać: że funkcja \(f\) ma co najmniej jedno miejsce zerowe. Po rozwinięciu nawiasów okaże się, że \(f\) jest funkcją kwadratową, a dla funkcji kwadratowej istnienie miejsca zerowego jest równoważne warunkowi \(\Delta\geqslant0\). Cały dowód sprowadza się więc do wyznaczenia wyróżnika i pokazania, że dla dowolnych \(a,b,c\) jest on nieujemny. **Krok \(2\).** Rozwijamy każdy iloczyn: \[(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab,\] \[(x-b)(x-c)=x^2-(b+c)x+bc,\] \[(x-c)(x-a)=x^2-(c+a)x+ca.\] Dodając stronami: \[f(x)=3x^2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ca).\] **Krok \(3\).** Zauważamy rzecz istotną: współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(3\), a więc jest RÓŻNY od zera niezależnie od wartości \(a,b,c\). Funkcja \(f\) zawsze jest zatem funkcją kwadratową (nie może się „zdegenerować” do liniowej) i możemy mówić o jej wyróżniku. **Krok \(4\).** Obliczamy wyróżnik dla \(A=3\), \(B=-2(a+b+c)\), \(C=ab+bc+ca\): \[\Delta=B^2-4AC=4(a+b+c)^2-12(ab+bc+ca).\] **Krok \(5\).** Rozwijamy kwadrat sumy trzech składników: \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\). Wtedy \[\Delta=4a^2+4b^2+4c^2+8(ab+bc+ca)-12(ab+bc+ca)=4(a^2+b^2+c^2)-4(ab+bc+ca).\] **Krok \(6\).** Grupujemy tak, aby powstały pełne kwadraty. Wyłączamy \(2\) przed nawias: \[\Delta=2\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\right).\] Rozdzielamy podwojone kwadraty po jednym do każdej pary: \[2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2),\] czyli \[\Delta=2\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right].\] **Krok \(7\).** Każdy z trzech składników w nawiasie kwadratowym jest kwadratem liczby rzeczywistej, a więc jest nieujemny. Suma liczb nieujemnych jest nieujemna, a po pomnożeniu przez \(2\) nadal jest nieujemna. Zatem \(\Delta\geqslant0\) dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a,b,c\), co oznacza, że funkcja kwadratowa \(f\) ma co najmniej jedno miejsce zerowe. To kończy dowód. **Uwaga.** Teza mówi „CO NAJMNIEJ jedno” miejsce zerowe, więc przypadek \(\Delta=0\) jest dopuszczalny i nie trzeba (ani nie da się) wykazać \(\Delta\gt0\). Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(a=b=c\) — wówczas \(f(x)=3(x-a)^2\) i miejsce zerowe jest jedno, podwójne. Ważne jest też stwierdzenie z kroku \(3\): gdyby współczynnik przy \(x^2\) mógł być zerem, rozumowanie z wyróżnikiem nie miałoby zastosowania. **Odpowiedź.** Teza wynika z tego, że \(f(x)=3x^{2}-2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)\) jest funkcją kwadratową, której wyróżnik \(\Delta=2\left[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right]\ge0\) (dowód w rozwiązaniu).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **12.1. (1 pkt)** – […] postaci ogólnej funkcji kwadratowej: \(f(x)=3x^{2}-2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)\). **12.2. (2 pkt)** – wyznaczenie wyróżnika funkcji kwadratowej (w tym \(1\) p. za metodę oraz \(1\) p. za przekształcenia): \(\Delta=2\left[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right]\). **12.3. (1 pkt)** – uzasadnienie, że wyróżnik jest nieujemny: \(\Delta\ge 0\) dla dowolnych rzeczywistych \(a,b,c\), stąd funkcja \(f\) ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Miejsca zerowe: \(x=-1\) oraz \(x=5\). b) \(f(x)\leqslant0\) dla \(x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle5,+\infty)\). c) \(x=0\) lub \(x=4\).

**Krok \(1\).** W tym zadaniu nie znamy wzoru funkcji \(f\) i wcale nie musimy go szukać — wszystkie trzy odpowiedzi odczytujemy z wykresu. Trzeba tylko wiedzieć, jak każde pytanie wygląda na rysunku: miejsca zerowe to odcięte punktów przecięcia wykresu z osią \(Ox\), nierówność \(f(x)\leqslant0\) opisuje te fragmenty wykresu, które leżą pod osią \(Ox\) lub na niej, a równanie \(f(x)=3\) to punkty wspólne wykresu z poziomą prostą \(y=3\). **Krok \(2\).** Podpunkt a). Patrzymy, w których punktach parabola przebija oś \(Ox\). Dzieje się to dla odciętych \(-1\) oraz \(5\), więc miejsca zerowe funkcji to \(x=-1\) i \(x=5\). **Krok \(3\).** Podpunkt b). Zauważamy kształt wykresu: ramiona paraboli są skierowane w dół, a wierzchołek leży nad osią \(Ox\). Wynika stąd, że między miejscami zerowymi wykres biegnie nad osią (wartości dodatnie), a na zewnątrz miejsc zerowych — pod osią (wartości ujemne). **Krok \(4\).** Szukamy argumentów, dla których wykres jest pod osią albo jej dotyka. To wszystkie \(x\) na lewo od \(-1\) i na prawo od \(5\), razem z samymi miejscami zerowymi, bo nierówność jest nieostra: \[x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle5,+\infty).\] **Krok \(5\).** Podpunkt c). Prowadzimy poziomą prostą \(y=3\) i odczytujemy odcięte jej punktów wspólnych z parabolą. Są to \(x=0\) oraz \(x=4\). **Krok \(6\).** Odczyt z rysunku zawsze warto skontrolować rachunkiem. Oś symetrii paraboli przechodzi przez środek odcinka o końcach w miejscach zerowych, czyli przez \(x=\frac{-1+5}{2}=2\). Punkty \(0\) i \(4\) leżą w tej samej odległości \(2\) od osi symetrii, a więc naprawdę mają tę samą wartość funkcji — odczyt jest spójny. **Uwaga.** W podpunkcie b) nierówność jest nieostra (\(\leqslant\)), więc miejsca zerowe \(-1\) i \(5\) należą do zbioru rozwiązań — końce przedziałów muszą być domknięte. Gdyby w treści było \(f(x)\lt0\), końce trzeba by wyłączyć. **Odpowiedź.** a) Miejsca zerowe: \(x=-1\) i \(x=5\). b) \(x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle5,+\infty)\). c) \(x=0\) lub \(x=4\).

**1. (1 pkt)** – wykonanie polecenia a). Odp. \(x=-1\), \(x=5\) **2. (1 pkt)** – wykonanie polecenia b). Odp. \(x\in(-\infty,\,-1\rangle\cup\langle 5,\,+\infty)\) **3. (2 pkt)** – wykonanie polecenia c). Odp. \(x=0\) lub \(x=4\). Za każde z rozwiązań równania – \(1\) punkt.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(a=1\), \(b=2\), czyli \(f(x)=x^{2}+2x-3\); b) \(x_{1}=-3\), \(x_{2}=1\).

**Krok \(1\).** Ze wzorów Viety iloczyn miejsc zerowych jest równy \(x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{-3}{a}\). Z warunku \(x_{1}x_{2}=-3\) otrzymujemy \(\frac{-3}{a}=-3\), zatem \(a=1\). **Krok \(2\).** Ponieważ \(a=1\gt 0\), parabola ma ramiona skierowane do góry, więc funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą drugiej współrzędnej wierzchołka: \[q=-\frac{\Delta}{4a}=-4\quad\Longrightarrow\quad \Delta=16a=16.\] **Krok \(3\).** Obliczamy wyróżnik: \(\Delta=b^{2}-4a\cdot(-3)=b^{2}+12\). Stąd \(b^{2}+12=16\), czyli \(b^{2}=4\), a wobec warunku \(b\gt 0\) mamy \(b=2\). Ponadto \(\Delta=16\gt 0\), więc funkcja rzeczywiście ma dwa różne miejsca zerowe. **Krok \(4\).** Zatem \(f(x)=x^{2}+2x-3\) oraz \[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2\pm 4}{2},\] czyli \(x_{1}=-3\), \(x_{2}=1\). Sprawdzenie: \(x_{1}x_{2}=-3\), a wartość najmniejsza to \(f(-1)=-4\). **Odpowiedź.** \(a=1\), \(b=2\); miejsca zerowe: \(x_{1}=-3\), \(x_{2}=1\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **8.1. (1 pkt)** – zapisanie warunku pozwalającego wyznaczyć \(a\): \(-\frac{3}{a}=-3\) **8.2. (1 pkt)** – zapisanie warunku pozwalającego wyznaczyć \(b\): \(-\frac{\Delta}{4a}=-4\) **8.3. (1 pkt)** – wyznaczenie \(a\): \(a=1\) **8.4. (1 pkt)** – wyznaczenie \(b\): \(b=2\) **8.5. (1 pkt)** – obliczenie miejsc zerowych funkcji \(f\): \(x_{1}=-3,\; x_{2}=1\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.