Funkcja liniowa — wykres, współczynnik kierunkowy i monotoniczność

**P, F.** Funkcja \(f\) jest rosnąca, ponieważ jej współczynnik kierunkowy jest równy \(3>0\). Wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-4)\), a nie w punkcie \((0,4)\).

Rozstrzygamy oba stwierdzenia osobno, korzystając z interpretacji współczynników funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\). \(1\). Współczynnik kierunkowy jest równy \(a=3\). Ponieważ \(3>0\), funkcja \(f\) jest rosnąca. Stwierdzenie jest **prawdziwe**. \(2\). Punkt przecięcia wykresu z osią \(Oy\) ma odciętą \(0\), więc obliczamy \[f(0)=3\cdot0-4=-4.\] Wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-4)\), a nie \((0,4)\). Stwierdzenie jest **fałszywe**. **Odpowiedź.** \(1\). P, \(2\). F

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. V.5) Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej.

**B.** Funkcja \(f\) jest rosnąca, a jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-4)\).

We wzorze funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\) współczynnik kierunkowy decyduje o monotoniczności, a wyraz wolny — o punkcie przecięcia wykresu z osią \(Oy\). Tutaj \(a=3>0\), więc funkcja \(f\) jest rosnąca. To wyklucza warianty A i C. Wyraz wolny wynosi \(-4\), a ponieważ \(f(0)=3\cdot0-4=-4\), wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-4)\). To wyklucza wariant D. **Odpowiedź.** B

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.7) Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej.

**F, F.** Wykres jest malejący, więc \(a<0\), i przecina oś \(Oy\) poniżej początku układu, więc \(b<0\).

Oba stwierdzenia rozstrzygamy, odczytując z rysunku położenie prostej. \(1\). Wykres opada od lewej ku prawej, więc funkcja \(f\) jest malejąca, a to znaczy, że współczynnik kierunkowy jest ujemny: \(a<0\). Potwierdza to zaznaczony kąt \(\alpha\) — jest rozwarty, a \(\operatorname{tg}\alpha=a<0\). Stwierdzenie „\(a\) jest liczbą dodatnią” jest więc **fałszywe**. \(2\). Współczynnik \(b\) jest rzędną punktu przecięcia wykresu z osią \(Oy\), bo \(f(0)=b\). Z rysunku odczytujemy, że wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-3)\), czyli poniżej początku układu współrzędnych. Zatem \(b=-3<0\) i drugie stwierdzenie również jest **fałszywe**. **Odpowiedź.** \(1\). F, \(2\). F

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.5) Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej.

**A.** \(\tan\alpha=-\frac{3}{2}\)

Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta jej nachylenia do osi \(Ox\), czyli \(a=\operatorname{tg}\alpha\). Z rysunku odczytujemy dwa punkty prostej o współrzędnych całkowitych: punkt przecięcia z osią \(Ox\), czyli \((-2,0)\), oraz punkt przecięcia z osią \(Oy\), czyli \((0,-3)\). Stąd \[a=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac32.\] Zatem \(\operatorname{tg}\alpha=-\frac32\). Znak ujemny jest zgodny z rysunkiem: kąt \(\alpha\) jest rozwarty, a tangens kąta rozwartego jest ujemny — to od razu wyklucza warianty C i D. **Odpowiedź.** A: \(\operatorname{tg}\alpha=-\frac32\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.11) Zdający wykorzystuje własności funkcji liniowej […] do interpretacji zagadnień geometrycznych […].

**F, P**

Funkcja jest malejąca, gdy \(k+2<0\), czyli gdy \(k<-2\); pierwsze stwierdzenie jest fałszywe. Dla \(k=4\) mamy \(f(0)=k-3=1\); drugie stwierdzenie jest prawdziwe. Odpowiedź: **F, P**.

**1 pkt** – poprawna ocena obu stwierdzeń: **F, P** **0 pkt** – odpowiedź niepełna, niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** V.5) Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej.

**D.** Miejsce zerowe spełnia \(\frac{1}{2}x-k=0\), więc \(x_0=2k\). Warunek \(2k>2\) daje \(k>1\), czyli \(k\in(1,+\infty)\).

Miejsce zerowe funkcji liniowej wyznaczamy z równania \(f(x)=0\): \[\frac12x-k=0,\qquad x_0=2k.\] Warunek z treści zadania mówi, że \(x_0>2\), więc \[2k>2,\qquad k>1.\] Liczba \(k\) należy zatem do przedziału \((1,+\infty)\). **Odpowiedź.** D: \((1,+\infty)\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: 4.7) Interpretuje współczynniki we wzorze funkcji liniowej.

**D.** Miejsce zerowe spełnia \(\frac{1}{2}x-k=0\), więc \(x_0=2k\). Warunek \(2k>2\) daje \(k>1\), czyli \(k\in(1,+\infty)\).

Miejsce zerowe funkcji liniowej wyznaczamy z równania \(f(x)=0\): \[\frac12x-k=0,\qquad x_0=2k.\] Warunek z treści zadania mówi, że \(x_0>2\), więc \[2k>2,\qquad k>1.\] Liczba \(k\) należy zatem do przedziału \((1,+\infty)\). **Odpowiedź.** D: \((1,+\infty)\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: V.5) Interpretuje współczynniki we wzorze funkcji liniowej.

**A.** \(m=-2\)

Wykresy dwóch funkcji liniowych nie mają punktów wspólnych, gdy proste są równoległe i różne. Ich współczynniki kierunkowe muszą być równe: \[2m+7=3.\] Stąd \(2m=-4\), więc \(m=-2\). Wyrazy wolne są różne, ponieważ wynoszą \(5\) i \(0\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** V.5) Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej.

**C.** Funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego, gdy jej współczynnik kierunkowy jest równy \(0\), a wyraz wolny jest niezerowy. Zatem \(3-m=0\), czyli \(m=3\).

Funkcja \(f(x)=(3-m)x-4\) jest funkcją liniową o współczynniku kierunkowym \(a=3-m\) i wyrazie wolnym \(b=-4\). Jeśli \(a\ne0\), to równanie \(ax-4=0\) ma dokładnie jedno rozwiązanie \(x=\frac{4}{a}\), więc miejsce zerowe istnieje. Jeśli natomiast \(a=0\), to funkcja jest stała: \(f(x)=-4\) dla każdego \(x\). Ponieważ \(-4\ne0\), funkcja nie przyjmuje wartości zero, czyli miejsca zerowego nie ma. Warunek ten daje \[3-m=0,\qquad m=3.\] To właśnie przypadek \(a=0\) rozstrzyga zadanie: dla \(m=-3\), \(m=0\) i \(m=4\) współczynnik kierunkowy jest różny od zera i miejsce zerowe istnieje. **Odpowiedź.** C: \(m=3\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.5) Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej; V.6) Zdający wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach.

**A.** Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez \((-3,0)\) i \((0,-\frac32)\) wynosi \(-\frac12\). Zatem \(g(x)=-\frac12x-\frac32\).

Z treści zadania znamy dwa punkty wykresu funkcji \(g\): miejsce zerowe daje punkt \((-3,0)\), a wartość dla argumentu \(0\) — punkt \(\left(0,-\frac32\right)\). Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez te punkty wynosi \[a=\frac{-\frac32-0}{0-(-3)}=\frac{-\frac32}{3}=-\frac12.\] Wyraz wolny odczytujemy bezpośrednio: \(b=g(0)=-\frac32\). Zatem \[g(x)=-\frac12x-\frac32.\] Sprawdzenie: \(g(-3)=\frac32-\frac32=0\), zgodnie z treścią zadania. **Odpowiedź.** A: \(g(x)=-\frac12x-\frac32\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.6) Zdający wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach.

D. \(5\)

**Krok \(1\).** Miejsce zerowe funkcji to taki argument, dla którego wartość funkcji wynosi \(0\). Skoro miejscem zerowym jest \(2\), to warunek zadania zapisujemy jako \(f(2)=0\) — i to jest równanie z niewiadomą \(m\). **Krok \(2\).** Podstawiamy \(x=2\) do wzoru \(f(x)=(3-m)x+4\): \[(3-m)\cdot2+4=0.\] **Krok \(3\).** Wymnażamy nawias przez \(2\): \[6-2m+4=0.\] **Krok \(4\).** Redukujemy wyrazy liczbowe: \[10-2m=0.\] **Krok \(5\).** Rozwiązujemy: \[2m=10,\qquad m=5.\] **Krok \(6\).** Sprawdzenie: dla \(m=5\) mamy \(f(x)=(3-5)x+4=-2x+4\), a wtedy \(f(2)=-4+4=0\). Zgadza się, a przy okazji \(3-m=-2\neq0\), więc funkcja rzeczywiście jest liniowa. **Uwaga.** Odpowiedź B (\(m=3\)) jest pułapką: wtedy \(f(x)=0\cdot x+4=4\), czyli funkcja stała, która nie ma żadnego miejsca zerowego. **Odpowiedź.** D: \(5\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.6) Zdający wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji […] o jej własnościach.

**\(1\). P, \(2\). F.**

Wykres funkcji przechodzi przez punkty \((0,4)\) oraz \((2,0)\). Jego współczynnik kierunkowy jest równy \[a=\frac{0-4}{2-0}=-2,\] więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe. Trójkąt ograniczony osiami i wykresem ma przyprostokątne długości \(2\) oraz \(4\), zatem jego pole wynosi \[P=\frac12\cdot2\cdot4=4.\] Nie jest ono równe \(8\), więc drugie stwierdzenie jest fałszywe.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **PF** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów. **Wymagania szczegółowe:** V.6) Zdający wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub własnościach. V.11) Zdający wykorzystuje własności funkcji liniowej do interpretacji zagadnień geometrycznych.

**D.** \(k\in\left(\frac32,+\infty\right)\)

Funkcja liniowa jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest ujemny. Zatem \[-2k+3<0,\] \[-2k<-3,\] \[k>\frac32.\] Stąd \(k\in\left(\frac32,+\infty\right)\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.5) Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej.

**D.** \(a=\frac{7}{2}\)

**Krok \(1\).** Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero. Warunek „obie funkcje mają to samo miejsce zerowe” wykorzystujemy tak: najpierw liczymy miejsce zerowe funkcji \(f\) (jest w pełni znana), a potem żądamy, żeby \(g\) też się w tym punkcie zerowała. **Krok \(2\).** Szukamy miejsca zerowego funkcji \(f\): \[3x+6=0.\] **Krok \(3\).** Przenosimy \(6\) na prawą stronę i dzielimy przez \(3\): \[3x=-6,\qquad x=-2.\] **Krok \(4\).** Skoro \(g\) ma to samo miejsce zerowe, to \(g(-2)=0\). Podstawiamy \(x=-2\) do wzoru funkcji \(g\): \[a\cdot(-2)+7=0.\] **Krok \(5\).** Rozwiązujemy to równanie ze względu na \(a\): \[-2a=-7,\qquad a=\frac{-7}{-2}=\frac72.\] **Krok \(6\).** Sprawdzenie: dla \(a=\frac72\) mamy \(g(x)=\frac72x+7\), a wtedy \(g(-2)=\frac72\cdot(-2)+7=-7+7=0\). Zgadza się. **Uwaga.** Miejscem zerowym funkcji \(f(x)=3x+6\) jest \(-2\), a nie \(2\) — przy przenoszeniu \(6\) na drugą stronę zmienia się znak. Ta jedna pomyłka daje \(a=-\frac72\), czyli odpowiedź A. **Odpowiedź.** D: \(a=\frac72\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.6) Zdający wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach.

**A.** \(16{,}8\)

Masa bańki z \(x\) litrami mleka jest równa \[g(x)=1{,}03x+6{,}5.\] Funkcja jest rosnąca, a \(x\in[0,10]\), więc największą wartość przyjmuje dla \(x=10\): \[g(10)=1{,}03\cdot10+6{,}5=16{,}8.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.1) Zdający określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu lub opisu słownego. 4.3) Zdający odczytuje własności funkcji, w tym wartość największą. 4.11) Zdający wykorzystuje własności funkcji liniowej do interpretacji zagadnień osadzonych w kontekście praktycznym.

**D.** \(g(x)=1{,}03x+6{,}5\)

Masa pustej bańki, czyli \(6{,}5\ \mathrm{kg}\), jest wyrazem wolnym. Każdy litr mleka zwiększa masę o \(1{,}03\ \mathrm{kg}\), więc współczynnik przy \(x\) jest równy \(1{,}03\). Stąd \[g(x)=1{,}03x+6{,}5.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.1) Zdający określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu lub opisu słownego. 4.6) Zdający wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji. 4.11) Zdający wykorzystuje własności funkcji liniowej do interpretacji zagadnień osadzonych w kontekście praktycznym.

\[\sin\alpha=\frac12,\qquad y_P=-3.\]

Współczynnik kierunkowy wykresu funkcji jest równy tangensowi kąta nachylenia do osi \(Ox\): \[\tan\alpha=\frac{\sqrt3}{3}=\tan30^\circ.\] Ponieważ \(\alpha\) jest ostry, \(\alpha=30^\circ\), a zatem \[\sin\alpha=\sin30^\circ=\frac12.\] Wykres przecina oś \(Oy\) dla \(x=0\). Mamy \[f(0)=-3,\] więc \(P=(0,-3)\) i \(y_P=-3\).

**2 pkt** – wyznaczenie obu wartości: \(\sin\alpha=\frac12\) oraz \(y_P=-3\) **1 pkt** – wyznaczenie jednej z tych wartości **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.7) Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej.

**F, P.**

Masa bańki wraz z mlekiem jest opisana funkcją \[f(x)=1{,}03x+6{,}5,\qquad x\in[0,10].\] Współczynnik kierunkowy \(1{,}03\) jest dodatni, więc funkcja \(f\) jest rosnąca. Pierwsze stwierdzenie jest zatem fałszywe. Dla każdego \(x\in[0,10]\) zachodzi \(f(x)\geq f(0)=6{,}5>0\), więc funkcja nie ma miejsc zerowych w swojej dziedzinie. Drugie stwierdzenie jest prawdziwe.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **F, P** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów i tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.1) Zdający określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego [...]. V.3) Zdający odczytuje i interpretuje wartości funkcji [...]. V.11) Zdający wykorzystuje własności funkcji liniowej [...] do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym.

**A.** \(16{,}8\).

Funkcja \(f(x)=1{,}03x+6{,}5\) jest rosnąca na przedziale \([0,10]\), więc największą wartość przyjmuje dla \(x=10\): \[f(10)=1{,}03\cdot10+6{,}5=10{,}3+6{,}5=16{,}8.\] Poprawna jest odpowiedź **A**.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów i tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.1) Zdający określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego [...]. V.3) Zdający odczytuje i interpretuje wartości funkcji [...]. V.11) Zdający wykorzystuje własności funkcji liniowej [...] do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym.

**D.** \(f(x)=1{,}03x+6{,}5\).

Stała \(6{,}5\) jest masą pustej bańki. Każdy litr mleka zwiększa masę o \(1{,}03\,\mathrm{kg}\), więc dla \(x\) litrów mleka \[f(x)=6{,}5+1{,}03x=1{,}03x+6{,}5.\] Poprawna jest odpowiedź **D**.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów i tabel. **Wymagania szczegółowe:** V.1) Zdający określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego [...]. V.6) Zdający wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach.

**B.** \(a>0\) i \(b<0\)

Wykres rośnie, więc współczynnik kierunkowy jest dodatni: \(a>0\). Przecina oś \(Oy\) poniżej osi \(Ox\), zatem wyraz wolny jest ujemny: \(b<0\).

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i tworzenie informacji; interpretowanie informacji przedstawionych na wykresie. **Wymagania szczegółowe:** V.5 interpretowanie współczynników występujących we wzorze funkcji liniowej.

**B.** \(Q=-3P+27\)

Każdy wzrost ceny o \(1\) powoduje spadek liczby kupujących o \(3\), więc współczynnik kierunkowy wynosi \(-3\). Zapisujemy \[Q=-3P+b.\] Dla \(P=5\) mamy \(Q=12\), zatem \[12=-3\cdot5+b,\] czyli \(b=27\). Otrzymujemy \(Q=-3P+27\).

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II i III wykorzystanie i tworzenie informacji oraz dobieranie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.6 i V.11 wyznaczanie wzoru funkcji liniowej z jej własności oraz wykorzystywanie funkcji liniowej do interpretacji zagadnień praktycznych.

**A.** \(m=-2\)

Wykresami obu funkcji są proste. Dwie proste nie mają punktów wspólnych dokładnie wtedy, gdy są równoległe i różne, czyli gdy mają równe współczynniki kierunkowe, a różne wyrazy wolne. Współczynnik kierunkowy funkcji \(f\) jest równy \(2m+3\), a funkcji \(g\) — równy \(-1\). Warunek równoległości: \[2m+3=-1,\qquad 2m=-4,\qquad m=-2.\] Wyrazy wolne to \(5\) oraz \(0\); są różne niezależnie od \(m\), więc proste istotnie się nie pokrywają. Sprawdzenie inną drogą: równanie \(f(x)=g(x)\) ma postać \((2m+3)x+5=-x\), czyli \((2m+4)x=-5\). Równanie to nie ma rozwiązań dokładnie wtedy, gdy \(2m+4=0\), czyli \(m=-2\). **Odpowiedź.** A: \(m=-2\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu. **Wymagania szczegółowe:** V.5) Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej.

**D.** \(g(x)=x-1\)

Współczynnik kierunkowy wykresu funkcji \(f\) jest równy \(-1\). Prosta prostopadła ma współczynnik kierunkowy \(1\), więc \[g(x)=x+b.\] Ponieważ wykres przechodzi przez \(P=(0,-1)\), mamy \(b=-1\). Zatem \[g(x)=x-1.\]

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Element podstawy programowej:** geometria analityczna i funkcja liniowa; zdający wyznacza równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez dany punkt.

**D.** \(g(x)=x-1\)

Współczynnik kierunkowy wykresu funkcji \(f\) wynosi \(-1\). Prosta prostopadła ma współczynnik \(1\), więc \[g(x)=x+b.\] Ponieważ wykres przechodzi przez \(P=(0,-1)\), otrzymujemy \(b=-1\). Zatem \[g(x)=x-1.\]

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** IX.2 zdający posługuje się równaniem prostej w postaci kierunkowej i wyznacza prostą prostopadłą do danej.

**P, F**

Miejsce zerowe spełnia równanie \[-\frac16x+\frac23=0.\] Po pomnożeniu przez \(6\) otrzymujemy \(-x+4=0\), więc \(x=4\). Pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe. Dla \(x=0\) mamy \(f(0)=\frac23\), dlatego wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(\left(0,\frac23\right)\), a nie \(\left(0,-\frac16\right)\). Drugie stwierdzenie jest fałszywe.

**1 pkt** – odpowiedzi **P, F** **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** V.5 interpretowanie współczynników występujących we wzorze funkcji liniowej.

**C.** \(a<0\) i \(b>0\)

Wykres funkcji jest malejący, więc jej współczynnik kierunkowy spełnia \(a<0\). Wykres przecina dodatnią część osi \(Oy\), więc wyraz wolny spełnia \(b>0\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** V.5 zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej.

**C.** \(f(x)=-2x+2\)

Miejsce zerowe \(x=1\) oznacza, że wykres przechodzi przez punkt \((1,0)\). Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez \((1,0)\) i \((-1,4)\) wynosi \[a=\frac{4-0}{-1-1}=-2.\] Zatem \[f(x)=-2(x-1)=-2x+2.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje - wyznaczanie wzoru funkcji liniowej na podstawie dwóch punktów wykresu.

**B.** \(-13\)

Ponieważ punkt \(M=(3,-2)\) należy do wykresu funkcji, mamy \[-2=f(3)=5\cdot3+b-4=11+b.\] Stąd \(b=-13\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.6 wyznaczanie wzoru funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub jej wykresie.

**D.** \(12\)

Miejsce zerowe spełnia równanie \[-\frac13(x+3)+5=0.\] Stąd \(x+3=15\), a więc \(x=12\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.2 obliczanie ze wzoru wartości funkcji i wyznaczanie argumentu, dla którego funkcja przyjmuje daną wartość.

**B.** \(m>2{,}5\)

**Krok \(1\).** Funkcja liniowa \(f(x)=ax+b\) jest rosnąca dokładnie wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni. Wystarczy więc odczytać, co w tym wzorze pełni rolę \(a\), i zapisać jeden warunek. **Krok \(2\).** We wzorze \(f(x)=(2m-5)x+22\) współczynnikiem kierunkowym jest cały nawias: \[a=2m-5.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy warunek monotoniczności rosnącej: \[2m-5\gt0.\] **Krok \(4\).** Rozwiązujemy tę nierówność: \[2m\gt5\quad\Longrightarrow\quad m\gt\frac52=2{,}5.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy na przykładach: dla \(m=3\) mamy \(f(x)=x+22\), czyli funkcję rosnącą; dla \(m=2\) mamy \(f(x)=-x+22\), czyli malejącą. **Uwaga.** Wyraz wolny \(22\) nie ma wpływu na monotoniczność. Nierówność musi być ostra: dla \(m=2{,}5\) wzór to \(f(x)=22\), a funkcja stała nie jest rosnąca. **Odpowiedź.** B, czyli \(m\gt2{,}5\).

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** IV.4 korzystanie z własności funkcji liniowej, w tym z warunku jej monotoniczności.

**B.** \(b=6\)

Punkt \(A=(-1,3)\) leży na prostej \(y=3x+b\). Podstawiamy jego współrzędne: \[3=3\cdot(-1)+b.\] Stąd \[3=-3+b,\qquad b=6.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** IX.2 posługiwanie się równaniem prostej w postaci kierunkowej i wyznaczanie równania prostej o zadanych własnościach.

**B.** \(3{,}6\text{ m}\)

Największa głębokość basenu występuje w odległości \(25\text{ m}\) od płytszego brzegu. Obliczamy \[y(25)=0{,}18\cdot25-0{,}9=4{,}5-0{,}9=3{,}6.\] Największa głębokość jest więc równa \(3{,}6\text{ m}\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów. **Wymagania szczegółowe:** V.2 obliczanie wartości funkcji zadanej wzorem algebraicznym.

\[a=0{,}04,\qquad b=1{,}2.\]

W najpłytszym miejscu, dla \(x=0\), głębokość wynosi \(1{,}2\text{ m}\), zatem \[b=y(0)=1{,}2.\] W punkcie połączenia obu części dna, dla \(x=15\), mamy \[y(15)=0{,}18\cdot15-0{,}9=1{,}8.\] Ciągłość przekroju daje \[15a+1{,}2=1{,}8,\] \[15a=0{,}6,\qquad a=0{,}04.\]

**2 pkt** – poprawne obliczenie wartości współczynnika \(a=0{,}04\) **1 pkt** – poprawne obliczenie wartości współczynnika \(b=1{,}2\) **0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów. **Wymagania szczegółowe:** V.5 i V.6 interpretowanie współczynników we wzorze funkcji liniowej oraz wyznaczanie wzoru funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub własnościach.

**D.** \(m=9\)

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe: \[\frac{m-3}{2}=3.\] Stąd \(m-3=6\), czyli \(m=9\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.7 interpretowanie współczynników we wzorze funkcji liniowej.

\[f(x)=3x+2.\]

Zapisujemy funkcję liniową w postaci \(f(x)=ax+b\). Z warunku \(f(0)=2\) otrzymujemy \(b=2\). Ponadto \[f(4)-f(2)=(4a+2)-(2a+2)=2a.\] Ponieważ \(f(4)-f(2)=6\), mamy \[2a=6,\qquad a=3.\] Zatem \[f(x)=3x+2.\]

**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody, wyznaczenie \(a=3\), \(b=2\) i zapisanie \(f(x)=3x+2\) **1 pkt** – zapisanie \(b=2\), równania wynikającego z warunków zadania albo poprawne obliczenie współczynnika kierunkowego \(a=3\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III. modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** 4.6 wyznaczanie wzoru funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji.

**C.** \(a=1\)

Nieconstantna funkcja liniowa określona na \(\mathbb R\) nie ma wartości najmniejszej. Funkcja osiąga minimum równe \(3\) tylko wtedy, gdy jest stała i ma postać \(f(x)=3\). Zatem \[a-1=0,\qquad a=1.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.7 interpretowanie współczynników we wzorze funkcji liniowej.

**C.** \(a=4\)

Liczba \(-1\) jest miejscem zerowym, więc \[f(-1)=0.\] Zatem \[-a+4=0,\qquad a=4.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.6 wyznaczanie współczynników funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji.

**D.** \(a\cdot b<0\)

Wykres funkcji jest malejący, więc współczynnik kierunkowy jest ujemny: \[a<0.\] Wykres przecina oś \(Oy\) powyżej zera, zatem wyraz wolny jest dodatni: \[b>0.\] Iloczyn liczb o przeciwnych znakach jest ujemny, więc \[a\cdot b<0.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.7 interpretowanie współczynników występujących we wzorze funkcji liniowej.

C. m = \(\frac{11}{4}\)

**Krok \(1\).** adanie \(13\). (\(0\)—\(1\)) **Krok \(2\).** Wymaganie ogólne **Krok \(3\).** II. Wykorzystanie **Krok \(4\).** i interpretowanie **Krok \(5\).** reprezentacji. **Krok \(6\).** Wymaganie szczegółowe **Krok \(7\).** \(8\). Geometria na płaszczyźnie **Krok \(8\).** kartezjańskiej. Zdający bada **Odpowiedź.** C. m = \(\frac{11}{4}\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Poprawna odpowiedź: \(\mathrm{C}\)

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych (8.2).

**D.** \(b=-2\)

Punkt należy do wykresu funkcji, gdy jego współrzędne spełniają wzór funkcji. Podstawiamy \(x=\frac13\) oraz \(f(x)=-1\) do wzoru \(f(x)=3x+b\): \[-1=3\cdot\frac13+b.\] Stąd \[-1=1+b,\qquad b=-2.\] Sprawdzenie: dla \(b=-2\) mamy \(f\!\left(\frac13\right)=1-2=-1\), zgodnie z treścią zadania. **Odpowiedź.** D: \(b=-2\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 16. (0–1) **Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** 4.6) Zdający wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie.

**A.** \(m=\frac16\)

Punkt \(P=(-3,7)\) należy do wykresu, więc \(f(-3)=7\): \[7=(2m-1)(-3)+5.\] Po uporządkowaniu \[7=-6m+3+5,\qquad -6m=-1,\qquad m=\frac16.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.2 wykorzystywanie informacji o punkcie należącym do wykresu funkcji.

**B.** \(m=\frac23\)

Proste o współczynnikach kierunkowych \(a_1\) i \(a_2\) są prostopadłe dokładnie wtedy, gdy \(a_1a_2=-1\): \[(m-2)\cdot\frac34=-1\quad\Longrightarrow\quad m-2=-\frac43\quad\Longrightarrow\quad m=\frac23.\] **Odpowiedź.** \(m=\frac23\), czyli wariant **B**

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 12. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.

**C.** \(k=3\)

Miejsce zerowe funkcji \(f\) spełnia równanie \[-4x+12=0,\] więc \(x=3\). Ponieważ funkcje mają wspólne miejsce zerowe, musi zachodzić \[g(3)=-2\cdot3+k+3=k-3=0.\] Stąd \(k=3\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera osobnej tabeli wymagań dla zadań zamkniętych. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje - wyznaczanie miejsca zerowego funkcji liniowej.

C

Miejsce zerowe to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość \(0\). Podstawiamy \(x=\frac34\) do wzoru \(f(x)=(a+1)x+11\) i przyrównujemy do zera: \[(a+1)\cdot\frac34+11=0.\] Stąd \[(a+1)\cdot\frac34=-11,\qquad a+1=-\frac{44}{3},\qquad a=-\frac{44}{3}-1=-\frac{47}{3}.\] Sprawdzenie: dla \(a=-\frac{47}{3}\) mamy \(a+1=-\frac{44}{3}\), a wtedy \(f\!\left(\frac34\right)=-\frac{44}{3}\cdot\frac34+11=-11+11=0\). **Odpowiedź.** C: \(a=-\frac{47}{3}\)

Zadanie 5. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

**A.** \(m>\frac1{\sqrt5}\)

**Krok \(1\).** Wzór \(f(x)=\left(m\sqrt5-1\right)x+3\) opisuje funkcję liniową \(f(x)=ax+b\), w której współczynnikiem kierunkowym jest cała liczba \(a=m\sqrt5-1\), a wyrazem wolnym \(b=3\). O monotoniczności funkcji liniowej decyduje wyłącznie znak współczynnika kierunkowego: funkcja jest rosnąca dokładnie wtedy, gdy \(a\gt0\). **Krok \(2\).** Zapisujemy więc warunek: \[m\sqrt5-1\gt0.\] **Krok \(3\).** Przenosimy \(-1\) na prawą stronę: \[m\sqrt5\gt1.\] **Krok \(4\).** Dzielimy obie strony przez \(\sqrt5\). Liczba \(\sqrt5\) jest dodatnia, więc znak nierówności **nie** zmienia się: \[m\gt\frac{1}{\sqrt5}.\] **Krok \(5\).** Dla porządku można usunąć niewymierność z mianownika: \[\frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}\approx0{,}45.\] **Uwaga.** Wyraz wolny \(3\) nie ma żadnego wpływu na to, czy funkcja rośnie — przesuwa tylko wykres w górę. Warunek dotyczy wyłącznie współczynnika przy \(x\). **Odpowiedź.** A: \(m\gt\frac{1}{\sqrt5}\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje odpowiedzi, bez osobnej tabeli wymagań. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcja liniowa - monotoniczność zależna od znaku współczynnika kierunkowego.

**C.** \(2\sqrt3-1\)

Miejsce zerowe spełnia równanie \[3(x+1)-6\sqrt3=0.\] Stąd \(3(x+1)=6\sqrt3\), więc \(x+1=2\sqrt3\) i ostatecznie \[x=2\sqrt3-1.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.2 obliczanie ze wzoru wartości funkcji dla danego argumentu oraz wyznaczanie argumentu, dla którego funkcja przyjmuje daną wartość.

**D.** \(m=5\)

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe: \[2m+2=3m-3.\] Stąd \(m=5\). Wyrazy wolne są różne, więc dla tej wartości otrzymujemy dwie różne proste równoległe.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 8.2 badanie równoległości i prostopadłości prostych na podstawie ich równań kierunkowych.

**A.** \(m=5\)

Proste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe: \[4m+1=5m-4.\] Stąd \(m=5\). Wyrazy wolne są różne, więc otrzymujemy dwie różne proste równoległe.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje wyłącznie odpowiedzi. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna - równoległość prostych na podstawie współczynników kierunkowych.

C

Funkcja liniowa \(f(x)=ax+b\) nie ma miejsc zerowych dokładnie wtedy, gdy jest funkcją stałą różną od zera, czyli gdy \(a=0\) i \(b\ne0\). Tutaj \(a=1-m^{2}\) oraz \(b=m-1\), więc \[1-m^{2}=0\ \text{i}\ m-1\ne0.\] Z pierwszego warunku \(m=1\) albo \(m=-1\); drugi warunek wyklucza \(m=1\). Sprawdzenie: dla \(m=-1\) mamy \(f(x)=0\cdot x-2=-2\), a funkcja stale równa \(-2\) nie ma miejsc zerowych. **Odpowiedź.** **C.** \(m=-1\)

Zadanie 11. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.

**D.** Funkcja jest rosnąca i przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,-1)\).

Współczynnik kierunkowy \(\frac13\) jest dodatni, więc funkcja jest rosnąca. Wyraz wolny wynosi \(-1\), zatem \(f(0)=-1\).

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne I.** **4.7:** zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej.

**D.** \(a=-1\)

Miejsce zerowe równe \(1\) oznacza, że punkt \((1,0)\) leży na wykresie funkcji \(f\). Drugim znanym punktem jest \(M=(3,-2)\). Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez te punkty wynosi \[a=\frac{-2-0}{3-1}=\frac{-2}{2}=-1.\] Dla porządku: wyraz wolny to wtedy \(b=1\), bo z \(f(1)=0\) mamy \(-1+b=0\); wzorem funkcji jest \(f(x)=-x+1\), a istotnie \(f(3)=-2\). **Odpowiedź.** D: \(a=-1\)

Zadanie 10. (0−1) **Wymaganie ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** 4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie (4.6).

B. m = \(3\)

Proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne: \[m+2=2m-1,\qquad m=3.\] Wyrazy wolne \(3\) i \(-3\) są różne dla każdego \(m\), więc dla \(m=3\) proste istotnie są równoległe, a nie pokrywają się. **Odpowiedź.** \(m=3\), czyli odpowiedź **B**.

Zadanie 19. (0−1) 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Wersja Wersja II. Wykorzystanie Zdający bada równoległość i prostopadłość I II i interpretowanie prostych na podstawie ich równań reprezentacji. kierunkowych (8.2). B C

**D.** \(b=-\sqrt3\)

Z rysunku odczytujemy treść zadania: punkt \(\left(1,\sqrt3\right)\) należy do wykresu funkcji \(y=2\sqrt3\,x+b\). Punkt należy do wykresu, gdy jego współrzędne spełniają równanie. Podstawiamy \(x=1\) i \(y=\sqrt3\): \[\sqrt3=2\sqrt3\cdot1+b.\] Stąd \[b=\sqrt3-2\sqrt3=-\sqrt3.\] **Odpowiedź.** D: \(b=-\sqrt3\)

Zadanie 9. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

**A.** \(m=4\)

**Krok \(1\).** Obie proste są dane w postaci kierunkowej \(y=ax+b\). O nachyleniu prostej decyduje wyłącznie współczynnik kierunkowy \(a\), więc dwie proste są równoległe dokładnie wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe. **Krok \(2\).** Odczytujemy współczynniki kierunkowe — to całe wyrażenia stojące przy \(x\): \[a_{1}=3m-4,\qquad a_{2}=12-m.\] **Krok \(3\).** Zapisujemy warunek równoległości jako równanie z niewiadomą \(m\): \[3m-4=12-m.\] **Krok \(4\).** Rozwiązujemy je: niewiadome przenosimy na lewą stronę, liczby na prawą: \[3m+m=12+4,\qquad 4m=16,\qquad m=4.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy wynik. Dla \(m=4\) proste mają równania \[y=8x+2\qquad\text{oraz}\qquad y=8x+12.\] Mają to samo nachylenie \(8\) i różne wyrazy wolne, więc rzeczywiście są równoległe (i różne). **Uwaga.** Wyrazy wolne, tu \(2\) i \(3m\), nie wchodzą do warunku równoległości — służą tylko do sprawdzenia, czy proste się nie pokrywają. Gdyby wyszły równe, byłaby to jedna i ta sama prosta. **Odpowiedź.** A. \(m=4\)

**1 pkt** – odpowiedź A **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** geometria analityczna - równoległość prostych na podstawie współczynników kierunkowych.

**C.** \(x=9\)

Rozwiązujemy \(21-\frac73x=0\). Otrzymujemy \(\frac73x=21\), zatem \(x=9\).

**1 pkt** – odpowiedź C **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** funkcja liniowa - wyznaczanie miejsca zerowego.

C. \(4\sqrt{3}\) − \(1\)

Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji jest równa zeru: \[\sqrt3(x+1)-12=0,\qquad \sqrt3(x+1)=12,\qquad x+1=\frac{12}{\sqrt3}.\] Usuwamy niewymierność z mianownika: \[\frac{12}{\sqrt3}=\frac{12\sqrt3}{3}=4\sqrt3,\] skąd \(x=4\sqrt3-1\). **Odpowiedź.** \(4\sqrt3-1\), czyli odpowiedź **C**.

Zadanie 9. (0−1) 4. Funkcje. Zdający oblicza ze wzoru wartość Wersja Wersja II. Wykorzystanie funkcji dla danego argumentu. Posługuje się I II i interpretowanie poznanymi metodami rozwiązywania równań reprezentacji. do obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja C D przyjmuje daną wartość (4.2).

B

Z rysunku odczytujemy dwie informacje. **Nachylenie.** Proste \(k\) i \(l\) są równoległe, więc mają równe współczynniki kierunkowe: \(a=m\). Obie opadają, więc \(a=m<0\). Iloczyn \[a\cdot m=a^2>0\] jest zatem dodatni (byłby dodatni także dla dwóch prostych rosnących — istotne jest tylko to, że \(a\ne0\)). **Wyrazy wolne.** Liczba \(b\) jest rzędną punktu przecięcia prostej \(k\) z osią \(Oy\), a \(n\) — analogicznie dla prostej \(l\). Początek układu współrzędnych leży między prostymi, więc jedna z nich przecina oś \(Oy\) powyżej punktu \((0,0)\), a druga poniżej. Z rysunku: prosta \(k\) przecina oś \(Oy\) nad początkiem układu (\(b>0\)), a prosta \(l\) pod nim (\(n<0\)). Liczby \(b\) i \(n\) mają więc przeciwne znaki, czyli \[b\cdot n<0.\] **Odpowiedź.** B: \(a\cdot m>0\) i \(b\cdot n<0\)

Zadanie 23. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

**D.** \(x=-8\)

**Krok \(1\).** Miejsce zerowe funkcji to taki argument \(x\), dla którego wartość funkcji jest równa zeru. Szukanie miejsca zerowego to zatem po prostu rozwiązanie równania \(f(x)=0\). **Krok \(2\).** Zapisujemy to równanie dla naszej funkcji: \[\frac34x+6=0.\] **Krok \(3\).** Przenosimy \(6\) na drugą stronę (zmieniając znak): \[\frac34x=-6.\] **Krok \(4\).** Dzielimy obie strony przez \(\frac34\), czyli mnożymy przez odwrotność \(\frac43\): \[x=-6\cdot\frac43=-\frac{24}{3}=-8.\] **Krok \(5\).** Sprawdzamy wynik, wstawiając go do wzoru funkcji: \[f(-8)=\frac34\cdot(-8)+6=-6+6=0.\] Zgadza się. **Uwaga.** Liczba \(6\) ze wzoru to wartość funkcji dla \(x=0\), czyli miejsce przecięcia wykresu z osią \(OY\) - nie mylimy jej z miejscem zerowym, które leży na osi \(OX\). **Odpowiedź.** D: \(x=-8\)

**1 pkt** – odpowiedź D **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** funkcja liniowa - wyznaczanie miejsca zerowego.

**D.** \(m=3\).

Ponieważ liczba \(1\) jest miejscem zerowym, musi zachodzić \(f(1)=0\). Zatem \[(2-m)\cdot1+1=0,\] czyli \[3-m=0,\qquad m=3.\]

**1 pkt** – zaznaczenie odpowiedzi **D** **0 pkt** – inna odpowiedź albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 4.7. Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej.

\[f(x)=-\frac13x+\frac73.\]

Funkcja jest liniowa, więc \(f(x)=ax+b\). Z warunku \(f(1)=2\) otrzymujemy \(a+b=2\). Ponieważ punkt \(P=(-2,3)\) należy do wykresu, zachodzi także \(-2a+b=3\). Rozwiązujemy układ \[\begin{cases}a+b=2,\\-2a+b=3.\end{cases}\] Po odjęciu równań mamy \(-3a=1\), zatem \(a=-\frac13\), a następnie \(b=\frac73\). Stąd \[f(x)=-\frac13x+\frac73.\]

**2 pkt** – poprawny wzór \(f(x)=-\frac13x+\frac73\) **1 pkt** – poprawne ułożenie układu równań dla współczynników \(a\) i \(b\) lub poprawne wyznaczenie jednego z nich **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** 4.6. Zdający wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie.

**B.** \(m=0\).

Punkt \(S=(5,-2)\) spełnia równanie wykresu, zatem \[-2=5(m-1)+3.\] Stąd \(-5=5m-5\), więc \(5m=0\) i \(m=0\).

**1 pkt** – odpowiedź **B** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.6 zdający wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub jej wykresie.

**C.** \(b=-\frac83\).

Miejsce zerowe funkcji \(g\) spełnia \[-3x+4=0,\] więc \(x=\frac43\). To samo \(x\) ma zerować funkcję \(f\): \[2\cdot\frac43+b=0.\] Zatem \(b=-\frac83\).

**1 pkt** – odpowiedź **C** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 4.7 zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej.

**A.** \((0,-3)\).

Na osi \(Oy\) pierwsza współrzędna jest równa \(x=0\). Wtedy \(y=2\cdot0-3=-3\), więc punkt przecięcia ma współrzędne \((0,-3)\).

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** funkcje, punkty przecięcia wykresu funkcji liniowej z osiami.

**A.** \(\langle-10,2\rangle\)

Współczynnik kierunkowy \(3\) jest dodatni, więc funkcja \(f(x)=3x-4\) jest rosnąca. Na przedziale domkniętym funkcja rosnąca przyjmuje wartość najmniejszą w lewym końcu, a największą w prawym, i — jako funkcja ciągła — wszystkie wartości pośrednie. Obliczamy wartości na końcach: \[f(-2)=3\cdot(-2)-4=-10,\qquad f(2)=3\cdot2-4=2.\] Oba końce dziedziny należą do przedziału \(\langle-2,2\rangle\), więc obie te wartości są przyjmowane i zbiór wartości jest przedziałem domkniętym: \[ZW_f=\langle-10,2\rangle.\] **Odpowiedź.** A: \(\langle-10,2\rangle\)

Zadanie 6. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

**C.** \(1\)

Punkty wspólne wykresów odpowiadają rozwiązaniom równania \(f(x)=g(x)\). **Zapis w arkuszu.** Dla \(g(x)=5x\) mamy \[-5x+1=5x,\qquad 10x=1,\qquad x=\frac1{10},\] czyli dokładnie jedno rozwiązanie. Ten sam wniosek daje porównanie współczynników kierunkowych: \(-5\ne5\), więc proste nie są równoległe i przecinają się w jednym punkcie. **Zapis w wycinku źródłowym.** Na wycinku CKE drugi wzór ma postać wykładniczą \(g(x)=5^{x}\) (zobacz odczyt redakcyjny poniżej treści). Wtedy równanie \(-5x+1=5^{x}\) też ma dokładnie jedno rozwiązanie: lewa strona jest funkcją malejącą, prawa — rosnącą i dodatnią, a funkcja \(h(x)=5^{x}+5x-1\) jest ściśle rosnąca i ciągła, przy czym \(h(0)=0\). Rozwiązaniem jest \(x=0\). W obu odczytach liczba punktów wspólnych jest taka sama. **Odpowiedź.** C. \(1\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** 4.5, 4.14) Zdający rysuje wykres funkcji liniowej, korzystając z jej wzoru; szkicuje wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw.

**B.** \(m\in(-2,2)\)

Funkcja liniowa jest malejąca dokładnie wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest ujemny. Tutaj współczynnikiem kierunkowym jest \(m^2-4\), więc rozwiązujemy nierówność \[m^2-4<0.\] Lewą stronę rozkładamy na czynniki: \[(m-2)(m+2)<0.\] Jest to nierówność kwadratowa o miejscach zerowych \(-2\) i \(2\), a współczynnik przy \(m^2\) jest dodatni, więc wartości ujemne wyrażenie przyjmuje **między** miejscami zerowymi: \[m\in(-2,2).\] Dla \(m=-2\) i \(m=2\) współczynnik kierunkowy jest równy zeru i funkcja jest stała, a nie malejąca — dlatego wariant A odpada, a końce przedziału są wyłączone. **Odpowiedź.** B: \(m\in(-2,2)\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wykorzystanie interpretacji współczynników we wzorze funkcji liniowej (II.4.g).

**A.** \(f(x)=-\frac13x+\frac73\)

Znamy dwa punkty wykresu funkcji liniowej: z warunku \(f(1)=2\) punkt \((1,2)\), a z treści punkt \(P=(-2,3)\). Współczynnik kierunkowy obliczamy jako iloraz przyrostów: \[a=\frac{3-2}{-2-1}=\frac{1}{-3}=-\frac13.\] Wyraz wolny wyznaczamy, podstawiając jeden ze znanych punktów do wzoru \(f(x)=-\frac13x+b\): \[2=-\frac13\cdot1+b,\qquad b=2+\frac13=\frac73.\] Zatem \[f(x)=-\frac13x+\frac73.\] Sprawdzenie: \(f(-2)=\frac23+\frac73=3\), zgodnie z treścią zadania. **Odpowiedź.** A: \(f(x)=-\frac13x+\frac73\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Obliczanie wartości liczbowej wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej (II.2.e) — opis przepisany literalnie z klucza CKE.

D

Rozpatrujemy oba warunki podane w treści zadania. **Funkcja jest rosnąca.** Dla funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\) oznacza to, że współczynnik kierunkowy jest dodatni: \[a>0.\] **Miejsce zerowe jest dodatnie.** Miejsce zerowe wyznaczamy z równania \(ax+b=0\): \[x_0=-\frac ba.\] Warunek \(x_0>0\) daje \(-\frac ba>0\), czyli \(\frac ba<0\). Ponieważ \(a>0\), musi być \[b<0.\] Można to też zobaczyć na wykresie: prosta rosnąca, która przecina oś \(Ox\) na prawo od początku układu, przecina oś \(Oy\) poniżej niego. **Odpowiedź.** D: \(a>0\) i \(b<0\)

**1 pkt** – wskazanie poprawnej odpowiedzi **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

Zadanie 12. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

**C.** \(m=2\)

Miejsce zerowe to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość \(0\). Podstawiamy \(x=-3\) i przyrównujemy do zera: \[(2m-1)\cdot(-3)+9=0.\] Stąd \[-6m+3+9=0,\qquad -6m=-12,\qquad m=2.\] Sprawdzenie: dla \(m=2\) mamy \(f(x)=3x+9\) i istotnie \(f(-3)=0\). **Odpowiedź.** C: \(m=2\)

Zadanie 5. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Funkcje.

**D.** \(m=4\)

Punkt leży na wykresie funkcji, gdy jego współrzędne spełniają wzór funkcji. Punkt \(A\) ma odciętą \(0\), więc obliczamy wartość funkcji dla \(x=0\): \[f(0)=(m-2)\cdot0+m-3=m-3.\] Z warunku \(f(0)=1\) otrzymujemy \[m-3=1,\qquad m=4.\] Zauważmy, że współczynnik kierunkowy \(m-2\) nie ma tu znaczenia — mnoży się przez \(x=0\). **Odpowiedź.** D: \(m=4\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wykorzystanie interpretacji współczynników we wzorze funkcji liniowej (II.4.g).

**A.** \(a<0\) i \(b<0\)

Znaki współczynników odczytujemy z położenia prostej. **Znak \(a\).** Współczynnik kierunkowy jest dodatni dla prostej rosnącej, a ujemny dla malejącej. Z rysunku widać, że prosta opada od lewej ku prawej, więc \(a<0\). **Znak \(b\).** Wyraz wolny jest rzędną punktu przecięcia wykresu z osią \(Oy\), bo \(f(0)=b\). Z rysunku widać, że prosta przecina oś \(Oy\) poniżej początku układu współrzędnych, więc \(b<0\). **Odpowiedź.** A: \(a<0\) i \(b<0\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wykorzystanie współczynników we wzorze funkcji liniowej do określenia położenia prostej w układzie współrzędnych (II.4.g).

**C.** Prosta rosnąca, przecinająca oś \(Oy\) poniżej początku układu.

We wzorze \(f(x)=ax+b\) współczynnik \(a\) decyduje o monotoniczności, a \(b\) o punkcie przecięcia wykresu z osią \(Oy\). Z warunku \(a>0\) wynika, że prosta jest rosnąca, czyli wznosi się od lewej ku prawej — odpadają rysunki przedstawiające proste malejące. Z warunku \(b<0\) wynika, że \(f(0)=b<0\), a więc prosta przecina oś \(Oy\) poniżej początku układu współrzędnych. Oba warunki jednocześnie spełnia tylko wykres C: prosta rosnąca przecinająca oś \(Oy\) pod początkiem układu. **Odpowiedź.** C

Zadanie 18. (0–1) Wykorzystanie Zinterpretowanie znaków i interpretowanie reprezentacji współczynników a i b we wzorze funkcji C liniowej (II.4.g)

**A.** \(f(1)>1\)

Wiemy tylko tyle, że \(a>0\), więc warunek musi być spełniony dla **każdej** dodatniej wartości \(a\). Dla wariantu A: \[f(1)=a\cdot1+6=a+6>6>1,\] bo \(a>0\). Nierówność \(f(1)>1\) zachodzi zatem zawsze. Pozostałe warunki są równaniami albo nierównością, które wymuszają konkretną wartość \(a\), i to ujemną: \[f(2)=2a+6=2\ \Rightarrow\ a=-2,\qquad f(3)=3a+6<3\ \Rightarrow\ a<-1,\qquad f(4)=4a+6=4\ \Rightarrow\ a=-\frac12.\] Każdy z nich jest sprzeczny z założeniem \(a>0\). **Odpowiedź.** A: \(f(1)>1\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wykorzystanie interpretacji współczynników we wzorze funkcji liniowej (I.4.g).

**D.** jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0,-6)\).

Funkcja liniowa \(f(x)=ax+b\) jest rosnąca dokładnie wtedy, gdy \(a>0\). Tutaj \(a=\frac12>0\), więc funkcja jest rosnąca — to wyklucza warianty A i C. Wyraz wolny \(b\) jest wartością funkcji dla argumentu \(0\): \[f(0)=\frac12\cdot0-6=-6,\] więc wykres przechodzi przez punkt \((0,-6)\), a nie przez \((0,6)\). **Odpowiedź.** D. jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0,-6)\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** odczytywanie monotoniczności funkcji liniowej ze znaku współczynnika kierunkowego i wyznaczanie punktu przecięcia wykresu z osią \(Oy\) Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**B.** \(m=1\)

Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego wartość funkcji jest równa zeru. Z założenia \(f(-2)=0\), więc \[m\cdot(-2)+2=0,\qquad -2m=-2,\qquad m=1.\] Sprawdzenie: dla \(m=1\) mamy \(f(x)=x+2\) i istotnie \(f(-2)=0\). **Odpowiedź.** B: \(m=1\)

Zadanie 5. (0–1) **Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** Wyznacza wzór funkcji liniowej.

**D.** jest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0,3)\).

Ze wzoru \(f(x)=-\frac12x+3\) odczytujemy oba współczynniki funkcji liniowej. Współczynnik kierunkowy jest równy \(-\frac12\). Jest ujemny, więc funkcja jest **malejąca** — to wyklucza warianty A i C. Wyraz wolny jest równy \(3\), a ponieważ \(f(0)=3\), wykres przechodzi przez punkt \((0,3)\), a nie \((0,-3)\). To wyklucza wariant B. **Odpowiedź.** D: funkcja jest malejąca, a jej wykres przechodzi przez punkt \((0,3)\).

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Funkcje – odczytuje monotoniczność i punkt przecięcia wykresu funkcji liniowej.

**D.** \(2\sqrt2\)

Miejsce zerowe wyznaczamy z równania \(f(x)=0\): \[-\sqrt2\,x+4=0,\qquad \sqrt2\,x=4,\qquad x=\frac{4}{\sqrt2}.\] Usuwamy niewymierność z mianownika: \[x=\frac{4}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2.\] Wynik jest dodatni, co zgadza się z przebiegiem funkcji: jest ona malejąca i \(f(0)=4>0\), więc oś \(Ox\) przecina po prawej stronie osi \(Oy\). **Odpowiedź.** D: \(2\sqrt2\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Obliczenie miejsca zerowego funkcji liniowej.

**A.** \(m>2\)

Funkcja liniowa jest rosnąca dokładnie wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest dodatni. We wzorze \(f(x)=(m-2)x-11\) współczynnikiem kierunkowym jest \(m-2\), zatem \[m-2>0,\qquad m>2.\] Wyraz wolny \(-11\) nie ma wpływu na monotoniczność — decyduje wyłącznie o przesunięciu wykresu wzdłuż osi \(Oy\). **Odpowiedź.** A: \(m>2\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Funkcje – określa monotoniczność funkcji liniowej z parametrem.

**D.** \(f(x)=-x+3\)

Znamy dwa punkty wykresu: \(A=(1,2)\) oraz \(B=(-2,5)\). Współczynnik kierunkowy obliczamy jako iloraz przyrostów: \[a=\frac{5-2}{-2-1}=\frac{3}{-3}=-1.\] Wyraz wolny wyznaczamy, podstawiając punkt \(A\) do wzoru \(f(x)=-x+b\): \[2=-1+b,\qquad b=3.\] Zatem \(f(x)=-x+3\). Sprawdzenie: \(f(-2)=2+3=5\), czyli punkt \(B\) też leży na wykresie. **Odpowiedź.** D: \(f(x)=-x+3\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Funkcje – wyznacza wzór funkcji liniowej z dwóch punktów.

**B.** \(a=2\)

Liczba \(x_0\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\), gdy \(f(x_0)=0\). Podstawiamy \(x_0=-7\): \[(3-a)\cdot(-7)+7=0,\] \[-21+7a+7=0,\qquad 7a=14,\qquad a=2.\] Dla \(a=2\) mamy \(f(x)=x+7\), a więc funkcja jest liniowa i istotnie \(f(-7)=0\). **Odpowiedź.** B. \(a=2\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** wyznaczanie parametru funkcji liniowej z warunku na miejsce zerowe Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**A.** \(m=1\)

Funkcja liniowa \(f(x)=ax+b\) jest stała dokładnie wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest równy zeru. Tutaj współczynnikiem kierunkowym jest \(m-1\), więc \[m-1=0,\qquad m=1.\] Wtedy \(f(x)=3\) dla każdego \(x\) — funkcja rzeczywiście jest stała. Dla pozostałych wartości \(m\) współczynnik kierunkowy jest różny od zera i funkcja jest rosnąca albo malejąca. **Odpowiedź.** A: \(m=1\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Funkcje – rozpoznaje funkcję liniową stałą.

Wykres to dwie półproste: \(y=2x+1\) dla \(x\leqslant0\) (koniec \((0,1)\) zamalowany) oraz \(y=x+2\) dla \(x\gt0\) (punkt \((0,2)\) niezamalowany).

**Krok \(1\).** Funkcja jest opisana dwoma wzorami, a każdy obowiązuje na innym przedziale. Wykres nie będzie więc jedną prostą: narysujemy dwa kawałki wykresów liniowych, każdy tylko nad swoim przedziałem. Ponieważ przedziały są nieograniczone z jednej strony, wyjdą dwie półproste. **Krok \(2\).** Pierwszy kawałek: \(y=2x+1\) dla \(x\leqslant0\). Wyznaczamy kilka punktów: \[x=0\Rightarrow y=1,\qquad x=-1\Rightarrow y=-1,\qquad x=-2\Rightarrow y=-3.\] **Krok \(3\).** Zaznaczamy te punkty i prowadzimy przez nie półprostą biegnącą w lewo, o początku w punkcie \((0,1)\). Warunek \(x\leqslant0\) jest nieostry, więc punkt \((0,1)\) **należy** do wykresu — zaznaczamy go kółkiem zamalowanym. **Krok \(4\).** Drugi kawałek: \(y=x+2\) dla \(x\gt0\). Wyznaczamy punkty: \[x=1\Rightarrow y=3,\qquad x=2\Rightarrow y=4,\qquad x=3\Rightarrow y=5.\] Gdyby podstawić \(x=0\), wyszłoby \(y=2\), ale \(x=0\) do tego przedziału nie należy. **Krok \(5\).** Prowadzimy półprostą przez punkty \((1,3)\) i \((2,4)\) w prawo, przedłużając ją do punktu \((0,2)\), który zaznaczamy kółkiem **pustym** (niezamalowanym) — to punkt graniczny, którego wykres nie zawiera. **Krok \(6\).** Efekt końcowy: w miejscu \(x=0\) wykres ma skok. Lewa półprosta kończy się na wysokości \(1\) (punkt pełny), prawa zaczyna się na wysokości \(2\) (punkt pusty). Poza tym oba kawałki są rosnące — lewy o współczynniku kierunkowym \(2\), prawy o współczynniku \(1\). **Krok \(7\).** Kontrola wartości w punkcie sklejenia: skoro \(0\leqslant0\), obowiązuje pierwszy wzór, więc \(f(0)=2\cdot0+1=1\). Zgadza się z zamalowanym punktem \((0,1)\). **Uwaga.** Rodzaj kółek nie jest ozdobnikiem. Gdyby oba punkty \((0,1)\) i \((0,2)\) zamalować, argumentowi \(0\) odpowiadałyby dwie wartości i rysunek przestałby być wykresem funkcji. Dlatego dokładnie jeden z nich musi być pusty — ten wynikający z nierówności ostrej \(x\gt0\). **Odpowiedź.** Wykres składa się z dwóch półprostych: półprostej \(y=2x+1\) dla \(x\leqslant0\) o zamalowanym końcu w punkcie \((0,1)\) oraz półprostej \(y=x+2\) dla \(x\gt0\) z pustym kółkiem w punkcie \((0,2)\); w \(x=0\) wykres ma skok.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: wykres

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Funkcje.

**A.** \(m=1\)

Funkcja liniowa \(f(x)=ax+b\) jest stała dokładnie wtedy, gdy \(a=0\). Tutaj \(a=m-1\), więc \[m-1=0,\qquad m=1.\] Wówczas \(f(x)=3\) dla każdego \(x\). **Odpowiedź.** A. \(m=1\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Sprawdzana umiejętność:** rozpoznawanie warunku, przy którym funkcja liniowa jest stała Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.

**B.** \(m=-\frac13\)

Prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie, którego odcięta jest równa \(0\); rzędną tego punktu jest wyraz wolny. Podstawiamy \(x=0\) i \(y=2\): \[2=-2\cdot0+(3m+3),\qquad 3m+3=2.\] Stąd \[3m=-1,\qquad m=-\frac13.\] **Odpowiedź.** B: \(m=-\frac13\)

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Interpretowanie współczynników we wzorze funkcji liniowej.

**D.** \(m=2\)

Funkcja liniowa \(f(x)=ax+b\) jest rosnąca dokładnie wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest dodatni. Tutaj współczynnikiem kierunkowym jest \(m-1\), więc warunek monotoniczności to \[m-1>0,\qquad m>1.\] Spośród podanych liczb warunek \(m>1\) spełnia tylko \(m=2\). Dla \(m=1\) współczynnik kierunkowy byłby równy zeru i funkcja byłaby stała, a nie rosnąca. **Odpowiedź.** D: \(m=2\)

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Funkcje – określa monotoniczność funkcji liniowej z parametrem.

C

We wzorze \(y=ax+b\) współczynnik \(a\) decyduje o monotoniczności, a \(b\) o punkcie przecięcia wykresu z osią \(Oy\). Warunek \(a>0\) oznacza, że prosta rośnie, czyli wznosi się od lewej ku prawej. To wyklucza rysunki B i D, na których proste opadają. Warunek \(b<0\) oznacza, że prosta przecina oś \(Oy\) poniżej początku układu współrzędnych. Na rysunku A prosta rośnie, ale oś \(Oy\) przecina powyżej początku układu. Oba warunki spełnia dopiero rysunek C: prosta rosnąca przecinająca oś \(Oy\) pod początkiem układu. **Odpowiedź.** C

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Funkcje – interpretuje znaki współczynników funkcji liniowej.

**A.** \(y=-\tfrac13x-1\)

Proste o równaniach kierunkowych \(y=a_1x+b_1\) i \(y=a_2x+b_2\) są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy \(a_1a_2=-1\). Tu \(a_1=3\), więc szukana prosta ma współczynnik kierunkowy \[a_2=-\frac13.\] Spośród podanych równań warunek ten spełnia tylko \(y=-\tfrac13x-1\). **Odpowiedź.** \(y=-\tfrac13x-1\), czyli odpowiedź **A**.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź: \(\mathrm{A}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) Tak, punkt \(P\) należy do wykresu, bo \(f(2009)=2008\cdot2009+2009=2009\cdot2009=2009^{2}\). b) Zbiór \(A\) to równoległobok (wraz z brzegiem) o wierzchołkach \((-1;1{,}5)\), \((3;-0{,}5)\), \((3;-3{,}5)\), \((-1;-1{,}5)\), czyli część pasa między prostymi \(y=-\tfrac12x+1\) i \(y=-\tfrac12x-2\) odpowiadająca \(x\in\langle-1,3\rangle\).

**Krok \(1\).** W punkcie a) pytamy, czy punkt leży na wykresie funkcji. Punkt należy do wykresu wtedy i tylko wtedy, gdy jego druga współrzędna jest wartością funkcji dla pierwszej współrzędnej. Wystarczy więc podstawić \(x=2009\) do wzoru i porównać wynik z \(2009^{2}\). **Krok \(2\).** Podstawiamy dane \(a=2008\) i \(b=2009\) do wzoru \(f(x)=ax+b\): \[f(x)=2008x+2009.\] **Krok \(3\).** Obliczamy wartość dla \(x=2009\). Nie mnożymy tych liczb w słupku — wyłączamy \(2009\) przed nawias: \[f(2009)=2008\cdot 2009+2009=2009\cdot(2008+1)=2009\cdot 2009=2009^{2}.\] **Krok \(4\).** Otrzymana wartość jest dokładnie drugą współrzędną punktu \(P\), więc \(P\) leży na wykresie funkcji \(f\). **Krok \(5\).** W punkcie b) czytamy opis zbioru jak przepis. Dla ustalonego \(b\) warunek \(y=-\tfrac12x+b\) opisuje prostą o współczynniku kierunkowym \(-\tfrac12\). Skoro \(b\) przebiega cały przedział \(\langle-2,1\rangle\), dostajemy całą rodzinę prostych równoległych, a nie jedną prostą. **Krok \(6\).** Te proste wypełniają pas między dwiema skrajnymi prostymi: dolną dla \(b=-2\), czyli \(y=-\tfrac12x-2\), i górną dla \(b=1\), czyli \(y=-\tfrac12x+1\). Trzeci warunek, \(x\in\langle-1,3\rangle\), obcina ten pas dwiema prostymi pionowymi \(x=-1\) oraz \(x=3\). **Krok \(7\).** Wyznaczamy wierzchołki powstałej figury, podstawiając skrajne \(x\) do skrajnych prostych: \[x=-1:\quad y=\tfrac12-2=-1{,}5\quad\text{oraz}\quad y=\tfrac12+1=1{,}5,\] \[x=3:\quad y=-\tfrac32-2=-3{,}5\quad\text{oraz}\quad y=-\tfrac32+1=-0{,}5.\] **Krok \(8\).** Rysujemy w układzie współrzędnych czworokąt o wierzchołkach \((-1;-1{,}5)\), \((-1;1{,}5)\), \((3;-0{,}5)\), \((3;-3{,}5)\) i zamalowujemy jego wnętrze. Dwa boki leżą na prostych równoległych o współczynniku \(-\tfrac12\), dwa pozostałe są pionowe, więc figura jest równoległobokiem. **Uwaga.** Oba przedziały w opisie zbioru są domknięte, więc brzeg równoległoboku należy do zbioru \(A\) — rysujemy go linią ciągłą, a nie przerywaną. **Odpowiedź.** a) Tak, punkt \(P\) należy do wykresu, bo \(f(2009)=2009^{2}\). b) Zbiorem \(A\) jest równoległobok (wraz z brzegiem) o wierzchołkach \((-1;-1{,}5)\), \((-1;1{,}5)\), \((3;-0{,}5)\), \((3;-3{,}5)\).

a) **1 pkt** – jeśli obliczy wartość funkcji \(f\) dla \(x=2009\). Poprawna odpowiedź: \(f(2009)=2008\cdot 2009+2009=2009^{2}\) **1 pkt** – jeśli zapisze wniosek. Poprawna odpowiedź: Punkt \(P\) należy do wykresu funkcji \(f\). b) **2 pkt** – jeśli narysuje bezbłędnie zbiór opisany w zadaniu. Poprawna odpowiedź: […] **1 pkt** – jeśli narysuje proste o równaniach \(y=-\frac{1}{2}x+1\), \(y=-\frac{1}{2}x-2\) i na tym zakończy lub popełni błędy w zaznaczaniu opisanego zbioru.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(a=4\). b) \(a=\sqrt3\). c) \(a=0\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, że mamy trzy niezależne pytania o tę samą funkcję \(f(x)=ax+4\), której wykresem jest prosta. Każde pytanie odwołuje się do innej własności: a) miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi \(0\); b) współczynnik kierunkowy \(a\) jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi \(OX\); c) równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy po uporządkowaniu staje się tożsamością. **Krok \(2\).** Podpunkt a): miejscem zerowym ma być \(-1\), więc \(f(-1)=0\): \[a\cdot(-1)+4=0\quad\Longrightarrow\quad -a=-4\quad\Longrightarrow\quad a=4.\] (Sprawdzenie: \(f(x)=4x+4=4(x+1)\), istotnie zeruje się dla \(x=-1\).) **Krok \(3\).** Podpunkt b): korzystamy z zależności \(a=\operatorname{tg}\alpha\), gdzie \(\alpha\) to kąt nachylenia prostej do osi \(OX\). Dla \(\alpha=60^\circ\): \[a=\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3.\] **Krok \(4\).** Podpunkt c): porządkujemy równanie \(ax+4=2a+4\). Odejmujemy \(4\) od obu stron: \[ax=2a,\] a następnie przenosimy wszystko na lewo i wyłączamy \(a\) przed nawias: \[ax-2a=0\quad\Longrightarrow\quad a(x-2)=0.\] **Krok \(5\).** Analizujemy dwa przypadki. Jeśli \(a\neq0\), to możemy podzielić obie strony przez \(a\) i dostajemy \(x-2=0\), czyli DOKŁADNIE JEDNO rozwiązanie \(x=2\). Jeśli natomiast \(a=0\), równanie przyjmuje postać \(0\cdot(x-2)=0\), czyli \(0=0\) — zdanie prawdziwe dla KAŻDEJ liczby \(x\). **Krok \(6\).** Zatem nieskończenie wiele rozwiązań mamy dokładnie dla \(a=0\). **Uwaga.** W podpunkcie c) łatwo pomylić „nieskończenie wiele rozwiązań” z „brakiem rozwiązań”. Tutaj po obu stronach wyraz wolny jest ten sam (\(+4\)), więc się skraca i przypadek sprzeczny (\(0=\text{liczba}\neq0\)) w ogóle nie występuje — pozostaje tylko tożsamość dla \(a=0\). Warto też zauważyć, że dla \(a=0\) funkcja \(f\) jest stała (\(f(x)=4\)), ale treść zadania podaje tylko wzór \(ax+4\) i nie wyklucza \(a=0\). **Odpowiedź.** a) \(a=4\). b) \(a=\sqrt3\). c) \(a=0\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **3.1. (1 pkt)** – […] \(f\) jest liczba \(-1\): \(a=4\). **3.2. (1 pkt)** – wyznaczenie wartości \(a\), dla której prosta będąca wykresem funkcji \(f\) jest nachylona do osi \(OX\) pod kątem \(60^{\circ}\): \(a=\sqrt{3}\). **3.3. (1 pkt)** – wyznaczenie takiej wartości \(a\), dla której równanie \(ax+4=2a+4\) ma nieskończenie wiele rozwiązań: \(a=0\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(b=3\sqrt{2}\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy pytanie o miejsce zerowe funkcji. Miejsce zerowe to taki argument \(x_0\), dla którego \(f(x_0)=0\). Skoro wiemy, że miejscem zerowym jest \(\sqrt2\), to po wstawieniu \(x=\sqrt2\) do wzoru musimy otrzymać zero — i to jest równanie na \(b\). **Krok \(2\).** Podstawiamy \(x=\sqrt2\) do wzoru \(f(x)=-3x+b\) i przyrównujemy wynik do zera: \[-3\cdot\sqrt2+b=0.\] **Krok \(3\).** Przenosimy wyraz z pierwiastkiem na drugą stronę równania: \[b=3\sqrt2.\] **Krok \(4\).** Sprawdzamy: dla \(b=3\sqrt2\) mamy \(f(x)=-3x+3\sqrt2\), więc \(f(\sqrt2)=-3\sqrt2+3\sqrt2=0\) — istotnie \(\sqrt2\) jest miejscem zerowym. **Uwaga.** Częsty błąd to potraktowanie liczby \(\sqrt2\) jako wartości funkcji i zapisanie \(\sqrt2=-3x+b\). Miejsce zerowe jest argumentem, więc wstawiamy je w miejsce \(x\), a po lewej stronie piszemy \(0\). Wyniku \(3\sqrt2\) nie trzeba (ani nie warto) zamieniać na przybliżenie dziesiętne. **Odpowiedź.** \(b=3\sqrt{2}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **(1 pkt)** – zapisanie równania pozwalającego wyznaczyć \(b\): \(0=-3\sqrt{2}+b\). **(1 pkt)** – obliczenie \(b\): \(b=3\sqrt{2}\).

Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(f(x)=-\frac{2}{3}x-4\), b) miejsce zerowe: \(x_0=-6\).

**Krok \(1\).** prostopadłych do prostej l (za wyznaczenie \(1\) p y= - \(2\) x + b **Krok \(2\).** współczynnika kierunkowego przyznajemy **Krok \(3\).** p.). **Krok \(4\).** Wyznaczenie współczynnika b \(1\) p b= - \(4\) **Krok \(5\).** Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji \(f\). \(1\) p x = - \(6\) **Odpowiedź.** a) \(f(x)=-\frac{2}{3}x-4\), b) miejsce zerowe: \(x_0=-6\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **1.1. (1 pkt)** – […] prostopadłych do prostej \(l\) (za wyznaczenie współczynnika kierunkowego przyznajemy 1 p.): \(y=-\frac{2}{3}x+b\) **1.2. (1 pkt)** – wyznaczenie współczynnika \(b\): \(b=-4\) **1.3. (1 pkt)** – wyznaczenie miejsca zerowego funkcji \(f\): \(x_0=-6\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.