Działania na liczbach wymiernych — ułamki zwykłe i dziesiętne, kolejność działań, porównywanie liczb

**D.** \(2023\)

Mamy \[2021\div\left(1-\frac1{2022}\right)=2021\div\frac{2021}{2022}=2022\] oraz \[\left(1-\frac{2022}{2021}\right)\div\frac1{2021}=-\frac1{2021}\div\frac1{2021}=-1.\] Zatem wartość wyrażenia jest równa \(2022-(-1)=2023\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** I.1 wykonywanie działań w zbiorze liczb rzeczywistych.

**D.** \(2023\)

Mamy \(2021\div(1-\frac1{2022})=2022\) oraz \((1-\frac{2022}{2021})\div\frac1{2021}=-1\). Zatem wartość wyrażenia jest równa \(2022-(-1)=2023\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** I.1 wykonywanie działań w zbiorze liczb rzeczywistych.

**D.** \(-\dfrac{4}{11}\)

**Krok \(1\).** Zapis \(0,(3)\) oznacza ułamek okresowy \(0{,}3333\ldots\). Zanim cokolwiek odejmiemy, trzeba go zamienić na ułamek zwykły — dopiero wtedy obie liczby będą w tej samej postaci i będzie można sprowadzić je do wspólnego mianownika. **Krok \(2\).** Zamieniamy ułamek okresowy. Niech \(x=0,(3)\). Wtedy \(10x=3,(3)\), więc \[10x-x=3,(3)-0,(3)=3,\qquad 9x=3,\qquad x=\frac{3}{9}=\frac13.\] **Krok \(3\).** Sprowadzamy \(\frac13\) i \(\frac{23}{33}\) do wspólnego mianownika. Ponieważ \(33=3\cdot11\), wystarczy rozszerzyć pierwszy ułamek przez \(11\): \[\frac13=\frac{11}{33}.\] **Krok \(4\).** Odejmujemy: \[\frac{11}{33}-\frac{23}{33}=\frac{11-23}{33}=\frac{-12}{33}.\] **Krok \(5\).** Skracamy przez \(3\): \[\frac{-12}{33}=-\frac{4}{11}.\] **Krok \(6\).** Kontrola szacunkowa: \(0{,}333\ldots-0{,}697\ldots\approx-0{,}364\), a \(-\frac{4}{11}=-0{,}3636\ldots\). Zgadza się. **Uwaga.** Odpowiedź C, czyli \(-0{,}36\), to liczba skończona i **nie** jest równa \(-\frac{4}{11}=-0,(36)\) — różnią się dalszymi cyframi rozwinięcia. Podobnie \(-0,(39)=-\frac{39}{99}=-\frac{13}{33}\) to zupełnie inna liczba. **Odpowiedź.** D: \(-\dfrac{4}{11}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Egzamin maturalny z matematyki (poziom podstawowy) – termin główny 2021 r.

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.1) Zdający przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego […]).

a) \(4\), b) \(2005\), c) \(6\).

**Krok \(1\).** W zadaniu zdefiniowano dwa nowe działania i cała sztuka polega na dokładnym przeczytaniu definicji. Zapis \(a\circ b\) to liczba nie mniejsza spośród \(a\) i \(b\), czyli po prostu większa z nich (a przy równych — ta sama liczba). Zapis \(a*b\) to liczba nie większa, czyli mniejsza z nich. Wyrażenia obliczamy tak jak zwykle: najpierw działania w nawiasach. **Krok \(2\).** Podpunkt a): \((-5)\circ4\). Porównujemy liczby \(-5\) i \(4\). Liczba \(4\) jest większa, więc \[(-5)\circ4=4.\] **Krok \(3\).** Podpunkt b): \((2005*2007)\circ(-2006)\). Zaczynamy od nawiasu: \(2005*2007\) to mniejsza z liczb \(2005\) i \(2007\), czyli \(2005\). Wyrażenie przyjmuje postać \(2005\circ(-2006)\). **Krok \(4\).** Teraz porównujemy \(2005\) i \(-2006\). Liczba dodatnia jest większa od ujemnej, więc \[2005\circ(-2006)=2005.\] **Krok \(5\).** Podpunkt c): \((5\circ6)*(2\circ7)\). Liczymy oba nawiasy: \(5\circ6=6\) (większa z \(5\) i \(6\)) oraz \(2\circ7=7\) (większa z \(2\) i \(7\)). **Krok \(6\).** Zostało \(6*7\), czyli mniejsza z liczb \(6\) i \(7\): \[6*7=6.\] **Uwaga.** Łatwo pomylić kierunki: nie mniejsza znaczy większa lub równa, a nie mniejsza. Uważaj też na liczbę \(-2006\) w podpunkcie b) — mimo że składa się z większej liczby cyfr niż \(2005\) i wygląda okazale, jest liczbą ujemną, a więc mniejszą. **Odpowiedź.** a) \(4\), b) \(2005\), c) \(6\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **4.1. (1 pkt)** – a) \(4\). **4.2. (1 pkt)** – b) \(2005\). **4.3. (1 pkt)** – c) \(6\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.