Przybliżenia i błędy — zaokrąglanie, błąd bezwzględny i względny, notacja wykładnicza

**C.** \(\frac{|0{,}1-0{,}125|}{0{,}125}\cdot100\%=20\%\).

Błąd względny przybliżenia liczby \(x\) liczbą \(x_0\) to iloraz błędu bezwzględnego przez wartość przybliżanej liczby: \[\delta=\frac{|x_0-x|}{|x|}.\] Tutaj \(x=\frac18=0{,}125\) oraz \(x_0=0{,}1\), więc \[\delta=\frac{|0{,}1-0{,}125|}{0{,}125}=\frac{0{,}025}{0{,}125}=0{,}2=20\%.\] Podstawą jest liczba przybliżana \(\frac18\), a nie przybliżenie \(0{,}1\) — przy odwrotnym podziale wyszłoby \(25\%\), czyli wariant **D**. **Odpowiedź.** **C.** \(20\%\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wymaganie ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wymaganie szczegółowe: 1.7) Oblicza błąd względny przybliżenia.

**D.** \(0{,}011\cdot10^{30}\,\mathrm{kg}\)

Błąd bezwzględny jest wartością bezwzględną różnicy wartości dokładnej i przybliżonej: \[\left|2\cdot10^{30}-1{,}989\cdot10^{30}\right|=(2-1{,}989)\cdot10^{30}=0{,}011\cdot10^{30}\,\mathrm{kg}.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** I. wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymagania szczegółowe:** obliczanie błędu bezwzględnego przybliżenia.

**C.** \(1{,}5\cdot10^8\)

**Krok \(1\).** Obie liczby są zapisane w notacji wykładniczej. Przy dzieleniu takich liczb postępujemy dwutorowo: osobno dzielimy części liczbowe, a osobno potęgi dziesiątki, przy czym wykładniki **odejmujemy**. **Krok \(2\).** Rozdzielamy iloraz: \[\frac{a}{b}=\frac{3{,}6\cdot10^{-12}}{2{,}4\cdot10^{-20}}=\frac{3{,}6}{2{,}4}\cdot\frac{10^{-12}}{10^{-20}}.\] **Krok \(3\).** Część liczbowa: \[\frac{3{,}6}{2{,}4}=\frac{36}{24}=\frac{3}{2}=1{,}5.\] **Krok \(4\).** Część wykładnicza: \[\frac{10^{-12}}{10^{-20}}=10^{-12-(-20)}=10^{-12+20}=10^{8}.\] **Krok \(5\).** Łączymy oba wyniki: \[\frac{a}{b}=1{,}5\cdot10^{8}.\] **Uwaga.** Odejmowanie liczby ujemnej zamienia się w dodawanie, dlatego wykładnik wychodzi dodatni. Odpowiedź A (\(8{,}64\cdot10^{-32}\)) to wynik **mnożenia** \(a\cdot b\), a nie dzielenia — to typowa pułapka. **Odpowiedź.** C: \(1{,}5\cdot10^{8}\)

**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi C **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne II.** **1.4:** zdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach.

**A.** \(3\cdot10^{-10}\)

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy: liczby są zapisane w notacji wykładniczej, czyli w postaci (liczba z przedziału od \(1\) do \(10\)) razy potęga dziesiątki. Przy dzieleniu takich liczb dzielimy **osobno** części liczbowe i **osobno** potęgi dziesiątki. **Krok \(2\).** Rozdzielamy iloraz: \[\frac{x}{y}=\frac{4{,}5\cdot10^{-8}}{1{,}5\cdot10^{2}}=\frac{4{,}5}{1{,}5}\cdot\frac{10^{-8}}{10^{2}}.\] **Krok \(3\).** Liczymy część liczbową: \[\frac{4{,}5}{1{,}5}=\frac{45}{15}=3.\] **Krok \(4\).** Dzieląc potęgi o tej samej podstawie, odejmujemy wykładniki: \[\frac{10^{-8}}{10^{2}}=10^{-8-2}=10^{-10}.\] **Krok \(5\).** Składamy wynik: \[\frac{x}{y}=3\cdot10^{-10}.\] **Uwaga.** Odejmujemy wykładnik mianownika **razem ze znakiem**: \(-8-2=-10\), a nie \(-8+2=-6\). Sensowność wyniku łatwo sprawdzić: \(x\) jest bardzo małe, a \(y\) duże, więc iloraz musi być jeszcze mniejszy niż \(x\) — wykładnik ma być bardziej ujemny niż \(-8\). **Odpowiedź.** A: \(3\cdot10^{-10}\)

**1 pkt** – odpowiedź A **0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak

**Klasyfikacja CKE:** liczby rzeczywiste - prawa działań na potęgach i zapis naukowy.

Średni przyrost po zaokrągleniu: \(8\,\text{cm}\). Błąd względny: \(4\%\).

Średni roczny przyrost wynosi \[\overline{x}=\frac{10+10+7+8+8+7}{6}=\frac{25}{3}=8\frac13\,\text{cm}.\] Po zaokrągleniu otrzymujemy \(8\,\text{cm}\). Błąd względny jest równy \[\frac{\left|8-\frac{25}{3}\right|}{\frac{25}{3}}=\frac{1/3}{25/3}=\frac1{25}=0{,}04=4\%.\]

**2 pkt** – obliczenie średniej \(8\frac13\,\text{cm}\), jej zaokrąglenie i błędu względnego \(4\%\) **1 pkt** – poprawna średnia albo konsekwentne obliczenie błędu dla dopuszczalnego przybliżenia **0 pkt** – brak koniecznego postępu

**Wymagania ogólne:** CKE II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** G9.4 średnia arytmetyczna 1.7 błąd bezwzględny i względny przybliżenia.

**D.** \(15{,}24\).

Przybliżenie jest z niedomiarem, więc \(x>15\). Z warunku błędu bezwzględnego \(|x-15|=0{,}24\) otrzymujemy \(x=15+0{,}24=15{,}24\).

**1 pkt** – odpowiedź **D** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE podaje tylko odpowiedź. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste, przybliżenia i błąd bezwzględny.

**A.** \(4\%\).

Mamy \(\frac5{16}=0{,}3125\). Błąd bezwzględny przybliżenia wynosi \(0{,}0125\), więc błąd względny jest równy \[\frac{0{,}0125}{0{,}3125}\cdot100\%=0{,}04\cdot100\%=4\%.\]

**1 pkt** – odpowiedź **A** **0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi

Klucz CKE nie publikuje osobnej tabeli wymagań dla tego zadania. **Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste, przybliżenia i błąd względny.

**D.** \(4\%\)

Błąd względny przybliżenia to iloraz błędu bezwzględnego i wartości przybliżanej. Najpierw zapisujemy liczbę przybliżaną w postaci dziesiętnej: \[\frac58=0{,}625.\] Błąd bezwzględny wynosi \[|0{,}625-0{,}6|=0{,}025,\] więc błąd względny jest równy \[\frac{0{,}025}{0{,}625}=0{,}04=4\%.\] **Odpowiedź.** D. \(4\%\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymaganie szczegółowe:** 1.7) Zdający oblicza błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia.