Strona główna › Liczby i działania › Pierwiastkowanie — jak liczyć pierwiastki

Pierwiastkowanie — jak liczyć pierwiastki

Pierwiastkowanie to działanie odwrotne do potęgowania — i cała reszta z tego wynika. Ta strona tłumaczy temat od zera: skąd bierze się symbol, dlaczego niektóre pierwiastki nie kończą się nigdy i jak je szacować bez kalkulatora. Zadania z arkuszy znajdziesz w osobnych zestawach na dole.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasa 7 – maturaZadań z matury: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

Kalkulator pierwiastków

1Co to jest pierwiastek

Pierwiastek kwadratowy z liczby to taka liczba nieujemna, która pomnożona przez samą siebie daje tę liczbę. Zapis 25=5\sqrt{25} = 5 znaczy dokładnie tyle, że 5⋅5=255 \cdot 5 = 25.

Najprościej myśleć o tym jako o działaniu odwrotnym. Potęgowanie mówi: mam bok kwadratu, jakie jest pole. Pierwiastkowanie odwraca pytanie: mam pole kwadratu, jaki jest bok.

Stąd zresztą nazwa „kwadratowy” — pierwiastek kwadratowy z pola daje długość boku kwadratu. To nie metafora, tylko dokładnie ta zależność.

Symbol x\sqrt{\phantom{x}} nazywa się znakiem pierwiastka, a liczba pod nim — liczbą podpierwiastkową. Kreska pozioma działa jak nawias: obejmuje wszystko, co jest pod nią.

Co to jest pierwiastek: pierwiastek kwadratowy z 25 to 5, bo 5 · 5 = 25 — bok kwadratu o polu 25; pierwiastek sześcienny z 27 to 3, bo 3 · 3 · 3 = 27 — krawędź sześcianu o objętości 27; pierwiastek sześcienny z −8 to −2, a pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje
Pierwiastek kwadratowy i sześcienny — co oznaczają

2Pierwiastek kwadratowy a sześcienny

Pierwiastek sześcienny odwraca podnoszenie do trzeciej potęgi. Zapis 273=3\sqrt[3]{27} = 3, bo 3⋅3⋅3=273 \cdot 3 \cdot 3 = 27.

Liczbę zapisaną nad znakiem pierwiastka nazywa się stopniem. Przy pierwiastku kwadratowym stopień jest równy dwa, ale się go nie pisze — to jedyne takie uproszczenie i stąd biorą się pomyłki.

Różnica praktyczna jest jedna, ale istotna: pierwiastek sześcienny można wyciągnąć z liczby ujemnej, kwadratowy nie. Trzecia potęga liczby ujemnej jest ujemna, więc −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2. Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc −8\sqrt{-8} nie istnieje w liczbach rzeczywistych.

Geometrycznie: pierwiastek kwadratowy z pola daje bok kwadratu, a pierwiastek sześcienny z objętości — krawędź sześcianu.

Pierwiastek odwraca potęgowanie tak samo, jak dzielenie odwraca mnożenie — pary działań odwrotnych widać najlepiej w zestawieniu działań.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Potęgi i pierwiastki” (klasa 7), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Potęgi i pierwiastki — cały dział, klasa 7 (9 pakietów)
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Potęgi i pierwiastki”9 arkuszy w jednym pliku15,90 zł35,10 zł−19,20 złCała klasa 7, na cały rok60 arkuszy, 1,50 zł za arkusz89,90 zł
Dodaj do koszyka · cały dział · 15,90 złPobierz darmową grupę A (PDF)
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Wzory, które warto mieć w głowie

Działań na pierwiastkach jest mniej, niż się wydaje. Mnożenie i dzielenie mają proste wzory, jeśli spełnione są ich warunki. Przy dodawaniu i odejmowaniu nie wolno przenosić działania pod jeden znak pierwiastka.

a⋅b=a⋅b,ab=ab\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}, \qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}

Mnożenie i dzielenie przechodzą pod pierwiastek — można je wykonać przed pierwiastkowaniem albo po nim, wynik jest ten sam. Oba wzory wymagają, żeby liczby pod pierwiastkami były nieujemne, a przy dzieleniu żeby mianownik był dodatni.

Dodawanie i odejmowanie nie przechodzą. Suma pierwiastków to nie pierwiastek sumy, i to jest najczęstszy błąd w całym dziale. Widać to od razu na liczbach: 9+16=3+4=7\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7, a 9+16=25=5\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5.

Jak dodawać i odejmować pierwiastki poprawnie — przez wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka i łączenie pierwiastków podobnych — pokazuję krok po kroku, z kalkulatorem, na stronie dodawanie i odejmowanie pierwiastków. Mnożenie i dzielenie, w tym liczby stojące przed pierwiastkami i pierwiastki sześcienne, są na stronie mnożenie i dzielenie pierwiastków.

Wzory na pierwiastki: pierwiastek z a razy pierwiastek z b to pierwiastek z a · b (pierwiastek z 2 razy pierwiastek z 8 = 4), dzielenie działa tak samo (pierwiastek z 50 przez pierwiastek z 2 = 5), ale dodawanie nie: pierwiastek z 9 plus pierwiastek z 16 = 7, a pierwiastek z 25 = 5
Mnożenie i dzielenie pierwiastków — i dlaczego dodawanie nie działa

Warto też znać pierwiastki z kwadratów pierwszych kilkunastu liczb — od 1\sqrt{1} do 225\sqrt{225}. To nie jest wiedza teoretyczna, tylko narzędzie: bez niej każde szacowanie trwa dwa razy dłużej.

Tabela pierwiastków kwadratowych od 1 do 225: pierwiastek z 1 = 1, z 4 = 2, z 9 = 3, z 16 = 4, z 25 = 5, z 36 = 6, z 49 = 7, z 64 = 8, z 81 = 9, z 100 = 10, z 121 = 11, z 144 = 12, z 169 = 13, z 196 = 14, z 225 = 15
Pierwiastki kwadratowe z kwadratów liczb od 1 do 15

4Liczby niewymierne — dlaczego pierwiastek z dwóch nie kończy się nigdy

Większość pierwiastków nie daje ładnej liczby. 2\sqrt{2} wynosi około 1,411{,}41, ale to tylko przybliżenie — rozwinięcie dziesiętne tej liczby jest nieskończone i nie ma w nim żadnego powtarzającego się okresu.

Takie liczby nazywa się niewymiernymi. Ich cecha definicyjna: nie da się ich zapisać jako ułamka zwykłego o całkowitym liczniku i mianowniku.

To nie jest kwestia niedokładności pomiaru ani słabego kalkulatora. Można udowodnić, że żaden ułamek nie da w kwadracie dokładnie dwójki — i ten dowód znano już w starożytnej Grecji.

Praktyczna konsekwencja: w matematyce zostawia się 2\sqrt{2} w tej postaci, zamiast pisać 1,411{,}41. Zapis z pierwiastkiem jest dokładny, zapis dziesiętny — przybliżony.

Pierwiastek jest liczbą wymierną tylko wtedy, gdy liczba podpierwiastkowa jest kwadratem liczby całkowitej albo kwadratem ułamka.

5Jak to policzyć krok po kroku

Trzy sytuacje wyczerpują niemal wszystko, co można z pierwiastkiem zrobić na tym poziomie: wyliczenie dokładne, szacowanie i wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka.

Szacowanie polega na znalezieniu dwóch sąsiednich kwadratów, między którymi leży liczba podpierwiastkowa. To metoda, która działa bez kalkulatora i daje odpowiedź wystarczająco dokładną do porównywania liczb.

Wyłączanie czynnika opiera się na tym, że mnożenie przechodzi pod pierwiastek. Rozkłada się liczbę podpierwiastkową na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem, i wyciąga go na zewnątrz.

Przykłady poniżej pokazują wszystkie trzy przypadki na własnych liczbach.

6W której klasie się to pojawia

Pierwiastki wchodzą do programu w klasie siódmej, zaraz po potęgach — i to nie przypadek, bo są działaniem do nich odwrotnym.

W szkole podstawowej pierwiastki pojawiają się najczęściej przy okazji — w zadaniach o polu kwadratu i w twierdzeniu Pitagorasa, gdzie wynik trzeba wyciągnąć spod kwadratu.

Dlatego warto opanować je wcześniej, niż wynikałoby to z podręcznika: bez sprawnego pierwiastkowania cała geometria staje się wolniejsza.

7Ćwicz dalej

Materiał ćwiczeniowy jest rozdzielony według poziomu — poniżej znajdziesz odnośniki do właściwego zestawu.

Jeśli dopiero zaczynasz, przejdź najpierw przez przykłady z tej strony, a dopiero potem sięgnij po zadania egzaminacyjne — tam zakładam już, że podstawy są opanowane.

8Przykłady krok po kroku

Trzy własne przykłady: pierwiastek dokładny, szacowanie bez kalkulatora i wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka.

Przykład 1 Pierwiastek, który wychodzi dokładnie

Oblicz 144\sqrt{144}.

  1. Szukam liczby, która pomnożona przez samą siebie daje 144144.
  2. Sprawdzam znane kwadraty: 102=10010^2 = 100 — za mało, 132=16913^2 = 169 — za dużo.
  3. Zostaje przedział między 1010 a 1313. Próbuję 1212: 12⋅12=14412 \cdot 12 = 144 ✓
  4. Zatem 144=12\sqrt{144} = 12.
  5. Kontrola: wynik jest dodatni, bo pierwiastek kwadratowy z definicji nie jest ujemny ✓

Odpowiedź: 144=12\sqrt{144} = 12.

Przykład 2 Szacowanie bez kalkulatora

Między którymi kolejnymi liczbami całkowitymi leży 50\sqrt{50}?

  1. Szukam dwóch sąsiednich kwadratów, między którymi mieści się 5050.
  2. 72=497^2 = 49 — trochę mniej niż 5050. 82=648^2 = 64 — wyraźnie więcej.
  3. Zatem 49<50<6449 < 50 < 64, czyli 7<50<87 < \sqrt{50} < 8.
  4. Skoro 5050 jest bardzo blisko 4949, to 50\sqrt{50} jest tylko odrobinę większy od 77 — około 7,077{,}07.
  5. Kontrola: 7,1⋅7,1=50,417{,}1 \cdot 7{,}1 = 50{,}41, czyli już trochę za dużo ✓ — oszacowanie jest trafne.

Odpowiedź: 50\sqrt{50} leży między 77 a 88, bardzo blisko siódemki.

Przykład 3 Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Zapisz 72\sqrt{72} w prostszej postaci.

  1. Rozkładam 7272 na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem liczby całkowitej.
  2. 72=36⋅272 = 36 \cdot 2, a 3636 to kwadrat szóstki.
  3. Korzystam z tego, że mnożenie przechodzi pod pierwiastek: 72=36⋅2\sqrt{72} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2}.
  4. 36=6\sqrt{36} = 6, więc 72=62\sqrt{72} = 6\sqrt{2}.
  5. Kontrola przybliżeniem: 6⋅1,41=8,466 \cdot 1{,}41 = 8{,}46, a 8,462≈71,68{,}46^2 \approx 71{,}6 — blisko 7272, a brakująca resztka bierze się z zaokrąglenia 2\sqrt{2} do dwóch miejsc. Z dokładniejszym 2≈1,41421\sqrt{2} \approx 1{,}41421 wychodzi 8,48538{,}4853 i kwadrat 72,0072{,}00 ✓
  6. Warto wybrać największy możliwy kwadrat. Rozkład 72=4⋅1872 = 4 \cdot 18 też jest poprawny, ale daje 2182\sqrt{18}, czyli postać jeszcze nie do końca uproszczoną.

Odpowiedź: 72=62\sqrt{72} = 6\sqrt{2}.

9Najczęstsze błędy

Cztery błędy, które widuję najczęściej przy pierwiastkach. Pierwszy jest tak powszechny, że warto go sprawdzić na liczbach raz na zawsze.

Rozdzielanie pierwiastka nad dodawaniem

Skąd się bierze: Skoro mnożenie przechodzi pod pierwiastek, odruch podpowiada, że dodawanie też. Nie przechodzi — pierwiastek z dziewięciu dodać pierwiastek z szesnastu daje siedem, a pierwiastek z dwudziestu pięciu daje pięć.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj przez ten właśnie przykład: trzy dodać cztery to siedem, ale pierwiastek z sumy to pięć. Pod pierwiastkiem najpierw wykonuje się dodawanie, a dopiero potem pierwiastkuje.

Mylenie pierwiastka z połową liczby

Skąd się bierze: Pierwiastek z czterech wynosi dwa i pierwiastek z dziewięciu wynosi trzy — na tak małych liczbach oba działania dają podobne wyniki, więc utrwala się fałszywe skojarzenie. Przy większych liczbach rozjeżdża się natychmiast.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź na stu: połowa to pięćdziesiąt, a pierwiastek to dziesięć. Pierwiastkowanie to odwrotność mnożenia liczby przez samą siebie, a nie dzielenie przez dwa.

Szukanie pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej

Skąd się bierze: Uczeń szuka liczby, której kwadrat jest ujemny, i nie znajduje żadnej — bo kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Zapisanie wyniku ujemnego jest wtedy zgadywaniem.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj rozróżnienie: pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje w liczbach rzeczywistych, ale sześcienny owszem — bo trzecia potęga liczby ujemnej jest ujemna.

Zamiana pierwiastka na przybliżenie za wcześnie

Skąd się bierze: Wpisanie w połowie zadania, że pierwiastek z dwóch to jeden i czterdzieści jeden setnych, wprowadza błąd zaokrąglenia do wszystkich dalszych rachunków. Przy kilku krokach różnica robi się widoczna.

Jak zrobić dobrze: Zostaw pierwiastek w postaci symbolicznej do samego końca — często się skróci albo zniknie po podniesieniu do kwadratu. Na liczbę dziesiętną przechodź dopiero wtedy, gdy zadanie o to prosi.

Zadania maturalne — działania na pierwiastkach i wyłączanie czynnika

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze: wyłączony czynnik albo uproszczony argument. Trzy prawa wystarczą na całą tę stronę: a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b},  abn=anbn\sqrt[n]{\tfrac{a}{b}} = \tfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}  oraz  ann=a\sqrt[n]{a^n} = a dla a⩾0a \geqslant 0. Uwaga: dla sumy i różnicy pod pierwiastkiem nie ma żadnego prawa — a+b≠a+b\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 7 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy dokładnie 7 zadań, więc dostaniesz je wszystkie.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2025)1 pktśrednie

Liczba 243+1923\sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{192} jest równa
  • A. 66
  • B. 3633\sqrt[3]{6}
  • C. 6336\sqrt[3]{3}
  • D. 6646\sqrt[4]{6}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Pierwiastków nie wolno dodać pod jednym znakiem — trzeba z każdego wyłączyć czynnik i sprowadzić je do tej samej postaci.
  2. Krok 1 — pierwszy pierwiastek. Szukamy w liczbie 24 największego sześcianu:
  3. 24=8⋅3=23⋅3\textcolor{#16A06A}{24} = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3,   więc   243=233⋅33=233\sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{24}} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3} = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt[3]{3}}
  4. Krok 2 — drugi pierwiastek. W 192 największym sześcianem jest 64:
  5. 192=64⋅3=43⋅3\textcolor{#16A06A}{192} = 64 \cdot 3 = 4^3 \cdot 3,   więc   1923=433⋅33=433\sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{192}} = \sqrt[3]{4^3} \cdot \sqrt[3]{3} = \textcolor{#E0453A}{4\sqrt[3]{3}}
  6. Krok 3 — teraz oba mają ten sam pierwiastek, więc dodajemy współczynniki.
  7. 233+433=(2+4)33=633\textcolor{#E0453A}{2\sqrt[3]{3}} + \textcolor{#E0453A}{4\sqrt[3]{3}} = (2 + 4)\sqrt[3]{3} = 6\sqrt[3]{3}
  8. Odpowiedź: 6336\sqrt[3]{3}, czyli C.
  9. Kontrola przybliżona: 33≈1,442\sqrt[3]{3} \approx 1{,}442, więc wynik to około 8,658{,}65. A 243≈2,88\sqrt[3]{24} \approx 2{,}88 i 1923≈5,77\sqrt[3]{192} \approx 5{,}77 — razem 8,658{,}65 ✓.

💡 Wskazówka: Przy pierwiastku trzeciego stopnia szukaj w liczbie sześcianów: 8, 27, 64, 125. Tu 24=8⋅324 = 8 \cdot 3 i 192=64⋅3192 = 64 \cdot 3 — po wyłączeniu oba mają ten sam „ogon” 33\sqrt[3]{3}, i dopiero wtedy wolno je dodać.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie liczb pod pierwiastkiem, czyli 24+1923=2163=6\sqrt[3]{24+192} = \sqrt[3]{216} = 6 — dokładnie na to czeka odpowiedź A. Dla sumy pod pierwiastkiem nie ma żadnego prawa; pierwiastek z sumy nie jest sumą pierwiastków.

Zadanie 2 (sierpień 2023)1 pktśrednie

Liczba 345−203\sqrt{45} - \sqrt{20} jest równa
  • A. (7⋅5)12(7 \cdot 5)^{\frac{1}{2}}
  • B. 5125^{\frac{1}{2}}
  • C. 77
  • D. 7⋅5127 \cdot 5^{\frac{1}{2}}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Krok 1 — wyłączamy czynnik z pierwszego pierwiastka. W 45 największym kwadratem jest 9:
  2. 45=9⋅5=35\textcolor{#16A06A}{\sqrt{45}} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt5
  3. 345=3⋅35=95\textcolor{#16A06A}{3}\sqrt{45} = 3 \cdot 3\sqrt5 = \textcolor{#E0453A}{9\sqrt5}
  4. Krok 2 — wyłączamy czynnik z drugiego pierwiastka. W 20 największym kwadratem jest 4:
  5. 20=4⋅5=25\textcolor{#16A06A}{\sqrt{20}} = \sqrt{4 \cdot 5} = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt5}
  6. Krok 3 — odejmujemy współczynniki.
  7. 95−25=(9−2)5=75\textcolor{#E0453A}{9\sqrt5} - \textcolor{#E0453A}{2\sqrt5} = (9 - 2)\sqrt5 = 7\sqrt5
  8. Krok 4 — zapisujemy w postaci z odpowiedzi. Pierwiastek to potęga o wykładniku 12\tfrac12:
  9. 75=7⋅5127\sqrt5 = 7 \cdot 5^{\frac12}
  10. Odpowiedź: 7⋅5127 \cdot 5^{\frac{1}{2}}, czyli D.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na różnicę między odpowiedziami A i D: (7⋅5)1/2=35(7 \cdot 5)^{1/2} = \sqrt{35}, a 7⋅51/2=757 \cdot 5^{1/2} = 7\sqrt5. Nawias obejmujący całość zmienia sens — siódemka jest przed pierwiastkiem, nie pod nim.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź A, czyli wciągnięcie siódemki pod pierwiastek bez podniesienia jej do kwadratu. Gdyby wciągać, byłoby 49⋅5=245\sqrt{49 \cdot 5} = \sqrt{245}, a nie 35\sqrt{35}. Drugi częsty błąd: odpowiedź C (77), czyli zgubienie 5\sqrt5 po odjęciu współczynników.

Zadanie 3 (maj 2023)1 pktśrednie

Liczba −27163⋅23\sqrt[3]{-\dfrac{27}{16}} \cdot \sqrt[3]{2} jest równa
  • A. (−32)\left(-\dfrac{3}{2}\right)
  • B. 32\dfrac{3}{2}
  • C. 23\dfrac{2}{3}
  • D. (−23)\left(-\dfrac{2}{3}\right)
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Ważna uwaga na wstępie: pierwiastek trzeciego stopnia (i każdego nieparzystego) istnieje także dla liczb ujemnych — inaczej niż kwadratowy. Więc minus tu nie przeszkadza.
  2. Krok 1 — łączymy oba pierwiastki w jeden. Iloczyn pierwiastków tego samego stopnia to pierwiastek z iloczynu:
  3. −27163⋅23=−2716⋅23\sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{27}{16}}} \cdot \sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{2}} = \sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{27}{16}} \cdot \textcolor{#16A06A}{2}}
  4. Krok 2 — upraszczamy argument. Dwójka skraca się z szesnastką:
  5. −2716⋅2=−278=−278-\dfrac{27}{16} \cdot 2 = -\dfrac{27}{8} = \textcolor{#E0453A}{-\dfrac{27}{8}}
  6. Krok 3 — pierwiastkujemy licznik i mianownik osobno.
  7. −2783=−27383=−32=−32\sqrt[3]{\textcolor{#E0453A}{-\dfrac{27}{8}}} = \dfrac{\sqrt[3]{-27}}{\sqrt[3]{8}} = \dfrac{-3}{2} = -\dfrac{3}{2}
  8. Odpowiedź: (−32)\left(-\dfrac{3}{2}\right), czyli A.
  9. Kontrola: (−32)3=−278\left(-\tfrac32\right)^3 = -\tfrac{27}{8} ✓.

💡 Wskazówka: Zanim zaczniesz liczyć, połącz pierwiastki w jeden — wtedy ułamek często się skróci i zostanie „ładna” liczba. Tu 2716⋅2=278\tfrac{27}{16} \cdot 2 = \tfrac{27}{8}, a 2727 i 88 to sześciany, więc pierwiastek wychodzi dokładnie.

⚠ Najczęstszy błąd: odrzucenie minusa jako „niedozwolonego pod pierwiastkiem” i podanie odpowiedzi B. Zakaz dotyczy tylko pierwiastków stopnia parzystego; −273=−3\sqrt[3]{-27} = -3 jest poprawne, bo (−3)3=−27(-3)^3 = -27.

Zadanie 4 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Liczba 128:643\sqrt{128} : \sqrt[3]{64} jest równa
  • A. 122\dfrac{1}{2}\sqrt{2}
  • B. 22
  • C. 2\sqrt{2}
  • D. 222\sqrt{2}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Uwaga: pierwiastki są różnych stopni — kwadratowy i trzeciego stopnia. Nie wolno ich połączyć w jeden, więc liczymy każdy osobno.
  2. Krok 1 — pierwszy pierwiastek. W 128 największym kwadratem jest 64:
  3. 128=64⋅2=64⋅2=82\textcolor{#16A06A}{\sqrt{128}} = \sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{64} \cdot \sqrt2 = \textcolor{#E0453A}{8\sqrt2}
  4. Krok 2 — drugi pierwiastek.
  5. 643=4\textcolor{#16A06A}{\sqrt[3]{64}} = \textcolor{#E0453A}{4},   bo   43=644^3 = 64
  6. Krok 3 — dzielimy.
  7. 824=22\dfrac{\textcolor{#E0453A}{8\sqrt2}}{\textcolor{#E0453A}{4}} = 2\sqrt2
  8. Odpowiedź: 222\sqrt2, czyli D.
  9. Kontrola przybliżona: 128≈11,31\sqrt{128} \approx 11{,}31, 11,31:4≈2,8311{,}31 : 4 \approx 2{,}83, a 22≈2,832\sqrt2 \approx 2{,}83 ✓.

💡 Wskazówka: Liczba 64 pojawia się w tym zadaniu dwa razy w różnych rolach: raz jako największy kwadrat ukryty w 128, raz jako sześcian pod pierwiastkiem trzeciego stopnia. To nie przypadek — CKE lubi takie zadania, bo sprawdzają, czy uczeń patrzy na stopień pierwiastka.

⚠ Najczęstszy błąd: połączenie pierwiastków w 12864=2\sqrt{\tfrac{128}{64}} = \sqrt2 (odpowiedź C) — czyli zignorowanie tego, że drugi pierwiastek jest trzeciego stopnia. Prawo o dzieleniu pierwiastków wymaga tego samego stopnia.

Zadanie 5 (maj 2018)1 pkttrudniejsze

Liczba 733⋅81563\sqrt[3]{\dfrac{7}{3}} \cdot \sqrt[3]{\dfrac{81}{56}} jest równa
  • A. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  • B. 32213\dfrac{3}{2\sqrt[3]{21}}
  • C. 32\dfrac{3}{2}
  • D. 94\dfrac{9}{4}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Oba pierwiastki są tego samego stopnia, więc wolno je połączyć — i dopiero potem upraszczać.
  2. Krok 1 — łączymy w jeden pierwiastek.
  3. 733⋅81563=73⋅81563\sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{\dfrac{7}{3}}} \cdot \sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{\dfrac{81}{56}}} = \sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{\dfrac{7}{3}} \cdot \textcolor{#16A06A}{\dfrac{81}{56}}}
  4. Krok 2 — skracamy przed mnożeniem. Siódemka skraca się z 56 (56=7⋅856 = 7 \cdot 8), a trójka z 81 (81=3⋅2781 = 3 \cdot 27):
  5. 73⋅8156=7⋅813⋅56=1⋅271⋅8=278\dfrac{7}{3} \cdot \dfrac{81}{56} = \dfrac{7 \cdot 81}{3 \cdot 56} = \dfrac{1 \cdot 27}{1 \cdot 8} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{27}{8}}
  6. Krok 3 — pierwiastkujemy. I licznik, i mianownik są sześcianami:
  7. 2783=27383=32\sqrt[3]{\textcolor{#E0453A}{\dfrac{27}{8}}} = \dfrac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \dfrac{3}{2}
  8. Odpowiedź: 32\dfrac{3}{2}, czyli C.

💡 Wskazówka: Skracaj przed mnożeniem, nie po. Gdybyś pomnożył wprost, dostałbyś 567168\tfrac{567}{168} i musiałbyś szukać wspólnego dzielnika w dużych liczbach. Po skróceniu wychodzi 278\tfrac{27}{8} — dwa sześciany, czyli dokładnie to, co potrzebne przy pierwiastku trzeciego stopnia.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D (94\tfrac94), czyli podanie 278\tfrac{27}{8} „spierwiastkowanego” tylko częściowo albo pomylenie 273=3\sqrt[3]{27} = 3 z 278\tfrac{27}{8} podniesionym do 23\tfrac23. Odpowiedź B to inna pułapka — dla kogoś, kto nie zauważył, że ułamek się skraca, i został z 213\sqrt[3]{21} w mianowniku.

Zadanie 6 (sierpień 2015)1 pkttrudniejsze

Liczba 97+79\sqrt{\dfrac{9}{7}} + \sqrt{\dfrac{7}{9}} jest równa
  • A. 1663\sqrt{\dfrac{16}{63}}
  • B. 1637\dfrac{16}{3\sqrt{7}}
  • C. 11
  • D. 3+737\dfrac{3 + \sqrt{7}}{3\sqrt{7}}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Dwa pierwiastki z ułamków — rozbijamy każdy na licznik i mianownik, a potem dodajemy jak zwykłe ułamki.
  2. Krok 1 — pierwszy pierwiastek.
  3. 97=97=37\sqrt{\textcolor{#16A06A}{\dfrac{9}{7}}} = \dfrac{\sqrt9}{\sqrt7} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{\sqrt7}}
  4. Krok 2 — drugi pierwiastek.
  5. 79=79=73\sqrt{\textcolor{#16A06A}{\dfrac{7}{9}}} = \dfrac{\sqrt7}{\sqrt9} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{\sqrt7}{3}}
  6. Krok 3 — dodajemy ułamki. Wspólny mianownik to 373\sqrt7:
  7. 37+73=3⋅337+7⋅737=937+737\textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{\sqrt7}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{\sqrt7}{3}} = \dfrac{3 \cdot 3}{3\sqrt7} + \dfrac{\sqrt7 \cdot \sqrt7}{3\sqrt7} = \dfrac{9}{3\sqrt7} + \dfrac{7}{3\sqrt7}
  8. Krok 4 — sumujemy liczniki. Tu jest sedno: 7⋅7=7\sqrt7 \cdot \sqrt7 = 7, więc drugi licznik przestaje być niewymierny:
  9. 9+737=1637\dfrac{9 + 7}{3\sqrt7} = \dfrac{16}{3\sqrt7}
  10. Odpowiedź: 1637\dfrac{16}{3\sqrt{7}}, czyli B.
  11. Kontrola przybliżona: 97≈1,134\sqrt{\tfrac97} \approx 1{,}134, 79≈0,882\sqrt{\tfrac79} \approx 0{,}882, razem ≈2,016\approx 2{,}016. A 1637≈167,94≈2,016\tfrac{16}{3\sqrt7} \approx \tfrac{16}{7{,}94} \approx 2{,}016 ✓.

💡 Wskazówka: Odpowiedź C (11) sprawdza, czy nie liczysz „na oko”: oba ułamki pod pierwiastkami są odwrotnościami, więc kusi, żeby uznać sumę za coś okrągłego. Ale odwrotne ułamki nie dają w sumie jedynki — dają jedynkę tylko przy mnożeniu.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź A, czyli dodanie ułamków pod jednym pierwiastkiem (97+79=81+4963\tfrac97 + \tfrac79 = \tfrac{81+49}{63} — i tak nie daje 1663\tfrac{16}{63}). Nie ma prawa na pierwiastek z sumy; trzeba najpierw rozbić każdy pierwiastek osobno.

Zadanie 7 (czerwiec 2015)1 pktśrednie

Liczba 218−322\sqrt{18} - \sqrt{32} jest równa
  • A. 2−322^{-\frac{3}{2}}
  • B. 2−122^{-\frac{1}{2}}
  • C. 2122^{\frac{1}{2}}
  • D. 2322^{\frac{3}{2}}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Krok 1 — wyłączamy czynnik z pierwszego pierwiastka. W 18 największym kwadratem jest 9:
  2. 18=9⋅2=32\textcolor{#16A06A}{\sqrt{18}} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt2
  3. 218=2⋅32=62\textcolor{#16A06A}{2}\sqrt{18} = 2 \cdot 3\sqrt2 = \textcolor{#E0453A}{6\sqrt2}
  4. Krok 2 — drugi pierwiastek. W 32 największym kwadratem jest 16:
  5. 32=16⋅2=42\textcolor{#16A06A}{\sqrt{32}} = \sqrt{16 \cdot 2} = \textcolor{#E0453A}{4\sqrt2}
  6. Krok 3 — odejmujemy.
  7. 62−42=22\textcolor{#E0453A}{6\sqrt2} - \textcolor{#E0453A}{4\sqrt2} = 2\sqrt2
  8. Krok 4 — zapisujemy jako potęgę dwójki. To konieczne, bo wszystkie odpowiedzi są w tej postaci:
  9. 22=21⋅212=2 1+12=2322\sqrt2 = 2^1 \cdot 2^{\frac12} = 2^{\,1 + \frac12} = 2^{\frac32}
  10. Odpowiedź: 2322^{\frac{3}{2}}, czyli D.

💡 Wskazówka: Gdy odpowiedzi są podane jako potęgi, ostatni krok jest obowiązkowy — trzeba przetłumaczyć 222\sqrt2 na 23/22^{3/2}. Pomaga pamiętać, że 22=82\sqrt2 = \sqrt8, a 8=238 = 2^3, więc 23=23/2\sqrt{2^3} = 2^{3/2}.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź C (21/2=22^{1/2} = \sqrt2), czyli zgubienie współczynnika 2 przy przepisywaniu na potęgę. Dwójka przed pierwiastkiem to 212^1 i jej wykładnik dodaje się do 12\tfrac12 — nie znika.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C2. D3. A4. D5. C6. B
7. D

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Okładka: Pierwiastki, klasa 7 — 11 kart pracy PDF z kluczem

Karty pracy · sklep

Pierwiastki, klasa 7 — 11 kart pracy PDF z kluczem

11 kart pracy z matematyki dla klasy 7: pierwiastek kwadratowy i sześcienny, szacowanie, wyłączanie czynnika przed pierwiastek, działania.…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →
Okładka: Liczby rzeczywiste, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

Karty pracy · sklep

Liczby rzeczywiste, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

10 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: potęgi o wykładniku ujemnym i wymiernym, pierwiastki, notacja wykładnicza, błąd względny.…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

10Pytania i odpowiedzi

Co to jest pierwiastek?

Pierwiastek kwadratowy z liczby to liczba nieujemna, która pomnożona przez samą siebie daje tę liczbę. To działanie odwrotne do podnoszenia do kwadratu — jeśli znasz pole kwadratu, pierwiastek poda ci długość jego boku.

Jak obliczyć pierwiastek z liczby bez kalkulatora?

Jeśli liczba jest kwadratem liczby całkowitej, szukaj wprost wśród znanych kwadratów. Jeśli nie jest, oszacuj: znajdź dwa sąsiednie kwadraty, między którymi leży, a wynik będzie między odpowiadającymi im liczbami. To wystarcza do porównywania i do sprawdzania rzędu wielkości.

Czy pierwiastek może być ujemny?

Wynik pierwiastkowania kwadratowego nigdy nie jest ujemny — z definicji bierze się liczbę nieujemną. Sama liczba pod pierwiastkiem kwadratowym też nie może być ujemna. Inaczej jest przy pierwiastku sześciennym, gdzie i liczba podpierwiastkowa, i wynik mogą być ujemne.

Co to jest liczba niewymierna?

To liczba, której nie da się zapisać jako ułamka zwykłego o całkowitym liczniku i mianowniku. Jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe. Pierwiastek z dwóch jest takim właśnie przypadkiem — i można udowodnić, że żaden ułamek nie da w kwadracie dokładnie dwójki.

Czym różni się pierwiastek kwadratowy od sześciennego?

Kwadratowy odwraca podnoszenie do drugiej potęgi, sześcienny do trzeciej. Praktyczna różnica jest jedna: z liczby ujemnej można wyciągnąć pierwiastek sześcienny, ale nie kwadratowy. Geometrycznie kwadratowy daje bok kwadratu o danym polu, a sześcienny — krawędź sześcianu o danej objętości.

Kiedy pierwiastek wychodzi „ładnie”?

Tylko wtedy, gdy liczba podpierwiastkowa jest kwadratem liczby całkowitej albo kwadratem ułamka. We wszystkich pozostałych przypadkach wynik jest liczbą niewymierną i zostawia się go w postaci z pierwiastkiem, bo taki zapis jest dokładny, a dziesiętny tylko przybliżony.

Czytaj dalej

Pierwiastkowanie — zadania z egzaminu ósmoklasisty23 zadania z arkuszy CKE z rozwiązaniami i kluczem odpowiedziPotęgi — teoriaDziałanie odwrotne do pierwiastkowania, od podstawy i wykładnikaTwierdzenie Pitagorasa — teoriaNajczęstsze miejsce, w którym pierwiastek pojawia się w geometriiEgzamin ósmoklasisty z matematykiWszystkie działy, arkusze i sposób przygotowaniaPierwiastek sześciennyPierwiastek trzeciego stopnia i liczby ujemne.Usuwanie niewymierności z mianownikaSprzężenie i mnożenie przez pierwiastek.Pierwiastek z 2Wartość √2, przekątna kwadratu i format A4.Pierwiastek z 3Wartość √3 i trójkąt równoboczny.Wyłączanie czynnika przed pierwiastek√12 = 2√3 i inne przykłady.
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-22