Przedziały i zbiory liczbowe — działania na przedziałach, zapis na osi liczbowej, zbiory liczb

A. \(6\)

**Krok \(1\).** Liczby mają należeć **jednocześnie** do obu przedziałów, czyli szukamy ich części wspólnej. Najbezpieczniej narysować oś liczbową i zaznaczyć na niej oba przedziały. **Krok \(2\).** Odczytujemy przedziały z zapisu: \((-\infty,\ 5)\) to wszystkie \(x\lt 5\) (nawias okrągły, więc \(5\) nie należy), a \([-1,\ +\infty)\) to wszystkie \(x\geq-1\) (nawias kwadratowy, więc \(-1\) należy). **Krok \(3\).** Część wspólna to liczby spełniające oba warunki naraz: \[-1\leq x\lt 5,\qquad\text{czyli}\qquad [-1,\ 5).\] **Krok \(4\).** Wypisujemy z tego przedziału liczby całkowite: \[-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4.\] **Krok \(5\).** Liczymy je: jest ich \(6\). **Uwaga.** Cały wynik zależy od rodzaju nawiasów. Liczba \(-1\) należy do zbioru (kwadratowy nawias), a \(5\) nie należy (okrągły nawias). Zapomnienie o \(-1\) daje \(5\), a dorzucenie \(5\) daje \(7\) - obie te liczby są wśród dystraktorów. **Odpowiedź.** A: \(6\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.7) Zdający posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej.

B

**Krok \(1\).** Rysunek przedstawia przedział o lewym końcu \(-10\) (nawias okrągły, więc \(-10\) do przedziału nie należy) i prawym końcu \(k\), który do przedziału należy. Zadanie sprowadza się do wypisania liczb całkowitych z tego przedziału i takiego dobrania \(k\), by ich suma wyniosła \(21\). **Krok \(2\).** Najmniejszą liczbą całkowitą w tym przedziale jest \(-9\), bo liczby \(-10\) już w nim nie ma. Największą jest \(k\). Sumujemy zatem \[(-9)+(-8)+\ldots+(-1)+0+1+\ldots+k.\] **Krok \(3\).** Upraszczamy tę sumę: liczby od \(-9\) do \(9\) znoszą się parami, bo \(-9+9=0\), \(-8+8=0\) i tak dalej. Ich suma jest równa \(0\), więc zostaje tylko suma liczb od \(10\) do \(k\). **Krok \(4\).** Szukamy takiego \(k\), żeby \[10+11+\ldots+k=21.\] Dla \(k=10\) suma wynosi \(10\), czyli za mało; dla \(k=11\) suma wynosi \(10+11=21\), czyli dokładnie tyle, ile trzeba; dla \(k=12\) byłoby już \(10+11+12=33\). **Krok \(5\).** Zatem \(k=11\). Sprawdzamy: liczby całkowite z przedziału to \(-9,-8,\ldots,9,10,11\), a ich suma to \(0+10+11=21\). **Uwaga.** Lewy koniec \(-10\) jest wyłączony. Gdyby ktoś go doliczył, suma zmniejszyłaby się o \(10\) i wyszłoby błędne \(k\). **Odpowiedź.** B, czyli \(k=11\).

Zadanie 5. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.

Na przykład \(a=1\), \(b=2\).

Zapisujemy krańce przedziału w postaci dziesiętnej: \[\frac49=0{,}444\ldots,\qquad \frac59=0{,}555\ldots\] Szukamy więc ułamka o liczniku i mianowniku całkowitym dodatnim, którego wartość leży ściśle między tymi liczbami. Najprostszym kandydatem jest \(\frac12=0{,}5\). Sprawdzamy nierówności, sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika \(18\): \[\frac49=\frac8{18},\qquad \frac12=\frac9{18},\qquad \frac59=\frac{10}{18}.\] Ponieważ \(8<9<10\), zachodzi \[\frac49<\frac12<\frac59.\] Liczby \(a=1\) i \(b=2\) są całkowite i dodatnie, więc spełniają wszystkie warunki zadania. **Odpowiedź.** Na przykład \(a=1\), \(b=2\), bo \(\frac49<\frac12<\frac59\).

**2 pkt** – podanie pary liczb całkowitych dodatnich spełniającej nierówność wraz z uzasadnieniem (na przykład \(a=1\), \(b=2\)) **Uwaga:** Centralna Komisja Egzaminacyjna nie opublikowała dla tego arkusza pokazowego schematu oceniania z progami cząstkowymi. Podana punktacja całkowita pochodzi z arkusza.

**Sprawdzana umiejętność:** porównywanie ułamków zwykłych przez sprowadzenie do wspólnego mianownika oraz podawanie przykładu liczby spełniającej podany warunek.

a) \(A=(-\infty,2\rangle\cup\langle8,+\infty)\), \(B=(-\infty,-3\rangle\cup\langle3,+\infty)\), \(C=(-\infty,1)\). b) \(A\cap B=(-\infty,-3\rangle\cup\langle8,+\infty)\), zatem \(C\setminus(A\cap B)=(-3,1)\).

**Krok \(1\).** Każdy z trzech zbiorów jest opisany nierównością innego typu: z wartością bezwzględną, kwadratową i wymierną. Rozwiązujemy je po kolei, zapisujemy jako przedziały, dopiero potem wykonujemy działania na zbiorach. **Krok \(2\).** Zbiór \(A\): nierówność \(|5-x|\geqslant3\) rozbijamy na dwa przypadki: \[5-x\geqslant3\quad\text{lub}\quad 5-x\leqslant-3,\] \[-x\geqslant-2\quad\text{lub}\quad -x\leqslant-8,\] czyli \(x\leqslant2\) lub \(x\geqslant8\). Zatem \(A=(-\infty,2\rangle\cup\langle8,+\infty)\). **Krok \(3\).** Zbiór \(B\): z \(x^2-9\geqslant0\) mamy \(x^2\geqslant9\), a miejsca zerowe trójmianu to \(-3\) i \(3\). Parabola ma ramiona w górę, więc wartości nieujemne przyjmuje poza pierwiastkami: \[B=(-\infty,-3\rangle\cup\langle3,+\infty).\] **Krok \(4\).** Zbiór \(C\): najpierw dziedzina — mianownik nie może być zerem, więc \(x\neq1\). Nierówności nie wolno mnożyć przez \(x-1\), bo nie znamy znaku tego wyrażenia; przenosimy więc wszystko na lewą stronę: \[\frac{x+1}{x-1}-1\leqslant0.\] **Krok \(5\).** Sprowadzamy do wspólnego mianownika: \[\frac{x+1-(x-1)}{x-1}=\frac{2}{x-1}\leqslant0.\] Licznik jest stale dodatni, więc ułamek jest ujemny dokładnie wtedy, gdy \(x-1\lt 0\); zerem nigdy nie jest. Stąd \(x\lt 1\) i \(C=(-\infty,1)\). **Krok \(6\).** Podpunkt a) to zaznaczenie tych zbiorów na osi: przy liczbach \(2\), \(8\), \(-3\), \(3\) kółka zamalowane (należą do zbiorów), a przy \(1\) kółko puste (nie należy). **Krok \(7\).** Wyznaczamy \(A\cap B\), czyli liczby należące jednocześnie do obu zbiorów. Dla \(x\leqslant-3\): warunek z \(A\) (\(x\leqslant2\)) też zachodzi, więc te liczby wchodzą. Dla \(-3\lt x\leqslant2\): nie należą do \(B\). Dla \(3\leqslant x\lt 8\): nie należą do \(A\). Dla \(x\geqslant8\): oba warunki spełnione. Zatem \[A\cap B=(-\infty,-3\rangle\cup\langle8,+\infty).\] **Krok \(8\).** Wreszcie \(C\setminus(A\cap B)\): ze zbioru \(C=(-\infty,1)\) usuwamy te elementy, które należą do \(A\cap B\). Część \(\langle8,+\infty)\) i tak nie ma z \(C\) elementów wspólnych, a usunięcie \((-\infty,-3\rangle\) obcina zbiór \(C\) od dołu: \[C\setminus(A\cap B)=(-3,1).\] **Uwaga.** Liczba \(-3\) należy do \(A\cap B\), więc zostaje usunięta i nawias przy niej jest otwarty; liczba \(1\) od początku nie należy do \(C\), więc też stoi przy niej nawias otwarty. Przy nierówności wymiernej pomnożenie obu stron przez \(x-1\) bez rozważenia znaku jest błędem, który zmienia odpowiedź. **Odpowiedź.** a) \(A=(-\infty,2\rangle\cup\langle8,+\infty)\), \(B=(-\infty,-3\rangle\cup\langle3,+\infty)\), \(C=(-\infty,1)\); b) \(C\setminus(A\cap B)=(-3,1)\).

10.1 1 Jeśli zdający nie zaznaczy, jaki jest charakter 0 2 8 końców odcinków, nie przyznajemy punktów. Zaznaczenie zbioru B na osi liczbowej:. Zapis algebraiczny B = ( − ∞, − 3 ∪ 3,+∞ ) nie jest oceniany. 10.2 1 –3 3 Jeśli zdający nie zaznaczy, jaki jest charakter końców odcinków, nie przyznajemy punktów. 1 pkt przyznajemy gdy zdający: • algebraicznie rozwiąże nierówność, np. Zaznaczenie zbioru C na osi liczbowej: mnoży przez ( x −1)2 i w odpowiedzi nie uwzględni warunku x ≠ 1 , 10. • rozwiąże graficznie (poprawnie narysuje wykres funkcji homograficznej ale źle 10.3 0 1 2 odczyta zbiór argumentów), lub • doprowadzi nierówność do postaci 0 1 2 ≤ 0 (dalej nie potrafi rozwiązać). x −1 Jeżeli zdający pomnoży obie strony nierówności 1 pkt za prawidłowe rozwiązanie nierówności, przez (x −1) otrzymuje 0 pkt. 1 pkt za zaznaczenie zbioru na osi liczbowej. 10.4 Wyznaczenie zbioru A ∩ B : A ∩ B = ( −∞, −3 ∪ 8, +∞) . 1 Jeśli zdający wykonał rysunek, to takiej odpowiedzi nie oceniamy. Jeśli zdający popełnił błędy przy wyznaczaniu 10.5 Wyznaczenie zbioru C \ ( A ∩ B ) : C \ ( A ∩ B) = ( −3,1) . 1 zbiorów A, B, C, ale błędy te nie ułatwiły rozwiązania podpunktu b), to przyznajemy punkty za czynności 10.4 i 10.5. 8 Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(A=(-\infty,-3\rangle\cup\langle11,+\infty)\), \(B=\mathbb{R}\setminus\{0\}\), \(C=B\setminus A=(-3,0)\cup(0,11)\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy dwa typy warunków. Pierwszy, \(|x-4|\geqslant7\), to nierówność z wartością bezwzględną — czytamy ją jako „odległość liczby \(x\) od liczby \(4\) jest nie mniejsza niż \(7\)”, a rozwiązujemy, rozbijając na alternatywę dwóch nierówności. Drugi warunek, \(x^2\gt0\), rozstrzygamy własnością kwadratu. Dopiero mając oba zbiory, wykonujemy różnicę \(B\setminus A\). **Krok \(2\).** Rozwiązujemy \(|x-4|\geqslant7\). Nierówność z wartością bezwzględną typu \(|w|\geqslant c\) (dla \(c\gt0\)) jest równoważna alternatywie \(w\leqslant-c\) lub \(w\geqslant c\): \[x-4\leqslant-7\quad\text{lub}\quad x-4\geqslant7,\] \[x\leqslant-3\quad\text{lub}\quad x\geqslant11.\] Zatem \(A=(-\infty,-3\rangle\cup\langle11,+\infty)\). Na osi liczbowej zaznaczamy dwie półproste, z kółkami PEŁNYMI w punktach \(-3\) i \(11\) (nierówność jest nieostra). **Krok \(3\).** Rozwiązujemy \(x^2\gt0\). Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, a zeru równa się dokładnie wtedy, gdy \(x=0\). Nierówność jest więc spełniona przez wszystkie liczby oprócz zera: \[B=\mathbb{R}\setminus\{0\}.\] Na osi zaznaczamy całą prostą z jednym punktem WYKŁUTYM w \(0\). **Krok \(4\).** Podpunkt c): \(C=B\setminus A\) to zbiór tych elementów \(B\), które nie należą do \(A\). Wygodnie najpierw znaleźć dopełnienie zbioru \(A\), czyli to, co „zostaje między półprostymi”: \[\mathbb{R}\setminus A=(-3,11).\] Końce \(-3\) i \(11\) należą do \(A\), więc do dopełnienia już nie wchodzą — stąd nawiasy otwarte. **Krok \(5\).** Z przedziału \((-3,11)\) musimy jeszcze usunąć te liczby, które nie należą do \(B\), czyli liczbę \(0\): \[C=(-3,11)\setminus\{0\}=(-3,0)\cup(0,11).\] Na osi: odcinek od \(-3\) do \(11\) z trzema wykłutymi punktami: \(-3\), \(0\) i \(11\). **Uwaga.** Dwie pułapki. Po pierwsze, ponieważ nierówność definiująca \(A\) jest NIEOSTRA, liczby \(-3\) i \(11\) należą do \(A\), a więc na pewno NIE należą do \(C\) — końce przedziału muszą być otwarte. Po drugie, łatwo zapomnieć o wykłuciu zera: \(0\) nie należy do \(A\), ale nie należy też do \(B\), a odejmujemy przecież od \(B\). **Odpowiedź.** \(A=(-\infty,-3\rangle\cup\langle11,+\infty)\), \(B=\mathbb{R}\setminus\{0\}\), \(C=B\setminus A=(-3,0)\cup(0,11)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 1.** (\(3\) pkt) Dane są zbiory: \(A=\{x\in R:\lvert x-4\rvert\ge 7\}\), \(B=\{x\in R:x^{2}>0\}\). Zaznacz na osi liczbowej: a) zbiór \(A\), b) zbiór \(B\), c) zbiór \(C=B\setminus A\). a) Zapisuję nierówność \(\lvert x-4\rvert\ge 7\) w postaci alternatywy nierówności: \(x-4\le-7\) lub \(x-4\ge 7\) i rozwiązuję każdą z nich. \(x\le-3\) lub \(x\ge 11\). Zaznaczam na osi liczbowej zbiór \(A\). […] b) Rozwiązuję nierówność \(x^{2}>0\). \(x\ne 0\) Zaznaczam na osi liczbowej zbiór \(B\). […] c) Zaznaczam na osi liczbowej zbiór \(C\). […] | Nr czynności | 1.1. | 1.2. | 1.3. | |---|---:|---:|---:| | Maks. liczba pkt | \(1\) | \(1\) | \(1\) |

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(A=(-\infty,0)\cup\langle3,+\infty)\), \(B=(-4,2)\). b) \(A\cup B=(-\infty,2)\cup\langle3,+\infty)\) oraz \(A\setminus B=(-\infty,-4\rangle\cup\langle3,+\infty)\).

**Krok \(1\).** Trzeba wyznaczyć dwa zbiory opisane nierównościami, a potem wykonać na nich działania. Zbiór \(A\) dany jest nierównością wymierną — obowiązuje tu żelazna zasada: nie wolno mnożyć obu stron przez \(x\), bo nie znamy jego znaku; zamiast tego przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika. Zbiór \(B\) opisany jest wartością bezwzględną — najprościej odczytać go z interpretacji geometrycznej: \(|x+1|\) to odległość liczby \(x\) od \(-1\). **Krok \(2\).** Zbiór \(A\): najpierw założenie \(x\ne0\). Przekształcamy nierówność: \[\frac3x\leqslant1\iff\frac3x-1\leqslant0\iff\frac{3-x}{x}\leqslant0.\] **Krok \(3\).** Nierówność \(\frac{3-x}{x}\leqslant0\) ma te same rozwiązania co \((3-x)\cdot x\leqslant0\) przy \(x\ne0\) (mnożymy obie strony przez \(x^2\gt0\)). Lewa strona to funkcja kwadratowa o miejscach zerowych \(0\) i \(3\) oraz ramionach skierowanych w dół, więc jest niedodatnia poza przedziałem \(\langle0,3\rangle\): \[x\leqslant0\ \text{ lub }\ x\geqslant3.\] Po uwzględnieniu założenia \(x\ne0\) otrzymujemy \[A=(-\infty,0)\cup\langle3,+\infty).\] **Krok \(4\).** Zbiór \(B\): nierówność \(|x+1|\lt3\) czytamy jako „odległość liczby \(x\) od \(-1\) jest mniejsza niż \(3\)”, czyli \[-3\lt x+1\lt3\iff-4\lt x\lt2.\] Zatem \(B=(-4,2)\). **Krok \(5\).** a) Zaznaczamy oba zbiory na osi liczbowej: \(A\) to cała półprosta na lewo od \(0\) (z punktem \(0\) wykluczonym, kółko puste) oraz półprosta od \(3\) w prawo (z punktem \(3\) włączonym, kółko pełne); \(B\) to odcinek od \(-4\) do \(2\) z obydwoma końcami wykluczonymi. **Krok \(6\).** b) Suma \(A\cup B\): bierzemy wszystko, co należy do któregokolwiek ze zbiorów. Przedziały \((-\infty,0)\) i \((-4,2)\) zachodzą na siebie i sklejają się w \((-\infty,2)\), a przedział \(\langle3,+\infty)\) pozostaje osobno, bo między \(2\) a \(3\) nie ma punktów żadnego z tych zbiorów: \[A\cup B=(-\infty,2)\cup\langle3,+\infty).\] **Krok \(7\).** Różnica \(A\setminus B\): ze zbioru \(A\) usuwamy wszystkie punkty należące do \(B=(-4,2)\). Z części \((-\infty,0)\) zostaje \((-\infty,-4\rangle\) — liczba \(-4\) zostaje, bo nie należy do \(B\) (przedział jest otwarty). Część \(\langle3,+\infty)\) jest rozłączna z \(B\), więc zostaje w całości: \[A\setminus B=(-\infty,-4\rangle\cup\langle3,+\infty).\] **Uwaga.** Najczęstszy błąd to pomnożenie \(\frac3x\leqslant1\) obustronnie przez \(x\): dla \(x\lt0\) trzeba by wtedy odwrócić znak nierówności, a bez rozpatrzenia przypadków wychodzi tylko \(x\geqslant3\) i gubi się całą półprostą ujemną. Pilnuj też domknięć: \(3\) należy do \(A\) (nierówność nieostra), \(0\) nie należy (założenie dziedziny), a \(-4\) należy do \(A\setminus B\), bo \(B\) jest przedziałem otwartym. **Odpowiedź.** a) \(A=(-\infty,0)\cup\langle3,+\infty)\), \(B=(-4,2)\). b) \(A\cup B=(-\infty,2)\cup\langle3,+\infty)\) oraz \(A\setminus B=(-\infty,-4\rangle\cup\langle3,+\infty)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **9.1. (1 pkt)** – zapisanie założenia: \(R\setminus\{0\}\). **9.2. (1 pkt)** – doprowadzenie nierówności wymiernej do postaci \(x(3-x)\leq 0\) lub \(\frac{3-x}{x}\leq 0\), gdzie \(x\neq 0\). **9.3. (1 pkt)** – rozwiązanie nierówności wymiernej: \(x\in(-\infty,\,0)\cup\langle 3,\,\infty)\). **9.4. (1 pkt)** – zaznaczenie zbioru \(A\) na osi liczbowej. **9.5. (1 pkt)** – wykorzystanie geometrycznej interpretacji wartości bezwzględnej do wyznaczenia zbioru \(B\): \(B=(-4,\,2)\). **9.6. (1 pkt)** – zaznaczenie zbioru \(B\) na osi liczbowej. **9.7. (1 pkt)** – wyznaczenie sumy: \(A\cup B=(-\infty,\,2)\cup\langle 3,\,+\infty)\). **9.8. (1 pkt)** – wyznaczenie różnicy: \(A\setminus B=(-\infty,\,-4\rangle\cup\langle 3,\,\infty)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(A=(-5,1)\), \(B=\langle-2,2\rangle\), \(A\cap B=\langle-2,1)\), \(B\setminus A=\langle1,2\rangle\).

**Krok \(1\).** Oba zbiory są opisane nierównościami, więc plan jest taki: każdą nierówność rozwiązujemy osobno i zapisujemy jej rozwiązanie jako przedział, a dopiero potem wykonujemy działania na przedziałach. Nierówność z wartością bezwzględną rozwiążemy z definicji, a drugą trzeba najpierw uprościć, rozwijając sześcian. **Krok \(2\).** Zbiór \(A\): nierówność \(|x+2|\lt3\) oznacza, że liczba \(x+2\) jest odległa od zera o mniej niż \(3\), czyli \[-3\lt x+2\lt3.\] Odejmujemy \(2\) od każdej części: \(-5\lt x\lt1\), zatem \(A=(-5,1)\). **Krok \(3\).** Zbiór \(B\): korzystamy ze wzoru \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\) dla \(a=2x\), \(b=1\): \[(2x-1)^3=8x^3-12x^2+6x-1.\] **Krok \(4\).** Wstawiamy to do nierówności: \[8x^3-12x^2+6x-1\leqslant 8x^3-13x^2+6x+3.\] Wyrazy \(8x^3\) oraz \(6x\) występują po obu stronach i się redukują: \[-12x^2-1\leqslant-13x^2+3.\] **Krok \(5\).** Przenosimy wszystko na jedną stronę: \(-12x^2+13x^2\leqslant3+1\), czyli \(x^2\leqslant4\). Ta nierówność oznacza \(|x|\leqslant2\), a więc \[-2\leqslant x\leqslant2,\qquad B=\langle-2,2\rangle.\] **Krok \(6\).** Część wspólna: \(A\cap B\) to liczby należące jednocześnie do \((-5,1)\) i do \(\langle-2,2\rangle\). Lewy koniec bierzemy z \(B\) (bo \(-2\) jest większe od \(-5\) i należy do \(B\)), a prawy z \(A\) (bo \(1\) jest mniejsze od \(2\), ale nie należy do \(A\)): \[A\cap B=\langle-2,1).\] **Krok \(7\).** Różnica: \(B\setminus A\) to liczby z \(B\), które nie są w \(A\). Ze zbioru \(\langle-2,2\rangle\) wyrzucamy wszystko, co jest mniejsze od \(1\) i większe od \(-5\), zostaje \[B\setminus A=\langle1,2\rangle.\] **Uwaga.** Cała trudność tego zadania siedzi w końcach przedziałów. Liczba \(1\) nie należy do \(A\) (nierówność \(|x+2|\lt3\) jest ostra), więc \(1\) nie wchodzi do \(A\cap B\), ale wchodzi do \(B\setminus A\). Liczby \(-2\) i \(2\) należą do \(B\), bo tam nierówność jest nieostra. **Odpowiedź.** \(A=(-5,1)\), \(B=\langle-2,2\rangle\), \(A\cap B=\langle-2,1)\), \(B\setminus A=\langle1,2\rangle\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **6.1. (2 pkt)** – […] (w tym 1 p. za metodę oraz 1 p. za obliczenia): \(A=(-5;1)\) **6.2. (2 pkt)** – rozwiązanie nierówności: \((2x-1)^{3}\le 8x^{3}-13x^{2}+6x+3\) i wyznaczenie zbioru \(B\): \(B=\langle-2;2\rangle\) (w tym 1 p. za doprowadzenie nierówności do postaci \(x^{2}\le 4\) oraz 1 p. za rozwiązanie otrzymanej nierówności kwadratowej) **6.3. (1 pkt)** – wyznaczenie zbioru \(A\cap B\): \(A\cap B=\langle-2;1)\) **6.4. (1 pkt)** – wyznaczenie zbioru \(B-A\): \(B-A=\langle 1;2\rangle\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\[A\setminus B=\{0\}.\]

Wyznaczamy najpierw zbiór \(A\). Nierówność \(-x^2+2x+3\geq0\) mnożymy stronami przez \(-1\), zmieniając zwrot: \[x^2-2x-3\leq0,\qquad (x+1)(x-3)\leq0,\] skąd \[A=[-1,3].\] Zbiór \(B\) to dziedzina funkcji wymiernej — mianownik musi być różny od zera: \[4x-x^2\neq0,\qquad x(4-x)\neq0,\] czyli \(x\neq0\) i \(x\neq4\). Zatem \(B=\mathbb{R}\setminus\{0,4\}\). Różnica \(A\setminus B\) to te elementy \(A\), których nie ma w \(B\), czyli \(A\cap\{0,4\}\). Liczba \(0\) należy do \([-1,3]\), a \(4\) już nie, więc \[A\setminus B=\{0\}.\] **Odpowiedź.** \(A\setminus B=\{0\}\).

**1. (1 pkt)** – Wyznaczenie pierwiastków mianownika wyrażenia \(\frac{x^{2}-9}{4x-x^{2}}\): \(x_{1}=0\), \(x_{2}=4\) **2. (1 pkt)** – Wyznaczenie dziedziny funkcji wymiernej: \(B=R\setminus\{0;4\}\) **3. (1 pkt)** – Wyznaczenie różnicy zbiorów: \(A\setminus B=\{0\}\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.