Strona główna › Liczby i działania

Potęgi — podstawa, wykładnik i notacja wykładnicza

Potęgowanie to skrócony zapis mnożenia przez samą siebie — i tyle wystarczy, żeby wyprowadzić wszystko inne. Ta strona tłumaczy, skąd biorą się wzory, dlaczego liczba do zerowej potęgi daje jeden (a nie „bo tak”) i po co komu notacja wykładnicza poza lekcją matematyki.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasa 7 – maturaZadań z matury: 3

Krótko: Potęga aⁿ to iloczyn n czynników równych a, na przykład 2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16. Liczbę a nazywamy podstawą, a n — wykładnikiem; każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi 0 daje 1.

Przejdź od razu do zadań (3) ↓

Kalkulator potęg

Podstawa może być liczbą całkowitą, dziesiętną (2,5) albo ułamkiem (2/3); wykładnik — liczbą całkowitą, także ujemną lub 0.

Wzory na potęgi — ściąga

Wszystkie wzory na działania na potęgach w jednym miejscu, każdy z przykładem. Skąd się biorą, wyjaśniam niżej — żadnego nie trzeba wkuwać, jeśli raz się go rozpisze.

DziałanieWzórPrzykład
mnożenie, ta sama podstawaam⋅an=am+na^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}23⋅24=27=1282^{3} \cdot 2^{4} = 2^{7} = 128
dzielenie, ta sama podstawaam:an=am−na^{m} : a^{n} = a^{m - n}, a≠0a \neq 056:54=52=255^{6} : 5^{4} = 5^{2} = 25
potęga potęgi(am)n=am⋅n(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}(32)3=36=729(3^{2})^{3} = 3^{6} = 729
potęga iloczynu(a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}(2⋅5)3=23⋅53=1000(2 \cdot 5)^{3} = 2^{3} \cdot 5^{3} = 1000
potęga ilorazu(a:b)n=an:bn(a : b)^{n} = a^{n} : b^{n}, b≠0b \neq 0(23)2=49(\dfrac{2}{3})^{2} = \dfrac{4}{9}
potęga zerowaa0=1a^{0} = 1, a≠0a \neq 070=17^{0} = 1
wykładnik ujemnya−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}, a≠0a \neq 02−3=182^{-3} = \dfrac{1}{8}
wykładnik ułamkowy (liceum)a1n=ana^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}, a≥0a \geq 0912=9=39^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3
Wzory na potęgi — ściąga z przykładami: mnożenie potęg o tej samej podstawie (2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128), dzielenie (5⁶ : 5⁴ = 5² = 25), potęga potęgi ((3²)³ = 3⁶ = 729), potęga iloczynu ((2 · 5)³ = 1000), potęga ilorazu (dwie trzecie do kwadratu to cztery dziewiąte), potęga zerowa (7⁰ = 1) i wykładnik ujemny (2⁻³ to jedna ósma)
Wzory na działania na potęgach — ściąga z przykładami

Co zrobić, gdy podstawy albo wykładniki są różne (np. 82⋅438^{2} \cdot 4^{3} albo 274:9527^{4} : 9^{5}) — wszystkie przypadki z trenerem online: mnożenie i dzielenie potęg. Gotowy sprawdzian z kluczem (grupy A i B): sprawdzian z potęg dla klasy 7.

Trzy pułapki, na których traci się najwięcej punktów

  • Dodawania potęg nie ma we wzorach. 23+24=8+16=242^{3} + 2^{4} = 8 + 16 = 24, a nie 272^{7}. Skrócić da się sumę jednakowych potęg: 23+23=2⋅23=242^{3} + 2^{3} = 2 \cdot 2^{3} = 2^{4}, a z sumy potęg o różnych wykładnikach wyłączyć wspólny czynnik: 23+25=23(1+22)=5⋅232^{3} + 2^{5} = 2^{3}(1 + 2^{2}) = 5 \cdot 2^{3}. Więcej przykładów: dodawanie i odejmowanie potęg.
  • Minus przed potęgą to nie to samo co minus w nawiasie. (−2)2=4(-2)^{2} = 4, ale −22=−4-2^{2} = -4 — bez nawiasu potęgujemy samą dwójkę.
  • Ujemny wykładnik nie daje liczby ujemnej. 3−2=193^{-2} = \dfrac{1}{9}, nie −9.
Trzy pułapki w potęgach: (−2)² = 4, ale −2² = −4; 3⁻² to jedna dziewiąta, a nie −9; 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24, a nie 2⁷
Najczęstsze błędy w potęgach

Ten sam wykładnik działa też „w drugą stronę”: 43⋅253=(4⋅25)3=1003=1 000 0004^{3} \cdot 25^{3} = (4 \cdot 25)^{3} = 100^{3} = 1\,000\,000 — tak liczy się bez kalkulatora.

1Co znaczy zapis z wykładnikiem

Zapis ana^n oznacza iloczyn, w którym liczba aa występuje jako czynnik nn razy. Liczba aa nazywa się podstawą, a nn — wykładnikiem.

W zapisie 252^5 podstawą jest dwójka, wykładnikiem piątka, a wynik to 2⋅2⋅2⋅2⋅2=322 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32.

Wykładnik mówi więc, ile czynników wymnażamy, a nie przez ile mnożymy. To rozróżnienie odpowiada za najczęstszy błąd w całym dziale: 252^5 to nie 2⋅52 \cdot 5.

Dwie potęgi mają własne nazwy. Druga potęga to kwadrat liczby, bo daje pole kwadratu o takim boku. Trzecia to sześcian, bo daje objętość sześcianu.

Nazwy geometryczne nie są ozdobą — pokazują, skąd pomysł potęgowania w ogóle się wziął.

Potęga — podstawa i wykładnik: w zapisie 2⁵ podstawą jest 2, a wykładnikiem 5, więc 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 (pięć czynników), a nie 2 · 5 = 10
Wykładnik mówi, ile razy podstawa występuje jako czynnik

Potęgi wracają w notacji wykładniczej, logarytmach i ciągach geometrycznych. Cały spis działów od podstawówki po maturę jest w jednym miejscu.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Potęgi i pierwiastki” (klasa 7), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Potęgi i pierwiastki — cały dział, klasa 7 (9 pakietów)
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Potęgi i pierwiastki”9 arkuszy w jednym pliku15,90 zł35,10 zł−19,20 złCała klasa 7, na cały rok60 arkuszy, 1,50 zł za arkusz89,90 zł
Dodaj do koszyka · cały dział · 15,90 złPobierz darmową grupę A (PDF)
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

2Skąd biorą się wzory na działania

Wzorów nie trzeba pamiętać, jeśli raz zobaczy się, skąd pochodzą. Wszystkie wynikają z rozpisania mnożenia.

am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}

Dlaczego dodajemy wykładniki: a2⋅a3a^2 \cdot a^3 to (a⋅a)⋅(a⋅a⋅a)(a \cdot a) \cdot (a \cdot a \cdot a), czyli pięć czynników. Wystarczy je policzyć.

aman=am−n,a≠0\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad a \neq 0

Przy dzieleniu część czynników się skraca, więc wykładniki się odejmują. Znów wystarczy rozpisać i policzyć, co zostało.

(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Przy potędze potęgi mnożymy, bo (a2)3(a^2)^3 to trzy kopie po dwa czynniki, czyli sześć.

Ten sposób myślenia jest odporniejszy niż pamięć: wystarczy rozpisać małe przypadki i reguła sama się ujawni.

3Dlaczego liczba do zerowej potęgi daje jeden

Odpowiedź „bo tak jest w tabelce” jest niewystarczająca, a wyjaśnienie zajmuje trzy linijki.

Spójrz na ciąg potęg dwójki idąc w dół: 24=162^4 = 16, 23=82^3 = 8, 22=42^2 = 4, 21=22^1 = 2. Za każdym razem, gdy wykładnik maleje o jeden, wynik dzieli się przez dwa.

Kolejny krok w dół daje więc 20=2:2=12^0 = 2 : 2 = 1. To wciąż umowa (definicja), ale nie przypadkowa — to jedyna wartość zgodna z resztą ciągu.

Drugi argument, formalny: ze wzoru na dzielenie anan=an−n=a0\dfrac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0, a jednocześnie ten sam iloraz wynosi oczywiście jeden.

Wyjątkiem jest 000^0, którego się nie definiuje — oba rozumowania wymagałyby wtedy dzielenia przez zero, a inne reguły dają sprzeczne podpowiedzi: z a0=1a^{0} = 1 wychodziłaby jedynka, z 0n=00^{n} = 0 — zero.

Reguła obowiązuje dla każdej liczby różnej od zera: 505^0, 1000100^0 i (−3)0(-3)^0 dają jedynkę.

Dlaczego a⁰ = 1: potęgi dwójki 2⁴ = 16, 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2 za każdym razem dzielą się przez 2, więc 2⁰ = 1, 2⁻¹ to jedna druga, a 2⁻² to jedna czwarta; wykładnik ujemny oznacza odwrotność, a nie liczbę ujemną
Potęga zerowa i wykładnik ujemny na schodkach potęg dwójki

4Ujemny wykładnik

Ten sam ciąg, kontynuowany w dół, tłumaczy również wykładniki ujemne.

Po 20=12^0 = 1 następny krok to znów dzielenie przez dwa, czyli 2−1=122^{-1} = \tfrac{1}{2}. Potem 2−2=142^{-2} = \tfrac{1}{4}.

a−n=1an,a≠0a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad a \neq 0

Ujemny wykładnik nie oznacza liczby ujemnej. Oznacza odwrotność — i to jest najczęstsze nieporozumienie w tym miejscu.

Potęga o ujemnym wykładniku jest zawsze dodatnia, jeśli podstawa jest dodatnia. Mniejsza od jedynki jest wtedy, gdy podstawa jest większa od 1 (2−3=18)(2^{-3} = \tfrac{1}{8}); dla podstawy między 0 a 1 jest większa od jedynki: (12)−3=8(\tfrac{1}{2})^{-3} = 8.

Praktyczne zastosowanie: tak zapisuje się bardzo małe liczby. Milionowa część to 10−610^{-6}, a mikrometr to 10−610^{-6} metra.

5Notacja wykładnicza i rzędy wielkości

Liczby bardzo duże i bardzo małe zapisuje się jako iloczyn liczby nie mniejszej od jednego i mniejszej od dziesięciu oraz potęgi dziesiątki.

Zamiast 3 000 0003\,000\,000 pisze się 3⋅1063 \cdot 10^6. Zamiast 0,00000250{,}0000025 — 2,5⋅10−62{,}5 \cdot 10^{-6}.

Przy zamianie na zwykły zapis wykładnik mówi, o ile miejsc przesunąć przecinek: dodatni w prawo, ujemny w lewo.

Sens tego zapisu nie jest kosmetyczny. Pozwala porównywać rzędy wielkości bez liczenia zer — a właśnie na liczeniu zer ludzie się mylą.

Warunek 1≤a<101 \leq a < 10 jest częścią definicji, a nie zaleceniem: bez niego ta sama liczba miałaby wiele zapisów. Jak z tego warunku wynika normalizacja, jak mnożyć i dzielić liczby w tej postaci i dlaczego przy porównywaniu decyduje wykładnik, a nie mantysa — rozwijam przy notacji wykładniczej.

Przykłady, które warto znać: odległość Ziemi od Słońca to około 1,5⋅10111{,}5 \cdot 10^{11} m, średnica atomu wodoru około 10−1010^{-10} m, liczba komórek w ciele człowieka rzędu 101310^{13}.

W praktyce naukowej i inżynierskiej ten zapis jest domyślny — kalkulatory pokazują go z literą E, na przykład 3E63\text{E}6.

6Gdzie potęgi rosną szybciej, niż się wydaje

Wzrost wykładniczy jest nieintuicyjny i to jest jego najważniejsza cecha — warto ją poczuć na przykładzie.

Kartka papieru grubości 0,10{,}1 mm złożona na pół czterdzieści razy miałaby grubość 0,1⋅2400{,}1 \cdot 2^{40} mm, czyli ponad sto tysięcy kilometrów. To prawie 30%30\% drogi do Księżyca.

Jeszcze lepiej widać skalę, gdy dołożyć dwa złożenia: przy czterdziestu dwóch grubość rośnie czterokrotnie i wynosi około 440440 tysięcy km — więcej niż cała odległość do Księżyca. Dwa kroki więcej, a wynik przekracza cel, do którego wcześniej brakowało ponad 70%70\% drogi. Wracam do tego przy funkcji wykładniczej.

Legenda o szachownicy działa tak samo: jedno ziarno na pierwszym polu, dwa na drugim, cztery na trzecim — na sześćdziesiątym czwartym polu byłoby 2632^{63} ziaren, więcej niż światowe zbiory pszenicy przez tysiąclecia.

To samo zjawisko stoi za procentem składanym, za rozprzestrzenianiem się chorób i za pojemnością pamięci komputerowej.

Praktyczny wniosek: przy potęgach intuicja zawodzi w jedną stronę — zawsze niedoszacowuje. Warto liczyć, zamiast zgadywać.

7W której klasie się to pojawia

Potęgi wchodzą w klasie siódmej i szybko stają się narzędziem, a nie tematem.

W liceum okazuje się, że pierwiastkowanie to potęgowanie o wykładniku ułamkowym — a\sqrt{a} to a1/2a^{1/2}. Dwa działania, które w podstawówce wyglądają na osobne, są jednym.

8Ćwicz dalej

Materiał jest rozdzielony według poziomu:

Test gotowości: ile wynosi 3−23^{-2}? Jeśli odpowiadasz „jedna dziewiąta”, a nie „minus dziewięć”, materiał tej strony jest opanowany.

9Wszystkie tematy w tym dziale

Pięć stron. Pierwszy kafelek to działania na potęgach, drugi prowadzi dalej — do logarytmów i liczby e. Poziom każdej strony jest podany na niej samej.

Działania na potęgach

Dalej — liceum

10Przykłady krok po kroku

Trzy własne przykłady: wyprowadzenie wzoru przez rozpisanie, potęga o ujemnym wykładniku i zapis w notacji wykładniczej.

Przykład 11 Skąd bierze się dodawanie wykładników

Wyjaśnij, dlaczego 23⋅24=272^3 \cdot 2^4 = 2^7, nie korzystając ze wzoru.

  1. Rozpisuję pierwszy czynnik: 23=2⋅2⋅22^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 — trzy dwójki.
  2. Rozpisuję drugi: 24=2⋅2⋅2⋅22^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 — cztery dwójki.
  3. Mnożąc je, dostaję ciąg siedmiu dwójek połączonych mnożeniem.
  4. Siedem dwójek to z definicji 272^7.
  5. Sprawdzenie liczbowe: 8⋅16=1288 \cdot 16 = 128, a 27=1282^7 = 128 ✓
  6. Stąd reguła: przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki się dodają — bo po prostu liczymy czynniki.

Odpowiedź: 23⋅24=27=1282^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128.

Przykład 22 Potęga o ujemnym wykładniku

Oblicz 3−23^{-2}.

  1. Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, a nie liczbę ujemną.
  2. 3−2=132=193^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9}.
  3. Kontrola przez ciąg: 32=93^2 = 9, 31=33^1 = 3, 30=13^0 = 1 — za każdym krokiem dzielimy przez trzy.
  4. Kolejne kroki: 3−1=133^{-1} = \tfrac{1}{3}, 3−2=193^{-2} = \tfrac{1}{9} ✓ — zgadza się z regułą.
  5. Wynik jest dodatni, choć wykładnik ujemny. To najczęstsze nieporozumienie w tym miejscu.
  6. Odpowiedź „minus dziewięć” byłaby błędna — taką wartość ma −32-3^2, czyli coś zupełnie innego.

Odpowiedź: 3−2=193^{-2} = \dfrac{1}{9}.

Przykład 33 Zapis w notacji wykładniczej

Zapisz liczbę 0,000420{,}00042 w notacji wykładniczej.

  1. Notacja wymaga liczby nie mniejszej od jednego i mniejszej od dziesięciu, pomnożonej przez potęgę dziesiątki.
  2. Przesuwam przecinek w prawo, aż przed nim stanie jedna niezerowa cyfra: 4,24{,}2.
  3. Przesunąłem go o cztery miejsca w prawo, więc dla zachowania wartości wykładnik musi być ujemny: −4-4.
  4. 0,00042=4,2⋅10−40{,}00042 = 4{,}2 \cdot 10^{-4}.
  5. Kontrola: 4,2⋅10−4=4,2:10 000=0,000424{,}2 \cdot 10^{-4} = 4{,}2 : 10\,000 = 0{,}00042 ✓
  6. Reguła kierunku (dla liczb dodatnich): liczby mniejsze od jedynki mają wykładnik ujemny, liczby od 11 do 1010 (bez 1010) — zerowy, a równe 1010 lub większe — dodatni.

Odpowiedź: 0,00042=4,2⋅10−40{,}00042 = 4{,}2 \cdot 10^{-4}.

11Najczęstsze błędy

Cztery błędy, które przy potęgach wracają najczęściej. Pierwszy pojawia się już przy pierwszym kontakcie z zapisem.

Mnożenie podstawy przez wykładnik

Skąd się bierze: Zapis dwa do piątej bywa czytany jako dwa razy pięć, czyli dziesięć, zamiast trzydzieści dwa. Wykładnik mówi, ile czynników wymnażamy, a nie przez ile mnożymy.

Jak zrobić dobrze: Rozpisz zapis na iloczyn i policz czynniki. Przy małych liczbach to zajmuje sekundę, a utrwala właściwe rozumienie zapisu.

Uznanie ujemnego wykładnika za znak wyniku

Skąd się bierze: Trójka do minus drugiej bywa liczona jako minus dziewięć. Ujemny wykładnik oznacza jednak odwrotność, a nie liczbę przeciwną — wynik przy dodatniej podstawie jest zawsze dodatni (mniejszy od jedynki tylko wtedy, gdy podstawa jest większa od 1).

Jak zrobić dobrze: Zamień potęgę o ujemnym wykładniku na ułamek: jedynka podzielona przez potęgę z wykładnikiem dodatnim. Sprawdź ciągiem, dzieląc kolejne potęgi przez podstawę.

Dodawanie wykładników przy różnych podstawach

Skąd się bierze: Wzór na mnożenie potęg wymaga tej samej podstawy. Zastosowany do dwójki i trójki daje zapis, który nie wynika z niczego, bo czynników nie da się połączyć w jeden ciąg.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, czy podstawy są identyczne. Jeśli nie, spróbuj sprowadzić je do wspólnej — na przykład ósemkę zapisać jako dwójkę do trzeciej.

Podnoszenie liczby ujemnej do potęgi bez nawiasu

Skąd się bierze: Zapis minus dwa do kwadratu bez nawiasu oznacza liczbę przeciwną do czterech, a nie cztery. Różnica dotyczy jednocześnie wartości i znaku, więc przenosi się na całe dalsze rozwiązanie.

Jak zrobić dobrze: Zapisuj podstawę ujemną zawsze w nawiasie. Reguła znaku jest prosta: wykładnik parzysty daje wynik dodatni, nieparzysty — ujemny.

Zadania maturalne — potęga o wykładniku ujemnym

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Jedna zasada rozstrzyga tu wszystko: a−n=1ana^{-n} = \tfrac{1}{a^n}, czyli wykładnik ujemny oznacza odwrotność, a nie liczbę przeciwną. Dla ułamka działa to tak: (ab)−n=(ba)n\left(\tfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\tfrac{b}{a}\right)^{n} — ułamek się odwraca. Potęga liczby dodatniej jest zawsze dodatnia, niezależnie od znaku wykładnika.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (sierpień 2023)1 pkttrudniejsze

Wartość wyrażenia 3−1(−19)−2⋅81\dfrac{3^{-1}}{\left(-\dfrac{1}{9}\right)^{-2}} \cdot 81 jest równa
  • A. 13\dfrac{1}{3}
  • B. (−13)\left(-\dfrac{1}{3}\right)
  • C. 33
  • D. (−3)(-3)
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Dwie rzeczy do rozstrzygnięcia na wstępie: co robi wykładnik −2-2 z ułamkiem i co robi z minusem w podstawie.
  2. Krok 1\boldsymbol{1} — mianownik. Wykładnik ujemny odwraca ułamek:
  3. (−19)−2=(−9)2\left(\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{1}{9}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{-2}} = \left(\textcolor{#16A06A}{-9}\right)^{2}
  4. Krok 2\boldsymbol{2} — kwadrat liczby ujemnej jest dodatni. To tu ginie minus:
  5. (−9)2=81\left(-9\right)^{2} = \textcolor{#E0453A}{81}
  6. Krok 3\boldsymbol{3} — przepisujemy całe wyrażenie.
  7. 3−181⋅81\dfrac{3^{\textcolor{#16A06A}{-1}}}{\textcolor{#E0453A}{81}} \cdot \textcolor{#16A06A}{81}
  8. Krok 4\boldsymbol{4} — osiemdziesiątki jedynki się skracają.
  9. 3−1⋅8181=3−1⋅1=133^{\textcolor{#16A06A}{-1}} \cdot \dfrac{\textcolor{#16A06A}{81}}{\textcolor{#E0453A}{81}} = 3^{-1} \cdot 1 = \dfrac{1}{3}
  10. Odpowiedź: 13\dfrac{1}{3}, czyli A.
  11. Zwróć uwagę na konstrukcję zadania: mnożnik 8181 jest dokładnie tym, co wyszło w mianowniku — więc całe to piętro się kasuje i zostaje samo 3−13^{-1}.

💡 Wskazówka: Wykładnik parzysty zawsze zabija minus w podstawie: (−9)2=81(-9)^2 = 81. Gdyby wykładnik był nieparzysty, minus by został. Warto to sprawdzić od razu, bo od tego zależy, czy wynik jest dodatni czy ujemny.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź B, czyli przeniesienie minusa z podstawy do wyniku. Kwadrat liczby ujemnej jest dodatni — minus znika w kroku 22 i nie ma go już czym odzyskać. Drugi częsty błąd: potraktowanie 3−13^{-1} jako −3-3 (odpowiedź D); wykładnik ujemny daje odwrotność 13\tfrac13, a nie liczbę przeciwną.

Zadanie 2 (wrzesień 2022)1 pktśrednie

Wartość wyrażenia (1+3⋅2−1)−2\left(1 + 3 \cdot 2^{-1}\right)^{-2} jest równa
  • A. 254\dfrac{25}{4}
  • B. 425\dfrac{4}{25}
  • C. 3649\dfrac{36}{49}
  • D. 409\dfrac{40}{9}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Kolejność jest tu obowiązkowa: najpierw uprość wnętrze nawiasu, potem zajmij się wykładnikiem zewnętrznym.
  2. Krok 1\boldsymbol{1} — potęga wewnątrz nawiasu.
  3. 2−1=12\textcolor{#16A06A}{2^{-1}} = \dfrac{1}{2},   więc   3⋅2−1=3⋅12=32\textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{2^{-1}} = 3 \cdot \dfrac12 = \dfrac{3}{2}
  4. Krok 2\boldsymbol{2} — dodajemy w nawiasie.
  5. 1+32=22+32=52\textcolor{#16A06A}{1} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{2}{2} + \dfrac{3}{2} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{5}{2}}
  6. Krok 3\boldsymbol{3} — wykładnik −2-2 odwraca ułamek i podnosi do kwadratu.
  7. (52)−2=(25)2=2252=425\left(\textcolor{#E0453A}{\dfrac{5}{2}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{-2}} = \left(\dfrac{2}{5}\right)^{2} = \dfrac{2^2}{5^2} = \dfrac{4}{25}
  8. Odpowiedź: 425\dfrac{4}{25}, czyli B.

💡 Wskazówka: Rozbij wykładnik −2-2 na dwa działania: „odwróć ułamek” i „podnieś do kwadratu”. Kolejność między nimi nie ma znaczenia — (52)−2\left(\tfrac52\right)^{-2} możesz policzyć jako (25)2\left(\tfrac25\right)^2 albo jako 1(52)2=1254=425\tfrac{1}{\left(\frac52\right)^2} = \tfrac{1}{\frac{25}{4}} = \tfrac{4}{25}.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź A (254\tfrac{25}{4}), czyli podniesienie do kwadratu bez odwrócenia ułamka. To dokładnie wynik dla wykładnika +2+2 — a nasz jest ujemny.

Zadanie 3 (czerwiec 2022)1 pkttrudniejsze

Liczba 2−3⋅3−3⋅402−1⋅3−4⋅4−1\dfrac{2^{-3} \cdot 3^{-3} \cdot 4^{0}}{2^{-1} \cdot 3^{-4} \cdot 4^{-1}} jest równa
  • A. 11
  • B. 33
  • C. 2424
  • D. 4848
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Trzy różne podstawy — więc trzy niezależne rachunki. Każdą podstawę traktujemy osobno i odejmujemy jej wykładniki.
  2. Krok 1\boldsymbol{1} — dwójki.
  3. 2−32−1=2 −3−(−1)=2 −3+1=2−2\dfrac{2^{\textcolor{#16A06A}{-3}}}{2^{\textcolor{#16A06A}{-1}}} = 2^{\,-3 - (-1)} = 2^{\,-3 + 1} = \textcolor{#E0453A}{2^{-2}}
  4. Krok 2\boldsymbol{2} — trójki.
  5. 3−33−4=3 −3−(−4)=3 −3+4=31\dfrac{3^{\textcolor{#16A06A}{-3}}}{3^{\textcolor{#16A06A}{-4}}} = 3^{\,-3 - (-4)} = 3^{\,-3 + 4} = \textcolor{#E0453A}{3^{1}}
  6. Krok 3\boldsymbol{3} — czwórki. Pamiętaj: 40=14^0 = 1, ale wykładnik zero też wchodzi do odejmowania:
  7. 404−1=4 0−(−1)=41\dfrac{4^{\textcolor{#16A06A}{0}}}{4^{\textcolor{#16A06A}{-1}}} = 4^{\,0 - (-1)} = \textcolor{#E0453A}{4^{1}}
  8. Krok 4\boldsymbol{4} — mnożymy wyniki.
  9. 2−2⋅3⋅4=14⋅3⋅4=3\textcolor{#E0453A}{2^{-2}} \cdot \textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{4} = \dfrac{1}{4} \cdot 3 \cdot 4 = 3
  10. Odpowiedź: 33, czyli B.
  11. Zauważ, że 2−2=142^{-2} = \tfrac14 skraca się z czwórką — dlatego wynik jest tak prosty.

💡 Wskazówka: Nie próbuj liczyć całego licznika i mianownika osobno — rozdziel zadanie po podstawach i policz trzy małe odejmowania. Przy trzech podstawach i sześciu wykładnikach to jedyny sposób, żeby się nie pogubić.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie czwórki, bo „40=14^0 = 1, czyli jej nie ma”. W liczniku faktycznie daje 11, ale w mianowniku stoi 4−14^{-1}, czyli 14\tfrac14 — a dzielenie przez 14\tfrac14 mnoży wynik przez 44. Zignorowanie tego daje odpowiedź 34\tfrac34, której nawet nie ma na liście, więc błąd zwykle prowadzi do zgadywania.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A2. B3. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Okładka: Potęgi, klasa 7 — 11 kart pracy PDF z kluczem

Karty pracy · sklep

Potęgi, klasa 7 — 11 kart pracy PDF z kluczem

11 kart pracy z matematyki dla klasy 7: potęga jako iloczyn, potęgi liczb ujemnych, mnożenie i dzielenie potęg, potęga potęgi, notacja…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →
Okładka: Liczby rzeczywiste, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

Karty pracy · sklep

Liczby rzeczywiste, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

10 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: potęgi o wykładniku ujemnym i wymiernym, pierwiastki, notacja wykładnicza, błąd względny.…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

12Pytania i odpowiedzi

Co to jest potęga?

Skrócony zapis mnożenia liczby przez samą siebie. Podstawa mówi, co mnożymy, a wykładnik ile czynników bierzemy. Dwa do piątej to pięć dwójek pomnożonych przez siebie, czyli trzydzieści dwa — nie dziesięć.

Dlaczego liczba do zerowej potęgi daje jeden?

Bo przy zmniejszaniu wykładnika o jeden wynik za każdym razem dzieli się przez podstawę: szesnaście, osiem, cztery, dwa — i kolejny krok daje jeden. To jedyna wartość zgodna z resztą ciągu. Wyjątkiem jest zero do zerowej, którego się nie definiuje.

Co oznacza ujemny wykładnik?

Odwrotność, a nie liczbę ujemną. Trójka do minus drugiej to jedna dziewiąta, a nie minus dziewięć. Przy dodatniej podstawie wynik jest zawsze dodatni, a przy podstawie większej od jedynki także mniejszy od jedynki — dlatego tak zapisuje się bardzo małe wielkości.

Jak mnożyć potęgi?

Przy tej samej podstawie wykładniki się dodają, bo po prostu liczymy wszystkie czynniki razem. Warunek jednakowej podstawy jest konieczny — dla dwójki i trójki wzór nie działa, chyba że da się je sprowadzić do wspólnej podstawy.

Jak zapisać dużą liczbę w notacji wykładniczej?

Jako iloczyn liczby nie mniejszej od jednego i mniejszej od dziesięciu oraz potęgi dziesiątki. Przesuń przecinek tak, by przed nim została jedna niezerowa cyfra, a liczba przesunięć da wykładnik — dodatni przy liczbach dużych, ujemny przy małych.

Po co komu notacja wykładnicza?

Żeby porównywać rzędy wielkości bez liczenia zer, na czym ludzie mylą się najczęściej. Odległość Ziemi od Słońca to około półtora razy dziesięć do jedenastej metra, a średnica atomu wodoru dziesięć do minus dziesiątej — różnicę widać od razu z samych wykładników.

Jakie są wzory na potęgi?

Przy tej samej podstawie: mnożenie am⋅an=am+na^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, dzielenie am:an=am−na^{m} : a^{n} = a^{m - n}. Potęga potęgi: (am)n=am⋅n(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}. Potęga iloczynu i ilorazu: (ab)n=an⋅bn(ab)^n = a^n \cdot b^n oraz (a:b)n=an:bn(a : b)^n = a^n : b^n. Do tego a0=1a^0 = 1 i a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^n} dla aa różnego od zera. Wszystkie wzory z przykładami są w tabeli na początku strony.

Jak dodawać potęgi?

Nie ma wzoru na sumę potęg — trzeba je policzyć i dodać wyniki: 23+24=8+16=242^{3} + 2^{4} = 8 + 16 = 24. Skrócić da się tylko sumę jednakowych potęg, np. 23+23=2⋅23=242^{3} + 2^{3} = 2 \cdot 2^{3} = 2^{4}, albo wyłączyć wspólny czynnik przed nawias.

Grafiki z powiązanych tematów

Kwadraty liczb od 1 do 20 — tabela — Kwadraty i sześciany liczb naturalnychKwadraty i sześciany liczb naturalnych

Czytaj dalej

Potęgi — zadania z egzaminu ósmoklasisty29 zadań z arkuszy CKE z rozwiązaniami krok po krokuPierwiastkowanie — teoriaDziałanie odwrotne, które w liceum okazuje się potęgą ułamkowąProstopadłościan — teoriaSkąd wzięła się nazwa „sześcian liczby”Egzamin ósmoklasisty z matematykiWszystkie działy, arkusze i sposób przygotowaniaDodawanie i odejmowanie potęgWzoru na sumę potęg nie ma i to jest cała odpowiedźRównania i nierówności wykładnicze oraz logarytmiczneRównania i nierówności, w których niewiadoma stoi w wykładniku albo pod…Kwadraty i sześciany liczb naturalnychCo znaczy kwadrat i sześcian liczby, skąd wzięły się te nazwy i dlaczego 3 do…Matematyka klasa 7 — cały materiał rokuCo obejmuje matematyka w klasie 7: procenty, potęgi, pierwiastki, wyrażenia…
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-23. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-22