**Krok \(1\).** Pytanie brzmi: która równość jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej. To ważne rozróżnienie: żeby odrzucić odpowiedź, wystarczy wskazać jedną liczbę, dla której równość zawodzi (kontrprzykład); żeby ją przyjąć — trzeba uzasadnić, że zachodzi zawsze.
**Krok \(2\).** Wszystko rozstrzyga tu jedna tożsamość:
\[\sqrt{a^{2}}=|a|.\]
Pierwiastek kwadratowy z definicji jest liczbą nieujemną, więc \(\sqrt{a^{2}}\) równa się \(a\) tylko wtedy, gdy \(a\geqslant 0\); dla \(a\lt 0\) daje liczbę przeciwną do \(a\).
**Krok \(3\).** Sprawdzamy równość, w której po lewej stronie stoi pierwiastek z kwadratu, a po prawej samo \(x\). Bierzemy liczbę ujemną, np. \(x=-3\):
\[\sqrt{(-3)^{2}}=\sqrt{9}=3,\]
a prawa strona to \(-3\). Ponieważ \(3\neq-3\), równość nie jest prawdziwa dla każdego \(x\) — odpada.
**Krok \(4\).** Tak samo odpada równość \(|-x|=x\): dla \(x=-3\) lewa strona to \(|3|=3\), a prawa \(-3\). Powód jest ten sam — lewa strona jest zawsze nieujemna, a prawa dla liczb ujemnych jest ujemna.
**Krok \(5\).** Równość porównującą \(|x-1|\) z \(|x|-1\) testujemy dla \(x=0\):
\[|0-1|=1,\qquad |0|-1=-1,\]
więc \(1\neq-1\) i ta odpowiedź również odpada (wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna, a wyrażenie \(|x|-1\) dla \(x=0\) jest ujemne).
**Krok \(6\).** Zostaje odpowiedź D. Pierwiastkujemy w niej kwadrat wyrażenia, które dla każdej liczby rzeczywistej jest dodatnie, bo \(|x|+1\geqslant 1\). Zgodnie z tożsamością z kroku \(2\)
\[\sqrt{\left(|x|+1\right)^{2}}=\bigl||x|+1\bigr|=|x|+1,\]
a ta równość zachodzi dla każdego \(x\).
**Uwaga.** Regułę warto zapamiętać w tej postaci: \(\sqrt{a^{2}}=a\) tylko dla \(a\geqslant 0\), a w ogólności \(\sqrt{a^{2}}=|a|\). Dlatego w takich zadaniach zawsze testujemy liczbę ujemną — to ona demaskuje błędne odpowiedzi.
**Odpowiedź.** D
