Strona główna › Potęgi i pierwiastki › Potęgowanie i pierwiastkowanie

Potęgowanie i pierwiastkowanie

Q: Dlaczego a^1/2 to pierwiastek kwadratowy?

Bo po podniesieniu do kwadratu daje a: (a^1/2)^2 = a^1 = a. Szukamy więc liczby, której kwadrat wynosi a — a to jest definicja pierwiastka kwadratowego. To wniosek z praw potęg, nie osobna definicja.

Q: Czy można dodawać pierwiastki?

Tylko takie same, i to jak wyrazy podobne: 2 3 + 3 3 = 5 3. Różnych pierwiastków dodać się nie da, ale warto najpierw wyłączyć czynniki — często okazuje się, że po uproszczeniu są takie same.

W szkole podstawowej potęgowanie i pierwiastkowanie wyglądają na dwa osobne działania z osobnymi zestawami wzorów. W liceum okazuje się, że to jedno działanie zapisane na dwa sposoby: pierwiastek jest potęgą o wykładniku ułamkowym. Ta jedna obserwacja likwiduje połowę wzorów do zapamiętania — bo wszystkie prawa działań na pierwiastkach stają się znanymi prawami potęg.

Dział: Potęgi i pierwiastkiPoziom: liceum — zakres podstawowyZadań z matury: 18

Krótko: Potęgowanie to mnożenie liczby przez samą siebie (3² = 9), a pierwiastkowanie jest działaniem odwrotnym (√9 = 3). Pierwiastek kwadratowy z liczby a to taka liczba nieujemna, której kwadrat jest równy a.

Przejdź od razu do zadań (18) ↓

1Pierwiastek to potęga

To jest w podstawie programowej

Podstawa dla liceum, dział I. Liczby rzeczywiste, zakres podstawowy, punkt 4: „stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach”.

Punkt 3 dodaje: „stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych”. Cała ta strona mieści się w zakresie podstawowym.

Zacznijmy od pytania, które porządkuje resztę: ile wynosi $a^{1/2}$ ?

Skorzystajmy z prawa potęg, które już znasz: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ . Podnieśmy $a^{1/2}$ do kwadratu:

\left(a^{1/2}\right)^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = \textcolor{#16A06A}{a}

Szukamy więc liczby, która podniesiona do kwadratu daje $a$ — a to jest dokładnie definicja pierwiastka kwadratowego.

a^{1/2} = \sqrt{a}, \qquad a^{1/n} = \sqrt[n]{a}, \qquad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}

Wzory zapisujemy przy założeniu $a>0$ . Dla podstawy ujemnej potęgi o wykładniku wymiernym się nie definiuje — pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej istnieje, ale zapis $(-8)^{1/3}$ już nie.

Nie jest to nowa definicja, tylko wniosek. Wykładnik ułamkowy musi znaczyć pierwiastek, żeby prawa potęg dalej działały — inaczej cały system by się rozpadł.

Sprawdźmy na liczbach: $\textcolor{#16A06A}{8}^{2/3} = \sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{8}^2} = \sqrt[3]{64} = \textcolor{#E0453A}{4}$ . Można też odwrotnie: $\sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{8}} = 2$ , a $2^2 = \textcolor{#E0453A}{4}$ ✓ — kolejność nie ma znaczenia.

Trzy działania, jedna rodzina

Z tego samego równania $a^n = b$ biorą się trzy pytania: o wynik (potęgowanie), o podstawę (pierwiastkowanie) i o wykładnik (logarytm).

Pierwiastkowanie i logarytmowanie to więc dwa działania odwrotne do potęgowania — różnią się tym, czego szukają.

Pierwiastek jako potęga o wykładniku ułamkowym: a do potęgi 1/2 = √a, a do potęgi 1/n = pierwiastek stopnia n z a, a do potęgi m/n = pierwiastek stopnia n z a do m; przykład 8 do potęgi 2/3 = ∛64 = 4 — Pierwiastek to potęga o wykładniku ułamkowym

2Wzory, które nie są nowe

Skoro pierwiastek jest potęgą, prawa działań na pierwiastkach muszą wyglądać jak prawa potęg. I wyglądają.

prawo potęg	to samo dla pierwiastków
$a^m \cdot b^m = (ab)^m$	$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$
$\frac{a^m}{b^m} = \left(\frac{a}{b}\right)^m$	$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
$(a^m)^k = a^{mk}$	$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$

Dla $n$ parzystego zakładamy $a\ge 0$ i $b\ge 0$ (przy dzieleniu $b>0$ ). Dla $n$ nieparzystego wzory zachodzą bez ograniczeń.

Ostatni wiersz bywa zaskoczeniem, a wychodzi w jednej linijce: $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \left(a^{1/k}\right)^{1/n} = a^{\frac{1}{nk}} = \sqrt[nk]{a}$ . Pierwiastek z pierwiastka to pierwiastek stopnia będącego iloczynem stopni.

Czego w tej tabeli nie ma — i nie będzie. Nie istnieje wzór na pierwiastek sumy. Kontrprzykład jest natychmiastowy: $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = \textcolor{#E0453A}{5}$ , a $\sqrt{9}+\sqrt{16} = 3+4 = \textcolor{#9b1c14}{7}$ .

W przypadku pierwiastków wzory dla iloczynu i ilorazu działają przy odpowiednich założeniach, ale nie ma ogólnego wzoru rozdzielającego pierwiastek sumy na sumę pierwiastków. Podobna pułapka pojawia się przy logarytmach.

Pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej

$\sqrt{-4}$ nie istnieje w liczbach rzeczywistych, bo kwadrat nigdy nie jest ujemny.

Ale $\sqrt[3]{-8} = \textcolor{#E0453A}{-2}$ istnieje, bo $(-2)^3 = -8$ . Sześcian liczby ujemnej jest ujemny, więc pierwiastek nieparzystego stopnia działa bez przeszkód.

Reguła: stopień parzysty wymaga liczby nieujemnej, stopień nieparzysty nie wymaga niczego. Podstawa wymienia to wprost w punkcie 3.

Działania na pierwiastkach — wzory: √a · √b = √(ab), √a / √b = √(a/b), wyłączanie czynnika √72 = 6√2, usuwanie niewymierności z mianownika 3/√2 = 3√2/2; √9 + √16 ≠ √25 — Działania na pierwiastkach — mnożenie, dzielenie, wyłączanie czynnika, usuwanie niewymierności

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Potęgi i pierwiastki” (klasa 7), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Potęgi i pierwiastki — cały dział, klasa 7 (9 pakietów)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Potęgi i pierwiastki”9 arkuszy w jednym pliku15,90 zł~~35,10 zł~~−19,20 zł Cała klasa 7, na cały rok60 arkuszy, 1,50 zł za arkusz89,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 15,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

To najczęściej używana operacja w całym dziale — służy do upraszczania wyników, które inaczej wyglądałyby brzydko.

Pomysł: rozłóż liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem, i wyciągnij go.

\sqrt{\textcolor{#16A06A}{50}} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = \textcolor{#E0453A}{5\sqrt{2}}

Działa to dzięki wzorowi na pierwiastek iloczynu — nie jest żadną osobną regułą.

Kluczowe jest znalezienie największego kwadratu, który dzieli liczbę. Dla $\textcolor{#16A06A}{72}$ można wziąć $4$ i otrzymać $2\sqrt{18}$ , ale to nie koniec: $18 = 9 \cdot 2$ , więc trzeba jeszcze raz. Od razu $36$ : $\sqrt{\textcolor{#16A06A}{72}} = \sqrt{36 \cdot 2} = \textcolor{#E0453A}{6\sqrt{2}}$ .

Operacja odwrotna też się przydaje — włączanie czynnika pod pierwiastek. Liczbę stojącą przed pierwiastkiem podnosi się do kwadratu:

\textcolor{#16A06A}{3}\sqrt{2} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{3}^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt{18}}

Po co? Głównie do porównywania. Które jest większe: $3\sqrt{2}$ czy $2\sqrt{5}$ ? Po włączeniu: $\sqrt{18}$ i $\sqrt{20}$ — od razu widać, że drugie ✓

Dodawanie pierwiastków — tylko po uproszczeniu

Pierwiastków nie da się dodawać wprost, ale te same pierwiastki można zsumować jak wyrazy podobne: $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ .

Dlatego przed dodawaniem warto wyłączyć czynniki: $\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = \textcolor{#E0453A}{5\sqrt{3}}$ .

Bez uproszczenia wyglądałoby to na dwa niepodobne składniki — a po uproszczeniu okazuje się, że to jedna wielkość.

4Usuwanie niewymierności z mianownika

Wynik z pierwiastkiem w mianowniku uchodzi za nieuproszczony i w zadaniach maturalnych zwykle wymaga doprowadzenia do postaci bez niego.

Zabieg ten nosi też drugą, częściej spotykaną w podręcznikach nazwę: racjonalizacja mianownika. Nazwa bierze się stąd, że mianownik z niewymiernego staje się wymierny (po łacinie rationalis) — jeśli spotkasz polecenie „zracjonalizuj mianownik”, chodzi dokładnie o to, co opisuję niżej.

Przypadek prosty — sam pierwiastek w mianowniku. Mnożymy licznik i mianownik przez ten pierwiastek:

\frac{1}{\sqrt{\textcolor{#16A06A}{2}}} = \frac{1 \cdot \sqrt{\textcolor{#16A06A}{2}}}{\sqrt{\textcolor{#16A06A}{2}} \cdot \sqrt{\textcolor{#16A06A}{2}}} = \textcolor{#E0453A}{\frac{\sqrt{2}}{2}}

Mianownik przestaje być niewymierny, bo $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ . Wartość ułamka się nie zmienia — mnożymy przecież przez jedynkę zapisaną jako $\frac{\sqrt2}{\sqrt2}$ .

Częsty wariant z liczbą w liczniku: $\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = \textcolor{#2F80D8}{2\sqrt{3}}$ . Po pomnożeniu warto skrócić — inaczej wynik zostaje niepotrzebnie duży.

Przypadek trudniejszy — suma w mianowniku. Wtedy mnoży się przez wyrażenie sprzężone, czyli tę samą sumę ze zmienionym znakiem:

\frac{1}{\sqrt{3}+1} = \frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{\sqrt{3}-1}{3-1} = \textcolor{#E0453A}{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}

Mianownik uprościł się dzięki różnicy kwadratów: $(\sqrt3+1)(\sqrt3-1) = 3 - 1 = 2$ . To ten sam wzór, którego uczysz się przy wyrażeniach algebraicznych — tu tylko litery zastąpiono pierwiastkami.

Kontrola liczbowa: $\frac{1}{\sqrt3+1} \approx \frac{1}{2{,}732} \approx 0{,}366$ , a $\frac{\sqrt3-1}{2} \approx \frac{0{,}732}{2} \approx \textcolor{#2F80D8}{0{,}366}$ ✓

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: wykładnik ułamkowy, upraszczanie sumy i usuwanie niewymierności.

Przykład 1 Potęga o wykładniku ułamkowym

Oblicz $\textcolor{#16A06A}{27}^{2/3}$ oraz $\textcolor{#16A06A}{16}^{-1/2}$ .

Pierwsza. Mianownik wykładnika to stopień pierwiastka, licznik to potęga: $\textcolor{#16A06A}{27}^{2/3} = \sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{27}^2}$ .
Wygodniej najpierw pierwiastkować: $\sqrt[3]{\textcolor{#16A06A}{27}} = 3$ , a potem podnieść do kwadratu: $3^2 = \textcolor{#E0453A}{9}$ .
Kontrola drugą kolejnością: $\textcolor{#16A06A}{27}^2 = 729$ , a $\sqrt[3]{729} = \textcolor{#E0453A}{9}$ ✓ — ten sam wynik.
Druga. Ujemny wykładnik oznacza odwrotność: $\textcolor{#16A06A}{16}^{-1/2} = \frac{1}{\textcolor{#16A06A}{16}^{1/2}}$ .
$\textcolor{#16A06A}{16}^{1/2} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{16}} = 4$ , więc wynik to $\textcolor{#2F80D8}{\frac{1}{4}}$ .
Kontrola sensu: podstawa większa od jedynki i ujemny wykładnik dają wynik mniejszy od jedynki ✓
Kontrola prawem potęg: $\left(\textcolor{#2F80D8}{\frac14}\right)^{-2} = 4^2 = \textcolor{#16A06A}{16}$ ✓

Odpowiedź: $27^{2/3} = 9$ , $16^{-1/2} = \frac{1}{4}$ .

Przy wykładniku ułamkowym prawie zawsze łatwiej najpierw pierwiastkować, potem potęgować — liczby są wtedy mniejsze. Dla $27^{2/3}$ różnica to rachunek na $3$ zamiast na $729$ .

Przykład 2 Upraszczanie sumy pierwiastków

Oblicz $\sqrt{\textcolor{#16A06A}{12}} + \sqrt{\textcolor{#16A06A}{27}} - \sqrt{\textcolor{#16A06A}{75}}$ .

Pierwiastków nie da się dodać wprost — najpierw wyłączam czynniki przed każdy z nich.
$\sqrt{\textcolor{#16A06A}{12}} = \sqrt{4 \cdot 3} = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3}$
$\sqrt{\textcolor{#16A06A}{27}} = \sqrt{9 \cdot 3} = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt3}$
$\sqrt{\textcolor{#16A06A}{75}} = \sqrt{25 \cdot 3} = \textcolor{#E0453A}{5\sqrt3}$
Wszystkie sprowadziły się do $\sqrt3$ , więc mogę je dodać jak wyrazy podobne.
$\textcolor{#E0453A}{2\sqrt3} + \textcolor{#E0453A}{3\sqrt3} - \textcolor{#E0453A}{5\sqrt3} = (2+3-5)\sqrt3 = \textcolor{#2F80D8}{0}$
Kontrola liczbowa: $\sqrt{12} \approx 3{,}464$ , $\sqrt{27} \approx 5{,}196$ , $\sqrt{75} \approx 8{,}660$ ; $3{,}464 + 5{,}196 - 8{,}660 = \textcolor{#2F80D8}{0}$ ✓
Kontrola sensu: wszystkie trzy liczby to wielokrotności trójki pod pierwiastkiem, więc uproszczenie do wspólnego $\sqrt3$ było do przewidzenia ✓

Odpowiedź: $0$ .

Wynik zerowy nie jest przypadkiem — zadania tego typu często konstruuje się tak, żeby składniki się zniosły. Gdyby nie wyłączyć czynników, trzy pierwiastki wyglądałyby na niepodobne i nie dałoby się nic zrobić.

Przykład 3 Usuwanie niewymierności

Doprowadź do postaci bez pierwiastka w mianowniku: $\frac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}}-1}$ .

W mianowniku jest różnica, więc mnożę przez wyrażenie sprzężone $\sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}}+1$ — i to samo robię z licznikiem.
$\frac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}}-1} \cdot \frac{\sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}}+1}{\sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}}+1}$
Mianownik liczę wzorem na różnicę kwadratów: $(\sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}}-1)(\sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}}+1) = \textcolor{#16A06A}{5} - 1 = \textcolor{#E0453A}{4}$ .
Licznik: $\textcolor{#16A06A}{4} \cdot (\sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}}+1) = \textcolor{#2F80D8}{4\sqrt5 + 4}$ .
$\frac{\textcolor{#2F80D8}{4\sqrt5+4}}{\textcolor{#E0453A}{4}} = \textcolor{#8B5CF6}{\sqrt5 + 1}$ — po skróceniu przez $4$ .
Kontrola liczbowa: $\sqrt5 \approx 2{,}236$ , więc lewa strona to $\frac{4}{1{,}236} \approx 3{,}236$ , a prawa $2{,}236 + 1 = \textcolor{#8B5CF6}{3{,}236}$ ✓
Kontrola sensu: w mianowniku nie ma już pierwiastka, a wynik jest prostszy niż wyjściowy ułamek ✓

Odpowiedź: $\sqrt5 + 1$ .

Wynik wyszedł wyjątkowo ładny, bo mianownik uprościł się do czwórki, przez którą dało się skrócić licznik. Warto zawsze sprawdzić możliwość skrócenia — to ostatni krok, o którym najłatwiej zapomnieć.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy dotyczy pierwiastka sumy.

Rozbijanie pierwiastka sumy

Skąd się bierze: Zapis $\sqrt{a+b} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$ wygląda symetrycznie do wzoru na iloczyn, ale jest fałszywy. Dla $9$ i $16$ daje $7$ zamiast $5$ — różnica jest widoczna gołym okiem.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj granicę: pierwiastek rozdziela się względem mnożenia i dzielenia, nigdy względem dodawania. Gdy pod pierwiastkiem stoi suma, najpierw ją policz.

Mylenie licznika z mianownikiem w wykładniku ułamkowym

Skąd się bierze: W zapisie $a^{m/n}$ mianownik to stopień pierwiastka, a licznik to potęga. Zamiana ról daje przy $27^{2/3}$ wynik $\sqrt{27^3}$ zamiast $\sqrt[3]{27^2}$ — czyli $81\sqrt{3} \approx 140$ zamiast $9$ .

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj przez najprostszy przypadek: $a^{1/2} = \sqrt{a}$ , a dwójka stoi w mianowniku. Kontrola: dla podstawy większej od $1$ wynik jest mniejszy od podstawy, gdy wykładnik jest mniejszy od $1$ . Dla podstawy z przedziału $(0,1)$ jest odwrotnie.

Wyłączanie niepełnego czynnika

Skąd się bierze: Przy $\sqrt{72}$ wyciągnięcie czwórki daje $2\sqrt{18}$ — poprawnie, ale nie do końca, bo $18$ nadal zawiera kwadrat. Odpowiedź nieuproszczona bywa uznawana za niepełną.

Jak zrobić dobrze: Szukaj największego kwadratu dzielącego liczbę. Kontrola: po wyłączeniu sprawdź, czy to, co zostało pod pierwiastkiem, nie dzieli się jeszcze przez $4$ , $9$ , $25$ albo $49$ .

Mnożenie tylko mianownika przy usuwaniu niewymierności

Skąd się bierze: Pomnożenie samego mianownika przez $\sqrt{2}$ zmniejsza wartość ułamka $\sqrt{2}$ razy. Mnożyć trzeba licznik i mianownik, bo tylko wtedy mnoży się przez jedynkę.

Jak zrobić dobrze: Zapisuj to jawnie jako mnożenie przez $\frac{\sqrt2}{\sqrt2}$ — wtedy widać, że to jedynka. Kontrola liczbowa: przybliżona wartość przed i po przekształceniu musi być identyczna.

Zadania maturalne — kwadraty sum i różnic z pierwiastkami

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Cała ta strona stoi na trzech wzorach:

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

oraz

(a-b)(a+b) = a^2 - b^2

. Kiedy

a

b

są pierwiastkami, ich kwadraty przestają być pierwiastkami — i właśnie dlatego wynik wychodzi liczbą wymierną. Najważniejsze: nigdy nie pomijaj wyrazu środkowego

2ab

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 5 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 5 zadań, więc dostaniesz je wszystkie — w losowej kolejności.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Liczba

\left(\sqrt{3} + 1\right)^2 - \sqrt{12}

jest równa

A. $4 - 4\sqrt{3}$
B. $4 - 2\sqrt{3}$
C. $2$
D. $4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Krok 1 — rozwijamy kwadrat sumy. Wzór: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , gdzie $a = \textcolor{#16A06A}{\sqrt3}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{1}$ :
$\left(\textcolor{#16A06A}{\sqrt3} + \textcolor{#16A06A}{1}\right)^2 = \left(\textcolor{#16A06A}{\sqrt3}\right)^2 + 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{\sqrt3} \cdot \textcolor{#16A06A}{1} + \textcolor{#16A06A}{1}^2 = 3 + 2\sqrt3 + 1 = \textcolor{#E0453A}{4 + 2\sqrt3}$
Krok 2 — wyłączamy czynnik z drugiego pierwiastka. W 12 największym kwadratem jest 4:
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt{12}} = \sqrt{4 \cdot 3} = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3}$
Krok 3 — odejmujemy. I tu następuje sedno zadania: oba wyrazy z $\sqrt3$ się kasują:
$\textcolor{#E0453A}{4 + 2\sqrt3} - \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3} = 4$
Odpowiedź: $4$ , czyli D.
Kontrola przybliżona: $\sqrt3 \approx 1{,}732$ , więc $(1{,}732+1)^2 \approx 7{,}46$ , a $\sqrt{12} \approx 3{,}46$ . Różnica: $7{,}46 - 3{,}46 = 4$ ✓.

💡 Wskazówka: Zadanie jest tak zbudowane, żeby $\sqrt{12}$ okazało się dokładnie tym samym co wyraz środkowy $2\sqrt3$ . Jeśli po wyłączeniu czynnika widzisz taki sam pierwiastek jak w rozwinięciu kwadratu, wiesz, że wynik będzie liczbą całkowitą.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź B ( $4 - 2\sqrt3$ ), czyli pominięcie wyrazu środkowego i policzenie $(\sqrt3+1)^2$ jako $3 + 1 = 4$ . Kwadrat sumy nie jest sumą kwadratów — wyraz $2ab$ zawsze tam jest.

Zadanie 2 (maj 2025)1 pktśrednie

Liczba

\left(\sqrt{32} - \sqrt{2}\right)^2

jest równa

A. $16$
B. $18$
C. $30$
D. $34$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Krok 1 — rozwijamy kwadrat różnicy. Wzór: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ , gdzie $a = \textcolor{#16A06A}{\sqrt{32}}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{\sqrt2}$ :
$\left(\textcolor{#16A06A}{\sqrt{32}}\right)^2 - 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{\sqrt{32}} \cdot \textcolor{#16A06A}{\sqrt2} + \left(\textcolor{#16A06A}{\sqrt2}\right)^2 = 32 - 2\sqrt{32 \cdot 2} + 2$
Krok 2 — liczymy wyraz środkowy. Iloczyn pierwiastków to pierwiastek z iloczynu:
$\sqrt{32 \cdot 2} = \sqrt{64} = \textcolor{#E0453A}{8}$ , więc $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{8} = \textcolor{#E0453A}{16}$
Krok 3 — składamy.
$32 - \textcolor{#E0453A}{16} + 2 = 18$
Odpowiedź: $18$ , czyli B.
Można było też najpierw uprościć nawias: $\sqrt{32} = 4\sqrt2$ , więc $4\sqrt2 - \sqrt2 = 3\sqrt2$ , a $\left(3\sqrt2\right)^2 = 9 \cdot 2 = 18$ ✓. Ta droga jest krótsza — warto ją sprawdzić w pierwszej kolejności.

💡 Wskazówka: Zanim rozwiniesz kwadrat, spróbuj uprościć nawias. Tu $\sqrt{32} - \sqrt2 = 4\sqrt2 - \sqrt2 = 3\sqrt2$ — i zostaje jedno mnożenie zamiast trzech wyrazów. Rozwijanie wzoru jest zawsze poprawne, ale rzadko najszybsze.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D ( $34$ ), czyli pominięcie wyrazu środkowego ( $32 + 2 = 34$ ). To dokładnie ta sama pomyłka co w poprzednim zadaniu — dystraktor czeka na nią w każdym zadaniu tego typu.

Zadanie 3 (maj 2022)1 pktśrednie

Liczba

\left(2\sqrt{8} - 3\sqrt{2}\right)^2

jest równa

A. $2$
B. $1$
C. $26$
D. $14$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Tutaj upraszczanie nawiasu jest wyraźnie najkrótszą drogą — po nim zostaje jeden pierwiastek.
Krok 1 — wyłączamy czynnik z $\sqrt8$ .
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt2$ , więc $\textcolor{#16A06A}{2}\sqrt8 = 2 \cdot 2\sqrt2 = \textcolor{#E0453A}{4\sqrt2}$
Krok 2 — odejmujemy w nawiasie. Oba wyrazy mają ten sam pierwiastek, więc odejmujemy współczynniki:
$\textcolor{#E0453A}{4\sqrt2} - \textcolor{#16A06A}{3}\sqrt2 = (4 - 3)\sqrt2 = \textcolor{#E0453A}{\sqrt2}$
Krok 3 — podnosimy do kwadratu.
$\left(\textcolor{#E0453A}{\sqrt2}\right)^2 = 2$
Odpowiedź: $2$ , czyli A.
Kontrola przez rozwinięcie wzoru: $\left(4\sqrt2\right)^2 - 2 \cdot 4\sqrt2 \cdot 3\sqrt2 + \left(3\sqrt2\right)^2 = 32 - 48 + 18 = 2$ ✓ — ta sama liczba, tylko dłuższą drogą.

💡 Wskazówka: Gdy w nawiasie oba wyrazy da się sprowadzić do tego samego pierwiastka, zawsze upraszczaj przed potęgowaniem. Tu $2\sqrt8$ i $3\sqrt2$ to w istocie $4\sqrt2$ i $3\sqrt2$ — różnica wychodzi $\sqrt2$ , a kwadrat tego to po prostu 2.

⚠ Dwa najczęstsze błędy mają tu osobne dystraktory. Odpowiedź D ( $14$ ) to odjęcie samych kwadratów, $32 - 18$ , czyli pominięcie wyrazu środkowego. Odpowiedź B ( $1$ ) czeka na tego, kto poprawnie uprości nawias do $\sqrt2$ , ale zapomni podnieść wynik do kwadratu — a $\left(\sqrt2\right)^2$ to $2$ , nie $1$ .

Zadanie 4 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze

Wartość wyrażenia

\sqrt{2} \cdot \left(\sqrt{2} - \sqrt{3}\right) + \sqrt{3} \cdot \left(\sqrt{2} - \sqrt{3}\right)

jest równa

A. $5 - 2\sqrt{6}$
B. $5$
C. $5 + 2\sqrt{6}$
D. $-1$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Najpierw warto zauważyć strukturę: oba składniki mają ten sam nawias. To zaproszenie do wyłączenia go przed nawias, a nie do mnożenia wszystkiego po kolei.
Krok 1 — wyłączamy wspólny czynnik.
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt2} \cdot \textcolor{#16A06A}{\left(\sqrt2 - \sqrt3\right)} + \textcolor{#16A06A}{\sqrt3} \cdot \textcolor{#16A06A}{\left(\sqrt2 - \sqrt3\right)} = \left(\textcolor{#16A06A}{\sqrt2} + \textcolor{#16A06A}{\sqrt3}\right)\left(\textcolor{#16A06A}{\sqrt2} - \textcolor{#16A06A}{\sqrt3}\right)$
Krok 2 — rozpoznajemy różnicę kwadratów. Wzór: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ :
$\left(\sqrt2 + \sqrt3\right)\left(\sqrt2 - \sqrt3\right) = \left(\sqrt2\right)^2 - \left(\sqrt3\right)^2 = \textcolor{#E0453A}{2} - \textcolor{#E0453A}{3}$
Krok 3 — liczymy.
$\textcolor{#E0453A}{2} - \textcolor{#E0453A}{3} = -1$
Odpowiedź: $-1$ , czyli D.
Kontrola drogą „na piechotę”: $\sqrt2 \cdot \sqrt2 - \sqrt2\sqrt3 + \sqrt3\sqrt2 - \sqrt3 \cdot \sqrt3 = 2 - \sqrt6 + \sqrt6 - 3 = -1$ ✓ — środkowe wyrazy się kasują, co widać od razu po wyłączeniu nawiasu.

💡 Wskazówka: Dostrzeżenie różnicy kwadratów zamienia to zadanie z czterech mnożeń w jedno odejmowanie. Gdy widzisz ten sam nawias przy dwóch składnikach, wyłącz go — a jeśli to, co zostanie, różni się od nawiasu tylko znakiem, masz wzór $a^2 - b^2$ .

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedzi A lub C, czyli zgubienie znaku przy jednym z wyrazów $\sqrt6$ i pozostawienie go w wyniku. Po poprawnym rozwinięciu wyrazy $-\sqrt6$ i $+\sqrt6$ muszą się skasować — jeśli w Twoim wyniku został pierwiastek, gdzieś jest błąd znaku.

Zadanie 5 (czerwiec 2020)1 pkttrudniejsze

Liczba

1 - \left(2^7 - 1\right)^2

jest równa

A. $-2^{14}$
B. $2^8 - 2^{14}$
C. $2 - 2^{14}$
D. $-2^{14} - 2 \cdot 2^7 + 2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Zadanie nie o pierwiastkach, ale o tym samym wzorze — i o pilnowaniu znaków przy odejmowaniu całego nawiasu.
Krok 1 — rozwijamy kwadrat różnicy. Wzór: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ , gdzie $a = \textcolor{#16A06A}{2^7}$ , $b = \textcolor{#16A06A}{1}$ :
$\left(\textcolor{#16A06A}{2^7} - \textcolor{#16A06A}{1}\right)^2 = \left(\textcolor{#16A06A}{2^7}\right)^2 - 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{2^7} \cdot \textcolor{#16A06A}{1} + \textcolor{#16A06A}{1}^2 = \textcolor{#E0453A}{2^{14}} - \textcolor{#E0453A}{2 \cdot 2^7} + 1$
Krok 2 — upraszczamy wyraz środkowy. Dwójka przed potęgą to $2^1$ , więc wykładniki się dodają:
$\textcolor{#E0453A}{2 \cdot 2^7} = 2^{1+7} = \textcolor{#E0453A}{2^8}$
Krok 3 — odejmujemy cały nawias od jedynki. Tu trzeba zmienić znak każdego wyrazu:
$\textcolor{#16A06A}{1} - \left(\textcolor{#E0453A}{2^{14}} - \textcolor{#E0453A}{2^8} + 1\right) = 1 - \textcolor{#E0453A}{2^{14}} + \textcolor{#E0453A}{2^8} - 1$
Krok 4 — jedynki się kasują.
$\textcolor{#E0453A}{2^8} - \textcolor{#E0453A}{2^{14}}$
Odpowiedź: $2^8 - 2^{14}$ , czyli B.

💡 Wskazówka: Minus przed nawiasem zmienia znak wszystkich trzech wyrazów rozwinięcia, nie tylko pierwszego. Najbezpieczniej rozwinąć kwadrat osobno, zapisać go w nawiasie i dopiero potem odejmować — tak jak w kroku 3.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D, czyli przepisanie rozwinięcia bez zmiany znaków przy drugim i trzecim wyrazie. Drugi częsty: odpowiedź A ( $-2^{14}$ ), z pominięcia wyrazu środkowego — i zauważ, że wtedy jedynki też by się skasowały, więc wynik wygląda „czysto”. To najbardziej zdradliwy dystraktor w tym zadaniu.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. D

2. B

3. A

4. D

5. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Zadania maturalne — potęga o wykładniku wymiernym i pierwiastek jako potęga

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — wykładnik policzony po drodze. Cała ta strona sprowadza się do jednej zamiany:

\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}

. Po niej zostają już tylko trzy działania na wykładnikach — mnożąc potęgi wykładniki dodajemy, dzieląc odejmujemy, a potęgę potęgi mnożymy. Nic więcej tu nie jest potrzebne.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 10 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 13 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (grudzień 2024)1 pkttrudniejsze

Liczba

\left(\sqrt[5]{5} \cdot \dfrac{1}{5}\right)^{-5}

jest równa

A. $5^4$
B. $5^{-4}$
C. $5^{0{,}25}$
D. $5^{-0{,}25}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Wszystko zamieniamy na potęgi piątki i pracujemy tylko na wykładnikach.
Krok 1 — pierwiastek na potęgę.
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt[5]{5}} = 5^{\textcolor{#E0453A}{1/5}}$
Krok 2 — ułamek na potęgę o wykładniku ujemnym.
$\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{5}} = 5^{\textcolor{#E0453A}{-1}}$
Krok 3 — mnożymy potęgi: wykładniki dodajemy.
$5^{\textcolor{#E0453A}{1/5}} \cdot 5^{\textcolor{#E0453A}{-1}} = 5^{\frac15 - 1} = 5^{\textcolor{#E0453A}{-4/5}}$
Krok 4 — potęga potęgi: wykładniki mnożymy.
$\left(5^{\textcolor{#E0453A}{-4/5}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{-5}} = 5^{\left(-\frac45\right) \cdot \textcolor{#16A06A}{(-5)}} = 5^{4}$
Odpowiedź: $5^4$ , czyli A.
Warto zauważyć, jak działa minus w wykładniku zewnętrznym: zamienia $-\tfrac45$ na $+4$ . Dwa minusy dają plus, a piątka w mianowniku skraca się z piątką z wykładnika.

💡 Wskazówka: Nie licz wartości liczbowych — $\sqrt[5]{5}$ to liczba niewymierna i nic Ci nie da. Zamień wszystko na potęgi tej samej podstawy i wykonaj działania na samych wykładnikach; to jedyna sensowna droga.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie minusa w wykładniku zewnętrznym i podanie $5^{-4}$ (odpowiedź B). Drugi częsty: pomnożenie wykładników w kroku 3 zamiast dodania — przy mnożeniu potęg wykładniki się dodają, mnoży się je dopiero przy potęgowaniu potęgi.

Zadanie 2 (sierpień 2024)1 pktśrednie

Liczba

\left(\dfrac{4}{25}\right)^{-0{,}5}

jest równa

A. $0{,}04$
B. $0{,}8$
C. $2{,}5$
D. $0{,}4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Wykładnik $\textcolor{#16A06A}{-0{,}5}$ mówi dwie rzeczy naraz: minus każe odwrócić ułamek, a połówka oznacza pierwiastek kwadratowy.
Krok 1 — minus odwraca ułamek.
$\left(\textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{25}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{-0{,}5}} = \left(\textcolor{#E0453A}{\dfrac{25}{4}}\right)^{0{,}5}$
Krok 2 — wykładnik $\tfrac12$ to pierwiastek kwadratowy. Pierwiastkujemy licznik i mianownik osobno:
$\left(\textcolor{#E0453A}{\dfrac{25}{4}}\right)^{1/2} = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$
Odpowiedź: $2{,}5$ , czyli C.
Kontrola: $2{,}5^{-2} = \dfrac{1}{2{,}5^2} = \dfrac{1}{6{,}25} = 0{,}16 = \dfrac{4}{25}$ ✓ — podniesienie wyniku do potęgi $-2$ (odwrotność $-0{,}5$ ) wraca do liczby z zadania.

💡 Wskazówka: Zapisz $-0{,}5$ jako $-\tfrac12$ — wtedy od razu widać oba działania: odwrócenie ułamka i pierwiastek. Kolejność nie ma znaczenia, można też najpierw spierwiastkować, a potem odwrócić: $\sqrt{\tfrac{4}{25}} = \tfrac25$ , a $\left(\tfrac25\right)^{-1} = \tfrac52$ .

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D ( $0{,}4$ ), czyli policzenie $\sqrt{\tfrac{4}{25}} = \tfrac25$ i zapomnienie o minusie — czyli o odwróceniu. Drugi częsty: odpowiedź A ( $0{,}04$ ), z potraktowania $-0{,}5$ jako mnożnika, a nie wykładnika.

Zadanie 3 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Liczba

2^{-1} \cdot 32^{\frac{3}{5}}

jest równa

A. $(-16)$
B. $(-4)$
C. $2$
D. $4$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Obie liczby są potęgami dwójki — sprowadzamy je do wspólnej podstawy.
Krok 1 — rozkładamy 32.
$\textcolor{#16A06A}{32} = 2^5$
Krok 2 — potęga potęgi: wykładniki mnożymy. Piątki się skracają:
$\textcolor{#16A06A}{32}^{\textcolor{#16A06A}{3/5}} = \left(2^5\right)^{\textcolor{#16A06A}{3/5}} = 2^{\,5 \cdot \frac35} = 2^{\textcolor{#E0453A}{3}}$
Krok 3 — mnożymy potęgi: wykładniki dodajemy.
$2^{\textcolor{#16A06A}{-1}} \cdot 2^{\textcolor{#E0453A}{3}} = 2^{\,-1 + 3} = 2^{2} = 4$
Odpowiedź: $4$ , czyli D.

💡 Wskazówka: Ułamkowy wykładnik $\tfrac35$ przy podstawie $32 = 2^5$ to sygnał, że piątka się skróci i wyjdzie liczba całkowita. Gdy w zadaniu wykładnik ma mianownik równy wykładnikowi rozkładu podstawy, rachunki są zawsze „okrągłe”.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedzi A lub B — czyli uznanie, że minus w wykładniku daje liczbę ujemną. Potęga o wykładniku ujemnym to odwrotność ( $2^{-1} = \tfrac12$ ), a nie liczba przeciwna; wynik dodatniej podstawy jest zawsze dodatni.

Zadanie 4 (grudzień 2023)1 pkttrudniejsze

Liczba

\left(3^{-2{,}4} \cdot 3^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{1}{2}}

jest równa

A. $\sqrt{3}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\dfrac{1}{3}$
D. $0{,}3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

W wykładnikach jest ułamek dziesiętny i zwykły — najpierw sprowadźmy je do jednej postaci.
Krok 1 — ujednolicamy wykładniki.
$\textcolor{#16A06A}{\dfrac{2}{5}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}4}$
Krok 2 — mnożenie potęg: wykładniki dodajemy.
$3^{\textcolor{#16A06A}{-2{,}4}} \cdot 3^{\textcolor{#E0453A}{0{,}4}} = 3^{\,-2{,}4 + 0{,}4} = 3^{\textcolor{#E0453A}{-2}}$
Krok 3 — potęga potęgi: wykładniki mnożymy.
$\left(3^{\textcolor{#E0453A}{-2}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{1/2}} = 3^{\,(-2) \cdot \frac12} = 3^{\textcolor{#E0453A}{-1}}$
Krok 4 — wykładnik $-1$ to odwrotność.
$3^{\textcolor{#E0453A}{-1}} = \dfrac{1}{3}$
Odpowiedź: $\dfrac{1}{3}$ , czyli C.

💡 Wskazówka: Zamiana $\tfrac25$ na $0{,}4$ upraszcza całe zadanie — nagle wykładniki dodają się „w głowie” do okrągłego $-2$ . Warto sprawdzić, czy ułamek w wykładniku nie jest przypadkiem prostym ułamkiem dziesiętnym.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D ( $0{,}3$ ), czyli pomylenie $3^{-1} = \tfrac13 \approx 0{,}33$ z liczbą $0{,}3$ . To dwie różne liczby — $\tfrac13$ ma rozwinięcie nieskończone. Drugi częsty błąd: odpowiedź B, z niepotrzebnego usuwania niewymierności tam, gdzie żadnego pierwiastka nie ma.

Zadanie 5 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

iloczyn

\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[6]{x}

jest równy

A. $x$
B. $\sqrt[10]{x}$
C. $\sqrt[18]{x}$
D. $x^2$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Trzy pierwiastki różnych stopni z tej samej liczby — zamieniamy każdy na potęgę i dodajemy wykładniki.
Krok 1 — pierwiastki na potęgi.
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt{x}} = x^{1/2}, \qquad \textcolor{#16A06A}{\sqrt[3]{x}} = x^{1/3}, \qquad \textcolor{#16A06A}{\sqrt[6]{x}} = x^{1/6}$
Krok 2 — mnożenie potęg: wykładniki dodajemy. Wspólny mianownik to 6:
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{6} = \textcolor{#E0453A}{1}$
Krok 3 — składamy wynik.
$x^{\textcolor{#E0453A}{1}} = x$
Odpowiedź: $x$ , czyli A.
Kontrola na liczbie: dla $x = 64$ mamy $\sqrt{64} \cdot \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[6]{64} = 8 \cdot 4 \cdot 2 = 64$ ✓.

💡 Wskazówka: Podstawienie konkretnej liczby to najszybsza kontrola w zadaniach z literami. Wybierz taką, z której wszystkie trzy pierwiastki wychodzą całkowite — tu $64 = 2^6$ jest idealne, bo dzieli się na 2, 3 i 6.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedzi B lub C, czyli kombinowanie stopni pierwiastków — dodawanie ich albo mnożenie — zamiast dodania wykładników. Stopnie pierwiastków są w mianownikach wykładników i nie sumują się wprost.

Zadanie 6 (grudzień 2022)1 pktśrednie

Liczba

\left(5 \cdot 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}

jest równa

A. $\sqrt[6]{5}$
B. $\sqrt[3]{25}$
C. $\sqrt{5}$
D. $\sqrt[3]{5}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Krok 1 — w nawiasie mnożymy potęgi. Piątka bez wykładnika to $5^1$ :
$\textcolor{#16A06A}{5} \cdot \textcolor{#16A06A}{5^{1/2}} = 5^{\,1 + \frac12} = 5^{\textcolor{#E0453A}{3/2}}$
Krok 2 — potęga potęgi: wykładniki mnożymy.
$\left(5^{\textcolor{#E0453A}{3/2}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{1/3}} = 5^{\,\frac32 \cdot \frac13} = 5^{\textcolor{#E0453A}{1/2}}$
Krok 3 — wracamy do pierwiastka.
$5^{\textcolor{#E0453A}{1/2}} = \sqrt{5}$
Odpowiedź: $\sqrt{5}$ , czyli C.
Trójki skróciły się w kroku 2 — to typowe dla tych zadań: liczby są dobrane tak, żeby końcowy wykładnik był prosty.

💡 Wskazówka: Pamiętaj, że liczba bez wykładnika ma wykładnik 1 — to najczęściej pomijany element w takich rachunkach. Gdy dodasz $1 + \tfrac12$ , dostajesz $\tfrac32$ , a nie $\tfrac12$ .

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D ( $\sqrt[3]{5}$ ), czyli zignorowanie wykładnika $\tfrac12$ w nawiasie i policzenie samego $5^{1/3}$ . Drugi częsty: odpowiedź A ( $\sqrt[6]{5}$ ), z pomnożenia $\tfrac12 \cdot \tfrac13$ bez wcześniejszego dodania jedynki.

Zadanie 7 (maj 2022)1 pktśrednie

Liczba

3^{2 + \frac{1}{4}}

jest równa

A. $3^2 \cdot \sqrt[4]{3}$
B. $\sqrt[4]{3^3}$
C. $3^2 + \sqrt[4]{3}$
D. $3^2 + \sqrt{3^4}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Suma w wykładniku oznacza iloczyn potęg — i to jest jedyna treść tego zadania.
Krok 1 — rozbijamy wykładnik na sumę. Prawo działa w obie strony: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ :
$3^{\textcolor{#16A06A}{2} + \textcolor{#16A06A}{\frac14}} = 3^{\textcolor{#16A06A}{2}} \cdot 3^{\textcolor{#16A06A}{1/4}}$
Krok 2 — drugi czynnik zapisujemy jako pierwiastek.
$3^{\textcolor{#16A06A}{1/4}} = \textcolor{#E0453A}{\sqrt[4]{3}}$
Krok 3 — składamy.
$3^{\textcolor{#16A06A}{2}} \cdot \textcolor{#E0453A}{\sqrt[4]{3}}$
Odpowiedź: $3^2 \cdot \sqrt[4]{3}$ , czyli A.
Kontrola liczbowa: $3^{2{,}25} \approx 11{,}84$ , a $9 \cdot \sqrt[4]{3} \approx 9 \cdot 1{,}316 = 11{,}84$ ✓. Dla porównania odpowiedź C dałaby $9 + 1{,}316 \approx 10{,}32$ ✗.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj kierunek: dodawanie w wykładniku ↔ mnożenie potęg. Odpowiedzi C i D podstawiają w to miejsce dodawanie liczb — to najczęstsza pomyłka w całym temacie potęg.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź C, czyli rozbicie sumy w wykładniku na sumę potęg ( $3^{2+\frac14} \to 3^2 + 3^{\frac14}$ ). Nie ma takiego prawa. Wystarczy sprawdzić na małych liczbach: $2^{1+1} = 4$ , ale $2^1 + 2^1 = 4$ … tu wyjdzie przypadkiem to samo, więc lepszy test to $2^{2+1} = 8$ wobec $2^2 + 2^1 = 6$ .

Zadanie 8 (czerwiec 2021)1 pktśrednie

Liczba

\left(7^{\frac{5}{4}} \cdot 7^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}

jest równa

A. $7^{\frac{5}{3}}$
B. $7^1$
C. $7^{\frac{3}{2}}$
D. $7^{\frac{10}{3}}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Krok 1 — mnożenie w nawiasie: wykładniki dodajemy. Mianowniki są takie same, więc dodajemy same liczniki:
$7^{\textcolor{#16A06A}{5/4}} \cdot 7^{\textcolor{#16A06A}{1/4}} = 7^{\,\frac54 + \frac14} = 7^{\frac{6}{4}} = 7^{\textcolor{#E0453A}{3/2}}$
Krok 2 — potęga potęgi: wykładniki mnożymy.
$\left(7^{\textcolor{#E0453A}{3/2}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{2/3}} = 7^{\,\frac32 \cdot \frac23} = 7^{\textcolor{#E0453A}{1}}$
Odpowiedź: $7^1$ , czyli B.
Zwróć uwagę na kroku 2: $\tfrac32$ i $\tfrac23$ to liczby odwrotne, więc ich iloczyn jest równy 1. Zadanie jest tak zbudowane, żeby to zauważyć.

💡 Wskazówka: Skracaj ułamki od razu: $\tfrac64$ to $\tfrac32$ , a nie „sześć czwartych”. Bez skrócenia trudniej dostrzec, że wykładnik zewnętrzny jest liczbą odwrotną i wszystko zredukuje się do jedynki.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź C ( $7^{3/2}$ ) — czyli zatrzymanie się po pierwszym kroku i zignorowanie wykładnika zewnętrznego. Drugi częsty: odpowiedź D ( $7^{10/3}$ ) — tam błąd jest już w nawiasie: po nim mnożenie przez $\tfrac23$ daje $\tfrac{10}{3}$ zamiast $1$ .

Zadanie 9 (marzec 2021)1 pktśrednie

Dla każdej dodatniej liczby

b

wyrażenie

\left(\sqrt{b} \cdot \sqrt[4]{b}\right)^{\frac{1}{3}}

jest równe

A. $b^2$
B. $b^{0{,}25}$
C. $b^{\frac{8}{3}}$
D. $b^{\frac{4}{3}}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Krok 1 — pierwiastki na potęgi.
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt{b}} = b^{1/2}, \qquad \textcolor{#16A06A}{\sqrt[4]{b}} = b^{1/4}$
Krok 2 — mnożenie w nawiasie: wykładniki dodajemy.
$b^{1/2} \cdot b^{1/4} = b^{\,\frac24 + \frac14} = b^{\textcolor{#E0453A}{3/4}}$
Krok 3 — potęga potęgi: wykładniki mnożymy.
$\left(b^{\textcolor{#E0453A}{3/4}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{1/3}} = b^{\,\frac34 \cdot \frac13} = b^{\textcolor{#E0453A}{1/4}}$
Krok 4 — zapisujemy w postaci z odpowiedzi.
$b^{\textcolor{#E0453A}{1/4}} = b^{0{,}25}$
Odpowiedź: $b^{0{,}25}$ , czyli B.
Kontrola na liczbie: dla $b = 16$ mamy $\left(\sqrt{16} \cdot \sqrt[4]{16}\right)^{1/3} = (4 \cdot 2)^{1/3} = 8^{1/3} = 2$ , a $16^{0{,}25} = \sqrt[4]{16} = 2$ ✓.

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, że odpowiedzi są zapisane w trzech różnych konwencjach — jako potęga całkowita, dziesiętna i ułamkowa. Twój wynik $b^{1/4}$ trzeba jeszcze przetłumaczyć na $b^{0{,}25}$ , żeby go rozpoznać na liście.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedzi C lub D, czyli dzielenie przez $\tfrac13$ zamiast mnożenia (co daje $\tfrac34 \cdot 3 = \tfrac94$ albo podobne). Wykładnik zewnętrzny zawsze mnoży wykładnik wewnętrzny.

Zadanie 10 (sierpień 2019)1 pkttrudniejsze

Liczbę

\sqrt[4]{9 \cdot \sqrt{3}}

można zapisać w postaci

A. $3^{\frac{5}{8}}$
B. $3^{\frac{11}{4}}$
C. $3^{\frac{1}{4}}$
D. $3^{\frac{9}{8}}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Pracujemy od środka na zewnątrz: najpierw upraszczamy to, co pod pierwiastkiem czwartego stopnia.
Krok 1 — wszystko na potęgi trójki.
$\textcolor{#16A06A}{9} = 3^2, \qquad \textcolor{#16A06A}{\sqrt3} = 3^{1/2}$
Krok 2 — mnożenie pod pierwiastkiem: wykładniki dodajemy.
$\textcolor{#16A06A}{9} \cdot \textcolor{#16A06A}{\sqrt3} = 3^2 \cdot 3^{1/2} = 3^{\,2 + \frac12} = 3^{\textcolor{#E0453A}{5/2}}$
Krok 3 — pierwiastek czwartego stopnia to potęga $\tfrac14$ , a potęgę potęgi mnożymy.
$\sqrt[4]{3^{\textcolor{#E0453A}{5/2}}} = \left(3^{\textcolor{#E0453A}{5/2}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{1/4}} = 3^{\,\frac52 \cdot \frac14} = 3^{\textcolor{#E0453A}{5/8}}$
Odpowiedź: $3^{\frac{5}{8}}$ , czyli A.
Kontrola przybliżona: $3^{5/8} \approx 1{,}99$ , a $\sqrt[4]{9 \cdot 1{,}732} = \sqrt[4]{15{,}59} \approx 1{,}99$ ✓.

💡 Wskazówka: Przy pierwiastku z pierwiastka nie próbuj liczyć niczego numerycznie — zapisz wszystko jako potęgi jednej liczby i pracuj na wykładnikach. Kolejność jest zawsze ta sama: uprość wnętrze, potem zastosuj pierwiastek zewnętrzny.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź B ( $3^{11/4}$ ), czyli dodanie $\tfrac14$ do wykładnika $\tfrac52$ zamiast pomnożenia ( $\tfrac52 + \tfrac14 = \tfrac{11}{4}$ ). Pierwiastek zewnętrzny mnoży wykładnik, nie dodaje się do niego.

Zadanie 11 (sierpień 2018)1 pktśrednie

Liczba

\sqrt{\sqrt[3]{2}}

jest równa

A. $2^{\frac{1}{6}}$
B. $2^{\frac{1}{5}}$
C. $2^{\frac{1}{3}}$
D. $2^{\frac{2}{3}}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Pierwiastek z pierwiastka — dwa razy z rzędu ta sama zamiana.
Krok 1 — pierwiastek wewnętrzny.
$\textcolor{#16A06A}{\sqrt[3]{2}} = 2^{\textcolor{#16A06A}{1/3}}$
Krok 2 — pierwiastek zewnętrzny to potęga $\tfrac12$ ; wykładniki mnożymy.
$\sqrt{2^{\textcolor{#16A06A}{1/3}}} = \left(2^{\textcolor{#16A06A}{1/3}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{1/2}} = 2^{\,\frac13 \cdot \frac12} = 2^{\textcolor{#E0453A}{1/6}}$
Odpowiedź: $2^{\frac{1}{6}}$ , czyli A.
Ogólna reguła, którą warto zapamiętać: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$ — stopnie pierwiastków mnożą się. Tu $2 \cdot 3 = 6$ , więc od razu $\sqrt[6]{2}$ .

💡 Wskazówka: Przy pierwiastku z pierwiastka wystarczy pomnożyć stopnie: $\sqrt{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[6]{2}$ . To ta sama reguła co mnożenie wykładników $\tfrac12 \cdot \tfrac13 = \tfrac16$ , tylko zapisana krócej.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź B ( $2^{1/5}$ ), czyli dodanie stopni pierwiastków ( $2 + 3 = 5$ ). Stopnie się mnożą, bo w wykładnikach mamy iloczyn ułamków, a nie ich sumę.

Zadanie 12 (czerwiec 2016)1 pktśrednie

Liczba

\sqrt[3]{3\sqrt{3}}

jest równa

A. $\sqrt[6]{3}$
B. $\sqrt[4]{3}$
C. $\sqrt[3]{3}$
D. $\sqrt{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Krok 1 — upraszczamy wnętrze. Iloczyn $3\sqrt3$ to jedna potęga trójki:
$\textcolor{#16A06A}{3\sqrt3} = 3^1 \cdot 3^{1/2} = 3^{\,1 + \frac12} = 3^{\textcolor{#E0453A}{3/2}}$
Krok 2 — pierwiastek trzeciego stopnia: mnożymy wykładniki.
$\sqrt[3]{3^{\textcolor{#E0453A}{3/2}}} = \left(3^{\textcolor{#E0453A}{3/2}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{1/3}} = 3^{\,\frac32 \cdot \frac13} = 3^{\textcolor{#E0453A}{1/2}}$
Krok 3 — wracamy do pierwiastka.
$3^{\textcolor{#E0453A}{1/2}} = \sqrt{3}$
Odpowiedź: $\sqrt{3}$ , czyli D.
Kontrola: $\left(\sqrt3\right)^3 = 3\sqrt3$ ✓ — sześcian wyniku daje liczbę spod pierwiastka, więc pierwiastek trzeciego stopnia się zgadza.

💡 Wskazówka: Najszybsza kontrola przy pierwiastku stopnia $n$ : podnieś swój wynik do potęgi $n$ i sprawdź, czy dostajesz liczbę spod pierwiastka. Tutaj $\left(\sqrt3\right)^3 = 3\sqrt3$ — zgadza się w jednej linijce.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź A ( $\sqrt[6]{3}$ ), czyli pomnożenie stopni pierwiastków ( $3 \cdot 2 = 6$ ) bez uwzględnienia, że przed pierwiastkiem wewnętrznym stoi jeszcze trójka. Reguła „stopnie się mnożą” dotyczy tylko czystego $\sqrt[3]{\sqrt{3}}$ — a tu pod pierwiastkiem jest iloczyn.

Zadanie 13 (sierpień 2019)1 pkttrudniejsze

Liczbą większą od

5

jest

A. $\left(\dfrac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}}$
B. $\left(\dfrac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{5}}$
C. $125^{\frac{2}{3}}$
D. $125^{\frac{1}{3}}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Trzeba policzyć wszystkie cztery liczby — ale każda sprowadza się do potęgi piątki, więc idzie szybko.
Odpowiedź A. Wykładnik ujemny odwraca ułamek, a $\tfrac12$ to pierwiastek:
$\left(\textcolor{#16A06A}{\tfrac{1}{25}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{-\frac12}} = 25^{\frac12} = \sqrt{25} = \textcolor{#E0453A}{5}$ — równe 5, więc nie większe ✗
Odpowiedź B. Tak samo odwracamy, ale wykładnik jest mniejszy:
$\left(\textcolor{#16A06A}{\tfrac{1}{25}}\right)^{\textcolor{#16A06A}{-\frac15}} = 25^{\frac15} = \left(5^2\right)^{\frac15} = 5^{\frac25} \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}9}$ ✗
Odpowiedź C.
$\textcolor{#16A06A}{125}^{\textcolor{#16A06A}{\frac23}} = \left(5^3\right)^{\frac23} = 5^{\,3 \cdot \frac23} = 5^{2} = \textcolor{#E0453A}{25}$ — większe od 5 ✓
Odpowiedź D.
$\textcolor{#16A06A}{125}^{\textcolor{#16A06A}{\frac13}} = \left(5^3\right)^{\frac13} = 5^{1} = \textcolor{#E0453A}{5}$ — równe 5 ✗
Odpowiedź: C.
Warto zauważyć, że aż dwie odpowiedzi (A i D) dają dokładnie 5 — zadanie sprawdza, czy czytasz „większa od 5”, a nie „równa 5”.

💡 Wskazówka: Sprowadź wszystko do potęgi piątki i porównuj same wykładniki: A daje $5^1$ , B daje $5^{0{,}4}$ , C daje $5^2$ , D daje $5^1$ . Przy podstawie większej od 1 większy wykładnik oznacza większą liczbę — więc wygrywa $5^2$ .

⚠ Najczęstszy błąd: wybór A albo D, bo wyszło „ładnie” — i przeoczenie, że wynik jest równy 5, a nie większy. Drugi częsty: uznanie, że wykładnik ujemny daje liczbę mniejszą od 1; tutaj odwraca ułamek $\tfrac{1}{25}$ na $25$ , więc wynik rośnie.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A	2. C	3. D	4. C	5. A	6. C
7. A	8. B	9. B	10. A	11. A	12. D
13. C

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Potęgi i pierwiastki — sprawdzian, liceum, klasa 1

Wykładnik całkowity i wymierny, działania na pierwiastkach, suma jednakowych potęg.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Pierwiastki i potęgi — kartkówka, liceum, klasa 1

Wykładnik ujemny, działania na potęgach i pierwiastkach.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Potęga o wykładniku wymiernym — kartkówka, liceum, klasa 1

Wykładnik ułamkowy dodatni i ujemny, iloczyn pierwiastków jako potęga.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Karty pracy · sklep

Liczby rzeczywiste, matura — 10 kart pracy PDF z kluczem

10 kart pracy z matematyki do matury podstawowej: potęgi o wykładniku ujemnym i wymiernym, pierwiastki, notacja wykładnicza, błąd względny.…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

7Pytania i odpowiedzi

Dlaczego

a^{1/2}

to pierwiastek kwadratowy?

Bo po podniesieniu do kwadratu daje $a$ : $(a^{1/2})^2 = a^{1} = a$ . Szukamy więc liczby, której kwadrat wynosi $a$ — a to jest definicja pierwiastka kwadratowego. To wniosek z praw potęg, nie osobna definicja.

Jak obliczyć potęgę o wykładniku ułamkowym?

Mianownik wykładnika mówi, jakiego stopnia jest pierwiastek, a licznik — do której potęgi podnieść. Dla $27^{2/3}$ liczymy $\sqrt[3]{27} = 3$ , a potem $3^2 = 9$ . Wygodniej pierwiastkować najpierw, bo liczby są mniejsze.

Jak wyłączyć czynnik przed pierwiastek?

Rozłożyć liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn zawierający kwadrat i wyciągnąć go. Dla $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt2$ . Trzeba szukać największego kwadratu, inaczej wynik zostanie nieuproszczony.

Jak usunąć pierwiastek z mianownika?

Pomnożyć licznik i mianownik przez ten pierwiastek, a przy sumie w mianowniku — przez wyrażenie sprzężone. W drugim przypadku mianownik upraszcza się dzięki wzorowi na różnicę kwadratów.

Czy pierwiastek z liczby ujemnej istnieje?

Zależy od stopnia. Pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej nie istnieje w liczbach rzeczywistych, ale nieparzystego — owszem: $\sqrt[3]{-8} = -2$ , bo $(-2)^3 = -8$ .

Czy można dodawać pierwiastki?

Tylko takie same, i to jak wyrazy podobne: $2\sqrt3 + 3\sqrt3 = 5\sqrt3$ . Różnych pierwiastków dodać się nie da, ale warto najpierw wyłączyć czynniki — często okazuje się, że po uproszczeniu są takie same.

Potęgi i pierwiastki — wszystkie tematy

Wzory, działania na potęgach i pierwiastkach oraz liczby niewymierne — cały dział w jednym miejscu.

Potęgi

Potęgi — wzory i działania
Potęgowanie i pierwiastkowanie (ta strona)
Kwadraty i sześciany liczb
Dodawanie i odejmowanie potęg
Mnożenie i dzielenie potęg
Potęgowanie ułamków
Notacja wykładnicza

Pierwiastki

Czytaj dalej

PotęgiPrawa działań, z których wynikają wszystkie wzory PierwiastkowaniePodstawy: pierwiastek kwadratowy i sześcienny LogarytmyTrzecie działanie z tej samej rodziny Wzory skróconego mnożeniaRóżnica kwadratów przy usuwaniu niewymierności Liczby rzeczywisteDział podstawy, do którego ten temat należy Wzór de Moivre'a — potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonychPostać trygonometryczna zamienia potęgowanie w mnożenie kąta. Moduł,…

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.