czerwiec 20261 pkt
Dla każdej liczby rzeczywistej x wartość wyrażenia \(x^{3} - 2x^{2} + x\) jest równa wartości wyrażenia A. \(x(x - 1)^{2}\) B. x(x − \(1\))(x + \(1\)) C…
czerwiec 20263 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \[xy+x+y\leq x^{2}+y^{2}+1.\]
czerwiec 20263 pkt
Wykaż, że dla każdych liczb rzeczywistych \(x\) oraz \(y\) prawdziwa jest nierówność \[xy+x+y\leq x^{2}+y^{2}+1.\]
maj 20263 pkt
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność…
próbna marzec 20262 pkt
**Wykaż, że liczba** \(\mathbf{2501^{4}-2499^{4}}\) **jest podzielna przez** \(\mathbf{10\,000}\)**.**
próbna marzec 20261 pkt
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \((-10)\) oraz różnej od \(0\) wartość wyrażenia…
czerwiec 20251 pkt
Wielomian \(W\) jest określony wzorem \[W(x)=(2\sqrt{3}x-x^{2}+1)^{2}.\] We wzorze ogólnym tego wielomianu \(W(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\) współczynnik \(c\) jest…
czerwiec 20253 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(a\), która przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(1\), i dla każdej liczby całkowitej \(b\), która przy dzieleniu przez \(5\)…
czerwiec 20252 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq2\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \[x^{2}+y^{2}>4(x+y-2).\]
czerwiec 20252 pkt
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym \(24\sqrt{3}\). Wykaż, że objętość \(V\) graniastosłupa w zależności od…
zbiór zadań z informatora 20252 pkt
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \[(3n+5)^2+11n^2-18\] przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).
zbiór zadań z informatora 20253 pkt
Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne \(a\) i \(b\) takie, że \(a<b\) oraz obie są niepodzielne przez \(3\). Udowodnij, że liczba \[a^2+11ab+b^2\] jest podzielna przez…
zbiór zadań z informatora 20251 pkt
Dane są liczby \[a=\log_2(3\sqrt5+\sqrt{13})\qquad\text{oraz}\qquad b=\log_2(3\sqrt5-\sqrt{13}).\] Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba…
zbiór zadań z informatora 20252 pkt
Dane są liczby \[a=\sqrt5-2\qquad\text{oraz}\qquad b=\sqrt5+2.\] Oblicz dla podanych \(a\) i \(b\) wartość wyrażenia…
zbiór zadań z informatora 20252 pkt
Dana jest liczba \[x=a-(\sqrt3-\sqrt2)^2,\qquad a\in\mathbb{R}.\] Uwzględnij, że liczby \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) oraz \(\sqrt2\cdot\sqrt3\) są niewymierne. Dokończ zdanie…
maj 20253 pkt
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\neq\frac{1}{2}a\), prawdziwa jest nierówność…
maj 20251 pkt
Granica \[\lim_{x\to2}\frac{x^{3}-8}{2x^{2}+2x-12}\] jest równa **A.** \(\frac{2}{5}\) **B.** \(\frac{4}{5}\) **C.** \(\frac{6}{5}\) **D.** \(\frac{12}{5}\)
maj 20252 pkt
Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) liczba \(3n^{2}+2n+7\) jest podzielna przez \(4\).
maj 20254 pkt
Rozważamy prostopadłościany \(ABCDEFGH\), w których krawędź \(BC\) ma długość \(4\), a suma długości trzech krawędzi wychodzących z wierzchołka \(B\) jest równa \(15\)…
maj 20252 pkt
Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od \(5\), a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa \(5\). Wykaż, że objętość \(V\) stożka, jako…
czerwiec 20241 pkt
Liczba \((2\sqrt{10}+\sqrt{2})^{2}\) jest równa A. \(22\) B. \(42\) C. \(42+4\sqrt{5}\) D. \(42+8\sqrt{5}\)
czerwiec 20243 pkt
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby \(a\) i każdej dodatniej liczby \(b\) takich, że \(a+b=1\), prawdziwa jest nierówność \[\frac1{2a+b}+\frac1{a+2b}\geq\frac43.\]
czerwiec 20242 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \[x^2+49y^2>2(x+7y-1).\]
czerwiec 20242 pkt
Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości \(H\) ostrosłupa oraz promienia \(R\) okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest…
próbna grudzień 20241 pkt
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \(-1\), \(0\) oraz \(1\) wartość wyrażenia…
próbna grudzień 20242 pkt
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \((3,0)\). Ta parabola przechodzi przez…
maj 20242 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \(n^{2} + (n + 1)^{2} + (n + 2)^{2}\) przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).
maj 20242 pkt
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości \(3456\), których krawędź podstawy ma długość nie większą niż \(8\sqrt3\). **Zadanie \(13\).\(1\).**…
sierpień 20242 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \((2n+5)^{2}+3\) jest podzielna przez \(4\).
sierpień 20241 pkt
Liczba \((\sqrt{8} - \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{8})\) jest równa A. \(60\) B. \(6\) C. \(\sqrt{60}\) D. \(0\)
sierpień 20241 pkt
Pusta bańka na mleko o pojemności \(10\) litrów ma masę \(6{,}5\ \mathrm{kg}\). Jeden litr mleka ma masę \(1{,}03\ \mathrm{kg}\). Niech \(x\) oznacza liczbę litrów mleka…
sierpień 20242 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\), takich że \(x\neq2y\), prawdziwa jest nierówność \[x^2+4y^2-4>4(xy-1).\]
sierpień 20241 pkt
Pusta bańka na mleko o pojemności \(10\) litrów ma masę \(6{,}5\,\mathrm{kg}\). Jeden litr mleka ma masę \(1{,}03\,\mathrm{kg}\). Niech \(x\) oznacza liczbę litrów mleka…
arkusz pokazowy 20233 pkt
**Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez \(4\) jest liczbą podzielną przez \(36\).**
arkusz pokazowy 20232 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej \(n\) liczba \[n^2+2023\] jest podzielna przez \(8\).
arkusz pokazowy 20231 pkt
Firma przeprowadziła badania rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny \(P\) swojego produktu na liczbę \(Q\) kupujących ten produkt. Każdorazowe zwiększenie ceny o \(1\)…
czerwiec 20232 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) takiej, że \(b\neq a\), prawdziwa jest nierówność \[a^2+3b^2+4>2a+6b.\]
próbna grudzień 20231 pkt
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \(-3\) i \(-2\) wartość wyrażenia…
zbiór zadań z informatora 20233 pkt
Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne \(a\) i \(b\) takie, że obie są niepodzielne przez \(3\). **Udowodnij, że liczba \(a^3+b^3\) jest podzielna przez \(9\).**
maj 20232 pkt
**Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\) liczba \((2n+1)^2-1\) jest podzielna przez \(8\).**
maj 20233 pkt
Liczby rzeczywiste \(x\) i \(y\) spełniają warunki \[x+y=4\] oraz \[x^3-x^2y\leq xy^2-y^3.\] **Wykaż, że \(x=2\) oraz \(y=2\).**
maj 20233 pkt
Liczby rzeczywiste \(x\) oraz \(y\) spełniają jednocześnie równanie \(x+y=4\) i nierówność \(x^3-x^2y \leq xy^2-y^3\). Wykaż, że \(x=2\) oraz \(y=2\).
sierpień 20231 pkt
Wartość wyrażenia \((2-\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3}-2)^{2}\) jest równa A. \(-2\sqrt{3}\) B. \(0\) C. \(6\) D. \(8\sqrt{3}\)
czerwiec 20223 pkt
**Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\), takich że \(x\ne y\), spełniona jest nierówność** \[x^4+y^4>xy(x^2+y^2).\]
czerwiec 20222 pkt
**Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i każdej liczby rzeczywistej \(y\), takich że \(x\ne y\), prawdziwa jest nierówność**…
próbna grudzień 20223 pkt
**Wykaż, że** dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) oraz dla każdej liczby rzeczywistej \(y\), spełniających warunek \(x+y\geq1\), prawdziwa jest nierówność…
próbna grudzień 20221 pkt
Liczby rzeczywiste \(x\) i \(y\) są dodatnie oraz \(x\neq y\). **Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Wyrażenie \[\frac1{x-y}+\frac1{x+y}\]…
maj 20221 pkt
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}\] dla każdej liczby rzeczywistej \(x\ne2\). Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu \(x=\frac12\) jest…
maj 20223 pkt
**Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\), takich że \(2x>y\), spełniona jest nierówność** \[7x^3+4x^2y\geq y^3+2xy^2-x^3.\]
maj 20222 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b takich, że \(b \neq a\), spełniona jest nierówność…
sierpień 20222 pkt
**Wykaż, że** dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) różnej od \(0\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) różnej od \(0\) spełniona jest nierówność \[2a^2-4ab+5b^2>0.\]
próbna wrzesień 20221 pkt
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.** Wartość wyrażenia \[(1-\cos20^\circ)(1+\cos20^\circ)-\sin^2 20^\circ\] jest równa **A.** \(-1\) **B.**…
czerwiec 20211 pkt
Wartość wyrażenia \(\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3})\) jest równa A. \(5-2\sqrt{6}\) B. \(5\) C. \(5+2\sqrt{6}\) D. −\(1\)
maj 20211 pkt
Wielomian \[W(x)=x^4+81\] jest podzielny przez **A.** \(x-3\) **B.** \(x^2+9\) **C.** \(x^2-3\sqrt2x+9\) **D.** \(x^2+3\sqrt2x-9\)
próbna marzec 20211 pkt
Liczba \[(\sqrt6-\sqrt2)^2-2\sqrt3\] jest równa **A.** \(8-6\sqrt3\) **B.** \(8-2\sqrt3\) **C.** \(4-2\sqrt3\) **D.** \(8-4\sqrt3\)
próbna marzec 20213 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x>2\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \[5x^2-6xy+3y^2-2x-4>0.\]
próbna marzec 20212 pkt
Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \[\sin\alpha+\cos\alpha=\frac75.\] Oblicz wartość wyrażenia \[2\sin\alpha\cos\alpha.\]
sierpień 20212 pkt
Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) zachodzi nierówność \[b(5b-4a)+a^2\geq0.\]
czerwiec 20201 pkt
Po przekształceniu wyrażenia \[(x\sqrt2+y\sqrt3)^4\] do postaci \[ax^4+bx^3y+cx^2y^2+dxy^3+ey^4\] współczynnik \(c\) jest równy **A.** \(6\) **B.** \(36\) **C.**…
czerwiec 20203 pkt
Liczby dodatnie \(a\) i \(b\) spełniają równość \[a^2+2a=4b^2+4b.\] Wykaż, że \(a=2b\).
czerwiec 20202 pkt
Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \[a(a-2b)+2b^2>0.\]
wrzesień 20202 pkt
Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \[a(a+b)+b^2>3ab.\]
wrzesień 20202 pkt
Rozwiąż równanie \((x^{3}+8)(x^{2}-9)=0\).
czerwiec 20192 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby \(a > 0\) i dla każdej liczby \(b > 0\) prawdziwa jest nierówność \(1\) \(1\) \(4\) \(+ \geq\) . a b a + b
maj 20192 pkt
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \[3a^2-2ab+3b^2\geq0.\]
sierpień 20192 pkt
− x Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej x prawdziwa jest nierówność \(x + \geq 1\). x
czerwiec 20183 pkt
Wykaż, że równanie \(x^{8}+x^{2}=2(x^{4}+x-1)\) ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste \(x=1\).
czerwiec 20182 pkt
Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez \(8\) jest równa \(6\).
maj 20183 pkt
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i każdej liczby całkowitej m liczba \(k^{3}m-km^{3}\) jest podzielna przez \(6\).
maj 20186 pkt
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie \(x^{2}+(m+1)x-m^{2}+1=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_{1}\) i \(x_{2}\) spełniające warunek…
maj 20182 pkt
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność \[\frac1{2a}+\frac1{2b}\geq\frac2{a+b}.\]
sierpień 20182 pkt
Wykaż, że jeżeli a i b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to ( a + b ) \(1 + 1\) \(\geq 4\) . a b
czerwiec 20171 pkt
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wyrażenie \(x^{6}-2x^{3}-3\) jest równe A. \((x^{3}+1)(x^{2}-3)\) B. \((x^{3}-3)(x^{3}+1)\) C. \((x^{2}+3)(x^{4}-1)\) D…
czerwiec 20173 pkt
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \[5x^2+y^2-4xy+6x+9\geq0.\]
maj 20171 pkt
Liczba \[\left(\sqrt{2-\sqrt3}-\sqrt{2+\sqrt3}\right)^2\] jest równa **A.** \(2\) **B.** \(4\) **C.** \(\sqrt3\) **D.** \(2\sqrt3\)
maj 20171 pkt
Równość \((x\sqrt{2} - 2)^{2} = (2 + \sqrt{2})^{2}\) jest A. prawdziwa dla \(x = -\sqrt{2}\) B. prawdziwa dla \(x = \sqrt{2}\) C. prawdziwa dla \(x = -1\) D. fałszywa dla…
maj 20173 pkt
Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) zachodzi nierówność \[x^2y^2+2x^2+2y^2-8xy+4>0.\]
sierpień 20172 pkt
Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność \(1\) \(4x + \geq 4\) . x
czerwiec 20164 pkt
Wykaż, że dla \(a,b,c,d>0\) prawdziwa jest nierówność \[\sqrt{a+b}\cdot\sqrt{c+d}\geq\sqrt{ac}+\sqrt{bd}.\]
czerwiec 20162 pkt
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność ( ) \(x 4 + y 4 + x 2 + y 2 \geq 2 x^{3} + y 3\) .
maj 20163 pkt
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że \(x^{2}+y^{2}=2\), prawdziwa jest nierówność \(x+y \leq 2\).
maj 20162 pkt
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \[a_n=2n^2+2n\] dla \(n\geq1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
arkusz pokazowy 20153 pkt
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i każdej liczby rzeczywistej \(m\) prawdziwa jest nierówność \[20x^2-24mx+18m^2\geq4x+12m-5.\]
czerwiec 20152 pkt
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y\) prawdziwa jest nierówność \[3x^2+5y^2-4xy\geq0.\]
zbiór zadań z informatora 20152 pkt
Udowodnij, że jeśli \(a>0\) i \(b>0\) oraz \(a+b=1\), to \[ab\leq\frac14.\]
zbiór zadań z informatora 20152 pkt
Udowodnij, że jeśli \(x,y\) są liczbami rzeczywistymi, to \[x^2+y^2\geq2xy.\]
zbiór zadań z informatora 20153 pkt
Udowodnij, że prawdziwa jest nierówność \[\sqrt{2^{50}+1}+\sqrt{2^{50}-1}<2^{26}.\]
maj 20153 pkt
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \[x^4-x^2-2x+3>0.\]
maj 20152 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \[4x^2-8xy+5y^2\geq0.\]
sierpień 20152 pkt
Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych \(x,y\) prawdziwa jest nierówność \[x^3+y^3\geq x^2y+xy^2.\]
czerwiec 20143 pkt
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \[x(x-1)+y(y-1)\geq xy-1.\]
czerwiec 20142 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) prawdziwa jest nierówność \[\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq\frac{a^2+b^2}{2}.\]
próbna grudzień 20142 pkt
Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez \(3\), to jej kwadrat przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(1\).
próbna grudzień 20142 pkt
Wartość prędkości średniej obliczamy jako iloraz drogi i czasu, w którym ta droga została przebyta. Samochód przejechał z miejscowości \(A\) do miejscowości \(C\) przez…
maj 20143 pkt
Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \[\frac{x(x+1)}{y}+\frac{y(y+1)}{x}>2.\]
sierpień 20141 pkt
Liczba \[(\sqrt5-\sqrt3)^2+2\sqrt{15}\] jest równa **A.** \(2+2\sqrt{15}\) **B.** \(8\) **C.** \(2+4\sqrt{15}\) **D.** \(2\)
sierpień 20142 pkt
Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez \(24\).
czerwiec 20134 pkt
Wykaż, że prawdziwa jest równość \[\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3.\]
czerwiec 20133 pkt
Uzasadnij, że jeżeli \[2a+b\geq0,\] to \[2a^3+b^3\geq3a^2b.\]
maj 20132 pkt
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y,z\), takich że \(x+y+z=0\), prawdziwa jest nierówność \[xy+yz+zx\leq0.\] Możesz skorzystać z tożsamości…
sierpień 20132 pkt
Uzasadnij, że jeżeli \(a\) jest liczbą rzeczywistą różną od zera i \[a+\frac1a=3,\] to \[a^2+\frac1{a^2}=7.\]
czerwiec 20121 pkt
Ułamek \[\frac{\sqrt5+2}{\sqrt5-2}\] jest równy **A.** \(1\) **B.** \(-1\) **C.** \(7+4\sqrt5\) **D.** \(9+4\sqrt5\)
czerwiec 20124 pkt
Wielomian \[W(x)=x^4+ax^3+bx^2-24x+9\] jest kwadratem wielomianu \[P(x)=x^2+cx+d.\] Oblicz \(a\) oraz \(b\).
czerwiec 20125 pkt
Kąt \(\alpha\) jest taki, że \[\cos\alpha+\sin\alpha=\frac{4}{3}.\] Oblicz wartość wyrażenia \[|\cos\alpha-\sin\alpha|.\]
czerwiec 20123 pkt
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a,b,c,d\) prawdziwa jest nierówność \[ac+bd\leq\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{c^2+d^2}.\]
czerwiec 20122 pkt
Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).
maj 20121 pkt
Liczba \[(3-\sqrt2)^2+4(2-\sqrt2)\] jest równa **A.** \(19-10\sqrt2\) **B.** \(17-4\sqrt2\) **C.** \(15+14\sqrt2\) **D.** \(19+6\sqrt2\)
maj 20123 pkt
Udowodnij, że jeżeli \[a+b\geq0,\] to prawdziwa jest nierówność \[a^3+b^3\geq a^2b+ab^2.\]
próbna marzec 20121 pkt
Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \[(4+x)^2<(x-4)(x+4)\] jest **A.** \(-5\) **B.** \(-4\) **C.** \(-3\) **D.** \(-2\)
sierpień 20121 pkt
Liczba \[(2-3\sqrt2)^2\] jest równa **A.** \(-14\) **B.** \(22\) **C.** \(-14-12\sqrt2\) **D.** \(22-12\sqrt2\)
czerwiec 20111 pkt
Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \[(3-x)(3+x)>(3-x)^2\] jest **A.** \(0\) **B.** \(1\) **C.** \(2\) **D.** \(3\)
maj 20114 pkt
Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) liczba \[k^6-2k^4+k^2\] jest podzielna przez \(36\).
maj 20112 pkt
Uzasadnij, że jeżeli \(a+b=1\) i \(a^2+b^2=7\), to \(a^4+b^4=31\).
sierpień 20111 pkt
Suma liczby \(x\) i \(15\%\) tej liczby jest równa \(230\). Równaniem opisującym tę zależność jest **A.** \(0{,}15\cdot x=230\) **B.** \(0{,}85\cdot x=230\) **C.**…
czerwiec 20102 pkt
Uzasadnij, że jeśli \[ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2, \] to \(ad=bc\).
zbiór zadań z informatora 20102 pkt
Wielomiany \(W(x)=ax(x+b)^2\) i \(V(x)=x^3+2x^2+x\) są równe. Oblicz \(a\) i \(b\).
zbiór zadań z informatora 2010
Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \[\sqrt{2^{50}+1}+\sqrt{2^{50}-1}<2^{26}.\]
zbiór zadań z informatora 2010
Udowodnij, że jeśli a) \(x\), \(y\) są liczbami rzeczywistymi, to \(x^2+y^2\geqslant2xy\); b) \(x\), \(y\), \(z\) są liczbami rzeczywistymi takimi, że \(x+y+z=1\), to…
maj 20102 pkt
Wykaż, że jeśli \(a>0\), to \[ \frac{a^2+1}{a+1}\geqslant\frac{a+1}{2}. \]
sierpień 20104 pkt
Wykaż, że nierówność \[ \sqrt[4]{\frac{a^4+b^4}{2}}\geqslant\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \] jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\).
sierpień 20101 pkt
Kwadrat liczby \(x=2-\sqrt3\) jest równy **A.** \(7-4\sqrt3\) **B.** \(7+4\sqrt3\) **C.** \(1\) **D.** \(7\)
sierpień 20102 pkt
Wykaż, że jeżeli \(a>0\) i \(b>0\) oraz \[ \sqrt{a^2+b}=\sqrt{a+b^2}, \] to \(a=b\) lub \(a+b=1\).
próbna styczeń 20096 pkt
Trapez równoramienny jest opisany na okręgu. Suma długości krótszej podstawy i ramienia trapezu jest równa \(30\). Wyraź pole tego trapezu jako funkcję długości jego…
zestaw zadań marzec 2008 nr 24 pkt
Rozwiąż nierówność \[\frac{2^{32}-32^2}{2^{16}+32}\cdot x>2^{10}-2^{21}.\] Podaj najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą tę nierówność.
zestaw zadań marzec 2008 nr 13 pkt
Wykaż, że wielomian \(W(x)=x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-6x+9\) nie ma pierwiastków rzeczywistych.
maj 20057 pkt
Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że \[\sqrt[3]{5\sqrt2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt2-7}\] jest liczbą całkowitą.
próbna czerwiec 20043 pkt
Funkcja \(f\) przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej iloczyn tej liczby przez liczbę o \(3\) od niej mniejszą. a) Podaj wzór funkcji \(f\). b) Zbadaj, ile rozwiązań…
próbna styczeń 20044 pkt
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\), \(b\), \(c\) funkcja \[f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)\] ma co najmniej jedno miejsce zerowe.
próbna styczeń 20043 pkt
Wykaż, że jeśli \(a\neq b\), to równanie \[x^2+y^2+ax+by+\frac{ab}{2}=0\] jest równaniem okręgu. Wyznacz współrzędne środka i długość promienia tego okręgu.
próbna styczeń 20033 pkt
Upraszczając pierwiastek kwadratowy z liczby \(27+10\sqrt{2}\), zapiszemy ją w postaci kwadratu sumy dwóch liczb. Postępujemy następująco…