Dzielenie wielomianów w zadaniach maturalnych

Pierwiastki wielomianu to \(4-\sqrt{13}\), \(4+\sqrt{13}\) oraz \(8\).

Zapisujemy \[W(x)=\frac18(x^3-16x^2+67x-24).\] Z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych oraz z przedstawionego fragmentu wykresu wynika, że całkowitego pierwiastka należy szukać wśród \(8,12,24\). Sprawdzamy: \[W(8)=\frac18(8^3-16\cdot8^2+67\cdot8-24)=0.\] Dzieląc przez \(x-8\), otrzymujemy \[W(x)=\frac18(x-8)(x^2-8x+3).\] Równanie \(x^2-8x+3=0\) ma rozwiązania \(x=4-\sqrt{13}\) i \(x=4+\sqrt{13}\). Razem z \(x=8\) są to wszystkie pierwiastki \(W\).

**3 pkt** – obliczenie wszystkich pierwiastków wielomianu \(W\) **2 pkt** – sprawdzenie, że \(8\) jest pierwiastkiem, oraz podzielenie \(W\) przez \(x-8\) **1 pkt** – zastosowanie twierdzenia o pierwiastkach całkowitych do \(x^3-16x^2+67x-24\) i określenie możliwych pierwiastków całkowitych **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie informacji przedstawionych w formie wykresu. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** II.1 R) Zdający dzieli wielomian jednej zmiennej \(W(x)\) przez dwumian \(x-a\). II.3 R) Znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych.

\(m=1\) lub \(m=\frac{-3-2\sqrt{42}}{3}\). Warunek \(\Delta\gt 0\) daje \(m\in(-\infty,-1)\cup\left(-1,\frac{13}{4}\right)\), a warunek \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}+7\) po zastosowaniu wzorów Viète’a prowadzi do równania \((m-1)\left(3m^{2}+6m-53\right)=0\). Trzeci pierwiastek \(\frac{-3+2\sqrt{42}}{3}\approx 3{,}32\) odrzucamy, bo nie spełnia warunku \(\Delta\gt 0\).

**Krok \(1\).** Metoda: zadanie rozbijamy na dwa warunki. Pierwszy — równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, czyli \(3-m\neq 0\) i \(\Delta\gt 0\). Drugi — warunek \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}+7\) przepisujemy przy użyciu wzorów Viète’a. Na końcu bierzemy część wspólną. **Krok \(2\).** Obliczamy wyróżnik trójmianu \((3-m)x^{2}+(m+1)x-(m+1)^{2}\): \[\Delta=(m+1)^{2}+4(3-m)(m+1)^{2}=(m+1)^{2}\left[1+4(3-m)\right]=(m+1)^{2}(13-4m).\] **Krok \(3\).** Rozwiązujemy warunek \(\Delta\gt 0\). Czynnik \((m+1)^{2}\) jest dodatni dla \(m\neq -1\), więc \[(m+1)^{2}(13-4m)\gt 0\iff m\neq -1\ \text{i}\ m\lt\frac{13}{4},\] czyli \[m\in(-\infty,-1)\cup\left(-1,\ \frac{13}{4}\right).\] Doliczamy jeszcze warunek \(3-m\neq 0\) (inaczej równanie nie jest kwadratowe), czyli \(m\neq 3\). **Krok \(4\).** Zapisujemy wzory Viète’a: \[x_{1}+x_{2}=-\frac{m+1}{3-m}=\frac{m+1}{m-3},\qquad x_{1}x_{2}=\frac{-(m+1)^{2}}{3-m}=\frac{(m+1)^{2}}{m-3}.\] **Krok \(5\).** Przekształcamy warunek zadania tak, by dało się użyć wzorów Viète’a: \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}+7,\qquad (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=x_{1}x_{2}+7,\qquad (x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=7.\] **Krok \(6\).** Podstawiamy: \[\frac{(m+1)^{2}}{(m-3)^{2}}-3\cdot\frac{(m+1)^{2}}{m-3}=7.\] Mnożymy obie strony przez \((m-3)^{2}\neq 0\): \[(m+1)^{2}-3(m+1)^{2}(m-3)-7(m-3)^{2}=0.\] **Krok \(7\).** Rozwijamy i porządkujemy: \[\left(m^{2}+2m+1\right)-3\left(m^{3}-m^{2}-5m-3\right)-7\left(m^{2}-6m+9\right)=0,\] \[-3m^{3}-3m^{2}+59m-53=0,\qquad\text{czyli}\qquad 3m^{3}+3m^{2}-59m+53=0.\] **Krok \(8\).** Zauważamy, że \(m=1\) jest pierwiastkiem (\(3+3-59+53=0\)), więc dzielimy wielomian przez \(m-1\): \[3m^{3}+3m^{2}-59m+53=(m-1)\left(3m^{2}+6m-53\right).\] **Krok \(9\).** Rozwiązujemy \(3m^{2}+6m-53=0\): \[\Delta=36+4\cdot 3\cdot 53=672,\qquad \sqrt{672}=4\sqrt{42},\] \[m=\frac{-6\pm 4\sqrt{42}}{6}=\frac{-3\pm 2\sqrt{42}}{3}.\] **Krok \(10\).** Konfrontujemy trzy kandydatury z warunkiem z kroku \(3\). Ponieważ \(\sqrt{42}\approx 6{,}48\), liczbę \(\frac{-3+2\sqrt{42}}{3}\approx 3{,}32\) odrzucamy, bo \(3{,}32\gt\frac{13}{4}=3{,}25\). Liczbę \(\frac{-3-2\sqrt{42}}{3}\approx -5{,}32\) przyjmujemy, bo należy do przedziału \((-\infty,-1)\). Liczbę \(m=1\) także przyjmujemy, bo należy do przedziału \(\left(-1,\frac{13}{4}\right)\). **Uwaga.** To najgroźniejsza pułapka tego zadania: pierwiastek \(\frac{-3+2\sqrt{42}}{3}\approx 3{,}32\) tylko nieznacznie przekracza granicę \(\frac{13}{4}=3{,}25\). Bez porównania z warunkiem \(\Delta\gt 0\) łatwo podać trzy wartości zamiast dwóch. **Odpowiedź.** \(m=1\) lub \(m=\frac{-3-2\sqrt{42}}{3}\).

Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Pierwszy etap polega na zapisaniu warunku \(\Delta>0\) w postaci nierówności z niewiadomą \(m\) i rozwiązaniu tej nierówności. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. **1 pkt** – zapisanie warunku \(\Delta>0\) w postaci nierówności z niewiadomą \(m\) i rozwiązanie tej nierówności: \((m+1)^{2}+4\cdot(3-m)\cdot(m+1)^{2}>0\) oraz \(m\in(-\infty,\,-1)\cup\left(-1,\,\frac{13}{4}\right)\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwaga:** Jeżeli zdający rozwiązuje warunek \(\Delta\ge 0\), to za tę część rozwiązania otrzymuje \(0\) punktów. Drugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru \(m\), dla których jest spełniony warunek \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}\cdot x_{2}+7\). Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 4 punkty. Podział punktów za drugi etap rozwiązania: **4 pkt** – wyznaczenie wszystkich wartości parametru \(m\), dla których jest spełniony warunek \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}\cdot x_{2}+7\): \(1\), \(\frac{-3-2\sqrt{42}}{3}\), \(\frac{-3+2\sqrt{42}}{3}\). **3 pkt** – zapisanie równania z niewiadomą \(m\) w postaci \(\frac{-3m^{3}-3m^{2}+59m-53}{(3-m)^{2}}=0\) lub \(3m^{3}+3m^{2}-59m+53=0\) oraz wyznaczenie jednego z rozwiązań tego równania (np. \(m=1\)) i podzielenie wielomianu \(3m^{3}+3m^{2}-59m+53\) przez odpowiedni dwumian, np. \((3m^{3}+3m^{2}-59m+53):(m-1)=3m^{2}+6m-53\) ALBO – zapisanie równania z niewiadomą \(m\) w postaci \(\frac{-3m^{3}-3m^{2}+59m-53}{(3-m)^{2}}=0\) lub \(3m^{3}+3m^{2}-59m+53=0\) oraz zastosowanie metody grupowania i zapisanie wielomianu \(3m^{3}+3m^{2}-59m+53\) w postaci iloczynu co najmniej dwóch wielomianów stopni dodatnich, np. \((m-1)(3m^{2}+6m-53)\). **2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(m\), wynikającego z warunku \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}\cdot x_{2}+7\), np. \(\left(-\frac{m+1}{3-m}\right)^{2}-2\cdot\frac{-(m+1)^{2}}{3-m}=\frac{-(m+1)^{2}}{3-m}+7\). **1 pkt** – przekształcenie warunku \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}\cdot x_{2}+7\) do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. \((x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=x_{1}x_{2}+7\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Trzeci etap polega na zapisaniu warunku \(3-m\ne 0\) oraz wyznaczeniu wszystkich wartości parametru \(m\), które spełniają jednocześnie warunki: \(3-m\ne 0\) i \(\Delta>0\), i \((x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=x_{1}x_{2}+7\). Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. **1 pkt** – zapisanie warunku \(3-m\ne 0\) i poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru \(m\), które spełniają jednocześnie warunki \(3-m\ne 0\) i \(\Delta>0\), i \((x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=x_{1}x_{2}+7\): \(1\), \(\frac{-3-2\sqrt{42}}{3}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych; tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu. **Wymagania szczegółowe:** III.R3) Zdający stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych; III.R5) Zdający analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy których rozwiązania mają żądaną własność, i wyznacza rozwiązania w zależności od parametrów.

W kratki należy wpisać kolejno: \[4,\quad1,\quad1.\]

Z równości \[W(x)=(2x+3)(ax^2+bx+c)\] otrzymujemy po wymnożeniu \[W(x)=2ax^3+(2b+3a)x^2+(2c+3b)x+3c.\] Porównując współczynniki z wielomianem \(8x^3+14x^2+5x+3\), dostajemy \[2a=8,\qquad 2b+3a=14,\qquad 2c+3b=5,\qquad3c=3.\] Stąd \(a=4\), \(b=1\), \(c=1\).

**2 pkt** – odpowiedź całkowicie poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 2.2 R) Zdający dzieli wielomiany przez dwumian \(ax+b\).

Pierwiastkami wielomianu są \(2-\sqrt{10}\), \(\frac34\) oraz \(2+\sqrt{10}\).

Z wykresu odczytujemy kandydaturę \(x=\frac34\) i sprawdzamy, że \(W\!\left(\frac34\right)=0\). Dzielimy wielomian przez \(x-\frac34\): \[W(x)=\left(x-\frac34\right)(4x^2-16x-24).\] Rozwiązujemy równanie kwadratowe \[4x^2-16x-24=0,\] którego pierwiastkami są \(2-\sqrt{10}\) i \(2+\sqrt{10}\). Ostatecznie \[x\in\left\{2-\sqrt{10},\frac34,2+\sqrt{10}\right\}.\]

**3 pkt** – wyznaczenie wszystkich trzech pierwiastków: \(2-\sqrt{10}\), \(\frac34\), \(2+\sqrt{10}\) **2 pkt** – sprawdzenie, że \(\frac34\) jest pierwiastkiem, oraz poprawne podzielenie wielomianu przez \(x-\frac34\) **1 pkt** – zastosowanie twierdzenia o pierwiastkach wymiernych i wskazanie kandydatów na pierwiastki **0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** II.1 oraz III.2 odczytywanie informacji z diagramu i tworzenie modelu matematycznego. **Wymagania szczegółowe:** II.6 i II.1R dzielenie wielomianu przez dwumian oraz stosowanie twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.

\(x\in\left\{-2,\frac23,2\right\}\)

Grupujemy wyrazy: \[3x^3-2x^2-12x+8=x^2(3x-2)-4(3x-2)=(3x-2)(x^2-4).\] Następnie \[(3x-2)(x-2)(x+2)=0,\] więc \[x=\frac23\quad\text{lub}\quad x=2\quad\text{lub}\quad x=-2.\]

**3 pkt** – poprawna metoda i wyznaczenie wszystkich rozwiązań: \(-2\), \(\frac23\), \(2\) **2 pkt** – rozkład do postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego i rozwiązanie co najmniej jednego z otrzymanych równań albo wyznaczenie jednego pierwiastka i poprawne podzielenie wielomianu przez odpowiedni dwumian **1 pkt** – rozkład \((3x-2)(x^2-4)=0\), zapisanie jednego poprawnego rozwiązania albo poprawnej alternatywy równań **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. rozumowanie i argumentacja; stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** III.5 zdający rozwiązuje równania wielomianowe postaci \(W(x)=0\), które można doprowadzić do postaci iloczynowej metodą grupowania.

**A.** \(-63\)

Z twierdzenia o reszcie reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez \(x+2\) jest równa \(W(-2)\): \[W(-2)=5(-2)^3-3(-2)^2+2(-2)-7\] \[=-40-12-4-7=-63.\]

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A** **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Element podstawy programowej:** stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian \(x-a\). Klucz CKE dla tego arkusza w formule 2015 nie podaje osobnego kodu wymagania.

\[Q(x)=3x^2+2x-1,\qquad x\in\left\{-2,-1,\frac13\right\}.\]

Ponieważ \(x+2\) jest czynnikiem \(W(x)\), mamy \(W(-2)=0\): \[3(-2)^3+m(-2)^2+3(-2)-2=0,\] \[-32+4m=0,\qquad m=8.\] Dzieląc \(3x^3+8x^2+3x-2\) przez \(x+2\), otrzymujemy \[Q(x)=3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1).\] Stąd \[W(x)=(x+2)(3x-1)(x+1),\] a jego pierwiastki to \(x=-2\), \(x=-1\) i \(x=\frac13\).

**3 pkt** – poprawna metoda wyznaczenia \(Q(x)\), postać \(Q(x)=3x^2+2x-1\) i wszystkie pierwiastki \(W\): \(-2,-1,\frac13\) **2 pkt** – poprawna metoda i prawidłowa postać \(Q(x)\), albo konsekwentna metoda wyznaczenia pierwiastków po błędzie rachunkowym w \(Q\) **1 pkt** – zapisanie \(W(-2)=0\) i obliczenie \(m=8\), albo rozpoczęcie porównywania współczynników w tożsamości \(3x^3+mx^2+3x-2=(x+2)(ax^2+bx+c)\) **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** III.1 i I operowanie wielomianami i sprawność rachunkowa. **Wymagania szczegółowe:** II.6 i III.6 dzielenie wielomianu przez dwumian \(x-a\) oraz rozwiązywanie równań wielomianowych w postaci iloczynowej.

Jedynym pierwiastkiem rzeczywistym jest \(x=\tfrac27\); w kratki należy wpisać \(2\), \(8\), \(5\).

Zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych każdy pierwiastek wymierny \(\tfrac pq\) (ułamek nieskracalny) spełnia: \(p\) dzieli wyraz wolny \(-2\), a \(q\) dzieli współczynnik wiodący \(7\). Kandydatami są więc \(\pm1,\ \pm2,\ \pm\tfrac17,\ \pm\tfrac27\). Sprawdzamy \(x=\tfrac27\): \[7\cdot\frac{8}{343}-9\cdot\frac{4}{49}+9\cdot\frac27-2=\frac{8}{49}-\frac{36}{49}+\frac{126}{49}-\frac{98}{49}=0.\] Zatem \(x=\tfrac27\) jest pierwiastkiem i \(7x-2\) dzieli wielomian: \[7x^{3}-9x^{2}+9x-2=(7x-2)\left(x^{2}-x+1\right).\] Trójmian \(x^{2}-x+1\) ma wyróżnik \(1-4=-3<0\), więc nie ma pierwiastków rzeczywistych — potwierdza to, że \(\tfrac27\) jest jedynym pierwiastkiem rzeczywistym. Rozwinięcie dziesiętne wyniku jest okresowe: \[\frac27=0{,}(285714),\] więc pierwsze trzy cyfry po przecinku to \(2\), \(8\), \(5\). **Odpowiedź.** W kratki należy wpisać kolejno \(2\), \(8\), \(5\).

2 pkt – odpowiedź całkowicie poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R3.5) Zdający stosuje twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych.

\[m=3,\qquad x\in\left\langle-1,-\frac12\right\rangle\cup\left\langle3,+\infty\right).\]

Z twierdzenia o reszcie \[W(-2)=-30.\] Po podstawieniu otrzymujemy \[-32-24+2(5m+1)-2m=-30,\] czyli \(8m-54=-30\), a stąd \(m=3\). Dla tej wartości \[W(x)=4x^3-6x^2-16x-6=4(x+1)\left(x+\frac12\right)(x-3).\] Miejsca zerowe to \(-1\), \(-\frac12\) i \(3\). Z analizy znaków iloczynu \[W(x)\geq0\iff x\in\left\langle-1,-\frac12\right\rangle\cup\left\langle3,+\infty\right).\]

**4 pkt** – poprawne wyznaczenie \(m=3\) i pełnego zbioru rozwiązań nierówności **3 pkt** – poprawne wyznaczenie \(m\), rozkład wielomianu i drobna usterka w zapisie zbioru **2 pkt** – wyznaczenie \(m=3\) oraz co najmniej jednego istotnego kroku rozwiązania nierówności **1 pkt** – poprawne zastosowanie twierdzenia o reszcie albo poprawny rozkład wielomianu dla \(m=3\) **0 pkt** – brak poprawnego postępu

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R3.4 i R3.6 stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian oraz rozwiązywanie nierówności wielomianowych.

\[a=5,\qquad b=3,\qquad c=2.\]

Dzielimy wielomian przez \(x-2\), na przykład schematem Hornera. Dla współczynników \(5,-7,-4,-4\) otrzymujemy kolejno: \[5,\qquad -7+2\cdot5=3,\qquad -4+2\cdot3=2,\] a reszta wynosi \(-4+2\cdot2=0\). Iloraz ma postać \[5x^2+3x+2,\] więc \(a=5\), \(b=3\), \(c=2\).

**2 pkt** – podanie pełnej poprawnej odpowiedzi: \(5,3,2\) **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna, niepełna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** dzielenie wielomianu przez dwumian \(x-a\), w tym z zastosowaniem schematu Hornera.

Reszta z dzielenia przez \(x-4\) jest równa \(0\).

Z twierdzenia o reszcie: \[W(2)=-8,\qquad W(3)=-18.\] Po podstawieniu do wzoru wielomianu otrzymujemy układ \[\begin{cases}16+8b+4c=-8,\\81+27b+9c=-18.\end{cases}\] Po uproszczeniu: \[\begin{cases}2b+c=-6,\\3b+c=-11.\end{cases}\] Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego: \(b=-5\), a następnie \(c=4\). Zatem \[W(x)=x^4-5x^3+4x^2.\] Reszta z dzielenia przez \(x-4\) jest równa \[W(4)=4^4-5\cdot4^3+4\cdot4^2=256-320+64=0.\]

**4 pkt** – obliczenie reszty \(W(4)=0\) **3 pkt** – wyznaczenie \(b=-5\) i \(c=4\) albo rozkładu \(x^2+bx+c+2=(x-2)(x-3)\) **2 pkt** – zapisanie poprawnego układu dwóch równań dla \(b\) i \(c\) **1 pkt** – zapisanie \(W(2)=-8\) i \(W(3)=-18\) **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R3.4 stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian \(x-a\).

**B.** Wielomian jest podzielny przez \(x+1\), a z dzielenia przez \(x-1\) daje resztę \(6\).

Z twierdzenia o reszcie sprawdzamy wartości wielomianu dla \(x=-1\) i \(x=1\): \[W(-1)=(-1)^{2019}-3(-1)^{2000}+2(-1)+6=-1-3-2+6=0,\] \[W(1)=1-3+2+6=6.\] Ponieważ \(W(-1)=0\), wielomian jest podzielny przez \(x+1\). Ponieważ \(W(1)=6\), reszta z dzielenia przez \(x-1\) jest równa \(6\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R3.4 stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian \(x-a\).

**D.** \(x-2\)

Z twierdzenia o reszcie wielomian jest podzielny przez \(x-a\), gdy \(W(a)=0\). Obliczamy \[W(2)=2^3-2^2-2-2=8-4-2-2=0.\] Zatem wielomian \(W\) jest podzielny bez reszty przez \(x-2\).

**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** R3.4 stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian \(x-a\).

\[m=1,\qquad x\in(-\infty,-3]\cup\left[-\frac12,2\right].\]

Z twierdzenia o reszcie i podzielności otrzymujemy \[W(2)=0\quad\Longrightarrow\quad4m^3-4m=0\] oraz \[W(-1)=6\quad\Longrightarrow\quad m^3-4m+3=0.\] Jedyną wartością spełniającą oba równania jest \(m=1\). Wtedy \[W(x)=2x^3+3x^2-11x-6=(x-2)(x+3)(2x+1).\] Miejsca zerowe to \(-3\), \(-\frac12\) i \(2\). Z tabeli znaków wielomianu trzeciego stopnia otrzymujemy \[W(x)\leq0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-\infty,-3]\cup\left[-\frac12,2\right].\]

**6 pkt** – wyznaczenie \(m=1\) i pełnego zbioru rozwiązań nierówności **5 pkt** – poprawne wyznaczenie \(m=1\), rozkład wielomianu i rozwiązanie nierówności z jedną drobną usterką **4 pkt** – wykazanie, że jedyną dopuszczalną wartością jest \(m=1\) **3 pkt** – zapisanie obu równań wynikających z warunków \(W(2)=0\) i \(W(-1)=6\) oraz rozwiązanie jednego z nich albo rozpoczęcie eliminacji **2 pkt** – zapisanie obu równań dla parametru **1 pkt** – poprawne zapisanie jednego z tych równań. Po wyznaczeniu \(m=1\) **2 pkt** – za pełny zbiór rozwiązań nierówności albo **1 pkt** – za wyznaczenie jej trzech miejsc zerowych **0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** R3.4 stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian \(x-a\). R3.7 rozwiązywanie nierówności wielomianowych.

a=\(\frac{1}{8=0,125}\), więc należy wpisać cyfry \(1\), \(2\), \(5\). Z twierdzenia o reszcie W(\(2\))=\(1\), czyli \(8\)−\(8\)+\(2a\)+\(\frac{3}{4=1}\), skąd \(2a\)=\(\frac{1}{4}\).

Z twierdzenia o reszcie reszta z dzielenia wielomianu \(W\) przez dwumian \(x-2\) jest równa \(W(2)\). Warunek zadania daje więc \[W(2)=2^{3}-2\cdot2^{2}+2a+\tfrac34=8-8+2a+\tfrac34=2a+\tfrac34=1.\] Stąd \[2a=\tfrac14,\qquad a=\tfrac18=0{,}125.\] Rozwinięcie dziesiętne wyniku to \(0{,}125\), więc pierwsze trzy cyfry po przecinku to \(1\), \(2\), \(5\). **Odpowiedź.** W kratki należy wpisać kolejno \(1\), \(2\), \(5\).

II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 3. Równania i nierówności. Zdający stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x−a (R3.4).

\[p=\frac76=1{,}1666\ldots\] Należy zakodować cyfry \(1,6,6\).

Z twierdzenia o reszcie wynika, że podzielność przez \(x-1\) jest równoważna warunkowi \(W(1)=0\). Mamy \[W(1)=1+2-5-6p+9=7-6p.\] Stąd \(7-6p=0\), więc \(p=\frac76=1{,}1666\ldots\). Kodujemy cyfry rozwinięcia otrzymanego wyniku, bez zaokrąglania: \(166\).

**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawna wartość \(p=\frac76\) i kod \(166\) **1 pkt** – poprawne zapisanie warunku \(W(1)=0\) i równania \(7-6p=0\) **0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi. **Wymagania szczegółowe:** 3.4. R. Zdający stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian \(x-a\).

\[m=1,\qquad x\in\left\{-1,-\frac13,\frac12\right\}.\]

Z twierdzenia o reszcie \(W(m)=8\). Otrzymujemy \[6m^3+(m+4)m^2-2m-1=8,\] czyli \[7m^3+4m^2-2m-9=0.\] Ponieważ \(m=1\) jest pierwiastkiem, rozkładamy wielomian: \[7m^3+4m^2-2m-9=(m-1)(7m^2+11m+9).\] Wyróżnik trójmianu \(7m^2+11m+9\) jest równy \(-131\), więc nie ma on pierwiastków rzeczywistych. Zatem \(m=1\). Wtedy \[W(x)=6x^3+5x^2-2x-1.\] Liczba \(-1\) jest pierwiastkiem, a dalszy rozkład daje \[W(x)=(x+1)(6x^2-x-1)=(x+1)(2x-1)(3x+1).\] Pierwiastkami są więc \(-1\), \(-\frac13\) i \(\frac12\).

**5 pkt** – poprawne wyznaczenie \(m=1\) i wszystkich trzech pierwiastków wielomianu **4 pkt** – poprawne wyznaczenie \(m=1\), wskazanie jednego pierwiastka \(W\) i podzielenie przez odpowiadający mu dwumian **3 pkt** – poprawne rozwiązanie równania dla parametru: \(m=1\) **2 pkt** – uporządkowanie równania \(7m^3+4m^2-2m-9=0\) i wykazanie, że \(m=1\) jest jego pierwiastkiem **1 pkt** – poprawne zastosowanie twierdzenia o reszcie i zapisanie równania \(W(m)=8\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię wynikającą z treści zadania. **Wymagania szczegółowe:** Zdający stosuje twierdzenie o reszcie i twierdzenie Bézouta oraz rozkłada wielomian na czynniki w celu wyznaczenia pierwiastków.

**A.** \(b=-3\)

Z twierdzenia Bézouta wielomian \(W\) jest podzielny przez dwumian \(x-a\) dokładnie wtedy, gdy \(W(a)=0\). Dla dwumianu \(x+1\) mamy \(a=-1\), więc warunkiem jest \(W(-1)=0\): \[W(-1)=2\cdot(-1)^3-b\cdot(-1)^2-1=-2-b-1=-3-b.\] Z równania \(-3-b=0\) otrzymujemy \(b=-3\). **Odpowiedź.** A. \(b=-3\)

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymaganie ogólne:** I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. **Wymaganie szczegółowe:** R3.4) Zdający stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian \(x-a\).

Oznaczmy lewą stronę przez x i podnieśmy równość do trzeciej potęgi. Ponieważ (\(9\)+√\(80\))(\(9\)−√\(80\))=\(1\), otrzymujemy \(x^{3}\)=\(18\)+\(3x\), czyli (x−\(3\))(\(x^{2}\)+\(3x\)+\(6\))=\(0\). Trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc x=\(3\).

**Krok \(1\).** Pojedynczych pierwiastków sześciennych \(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\) i \(\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\) nie da się wprost uprościć. Standardowy chwyt w takich dowodach: oznaczamy całą lewą stronę jedną literą i podnosimy równość do trzeciej potęgi, bo wtedy pierwiastki sześcienne znikną. **Krok \(2\).** Niech \[x=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}.\] Oznaczmy dla wygody \(p=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}\) oraz \(q=\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\), czyli \(x=p+q\). **Krok \(3\).** Korzystamy ze wzoru na sześcian sumy w postaci \[(p+q)^3=p^3+q^3+3pq(p+q).\] Ta postać jest tu kluczowa, bo pozwoli nam wykorzystać to, że \(p+q\) to właśnie \(x\). **Krok \(4\).** Liczymy \(p^3+q^3\). Sześcian znosi pierwiastek sześcienny, więc \[p^3+q^3=\left(9+\sqrt{80}\right)+\left(9-\sqrt{80}\right)=18.\] **Krok \(5\).** Liczymy \(pq\). Iloczyn pierwiastków tego samego stopnia to pierwiastek z iloczynu, a pod pierwiastkiem mamy różnicę kwadratów: \[pq=\sqrt[3]{\left(9+\sqrt{80}\right)\left(9-\sqrt{80}\right)}=\sqrt[3]{81-80}=\sqrt[3]{1}=1.\] **Krok \(6\).** Wstawiamy obie wartości do wzoru z kroku \(3\): \[x^3=18+3\cdot 1\cdot x,\qquad\text{czyli}\qquad x^3-3x-18=0.\] **Krok \(7\).** Sprawdzamy, że \(x=3\) jest pierwiastkiem: \(27-9-18=0\). Dzielimy wielomian przez \(x-3\) i otrzymujemy rozkład \[x^3-3x-18=(x-3)\left(x^2+3x+6\right).\] **Krok \(8\).** Trójmian \(x^2+3x+6\) ma wyróżnik \[\Delta=9-24=-15\lt 0,\] więc nie ma pierwiastków rzeczywistych. Zatem jedyną liczbą rzeczywistą spełniającą równanie \(x^3-3x-18=0\) jest \(x=3\). **Krok \(9\).** Liczba \(x\) z kroku \(2\) jest oczywiście rzeczywista (to suma dwóch pierwiastków sześciennych z liczb rzeczywistych), a spełnia to równanie, więc musi być równa \(3\). To kończy dowód. **Uwaga.** Samo pokazanie, że \(x=3\) spełnia równanie \(x^3-3x-18=0\), to za mało. Trzeba jeszcze uzasadnić, że innych rozwiązań rzeczywistych nie ma, bo inaczej nie wiadomo, które z nich jest naszą sumą. Właśnie temu służy rozkład na czynniki i ujemny wyróżnik w kroku \(8\). **Odpowiedź.** \(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3\).

**1 pkt** – zdający zapisze równanie z niewiadomą \(x\): \(\sqrt[3]{9+[…]}+\sqrt[3]{9-[…]}=x\), podniesie obie strony równania do potęgi trzeciej i zapisze równanie w postaci, np.: […], lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – zdający wykorzysta wzory skróconego mnożenia i przekształci równanie do postaci, np.: […], i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – zdający zapisze równanie z niewiadomą \(x\) w postaci: \(x^{3}-3x-18=0\). **4 pkt** – zdający rozwiąże równanie i wyciągnie wnioski. Jeżeli zdający wyznaczy liczbę \(x=3\) i nie sprawdzi, że jest ona jedynym rozwiązaniem równania \(x^{3}-3x-18=0\), to otrzymuje \(3\) punkty.

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: przekształcanie wyrażeń z pierwiastkami sześciennymi i dowód równości.

\(x^{3}\) + \(2\)\(x^{2}\) − \(8x\) − \(16\) = \(x^{2}\)(x + \(2\)) − \(8\)(x + \(2\)) = (x + \(2\))(\(x^{2}\) − \(8\)). Stąd x = −\(2\) lub \(x^{2}\) = \(8\), czyli x ∈ {−\(2\), −\(2\sqrt{2}\), \(2\sqrt{2}\)}.

**Krok \(1\).** pkt: poprawne zapisanie lewej strony w postaci iloczynu, np. (x + \(2\))(\(x^{2}\) − \(8\)), lub poprawne podzielenie wielomianu przez x + \(2\). **Krok \(2\).** pkt: bezbłędne wyznaczenie wszystkich rozwiązań: −\(2\), −\(2\sqrt{2}\), \(2\sqrt{2}\). **Odpowiedź.** \(x^{3}\) + \(2\)\(x^{2}\) − \(8x\) − \(16\) = \(x^{2}\)(x + \(2\)) − \(8\)(x + \(2\)) = (x + \(2\))(\(x^{2}\) − \(8\)). Stąd x = −\(2\) lub \(x^{2}\) = \(8\), czyli x ∈ {−\(2\), −\(2\sqrt{2}\), \(2\sqrt{2}\)}.

1 pkt: poprawne zapisanie lewej strony w postaci iloczynu, np. (x + 2)(x² − 8), lub poprawne podzielenie wielomianu przez x + 2. 2 pkt: bezbłędne wyznaczenie wszystkich rozwiązań: −2, −2√2, 2√2.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Rozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkładu na czynniki (II.3.d).

\[m=6,\qquad x\in\left\{-2,\tfrac14,3\right\}.\]

Z twierdzenia o reszcie reszta z dzielenia \(W\) przez \(x+1\) jest równa \(W(-1)\): \[W(-1)=4(-1)^{3}-5(-1)^{2}-23(-1)+m=-4-5+23+m=14+m.\] Z warunku \(14+m=20\) otrzymujemy \(m=6\). Zatem \(W(x)=4x^{3}-5x^{2}-23x+6\). Zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach wymiernych szukamy ich wśród ułamków \(\tfrac pq\), gdzie \(p\) dzieli \(6\), a \(q\) dzieli \(4\). Sprawdzamy \(x=3\): \[W(3)=108-45-69+6=0,\] więc \(x-3\) jest dzielnikiem wielomianu. Po podzieleniu \[W(x)=(x-3)\left(4x^{2}+7x-2\right).\] Trójmian \(4x^{2}+7x-2\) ma wyróżnik \(\Delta=49+32=81\), więc jego pierwiastki to \[x=\frac{-7\pm9}{8},\qquad x=\tfrac14\ \lor\ x=-2.\] **Odpowiedź.** \(m=6\); pierwiastkami wielomianu są \(-2\), \(\tfrac14\) oraz \(3\).

**1 pkt** – zdający zapisze równanie z niewiadomą \(m\), np. […]. **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zdający obliczy wartość współczynnika \(m\): \(m=6\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zdający poda jeden z pierwiastków wielomianu, np. \(3\), podzieli wielomian przez dwumian \((x-3)\) i otrzyma iloraz \(4x^{2}+7x-2\), lub poda pierwiastek \(-2\), podzieli wielomian przez dwumian \((x+2)\) i otrzyma iloraz \(4x^{2}-13x+3\); albo zapisze wielomian \(W\) w postaci iloczynowej, np.: \(W(x)=4(x+[…])\). **Rozwiązanie pełne** – zdający wyznaczy wszystkie pierwiastki wielomianu \(W\): \(-2\), \(\tfrac{1}{4}\), \(3\).

II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zastosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x−a i twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu. (II.2.b.c.R)

\(x\in\{-3,\ 3,\ 6\}\)

**Krok \(1\).** To równanie wielomianowe trzeciego stopnia — nie ma na nie gotowego wzoru w tablicach. Standardowa metoda w takiej sytuacji to rozkład lewej strony na czynniki przez grupowanie wyrazów. **Krok \(2\).** Grupujemy wyrazy dwójkami: \[\left(x^3-6x^2\right)+\left(-9x+54\right)=0.\] **Krok \(3\).** Z pierwszej pary wyłączamy \(x^2\), z drugiej \(-9\): \[x^2(x-6)-9(x-6)=0.\] Zwróć uwagę, że z drugiej pary wyłączamy \(-9\), a nie \(9\) — tylko wtedy w nawiasie zostanie \(x-6\), czyli to samo co w pierwszej parze. **Krok \(4\).** Teraz wspólnym czynnikiem jest \(x-6\), więc wyłączamy go przed nawias: \[(x-6)\left(x^2-9\right)=0.\] **Krok \(5\).** Drugi nawias to różnica kwadratów: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Otrzymujemy \[(x-6)(x-3)(x+3)=0.\] **Krok \(6\).** Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem: \[x-6=0\qquad\text{lub}\qquad x-3=0\qquad\text{lub}\qquad x+3=0,\] czyli \(x=6\) lub \(x=3\) lub \(x=-3\). **Krok \(7\).** Sprawdzenie dla \(x=-3\): \[(-3)^3-6\cdot(-3)^2-9\cdot(-3)+54=-27-54+27+54=0.\] **Uwaga.** Z rozkładu \(x^2-9\) wychodzą **dwa** rozwiązania: \(3\) i \(-3\). Zatrzymanie się na \(x^2=9\) i zapisanie tylko \(x=3\) gubi jedno rozwiązanie. **Odpowiedź.** \(x=-3\) lub \(x=3\) lub \(x=6\).

1 pkt: rozkład (x−3)(x+3)(x−6)=0. 2 pkt: wszystkie trzy rozwiązania.

Zadanie 27. (0–2) Rozwiąż równanie x3  6x2  9x  54  0 . Wykorzystanie Rozwiązuje równanie wielomianowe. i interpretowanie reprezentacji Schemat oceniania Zdający otrzymuje ..............................................................................................................1 pkt gdy:  przedstawi lewą stronę równania w postaci iloczynu  x2  9   x  6 lub  x  3  x  3  x  6 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy albo  sprawdzi, że liczba 3 jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian x3  6x2  9x  54 przez dwumian  x  3 i otrzyma  x2  9x  18  i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo  sprawdzi, że liczba 3 jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian x3  6x2  9x  54 przez dwumian  x  3 i otrzyma  x2  3x 18  i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo  sprawdzi, że liczba 6 jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian x3  6x2  9x  54 przez dwumian  x  6 i otrzyma  x2  9  i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje ..............................................................................................................2 pkt gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x  3, x  3, x  6 .

\(x=-2\) lub \(x=-\sqrt5\), lub \(x=\sqrt5\).

**Krok \(1\).** Mamy równanie z wielomianem trzeciego stopnia. Nie ma tu prostego wzoru na pierwiastki, więc trzeba rozłożyć lewą stronę na czynniki. Wskazówką jest układ współczynników: \(1\) i \(2\) w pierwszej parze wyrazów oraz \(-5\) i \(-10\) w drugiej są w tej samej proporcji, co zapowiada skuteczne grupowanie wyrazów. **Krok \(2\).** Grupujemy pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy: \[x^3+2x^2-5x-10=\left(x^3+2x^2\right)-\left(5x+10\right).\] **Krok \(3\).** Z każdej grupy wyłączamy wspólny czynnik: \[x^2(x+2)-5(x+2).\] **Krok \(4\).** Teraz wspólnym czynnikiem jest \((x+2)\): \[(x+2)\left(x^2-5\right)=0.\] **Krok \(5\).** Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem: \[x+2=0\qquad\text{lub}\qquad x^2-5=0.\] **Krok \(6\).** Z pierwszego równania \(x=-2\). Z drugiego \(x^2=5\), czyli \[x=\sqrt5\qquad\text{lub}\qquad x=-\sqrt5.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie dla \(x=-2\): \((-2)^3+2\cdot(-2)^2-5\cdot(-2)-10=-8+8+10-10=0\). Zgadza się. **Uwaga.** Równanie \(x^2=5\) ma dwa rozwiązania, a nie jedno — łatwo zapomnieć o \(-\sqrt5\). Warto też zauważyć, że \(-\sqrt5\approx-2{,}24\), więc wszystkie trzy pierwiastki są różne. **Odpowiedź.** \(x=-\sqrt5\), \(x=-2\) lub \(x=\sqrt5\).

Zadanie 27. (2 pkt) Rozwiąż równanie x 3 + 212 —51—10 = O I sposób rozwiązania (metoda grupowania) Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynowej stosując metodę grupowania wyrazów Stąd x = —2 lub x = —43 lub x Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt gdy: • poda poprawną postać iloczynową wielomianu po lewej stronie równania (x + —5) = O lub = O i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo • zapisze postać iloczynową z błędem (o ile otrzymany wielomian jest stopnia trzeciego i ma trzy różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu poda rozwiązania równania. Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania: —4Š —2, «./Š II sposób rozwiązania (metoda dzielenia) Stwierdzamy, że liczba —2 jest pierwiastkiem wielomianu. Dzielimy wielomian + 2x2 —51 10 przez dwumłan x +2 i otrzymujemy x2 —5. Zapisujemy równanie w postaci Stąd x = —2 lub x lub x =N/Š Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje gdy ...1 pkt • podzieli wielomian + 2x2 —51 10 przez dwumian x +2 otrzymując x2 —5 ina tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo • podzieli wielomian z błędem (o ile otrzymany iloraz jest stopnia drugiego i ma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu poda rozwiązanie równama. Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania: —43 —2 Uwaga: l. Jeżeli zdający zapisze x(x2 —5) 2(x2 (brak znaku przed liczbą 2) lub x2 (x+ 2) (brak znaku przed liczbą 5) i na tym zakończy, to otrzymuje O punktów. Jeżeli natomiast kontynuuje rozwiązanie i zapisze (x — 5) = 0, to oceniamy to rozwiązanie tak, jakby ten błąd nie wystąpił. 2. Jeśli zdający wykonał dzielenie przez dwumian x — p nie zapisując, że p jest jednym z rozwiązań równania x3 + 2x2 —51—10 = O i w końcowej odpowiedzi pominie pierwiastek p podając tylko pierwiastki trójmianu kwadratowego, to przyznajemy 2 punkty.

Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.

\[x\in\{-2,2,7\}.\]

Grupujemy wyrazy parami i wyłączamy wspólne czynniki: \[x^{3}-7x^{2}-4x+28=x^{2}(x-7)-4(x-7)=(x-7)\left(x^{2}-4\right).\] Do drugiego czynnika stosujemy wzór na różnicę kwadratów: \[(x-7)(x-2)(x+2)=0.\] Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się jeden z czynników, więc \[x=7\quad\text{lub}\quad x=2\quad\text{lub}\quad x=-2.\] **Odpowiedź.** \(x\in\{-2,2,7\}\).

1 pkt: pogrupowanie wyrazów do postaci prowadzącej do rozkładu na czynniki albo poprawne podzielenie wielomianu przez jeden z dwumianów x − 2, x + 2 lub x − 7. 2 pkt: wyznaczenie wszystkich rozwiązań: −2, 2 i 7.

Wykorzystanie i tworzenie informacji. Rozwiązanie równania wielomianowego.

a=−\(5\) i b=\(9\). Z W(\(2\))=\(7\) oraz twierdzenia o reszcie, czyli W(\(3\))=\(10\), otrzymujemy układ \(8\)+\(4a\)+\(2b\)+\(1=7\) i \(27\)+\(9a\)+\(3b\)+\(1=10\).

Z twierdzenia o reszcie reszta z dzielenia \(W\) przez \(x-3\) jest równa \(W(3)\), więc dane prowadzą do układu równań \[\begin{cases}W(2)=8+4a+2b+1=7,\\ W(3)=27+9a+3b+1=10.\end{cases}\] Po uporządkowaniu \[\begin{cases}4a+2b=-2,\\ 9a+3b=-18,\end{cases}\qquad\text{czyli}\qquad \begin{cases}2a+b=-1,\\ 3a+b=-6.\end{cases}\] Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego: \[a=-5,\qquad b=-1-2a=-1+10=9.\] Sprawdzenie: \(W(x)=x^{3}-5x^{2}+9x+1\), więc \(W(2)=8-20+18+1=7\) oraz \(W(3)=27-45+27+1=10\). **Odpowiedź.** \(a=-5\), \(b=9\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. Stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianów przez dwumian.

\(W(x)=8x^{3}-4x^{2}-18x+9=(2x-1)(2x-3)(2x+3)\), więc pierwiastkami są \(x=-\dfrac32\), \(x=\dfrac12\), \(x=\dfrac32\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, co jest dane: iloraz i reszta z dzielenia. Korzystamy z twierdzenia o dzieleniu z resztą — jeśli wielomian \(W(x)\) dzielimy przez \(P(x)\) i otrzymujemy iloraz \(Q(x)\) oraz resztę \(R(x)\), to \[W(x)=P(x)\cdot Q(x)+R(x).\] Znamy wszystkie trzy elementy prawej strony, więc możemy ODTWORZYĆ wielomian \(W(x)\), a dopiero potem szukać jego pierwiastków. **Krok \(2\).** Zapisujemy wzór dla naszych danych: \[W(x)=(x-1)\left(8x^2+4x-14\right)-5.\] **Krok \(3\).** Wymnażamy i porządkujemy: \[x\cdot(8x^2+4x-14)=8x^3+4x^2-14x,\] \[-1\cdot(8x^2+4x-14)=-8x^2-4x+14,\] \[W(x)=8x^3+4x^2-14x-8x^2-4x+14-5=8x^3-4x^2-18x+9.\] **Krok \(4\).** Szukamy pierwiastków. Wielomian ma cztery wyrazy, więc próbujemy grupowania — pierwsze dwa i ostatnie dwa: \[W(x)=4x^2(2x-1)-9(2x-1)=(2x-1)(4x^2-9).\] **Krok \(5\).** Drugi czynnik to różnica kwadratów: \(4x^2-9=(2x)^2-3^2=(2x-3)(2x+3)\). Zatem \[W(x)=(2x-1)(2x-3)(2x+3).\] **Krok \(6\).** Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem: \[2x-1=0\ \Rightarrow\ x=\tfrac12,\qquad 2x-3=0\ \Rightarrow\ x=\tfrac32,\qquad 2x+3=0\ \Rightarrow\ x=-\tfrac32.\] **Uwaga.** Warto zwrócić uwagę, że reszta \(R(x)=-5\) jest liczbą stałą — tak być musi, bo dzielimy przez dwumian stopnia pierwszego, a reszta zawsze ma stopień mniejszy od dzielnika. Częsty błąd rachunkowy to zapomnienie o odjęciu \(5\) po wymnożeniu nawiasów albo mnożenie \(Q(x)\) przez \((x+1)\) zamiast przez \((x-1)\). **Odpowiedź.** \(W(x)=8x^{3}-4x^{2}-18x+9=(2x-1)(2x-3)(2x+3)\), więc pierwiastkami są \(x=-\dfrac32\), \(x=\dfrac12\), \(x=\dfrac32\).

**1 pkt** – jeśli zapisze wielomian \(W(x)\) w postaci wynikającej z warunków zadania. Poprawna odpowiedź: \(W(x)=(x-1)(8x^{2}+4x-14)-5\) **1 pkt** – jeśli uporządkuje wielomian \(W(x)\). Poprawna odpowiedź: \(W(x)=8x^{3}-4x^{2}-18x+9\). **2 pkt** – jeśli obliczy pierwiastki wielomianu \(W(x)\). Poprawna odpowiedź: \(x_{1}=-1{,}5\), \(x_{2}=0{,}5\), \(x_{3}=1{,}5\). **1 pkt** – jeśli zapisze wielomian \(W(x)\) w postaci iloczynu czynnika stopnia pierwszego i czynnika stopnia drugiego, np. \(W(x)=(2x-1)(4x^{2}-9)\), i na tym zakończy rozwiązanie lub popełni błędy w wyznaczaniu pierwiastków wielomianu.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(m=0\).

**Krok \(1\).** Słowo *jedynym* dzieli zadanie na dwa etapy. Najpierw z warunku, że \(1\) jest rozwiązaniem, wyznaczamy kandydatów na \(m\) (podstawiamy \(x=1\)). Potem dla każdego kandydata sprawdzamy, czy równanie nie ma innych rozwiązań rzeczywistych — bez tego etapu zadanie nie jest rozwiązane. **Krok \(2\).** Podstawiamy \(x=1\) do równania \(x^3+m^3x^2-m^2x-1=0\): \[1+m^3-m^2-1=0,\qquad m^3-m^2=0.\] **Krok \(3\).** Wyłączamy \(m^2\) przed nawias: \[m^2(m-1)=0,\qquad\text{czyli}\qquad m=0\quad\text{lub}\quad m=1.\] **Krok \(4\).** Sprawdzamy \(m=0\). Równanie przyjmuje postać \(x^3-1=0\), a korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów: \[x^3-1=(x-1)\left(x^2+x+1\right)=0.\] **Krok \(5\).** Trójmian \(x^2+x+1\) ma wyróżnik \(\Delta=1-4=-3\lt0\), więc nie ma pierwiastków rzeczywistych. Jedynym rozwiązaniem jest zatem \(x=1\) — wartość \(m=0\) spełnia warunki zadania. **Krok \(6\).** Sprawdzamy \(m=1\). Równanie przyjmuje postać \(x^3+x^2-x-1=0\). Grupujemy wyrazy: \[x^2(x+1)-(x+1)=(x+1)\left(x^2-1\right)=(x+1)^2(x-1)=0.\] **Krok \(7\).** Rozwiązaniami są \(x=1\) oraz \(x=-1\), więc rozwiązanie nie jest jedyne — wartość \(m=1\) odrzucamy. **Uwaga.** Samo podstawienie \(x=1\) daje tylko warunek konieczny. Gdyby na tym poprzestać, w odpowiedzi znalazłoby się także \(m=1\), przy którym równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste. **Odpowiedź.** \(m=0\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **3.1. (1 pkt)** – […] wielomianu i zapisanie równania z niewiadomą \(m\): \(1^{3}+m^{3}\cdot 1^{2}-m^{2}\cdot 1-1=0\). **3.2. (1 pkt)** – obliczenie wszystkich wartości \(m\), dla których liczba \(1\) jest rozwiązaniem równania (pierwiastkiem wielomianu): \(m=0\) lub \(m=1\). **3.3. (1 pkt)** – uzasadnienie, że dla \(m=0\) równanie ma tylko jedno rozwiązanie \(x=1\) (wielomian ma tylko jeden pierwiastek), np. dla \(m=0\) równanie ma postać \(x^{3}-1=(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)=0\), a trójmian \(x^{2}+x+1\) nie ma pierwiastków. **3.4. (1 pkt)** – uzasadnienie, że dla \(m=1\) równanie ma więcej niż jedno rozwiązanie (wielomian ma więcej niż jeden pierwiastek), np. dla \(m=1\) równanie ma postać \((x+1)^{2}(x-1)=0\), co oznacza, że liczba \((-1)\) też jest jego rozwiązaniem. **II sposób rozwiązania: czynność 3.1, 3.2** **3.1. (1 pkt)** – zapisanie równania w postaci iloczynu, np. \((x-1)\left(x^{2}+bx+c\right)=0\) i wykonanie mnożenia \(x^{3}+(b-1)x^{2}+(c-b)x-c=0\). **3.2. (1 pkt)** – zastosowanie twierdzenia o równości wielomianów do zapisania układu warunków: \(c=1\), \(b=m^{2}+1\) i \(b=m^{3}+1\) oraz rozwiązanie równania \(m^{3}+1=m^{2}+1\): \(m=0\) lub \(m=1\). **III sposób rozwiązania: czynność 3.1, 3.2** **3.1. (1 pkt)** – wykorzystanie twierdzenia o pierwiastkach wielomianu i wykonanie dzielenia wielomianu \(W\) przez dwumian \((x-1)\): \(W(x)=(x-1)\left(x^{2}+\left(m^{3}+1\right)x+m^{3}-m^{2}+1\right)+\left(m^{3}-m^{2}\right)\), **3.2. (1 pkt)** – skorzystanie z twierdzenia o reszcie i obliczenie \(m\): \(m^{3}-m^{2}=0\) stąd \(m=0\) lub \(m=1\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(x=-\sqrt7\), \(x=0\), \(x=\sqrt7\). b) \(a=0\), \(b=12\), czyli \(W(x)=2x^3-14x+12\).

**Krok \(1\).** Zadanie składa się z dwóch niezależnych części. W a) mamy równanie trzeciego stopnia bez wyrazu wolnego — wtedy zawsze wyłączamy \(x\) przed nawias i korzystamy z tego, że iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem. W b) korzystamy z twierdzenia o podzielności wielomianu przez dwumian: \(W(x)\) dzieli się przez \(x-r\) dokładnie wtedy, gdy \(W(r)=0\). **Krok \(2\).** Część a). Wyłączamy wspólny czynnik: \[2x^3-14x=2x\left(x^2-7\right)=0.\] **Krok \(3\).** Czynnik \(x^2-7\) rozkładamy według wzoru na różnicę kwadratów, bo \(7=\left(\sqrt7\right)^2\): \[2x\left(x-\sqrt7\right)\left(x+\sqrt7\right)=0.\] **Krok \(4\).** Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z czynników, więc \(x=0\) lub \(x=\sqrt7\), lub \(x=-\sqrt7\). **Krok \(5\).** Część b). Podzielność przez \(x-2\) daje warunek \(W(2)=0\), a podzielność przez \(x+3=x-(-3)\) daje warunek \(W(-3)=0\). Mamy więc dwa równania z niewiadomymi \(a\) i \(b\). **Krok \(6\).** Liczymy \(W(2)\) dla \(W(x)=2x^3+ax^2-14x+b\): \[2\cdot8+a\cdot4-14\cdot2+b=16+4a-28+b=0,\qquad\text{czyli}\qquad 4a+b=12.\] **Krok \(7\).** Liczymy \(W(-3)\): \[2\cdot(-27)+a\cdot9-14\cdot(-3)+b=-54+9a+42+b=0,\qquad\text{czyli}\qquad 9a+b=12.\] **Krok \(8\).** Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego: \(5a=0\), więc \(a=0\), a stąd \(b=12\). Sprawdzenie dla \(W(x)=2x^3-14x+12\): \(W(2)=16-28+12=0\) oraz \(W(-3)=-54+42+12=0\). **Uwaga.** W punkcie b) do dwumianu \(x+3\) podstawiamy \(x=-3\) (bo \(x+3=x-(-3)\)), a nie \(x=3\). W punkcie a) nie wolno skracać równania przez \(x\), bo stracilibyśmy pierwiastek \(x=0\). **Odpowiedź.** a) \(x=-\sqrt7\), \(x=0\), \(x=\sqrt7\). b) \(a=0\) i \(b=12\), czyli \(W(x)=2x^3-14x+12\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **Zadanie 6.** (\(4\) pkt) Dany jest wielomian \(W(x)=2x^{3}+ax^{2}-14x+b\). a) Dla \(a=0\) i \(b=0\) otrzymamy wielomian \(W(x)=2x^{3}-14x\). Rozwiąż równanie \(2x^{3}-14x=0\). b) Dobierz wartości \(a\) i \(b\) tak, aby wielomian \(W(x)\) był podzielny jednocześnie przez \(x-2\) oraz przez \(x+3\). a) Rozwiązuję równanie: \(2x^{3}-14x=0\) \(2x\left(x^{2}-7\right)=0\) \(2x\left(x-\sqrt{7}\right)\left(x+\sqrt{7}\right)=0\) z zapisanej postaci iloczynowej odczytuję rozwiązania równania: \(x_{1}=0\), \(x_{2}=\sqrt{7}\), \(x_{3}=-\sqrt{7}\). b) Aby znaleźć wartość współczynników \(a\) i \(b\) korzystam z twierdzenia o podzielności wielomianu przez dwumian, z którego wynika, że: \(W(2)=0\) oraz \(W(-3)=0\). Otrzymuję układ równań: \(\begin{cases}16+4a-28+b=0\\ -54+9a+42+b=0\end{cases}\), z którego wyznaczam \(a\) i \(b\). \(\begin{cases}4a+b=12\\ 9a+b=12\end{cases}\) Rozwiązanie układu równań są liczby: \(a=0\), \(b=12\). Wielomian przyjmuje postać: \(W(x)=2x^{3}-14x+12\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

\(x=-\sqrt3\), \(x=-\frac12\), \(x=\sqrt3\), \(x=3\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy strategię. Znamy już jeden dzielnik wielomianu, czyli \((2x+1)\), a to od razu daje jeden pierwiastek: \(2x+1=0\), czyli \(x=-\tfrac12\). Pozostałych pierwiastków szukamy w ILORAZIE z dzielenia \(W(x)\) przez \(2x+1\) — będzie to wielomian stopnia trzeciego, który rozłożymy na czynniki. **Krok \(2\).** Wykonujemy dzielenie pisemne \((-2x^4+5x^3+9x^2-15x-9):(2x+1)\): \[-2x^4:2x=-x^3,\qquad -x^3(2x+1)=-2x^4-x^3,\qquad\text{reszta: } 6x^3+9x^2-15x-9,\] \[6x^3:2x=3x^2,\qquad 3x^2(2x+1)=6x^3+3x^2,\qquad\text{reszta: } 6x^2-15x-9,\] \[6x^2:2x=3x,\qquad 3x(2x+1)=6x^2+3x,\qquad\text{reszta: } -18x-9,\] \[-18x:2x=-9,\qquad -9(2x+1)=-18x-9,\qquad\text{reszta: } 0.\] Iloraz to \(-x^3+3x^2+3x-9\), a reszta wynosi \(0\) — potwierdza to podzielność podaną w treści. **Krok \(3\).** Rozkładamy iloraz metodą grupowania (cztery wyrazy, więc grupujemy po dwa): \[-x^3+3x^2+3x-9=-x^2(x-3)+3(x-3)=(x-3)\left(-x^2+3\right)=(x-3)(3-x^2).\] **Krok \(4\).** Zbieramy cały rozkład: \[W(x)=(2x+1)(x-3)(3-x^2).\] **Krok \(5\).** Przyrównujemy każdy czynnik do zera: \[2x+1=0\ \Rightarrow\ x=-\tfrac12,\qquad x-3=0\ \Rightarrow\ x=3,\] \[3-x^2=0\ \Rightarrow\ x^2=3\ \Rightarrow\ x=-\sqrt3\ \text{lub}\ x=\sqrt3.\] **Krok \(6\).** Wielomian ma zatem cztery pierwiastki: \(-\sqrt3\), \(-\tfrac12\), \(\sqrt3\) i \(3\) — tyle, ile maksymalnie może mieć wielomian stopnia czwartego. **Uwaga.** Dwie łatwe do przeoczenia rzeczy. Po pierwsze, pierwiastek \(x=-\tfrac12\) pochodzi z podanego w treści dzielnika i nie pojawi się już w ilorazie — trzeba go dopisać samodzielnie. Po drugie, równanie \(x^2=3\) ma DWA rozwiązania, \(\sqrt3\) i \(-\sqrt3\); są one niewymierne, więc zostawiamy je w postaci pierwiastków, nie zaokrąglając. **Odpowiedź.** \(x=-\sqrt3\), \(x=-\frac12\), \(x=\sqrt3\), \(x=3\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **4.1. (1 pkt)** – […] Zdający może wyłączyć \((-1)\) przed nawias i też otrzyma inny wynik częściowy: \(-\left(2x^{4}-5x^{3}-9x^{2}+15x+9\right):(2x+1)=-\left(x^{3}-3x^{2}-3x+9\right)\). **4.2. (1 pkt)** – Rozłożenie wielomianu \(W(x)\) na czynniki: \(-x^{3}+3x^{2}+3x-9=(x-3)\cdot\left(3-x^{2}\right)\). **4.3. (1 pkt)** – Podanie pierwiastków wielomianu: \(-\sqrt{3}\), \(-\frac{1}{2}\), \(\sqrt{3}\), \(3\). **II sposób rozwiązania.** **4.2. (1 pkt)** – Znalezienie drugiego pierwiastka \(x=3\) i wykonanie dzielenia: \(\left(-x^{3}+3x^{2}+3x-9\right):(x-3)=\left(3-x^{2}\right)\). **4.3. (1 pkt)** – Rozwiązanie równania \(3-x^{2}=0\) i podanie pierwiastków: \(-\sqrt{3}\), \(-\frac{1}{2}\), \(\sqrt{3}\), \(3\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

a) \(k=3\); b) \(W(x)=(x-1)(x+2)^{2}\), pierwiastki: \(x=1\) oraz \(x=-2\) (pierwiastek podwójny).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy sytuację: mowa o podzielności wielomianu przez dwumian. Kluczem jest twierdzenie Bézouta — wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-p\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(W(p)=0\). Nasz dwumian to \(x+2=x-(-2)\), więc \(p=-2\) i warunek zadania brzmi po prostu \(W(-2)=0\). To daje jedno równanie z jedną niewiadomą \(k\). **Krok \(2\).** Podstawiamy \(x=-2\) do wzoru \(W(x)=x^3+kx^2-4\): \[W(-2)=(-2)^3+k\cdot(-2)^2-4=-8+4k-4=4k-12.\] **Krok \(3\).** Przyrównujemy do zera: \[4k-12=0\quad\Longrightarrow\quad k=3.\] Zatem \(W(x)=x^3+3x^2-4\). **Krok \(4\).** Podpunkt b): skoro \(W(x)\) dzieli się przez \(x+2\), wykonujemy to dzielenie. Dopisujemy brakującą potęgę: \(x^3+3x^2+0\cdot x-4\). \[x^3:x=x^2,\qquad x^2(x+2)=x^3+2x^2,\qquad \text{reszta: } x^2+0\cdot x-4,\] \[x^2:x=x,\qquad x(x+2)=x^2+2x,\qquad \text{reszta: } -2x-4,\] \[-2x:x=-2,\qquad -2(x+2)=-2x-4,\qquad \text{reszta: } 0.\] Iloraz to \(x^2+x-2\), czyli \(W(x)=(x+2)(x^2+x-2)\). **Krok \(5\).** Rozkładamy jeszcze trójmian \(x^2+x-2\). Wyróżnik: \(\Delta=1^2-4\cdot1\cdot(-2)=9\), \(\sqrt{\Delta}=3\), więc \[x_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{-1+3}{2}=1,\] czyli \(x^2+x-2=(x+2)(x-1)\). **Krok \(6\).** Łączymy oba rozkłady: \[W(x)=(x+2)\cdot(x+2)(x-1)=(x-1)(x+2)^2.\] Iloczyn jest równy zeru, gdy któryś czynnik jest zerem, więc pierwiastkami są \(x=1\) oraz \(x=-2\). **Uwaga.** Wielomian jest stopnia trzeciego, ale ma tylko dwa RÓŻNE pierwiastki: liczba \(-2\) jest pierwiastkiem podwójnym (czynnik \((x+2)\) występuje w kwadracie). W praktyce oznacza to, że wykres w punkcie \(x=-2\) tylko dotyka osi \(OX\), zamiast ją przecinać. **Odpowiedź.** a) \(k=3\); b) \(W(x)=(x-1)(x+2)^{2}\), pierwiastki: \(x=1\) oraz \(x=-2\) (pierwiastek podwójny).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **3.1. (1 pkt)** – […] np. \(W(-2)=0\) lub podzielenie wielomianu \(W(x)\) przez dwumian \(x+2\) **3.2. (1 pkt)** – wyznaczenie \(k\): \(k=3\) **3.3. (1 pkt)** – rozłożenie wielomianu na czynniki: \(W(x)=(x-1)(x+2)^{2}\) **3.4. (1 pkt)** – podanie pierwiastków wielomianu: \(x_{1}=x_{2}=-2,\; x_{3}=1\)

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.

Pozostałe wyrazy równe zero to \(a_3=0\) i \(a_5=0\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie. „Wyrazy równe zero” to nic innego jak rozwiązania równania \(a_n=0\), czyli równania wielomianowego trzeciego stopnia. Sama treść podpowiada metodę: skoro znamy jeden pierwiastek (\(n=2\)), to z twierdzenia Bézouta wielomian dzieli się bez reszty przez dwumian \((n-2)\), a po podzieleniu zostanie trójmian kwadratowy, z którym już sobie poradzimy. **Krok \(2\).** Zapisujemy równanie: \[n^3-10n^2+31n-30=0.\] **Krok \(3\).** Sprawdzamy podany pierwiastek: \(2^3-10\cdot 2^2+31\cdot 2-30=8-40+62-30=0\) — istotnie \(a_2=0\). **Krok \(4\).** Dzielimy wielomian przez \((n-2)\): \[\left(n^3-10n^2+31n-30\right):(n-2)=n^2-8n+15.\] (Kontrola przez wymnożenie: \((n-2)(n^2-8n+15)=n^3-8n^2+15n-2n^2+16n-30=n^3-10n^2+31n-30\).) **Krok \(5\).** Zapisujemy równanie w postaci iloczynowej: \[(n-2)\left(n^2-8n+15\right)=0.\] Iloczyn jest zerem, gdy \(n=2\) (to znamy) albo gdy \(n^2-8n+15=0\). **Krok \(6\).** Rozwiązujemy trójmian kwadratowy: \[\Delta=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=64-60=4,\qquad \sqrt{\Delta}=2,\] \[n_1=\frac{8-2}{2}=3,\qquad n_2=\frac{8+2}{2}=5.\] **Krok \(7\).** Sprawdzamy, czy otrzymane liczby mogą być numerami wyrazów: \(3\) i \(5\) są liczbami naturalnymi dodatnimi, więc odpowiadają im istniejące wyrazy ciągu. Zatem \(a_3=0\) i \(a_5=0\). (Sprawdzenie: \(a_3=27-90+93-30=0\), \(a_5=125-250+155-30=0\).) **Uwaga.** Zwróć uwagę na dwie rzeczy. Po pierwsze, pytano o POZOSTAŁE wyrazy równe zero, więc w odpowiedzi nie powtarzamy \(a_2\). Po drugie, \(n\) jest numerem wyrazu, więc pierwiastki, które nie są liczbami naturalnymi dodatnimi, trzeba by odrzucić — tutaj oba się nadają, ale sprawdzenie jest obowiązkowe. Odpowiadamy wartościami \(a_3=0\) i \(a_5=0\), a nie samymi liczbami \(3\) i \(5\). **Odpowiedź.** Pozostałe wyrazy równe zero to \(a_3=0\) i \(a_5=0\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **6.1. (1 pkt)** – ułożenie równania z niewiadomą \(n\): \(n^{3}-10n^{2}+31n-30=0\). **6.2. (1 pkt)** – wykorzystanie twierdzenia Bézouta do rozkładu lewej strony równania na czynniki: \((n-2)\left(n^{2}-8n+15\right)=0\). **6.3. (1 pkt)** – wyznaczenie pozostałych pierwiastków równania: \(n_{1}=3\), \(n_{2}=5\). **6.4. (1 pkt)** – wyznaczenie pozostałych wyrazów ciągu równych zero: \(a_{3}=0\), \(a_{5}=0\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.